Tài liệu trình bày về phương pháp đổi biến số trong tích phân, bao gồm lý thuyết và các bước cụ thể thực hiện. Có nhiều ví dụ minh họa cho từng loại biến đổi và cách tìm nguyên hàm. Ngoài ra, tài liệu cũng đề cập đến những sai lầm thường gặp khi áp dụng phương pháp này.

1. 3 Phương pháp đổi biến số
3.1 LÝ THUYẾT
• Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho
f(u(x)) xác định trên K.
Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là: f(u) du = F(u) + C thì:
f[u(x)].u (x) dx = F[u(x)] + C.
• Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm liên tục
trên [α, β] sao cho φ(α) = a, φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α; β]. Khi đó:
b
a
f(x) dx =
β
α
f(φ(t))φ (t) dt.
3.1.1 Phương pháp đổi biến số cơ bản
Phương pháp chung:
Bước 1: Đặt t = u(x). Trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = u (x) dx.
Bước 3: Biến dổi f(x) dx = g(t) dt.
Bước 4: Khi đó f(x) dx = g(t) dt = G(t) + C.
Chú ý: Đối với tích phân, ta cần đổi cận ở sau bước 2.
Câu 1. Cho I = 2x(1 + x2
) dx. Bằng phương pháp đổi biến t = 1 + x2
, tìm nguyên hàm I?
A. I =
t2
2
+ C. B. I = t2
+ C. C. I = 2t2
+ C. D. I = 2t3
+ C.
A
Lời giải. Đặt t = 1 + x2
.
Lấy vi phân 2 vế được: dt = 2x dx.
Ta có: 2x(1 + x2
) dx = t dt.
⇒ I = 2x.(1 + x2
) dx = t dt =
t2
2
+ C =
(1 + x2
)2
2
+ C.
Câu 2. Tìm nguyên hàm I = sin x.
√
cos x dx.
A. I =
−2
√
cos3 x
3
+ C. B. I =
2
√
cos3 x
3
+ C.
C. I =
−
√
cos3 x
3
+ C. D. I =
√
cos3 x
3
+ C.
A
Lời giải. Đặt t =
√
cos x. ⇒ t2
= cos x.
Lấy vi phân 2 vế được: 2t dt = − sin x dx.
Khi đó: sin x.
√
cos x dx = −2t.t. dt = −2t2
dt.
⇒ I = −2t2
dt =
−2t3
3
+ C =
−2
√
cos3 x
3
+ C.
Câu 3. Tìm nguyên hàm I =
dx
√
x2 + a
, (a = 0).
A. I = ln
√
x2 + a + C. B. I = ln x +
√
x2 + a + C.
30
lovestem
.edu.vn

2. C. I = ln |x + a| + C. D. I = ln x −
√
x2 + a + C.
B
Lời giải. Đặt t = x +
√
x2 + a.
Lấy vi phân 2 vế được: dt = 1 +
x
√
x2 + a
dx =
(x +
√
x2 + a)
√
x2 + a
dx =
t dx
√
x2 + a
.
⇒
dt
t
=
dx
√
x2 + a
.
Vậy I =
dx
√
x2 + a
=
dt
t
= ln |t| + C = ln x +
√
x2 + a + C.
Câu 4. Tính tích phân I =
π
2
0
sin x. cos3
x dx.
A.
1
4
. B. 3. C. −
1
4
. D. −2.
A
Lời giải. Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x dx.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x =
π
2
⇒ t = 0
Ta có: sin x. cos3
x dx = −t3
dt.
⇒ I =
0
1
−t3
dt =
1
0
t3
dt =
t4
4
1
0
=
1
4
.
Câu 5. Tính tích phân I =
1
0
x2
e3x3
dx.
A.
1
9
(e3
− 1). B. −
1
9
(e3
− 1). C. e3
− 1. D.
1
3
(e3
− 1).
Lời giải. Chọn đáp án A
Đặt t = 3x3
⇒ dt = 9x2
dx.
Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 3.
Vậy I =
1
9
3
0
et
dt =
1
9
et
3
0
=
1
9
(e3
− 1). A
Câu 6. Giá trị nào sau đây gần nhất với giá trị của tích phân I =
√
6
1
x
√
3 + x2 dx?
A. 9. B. 8. C. 7. D. 6.
Lời giải. Chọn đáp án D
Đặt t =
√
3 + x2 (t ≥ 0) ⇒ t2
= 3 + x2
⇒ t dt = x dx.
Đổi cận x = 1 ⇒ t = 2; x =
√
6 ⇒ t = 3.
I =
3
2
t2
dt =
1
3
t3
3
2
=
19
3
. D
Câu 7. Biết I =
a
1
ln x
x
dx =
1
2
. Tìm a.
A. e2
. B. e. C. 2. D.
1
2
e.
31
lovestem
.edu.vn

3. Lời giải. Chọn đáp án B
Đặt ln x = t ⇒ dt =
dx
x
.
Đổi cận x = 1 ⇒ t = 0; x = a ⇒ t = ln a.
I =
ln a
0
t dt =
t2
2
ln a
0
=
ln2
a
2
.
Mặt khác I =
1
2
nên ln2
a = 1 ⇒ a = e. B
3.1.2 Một số dạng đổi biến bằng phương pháp lượng giác hóa
Phương pháp chung:
Bước 1: Đặt x = v(t), trong đó v(t) là hàm mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: Lấy vi phân 2 vế: dx = v (t) dt.
Bước 3: Biến đổi f(x) dx = g(t) dt.
Bước 4: Khi đó I = f(x) dx = g(t) dt = G(t) + C.
Chú ý: Đối với tích phân, ta cần đổi cận ở sau bước 2.
Chú ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ hay gặp:
Dấu hiệu Cách đặt
√
a2 − x2


x = |a| sin t, t ∈
−π
2
;
π
2
x = |a| cos t, t ∈ [0; π]
√
x2 − a2



x =
|a|
sin t
, t ∈
−π
2
;
π
2
x =
|a|
cos t
, t ∈ [0; π]
π
2
√
a2 + x2


x = |a| tan t, t ∈
−π
2
;
π
2
x = |a| cot t, t ∈ (0; π).
a + x
a − x
hoặc
a − x
a + x
x = a cos 2t
Câu 8. Tìm nguyên hàm I =
dx
(
√
1 − x2)3
.
A. I =
1
√
1 − x2
+ C. B. I =
√
1 − x2
x
+ C. C. I =
x
√
1 − x2
+ C. D. I =
√
1 − x2 + C.
C
32
lovestem
.edu.vn

4. Lời giải. Đặt x = sin t, t ∈
π
2
;
π
2
.
⇒ dx = cos t dt.
⇒
dx
(
√
1 − x2)3
=
cos t dt
( 1 − sin2
t)3
=
dt
cos2 t
= d(tan t).
⇒ I = d(tan t) = tan t + C =
x
√
1 − x2
+ C.
Câu 9. Tìm nguyên hàm I =
dx
(
√
4 + x2)3
.
A. I =
4x
√
4 + x2
+ C. B. I =
2x
√
4 + x2
+ C. C. I =
x
2
√
4 + x2
+ C. D. I =
x
4
√
4 + x2
+ C.
D
Lời giải. Đặt x = 2 tan t, −
π
2
< t <
π
2
⇒ dx =
2 dt
cos2 t
.
⇒
dx
(
√
4 + x2)3
=
1
( 4(1 + tan2
t))3
.
2 dt
cos2 t
=
cos t dt
4
.
⇒ I =
cos t dt
4
=
sin t
4
+ C =
x
4
√
4 + x2
+ C. cos t =
2
√
4 + x2
; sin t =
x
√
4 + x2
.
Câu 10. Tính tích phân I =
1
1√
3
dx
x2
√
1 + x2
.
A. 2 +
√
2. B.
1
2
−
√
2. C.
1
2
+
√
2. D. 2 −
√
2.
D
Lời giải. Đặt x = tan t −
π
2
< t <
π
2
⇒ dx =
dt
cos2 t
.
Đổi cận: x =
1
√
3
⇒ t =
π
6
; x = 1 ⇒ t =
π
4
⇒
1
1√
3
dx
x2
√
1 + x2
=
π
4
π
6
dt
tan2
t
√
1 + tan2
t cos2 t
=
π
4
π
6
cos t
sin2
t
dt =
π
4
π
6
d(sin t)
sin2
t
= −
1
sin t
π
4
π
6
= 2 −
√
2.
3.1.3 Một số sai lầm thường gặp
Học sinh hay thiếu sót và lãng quên bước thứ 2: "Lấy vi phân 2 vế: dx = v (t) dt".
3.2 BÀI TẬP
3.2.1 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Cho tích phân I =
1
0
x(1 + 2x)5
dx. Đặt t = 1 + 2x, khi đó giá trị của t nằm trong
đoạn nào trong các đoạn sau?
A. (1; 3). B. [1; 3]. C. [0; 1]. D. [0; 3].
33
lovestem
.edu.vn

5. Câu 2. Giá trị của t =
√
2 + x2 với tích phân I =
1
0
x
√
x2 + 2 dx nằm trong đoạn nào trong
các đoạn sau?
A. [0;
√
3]. B. [0; 1]. C. [
√
2;
√
3]. D. [1;
√
2].
Câu 3. Tìm miền giá trị của t = sin x với tích phân I =
π
2
0
sin5
x cos x dx.
A. [0;
π
2
]. B. [0; 1]. C. [1;
π
2
]. D. [0;
1
2
].
Câu 4. Tìm miền giá trị của t =
√
1 + ln x với tích phân I =
e
1
√
1 + ln x
x
dx.
A. [1; e]. B. [0; 1]. C. [1;
√
2]. D. [0; e].
Câu 5. Tìm nguyên hàm I = 2x(5 + x2
) dx bằng phương pháp đổi biến t = 5 + x2
?
A. t dt. B.
t
2
dt. C. (t − 5) dt. D. 2t dt.
Câu 6. Tìm nguyên hàm của f(x) = (1 − 2x)5
bằng phương pháp đổi biến t = 1 − 2x ?
A. t5
dt. B. −
t5
2
dt. C. (1 − 2t)5
dt. D. (1 − 2t) dt.
Câu 7. Tìm nguyên hàm của I = x
√
1 + x2 dx bằng phương pháp đổi biến số t =
√
1 + x2?
A. t dt. B.
t2
2
dt. C. t2
dt. D.
t
2
dt.
Câu 8. Đổi biến x = 2 sin t, I =
dx
√
4 − x2
trở thành:
A. dt. B. t dt. C.
dt
t
. D. 2t dt.
Câu 9. Cho I = x(x − 1)5
dx và phép đổi biến số u = x − 1. Khẳng định nào sau đây là
đúng?
A. I = u(u − 1)5
du. B. I = u5
(u + 1) du.
C. I = u5
du. D. I =
u5
u − 1
du.
Câu 10. Khi biến đổi I = ex
(2 − ex
)5
dx bằng phương pháp đổi biến số t = 2 − ex
ta được:
A. I = (2 − t)t5
dt. B. I = t5
dt. C. I = − t5
dt. D. I = (2 − t)5
dt.
Câu 11. Để tính nguyên hàm I =
dx
√
x2 − 1
bằng phương pháp đổi biến số, ta đổi biến:
A. x = sin t. B. x =
1
sin t
. C. x = tan t. D. x =
1
tan t
.
Câu 12. Tìm nguyên hàm I =
x2
dx
(3x + 1)3
bằng phương pháp đổi biến số. Mệnh đề nào sau
đây SAI?
A. dt = 3 dx. B. I =
(t − 1)2
9t3
dt. C. x =
t − 1
3
. D. x2
=
(t − 1)2
9
.
34
lovestem
.edu.vn

6. Câu 13. Cho I = f(x) dx, với f(x) = sin3
x. Khi t = cos x thì f(x) dx =?
A. (1 − t2
) dt. B. t2
dt. C. sin3
t dt. D. (t2
− 1) dt.
Câu 14. Cho I = f(x) dx, với f(x) =
√
1 − x2. Bằng phương pháp đổi biến x = sin t thì
I =?
A. sin2
t dt. B. cos2
t dt. C. sin t dt. D. cos t dt.
Câu 15. Để tính
eln x
x
dx theo phương pháp đổi biến số, ta đặt:
A. t = eln x
. B. t = ln x. C. t = x. D. t =
1
x
.
Câu 16. Tìm nguyên hàm I =
e2x
√
ex − 1
dx bằng phương pháp đổi biến số u =
√
ex − 1.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. I = (u2
+ 1) du. B. I =
2(u + 1)
u
du.
C. I =
u + 1
u
du. D. I = 2(u2
+ 1) du.
Câu 17. Cho I = f(x) dx, với f(x) = (sin x + 1)3
cos x. Đặt t = sin x + 1, khi đó I =?
A. t3
dt. B. t3
(t2
− 1) dt. C. 3t dt. D. t3
(1 − t) dt.
Câu 18. Cho I =
√
1 + 3 ln x
x
dx, đặt t =
√
1 + 3 ln x. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. I =
2
3
t dt. B. I =
2
3
t2
dt. C. I =
1
3
t dt. D. I =
1
3
t2
dt.
Câu 19. Cho I = sin x
√
8 + cos x dx. Đặt u = 8+cos x thì khẳng định nào sau đây là đúng?
A. I = 2
√
u du. B. I =
1
2
√
u du. C. I =
√
u du. D. I = −
√
u du.
Câu 20. Nếu đặt t = t(x) thì ta có cách biểu diễn dt theo dx là:
A. dt = t (x) dx. B. dt = −t (x) dx . C.
dt
dx
= t(x) dx. D.
dt
dx
= t (x) dx.
Câu 21. Nếu đặt t = xα
thì ta có dt = f(α) dα. Hàm f(α) là:
A.
xα
ln x
. B. αxα−1
. C. xα
.ln x. D.
xα+1
α + 1
.
Câu 22. Cho tích phân I =
1
0
1
1 + x2
dx. Bằng phương pháp đổi biến x = tan t, ta được tích
phân mới là:
A. I =
π
4
0
1 dt. B. I =
1
0
1
(1 + tan2
t) cos2 t
dt .
C. I =
1
0
1
(1 + t2) cos2 t
dt. D. I =
π
4
0
1
(1 + tan2
t)
dt.
35
lovestem
.edu.vn

7. Câu 23. Cho tích phân I =
π
2
0
sin3
x cos x dx. Bằng phương pháp đổi biến sin x = t, ta được
tích phân mới là:
A. I = −
1
0
t3
dt. B. I =
π
2
0
t3
dt. C. I = −
π
2
0
t3
dt. D. I =
1
0
t3
dt.
Câu 24. Cho tích phân I =
1
0
x
(1 + x2)3
dx. Bằng phương pháp đổi biến 1 + x2
= t, ta được
tích phân mới là:
A. I =
1
2
1
0
1
t3
dt. B. I =
1
0
1
t3
dt. C. I =
1
2
2
1
1
t3
dt. D. I =
2
1
1
t3
dt.
Câu 25. Cho tích phân I =
1
0
√
1 − x2 dx. Bằng phương pháp đổi biến x = sin t, ta được tích
phân mới là:
A. I =
1
0
cos2
t dt. B. I = −
1
0
cos2
t dt. C. I = −
π
2
0
cos2
t dt. D. I =
π
2
0
cos2
t dt.
Câu 26. Cho tích phân I =
1
0
(3x − 5)10
(x + 2)12
dx. Bằng phương pháp đổi biến
3x − 5
x + 2
= t, ta được
tích phân mới là:
A. I =
1
2
1
0
(3x − 5)10
(x + 2)12
dt. B. I =
1
11
1
0
t10
dt.
C. I =
1
11
−2
3
−5
2
t10
dt. D. I =
−2
3
−5
2
t10
dt.
Câu 27. Tính tích phân I =
1
0
(1 + 3x)5
dx bằng phương pháp đổi biến số t = 1 + 3x. Khẳng
định nào sau đây là đúng?
A. I =
4
1
1
3
t5
dt. B. I =
1
0
1
3
t5
dt . C. I =
1
0
t5
dt. D. I =
4
1
t5
dt.
Câu 28. Tính tích phân I =
1
0
x
√
1 + x2 dx bằng phương pháp đổi biến số t =
√
1 + x2.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. I =
√
2
1
t2
dt. B. I =
1
0
t2
dt. C. I =
1
0
t
√
1 + t2 dt. D. I =
√
2
1
2t2
dt.
Câu 29. Cho tích phân I =
1
0
e2x
dx. Đặt t = 2x ta được giá trị của I bằng:
36
lovestem
.edu.vn

8. A. I =
1
0
e2t
dt. B. I =
2
0
1
2
et
dt. C. I =
2
0
e2t
dt. D. I =
1
0
1
2
et
dt.
3.2.2 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 30. Tìm I =
x
√
x2 + 2
dx?
A. I =
1
√
x2 + 2
+ C. B. I = −
1
√
x2 + 2
+ C.
C. I = −
√
x2 + 2 + C. D. I =
√
x2 + 2 + C.
Câu 31. Tìm họ nguyên hàm F(x) =
x3
x4 − 1
dx?
A. F(x) = ln |x4
− 1| + C. B. F(x) =
1
4
ln |x4
− 1| + C.
C. F(x) =
1
2
ln |x4
− 1| + C. D. F(x) =
1
3
ln |x4
− 1| + C.
Câu 32. Tìm I = x 3
√
1 − x dx?
A. I =
3t4
4
−
3t7
7
+ C. B. I =
t2
2
−
t5
5
+ C. C. I = t3
−
t6
2
+ C. D. I =
3t4
4
+ C.
Câu 33. Tìm I =
ex
√
1 + ex
dx?
A. I = 2
√
1 + ex + C. B. I =
√
1 + ex
2
+ C.
C. I = −
1
2 (1 + ex)3
+ C. D. I =
1
2 (1 + ex)3
+ C.
Câu 34. Tính nguyên hàm I =
dx
x ln x
?
A. I = ln x + C. B. I = ln |x| + C. C. I = ln(ln x) + C. D. I = ln | ln x| + C.
Câu 35. I = f(x) dx Với f(x) = xex2+1
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. I = ex2+1
+ C. B. I =
1
2
ex2
+ C. C. I =
1
2
ex2+1
+ C. D. 2ex2+1
+ C.
Câu 36. Tìm I = sin 2x cos2
x dx?
A. I = −
cos4
x
2
+ C. B. I = −
sin4
x
2
+ C. C. I =
cos4
x
2
+ C. D. I =
sin4
x
2
+ C.
Câu 37. Cho f(x) dx = F(x) + C. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. f(ax + b) dx =
1
2a
F(ax + b) + C. B. f(ax + b) dx =
1
a
F(ax + b) + C.
C. f(ax + b) dx = aF(ax + b) + C. D. f(ax + b) dx = F(ax + b) + C.
Câu 38. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
√
2x − 1?
A. f(x) dx =
2
3
(2x − 1)
√
2x − 1 + C. B. f(x) dx =
1
3
(2x − 1)
√
2x − 1 + C.
C. f(x) dx = −3
√
2x − 1 + C. D. f(x) dx =
1
2
√
2x − 1 + C.
37
lovestem
.edu.vn

9. Câu 39. F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = sin4
x cos x, F(x) là hàm số nào sau đây?
A. F(x) =
cos5
x
5
+ C. B. F(x) =
cos4
x
4
+ C. C. F(x) =
sin4
x
4
+ C. D. F(x) =
sin5
x
5
+ C.
Câu 40. Cho I =
dx
x2 + 3
. Bằng phương pháp đổi biến số x =
√
3 tan t, hãy tìm I?
A. I =
√
3t + C. B. I =
√
3
3
ln |t| + C. C. I =
√
3
3
t2
2
+ C. D. I =
√
3
3
t + C.
Câu 41. Tìm I =
ln2
x
x
dx?
A. I = 2 ln x + C. B. I = ln3
x + C. C. I = ln x + C. D. I =
ln3
x
3
+ C.
Câu 42. I =
√
x2 − 1
x3
dx = f(t) dt, f(t) =?
A. f(t) = − cos2
t. B. f(t) = − sin2
t.
C. f(t) = cos2
t − 1. D. f(t) =
1
2
(1 − cos 2t).
Câu 43. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =
1
x2
cos
2
x
?
A.
1
x2
cos
2
x
dx =
−1
2
sin
2
x
+ C. B.
1
x2
cos
2
x
dx =
1
2
sin
2
x
+ C.
C.
1
x2
cos
2
x
dx =
−1
2
cos
2
x
+ C. D.
1
x2
cos
2
x
dx =
1
2
cos
2
x
+ C.
Câu 44. Tìm I =
1
√
a2 − x2
dx?
A. I = arccos(
x
a
) + C. B. I = arcsin(−
x
a
) + C .
C. I = − arccos(
x
a
) + C. D. I = arcsin(
x
a
) + C.
Câu 45. Tính tích phân I =
b
a
1
1 + x2
dx?
A. arctan b + arctan a. B. tan b − tan a. C. arctan b − arctan a. D. tan b + tan a.
Câu 46. Tính tích phân I =
b
a
3x2
(1 + x3)4
dx?
A.
1
(1 + b3)4
−
1
(1 + a3)4
. B.
4
(1 + a3)5
−
4
(1 + b3)5
.
C.
4
(1 + b3)5
−
4
(1 + a3)5
. D.
1
3(1 + a3)3
−
1
3(1 + b3)3
.
Câu 47. Cho tích phân I =
π
2
0
cos x
9 − sin2
x
dx = a ln b. Giá trị của ab là?
A. −
1
3
. B.
1
12
. C. 3. D. −
1
12
.
Câu 48. Cho tích phân I =
arccos a
0
4 sin3
x
1 + cos x
dx. Giá trị của I là?
A. 2a2
− 4a. B. 4a − 2a2
.
C. −4 arccos a + 2 arccos2
a. D. 4 arccos a − 2 arccos2
a.
38
lovestem
.edu.vn

10. Câu 49. Cho tích phân I =
a
1
ln2
x
x
dx =
1
3
. Giá trị của a là?
A. e. B. 1. C.
e
2
. D. e2
.
Câu 50. Cho tích phân I =
a
0
x.ex2+1
dx =
1
2
e2
− e. Giá trị của a là?
A. 2. B. 1. C. e. D. e2
.
Câu 51. (Đề thi minh họa THPTQG 2017). Tính tích phân I =
π
0
cos3
x. sin x dx.
A. −
π4
4
. B. −π4
. C. 5. D. 0.
Câu 52. Cho tích phân I =
π
4
a
tan x dx = ln
2
3
. Giá trị của a là?
A. 0. B. −
π
4
. C.
π
6
. D.
π
3
.
Câu 53. Tính tích phân I =
2
0
x(1 + x)5
dx bằng phương pháp đổi biến số t = 1 + 2x, khi đó
I =?
A. I =
2
0
t(1 + t)5
dt. B. I =
3
1
(t − 1)t5
dt. C. I =
3
0
(t − 1)t5
dt. D. I =
3
1
(t + 1)t5
dt.
Câu 54. Tích phân I =
1
0
x2
√
1 − x2 dx nhờ đổi biến x = sin t trở thành:
A.
π
2
0
sin2
t cos2
t dt. B.
π
2
0
sin2
t cos2
t dt. C.
1
0
sin2
t cos2
t dt. D.
π
2
0
sin t cos t dt.
Câu 55. Khi tính tích phân I =
π
2
0
cos x
1 + sin2
x
dx bằng phương pháp đổi biến số t = tan x ta
được:
A. I =
π
4
0
dt. B. I =
π
4
0
dt. C. I =
π
4
0
2 dt. D. I = 0.
Câu 56. Đặt t = cos 4x thì tích phân I =
π
12
0
tan 4x dx trở thành:
A. I =
1
1
2
−
1
4t
dt. B. I =
1
√
3
2
1
4t
dt. C. I =
1
1
2
1
4t
dt. D. I =
1
√
3
2
−
1
4t
dt.
Câu 57. Bằng phương pháp đổi biến số t =
√
x2 + 9 tích phân I =
4
√
7
dx
x
√
x2 + 9
bằng với giá
trị tích phân nào sau đây?
39
lovestem
.edu.vn

11. A. I =
4
√
7
dt
t2 − 9
. B. I =
4
√
7
dt
t2 − 9
. C. I =
5
4
dt
t2 − 9
. D. I =
5
4
dt
t2 − 9
.
Câu 58. Tính tích phân I =
π
6
0
tan x dx.
A. ln
2
√
3
3
. B. − ln
2
√
3
3
. C. − ln
√
3
2
. D. ln
1
2
.
Câu 59. Bằng phương pháp đổi biến số t = π − x tích phân I =
π
0
sin 4x
1 + sin x
dx bằng với giá
trị tích phân nào sau đây?
A. I = −
π
0
sin 4t
1 + sin t
dt. B. I =
π
0
sin 4t
1 + sin t
dx.
C. I = −
π
0
sin 4x
1 + sin x
dt. D. I = −
π
0
sin 4t
1 + sin t
dx.
3.2.3 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 60. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 +
1
x2
ex− 1
x .
A. ex
+ C. B. e1+ 1
x2
+ C. C. ex+ 1
x + C. D. ex− 1
x + C.
Câu 61. Tính nguyên hàm I =
dx
x ln x
?
A. ln x + C. B. ln |x| + C. C. ln(ln x) + C. D. ln | ln x| + C.
Câu 62. Tìm nguyên hàm I =
sin2
x
sin 3x
dx?
A. 4 tan arccos
4
x
+ 4 arccos
4
x
− C. B. 4 tan arccos
4
x
− 4 arccos
4
x
− C.
C. 4 arccos
4
x
− 4 tan arccos
4
x
+ C. D. −4 tan arccos
4
x
− 4 arccos
4
x
+ C.
Câu 63. Tìm nguyên hàm I =
√
x2 − 16
x
dx?
A. 2
√
x sin
√
x + 2 cos
√
x + C. B.
√
x sin
√
x + 2 cos
√
x + C.
C. 2
√
x sin
√
x + cos
√
x + C. D.
√
x sin
√
x + cos
√
x + C.
Câu 64. Tìm nguyên hàm I =
x dx
(3x2 − 5)
√
2 − x2
?
A. I =
1
√
3
ln
1 +
√
6 − 3x2
1 −
√
6 − 3x2
+ C. B. I = −
1
√
3
ln
1 +
√
6 − 3x2
1 −
√
6 − 3x2
+ C.
C. I = −
1
√
3
ln
1 +
√
6 − 3x2
1 −
√
6 − 3x2
+ C. D. I =
1
√
3
ln
1 +
√
6 − 3x2
1 −
√
6 − 3x2
+ C.
Câu 65. Tìm nguyên hàm
ln(sin x)
cos2 x
dx?
A. tan x ln(sin x) − x. B. tan x ln(sin x) − x + C.
C. tan x ln(sin x) + C. D. tan 2x ln(sin x) − x + C.
Câu 66. Tìm họ nguyên hàm F(x) =
x3
x4 − 1
dx?
40
lovestem
.edu.vn

12. A. ln |x4
− 1| + C. B.
1
4
ln |x4
− 1| + C. C.
1
2
ln |x4
− 1| + C. D.
1
3
ln |x4
− 1| + C.
Câu 67. Tính nguyên hàm:
(3x − 5)10
(x + 2)12
dx
A.
10
11
3x − 5
x + 2
9
+ C. B.
3x − 5
x + 2
11
+ C.
C.
1
121
3x − 5
x + 2
11
+ C. D.
3x − 5
x + 2
9
+ C.
Lời giải. Chọn đáp án C
Đặt
3x − 5
x + 2
= t ⇒ dt =
11
(x + 2)2
dx Ta có:
(3x − 5)10
(x + 2)12
dx =
t10
11
dt =
t11
121
+ C
=
1
121
3x − 5
x + 2
11
+ C
Câu 68. Tìm nguyên hàm
sin2
x
sin 3x
dx?
A.
1
4
ln
2 cos x + 1
2 cos x − 1
+ C. B.
1
4
ln
2 cos x − 1
2 cos x + 1
+ C.
C.
1
4
ln
2 cos x + 1
2 cos x − 1
+ C. D.
1
4
ln
2 cos x − 1
2 cos x + 1
+ C.
Câu 69. Giả sử a, b là hai số nguyên thỏa mãn
5
1
dx
x
√
3x + 1
= a ln 3 + b ln 5. Tính giá trị của
a2
+ ab + 3b2
A. 4. B. 1. C. 0. D. 5.
Câu 70. Cho
a
0
sin x
sin x + cos x
dx =
π
4
. Giá trị của a là:
A.
π
3
. B.
π
4
. C.
π
2
. D.
π
6
.
Câu 71. Cho f(x) là hàm số chẵn và
0
−3
f(x) dx = a. Tính I =
3
0
f(x) dx.
A. I = −a. B. I = 2a. C. I = 0. D. I = a.
Câu 72. Tính tích phân I =
π
2
0
(1 − cos x)n
sin x dx.
A.
1
n + 1
. B.
1
n − 1
. C.
1
2n
. D.
1
n
.
Câu 73. Cho f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên R. Khi đó giá trị của I =
1
−1
f(x) dx thỏa mãn
A. I > 0. B. I = 0. C. I = 0. D. I < 0.
Câu 74. Giả sử a, b là hai số thực thỏa mãn
2a
a
√
2
√
x2 − a2
x2
dx = a −
1
2
ln b. Tính giá trị của
b2
− 4a
A. 7 + 8
√
3. B. −7. C. −7 + 8
√
3. D. 7.
41
lovestem
.edu.vn

13. Câu 75. Cho tích phân I =
0
a
ln
√
1 − x
(1 − x)
√
1 − x
dx = 1 − ln 2. Giá trị của a là?
A. −3. B. −1. C. −
3
2
. D. −2.
Câu 76. Cho tích phân I =
a
0
ex
(1 + x)
1 + xex
dx = ln(e + 1). Giá trị của a là?
A. 1. B. 2. C.
e
2
. D. e.
Câu 77. Tính tích phân: I =
3
2
dx
(x − 1)
√
x2 − 2x + 2
A. (−∞, 0] ∪ [1, +∞). B. (−∞, 0]. C. [1, +∞). D. [0; 1].
Lời giải. Chọn đáp án D
Đặt x − 1 =
1
t
⇒ x =
t + 1
t
;



x = 2 ⇒ t = 1
x = 3 ⇒ t =
1
2
dx =
− dt
t2
.
Khi đó:
I =
3
2
dx
(x − 1)
√
x2 − 2x + 2
=
1
2
1
− dt
t2
1
t
t + 1
t
2
− 2
t + 1
t
+ 2
=
1
1
2
dt
√
t2 + 1
= ln t +
√
t2 + 1
1
1/2
ln 1 +
√
2 − ln
1 +
√
5
2
= ln
2 + 2
√
2
1 +
√
5
Câu 78. Cho tích phân sau: I =
π
0
2x sin x
cos 2x − 17
dx. Giá trị của I thuộc khoảng nào sau đây?
A. 0;
1
2
. B. (
3
2
; 2). C.
1
2
;
3
2
. D. (−1; 0).
Lời giải. Chọn đáp án D
Đặt t = π − x ⇒ dt = − dx
Đổi cận ta có:
x = 0 ⇒ t = π
x = π ⇒ t = 0
I =
0
π
−
2(π − t). sin(π − t)
cos 2(π − t) − 17
dt =
π
0
2(π − t). sin t
cos 2t − 17
dt =
π
0
(π − t). sin t
cos2 t − 9
dt
=
π
0
π. sin t
cos2 t − 9
dt −
π
0
t. sin t
cos2 t − 9
dt =
π
0
π. sin x
cos2 x − 9
dx −
π
0
x. sin x
cos2 x − 9
dx
=
π
0
π. sin x
cos2 x − 9
dx − I
⇒ I =
1
2
π
0
π. sin x
cos2 x − 9
dx =
1
2
π
0
−π.d(cos x)
cos2 x − 9
42
lovestem
.edu.vn

14. =
1
2
.
−π
6
π
0
(cos x + 3) − (cos x − 3)
(cos x − 3).(cos x + 3)
. d(cos x) =
−π
12
ln
cos x − 3
cos x + 3
π
0
=
−π
12
. ln 4
Câu 79. Cho tích phân : I =
π
2
−π
2
x + cos x
4 − sin2
x
dx. Giá trị của I thuộc đoạn nào sau đây?
A. (−∞, 0] ∪ [1, +∞). B. (−∞, 0]. C. [1, +∞). D. [0; 1].
Lời giải. Chọn đáp án D
Ta có:
I =
π
2
−π
2
x + cos x
4 − sin2
x
dx =
π
2
−π
2
x
4 − sin2
x
dx +
π
2
−π
2
cos x
4 − sin2
x
dx
Do f1(x) =
x
4 − sin2
x
là hàm số lẻ trên
−π
2
;
π
2
nên
π
2
−π
2
x
4 − sin2
x
dx = 0
và f2(x) =
cos x
4 − sin2
x
là hàm số chẵn trên
−π
2
;
π
2
nên ta có:
π
2
−π
2
cos x
4 − sin2
x
dx = 2
π
2
0
cos x
4 − sin2
x
dx
Đặt sin x = t ⇒ dt = cos x dx
Đổi cận ta có:
x = 0 ⇒ t = 0
x =
π
2
⇒ t = 1
= 2
1
0
dt
4 − t2
= 2
1
0
(2 + t) + (2 − t)
4(2 − t)(2 + t)
dt =
1
2
ln
2 + t
2 − t
1
0
=
1
2
ln 3
Vậy I =
π
2
−π
2
x + cos x
4 − sin2
x
dx =
1
2
ln(3)
43
lovestem
.edu.vn