Tài liệu hướng dẫn cách vẽ bảng biến thiên của hàm số, bao gồm các bước tìm tập xác định, tính đạo hàm, và các giới hạn cần thiết. Nó cũng cung cấp nhiều ví dụ và bài tập liên quan đến bảng biến thiên và các tính chất của hàm số. Nội dung bao gồm việc xác định cực trị, nghiệm của phương trình, và các khái niệm liên quan đến các điều kiện cần thiết để hàm số có các tính chất nhất định.

1. 2 BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
2.1 LÝ THUYẾT
2.1.1 Các bước vẽ bảng biến thiên của hàm số: y = f(x)
• Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x), tính f (x).
• Bước 2: Tìm tập xác định D của hàm số y = f (x), sau đó giải:



f’(x)=0
f’(x)>0
f’(x)<0
• Bước 3: Tính các giới hạn cần thiết (thông thường là giới hạn tại vô cùng và giới hạn
tại các điểm hàm số không xác định).
• Bước 4: Tiến hành vẽ bảng biến thiên.
2.1.2 Một số ví dụ
Câu 1. Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào ?
x
f (x)
f(x)
−∞ 0 +∞
− 0 +
+∞+∞
−1−1
+∞+∞
A. y = x4
− 3x2
+ 1. B. y = −x4
+ 3x2
+ 1. C. y = x4
+ 3x2
− 1. D. y = −x4
− 3x2
+ 1.
Lời giải. Chọn đáp án C
• Cách 1: Vẽ 4 bảng biến thiên của 4 hàm số trong đáp án, từ đó ta chọn được đáp án C.
• Cách 2: Từ bảng biến thiên ta thấy lim
x→+∞
y = +∞ do đó hệ số của x4
phải dương.
Từ đó loại được đáp án D;B.
Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy hàm số có duy nhất 1 cực trị, nên y (x) chỉ đổi
dấu 1 lần. Từ đó loại được đáp án A do (x4
− 3x2
+ 1) = 4x3
− 6x = 2x(2x2
− 3).
Câu 2. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm tất cả
các giá trị thực của m để phương trình f(x) = 2m có đúng hai nghiệm phân biệt.
x
f (x)
f(x)
−∞ −1 0 1 +∞
− 0 + 0 − 0 +
−∞−∞
00
−3−3
00
−∞−∞
7
lovestem
.edu.vn

2. A. m ≤
−3
2
. B.
m = 0
m < −
3
2
. C.
m = 0
m ≥
−3
2
. D. Đáp án khác.
Lời giải. Chọn đáp án B
Nhìn vào bảng biến thiên của hàm số, ta thấy:
Phương trình f(x) − 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔
2m = 0
2m < −3
⇔



m = 0
m < −
3
2
Câu 3. Cho bảng biến thiên của hàm số y = g(x)
x
g (x)
g(x)
−∞ 0 2 +∞
− 0 + 0 −
+∞+∞
−1−1
33
−∞−∞
Hỏi hàm số y = g(x) có bao nhiêu cực tiểu, bao nhiêu cực đại ?
A. 1 cực tiểu, 1 cực đại. B. 2 cực tiểu.
C. 2 cực đại. D. Hàm số không có cực trị.
Lời giải. Chọn đáp án A
Từ bảng biến thiên ta có



max
(−1;1)
g(x) = −1 = g(0)
min
(1;3)
g(x) = 3 = g(2)
⇒ Hàm số có một cực tiểu tại x = 0 và một cực đại tại x = 2
2.2 BÀI TẬP
2.2.1 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 1. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào ?
x
f (x)
f(x)
−∞ 1 +∞
+ 0 +
−∞−∞
+∞+∞
A. y =
1
3
x3
− x2
+ x. B. y = x3
− 3x.
C. y = −x3
+ 3x. D. y = −
1
3
x3
+ x2
− x.
Câu 2. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào ?
8
lovestem
.edu.vn

3. x
f (x)
f(x)
−∞ 0 2 +∞
− 0 + 0 −
+∞+∞
−1−1
33
−∞−∞
A. y = −x3
+ 3x2
− 1. B. y = x3
− 3x2
− 1. C. y = x3
+ 3x2
+ 1. D. y = −x3
− 3x2
+ 1.
Câu 3. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào ?
x
f (x)
f(x)
−∞ −1 0 1 +∞
− 0 + 0 − 0 +
+∞+∞
−4−4
−3−3
−4−4
+∞+∞
A. y = x4
− 3x2
− 3. B. y = x4
+ 3x2
− 3. C. y = −x4
+ 2x2
+ 3. D. y = x4
− 2x2
− 3.
Câu 4. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào ?
x
f (x)
f(x)
−∞ −1 +∞
+ +
22
+∞
−∞
22
A. y =
2x + 1
x + 1
. B. y =
x − 1
2x + 1
. C. y =
2x + 1
x − 1
. D. y =
x + 2
x + 1
.
Câu 5. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào ?
x
f (x)
f(x)
−∞ 0 +∞
+ ln 2 +
00
+∞+∞
A. y = log2 x. B. y = log3 x. C. y = 2x
. D. y = 3x
.
Câu 6. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào ?
x
f (x)
f(x)
0 1 +∞
+ 1 +
−∞−∞
+∞+∞
9
lovestem
.edu.vn

4. A. y =
1
ex
. B. y = ex
. C. y = ln x. D. y = ln |x|.
2.2.2 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 7. Nhìn vào bảng biến thiên của hàm số, hãy cho biết đồ thị hàm số sau có mấy tiệm cận
?
x
f (x)
f(x)
−∞ 3 +∞
+ +
22
+∞
−∞
22
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 8. Cho bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như dưới đây:
x
f (x)
f(x)
−∞ −1 0 1 +∞
− 0 + 0 − 0 +
+∞+∞
−4−4
−3−3
−4−4
+∞+∞
Hỏi đồ thị của hàm số y = f(x) có bao nhiêu cực đại ?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 9. Cho bảng biến thiên của hàm số y = f(x):
x
f (x)
f(x)
−∞ 0 1 +∞
− + 0 −
+5+5
−∞ −∞
22
−∞−∞
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên tập xác định.
A. 5. B. 4.
C. 2. D. Không có giá trị lớn nhất.
Câu 10. Cho bảng biến thiên của hàm số y = f(x):
x
f (x)
f(x)
−∞ −1 0 1 +∞
+ 0 − 0 + 0 −
−∞−∞
44
33
44
−∞−∞
10
lovestem
.edu.vn

5. Hỏi với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng y = m tại ba điểm phân
biệt ?
A. m = 3. B. m = 4. C. 3 ≤ m ≤ 4. D. m > 4.
Câu 11. Cho bảng biến thiên của hàm số y = f(x):
x
f (x)
f(x)
−∞ 0 1 +∞
− + 0 −
+∞+∞
−1 −∞
22
−∞−∞
Hỏi với giá trị nào của m thì phương trình f(x) = m có hai nghiệm phân biệt ?
A. m = 2. B. m = −1. C. −1 ≤ m ≤ 2. D. −1 < m < 2.
2.2.3 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 12. Từ bảng biến thiên sau hãy chỉ ra số cực trị của hàm số.
x
f (x)
f(x)
−2 0 1 +∞
+ − +
−3−3
22
−∞ −∞
+∞+∞
A. 0. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 13. Tìm m để hàm số y = 2x3
+ 3mx2
− 2m + 3 đồng biến trên khoảng (1; 2).
A. m ≤ 2. B. m < 2. C. m > 2. D. m ≥ 2..
Câu 14. Tìm m để hàm số y =
m sin x + 1
sin x + m
nghịch biến trên khoảng (0;
π
2
).
A. −1 ≤ m ≤ 1. B. −1 < m < 1. C. m > 1. D. m < 1.
Câu 15. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên tập D = R{1} và có bảng biến thiên:
x
f (x)
f(x)
−∞ −1 3 +∞
− − 0 +
+∞+∞
−∞
+∞
−2−2
+∞+∞
Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai ?
A. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 2018] là -2.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −2.
C. Hàm số không có tiệm cận ngang.
D. Hàm số có duy nhất một tiệm cận đứng.
Câu 16. Tìm m để phương trình |x4
− 5x2
+ 4| = log2 m có 8 nghiệm phân biệt ?
A. 0 < m <
4
√
29. B. Đáp án khác. C. 1 < m <
4
√
29. D. −
4
√
29 < m <
4
√
29.
11
lovestem
.edu.vn

6. 2.2.4 CÂU HỎI Ở MỨC ĐỘ NÂNG CAO
Câu 17. Hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề
nào dưới đây là đúng ?
x
f (x)
f(x)
−∞ 1 2 +∞
+ 0 − +
−∞−∞
33
00
+∞+∞
A. Hàm số có 2 điểm cực trị. B. Hàm số đã cho không có giá trị cực đại.
C. Hàm số đã cho không có giá trị cực tiểu. D. Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất l.
Lời giải. Chọn đáp án A
Ta có



max
(0.5;1.5)
f(x) = −1 = f(1)
min
(1.5;3)
f(x) = 3 = f(2)
⇒ Hàm số đạt hai cực trị.
Chú ý: Điểm sai thường gặp ở bài tập này ở chỗ hàm số f(x) không có đạo hàm tại điểm x = 2.
Do đó nhiều bạn sẽ cho rằng hàm số không chỉ có một cực trị. Nhưng điều kiện f (x0) = 0 chỉ
là điều kiện cần để x0 là cực trị cùa hàm số. Qua bài tập này cho thấy, hàm số vẫn có thể đạt
cực trị tại những điểm mà đạo hàm không xác định.
Câu 18. Cho bảng biến thiên của đồ thị hàm số y = f(x) :
x
f (x)
f(x)
−∞ −2 2
5
2
+∞
− − 0 +
+∞+∞
22
2
7
4
7
4
+∞+∞
Tìm tập hợp các điểm m để phương trình f(x) − m = 0 có hai nghiệm phân biệt.
A.
7
4
; 2 ∪ [22; +∞). B. [22; +∞). C.
7
4
, +∞ . D.
7
4
; 2 ∪ [22; +∞).
Câu 19. Cho hàm số bậc ba y = ax3
+ bx2
+ cx + 1 có dạng bảng biến thiên như sau:
x
f (x)
f(x)
−∞ 0 x1 x2 +∞
− − 0 + 0 −
+∞+∞
f(x1)f(x1)
f(x2)f(x2)
−∞−∞
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. b < 0, c < 0. B. b > 0, c > 0. C. b > 0, c < 0. D. b < 0, c > 0.
12
lovestem
.edu.vn

7. Câu 20. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến thiên như
hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình f(x)+m = 0 có nhiều nghiệm thực nhất
.
x
f (x)
f(x)
−∞ 0 2 4 +∞
− 0 + + 0 −
+∞+∞
11
+∞
−∞
1515
−∞−∞
A.
m ≤ −1
m ≥ 15
. B.
m > 1
m ≤ −15
. C.
m < −1
m > 15
. D.
m ≥ −1
m ≤ −15
.
Câu 21. Phương trình (x − 1)2x
= x + 1 có bao nhiêu nghiệm thực ?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 22. Số nghiệm thực của phương trình 2x
= log2(8 − x) là:
A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =
(m + 1)x + 2m + 2
x + m
nghịch
biến trên khoảng (−1; +∞).
A. m ∈ (−∞; 1) ∪ (2; +∞). B. m ≥ 1.
C. −1 < m < 2. D. 1 ≤ m < 2.
Câu 24. Tìm m để phương trình 4x
−2x+3
+3 = m có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng
(1; 3).
A. −13 < m < −9. B. 3 < m < 9. C. −9 < m < 3. D. −13 < m < 3.
Lời giải. Đặt t = 2x
> 0 ⇒ 1 < x < 3 ⇔ 2 < t < 8. Phương trình trở thành:
t2
− 8t + 3 = m (∗)
Bảng biến thiên của hàm số f(t) = t2
− 8t + 3 trên khoảng (2; 8):
x
f (x)
f(x)
2 4 8
− 0 +
−9−9
−13−13
33
Phương trình ban đầu có nghiệm ⇔ (∗) có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (2; 8)
⇔ −13 < m < −9
13
lovestem
.edu.vn