Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn và đăng ký học tập môn Toán lớp 8 vui lòng liên hệ văn phòng gia sư: 0936.128.126.
Đề thi kiểm tra học kì 2 môn Toán lớp 7 - Đề 1. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn đăng ký học tập môn Toán lớp 7 vui lòng liên hệ cho chúng tôi theo số máy: 0936.128.126.
Ôn tập phương trình vô tỉ trong Toán THCS ôn thi vào lớp 10. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn, đăng ký học tập vui lòng liên hệ văn phòng gia sư thủ khoa Tài Đức Việt - Tel: 0936.128.126. Website: http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn
Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn và đăng ký học tập môn Toán lớp 8 vui lòng liên hệ văn phòng gia sư: 0936.128.126.
Đề thi kiểm tra học kì 2 môn Toán lớp 7 - Đề 1. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn đăng ký học tập môn Toán lớp 7 vui lòng liên hệ cho chúng tôi theo số máy: 0936.128.126.
Ôn tập phương trình vô tỉ trong Toán THCS ôn thi vào lớp 10. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn, đăng ký học tập vui lòng liên hệ văn phòng gia sư thủ khoa Tài Đức Việt - Tel: 0936.128.126. Website: http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn
Ungdung tamthucbac2-giaitoan. Xem thêm thông tin tuyển sinh vào 10 dưới đây
http://vtc.vn/thong-tin-tuyen-sinh-dau-cap-o-ha-noi-nam-2015.538.538774.htm
1. Cô sôû BDVH - LTĐH Cao NguyeânBMT
www.luyenthicaonguyen.com
ĐC: 128/39 Ywang - BMT
ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44
GTLN-GTNN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013
Bài 1 (ĐH A2003) Cho x ,y ,z là ba số dương và x + y + z ≤ 1 . Chứng minh rằng
1
1
1
+ y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82
2
x
y
z
1
ĐS : x = y = z =
3
Bài 2 (ĐH B2003) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
x2 +
y = x + 4 − x2
ĐS : Maxy = y (2) = 2 2 ; Miny = y (−2) = −2
[ −2;2]
[ −2;2]
Bài 3 (ĐH D2003) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 2].
x +1
y=
x2 + 1
ĐS : Maxy = y (1) = 2 ; Miny = y (−1) = 0
[ −1;2]
[ −1;2]
3
Bài 4 (ĐH B2004) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1; e .
2
ln x
y=
x
4 Miny = y (1) = 0
2
ĐS : Maxy = y (e ) = 2 ; 1;e3
e
1;e3
Bài 5 (ĐH A2005) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
1 1 1
+ + = 4 . Chứng minh rằng
x y z
1
1
1
+
+
≤1
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z
3
ĐS : x = y = z =
4
Bài 6 (ĐH B2005) Chứng minh rằng với mọi x ∈ R , ta có .
x
x
x
12 15 20
x
x
x
÷ + ÷ + ÷ ≥ 3 + 4 + 5 . Khi nào đẳng thức xảy ra?
5 4 3
ĐS : x = 0
Bài 7 (ĐH D2005) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :
1 + x3 + y 3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
+
+
≥3 3
xy
yz
zx
.Khi nào đẳng thức xảy ra?
ĐS : x = y = z = 1
Bài 8 (ĐH A2006) Cho hai số thực thay đổi và thỏa mãn điều kiện: ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy .
1 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 3 + 3 .
x
y
1
ĐS : MaxA = 16 ⇔ x = y =
2
Bài 9 (ĐH B2006) Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = ( x − 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 + | y − 2 |
1
ĐS : MinA = 2 + 3 ⇔ x = 0; y =
3
Bài 10 (ĐH A2007) Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz = 1 . Tìm giá
Cô sôû boài döôõng vaên hoùa- luyeän thi ñaïi hoïc Cao Nguyeân-128/39 YwangBMT
Trang 1
2. Cô sôû BDVH - LTĐH Cao NguyeânBMT
www.luyenthicaonguyen.com
ĐC: 128/39 Ywang - BMT
ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44
trị nhỏ nhất của biểu thức P =
x2 ( y + z)
y 2 ( z + x)
z 2 ( x + y)
+
+
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2 y y
ĐS : MinP = 2 ⇔ x = y = z = 1
Bài 11 (ĐH B2007) Cho x , y , z là ba số thực dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
x 1
y 1
z 1
P = x( + ) + y( + ) + z ( + )
2 yz
2 zx
2 xy
9
ĐS : MinP = ⇔ x = y = z = 1
2
Bài 12 (ĐH D2007) Cho a ≥ b > 0 . Chứng minh rằng :
b
a
a 1 b 1
2 + a ÷ ≤ 2 + b ÷
2
2
Bài 13 (ĐH B2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 + y2 =1. Tìm giá trị lớn nhất
2( x 2 + 6 xy )
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
.
1 + 2 xy + 2 y 2
3
1
3
2
x = 10 ; y = 10
x = 13 ; y = − 13
ĐS : MaxP = 3 ⇔
; MinP = −6 ⇔
3
1
3
2
x = − 10 ; y = − 10
x = − 13 ; y = 13
Bài 14 (ĐH D2008) Cho x,y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
( x − y )(1 − xy )
của biểu thức : P =
.
(1 + x ) 2 (1 + y ) 2
1
1
ĐS : MaxP = ⇔ x = 1; y = 0; MinP = − ⇔ x = 0; y = 1
4
4
Bài 15 (ĐH A2009) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z)=3yz,
ta có: (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)≤ 5(y + z)3
ĐS : x = y = z
Bài 16 (ĐH B2009) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y) 3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức :A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1
ĐS : MinA =
9
1
⇔x= y=
16
2
Bài 17 (ĐH D2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.
2+ 3
2− 3
x =
x =
25
1
191
4
4
⇔ x = y = ; MinP =
⇔
ĐS : MaxS =
hoặc
2
2
16
y = 2 − 3
y = 2+ 3
4
4
Bài 18 (ĐH B2010) Cho các số thực a ,b ,c không âm thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức M = 3(a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) + 3(ab + bc + ca) + 2 a 2 + b 2 + c 2
ĐS : MinM = 2 ⇔ ( a, b, c) là một trong các bộ số : (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)
Bài 20 (ĐH D2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = − x 2 + 4 x + 21 − − x 2 + 3x + 10
1
ĐS : Miny = 2 ⇔ x =
3
Bài 21 (ĐH A2011) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
Cô sôû boài döôõng vaên hoùa- luyeän thi ñaïi hoïc Cao Nguyeân-128/39 YwangBMT
Trang 2
3. Cô sôû BDVH - LTĐH Cao NguyeânBMT
www.luyenthicaonguyen.com
ĐC: 128/39 Ywang - BMT
ĐT: 0984.959.465-0945.46.00.44
biểu thức P =
x
y
z
+
+
2x + 3y y + z z + x
34
⇔ x = 4; y = 1; z = 2
33
Bài 22 (ĐH B2011) Cho các số thực a, b, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện :
a 3 b3 a 2 b 2
2(a 2 + b 2 ) + ab = (a + b)(ab + 2) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4 3 + 3 ÷− 9 2 + 2 ÷.
a
b a b
a = 2
a = 1
23
ĐS : MinP = − ⇔
hoặc
4
b = 1
b = 2
ĐS : MinP =
Bài 23 (ĐH D2011−NC) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 0; 2] .
y=
2 x 2 + 3x + 3
x +1
17
ĐS : Miny = y (0) = 3 ; Maxy = y (2) =
[ 0;2]
3
[ 0;2]
Bài 24 (ĐH A2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P = 3 x − y + 3 y − z + 3 z − x − 6 x 2 + 6 y 2 + 6 z 2 .
ĐS : MinP = 3 ⇔ x = y = z = 0
Bài 25 (ĐH B2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x 2 + y 2 + z 2 = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x 5 + y 5 + z 5 .
5 6
6
6
⇔ x=
;y=z=−
36
3
6
Bài 26 (ĐH D2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).
17 − 5 5
1+ 5
ĐS : MinA =
⇔x= y=
4
4
Bài 27 (ĐH A2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4c 2 . Tìm giá trị
ĐS : MaxP =
nhỏ nhất của biểu thức P =
32a 3
32b3
a 2 + b2
+
−
(b + 3c)3 (a + 3c)3
c
ĐS : MinP = 1 − 2 ⇔ x = y = 1
Bài 28 (ĐH B2013) Cho a, b, c là các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
4
9
P=
−
a 2 + b 2 + c2 + 4 (a + b) (a + 2c)(b + 2c)
5
ĐS : MaxP = ⇔ a = b = c = 2
8
Bài 29 (ĐH D2013) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − 1 . Tìm giá trị lớn nhất
x+y
x − 2y
−
của biểu thức: P =
2
2
6(x + y)
x − xy + 3y
5 7
1
+
⇔ x= ;y=2
3 30
2
Bài 30 (ĐH D2013−NC) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 0; 2] .
ĐS : MaxP =
2 x 2 − 3x + 3
x +1
ĐS : Minf(x) = f (1) = 1 ; Maxf(x) = f (0) = 3
[ 0;2]
[ 0;2]
f ( x) =
Cô sôû boài döôõng vaên hoùa- luyeän thi ñaïi hoïc Cao Nguyeân-128/39 YwangBMT
Trang 3