Tài liệu chứa một loạt các bài toán liên quan đến việc rút gọn biểu thức và tính giá trị của chúng, chủ yếu tập trung vào chủ đề căn thức. Các bài toán đến từ nhiều tỉnh khác nhau và được thiết kế để phục vụ cho việc ôn luyện thi vào lớp 10 năm 2014. Ngoài ra, tài liệu cũng đề cập đến các chứng minh và điều kiện của các biểu thức trong bối cảnh giáo dục toán học.

1. ¿nh cao cõa vi»c håc l câ thº TÜ HÅC
TUYšN TŠP BÀI TOÁN CAN THÙC
Qua các kì thi tuyºn sinh vào 10 nam 2014
Lê Minh An
Câu l¤c bë Toán Håc – COOLMATH
Ngày 30 tháng 9 nam 2014
1 Các bài toán can thùc không chùa bi¸n
1. Rút gån biºu thùc A =
5+
p
5
p
5+2
+
p
5
p
51
p
3
5
3+
p
5
: (TP. Hç Chí Minh)
2. Thüc hi»n phép tính A =
4
p
31
2
p
2+
p
3
p
8. (T¿nh Kon Tum)
3. Rút gån biºu thùc A =
2
p
7
p
14
2
p
2
p
28+
p
7
p
5.
a (THPT Chuyên Lê Quý ôn - Bà Ràa Vung Tàu)
4. Rút gån biºu thùc A =
2+
p
p 3
74
p
3
2
p
p 3
7+4
p
3
. (T¿nh ak Lak)
5. (Bài 1a) Rút gån biºu thùc A =
s
3
p
34
p
2
3+1
s p
3+4
52
p
3
. (THPT Chuyên B¸n Tre)
6. Cho biºu thùc A = (4x5+4x45x3+5x2)2014+2015. Tính giá trà A khi x =
1
2
sp
21
p
2+1
.
a (T¿nh Qu£ng Ngãi)
7. Cho a =
p
6
1(
p
2+
p
2)
p
p 3
p
p
p
64
2+
32
2
. Tính giá trà biºu thùc M = (a2+a1)2014.
a (THPT Chuyên t¿nh Qu£ng Nam)
8. CMR ph÷ìng trình x4+16x2+32 = 0 có nghi»m xo =
q
2+
p
2+
p
3
q
63
p
2+
p
3.
a (Vòng 2 - THPT Chuyên Bình D÷ìng)
1

2. ¿nh cao cõa vi»c håc l câ thº TÜ HÅC
CLB Toán håc COOLMATH Xuân Tr÷íng - Nam ành
9. CMR A B bi¸t
A =
1
1+
p
2
+
1
p
2+
p
3
+:::+
1
p
120+
p
121
; B = 1+
1
p
2
+
1
p
3
:::+
1
p
35
:
(T¿nh Bình ành)
2 Các bài toán can thùc chùa bi¸n
1. Rút gån biºu thùc B =
x
x+3
p
x
+
1
p
x+3
:
1
2
p
x
+
6
p
x
x+3
, vîi x 0.
a (TP. Hç Chí Minh)
2. Cho x 0;x6= 1. Rút gån biºu thùc A =
4
p
x+1
+
2
1
p
x
p
x5
x1
. (T¿nh B­c Ninh)
3. (Bài 1c) Rút gån biºu thùc A =
p
x
p
x+2
+
2
p
x2
:
x+4
p
x+2
, vîi x 0;x6= 4.
a (T¿nh Qu£ng Ngãi)
4. Cho x 0;x6= 2. Rút gån biºu thùc A =
x
p
2
2
p
x+x
p
2
+
p
2x2
x2
. (TP. à N®ng)
5. Cho a 0;a6= 4. Rút gån biºu thùc A =
a
a2
p
a
+
a
p
a2
:
p
a+1
a4
p
a+4
.
a (T¿nh Khánh Hòa)
6. Cho x 0;x6= 1. Rút gån biºu thùc A =
p
2
x
1
p
x
4x
1x
:
1
p
x
+
1
x+
p
x
a (T¿nh Nam ành)
7. Cho x 0;x6= 1, rút gån biºu thùc A =
4
p
x+1
+
2
1
p
x
p
x5
x1
. (T¿nh B­c Giang)
8. Cho x 0;x6= 1, rút gån biºu thùc P =
1
p
x1
:
1
p
x
1
x
p
x
. (T¿nh Hà Nam)
9. Rút gån biºu thùc A =
1
x+
p
x
+
p
2
x
x1
1
x
p
x
vîi x 0, x6= 1. (T¿nh Tuyên Quang)
10. Rút gån biºu thùc P =
x
p
x+3x9
x9
p
x3
p
x
x+3
p
x
. (T¿nh Yên Bái)
11. Cho a;b là các sè d÷ìng, rút gån A =
a
p
b
p
a+b
p
ab
+
ab
p
a+
p
b
. (T¿nh Phú Thå)
12. Cho biºu thùc A =
1
p
x1
p
x
x1
:
1
p
x+1
.
(a) Tìm i·u ki»n xác ành và rút gån biºu thùc A.
(b) Tìm t§t c£ các giá trà cõa x º A 0.
Email: alm.maths@gmail.com 2 Lê Minh An

3. ¿nh cao cõa vi»c håc l câ thº TÜ HÅC
CLB Toán håc COOLMATH Xuân Tr÷íng - Nam ành
(T¿nh Ngh» An)
13. Cho biºu thùc A =
2
p
x2
+
3
p
x+1
2
p
x7
5
2x3
p
x2
:
p
2
x+3
5x10
p
x
. (x 0, x6= 4)
(a) Rút gån biºu thùc A.
(b) Tìm x sao cho A nhªn giá trà là mët sè nguyên.
(THPT Chuyên Thái Bình)
14. Cho biºu thùc A =
p
x1
x2x
:
1
p
x
1
p
x+1
vîi x 0, x6= 1.
(a) Rút gån A.
(b) Tính giá trà cõa biºu thùc A khi x = 4+2
p
3.
(T¿nh Thanh Hóa)
15. Cho a 0;a6= 1 và Q =
p
a+1
a1
a+2
1
p
a1
p
a
2
a
p
aa+
p
a1
.
(a) Rút gån Q.
(b) CMR khi a 1 thì Q 1.
(THPT Chuyên Lê Hçng Phong - Nam ành)
16. Cho x 0;x6= 1 và P =
x2
x+2
p
x
+
1
p
x+2
:
p
x+1
p
x1
.
(a) CMR P =
p
x+1
p
x
.
(b) Tìm các giá trà cõa x º 2P = 2
p
x+5.
(TP. Hà Nëi)
17. (Bài 1b) Cho biºu thùc B =
p
x+2
x+2
p
x+1
p
x2
x1
(x+
p
x), vîi x 0;x6= 1.
(a) Rút gån biºu thùc B.
(b) Tìm các giá trà nguyên cõa x º B nhªn giá trà nguyên.
(THPT Chuyên B¸n Tre)
18. Cho biºu thùc P =
x2+
p
x
x
p
x+1
2x+
p
x
p
x
+2, vîi x 0.
(a) Rút gån P.
(b) Tìm x º 1P
có giá trà nguyên.
(THPT Chuyên Nguy¹n T§t Thành - Kon Tum)
Email: alm.maths@gmail.com 3 Lê Minh An

4. ¿nh cao cõa vi»c håc l câ thº TÜ HÅC
CLB Toán håc COOLMATH Xuân Tr÷íng - Nam ành
19. Cho biºu thùc A =
a2+
p
a
a
p
a+1
2a+
p
a
p
a
+1, vîi a 0.
(a) Rút gån A.
(b) Tìm các giá trà cõa a º A = 2.
(c) Tìm GTNN cõa A.
(THPT Chuyên Lê Quý ôn - Bình ành)
20. Cho biºu thùc A =
2
p
a
p
a+3
+
p
a
p
a3
p
3a+3a9
:
2
p
a2
p
a3
.
1
(a) Tìm i·u ki»n º A có nghia. Rút gån A.
(b) Tính giá trà cõa A vîi a = 4.
(THPT Chuyên C¦n Thì)
21. Cho biºu thùc A =
x+2
p
x+4
x
p
x8
+
p
x+1
x1
x+2
:
3+
1
p
x2
+
2
p
x+1
.
(a) Rút gån A.
(b) Tìm giá trà cõa x º A 1.
(THPT Chuyên Ngo¤i Ngú HQG HN)
22. Cho x 0;x6= 1. Rút gån biºu thùc A =
p
x
10
x+3
p
x4
p
x3
p
x+4
2
+
p
x+1
p
1
x
.
a (THPT Chuyên Nguy¹n Trãi - H£i D÷ìng)
23. Cho x 0;y 0 và x6= y. Rút gån biºu thùc
A =
x
p
xyp+y
p
xp+
y
: (xy)+
p
xy
2py
p
x+
py
:
(Vòng 2 - THPT Chuyên Lê Quý ôn - Bà Ràa Vung Tàu)
24. Cho x 0;x6= 9. Rút gån biºu thùc A =
p
x6
x9
x+
+
p
x+19
x17
x+
p
x12
x5
p
x
x+4
p
x
:
a (Vòng 2 - THPT Chuyên Hùng V÷ìng - Phú Thå)
25. CMR biºu thùc P không phö thuëc vào giá trà cõa x
P =
2x
x+3
p
x+2
+
5
p
x+1
x+4
p
x+3
+
p
x+10
x+5
p
x+6
:
(THPT Chuyên HKH Hu¸)
Email: alm.maths@gmail.com 4 Lê Minh An

5. ¿nh cao cõa vi»c håc l câ thº TÜ HÅC
CLB Toán håc COOLMATH Xuân Tr÷íng - Nam ành
26. Cho a;b là các sè thüc d÷ìng phân bi»t. Rút gån biºu thùc
A =
a
p
b
p
ab
a
p
bb
p
a
a
p
a+b
p
b
a
p
b+b
p
a
r
a
b
r
b
a
! p
a+
p
b
p
a
p
b
p
a
p
b
p
a+
p
b
!
:
(Vòng 2 - THPT Chuyên Lê Quý ôn - Khánh Hòa)
27. Tính
x
y
bi¸t x 1;y 0 và
q
(1
(x+y)(x3y3)
p
4x1)2
(1
p
4x1)(x2y2+xy3+y4)
= 6.
a (THPT Nang Khi¸u HQG TP. HCM)
28. Cho các sè thüc d÷ìng a;b vîi a6= b. Chùng minh ¯ng thùc
(ab)3
(
p
a
p
b)3
b
p
b+2a
p
a
a
p
b
p
ab
+
3a+3
p
ab
ba
= 0:
(THPT Chuyên HSP Hà Nëi)
3 Mët sè bi¸n êi th÷íng g°p
p
a)2
a = (
Ví dö:
– Biºu thùc a+
p
a6 c¦n xem ó nh÷ mët tam thùc bªc 2 và có thº tách thành tích.
a+
p
a6 = (
p
a)2+
p
a6 = (
p
a)2+3
p
a2
p
a6
=
p
a(
p
a+3)2(
p
a+3) = (
p
a+3)(
p
a2)
– H¬ng ¯ng thùc:
p
a)2(
ab = (
p
b)2 = (
p
a
p
b)(
p
a+
p
b);
a2
p
a+1 = (
p
a)22
p
a+1 = (
p
a1)2:
– Biºu thùc a
p
a+1, a
p
ab+b, a2
p
a+4, ... là các bình ph÷ìng thi¸u cõa têng
(hi»u). Xu§t hi»n biºu thùc lo¤i này thì kh£ nang cao là s³ c¦n sû döng các h¬ng ¯ng thùc
têng (hi»u) hai lªp ph÷ìng.
x3y3 = (xy)(x2xy+y2):
p
a = (
a
p
a)3
Ví dö:
a
p
a+b
p
b = (
p
b)3 = (
p
a)3+(
p
a+
p
b)(a
p
ab+b)
a
p
a1 = (
p
a)313 = (
p
a1)(a+
p
a+1)
Email: alm.maths@gmail.com 5 Lê Minh An

6. ¿nh cao cõa vi»c håc l câ thº TÜ HÅC
CLB Toán håc COOLMATH Xuân Tr÷íng - Nam ành
4 Mët sè bài toán phö th÷íng g°p sau khi rút gån biºu thùc
BT1: Tính giá trà biºu thùc rút gån vîi giá trà x t÷ìng ùng.
Cho M =
p
x
p
x2
, tính giá trà cõa M khi
1. x =
p
9+4
p
5
p
94
p
5; 2. x =
8
p
21
8
p
2+1
; 3. jx1j = 5.
BT2: Tìm x (nguyên) º biºu thùc rút gån có giá trà nguyên.
1. Tìm x 2 Z º tøng biºu thùc sau là sè nguyên: A =
3
p
x2
; B =
p
x+1
p
x3
; C =
p
2
x
3
p
x
2. Tìm x 2 Z º M =
3
p
x2
là sè nguyên d÷ìng.
3. Tìm måi giá trà cõa x º biºu thùc M =
p
x+2
p
x+3
5
là sè nguyên.
BT3: Tìm x º biºu thùc rút gån thäa mãn ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc.
1. Cho N =
p
x+1
p
x+2
. Tìm x º
a) N =
2
5
; b) N =
3
4
; c) N =
4
5
; d) N =
p
x3
6
2
2. Tìm x 2 Z º biºu thùc
a) A =
3
p
x2
có giá trà âm. b) B =
p
2
x
3
p
x
có giá trà d÷ìng.
3. Cho A =
1x
p
x
, tìm x º A = 1
p
x.
4. Cho P =
p
x1
p
x+1
, tìm x º P
1
2
5. Cho M =
p
x+1
p
x+2
, tìm x º M
2
5
6. Cho A =
p
x
x+
p
x+1
. CMR A
1
3
7. Cho M =
p
x+1
p
x+2
. So sánh M, M2.
BT4: Tìm GTLN, GTNN cõa biºu thùc rút gån.
1. Tìm GTNN cõa biºu thùc
M =
p
x1
p
x+1
; N =
x+
p
x+1
p
x
; P =
x+16
p
x+3
;
A = x
p
x+1; B = x+
p
x+1; C = x3
p
x1+2012;
2. Tìm GTLN cõa biºu thùc
M =
3
p
x+3
; N =
p
x+2
p
x+1
; A =
p
xx; B =
3
x3
p
x+2
Email: alm.maths@gmail.com 6 Lê Minh An