Dokumen tersebut membahas tentang bidang datar dalam dimensi tiga. Secara singkat, bidang datar didefinisikan sebagai permukaan dimana garis penghubung antara dua titik sembarang pada permukaan tersebut selalu terletak pada permukaan itu sendiri. Bidang datar dapat ditentukan melalui persamaan vektor atau parameternya, serta dapat direpresentasikan dalam bentuk persamaan linier yang mencakup vektor normal bidang datar.

1. Bidang Datar
dalam Dimensi Tiga
Nama: Rabiatul Adawiah
NIM: (180101040641)
Dosen: Azis Muslim, M.Pd

2. Materi
1. Bidang datar.
2. Bentuk Persamaan bidang datar.
3. Sudut antara dua buah bidang datar.
4. Jarak titik ke bidang datar dan bidang datar yang sejajar.

3. Bidang datar
Bidang datar adalah permukaan yang apabila diambil dua titik
sembarang pada permukaan tersebut, garis penghubungnya
selalu terletak pada permukaan tersebut.

4. Persamaan Vektor Bidang Datar
Suatu bidang datar akan dapat ditentukan apabila diketahui tiga buah titik (yang tidak
segaris) yang terletak pada bidang datar tersebut. Misalkan tiga titik pada bidang datar V
adalah titik 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧), dan 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧). Perhatikan gambar berikut:
Untuk tiap titik sebarang X(x,y, z) pada bidang datar V, berlaku:
𝑃𝑋 = 𝜆𝑃𝒬 + 𝜇𝑃𝑅 (−(−∞ < 𝜆 < ∞, −∞ < 𝜇 < ∞)
Terlihat jelas pada gambar bahwa 𝑂𝑋 = 𝑂𝑃 + 𝑃𝑋
Bentuk Persamaan Bidang Datar

5. Persamaan ini disebut dengan persamaan viktoris bidang datar yang melalui tiga buah
titik. Kedua vektor PQ dan PR disebut vektor-vektor arah bidang (setiap dua vektor yang
tidak segaris pada bidang merupakan vektor-vektor arah bidang tersebut). Sehingga
persamaan viktoris bidang datar melalui titik (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dan diketahui kedua vektornya
adalah 𝒶 = 𝑥 𝑎, 𝑦𝑎, 𝑧 𝑎 dan 𝑏 = 𝑥 𝑏, 𝑦 𝑏, 𝑧 𝑏 adalah:
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝜆 𝑥 𝑎, 𝑦𝑎, 𝑧 𝑎 + 𝜇 𝑥 𝑏, 𝑦 𝑏, 𝑧 𝑏
(−∞ < 𝜆 < ∞, −∞ < 𝜇 < ∞)
Persamaan diatas dapat ditulis menjadi tiga persamaan sebagai berikut:
𝑥 = 𝑥1 + 𝜆𝑥 𝑎 + 𝜇𝑥 𝑏 … … 1)
𝑦 = 𝑦1 + 𝜆𝑦𝑎 + 𝜇𝑦 𝑏 … … 2)
𝑧 = 𝑧1 + 𝜆𝑧 𝑎 + 𝜇𝑧 𝑏 … … 3)
Persamaan ini disebut persamaan parameter bidang
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝜆 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1 + 𝜇 𝑥3 − 𝑥1, 𝑦3 − 𝑦1, 𝑧3 − 𝑧1
(−∞ < 𝜆 < ∞, −∞ < 𝜇 < ∞)

6. Persamaan Linier Bidang Datar
Apabila 𝜆 dan 𝜇 pada persamaan (1) dan (2) di eliminasi, diperoleh:
𝜆 =
𝑦 𝑏(𝑥 − 𝑥1) − 𝑥 𝑏(𝑦 − 𝑦1)
𝐶
μ =
𝑥 𝑎(𝑦 − 𝑦1) − 𝑦 𝑏(𝑥 − 𝑥1)
𝐶
dan dimana 𝐶 = 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 − 𝑦𝑎 𝑥 𝑏 =
𝑥 𝑎 𝑦𝑎
𝑥 𝑏 𝑦 𝑏
(𝐶 ≠ 0)
Kemudian apabila 𝜆 dan 𝜇 di atas disubsitusukan ke persamaan (3), diperoleh:
𝐶 𝑧 − 𝑧1 − 𝑧 𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 − 𝑥1 − 𝑥 𝑏 𝑦 − 𝑦1 − 𝑧 𝑏 𝑥 𝑎 𝑦 − 𝑦1 − 𝑦𝑎 𝑥 − 𝑥1 = 0
𝑦𝑎 𝑧 𝑏 − 𝑧 𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 − 𝑥1 + 𝑧 𝑎 𝑥 𝑏 − 𝑧 𝑏 𝑥 𝑎 𝑦 − 𝑦1 + 𝐶 𝑧 − 𝑧1 = 0 … … … (4)
𝑦𝑎 𝑧 𝑏 − 𝑧 𝑎 𝑦 𝑏 =
𝑦𝑎 𝑧 𝑎
𝑦 𝑏 𝑧 𝑏
= 𝐴 𝑧 𝑎 𝑥 𝑏 − 𝑥 𝑎 𝑧 𝑏 =
𝑧 𝑎 𝑥 𝑎
𝑧 𝑏 𝑥 𝑏
= 𝐵
𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 = −𝐷
Persamaan (4) menjadi:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 − 𝐷 = 0
Persamaan ini merupakan persamaan linier (umum) dari
suatu bidang datar.

7. Vektor Normal Bidang Datar
Perhatikan vektor 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡.
𝐴, 𝐵, 𝐶 =
𝑦𝑎 𝑧 𝑎
𝑦 𝑏 𝑧 𝑏
𝑖 +
𝑧 𝑎 𝑥 𝑎
𝑧 𝑏 𝑥 𝑎
𝑗 +
𝑥 𝑎 𝑦𝑎
𝑥 𝑏 𝑦 𝑏
𝑘
𝐴, 𝐵, 𝐶 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑥 𝑎 𝑦𝑎 𝑧 𝑎
𝑥 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧 𝑏
𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝑎 × 𝑏
[𝐴, 𝐵, 𝐶] merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang
datar yang dibentuk oleh a dan b, dalam hal ini bidang
datar 𝑉 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0. 𝑛 = [𝐴, 𝐵, 𝐶] disebut
vektor normal dari bidang datar V=0 tersebut. Vektor
normal ini akan memegang peranan penting dalam
pembahasan suatu bidang datar. Dari persamaan (4),
suatu bidang datar yang diketahui melalui satu titik
(𝑥1, 𝑦1 , 𝑧1 ) dengan vektor normal 𝑛 [𝐴, 𝐵, 𝐶] berbentuk:
𝐴 𝑥 − 𝑥1 + 𝐵 𝑦 − 𝑦1 + 𝐶(𝑧 − 𝑧1) = 0

8. 1. Bila 𝐷 = 0 maka bidang datar akan melalui titik asal
𝑂(0, 0) dan sebaliknya, setiap bidang datar yang melalui
titik asal, persaman akan mempunyai harga 𝐷 = 0
2. Apabila 𝐷 ≠ 0, persamaan 𝑉 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 =
0 dapat ditulis menjadi
𝐴𝑥
−𝐷
+
𝐵𝑦
−𝐷
+
𝐶𝑧
−𝐷
= 1 dan sebut
berturut turut
𝐴
−𝐷
= 𝑝,
𝐵
−𝐷
= 𝑞,
𝐶
−𝐷
= 𝑟 didapat
persamaan
𝑥
𝑝
+
𝑦
𝑞
+
𝑧
𝑟
= 1 yang mana memotong sumbu
𝑋 di titik (𝑝, 0, 0), sumbu 𝑌 di titik (0, 𝑞, 0) dan
sumbu 𝑍 di titik (0, 0, 𝑟).
3. Bila 𝐴 = 0, bidang datar sejajar sumbu 𝑋.
Bila 𝐵 = 0, bidang datar sejajr sumbu 𝑌.
Bila 𝐶 = 0, bidang datar sejajar sumbu 𝑍.
4. Bila 𝐴 = 𝐵 = 0, bidang datar sejajar sumbu
𝑋𝑂𝑌.
Bila 𝐴 = 𝐶 = 0, bidang datar sejajar bidang
𝑋𝑂𝑍.
Bila 𝐵 = 𝐶 = 0, bidang datar sejajar bidang
𝑌𝑂𝑍
Hal-hal khusus dari bidang datar 𝑉 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 adalah sebagai berikut.

9. Contoh
Tentukan persamaan vektoris bidang datar melalui titik (1, 1, 2), (2, 3, 5), (1, 3, 7)!
Penyelesaian:
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1,1,2 + 𝜆 2 − 1, 3 − 1, 5 − 2 + 𝜇[1 − 1, 3 − 1, 7 − 2]
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1,1,2 + 𝜆 1,2,3 + 𝜇[0,2,5]
Persamaan parameternya adalah 𝑥 = 1 + 𝜆, 𝑦 = 1 + 2𝜆 + 2𝜇, dan 𝑧 = 2 + 3𝜆 + 5𝜇. Untuk
mengubahnya ke parameter linier, dapat kita lakukan dengan mencari vektor normal sebagai
hasil cross product.
1,2,3 × 0,2,5 = 4, −5,2
Jadi, persamaan bidang datar dengan vektor normal [4, -5, 2]
𝐴 𝑥 − 𝑥1 + 𝐵 𝑦 − 𝑦1 + 𝐶(𝑧 − 𝑧1) = 0
𝐴 𝑥 − 1 − 5 𝑦 − 1 + 𝑧 − 2 = 0
4𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧 − 3 = 0

10. Persamaan Normal Bidang Datar
Misalkan 𝑛 = [𝐴, 𝐵, 𝐶] adalah vektor normal
bidang 𝑉 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0, 𝛼, 𝛽, dan 𝛾
berturut turut sudut antara n dengan sumbu-sumbu
koordinat (yang arahnya ditentukan oleh vektor 𝑖, 𝑗,
dan 𝑘).
Ternyata bahwa:
cos 𝛼 =
𝑛 ⋅ 𝑖
𝑛 𝑖
=
𝐴
𝑛
cos 𝛽 =
𝑛 ⋅ 𝑗
𝑛 𝑗
=
𝐵
𝑛
cos 𝛼 =
𝑛 ⋅ 𝑘
𝑛 𝑘
=
𝐶
𝑛
Bentuk di atas dapat juga ditulis dalam bentuk:
[cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾] =
𝐴, 𝐵, 𝐶
𝑛
=
𝑛
𝑛
Bentuk di atas merupakan bentuk satuan yang searah
dengan n. Ini juga berarti bahwa cos 2
𝛼 +
cos 2
𝛽 + cos 2
𝛾 = 1 atau n = [cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾]
disebut vektor cosinus dari bidang datar V atau boleh
juga disebut vektor normal yang panjangnya satu.
Gambar vektor normal pada bidang V

11. Misalkan p sama dengan jarak titik (0, 0, 0) ke bidang 𝑉 = 0, dimana 𝑝 ≥ 0 dan 𝑋 𝑥, 𝑦, 𝑧
titik sebarang pada bidang datar V, maka p adalah proyeksi 𝑂𝑋 = [𝑥, 𝑦, 𝑧] pada 𝑛 yaitu:
𝑝 = 𝑂𝑋𝑛 = [𝑥, 𝑦, 𝑧][cos 𝛼, cos 𝛽 , cos 𝛾] atau 𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 cos 𝛽 + 𝑧 cos 𝛾 = 𝑝
Persamaan ini disebut persamaan normal dan bidang 𝑉 = 0.
Untuk mengubah bentuk 𝑉 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 kebentuk normal maka diperoleh :
𝑛 (𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 cos 𝛽 + 𝑧 cos 𝛾) = −𝐷
Kita selalu menghendaki bahwa
−𝐷
𝑛
= 𝑝 positif. Jadi apabila 𝐷 negatif, maka jika masing-
masing ruas persamaan di atas dibagi 𝑛 = 𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2 dan apabila 𝐷 positif, masing-
masing ruas dibagi dengan − 𝑛 .

12. Contoh
Carilah bentuk normal dari 3𝑥 + 6𝑦 − 2𝑧 + 6 = 0!
Penyelesaian:
𝐷 = 6
𝑛 = 32 + 62 + (−2)2= 9 + 36 + 4 = 7
Jadi, persamaan normal bidang adalah
−3
7
𝑥 −
6
7
𝑦 +
2
7
𝑧 =
6
7

13. Sudut Antara Dua Buah Bidang Datar
Kita definisikan sudut antara dua buah bidang 𝛼 = 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 + 𝑑1 = 0 dan bidang
𝛽 = 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 + 𝑑2 = 0 adalah sudut anatar vektor normal bidang 𝛼 dengan vektor
normal 𝛽 atau antara [𝑎1, 𝑏1, 𝑐1] dan [𝑎2, 𝑏2, 𝑐2] atau [−𝑎1, −𝑏1, −𝑐1] dan −𝑎2, −𝑏2, −𝑐2 .
Jadi, sudut antara bidang 𝛼 dan 𝛽 yang kita misalkan 𝜇 kemungkinananya sebagai berikut
0° ≤ 𝜑 ≤ 180° dalam hal vektor normal kedua bidang di atas tidak saling tegak lurus, maka 𝜑
mungkin dipilih lancip atau tumpul. Dari 𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 ⋅ 𝑣 cos 𝜑 kita dieperoleh:
cos 𝜑 = ±
𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑏2 + 𝑐1 𝑐2
𝑎1
2 + 𝑏1
2
+ 𝑐1
2 ⋅ 𝑎2
2 + 𝑏2
2
+ 𝑐2
2
Catatan: Tanda positif atau negatif diambil tergantung kepada keadaan. Jika kita mengambil
tanda positif maka sudut yang dibentuk adalah lancip (ukuran 0° ≤ 𝜑 ≤ 90°), jika mengambil
tanda negatif maka sudut yang diberikan adalah tumpul (ukuran 90° ≤ 𝜑 ≤ 180°), sedangkan
jika sama dengan nol, maka sudut antara dua bilangan di atas adalah siku-siku (ukurannya 90°).

14. Contoh
Carilah sudut lancip antara bidang 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 + 4 = 0 dan bidang 𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 − 6 = 0!
Penyelesaian:
Vektor normal bidang di atas berturut-turut adalah [2, -3, 1] dan [1, 1, -3]. Jika
kita ambil tanda positif, maka kita dapatkan:
cos 𝜑 =
2 − 3 − 3
14 ⋅ 11
=
−4
154
Karena perhitungan di atas menampilkan sudut tumpul sedangkan yang kita inginkan
adalah sudut lancip, maka haruslah kita mengambil tanda negatif. Jadi jika diambil
tanda negatif kita peroleh:
cos 𝜑 = −
2 − 3 − 3
14 ⋅ 11
= −
4
154
atau 𝜑 𝑎𝑟𝑐 cos
4
154
Dengan menggunakan kalkulator dapat diperoleh 𝜑 adalah lancip 0° ≤ 𝜑 ≤ 90° .

15. Jarak Titik ke Bidang Datardan Bidang Datar yang Sejajar
Untuk memperoleh persamaan jarak antara sebuah titik dan sebuah bidang datar tersebut, perhatikan dan
pahami langkah-langkah dibawah ini.
1. Misalkan persamaan bidang datar 𝑉1 ≡ 𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 cos 𝛽 + 𝑧 cos 𝛾 = 0, dengan 𝑝 adalah jarak titik
𝑂(0,0,0) ke bidang datar 𝑉1 = 0. Ambil sembarang titik 𝑅(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), dimana 𝑅 ∉ 𝑉1 = 0.
2. Untuk menentukan jarak titik 𝑅(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) ke bidang 𝑉1 = 0 dengan cara membuat bidang datar 𝑉2 = 0
melalui titik 𝑅(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) yang sejajar dengan 𝑉1= 0. Berarti vektor normal 𝑉1 dan 𝑉2 sama. Seperti
yang terlihat pada gambar dibawah ini.
Gambar Bidang 𝑽 𝟏 dan 𝑽 𝟐 sejajar

16. 3. Misalkan 𝑑 jarak bidang datar 𝑉1 = 0 dengan titik 𝑅(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) maka jarak 𝑂 0,0,0 ke 𝑉2 = 0
adalah 𝑝 ± 𝑑 artinya:
a) Jika 𝑅(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) di antara 𝑂(0,0,0) di 𝑉1 = 0 maka jarak 𝑂(0,0,0) ke 𝑉2 = 0 adalah 𝑝 −
𝑑.
b) Jika 𝑅(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) tidak diantara 𝑂(0,0,0) di 𝑉1 = 0 maka jarak 𝑂(0,0,0) ke 𝑉2 = 0 adalah
𝑝 + 𝑑.
4. Akibat dari pernyataan no.3 di peroleh satu persamaan bidang datar 𝑉2 = 𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 cos 𝛽 +
𝑧 cos 𝛾 = 𝑝 ± 𝑑. Karena titik 𝑅(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) pada 𝑉2 = 0 berarti terpenuhi persamaan 𝑥 cos 𝛼 +
𝑦 cos 𝛽 + 𝑧 cos 𝛾 = 𝑝 ± 𝑑 atau ±𝑑 = 𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 cos 𝛽 + 𝑧 cos 𝛾 − 𝑝.
Jadi, jarak sebuah titik 𝑅(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) ke bidang datar 𝑉1 ≡ 𝑥 cos 𝛼 + 𝑦 cos 𝛽 + 𝑧 cos 𝛾 = 0
adalah 𝒅 = 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝜶 + 𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝜷 + 𝒛 𝒄𝒐𝒔 𝜸 − 𝒑
5. Jika 𝑉1 ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0, maka jarak titik 𝑅(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) ke 𝑉1 = 0 adalah
𝒅 =
𝑨𝒙 𝟏 + 𝑩𝒚 𝟏 + 𝑪𝒛 𝟏 + 𝑫
𝑨 𝟐 + 𝑩 𝟐 + 𝑪 𝟐

17. Contoh
Hitunglah jarak antara bidang datar 𝑉 ≡ 6𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 13 = 0 dengan titik 𝑅 7,3,4 !
Penyelesaian:
Dengan menggunakan persamaa:
𝑑 =
𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 + 𝐷
𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2
𝑑 =
6 ⋅ 7 − 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 − 13
62 + (−3)2+22
Subtitusikan nilai A, B, Cdan titik R ke dalam persamaan tersebut sehingga diperoleh:
𝑑 =
28
49
𝑑 =
28
7
= 4
Jadi, jarak titik 𝑅 7,3,4 ke bidang datar 𝑉 ≡ 6𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 13 = 0 adalah 4

18. Catatan
1. Misalkan 𝑉1 ≡ 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 + 𝐷1 = 0 dan 𝑉2 ≡ 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷2 = 0.
2. Jika bidang datar 𝑉1 sejajar dengan bidang datar 𝑉2 maka jarak antara 𝑉1 = 0 dan 𝑉2 = 0,
misalkan titiknya adalah 𝑅 0,0, 𝑧 . Kemudian kita dapat menghitung jarak titik 𝑅 0,0, 𝑧 ke
bidang datar 𝑉2 = 0.
3. Begitu juga sebaliknya jika kita mencari sebuah titik pada 𝑉2 = 0 misalkan titiknya adalah
𝑃 𝑥, 0,0 . Kemudian kita dapat menghitung jarak titik 𝑃(𝑥, 0,0) ke bidang datar 𝑉1 = 0.
4. Perlu diingat bahwa , jarak titik 𝑅(0,0, 𝑧) ke bidang datar 𝑉2 = 0 dan jarak titik 𝑃(𝑥, 0,0) ke
bidang datar 𝑉1 = 0, akan memiliki jarak yang sama, karena kedua bidang datar tersebut
sejajar.

19. Contoh
Hitunglah jarak bidang datar 𝑉 ≡ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 dan bidang datar 𝑊 ≡ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10.
Penyelesaian:
Untuk menyelesaiakan permasalahan tersebut, pertama sekali kita buktikan apakah kedua bidang
datar tersebut atau tidak?
1. Syarat dari bidang datar 𝑉 ∕∕ 𝑊 adalah memiliki vektor normal yang sama atau 𝑛 𝑉 =
𝑛 𝑊. Perhatikan vektor normal kedua bidang datar yaitu 𝑛 𝑉 = [1,1,1] dan 𝑛 𝑊 = 1,1,1 , karena 𝑛 𝑉 =
𝑛 𝑊 berarti 𝑉 ∕∕ 𝑊.
2. Ambil sebarang titik pada bidang datar 𝑊 yaitu 𝑅 0, 𝑦, 0 . Subtitusikan titik tersebut ke bidang datar
𝑊 sehingga di peroleh nilai 𝑦 = 10. jadi, titik 𝑅 0,10,0 .
3. Kemudian carilah jarak titik 𝑅(0,10,0) ke bidang datar 𝑉 ≡ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 dengan menggunakan
persamaan (19) yaitu:

20. 𝑑 =
𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 + 𝐷
𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2
𝑑 =
1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 10 + 1 ⋅ 0 − 4
12 + 12 + 12
𝑑 =
6
3
𝑑 = 2 2
Subtitusikan nilai 𝐴 = 1, 𝐵 = 1, 𝐶 = 1, 𝐷 = −4, 𝑥1 = 0, 𝑦1 = 10, dan 𝑧1 = 0 kepersamaan 𝑑 yaitu:
Jadi, jarak antara bidang datar 𝑉 ≡ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 dan bidang datar 𝑊 ≡ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10

21. Latihan
1. Tentukan persamaan vektoris dan persamaan linier bidang datar melalui tiga titik (3, 4, 1), (−1, −2, 5), dan (1, 7, 1)!
2. Tentukan persamaan linier bidang datar yang melalui (3, −2, −4) yang horizontal!
3. Tentukan persamaan linier bidang melalui (−1, 2, 4) dan sejajar bidang datar 2𝑥 − 3𝑦 − 5𝑧 + 6 = 0!
4. Tentukan persamaan bidang datar yang tegak lurus bidang-bidang datar 7𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 5 = 0 dan 4𝑥 − 𝑦 − 𝑧 +
9 = 0!
5. Bidang-bidang datar dibuat sehingga sudutnya dengan garis lurus 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 adalah 60° dan sudutnya dengan garis
lurus 𝑥 = 0 = 𝑦 − 𝑧 adalah 45°. tunjukkan bahwa semua bidang datar itu membuat sudut 60° dengan bidang 𝑥 = 0!
6. Carilah persamaan bidang datar yang melalui titik:
a. 𝐴(2,1,2), 𝑂(0,0,0) dan tegak lurus dengan bidang datar 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 2 = 0.
b. 𝑃(1,0, −2) dan tegak lurus dengan kedua bidang datar 𝑉1 ≡ 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 dan 𝑉2 ≡ 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 3.
7. Tentukan jarak:
a. Titik 𝐴(0,0,0) ke bidang datar 3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 2.
b. Antara dua bidag datar 3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 9 dan bidang datar 3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 7.

22. REVIEW GAMES
ENGLISH MATH SCIENCE ART
This is an interactive template: each button is linked to a different slide.
Please modify these links accordingly when you’re done editing this presentation.
10 Points 10 Points 10 Points 10 Points
20 Points 20 Points 20 Points 20 Points
30 Points 30 Points 30 Points 30 Points
40 Points 40 Points 40 Points 40 Points