Funciones jose arismendi.

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
SEDE BARCELONA MATERIA: FORMACIÓN CULTURAL
AREA: MATEMÁTICA
ELABORADO POR:
ARISMENDÍ, JOSÉ
CI: 30.804.706-B
BARCELONA, NOVIEMBRE DE 2021

FUNCION CONSTANTE:
Una función constante es aquella función que siempre toma la misma
imagen para cualquier valor de la variable independiente (x), es decir, una
función constante es de la forma f(x)=k, donde k es un número real
cualquiera.
La representación gráfica de una función constante es una recta horizontal.
Representar gráficamente una función constante es bastante fácil,
simplemente hay que dibujar una recta horizontal en el valor de la función
(k).
Fíjate en los siguientes ejemplos en los que hemos representado en un gráfico
tres funciones constantes diferentes:
Por ejemplo, todas las siguientes funciones son con

A continuación, vamos analizar las propiedades que tiene la función
constante. Sea una función constante de valor cualquiera:
 El dominio de la función constante son todos los números reales:
 El recorrido o rango de la función constante es únicamente el valor
de la constante:

FUNCION LINEAL:
Una función lineal es una función polinómica de grado 1 que pasa por el
origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Son funciones rectas de
la forma:
Siendo m la pendiente y diferente de 0.
Representación gráfica:

La m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación con respecto al
eje X (eje de abscisas). Si m es positiva (m > 0), entonces la función es
creciente. En cambio, si la m es negativa (m < 0), entonces la función es
decreciente.
La pendiente m significa que si aumentamos la x en una unidad, la y aumenta
en m unidades. Si la m es positiva, según aumente la x la y también irá
aumentando (función creciente). En cambio, si m es negativa, cuando
aumenta la x la y disminuirá (función decreciente).
Dominio de la función:
Dom f(x) = R o también puede expresarse Dom f(x) = (– ∞, + ∞)
Rango de la función:
Rango = (– ∞, + ∞).

EJERCICIO 1:
Determinar Dominio y Rango de f(x) = X + 3
Lo primero que hacemos es tabular valores de los pares ordenados x,y
para representarlos en el plano cartesiano:
Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los punots para
obtener la gráfica de nuestra función.

FUNCIÓN CUADRÁTICA:
Una función cuadrática es aquella de la forma y = ax2 + bx + c. Si la
representamos gráficamente, obtenemos una parábola. Vamos a ver
cómo se calculan los elementos de esa parábola:
ORIENTACIÓN: Para saber si una parábola está abierta hacia
arriba o hacia abajo, tan solo hay que mirar el término ax2. Si a es
positivo, está abierta hacia arriba, y si es negativo, hacia abajo.

VÉRTICE: Es importante calcularlo, ya que es el máximo o el mínimo
de la parábola, dependiendo de su orientación. Si queremos dibujarla,
es un punto clave. Calcularlo es sencillo, ya que la coordenada x es -
b/2a. Para hallar al coordenada y, basta con sustituir en la fórmula el
valor de la x.
Por ejemplo, en la parábola y = x2 - 4x + 5, el vértice estará en:
EJE DE SIMETRÍA: El eje de simetría siempre es vertical, y pasa por
el vértice, luego su ecuación será:
x = vx es decir, x = -b/2a
En el ejemplo anterior, el eje de simetría tiene por ecuación: x = 2

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES: En el eje Y la coordenada x es
cero, luego, sustituyendo este valor en la fórmula, hallamos la y:
y = a·02 + b·0 + c = c, por lo que el punto de corte es el (0, c)
En el eje X, es la y la que vale cero. Sustituimos en la fórmula y hallamos
los valores de x:
ax2 + bx + c =0
DOMINIO Y RANGO:Como con cualquier función, el dominio de función
cuadrática f(x) es el conjunto de los valores de x para los cuales la función
está definida, y el rango es el conjunto de todos los valores de salida
(valores de f).
Las funciones cuadráticas generalmente tienen la recta real de enteros
como su dominio: cualquier x es una entrada legítima. El rango está
restringido a esos puntos mayores que o iguales a la coordenada en y del
vértice (o menores que o iguales a, dependiendo si la parábola abre hacia
arriba o hacia abajo).

EJEMPLO 1:
Determinar Dominio y Rango de f(x) = x2 - 2x – 3
Tabulamos valores de los pares ordenados x,y para representarlos en el
plano cartesiano:
Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los puntos para obtener
la gráfica de nuestra función.

EJEMPLO 2:
Determinar Dominio y Rango de f(x) = – x2 + 5x – 4
Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los puntos
para obtener la gráfica de nuestra función.

FUNCIÓN RADICAL
Es una función que tiene la forma
Donde Pn(X) es un polinomio de grado n. Como ejemplo básico y sencillo
se puede considerar a semi-parábola de eje horizontal cuya
gráfica es:

EJEM.PLO 1:
Determinar Dominio y Rango de
Cuando queremos hallar el dominio de este tipo de funciones lo
primero que debemos hacer es tomar lo que hay dentro de la raíz y
hacer que sea mayor o igual que cero. A continuación se resuelve esa
inecuación y la solución de dicha inecuación conforma el dominio de
la función.
Rango= [0,+∞).

EJERCICIO 2.
Raíz de índice impar:
Dom f(x) = R
Rango =
todos los reales

FUNCIÓN RACIONAL:
Una función racional f(x) es el cociente irreducible de dos polinomios
(para ello, no deben tener las mismas raíces). La palabra racional hace
referencia a que esta función es una razón.
P(x) es el polinomio del numerador y Q(x) el del denominador (La
variable x debe de estar en el denominador).
El dominio de una función racional son todos los números reales excepto
los valores de la variable x que anulan el denominador (Q(x)) = 0), es
decir, excepto las raíces del polinomio correspondiente al denominador.

La gráfica de estas funciones, si el polinomio del denominador Q(x) es de
grado 1, es una hipérbola:
(En todas las funciones racionales en las que el grado del polinomio del
numerador P(x) sea el mismo que grado del denominador Q(x), existe
una asíntota horizontal y = a / k, siendo aquí a y k los coeficientes de los
términos de mayor grado de P(x) y de Q(x)) respectivamente.

EJERCICIO 1:
Como sabemos, el denominador no puede ser igual a cero, porque la función
no tendría solución, luego lo primero que haremos es Igualar a cero el
denominador para establecer que valores arrojan como valor cero:
Tabulamos algunos valores para graficar nuestra función.
De donde obtenemos que las raíces son: X = -2 y X = 2. Estos
son los valores para los cuales no está definido el
denominador. Entonces, el dominio estará formado por
todos los reales excepto los números
“2” y “ -2”
Dom f(x) = R – {-2,2} ; (– ∞ , -2) U (-2,2) U (2 , + ∞ )

Ahora vamos a establecer si hay valores de y para los cuales la función no
esté definida. Para ello despejamos la variable x:
La gráfica presenta una asíntota horizontal
en “Y = 2”, pero además podemos notar que
la curva que está debajo del eje “X” corta al
eje “Y” en el punto (0,-0.5). Luego el Rango
será:
Rango = (– ∞, -0.5] U (2, + ∞)
Verifique que los valores de “Y” entre “Y =
-0.5” y “Y = 2” no están señalados en la
gráfica, por lo tanto no pertenecen al
Rango.

EJERCICIO 2:
Igualamos a cero el denominador. Como podemos ver, no existe ningún
valor para el cual x sea igual a cero, es decir x puede tomar cualquier
valor en R. Por lo tanto, el Dominio estará representado por todos los
números reales.
Dom f(x) = R
Ahora vamos a establecer si
hay valores de y para los cuales
la función no esté definida.
Para ello despejamos la
variable x:

La gráfica presenta una asíntota horizontal en “Y = 2”, pero además
podemos notar que la curva corta al eje “Y” en el punto (0,0.5).
Luego el Rango será:
Rango = [0.5, 2)

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO:
La función valor absoluto asocia a cada número su valor absoluto, es decir
su valor prescindiendo del signo, esta función se puede escribir
descompuesta en dos tramos:
La gráfica de la función valor absoluto es una curva en forma de "V",
hacia arriba o hacia abajo. La función VALOR ABSOLUTO puede tener
en su argumento una función LINEAL o de orden SUPERIOR,
CUADRÁTICA, CUBICA, etc. la función LINEAL es aquella función de la
forma f(x) = |ax - h| + k.

EJEMPLO 1:
Dada la función
Graficar aplicando los siguientes pasos:
 El vértice Como expresión dentro del argumento es una función línea,
entonces:
La coordenada Vx del vértice es donde el argumento se hace 0:
2x - 2 = 0 → 2x = 2 → x = 1 → V x = 1
La coordenada V y del vértice es f (Vx): → f (Vx) = 2(1) - 2 - 1 → f (Vv)
= 2 - 2 - 1 → y = 1 → Vy = - 1
El vértice es el punto cuyas coordenadas son: V(1,-1)
 El Dominio La "x" no aparece en un denominador ni en un radical, el Df
son todos los Reales: ℝ → Df: (-∞, ∞).
 El Rango son todos los números Reales comprendidos entre
(Vy, ∞) → Rf:(-1, ∞).
 Intercepto con el EJE X: Hacemos y = 0:
Ix = (2x - 2) - 1 = 0 → 2x - 2 - 1 = 0 → 2x = 1 + 2 → x = 3/2
Ix(1.5, 0)
Ix = -(2x - 2) . 1 = 0 → - 2x + 2 - 1 = 0 → - 2x = 1 - 2 → x = 1/2
Ix(0.5, 0)

 Intercepto con el EJE Y: Hacemos x = 0
y = |2x - 2| - 1 → y = |- 2| - 1 → y = 2 - 1 → y = 1 → Iy (0', 1)
 Elaborar una tabla de datos dando a "x" dos (2) valores anteriores a
h/a y dos valores después de h/a.
NOTA: La grafica es una LINEA RECTA,
que tiene un punto donde la función cambia
de signo, ese punto es el vértice de la
función V(x, y) = (1, -1) para valores
mayores que x = 1 la función es POSITIVA,
y para valores MENORES que x = 1 la
función es NEGATIVA pero la parte
NEGATIVA , la función la convierte a
POSITIVA.

EJEMPLO 2:
Dada la función
graficar aplicando los siguiente pasos:
 El vértice de la función, es un solo punto que tiene como coordenadas el
punto V(Vx, Vy).
Vx = -b / 2a → Vx = -2 / 2(1) → Vx = -2 / 2 → Vx = -1
Vy = f(Vx) → Vy = f(-1) → Vy = |(-1)2 + 2(-1) + 2 | - 2 → Vy = -1.
El vértice es el punto cuyas coordenadas son: V(-1,-1)
 El Dominio La "x" no aparece en un denominador ni en un radical, el Df
son todos los Reales: ℝ → Df: (-∞, ∞)
 El Rango son todos los números Reales comprendidos entre
(Vy, ∞) → Rf:(-1, ∞)
 Interceptos con el EJE X: Hacemos f(x) = 0:
X2+ 2x + 2 - 2 = 0 → x2 + 2x = 0 → = x(x + 2) = 0 → = x = 0 y x = - 2
factorizamos
Ix → (0, 0) y (-2, 0)
interceptos con el EJE Y: Hacemos x = 0

Hacemos X = 0 → Y = |x2 + 2x + 2| - 2 → y = |2| - 2 → y = 2 - 2 → y
= 0 → Iy (0, 0)
Elaborar una tabla de datos dando a "x" dos (2) valores anteriores y dos
valores posteriores al vértice.

FUNCIÓN PARTE ENTERA:
Las Funciones de Parte Entera son aquellas funciones que convierte un número
real en el número entero inmediatamente inferior.
La función parte entera se puede expresar como:
E(x) o también [x]
Veamos algunos ejemplos de funciones de parte entera:
f(x) = E(x)
Dominio todos los reales y su rango es todos los números enteros.

EJEMPLO 1:
Determinar el dominio y la imagen de la función cuya gráfica es la
siguiente:
Calcular las imágenes de 1.3, 2.6,
3.1, -0.3 y -4.4.
Solución
El dominio es todos los reales.
La imagen es el conjunto de los
números naturales, NN.
Se trata de la función parte
entera: f(x)= [x] f(x)= [x].
Calculamos las imágenes:

EJEMPLO 2:
Dominio todos los reales y
el rango todos los valores
enteros.

FUNCIONES RAMIFICADAS:
Las funciones ramificadas, o también llamadas funciones definidas en
intervalos o a trazos, son aquellas en las cuales la obtención de las
imágenes varía de acuerdo al intervalo del eje x que se esté utilizando.
Ellas se caracterizan porque contienen varias expresiones algebraicas.
La expresión analítica no es única, sino que depende del valor de la
variable independiente.
Para determinar su dominio es preciso unir los diferentes subconjuntos
para los cuales está definida. El rango depende de las estructuras
funcionales que conforman la función ramificada y de los intervalos en
que estén definidas cada una.

EJEMPLO 1:
Sea la función definida así:
De acuerdo a la expresión dada notamos que la función posee tres tramos y
entre los tres cubren completamente el conjunto de los números reales. Esto
indica que su dominio es el conjunto de los números reales. Es decir;
𝐷𝑜𝑚𝑓: (−∞, +∞)
Esto se deduce de la siguiente manera:
𝑥 ≤ 0 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠 ( −∞, 0] ; 0 < 𝑥 < 5 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠 (0, 5) ; 𝑥 ≥ 5 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠 [5 , +∞ )
Luego se unen todos estos intervalos para construir el dominio de la función:
𝐷𝑜𝑚𝑓: ( −∞, 0] ∪ (0, 5) ∪ [5, +∞) = (−∞, +∞)
La representación gráfica se puede realizar, con ayuda de tablas de valores

EJEMPLO 2:
Notemos que la función está definida para cuatro regiones distintas.
Primero, para el intervalo tiene el valor 1. Luego, para el intervalo tiene
el valor de y así sucesivamente.
Por tanto, la gráfica es como se muestra en la siguiente figura:

FUNCION COMPUESTA:
Dadas las funciones f y g, la función compuesta fog está definida por:
En un diagrama de flechas, lo vemos de la siguiente manera:
Dominio de una función compuesta
En una función compuesta fog, el dominio está definido por la siguiente
expresión:

EJEMPLOS:
Dadas las funciones:
Calcular:

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