Ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν ορίστηκε τυχαία. Σκοπός του είναι να εκφράζει τη σύνθεση απεικονίσεων. Αν ένας πίνακας παριστάνει μια γραμμική απεικόνιση και ένας πίνακας μια άλλη , τότε το γινόμενο AB είναι ο πίνακας της σύνθεσης: .

1. Γιατί ο πολλαπλασιασμός πινάκων ορίστηκε έτσι; | Γιάννης Π. Πλατάρος
26/9/2025
Γιατί ο πολλαπλασιασμός πινάκων ορίστηκε έτσι;
Ο πολλαπλασιασμόςπινάκωνδενορίστηκε τυχαία.Σκοπόςτου είναι να εκφράζειτη
σύνθεσηαπεικονίσεων.Ανέναςπίνακας A παριστάνειμια γραμμικήαπεικόνιση A
T και
ένας πίνακας B μια άλλη B
T , τότε το γινόμενοAB είναι ο πίνακαςτης σύνθεσης:
AB A B
T T T
  .
Γεωμετρικό κίνητρο
Στην Ευκλείδεια γεωμετρία θέλουμε να περιγράψουμεμετασχηματισμούςόπως:
 Στροφέςγύρω απόσημείο.
 Κατοπτρισμούς(ανακλάσεις) ωςπρος ευθεία.
 Ολισθαίνουσεςανακλάσεις(κατοπτρισμός+μετατόπιση).
 Διαστολέςή ομοιοθεσίες.
Κάθε τέτοιος μετασχηματισμόςμπορείνα παρασταθείαπόένανπίνακα.Ότανκάνουμε
διαδοχικά δύομετασχηματισμούς,οπολλαπλασιασμόςπινάκωνδίνειακριβώς το νέο
αποτέλεσμα.
Παράδειγμα με στροφή
Η στροφήκατά γωνία  γύρω απότην αρχή δίνεταιαπό τον πίνακα:
cos sin
( ) .
sin cos
R
 

 
 

 
  
 
 
Αν περιστρέψουμε πρώτα κατά  καιμετά κατά  , το αποτέλεσμα είναιστροφήκατά
 
 . Και πράγματι:
( ) ( ) ( ).
R R R
   
 
Παράδειγμα με ανάκλαση
Η ανάκλασηως προς τον άξονα x δίνεταιαπό τον πίνακα
1 0
.
0 1
x
M
 
 
  

 
 
Η ανάκλασηως προς τον άξονα y δίνεταιαπό
1 0
.
0 1
y
M
 

 
  
 
 
Τότε
1 0
,
0 1
y x
M M
 

 
  

 
 
δηλαδήστροφή 180
.

2. Γιατί ο πολλαπλασιασμός πινάκων ορίστηκε έτσι; | Γιάννης Π. Πλατάρος
26/9/2025
Οι ομάδες συμμετρίας
Οι πίνακεςστροφήςκαι ανάκλασηςφτιάχνουνομάδεςμε τον πολλαπλασιασμόπινάκων:
Οι στροφέςγύρωαπότην αρχήσχηματίζουντην κυκλική ομάδα n
C ή το σύνολο (2)
SO .
Οι στροφές+ ανακλάσειςσχηματίζουντιςδιηδρικές ομάδες n
D .
Αν βάλουμε καιμετατοπίσεις,προκύπτουνοι ομάδεςισομετριώντου επιπέδου(π.χ.
ολισθαίνουσα ανάκλαση).
Παραστατικό σχήμα: Στροφή και Ανάκλαση

3. Γιατί ο πολλαπλασιασμός πινάκων ορίστηκε έτσι; | Γιάννης Π. Πλατάρος
26/9/2025
Παράδειγμα: Ολισθαίνουσα ανάκλαση
Ασκήσεις
Λυμένες ασκήσεις
1) Δίνεταιο πίνακας στροφήςκατά 90
γύρωαπότην αρχή:
0 1
.
1 0
R
 

 
  
 
 
Να βρεθείτο αποτέλεσμα τηςσύνθεσης 2
R .
Λύση:
2 0 1 0 1 1 0
.
1 0 1 0 0 1
R R R
     
  
     
   
     

     
     
Πρόκειταιγια στροφήκατά 180
.

4. Γιατί ο πολλαπλασιασμός πινάκων ορίστηκε έτσι; | Γιάννης Π. Πλατάρος
26/9/2025
2) Να δειχθείότι η ανάκλασηως προς τον άξονα x ακολουθούμενηαπόανάκλασηωςπρος
τον άξονα y ισοδυναμείμε στροφή 180
.
Λύση:
1 0 1 0
, .
0 1 0 1
x y
M M
   

   
 
   

   
   
Τότε
1 0
0 1
y x
M M
 

 
  

 
 
, δηλαδή στροφή 180
.
Άλυτες ασκήσεις
1) Να δείξετε ότι ( ) ( ) ( )
R R R
   
  για κάθε γωνία ,
  .
2) Δίνεταιτο αρχικό τετράγωνο 0
S .Να σχεδιάσετε τοσχήμα πουπροκύπτειανπρώτα
εφαρμοστείηανάκλαση x
M καιμετά στροφήκατά 90
.
3) Να υπολογιστείηολισθαίνουσα ανάκλασηπουπροκύπτειαπόανάκλασηωςπρος x και
μεταφορά κατά τοδιάνυσμα (2,0).Δώστε τον αντίστοιχοπίνακα σε ομογενείς
συντεταγμένες.
Ομογενείς συντεταγμένες
Στους κανονικούς 2 2
 πίνακεςμπορούμε να εκφράσουμε μόνογραμμικούς
μετασχηματισμούςπουαφήνουντην αρχή (0,0) σταθερή(στροφές,διαστολές,
ανακλάσεις).Για να περιλάβουμε καιτις μεταφορές(π.χ. ,
x΄ x a y΄ y b
    ),περνάμε
στις ομογενείςσυντεταγμένες: ( , ) ( , ,1)
x y x y
a .
Τότε κάθε μετασχηματισμόςπαριστάνεταιμε πίνακα 3 3
 της μορφής:
.
0 0 1
x
y
a b t
T c d t
 
 
 
  
 
 
 
 
Αν ( , ,1)
x y είναισημείο,τότε
.
1 1
x
y
x ax by t
T y cx dy t
   
 
   
   
   
   
   
   
   
   

5. Γιατί ο πολλαπλασιασμός πινάκων ορίστηκε έτσι; | Γιάννης Π. Πλατάρος
26/9/2025
Παραδείγματα
1. Μεταφορά κατά (2,3) :
1 0 2
0 1 3 .
0 0 1
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Στροφή γύρωαπότην αρχήκατά  :
cos sin 0
sin cos 0 .
0 0 1
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
3. Ολισθαίνουσα ανάκλαση(ανάκλασηωςπροςx και μετά μεταφορά
(2,0)):
1 0 2
0 1 0 .
0 0 1
 
 
 

 
 
 
 
 
Λεξικό όρων
• Αφινικός μετασχηματισμός(Affinetransformation):Μετασχηματισμόςπουδιατηρεί
παράλληλεςευθείεςαλλά όχι κατ’ ανάγκηναποστάσειςήγωνίες.Περιλαμβάνειστροφές,
μεταφορές,ομοιοθεσίες,διαστολές,ανακλάσειςκαισυνδυασμούςαυτών.Εκφράζεταιμε
ομογενείςπίνακες 3 3
 .
• Ισομετρία:Μετασχηματισμόςπουδιατηρείαποστάσεις.Παραδείγματα:στροφή,
ανάκλαση,μεταφορά.Όλεςοι ισομετρίεςείναιαφινικοίμετασχηματισμοί,αλλά όχι όλοι οι
αφινικοίείναι ισομετρίες.
• Στροφή:Ισομετρία πουδιατηρείαποστάσειςκαιγωνίες,στρέφονταςτοεπίπεδογύρω
απόένα σημείο.
• Ανάκλαση(Κατοπτρισμός):Ισομετρία πουαντιστρέφειτονπροσανατολισμόωςπρος
ευθεία.
• Ολισθαίνουσα ανάκλαση:Σύνθεσηανάκλασηςκαιμεταφοράςκατά διάνυσμαπαράλληλο
προς την ευθεία ανάκλασης.
• Διηδρικήομάδα n
D : Η ομάδα όλων των ισομετριών (στροφέςκαιανακλάσεις) ενός
κανονικού n -γώνου.
• Αφινική ομάδα:Τοσύνολοόλων των αφινικώνμετασχηματισμώνμε πράξητη σύνθεση.