Scan Registration for Autonomous Mining Vehicles Using 3D-NDTKitsukawa Yuki
研究室のゼミの論文紹介の発表資料です。
Magnusson, M., Lilienthal, A. and Duckett, T. (2007), Scan registration for autonomous mining vehicles using 3D-NDT. J. Field Robotics, 24: 803–827. doi: 10.1002/rob.20204
Molecular dynamics (MD) is a very useful tool to understand various phenomena in atomistic detail. In MD, we can overcome the size- and time-scale problems by efficient parallelization. In this lecture, I’ll explain various parallelization methods of MD with some examples of GENESIS MD software optimization on Fugaku.
21. 長距離相互作用 Ewald法
• Ewald法のよるポテンシャル
(1) (2) (3)
N N N NV V V V=
(1)
0
erfc( | |)1
2 4 | |
i j i j
N
i ji j
Q Q L
V
L
=
n
r r n
r r n
′
2 22 2
(2)
3 2
00
1 exp( | | /4 )
cos sin
2 | |
i i i iN
i i
V Q Q
L
=
G
G
G r G r
G
2
(3)
04
i
N
i
Q
V
=
bookkeeping法
セルインデックス法
Gについてのループ分割 → PMEによる高速化
実空間での相互作用
LJと一緒に計算する
22. 2
2
(2)
3 2
00
3
00
| |
exp
1 4
exp( ) exp( )
2 | |
1
( ) ( ) ( )
2
i i j jN
i j
V Q i Q i
L
H S S
L
=
=
G
G
G
G r G r
G
G G G 2
2
2
exp
4
( )H
=
G
G
G
( ) exp( )i i
i
S Q i= G G r
ˆ( ) ( )exp( )S S i=
u
G u G u
(2)
3
0
1 ˆ ˆˆ ( ) ( )
2
NV H S S
L
=
u
u u
逆格子ベクトルの項は
S(G)を毎ステップ計算しなければならない。
S(G)を格子点uにおける補間を用いて表現すると
S(G)の計算に補間法を利用(格子点で評価)
高速フーリエ変換(FFT)利用 O(NlogN)
Particle mesh Ewald(PME)法
となる。ここでS(u)はS(G)のuにおける重み因子。これにより
25. Multiple time step
• 同じMD計算のなかで変化の速いものと遅いものがある場
合には,速い変化のほうに対応した小さなΔtを選択しなけ
ればならない.
• Hに対する運動方程式とほかの重い原子に対する運動方
程式を区別して,異なったΔtで解くことができれば非常に
都合のよい(部分的にΔtを大きくできる)ことになる.この
考え方に基づいた方法がMultiple time step法である.
例
United atomのブチルアルコールのフレキシブルモデル
CH3-CH2-CH2-CH2-O-H
2fstD = 0.1fstD =
26. Multiple time step
• 時間発展演算子法により、重い(遅い)運動と軽
い(速い)運動とを分離して数値積分する。
• 時間発展演算子法
リウビル演算子 L
時間発展演算子
異なる自由度など2つの部分に分離できると
/2 /2 3
e e e e O( )p pri t i ti t i t
tD DD D
DL LL L
=
27. Multiple time step
• 時間発展演算子法により、重い(遅い)運動と
軽い(速い)運動とを分離して数値積分する。
リウビル演算子 L
時間発展演算子
/2 /2
/2 2 2 /2
e e e e
e e e e e
heavy r light heavy
heavy light light heavyr
i t i t i ti t
ni t i t t i t i ti t
D D DD
D D D
L L L LL
L L L LL
28. On the fly による最適化
0 polU U U=
pol
1
2
i i i i
i i
U
= E μ μ μ
• 第一原理MD(Car-Parrinello法)
• 電荷揺らぎモデル(TIP4P-FQ、SPC-FQモデル)
• 分極モデル(点双極子モデル)
• 最適値を得るために繰り返し計算を必要する変数を含む
• 繰り返し計算を行わず、最適値近傍を動的に揺らがせる近似解で満足できる場合
• その変数に仮想的な慣性量、運動エネルギーを与えて運動方程式を解く。
• 繰り返し計算がなくなるため高速化が可能。
• 運動エネルギーの相当する分だけ最適値からずれて、誤差が生じる。
i ij i= E T μ
i i=μ E
2 2
1 1
1 1
,
2 2
N N
N N
i i
i i
L mr M U
= =
= r μ
,N N i
i iM L
= =
μ
μ r μ E
分極モデル 拡張系のラグラジアン
粒子と双極子モーメントの自由度がある。
双極子モーメントの運動方程式
29. 高速化のために
遅い演算(除算と組み込み関数)
• 除算は他の四則演算より遅い。
• 組み込み関数も時間のかかる演算である。
• ホットスポット内ではできるだけこれらの演算を減らすように工夫
する。
do i=1,n
b(i)=a(i)/x
enddo
y=1.d0/x
do i=1,n
b(i)=a(i)*y
enddo
除算をループの
外へ移動
do i=1,n
x(i)=a(i)/b(i)/c(i)
enddo
do i=1,n
x(i)=a(i)/(b(i)*c(i))
enddo
除算を乗算に変更
do i=1,n
x(i)=a(i)/b(i)
y(i)=c(i)/d(i)
enddo
do i=1,n
tmp=1.d0/(b(i)*d(i))
x(i)=a(i)*d(i)*tmp
y(i)=c(i)*b(i)*tmp
enddo
通分の利用
39. 静電相互作用
• 電気を帯びた系:水、電解質溶液、タンパク質、脂質な
どの両親媒性分子、イオン液体、、、
• 周期境界条件 カットオフ
Ewald法 O(N2)
Particle Mesh Ewald法 O(NlogN)
Darden,et al. (1993),Essman, et al. (1995)
高速多重極展開法(FMM) O(N)
Greengard, Rokhlin (1987)
Multilevel summation法 O(N)
D. J. Hardy, et al. (2015)
40. FMMの概要
相 互 作 用 の 計 算 方 法 .
P2M
M2M
M2L
L2L
L2PP2M
M2L
多 極 子 モ ー メ ン ト
原 子 i
局 所 展 開 係 数
AB B
B B B
CD
D
D
D
レ ベ ル 4
レ ベ ル 3
レ ベ ル 4
A
B
C
D
E
F
G
原 子 と サ ブ セ ル と の 相 互 作 用 .
第
一
隣
接
イ
メ
ー
ジ
セ
ル
第
二
隣
接
イ
メ
ー
ジ
セ
ル
第
三
隣
接
イ
メ
ー
ジ
セ
ル
基
本
セ
ル
41. GreengardらによるFMMの定式化
1
0
,
,
1
n
n m
m
nn m
n
nnY
Y
rr
= =
=
×
, ,
, ,r r
球面調和関数
!
, cos
!
m m im
n n
n m
Y P e
n m
=
1
0
,
,m
n
n
i n
i n
n m n
n
mq
P q Y
r
Y
r
=
=
= =
多極子モーメント
P
Q
,m n m
n i n ii i
i
M Yq
=
42. FMMにおける変換
• P2M
• M2M
• M2L
• L2L
• L2P
,m n m
n i i n i i
i
M q Y
=
0
,k m k mk m m k m n mj n
j n n j n nk
j k
n m n j
M i A A Y
M
A
= =
=
1
0
,
1
k m k mm m k m kn
n n j n jk
j n m k n j
n m n n j
M i A A Y
L
A
= =
=
0
,
1
m m k km m k k m k n jn
n n j j n jk
j n j m
n m n n
L i A A Y
L
A
= =
=
0 0
,
4
j
i k k j
i j j i i i
j k j
q
L Y r
= =
=
max
0
,
n j
k n k
i i j i i j i i
j k j
q L r Y
= =
= f
1 1
1, ,j k j k
i i j i i i j i ir Y r Y
1
n
m
nA
n m n m
=
43. Solid harmonics化
, , cos
!
m m imr
R r P e
m
=
1
!
, , 1 cosmm m imm
S r P e
r
=
2
cos sin cos
cos
1
sin cos 1
2 ! cos
m
mm
m
m
m
m
d
P P
d
d
d
=
=
0
1 m m
S R
S R m
S R
= =
=
r r
r r
m m
i i
i
M q R= r
max
0
n
m m
M M R
= =
=
max
0
n
mm
L M S
= =
=
maxn
m m
L L R
= =
=
max
00
1
4
n
m m
m
L M
= =
=
max
1 1
1 1
1 1
1 1
0
1
1
2
1
2
m m
n
m m m
i i
m
m
R R
q L R R
R
= =
=
f
• P2M
• M2M
• M2L
• L2L
• L2P
Legendre陪関数
Regular solid harmonics
Singular solid harmonics
FMMにおける変換
44. 実部、虚部の対称性の利用(実数化)
• Regular, singular solid harmonicsや多極子モーメント、
局所展開係数の実部、虚部の間にある対称性を利用
してこれらの要素数を減らし、変換の演算量の削減を
図る。
*
1 m
n
m
n
m
R R
= m
nS m
nMm
nL も同様の式が成り立つ
mの非負部のみ取り扱えばよい
n m n
0 m n
要素数
2
max 1n
max max1 2
2
n n
=25 (nmax=4)
=15
maxn
m m
L L R
= =
=
実部、虚部の間にある対称性
45.
max
max
max
1
1
0
1
0
1
0
1 1 1
n
m m
n
m m m
n
m
m m mm m m m
m m
L L R
L R L R L R
L R L R L R
L R L R R L R
= =
= =
= =
=
=
=
=
=
=
max
max
2
1
1 1 10
1
1 1 1
n
m
n
m m mm m m m m
R
i L R L R R L R R
= =
= =
max
0
n
m m
M M R
= =
=
max
0
n
mm
L M S
= =
=
maxn
m m
L L R
= =
=
1m mm
R R
=
1
1
mm m
R R
=
2
max max1 2
2
n n
演算量=要素数2
22
max 1n
演算量の減少 (nmax=4)
2
2
15 1
2.7825
=
• M2M
• M2L
• L2L
実数化
実部、虚部の対称性の利用(実数化)
46. 直交座標の漸化式の利用
• 従来は、P2M,L2Pにおいて、原子座標として直交座標を球
面座標に変換し、球面調和関数を計算していた。
• ここでは、直交座標から直接solid harmonicsを求める漸化
式を導入し、座標変換を消去する。
, sin cosmm m
P r z r r P
=
1
2
1 2
1 2 1 !!
, 2 1 , 1
2 1 1
, , 2
m
m m
m m
m m
P r z zP r z m
m
zP r z r P r z m
m m
=
= =
1
, , ,
!
mm m
R x y z P r z x iy
m
=
2 1
!
, , ,
mm mm
S x y z P r z x iy
r
=
, cosmm m im
P r z x iy r P e
=
rでスケールされたLegendre陪関数
K. Nitadori, Particle mesh multipole method: An efficient solver for gravitational/electrostatic forces based on multipole method and fast
convolution over a uniform mesh.
Regular solid harmonics
Singular solid harmonics
m≧0についての漸化式
57. ( )
1
3
i
N N
ij ij
i j i
V
N kT
P
V V
=
r
r F
Local pressure from virial theorem
Z. S. Basinski, M. S. Duesbery, R. Taylor,
Can. J. Phys. 49, 2160(1971)
=
m j k l jljkjljk
jljkBN
rc
Rm
mR
RTkRP
)(
)(
8
1
)()(
jljkRR rf)(ee
( )
( ) ( )
2
N
T N
dP RR
P R P R
dR
= 0 =P : mechanical balance
Negative pressure instability
c.f. deinition by Harajima
Definition of local pressure by Irving-Kirkwood
- 34 atm
outside
inside
58. Origin of the negative pressure
1
( )
3
( ) ( )
N
i ij ij
j i
i i i
Q
V
P q Q
=
=
r r E
r r
240 excess negative charges at pH=7.4
( )
1
3
i
N N
ij ij
i j i
V
N kT
P
V V
=
r
r F
Local electrostatic pressure field
by the capsid圧力プロフィール
Local pressure from virial theorem
Pressure profile
59. Stroboscopic picture of a water
molecule crossing the capsid.
Exchange of water
1. Water exchange is in thermal
equilibrium and is very rapid.
2. The capsid doesn’t allow the ions to pass through.
→ The capsid works as a semipermeable membrane.
Cumulative number of transfer
→ Chemical potential of water molecules is the same
between the inside and outside of the capsid.
: from outside to inside
: from inside to outside
63. 参考文献
MD全般
• D. Frenkel, B. Smit,“Understanding Molecular Simulation," Academic Press, San Diego(1996).
• 上田 顕,「コンピュータシミュレーション」,朝倉書店(1990).
• M. P. Allen, D. J. Tildesley,“ Computer Simulation of Liquids," Oxford Science, Oxford(1987).
• J. P. Hansen, I. R. McDonald, “Theory of Simple Liquids," Academic Press, London(1986).
• 岡崎 進, 吉井 範行, コンピュータ・シミュレーションの基礎(第2版), 化学同人(2011).
力学
• H. Goldstein,「ゴールドスタイン新版古典力学(上),(下)」(瀬川富士,矢野 忠,江沢康生 訳),
吉岡書店(1983).
数値積分
• G. J. Martyna, M. E. Tuckerman, D. J. Tobias, M. L. Klein, Mol. Phys., 87,1117(1996).
Particle mesh Ewald法
• T. Darden, D. York, L. Pedersen, J. Chem. Phys., 98,10089(1993).
FMM
• L. Greengard, V. Rokhlin, J. Comput. Phys., 73,325(1987).
SHAKE
• G. Ciccotti, J. P. Ryckaert, Comp. Phys. Rep., 4,345(1986).
• P. Gonnet, J. Comput. Phys. 220, 740(2007).
MODYLAS
• Y. Andoh, et al., J. Chem. Theory Comput. 9, 3201( 2013)
• Y. Andoh, et al., J.Chem. Phys. 141, 165101 (2014).