Tài liệu hướng dẫn giải các bài tập về phương trình lượng giác cơ bản bao gồm phương trình bậc 2, chuyển đổi về phương trình bậc 2, và giải các phương trình thuần nhất bằng sin và cos. Các bài tập cụ thể có thể áp dụng các biến đổi và quy tắc khác nhau để tìm nghiệm. Nó cũng đề cập đến việc sử dụng các công thức và kỹ thuật như chia cho cos và hạ bậc sin, cos để giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

1. Thầy Kiên 01692894586. Email: vinhthanhvnn@yahoo.com
CÁC BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1) Phương trình bậc 2:
2
asin sin 0x b x c+ + =
Đặt t = sinx, 1t ≤
2
cos cos 0a x b x c+ + =
Đặt t = cosx, 1t ≤
2
a tan tanx 0x b c+ + =
Đặt t = tanx
2
cot cot 0a x b x c+ + =
BT1: Giải phương trình:
2
2sin 3sin 1 0x x− + =
BT2: Giải phương trình:
2
os 3cos 2 0c x x− + =
BT3: Giải phương trình:
2
3tan 5tan 7 0x x− − =
BT4: Giải phương trình:
2
4cot 3cot 11 0x x− − + =
2) Phương trình chuyển về phương trình bậc 2:
Sử dụng
2 2
os sin 1
1 1
tanx ;cot
cot tanx
c x x
x
x
+ =
= =
BT1: Giải phương trình:
2
4cos 3sin 5 0x x− − =
BT2: Giải phương trình:
2
3sin 4cos 7 0x x− + + =
BT3: Giải phương trình:
3tan 4cot 7 0x x− − =
Hướng dẫn:
(1) Chuyển 2 2
os 1 sinc x x= − rồi giải theo phương trình bậc 2.
(2) Chuyển 2 2
sin 1 osx c x= − rồi giải theo phương trình bậc 2.
(3) Đặt t = tanx, khi đó cotx =
1
t
rồi giải theo phương trình bậc 2.
3) Phương trình thuần nhất bậc 2 theo sin và cos:

2. Thầy Kiên 01692894586. Email: vinhthanhvnn@yahoo.com
2 2
2 2
asin sin cos os
sin sin2 os
x b x x cc x d
a x b x cc x d
+ + =
+ + =
Kiểm tra cosx = 0 có là nghiệm không, nếu không là nghiệm chia cả 2
vế cho cos2
x .
VD1: Giải phương trình:
2 2
3sin 4sin cos 5cos 4x x x x− + =
Hướng dẫn : Rõ ràng cosx = 0 không là nghiệm của phương trình,
chia 2 vế cho cos2
x ta được
2 2
2
4
3tan 4tan 5 4(1 tan )
os
x x x
c x
− + = = +
Ta có phương trình bậc 2 thông thường theo tanx.
4) Phương trình dạng asin cosx b x c+ = hoặc cos sina x b x c+ =
Chia 2 vế cho 2 2
a b+ rồi đặt 2 2 2 2
sin , os
a b
c
a b a b
α α= =
+ +
hoặc 2 2 2 2
os , sin
a b
c
a b a b
α α= =
+ +
rồi giải thông thường.
BT1: Giải phương trình:
sinx 3cos 1x− =
BT2: Giải phương trình
3cos sinx 2x + =
5) Hạ bậc sin, cos:
BT1: Giải phương trình
2 2 2 2
os os 4 os 2 os 3c x c x c x c x+ = +
BT2: Giải phương trình
2 2 2 2
sin 3 sin 4 sin 2 sin 5x x x x+ = +
Hướng dẫn:
(1)
1 os2 1 os8 1 os4 1 os6
2 2 2 2
c x c x c x c x+ + + +
⇔ + = +
os2 os8 os4 os6
2cos5 cos3 2cos5 cos
2cos5 ( os3 cos ) 0
c x c x c x c x
x x x x
x c x x
⇔ + = +
⇔ =
⇔ − =
(2)
1 os6 1 os8 1 os4 1 os10
2 2 2 2
c x c x c x c x− − − −
⇔ + = +
os6 os8 os4 os10c x c x c x c x+ = +
Biến đổi tương tự bài trên.

3. Thầy Kiên 01692894586. Email: vinhthanhvnn@yahoo.com
6) Dùng tồng, tích:
BT1: Giải phương trình
sin xsin4 sin2 sin3x x x=
BT2: Giải phương trình
os5 cos2 os4 cos3c x x c x x=
BT3: Giải phương trình
cos os2 os3 sinx sin2 sin3x c x c x x x+ + = + +
Hướng dẫn:
(1)
1 1
( os3 os5 ) (cos os5 )
2 2
c x c x x c x⇔ − = −
(2)
1 1
( os7 os3 ) ( os7 cos )
2 2
c x c x c x x⇔ + = +
(3)
(cos os3 ) os2 (sinx sin3 ) sin2
2cos2 cos os2 2sin2 cos sin2
os2 (2cos 1) sin2 (2cos 1)
(2cos 1)( os2 sin2 ) 0
x c x c x x x
x x c x x x x
c x x x x
x c x x
⇔ + + = + +
⇔ + = +
⇔ + = +
⇔ + − =
7) Dạng asin2 (sinx cos ) 0x b x c+ ± + =
Đặt sinx cos 2sin( ), 2
4
t x x t
π
= ± = ± ≤ . Khi đó
2
1 sin2t x= ± . Thế vào phương trình giải theo t.
BT1: Giải phương trình:
3sin2 4(sinx cos ) 1 0x x+ + − =
BT2: Giải phương trình:
sin2 6(sinx cos ) 3 0x x− + − + =
BT3: Giải phương trình:
3sin cos 4(sinx cos ) 7 0x x x+ − − =