1. Федеральное агентство по образованию
_______________________________________________________________
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский Государственный технологический институт
( Технический университет )
________________________________________________________________
Кафедра теоретической механики
Ю.А. ИВАНОВ
ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ
ДИНАМИКИ
Методические указания
Санкт-Петербург
2009

2. УДК 531
Иванов Ю.А. Прямая и обратная задачи динамики: методические
указания.- СПб.: СПбГТИ(ТУ), 2009.- 24 с.
Методические указания содержат систематизированный материал
теоретического и примеры для решения задач по теоретической механике.
Сделан акцент на применение основных законов механики применительно
к особенностям специальностей технологов. Указания дают возможность
студентам самостоятельно оценить место законов теоретической механики
при изучении технологических дисциплин, таких как процессы и аппараты,
технологическое оборудование и т.п. Предлагается компьютерный вариант
изложения .
Методические указания предназначены для студентов первого и
второго курса всех факультетов химико-технологического цикла.
Предлагаемые указания соответствует рабочей программе курса
теоретической механики.
Илл. 8 , табл. 1, 2 библиогр. назв.
Рецензент
В.С. Капитонов, канд. физ.-мат. наук,
доцент кафедры Высшей математики СПбГТИ(ТУ)
Утверждено на заседании методической комиссии физико-
математического отделения 03.04.2009 г.
Рекомендовано к изданию РИСо СПбГТИ(ТУ).
2

3. Содержание
1.ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.................................................... 5
1.1.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПРИ
РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБАХ ЗАДАНИЯ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ ................................. 5
1.2.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕСВОБОДНОЙ
ТОЧКИ...................................................................................................................... 7
1.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ.............................................................................................. 9
1.4. ДВЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ......................................................................... 10
2.РЕКОМЕДУЕМАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ...... 112
3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ...................................................................... 12
4.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ........................................................................... 19
5. РАСЧЕТ В ТРУБОПРОВОДЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
ЗАТОРА D для обеспечения нормального функционирования АППАРАТА
С ПЕРЕМЕШИВАЮЩИМ УСТРОЙСТВОМ……………………………. 20
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ............................................. 214
4.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ........................................................................... 19
3

4. ВВЕДЕНИЕ
При рассмотрении движения материальных объектов иногда по
условию решаемой задачи допускается представление данного объекта в
виде материальной точки. Механическое движение материальной точки
подчиняется первым двум законам Ньютона. Эти законы справедливы лишь
в инерциальных системах отсчета. Последующее развитие представления о
пространстве и времени привело к полному отрицанию абсолютного
пространства. Кроме того, движение, происходящее с постоянной скоростью
в одной системе отсчета, может представляться ускорениями в другой
системе отсчета, поэтому принцип инерции, или первый закон Ньютона, не
обладает универсальностью, хотя как показывают наблюдения, в некоторых
системах отсчета принцип инерции оказывается справедливым. Установлено,
что гелиоцентрическая система координат, связанная с центром солнца и
осями, направленными на неподвижные звезды, весьма близка к
инерциальной системе отсчета, по отношению к которой регистрируется
движение материальной точки и уже относительно нее справедлив второй
r r
( )
d r r dv
закон Ньютона: mV = F или m = F , где m –масса материальной точки;
dt dt
r r
mV - количества движения; F - равнодействующая сил, приложенных к
точке.
Второй закон Ньютона первоначально применялся для рассмотрения
движения свободной материальной точки, пока не был дополнен аксиомой
освобождаемости от связей. Для рассмотрения движения несвободной
материальной точки может быть использован принцип Даламбера, который
эквивалентен основному закону динамики вместе с принципом
освобождаемости от связей, суть которого состоит в приведении уравнения
движения к уравнению равновесия сил за счет введения сил инерции.
4

5. 1.ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
1.1.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПРИ
РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБАХ ЗАДАНИЯ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ
Как известно из кинематики, движение точки можно задать тремя
способами: векторным, координатным и естественным. Каждому из этих
способов соответствует особая форма записи дифференциальных уравнений
движения материальной точки.
Рисунок 1.1 Схема задания движения материальной точки
Здесь принято:
r
r - радиус-вектор точки М, проведенный из начала неподвижной системы
координат;
r r r
i , j , k -единичные векторы (орты) неподвижной системы координат;
S -криволинейная координата, задающая положение точки М вдоль дуги
траектории;
r r r
τ , n , B -единичные векторы (орты) естественного трехгранника.
Тогда в векторной форме уравнение движения свободной
материальной точки или основной закон динамики записывается в виде
r
r r r r r
dV d 2r r r
m = F (t , r , V ) или m 2 = F (t , r , V ) (1.1.)
dt dt
Если спроектировать данное векторное уравнение на оси координат, то
получим систему дифференциальных уравнений движения материальной
точки в координатной форме.
Дифференциальные уравнения движения в декартовой системе
координат имеют вид
5

6. m&& = Fx(t , x, y, z , x, y, z );
x & & &
m&& = Fy (t , x, y, z , x, y, z ) ;
y & & & (1.2.)
m&& = Fz (t , y, x, z , x, y, z );
z & & &
где Fx, Fy, Fz соответствующие проекции результирующей силы на оси
координат.
Другой разновидностью координатного способа задания может быть
цилиндрическая система, в которой уравнения движения материальной точки
имеют вид
m(&& − rθ 2 ) = F2 (t , r , θ , z , r , θ , z );
r & & & &
m(rQ + 2rQ) = FQ (t , r , Q, z , r , Q, z );
&& && & & &
m&& = F (t , r , Q, z , r , Q, z );
z z & & &
где Fz , Fr , FQ - проекции силы на ось z направление радиуса-вектора и
перпендикулярное к нему в направлении увеличения угла θ .
В сферической системе справедливы равенства
m( R − Rϕ 2 − R cos 2 ϕθ 2 ) = FR (t , R, θ , ϕ , R, θ , ϕ );
&& & & & & &
[ & & & ]
m R cos ϕθ& + 2( R cos ϕ − R sin ϕϕ )θ = F (t , R, θ , ϕ , R, θ , ϕ ),
&
θ
& & &
где FR , Fθ , Fϕ -проекции силы на направление радиуса-вектора и
перпендикулярное к нему направление (в сторону увеличения угла θ и ϕ ).
Если пользоваться описанием движения в естественной форме, то нужно
спроектировать основное уравнение динамики (I.I) на оси естественного
трехгранника
mWτ = Fτ (t , s, s );
&
mWn = Fn (t , s, s );
&
mWB = FB (t , s, s );
&
где Fτ , Fn , FB - проекции силы на касательную, главную нормаль и бинормаль.
Вспоминая известные из кинематики выражения для проекций
ускорений, одно из которых WB = 0 , получим уравнения:
d 2S V2
m = Fτ ; m = Fn ;0 = FB ;
dt 2 ρ
где ρ -радиус кривизны в текущей точке траектории.
Силы, входящие в эти дифференциальные уравнения, зависят лишь от
взаимодействия материальной точки с окружающими телами, которые, в
свою очередь, в общем случае являются функцией координат, скоростей,
иногда ускорений и времени. Таким образом, по характеру взаимодействия
материальной точки с окружающим можно разделить силы на следующие
классы:
- полевые силы, которые определяются величиной поля
(электростатического, гравитационного и т.п.), создаваемого внешними
объектами в данной точке;
- диссипативные силы, или силы сопротивления, зависящие от скорости
материальной точки;
6

7. - инерционные силы, возникающие в подвижных системах отсчета или
инерционные силы от присоединений массы среды;
- силы реакции связей, зависящие от расположения твердых тел,
непосредственно соприкасающихся с материальной точкой и
ограничивающих ее движение.
Простейшим видом полевых связей являются потенциальные силы,
зависящие лишь от координат точки и времени и имеющие вид
r r ∂∏ r ∂∏ r ∂∏ r
F (r , t ) = −∇ ∏(ε , t ) = −( i+ j+ k ),
∂x ∂z ∂z
где функция ∏ - потенциальная энергия.
Более сложным видом полевых сил являются обобщенно-
потенциальные, зависящие не только от координат точки, но и от ее
скорости, например, гироскопические силы.
Диссипативные силы обусловлены трением частицы об окружающую
среду, зависят они от скорости, и в простейшем случае (линейное
сопротивление) выражаются в виде r r
F = −bV .
Силы инерции зависят от ускорения, которое сообщается объекту при
рассмотрении его движения в инерциальной системе отсчета
r r
Φ = − mW .
Силы реакции связей во многих случаях могут быть представлены как
потенциальные силы.
Во многих задачах динамики изучается движение точки или системы
материальных точек под действием центральных или взаимных центральных
сил различной природы: гравитационных, электрических, имеющих ядерное
происхождение. Изучение данного движения независимо от природы сил, как
правило, сводится к самостоятельному разделу: движения материальной
точки в центральном силовом поле.
1.2.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
НЕСВОБОДНОЙ ТОЧКИ
Если координаты точки помимо дифференциального уравнения
движения удовлетворяют дополнительным равенствам, отражающим
наложенные ограничения вида
f j (t , x, y, z ) = 0; j = 1, e ,
то такую точку будем называть несвободной. Данное равенство является
уравнением геометрической, удерживающей связи.
Дифференциальное уравнение движения несвободной точки в
векторной форме записывается как
r r r
mW = F + N ,
r
где F - равнодействующая всех сил, приложенных к точке;
r
N - неизвестная реакция, появляющаяся в результате существования
7

8. наложенной связи.
Данное векторное уравнение можно расписать в проекциях на декартовые
оси координат:
m&& = Fx + N x ;
x
m&& = Fy + N y ;
y
m&& = Fz + N z ;
z
где проекции нормальной реакции связи на координатные оси можно
выразить через полную реакцию и направляющие косинусы. Аналогично
можно получить дифференциальные уравнения движения и свободной точки
в проекциях на естественные оси координат, при этом считается, что
материальная точка движется по заданной гладкой неподвижной кривой под
действием активных сил:
dV V2
m = Fτ , m = Fn + N ;0 = FB + N B (I.3)
dt ρ
Пример. Твердая частица без начальной скорости под действием сил
тяжести скатывается по внутренней поверхности чаши, радиус которой R.
Считая частицу материальной точкой массой m, определить нормальную
реакцию давления частицы на поверхность для двух заданных углов:
ϕ1 = 30 • , ϕ 2 = 90 •
(рисунок I.2).
Решение
Составим уравнение движения (I.3)
mS& = mg cos ϕ ;
&
O C
V2
m = N − mg sin ϕ .
R
N Так как длина дуги определяется
видом
G
Рисунок I.2
S = Rϕ то S& = Rϕ .
& &&
Найдем закон изменения скорости точки от угла ϕ . Заметим, что
& dV = R dϕ dϕ = Rϕdϕ = V dV ,
S& =
& & &
dt dt dϕ dϕ R dϕ
Тогда после сокращения на m уравнения движения примут вид
V dV V2
= g cos ϕ , m = N − mg sin ϕ .
R dϕ ρ
Разделяя переменные и беря от обеих частей равенства
соответствующие определенные интегралы, получаем
8

9. V ϕ
1
VdV = g ∫ cos ϕdϕ ,
R∫0 0
Откуда
V 2 = 2 Rg sin ϕ .
Подставляя найденное выражение скорости во второе уравнение
движения, определяем значение нормальной реакции для заданных углов:
M1 3 N2
= 3mg sin 30° = mg ; = 3mg sin 90° = 3mg.
ϕ1 2 ϕ2
1.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
Полученные ранее дифференциальные уравнения описывают движения
точки относительно неподвижной системы координат. В данном разделе
предстоит выяснить, сохраниться или изменится вид уравнения движения в
подвижной системе координат.
Запишем теорему о сложении ускорений точки в сложном движении
(теорему Кориолиса):
W = W r + W e + W c.
Выразим из этого равенства относительное ускорение:
W r = W − W e − W c.
Умножая обе части полученного уравнения на массу имеем:
mW r = mW − mW e − mW c.
Введем обозначения:
- mW = F - активная сила;
− mW e = φe - переносная сила инерции;
− mW c = φc - кориолисова сила инерции.
Тогда дифференциальное уравнение относительного движения
запишем как mW r = F + φe + φc.
Проецируя это векторное равенство на подвижные оси координат,
получим дифференциальные уравнения относительного движения точки:
mξ& = Fξ + φ e ξ + φ cξ ;
&
mη& = Fη + φ eη + φ cη ;
&
mζ& = Fζ + φeζ + φcζ .
&
Таким образом, уравнения движения точки в неподвижной и
подвижной системе будут полностью совпадать только в том случае, если
подвижная система координат движется поступательно, равномерно и
прямолинейно, т.е. W e = W c = 0 .
9

10. 1.4. ДВЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
Независимо от класса действующих сил и форма записи второго закона
механики следует различать два типа задач динамики: прямую, или первую,
задачу динамики и обратную, или вторую, задачу динамики. При этом первая
часть дифференциального уравнения движения для аналитического решения
задач предполагает непрерывность и достаточную гладкость функций,
зависящих от времени, координат, скоростей, а иногда и от ускорений.
Прямая задача состоит в определении сил, действующих сил на точку
по известному закону движения и заданной ее массе. Данная задача решается
путем двукратного дифференцирования заданных уравнений движения с
последующим их умножением на массу, т.е. найденные проекции сил
позволяют определить модуль и направление вектора равнодействующих
сил.
Для свободной материальной точки в координатной форме
сформулировать первую задачу можно так.
Пусть задано движение материальной точки массой координатным
способом:
x = f1 (t ) ; y = f 2 (t ) ; z = f 3 (t ) .
Используя дифференциальное уравнение (1.2), находим проекции сил:
Fx Fy Fz
F = Fx + Fy + Fz ; cos α = ; cos β = ; cos γ = .
2 2 2
F F F
Пример. Частица, имеющая массу m, движется в плоскости ОХУ так,
что уравнениями ее движения являются x = a sin ωt; y = b cos ωt , (рисунок 1.3),
где a, b, ω − постоянные величины, а t − время. Найти силу, под действием
которой точка совершает эти движения.
Решение
Найдем уравнение
траектории в координатной форме
путем исключения времени из
уравнения движения:
Рисунок 1.3.
x2 y2
2
+ 2 = sin 2 ωt + cos 2 ωt = 1.
a b
Траекторией точки является эллипс с полуосями a и b. На основании
дифференциальных уравнений движения точки получим
Fx = m&& = − mω 2 a sin ωt ; Fy = m&& = − mω 2 b cos ωt
x y
или, вводя координаты движущейся точки,
Fx = − mω 2 x; Fy = − mω 2 y;
F = Fx2 + Fy2 = mω 2 x 2 + y 2 = ω 2 mr ,
10

11. где r- радиус—вектор движущейся точки. r
Определим направление вектора F силы в плоскости через
направляющие косинусы:
r r F x r r Fy y
cos( F , ^ i ) = x − ; cos( F , ^ j ) = =− .
F r F r
r r
Сила F имеет направление, противоположное вектору r , т.е.
r r
F = − mω 2 r .
Таким образом, движение возможно под действием центральной силы,
направленной в центр эллипса и изменяющейся пропорционально
расстоянию точки от этого центра.
Для несвободной точки первая задача динамики может быть
преобразована к иной форме записи – к форме равновесия сил (принцип
Даламбера). Для этого вводится фиктивная сила, называемая силой инерции:
r r
φ = − mW ;
тогда дифференциальное уравнение движения примет вид
r r r
F + N + φ = 0,
r
где Fr - равнодействующая активных сил;
N - равнодействующая реакций связей;
r
φ - сила инерции.
Обратная задача. Состоит в определении закона движения точки по
заданной ее массе, действующей силе и известным начальным условиям.
Решение второй задачи динамики сводится к интегрированию
дифференциальных уравнений движения точки, например, в координатной
форме:
m&& = Fx;
x
m&& = Fy;
y
m&& = Fz.
z
Эта задача решается, как правило, значительно сложнее, так как
требует операции двукратного интегрирования уравнений движения точки с
последующим использованием начальных условий задачи:
x = x0 ; y = y0 ; z = z 0 ;
t = t0 :
x = x0 ; y = y0 ; z = z 0 .
& & & & & &
За начальные условия принимают время t 0 = 0 и соответствующие ему
значения координат точки и проекций ее скоростей. Задача построения
решения системы дифференциальных уравнений движения материальной
точки, удовлетворяющей определенным начальным условиям, называется
задачей Коши. Однако эта задача может быть решена в замкнутой форме не
всегда. Чаще всего аналитическое решение конкретных задач
сопровождается существенными затруднениями, т.е. решение оказывается
громоздким или вовсе неосуществимым.
Для этого обращаются к численным методам решения
дифференциальных уравнений, например, методу конечных разностей (метод
11

12. сеток) или начальных параметров. В приложении приведена программа для
решения системы из n дифференциальных уравнений второго порядка с
использованием стандартной процедуры Рунге- Кутта.
2.РЕКОМЕДУЕМАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
2.1. Выбираем координатные оси, как правило, в направлении движения,
поместив их начало в начальном положении точки, при этом желательно
обойтись минимальным количеством координат.
2.2. Указать движущуюся точку на траектории в произвольный текущий
момент времени со всеми действующими на нее силами, в том числе, и
реакциями связей.
2.3. Определить соответствующие проекции всех сил на выбранные оси
координат.
2.4. Проинтегрировать полученные дифференциальные уравнения .
2.5. Установить начальные условия движения материальной точки и по ним
определить произвольные постоянные интегрирования.
2.6. Из полученной в результате интегрирования системы уравнений
определить искомые величины.
3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1
Материальная точка начинает движение по гладкой горизонтальной r
плоскости (рисунок 3.1.) из состояния покоя под действием силы F ,
r
направленной по той же прямой и изменяющейся по закону F = L(cos kt + t ) ,
где L и k – постоянные величины.
Рисунок 3.1.
Решение
Направим ось x вдоль горизонтальной плоскости, выбрав начало
отсчета в положении покоя материальной точки. В этом случае начальные
условия примут вид:
при t0=0 х0 = 0, х0 = 0.
&
r
Изобразим точку вместе с действующими на нее силами ( G - сила тяжести;
r r
N- нормальная реакция горизонтальной поверхности; F - сила,
пропорциональная времени) в смещенном относительно начала отсчета
положении.
12

13. Дифференциальное уравнение движения в проекции на ось х:
m&& = L(cos kt + t ).
x
Поскольку точка движется только вдоль оси х, то x = V x = V , && = V и
x &
поэтому dV / dt = 4 / m(cos kt + t ), или после разделения переменных
4
dV = (cos kt + t )dt.
m
Интегрируя, получим
4 1
V = sin kt + t 2 + C1 .
mk 2
Подставив в это уравнение начальные условия (при t 0 = 0 x0 = V0 = 0 ),
&
находим, что постоянная интегрирования С1=0.
Уравнение (3.1.) после внесения в него значения С1 принимает вид
L 1
V = sin kt + t 2 .
mk 2
Учитывая, что V = dx / dt , разделяем переменные
L 1
dx = sin ktdt + t 2 dt .
km 2
Интегрируя, получим
L 1
x=− 2
cos kt + t 3 + C 2 .
k m 6
L
По начальным условиям (при t0=0, x0=0) находим С 2 = , и окончательно
mk 2
L 1
x= 2
(1 − cos kt ) + t 3 .
mk 6
Пример 2
Твердая частица массой m движется через фильтрующую набивку
фильтра, преодолевая силу сопротивления, пропорциональную скорости и
равную R = kmV , где – к постоянная величина. Определить минимальную
толщину фильтра, при которой частица осаждается на фильтрующей
набивке, если она попадает на поверхность фильтра с начальной скоростью
V0.
Рисунок 3.2.
Решение
Твердая частица в начальный момент находится в точке О. Выберем
ось Y вертикально вниз в направлении движения частицы. Возьмем начало
13

14. отсчета на оси Y в момент касания частицы поверхности фильтра. Положим,
что частица, рассматриваемая как материальная точка, начинает движение из
начала координат с начальной скоростью V0. Запишем начальные условия
движения:
при t 0 = 0 y 0 = 0, y = V0 x .
&
r r
К точке приложения силы: G - сила тяжести точки; R - сила
сопротивления движению точки, направленная в сторону противоположную
движению, т.е. по вертикали вверх (3.2.).
Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на
ось у:
m&& = G − R = mg − kmy,
y &
откуда && = g − ky .
y & (3.2.)
Заменив в уравнении (3.2.) && на dy / dt и, разделив переменные, имеем
y &
d&&
y
= dt ,
g − ky&
Интегрируя его, найдем
1
− ln( g − ky ) = t + c1 .
&
k
Определим значение с1, подставив в полученное уравнение
t 0 = 0, y 0 = V0 :
1
c1 = − ln( g − kV0 ) .
k
При найденном значении с1
1 1
− ln( g − ky ) = t − ln( g − kV0 )
&
k k
или
1 g − kV0
ln = t.
k g − ky
&
Потенцируя это выражение, получим
g g − kV0 − kt
y=
& − e . (3.3.)
k k
Заменив в уравнении (3.3.) y на dy / dt и, разделив переменные, имеем
&
g g − kV0 − kt
dy = dt − e dt .
k k
Проинтегрируем данное выражение
g g − kV0 − kt
y= t+ e + c2 .
k k2
Для определения значения с2 в полученное уравнение подставим
начальные условия t 0 = 0, y 0 = 0. Отсюда следует уравнение
g − kV0
0= 2
+ c2 ,
k
из которого находим
14

15. g − kV0
c2 = − .
k2
При найденном значении с2 получим уравнение движения точки:
g g − kV0 −kt
y=
t+ (e − 1) .
k k2
Учитывая, что в конечном положении точки t = τ , y = h, y = 0 , получим
&
q q − kV0 − kτ
0= − (e − 1) (3.4.)
k k2
g g − kV0 − kτ
h= τ+ (e − 1) (3.5.)
k k2
Определив τ из уравнения (3.4.) и подставив его значение в (3.5.), получим
g g g
h= τ − 2 ln .
k k g − hV0
Пример 3
Отделенные в сепараторе гранулы вещества с вибротранспортера
попадают через питатель АВ в накопительный бункер Д. Определить
интервал скоростей гранул при подаче их на питатель в точку А для
попадания последних в накопительный бункер диаметром d 2 = 0,5 м. Бункер
расположен на расстоянии d1 = 2 м. и на глубине h = 1.5 м. от конца питателя.
Масса гранул m, питатель расположен под углом α = 30° к горизонту,
коэффициент трения скольжения f = 0,1 , а длина участка АВ=2 м.
Рисунок 3.3.
Решение
Гранула, являющаяся материальной точкой, на участке АВ совершает
прямолинейное движение, а на участке ВС—криволинейное.
Рассмотрим ее движение на прямолинейном участке. Направив ось Х1
вдоль наклонного питателя вниз. Совместим начало движения точки с
началом координат. Начальная скорость VA направлена вдоль оси Х1 вниз.
Начальные условия движения:
при t 0 = 0, X 10 = 0, X 10 = V A .
&
Изобразим точку в произвольный момент времени с действующими на
r r
r
нее силами: G - сила тяжести; FТР - сила трения скольжения; N - нормальная
реакция наклонной поверхности.
15

16. Запишем дифференциальное уравнение движения материальной точки
в проекции на ось Х1 :
mX 1 = mg sin α − FTP .
&&
Так как по закону сухого трения FTP = fN = fmg cos α , то после сокращения
на массу находим
X 1 = g (sin α − f cos α ).
&& (3.6.)
Для интегрирования дифференциального уравнения движения (3.6)
заменим X 1 на dX 1 / dt. Разделяя переменные, получим
&&
dX 1 = g (sin α − f cos α )dt.
&
Проинтегрировав это выражение, имеем
X 1 = g (sin α − f cos α )t + c1 .
& (3.7.)
Выражение (3.7.) является первым интегралом дифференциального
уравнения движения (3.6.). Для определения постоянных интегрирования с1
подставим в уравнение (3.7.) начальные условия движения (при t0=0 X10=VA),
откуда следует, что с1=VA. Тогда с1 подставим в уравнение (3.7.):
x = g (sin α − f cos α )t + V A
& (3.8.)
Для определения закона движения точки заменим в уравнении (3.8.) х1 на
&
dx1 / dt . Разделяя переменные и интегрируя (3.8)
1
x1 = g (sin α − f cos α )t 2 + V A t + C 2 ,
2
по начальным условиям ( t0=0 x0=0) находим с2=0. Подставив с2, имеем
1
x1 = g (sin α − f cos α )t 2 + V A t , (3.9.)
2
В момент времени τ , когда точка покидает участок, имеем x1 = l , x1 = VB .
&
Подставив в (3.8.) и (3.9.) данные условия, получим
VB = g (sin α − f cos α )τ + V A
И находим величину
1
l= g (sin α − f cos α )τ 2 + V Aτ .
2
С другой стороны, исключив параметр τ из этих уравнений, получим
линейную скорость в точке А:
V A = V B2 − 2 lg(sin α − f cos α ) . (3.10.)
Рассмотрим движение точки на участке ВС. Начало осей координат
возьмем в точке В, ось Х направим по горизонтали вправо, ось У – по
вертикале вниз. Начальные условия для данного участка движения точки:
при t0=0 x0=0, y0=0, x0 = VB cos α , y 0 = VB sin α .
& &
На криволинейном участке свободного падения без учета сил сопротивления
r
воздуха, к точке приложена только сила тяжести G .
Запишем дифференциальное уравнение движения точки в проекциях
на оси координат:
m&& = 0 ; m&& = G = mg .
x y
Отсюда следует, что
&& = 0 ; && = g .
x y
16

17. Разделяя переменные и интегрируя эти уравнения, имеем
x = C1 , y = gt + C 2 .
& &
Используя начальные условия t0=0, x0 = VB cos α , y 0 = VB sin α , выразим
& &
С1 = VB cos α , C 2 = VB sin α ,
тогда
dx dy
= V B cos α , = gt + V B sin α .
dt dt
Разделяя переменные и интегрируя, имеем
gt 2
x = V B t cos α + C 3 , y = + V B t sin α + C 4 .
2
Так как при t 0 = 0 x0 = 0, y 0 = 0 , то C 3 = 0, C 4 = 0 , и уравнения движения
принимают вид:
gx 2
y = xtgα + . (3.11.)
2V B cos 2 α
Полученная кривая является параболой. Минимальная скорость VB , при
которой точка попадает в приемный бункер, соответствует условию y=h ,
x=d1.
Подставляем «минимальные» условия в формулу (3.11.):
gd 12
h = d 1tgα + ,
2V B2min cos 2 α
откуда
gd 12
V 2
= .
2h cos 2 α − d1 sin 2α
B min
Соответственно, максимальной скорости VB соответствует следующее
условие: y=h, x=d1+d2.
При подстановке «максимальных» условий в формулу (3.11.) получим
g (d1 + d 2 ) 2
h = (d 1 + d 2 )tgα + .
2V B max cos 2 α
Откуда максимальная скорость в точке В
g (d1 + d 2 ) 2
V B max = .
2h cos 2 α − (d1 + d 2 ) sin 2α
При подстановке в формулу (3.10.) скоростей точки А и В
определим допускаемый интервал
gd12
V A min = − 2 lg(sin α − f cos α )
2h cos 2 α − d 1 sin 2α
и
g (d1 + d 2 ) 2
V A max = − 2 lg(sin α − f cos α )
2h cos 2 α − (d1 + d 2 ) sin 2α
При заданных числовых данных результаты будут следующие:
V A min = 7,69 м/с,
V A max = 24,42 м/с.
17

18. 4.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какой вид имеют дифференциальные уравнения движения при
векторном, координатном и естественном способах задания движения?
2. Какой вид имеют дифференциальные уравнения движения
несвободной материальной точки?
3. Как формулируются две основные задачи динамики точки?
4. Как определить постоянные при интегрировании дифференциальных
уравнений движения материальной точки?
5. В чем заключается различие между дифференциальными уравнениями
относительного и абсолютного движения материальной точки?
6. По каким законам происходит горизонтальное и вертикальное
перемещения тела, брошенного под углом к горизонту, если силами
сопротивления воздуха пренебречь?
5. РАСЧЕТ В ТРУБОПРОВОДЕ ДИНАМИЧЕСКИХ
ПАРАМЕТРОВ ЗАТОРА D для обеспечения нормального
функционирования АППАРАТА С ПЕРЕМЕШИВАЮЩИМ
УСТРОЙСТВОМ
Рисунок 5.1
По данным в таблице 1 необходимо использовать обратную задачу
динамики.
Найти: скорость подхода затора D на участке АВ в точке В и
закон движения затора D x = f(t) на участке BC.
Дано:
m = 4, кг
V0 = 12, м/с
Q = 12, Н
R = 0,8V2, Н
l = 2,5, м
f = 0,2
Fx = -8cos(4t), Н
18

19. Движение тела на участке АВ
● Показать на рисунке силы, действующие на этом участке. Установить
декартову систему координат. Записать основное уравнение динамики и в
результате преобразований вывести уравнение движения затора D.
Процедура вычислений приведена ниже.
dVx
m = ∑ Fkx ;
dt
dVx
mV = mg sin 30o − Q − R ;
dx
dV
mV x = mg sin 30o − Q − 0,8V 2 ;
dx
dVx Q 0,8V 2
V = g sin 30 − −
o
;
dx m m
dV 0,8  Q − mg sin 30o  0,8 Q − mg sin 30o
V x =−  +V 2 ;k = − = −0,2 ; n = = 35 ;
dx m  0,8 
 m 0,8
V
dVx
dx
(
= k n +V 2 ; )
2VdVx
V +n
2
= 2kdx ; d V 2 + n = 2VdV ;( )
( )
ln V 2 + n = 2kx + C1 . (*)
Из начальных условий х = 0 V = V0, определяем постоянную
интегрирования C 1 = ln ( 0 + n ) и подставив в (*) получаем
V 2
( ) (
ln V 2 + n = 2kx + ln V02 + n ; )
ln (V 2
+ n ) − ln (V + n ) = 2kx ;
0
2
V 2 + n  V2 +n
ln 2
  = 2kx или
 = e 2 kx ;
 V0 + n  V0 + n
2
Выражаем из этого тождества величину
V 2 = (V02 + n ) ⋅ e 2 kx − n = (12 2 + 35) ⋅ 2,7 −1 − 35 = 31,3 и определяем
значение скорости затора D в точке В Vв ≈ 5,6 м/с
Движение тела на участке ВС
Уравнение движения в проекции на ось х будет иметь следующий вид:
dVx
m = Fx − Fm = Fx − fmg ;
dt
Fx − 8 cos(4t )
= −2 cos(4t ) ; m = fg = 2 ;
F
=
m 4 m
= −2 cos(4t ) − 2 ;
dVx
dt
Vx = −0,5 sin (4t ) − 2t + C2 ; (**)
Из начальных условий t = 0; V = V0 = VB =5,6 ;
19

20. C2 = VB = 5,6 , подставляя постоянную интегрирования в (**),
= −0,5 sin (4t ) − 2t + 5,6 .
dx
проекция скорости на ось х : Vx =
dt
Так как проекция скорости
= −0,5 sin (4t ) − 2t + 5,6 , разделяя переменные и интегрируя, получим
dx
dt
x = 0,125 cos(4t ) − t 2 + 5,6t + C3
При t = 0 x = 0 , следовательно
C3 = 0,125 и окончательно:
x = 0,125 cos(4t ) − t 2 + 5,6t + 0,125 .
Рисунок 5.2
Полученное уравнение движения затора D справедливо на участке СВ.
Построить график x = f(t), используя графический пакет Agrapher.
Варианты заданий
Таблица 1
№
m V0 Q R L F ϕ θ
(кг) (м/с) (н) (н) (м) (н) (гр.) (гр.)
1 4 15 10 0.4V 2 6 8t 150 180
4t 2 + 8
2
2 4 12 4 0.2V 8 30 0
6t + 2 sin 2t
2
3 1.6 18 4 0.4V 2 0 -30
12t 2 − 4 cos 2t
2
4 2 15 2 0.2V 10 180 210
5 2 12 8 0.6V 2 9 9t 2 − 2 cos t 120 180
6 sin t + 9t
2
6 3 10 6 0.7V 5 60 0
20t 2 + 10
2
7 2 11 12 0.6V 1 0 -60
−3 sin 4t + 9
2
8 3 8 6 0.3V 1.5 180 240
9 2 20 8 0.4V 2 4 6 sin 2t 210 180
2
10 1.5 15 4.5 0.3V 3 3 sin 3t -30 0
2
11 5 12 5 0.5V 4 6 cos 4t 0 30
2
12 3 11 9 0.3V 1.5 9t 2 180 150
13 2.5 15 5 0.5V 2 2 5 sin 5t 240 180
cos3t + 3t
2
14 1.5 9 6 0.45V 4 -60 0
2
15 2.5 8 7.5 0.5V 3 5sin t 0 60
3 cos t + 7t
2
16 3.5 6 7 0.7V 2 180 120
2
17 1.5 14 6 0.3V 5 10t 150 240
6t 2 + 15
2
18 1.6 15 9.6 0.32V 4 30 -60
2
19 3 12 9 0.6V 5 3sin t 120 210
6 sin 3t + 10
2
20 1.7 18 4 0.68V 2.5 60 -30
21 1.8 16 10 0.72V 2 1.8 9 sin 3t 210 120
22 1.9 17 7 0.57V 2 5 6 cos 2t -30 60
23 1.2 18 4 0.24V 2 2.5 16 sin 4t + 3t -60 30
24 1.3 12 9 0.39V 2 3 13 sin 0.5t + 13t
. 240 150
25 1.2 11 5 0.36V 2 1.5 12 cos 0.6t
. 210 240
26 1.4 19 6 0.56V 2 3 14 cos 0.7t
. -30 -60
20

21. 27 1.1 10 12 0.44V 2 3 11 cos 0.8t
. 60 30
28 1.5 9 14 0.75V 2 1.8 15 cos 0.9t
. 120 150
29 1.6 8 6 0.48V 2 4 16 cos 0.4t
. 150 120
30 1.7 9 8 0.51V 2 1 17 cos 0.3t
. 30 60
31 1.1 20 3 0.22V 2 2.3 11 cos 0.2t
. -60 -30
32 1 18 8 0.2V 2 5 cos 0.25t 240 210
ЛИТЕРАТУРА
1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики, - М.: Высшая
школа, 2003.- 416 с.
2. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика
в примерах и задачах. Т.2, - М.: Наука, 2007, - 608 с.
21

22. 22