1. Моделирование спектров отражения и
поглощения слоев с параболическим
профилем концентрации
Дурнев М.В.
16.04.2012

2. Структура образца
1 .5 2
1 .5 1
1 .5 0
1 .4 9
E n e r g y , e V
1 .4 8
1 .4 7 x = δx(2z/d)2
1 .4 6
1 .4 5 Eg = 1.515 − 1.575x + 0.477x2
1 .4 4
1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0
Z -c o o r d in a te , n m
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 2 / 13

3. Теоретическая модель
• Cистема двух дифференциальных уравнений, связывающих
электрическое поле и поляризацию в среде
Γ ∂2 ε0 ωLT
ω0 (z) − ω − i − P = E
2 2M ∂z 2 4π
∂2 ω2 ω2
+ ε0 2 E = −4π 2 P
∂z 2 c c
∂EA ∂EB
• Граничные условия на поле: EA |z0 = EB |z0 ,|z0 = |z
∂z ∂z 0
• Дополнительные граничные условия на поляризацию (ДГУ
∂P
Пекара): P ± γ |z=±d/2 = 0
∂z
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 3 / 13

4. Возможные методы решения
1 Интерференция поляритонных волн
E, P ∝ eikz =⇒ k = ±k1 (ω), ±k2 (ω)
− −
E(z) = E1 eik1 z + E1 e−ik1 z + E2 eik2 z + E2 e−ik2 z
+ +
2 Взаимодействие света с размерно-квантованными
состояниями экситона
В.А. Киселев, И.В. Макаренко, Б.С. Разбирин, И.Н. Уральцев, Физика твердого тела 19, 8 (1977)
М.М. Воронов, Е.Л. Ивченко, В.А. Кособукин, А.Н. Поддубный, Физика твердого тела 49, 9 (2007)
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 4 / 13

5. Возможные методы решения
1 Интерференция поляритонных волн
E, P ∝ eikz =⇒ k = ±k1 (ω), ±k2 (ω)
− −
E(z) = E1 eik1 z + E1 e−ik1 z + E2 eik2 z + E2 e−ik2 z
+ +
2 Взаимодействие света с размерно-квантованными
состояниями экситона
В.А. Киселев, И.В. Макаренко, Б.С. Разбирин, И.Н. Уральцев, Физика твердого тела 19, 8 (1977)
М.М. Воронов, Е.Л. Ивченко, В.А. Кособукин, А.Н. Поддубный, Физика твердого тела 49, 9 (2007)
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 4 / 13

6. Квантование экситона в отсутствие электрического поля
Γ ∂2
ω0 (z) − ωn − i − Pn = 0
2 2M ∂z 2
Pn (±d/2) = 0
ω0 (z) = ω0 + ∆ω(2z/d)2
2M z2
Pn + ωn − Ω
˜ 2 Pn = 0
lΩ
ωn = ωn − ω0 + iΓ/2
˜
2
2
Ω = 4 ∆ω lΩ =
2M d2 MΩ
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 5 / 13

7. Уровни размерного квантования экситона
1 .6 0
1 .5 8
1 .5 6 δω = 79 meV
1 .5 4
d = 45 nm
1 .5 2
E n e r g y , e V
1 .5 0
Ω = 6.8 meV
1 .4 8
δω/Ω ≈ 12 >> 1
1 .4 6
c a lc u la tio n
1 .4 4 a p p r o x im a tio n s
G a A s
Уровни одномерного
1 .4 2
осциллятора
1 .4 0
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0
L e v e l n u m b e r ωn = Ω(n + 1/2)
˜
N = 1 2
N = 1
N = 3
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0
Z -c o o r d in a te , n m Z -c o o r d in a te , n m
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 6 / 13

8. Уровни размерного квантования экситона
1 .6 0
1 .5 8
1 .5 6
1 .5 4
1 .5 2 Уровни в однородной
E n e r g y , e V
1 .5 0
яме
1 .4 8 2 2 2
π n
1 .4 6
c a lc u la tio n ωn =
˜
1 .4 4 a p p r o x im a tio n s 2M d2
G a A s
1 .4 2
1 .4 0
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0
L e v e l n u m b e r
N = 1 3
N = 3 0
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0
Z -c o o r d in a te , n m
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 7 / 13

9. Экситонный вклад в поляризацию
Волновые функции нижних уровней
1/4 √ z
2 1 z2
Pn (x) = 2
√ exp − 2 Hn 2
lΩ π 2n n! lΩ lΩ
Функция Грина
∗
Pn (z)Pn (z )
G(z, z , ω) =
n
ωn − ω
Экситонный вклад в поляризацию
Γ ∂2 ε0 ωLT
ω0 (z) − ω − i − P = E
2 2M ∂z 2 4π
d/2
ε0 ωLT ε0 ωLT Pn (z)
P (z) = G(z, z , ω)E(z )dz = Λn
4π −d/2 4π n
ωn − ω
∗
Λn = Pn (z )E(z )dz
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 8 / 13

10. Суммарное электрическое поле в слое
∂2 ω2 ω2
2
+ ε0 2 E = −4π 2 P
∂z c c
i √ ω
˜
G(z, z , ω) = − exp(ik0 |z − z |) , k0 = ε
2k0 c
−1
E(z) = E0 (z) + κ Mnm Λ(0)
m Pn (z ) exp(ik0 |z − z |)dz
n m
∗
Λ(0) =
m Pm (z)E0 (z)dz
∗ ωLT k0
Ωnm = dzdz Pm (z)Pn (z ) exp(ik0 |z − z |), κ = i
2
Mmn = (ωn − ω)δmn − κΩmn
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 9 / 13

11. Коэффициент отражения в отсутствие контраста
Пренебрегая смешиванием уровней:
Mmn = {(ωn + δωn ) − ω + i(Γ0,n + Γ/2)}δmn
Радиационный сдвиг и уширение уровня
δωn = −|κ| Ωnn , Γ0,n = |κ| Ωnn
Коэффициенты отражения и пропускания:
iΓ0,n
r=
n
ωn − ω − i(Γ0,n + Γ/2)
i(−1)n Γ0,n
t=1+
n
ωn − ω − i(Γ0,n + Γ/2)
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 10 / 13

12. При наличие контраста в симметричном случае:
→ˆ
−
1 + in0 tan φ + κ Λ M −1 Λc (1 + n0 )(1 + i tan φ)
r+ = →ˆ
−
1 − in0 tan φ + κ Λ M −1 Λc (1 − n0 )(1 + i tan φ)
→ˆ
−
1 − in0 cot φ − κ Λ M −1 Λs (1 + n0 )(i + cot φ)
r− = →ˆ
−
1 + in0 cot φ − κ Λ M −1 Λs (1 − n0 )(i + cot φ)
1
r= (r+ + r− )
2
1
t = (r+ − r− )
2
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 11 / 13

13. Моделирование эксперимента
re2ik0 d1 t2 n0
1
rtot = r1 +
1 + e2ik0 d1 rr1
t1 teik0 d1 t2 n0
1
ttot =
1 + e2ik0 d1 rr1
1−n 2
r1 = ; t1 =
1+n n+1
В более сложных структурах можно использовать технику матриц
рассеяния
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 12 / 13

14. 1 .5
e x p e r im e n t
s im u la tio n
1 .0
In te n s ity , a r b .u .
Ω = 4.3 meV
ω0 = 1.46 eV
0 .5 ωLT = 1 meV
Γ = 1 meV
lΩ = 8.3 nm
0 .0
1 4 5 0 1 4 6 0 1 4 7 0 1 4 8 0 1 4 9 0 1 5 0 0 1 5 1 0 1 5 2 0
E n e rg y , m e V
k0 lΩ << 1, поэтому нечетные пики пропадают
Ω ≈ EB , электрон и дырка квантуются независимо
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 13 / 13

15. −3
x 10
3.5
3
2.5
2
Reflectivity
1.5
1
0.5
0
1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.5
Energy, eV
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 14 / 13