David Caparrós, profile picture
Uploaded byDavid Caparrós
PPT, PDF3,509 views

Determinants

Determinants

Embed presentation

Downloaded 69 times
DETERMINANTS Matemàtiques 2n Batx CCSS davidc
Donada una matriu quadrada de primer ordre (1x1): S’anomena determinant d’ A al mateix nombre real que forma la matriu 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 1 11aA = )( 11aA = )6(−=A 66 −=−=A )9(=B 99 ==B )0(=C 00 ==C
Donada una matriu quadrada de segon ordre (2x2): S’anomena determinant d’ A al nombre real que resulta de multiplicar els elements de la diagonal principal i restar-li el producte dels elements de la diagonal secundària . 3 2 2 1 = 3·1 - 2·2 = 3 – 4 = -1 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 2       = 12 23 A
2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 2 1 -2 5 -1 = 1·(-1) - 5·(-2) = -1 +10=9       − − = 15 21 B       − − = 53 01 C -1 0 3 -5 = -1·(-5) - 0·3 = 5 - 0=5       −− −− = 73 24 D -4 -2 -3 -7 = -4·(-7) – (-2)·(-3) = 28 – 6= 22
Donada una matriu quadrada de segon ordre (3x3): S’anomena determinant d’ A al nombre real que resulta d’aplicar la regla de Sarrus: 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 3
2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 3 La regla de Sarrus permet recordar gràficament els productes que apareixen en la expresisón del determinante d’ ordren 3 i els seus signes. Els elements de la diagonal principal i les seves paralel.les, amb el seu signe i els de la diagonal secundària i les seves paralel.les canviades de signe.
2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 3 La regla de Sarrus permet recordar gràficament els productes que apareixen en la expresisón del determinante d’ ordren 3 i els seus signes. Els elements de la diagonal principal i les seves paralel.les, amb el seu signe i els de la diagonal secundària i les seves paralel.les canviades de signe.
2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 3 Exemple 1: 121 410 321 − = 1•(-1)•1+2•4•1+0•2•3-[3•(-1)•1+0•2•1+2•4•1]= = -1+8+0-(-3+0+8)=7-5 = 2
1.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 3 Exemple 2: 432 524 322 − = 2•(-2)•4+2•5•2+4•3•3-[3•(-2)•2+4•2•4+3•5•2]= = -16+20+36-(-12+32+30)=40-50 = -10
1.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 3 Exemple 3: 432 124 153 −− −− = 3•(-2)•(-4)+5•(-1)•2+4•(-3)•1-[1•(-2)•2+4•5•(-4)+(-3)•(-1)•3]= = 24-10-12-(-4-80+9)=2-(-75) = 2+75 = 77
2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Equacions amb determinants ordre 2 10 1 41 −= + +− xx xx ( ) [ ] 1 66 4106 1046 1044 1044 10)1()4(1 22 22 = ⇒−=− ⇒+−=− ⇒−=−− ⇒−=−−−−− ⇒−=+++−− ⇒−=+•+−•− x x x x xxxxx xxxxx xxxx
2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Equacions amb determinants ordre 3 ( )[ ] [ ] 5 11 55 5511 8476512 4786512 470865012 47)05()421(235120243 = ⇒= ⇒= ⇒+=−+ ⇒=−−+ ⇒=++−++ ⇒=••+••+••−••+••+•• x x x xxx xxx xxx xxxx 47 452 031 2 = xx
2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS I. El determinant d’ una matriu amb dos files o columnes iguals o proporcionals és zero. Càlcul inmediat de determinants Exemples: • El determinant d’ una matriu A =        –1 4 –1 3 2 3 2 5 2 és igual a zero perquè la tercera i primera columnes són iguals. • El determinant d’ una matriu B =        2 4 –1 1 –2 3 3 –6 9 és igual a zero perquè la tercera fila és igual a la segona multiplicada per 3.
2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Càlcul inmediat de determinants II. El determinant d’ una matriu amb una fila o columnes nules és zero. Exemples: El determinant d’ una matriu A =        –1 0 –1 3 0 3 2 0 2 és igual a zero perquè la segona columna és nul.la. El determinant d’ una matriu B =        –1 0 –1 0 9 0 0 00 és igual a zero perquè la tercera fila és nul.la.
III. El determinant d’ una matriu en que una fila o columna es combinació lineal de les altres files o columnes és zero. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Càlcul inmediat de determinants Exemple: El determinant d’ una matriu B =        2 4 0 1 3 –1 3 1 5 és igual a zero perquè la tercera columna és igual al doble de la primera menys la segona Exemple: El determinant d’ una matriu A =        1 4 0 1 3 –1 2 7 -1 és igual a zero perquè la tercera fila és igual a la suma de la primera més la segona 213 fff += 213 2 ccc −•=
IV. El determinant d’ una matriu triangular és igual al producte dels elements de la seva diagonal principal. Exemples: El determinant de la matriu A =        –1 0 –1 0 2 3 0 0 2 és igual –4. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Càlcul inmediat de determinants El determinant de la matriu B =           − 587 026 003 és igual a 30
2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Càlcul inmediat de determinants V. El determinant de la matriz identitat=escalar=unitat és 1 Exemples: • El determinant de la matriu I 3 =        1 0 0 0 1 0 0 0 1 és igual a 1. • El determinant de la matriu I 5 =          1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 és igual a 1.
2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Operacions amb files i columnes VI. Si es multipliquen els elements d’ una fila o columna d’ una matriu per un nombre el determinant de la matriu es multiplica per aquest nombre Exemple: 2 3 4 20 = 2 3 4 . 1 4 . 5 = 4 2 3 1 5 28124034202 204 32 =−=•−•= 2874)310(4)3152(4 51 32 4 =•=−•=•−••=•
2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Operacions amb files i columnes 1385)8(52)4(51 52 41 =+=−−=•−−•= − VII. Si s’ intercanvien entre sí dos files o dos columnes d’ una matriu, el seu determinant canvia de signe. Exemple: 1 – 4 2 5 = – – 4 1 5 2 [ ] [ ] 13)13(58)51(24 25 14 =−−=−−−=•−•−−= − −
2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Operacions amb matrius VIII. El determinant d’una matriu es igual al de la seva transposada. t AA = 61824)0180(0024 653 021 032 =−=++−++==A 61824)0180(0024 600 523 312 =−=++−++==t A Exemple
2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Operacions amb matrius IX. El determinant del producte de dos matrius quadrades i multiplicables és igual al producte dels determinants de cada un d’elles. Exemple:      − = 05 32 A      − = 15 06 B       − =     − •     − =• 030 327 15 06 05 32 BA 15150 05 32 −=−= − =A 606 15 06 −=−−= − =B 90)90(0 030 327 =−−= − =• BA BABA •=• )6()15(90 −•−=
2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Operacions amb matrius Exemple: X.- Si una fila o columna és suma de diferents sumands, es descomposa en tants determinants com sumands hagi 123)68()96( 43 22 33 32 433 232 73 52 −=+−=−+−=+= + + = 11514 73 52 73 52 −=−==⇒      = AA 123)57()107( 71 51 72 51 712 511 73 52 −=+−=−+−=+= + + =
2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA Menor d’una matriu quadrada Determinant que resulta en suprimir una fila i una columna d’una matriu quadrada. Tots els menors es denoten per Mij per indicar el determinant de la matriu que s’obté en suprimir La fila i i la columna j.      − = 53 21 A 5511 ==M 3312 ==M 2221 ==M 1122 −=−=M
2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA Menors d’una matriu quadrada           − − = 411 202 311 A 2)2(0 41 20 11 =−−= − =M 628 41 22 12 =−==M 202 11 02 13 −=−−= − =M 7)3(4 41 31 21 =−−= − =M 734 41 31 22 −=−−= − =M 011 11 11 23 =−= − − =M 202 20 31 31 =−==M 862 22 31 32 −=−−= − =M 220 02 11 33 −=−= − =M
2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA Matriu adjunta • S’anomena “Adjunt mi,j” d’ un element “ai,j” al determinant del menor Mi,j multiplicat per (-1)i+j • Donada la matriu quadrada A, s’anomena “matriu adjunta” de A i es representa A*, a la matriu que se obté en substituir cada element aij pel seu adjunt mij. ij ji ij Mm •−= + )1(      − = 53 21 A 5)1( 1111 11 11 ==•−= + MMm 3)1( 1212 21 12 −=−=•−= + MMm 2)1( 2121 12 21 −=−=•−= + MMm 1)1( 2222 22 22 −==•−= + MMm       −− − = 12 35* A Exemple 1
2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA Matriu adjunta ij ji ij Mm •−= + )1( 2)1( 1111 11 11 ==•−= + MMm 6)1( 1212 21 12 −=−=•−= + MMm 7)1( 2121 12 21 −=−=•−= + MMm           − − = 411 202 311 A 2)1( 1313 31 13 −==•−= + MMm 7)1( 2222 22 22 −==•−= + MMm 00)1( 2323 32 23 =−=−=•−= + MMm 2)1( 3131 13 31 ==•−= + MMm 8)8()1( 3232 23 32 =−−=−=•−= + MMm 2)1( 3333 33 33 −==•−= + MMm           − −− −− = 282 077 262 * A Exemple 2
2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA Matriu adjunta ij ji ij Mm •−= + )1( 21111 == Mm 61212 −=−= Mm 72121 −=−= Mm           − − = 411 202 311 A 21313 −== Mm 72222 −== Mm 002323 =−=−= Mm 23131 == Mm 8)8(3232 =−−=−= Mm 23333 −== Mm           − −− −− = 282 077 262 * A Exemple 2
2.3 MENORS I ADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA Matriu adjunta ij ji ij Mm •−= + )1( 101 10 21 1111 =−=== Mm 2)02( 10 22 1212 −=−−=−=−= Mm 1)01( 10 11 2121 =−−−= − −=−= Mm           − = 100 212 111 B 0 00 12 1313 === Mm 101 10 11 2222 =−=== Mm 0 00 11 2323 = − −=−= Mm 312 21 11 3131 −=−−= − == Mm 0 22 11 3232 =−=−= Mm 3)2(1 12 11 3333 =−−= − == Mm           − − = 303 011 021 * B Exemple 3
2.4 DESENVOLUPAMENT D’UN DETERMINANT PELS ELEMENTS D’ UNA LÍNIA Un determinant és igual a la suma dels elements d’una línia (fila o columna) multiplicat pels seus adjunts corresponents Exemple 1 9145)2120(610 411 103 212 −=−=++−+−= − 9613232131)1(2)03(2))1(12(1)10(2 11 03 2 41 13 1 41 10 2212212 411 103 212 131211131211 −=+−−=⋅+⋅−−⋅=−⋅+−−⋅−−⋅ = − ⋅+ − ⋅−⋅=⋅+⋅−⋅=⋅+⋅+⋅= − MMMmmm 1ª fila
2.4 DESENVOLUPAMENT D’UN DETERMINANT PELS ELEMENTS D’ UNA LÍNIA Un determinant es igual a la suma dels elements d’una línia (fila o columna) multiplicat pels seus adjunts corresponents Exemple 1 9145)2120(610 411 103 212 −=−=++−+−= − 91621223)1(2)01(1)24(3)10(2 10 21 1 41 21 3 41 10 2132132 411 103 212 312111312111 −=−−−=⋅−⋅−−⋅=−⋅−−⋅−−⋅ =⋅−⋅−⋅=⋅−⋅−⋅=⋅−⋅+⋅= − MMMmmm 1ª columna
2.4 DESENVOLUPAMENT D’UN DETERMINANT PELS ELEMENTS D’ UNA LÍNIA Un determinant es igual a la suma dels elements d’una línia (fila o columna) multiplicat pels seus adjunts corresponents Exemple 1 9145)2120(610 411 103 212 −=−=++−+−= − 9413)4(13 )62())1(12( 13 22 41 13 101 411 103 212 3212322212 −=+−=−−− =−−−−−=⋅− − ⋅−=−−=⋅+⋅+⋅= − MMmmm 2ª columna ( possibilitat que dóna menys feina)
2.4 DESENVOLUPAMENT D’UN DETERMINANT PELS ELEMENTS D’ UNA LÍNIA Determinant 4x4 Exemple 2 [ ] [ ] [ ] [ ] 244201317)2(22)849(1283)01816(6016 121 432 321 212 043 232 1001 2121 0432 2321 1001 1411141114131211 −=−−=−−−−−=+−−++−−+−−−+−= = − − −− =−=+=⋅+⋅+⋅+⋅= −− MMmmmmmm
2.4 DESENVOLUPAMENT D’UN DETERMINANT PELS ELEMENTS D’ UNA LÍNIA Determinant 4x4 Exemple 3 28618317120)61(3)17(602.... 542 223 432 3 542 423 432 1 542 423 223 2 3120312 5042 4323 2123 4232 33231343332313 −=−+−=−⋅+−−⋅−== = − −⋅+ − ⋅− − − ⋅− =⋅+⋅−⋅−=⋅+⋅+⋅+⋅−= − − − MMMmmmm
2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS Matriu 1x1 El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’ una matriu A es representa per rang(A). A = (3) rang A = 103 ≠=A B = (0) rang B = 000 ==B Matriu 2x2       = 21 12 C 0314 21 12 ≠=−==C Rang C =2       − − = 42 21 D 044 42 21 =−= − − =D Rang D ≠2 Rang D =1
2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS Matriu 3x3 El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’ una matriu A es representa per rang(A).           − − − = 121 112 301 E 010 ≠=E Rang E =3           −− − − = 213 112 301 F )ª3ª2ª1.(0 fffF =+= Rang F ≠3 Rang F =2 Perquè es pot agafar un menor d’ordre 2 amb determinant diferent a zero 01 12 01 ≠−= −
2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS Matriu 3x3 El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’ una matriu A es representa per rang(A).           −−−= 963 642 321 G )ª3ª2ª1.(0 fffG =−= Rang G ≠3 Tots els menors que s’agafin d’ordre 2 tenen com a determinant zero fet que implica que el rang és diferent a 2 0 42 21 = −− 0 64 32 = −− 0 63 42 = −− 0 96 64 = −− 0 63 21 = 0 96 32 = El rang G ≠ 2 rang G =1 perquè sempre es pot trobar un determinant d’ ordre 1 diferent a zero
2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS Matrius no quadrades El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’ una matriu A es representa per rang(A).           − − = 3 2 1 1 1 0 H H Rang H ≠3 Com a molt es poden fer menors d’ordre 2 01 21 10 ≠= − No es pot fer Rang H =2
2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS Matrius no quadrades El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’ una matriu A es representa per rang(A).           −− = 9 8 7 201 131 042 I I Rang I ≠4 Com a molt es poden fer menors d’ordre 3 )2.(0 201 131 042 321 ccc =+⋅−= − No es pot fer No serveix 014 920 813 704 ≠−= −− Rang I ≠3
2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS Matrius no quadrades El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’ una matriu A es representa per rang(A).               −−− −−= 11 8 5 2 0 6 631 521 J J Rang J ≠4 Com a molt es poden fer menors d’ordre 3. Tots ells tenen determinant zero ).(0 826 631 521 Sarrus= −−− −− No es pot fer ).(0 1150 631 521 321 fff =−=−− ).(0 1150 826 631 Sarrus=−−− −− Rang J ≠3 Provem si algun menor d’ordre 2 té determinant diferent a zero: Rang J = 205 31 21 ≠−= −
2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS Matrius no quadrades Tècnica d’ orlament               −−− −−= 11 8 5 2 0 6 631 521 J |1|≠0 ).(0 826 631 521 Sarrus= −−− −− ).(0 1150 631 521 321 fff =−=−− Rang J ≠3 Per tant RangJ = 2 05 31 21 ≠−= − Rang J=1 com a mínim Rang J=2 com a mínim
2.5 RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINANTS Matrius no quadrades Tècnica d’ orlament             − = 0124 0130 0212 K |2|≠0 010 124 130 212 ≠−= − Rang K = 3 06 30 12 ≠= Rang K=1 com a mínim Rang K = 2 com a mínim
2.6 MATRIU INVERSA Si A és una matriu quadrada, es diu que A–1 és la inversa de A si A . A–1 = A–1 . A = I, on I és la matriu identitat.La matriu inversa es representa per A–1 Exemple1:Si A =         2 –1 1 1 per obtenir A -1 =         x y z t s’ ha de cumplir         2 –1 1 1 .         x y z t =         1 0 0 1         2x– z 2y– t x + z y + t =         1 0 0 1 ⇔ 2x – z = 1 x + z = 0 2y – t = 0 y + t = 1 ⇔ x =1/3 y =1/3 z =–1/3 t =2/3 Per tant A -1 =        1 3 1 3 – 1 3 2 3
2.6 MATRIU INVERSA Si A és una matriu quadrada, es diu que A–1 és la inversa de A si A . A–1 = A–1 . A = I, on I és la matriu identitat. La matriu inversa es representa per A–1 Exemple1:Si A =         2 –1 1 1 per obtenir -1 Donada una matriu quadrada A es pot obtenir la seva matriu inversa fent servir la següent fórmula: A–1 [ ])( 1 *1 A A A t •=− o [ ]*1 )( 1 A A A t •=− 312)1(2 =+=−−=A       − = 21 11* A       − = 21 11 )( * At [ ])( 1 *1 A A A t •=− [ ]           − =      − •=•=− 3 2 3 1 3 1 3 1 21 11 3 1 )( 1 *1 A A A t
2.6 MATRIU INVERSA Si A és una matriu quadrada, es diu que A–1 és la inversa de A si A . A–1 = A–1 . A = I, on I és la matriu identitat. La matriu inversa es representa per A–1       − = 11 12 AExemple1 : Comprovació A . A–1 = A–1 . A = I           − =− 3 2 3 1 3 1 3 1 1 A A . A–1 =       =         =         +− −+ =           − •      − 10 01 3 3 3 0 3 0 3 3 3 2 3 1 3 131 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 11 12       =         =         +− −+ =      − •           − 10 01 3 3 3 0 3 0 3 3 3 2 3 1 3 131 3 2 3 2 3 1 3 2 11 12 3 2 3 1 3 1 3 1 A–1 •A =
2.6 MATRIU INVERSA Si A és una matriu quadrada, es diu que A–1 és la inversa de A si A . A–1 = A–1 . A = I, on I és la matriu identitat. La matriu inversa es representa per A–1 154)5(4)308(004 =+−=−−−=++−−++−=A           − −− −− = 232 121 8127 * A           −− − −− = 218 3212 217 )( * At [ ])( 1 *1 A A A t •=− [ ]           −− − −− =           −− − −− •=•=− 218 3212 217 218 3212 217 1 1 )( 1 *1 A A A t           − − = 214 320 101 A Exemple 2
2.6 MATRIU INVERSA Si A és una matriu quadrada, es diu que A–1 és la inversa de A si A . A–1 = A–1 . A = I, on I és la matriu identitat. La matriu inversa es representa per A–1 Exemple2 : Comprovació A . A–1 = A–1 . A = I A . A–1 =           =           −−++−++− +−−+−+ −+++−++− =           −− − −− •           − − 100 010 001 438224161228 66034024240 202101807 218 3212 217 214 320 101 A–1 •A =           =           −−++−++− +−−+−+ −+++−++− =           − − •           −− − −− 100 010 001 438224161228 66034024240 202101807 214 320 101 218 3212 217
Propietats de la matriu inversa I. Si las matrius A i B són inversibles (A. B)–1 = B–1 . A–1 II. Si A és una matriu inversible i k ≠ 0, (k . A)–1 = (1/k) . A–1 III. Si A és una matriu inversible, (A–1 )–1 = A IV. La matriz unitat és inversible i a més a més I–1 = I V. Si A és una matriu inversible, (A–1 )t = (At )–1 Condicions per a que una matriu tingui inversa 2.6 MATRIU INVERSA I. La matriu ha de ser quadrada II. El determinant de la matriu ha de ser diferent a zero

More Related Content

PPTX
L'impressionisme i...
byJulia Valera
 
PPTX
LA LLIBERTAT GUIANT EL POBLE (1830)
byAntonio Núñez
 
PPT
Equacions amb 2 incognites
bymbalag27
 
PPTX
Elements i compostos (2)
byRamon Grau
 
ODP
ORBITALS ATÒMICS
byMíriam Redondo Díaz (Naturalsom)
 
PPT
El relleu peninsular.
byMarcel Duran
 
PPT
Oracions compostes
byManelic
 
PPT
El Treball De Recerca
byDaniel Fernández
 
L'impressionisme i...
byJulia Valera
 
LA LLIBERTAT GUIANT EL POBLE (1830)
byAntonio Núñez
 
Equacions amb 2 incognites
bymbalag27
 
Elements i compostos (2)
byRamon Grau
 
ORBITALS ATÒMICS
byMíriam Redondo Díaz (Naturalsom)
 
El relleu peninsular.
byMarcel Duran
 
Oracions compostes
byManelic
 
El Treball De Recerca
byDaniel Fernández
 

What's hot

ODP
El Reinado de Carlos IV
bybenienge
 
PPTX
ESPRIU & ANTÍGONA
byFerranet74
 
PPTX
Els complements
byfinnyjake
 
PPT
Matrius
byDavid Caparrós
 
PDF
Solucionario mates 1 batx
byBiannyIbaezRodrguez
 
PDF
Paisatges agraris
byneusgr
 
PPT
Hume Coneixement
byDaniel Fernández
 
PDF
Mètrica
bySílvia Montals
 
PPTX
Fitxa 82 casa kauffman
byJulia Valera
 
PDF
Problemes de concentracions 3r eso
byannalarroy
 
PPT
Les Cròniques
bycarme
 
PDF
8.Rembrandt: Lliçó d'Anatomia del professor Tulp
byCarme Aranda- Mònica Navarro
 
PPTX
CANOVA: EROS I PSIQUE
byAntonio Núñez
 
ODP
U.D.2 L'ENLLAÇ QUÍMIC
byMíriam Redondo Díaz (Naturalsom)
 
PPTX
KANDINSKY: COMPOSICIÓ IV
byAntonio Núñez
 
PPT
Afusellaments del 3 de maig Goya
byMercè Bigorra
 
PPTX
EL TRES DE MAIG DE 1808
byAntonio Núñez
 
PPTX
RODIN: EL PENSADOR
byAntonio Núñez
 
PPT
El modernisme català
byMontse Torrescasana
 
PPT
Metodes separacio mescles
bygsirvent
 
El Reinado de Carlos IV
bybenienge
 
ESPRIU & ANTÍGONA
byFerranet74
 
Els complements
byfinnyjake
 
Matrius
byDavid Caparrós
 
Solucionario mates 1 batx
byBiannyIbaezRodrguez
 
Paisatges agraris
byneusgr
 
Hume Coneixement
byDaniel Fernández
 
Mètrica
bySílvia Montals
 
Fitxa 82 casa kauffman
byJulia Valera
 
Problemes de concentracions 3r eso
byannalarroy
 
Les Cròniques
bycarme
 
8.Rembrandt: Lliçó d'Anatomia del professor Tulp
byCarme Aranda- Mònica Navarro
 
CANOVA: EROS I PSIQUE
byAntonio Núñez
 
U.D.2 L'ENLLAÇ QUÍMIC
byMíriam Redondo Díaz (Naturalsom)
 
KANDINSKY: COMPOSICIÓ IV
byAntonio Núñez
 
Afusellaments del 3 de maig Goya
byMercè Bigorra
 
EL TRES DE MAIG DE 1808
byAntonio Núñez
 
RODIN: EL PENSADOR
byAntonio Núñez
 
El modernisme català
byMontse Torrescasana
 
Metodes separacio mescles
bygsirvent
 

Viewers also liked

ODP
6 Matrius 2n Batxillerat
byAlbert Sola
 
ODP
1 Límits i continuïtat de funcions
byAlbert Sola
 
PPT
Metrologia i normalitzacio
byDavid Caparrós
 
PPTX
Els determinants i els pronoms
bySílvia Montals
 
PPTX
Matrices y determinantes
byAlejandro Machado Colina
 
PPTX
Unitat 9 metrologia i normalització
bydavidsanz50
 
PPTX
Presentacion matrices y determinantes
byAndrio Mendoza
 
XLS
Matriz Numerica
bymayra
 
PPTX
Definición Geometrica de la Derivada
byOscar Ardila Chaparro
 
PPT
La célula. Unidad fundamental de la vida
byamejias66
 
PPT
Medi Ambient
byTxeli
 
PPT
Ccs spresentacion 1r dia
byDavid Caparrós
 
6 Matrius 2n Batxillerat
byAlbert Sola
 
1 Límits i continuïtat de funcions
byAlbert Sola
 
Metrologia i normalitzacio
byDavid Caparrós
 
Els determinants i els pronoms
bySílvia Montals
 
Matrices y determinantes
byAlejandro Machado Colina
 
Unitat 9 metrologia i normalització
bydavidsanz50
 
Presentacion matrices y determinantes
byAndrio Mendoza
 
Matriz Numerica
bymayra
 
Definición Geometrica de la Derivada
byOscar Ardila Chaparro
 
La célula. Unidad fundamental de la vida
byamejias66
 
Medi Ambient
byTxeli
 
Ccs spresentacion 1r dia
byDavid Caparrós
 

Similar to Determinants

PPT
Expressions algebraiques
bymbalag27
 
PPT
Nombres enters u1
bymbalag27
 
PPT
Iniciació a l’algebra
bymbalag27
 
PPT
Nombres naturals U1
bymbalag27
 
PPT
Matrius i determinants
byMònica Orpí Mañé
 
PDF
01 i 02 Matrius i determinants
byAlbert Sola
 
ODP
3 Polinomis Part 1 3r ESO
byAlbert Sola
 
ODP
Monomis i polinomis per 2n d'ESO
byAlbert Sola
 
PPT
Equacions amb una incognita
bymbalag27
 
PPTX
Llenguatge algebraic.pptx
byLiliWu17
 
PDF
04 Monomis i Polinomis 3r ESO
byAlbert Sola
 
PPT
Nombres naturals de 1r d'ESO. Matemàtiques
bymbalag27
 
PDF
Càlcul matricial
byJuan Gabriel Gomila Salas
 
PDF
Orlament de determinants v2
byProf_Matemàtiques - Generalitat Catalunya
 
PPT
presentacio expressions algebràiques.ppt
byJavierAlbertoYuntaCa
 
PPTX
temario de matrices con operaciones basicas
byespaliviero
 
PPTX
TEMARIO DE MATRICES TEORICO Y EJERCICOS RESUELTOS
byespaliviero
 
PPTX
Tema 3
byJromero8
 
PDF
Matematiques funcions varies variables (ii)
byMelanie Nogué
 
PDF
Matemàtiques II (parcial I)
byMelanie Nogué
 
Expressions algebraiques
bymbalag27
 
Nombres enters u1
bymbalag27
 
Iniciació a l’algebra
bymbalag27
 
Nombres naturals U1
bymbalag27
 
Matrius i determinants
byMònica Orpí Mañé
 
01 i 02 Matrius i determinants
byAlbert Sola
 
3 Polinomis Part 1 3r ESO
byAlbert Sola
 
Monomis i polinomis per 2n d'ESO
byAlbert Sola
 
Equacions amb una incognita
bymbalag27
 
Llenguatge algebraic.pptx
byLiliWu17
 
04 Monomis i Polinomis 3r ESO
byAlbert Sola
 
Nombres naturals de 1r d'ESO. Matemàtiques
bymbalag27
 
Càlcul matricial
byJuan Gabriel Gomila Salas
 
Orlament de determinants v2
byProf_Matemàtiques - Generalitat Catalunya
 
presentacio expressions algebràiques.ppt
byJavierAlbertoYuntaCa
 
temario de matrices con operaciones basicas
byespaliviero
 
TEMARIO DE MATRICES TEORICO Y EJERCICOS RESUELTOS
byespaliviero
 
Tema 3
byJromero8
 
Matematiques funcions varies variables (ii)
byMelanie Nogué
 
Matemàtiques II (parcial I)
byMelanie Nogué
 

More from David Caparrós

PPT
Estructures 3r eso Tecnologia
byDavid Caparrós
 
PPT
Sistemes digitals
byDavid Caparrós
 
PPT
Mecanismes de transformació
byDavid Caparrós
 
PPT
Oleohidraulica definitiu
byDavid Caparrós
 
PPT
Tema1 termodinamica segona part
byDavid Caparrós
 
PPT
Sistemes digitals
byDavid Caparrós
 
PPT
Tema1 dinamica
byDavid Caparrós
 
PPT
Sistemes digitals Tipus 1
byDavid Caparrós
 
PPT
POWERPOINT MATEMATIQUES FINANCERES FINAL.ppt
byDavid Caparrós
 
PPT
Maquinas termicas intro2017.
byDavid Caparrós
 
PPT
FIGURES GEOMETRIQUES PLANES RESUM : ÀREES i PERÍMETRES
byDavid Caparrós
 
PPT
Tecnologia 2n batxt 2018/2019
byDavid Caparrós
 
PPT
Matematiques 2n batx ccs ssinanimacion
byDavid Caparrós
 
PPT
Matematiques 1r batx ccss
byDavid Caparrós
 
PPT
Mates 4 eso
byDavid Caparrós
 
PPT
Mates 1r batxillerat ct presentació curs
byDavid Caparrós
 
PPT
Matematiques 4rt eso
byDavid Caparrós
 
PPT
Tema1 termodinamica primera part
byDavid Caparrós
 
PPT
Matematiques 1r batx ccss sin efectos
byDavid Caparrós
 
PPT
Tecnologia 2n batxt
byDavid Caparrós
 
Estructures 3r eso Tecnologia
byDavid Caparrós
 
Sistemes digitals
byDavid Caparrós
 
Mecanismes de transformació
byDavid Caparrós
 
Oleohidraulica definitiu
byDavid Caparrós
 
Tema1 termodinamica segona part
byDavid Caparrós
 
Sistemes digitals
byDavid Caparrós
 
Tema1 dinamica
byDavid Caparrós
 
Sistemes digitals Tipus 1
byDavid Caparrós
 
POWERPOINT MATEMATIQUES FINANCERES FINAL.ppt
byDavid Caparrós
 
Maquinas termicas intro2017.
byDavid Caparrós
 
FIGURES GEOMETRIQUES PLANES RESUM : ÀREES i PERÍMETRES
byDavid Caparrós
 
Tecnologia 2n batxt 2018/2019
byDavid Caparrós
 
Matematiques 2n batx ccs ssinanimacion
byDavid Caparrós
 
Matematiques 1r batx ccss
byDavid Caparrós
 
Mates 4 eso
byDavid Caparrós
 
Mates 1r batxillerat ct presentació curs
byDavid Caparrós
 
Matematiques 4rt eso
byDavid Caparrós
 
Tema1 termodinamica primera part
byDavid Caparrós
 
Matematiques 1r batx ccss sin efectos
byDavid Caparrós
 
Tecnologia 2n batxt
byDavid Caparrós
 

Determinants

  • 1.
  • 2.
    Donada una matriuquadrada de primer ordre (1x1): S’anomena determinant d’ A al mateix nombre real que forma la matriu 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 1 11aA = )( 11aA = )6(−=A 66 −=−=A )9(=B 99 ==B )0(=C 00 ==C
  • 3.
    Donada una matriuquadrada de segon ordre (2x2): S’anomena determinant d’ A al nombre real que resulta de multiplicar els elements de la diagonal principal i restar-li el producte dels elements de la diagonal secundària . 3 2 2 1 = 3·1 - 2·2 = 3 – 4 = -1 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 2       = 12 23 A
  • 4.
    2.1 CONCEPTE DEDETERMINANT Determinants d’ordre 2 1 -2 5 -1 = 1·(-1) - 5·(-2) = -1 +10=9       − − = 15 21 B       − − = 53 01 C -1 0 3 -5 = -1·(-5) - 0·3 = 5 - 0=5       −− −− = 73 24 D -4 -2 -3 -7 = -4·(-7) – (-2)·(-3) = 28 – 6= 22
  • 5.
    Donada una matriuquadrada de segon ordre (3x3): S’anomena determinant d’ A al nombre real que resulta d’aplicar la regla de Sarrus: 2.1 CONCEPTE DE DETERMINANT Determinants d’ordre 3
  • 6.
    2.1 CONCEPTE DEDETERMINANT Determinants d’ordre 3 La regla de Sarrus permet recordar gràficament els productes que apareixen en la expresisón del determinante d’ ordren 3 i els seus signes. Els elements de la diagonal principal i les seves paralel.les, amb el seu signe i els de la diagonal secundària i les seves paralel.les canviades de signe.
  • 7.
    2.1 CONCEPTE DEDETERMINANT Determinants d’ordre 3 La regla de Sarrus permet recordar gràficament els productes que apareixen en la expresisón del determinante d’ ordren 3 i els seus signes. Els elements de la diagonal principal i les seves paralel.les, amb el seu signe i els de la diagonal secundària i les seves paralel.les canviades de signe.
  • 8.
    2.1 CONCEPTE DEDETERMINANT Determinants d’ordre 3 Exemple 1: 121 410 321 − = 1•(-1)•1+2•4•1+0•2•3-[3•(-1)•1+0•2•1+2•4•1]= = -1+8+0-(-3+0+8)=7-5 = 2
  • 9.
    1.1 CONCEPTE DEDETERMINANT Determinants d’ordre 3 Exemple 2: 432 524 322 − = 2•(-2)•4+2•5•2+4•3•3-[3•(-2)•2+4•2•4+3•5•2]= = -16+20+36-(-12+32+30)=40-50 = -10
  • 10.
    1.1 CONCEPTE DEDETERMINANT Determinants d’ordre 3 Exemple 3: 432 124 153 −− −− = 3•(-2)•(-4)+5•(-1)•2+4•(-3)•1-[1•(-2)•2+4•5•(-4)+(-3)•(-1)•3]= = 24-10-12-(-4-80+9)=2-(-75) = 2+75 = 77
  • 11.
    2.1 CONCEPTE DEDETERMINANT Equacions amb determinants ordre 2 10 1 41 −= + +− xx xx ( ) [ ] 1 66 4106 1046 1044 1044 10)1()4(1 22 22 = ⇒−=− ⇒+−=− ⇒−=−− ⇒−=−−−−− ⇒−=+++−− ⇒−=+•+−•− x x x x xxxxx xxxxx xxxx
  • 12.
    2.1 CONCEPTE DEDETERMINANT Equacions amb determinants ordre 3 ( )[ ] [ ] 5 11 55 5511 8476512 4786512 470865012 47)05()421(235120243 = ⇒= ⇒= ⇒+=−+ ⇒=−−+ ⇒=++−++ ⇒=••+••+••−••+••+•• x x x xxx xxx xxx xxxx 47 452 031 2 = xx
  • 13.
    2.2 PROPIETATS DELSDETERMINANTS I. El determinant d’ una matriu amb dos files o columnes iguals o proporcionals és zero. Càlcul inmediat de determinants Exemples: • El determinant d’ una matriu A =        –1 4 –1 3 2 3 2 5 2 és igual a zero perquè la tercera i primera columnes són iguals. • El determinant d’ una matriu B =        2 4 –1 1 –2 3 3 –6 9 és igual a zero perquè la tercera fila és igual a la segona multiplicada per 3.
  • 14.
    2.2 PROPIETATS DELSDETERMINANTS Càlcul inmediat de determinants II. El determinant d’ una matriu amb una fila o columnes nules és zero. Exemples: El determinant d’ una matriu A =        –1 0 –1 3 0 3 2 0 2 és igual a zero perquè la segona columna és nul.la. El determinant d’ una matriu B =        –1 0 –1 0 9 0 0 00 és igual a zero perquè la tercera fila és nul.la.
  • 15.
    III. El determinantd’ una matriu en que una fila o columna es combinació lineal de les altres files o columnes és zero. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Càlcul inmediat de determinants Exemple: El determinant d’ una matriu B =        2 4 0 1 3 –1 3 1 5 és igual a zero perquè la tercera columna és igual al doble de la primera menys la segona Exemple: El determinant d’ una matriu A =        1 4 0 1 3 –1 2 7 -1 és igual a zero perquè la tercera fila és igual a la suma de la primera més la segona 213 fff += 213 2 ccc −•=
  • 16.
    IV. El determinantd’ una matriu triangular és igual al producte dels elements de la seva diagonal principal. Exemples: El determinant de la matriu A =        –1 0 –1 0 2 3 0 0 2 és igual –4. 2.2 PROPIETATS DELS DETERMINANTS Càlcul inmediat de determinants El determinant de la matriu B =           − 587 026 003 és igual a 30
  • 17.
    2.2 PROPIETATS DELSDETERMINANTS Càlcul inmediat de determinants V. El determinant de la matriz identitat=escalar=unitat és 1 Exemples: • El determinant de la matriu I 3 =        1 0 0 0 1 0 0 0 1 és igual a 1. • El determinant de la matriu I 5 =          1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 és igual a 1.
  • 18.
    2.2 PROPIETATS DELSDETERMINANTS Operacions amb files i columnes VI. Si es multipliquen els elements d’ una fila o columna d’ una matriu per un nombre el determinant de la matriu es multiplica per aquest nombre Exemple: 2 3 4 20 = 2 3 4 . 1 4 . 5 = 4 2 3 1 5 28124034202 204 32 =−=•−•= 2874)310(4)3152(4 51 32 4 =•=−•=•−••=•
  • 19.
    2.2 PROPIETATS DELSDETERMINANTS Operacions amb files i columnes 1385)8(52)4(51 52 41 =+=−−=•−−•= − VII. Si s’ intercanvien entre sí dos files o dos columnes d’ una matriu, el seu determinant canvia de signe. Exemple: 1 – 4 2 5 = – – 4 1 5 2 [ ] [ ] 13)13(58)51(24 25 14 =−−=−−−=•−•−−= − −
  • 20.
    2.2 PROPIETATS DELSDETERMINANTS Operacions amb matrius VIII. El determinant d’una matriu es igual al de la seva transposada. t AA = 61824)0180(0024 653 021 032 =−=++−++==A 61824)0180(0024 600 523 312 =−=++−++==t A Exemple
  • 21.
    2.2 PROPIETATS DELSDETERMINANTS Operacions amb matrius IX. El determinant del producte de dos matrius quadrades i multiplicables és igual al producte dels determinants de cada un d’elles. Exemple:      − = 05 32 A      − = 15 06 B       − =     − •     − =• 030 327 15 06 05 32 BA 15150 05 32 −=−= − =A 606 15 06 −=−−= − =B 90)90(0 030 327 =−−= − =• BA BABA •=• )6()15(90 −•−=
  • 22.
    2.2 PROPIETATS DELSDETERMINANTS Operacions amb matrius Exemple: X.- Si una fila o columna és suma de diferents sumands, es descomposa en tants determinants com sumands hagi 123)68()96( 43 22 33 32 433 232 73 52 −=+−=−+−=+= + + = 11514 73 52 73 52 −=−==⇒      = AA 123)57()107( 71 51 72 51 712 511 73 52 −=+−=−+−=+= + + =
  • 23.
    2.3 MENORS IADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA Menor d’una matriu quadrada Determinant que resulta en suprimir una fila i una columna d’una matriu quadrada. Tots els menors es denoten per Mij per indicar el determinant de la matriu que s’obté en suprimir La fila i i la columna j.      − = 53 21 A 5511 ==M 3312 ==M 2221 ==M 1122 −=−=M
  • 24.
    2.3 MENORS IADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA Menors d’una matriu quadrada           − − = 411 202 311 A 2)2(0 41 20 11 =−−= − =M 628 41 22 12 =−==M 202 11 02 13 −=−−= − =M 7)3(4 41 31 21 =−−= − =M 734 41 31 22 −=−−= − =M 011 11 11 23 =−= − − =M 202 20 31 31 =−==M 862 22 31 32 −=−−= − =M 220 02 11 33 −=−= − =M
  • 25.
    2.3 MENORS IADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA Matriu adjunta • S’anomena “Adjunt mi,j” d’ un element “ai,j” al determinant del menor Mi,j multiplicat per (-1)i+j • Donada la matriu quadrada A, s’anomena “matriu adjunta” de A i es representa A*, a la matriu que se obté en substituir cada element aij pel seu adjunt mij. ij ji ij Mm •−= + )1(      − = 53 21 A 5)1( 1111 11 11 ==•−= + MMm 3)1( 1212 21 12 −=−=•−= + MMm 2)1( 2121 12 21 −=−=•−= + MMm 1)1( 2222 22 22 −==•−= + MMm       −− − = 12 35* A Exemple 1
  • 26.
    2.3 MENORS IADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA Matriu adjunta ij ji ij Mm •−= + )1( 2)1( 1111 11 11 ==•−= + MMm 6)1( 1212 21 12 −=−=•−= + MMm 7)1( 2121 12 21 −=−=•−= + MMm           − − = 411 202 311 A 2)1( 1313 31 13 −==•−= + MMm 7)1( 2222 22 22 −==•−= + MMm 00)1( 2323 32 23 =−=−=•−= + MMm 2)1( 3131 13 31 ==•−= + MMm 8)8()1( 3232 23 32 =−−=−=•−= + MMm 2)1( 3333 33 33 −==•−= + MMm           − −− −− = 282 077 262 * A Exemple 2
  • 27.
    2.3 MENORS IADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA Matriu adjunta ij ji ij Mm •−= + )1( 21111 == Mm 61212 −=−= Mm 72121 −=−= Mm           − − = 411 202 311 A 21313 −== Mm 72222 −== Mm 002323 =−=−= Mm 23131 == Mm 8)8(3232 =−−=−= Mm 23333 −== Mm           − −− −− = 282 077 262 * A Exemple 2
  • 28.
    2.3 MENORS IADJUNTS D’ UNA MATRIU QUADRADA Matriu adjunta ij ji ij Mm •−= + )1( 101 10 21 1111 =−=== Mm 2)02( 10 22 1212 −=−−=−=−= Mm 1)01( 10 11 2121 =−−−= − −=−= Mm           − = 100 212 111 B 0 00 12 1313 === Mm 101 10 11 2222 =−=== Mm 0 00 11 2323 = − −=−= Mm 312 21 11 3131 −=−−= − == Mm 0 22 11 3232 =−=−= Mm 3)2(1 12 11 3333 =−−= − == Mm           − − = 303 011 021 * B Exemple 3
  • 29.
    2.4 DESENVOLUPAMENT D’UNDETERMINANT PELS ELEMENTS D’ UNA LÍNIA Un determinant és igual a la suma dels elements d’una línia (fila o columna) multiplicat pels seus adjunts corresponents Exemple 1 9145)2120(610 411 103 212 −=−=++−+−= − 9613232131)1(2)03(2))1(12(1)10(2 11 03 2 41 13 1 41 10 2212212 411 103 212 131211131211 −=+−−=⋅+⋅−−⋅=−⋅+−−⋅−−⋅ = − ⋅+ − ⋅−⋅=⋅+⋅−⋅=⋅+⋅+⋅= − MMMmmm 1ª fila
  • 30.
    2.4 DESENVOLUPAMENT D’UNDETERMINANT PELS ELEMENTS D’ UNA LÍNIA Un determinant es igual a la suma dels elements d’una línia (fila o columna) multiplicat pels seus adjunts corresponents Exemple 1 9145)2120(610 411 103 212 −=−=++−+−= − 91621223)1(2)01(1)24(3)10(2 10 21 1 41 21 3 41 10 2132132 411 103 212 312111312111 −=−−−=⋅−⋅−−⋅=−⋅−−⋅−−⋅ =⋅−⋅−⋅=⋅−⋅−⋅=⋅−⋅+⋅= − MMMmmm 1ª columna
  • 31.
    2.4 DESENVOLUPAMENT D’UNDETERMINANT PELS ELEMENTS D’ UNA LÍNIA Un determinant es igual a la suma dels elements d’una línia (fila o columna) multiplicat pels seus adjunts corresponents Exemple 1 9145)2120(610 411 103 212 −=−=++−+−= − 9413)4(13 )62())1(12( 13 22 41 13 101 411 103 212 3212322212 −=+−=−−− =−−−−−=⋅− − ⋅−=−−=⋅+⋅+⋅= − MMmmm 2ª columna ( possibilitat que dóna menys feina)
  • 32.
    2.4 DESENVOLUPAMENT D’UNDETERMINANT PELS ELEMENTS D’ UNA LÍNIA Determinant 4x4 Exemple 2 [ ] [ ] [ ] [ ] 244201317)2(22)849(1283)01816(6016 121 432 321 212 043 232 1001 2121 0432 2321 1001 1411141114131211 −=−−=−−−−−=+−−++−−+−−−+−= = − − −− =−=+=⋅+⋅+⋅+⋅= −− MMmmmmmm
  • 33.
    2.4 DESENVOLUPAMENT D’UNDETERMINANT PELS ELEMENTS D’ UNA LÍNIA Determinant 4x4 Exemple 3 28618317120)61(3)17(602.... 542 223 432 3 542 423 432 1 542 423 223 2 3120312 5042 4323 2123 4232 33231343332313 −=−+−=−⋅+−−⋅−== = − −⋅+ − ⋅− − − ⋅− =⋅+⋅−⋅−=⋅+⋅+⋅+⋅−= − − − MMMmmmm
  • 34.
    2.5 RANG D’UNAMATRIU PER DETERMINANTS Matriu 1x1 El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’ una matriu A es representa per rang(A). A = (3) rang A = 103 ≠=A B = (0) rang B = 000 ==B Matriu 2x2       = 21 12 C 0314 21 12 ≠=−==C Rang C =2       − − = 42 21 D 044 42 21 =−= − − =D Rang D ≠2 Rang D =1
  • 35.
    2.5 RANG D’UNAMATRIU PER DETERMINANTS Matriu 3x3 El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’ una matriu A es representa per rang(A).           − − − = 121 112 301 E 010 ≠=E Rang E =3           −− − − = 213 112 301 F )ª3ª2ª1.(0 fffF =+= Rang F ≠3 Rang F =2 Perquè es pot agafar un menor d’ordre 2 amb determinant diferent a zero 01 12 01 ≠−= −
  • 36.
    2.5 RANG D’UNAMATRIU PER DETERMINANTS Matriu 3x3 El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’ una matriu A es representa per rang(A).           −−−= 963 642 321 G )ª3ª2ª1.(0 fffG =−= Rang G ≠3 Tots els menors que s’agafin d’ordre 2 tenen com a determinant zero fet que implica que el rang és diferent a 2 0 42 21 = −− 0 64 32 = −− 0 63 42 = −− 0 96 64 = −− 0 63 21 = 0 96 32 = El rang G ≠ 2 rang G =1 perquè sempre es pot trobar un determinant d’ ordre 1 diferent a zero
  • 37.
    2.5 RANG D’UNAMATRIU PER DETERMINANTS Matrius no quadrades El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’ una matriu A es representa per rang(A).           − − = 3 2 1 1 1 0 H H Rang H ≠3 Com a molt es poden fer menors d’ordre 2 01 21 10 ≠= − No es pot fer Rang H =2
  • 38.
    2.5 RANG D’UNAMATRIU PER DETERMINANTS Matrius no quadrades El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’ una matriu A es representa per rang(A).           −− = 9 8 7 201 131 042 I I Rang I ≠4 Com a molt es poden fer menors d’ordre 3 )2.(0 201 131 042 321 ccc =+⋅−= − No es pot fer No serveix 014 920 813 704 ≠−= −− Rang I ≠3
  • 39.
    2.5 RANG D’UNAMATRIU PER DETERMINANTS Matrius no quadrades El RANG d’ una matriu és l’ ordre del major dels menors diferents de zero. El rang d’ una matriu A es representa per rang(A).               −−− −−= 11 8 5 2 0 6 631 521 J J Rang J ≠4 Com a molt es poden fer menors d’ordre 3. Tots ells tenen determinant zero ).(0 826 631 521 Sarrus= −−− −− No es pot fer ).(0 1150 631 521 321 fff =−=−− ).(0 1150 826 631 Sarrus=−−− −− Rang J ≠3 Provem si algun menor d’ordre 2 té determinant diferent a zero: Rang J = 205 31 21 ≠−= −
  • 40.
    2.5 RANG D’UNAMATRIU PER DETERMINANTS Matrius no quadrades Tècnica d’ orlament               −−− −−= 11 8 5 2 0 6 631 521 J |1|≠0 ).(0 826 631 521 Sarrus= −−− −− ).(0 1150 631 521 321 fff =−=−− Rang J ≠3 Per tant RangJ = 2 05 31 21 ≠−= − Rang J=1 com a mínim Rang J=2 com a mínim
  • 41.
    2.5 RANG D’UNAMATRIU PER DETERMINANTS Matrius no quadrades Tècnica d’ orlament             − = 0124 0130 0212 K |2|≠0 010 124 130 212 ≠−= − Rang K = 3 06 30 12 ≠= Rang K=1 com a mínim Rang K = 2 com a mínim
  • 42.
    2.6 MATRIU INVERSA SiA és una matriu quadrada, es diu que A–1 és la inversa de A si A . A–1 = A–1 . A = I, on I és la matriu identitat.La matriu inversa es representa per A–1 Exemple1:Si A =         2 –1 1 1 per obtenir A -1 =         x y z t s’ ha de cumplir         2 –1 1 1 .         x y z t =         1 0 0 1         2x– z 2y– t x + z y + t =         1 0 0 1 ⇔ 2x – z = 1 x + z = 0 2y – t = 0 y + t = 1 ⇔ x =1/3 y =1/3 z =–1/3 t =2/3 Per tant A -1 =        1 3 1 3 – 1 3 2 3
  • 43.
    2.6 MATRIU INVERSA SiA és una matriu quadrada, es diu que A–1 és la inversa de A si A . A–1 = A–1 . A = I, on I és la matriu identitat. La matriu inversa es representa per A–1 Exemple1:Si A =         2 –1 1 1 per obtenir -1 Donada una matriu quadrada A es pot obtenir la seva matriu inversa fent servir la següent fórmula: A–1 [ ])( 1 *1 A A A t •=− o [ ]*1 )( 1 A A A t •=− 312)1(2 =+=−−=A       − = 21 11* A       − = 21 11 )( * At [ ])( 1 *1 A A A t •=− [ ]           − =      − •=•=− 3 2 3 1 3 1 3 1 21 11 3 1 )( 1 *1 A A A t
  • 44.
    2.6 MATRIU INVERSA SiA és una matriu quadrada, es diu que A–1 és la inversa de A si A . A–1 = A–1 . A = I, on I és la matriu identitat. La matriu inversa es representa per A–1       − = 11 12 AExemple1 : Comprovació A . A–1 = A–1 . A = I           − =− 3 2 3 1 3 1 3 1 1 A A . A–1 =       =         =         +− −+ =           − •      − 10 01 3 3 3 0 3 0 3 3 3 2 3 1 3 131 3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 11 12       =         =         +− −+ =      − •           − 10 01 3 3 3 0 3 0 3 3 3 2 3 1 3 131 3 2 3 2 3 1 3 2 11 12 3 2 3 1 3 1 3 1 A–1 •A =
  • 45.
    2.6 MATRIU INVERSA SiA és una matriu quadrada, es diu que A–1 és la inversa de A si A . A–1 = A–1 . A = I, on I és la matriu identitat. La matriu inversa es representa per A–1 154)5(4)308(004 =+−=−−−=++−−++−=A           − −− −− = 232 121 8127 * A           −− − −− = 218 3212 217 )( * At [ ])( 1 *1 A A A t •=− [ ]           −− − −− =           −− − −− •=•=− 218 3212 217 218 3212 217 1 1 )( 1 *1 A A A t           − − = 214 320 101 A Exemple 2
  • 46.
    2.6 MATRIU INVERSA SiA és una matriu quadrada, es diu que A–1 és la inversa de A si A . A–1 = A–1 . A = I, on I és la matriu identitat. La matriu inversa es representa per A–1 Exemple2 : Comprovació A . A–1 = A–1 . A = I A . A–1 =           =           −−++−++− +−−+−+ −+++−++− =           −− − −− •           − − 100 010 001 438224161228 66034024240 202101807 218 3212 217 214 320 101 A–1 •A =           =           −−++−++− +−−+−+ −+++−++− =           − − •           −− − −− 100 010 001 438224161228 66034024240 202101807 214 320 101 218 3212 217
  • 47.
    Propietats de lamatriu inversa I. Si las matrius A i B són inversibles (A. B)–1 = B–1 . A–1 II. Si A és una matriu inversible i k ≠ 0, (k . A)–1 = (1/k) . A–1 III. Si A és una matriu inversible, (A–1 )–1 = A IV. La matriz unitat és inversible i a més a més I–1 = I V. Si A és una matriu inversible, (A–1 )t = (At )–1 Condicions per a que una matriu tingui inversa 2.6 MATRIU INVERSA I. La matriu ha de ser quadrada II. El determinant de la matriu ha de ser diferent a zero