Vlakke meetkunde 2 les 3 (en 4)

1. VLAKKE MEETKUNDE 2
studiejaar 1, periode 2, week 3 (en 4)

2. HUISWERK
Bespreken uit §3-3 opdracht 19 en 20

3. Huiswerk 3-3 Opdracht 19
De middelloodlijnen van drie van de vier zijden van een vierhoek gaan door één
punt M.
Bewijs dat ABCD een koordenvierhoek AM = DM (eigenschap mll zijde AD)
AM = BM (eigenschap mll zijde AB)
}⇒ is.
CM = DM
BM = CM (eigenschap mll zijde BC)
(En dus ligt M ook op de mll van
zijde CD (vraag a).)
En dus liggen de punten A, B, C en D
op een cirkel met middelpunt M en dus
is vierhoek ABCD een koordenvierhoek.

4. Huiswerk 3-3 Opdracht 20
Teken een driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel en punt E op de omgeschreven cirkel en
punt D1 binnen de omgeschreven cirkel en punt D2 buiten de cirkel.
Bewijs dat geldt: ∠ABC + ∠CD1A > 180∘ en ∠ABC + ∠CD2A < 180∘.
∠EAC = ∠ D1AC (zelfde hoek)
∠ECA > ∠ D1CA (bg EA > bg FA)
∠CEA < ∠ CD1A ([1])
∠ABC + ∠CEA = 180∘ (koordenvierhoekstelling)
⇒ ∠ABC + ∠CD1A > 180∘
Analoog in driehoek ACD2 valt te bewijzen dat
∠ABC + ∠CD2A < 180∘.
Let op als je de koordenvierhoekstelling met deze inklem-techniek
}⇒ ∠CEA < ∠ CD1A (hoekensom driehoek) [1]
moet bewijzen, dan is dit bewijs onjuist.
}⇒
Je gebruikt datgene wat je moet bewijzen namelijk in het
bewijs.

5. NU KOMT HET ECHTE WERK
Extra opdracht naar examen vwo wiskunde B 2009

6. Voorbeeld 1
Gegeven is driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel. Aan weerskanten van C liggen
de punten K en L op de cirkel, zodanig dat CK = CL. De koorde KL snijdt de zijden AC
en BC respectievelijk in de punten P en Q.
Bewijs dat ABQP een koordenvierhoek is.
Tip: Bewijs eerst dat ∠BAC = ∠QCL + ∠CLQ.
Bewijs:
∠BAL = ∠QCL (constante hoek)
}⇒
∠LAC = ∠LKC (constante hoek)
⇒ ∠BAC = ∠QCL + ∠LKC [1]

7. Voorbeeld 1
}⇒ ∠BAC = ∠QCL + ∠CLQ [2]
∠BAC = ∠QCL + ∠LKC ([1])
∠LKC = ∠CLQ (bg CK = bg CL)
∠BAC = ∠QCL + ∠CLQ ([2])
∠CQL = 180∘ - ∠QCL -∠CLQ (hoekensom driehoek)
⇒ ∠BAC = 180∘ - ∠CQL [3]
∠BAP = 180∘ - ∠CQL ([3])
∠CQL = ∠PQB (overstaande hoek)
⇒ ∠BAC + ∠PQB = 180∘
Dus is ABQP een koordenvierhoek.
}⇒
}⇒

8. MEETKUNDIGE PLAATSEN
3-4 Geogebra

9. Meetkundige plaatsen
Met behulp van het computerprogramma Geogebra (dus niet Cabri)
kun je vermoedens creëren.
Een tekening is nooit een bewijs en dus zul je nadat je de
vermoedens hebt gevormd op papier aan de slag moeten gaan met
het bewijzen van het vermoeden.
In paragraaf 3-4, creëer je met behulp van Geogebra vermoedens
en zul je deze daarna zelf moeten gaan bewijzen.
Besef dat de toets schriftelijk wordt afgenomen en dat het
programma Geogebra daarin niet aan bod komt.

10. Voorbeeld 2
Gegeven is een cirkel (M, MA) met AB is een middellijn van de cirkel.
Op de cirkel liggen ook de punten C en D met een vaste afstand tot
elkaar. De lijnen AC en BD snijden elkaar in S.
Beschrijf de meetkundige plaats van S als C de cirkel doorloopt.
Vermoeden:
Punt S doorloopt twee cirkelbogen die elkaar snijden in A en B.
Bewijs:
∠ADB = ∠ACB = 90∘ (Thales)
}⇒ Alle hoeken bij S zijn constant
∠DAC = ∠DBC (constante hoek)
Dus punt S doorloopt twee cirkelbogen (constante hoek).

11. ENKELE BEWIJZEN
3-5 de bewijsstructuur (HERHALING)

12. Bewijs
Een Bewijs, bestaat altijd uit de onderdelen van het bewijsschema:
Gegeven, Te bewijzen en Bewijs.
De structuur van een bewijs bestaat uit:
... (...)
... (...)
Maar waar haal je dat bewijs vandaan?
Heel veel oefenen.
Basiskennis beheersen.
Een gestructureerde aanpak.
⎫⎬ ⎪
⎭⎪
⇒... (...) [...]

13. Een gestructureerde aanpak
Start altijd met het verkennen van het probleem.
Teken de situatie met alle gegevens na. We noemen dit een
analysefiguur. Door het tekenen bouw je mogelijk het bewijs al
op en zie je het al. Indien niet ga dan naar de volgende stap.
Analyseer het vraagstuk door:
Vooruitdenken: werk vanuit de gegevens toe naar een volgende
stap.
Terugdenken: werk vanuit wat te bewijzen een stap terug.
Plan maken: Leg een verband tussen de stappen die je hebt
gemaakt met eventueel andere stellingen.

14. Een gestructureerde aanpak
Geef het Bewijs:
Gebruik het bewijsschema om het bewijs netjes op te schrijven.
Dus:
Gegeven:
Te bewijzen:
Bewijs:
Verkennen
Analyseren (Vooruitdenken, Terugdenken en Plan maken)
Bewijs geven
(Q.e.d.)

15. Voorbeeld 3
Bewijs het volgende vermoeden: Wanneer de vier bissectrices van een vierhoek een
vierhoek insluiten, dan liggen de vier punten van deze ingesloten vierhoek op een
cirkel.
Gegeven: een vierhoek ABCD waarvan de bissectrices een vierhoek PQRS
insluiten.
Te bewijzen: De punten P, Q, R en S liggen op één cirkel.
Verkennen:

16. Voorbeeld 3
Annalyseren: vooruitdenken
Ik krijg de bissectrices als gegeven, dus ik weet acht hoeken.
Die 8 hoeken zijn samen 360∘.
Annalyseren: terugdenken
Vier punten op één cirkel betekent dat PQRS een koordenvierhoek is.
Dus ∠P + ∠R = 180∘ en ∠S + ∠Q = 180∘.
Annalyseren: plan maken
De helft van de hoeken van vierhoek ABCD is 180∘.
Als ik de hoeken P en R in de helft van de hoeken van
de grote vierhoek kan uitdrukken, dan ben ik klaar.
Daar ga ik driehoeken voor gebruiken.

17. Voorbeeld 3
Bewijs:
∠QRS = 180∘ - ∠RAD - ∠ADR (hoekensom driehoek)
}⇒
∠BPC = 180∘ - ∠PBC - ∠BCP (hoekensom ⇒ ∠QRS + ∠BPC = 360∘ - ∠RAD - ∠ADR - ∠RAD = ½∠A (bissectrice)
∠PBC = ½∠B (bissectrice)
∠BCP = ½∠C (bissectrice)
}⇒
driehoek)
∠PBC - ∠BCP [1]
∠ADR = ½∠D (bissectrice)
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360∘ (hoekensom ◻)
⇒ ∠RAD + ∠ADR + ∠PBC + ∠BCP = 180∘ [2]
Uit [1], [2] volgt dat in vierhoek ∠QRS + ∠BPC = 180∘.
Dus de punten P, Q, R en S liggen op één cirkel
(omgekeerde koordenvierhoekstelling)

18. Voorbeeld 4
Gegeven:
Gegeven is een cirkel met middelpunt M. Vanuit een punt P buiten de cirkel
worden twee raaklijnen getrokken aan de cirkel. De raakpunten noemen we A en
B. Op de kleinste boog AB ligt een punt C. De raaklijn aan de cirkel in punt C
snijdt PA in D en PB in E.
Te bewijzen:
∠DME = ½(180∘ - ∠APB)
Bewijs:

19. Voorbeeld 4
}⇒ ΔAMD ≅ ΔCMD (ZZR), Dus ∠M3 = ∠M4 [1]
Bewijs:
∠A1 = ∠C1 = 90∘ (raaklijn)
DM = DM
AM = CM (straal)
Analoog valt te bewijzen dat ∠M1 = ∠M2 [2]
∠A1 + ∠B1 = 180∘ Dus MAPB is een
koordenvierhoek (koordenvierhoekstelling)
Hieruit volgt: ∠P + ∠M1,2,3,4 = 180∘ [3]
Uit [1], [2] en [3] volgt:
∠P + 2∠M2,3 = 180∘ en dus:
∠M2,3 = ∠DME = ½(180∘ - ∠APB)

20. Let op:
Volgende week is er een werkcollege waarin jullie, onder
begeleiding aan de tussentoets en de extra oefening van H3
mogen gaan werken!
Er volgt geen nieuwe theorie en dus ook geen presentatie op
slideshare.

21. Huiswerk
Maken:
§3-4 opdrachten 24 t/m 28.
§3-5 opdrachten 29 t/m 31.