Vlakke meetkunde 2 les 8

1. VLAKKE MEETKUNDE 2
studiejaar 1, periode 2, week 8

2. HUISWERK
Bespreken uit §6.1 en § 6.2 oefening 6 en 11

3. Huiswerk §6.1 opdracht 6
VoordepuntenPvaneenhyperboolgeldt|d(P,F1)-d(P,F2)|=4en
d(F1 ,F2)=6.Construeertenminste4punten(ophettentamenaltijd5!)enteken
deasymptoten.
Voorhettekenenvandehyperbooltekenenwecirkelsmetalsmiddelpuntde
brandpunten.Voordestralenvandezecirkelsgeldtdathetverschiltelkens4
moetzijn:

4. Huiswerk §6.1 opdracht 6

5. Huiswerk §6.1 opdracht 6

6. Huiswerk §6.1 opdracht 6
Voorhettekenenvandeasymptotenbepalenwehetmiddentussende
brandpuntenentekenenvanuitdatpuntdecirkelmetstraal3.Daarnaast
tekenenwederichtcirkel(F1,4).Desnijpuntenvandezetweecirkelsnoemen
weR1 enR2.
DemiddelloodlijnenvandelijnenF1R1,enF2R2 zijndeasymptoten:

7. Huiswerk §6.1 opdracht 6

8. Huiswerk §6.1 opdracht 6

9. Huiswerk §6.2 opdracht 11
Gegeveniseenparabool.Rligtopde
paraboolmetbrandpuntF.LijnldoorR
isevenwijdigmetdeasvandeparabool.
WaaromstaatderaaklijninRloodrecht
opdedeellijnvanhoekFRP.
∠VRP=180
∘
(gestrektehoek)[1]
∠VRS=∠SRF(eigenschapraaklijn)[2]
∠PRQ=∠QRF(eigenschapdeellijn)[3]
Uit[1],[2]en[3]volgt:∠QRS=90
∘
endusRS⊥QR.

10. Huiswerk §6.2 opdracht 11
ConstrueerderaaklijnaanRtweekeer.
Deeerstekeermetderichtlijnendetweedekeer
zondergebruiktemakenvanderichtlijn.
Deconstructiestap(pen)metrichtlijn:
1) Tekenvanuit Rdeloodlijnopderichtlijn
2) Construeerdebissectricevan∠VRF.
Deconstructiestappenzonderrichtlijn:
1) Tekeneenlijnlevenwijdigaandesymmetrie-as.
2) KieseenwillekeurigpuntPoplijnl.
3) Construeerdedeellijnvan ∠FRP.
4) ConstrueeropdedeellijnloodrechtinReenlijn.

11. OEFENEN!
Succes!

12. Gegeven is een cirkel met middelpunt M. Punt C ligt binnen de cirkel. C
is niet gelijk aan M. PQ is een koorde door C die niet door M gaat. Het
midden van PQ is S. Zie de figuur hiernaast.
Bewijs dat S op de cirkel met middellijn MC ligt.
MP = MQ (straal)
MS = MS (uniciteit)
QS = SP (gegeven)
∠QSP = 180∘
(gestrekte hoek)
∠QSM =∠MSP ([1])
En dus ligt S op een cirkel met middellijn MC. (Thales)
Oefening 1
15 minuten 6 punten
!
}⇒ ∆MSQ≅ ∆MSP(ZZZ)[1]
}⇒∠MSP =∠MSC = 90∘
[2]

13. Twee cirkels C1 en C2 met middelpunten M en N snijden elkaar in de
punten A en B. Het verlengde van de straal MB snijdt C2 in het punt E
en het verlengde van straal NB snijdt C1 in punt D. Zie de figuur
hiernaast.
Bewijs dat de punten M, N, E en D op één cirkel liggen.
Oefening 2
15 minuten 5 punten
!

14. MB = MD (straal) en dus ∠MDB = ∠MBD (gelijkbenige driehoek) [1]
NB = NE (straal) en dus ∠NEB = ∠NBE (gelijkbenige driehoek) [2]
∠MBD = ∠NBE (overstaande hoeken) [3]
Uit [1], [2] en [3] volgt:
∠MDB = ∠NEB
En dus liggen de punten D en E op dezelfde
cirkel boog MN (constante hoek).
Dus M, N, E en D liggen op één cirkel
Oefening 2
15 minuten 5 punten
!

15. Van een vierkant is A een hoekpunt en zijn M, N en P middens van
zijden. In het vierkant is de ingeschreven cirkel getekend. De lijn k gaat
door A en M. De lijn l gaat door P en is evenwijdig met de lijn k. Verder
zijn de twee snijpunten X en Y van respectievelijk de lijnen k en l met de
cirkel weergegeven. Bewijs dat de bogen PY en XN even groot zijn.
∠PMX =∠YPM (Z-hoek) dus bg PX = bg MY (Omtrekshoek). [1]
bg MP = bg PN (kwart cirkel) [2]
Uit [1] en [2] volgt:
bg MP - bg MY = bg PN - bg PX
bg YP = bg XN
Oefening 3
10 minuten 4 punten
A
M
P
N
k
l
XY

16. Oefening 4
20 minuten 10 punten
Gegeven zijn twee grenzen. De ene grens bestaat binnen het kader uit
één lijnstuk en de andere grens bestaat uit twee lijnstukken en een deel
van een cirkel.
Teken de conflictlijn binnen het kader.

17. Oefening 4
20 minuten 10 punten
We moeten 2 delen van deellijnen tekenen en een parabool. Hiervoor
maken we geleerde constructies

18. Oefening 5
10 minuten 5 punten
In de figuur hiernaast is een parabool getekend met brandpunt C en
richtlijn l. Teken de punten op de parabool waar de raaklijn een hoek
van 45 graden maakt met de richtlijn.

19. Oefening 5
10 minuten 5 punten
Denk aan een vierkant. We moeten met het brandpunt C en de lijn l
twee vierkanten maken. Want de diagonalen van een vierkant maken
een hoek van 45 graden met de zijden. Daarvoor tekenen we door C een
lijn evenwijdig aan l. De snijpunten van deze lijn met de parabool zijn de
gevraagde punten.

20. !
Heel veel succes met de tentamens!!!