1. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
1.
α.
β. −π = π =π
− 2 = 2 = 2
−1 = 1 = 1
0 =0
γ.
( )
− π + − 2 + ( −1) + 0 + 1 + 2 + π =0
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
( −π) ⋅ ( − ) µ
2 ⋅ ( −1) ⋅ 0 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ π = 0
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 1 Σελίδα 1 από 1

2. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
2.
ΛΑΘΟΣ
ΣΩΣΤΟ
ΛΑΘΟΣ
ΣΩΣΤΟ
ΣΩΣΤΟ
ΛΑΘΟΣ
ΣΩΣΤΟ
ΛΑΘΟΣ
ΣΩΣΤΟ
ΣΩΣΤΟ
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
ΣΩΣΤΟ µ
ΣΩΣΤΟ
ΛΑΘΟΣ
ΛΑΘΟΣ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
ΣΩΣΤΟ
λ
ΑΣΚΗΣΗ 2 Σελίδα 1 από 1

3. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
3.
ΠΡΟΤΑΣΗ ΣΩΣΤΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
1 Γ
2 Β
3 ∆
4 Γ
5 ∆
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 3 Σελίδα 1 από 1

4. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
4.
α + β = −1 (1) ⎫
⎪
⎬
χ + ψ = 7 (2 ) ⎪
⎭
Π1 = −2α + 2β + 5χ + 5ψ =
(1)
−2 ⋅ ( α − β ) + 5 ⋅ ( χ + ψ ) = − 2 ⋅ ( −1) + 5 ⋅ 7 =
(2 )
2 = 35 = 37
Π2 = 4 ⋅ ( χ + ψ + 5α) − 20β =
(1)
4 ⋅ ( χ + ψ + 5α − 5β ) = 4 ⋅ ⎡( χ + ψ) + 5 ⋅ ( α − β ) ⎤ =
⎣ ⎦ (2 )
4 ⋅ (7 + 5 ⋅ ( −1) ) = 4 ⋅ (7 − 5) = 4 ⋅ 2 = 8
Π3 = 2α + 3β − 5β + 7χ + 2ψ + 5ψ =
(1)
2α − 2β + 7χ + 7ψ = 2 ⋅ ( α − β ) + 7 ⋅ ( χ + ψ) =
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
(2 )
2 ⋅ ( −1) + 7 ⋅ 7 = −2 + 49 = 47
µ
Π4 = α − β + χ + 8ψ − 3ψ + 4χ = α − β + 5χ + 5ψ =
(1)
α − β + 5 ⋅ ( χ + ψ) = − 1 + 5 ⋅ 7 = −1 + 35 = 34
µ+ ψ ⋅ α − β γ
(2 )
Π5 = χα + ψα − χβ − ψβ = χ κα. β ) α΄ [ γ ) = ] ε
⋅( − (
(1) λ
( α − β ) ⋅ ( χ + ψ) (=)− 1 ⋅ 7 = −7
2
ΑΣΚΗΣΗ 4

5. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
5.
ΛΑΘΟΣ
ΣΩΣΤΟ
ΛΑΘΟΣ
ΣΩΣΤΟ
ΛΑΘΟΣ
ΛΑΘΟΣ
ΛΑΘΟΣ
ΣΩΣΤΟ
ΣΩΣΤΟ
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 5 Σελίδα 1 από 1

6. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6.
α
χ⋅α = α τότε χ= =1
α
2α
−α ⋅ χ = 2 ⋅ α τότε χ= = −2 εφόσον α ≠ 0
−α
χ : ( −α ) = − 1 τότε χ = ( −α) ⋅ ( −1) = α
α : χ = −1 τότε χ = α : ( −1) = −α
-1
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 6 Σελίδα 1 από 1

7. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
7.
Τιµή του κ -1 1
Τιµή του λ 2 -2
Άθροισµα 1 -1
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 7 Σελίδα 1 από 1

8. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
8.
1 1
3− 3−
2 5 2 2
Π1 = : = ⋅ =
−2 : ( −3 + 2 ) 2 −2 : ( −3 + 2 ) 5
2 1
3 1 3 1 6 1
− − −
2
1 2 ⋅ = 1 2 ⋅ = 2 2 2 2
⋅ =
−2 : ( −1) 5 −2 : ( −1) 5 2 5
6 −1 5
2 ⋅ = ⋅ = 5 ⋅1 ⋅ 2 = 1
2 2 2
2 5 2 5 2⋅ 2 5 2
1 1
⎛ 2⎞ ⎛3 ⎞ 2 3
χ ⋅ ⎜ψ − ⎟ − ψ ⋅ ⎜ + χ ⎟ χψ − χ −ψ − χψ
⎝ χ⎠ ⎝ ψ ⎠ : −5 = χ ψ
Π2 =
⎛ 3 2⎞
( ) 3 2
: ( −5) =
−7 ⋅ ⎜ + ⎟ −7 ⋅ −7⋅
⎝ 14 7 ⎠ 14 7
5
−
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
χψ − 2 − 3 − χψ −5 1 : ( −5 ) =
: ( −5) = 1 2 : ( −5) =
3 3 4
− −2 3 2 − −
2 − − 2 2
2 1
5
−
1 : ( −5) = 2 ⋅ 5 ⋅ 1 = − 2 ⋅ 5 = − 2
7
γ
7 ⋅ 1 −5 7⋅ 5 7
−
2
µ
κ. α΄ [ γ ]ε
−2 −
1 2 1
− −
3 1
6 1
− − −
7 λ
Π3 = 3 = 1 3 = 3 3 = 3 =
1 1 1 1
1− 1− 3 1 1− 1−
1 3 1 4
1+ 1 1 +
3 + 3 3 3
1 3
7 7 7 7 7
− − − − −
3 = 3 = 3 = 3 = 3 = − 4 ⋅ 7 = − 28
1 3 1 3 4 3 1 3 3
1− − −
1− 1 4 1 4 4 4 4
4
3
ΑΣΚΗΣΗ 8

9. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
9.
α. 3 5 3
4⋅ 5
2 −4 − 2 2 4 2 − 6 − 20 + 6 − 4
+ − − − + −
−5 3 5 = 5 3 5 = 15 15 15 3⋅ 5
= = 3 =1
1 3 1
3 1 4 4
−1 − 1 1 − − − −
3 − − 3 3 3 3
1 3
β. ⎛ 1 −7 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎛ 1 7 ⎞ ⎛ −2 ⎞
⎜ − −3 + 3 − 2 ⎟ : ⎜ 4004 ⎟ = ⎜ 3 − 3 − 2 ⎟ : ⎜ 4004 ⎟ =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 6 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎛ −2 ⎞
⎜ − 3 − 2 ⎟ : ⎜ 4004 ⎟ = ( −2 − 2 ) : ⎜ 4004 ⎟ =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−2 4004 ⎞
( −4) : ⎛ 4004 ⎞ = ( −4) ⋅ ⎛
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 2 ⋅ 4004 = 8008
⎝ ⎠ ⎝ −2 ⎠
γ. −2 − (−2) ⋅ ( −5) ( −10 ) : ( −2 ) − ( −3) ⋅ 2 + 1 −4
− + : =
2 −8 ⋅ 2 3
−6 :
3
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
−
−2 − 10 5 + 6 + 1 −4
−6 ⋅
3
+
−4
:
3
=−
−9
µ
−12 12 3
+ ⋅
−4 − 4
=
2
4 3
12 12 ⋅ 3 3 ⋅4 3⋅ 4 ⋅3 4 9 16 27 11
− + =− + =− + =− + =
9 4⋅4 3 ⋅3 4 ⋅4 3 4 12 12 12
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 9

10. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
10.
Π = (200 + 196 + 192 + ... + 8 + 4 ) _ (198 + 194 + 190 + ... + 6 + 2 ) =
2 ⋅ (100 + 98 + 96 + ... + 4 + 2 ) − 2 ⋅ ( 99 + 97 + 95 + ... + 3 + 1) =
2 ⋅ ⎡(100 + 98 + 96 + ... + 4 + 2 ) − ( 99 + 97 + 95 + ... + 3 + 1) ⎤ =
⎣ ⎦
⎡ ⎤
2 ⋅ ⎢(100 − 99 ) + ( 98 − 97 ) + ( 96 − 95) + ... + ( 4 − 3) + (2 − 1) ⎥ =
⎢ ⎥
⎣ 50 παρενθέσεις ⎦
⎛ ⎞
2 ⋅ ⎜1 + 1 + 1 + ... + 1 ⎟ = 2 ⋅ 50 = 100
⎜ ⎟
⎝ 50 άσοι ⎠
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 10

11. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
11.
α+β
β
= 3 ⇔ α + β = 3β ⇔ α = 3β − β ⇔ α = 2β (1)
α − β (1) 2β − β β
Α= = = =1
β β β
−2α + 3β (1) −2 ⋅ 2β + 3β −4β + 3β − β
Β= = = = =1
−β −β −β −β
4α − 3β (1) 4 ⋅ 2β − 3β 8β − 3β 5β 5
Γ= = = = =
3α − 4β 3 ⋅ 2β − 4β 6β − 4β 2β 2
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 11

12. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
12.
α. −24 = −2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = −16
β. ( −2 )
3
= ( −2 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −2 ) = −8
γ. −23 = −2 ⋅ 2 ⋅ 2 = −8
δ. ( −2)
4
= ( −2 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −2 ) ⋅ ( −2 ) = 16
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 12 Σελίδα 1 από 1

13. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
13.
Αν ν άρτιος, τότε : ( −1) = ( −1) = ( −1) ⋅ ( −1) ... ( −1) = 1
ν 2κ
2κ φορές
Αν ν περιττός, τότε : ( −1) = ( −1) = ( −1) ⋅ ( −1) ... ( −1) =
ν 2κ +1
2κ +1 φορές
⎡ ⎤
⎢( −1) ⋅ ( −1) ... ( −1) ⎥ ⋅ ( −1) = −1
⎢ ⎥
⎣ 2κ φορές ⎦
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 13 Σελίδα 1 από 1

14. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
14.
ακ + λ = 1 = α0 ⇔ α ≠ 0 και κ + λ = 0 ⇔ α ≠ 0 και κ = −λ δηλαδή το ∆
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 14 Σελίδα 1 από 1

15. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
15.
( )
2α
= α ( ) = α2α δηλαδή το Β
α⋅ 2α 2
Αν α ≠ 0, τότε : αα
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 15 Σελίδα 1 από 1

16. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
16.
Αν 5χ = ( −5)
χ
τότε;
5χ = ( −1 ⋅ 5) = ( −1) ⋅ 5χ ⇔ ( −1) = 1 δηλαδή χ = άρτιος δηλαδή ∆
χ χ χ
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 16 Σελίδα 1 από 1

17. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
17.
( −χ ) ( −χ ) ( −χ )
−2ν −3 −3
3 2ν −2ν
, , , όπου ν ∈ N
α. Για κάθε χ ∈
β. ⎫
1 1 11
( −χ )
−2ν
3
= = = 3⋅(2ν ) = 6ν > 0 ⎪
⎪ (1)
( −χ ) (χ )
2ν 2ν
3 3 χ χ
⎪
⎪
⎪
1 1 1 1 ⎪
( −χ )
−3
⎬ (2 )
2ν
= = = =− <0
( −χ ) ( )
3 3 3⋅ (2ν )
2ν
− χ2ν −χ χ 6ν ⎪
⎪
⎪
⎪
< 0⎪ (3)
1 1 1 1
( −χ )
−3
−2ν
= = = − ( −2ν ) ⋅3 = − −6ν = −χ 6ν
( −χ ) ( )
3 3
−2ν
− χ −2ν χ χ ⎪
⎭
γ. (1) ⎛ 1 ⎞
1
( ) ( )
−2ν −3
−χ 3 + −χ2ν = + ⎜ − 6ν ⎟ = 0 Οι αριθµοί είναι αντίθετοι
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
6ν
(2 ) χ ⎝ χ ⎠
δ. (2 )
⎛ 1 ⎞
( −χ ) ⋅ ( −χ ) ( )
−3 −3
2ν −2ν
= ⎜ − 6ν ⎟ ⋅ −χ 6ν = 1 Οι αριθµοί είναι αντίστροφοι
⎝ χ ⎠
( 3)
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 17 Σελίδα 1 από 1

18. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
18.
5ν + 2 − 5ν +1 = 5( − 5ν +1 = 5ν +1 ⋅ (5 − 1) = 4 ⋅ 5ν +1
ν +1) +1
Το Γ
4 ⋅ 3ν + 3 − 10 ⋅ 3ν + 2 = 4 ⋅ 3(
ν + 2 ) +1
− 10 ⋅ 3ν + 2 =
4 ⋅ 3 ⋅ 3ν + 2 − 10 ⋅ 3ν + 2 = ( 4 ⋅ 3 − 10 ) ⋅ 3ν + 2 = 2 ⋅ 3ν + 2 Το Ε
4 ν + 2 + 6 ⋅ ( −2 )
2ν +1
= 4ν + 2 − 6 ⋅ 22ν ⋅ 2 =
4ν + 2 − 6 ⋅ 22ν +1 = 4ν + 2 − 12 ⋅ 22ν =
( )
ν
42 ⋅ 4ν − 12 ⋅ 22 = 16 ⋅ 4ν − 12 ⋅ 4ν = 4 ⋅ 4ν =
( ) 2 ( ν +1)
ν +1
= 2 ( ) = ( −2 )
2 ν +1
4ν +1 = 22 Το Β
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 18 Σελίδα 1 από 1

19. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
19.
χ −3 2χ
⎛2⎞ ⎛3⎞
⎜3⎟ =⎜ ⎟ δηλαδή
⎝ ⎠ ⎝2⎠
2χ
⎛2⎞
χ −3
⎛ ⎛ 2 ⎞ −1 ⎞
⎜3⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⎟ δηλαδή
⎝ ⎠ ⎜⎝ 3 ⎠ ⎟
⎝ ⎠
χ −3 −1⋅2χ
⎛2⎞ ⎛2⎞
⎜3⎟ = ⎜ ⎟ δηλαδή
⎝ ⎠ ⎝3⎠
χ −3 −2χ
⎛2⎞ ⎛2⎞
⎜3⎟ = ⎜ ⎟ δηλαδή
⎝ ⎠ ⎝3⎠
χ − 3 = −2χ δηλαδή χ + 2χ = 3 δηλαδή 3χ = 3 δηλαδή
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
3χ 3
3
=
3
δηλαδή χ = 1
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 19 Σελίδα 1 από 1

20. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
20.
( ) ( )
−1
Α = 3ν + 4 − 6 ⋅ 3ν +1 ⋅ 3ν + 2 ⋅ 7 =
(3 ) ( )
−1
3
⋅ 3ν +1 − 6 ⋅ 3ν +1 ⋅ 3ν + 2 ⋅ 7 =
(27 ⋅ 3 ) ( )
−1
ν +1
− 6 ⋅ 3ν +1 ⋅ 3ν + 2 ⋅ 7 =
1 7 ⋅ 3 ⋅ 3ν +1 3 ⋅ 3ν +1
21 ⋅ 3ν +1 ⋅ = = =1
3( ) ⋅ 7
3ν + 2 ⋅ 7 ν +1 + 1
3 ⋅ 3ν +1
Η παράσταση είναι ανεξάρτητη του ν
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 20 Σελίδα 1 από 1

21. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
21.
2
1 1
Α = ⎡ ( −2 ) ⎤ = ( − 2 ) = ( −2 ) =
−3 −3⋅2 −6
=
⎣ ⎦ ( −2 ) 64
6
2 2
Β = ⎡ − ( −2 ) ⎤ = ⎡( −2 ) ⎤ = ( −2 ) = ( −2 ) = 64
3 3 3 ⋅2 6
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2
Γ = − ⎡( −2 ) ⎤ = − ( −2 ) = − ( −2 ) = −64
3 3⋅2 6
⎣ ⎦
∆ = ( −1) ⋅ ( −2 ) = 1 ⋅ ( −8 ) = −8
2 3
( ) ( )
3 3
Ε = −22 = − 22 = −22⋅3 = −26 = −64
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 21

22. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
22.
Α = 1 = 20 = ( −2 )
0
Β = 16 = ( ±2 )
4
Γ = −32 = ( −2 ) = −25
5
1 1 1
∆= = 3 =−
( −2)
3
8 2
1 1 1
Ε=− =− 7 =
( −2)
7
128 2
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 22 Σελίδα 1 από 1

23. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
23.
α. 2χ = 16 = 24 ⇔ χ = 4
β. 5χ = 125 = 53 ⇔ χ = 3
γ. 3χ = 27 = 33 ⇔ χ = 3
δ. 3χ ⋅ 5χ = 225 ⇔ (3 ⋅ 5)
χ
= 152 ⇔ 15χ = 152 ⇔ χ = 2
ε. 2χ ⋅ 5χ = 100 ⇔ 2χ ⋅ 5χ = 102 ⇔ (2 ⋅ 5)
χ
= 102 ⇔ 10χ = 102 ⇔ χ = 2
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 23 Σελίδα 1 από 1

24. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
24.
( )
2
−23 ⋅ (2 ⋅ 3)
−2
( −2 )
3
⋅ 6−2 ⋅ 42 ⋅ 22 −23 ⋅ 2−2 ⋅ 3−2 ⋅ 22⋅2
Α= = = =
85 ⋅ 27−1 (2 ) ⋅ (3 ) 23⋅5 ⋅ 3 ( )
5 −1 3 ⋅ −1
3 3
−23 ⋅ 2−2 ⋅ 3−2 ⋅ 24
= −23 −2 + 4 −15 ⋅ 3 ( ) = −2−10 ⋅ 3−2 + 3 = −2−10 ⋅ 31
−2 − −3
215 ⋅ 3−3
−1 −2 −2
2 ⋅ ( −1)
⎡( −3)2 ⎤ ⋅ ⎡ − ( −6 )3 ⎤ ( −3 ) ⋅ ⎡( 6 ) ⎤
3
( −3)
−2
⋅ 6−6
Β= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ⎣ ⎦ = =
( −12) ⋅ ( −3) ( −2 ) ⋅ ( −3 ) ( )
−2 −10 −2 −2
( −1) ⋅ 3−2 ⋅ ( −3)
2 −10 −2 −10
⋅3 ⋅ 22
( −3) ( −3 )
−2 −2
⋅ 2−6 ⋅ 3−6 ⋅ 2−6 ⋅ 3−6 −2 − ( −10 )
⋅ ( −3 )
−6 − ( −4 ) −6 − ( −2 )
= =2 ⋅3 =
⋅ 3−2 ⋅ ( −3) 2−4 ⋅ 3−2 ⋅ ( −3)
2 ⋅ ( −2 ) −10 −10
2
2−6 + 4 ⋅ 3−6 + 2 ⋅ ( −3) = 2−2 ⋅ 3−4 ⋅ ( −3) = 2−2 ⋅ 3−4 ⋅ 38 = 2−2 ⋅ 3−4 + 8 = 2−2 ⋅ 34
−2 + 10 8
1000 ⋅ 225 ⋅ ( −6 ) 103 ⋅ 152 ⋅ ( −2 ⋅ 3) ( 2 ⋅ 5 ) ⋅ ( 3 ⋅ 5 ) ⋅ ( −2 ⋅ 3 )
−4 −4 3 2 −4
Γ = = = =
( −32 )
3
⋅ ( −2 )
5
−32 ⋅ 3 ⋅ −25 ( ) 36 ⋅ 25
23 ⋅ 53 ⋅ 32 ⋅ 52 ⋅ ( −2 )
−4
⋅ 3−4
= 23 − 5 ⋅ ( −2 )
−4
⋅ 32 − 4 − 6 ⋅ 53 + 2 =
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
6 5
3 ⋅2
1
2−2 ⋅ ⋅ 3−8 ⋅ 55 = 2−2 ⋅ 2−4 ⋅ 3−8 ⋅ 55 = 2−6 ⋅ 3−8 ⋅ 55
( −2 )
4
( −10 ) ⋅ 1 ⋅ (15 )
−3 3
( −1000 ) ⋅ (1000) ⋅ 2253
−3 0 3 2
∆ = = =
( −36 ) ⋅ ( −8) ( −2 ⋅ 3 γ ⋅ ( −2 )
)
5 −2 5 −2
2 2 3
µ
κ15 α΄−(32⋅γ55) 9 ] ε3
6
1
⋅ 15 2 ⋅3
. 6
[⋅ ⋅ 56 6
( −10 ) 3
3
= −103 ⋅ 3 =
( ) 9 9
= −24 ⋅ 5 =
λ
1 −210 ⋅ 310 −2 10 − 6
⋅3 10
−2 ⋅ 3 10
−22 ⋅5 ⋅ 32 ⋅5 ⋅
( −2 )
2
3 23 ⋅ 2
36 ⋅ 56
9 9 4 10
= 2−9 − 4 ⋅ 36 − 10 ⋅ 56 − 9 = 2−13 ⋅ 3−4 ⋅ 5−3
2 ⋅5 ⋅2 ⋅3
) ⋅ ( −2 ⋅ 5 ) = ( −2
−3 2
( −12) ⋅ ( −50 )
−3 2 2 2
⋅3
Ε= =
1000 ⋅ 27 ⋅ ( −4 ) 2 ⋅ 5 ⋅ (3 ) ⋅ ( −2 )
−1 −2 −1 −2
3 3 3 2
( −1) ⋅ (2 ) ⋅ 3 ⋅ ( −1) ⋅ 2 ⋅ (5 ) ( −1) ⋅ 2 (
−3 −3 2 2
2 −3 2 2 −3 + 2 2 ⋅ −3) + 2
⋅ 3−3 ⋅ 52 ⋅ 2
= =
2 ⋅ 5 ⋅ (3 ) ⋅ ( −1) ⋅ (2 ) ( −1) ⋅ 2 ( 3 + 2 ⋅ −2 )
⋅ 3 ( ) ⋅ 53
−1 −2 −2 −2 3 ⋅ −1
3 3 3 2
( −1) ⋅ 2−4 ⋅ 3−3 ⋅ 54 = −1 −1 − ( −2) ⋅ 2−4 − ( −1) ⋅ 3−3 − (−3) ⋅ 54 − 3
−1
( ) =
( −1) ⋅ 2−1 ⋅ 3−3 ⋅ 53
−2
( −1) ⋅ 2−4 + 1 ⋅ 3−3 + 3 ⋅ 54 − 3 = −1 ⋅ 2−3 ⋅ 30 ⋅ 51 = 2−3 ⋅ 5
−1 + 2
ΑΣΚΗΣΗ 24

25. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
25.
( ) ( ) ( )
−2 −2 −2
= χ ( )( ) = χ10
−5 −2
Α = χ −2 ⋅ χ −3 = χ −2 − 3 = χ −5
( ) ( ) ( ) (
Β = χ3 ⋅ χ 4 ⋅ χ5 ⋅ χ −6 : χ2 = χ3 + 4 + 5 ⋅ χ −6 − 2 = χ12 ⋅ χ −8 = χ12 − 8 = χ 4 )
( ) : (χ ) ( ) : (χ ) ( ) : (χ )
2 3 2 3 2 3
Γ = χ 4 : χ2 2
: χ3 = χ 4 −2 2 −3
= χ2 −1
=
χ2⋅2 : χ −1⋅3 = χ 4 : χ −3 = χ ( ) = χ 4 + 3 = χ7
4 − −3
( )
∆ = χ 7 : χ5 : χ 3 = χ 7 : χ5 − 3 = χ 7 : χ 2 = χ 7 − 2 = χ 5
−3
( ) ( )
3
Ε = ⎡ χ −3 ⎤
−3 3 3
: ⎡χ −6 : χ −10 ⎤ = χ ( ) ( ) ( ) : ⎡χ ( ) ⎤ = χ −27 : χ −6 +10
−3 ⋅ −3 ⋅ −3 −6 − −10
⎣ ⎦ =
⎢
⎣ ⎥
⎦ ⎣ ⎦
( )
3
χ −27 : χ 4 = χ −27 : χ 4⋅3 = χ −27 : χ12 = χ −27 −12 = χ −39
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 25 Σελίδα 1 από 1

26. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
26.
α. 2
( )
3χ
= 22 ⇔ 2 ( ) = 22 ⇔ 29χ = 22 ⇔ 9χ = 2 ⇔ χ =
3⋅ 3χ
83χ = 4 ⇔ 23
9
β. 1
( −6 ) = 1 = ( −6 ) ⇔ 2χ − 1 = 0 ⇔ 2χ = 1 ⇔ χ =
2χ −1 0
2
γ.
( )
2 − 3χ
= 34 ⇔ 3 ( = 34 ⇔ 3 ⋅ (2 − 3χ ) = 4 ⇔
3⋅ 2 − 3χ )
272 −3χ = 81 ⇔ 33
2
6 − 9χ = 4 ⇔ −9χ = 4 − 6 ⇔ 9χ = −2 ⇔ χ = −
9
δ. 1
( −2 ) = −8 = ( −2 ) ⇔ 2 − 3χ = 3 ⇔ −3χ = 3 − 2 ⇔ −3χ = 1 ⇔ χ = −
2 − 3χ 3
3
ε. 3
(3 − 2χ )
2004
= 0 ⇔ 3 − 2χ = 0 ⇔ − 2χ = −3 ⇔ χ =
2
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 26 Σελίδα 1 από 1

27. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
27.
( ) ⋅ (χ )
3 −2
χ −13 ⋅ ψ2 ⋅ χ −2 ⋅ ψ−3 −3
⋅ ψ−2
για χ = ( −10 )
2
Α= = και ψ = −106
(χ ⋅ ψ )
−4
4 3
( ) ⋅ (ψ ) ⋅ ( χ ) ⋅ (ψ )
3 3 −2 −2
χ −13 ⋅ ψ2 ⋅ χ −2 −3 −3 −2
Α= =
( χ ) ⋅ (ψ )
−4 −4
4 3
χ −13 ⋅ ψ2 ⋅ χ ( ) ⋅ ψ( ) ⋅ χ ( ) ( ) ⋅ ψ( ) ( )
−2 ⋅3 −3 ⋅3 −3 ⋅ −2 −2 ⋅ −2
=
χ ( ) ⋅ψ ( )
4 ⋅ −4 3⋅ −4
χ −13 ⋅ ψ2 ⋅ χ −6 ⋅ ψ−9 ⋅ χ 6 ⋅ ψ4 χ −13 − 6 + 4 ⋅ ψ2 − 9 + 4
= =
χ −16 ⋅ ψ−12 χ −16 ⋅ ψ−12
χ −15 ⋅ ψ−3 −15 − ( −16 )
⋅ ψ ( ) = χ −15 +16 ⋅ ψ−3 +12 = χ1 ⋅ ψ9
−3 − −12
−16 −12
=χ
χ ⋅ψ
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
χ = ( −10 )
2
και ψ = −106 έχουµε :
µ
( )
9
Α = χ ⋅ ψ9 = ( −10 ) ⋅ −106
2
= −102 ⋅ 106 ⋅9 = −106 ⋅9 + 2 = −1056
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 27 Σελίδα 1 από 3

28. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
(χ ) ⋅ (χ ⋅ ψ )
−3 −1
3 2 −3
⋅ψ
για χ = ( −2 )
−3
Β= και ψ = −23
(χ ⋅ ψ ) ⋅ (χ ⋅ ψ )
3 −2
−3 −2 −3
(χ ) ⋅ (χ ⋅ ψ ) ( χ ) ⋅ ψ ⋅ ( χ ) ⋅ (ψ )
−3 −1 −3 −1 −1
3 2 −3 3 −3 2 −3
⋅ψ
Β= = =
(χ ⋅ ψ ) ⋅ (χ ⋅ ψ ) ( χ ) ⋅ ( ψ ) ⋅ χ ⋅ (ψ )
3 −2 3 3 −2
−3 −2 −3 −3 −2 −2 −3
χ ( ) ⋅ ψ−3 ⋅ χ ( ) ⋅ ψ( ) ( )
3⋅ −3 2 ⋅ −1 −3 ⋅ −1
χ −2 ⋅ ψ−3 + 3 ψ0
= = =1
χ ( ) ⋅ ψ( ) ⋅ χ −2 ⋅ ψ( ) ( )
3⋅ −3 −2 ⋅ 3 −3 ⋅ −2
χ −2 ⋅ ψ−6 + 6 ψ0
Άρα για κάθε τιµή του χ και ψ το Β = 1
(χ ) ⋅ (χ )
3 4
2
⋅ ψ−3 −1
⋅ ψ2
για χ = 105 και ψ = ( −0,1)
−2
Γ=
(χ : ψ ) ⋅ (χ )
−3 2
5 2 3
⋅ ψ−1
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
( χ2 ⋅ ψ−3 ) (
3
⋅ χ −1 ⋅ ψ2 )
4 µ(
( )
χ2 ) ⋅ ( χ ) ⋅ (ψ )
3
⋅ ψ−3
3
−1
4
2
4
Γ= = =
(χ : ψ ) ⋅ (χ ) ( χ ) ⋅ ( ψ ) ⋅ ( χ ) ⋅ (ψ )
−3 2 −3 −3 2 2
5 2 3
⋅ ψ−1 5 −2 3 −1
χ2⋅3 ⋅ ψ ( ) ⋅ χ ( ) ⋅ ψ2⋅ 4
3 ⋅ −3 −1 ⋅ 4
µ =
χ −4 ⋅ ψ−9 + 6 γ
χ −4 ⋅ ψ−3
= −15 = χ ( ) ⋅ ψ−3 − 4 =
−4 − −15
χ
5⋅ ( −3)
⋅ψ ( −2) ⋅( −3)
κ.
⋅ χ 2 ⋅3 ⋅ ψ ( −1) ⋅2
α΄ [ γ
χ −15 ⋅ ψ6 −2 χ ⋅ ψ4
]ε
λ
και ψ = ( −0,1)
−4 +15 −7 11 −7 5 −2
χ ⋅ψ =χ ⋅ψ για χ = 10 έχουµε :
( −2 ) ⋅ ( − 7 ) 14
( ) ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
−7
( )
11
( −0,1)
−2
Γ= 105 ⋅ = 105⋅11 ⋅ ⎜ − ⎟ = 1055 ⋅ ⎜ − ⎟ =
⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠
14
⎛ 1 ⎞
( )
14
55
10 ⋅⎜ ⎟ = 1055 ⋅ 10−1 = 1055 ⋅ 10−14 = 1055 −14 = 1041
⎝ 10 ⎠
ΑΣΚΗΣΗ 27 Σελίδα 2 από 3

29. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
(χ )
3
−2
: ψ−3 ⋅ χ −4
∆= για χ = 2−2 και ψ = −4 4
(ψ )
2
2 3 −6
:χ :ψ
( χ ) ⋅ (ψ )
3 3
(χ )
3 −2 3
−2
: ψ−3 ⋅ χ −4 ⋅ χ −4
∆= = =
(ψ )
2
(ψ ) ⋅ ( χ )
2 2 2
: χ3 : ψ−6 2 −3
⋅ ψ6
ψ3⋅3 ⋅ χ −4 ψ9 ⋅ χ −4
= χ −4 ⋅ ψ ( ) = χ −4 ⋅ ψ9 −10 = χ −4 ⋅ ψ−1
9− 4+6
= 4
ψ2⋅2 ⋅ ψ6 ψ ⋅ ψ6
για χ = 2−2 και ψ = −44 έχουµε :
⎛ ⎞
1 1 ⎟ = −28 ⋅ 1 = − 28 ⋅ 1 = −1
( ) ( ) ⋅ ⎜−
−4 −1
= 2( ) ( ) ⋅
−2 ⋅ −4
∆ = 2−2 ⋅ −4 4 = 28
⎜ 4 ⎟
( )
4
−4 ⎜ 22 ⎟ 22⋅ 4 28
⎝ ⎠
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
(χ )
−1
−3
: ψ−2 ⋅χ
Ε= για χ = −33 και ψ = 3−3
( )
2
6 2
ψ : χ
µ⋅ (ψ ) ⋅ χ γχ
(χ ) κ
⋅ χ (χ )
α΄ [ γ = ] ε
−1 −1 −1
( −3) ⋅( −1)
⋅ψ ( ) ⋅ χ
−3 −2 −3 2
:ψ 2 ⋅ −1
= .
Ε=
ψ6 : χ2 ( )
2
ψ6 ⋅ χ2 ( )
−2
ψ6 ⋅ χ ( ) λ
2 ⋅ −2
=
χ3 ⋅ ψ−2 ⋅ χ 3 +1 − ( −4 )
6 −4
=χ ⋅ ψ−2 − 6 = χ 8 ⋅ ψ−8
ψ ⋅χ
για χ = −33 και ψ = 3−3 έχουµε :
( ) ⋅ (3 )
8 −8
= 33⋅8 ⋅ 3( ) ( ) = 324 ⋅ 324 = 348
−3 ⋅ −8
Ε = −33 −3
ΑΣΚΗΣΗ 27 Σελίδα 3 από 3

30. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
28.
αχ = 2 ⎫ (1)
⎪
⎪
Αν αψ = 3 και ⎬ (2 )
χ +ψ ⎪
2ψ ⋅ 3χ = α2 ( )⎪ (3 )
⎭
−1 −1
χ + ψ =; όπου α, χ,ψ θετικοί πραγµατικοί α ≠ 1
(1) : 2ψ = ( αχ )
ψ
Από = αχψ (1′)
(2) : 3χ = ( αψ )
χ
Από = αχψ (2′) πολλαπλασιάζω κατά µέλη τις (1′ ) και (2′ )
2ψ ⋅ 3χ = αχψ ⋅ αχψ = αχψ + χψ = α2χψ (3′) Από (3) και (3′) έχουµε :
(α )
χ +ψ
= α2χψ ⇔ α ( ) = α2 χψ ⇔ 2 ( χ + ψ ) = 2χψ ⇔ χ + ψ = χψ ⇔
2 2 χ +ψ
χ +ψ χ ψ 1 1
=1⇔ + =1⇔ + = 1 ⇔ χ −1 + ψ−1 = 1
χψ χψ χψ χ ψ
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 28 Σελίδα 1 από 1

31. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
29.
⎡9ν ⋅ 32 ⋅ 3− ν
( ) (
− 27ν ⎤ ⋅ 3µ ⋅ 2 )
−1 −3
= 27−1 όπου µ, ν ∈ N
⎢
⎣ ⎥
⎦
⎡9ν ⋅ 32 ⋅ 3− ν
( ) (
− 27ν ⎤ ⋅ 3µ ⋅ 2 )
−1 −3
= 27−1 ⇔
⎢
⎣ ⎥
⎦
( ) ( )
⎡ 32 ν ⋅ 32 ⋅ 3− ν −1 − 33
( ) ( )
⎤ ⋅ 3µ
( )
ν −3 −1
⋅ 2−3 = 33 ⇔
⎢
⎣ ⎥
⎦
⎡32ν ⋅ 32 ⋅ 3ν − 33ν ⎤ ⋅ 3−3µ
⎣ ⎦ ⋅ 2−3 = 3−3 ⇔
(33ν + 2
)
− 33ν ⋅ 3−3µ ⋅ 2−3 = 3−3 ⇔
33ν ⋅ (3 − 1) ⋅ 3
2 −3µ
⋅ 2−3 = 3−3 ⇔
33ν − 3µ ⋅ 8 ⋅ 2−3 = 3−3 ⇔
33ν − 3µ ⋅ 23 ⋅ 2−3 = 3−3 ⇔
33ν − 3µ ⋅ 20 = 3−3 ⇔ 33ν −3µ = 3−3 ⇔ 3 ( ν − µ) = 3 ( −1) ⇔ ν − µ = −1 ⇔
µ = ν + 1 δηλαδή µ, ν διαδοχικοί φυσικοί αριθµοί.
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 29 Σελίδα 1 από 1

32. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
30.
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
α. χ
Μετά από 1 αναπήδηση θα έχει φτάσει σε ύψος χ1 =
2
γ
1 χ χ
Μετά από 2 αναπηδήσεις θα έχει φτάσει σε ύψος χ2 = ⋅ = 2
µ 2 2 2
κ. α΄ [ γ ]ε 1 χ
Μετά από 3 αναπηδήσεις θα έχει φτάσει σε ύψος χ3 = ⋅ 2 = 3
χ
……………………………………………………………………………………………
λ
2 2 2
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
1 χ χ
Μετά από ν αναπηδήσεις θα έχει φτάσει σε ύψος χ ν = ⋅ ν −1 = ν
2 2 2
β. Αν χ=1m=100cm v=; χ=6,25cm;
100 25 100 1 1 1
ν
= 6,25 = = ⇔ ν = = 4 ⇔ν=4
2 4 16 2 16 2
γ. χ=;
χ10 = 2−9 m = 2−9 ⋅ 100 cm = 2−9 ⋅ 22 ⋅ 52 cm = 2−7 ⋅ 52 cm
x
χ10 = = 2−7 ⋅ 52 ⇔ x = 210 ⋅ 2−7 ⋅ 52 = 23 ⋅ 52 = 200 cm = 2m
210
ΑΣΚΗΣΗ 30 Σελίδα 1 από 1

33. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
31.
9 + 99 + 999 + ... + 999...9 = 111...10 − 2009
2009 9άρια 2009
( ) ( ) (
9 + 99 + 999 + ... + 999...9 = (10 − 1) + 102 − 1 + 103 − 1 + ... + 102009 − 1 = )
2009 9άρια
2009 παρενθέσεις
⎛ ⎞
(10 + 10 2
)
+ 103 + ... + 102009 − ⎜ 1 + 1 + 1 + ... + 1 ⎟ =
⎝ 2009 ⎠
111...10 − 2009
2009
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 31 Σελίδα 1 από 1

34. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
32.
Αν α ⋅ β2 = 2 ⎫ (1)
⎪
−2 ⎬
διαιρώ κατά µέλη και παίρνω :
α ⋅ β = −2 ⎪ (2 )
3
⎭
2
α ⋅ β2 2 α ⋅β ⋅ β 2 β
= ⇔ = = 1 ⇔ 2 = −23 ⇔ β = −23 ⋅ α2 (3 )
3
α ⋅ β −2 −2 2
α ⋅α ⋅ β 1 1 α
− 2 − 2
2 2
(3)
(2 ) ⇔ α3 ⋅ ( −23 ) ⋅ α2 ( )
= −2−2 ⇔ α5 ⋅ −23 = −2−2 ⇔
1 (3)
5
1⎛ 1⎞ 1 ⎛1⎞
α5 = − ⋅ ⎜− 3 ⎟ = 5 = ⎜ ⎟ ⇔ α = ⇔
22
⎝ 2 ⎠ 2 ⎝2⎠ 2
1 1
β = −23 ⋅ α2 = −23 ⋅ 2 = −2 ⋅ 22 ⋅ = −2 ⇔ β = − 2
2 22
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 32 Σελίδα 1 από 1

35. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
33.
Αν,
2χ = α ⎫ (1)
⎪
αψ = β ⎬ (2 )
βζ = 1 ⎪ ( 3 )
⎭
(2 ) (1)
(3) ⇔ 1 = βζ = ( αψ ) (2 )
ζ ψζ
= αψζ = χ
= 2χψζ ⇔ 2χψζ = 1 = 20 ⇔
χψζ = 0 ⇔ τουλάχιστον ένας από τους χ,ψ, ζ είναι ίσος µε το 0
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 33 Σελίδα 1 από 1

36. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
34.
1520 ⋅ 810 ⋅ 27−5
( ) (
1520 ⋅ 810 ⋅ 27−5 : 1019 ⋅ 125 = ) 1019 ⋅ 125
=
(3 ⋅ 5) ⋅ (23 ) ⋅ (33 )
20 10 −5
320 ⋅ 520 ⋅ 23⋅10 ⋅ 3 ( )
3⋅ −5
= =
(2 ⋅ 5) ⋅ (3 ⋅ 4 ) ( )
19 5 5
219 ⋅ 519 ⋅ 35 ⋅ 22
230 ⋅ 320 −15 ⋅ 520 230 ⋅ 35 ⋅ 520
= = 230 −29 ⋅ 520 −19 = 2 ⋅ 5 = 10
219 + 2⋅5 ⋅ 35 ⋅ 519 29 5
2 ⋅ 3 ⋅5 19
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 34 Σελίδα 1 από 1

37. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
35.
α. 0, 04 = 0,2
β. 225 = 15
γ. 106 = 103
δ. 16 = 4 =2
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 35 Σελίδα 1 από 1

38. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
36.
Αν α = χ µε α, χ µη αρνητικούς αριθµούς τότε ισχύει : α = χ2
Αν α2 = α, τότε ο αριθµός α πρέπει να είναι θετικός
Αν α2 = −α, τότε ο αριθµός πρέπει να είναι αρνητικός
Αν α οποιοσδήποτε αριθµός τότε α2 = α
( α)
2
Αν α ≥ 0 τότε =α
Αν α ≥ 0 τότε α⋅ α =α
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′ 2
Αν χ ≥ 0 και 5 = χ τότε χ = 5
µ
Αν χ2 = 5 και χ ≥ 0 τότε χ = 5
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
Αν χ2 = 5 και χ < 0 τότε χ = − 5 λ
ΑΣΚΗΣΗ 36 Σελίδα 1 από 1

39. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
37.
α.
(0, 04)
2
0, 02 ⋅ 0, 08 = 0, 0016 = = 0, 04
β.
( )
2
2003 ⋅ 2003 = 2003 = 2003
γ. α5 α5
(α )
2
= = α5 −1 = α4 = 2
= α2 αρκεί α > 0
α α
δ. 16 4
⋅ 200 = ⋅ 200 = 2 ⋅ 200 = 400 = 202 = 20
2 2
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 37 Σελίδα 1 από 1

40. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
38.
α. 82 12 2 18 2
42 6 2 9 3
8 = 23 12 = 22 ⋅ 3 18 = 2 ⋅ 32
22 3 3 3 3
1 1 1
20 2 27 3
10 2 9 3
20 = 22 ⋅ 5 27 = 33
5 5 3 3
1 1
β. ΑΡΙΘΜΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
8 3 2
8 = 2 = 2 ⋅ 2 =2 2
12 12 = 22 ⋅ 3 = 22 ⋅ 3 = 2 3
18 18 = 2 ⋅ 32 = 32 ⋅ 2 = 3 2
20 20 = 22 ⋅ 5 = 22 ⋅ 5 = 2 5
27 27 = 33 = 32 ⋅ 3 = 32 ⋅ 3 = 3 3
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 38 Σελίδα 1 από 1

41. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
39.
( ) ( 5)
2
Α= 5+ 5+ 5 5 =3 5 5=3 = 3 ⋅ 5 = 15
Β = 2 8 − 4 2 + 3 2 − 18 = 2 4 ⋅ 2 − 4 2 + 3 2 − 9 ⋅ 2 =
2 4 2 − 4 2 + 3 2 − 9 2 = 2⋅2 2 − 4 2 + 3 2 −3 2 =
(4 − 4 +3− 3) 2 =0 2 =0
Γ = 50 − 2 − 32 = 25 ⋅ 2 − 2 − 16 ⋅ 2 =
25 2 − 2 − 16 2 = 5 2 − 2 − 4 2 = (5 − 1 − 4 ) 2 = 0 2 = 0
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
∆=
28 − 63
700
=
4⋅7 − 9⋅7
100 ⋅ 7
µ =
4⋅ 7− 9⋅ 7
100 ⋅ 7
=
2 7 −3 7
=
(2 − 3) 7
=−
1
γ
10 7 10 7 10
µ
κ. α΄ [ γ ]ε
Ε= ( 75 + 125 ) 20 = ( 25 ⋅ 3 + 25 ⋅ 5 ) λ
4⋅5 =
( 25 3 + 25 5 ) (
4 5 = 5 3 +5 5 2 5 = )
10 3 5 + 10 5 5 = 10 15 + 10 ⋅ 5 = 10 ( 15 + 5 )
ΑΣΚΗΣΗ 39 Σελίδα 1 από 1

42. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
40.
α.
( )
2
α, χ > 0 χ χ =α⇔ χ χ = α2 ⇔
( χ)
2
χ2 = α2 ⇔ χ2 ⋅ χ = α2 ⇔ χ3 = α2 (1)
β. Αν χ3 = 32 τότε :
(1) : 32 = α2 ⇔ 2α2 = 2 ⋅ 32 = 64 = 82 ⇔
2α2 = 82 ⇔ 2 α2 = 8 ⇔ α 2 = 8
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 40 Σελίδα 1 από 1

43. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
41.
α,β, γ > 0 α2 = β2 + γ2 (1)
(1)
β2 + γ α2 − β β α2 − γ2 − α = β2 + γ α2 − β β β2 − α =
α2 − γ2 = β2
β2 + γ α2 − β ββ − α = β2 + γ α2 − β β2 − α = β2 + γ α2 − ββ − α =
(1)
β2 + γ α2 − β2 − α = β2 + γ γ2 − α = β2 + γγ − α =
α2 − β2 = γ2
(1)
β2 + γ2 − α = α2 − α = α − α = 0
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 41 Σελίδα 1 από 1

44. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
42.
Α = 1 + 43 + 31 + 15 + 100 18 = 1 + 43 + 31 + 15 + 102 18 =
1 + 43 + 31 + 15 + 10 18 = 1 + 43 + 31 + 25 18 =
1 + 43 + 31 + 52 18 = 1 + 43 + 31 + 5 18 =
1 + 43 + 36 18 = 1 + 43 + 62 18 =
1 + 43 + 6 18 = 1 + 49 18 = 1 + 72 18 =
1 + 7 18 = 8 18 = 23 2 ⋅ 32 = 24 ⋅ 32 = 24 ⋅ 32 = 22 ⋅ 3 = 12
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
4 4
Β= 12 9 1,5 = 12 32 1,5 =
3 3
µ γ
4
12 3 1,5 = κ3.
4
36 α΄ [ γ 3 6 ε 1,5 =
1,5 =
4
] 2
3
λ
4 4 4 4 2 4
6 1,5 = 6 ⋅ 1,5 = 9 = 3 = ⋅3 = 4 =2
3 3 3 3 3
ΑΣΚΗΣΗ 42 Σελίδα 1 από 1

45. ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
43.
χ 3 = 300 ⎫ (1)
⎪
⎪
ψ χ = 90 ⎬ (2 )
⎪
χψ ω = 1 ⎪ (3)
⎭
300 300
Από την (1) έχουµε : χ = = = 100 = 102 = 10 (1′)
3 3
(1′)
90 90
(2 ) ⇔ ψ 10 = 90 ⇔ ψ = =
10
= 9 =3 (2′)
10
(1′) 2
1 ⎛ 1 ⎞ 1
(3) ⇔) 10 ⋅ 3 ⋅ ω = 1 ⇔ 30 ω = 1 ⇔ ω =
30
⇔ω=⎜ ⎟ = 900
(2′ ⎝ 30 ⎠
M a [∂η ] ατ ∫ κα ′
µ
µ γ
κ. α΄ [ γ ]ε
λ
ΑΣΚΗΣΗ 43 Σελίδα 1 από 1