Tài liệu trình bày về cơ học giải tích, phân loại cơ học và nghiên cứu các nguyên lý liên quan đến chuyển động trong không gian. Nó giới thiệu các khái niệm cơ bản như cơ học tự do, cơ học không tự do, và các liên kết trong hệ thống cơ học. Tài liệu cũng đề cập đến các phương trình liên kết và phép tính liên quan đến di chuyển của các vật trong không gian ba chiều.

1. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 1
CƠ S CƠ H C GI I TÍCH
- Cơ h c gi i tích nghiên c u qui lu t cân b ng và chuy n ng c a cơ h
không t do theo di chuy n và năng lư ng d ng gi i tích.
- N i dung c a cơ h c gi i tích trình bày các nguyên lý t ng quát c a cơ
h c, t ó rút ra các phương trình vi phân cơ b n c a chuy n ng, nghiên
c u phương trình ó và ra các phương pháp tích phân chúng.
Bài 1.
Phân lo i cơ h , liên k t t vào cơ h
Xét cơ h N ch t i m k
M chuy n ng h qui chi u Oxyz.
V trí c a cơ h ư c xác nh b i 3N thành ph n xác nh v trí
1i i i
x ,y ,z ; i ,N= .
V n t c c a các i m thu c cơ h xác nh b i 3N thành ph n v n t c
1i i i
x ,y ,z ; i ,N= .
I. Khái ni m v cơ h
1. Cơ h t do
Cơ h t do là cơ h mà các thành ph n xác nh v trí và v n t c l y giá
tr b t kỳ trong không gian qui chi u.
Ví d : H m t tr i, m i hành tinh ư c coi là 1 ch t i m
2. Cơ h không t do
N u các thành ph n xác nh v trí hay v n t c c a cơ h ch u m t s i u
ki n ràng bu c nào ó do các v t th khác gây nên thì cơ h g i là cơ h không t
do.
3. Liên k t t vào cơ h
Nh ng i u ki n ràng bu c v v trí hay v n t c thu c h do các thành
ph n khác gây nên g i là liên k t t vào cơ h .
V m t toán h c, các liên k t này ư c bi u th b i các ng th c hay b t
ng th c g i là các phương trình liên k t hay b t phương trình liên k t.
( )
( )
1 1 1
1 1 1 1 1 1
0
0
N N N
N N N N N N
f x ,y ,z ,...,x ,y ,z
g x ,y ,z ,...,x ,y ,z ,x ,y ,z ,...,x ,y ,z
α
α
≥
≥
1,mα = , m là s liên k t.
Ví d :
1. Khi mô t ch t i m A luôn n m trên m t ư ng n m ngang dùng pt 0A
y = .
2. Khi ch t i m M n m trong m t ph ng Oxy, treo trên dây OM=l và dây luôn
căng, không giãn, ư c bi u di n b ng phương trình 2 2
M M
x y l+ = .

2. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 2
Hình 1
3. H mô t b i hình trên ch u liên k t mô t b i phương trình
2A B C
x y y l+ + = , v i l là chi u dài dây n i các v t.
II. Phân lo i liên k t t vào cơ h
1. Liên k t gi , không gi
•••• Liên k t gi là các liên k t ư c mô t b ng nh ng ng th c thì
chúng g i là các liên k t gi 0fα = hay 0gα = .
•••• Liên k t không gi là các liên k t ư c vi t dư i d ng b t ng th c
0fα ≥ hay 0gα ≥ . Liên k t không gi tùy trư ng h p g i là các liên k t gi n u
x y ra d u “=” và coi là liên k t không gi n u x y ra d u b t ng th c.
2. Liên k t d ng, không d ng
•••• Liên k t d ng n u phương trình liên k t không ch a rõ hi n th i gian t
(Sclêônôm). Nghĩa là 0
f g
,
t t
α α
α
∂ ∂
= = ∀
∂ ∂
•••• Liên k t không d ng n u phương trình liên k t có ch a th i gian t
(Rêônôm). Nghĩa là 0
f g
,
t t
α α
α
∂ ∂
= ≠ ∀
∂ ∂
3. Liên k t Hôlônôm, phi Hôlônôm
•••• Liên k t Hôlônôm (liên k t hình h c) n u trong phương trình liên k t
ch ch a các thành ph n v trí. Phương trình liên k t 0 1f , ,mα α≥ = .
•••• Liên k t phi Hôlônôm n u trong phương trình liên k t ch a các thành
ph n v trí và v n t c. Phương trình liên k t 0 1g , ,mα α≥ = .

3. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 3
Bài 2.
Khái ni m v b c t do,
T a suy r ng c a cơ h
1. B c t do c a cơ h
M i cơ h t i m i th i i m có vô s di chuy n kh dĩ. Vì h ch u liên k t
nên các di chuy n này không c l p v i nhau.
B c t do c a cơ h chính là s di chuy n kh dĩ c l p c a cơ h .
Xét trư ng h p cơ h g m N ch t i m và ch u tác d ng c a m liên k t.
S b c t do c a cơ h và ư c xác nh như sau:
•••• N u cơ h chuy n ng trong không gian Oxyz
3n N m= − (1.a)
•••• N u cơ h chuy n ng trong m t ph ng
2n N m= − (1.b)
•••• N u cơ h chuy n ng trên ư ng th ng
n N m= − (1.c)
2. T a suy r ng
T a suy r ng là t p h p t t c các thông s c n thi t, c l p và
xác nh v trí c a cơ h trong không gian. T a suy r ng có th là t a
Descartes c a các ch t i m thu c cơ h , góc quay, các t a cong… Tùy
trư ng h p ta có th ch n t a nào bài toán xác nh v trí c a cơ h ơn
gi n nh t.
Ký hi u t a suy r ng là 1 2 3
q ,q ,q ...
B n ch t v t lý c a t a suy r ng là b t kỳ, do ó th nguyên c a nó
không ph i ch là dài như t a Descartes.
o hàm theo th i gian c a t a suy r ng i
q g i là v n t c suy r ng.
S t a suy r ng 1j
q , j ,n= b ng v i s b c t do c a cơ h .
V trí c a cơ h ư c xác nh nh các t a suy r ng, nên gi a t a
Descartes c a ch t i m và t a suy r ng có s liên h v i nhau:
( ) ( ) ( ) 1k k j k k j k k j
x x t,q , y y t,q , z z t,q , j ,n= = = = (2.a)
ho c d ng vector
( ) 1k k j
r r t,q , j ,n= = (2.b)
Ví d
1. Bánh xe ng ch t bán kính R, chuy n ng lăn không trư t trên ư ng
th ng 0x n m ngang (như hình v ).

4. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 4
Xét chuy n ng c a bánh xe, Bánh xe chuy n ng song ph ng, xác nh
nó b i 3 tham s ( )0 0, ,x y ϕ , nhưng bánh xe là cơ h không t do, nó ch u các
liên k t ư c mô t b i phương trình
0
0 0
y R
x Rϕ α
=

− =
x
y
A
O
V y s b c t do c a cơ h là: n = 3 – 2 =1.
2. Cơ c u tay quay thanh truy n 0AB ư c xem là hai ch t i m chuy n
ng trong m t ph ng xy, ch u các liên k t cho b i các phương trình
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
A A
B A B A
B
x y r
x x y y l
y h
 + =

− + − =
 = − x
y
F
A
O
B
h
l
r
ϕ ψ
V y s b c t do c a cơ h : n=2.2-3=1.
Ta có th ch n t a suy r ng là góc quay ϕ c a OA.

5. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 5
Bài 3.
Di chuy n th c, di chuy n kh dĩ
Xét cơ h N ch t i m chuy n ng trong không gian Oxyz ch u m liên
k t hôlônôm, gi
( ) 0 1k
f t;r , ,mα α= = (1)
1. Di chuy n th c
T i th i i m t, gi s các ch t i m v trí xác nh b i k
r th a mãn các
phương trình liên k t (1). Trong kho ng th i gian ( )t,t dt+ , dư i tác d ng c a
các l c ngoài, ch t i m th c hi n m t d ch chuy n k k
dr r dt= g i là di chuy n
th c trong kho ng th i gian ( )t,t dt+ .
L y vi phân (1) theo th i gian, ta ư c
1
0
N
k
k
k
f f
df dt dr
t r
α α
α
=
∂ ∂
= + =
∂ ∂
∑ (2)
Nghĩa là, di chuy n th c trong kho ng th i gian ( )t,t dt+ ph i th a mãn phương
trình (2).
2. Di chuy n kh dĩ (di chuy n o)
T i th i i m t c nh, m i ch t i m có th vô s các v trí th a mãn
các phương trình liên k t, mà v trí th c c a nó ch là m t trong s chúng. G i k
r
là v trí vô cùng g n v i v trí th c k
r . Ký hi u ( )k k k
r x, y, z r rδ δ δ δ = − (g i là
bi n phân c a k
r ), ta có
( ) ( )
1
0
N
k
k k
f
f t;r f t;r r
r
α
α α δ
=
∂
− = =
∂
∑ (3)
Các gia s k
rδ g i là di chuy n kh dĩ c a cơ h và th a mãn công th c (3).
V y, di chuy n kh dĩ c a cơ h là t p các di chuy n vô cùng bé mà các
ch t i m c a cơ h có th th c hi n ư c t v trí kh o sát sang v trí lân c n mà
v n th a mãn các liên k t t i v trí ang xét.
Note:
•••• Khái ni m chuy n kh dĩ hoàn toàn khác v i khái ni m di chuy n
th c. Di chuy n th c là di chuy n mà các ch t i m th c hi n trong kho ng th i
gian ( )t,t dt+ , còn di chuy n kh dĩ ơn thu n là các gia s k
rδ vô cùng bé th a
mãn các phương trình (3), ư c tính t i th i i m c nh t.
•••• Khi liên k t là d ng ta có di chuy n th c vô cùng bé trùng v i m t
trong các di chuy n kh dĩ.

6. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 6
Bài 4.
L c suy r ng
1. nh nghĩa l c suy r ng
Xét cơ h N ch t i m ch u tác d ng c a các l c ch ng k
F . Gi s cơ
h có n b c t do.
Công c a l c ch ng trên di chuy n kh dĩ k
rδ g i t t là công kh dĩ (công o)
xác nh như sau:
1 1
N N
k k k
k k
A A F rδ δ δ
= =
= =∑ ∑ (1)
v i ( )1 2k k n
r r t,q ,q ,...,q= , ta có
( )1 2
1
n
k
k k n i
i i
r
r r t,q ,q ,...,q q
q
δ δ δ
=
∂
= =
∂
∑ (2)
Th (2) vào (1), ta ư c
1 1 1 1
1 1 1
N n N n
k k
k i k i
k i k i
i i
n N n
k
k i i i
i k i
i
r r
A F q F q
q q
r
F q Q q
q
δ δ δ
δ δ
= = = =
= = =
   ∂ ∂
= =   
∂ ∂   
 ∂
= = 
∂ 
∑ ∑ ∑∑
∑ ∑ ∑
(3)
v i
1 1
N N
k k k k
i k kx ky kz
k ki i i i
r x y z
Q F F F F
q q q q= =
 ∂ ∂ ∂ ∂
= = + + 
∂ ∂ ∂ ∂ 
∑ ∑ (4)
g i là l c suy r ng th i c a cơ h .
2. Phương pháp th c hành xác nh l c suy r ng i
Q ng v i t a suy
r ng i
q nào ó
Do t t c các 1j
q , j ,nδ = u c l p v i nhau, xác nh i
Q ng v i
t a suy r ng i
q nào ó, ta cho d i o 0i
qδ ≠ còn t t c các 0j
q , j iδ = ≠ ,
sau ó tính công i
Aδ c a t t c các l c tác d ng trên di chuy n kh dĩ i
qδ . Ta
ư c,
( )
1
i k i i i
k
A A q Q qδ δ δ
=
= =∑ (5)
H s c a i
qδ trong (5) cho ta l c suy r ng i
Q c n tìm.
Trong trư ng h p t t c các l c tác ng lên cơ h u có th , nghĩa là t n
t i hàm th Π sao cho k
k
F
r
Π∂
= −
∂
. Khi ó ta có
1 1
N N
k k
i k
k k
i k i i
r r
Q F
q r q q
Π Π
= =
∂ ∂ ∂ ∂
= = − = −
∂ ∂ ∂ ∂
∑ ∑ (6)

7. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 7
Ví d
Cơ c u tay quay thanh truy n 0AB ư c xem là hai ch t i m chuy n
ng trong m t ph ng xy. Tác d ng lên tay quay OA ng u l c M và l c F lên
con ch y B. Xác nh l c suy r ng ng v i t a
suy r ng ϕ .
Gi i
Ta tính công kh dĩ c a các ng u l c M và l c F tác
d ng lên h
BA M F xδ δϕ δΣ = +
( )
( )
( )
( )
( )
22
22
22
cos cos ; sin sin
1
sin sin
1
cos sin
cos sin
sin cos
sin
sin
B
B
B
x r l r l h
r h
l
l r h
l
x r l r h
r h r
x r
l r h
ϕ ψ ϕ ψ
ψ ϕ
ψ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕδϕ
δ ϕδϕ
ϕ
= + = −
⇒ = +
⇒ = − +
= + − +
+
= − −
− +
(g) ⇒
( )
( )
22
cos sin
sin
sin
r r h
A M F r
l r h
ϕ ϕ
δ ϕ δϕ
ϕ
  +  = − + 
 − +   
∑
V y
( )
( )
22
cos sin
sin
sin
r h
Q M Fr
l r h
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
 + = − +
 − + 
x
y
F
A
O
B
h
l
r
ϕ
M
Ψ

8. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 8
Bài 5.
Nguyên lý di chuy n kh dĩ
1. Liên k t lý tư ng
Các liên k t ư c g i là lý tư ng n u t ng công c a các ph n l c liên k t
trên các di chuy n kh dĩ u b ng không, nghĩa là
1 1
0
N N
k k k
k k
A R rδ δ
= =
= =∑ ∑ (1)
trong ó k
R - Ph n n l c liên k t t lên ch t i m th k.
k
rδ - Di chuy n kh dĩ c a ch t i m th k.
Trong th c t , các liên k t v t r n b qua ma sát, tính àn h i c a v t li u
ư c coi là liên k t lý tư ng.
2. Nguyên lý di chuy n kh dĩ
Phát bi u: i u ki n c n và cơ h ch u liên k t hôlônôm, gi , d ng
và lý tư ng cân b ng là t ng công c a các l c ch ng tác d ng lên cơ h trên
m i di chuy n kh dĩ b t kỳ b ng không.
1 1
0
N N
k k k
k k
A F rδ δ
= =
= =∑ ∑ (2)
trong ó k
F là l c ho t ng tác d ng lên ch t i m th k
M thu c cơ h ,
k
rδ là di chuy n kh dĩ c a ch t i m th k
M . Phương trình (2) còn g i là
phương trình công kh dĩ.
3. Phương trình cân b ng trong t a
Gi i s cơ h có n b c t do, ch n các t a suy r ng 1 2 n
q ,q ,...,q . Ta có
phương trình (2), nguyên lý di chuy n kh dĩ, tr thành
1 1 1
0
N N n
k k k i i
k k i
A F r Q qδ δ δ
= = =
= = =∑ ∑ ∑ (3)
v i
1
N
k
i k
k i
r
Q F
q=
∂
=
∂
∑ l c suy r ng ng v i t a suy r ng i
q . Vì các i
q c l p
nên ta ch n i
qδ là c l p và tùy ý. T (), ta có
0i
Q = (4)
Ta ư c n phương trình cân b ng d ng (), g i là phương trình cân b ng d ng t a
suy r ng.
N u các l c tác d ng là l c có th , ta có phương trình c n b ng
0i
i
Q
q
Π
= − =
∂
(5)
V i ( )i
qΠ Π= - Hàm th năng c a l c tác d ng.
Note:

9. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 9
Ưu i m c a nh lu t công kh dĩ là khi gi i bài toán cân b ng cơ h c, ta
không c n quan tâm n các ph n l c liên k t (liên k t là lý tư ng). Do ó nó r t
thu n l i cho gi i các bài toán tìm i u ki n cân b ng. Khi g p các bài toán tìm
ph n l c, hay liên k t là không lý tư ng ta ph i áp d ng nguyên lý gi i phóng
liên k t hay thành ph n không lý tư ng tương ng và coi các ph n l c này như
l c tác d ng.
Ví d
Xác nh quan h gi a các l c vaøP Q cơ c u Culit cân b ng t i v trí
kh o sát. Bi t OC = R ; OK = l .
Gi i
Xét cơ h . B qua ma sát gi a các tr c nó là h Holomom, gi , d ng và
lý tư ng.
H có m t b c t do. Ch n t a suy r ng là ϕ
y
x
ϕ
A
C
Q
K
P
B
O
Các l c tác d ng lên cơ h ,P Q
Áp d ng nguyên lý công kh dĩ khi h cân b ng, ta ư c
0Q PA Q r P rδ δ δ= + =
0x Q y Q x P y PQ x Q y P x P yδ δ δ δ⇒ + + + =
V i
( )1 1 2
cos sin sin
sin cos cos
sin ; cos
0 ;
; tan
cos
const
Q Q
Q Q
x y
x y
P B A P A A A
x OC x OC R
y OC y OC R
Q Q Q Q
P P P
l
y y y l l AB y y y l y
ϕ δ ϕδϕ ϕδϕ
ϕ δ ϕδϕ ϕδϕ
ϕ ϕ
δ δ ϕ δ δϕ
ϕ
= ⇒ = − = −
= ⇒ = =
= = −
= =
= = + = = ⇒ = = ⇒ =
⇒
( ) 2
2
sin sin cos cos 0
cos
0
cos
l
Q R Q R P
Pl
QR
ϕ ϕδϕ ϕ ϕδϕ δϕ
ϕ
δϕ
ϕ
− − + =
 
− + = 
 

10. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 10
⇒ 2 2
0
cos cos
Pl Pl
Q QR Q
R
ϕ
ϕ ϕ
= − + = ⇒ =
Bài 5.
PHƯƠNG TRÌNH T NG QUÁT NG L C H C
(NGUYÊN LÝ D’ALAMBERT – LAGRANGE)
1. Phương trình t ng quát ng l c h c
Xét cơ h N ch t i m k
M có kh i lư ng k
m chuy n ng trong không
gian Oxyz ch u liên k t Hôlônôm, gi , lý tư ng. Gi s ch t i m k
M ch u tác
d ng c a các l c ch ng k
F và ph n l c liên k t k
R .
Áp d ng nguyên lý d’Alambert ta có
0qt
k k k
F R F+ + = (1)
Nhân vô hư ng hai v phương trình (1) v i k
rδ và r i l y t ng theo k, ta có
( )1 1
0
N N
qt
k k k k k
k k
A F R F rδ δ
= =
= + + =∑ ∑ (2)
Vì liên k t là lý tư ng
1
0
N
k k
k
R rδ
=
=∑ , (2) tr thành
( )1
0
N
qt
k k k
k
F F rδ
=
+ =∑
hay
( )1
0
N
k k k k
k
F m W rδ
=
− =∑ (3)
Phương trình (3) g i là phương trình t ng quát ng l c h c.
Ho c vi t dư i d ng t a Descarst Oxyz là
( ) ( ) ( )
1
0
N
kx k kx kx ky k ky ky kz k kz kz
k
F m W r F m W r F m W rδ δ δ
=
 − + − + − = ∑ (4)
Phát bi u. N u cơ h chuy n ng và ch u liên k t lý tư ng thì t ng công c a t t
c l c ch ng và l c quán tính trên di chuy n kh dĩ b t kỳ b ng không.
Trư ng h p cơ h tr ng thái cân b ng 0k
W = , ta có
1 1
0
N N
k k k
k k
A F rδ δ
= =
= =∑ ∑ (5)
Phương trình (5) chính là nguyên lý di chuy n kh dĩ
2. Ví d .
1. M t s i dây không dãn, không tr ng lư ng m c qua hai ròng r c c
nh A, B, trên dây có ròng r c di ng C (hv ). B qua ma sát và kh i lư ng c a
các ròng r c. Tính gia t c c a các v t.

11. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 11
Gi i
H g m các v t 1 2 3
m ,m ,m . Các v t
chuy n ng theo phương th ng
ng, ch n tr c t a như hình v .
Các l c ch ng tác d ng lên các
v t lên cơ h là tr ng lư ng c a các
v t.
Áp d ng phương trình t ng quát
ng l c h c
( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
0m g m x x m g m x x m g m x xδ δ δ− + − + − = (a)
Phương trình liên k t (lý tư ng)
1 2 3
2x x x const+ + = (b)
Ch n t a suy r ng là 1 3
x ,x , t (a) ta có
( ) ( )3 1 3 3 1 2
1 1
2 2
x x x , x x xδ δ δ= − + = − +
Thay vào phương trình (a), ta ư c
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 3 1
3 2 3 2 2 2 1 3
2 4
2 4 0
m m g m m x m x x
m m g m m x m x x
δ
δ
+ − + −  
+ + − + − =  
Vì các chuy n d ch 1 3
x , xδ δ c l p và b t kỳ, nên
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 3
3 2 3 2 2 2 1
2 4 0
2 4 0
m m g m m x m x
m m g m m x m x
+ − + − =
+ − + − =
Gi i h phương trình trên, ta ư c 1 2 3
x ,x ,x .
2. Ngư i ta v t qua ròng r c c nh O m t s i dây m m nh , chi u dài l,
trên m t u dây treo v t n ng M1 có kh i lư ng m1, còn u kia c a dây treo
ròng r c M2 có kh i lư ng m2. V t qua ròng r c M2 s i dây m m nh chi u dài l2
2 v t có kh i lư ng tương ng là m3, m4. Xem liên k t là lý tư ng
1
m
O
A B
C
1
x
2
x
3
x
2
m
3
m

12. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 12
Gi i
ưa vào h tr c Oy th ng ng hư ng xu ng. L c tác
d ng lên cơ h là tr ng l c c a các v t.
Phương trình t ng quát ng l c h c
( )
( ) ( ) ( )
1
1
0
0
N
N
x y z
F m a r
F m x x F m y y F m z z
ν ν ν ν
ν
ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν
ν
δ
δ δ δ
=
=
− =
 ⇒ − + − + − = 
∑
∑
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2
3 3 3 3 4 4 4 4 0
m g m y y m g m y y
m g m y y m g m y y
δ δ
δ δ
⇔ − + − +
− + − =
C
ác di chuy n kh dĩ δy1 , δy2 , δy3 , δy4 không c l p
v h không t do v i phương trình liên k t tương ng
là
( ) ( )
1 2 1
3 2 4 2 2
y y l
y y y y l
+ =

− + − =
1 2 3 4 20 ; 2 0y y y y yδ δ δ δ δ⇒ + = + − =
Ta ch n hai di chuy n kh dĩ c l p là 2 4y , yδ δ . V y
1 2 3 2 4; 2y y y y yδ δ δ δ δ= − = −
Th vào ta ư c
( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 2 2 2 2 3 3 2 4 4 4 42 0m g y y m g y y m g y y y m g y yδ δ δ δ δ− − + − + − − + − =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2 3 3 2
4 4 3 3 4
2
0
m g y m g y m g y y
m g y m g y y
δ
δ
⇒ − − + − + − +  
+ − − − =  
Vì δy3 , δy4 là tùy ý nên
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2 3 3
4 4 3 3
2 0
0
m g y m g y m g y
m g y m g y
− − + − + − =

− − − =
Hơn n a
1 2
3 4 2
0
2 0
y y
y y y
+ =

+ − =
M1
m g1
y
M3
m g3
M4
m g4
m g2
M2

13. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 13
⇒
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
3 4 3 4 1 2 3 4
1 2
4 4 3 4 1 2 3 4
2
3 4 3 4 1 2 3 4
3 3 4 4
3 4 4 4 3 4 1 2 3 4
4 2 3
2 2
1
2
2 2
2
m m m m m m m m
y y g
m m m m m m m m
m m m m m m m m
y m m m g
m m m m m m m m m m
y y y
− + + − − −
= − =
− − + + +
 − + + − − −
= − + 
+ − − + + +  
= −
Bài 7.
PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LO I II
Ta ch xét cơ h ch u liên k t Hô lô nôm, gi , lý tư ng có n b c t do.
1. Phương trình Lagrange lo i II
• Trư ng h p t ng quát
1j
j j
d T T
Q , j ,n
dt q q
 ∂ ∂
− = =  ∂ ∂ 
• Trong trư ng h p l c có th
0 1
j j
d L L
, j ,n
dt q q
 ∂ ∂
− = =  ∂ ∂ 
L T V= − g i là hàm Lagrange (là hi u gi a ng năng T và th năng V
c a cơ h )
• Chú ý
Phương trình Lagrange lo i II ư c ng d ng ph bi n nghiên c u
chuy n ng c a các cơ h hôlônôm, lý tư ng.
2. Quy trình thi t l p phương trình Lagrange lo i II
o Bư c 1. Xét tính ch t liên k t
o Bư c 2. Xác nh s b c t do n c a cơ h (b ng s t a suy r ng) và
ch n t a suy r ng.
o Bư c 3. Xác nh bi u th c ng năng.
o Bư c 4. Tính các l c suy r ng i
Q ho c th năng V.
o Bư c 5. Tính
j j
T T d
, ,
q q dt
∂ ∂
∂ ∂
ho c tính L T V= −
j
L
q
∂
∂
,
j
L
q
∂
∂
.
o Bư c 6. Vi t phương trình Lagrange II, và gi i chúng (n u c n).
3. Ví d

14. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 14
1. Thi t l p phương trình vi phân chuy n ng c a con l c eliptic g m v t
A chuy n ng trên m t ph ng ngang nh n, và treo vào A con l c toán h c B có
kh i lư ng A, dài l.
2. Bánh xe ư c xem là ĩa tròn ng ch t tr ng lư ng P, bán kính R có
th lăn không trư t trên m t ph ng nghiêng 1 góc α v i phương n m ngang. G n
vào tr c O c a bánh xe ng ch t OA tr ng lư ng Q, chi u dài OA=l có th quay
không ma sát quanh O (như hình v ). H ang ng yên, OA th ng ng hư ng
xu ng. Th cho chuy n ng. Xác nh t i th i i m th :
a. Gia t c tâm O
b. Gia t c thanh OA
O
α
C
A
l
Gi i
Xét h g m bánh xe và thanh OA. H có hai b c t do
Ch n t a suy r ng 1S O O= , ϕ là góc l ch c a thanh OA v i phương th ng
ng
Ta có
cos
sin
O
O
x s
y s
α
α
=

=
và
cos sin
2
sin cos
2
C
C
l
x s
l
y s
α ϕ
α ϕ

= +

 = +
 O
α
C
A
xO
y
P
Q
ϕ
s

15. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 15
( )
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
cos ; sin
1 1
cos cos ; sin sin
2 2
cos
4
O O
O O O
C C
C C C
x s y s
v x y s
x s y s
l
v x y s ls
α α
α ϕ ϕ α ϕ ϕ
ϕ ϕ α ϕ
= =
⇒ = + =
= + = −
⇒ = + = + + +
ng năng c a cơ h
2 2 2 2
0
1 1
2 2 2 2
O O C C C
P Q
T v J w v J w
g g
= + + +
Do bánh xe lăn không trư t
;O
O C
v s
w w
R R
ϕ= = =
Và chú ý:
2 2
;
2 12
C C
PR Ql
J J
g g
= =
Ta có: ( )
2
2 2 23
cos
2 2 6 2
P Q Ql Ql
T s s s
g g g g
ϕ ϕ α ϕ= + + + +
( )
( ) ( )
2
3
cos ; 0
2 2
cos ; sin
3 2 2
T P Q Ql T
s s
s g g g s
T Ql Ql T Ql
s
g g g
ϕ α ϕ
ϕ ϕ α ϕ ϕ α ϕ
ϕ ϕ
∂ ∂
= + + + =
∂ ∂
∂ ∂
= + + = − +
∂ ∂
Tính l c suy r ng Qs và Qϕ : k O C
k
A P y Q yδ δ δ= +∑
V i : sin ; sin sin
2
O C
l
y s y sδ δ α δ δ α αδϕ= = −
V y
( )sin sin sin sin sin
2 2
k
k
l Ql
A P s Q s P Q sδ δ α δ α αδϕ α δ αδϕ
 
= + − = + − 
 
∑
Suy ra ( )sin ; sin
2
s
Ql
Q P Q Qϕα α= + = −
Phương trình Lagrange lo i hai i v i cơ h có d ng
;s
d T T d T T
Q Q
dt s s dt
ϕ
ϕ ϕ
 ∂ ∂ ∂ ∂ 
− = − =   ∂ ∂ ∂ ∂   
Thay k t qu vào ta ư c

16. Bài gi ng cơ s cơ h c gi i tích
24/11/08 16
( ) ( ) ( )
( )
2
2
3 2
cos sin sin
2 2 2
cos sin
3 2 2
P Q Ql Ql
s P Q
g g g
Ql Ql Ql
s
g g
ϕ α ϕ ϕ α ϕ α
ϕ α ϕ α
+
+ + − + = +


 + + = −

(0.1)
TÍnh vaøO OAa s ε ϕ= = T i th i i , b t u chuy n ng, khi ó
0; 0sϕ ϕ= = =
( )
2
3 2
cos sin
2 2
cos 0
3 2
O OA
OA O
P Q Ql
a P Q
g g
Ql Ql
a
g g
ε α α
ε α
+
+ = +

⇒ 
 + =

Gi i ra cho vaøO OAa s ε ϕ= = , ta ư c
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
4 sin 4 sin
6 4 3 cos 6 3 sin
6 sin cos
6 3 sin
O
OA
g P Q g P Q
a
P Q Q P Q Q
g P Q
l P Q Q
α α
α α
α α
ε
α
+ +
= =
+ − + +
+
= −
+ +