5 cuong-toan van-luan_an_130107144049

BË GIO DÖC V€ €O T„O
TR×ÍNG „I HÅC VINH
NG V‹N C×ÍNG
MËT SÈ TNH CH‡T ÀA PH×ÌNG
V€ TO€N CÖC
CÕA MT ÈI CHI—U HAI
TRONG KHÆNG GIAN LORENTZ-MINKOWSKI
LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC
Ngh» An - 2013

BË GIO DÖC V€ €O T„O
TR×ÍNG „I HÅC VINH
NG V‹N C×ÍNG
MËT SÈ TNH CH‡T ÀA PH×ÌNG
V€ TO€N CÖC
CÕA MT ÈI CHI—U HAI
TRONG KHÆNG GIAN LORENTZ-MINKOWSKI
LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC
Chuy¶n ng nh: H¼nh håc v Tæpæ
M¢ sè: 62 46 10 01
NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC
PGS. TS. O€N TH˜ HI˜U
TS. NGUY™N DUY BœNH
Ngh» An - 2013

i
MÖC LÖC
Möc löc i
Líi cam oan iii
Líi c£m ìn iv
Mð ¦u 1
1 Lþ do chån · t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Möc ½ch nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 èi t÷ñng nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Ph¤m vi nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
6 Þ ngh¾a khoa håc v thüc ti¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
7 Têng quan v c§u tróc luªn ¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7.1 Têng quan luªn ¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7.2 C§u tróc luªn ¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc cì sð 11
1.1 Khæng gian Lorentz-Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 C¡c ë cong cõa m°t trong Rn+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 16
a) ë cong li¶n k¸t vîi mët tr÷íng vectì ph¡p . . . . . . . . . . 16
b) Elip ë cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
K¸t luªn ch÷ìng 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Ch÷ìng 2 X¥y düng ¡nh x¤ -Gauss nhªn gi¡ trà tr¶n HSr; tr¶n LSr v
t½nh ch§t h¼nh håc cõa m°t -rèn 23
2.1 nh x¤ Gauss nhªn gi¡ trà tr¶n HSr v m°t nr
-rèn . . . . . . . . . 25
a) nh x¤ nr
-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
b) M°t nr
-dµt èi chi·u hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

ii
c) M°t nr
-rèn èi chi·u hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
d) Mët sè v½ dö m°t -rèn trong R41
. . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 nh x¤ Gauss nhªn gi¡ trà tr¶n LSr v m°t lr
-rèn . . . . . . . . . . 40
a) nh x¤ lr
-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
b) M°t lr
-rèn èi chi·u hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 M°t rèn èi chi·u hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
K¸t luªn ch÷ìng 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Ch÷ìng 3 T½nh ch§t h¼nh håc cõa m°t -ph¯ng trong R41
49
3.1 Mèi li¶n h» giúa m°t -rèn v m°t -ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 T½nh ph¯ng cõa m°t trong khæng gian 4-chi·u . . . . . . . . . . . . 54
41
a) T½nh ph¯ng cõa m°t trong R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
b) T½nh ph¯ng cõa m°t kiºu khæng gian trong R. . . . . . . . 58
3.3 Mët sè v½ dö v· m°t -ph¯ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
K¸t luªn ch÷ìng 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Ch÷ìng 4 M°t k´ v m°t trán xoay kiºu khæng gian trong R41
68
4.1 M°t k´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 M°t trán xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
a) M°t trán xoay kiºu hypebolic . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
b) M°t trán xoay kiºu eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
c) M°t trán xoay vîi kinh tuy¸n ph¯ng . . . . . . . . . . . . . 84
K¸t luªn ch÷ìng 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
K¸t luªn v ki¸n nghà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Danh möc c¡c cæng tr¼nh cõa nghi¶n cùu sinh li¶n quan ¸n luªn ¡n . . 90
T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Ch¿ möc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

iii
Líi cam oan
Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi, c¡c k¸t qu£ tr¼nh
b y trong luªn ¡n l ho n to n trung thüc, ÷ñc c¡c çng t¡c gi£ cho ph²p sû döng
v luªn ¡n khæng tròng l°p vîi b§t k¼ t i li»u n o kh¡c.
T¡c gi£

iv
LÍI CƒM ÌN
Luªn ¡n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y
gi¡o PGS. TS. o n Th¸ Hi¸u v th¦y gi¡o TS. Nguy¹n Duy B¼nh. Sü ành h÷îng
cõa quþ Th¦y trong nghi¶n cùu, sü nghi¶m khc cõa c¡c Th¦y trong håc tªp v
sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa quþ Th¦y trong l m vi»c l nhúng y¸u tè cì b£n nh§t
t¡c ëng n¶n vi»c ho n th nh luªn ¡n. Th¶m v o â l t¼nh y¶u th÷ìng cõa hai
Th¦y d nh cho t¡c gi£ trong cuëc sèng ¢ cho t¡c gi£ câ sùc m¤nh º v÷ñt qua
r§t nhi·u khâ kh«n trong håc tªp v nghi¶n cùu. T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn
ch¥n th nh v s¥u sc nh§t ¸n vîi hai Th¦y.
Luªn ¡n nh÷ l mân qu t¡c gi£ t°ng ¸n gia ¼nh m¼nh, nhúng ng÷íi ¢ d nh
cho t¡c gi£ nhúng g¼ tèt nh§t trong qu¡ tr¼nh håc tªp. C£m ìn ng÷íi vñ th¥n y¶u
¢ né lüc h¸t sùc mët m¼nh ch«m sâc gia ¼nh trong suèt thíi gian t¡c gi£ i håc.
T¡c gi£ gûi líi c£m ìn ¸n Khoa To¡n v Khoa Sau ¤i håc - Tr÷íng ¤i håc
Vinh, nìi t¡c gi£ ¢ håc tªp v nghi¶n cùu trong thíi gian l m nghi¶n cùu sinh.
T¡c gi£ gûi líi c£m ìn ¸n Tr÷íng ¤i håc Duy T¥n v Khoa Khoa håc tü
nhi¶n - Tr÷íng ¤i håc Duy T¥n, nìi t¡c gi£ cæng t¡c gi£ng d¤y v công l nìi cû
t¡c gi£ i l m nghi¶n cùu sinh.
T¡c gi£ gûi líi c£m ìn ¸n Khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Hu¸, nìi t¡c
gi£ ¢ d nh nhi·u thíi gian l m nghi¶n cùu.
T¡c gi£ gûi líi c£m ìn s¥u sc ¸n PGS. TS. Nguy¹n Huýnh Ph¡n, PGS. TS.
Nguy¹n Húu Quang, GS. TSKH. é Ngåc Di»p, TS. Ki·u Ph÷ìng Chi v PGS.
TS. Tr¦n V«n …n ¢ d nh thíi gian åc luªn ¡n v cho t¡c gi£ nhúng nhªn x²t
quþ b¡u.
T¡c gi£ gûi líi c£m ìn ¸n t§t c£ c¡c nh khoa håc, th¦y cæ, ng÷íi th¥n, b¤n
b± v¼ nhúng gâp þ, õng hë v ëng vi¶n v· tinh th¦n công nh÷ vªt ch§t d nh cho
t¡c gi£.
Ngh» An, th¡ng 01 n«m 2013
°ng V«n C÷íng

Mð ¦u
1. Lþ do chån · t i
1.1 Vi»c nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t àa ph÷ìng v to n cöc cõa m°t l mët trong nhúng
v§n · cì b£n cõa h¼nh håc vi ph¥n. T½nh ch§t àa ph÷ìng cõa m°t l nhúng t½nh ch§t
li¶n quan ¸n tham sè hâa àa ph÷ìng cõa m°t, cán t½nh ch§t to n cöc l nhúng t½nh
ch§t thº hi»n tr¶n to n bë m°t m khæng chàu sü chi phèi cõa tham sè hâa àa ph÷ìng.
Chóng ta ¢ bi¸t, trong h¼nh håc vi ph¥n cê iºn, mët trong nhúng cæng cö cì b£n
º nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t àa ph÷ìng cõa m°t l ¡nh x¤ Gauss. nh x¤ Gauss ÷a ¸n
c¡c kh¡i ni»m ë cong bao gçm: ë cong Gauss; ë cong trung b¼nh; ë cong ch½nh,. . . .
Vîi c¡c m°t èi chi·u mët, m°t trong R3 v si¶u m°t trong Rn, ¡nh x¤ Gauss ¢ chùng
tä l mët cæng cö húu hi»u º nghi¶n cùu t½nh ch§t àa ph÷ìng cõa chóng. Ch¯ng h¤n,
düa v o t½nh ch§t cõa ë cong chóng ta nhªn ÷ñc k¸t qu£: mët m°t ch½nh quy trong R3
l m°t rèn khi v ch¿ khi nâ l (mët ph¦n cõa) mët m°t c¦u ho°c (mët ph¦n cõa) mët
m°t ph¯ng.
èi vîi c¡c t½nh ch§t to n cöc cõa m°t, mët trong nhúng cæng cö º t¼m ÷ñc mèi
li¶n h» giúa t½nh ch§t àa ph÷ìng vîi t½nh ch§t to n cöc l tr÷íng Jacobi dåc theo mët
÷íng trc àa. Thæng qua cæng cö n y mët sè t½nh ch§t to n cöc cõa m°t trong R3 ¢
÷ñc ÷a ra trong lþ thuy¸t h¼nh håc vi ph¥n cê iºn. Ch¯ng h¤n, mët m°t ch½nh quy
trong R3 câ ë cong Gauss çng nh§t b¬ng khæng khi v ch¿ khi nâ l m°t k´ kh£ triºn.
Vi»c t¼m hiºu c¡c k¸t qu£ thº hi»n c¡c t½nh ch§t h¼nh håc cõa lîp m°t kiºu khæng
gian èi chi·u hai trong khæng gian Lorentz-Minkowski, t÷ìng tü nh÷ tr÷íng hñp cõa
m°t trong R3; l mët trong nhúng v§n · ÷ñc chóng tæi quan t¥m.
1.2 H¼nh håc cõa m°t trong R4 ¢ ÷ñc quan t¥m nghi¶n cùu trong mët sè cæng tr¼nh
nh÷: [10], [31], [32], [38], [34], [26], [30], [39]. . . . Chóng ta câ thº iºm l¤i mët sè k¸t qu£
1

2
ch½nh ¢ ¤t ÷ñc trong l¾nh vüc n y nh÷ sau. V o n«m 1969, Little [26] ¢ x¥y düng
c¡c b§t bi¸n h¼nh håc, ch¯ng h¤n nh÷ elip ë cong, º nghi¶n cùu t½nh ký dà cõa a t¤p
con èi chi·u hai trong khæng gian Ì-cl½t. Công trong [26] t¡c gi£ ¢ ch¿ ra ÷ñc r¬ng
m°t trong R4 tho£ m¢n i·u ki»n måi tr÷íng vectì ph¡p l tr÷íng tròng ph¡p khi v ch¿
khi nâ l mët m°t k´ kh£ triºn. ¸n n«m 1995, Mochida v mët sè t¡c gi£ kh¡c trong
[31] ÷a ra mët sè i·u ki»n c¦n v õ v· sü tçn t¤i tr÷íng tròng ph¡p cõa m°t trong
R4. Trong b i b¡o n y c¡c t¡c gi£ ¢ kh¯ng ành i·u ki»n c¦n v õ º m°t trong R4
ch§p nhªn óng hai tr÷íng tròng ph¡p l lçi ng°t àa ph÷ìng. C¡c k¸t qu£ n y ÷ñc mð
rëng l¶n m°t èi chi·u hai trong Rn+2 bði Mochida v mët sè t¡c gi£ kh¡c trong [32] v o
n«m 1999. H÷îng nghi¶n cùu n y ÷ñc ti¸p töc bði Romero-Fuster v S¡nchez-Brigas [38]
v o n«m 2002, º nghi¶n cùu kh¡i ni»m rèn tr¶n m°t. Trong [38] c¡c t¡c gi£ ¢ ch¿ ra
mèi quan h» t÷ìng ÷ìng giúa c¡c lîp m°t: -rèn, tçn t¤i hai ph÷ìng ti»m cªn trüc giao
vîi nhau t¤i måi iºm, nûa rèn v ë cong ph¡p çng nh§t b¬ng khæng. ¸n n«m 2010,
Nueno-Ballesteros v Romero-Fuster [34] x¥y düng kh¡i ni»m quÿ t½ch ë cong (curvature
locus), nâ l mët mð rëng cõa kh¡i ni»m elip ë cong cho m°t èi chi·u hai trong Rn+2,
º nghi¶n cùu t½nh ch§t cõa c¡c a t¤p con èi chi·u hai. Trong b i b¡o n y c¡c t¡c gi£
công ¢ chuyºn mët sè k¸t qu£ trong [38] l¶n a t¤p con èi chi·u hai trong Rn+2.
Vi»c ph¡t triºn c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu v· m°t trong R4 l¶n m°t kiºu khæng gian èi
chi·u hai trong khæng gian Lorentz-Minkowski l mët trong nhúng v§n · chóng tæi quan
t¥m nghi¶n cùu.
1.3 Nhúng n«m g¦n ¥y mët sè k¸t qu£ nghi¶n cùu m°t kiºu khæng gian èi chi·u hai
trong khæng gian Lorentz-Minkowski ¢ ÷ñc cæng bè, ch¯ng h¤n nh÷ [17], [20], [21], [22],
[24], [23],. . . . Chóng ta iºm qua mët sè k¸t qu£ ch½nh cho l¾nh vüc n y nh÷ sau. B¬ng
c¡ch sû döng t½nh ch§t cõa ë cong li¶n k¸t vîi mët tr÷íng vectì ph¡p º nghi¶n cùu
m°t kiºu khæng gian èi chi·u hai, v o n«m 2004 Izumiya v mët sè t¡c gi£ kh¡c trong
[20] ¢ ch¿ ra r¬ng n¸u m°t chùa trong mët gi£ c¦u th¼ nâ l m°t -rèn, trong â l
tr÷íng vectì và tr½ cõa m°t. Vîi chi·u ng÷ñc l¤i cõa m»nh · n y, c¡c t¡c gi£ trong [20]
bê sung th¶m gi£ thi¸t song song cõa º m°t -rèn chùa trong mët gi£ c¦u. Trong b i
b¡o n y c¡c t¡c gi£ công ¢ tr¼nh b y l¤i c¡ch x¥y düng kh¡i ni»m elip ë cong cho m°t
kiºu khæng gian hai chi·u trong khæng gian Lorentz-Minkowski sè chi·u lîn hìn 3 v ch¿
ra mèi li¶n h» giúa m°t -rèn v m°t nûa rèn, nâ l m°t m elip ë cong suy bi¸n th nh
mët o¤n th¯ng. Xu§t ph¡t tø t½nh ch§t m°t ph¯ng ph¡p cõa mët m°t kiºu khæng gian

3
èi chi·u hai l mët 2-ph¯ng kiºu thíi gian, d¹ d ng ch¿ ra ÷ñc r¬ng nâ câ mët cì sð gi£
trüc chu©n vîi mët vectì kiºu khæng gian v mët vectì kiºu thíi gian. B¬ng c¡ch sû döng
têng v hi»u cõa hai vectì trong cì sð n y cõa m°t ph¯ng ph¡p, v o n«m 2007 Izumiya
v mët sè t¡c gi£ trong [21], ¢ x¥y düng kh¡i ni»m ¡nh x¤ Gauss nân ¡nh s¡ng v nghi¶n
cùu kh¡i ni»m dµt tr¶n c¡c m°t kiºu khæng gian èi chi·u hai.
T¼m c¡ch x¡c ành mët tr÷íng vectì ph¡p tr¶n m°t kiºu khæng gian èi chi·u hai,
xem nh÷ ¡nh x¤ Gauss, thuªn ti»n cho vi»c nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t h¼nh håc cõa m°t,
công l mët trong nhúng v§n · chóng tæi quan t¥m.
1.4 Nghi¶n cùu t½nh ph¯ng, i·u ki»n chùa trong m°t ph¯ng, cõa mët ÷íng cong trong
R3 l mët b i to¡n cê iºn cõa h¼nh håc vi ph¥n. T½nh ph¯ng cõa ÷íng cong phö thuëc
v o ë xon cõa ÷íng cong, ÷íng cong l ph¯ng khi v ch¿ khi ë xon cõa nâ b¬ng
khæng. i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi tr÷íng vectì tròng ph¡p cõa ÷íng cong l tr÷íng vectì
h¬ng. Ngo i ra mët sè t½nh ch§t cõa m°t ph¯ng mªt ti¸p cõa ÷íng cong công cho chóng
ta mët sè i·u ki»n õ º ÷íng cong ph¯ng.
T¼m ki¸m c¡c i·u ki»n õ º mët m°t kiºu khæng gian trong R41
chùa trong mët si¶u
ph¯ng công l mët trong nhúng v§n · chóng tæi quan t¥m.
1.5 Vi»c nghi¶n cùu c¡c lîp m°t °c bi»t trong khæng gian, ch¯ng h¤n m°t k´, m°t trán
xoay, . . . , công l mët trong nhúng v§n · ÷ñc c¡c nh h¼nh håc quan t¥m. Khi x¥y
düng mët cæng cö n o â º nghi¶n cùu c¡c lîp m°t, cæng cö â thüc sü câ gi¡ trà n¸u
nâ câ thº ÷a ra mët ph¥n lo¤i cho c¡c lîp m°t °c bi»t n y. Chóng tæi công mong muèn
÷a ra c¡c ành l½ ph¥n lo¤i cho c¡c lîp m°t °c bi»t, ch¯ng h¤n nh÷ m°t k´ cüc ¤i, m°t
trán xoay cüc ¤i hay kh£o s¡t kh¡i ni»m rèn tr¶n c¡c lîp m°t n y.
Bði c¡c lþ do n¶u ð tr¶n, tæi chån · t i Mët sè t½nh ch§t àa ph÷ìng v to n
cöc cõa m°t èi chi·u hai trong khæng gian Lorentz-Minkowski l m · t i luªn
¡n ti¸n s¾.
2. Möc ½ch nghi¶n cùu
Trong luªn ¡n n y chóng tæi nghi¶n cùu mët sè t½nh ch§t h¼nh håc cõa m°t èi chi·u
hai trong khæng gian Lorentz-Minkowski vîi c¡c möc ½ch sau.
(1) X¥y düng mët sè cæng cö húu hi»u º câ thº nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t h¼nh håc cõa
m°t kiºu khæng gian èi chi·u hai.

4
(2) Nghi¶n cùu c¡c kh¡i ni»m rèn tr¶n m°t kiºu khæng gian èi chi·u hai, ÷a ra mët
sè k¸t qu£ ph¥n lo¤i m°t kiºu khæng gian -rèn èi chi·u hai v m°t kiºu khæng
gian rèn èi chi·u hai.
(3) Nghi¶n cùu mèi quan h» giúa m°t -rèn v m°t -ph¯ng.
(4) Nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n chùa trong si¶u ph¯ng cõa m°t trong khæng gian R4 sau
â mð rëng l¶n m°t kiºu khæng gian trong R41
:
(5) Sû döng c¡c k¸t qu£ ¤t ÷ñc theo h÷îng nghi¶n cùu º ùng döng v o vi»c kh£o
41
s¡t t½nh ch§t h¼nh håc cõa mët sè lîp m°t kiºu khæng gian °c bi»t trong khæng
gian Lorentz-Minkowski R; â l m°t k´ v m°t trán xoay.
3. èi t÷ñng nghi¶n cùu
èi t÷ñng nghi¶n cùu cõa luªn ¡n bao gçm: m°t kiºu khæng gian èi chi·u hai; c¡c
cæng cö nghi¶n cùu m°t kiºu khæng gian èi chi·u hai; c¡c t½nh ch§t h¼nh håc cõa m°t
kiºu khæng gian èi chi·u hai trong khæng gian Lorentz-Minkowski. Vªy n¶n, n¸u khæng
÷ñc nhc l¤i, èi t÷ñng m°t trong luªn ¡n ÷ñc hiºu l m°t kiºu khæng gian èi chi·u
hai.
4. Ph¤m vi nghi¶n cùu
Trong luªn ¡n n y chóng tæi nghi¶n cùu mët sè t½nh ch§t àa ph÷ìng v to n cöc
tr¶n m°t kiºu khæng gian èi chi·u hai, nghi¶n cùu mët sè lîp m°t kiºu khæng gian èi
chi·u hai °c bi»t trong khæng gian Lorentz-Minkowski.
5. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu
Chóng tæi sû döng ph÷ìng ph¡p lþ thuy¸t trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n · t i. B¬ng
c¡ch sû döng c¡c cæng cö l c¡c ë cong tr¶n m°t, ch¯ng h¤n ë cong li¶n k¸t vîi mët
tr÷íng vectì ph¡p; elip ë cong; ë cong Gauss, chóng tæi t¼m ki¸m c¡c t½nh ch§t h¼nh
håc cõa m°t èi chi·u hai tho£ m¢n t÷ìng ùng c¡c i·u ki»n cõa c¡c ë cong n y công
nh÷ mèi li¶n h» giúa c¡c lîp m°t â.

5
6. Þ ngh¾a khoa håc v thüc ti¹n
6.1 Luªn ¡n gâp ph¦n gi£i quy¸t c¡c b i to¡n cõa m°t èi chi·u hai trong khæng gian
Lorentz-Minkowski sau:
(1) ÷a ra hai ph÷ìng ph¡p º x¡c ành mët tr÷íng vectì ph¡p kh£ vi tr¶n ph¥n thî
ph¡p cõa m°t èi chi·u hai, â l mët c°p tr÷íng vectì ph¡p kiºu khæng gian v
mët c°p tr÷íng vectì ph¡p kiºu ¡nh s¡ng.
(2) Sû döng tr÷íng vectì ph¡p (÷ñc x¡c ành ð tr¶n) v o vi»c nghi¶n cùu kh¡i ni»m
dµt tr¶n m°t v ÷a ra mët sè ành l½ thº hi»n ÷ñc t½nh ch§t h¼nh håc cõa m°t
-dµt.
(3) ÷a ra mët sè ành l½ câ t½nh ph¥n lo¤i èi vîi c¡c m°t chùa trong mët gi£ c¦u tho£
m¢n i·u ki»n -rèn ho°c m°t tho£ m¢n i·u ki»n rèn.
(4) ÷a ra mët ti¶u chu©n º kiºm tra mët tr÷íng vectì ph¡p l tr÷íng tròng ph¡p.
X¡c ành quan h» giúa m°t -rèn v m°t -ph¯ng.
(5) ÷a ra c¡c i·u ki»n õ º m°t trong R4 v R41
thuëc mët si¶u ph¯ng.
(6) ÷a ra c¡c ành l½ thº hi»n t½nh ch§t h¼nh håc cõa mët sè m°t kiºu khæng gian
°c bi»t trong R41
bao gçm: m°t k´ cüc ¤i; m°t trán xoay (kiºu hypebolic v kiºu
eliptic) cüc ¤i; m°t trán xoay (kiºu hypebolic v kiºu eliptic) rèn. Ch¿ ra sè l÷ñng
tr÷íng tròng ph¡p tr¶n m°t k´, m°t trán xoay (kiºu hypebolic ho°c eliptic). ÷a
ra c¡c i·u ki»n t÷ìng ùng vîi sè l÷ñng tr÷íng tròng ph¡p tr¶n m°t trán xoay vîi
kinh tuy¸n ph¯ng. X¡c ành c¡c tr÷íng vectì ph¡p tr¶n m°t k´ v m°t trán xoay
º chóng l m°t -rèn.
6.2 Luªn ¡n câ thº l m t i li»u tham kh£o cho sinh vi¶n, cho håc vi¶n cao håc v nghi¶n
cùu sinh theo h÷îng nghi¶n cùu n y.

6
7. Têng quan v c§u tróc luªn ¡n
7.1. Têng quan luªn ¡n
Ph¦n ki¸n thùc cì sð cõa luªn ¡n ÷ñc giîi thi»u trong ch÷ìng 1. ¥y l khèi ki¸n
41
thùc r§t c«n b£n nh÷ng nâ ÷ñc sû döng nhi·u trong luªn ¡n n¶n khæng thº bä qua. âng
gâp cõa luªn ¡n ÷ñc tr¼nh b y trong c¡c ch÷ìng 2, 3 v 4. Trong ch÷ìng 2, chóng tæi
÷a ra hai ph÷ìng ph¡p º x¡c ành mët c°p tr÷íng vectì ph¡p kh£ vi tr¶n m°t, mët c°p
kiºu khæng gian v mët c°p kiºu ¡nh s¡ng, çng thíi ùng döng c¡c tr÷íng vectì ph¡p
n y º nghi¶n cùu t½nh ch§t h¼nh håc cõa m°t -rèn, m°t rèn. Ch÷ìng 3 ÷a ra mët ti¶u
chu©n º kiºm tra mët tr÷íng vectì ph¡p tr¶n m°t l tr÷íng tròng ph¡p, nghi¶n cùu mèi
quan h» giúa m°t -rèn v m°t -ph¯ng çng thíi x¡c ành sè l÷ñng tr÷íng tròng ph¡p
tr¶n m°t -rèn. Công trong Ch÷ìng 3, chóng tæi nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n õ º mët m°t
trong khæng gian 4-chi·u, R4 v R; chùa trong mët si¶u ph¯ng. Trong ch÷ìng 4, chóng
tæi kh£o s¡t mët sè t½nh ch§t h¼nh håc cõa hai lîp m°t °c bi»t trong R41; â l m°t k´
kiºu khæng gian v m°t trán xoay kiºu khæng gian.
7.1.1 Vi»c nghi¶n cùu lîp m°t -rèn èi chi·u hai, tr÷îc h¸t c¦n kº ¸n c¡c t¡c gi£
Izumiya, Pei, Romero-Fuster,. . . trong c¡c b i b¡o [18], [17], [20], [21], [22], [23],. . . . C¡c
t¡c gi£ ¢ gi£ sû tr¶n m°t tçn t¤i mët tr÷íng vectì ph¡p (kiºu khæng gian, kiºu thíi
gian ho°c kiºu ¡nh s¡ng), x¥y düng c¡c ë cong li¶n k¸t vîi tr÷íng vectì ph¡p ; sau â
÷a ra mët sè t½nh ch§t h¼nh håc cõa m°t -rèn. Tuy nhi¶n, sü tçn t¤i c¡c tr÷íng vectì
ph¡p nh÷ th¸ n o th¼ ch÷a ÷ñc nhc ¸n. i·u n y câ þ ngh¾a v· m°t lþ thuy¸t nh÷ng
l¤i khâ kh«n khi thüc h nh t½nh to¡n tr¶n c¡c m°t cö thº. Cho ¸n thíi iºm n y, khi
cho mët m°t d÷îi d¤ng tham sè ho¡, vi»c x¡c ành mët tr÷íng vectì ph¡p tr¶n m°t çng
thíi kiºm so¡t ÷ñc thuëc t½nh (kiºu khæng gian, kiºu thíi gian ho°c kiºu ¡nh s¡ng) cõa
nâ v¨n ang l v§n · ch÷a ÷ñc nghi¶n cùu cö thº. Trong Ch÷ìng 2 cõa luªn ¡n n y
chóng tæi ÷a ra hai ph÷ìng ph¡p º x¡c ành hai c°p tr÷íng vectì ph¡p tr¶n mët m°t
÷ñc cho d÷îi d¤ng tham sè, â l mët c°p tr÷íng vectì ph¡p kiºu khæng gian v mët
c°p tr÷íng vectì ph¡p kiºu ¡nh s¡ng. i·u n y câ þ ngh¾a v· m°t thüc h nh, khi cho
mët m°t tham sè chóng ta s³ x¡c ành ÷ñc tr÷íng vectì ph¡p cö thº tr¶n m°t (kiºu
khæng gian ho°c kiºu ¡nh s¡ng) tø â ta t½nh ÷ñc c¡c ë cong li¶n k¸t vîi nâ º nghi¶n
cùu c¡c t½nh ch§t h¼nh håc cõa m°t. Qu¡ tr¼nh n y ÷ñc têng quan l¤i nh÷ sau: Vîi méi
iºm p 2 M; m°t ph¯ng ph¡p NpM cõa M t¤i p l mët 2-ph¯ng kiºu thíi gian, nâ s³

7
r
r
ct n-khæng gian hypebolic t¥m v = (0; 0; : : : ; 0;1) b¡n k½nh R = 1 (t.÷. nân ¡nh s¡ng)
theo mët hypebol (t.÷. hai tia). Vîi mët sè thüc r 0; si¶u ph¯ng fxn+1 = rg ct hypebol
(t.÷. hai tia) theo óng hai vectì, kþ hi»u l n(t.÷. l). Chóng ta chùng minh ÷ñc c¡c
tr÷íng vectì nr
(t.÷. lr
) l c¡c tr÷íng vectì kiºu khæng gian (t.÷. kiºu ¡nh s¡ng) kh£
r
vi (àr
r
nh l½ 2.1.3) v v¼ vªy câ thº t½nh to¡n c¡c ë cong li¶n k¸t vîi chóng º ti¸n h nh
nghi¶n cùu m°t n-rèn v m°t l-rèn. Khæng c¦n gi£ thi¸t nl tr÷íng vectì ph¡p song
song (nh÷ trong [20]), M l m°t nr
-dµt khi v ch¿ khi nr
l tr÷íng vectì h¬ng, i·u n y
r
r
t÷ìng ÷ìng vîi M chùa trong mët si¶u ph¯ng kiºu thíi gian khæng chùa tröc xn+1 (ành
l½ 2.1.5). Chóng tæi công ÷a ra mët sè i·u ki»n t÷ìng ÷ìng º c¡c m°t chùa trong mët
gi£ c¦u hypebolic l m°t n-rèn (ành l½ 2.1.12). V¼ nkhæng l tr÷íng vectì ph¡p song
song n¶n n¸u M l m°t nr
-rèn th¼ nâi chung (ngay c£ khi M chùa trong mët gi£ c¦u)
h m ë cong nr
-ch½nh khæng l h m h¬ng. ành l½ 2.1.14 cho chóng ta c¡c t½nh ch§t h¼nh
håc cõa m°t chùa trong gi£ c¦u hypebolic tho£ m¢n i·u ki»n nr
-rèn v ë cong nr-ch½nh
l h m h¬ng. Vîi m°t khæng gi£ thi¸t chùa trong gi£ c¦u, i·u ki»n nr
-rèn v nr
song
song t÷ìng ÷ìng vîi i·u ki»n M chùa trong giao cõa mët gi£ c¦u hypebolic vîi mët
si¶u ph¯ng fxn+1 = cg (ành l½ 2.1.15). Chóng tæi công ÷a ra mët i·u ki»n t÷ìng ÷ìng
vîi i·u ki»n song song cõa nr
(ành l½ 2.1.16). º câ mët ph¥n lîp giúa m°t: -rèn; m°t
rèn; m°t chùa trong gi£ c¦u v m°t -rèn vîi h m ë cong h¬ng, chóng tæi ÷a ra c¡c v½
dö trong möc d). C¡c k¸t qu£ nhªn ÷ñc l t÷ìng tü khi sû döng tr÷íng vectì ph¡p lr
º nghi¶n cùu m°t lr
-rèn. i·u n y ÷ñc thº hi»n trong c¡c ành l½ 2.2.7, 2.2.8 v 2.2.9.
i·u ¡ng l÷u þ ð ¥y l ¡nh x¤ lr
-Gauss thüc sü húu döng vîi lîp m°t chùa trong gi£
c¦u de Sitter, nìi m sû döng ¡nh x¤ nr
-Gauss câ ph¦n khæng thuªn lñi trong vi»c kh£o
41
41s¡t kh¡i ni»m rèn cõa m°t. Têng hñp c¡c k¸t qu£ v· m°t -rèn v k¸t hñp vîi sü tçn t¤i
tr÷íng möc ti¶u gçm c¡c tr÷íng vectì song song tr¶n mët li¶n thæng dµt, chóng tæi nhªn
÷ñc °c tr÷ng h¼nh håc cõa m°t rèn èi chi·u hai trong ành l½ 2.3.2.
7.1.2. Trong Ch÷ìng 3 cõa luªn ¡n chóng tæi ÷a ra mët i·u ki»n º kiºm tra mët
tr÷íng vectì ph¡p l tr÷íng tròng ph¡p, nghi¶n cùu mèi quan h» giúa m°t -rèn v m°t
-ph¯ng v ph¡t triºn mët sè k¸t qu£ trong [29], [31], [32], [38], [34] v· m°t trong R4 l¶n
m°t trong R; nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n õ º m°t trong R4 chùa trong mët si¶u ph¯ng
v ph¡t triºn l¶n m°t kiºu khæng gian trong R:
Tr÷îc h¸t, sû döng t½ch ngo i cõa 3 vectì, chóng tæi ÷a ra mët i·u ki»n º kiºm
tra mët tr÷íng vectì ph¡p câ ph£i l tr÷íng tròng ph¡p hay khæng (M»nh · 3.1.2). V·

8
quan h» bao h m giúa m°t -rèn v m°t -ph¯ng, ành l½ 3.1.3 ch¿ ra r¬ng tr¶n m°t -rèn
(khæng -dµt) luæn tçn t¤i ½t nh§t 1 v nhi·u nh§t 2 tr÷íng tròng ph¡p, tùc nâ l mët
m°t -ph¯ng. Hìn th¸, chóng tæi công cho c¡c v½ dö º ch¿ ra sü tçn t¤i c¡c m°t -ph¯ng
nh÷ng tr¶n nâ khæng tçn t¤i b§t ký tr÷íng vectì ph¡p n o º nâ l m°t -rèn. i·u
n y câ ngh¾a lîp m°t -rèn chùa trong lîp m°t -ph¯ng, nh÷ng chi·u ng÷ñc l¤i th¼ khæng
óng. Ngo i ra, M»nh · 3.1.10 cán cho chóng ta mët i·u ki»n c¦n v õ º m°t ho n
to n ph¯ng.
Ti¸p theo chóng tæi nghi¶n cùu mët sè i·u ki»n õ º mët m°t trong khæng gian
41
bèn chi·u chùa trong mët si¶u ph¯ng. Tr÷îc h¸t, chóng tæi câ c¡c v½ dö º ch¿ ra r¬ng
vi»c mð rëng c¡c i·u ki»n õ º ÷íng cong trong R3 chùa trong mët si¶u ph¯ng l¶n
m°t trong trong khæng gian 4-chi·u chùa trong mët si¶u ph¯ng nâi chung l khæng óng
(V½ dö 3.2.1, 3.2.2). Tø t½nh ch§t cõa c¡c m°t ph¯ng ti¸p xóc, M»nh · 3.2.5 cho chóng
ta hai i·u ki»n õ º mët m°t l m°t -dµt. Mð rëng l¶n t½nh ch§t cõa c¡c si¶u ph¯ng
-ph¡p tr¶n m°t, M»nh · 3.2.6 cho c¡c i·u ki»n º º m°t l m°t -ph¯ng. Tuy vªy, c¡c
i·u ki»n n y ch÷a õ º suy ra m°t chùa trong si¶u ph¯ng. B¬ng c¡ch bê sung c¡c i·u
ki»n m¤nh hìn, chóng tæi nhªn ÷ñc bèn i·u ki»n õ º mët m°t trong R4 chùa trong
mët si¶u ph¯ng (M»nh · 3.2.7). Þ t÷ðng cõa vi»c ÷a ra c¡c i·u ki»n n y xu§t ph¡t tø
vi»c mð rëng c¡c k¸t qu£ v· i·u ki»n ph¯ng cõa ÷íng cong trong R3: M°c dò c¡c k¸t
qu£ cõa c¡c M»nh · 3.2.5, 3.2.6 v 3.2.7 ÷ñc ph¡t biºu cho m°t trong R4 nh÷ng nâ v¨n
óng èi vîi m°t kiºu khæng gian trong R: Khi tr÷íng vectì ph¡p l tr÷íng vectì kiºu
khæng gian ho°c kiºu thíi gian th¼ c¡c k¸t qu£ t½nh ch§t cõa m°t trong trong R4 v m°t
kiºu khæng gian trong R41
nâi chung l tròng nhau. Sü kh¡c bi»t v· t½nh ch§t cõa m°t
kiºu khæng gian trong R41
vîi m°t trong R4 thº hi»n khi tr÷íng vectì ph¡p cõa m°t l
tr÷íng kiºu ¡nh s¡ng. C¡c M»nh · 3.2.13 v 3.2.15 ÷a ra c¡c i·u ki»n chùa trong si¶u
ph¯ng cõa m°t kiºu khæng gian nh÷ng nâ ch¿ óng khi tr÷íng vectì ph¡p l tr÷íng vectì
kiºu ¡nh s¡ng. Chóng tæi công ÷a ra c¡c v½ dö º ch¿ ra c¡c k¸t qu£ n y khæng óng èi
vîi m°t trong R4 công nh÷ èi vîi m°t kiºu khæng gian m tr÷íng vectì ph¡p khæng l
tr÷íng kiºu ¡nh s¡ng.
Ph¦n cuèi cõa Ch÷ìng 3 chóng tæi ÷a ra c¡c v½ dö minh ho¤ cho c¡c k¸t qu£ ¤t
÷ñc, c¡c ph£n v½ dö cho c¡c k¸t qu£ công nh÷ kh¯ng ành t½nh tèi ÷u cõa c¡c gi£ thi¸t
÷ñc ÷a ra trong c¡c m»nh · v c¡c ành l½.
7.1.3. Vi»c kh£o s¡t c¡c t½nh ch§t h¼nh håc công nh÷ t¼m ki¸m c¡c k¸t qu£ câ t½nh ph¥n

9
41
lo¤i c¡c lîp m°t cö thº, ch¯ng h¤n m°t k´ hay m°t trán xoay, l mët trong c¡c v§n ·
÷ñc c¡c nh h¼nh håc thüc sü quan t¥m. Nh÷ mët ùng döng cõa Ch÷ìng 2 v Ch÷ìng
3, trong Ch÷ìng 4 chóng tæi tªp trung kh£o s¡t mët sè t½nh ch§t h¼nh håc cõa m°t k´ v
m°t trán xoay kiºu khæng gian trong R: T÷ìng ùng vîi c¡c i·u ki»n cö thº, M»nh ·
41
4.1.3 x¡c ành sè l÷ñng ph÷ìng tròng ph¡p t¤i méi iºm tr¶n m°t k´. M»nh · 4.1.5 ch¿
ra r¬ng i·u ki»n c¦n v õ º mët m°t k´ cüc ¤i l nâ cüc ¤i trong mët si¶u ph¯ng
kiºu khæng gian, lîp m°t k´ kiºu khæng gian -rèn v rèn l tròng nhau. Vîi m°t trán
xoay trong R; chóng tæi x²t hai lo¤i m°t, â l xoay mët ÷íng cong trong khæng gian
ba chi·u quanh mët m°t ph¯ng (m°t trán xoay kiºu hypebolic v kiºu eliptic) v xoay
mët ÷íng cong ph¯ng çng thíi quanh hai m°t ph¯ng vîi tèc ë quay kh¡c nhau (m°t
trán xoay vîi kinh tuy¸n ph¯ng). ành l½ 4.2.4 v ành l½ 4.2.10, b¬ng c¡ch ùng döng ¡nh
x¤ lr
-Gauss, cho chóng ta x¡c ành ÷ñc ph÷ìng tr¼nh tham sè cõa m°t trán xoay (kiºu
41
hypebolic v kiºu eliptic) tho£ m¢n i·u ki»n rèn. Ti¸p töc ùng döng ¡nh x¤ l-Gauss,
chóng ta x¡c ành ÷ñc ph÷ìng tr¼nh tham sè hâa cõa m°t trán xoay (kiºu hypebolic
v kiºu eliptic) l m°t cüc ¤i (ành l½ 4.2.6, ành l½ 4.2.12). M»nh · 4.2.8 v M»nh ·
4.2.14 kh¯ng ành tr¶n m°t trán xoay kiºu hypebolic v kiºu eliptic (khæng chùa trong
si¶u ph¯ng) tçn t¤i óng hai tr÷íng tròng ph¡p v tçn t¤i duy nh§t mët tr÷íng vectì
ph¡p º m°t -rèn. ành l½ 4.2.16 ch¿ ra r¬ng t½nh ch§t h¬ng cõa ë cong Gauss èi m°t
trán xoay kiºu hypebolic v eliptic trong Rl tròng nhau v ch¿ phö thuëc v o h m b¡n
rk½nh quay. Khi â, cæng thùc x¡c ành b¡n k½nh quay ch¿ phö thuëc v o d§u cõa ë cong
Gauss. Vîi m°t trán xoay câ kinh tuy¸n ph¯ng, chóng tæi ÷a ra ÷ñc c¡c i·u ki»n cõa
tham sè ho¡ ÷íng kinh tuy¸n t÷ìng ùng vîi vi»c x¡c ành sè l÷ñng tr÷íng tròng ph¡p
tr¶n m°t. Chóng tæi công cho c¡c v½ dö ch¿ ra sü tçn t¤i cõa c¡c lîp m°t t÷ìng ùng vîi
c¡c i·u ki»n ÷ñc ÷a ra.
7.2. C§u tróc luªn ¡n
Nëi dung cõa luªn ¡n ÷ñc chia l m 4 ch÷ìng. Ngo i ra luªn ¡n cán câ Líi cam oan,
Líi c£m ìn, Möc löc, ph¦n Mð ¦u, ph¦n K¸t luªn v Ki¸n nghà, Danh möc cæng tr¼nh
khoa håc cõa nghi¶n cùu sinh li¶n quan ¸n luªn ¡n, T i li»u tham kh£o v Ch¿ möc.
Ch÷ìng 1 l ch÷ìng ki¸n thùc cì sð bao gçm 2 möc. Möc 1.1 tr¼nh b y khèi c¡c ki¸n
thùc cì b£n v· khæng gian Lorentz-Minkowski. Möc 1.2 giîi thi»u mët sè cæng cö nghi¶n
cùu m°t èi chi·u hai trong khæng gian Lorentz-Minkowski m luªn ¡n sû döng, nâ ÷ñc

10
chia th nh 2 möc nhä bao gçm: Möc a) tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc v· c¡c ë cong li¶n k¸t
vîi mët tr÷íng vectì ph¡p công nh÷ c¡c kh¡i ni»m m°t t÷ìng ùng vîi mët sè tr÷íng hñp
°c bi»t cõa c¡c ë cong n y; Möc b) giîi thi»u kh¡i ni»m elip ë cong cõa m°t trong
khæng gian Lorentz-Minkowski.
Ch÷ìng 2 tr¼nh b y c¡c nëi dung nghi¶n cùu c¡c kh¡i ni»m rèn (-rèn) tr¶n m°t èi
chi·u hai, bao gçm 3 möc. Möc 2.1 tr¼nh b y c¡ch x¥y düng ¡nh x¤ nr
-Gauss v ùng
döng cõa nâ º ÷a ra mët sè t½nh ch§t h¼nh håc cõa m°t -rèn; Möc 2.2 tr¼nh b y c¡ch
x¥y düng ¡nh x¤ lr
-Gauss v ùng döng cõa nâ v o vi»c nghi¶n cùu m°t -rèn; Möc 2.3
r
r
tr¼nh b y ph¥n lo¤i m°t rèn. Nëi dung trong ch÷ìng chõ y¸u nghi¶n cùu t½nh ch§t àa
ph÷ìng tr¶n m°t, ri¶ng c¡c t½nh ch§t n-dµt v l-dµt thº hi»n t½nh ch§t to n cöc tr¶n
m°t.
Ch÷ìng 3 nghi¶n cùu t½nh ch§t h¼nh håc cõa m°t -ph¯ng v i·u ki»n chùa trong
41
si¶u ph¯ng cõa m°t trong khæng gian 4-chi·u, bao gçm 3 möc. Möc 3.1. ÷a ra mët ti¶u
chu©n º kiºm tra mët tr÷íng vectì ph¡p l tr÷íng tr÷íng tròng ph¡p v x¡c ành mèi
quan h» giúa m°t -rèn, m°t -ph¯ng v m°t rèn. Möc 3.2 tr¼nh b y nghi¶n cùu c¡c i·u
ki»n õ º m°t trong khæng gian 4-chi·u chùa trong si¶u ph¯ng, bao gçm hai möc nhä.
Möc a) nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n õ º m°t trong R4 chùa trong si¶u ph¯ng v Möc b)
mð rëng c¡c k¸t qu£ vøa ¤t ÷ñc trong R4 l¶n m°t kiºu khæng gian trong R: Möc 3.3
tr¼nh b y mët sè v½ dö v· m°t -ph¯ng v mët sè ph£n v½ dö cho c¡c ph¡t biºu trong
ch÷ìng n y. C¡c k¸t qu£ trong möc 3.1 thº hi»n c¡c t½nh ch§t àa ph÷ìng tr¶n m°t, ri¶ng
c¡c k¸t qu£ trong möc 3.2 thº hi»n ÷ñc t½nh ch§t to n cöc tr¶n m°t.
Ch÷ìng 4 tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cõa m°t k´ v m°t trán xoay trong R41
; bao gçm
41
41
2 möc. Möc 4.1 tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t h¼nh håc cõa m°t k´ kiºu khæng gian trong
R: Möc 4.2 tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t h¼nh håc cõa m°t trán xoay trong R; bao gçm:
41
Möc a) tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu v· m°t trán xoay kiºu hypebolic, Möc b) tr¼nh
b y c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu v· m°t trán xoay kiºu eliptic v Möc c) tr¼nh b y mët sè t½nh
ch§t cõa m°t trán xoay vîi kinh tuy¸n ph¯ng trong R:

Ch÷ìng 1
Ki¸n thùc cì sð
Trong ch÷ìng n y, chóng tæi têng quan khèi ki¸n thùc v· khæng gian Lorentz-
Minkowski Rn+1
1 ; giîi thi»u mët sè ë cong tr¶n m°t èi chi·u hai v mët sè lîp m°t
èi chi·u hai trong Rn+1
1 . ¥y l khèi ki¸n thùc h¸t sùc c«n b£n cõa h¼nh håc vi ph¥n,
nh÷ng v¼ ÷ñc sû döng nhi·u trong luªn ¡n n¶n khæng thº khæng nhc ¸n.
1.1 Khæng gian Lorentz-Minkowski
Trong möc n y, chóng tæi ch¿ giîi thi»u c¡c k¸t qu£ ÷ñc sû döng trong c¡c ch÷ìng
sau cõa luªn ¡n m khæng i v o c¡c chùng minh chi ti¸t.
Cho Rn+1 l khæng gian vectì thüc v
= fe1; e2; : : : ; en+1g
l cì sð ch½nh tc cõa Rn+1:
ành ngh¾a 1.1.1. Khæng gian Lorentz-Minkowski (n+1)-chi·u, kþ hi»u Rn+1
1 ; l khæng
gian vectì Rn+1 ÷ñc trang bà d¤ng song tuy¸n t½nh èi xùng v khæng suy bi¸n, x¡c ành
bði
g(x; y) := hx; yi =
Xn
i=1
xiyi xn+1yn+1;
trong â x = (x1; x2; : : : ; xn+1) ; y = (y1; y2; : : : ; yn+1) :
D¹ d ng kiºm tra ÷ñc r¬ng, h; i l mët t½ch (gi£) væ h÷îng tr¶n Rn+1
1 vîi ch¿ sè (n; 1):
V¼ h; i khæng x¡c ành d÷ìng n¶n hx; xi câ thº b¬ng khæng ho°c ¥m. Tø â c¡c vectì tr¶n
Rn+1
1 ÷ñc ph¥n th nh ba lo¤i kh¡c nhau.
11

12
ành ngh¾a 1.1.2. Mët vectì x 2 Rn+1
1 ÷ñc gåi l
1. kiºu khæng gian (spacelike) n¸u hx; xi 0 ho°c x = 0;
2. kiºu thíi gian (timelike) n¸u hx; xi 0;
3. kiºu ¡nh s¡ng (lightlike) n¸u hx; xi = 0 v x6= 0:
Vîi x; y 2 Rn+1
1 ; n¸u hx; yi = 0 th¼ ta nâi x v y (gi£) trüc giao vîi nhau. Chu©n cõa
mët vectì x 2 Rn+1
1 ; kþ hi»u kxk; l
kxk =
p
jhx; xij:
Cho mët vectì kh¡c khæng n 2 Rn+1
1 v c 2 R ta x¡c ành si¶u ph¯ng vîi vectì ph¡p
n l
HPn(c) =

x 2 Rn+1
1 j hx; ni = c

:
Si¶u ph¯ng HPn(c) ÷ñc gåi l kiºu khæng gian, kiºu ¡nh s¡ng ho°c kiºu thíi gian
n¸u vectì n t÷ìng ùng l vectì kiºu thíi gian, kiºu ¡nh s¡ng ho°c kiºu khæng gian. D¹
d ng ch¿ ra ÷ñc r¬ng, HPn(c) l si¶u ph¯ng kiºu khæng gian n¸u v ch¿ n¸u måi vectì
x 2 HPn(c) l vectì kiºu khæng gian; HPn(c) l si¶u ph¯ng kiºu ¡nh s¡ng n¸u v ch¿ n¸u
nâ chùa mët vectì kiºu ¡nh s¡ng n o â v khæng chùa vectì kiºu thíi gian n o; HPn(c)
l si¶u ph¯ng kiºu thíi gian n¸u v ch¿ n¸u nâ chùa ½t nh§t mët vectì kiºu thíi gian.
Tr÷íng hñp c = 0; si¶u ph¯ng HPn(c) ÷ñc kþ hi»u ìn gi£n HPn:
Ta câ ba lo¤i gi£ c¦u tr¶n Rn+1
1 ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau.
ành ngh¾a 1.1.3. Vîi mët vectì a = (a1; : : : ; an+1) 2 Rn+1
1 v mët h¬ng sè d÷ìng R;
ta câ:
1. Gi£ c¦u hypebolic t¥m a v b¡n k½nh R; kþ hi»u Hn(a;R); l
Hn(a;R) =

x 2 Rn+1
1 j hx a; x ai = R

:
Khi a = 0 v R = 1 ta câ gi£ c¦u hypebolic, kþ hi»u Hn:
2. Gi£ c¦u de Sitter t¥m a v b¡n k½nh R; kþ hi»u Sn
1 (a;R); l
Sn
1 (a;R) =

x 2 Rn+1
1 j hx a; x ai = R

:
Khi a = 0 v R = 1 ta câ gi£ c¦u de Sitter, kþ hi»u Sn
1 :

13
3. Gi£ c¦u nân ¡nh s¡ng vîi ¿nh a; kþ hi»u LC(a); l
LC(a) =

x 2 Rn+1

:
1 j hx a; x ai = 0
Tr÷íng hñp a = 0 ta câ nân ¡nh s¡ng
LC =

x 2 Rn+1

;
1 j hx; xi = 0
v c¡c kþ hi»u
LC =

x =

x1; : : : ; xn+1

;
2 LC j xn+16= 0
LC
+ =

x =

x1; : : : ; xn+1

:
2 LC j xn+1 0
Tø ành ngh¾a tr¶n ta câ c¡c kh¡i ni»m: n-khæng gian hypebolic t¥m a v b¡n k½nh R
÷ñc kþ hi»u v x¡c ành nh÷ sau:
Hn+
(a;R) =

x 2 Rn+1

;
1 j hx a; x ai = R; xn+1 an+1 0
n-khæng gian nân ¡nh s¡ng vîi ¿nh a ÷ñc kþ hi»u v x¡c ành
LC+(a) =

x 2 Rn+1

:
1 j hx a; x ai = 0; xn+1 an+1 0
n-c¦u nân ¡nh s¡ng ìn và, kþ hi»u Sn+
; l
Sn+
=

x =

x1; : : : ; xn+1
2 Rn+1

:
1 j hx; xi = 0; xn+1 = 1
Vîi x = (x1; x2; : : : ; xn+1) l mët vectì kiºu ¡nh s¡ng, ta câ xn+16= 0; °t
ex
=

x1
xn+1 ; : : : ;

;
xn
xn+1 ; 1
khi âex
2 Sn+
:
ành ngh¾a 1.1.4. Cho W l mët khæng gian vectì con cõa Rn+1
1 ; khi â:
1. W ÷ñc gåi l kiºu khæng gian n¸u gjW x¡c ành d÷ìng, i·u n y câ ngh¾a W l
mët khæng gian vîi t½ch væ h÷îng c£m sinh l khæng gian Ì-cl½t.
2. W ÷ñc gåi l kiºu thíi gian n¸u gjW khæng suy bi¸n vîi ch¿ sè 1.

14
3. W ÷ñc gåi l kiºu ¡nh s¡ng n¸u gjW suy bi¸n.
T÷ìng tü nh÷ trong [20] v [22], kh¡i ni»m m°t kiºu khæng gian èi chi·u hai M ð
trong luªn ¡n n y ÷ñc hiºu l a t¤p (n 1)-chi·u ÷ñc nhóng ch½nh quy v o Rn+1
1
tho£ m¢n: t¤i méi iºm p 2 M khæng gian ti¸p xóc TpM l kiºu khæng gian. V· m°t àa
ph÷ìng M ÷ñc x¡c ành thæng qua ph²p nhóng X : U ! Rn+1
1 ; trong â U Rn1 l
mët tªp mð. Chóng ta luæn gi£ thi¸t m°t ¢ cho l li¶n thæng v çng nh§t M = X(U);
mët c¡ch àa ph÷ìng, vîi U thæng qua X: Vîi (u1; u2; : : : ; un1) 2 U ta kþ hi»u
X(u1; u2; : : : ; un1) =

X1(u1; u2; : : : ; un1); : : : ;Xn+1(u1; u2; : : : ; un1)

= p 2 M
v
Xui =
@X
@ui
:
Ho n to n t÷ìng tü, chóng ta công câ c¡c kh¡i ni»m m°t kiºu thíi gian èi chi·u hai,
m°t kiºu ¡nh s¡ng èi chi·u hai trong khæng gian Lorentz-Minkowski. V¼ nëi dung luªn
¡n ch¿ nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t h¼nh håc cõa c¡c m°t kiºu khæng gian n¶n tø ¥y v· sau
thuªt ngú m°t èi chi·u hai luæn ÷ñc hiºu l m°t kiºu khæng gian èi chi·u hai.
Cho x1; x2; : : : ; xn 2 Rn+1
1 , ta ành ngh¾a t½ch ngo i cõa n vectì n y nh÷ sau
x1 ^ x2 ^ ^ xn =

e1 : : : en en+1
x: : : xxn+1
1
n111
...
: : :
...
...
x1
n : : : xnn
xn+1
n

;
trong â xi = (x1i
; x2i
; : : : ; xn+1
i ); i = 1; : : : n:
Ch¯ng h¤n, vîi a; b 2 R31
, a = (a1; a2; a3); b = (b1; b2; b3), t½ch ngo i a ^ b ÷ñc x¡c
ành
a ^ b = (a2b3 a3b2; a3b1 a1b3; a2b1 a1b2):
Ta câ ha ^ b; xi = det(a; b; x); 8x 2 R31
.
Vîi x1; x2; : : : ; xn; x 2 Rn+1
1 th¼
hx1 ^ x2 ^ ^ xn; xi = det(x1; x2; : : : ; xn; x):
Vªy n¶n vîi måi i 2 1; : : : ; n; hxi; x1 ^ x2 ^ ^ xni = 0:
T½ch ngo i cõa n vectì trong Rn+1
1 câ c¡c t½nh ch§t t÷ìng tü t½ch ngo i cõa n vectì
trong Rn+1:

15
T½ch væ h÷îng g l mët d¤ng song tuy¸n t½nh èi xùng v khæng suy bi¸n, ma trªn
cõa g trong cì sì ch½nh tc ÷ñc x¡c ành
G =
2
1 0 : : : 0
0 1 : : : 0
6666664
...
...
. . .
...
3
7777775
0 0 : : : 1
:
Mët ¯ng c§u tuy¸n t½nh f : Rn+1
1 ! Rn+1
1 ÷ñc gåi l mët ph²p ¯ng cü (ph²p bi¸n
êi) Lorentz-Minkowski n¸u
hf(a); f(b)i = ha; bi; 8a; b 2 Rn+1
1 :
Gi£ sû A l ma trªn cõa ¯ng c§u tuy¸n t½nh f èi vîi cì sð ch½nh tc ; khi â f l
ph²p bi¸n êi Lorentz-Minkowski khi v ch¿ khi ATGA = G:
Tªp hñp t§t c£ c¡c ph²p bi¸n êi Lorentz-Minkowski cõa khæng gian Rn+1
1 lªp th nh
mët nhâm, kþ hi»u O(n + 1; 1), ÷ñc gåi l nhâm c¡c ph²p bi¸n êi ¯ng cü Lorentz-
Minkowski. Kþ hi»u SO(n + 1; 1) l tªp hñp t§t c£ c¡c ph²p bi¸n êi Lorentz-Minkowski
tho£ m¢n detA = 1. Ta câ SO(n + 1; 1) l nhâm con cõa nhâm O(n + 1; 1) v ÷ñc gåi
l nhâm c¡c ph²p bi¸n êi ¯ng cü Lorentz-Minkowski °c bi»t.
Vi»c nghi¶n cùu h¼nh håc trong khæng gian Rn+1
1 ch½nh l vi»c nghi¶n cùu c¡c b§t bi¸n
cõa nhâm O(n + 1; 1): C¡c kh¡i ni»m ë cong ÷ñc ÷a ra trong luªn ¡n n y l b§t bi¸n
d÷îi t¡c ëng cõa nhâm O(n + 1; 1):
Khi nghi¶n cùu mët sè lîp m°t °c bi»t trong R41
; chóng tæi quan t¥m ¸n m°t trán
xoay, nâ l quÿ ¤o cõa mët ÷íng cong (kiºu khæng gian ho°c kiºu thíi gian) d÷îi t¡c
ëng cõa c¡c nhâm con cõa O(4; 1) :
(AS)v =
2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 cosh v sinh v
0 0 sinh v cosh v
6666664
3
7777775
; v 2 R; (AT )v =
2
cos v sin v 0 0
sin v cos v 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
6666664
3
7777775
; v 2 R;
v
Av =
2
cos v sin v 0 0
sin v cos v 0 0
6666664
0 0 cosh

v
3
7777775
; v 2 R;
trong â ;

16
1.2 C¡c ë cong cõa m°t èi chi·u hai trong Rn+1
1
Trong möc n y, chóng tæi giîi thi»u mët sè kh¡i ni»m ë cong cõa m°t kiºu khæng
41
gian èi chi·u hai trong khæng gian Lorentz-Minkowski. Tr÷îc h¸t l c¡c kh¡i ni»m ë
cong li¶n k¸t vîi mët tr÷íng vectì ph¡p, c¡c kh¡i ni»m n y ÷ñc xem nh÷ l t÷ìng tü
c¡c kh¡i ni»m ë cong cõa si¶u m°t trong Rn: Ti¸p theo chóng tæi giîi thi»u kh¡i ni»m
elip ë cong cõa m°t hai chi·u trong khæng gian Lorentz-Minkowski R; ÷ñc x¥y düng
t÷ìng tü nh÷ kh¡i ni»m elip ë cong cõa m°t trong R4:
a) ë cong li¶n k¸t vîi mët tr÷íng vectì ph¡p
Trong möc n y, chóng ta giîi thi»u c¡ch x¥y düng ¡nh x¤ Weingarten v c¡c kh¡i
ni»m ë cong li¶n k¸t vîi mët tr÷íng vectì ph¡p ([5], [9], [18], [20],. . . ). Sau â, vîi tøng
tr÷íng hñp °c bi»t cõa c¡c ë cong, chóng ta ph¥n ra c¡c lîp m°t.
Vîi M l mët m°t kiºu khæng gian èi chi·u hai th¼ khæng gian ph¡p cõa m°t t¤i méi
iºm l mët 2-ph¯ng i qua iºm â. Mët tr÷íng vectì ph¡p kh£ vi tr¶n M cho ph²p
chóng ta x¡c ành mët ¡nh x¤ tø M l¶n Rn+1
1 ; nâ ÷ñc gåi l mët ¡nh x¤ -Gauss tr¶n
M: Trong luªn ¡n n y, chóng ta s³ nghi¶n cùu mët sè t½nh ch§t h¼nh håc cõa m°t thæng
qua c¡c t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ vi ph¥n cõa mët ¡nh x¤ -Gauss n o â. Vi ph¥n cõa t¤i
p 2 M ÷ñc x¡c ành
d(p) : TpM ! T(p)Rn+1
1 = TpM NpM;
vîi TpM v NpM t÷ìng ùng l khæng gian ti¸p xóc v khæng gian ph¡p cõa M t¤i p:
Ta câ ph¥n t½ch sau
d(p) = dT (p) + dN(p);
trong â dT v dN t÷ìng ùng l¦n l÷ñt l th nh ph¦n ti¸p xóc v th nh ph¦n ph¡p cõa
d:
Chó þ 1.2.1.
1. Vîi r v r? l¦n l÷ñt l li¶n thæng Levi-Civita tr¶n Rn+1
1 v li¶n thæng ph¡p tr¶n
M; X l tr÷íng vectì ti¸p xóc tr¶n M v l tr÷íng vectì ph¡p tr¶n M; ta câ
d(X) = rX = A(X) + r?
X; (1.1)
trong â X; l c¡c mð rëng àa ph÷ìng cõa X v l¶n Rn+1
1 :

17
2. A l to¡n tû d¤ng li¶n k¸t vîi tr÷íng vectì ph¡p n¶n t¤i méi p 2 M; A
p l to¡n
tû tuy¸n t½nh tü li¶n hñp tr¶n khæng gian ti¸p xóc.
3. Tr÷íng vectì ph¡p ÷ñc gåi l song song n¸u th nh ph¦n ph¡p, dN; çng nh§t
b¬ng khæng tr¶n m°t.
ành ngh¾a 1.2.2.
1. nh x¤ -Weingarten cõa M t¤i p ÷ñc kþ hi»u l A
p v x¡c ành nh÷ sau:
A
p := dT (p);
2. ë cong -Gauss-Kronecker cõa M t¤i p ÷ñc kþ hi»u l K(p) v x¡c ành nh÷
sau:
K(p) := K
p := det(A
p):
K cán ÷ñc gåi l ë cong Gauss li¶n k¸t vîi tr÷íng vectì ph¡p cõa M;
3. ë cong -trung b¼nh cõa M t¤i p ÷ñc kþ hi»u l H(p) v x¡c ành nh÷ sau:
H(p) := H
p :=
1
n 1
trace(A
p):
H cán ÷ñc gåi l ë cong trung b¼nh li¶n k¸t vîi tr÷íng vectì ph¡p cõa M;
4. ë cong -ch½nh cõa M t¤i p ÷ñc cho bði c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A
p v kþ hi»u
k
i (p); i = 1; : : : ; n 1:
Hiºn nhi¶n ta câ
p = n1
K
i=1 k
i (p);
v
H
p =
1
n 1
Xn1
i=1
k
i (p):
Chó þ 1.2.3. 1. Gåi (aij) l ma trªn cõa A
p èi vîi cì sð fXu1(p);Xu2(p); : : : ;Xun1(p)g
cõa TpM. Khi â
A
p(Xuj (p)) =
Xn1
i=1
aijXui(p); j = 1; 2; : : : ; n 1: (1.2)

18
Tø h» ph÷ìng tr¼nh (1.2) ta câ
hdjp(Xuj (p));Xum(p)i = hA
p(Xuj (p));Xum(p)i
=
Xn1
i=1
ajihXui(p);Xum(p)i
=
Xn1
i=1
ajigim(p); m = 1; n 1; j = 1; n 1:
L÷u þ
bj
m(p) = hXujum(p); (p)i = hdjp(Xuj (p));Xum(p)i
vîi m = 1; n 1; j = 1; n 1; l c¡c h» sè cõa d¤ng cì b£n thù hai li¶n k¸t vîi
tr÷íng vectì ph¡p cõa M t¤i p; v
gij(p) = hXui(p);Xuj (p)i; i; j = 1; n 1;
l c¡c h» sè cõa d¤ng cì b£n thù nh§t. Suy ra
(bj
m(p)) = (aji)(gim(p)) ) (aji) = (bj
m(p))(gim(p))1;
v¼ fXu1(p);Xu2(p); : : : ;Xun1(p)g ëc lªp tuy¸n t½nh v l c¡c vectì kiºu khæng gian
n¶n det(gim(p))6= 0 suy ra tçn t¤i (gim(p))1:
Khi â c¡c ë cong -ch½nh cõa M t¤i p l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (theo ©n k)
det[(aij) kI] = 0 , det[bj
m(p) k(gij(p))] = 0:
Vªy, c¡c ë cong -ch½nh cõa M t¤i p l c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa (aij) hay nghi»m cõa
ph÷ìng tr¼nh
det(b
ij(p) kgij(p)) = 0: (1.3)
2. K
ij(p)):det(gij(p))1:
p = det(b
ành ngh¾a 1.2.4. Cho M l mët m°t èi chi·u hai trong Rn+1
1 ; v l mët tr÷íng
vectì ph¡p tr¶n M; ta câ c¡c kh¡i ni»m sau:
1. iºm p 2 M ÷ñc gåi l iºm -rèn n¸u k
i (p) = k(p); 8i = 1; 2; : : : n 1: N¸u
k(p) = 0 th¼ ta nâi p l iºm -dµt.
2. M ÷ñc gåi l -rèn (-dµt) n¸u måi iºm tr¶n M l iºm -rèn (-dµt).

19
3. M ÷ñc gåi l m°t rèn (dµt) n¸u M l m°t -rèn (-dµt) vîi måi tr÷íng vectì ph¡p
.
4. M ÷ñc gåi l m°t -cüc ¤i n¸u ë cong -trung b¼nh H çng nh§t b¬ng khæng
tr¶n M:
5. (p) ÷ñc gåi l ph÷ìng tròng ph¡p cõa M t¤i p n¸u K
p = 0; khi â p ÷ñc gåi l
iºm -ph¯ng.
6. Vectì ti¸p xóc (p) 2 TpM ÷ñc gåi l mët ph÷ìng ti»m cªn cõa M t¤i p n¸u tçn
t¤i ph÷ìng tròng ph¡p (p) cõa M t¤i p sao cho (p) 2 kerA
p. Khi â (p) công
÷ñc gåi l ph÷ìng -ti»m cªn cõa M t¤i p:
7. Tr÷íng vectì ÷ñc gåi l tr÷íng tròng ph¡p tr¶n M n¸u nâ tròng ph¡p t¤i måi
iºm, i·u n y câ ngh¾a K
p = 0; 8p 2 M; khi â M ÷ñc gåi l m°t -ph¯ng.
8. M ÷ñc gåi l ho n to n ph¯ng n¸u måi tr÷íng vectì ph¡p tr¶n M l tr÷íng tròng
ph¡p.
9. Si¶u ph¯ng i qua p 2 M vîi vectì ph¡p (p) ÷ñc gåi l si¶u ph¯ng -ph¡p cõa M
t¤i p: Khi (p) l ph÷ìng tròng ph¡p ta câ si¶u ph¯ng -mªt ti¸p cõa M t¤i p:
Nhªn x²t 1.2.5. T÷ìng tü [32], kh¡i ni»m ph÷ìng tròng ph¡p v ph÷ìng ti»m cªn t¤i
méi iºm tr¶n m°t èi chi·u hai câ thº x¥y düng thæng qua ma trªn Hessian cõa h m ë
cao tr¶n m°t.
Cho l mët vectì trong Rn+1
1 , h m ë cao tr¶n M li¶n k¸t vîi ÷ñc x¡c ành
h : M ! R
p = X(u1; : : : ; un1)7! hp; i = hX(u1; : : : ; un1); i:
Ma trªn Hessian cõa h t¤i p 2 M ÷ñc cho bði
H(h(p)) =

hXuiuj (p); i

; i; j = 1; : : : ; n 1:
Gi£ sû 2 NpM v B l mët tr÷íng vectì ph¡p tr¶n M sao cho B(p) = : Khi â,
H(h(p)) =

bB

:
ij(p)
Vªy n¶n ta câ thº ành ngh¾a ph÷ìng tròng ph¡p v ph÷ìng ti»m cªn t¤i mët iºm
nh÷ sau.

20
1. Vectì 2 NpM; 6= 0; ÷ñc gåi l ph÷ìng tròng ph¡p cõa M t¤i p n¸u
detH(h(p)) = 0:
2. Ta gåi 2 TpM l mët ph÷ìng ti»m cªn cõa M t¤i p n¸u tçn t¤i mët ph÷ìng tròng
ph¡p cõa M t¤i p sao cho 2 kerH(h(p)).
Hiºn nhi¶n hai kh¡i ni»m n y tròng vîi hai kh¡i ni»m t÷ìng ùng trong ành ngh¾a
1.2.4.
b) Elip ë cong
Kh¡i ni»m elip ë cong ÷ñc Little x¥y düng trong [26] cho m°t hai chi·u trong R4;
sau â ÷ñc Izumiya v mët sè t¡c gi£ kh¡c, trong [18], ph¡t biºu l¤i cho m°t kiºu khæng
gian trong R41
, v mð rëng l¶n m°t kiºu khæng gian (2-chi·u) trong Rn1
[20]. Trong möc
n y, chóng tæi giîi thi»u mët sè cæng thùc t½nh to¡n tr¶n m°t trong R41
; tø â i ¸n kh¡i
ni»m elip ë cong cõa m°t trong R41
:
Cho M l mët m°t kiºu khæng gian trong R41
: Vîi méi p 2 M; gi£ sû
fe1(u; v); e2(u; v); p = (u; v)g
l möc ti¶u trüc chu©n cõa ph¥n thî ti¸p xóc v
fe3(u; v); e4(u; v); p = (u; v)g
l möc ti¶u trüc chu©n cõa ph¥n thî ph¡p. Trong â e3 l tr÷íng vectì kiºu khæng gian
v e4 l tr÷íng vectì kiºu thíi gian. Ta câ biºu di¹n
dX =
X4
i=1
!iei; dei =
X4
j=1
!ijej ; i = 1; 2; : : : ; 4;
trong â !i v !ij l c¡c 1-d¤ng ÷ñc x¡c ành bði
!i = (ei)hdX; eii; !ij = (ei)hd(ei); eji
v
(ei) = sign(ei) =
8
:
1; i = 1; 2; 3;
1; i = 4:

21
Khi â ta câ ph÷ìng tr¼nh (kiºu) Codazzi
8
:
d!i =
X4
i=1
(ei)(ej)!ij ^ !j ;
d!ij =
X4
k=1
!ik ^ !kj :
(1.4)
Sau mët sè b÷îc bi¸n êi v sû döng Bê · Cartan, c¡c t¡c gi£ trong [18] ¢ ch¿ ra
c¡c ¯ng thùc 8
:
!41 = a!2 + b!1; !42 = b!2 + c!1;
!32 = e!2 + f!1; !31 = f!2 + g!1:
(1.5)
M°t kh¡c, tø c¡c ¯ng thùc
hd2X; e4i = (a!2
2 + 2b!2!1 + c!2
1); hd2X; e3i = (e!2
2 + 2f!2!1 + g!2
1);
ta suy ra a; b; c v e; f; g l c¡c h» sè cõa d¤ng cì b£n thù hai l¦n l÷ñt li¶n k¸t vîi e4 v
e3:
Cho
: I ! R41
l mët ÷íng cong kiºu khæng gian ch½nh quy vîi tham sè ho¡ ë d i
cung, nhªn ÷ñc b¬ng c¡ch giao M vîi 3-ph¯ng kiºu thíi gian ÷ñc x¡c ành bði vectì
ìn và v 2 TpM v m°t ph¯ng ph¡p NpM: Ta câ, v =
0(s) v p 2
(I): ë cong ph¡p
cõa
n¬m trong NpM v ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc
(v) = h
d2

ds2 (p); e4ie4 h
d2

ds2 (p); e3ie3
= (a cos2 + 2b cos sin + c sin2 )e4+
+ (e cos2 + 2f cos sin + g sin2 )e3;
trong â v = sin e1 + cos e2 2 TpM: °t
Hp =
1
2
(e + g)e3
1
2
(a + c)e4;
ta câ biºu di¹n cõa (v)
( Hp) =
2
4
1
2 (a c) b
1
2 (e g) f
3
5
2
4cos 2
sin 2
3
5: (1.6)
Vªy n¶n, khi cho thay êi tø 0 ¸n 2; () x¡c ành mët elip tr¶n NpM; nâ ÷ñc gåi
l elip ë cong cõa M t¤i p:
Ho n to n t÷ìng tü m°t trong R41
; kh¡i ni»m elip ë cong cõa m°t kiºu khæng gian
2-chi·u trong Rn+1
1 ÷ñc Izumiya v c¡c t¡c gi£ kh¡c x¥y düng trong [20].
Vîi c¡c kþ hi»u tr¶n ta câ:

22
1. Hp ÷ñc gåi l vectì ë cong trung b¼nh cõa M t¤i p:
2. M ÷ñc gåi l m°t cüc ¤i n¸u vîi måi p 2 M; Hp = 0:
3. iºm p 2 M ÷ñc gåi l iºm nûa rèn n¸u t¤i p elip ë cong suy bi¸n th nh mët
o¤n th¯ng. Mët iºm nûa rèn l¦n l÷ñt ÷ñc gåi l kiºu khæng gian, kiºu thíi gian
ho°c kiºu ¡nh s¡ng n¸u t÷ìng ùng o¤n th¯ng m elip suy bi¸n th nh câ ph÷ìng l
kiºu khæng gian, kiºu thíi gian ho°c kiºu ¡nh s¡ng tr¶n NpM: N¸u t¤i p 2 M; elip
ë cong suy bi¸n th nh mët iºm th¼ p ÷ñc gåi l iºm rèn. M ÷ñc gåi l m°t
nûa rèn (rèn) n¸u måi iºm tr¶n M l iºm nûa rèn (rèn).
4. ë cong ph¡p cõa M t¤i p ÷ñc x¡c ành
Np = det
2
4
1
2 (a c) b
1
2 (e g) f
3
5 =
1
2
((a c)f (e g)b) :
Nhªn x²t 1.2.6.
1. N¸u biºu di¹n d÷îi d¤ng ë cong trung b¼nh li¶n k¸t vîi mët tr÷íng vectì ph¡p ta
câ
Hp = He3
p e3 He4
p e4:
2. T¤i iºm p; elip ë cong suy bi¸n th nh mët o¤n th¯ng khi v ch¿ khi Np = 0:
K¸ luªn ch÷ìng 1
Trong ch÷ìng n y, chóng tæi ¢ giîi thi»u sì l÷ñc v· khæng gian Lorentz-Minkowski,
41
tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m v t½nh ch§t cõa c¡c ë cong li¶n k¸t vîi mët tr÷íng vectì ph¡p
tr¶n mët m°t èi chi·u hai v kh¡i ni»m elip ë cong cõa m°t trong R: Ch÷ìng n y
nh¬m phöc vö cho vi»c tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ ch½nh cõa luªn ¡n trong c¡c ch÷ìng sau.

Ch÷ìng 2
X¥y düng ¡nh x¤ -Gauss nhªn gi¡
trà tr¶n HSr; tr¶n LSr v t½nh ch§t
h¼nh håc cõa m°t -rèn
Mët sè t½nh ch§t cõa m°t -rèn èi chi·u hai trong Rn+1
1 ¢ ÷ñc Izumiya, Pei,
Romero Fuster, Kasedou . . . giîi thi»u trong c¡c b i b¡o [19], [20], [21], [23], . . . . Tr÷îc
h¸t chóng ta iºm qua c¡c k¸t qu£ ¤t ÷ñc trong c¡c b i b¡o n y.
Trong [19], Izumiya v mët sè t¡c gi£ kh¡c kh£o s¡t kh¡i ni»m rèn cõa m°t èi chi·u
hai chùa trong mët n-khæng gian hypebolic. N¸u M l mët m°t chùa trong mët n-khæng
gian hypebolic th¼ tr÷íng vectì và tr½ X cõa M l mët tr÷íng vectì ph¡p ìn và kiºu
thíi gian tr¶n m°t. Sû döng t½ch ngo i cõa tr÷íng vectì và tr½ vîi (n2) tr÷íng vectì cì
sð cõa ph¥n thî ti¸p xóc, c¡c t¡c gi£ x¥y düng th¶m mët tr÷íng vectì ph¡p ìn và kiºu
khæng gian e tr¶n M: L§y têng v hi»u cõa X v e, c¡c t¡c gi£ nhªn ÷ñc hai tr÷íng vectì
ph¡p kiºu ¡nh s¡ng tr¶n m°t, L = X e. Chó þ r¬ng c¡c tr÷íng vectì ph¡p m c¡c
t¡c gi£ nhªn ÷ñc l c¡c tr÷íng vectì ph¡p song song. B¬ng c¡ch ph¥n chia c¡c kho£ng
gi¡ trà cõa ë cong e-ch½nh v ë cong L-ch½nh, M»nh · 2.1 trong [19] ¢ ÷a ¸n k¸t
qu£ ph¥n lo¤i c¡c lîp m°t rèn tr¶n n-khæng gian hypebolic. Vîi ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu
t÷ìng tü trong [19], Kasedou [23] ¢ ÷a ra c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu èi vîi m°t chùa
trong mët gi£ c¦u de Sitter.
Nh÷ chóng ta ¢ bi¸t, mët m°t li¶n thæng trong R3 l m°t rèn khi v ch¿ khi nâ chùa
trong mët m°t ph¯ng ho°c trong mët m°t c¦u n o â ([11, tr. 147]). K¸t qu£ n y ÷ñc
23

24
mð rëng cho si¶u m°t trong Rn+1
1 : mët si¶u m°t trong Rn+1
1 l m°t rèn khi v ch¿ khi nâ
chùa trong mët si¶u ph¯ng ho°c mët si¶u m°t bªc hai (gi£ c¦u hypebolic ho°c gi£ c¦u
de Sitter) n o â ([35, tr. 116]). Vîi m°t èi chi·u hai trong Rn+1
1 ; i·u ki»n º nâ l
m°t -rèn ho n to n phö thuëc v o tr÷íng vectì ph¡p . T÷ìng tü nh÷ m°t èi chi·u
mët, Izumiya v mët sè t¡c gi£ kh¡c ¢ ch¿ ra r¬ng n¸u mët m°t èi chi·u hai chùa trong
mët gi£ c¦u th¼ nâ l m°t -rèn, trong â l tr÷íng vectì và tr½ cõa m°t ([20, Bê ·
4.1]). Chi·u ng÷ñc l¤i cõa Bê · n y khæng óng, i·u n y ÷ñc ch¿ ra trong V½ dö 2.1.20.
N¸u M l mët m°t -rèn th¼ nâi chung h m ë cong -ch½nh khæng l h m h¬ng (V½ dö
2.1.19), trong Bê · 4.2 [20] c¡c t¡c gi£ ¢ ch¿ ra r¬ng gi£ thi¸t tr÷íng vectì ph¡p song
song l mët i·u ki»n õ º h m ë cong -ch½nh cõa m°t -rèn l mët h m h¬ng. Vîi
gi£ thi¸t l tr÷íng vectì ph¡p song song v thuëc t½nh cõa khæng êi, c¡c t¡c gi£
trong [20] ¢ ÷a ra c¡c i·u ki»n c¦n v õ º mët m°t èi chi·u hai l m°t -rèn ([20,
ành l½ 4.3]). º thuªn lñi cho vi»c tr¼nh b y, chóng tæi xin ÷ñc li»t k¶ c¡c k¸t qu£ n y
ð ¥y.
ành l½ 2.0.7 ([20]). Cho M l mët m°t èi chi·u hai trong Rn+1
1 ; n 3:
(a) Gi£ sû M l m°t -rèn, vîi l mët tr÷íng vectì ph¡p song song v kiºu thíi gian,
khi â n¸u k
i = 6= 0; i = 1; : : : ; n1 th¼ M chùa trong mët n-khæng gian hypebolic,
n¸u k
i = = 0; i = 1; : : : ; n 1 th¼ M chùa trong mët si¶u ph¯ng kiºu thíi gian.
(b) Gi£ sû M l m°t -rèn, vîi l mët tr÷íng vectì ph¡p song song v kiºu khæng
gian, khi â n¸u k
i = 6= 0; i = 1; : : : ; n 1 th¼ M chùa trong mët n-khæng gian
de Sitter, n¸u k
i = = 0; i = 1; : : : ; n 1 th¼ M chùa trong mët si¶u ph¯ng kiºu
khæng gian.
(a) Gi£ sû M l m°t -rèn, vîi l mët tr÷íng vectì ph¡p song song v kiºu ¡nh s¡ng,
khi â n¸u k
i = 6= 0; i = 1; : : : ; n 1 th¼ M chùa trong mët nân ¡nh s¡ng, n¸u
k
i = = 0; i = 1; : : : ; n 1 th¼ M chùa trong mët si¶u ph¯ng kiºu ¡nh s¡ng.
Công nghi¶n cùu m°t -rèn, nh÷ng nëi dung cõa luªn ¡n tªp trung v o c¡c tr÷íng
r
r
vectì ph¡p cö thº cõa m°t, câ thº x¡c ành t÷íng minh b¬ng mët h» ph÷ìng tr¼nh ¤i
sè. â ch½nh l c¡c tr÷íng vectì ph¡p nv l:
Mèi li¶n h» giúa m°t -rèn v m°t nûa rèn công ÷ñc Izumiya v c¡c t¡c gi£ kh¡c
nghi¶n cùu trong [20]. º thuªn lñi cho vi»c tr½ch d¨n chóng tæi xin nhc l¤i k¸t qu£ n y.

25
ành l½ 2.0.8 ([20]). Mët m°t M R41
l m°t nûa rèn khi v ch¿ khi nâ l m°t -rèn,
vîi l tr÷íng vectì ph¡p kh¡c khæng, x¡c ành àa ph÷ìng t¤i nhúng iºm khæng l iºm
rèn cõa m°t.
Chùng minh cõa ành l½ 2.0.8 ch¿ ra r¬ng n¸u M l m°t nûa rèn th¼ nâ -rèn vîi
l vectì trüc giao vîi vectì ch¿ ph÷ìng cõa o¤n th¯ng m elip ë cong suy bi¸n th nh.
Ng÷ñc l¤i n¸u nâ -rèn th¼ o¤n th¯ng m elip ë cong suy bi¸n th nh câ vectì ch¿ ph÷ìng
trüc giao vîi :
Công nghi¶n cùu m°t èi chi·u hai trong R41
câ t½nh ch§t -rèn, trong [21] Izumiya
eL
v c¡c t¡c gi£ tªp trung v o hai tr÷íng vectì ph¡p kiºu ¡nh s¡ng tr¶n m°t. Nhªn th§y
n¸u M l mët m°t kiºu khæng gian èi chi·u hai th¼ khæng gian ph¡p NpM cõa M t¤i
p l mët 2-ph¯ng kiºu thíi gian. Khi â tçn t¤i tr÷íng vectì ph¡p ìn và kiºu thíi gian
nT tr¶n M: Sû döng t½ch ngo i cõa nT vîi tr÷íng möc ti¶u cõa ph¥n thî ti¸p xóc, c¡c
t¡c gi£ ([21]) thu ÷ñc mët tr÷íng vectì ph¡p ìn và kiºu khæng gian nS tr¶n M: Khi
â nT nS l hai tr÷íng vectì ph¡p kiºu ¡nh s¡ng tr¶n M v ph÷ìng cõa c¡c vectì n y
khæng phö thuëc v o vi»c chån nT : Sû döng = n^T + nS thay cho trong [20]: °c bi»t
hìn, khi x¡c ành i·u ki»n c¦n v õ º M chùa trong mët si¶u ph¯ng kiºu ¡nh s¡ng th¼
khæng c¦n gi£ thi¸t eL
l tr÷íng vectì ph¡p song song. º thuªn lñi cho vi»c sû döng k¸t
qu£ n y trong c¡c chùng minh cõa luªn ¡n, chóng tæi xin tr¼nh b y l¤i k¸t qu£ n y.
M»nh · 2.0.9 ([21]). Cho M l mët m°t èi chi·u hai trong Rn+1
1 ; khi â c¡c ph¡t biºu
sau l t÷ìng ÷ìng.
(1) M l m°t dµt kiºu ¡nh s¡ng;
(2) nh x¤ Gauss nân ¡nh s¡ng l mët ¡nh x¤ h¬ng;
(3) Tçn t¤i mët vectì kiºu ¡nh s¡ng v v mët sè thüc c sao cho M HP(v; c):
Kh¡i ni»m dµt kiºu ¡nh s¡ng ð ¥y câ ngh¾a M l m°t e L-dµt.
2.1 nh x¤ Gauss nhªn gi¡ trà tr¶n HSr v m°t nr
-
rèn
Tr÷îc ¥y khi sû döng ¡nh x¤ -Gauss, º nghi¶n cùu t½nh ch§t h¼nh håc cõa m°t èi
chi·u hai, c¡c nh h¼nh håc luæn gi£ sû tçn t¤i mët tr÷íng vectì ph¡p kiºu khæng gian,

26
r
kiºu thíi gian ho°c kiºu ¡nh s¡ng tr¶n m°t. Trong möc n y, tr÷îc h¸t chóng tæi giîi thi»u
c¡ch x¡c ành c°p tr÷íng vectì ph¡p kiºu khæng gian kh£ vi, ÷ñc gåi l ¡nh x¤ n-Gauss,
cõa mët m°t èi chi·u hai trong Rn+1
1 : nh x¤ n y câ þ ngh¾a v· m°t thüc h nh nh÷ sau,
r
vîi mët m°t ÷ñc cho d÷îi d¤ng tham sè ho¡, b¬ng vi»c gi£i mët h» ph÷ìng tr¼nh ¤i
sè, chóng ta x¡c ành ÷ñc mët c°p tr÷íng vectì ph¡p kiºu khæng gian tr¶n m°t, t½nh
to¡n c¡c ë cong li¶n k¸t vîi c°p tr÷íng vectì ph¡p n y v ÷a ra mët sè t½nh ch§t h¼nh
håc cõa m°t. Nh÷ mët ùng döng v· c°p tr÷íng vectì ph¡p vøa ÷ñc x¥y düng, nëi dung
ti¸p theo trong möc n y l düa v o t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ n-Gauss º kh£o s¡t mët sè
t½nh ch§t h¼nh håc cõa m°t, °c bi»t l t½nh nr
-dµt v t½nh nr
-rèn. Hiºn nhi¶n chóng ta
r
r
thøa h÷ðng nhúng kh¡i ni»m, công nh÷ c¡c k¸t qu£ cõa ¡nh x¤ -Gauss èi vîi ¡nh x¤
n-Gauss, v¼ nch½nh l mët tr÷íng hñp cö thº cõa .
a) nh x¤ nr
-Gauss
V¼ M l m°t kiºu khæng gian èi chi·u hai n¶n vîi méi p 2 M; ta câ thº çng nh§t
n+
khæng gian ph¡p NpM cõa M t¤i p vîi 2-ph¯ng kiºu thíi gian i qua gèc tåa ë v song
song vîi nâ. B¬ng trüc gi¡c ta nhªn th§y r¬ng giao cõa NpM vîi n-khæng gian hypebolic
t¥m v = (0; 0; : : : ; 0;1) b¡n k½nh 1; H(v; 1); l mët hypebol. Vîi méi r 0 cè ành,
si¶u ph¯ng fxn+1 = rg giao vîi hypebol n y t¤i hai iºm, nâ ÷ñc kþ hi»u nr
(p): K¸t qu£
n y ÷ñc chùng minh trong Bê · sau.
Bê · 2.1.1 ([5],[9]). Cho l 2-ph¯ng kiºu thíi gian i qua gèc tåa ë. Khi â, vîi méi
r 0 cho tr÷îc, tªp hñp
fx = (x1; x2; : : : ; xn+1) 2 Hn+
(v; 1) j xn+1 = rg
chùa óng hai vectì.
Chùng minh. l 2-ph¯ng kiºu thíi gian n¶n nâ chùa c°p vectì ch¿ ph÷ìng ìn và fa; bg
sao cho a kiºu thíi gian, b kiºu khæng gian v ha; bi = 0. V¼ i qua gèc tåa ë n¶n
ph÷ìng tr¼nh tham sè cõa ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng
x = a + b:
Ta t¼m ; sao cho x 2 Hn+
(v; 1) v xn+1 = r 0. Khi â d¹ chùng minh h» ph÷ìng tr¼nh
8
:
hx v; x vi = 1;
xn+1 = r
,
8
:
2 + 2 2(an+1 + bn+1) = 0;
an+1 + bn+1 = r
(2.1)

27
câ hai nghi»m ph¥n bi»t. Tø â suy ra i·u ph£i chùng minh.
Tø Bê º 2.1.1 ta câ kh¡i ni»m ¡nh x¤ nr
-Gauss.
ành ngh¾a 2.1.2 ([5],[9]). Cho M l mët m°t èi chi·u hai trong Rn+1
1 ; ¡nh x¤
n
r : M ! HSr := Hn+
(v; 1) fxn+1 = rg
p7! n
r (p)
÷ñc gåi l ¡nh x¤ nr
-Gauss cõa M:
º sû döng nr
thay th¸ cho ; trong tr÷íng hñp tr÷íng vectì ph¡p têng qu¡t, ta c¦n
chùng minh nr
l c¡c tr÷íng vectì ph¡p kh£ vi.
ành l½ 2.1.3 ([5],[9]). nh x¤ nr
-Gauss l c¡c ¡nh x¤ kh£ vi.
Chùng minh. D¹ d ng nhªn th§y nr
(p) l nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh sau
8
:
hXui ; ai = 0; i = 1; 2; : : : ; n 1;
ha v; a vi = 1;
trong â a = (a1; a2; : : : ; an; r):
Tø gi£ thi¸t rank(Xu1 ;Xu2 ; : : : ;Xun1) = n 1; ta câ a1; a2; : : : ; an1 ÷ñc biºu thà
tuy¸n t½nh theo an; v do â ph÷ìng tr¼nh cuèi còng l mët ph÷ìng tr¼nh bªc hai theo
an: Ph÷ìng tr¼nh n y câ óng hai nghi»m ph¥n bi»t v hiºn nhi¶n chóng l c¡c h m kh£
vi.
Vîi c¡ch x¡c ành nh÷ tr¶n ta câ
hn+r
v; n+r
vi = 1 , hn+r
; n+r
i + 2hn+r
; vi + hv; vi = 1:
V¼ v = (0; : : : ; 0;1) v (n+r
)n+1 = r n¶n hn+r
; n+r
i = 2r: Ho n to n t÷ìng tü ta câ
hnr
; nr
i = 2r: Vªy n¶n nr
l c°p tr÷íng vectì ph¡p kiºu khæng gian tr¶n M:
Tø ¥y v· sau, kþ hi»u s³ thay th¸ cho d§u + ho°c d§u - trong nr
:
b) M°t nr
- dµt èi chi·u hai
Düa v o th nh ph¦n ph¡p cõa c¡c ¤o h m ri¶ng, bê · sau cho chóng ta mët i·u
ki»n õ º nr
trð th nh tr÷íng vectì h¬ng.

28
Bê · 2.1.4 ([9]). N¸u @
@ui
nr
2 NpM; vîi i 2 f1; 2; : : : ; n 1g; th¼
@
@ui
n
r = 0:
Chùng minh. V¼ tåa ë cuèi còng (nr
)n+1 = r l mët h¬ng sè n¶n tåa ë cuèi còng cõa
@
@ui
nr
b¬ng khæng. H» fn+r
; nr
g ëc lªp tuy¸n t½nh v nâ l mët cì sð cõa m°t ph¯ng
ph¡p NpM: Vªy n¶n,
@
@ui
n
r = (n+r
n
r ): (2.2)
Ta s³ ch¿ ra = 0: V¼ hnr
; nr
i = 2r n¶n
h
@
@ui
n
r; n
ri = hn+r
n
r ; n
ri = 0:
N¸u 6= 0; th¼
hn+r
; n+r
i = hn
r ; n
r i = hn+r
; n
r i = 2r:
Suy ra
hn+r
n
r ; n+r
n
r i = 0:
i·u n y l væ lþ v¼ n+r
6= nr
v tåa ë cuèi còng cõa n+r
nrçng nh§t b¬ng khæng,
nâi c¡ch kh¡c n+r
nr
l mët vectì kiºu khæng gian kh¡c khæng. M¥u thu¨n suy ra = 0:
Bê · ÷ñc chùng minh.
Trong [20], vîi gi£ thi¸t l tr÷íng vectì ph¡p song song, Izumiya v c¡c t¡c gi£ ¢
nhªn ÷ñc k¸t qu£: N¸u M l m°t -dµt th¼ h m ë cong -ch½nh çng nh§t b¬ng khæng
v suy ra l mët tr÷íng vectì h¬ng. V½ dö 2.1.22 ch¿ ra sü tçn t¤i nhúng m°t -dµt
nh÷ng khæng l tr÷íng vectì ph¡p h¬ng. Bä qua gi£ thi¸t song song cõa ; vîi tr÷íng
vectì ph¡p nr
; ành l½ sau ch¿ ra r¬ng m°t nr
-dµt l m°t chùa trong si¶u ph¯ng kiºu thíi
gian v nr
l tr÷íng vectì h¬ng. Hìn th¸, ành l½ n y cán cho chóng ta mët thuªt to¡n º
kiºm tra mët m°t câ chùa trong mët si¶u ph¯ng kiºu thíi gian khæng chùa tröc fxn+1g
hay khæng.

29
ành l½ 2.1.5 ([9]). C¡c ph¡t biºu sau l t÷ìng ÷ìng.
1. Tçn t¤i sè thüc r 0; sao cho M l m°t nr
-dµt;
2. Tçn t¤i mët sè thüc r 0; sao cho nr
l mët tr÷íng vectì h¬ng;
3. Tçn t¤i mët vectì kiºu khæng gian a = (a1; a2; : : : ; an; an+1); an+16= 0 v mët sè
thüc c sao cho M HPa(c):
Chùng minh.
(1: ) 2:) Tø gi£ thi¸t M l m°t nr
-dµt, câ ngh¾a Anr
p = 0; ta câ
hXuiuj ; n
ri = hXuj ;
@
@ui
n
ri = 0; i; j = 1; 2; : : : ; n 1: (2.3)
Nh÷ng (2.3) câ ngh¾a @
@ui
nr
2 NpM: Sû döng Bê · 2.1.4 ta suy ra
@
@ui
n
r = 0; i = 1; 2; : : : ; n 1:
(2: ) 1:) Hiºn nhi¶n.
(2: ) 3:) N¸u nr
l mët tr÷íng vectì h¬ng th¼
@
@ui
hX; n
ri = hXui ; n
ri hX;
@
@ui
n
ri = 0:
i·u n y câ ngh¾a X HPnr
(c); vîi c l h¬ng sè.
(3: ) 2:) N¸u M chùa trong mët si¶u ph¯ng kiºu thíi gian th¼ vîi vectì ph¡p, ìn và,
kiºu khæng gian a = (a1; a2; : : : ; an; an+1); an+16= 0, khi â d¹ d ng ch¿ ra nr
:= 2an+1a 2
Hn+
(v; 1) vîi r = 2(an+1)2 v hiºn nhi¶n nâ l mët tr÷íng vectì h¬ng.
Chó þ 2.1.6.
1. ành l½ 2.1.5 l mët i·u ki»n c¦n v õ º mët m°t èi chi·u hai chùa trong mët
si¶u ph¯ng kiºu thíi gian khæng i qua tröc xn+1.
2. Tr÷íng hñp m°t èi chi·u hai chùa trong mët si¶u ph¯ng kiºu thíi gian chùa tröc
xn+1, ta câ V½ dö 2.1.19.
3. M°c dò ành l½ 2.1.5 ÷ñc ph¡t biºu v chùng minh cho tr÷íng hñp m°t ÷ñc cho
bði tham sè ho¡ àa ph÷ìng nh÷ng vîi t½nh ch§t li¶n thæng cõa m°t th¼ ành l½ n y
công óng cho m°t nhóng ch½nh quy.

30
Tø ành l½ 2.1.5 ta câ mët sè h» qu£ thº hi»n t½nh húu döng cõa nr
trong vi»c nghi¶n
cùu m°t -dµt.
H» qu£ 2.1.7. N¸u M l m°t èi chi·u hai çng thíi nr
1-dµt v nr
2-dµt, trong â nr
1
6=
nr
2 ; th¼ M l mët ph¦n cõa mët (n 1)-ph¯ng kiºu khæng gian. Khi â, nr
l tr÷íng
vectì h¬ng vîi måi r 0.
r
H» qu£ 2.1.8. N¸u M l mët m°t chùa trong mët si¶u ph¯ng kiºu thíi gian khæng chùa
tröc xn+1 th¼ tçn t¤i duy nh§t mët sè thüc d÷ìng r sao cho M l m°t n-dµt ngo¤i trø M
l (ho°c mët ph¦n) cõa mët (n 1)-ph¯ng.
c) M°t nr
-rèn èi chi·u hai
Bê · sau kh¯ng ành r¬ng, º kiºm tra mët m°t rèn (-rèn vîi måi tr÷íng vectì
ph¡p ) chóng ta ch¿ c¦n kiºm tra nâ 1-rèn v 2-rèn, vîi f1(p); 2(p)g l mët cì sð cõa
NpM; 8p 2 M:
Bê · 2.1.9 ([9]). Gi£ sû 1 v 2 l hai tr÷íng vectì ph¡p trìn tr¶n M v vîi måi
p 2 M; h» f1(p); 2(p)g ëc lªp tuy¸n t½nh. N¸u M l m°t çng thíi 1-rèn v 2-rèn th¼
M l m°t rèn.
Chùng minh. Tø gi£ thi¸t, vîi måi tr÷íng vectì ph¡p kh£ vi ta câ biºu di¹n
= 11 + 22;
trong â i; i = 1; 2 l c¡c h m trìn tr¶n M:
V¼ d(ii)T = id(i)T ; i = 1; 2; ta câ
A = 1A1 + 2A2 :
M°t kh¡c Ai = kiid; i = 1; 2 n¶n
A = (1k1 + 2k2)id:
D¹ d ng chùng minh fn+r
; nr
g ëc lªp tuy¸n t½nh v n¸u r16= r2 th¼ fnr
1 ; nr
2
g công
ëc lªp tuy¸n t½nh. Tø â ta câ h» qu£ sau.

31
H» qu£ 2.1.10. N¸u M l m°t nr
1-rèn v nr
2-rèn, trong â nr
1
6= nr
2 ; th¼ M l m°t
rèn.
H» qu£ n y kh¯ng ành þ ngh¾a v· m°t thüc h nh khi sû döng ¡nh x¤ nr
-Gauss º
nghi¶n cùu m°t rèn èi chi·u hai. Khi cho mët m°t vîi tham sè ho¡ cö thº, b¬ng vi»c
gi£i mët ph÷ìng tr¼nh ¤i sè, t½nh c¡c ë cong ch½nh li¶n k¸t vîi c°p tr÷íng vectì ph¡p
vøa nhªn ÷ñc, chóng ta kiºm tra ÷ñc nâ câ ph£i l m°t rèn hay khæng.
Ta câ h» qu£ cho mët i·u ki»n õ º mët m°t chùa trong gi£ c¦u l m°t rèn.
H» qu£ 2.1.11. N¸u M chùa trong giao cõa mët gi£ c¦u vîi mët si¶u ph¯ng th¼ M l
m°t rèn.
Ti¸p theo chóng ta nghi¶n cùu mët sè t½nh ch§t cõa m°t chùa trong mët gi£ c¦u
r
hypebolic. C¡c t½nh ch§t n y thº hi»n þ ngh¾a v· m°t thüc h nh trong t½nh to¡n cõa
¡nh x¤ n-Gauss. º ìn gi£n trong t½nh to¡n, c¡c k¸t qu£ ÷ñc ph¡t biºu cho Hn(0;R)
nh÷ng nâ v¨n óng cho c¡c gi£ c¦u hypebolic câ t¥m b§t ký.
ành l½ 2.1.12 ([9]). Cho M l mët m°t èi chi·u hai trong Hn+
(0;R): C¡c ph¡t biºu sau
l t÷ìng ÷ìng.
1. Tçn t¤i r 0; sao cho M l m°t nr
-rèn;
2. M l m°t rèn;
3. M chùa trong mët si¶u ph¯ng.
Chùng minh. (1: ) 2:) V¼ M chùa trong Hn+
(0;R); n¶n M l m°t X-rèn vîi tr÷íng vectì
và tr½ X: Ngo i ra v¼ X l vectì kiºu thíi gian trong khi nr
l vectì kiºu khæng gian n¶n,
theo Bê · 2.1.9, M l m°t rèn.
(2: ) 3:) °t
=
X ^ Xu1 ^ Xu2 ^ ^ Xun1

:
V¼
h;Xi = 0; h; i = 1; h;Xuii = 0; i = 1; 2; :::; n 1; (2.4)
n¶n ta câ
hd;Xi = h; dXi = 0; h; di = 0:

32
M°t kh¡c f;Xg l mët cì sð cõa NpM n¶n d 2 TpM; i·u n y câ ngh¾a l tr÷íng
vectì ph¡p song song.
Sû döng Bê · 4.2 trong [20] ta câ d = dX; vîi l mët h¬ng sè v hiºn nhi¶n
= X + a; vîi a l mët vectì h¬ng. Ta câ
h;Xi = 0; hX; ai = hX; Xi = R = c:
Vªy n¶n M HPa(c).
(3: ) 1:) i·u n y ÷ñc suy ra tø H» qu£ 2.1.11.
Khi nghi¶n cùu mèi li¶n h» v· t½nh ch§t song song cõa c¡c tr÷íng vectì ph¡p tr¶n m°t
ta câ k¸t qu£ sau.
Bê · 2.1.13 ([9]). Cho 1; 2 l hai tr÷íng vectì ph¡p song song tr¶n M v =
1 +

2: Gi£ sû vîi måi p 2 M; 1(p); 2(p) l hai vectì ëc lªp tuy¸n t½nh. Khi â,
l tr÷íng vectì ph¡p song song n¸u v ch¿ n¸u v

l c¡c h¬ng sè.
Chùng minh. Tø gi£ thi¸t ; 1; 2 l c¡c tr÷íng vectì ph¡p song song ta câ
d1 + d

2 = 0:
Nh÷ng 1; 2 ëc lªp tuy¸n t½nh n¶n d = d

l c¡c h¬ng sè th¼ hiºn nhi¶n l tr÷íng vetì ph¡p song
song.
Vîi c¡c si¶u c¦u HPn(c) Hn+
(0;R) (n khæng l tr÷íng vectì kiºu thíi gian) trong
khæng gian hypebolic Hn+
(0;R); si¶u c¦u fxn+1 = cg Hn+
(0;R) l mët tr÷íng hñp °c
bi»t. ành l½ sau cho c¡c i·u ki»n c¦n v õ º mët m°t èi chi·u hai chùa trong mët
n-khæng gian hypebolic n¬m trong mët si¶u ph¯ng fxn+1 = cg :
ành l½ 2.1.14 ([9]). Cho M l mët m°t èi chi·u hai chùa trong Hn+
(0;R): C¡c m»nh
· sau l t÷ìng ÷ìng.
1. M chùa trong mët si¶u ph¯ng fxn+1 = cg;
2. nrl tr÷íng vectì ph¡p song song, vîi måi r 0;
3. Tçn t¤i hai tr÷íng vectì ph¡p song song nr
1 ; nr
2 , (câ ngh¾a r16= r2 ho°c nr
1 =
n+r
; nr
2 = nr
vîi mët sè cè ành r 0);

33
4. Tçn t¤i r 0; sao cho Anr
p = idjTpM; vîi l mët h¬ng sè v måi p 2 M:
Chùng minh.
(1: ) 2:) V¼ M fxn+1 = cg Hn+
(0;R); n¶n vîi måi r 0 ta câ
n
r = X +

l c¡c h¬ng sè v v = (0; 0; : : : ; 0;1). Tø gi£ thi¸t X l tr÷íng vectì song
song v v = (0; 0; : : : ; 0;1) l vectì h¬ng, suy ra nl tr÷íng vectì ph¡p song song.
(2: ) 3:) Chùng minh l hiºn nhi¶n.
(3: ) 1:) V¼ X l tr÷íng vectì ph¡p song song v fnr
1 ; nr
2
g l cì sð cõa NpM; ta câ biºu
thà tuy¸n t½nh
X = n+r
+

l c¡c h m h¬ng, theo Bê · 2.1.13. tåa ë cuèi còng cõa nr
1 v nr2 l c¡c
h¬ng sè, n¶n tåa ë cuèi còng cõa X l h¬ng sè.
(1: ) 4:) Ph÷ìng tr¼nh (2.5) suy ra
Anr
= id:
(4: ) 1:) Tø gi£ thi¸t ta câ M l m°t nr
-rèn. ành l½ 2.1.12 suy ra M HPa(c). Lo¤i
trø nhi·u nh§t mët iºm, khi X song song vîi a; ta câ biºu thà tuy¸n t½nh
n
r = X +

l mët h m kh£ vi tr¶n M.
M°t kh¡c hnr
; nr
i = 2r; hX;Xi = R2; hX; ai = c n¶n ta nhªn ÷ñc ph÷ìng tr¼nh
2r = R2 + 2c

l mët h m h¬ng. Tø â suy ra tåa ë cuèi còng cõa X l mët h¬ng sè.
ành l½ sau cho mët i·u ki»n c¦n v õ kh¡c º mët m°t èi chi·u hai chùa trong
gian cõa si¶u ph¯ng fxn+1 = cg vîi mët gi£ c¦u hypebolic m khæng c¦n gi£ thi¸t m°t
n y chùa trong mët gi£ c¦u hypebolic.
ành l½ 2.1.15 ([9]). C¡c m»nh · sau t÷ìng ÷ìng.
1. Tçn t¤i r 0 sao cho nr
l mët tr÷íng vectì ph¡p song song kh¡c h¬ng v M l
m°t nr
-rèn.

34
2. M chùa trong giao cõa mët gi£ c¦u hypebolic vîi mët si¶u ph¯ng fxn+1 = cg :
Chùng minh.
(1: ) 2:) V¼ M l m°t nr
-rèn, nr
l tr÷íng vectì ph¡p song song v hnr
; nr
i = 2r n¶n sû
döng Bê · 4.2 trong [20] ta câ dnr
= dX; trong â 6= 0 l mët h¬ng sè. Do â ta câ
biºu di¹n
n
r = X + a; (2.7)
trong â a l mët vectì h¬ng. °t v = (0; : : : ; 0;1) : Tø (2.7) ta câ
X
1

(v a) =
1

(n
r v) :
Suy ra
hX
1

(v a) ;X
1

(v a)i =
1
2 ;
i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi M chùa trong gi£ c¦u hypebolic t¥m 1
(v a) vîi b¡n k½nh
R = 1
: ành l½ 2.1.14 suy ra M chùa trong mët si¶u ph¯ng fxn+1 = cg.
(2: ) 1:) ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø ành l½ 2.1.14.
Trong [20], Izumiya v c¡c t¡c gi£ ch¿ ra r¬ng m°t -rèn v l tr÷íng ph¡p song
song th¼ h m ë cong -ch½nh l h m h¬ng. ành l½ sau cho mët i·u ki»n kh¡c º m°t
-rèn câ ë cong -ch½nh l h m h¬ng.
ành l½ 2.1.16 ([9]). Cho M l mët m°t èi chi·u hai trong Rn+1
1 : N¸u tçn t¤i r 0 sao
cho M l m°t nr
-rèn v vîi måi i; j 2 f1; 2; : : : ; n 1g
@
@uj

@
@ui
n
r
T
#
=
@
@ui

@
@uj
n
r
T
#
(2.8)
th¼ Anr
p = idjTpM; trong â l mët h¬ng sè.
Chùng minh. Tø gi£ thi¸t ta câ

@
@ui
n
r
T
= Xui ; i = 1; 2; : : : ; n 1:
Do â, vîi måi i; j 2 f1; 2; : : : ; n 1g ta câ
@
@uj

@
@ui
n
r
T
#
= ujXui + Xuiuj

35
v
@
@ui

@
@uj
n
r
T
#
= uiXuj + Xujui :
Theo gi£ thi¸t
@
@uj

@
@ui
n
r
T
#
=
@
@ui

@
@uj
n
r
T
#
v Xuiuj = Xujui ta nhªn ÷ñc
uiXui ujXuj = 0:
V¼ Xui ;Xuj ëc lªp tuy¸n t½nh n¶n ui = uj = 0; k¸t hñp vîi gi£ thi¸t M li¶n thæng ta
suy ra l mët h¬ng sè.
Chó þ 2.1.17. N¸u l tr÷íng vectì ph¡p song song th¼ nâ tho£ m¢n i·u ki»n (2.8).
d) Mët sè v½ dö m°t -rèn trong R41
Trong möc n y, chóng tæi giîi thi»u mët sè v½ dö m°t -rèn trong R41
nh¬m l m
s¡ng tä c¡c k¸t qu£ v· m°t nr
-rèn v kh¯ng ành þ ngh¾a v· m°t thüc h nh cõa ¡nh x¤
nr
-Gauss.
V½ dö 2.1.18 (Sü tçn t¤i nhúng m°t nr
-rèn nh÷ng khæng l m°t rèn). Cho M l mët
m°t trong R41
, ÷ñc x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh tham sè
X(u; v) =

1
2
u2; au
1
2

; v 0; u 1; a =
u2; u2 + v2; u
p
3 1:
Vîi t½nh to¡n trüc ti¸p ta suy raM l mët m°t kiºu khæng gian v c°p ¡nh x¤ na
-Gauss
÷ñc x¡c ành
n
a = (1; 1; 0; a) ;
n+a
=

a2 + 4ua 2u2
a2 2ua + 2u2 ;
a2 2u2

:
a2 2ua + 2u2 ; 0; a
V¼ na
l tr÷íng vectì h¬ng n¶n M l m°t na
-dµt. Khi â X HPna
:
Ma trªn c¡c h» sè cõa d¤ng cì b£n thù nh§t v d¤ng cì b£n n+a
-thù hai cõa M l¦n
l÷ñt ÷ñc x¡c ành
(gij) =
2
46u2 2au + a2 1 4uv
4uv 4v2
3
5;

36
v
(bn+a
ij ) =
2
4
2a2+4au
a22au+2u2 0
0 0
3
5:
Ta câ ph÷ìng tr¼nh x¡c ành c¡c ë cong n+a
-ch½nh kna
1 v kna
2
4v2
2u2 2au + a2 1

k2 4v2

2a2 + 4au
a2 2au + 2u2

k = 0: (2.9)
D¹ d ng ch¿ ra kn+a
1 = 0 v kn+a
26= 0: Vªy n¶n, M khæng l m°t n+r
-rèn.
V½ dö 2.1.19 (Sü tçn t¤i nhúng m°t rèn nh÷ng h m ë cong ch½nh khæng l h m h¬ng).
X²t mët si¶u m°t trong H3 ÷ñc cho bði
M = H3+
fx1 = 0g = X(R2)
vîi
X(u; v) = (0; u; v;
p
u2 + v2 + 1); (u; v) 2 R2:
Ta câ
Xu =

0; 1; 0;
u
p
u2 + v2 + 1

; Xv =

0; 0; 1;
v
p
u2 + v2 + 1

;
g11 =
v2 + 1
u2 + v2 + 1
; g12 = g21 =
uv
u2 + v2 + 1
; g22 =
u2 + 1
u2 + v2 + 1
;
n
r =

r
r2
u2 + v2 + 1
+ 2r;
ru
p
u2 + v2 + 1
;
rv
p
u2 + v2 + 1
; r
!
;
Xuu =

0; 0; 0;
v2 + 1
(u2 + v2 + 1)3=2

;Xvv =

0; 0; 0;
u2 + 1
(u2 + v2 + 1)3=2

;
Xuv =

0; 0; 0;
uv
(u2 + v2 + 1)3=2

;
g(ij) =
1
u2 + v2 + 1
2
4v2 + 1 uv
uv u2 + 1
3
5; g(ij)1 =
2
4u2 + 1 uv
uv v2 + 1
3
5;
(bnr
ij ) =
r
(u2 + v2 + 1)3=2
2
4v2 + 1 uv
uv u2 + 1
3
5;
(anr
ij ) = (bnr
ij )(gij)1 =
r
p
u2 + v2 + 1
2
41 0
0 1
3
5;

37
@
@v

@
@u
n
r
T
#
=

0;
rv p
(u2 + v2 + 1)3
; 0;
2ruv
(u2 + v2 + 1)2
!
;
@
@u

@
@v
n
r
T
#
=

0; 0;
ru p
(u2 + v2 + 1)3
;
2ruv
(u2 + v2 + 1)2
!
:
D¹ d ng nhªn th§y M l m°t rèn. Ngo i ra,
knr
p =
r
p
u2 + v2 + 1
khæng l mët h m h¬ng v
@
@v

@
@u
n
r
T
#
6=
@
@u

@
@v
n
r
T
#
(xem ành l½ 2.1.16).
r
+rV½ dö 2.1.20 (Sü tçn t¤i nhúng m°t -rèn nh÷ng vîi måi r 0 m°t khæng l n-rèn v
công khæng l n-rèn). Cho M vîi ph÷ìng tr¼nh tham sè
X : (0;

2
) (

2
; 0) ! R41
; (u; v)7! (u; sin v; v; cos u):
T½nh to¡n trüc ti¸p ta nhªn ÷ñc
Xu = (1; 0; 0;sin u); Xv = (0; cos v; 1; 0);
Xuu = (0; 0; 0;cos u); Xuv = Xvu = (0; 0; 0; 0); Xvv = (0;sin v; 0; 0);
g11 = hXu;Xui = cos2 u 0; g12 = hXu;Xvi = 0;
g22 = hXv;Xvi = 1 + cos2 v 0;
n+r
=

r sin u;
r
r2 cos2 u + 2r
1 + cos2 v
; cos v
r
r2 cos2 u + 2r
1 + cos2 v
; r
!
;
n
r =

r sin u;
r
r2 cos2 u + 2r
1 + cos2 v
;cos v
r
r2 cos2 u + 2r
1 + cos2 v
; r
!
;
(bij(n
r )) =
0
@r cos u 0
0 sin v
q
r2 cos2 u+2r
1+cos2 v
1
A;
(gij) =
0
@cos2 u 0
0 1 + cos2 v
1
A;

38
(anr
ij ) = (bnr
ij ):(gij)1 =
0
@
r
cos u q
0
0 sin v
r2 cos2 u+2r
(1+cos2 v)3
1
A; (2.10)
knr
1 (p) =
r
cos u
; knr
2 (p) = sin v
s
r2 cos2 u + 2r
(1 + cos2 v)3 : (2.11)
T¤i méi p = X(u; v) 2 M; °t
(p) =

rp sin u;
r
r2 cos2 u + 2r
1 + cos2 v
;cos v
r
r2 cos2 u + 2r
1 + cos2 v
; rp
!
vîi
rp =
2 sin2 v cos2 u
(1 + cos2 v)3 cos4 u sin2 v
:
Kiºm tra trüc ti¸p ta nhªn ÷ñc l mët tr÷íng vectì ph¡p trìn tr¶n M v M l
m°t -rèn nh÷ng M khæng l m°t n+r
-rèn v công khæng l m°t nr
-rèn vîi måi r 2 R+:
41
V½ dö 2.1.21 (Tçn t¤i nhúng m°t chùa trong mët gi£ c¦u hypebolic, hiºn nhi¶n nâ l
m°t X-rèn vîi X l tr÷íng vectì và tr½, nh÷ng vîi måi tr÷íng vectì ph¡p 6= X nâ khæng
l m°t -rèn). Cho M l m°t trong R÷ñc x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh tham sè
X(u; v) =

u; sin v; cos v;
p
2 + u2

; u 2 R; v 2 (=2; =2):
V¼ hX;Xi = 1; n¶n M H+(1): B¬ng t½nh to¡n trüc ti¸p, ta nhªn ÷ñc
Xu =

1; 0; 0;
u
p
u2 + 2

; Xv = (0; cos v;sin v; 0) ;
g11 =
2
2 + u2 ; g12 = g21 = 0; g22 = 1;
n
r =

(n
r )1; (n
r )2; (n
r )3; r

;
vîi
(n
r )1 =
ru
p
u2 + 2
; (n
r )2 = sin v
r

u2r2
u2 + 2
+ r2 + 2r;
(n
r )3 = cos v
r

u2r2
u2 + 2
+ r2 + 2r;
Xuu =

0; 0; 0;
2
(u2 + 2)3=2

; Xuv = Xvu = (0; 0; 0; 0) ;
Xvv = (0;sin v;cos v; 0) ;
bnr
11 =
2r
(u2 + 2)3=2 ; bnr
12 = 0; bnr
22 =
r
2r(u2 + r + 2)
u2 + 2
;

39
knr
1 =
r
p
u2 + 2
; knr
r
2 =
2r(u2 + r + 2)
u2 + 2
:
D¹ d ng th§y r¬ng k1(n+r
) k2(n+r
) trong khi k1(nr
) k2(nr
) vîi måi r 0: Vªy
n¶n, M khæng l m°t -rèn, vîi måi tr÷íng vectì ph¡p 6= X:
V½ dö 2.1.22 (Tçn t¤i nhúng m°t -dµt nh÷ng nâ khæng chùa trong b§t ký si¶u ph¯ng
n o). Cho M l m°t ÷ñc x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh tham sè
X(u; v) = (u cos 3v; u sin 3v; 2u cosh v; 2u sinh v) ; u 2 (0; 1); v 2 R:
C¡c h» sè cõa d¤ng cì b£n thù nh§t cõa M ÷ñc x¡c ành
g11 = 5; g12 = 0; g22 = 5u2 0:
Suy ra M l mët m°t kiºu khæng gian, trán xoay vîi kinh tuy¸n ph¯ng. X²t
n1 =
1
p
5
(2 cos 3v; 2 sin 3v;cosh v;sinh v) ;
n2 =
1
p
5
(2 sin 3v; 2 cos 3v; 3 sinh v; 3 cosh v) :
Khi â fn1; n2g l mët tr÷íng möc ti¶u trüc chu©n tr¶n ph¥n thî ph¡p cõa M: C¡c h»
sè cõa d¤ng cì b£n thù hai l¦n l÷ñt li¶n k¸t vîi n1 v n2 ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:
bn1
11 = 0; bn1
12 = 0; bn1
22 = 4u;
bn2
11 = 0; bn2
12 = 0; bn2
22 = 0:
Suy ra M l m°t n2-dµt v n2 khæng l tr÷íng vectì h¬ng. Ta s³ ch¿ ra M khæng chùa
trong b§t ký si¶u ph¯ng n o. Gi£ sû M chùa trong mët si¶u ph¯ng vîi vectì ph¡p a: Khi
â (ba
ij) = 0: X²t biºu thà tuy¸n t½nh
a = n1 + n2;
ta câ
ij) = (bn1
(ba
ij ) = (bn2
ij ) =
2
40 0
0 4u
3
5:
Vªy n¶n (ba
ij) = 0 khi v ch¿ khi = 0 i·u n y câ ngh¾a a còng ph÷ìng vîi n2: M¥u
thu©n n y ch¿ ra r¬ng i·u gi£ sû l khæng x£y ra, vªy n¶n M khæng chùa trong b§t ký
si¶u ph¯ng n o.
Chó þ r¬ng, trong v½ dö n y thuëc t½nh cõa n2 khæng êi, nâ l mët tr÷íng vectì ph¡p
kiºu thíi gian.

40
2.2 nh x¤ Gauss nhªn gi¡ trà tr¶n LSr v m°t lr
-rèn
V· ph÷ìng di»n lþ thuy¸t, trong [21], Izumiya v c¡c t¡c gi£ ¢ ÷a ra mët ph÷ìng
ph¡p º x¡c ành mët c°p tr÷íng vectì ph¡p kiºu ¡nh s¡ng cho mët m°t kiºu khæng gian
èi chi·u hai v ùng döng cõa nâ v o vi»c nghi¶n cùu mët sè t½nh ch§t h¼nh håc cõa m°t.
Trong möc n y, chóng tæi giîi thi»u mët ph÷ìng ph¡p º x¡c ành mët c°p tr÷íng vectì
ph¡p kiºu ¡nh s¡ng cho mët m°t kiºu khæng gian èi chi·u hai, vîi tham sè ho¡ cö thº,
v ùng döng nâ v o vi»c nghi¶n cùu kh¡i ni»m rèn cõa m°t, chóng ta câ thº d¹ d ng nhªn
th§y r¬ng c°p tr÷íng vectì ph¡p kiºu ¡nh s¡ng ÷ñc x¡c ành trong [21] v c°p tr÷íng
vectì ph¡p kiºu ¡nh s¡ng ÷ñc x¡c ành ð ¥y l còng ph÷ìng.
a) nh x¤ lr
-Gauss
Ph÷ìng ph¡p x¡c ành c°p tr÷íng vectì ph¡p kiºu ¡nh s¡ng tr¶n m°t ÷ñc giîi thi»u
trong möc n y l ho n to n t÷ìng tü ph÷ìng ph¡p x¡c ành ¡nh x¤ nr
-Gauss ÷ñc tr¼nh
b y trong möc a).
°t LSr = LC HPv vîi v = (0; 0; : : : ; 0; r). º x¥y düng ¡nh x¤ lr
-Gauss ta c¦n
chùng minh bê · sau.
Bê · 2.2.1. Cho l 2-ph¯ng kiºu thíi gian i qua gèc tåa ë. Khi â tªp hñp
LSr
chùa óng hai vectì.
Chùng minh. V¼ l 2-ph¯ng kiºu thíi gian i qua gèc tåa ë n¶n nâ câ mët cì sð trüc
giao fa; bg sao cho ha; ai = 1; a = (a0; a1; : : : ; an+1); an+1 0 v b = (b0; b1; : : : ; bn+1) ; hb; bi =
1. Vîi måi x 2 ta câ biºu di¹n
x = a + b:
V¼ x 2 LC+v xn+1 = r n¶n ta câ h» ph÷ìng tr¼nh
8
:
hx; xi = 0;
xn+1 = r;
,
8
:
2 2 = 0;
an+1 + bn+1 = r
: (2.12)
Kiºm tra trüc ti¸p ta ch¿ ra ÷ñc h» ph÷ìng tr¼nh n y câ óng hai nghi»m.

41
V¼ M l m°t kiºu khæng gian èi chi·u hai n¶n vîi méi p 2 M; chóng ta çng nh§t
r
khæng gian ph¡p NpM cõa M t¤i p vîi 2-ph¯ng kiºu thíi gian i qua gèc tåa ë v song
song vîi nâ. Sû döng k¸t qu£ cõa Bê · 2.2.1 ta câ LSr NpM = flg.
ành ngh¾a 2.2.2 ([6]). C¡c ¡nh x¤
l
r : M ! LSr
p7! l
r (p)
÷ñc gåi l ¡nh x¤ lr
-Gauss cõa M.
Chó þ:
(1) nh x¤ lr
-Gauss cõa mët m°t èi chi·u hai M = X(U) l c¡c nghi»m cõa h» ph÷ìng
tr¼nh 8
:
hl;Xuii = 0; i = 1; 2; : : : ; n 1;
hl; li = 0;
ln+1 = r:
(2.13)
(2) D¹ d ng ch¿ ra ÷ñc r¬ng, c°p tr÷íng vectì ph¡p n y còng ph÷ìng vîi c°p tr÷íng
r
vectì ph¡p cõa ¡nh x¤ Gauss nân ¡nh s¡ng m Izumiya v mët sè nh to¡n håc
kh¡c x¥y düng trong [20]. Nh÷ng ð ¥y chóng ta ÷a ra mët ph÷ìng ph¡p cö thº
º x¡c ành c°p tr÷íng vectì ph¡p n y khi câ tham sè ho¡ cõa m°t v to¤ ë cuèi
còng (thíi gian) cõa ll h¬ng sè.
b) M°t lr
-rèn èi chi·u hai
T÷ìng tü ¡nh x¤ nr
-Gauss, ¡nh x¤ lr
-Gauss công l c¡c ¡nh x¤ kh£ vi. i·u n y cho
ph²p chóng ta sû döng ¡nh x¤ lr
-Gauss º ti¸n h nh kh£o s¡t mët sè t½nh ch§t h¼nh håc
cõa m°t èi chi·u hai. Kþ hi»u s³ thay th¸ cho d§u + ho°c d§u - trong lr
:
V¼ lr
l tr÷íng vectì ph¡p kiºu ¡nh s¡ng tr¶n m°t n¶n t÷ìng tü M»nh · 4.5 trong
[21], ta câ c¡c ph¡t biºu sau t÷ìng ÷ìng.
(1) M l m°t lr
-dµt.
(2) lr
l mët tr÷íng vectì h¬ng tr¶n M.

42
(3) Tçn t¤i mët vectì kiºu ¡nh s¡ng v = (v1; v2; : : : ; vn+1) ; vn+1 0, sao cho M
HPv(c), vîi c l h¬ng sè.
i·u ¡ng l÷u þ ð ¥y l v· m°t thüc h nh, vîi tham sè ho¡ cö thº, chóng ta luæn
x¡c ành ÷ñc tr÷íng vectì ph¡p lr
:
H» qu£ 2.2.3. N¸u tçn t¤i r 0 sao cho M l m°t çng thíi l+r
-dµt v lr
-dµt ho°c tçn
t¤i r1; r2 (r16= r2) sao cho M çng thíi l m°t lr
1-dµt v lr
2-dµt th¼ M l mët ph¦n cõa
mët (n 1)-ph¯ng. Khi â, lr
h¬ng vîi måi r 0.
Chùng minh. V¼ l+r
v lr
l c¡c tr÷íng vectì h¬ng tr¶n M n¶n m°t ph¯ng ph¡p cõa M
khæng êi. i·u n y câ ngh¾a, khæng gian ti¸p xóc cõa M cè ành. Vªy n¶n, M chùa trong
(n 1)-ph¯ng.
Tçn t¤i m°t l+r
-dµt m khæng lr
-dµt. V½ dö sau s³ l m rã kh¯ng ành n y.
V½ dö 2.2.4. X²t m°t M vîi ph÷ìng tr¼nh tham sè
X(u; v) =

1
2
u2;
p
2u
1
2

; u 1; v 0:
u2; u2 + v2; u
Ta câ
Xu =

u;

; Xv = (0; 0; 2v; 0) ;
p
2 u; 2u; 1
n¶n hXu; vi = hXv; vi = 0 vîi v = (1; 0; 0; u). M°t kh¡c hv; vi = 1 u2 0, n¶n v l
vectì kiºu thíi gian, tø â suy ra c¡c khæng gian ti¸p xóc cõa M t¤i måi iºm l c¡c
2-ph¯ng kiºu khæng gian. Vªy M l mët m°t kiºu khæng gian. B¬ng c¡ch gi£i h» ph÷ìng
p
tr¼nh (2.13) vîi r =
2 ta nhªn ÷ñc
l+p
2
=

1; 1; 0;

; lp
p
2
2
=

u2 + 2
p
2u 1
u2
p
2u + 1
;
u2 1
u2
p
2u + 1
; 0;
!
:
p
2
Suy ra, M l m°t l+p
2
-dµt m khæng l m°t lp
2
-dµt.
Trð ng¤i khi sû döng nr
-¡nh x¤ Gauss º nghi¶n cùu kh¡i ni»m rèn tr¶n si¶u m°t
trong n-khæng gian de Sitter Sn
1 (a;R) l vectì nr
v vectì và tr½ cõa m°t câ thº còng
ph÷ìng. Vi»c sû döng ¡nh x¤ lr
-Gauss gióp chóng tæi gi£i quy¸t v§n · n y.
Bê · 2.2.5. N¸u M = Sn
1 (a;R) HPq(c) l mët m°t kiºu khæng gian th¼, ngo¤i trø
nhi·u nh§t mët iºm, h» fX a; qg ëc lªp tuy¸n t½nh.

43
Chùng minh. °t Y(p) = X(p) a. Gi£ sû tçn t¤i p 2 M sao cho Y(p) = (p)q, khi â
0 R = hY(p);Y(p)i = 2(p)hq; qi ) hq; qi6= 0:
Tø gi£ thi¸t ta câ
hX(p); qi = c , hX(p) a; qi = c ha; qi , (p)hq; qi = c ha; qi
, (p) =
c ha; qi
hq; qi
= const:
Vªy fY; qg phö thuëc tuy¸n t½nh t¤i duy nh§t mët iºm x¡c ành bði
X(p) =
c ha; qi
hq; qi
q + q:
M»nh · 2.2.6 ([6]). N¸u M = Sn
1 (a;R) HPq(c) th¼ M l m°t rèn.
Chùng minh. M l m°t chùa trong Sn
1 (a;R) n¶n nâ l m°t -rèn, vîi = X a. q l
tr÷íng vectì ph¡p h¬ng n¶n M l m°t q-rèn (q-dµt). Tø Bê · 2.1.9 v t½nh li¶n töc cõa
c¡c h m ë cong ch½nh ta suy ra i·u ph£i chùng minh.
ành l½ 2.2.7 ([6]). Cho M l m°t èi chi·u hai chùa trong Sn
1 (a;R). Khi â ta câ c¡c
ph¡t biºu sau t÷ìng ÷ìng.
(1) M l m°t lr
rèn;
(2) M l m°t rèn;
(3) M chùa trong mët si¶u ph¯ng.
Chùng minh.
((1) ) (2)) Gi£ sû M l m°t lr
-rèn v M chùa trong mët n-khæng gian de Sitter
fx j hx a; x ai = Rg;
khi â M l m°t -rèn vîi = X a: V¼ h; i = R 0 v hlr
; lr
i = 0 n¶n v lr
khæng
còng ph÷ìng. Tø Bê · 2.1.9 suy ra kh¯ng ành (2).
((2) ) (3)) °t
=
(X a) ^ Xu1 ^ Xu2 ^ ^ Xun1

(X a) ^ Xu1 ^ Xu2 ^ ^ Xun1

44
khi â l mët tr÷íng vectì ph¡p kh£ vi tr¶n M v M l m°t -rèn. Vîi c¡ch x¡c ành
tr¶n th¼
h;X ai = 0; h; i = 1; h;Xuii = 0; i = 1; 2; :::; n 1 (2.14)
Vªy n¶n, 8p 2 M; 8 2 TpM, ta câ
hdjp();X(p) ai = h(p); dXjp()i = 0; h(p); djp()i = 0
nâi c¡ch kh¡c d çng thíi trüc giao vîi v X a. M°t kh¡c h» f;X ag ëc lªp
tuy¸n t½nh v t¤o th nh mët cì sð trong NpM. Vªy n¶n djp 2 TpM, hay l mët tr÷íng
vectì ph¡p song song.
Tr÷íng vectì ph¡p kh£ vi tho£ m¢n çng thíi c¡c i·u ki»n -rèn, song song v câ
ë d i h¬ng. Theo Bê · 4.2 cõa [20] ta suy ra h m ë cong ch½nh cõa ¡nh x¤ -Gauss
l mët h m h¬ng, v khi â
d = dX ) = (X a) + X0 + a;
Vîi X0 l mët vectì h¬ng. M°t kh¡c, ta câ h;Xai = 0; v Xa khæng còng ph÷ìng
n¶n = X0 + a, nâi c¡ch kh¡c l mët vectì h¬ng. Khi â ta câ
hX a; i = 0 ) hX; i = ha; i = ha;X0 + ai = m = const:
Hay M HPX0+a(m). Thüc ra lóc n y M chùa trong mët si¶u ph¯ng kiºu khæng gian.
((3) ) (1)) K¸t qu£ ÷ñc suy ra tø M»nh · 2.2.6.
ành l½ sau cho mët sè i·u ki»n c¦n v õ º mët m°t èi chi·u hai trong gi£ c¦u de
Sitter chùa trong mët si¶u ph¯ng fxn+1 = cg :
ành l½ 2.2.8 ([6]). Cho M l mët m°t èi chi·u hai chùa trong Sn
1 (a; R). Khi â c¡c
ph¡t biºu sau l t÷ìng ÷ìng.
1. M chùa trong mët si¶u ph¯ng fxn+1 = cg ;
2. lr
l tr÷íng vectì ph¡p song song, vîi måi r 0;
3. Tçn t¤i hai tr÷íng vectì ph¡p song song lr
1 ; lr
2 ;
4. Tçn t¤i r 0 sao cho Alr
= id, vîi l h¬ng sè.

45
Chùng minh. (1: ) 2:) V¼ M fxn+1 = cg Sn
1 (a; R); d¹ d ng ch¿ ra ÷ñc r¬ng vîi
r 0;
l
r = X +

5 cuong-toan van-luan_an_130107144049

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 5 cuong-toan van-luan_an_130107144049

Similar to 5 cuong-toan van-luan_an_130107144049 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (10)

5 cuong-toan van-luan_an_130107144049