Truyền sóng

1. KYÕ THUAÄT THOÂNG TIN
QUANG
MODE SOÙNG
1

2. NOÄI DUNG




Cô sôû toaùn hoïc
Heä phöông trình Maxwell
Truyeàn aùnh saùng trong oáng daãn soùng
phaúng
Truyeàn aùnh saùng trong sôïi quang
2

3. CÔ SÔÛ TOAÙN HOÏC

Heä toaï ñoä vuoâng goùc Oxyz:
A = A(x,y,z) = Axex + Ayey + Azez
∇=
∂
∂
∂
ex + ey + ez
∂x
∂y
∂z
(toaùn töû
nabla)
∂Ax ∂Ay ∂Az
∇ ×A = divA =
+
+
∂x
∂y
∂z
ex
∇ A =rotA =
×
=






ey
∇f =
∂f
∂f
∂f
ex + e y + e z
∂x
∂y
∂z
ez
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
x
y
z
Ax A y Az



∂
A
 A
÷
∂ z − A y ÷e − ∂ z − A x  e + ∂ y − A x ÷e
A
∂
∂
÷

÷

÷ y

÷
÷ x
 ∂

∂
y
∂ ÷
z 
x
∂ 
z
x
∂ ÷ z
y ÷
 ∂


3

4. CÔ SÔÛ TOAÙN HOÏC

Heä toaï ñoä truï (r,φ,z)
A = A(r,φ,z) = Arer + Aφ eφ + Azez
∂
∂
∂
∂f
1 ∂f
∂f
er +
eφ + ez
∇f = er +
eφ + ez
∂r
∂φ
∂z
∂r
r ∂φ
∂z
1 ∂ (rAr ) 1 ∂Aφ ∂Az
∇ ×A = divA =
+
+
r ∂r
r ∂φ
∂z
∇=
1
er
r
∂
∇×A = rotA =
∂
x
Ax
=
1
ez
r
∂ ∂
∂ ∂
y
z
rA y A z
eφ

 A


∂
∂ 
A
A
1∂ z − Aφ ÷e −  ∂ z − Ar ÷e +  ∂ φ− ∂ r ÷e
1 A ÷
÷


÷


r ∂
r ∂ ÷ z

φ
∂ ÷ r
z ÷
r
∂ ÷ φ  ∂
z 
r
φ÷
 ∂








4

5. CÔ SÔÛ TOAÙN HOÏC


Bieán ñoåi giöõa heä toaï ñoä vuoâng goùc vaø heä
toaï ñoä truï:
x = rcosφ
y = rsinφ
z=z
Ñaúng thöùc vectô:
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ ×A) − ∇ 2 A
5

6. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH MAXWELL

Heä PT Maxwell:
Trong ñoù:
−
−
−
−
−
−
−
−
−
∂
B
∇ E =
×
−
∂
t
∂
D
∇ H =J +
×
∂
t
∇D =
×
ρ
∇B =
×
0
E: vectô cöôøng ñoä ñieän tröôøng (V/m); H: vectô cöôøng ñoä töø tröôøng
(A/m)
D: vectô caûm öùng ñieän (C/m2);
D = εE = εr ε0 E
B: vectô caûm öùng töø (H/m2);
B = µH = µr µ0 H
ε0: haèng soá ñieän moâi cuûa chaân khoâng;
ε0 = (1/36π).10-9 (F/m)
εr: haèng soá ñieän moâi töông ñoái cuûa moâi tröôøng so vôùi chaân khoâng
µ 0: ñoä töø thaåm cuûa chaân khoâng;
µ0 = 4π.10-7 (H/m)
µr: ñoä töø thaåm tuông ñoái cuûa moâi tröôøng so vôùi chaân khoâng
ρ: maät ñoâ ñieän tích cuûa moâi tröôøng (C/m3)
6
J: maät ñoä doøng ñieän (A/m2), J=σE vôùi σ(A/V.m) laø doä daãn ñieän cuûa

7. HEÄ PHÖÔNG TRÌNH MAXWELL

Vaän toác aùnh saùng truyeàn trong chaân khoâng:
1
1
1
c=
=
=
= 3.108 (m / s)
ε 0 µ0
(1 36π ) × −9 × 4π × −7
10
10
(1 9) × −16
10

Vaän toác aùnh saùng truyeàn trong moâi tröôøng coù
1
1
1
1
c
chieátvsuaát n:
=
=
=
×
=
εµ
ε rε 0 µr µ0
ε r µr ε 0µ0 n
n = ε r µr
trong ñoù
laø chieát suaát cuûa moâi tröôøng
 Quan heä giöõa , taàn soá f, taàn soá goùc ω vaø
böôùc soùng λm:
ω = 2πf
λf = c
λmf = v 7

8. TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG
PHAÚNG

Xeùt moät oáng daãn soùng ñieän moâi (ρ =0, J=0) phaúng
(roäng 2d), chieát suaát n1, lyù töôûng (ñaúng höôùng, tuyeán
x
tính, khoâng suy hao):
n2 < n1
d
y
Höôùng truyeàn
n1
z
0
-d


Soùng ñieän töø truyeàn trong oáng daãn soùng ñieän moâi
phaúng naøy laø soùng ñieän töø ngang TEM: vectô ñieän
tröôøng E vaø vectô töø tröôøng H vuoâng goùc vôùi nhau vaø
vuoâng goùc vôùi höôùng truyeàn
∂
E
Choïn heä truïc toaï ñoä Oxyz nhö treân hình veõ, trong ñoù z laø
=
0
∂
y
höôùng truyeàn soùng, maët daãn soùng naèm trong maët
8

9. TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG
PHAÚNG

Soùng ñieän töø (hay aùnh saùng) phaúng coù taàn
soá f lan truyeàn trong oáng daãn soùng (theo höôùng
z) thay ñoåi theo thôøi gian vaø khoâng gian,
coù theå ñöôïc bieåu dieãn bôûit −γ z )
phöông trình toaùn
j (ω
E ( z , t ) = AE e
hoïc sau:
AE: haèng soá cuûa ñieän tröôøng
ω = 2πf : taàn soá goùc
γ = α+β laø heä soá truyeàn daãn; α laø heä soá suy hao; β =
2π/ λ m laø heä soá truyeàn daãn pha cuûa soùng ñieän töø
trong moâi tröôøng ñang xeùt.
Trong moâi tröôøng truyeàn daãn jlyù β z )
(ω t − töôûng α =0  γ = β

Do ñoù:
E ( z , t ) = E y ( z , t ) = AE e
H ( z , t ) = H x ( z , t ) = AH e j (ω t − β z )
9

10. TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG
PHAÚNG

Heä PT Maxwell duøng cho oáng daãn soùng phaúng
ñang xeùt, coù theå ñöôïc vieát laïi nhö sau:
∇ E = jω H
×
− µ
(1)
∇ H = jω E
×
ε
(2)
∇D =
×
0
∇B =
×
0

(3)
(4)
Laáy rot hai veá cuûa PT (1) ta coù:
∇ (∇ E ) =−jω (∇ H ) = 2ε E
× ×
µ ×
ω µ

Ta coù:
∇ × (∇ × E ) = ∇(∇ ×E ) − ∇ 2 E
= −∇ 2 E

(5)
(do (3))
PT soùng:
∇2E + ω2εµ E = 0
10
(6)

11. TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG
PHAÚNG

Ta coù: ∇ 2 E =
=

∂2 Ey
∂x
2
∂ 2 Ey
∂x
2
+
∂2 Ey
∂y
2
+
∂2 Ey
∂z 2
− β 2E
(7)
Töø (6) vaø (7) ta coù PT soùng:
∂2 Ey
∂x
2
− ( β 2 − ω 2εµ ) E y = 0
(8)
 Ñieàu kieän ñeå moät soùng ñieän töø coù theå
truyeàn ñöôïc trong oáng daãn soùng phaúng cho
tröôùc
11

12. TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG
PHAÚNG

Bieåu dieãn soùng ñieän (töø = E y ( z, t ) = AE e j (ωt − β z )
E z, t )
vaø PT soùng cho thaáy:
− Soùng ñieän töø thay ñoåi ñoàng thôøi theo thôøi gian (t) vaø
khoâng gian (z)
− Caùc soùng ñieän töø khaùc nhau ñöôïc ñaëc tröng bôûi taàn
soá f (hay taàn soá goùc ω=2πf) vaø böôùc soùng λm trong
moät moâi tröôøng xaùc ñònh (hay heä soá truyeàn pha β=2π/
λ m)
− Chæ nhöõng soùng ñieän töø E(z,t) naøo thoaû PT soùng
môùi coù theå truyeàn ñöôïc trong oáng daãn soùng  soùng
truyeàn daãn
− Vôùi moät oáng daãn soùng cho tröôùc, nghieäm cuûa PT
soùng töông öùng vôùi caùc giaù trò (ω, β) khaùc nhau ñöôïc
12
goïi laø mode soùng

13. TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG
PHAÚNG


Ñònh nghóa: Mode soùng laø moät traïng thaùi
truyeàn oån ñònh cuûa soùng ñieän töø trong oáng
daãn soùng
Giaûi PT soùng (8):
− Trong oáng daãn soùng (-d≤x ≤ d), nghieäm cuûa PT (8) coù
daïng:
Ey = Acos(ux)
hoaëc
E y = Asin(ux)
vôùi A: haèng soá cöôøng ñoä dieän tröôøng;
u2 = β21 - β2 vôùi β1= ω(ε1µ1)1/2 = ω n1/c
− Ngoaøi oáng daãn soùng (x≤-d hoaëc x≥d), nghieäm cuûa
PT (8) coù daïng:
Ey = Ce-wx (x≥d)
hoaëc
Ey = Cewx
(x≤-d)
13

14. TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG
PHAÚNG
− Nghieäm cuûa PT (8) coù theå ñöôïc xaùc ñònh taïi bieân
cuûa oáng daãn soùng (x=d hoaëc x=-d)
− Tröôøng hôïp nghieäm laø haøm chaün Ey = Acos(ux), taïi x=d
ta coù:
Ey(d) = A.cos(ud) = C.e-wd
(9)
dEy(d)/dx = -u.A.sin(ud) = -w.C.e-wd
(10)
2

V 2 − (ud ) 2
V 
tg (ud ) =
= 
÷ −1
tg(ud) = (wd)/(ud)
ud
ud 

(11)

(12)
vôùi V = (u2 + w2)1/2 d = (2πd/ λ)(n12 – n22)1/2 : taàn soá chuaån
ud
1
tg
=−
hoùa (ud ) = −
2
V 2 − (ud ) 2
V haøm leõ E =
laø  −1
− Töông töï cho tröôøng hôïp nghieäm
y

÷
ud  14

Asin(ux), ta coù:

15. TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG
PHAÚNG
Tìm nghieäm cuûa PT (12) vaø
(13)?
15

16. TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG
PHAÚNG
f(ud)
V=6
e1
π e2
π/2
0
1
2
o1
3
3π/2
4
2π
6
5
ud
7
o2
16

17. TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG
PHAÚNG
−
−
−
Veõ ñoà thò hai haøm soá f(ud) vaø g(ud) ôû hai veá cuûa
PT (12) vaø (13), giao ñieåm cuûa hai haøm f(ud) vaø g(ud)
laø nghieäm caàn tìm
Soá nghieäm vaø giaù trò cuûa caùc nghieäm phuï thuoäc
vaøo giaù trò cuûa taàn soá chuaån hoùa V (phuï thuoäc
vaøo ñaëc tính cuûa oáng daãn soùng)
Vôùi V=6, ta thaáy PT soùng coù 4 nghieäm goàm hai
nghieäm leû o1, o2 vaø hai nghieäm chaün e1, e2
+
+
4 mode soùng coù theå truyeàn ñöôïc trong oáng daãn
soùng cho tröôùc (töông öùng vôùi V=6)
e1 ñöôïc goïi laø mode soùng cô baûn≤ π/2
V
 Ñieàu kieän ñeå truyeàn ñôn mode:
17

18. TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG
PHAÚNG
−
Phaân boá ñieän tröôøng Ey cuûa caùc mode trong oáng
daãn soùng:
Ey
Ey
x
x
-d
d
0
0
-d
Mode e1
d
Mode o1
Ey
Ey
x
x
-d
0
Mode e2
d
-d
0
Mode o2
18
d

19. TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG OÁNG DAÃN SOÙNG
PHAÚNG
−
Phaân boá naêng löôïng cuûa caùc mode trong oáng daãn
soùng:
Ey
Ey
x
x
-d
d
0
0
-d
Mode e1
d
Mode o1
Ey
Ey
x
x
-d
0
Mode e2
d
-d
0
Mode o2
19
d

20. TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG SÔÏI QUANG

Xeùt moät oáng daãn soùng hình truï ñieän moâi (ρ
=0, J=0) ñöôøng kính 2a, chieát suaát n1, lyù töôûng
(ñaúng höôùng, tuyeán tính, khoâng suy hao):
x
n2 < n1
a
Höôùng truyeàn
φ
n1
r
y
20
z

21. TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG SÔÏI QUANG

Vieäc xaùc ñònh mode truyeàn trong oáng daãn soùng
hình truï lyù tuôûng ñöôïc thöïc hieän qua caùc buôùc
sau:
−
−
Giaûi heä PT Maxwell cho oáng daãn soùng hình truï, heä
∂2 E 1 ∂2 E 1 ∂2 E
+
+ 2
+ (ω 2εµ − β 2 ) E = 0
toaï ñoä (r,φ,z) 2
∂r
r ∂r r ∂φ 2
PT soùng:
E (r ≤ a ) = A1 J (ur ) cos kφ
−
E (r ≥ a ) = A2 K ( wr ) cos kφ
Nghieäm cuûa PT soùng coù daïng:
vôùi A1, A2: haèng soá ñieän tröôøng
J(x) coù daïng haøm Bessel
K(x) coù daïng haøm Hankel (haøm Bessel caûi tieán loaïi hai)
u2 = β21 - β2 vôùi β1= ω(ε1µ1)1/2 = ω n1/c
21
w2 = β2 - β22 vôùi β2= ω(ε2µ2)1/2 = ω n2/c

22. TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG SÔÏI QUANG

Moät soá keát quaû ruùt ra töø vieäc giaûi PT soùng:
−
−
−
−
Taàn soá chuaån hoùa: V = (2πa/ λ).(n12 – n22)1/2 = (2π/ λ).a.NA
Caùc mode soùng ñöôïc goïi laø caùc mode phaân cöïc
tuyeán tính: LPlm (linearly polarized mode) vôùi l = 0,1,2,…; m=
1,2,3,…
Mode LP01 ñöôïc goïi laø mode cô baûn
Soá löôïng mode soùng phuï thuoäc vaøo giaù trò cuûa V:
+
+
Ñoái vôùi sôïi SI, toång soá mode M ≈V2/2 (ñuùng vôùi M>20)
Mode
Taà > V Taà soásoá
n
Mode LPlm toàn taïi khi n soácaé clm (taàn cao caét cuûa LPlm)
V t
LP01
LP11
LP02
LP12
…
0
2,405
3,832
5,136
…
2,405
3,832
5,136
6,380
…
22

23. TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG SÔÏI QUANG

Phaân boá naêng löôïng cuûa moät soá mode soùng
trong sôïi quang :
23

24. TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG SÔÏI QUANG

Phaân boá naêng löôïng cuûa moät soá mode soùng
trong sôïi quang :
24

25. TRUYEÀN AÙNH SAÙNG
TRONG SÔÏI QUANG

Phaân boá naêng löôïng cuûa moät soá mode soùng
trong sôïi quang :
25

26. CAÂU HOÛI







Trình baøy caùc böôùc thöïc hieän ñeå xaùc ñònh
soá mode soùng truyeàn trong moät oáng daãn
soùng?
Mode soùng laø gì?
Böôùc soùng caét laø gì?
Khi naøo thì sôïi quang truyeàn ôû traïng thaùi ñôn
mode?
Ñieàu kieän ñeå soùng ñieän töø coù theå truyeàn
trong sôïi quang?
Trình baøy yù nghóa cuûa taàn soá chuaån hoaù V?
Töø coâng thöùc tính taàn soá chuaån hoaù V, coù
theå ruùt ra ñöôïc sö khaùc bieät giöõa sôïi quang
ñôn mode vaø sôïi quang ña mode khoâng?
26