Espacios y Subespacios vectoriales

1. APLICACIONES DE ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES
EN LA CARRERA DE INGENIERÍA EN TECNOLOGÍAS
GEOESPACIALES (Geografía)
Nombres:
-Cabrera Grace
-Carlosama Jossua
-Chavez Yessenia
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
ALGEBRA LINEAL
NRC: 2882
Fecha: viernes 12 de febrero 2021
Período: noviembre 2020 _abril 2021

2. INTRODUCCIÓN
El Álgebra Lineal es la rama de las matemáticas que concierne al estudio de vectores, espacios vectoriales, transformaciones
lineales, y sistemas de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales son un tema central en las matemáticas modernas; por lo
que el álgebra lineal es usada ampliamente en álgebra abstracta y análisis funcional
El conocimiento de la estructura de un espacio vectorial no dimensional necesario para las aplicaciones en la solución de
problemas propios de la ingeniería. Representa una parte esencial en la preparación básica de conocimientos requeridos a:
MATEMÁTICOS, INGENIEROS, FÍSICOS Y OTROS.
Los geógrafos son especialistas en la planificación del espacio, para ello ocupan el álgebra lineal para orientar o estructurar los
sectores productivos
“El Ingeniero Geoespacial es el profesional idóneo que identifica, analiza y resuelve problemas relacionados con temas socio-
espaciales, territoriales, medioambientales y de recursos naturales; planifica el espacio geográfico con el empleo de modernas
tecnologías, además está capacitado en la toma de decisiones y liderar equipos multidisciplinarios”.

3. OBJETIVOS
Objetivo General
Conocer la importancia de aplicación del álgebra lineal en la Ingeniería Geoespacial con este fin en
mente, se realizará varios ejercicios por el método de Wronskiano.
Objetivos Específicos
1. Comprenda los aspectos conceptuales en torno al cálculo de límites, derivación e integración en una
variable.
2. Sea capaz de realizar los cálculos más sencillos de límites, derivación e integración de funciones de
unas variables, especialmente aquellos que involucran funciones polinomiales, racionales,
trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
3. Sea capaz de aplicar el cálculo en una variable en la resolución de problemas propios de la Geografía,
con la ayuda de software especializado para la realización de sus cálculos.
4. Comprenda los aspectos conceptuales básicos relacionados con la resolución de sistemas lineales
mediante el uso de matrices y vectores.
5. Realice en forma manual los cálculos elementales en relación con matrices y la resolución de sistemas
lineales.
6. Utilice adecuadamente diferentes sistemas algebraicos computacionales para el cálculo de matrices en
la resolución de problemas de la Geografía.

4. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA (CON CITAS, DE DONDE CONSULTÓ,
INFORMACIÓN TEÓRICA)
Espacios y Subespacios Vectoriales
Es un conjunto no vacío con dos operaciones elementales, la operación interna (suma)
y una operación externa (producto por un escalar).
El álgebra lineal estudia espacios vectoriales estos constan de un conjunto de vectores
y un conjunto de escalares, contiene estructura de campo, con una operación de suma
de vectores y otra de producto entre escalares y vectores, que satisfacen ciertas
propiedades, por ejemplo, la suma es conmutativa.
Si se descompone un espacio vectorial en subespacios nos permite una mejor
concentración de conjuntos más simples de elementos. Los elementos básicos del
espacio vectorial son los que dan lugar por combinación lineal a cualquier otro
elemento.

5. Aplicaciones
Las funciones entre espacios vectoriales satisfacen las condiciones de linealidad. Aparecen
propiedades que impiden una estructura adicional sobre los espacios vectoriales. siendo
una de las más frecuentes la existencia de un producto interno una especie de producto
entre dos vectores que permite introducir nociones como longitud de vectores y ángulo
entre un par de los mismos. (Grossman)
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones que se involucran en la ciencia. Estos son
usados en la ingeniería con la capacidad de ayudar en la resolución de problemas, también
nos ayudan al desarrollo de capacidades para el razonamiento.
En la Geografía se producen movimientos telúricos a causa de fenómenos naturales, esto
provoca vibraciones en un edificio, estas pueden descomponerse en modos de vibración,
estos no dejan de ser las bases del espacio vectorial de todas las posibles vibraciones, estas
se suman linealmente.
Los movimientos en el espacio n-dimensional puede descomponerse en una serie de
operaciones básicas (dilataciones, rotaciones, etc.) cada una correspondiente a un
subespacio del espacio dimensional. (G, 2015)
TRABAJO CITADO
G, M. (2015).
Grossman, S. I. (s.f.). Alegra Lineal .

6. DESARROLLO
* FUNCIONES 1. Tres polinómicas y determinar si son L.I o L.D con el teorema del Wronskiano
1) W = {8𝑥2
; x ; 1}
𝑤 =
𝑤
𝑤′
𝑤′′
8𝑥2
𝑥 1
16𝑥 1 0
16 0 0
𝑤 =
16𝑥 1
16 0
= −16 → −16 ≠ 0 𝑒𝑠 𝐿. 𝐼
2) W = {2𝑥2
+ 3; 𝑥2
; 1}
𝑤 =
𝑤
𝑤′
𝑤′′
2𝑥2 + 3 𝑥2 1
4𝑥 2𝑥 0
4 2 0
𝑤 =
4𝑥 2𝑥
4 2
= 0 → 0 = 0 𝑒𝑠 𝐿. 𝐷
3) W = {12𝑥2 + 6; x + 2; 1}
𝑤 =
𝑤
𝑤′
𝑤′′
12𝑥2 + 6 x + 2 1
24𝑥 1 0
24 0 0
𝑤 =
24𝑥 1
24 0
= −24 → −24 ≠ 0 𝑒𝑠 𝐿. 𝐼

7. * FUNCIONES 2. Dos funciones compuestas, producto, división, trigonométricas,
exponenciales, hiperbólicas, polinómicas y determinar si son li o ld con el teorema del
Wronskiano
1. Considere f 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 ; cos 𝑏𝑥 + 1; 𝑒2𝑥
}
𝐹 = 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 ; cos 𝑏𝑥 + 1; 𝑒2𝑥}
𝑊 =
sen(𝑏𝑥) cos 𝑏𝑥 + 1 𝑒2𝑥
𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥) −𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥) 2𝑒2𝑥
−𝑏2sen(𝑏𝑥) −𝑏2cos(𝑏𝑥) 4𝑒2𝑥
El correspondiente determinante de la matriz
𝑊 =
sen(𝑏𝑥) cos 𝑏𝑥 + 1 𝑒2𝑥
𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥) −𝑏𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥) 2𝑒2𝑥
−𝑏2sen(𝑏𝑥) −𝑏2cos(𝑏𝑥) 4𝑒2𝑥

8. Al resolver la determinante de la matriz se obtiene
𝑊 = sen 𝑏𝑥 ∗ −𝑏𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 ∗ 4𝑒2𝑥 + bcos(bx) ∗ −𝑏2 cos 𝑏𝑥 ∗ 𝑒2𝑥+(cos 𝑏𝑥 + 1) ∗ 2𝑒2𝑥 ∗ −𝑏2(𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 ) −
(𝑒2𝑥 ∗ −𝑏𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 ∗ −𝑏2sen(𝑏𝑥) − 𝑏2 cos 𝑏𝑥 ∗ 2𝑒2𝑥 ∗ sen 𝑏𝑥 + (cos 𝑏𝑥 + 1) ∗ 𝑏𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥) ∗ 4𝑒2𝑥)
𝑊
= −4𝑏𝑒2𝑥
𝑠𝑒𝑛2
𝑏𝑥 − 𝑏3
𝑒2𝑥
𝑐𝑜𝑠2
𝑏𝑥
− 𝑏2
2𝑒2𝑥
cos 𝑏𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 − 𝑏2
2𝑒2𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 − 𝑏3
𝑒2𝑥
𝑠𝑒𝑛2
𝑏𝑥 + 𝑏2
2𝑒2𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 − 4𝑏𝑒2𝑥
𝑐𝑜𝑠2
𝑏𝑥
− 4𝑏𝑒2𝑥
cos(𝑏𝑥)
𝑊
= 𝑒2𝑥
𝑏(−4𝑠𝑒𝑛2
𝑏𝑥 − 𝑏2
𝑐𝑜𝑠2
𝑏𝑥 − 𝑏𝑠𝑒𝑛 2𝑏𝑥 − 2𝑏𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 − 𝑏2
𝑠𝑒𝑛2
𝑏𝑥 + 𝑏𝑠𝑒𝑛 2𝑏𝑥 − 4𝑐𝑜𝑠2
𝑏𝑥
− 4cos(𝑏𝑥)
𝑊 = 𝑒2𝑥𝑏(−4 𝑠𝑒𝑛2 𝑏𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑏𝑥 − 𝑏2 𝑠𝑒𝑛2 𝑏𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑏𝑥 − 2𝑏𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 − 4cos(𝑏𝑥))
𝑊 = 𝑒2𝑥
𝑏(−4 − 𝑏2
− 2𝑏𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 − 4 cos 𝑏𝑥 )
𝑊 = 𝑒2𝑥𝑏(−4 cos 𝑏𝑥 + 1 − 𝑏(𝑏 + 2𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 )
𝑠𝑖 𝑏 = 0 𝐹 = 0 𝑊 𝑒𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑠𝑖 𝑏 ≠ 0 𝐹 ≠ 0 𝑊 𝑒𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

9. 2. Considere f 𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑥 ; cos 𝑏𝑥 + 1; 𝑒2𝑥
}
𝐹 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 ; 1 − cos 2𝑥 ; 𝑒3𝑥}
𝑊 =
tan(𝑥) 1 − cos 2𝑥 𝑒3𝑥
𝑠𝑒𝑐2
(𝑥) 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 3𝑒3𝑥
2𝑠𝑒𝑐2(𝑥)tan(𝑥) 4cos(2𝑥) 9𝑒3𝑥
El correspondiente determinante de la matriz
𝑊 =
tan(𝑥) 1 − cos 2𝑥 𝑒3𝑥
𝑠𝑒𝑐2(𝑥) 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 3𝑒3𝑥
2𝑠𝑒𝑐2(𝑥)tan(𝑥) 4cos(2𝑥) 9𝑒3𝑥

10. + Al resolver la determinante de la matriz se obtiene
𝑊 = tan 𝑥 ∗ 2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 ∗ 9𝑒3𝑥
+ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 ∗ 4 cos 2𝑥 ∗ 𝑒3𝑥
+ 3𝑒3𝑥
∗ 1 − cos 2𝑥 ∗ 2𝑠𝑒𝑐2
𝑥 tan 𝑥 −
𝑒3𝑥 ∗ 2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 ∗ 2𝑠𝑒𝑐2 𝑥 tan 𝑥 − 4 cos 2𝑥 ∗ 3𝑒3𝑥 ∗ tan(𝑥)- 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 1 − cos 2𝑥 ∗ 9𝑒3𝑥
𝑊
=
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
∗ 4𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 ∗ 9𝑒3𝑥
+ 4𝑒3𝑥
𝑠𝑒𝑐2
𝑥 cos 2𝑥 + 6𝑒3𝑥
𝑠𝑒𝑐2
𝑥 tan 𝑥
− 6𝑒3𝑥𝑠𝑒𝑐2 𝑥 tan 𝑥 cos 2𝑥 − 4𝑒3𝑥𝑠𝑒𝑐2 𝑥 tan 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥
− 12𝑒3𝑥
𝑐𝑜𝑠 2𝑥 tan 𝑥 − 9𝑒3𝑥
𝑠𝑒𝑐2
𝑥 + 9𝑒3𝑥
𝑠𝑒𝑐2
𝑥 cos(2𝑥)
𝑊
= 𝑒3𝑥(36𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 13𝑠𝑒𝑐2 𝑥 cos 2𝑥 + 6𝑠𝑒𝑐2 𝑥 tan 𝑥 − 6𝑠𝑒𝑐2 𝑥 tan 𝑥 cos 2𝑥
− 8𝑠𝑒𝑐2
𝑥 tan 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 12 cos 2𝑥 tan 𝑥 − 9𝑠𝑒𝑐2
𝑥 )
+ 𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑊 ≠ 0
+ 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 𝑊 ≠ 0
+ 𝐸𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

11. CONCLUSIONES
 En síntesis, se puede decir que los espacios y subespacios nos vuelven aptos para
entender esquemas numéricos con el fin de resolver problemas matemáticos, de
ingeniería y científicos, esto nos sirve para reducir esquemas numéricos básicos,
escribir programas y sobre todo resolverlos en una computadora, utilizando el
software existente también amplía la experiencia matemática y la comprensión de
los principios científicos básicos.
 Gracias a los espacios y subespacios vectoriales se puede encontrar soluciones
aproximadas a problemas complejos. Se requiere una secuencia de operaciones
lógicas que producen la aproximación de problemas.

12. REFERENCIAS
• Morales. M, G. (2015, 19 marzo). Aplicación de espacios vectoriales en la
ingeniería. geronimomoraleshhcc.blogspot.com.
https://geronimomoraleshhcc.blogspot.com/2015/03/aplicacion-de-espacios-vectoriales-
en.html?fbclid=IwAR1-
5fXVc3EfNLPavzdCE7RvS8aWjbKBH8i9n5hlMTA_v1o7UXBh1n7en8g
• Espacios Vectoriales - 1092 Palabras. (s. f.). Monografías Plus.
https://www.monografias.com/docs/Espacios-Vectoriales-
PKJL4RXYBY#:%7E:text=En%20la%20vida%20cotidiana%20los,las%20cuales%20s
on%3A%20capacidad%20de
• E. (s. f.). EL USO Y APLICACIÓN DEL ÁLGEBRA LINEAL EN LA
INGENIERÍA GEOLÓGICA. Scribd. https://es.scribd.com/document/456609784/EL-
USO-Y-APLICACION-DEL-ALGEBRA-LINEAL-EN-LA-INGENIERIA-
GEOLOGICA?fbclid=IwAR2cft9LYj9Mrv-
UOcK4h6EmKwFqrz34hnSe4aj6KKluR0yFpyVog_mHaiE

13. GRACIAS!!!