Aplicación de espacios y subespacios en la carrera de ingeniería en Telecomunicaciones

1. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
ALGEBRA LINEAL
PARCIAL 2
TALLER Nro. 2
TEMA: APLICACIONES DE ESPACIOS Y SUBESPACIOS
VECTORIALES EN LA CARRERA DE
TELECOMUNICACIONES.
Grupo N°: 9
Nombres:
• Ruben Dario Cueva Chancusa
• Hardman Marcelo Jaramillo Moreno
• Andres Maximiliano Galarza Tufino
NRC: 4264
Fecha: viernes 8 de enero 2021

2. INDICE
1. Introduccion..........................................................................................................................2
1.1. Espacios y subespacios vectoriales.......................................................................2
1.1.1. Espacios vectoriales............................................................................................2
1.1.2. Subespacios vectoriales.....................................................................................2
1.2. Espacios vectoriales comunes.................................................................................2
1.3. Wroskiano.......................................................................................................................3
2. Objetivos................................................................................................................................3
3. Fundamentacion teorica....................................................................................................4
3.1. Aplicacion de los espacios y subespacios vectoriales en ingenieria en
telecomunicaciones................................................................................................................4
4. Desarrollo...............................................................................................................................5
5. Conclusiones........................................................................................................................7
6. Enlace Slidershare...............................................................................................................7
7. Bibliografias..........................................................................................................................8

3. TEMA: APLICACIONES DE ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES
EN LA CARRERA DE TELECOMUNICACIONES.
1. Introduccion
Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado
por una direccion, un sentido y un modulo. Sin embargo, el concepto de espacio
vectorial, en definitiva, de vector, es mucho mas amplio y no solo se reduce al
de "segmento orientado” sino que tambien veremos que con otros conjuntos
comparten todas las propiedades de las operaciones con vectores de R2 y
R3con lo cual tambien los llamaremos vectores. Asf, en este tema, veremos que
el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que dos con las
operaciones de suma de polinomios y la multiplicacion de un numero por un
polinomio, es un espacio vectorial (con lo cual un polinomio es un vector).
Tambien las matrices de 2 filas y 3 columnas es un espacio vectorial con la
suma de matrices y multiplicacion de un numero por una matriz (por tanto, una
matriz 2 x 3 tambien es un vector) y otros muchos conjuntos tambien cumplen
las propiedades de ser un espacio vectorial, con lo cual sus elementos se
pueden llamar vectores. Sin embargo, por gran importancia, comenzaremos
estudiando a detalle los espacios vectoriales para que a partir de esto
generemos conjuntos aleatorios.[1]
1.1. Espacios y subespacios vectoriales.
1.1.1. Espacios vectoriales.
Un espacio vectorial es un conjunto no vacfo V de objetos, llamados vectores,
en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar
(numero real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuacion. Los
axiomas deben ser validos para todos los vectores u, v y w en V y todos los
escalares aa y pp reales. [2]
1.1.2. Subespacios vectoriales.
Sea V un espacio vectorial sobre un campo F. Un subespacio vectorial de V, o
simplemente un subespacio de V, es un subconjunto no vacfo W de V cerrado
bajo las operaciones de suma vectorial y multiplicacion escalar de V. En otras
palabras, W es un subespacio de si se cumplen las siguientes dos propiedades:
1. - (De la suma vectorial) Para cualesquiera u y v elementos de W, se cumple
que u+v esta en W.
2. - (De la multiplicacion por escalar) Para cualquier escalar c en F y vector v en
W se cumple que cv esta en W.[3]
1.2. Espacios vectoriales comunes.

4. Dado un conjunto de n funciones /l,...., fn, el wronskiano W(/l,.... fn) esta dado por:
h fn
f'2 * • * fn
/ 2 --- Jn
El wronskiano es el determinante de la matriz construida al colocar las funciones en el
primer renglon o fila, la primera derivada de cada funcion en la segunda fila y asf hasta
la derivada n - l , formando asf una matriz cuadrada o matriz fundamental.
Son de utilidad para determinar si dos funciones son independientes linealmente y de
esta forma crear un conjunto solucion que a la vez respete la teorfa de las ecuaciones
diferenciales.[5]
2. Objetivos
• Comprender que son los espacios y subespacios vectoriales dentro de la
ingeniera para entender la gran importancia que tiene en el ambito laboral y asf
llegarlo a aplicarlo en un futuro.
• Analizar el uso del metodo del wronskiano para resolver ejercicios con todo tipo
de funciones sean algebraicas, exponenciales, logarftmicas, etc.

5. Y de esta forma determinar si es linealmente independiente o dependiente.
3. Fundamentacion teorica
Dentro de Espacios y subespacios vectoriales al descomponer un espacio vectorial en
subespacios permite centrarte en conjuntos mas simples de elementos, en lugar de un
todo el espacio. Puedes encontrar que elementos basicos del espacio vectorial son los
que dan lugar por combinacion lineal a cualquier otro elemento.[6]
3.1. Aplicacion de los espacios y subespacios vectoriales en ingenieria en
telecomunicaciones.
A continuacion, nos vamos a basar en el siguiente ejemplo para al final llegar a una
conclusion de la aplicabilidad de los espacios y subespacios vectoriales en la carrera
de ingenieria en telecomunicaciones:
Un joven llamado Ander Martinez se encuentra en Africa en su primer trabajo como
ingeniero. Su empresa se dedica a la construccion de infraestructuras de agua y
saneamiento y esta buscando oportunidades de negocio en el exterior. Ander debe
observar las instalaciones existentes y valorar las oportunidades de mercado. En un
principio simplemente deberfa elaborar un informe a su regreso, pero ahora ha surgido
un posible socio colaborador en el negocio, el cual desea saber cuanto antes cual es
exactamente la situacion; por ello, el jefe de Ander quiere que este le envfe
urgentemente, entre otras cosas, cuantas fotos haya tomado. Ander penso que esto iba
a ser lo mas sencillo de todo: simplemente enviar las fotos por Internet. Para su
disgusto esto no ha sido asf: las comunicaciones en el lugar en el que se encuentra
son muy malas por lo que, aunque puede enviar archivos poco pesados, cada vez que
va a enviar una foto, debido a lo que esta ocupa el sistema se queda colgado. Por otra
parte, se encuentran en la epoca de lluvias y debido a las ultimas inundaciones la
comunicacion por via terrestre esta cortada; incluso si no hubiera sido asf, no habrfa
ninguna garantfa de que un correo postal pudiera llegar a su destino en un tiempo
prudencial. Ander sabe que su renovacion en la empresa podrfa depender de como
resuelva esta situacion, pero no sabe que hacer. En la misma zona en la que se
encuentra Ander estan dos ingenieros de telecomunicaciones, Amaia y Alberto, a los
que Ander ha contado su problema confiando en que estos puedan ayudarle. Ellos
tampoco ven una solucion directa, pero recuerdan que al final del primer curso de la
carrera un profesor les hablo de la problematica de enviar imagenes de satelite
(muchas y con mucha informacion) a la Tierra, y les comento algunos procedimientos
matematicos que se pueden emplear para enviar menos informacion asociada a cada
imagen, de manera que estas ocupen menos. En concreto recuerdan que les hablo de
algo llamado descomposicion en valores singulares, que empleaba varios conceptos
junto con sus propiedades fundamentales que se habfan visto durante el ano, como
valores y vectores propios de una cierta matriz, vectores ortogonales y vectores
normalizados. jComo disfrutaron aquella clase! Por fin se dieron cuenta de que lo que
habfan

7. 0
𝑥3
+ 2𝑥2
𝑥 + 3 𝑥 + 1
3𝑥2
+ 4𝑥 1 1
6𝑥 + 4 0 0
= 0
0
𝑥3
+ 2𝑥2
𝑥2
𝑥 + 1
3𝑥2
+ 4𝑥 2𝑥 1
6𝑥 + 4 2 0
= 0
0
𝑥3
+ 2𝑥2
𝑥2−1
𝑥 + 3
3𝑥2
+ 4𝑥 2𝑥 1
6𝑥 + 4 02 0
= 0
𝑠𝑢𝑚𝑎 = 24 + 0 + 0 = 24 ≠ 0 𝑭 𝒆𝒔 𝒍𝒊
a(𝑥3
+ 2𝑥2
) + 𝑏 𝑥2−1
+ 𝑐 𝑥 + 3 + 𝐷(𝑥 + 1)
𝑎 1,2,0,0 𝑏 0,1,0, −1 𝐶 0,0,1,3 𝐷(0,0,1,1)
2) 𝑭 = 𝒙𝟐
+ 𝟒𝒙; 𝒙𝟐
+ 𝒙 ; 𝒙𝟐
+ 𝟖𝒙
𝑥2
+ 4𝑥 𝑥2
+ 𝑥 𝑥2
+ 8𝑥
2𝑥 + 4 2𝑥 + 1 2𝑥 + 8
2 2 2
2 2𝑥 + 1 𝑥2
+ 4𝑥 + 2 2𝑥 + 4 𝑥2
+ 8𝑥 + 2(𝑥2
+ 𝑥)(2𝑥 + 8)
4𝑥 + 2 𝑥2
+ 4𝑥 4𝑥 + 8 𝑥2
+ 8𝑥 (2𝑥2
+ 2𝑥)(2𝑥 + 4)
4𝑥3
+ 8𝑥2
+ 4𝑥 + 4𝑥3
+ 40𝑥2
+ 64𝑥 + 4𝑥3
+ 20𝑥2
+ 16𝑥
Diagonal principal = 12𝑥3
+ 68𝑥2
+ 84𝑥
2 2𝑥 + 1 𝑥2
+ 8𝑥 2 2𝑥 + 8 𝑥2
+ 4𝑥 2(𝑥2
+ 𝑥)(2𝑥 + 4)
4𝑥 + 2 𝑥2
+ 8𝑥 (4𝑥 + 16)(𝑥2
+ 4𝑥 (2𝑥2
+ 2𝑥)(2𝑥 + 4)
4𝑥3
+ 34𝑥2
+ 16𝑥 + 4𝑥3
+ 32𝑥2
+ 64𝑥 + 4𝑥3
+ 12𝑥2
+ 8𝑥
Diagonal secundaria = 12𝑥3
+ 78𝑥2
+ 88𝑥
12𝑥3
+ 68𝑥2
+ 84𝑥 − 12𝑥3
− 78𝑥2
− 88𝑥
−10𝑥2
− 4𝑥 ≠ 0 𝑭 𝒆𝒔 𝒍𝒊
3) 𝑭 = 𝒙𝟐
+ 𝟓𝒙; 𝟐𝒙𝟐
+ 𝟒; 𝒙 + 𝟏
𝑥2
+ 5𝑥 2𝑥2
+ 4 𝑥 + 1
2𝑥 + 5 4𝑥 𝑥 + 1
2 4 0
𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒 = 0 + 8𝑥 + 20 + 4𝑥2
+ 8 − 8𝑥2
+ 8𝑥 + 4𝑥2
+ 20𝑥
0 + 8𝑥 + 20 + 4𝑥2
+ 8 − (12𝑥2
+ 28𝑥)
4𝑥2
+ 8𝑥 + 28 − 12𝑥2
− 28𝑥
-8x-20x+28 ≠ 0 𝑭 𝒆𝒔 𝑳𝒊

8. B) Funciones 2. Dos funciones compuestas, producto, division,
trigonometricas, exponenciales, hiperbolicas, polinomicas y determinar si
son li o ld con el teorema del Wronskiano.
5. Conclusiones
• Al comprender bases teoricas sobre los espacios y subespacios vectoriales, la
aplicacion de los mismos, llegamos a entender que es muy importante y util
estudiar algebra lineal dentro de una ingeniera porque se la puede aplicar en el
ambito laborar y en nuestra carrera.
• El metodo wronskiano de una cierta forma nos facilita una mayor rapidez y
eficacia al realizar ejercicios de funciones donde nos toque determinar el
determinante de la matriz cuadrada sea linealmente independiente o
dependiente.
6. Enlace Slidershare
𝟏)𝑭 𝓮𝒙
; 𝒄𝒐𝒔𝒙 ; 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒆𝒔 𝒍𝒊 𝒐 𝒍𝒅
𝒘 ℯ𝑥
, 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
ℯ𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
ℯ𝑥
−𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
ℯ𝑥
−𝑠𝑒𝑛𝑥 −𝑠𝑒𝑛𝑥
𝒘 ℯ𝑥
, 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 𝑠𝑒𝑛𝑥
= ℯ𝑥 −𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
−𝑐𝑜𝑠𝑥 −𝑠𝑒𝑛𝑥
− 𝑐𝑜𝑠𝑥
ℯ𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
ℯ𝑥
−𝑠𝑒𝑛𝑥
+ 𝑠𝑒𝑛𝑥
ℯ𝑥
−𝑠𝑒𝑛𝑥
ℯ𝑥
−𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑤 𝑙, 𝑥, 𝑥2
= ℯ𝑥
𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 −ℯ𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 − ℯ𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥(−ℯ𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
+ ℯ𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥)
𝑤 𝑙, 𝑥, 𝑥2
= ℯ𝑥
1 + ℯ𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + ℯ𝑥
𝑐𝑜𝑠2
𝑥 − ℯ𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + ℯ𝑥
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑤 𝑙, 𝑥, 𝑥2
= ℯ𝑥
+ ℯ𝑥
𝑐𝑜𝑠2
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 = ℯ𝑥
+ ℯ𝑥
1 = 2ℯ𝑥
≠ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 𝑟 ℎ 𝑥 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 ℝ
𝟐)𝑭 𝒄𝒐𝒔𝟐
𝒙 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒆𝒔 𝒍𝒊 𝒐 𝒍𝒅
𝒘 𝑐𝑜𝑠𝟐
𝑥, 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝟐
𝑥 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
−2 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 −2𝑠𝑒𝑛2𝑥
= 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 −2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − (−2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥)(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)
𝒘 𝑐𝑜𝑠𝟐
𝑥, 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2
𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥
= −2𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝒘 𝑐𝑜𝑠𝟐
𝑥, 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 −2𝑐𝑜𝑠2
𝑥 + 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
= 𝑠𝑒𝑛2𝑥 −2𝑐𝑜𝑠2
𝑥 + 1 + 2𝑐𝑜𝑠2
𝑥 − 1 𝑠𝑒𝑛2𝑥 ∗ (0)
𝑤 𝑐𝑜𝑠2
𝑥, 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 0 = 0 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

9. 7. Bibliografias
[1 ] M. ARVESU and Y. SANCHEZ, “ESPACIOS VECTORIALES,” in Problemas
resueltos de Algebra Lineal, .
[2] U. tecnoliga nacional facultad regional buenos Aires, “Espacios y subespacios
vectoriales.” https://aga.frba.utn.edu.ar/espacios-y-subespacios-vectoriales/.
[3] E. blog de Leo, “Algebra Lineal I: Subespacios vectoriales.”
https://blog.nekomath.com/algebra-lineal-i-subespacios-vectoriales/.
[4] Carlita Vaca, “Espacios vectoriales y subespacios vectoriales,” 2012.
https://es.slideshare.net/algebra_lineal/espacios-vectoriales-y-subespacios-
vectoriales19-092012.
[5] EIYSC, “Que es el wronskiano,” 2016. https://www.slideshare.net/EIYSC/que-es-
el-wronskiano.
[6] Cub Ensayos, “Como Se Aplican Los Espacios Vectoriales En Ingeniena,” 17 de
Julio de 2013, 2013.
https://www.clubensayos.com/Temas-Variados/Como-Se-Aplican-Los-
Espacios-Vectoriales-En-Ingenierfa/915414.html.
[7] Veronica Valdenebro Villar, “Almacenamiento y Transmision de Imagenes
Digitales: como reducir la cantidad de datos,” 2015.
https://addi.ehu.eus/bitstream/handle/10810/17733/valdenebro-10-2015-
ik.pdf?sequence=1&isAllowed=y.