calculo

1. ALGEBRA LINEAL
Unidad 3
Tarea 3 Espacios Vectoriales
Tutor:
Álvaro Alberto Huertas Cabrera
Estudiantes
Fabio Alexander Muñoz
Código: 76029453
Laura Ximena Montes Estrada
Código: 1088020290
Alejandro Magno Guerrero Huila
Hernán Darío Ureña
Código:
Grupo
208046_379
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD
Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería
Noviembre de 2019

2. ALGEBRA LINEAL
INTRODUCCIÓN
Gracias a los aportes que el álgebra lineal como ciencia matemática realiza en el
ámbito computacional y las significativas e incontables aplicaciones en el campo
de la tecnología, lo que hace necesario el estudio y comprensión de los sistemas
lineales de ecuaciones, rectas y planos, espacio vectorial, que fundamenten los
conocimientos de la unidad 3 de este curso y potenciar el aprendizaje del
estudiante en formación.

3. ALGEBRA LINEAL
OBJETIVOS
 Comprender los fundamentos teóricos de sistemas de ecuaciones lineales,
rectas y planos, espacio vectorial a través de procesos de pensamiento que
faciliten la solución de los ejercicios propuestos.
 Interactuar con los demás integrantes de grupo para lograr un excelente
trabajo y dar solución a los problemas plateados y en la guía de actividades.
 Comprender y analizar cada uno de los ejercicios planteados, aplicando los
métodos más adecuados para su solución.

4. ALGEBRA LINEAL
Contenido del Trabajo Unidad 3
Estudiante 1
Laura Montes
Literal (a)
Descripción del ejercicio 1
Conceptualización de Espacios vectoriales
Cada estudiante debe seleccionar un sólo ítem de los propuestos en la
Tabla 1, y elaborar una infografía en donde se conceptualice sobre los
siguientes temas, para lo cual puede emplear las herramientas Easily
(https://www.easel.ly/), Canva (https://www.canva.com/), Visme
(https://www.visme.co/) o en cualquier otra herramienta similar
disponible.
a. Combinación lineal y espacio generado
https://www.canva.com/design/DADsZptA6SI/lBVwHjh8_sfZ
qA5HdkvcSA/edit
Descripción del ejercicio 2
Axiomas y propiedades de espacios vectoriales

5. ALGEBRA LINEAL
a. Dados los vectores 𝒖 = (4,0, −3) y 𝒗 = (0,2,5), calcular:
𝒊) 𝒖 + 𝒗
𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖
(4,0, −3) + (0,2,5) = (0,2,5) + (4,0,−3)
(4 + 0,0 + 2, −3 + 5)) + (0 + 4, 2 + 0, 5 ± 3)
(4,2, 2) = (4,2, 2)
R//: Por lo cual cumple la primera condición
𝒊𝒊) 𝒖 − 𝒗
(4,0, −3) − (0,2,5) = (0,2,5) − (4,0,−3)
(4 − 0,0 − 2, −3 − 5)) + (0 − 4, 2 − 0, 5 − −3)
(4,−2, −8) = (−4,2,8)
𝒊𝒊𝒊) 2𝒖 +
1
3
𝒗
𝟐(4,0,−3) +
1
3
(0,2,5)
(8,0, −6) = (
0
3
,
2
3
,
5
3
)
Descripción del ejercicio 3
Conjuntos generadores y Dependencia lineal
a.
1. Determine si el conjunto 𝑆 genera a ℝ3
:
𝑆 = {(4,7,3), (−1,2,6),(2,−3,5)}
Se marca una matriz y se hace una combinación lineal
[
4 −1 2
7 2 −3
3 6 5
|
0
0
0
] 𝑓3 = 𝑓1 − 𝑓2 − 𝑓3
Primero se realiza resta
𝑓3 = 𝑓1 − 𝑓2 − 𝑓3[
4 −1 2
−3 −3 5
|
0
0
]
1
2
[
4 −1 2
0 0 0
|
0
0
]
2. Determine si el conjunto 𝑆 es linealmente dependiente.

6. ALGEBRA LINEAL
𝑺 = {(−𝟐,𝟒), (𝟏,−𝟐)}
𝐶1 = (−2,4)
𝐶2 = (1,−2)
𝐶1 = (
−2
4
) + 𝐶2 (
1
−2
) = (
0
0
)
Despejar las dos constantes
𝐶1 − 2 + 4𝐶2 = 0 𝟏
𝐶1−2𝐶2 = 0 𝟐
𝐶1 =
−2
4
= −0.5 𝟏
𝐶2 =
𝐶1
−2
= −0.5 𝟐
Estudiante 2
Fabio Muñoz
Literal (b)
Descripción del ejercicio 1
Conceptualización de Espacios vectoriales
Cada estudiante debe seleccionar un sólo ítem de los propuestos en la
Tabla 1, y elaborar una infografía en donde se conceptualice sobre los
siguientes temas, para lo cual puede emplear las herramientas Easily
(https://www.easel.ly/), Canva (https://www.canva.com/), Visme
(https://www.visme.co/) o en cualquier otra herramienta similar
disponible.
https://www.canva.com/design/DADq2ii1uN4/hH5ekkbauWkC0coXUCqtZw/view?utm_c
ontent=DADq2ii1uN4&utm_campaign=designshare&utm_medium=link&utm_source=sha
rebutton
Descripción del ejercicio 2
Axiomas y propiedades de espacios vectoriales
Dados los vectores 𝒖 = (3,8,7) y 𝒗 = (1, −2,4), calcular:
𝒊) 𝒖 + 𝒗 𝒊𝒊) 𝒖 − 𝒗 𝒊𝒊𝒊) 3𝒖 − 5𝒗

7. ALGEBRA LINEAL
R//
Axioma ley de cerradura
Espacio vectorial en R3
𝒊) 𝒖 + 𝒗
𝒖 = (
𝟒
𝟎
−𝟑
)
𝒗 = (
𝟎
𝟐
𝟓
)
𝒖 + 𝒗 = 𝑹𝟑 pertenecen al mismo espacio vectorial
𝒖 + 𝒗 = (
𝟒
𝟎
−𝟑
)+ (
𝟎
𝟐
𝟓
)
𝒖 + 𝒗 = (
𝟒
𝟐
𝟐
) vemos que se cumple la primera propiedad, la suma se cumple por ese
motivo pertenece al espacio vectorial.
𝒊𝒊) 𝒖 − 𝒗
𝒖 = (
𝟒
𝟎
−𝟑
)
𝒗 = (
𝟎
𝟐
𝟓
)
𝒖 − 𝒗 = (
𝟒
𝟎
−𝟑
)− (
𝟎
𝟐
𝟓
)
𝒖 − 𝒗 = (−
𝟒
𝟐
−𝟖
)
vemos que se cumple la primera propiedad igualmente
𝒊𝒊𝒊) 3𝒖 − 5𝒗
𝟐𝒖 +
𝟏
𝟑
𝒗 = 𝟐 (
𝟒
𝟎
−𝟑
) +
𝟏
𝟑
(
𝟎
𝟐
𝟓
)
𝟐𝒖 +
𝟏
𝟑
𝒗 = (
𝟖
𝟎
−𝟔
) +
(
𝟎
𝟐
𝟑
𝟓
𝟑)

8. ALGEBRA LINEAL
𝟐𝒖 +
𝟏
𝟑
𝒗 =
(
𝟖
𝟐
𝟑
−𝟏𝟑
𝟑 )
pertenece al espacio vectorial, se cumple la propiedad
Descripción del ejercicio 3
Conjuntos generadores y Dependencia lineal
1) Determine si el conjunto 𝑺 genera a R3
𝑆 = {(6,7,6),(3,2, −4),(1, −3,2)}
2) Determine si el conjunto 𝑺 es linealmente dependiente
𝑆 = {(1,−4,1), (6,3,2)}
1) Se realiza combinación lineal, se establece una matriz
Ɑ(𝟔,𝟕,𝟔) + 𝛃(𝟑,𝟐, −𝟒) + 𝛉(𝟏,−𝟑,𝟐)
𝟔
𝟕
𝟔
𝟑
𝟐
−𝟒
𝟏
−𝟑
𝟐
𝟎
𝟎
𝟎
Se realiza resta
𝑭𝟑 = 𝑭𝟏 − 𝑭𝟐 − 𝑭𝟑 |
𝟔 𝟑 𝟏
−𝟕 𝟓 𝟐
𝟎
𝟎
|
𝟏
𝟐
𝒇𝟑 |
𝟔 𝟑 𝟏
𝟎 𝟎 𝟎
𝟎
𝟎
|
Ɑ + 𝛃 + 𝟐𝛉 = 𝟎 Ɑ = −𝛉
𝛃+ 𝛉 = 𝟎 θ= -θ
El sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas
soluciones; es linealmente Dependiente.
2) Determine si el conjunto 𝑺 es linealmente dependiente
𝑆 = {(1,−4,1), (6,3,2)}

9. ALGEBRA LINEAL
Se establece el sistema, se toma la variable c, se realiza
combinación lineal.
𝑪𝟏 = (𝟏,−𝟒, 𝟏)
𝑪𝟐 = (𝟔,𝟑, 𝟐)
𝑪𝟏 = (
𝟏
−𝟒
𝟏
) + 𝑪𝟐 (
𝟔
𝟑
𝟐
) = (
𝟎
𝟎
𝟎
)
Se despejan las constantes
(𝟏) 𝑪𝟏 + 𝟔𝑪𝟐 = 𝟎
(𝟐) − 𝟒𝑪𝟏 + 𝟑𝑪𝟐 = 𝟎
(𝟐) 𝟏𝑪𝟏 + 𝟐𝑪𝟐 = 𝟎
(𝟏) 𝑪𝟏 =
𝑪𝟏
𝟔
(𝟐) 𝑪𝟐 =
𝟒𝑪𝟏
𝟑
= 𝟎
−𝟒𝑪𝟏 + 𝑪𝟏
−𝑪𝟏
𝟔
−𝟒𝑪𝟏 + 𝑪𝟏 +
−𝟒𝑪𝟏
𝟑
= 𝟎
𝑪𝟏 = 𝟎
𝑪𝟐 = 𝟎
El resultado representa un sistema lineal independiente
Descripción del ejercicio 4
Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal.
Dada la siguiente matriz:
𝐵 = [
−1 2 6
2 3 5
−3 0 3
2 1 4
]
1. Calcular el rango por el método de Gauss Jordán
2. Calcular el rango por el método de determinantes
3. Indique si existe dependencia o independencia lineal.

10. ALGEBRA LINEAL
rango por el método de Gauss Jordán
𝐵 = [
−1 2 6
2 3 5
−3 0 3
2 1 4
]
Se reduce la matriz a la forma escalonada por renglones
Se intercambian filas de la matriz R1 R3
𝐵 = [
−3 0 3
2 3 5
−1 2 3
2 1 4
]
Se cancela primer coeficiente en la fila R2
𝐵 = [
−3 0 3
0 3 7
−1 2 6
2 1 4
]
Se cancela el primer coeficiente en la fila R3
𝐵 = [
−3 0 3
0 3 7
0 2 5
2 1 4
]
Se cancela el primer coeficiente en la fila R4
𝐵 = [
−3 0 3
0 3 7
0 2 5
0 1 6
]
Se cancela el primer coeficiente en la fila R3 R3-2/3*R2
𝐵 = [
−3 0 3
0 3 7
0 0 1/3
0 1 6
]
Se cancela el primer coeficiente en la fila R4 R4-1/3*R2
𝐵 = [
−3 0 3
0 3 7
0 0 1/3
0 0 11/3
]
Se intercambian las filas de la matriz R3 R4
𝐵 = [
−3 0 3
0 3 7
0 0 11/3
0 0 1/3
]
Se cancela el primer coeficiente en la fila R4 R4-1/11*R3

11. ALGEBRA LINEAL
𝐵 = [
−3 0 3
0 3 7
0 0 11/3
0 0 0
]
Se continua la reducción escalonada por renglones
Se multiplica la fila de la matriz por la constante R3 3/11*R3
𝐵 = [
−3 0 3
0 3 7
0 0 1
0 0 0
]
Se cancela el primer coeficiente en la fila R2 R2-7*R3
𝐵 = [
−3 0 3
0 3 0
0 0 1
0 0 0
]
Cancelo primer coeficiente en la fila R1 R1-R3*R3
𝐵 = [
−3 0 0
0 3 0
0 0 1
0 0 0
]
Se multiplica la fila de la matriz por la constante R2 1/3*R2
𝐵 = [
−3 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
]
Multiplico la fila de la matriz por la constante R1 -1/3*R1
𝐵 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
]
El rango de la matriz es (3) ya que son las filas resultado después de la eliminación
2. Calcular el rango por el método de determinantes
𝐵 = [
−1 2 6
2 3 5
−3 0 3
2 1 4
]
Se asegura el rango y se calcula el determinante por la regla de Sarrus
|
−1 2 6
2 3 5
2 1 4
|
−1 ∗ 3 ∗ 4 + 2 ∗ 0 ∗ 6 + 2 ∗ 5 ∗ (−3) − (−3) ∗ 3 ∗ 6 − 0 ∗ 5 ∗ (−1) − 2 ∗ 2 ∗ 3 = 3
Por lo tanto, se determina que el rango de la matriz por determinante es (3)
3. Indique si existe dependencia o independencia lineal.

12. ALGEBRA LINEAL
𝐵 = [
−1 2 6
2 3 5
−3 0 3
2 1 4
]
𝐶1 = (−1,2, −3,2) + 𝐶2(2,3,0,1)+ 𝐶3(6,5,3,4)
−1𝐶1 + 2𝐶2 + 6𝐶3 = 0
2𝐶1 + 3𝐶2 + 5𝐶3 = 0
−3𝐶1 + 02𝐶2 + 3𝐶3 = 0
2𝐶1 + 1𝐶2 + 4𝐶3 = 0
𝐶2 = −𝐶1/2− 6𝐶3 = 0
𝐶3 = 𝐶2/3 − 5𝐶3 = 0
𝐶2 = −𝐶1/3− 3𝐶3 = 0
𝐶3 = −𝐶1/−3− 4𝐶3 = 0
Por lo cual el sistema es linealmente independiente
Descripción del ejercicio 5
Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y
operaciones relacionadas con espacios
Sean 𝒖, 𝒗 y 𝒘 vectores en ℝ3
Demuestre que:
𝑢 ∗ (𝑣 ∗ 𝑤) = (𝑢 ∗ 𝑣) ∗ 𝑤
Para este caso se utiliza la definición del producto escalar 𝑆𝑖 𝑢 ∗ 𝑣 = 𝑤 ∗
𝑢 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑣 = 𝑤?
𝑢 ∗ 𝑣 = 𝑤 ∗ 𝑢
(𝑢𝑥, 𝑢𝑦. 𝑢𝑧) ∗ (𝑣𝑥,𝑣𝑦, 𝑣𝑧)
= (𝑤𝑥, 𝑤𝑦, 𝑤𝑧) ∗ (𝑢𝑥, 𝑢𝑦, 𝑢𝑧)
(𝑢𝑥, 𝑣𝑥. )+ (𝑢𝑦 ∗ 𝑣𝑦) + (𝑢𝑧 ∗ 𝑣𝑧)
= (𝑢𝑥 ∗ 𝑤𝑥) + (𝑢𝑦 ∗ 𝑤𝑦) + (𝑢𝑧 ∗ 𝑤𝑧)
[𝑢] ∗ [𝑣] ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝛼)
= [𝑢] ∗ [𝑤] ∗ cos(𝜃)
Esta definición da como resultado que el producto escalar entre (u) y ( v) tienen o
existe un ángulo entre ambos vectores y que el vector (w) no es igual al vector( v)
porque es posible que sea su simétrico de acuerdo con el vector (u)
Con esto se demuestra que es posible 𝑢 ∗ 𝑣 = 𝑤 ∗ 𝑢 𝑐𝑜𝑛 𝑣 ≠ 𝑤
Si 𝑢 ∗ 𝑣 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑢 = 0 ó 𝑣 = 0
Vemos que se resuelve con la definición de un vector y con un producto
escalar.

13. ALGEBRA LINEAL
La definición nos dice que un vector es nulo cuando su modulo es (0) ósea
que [𝒖] = 𝟎, por lo tanto, se representa como 𝒖 = 𝟎
Con esto se demuestra 𝒒𝒖𝒆 𝒖 = 𝟎 ,𝒗 = 𝟎 𝒚 𝒘 = 𝟎
Descripción del ejercicio 6
Tabla enlace video explicativo.
No Grupo Enlace video explicativo
379 https://youtu.be/RzsBqbnS2U4
Estudiante 3
Alejandro Magno
Literal (c)
Descripción del ejercicio 1
Conceptualización de Espacios vectoriales
Cada estudiante debe seleccionar un sólo ítem de los propuestos en la
Tabla 1, y elaborar una infografía en donde se conceptualice sobre los
siguientes temas, para lo cual puede emplear las herramientas Easily
(https://www.easel.ly/), Canva (https://www.canva.com/), Visme
(https://www.visme.co/) o en cualquier otra herramienta similar
disponible.
https://www.canva.com/design/DADrrPpBAmA/3Htc9Kz7kLKY0lEpeU_nPg/edit
Descripción del ejercicio 2
Descripción del ejercicio 2
c)
Dados los vectores 𝒖 = (3,8,7) y 𝒗 = (1, −2,4), y
los escalares 𝑎 = 3 y 𝑏 =
1
5
verifique si:
𝒊) 𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖 𝒊𝒊) 𝑎( 𝒖 + 𝒗) = 𝑎𝒖 + 𝑎𝒗
𝑢 = (3,8,7) 𝑣 = (1,−2,4)
𝑎 = 3 𝑏 =
1
5
𝑢 + 𝑣 = (3,8,7) + (1, −2,4)
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛
𝑢 + 𝑣 = (4,6,11)

14. ALGEBRA LINEAL
𝑣 + 𝑢 = (1,−2,4) + (3,8,7)
𝑣 + 𝑢 = (4,6,11)
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑢 + 𝑣 = (4,6,11) = 𝑣 + 𝑢 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
𝑢 = (3,8,7) 𝑣 = (1,−2,4) 𝑎 = 3 𝑏 =
1
5
𝑎(𝑢 + 𝑣) = 𝑎. 𝑢 + 𝑎. 𝑣
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜
𝑢 + 𝑣 = (4,6,11)
𝑎(𝑢 + 𝑣) = 3(4,6,11) =
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠,
𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟.
𝑎(𝑢 + 𝑣) = (12,18,33)
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜
𝑎 𝑢 = 3(3,8,7) = (9,24,21)
𝑎 𝑣 = 3(1,−2,4) = (3 − 6,12)
𝑎𝑢 + 𝑎𝑣 = (9,24,21) + (3,−6,12)
= (9 + 3,24 − 6,21 + 12)
= (12,18,33)
𝑎(𝑢 + 𝑣) = (12,18,33) = 𝑎𝑢 + 𝑎𝑣 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎(𝑢 + 𝑣) = 𝑎𝑢 + 𝑎𝑣
Descripción del ejercicio 3
Conjuntos generadores y Dependencia lineal
1. Determine si el conjunto 𝑆 genera a ℝ3
:
𝑆 = {(−2,5,0),(4,6,3)}

15. ALGEBRA LINEAL
2. Determine si el conjunto 𝑆 es linealmente dependiente.
𝑆 = {(1,1,1),(2,2,2), (3,3,3)}
𝑆 = {(−2,5,0),(4,6,3)} genera a ℝ3
𝑆𝑒𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑣 = (𝑣1,𝑣2, 𝑣3)𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑛 ℝ3
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝐾1, 𝐾2, 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒
(𝑣1,𝑣2, 𝑣3) = 𝐾1(−2,5,0) + 𝐾2(4,6,3)
= −2𝐾1 + 4𝐾2 5𝐾1+ 6𝐾2 0𝐾1+ 3𝐾2
{
−2 𝑘1 + 4𝑘2 = 𝑣1
5𝑘1 + 6𝑘2 = 𝑣2
0𝑘1 + 3𝑘2 = 𝑣3
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑒𝑟 𝑠𝑖 ℎ𝑎𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠.
𝑆𝑖 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐴 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠,
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑆 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎 𝐴 ℝ3
𝑃𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑜 𝑒𝑛 𝑠𝑢 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝐴 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠.
Descripción del ejercicio 4
Descripción del ejercicio 5
Descripción del ejercicio 6
Tabla enlace video explicativo.
No Grupo Enlace video explicativo
379
Estudiante 4
Hernán Darío Ureña
Literal (d)
Descripción del ejercicio 1
Conceptualización de Espacios vectoriales
Cada estudiante debe seleccionar un sólo ítem de los propuestos en la
Tabla 1, y elaborar una infografía en donde se conceptualice sobre los
siguientes temas, para lo cual puede emplear las herramientas Easily
(https://www.easel.ly/), Canva (https://www.canva.com/), Visme

16. ALGEBRA LINEAL
(https://www.visme.co/) o en cualquier otra herramienta similar
disponible.
Conceptualización de Espacios vectoriales
https://infograph.venngage.com/ps/p75fjgXfTw/bases-y-dimensiones_cemc

17. ALGEBRA LINEAL
Descripción del ejercicio 2

18. ALGEBRA LINEAL
Axiomas y propiedades de espacios vectoriales
Dados los vectores 𝒖 = (3,8,7) y 𝒘 = (1, −2,4), y los escalares 𝑎 = 3 y 𝑏 =
1
5
verifique si:
𝒊) (𝑎 + 𝑏)𝒖 = 𝑎𝒖 + 𝑏𝒖 𝒊𝒊) 𝑎(𝑏𝒘) = (𝑎𝑏)𝒘
a.
(𝑎 + 𝑏) ∗ 𝑢 = (
16
5
) ∗ (3,8,7) = (
48
5
,
128
5
,
112
5
) 𝑝𝑜𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜
𝑎𝑢 + 𝑏𝑢 = (9, 24, 21)+ (
3
5
,
8
5
,
7
5
) = (
48
5
,
128
5
,
112
5
)
Como, (
48
5
,
128
5
,
112
5
) = (
48
5
,
128
5
,
112
5
)
Por lo tanto, (𝑎 + 𝑏)𝒖 = 𝑎𝒖 + 𝑏𝒖
b.
𝑎(𝑏𝒘) = 𝟑 [(
𝟏
𝟓
) ∗ (1, −2,4)] = 𝟑 [
𝟏
𝟓
, −
𝟐
𝟓
,
𝟒
𝟓
] = (
𝟑
𝟓
, −
𝟔
𝟓
,
𝟏𝟐
𝟓
), 𝒑𝒐𝒓 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒍𝒂𝒅𝒐
(𝑎𝑏)𝒘 = [𝟑 ∗
𝟏
𝟓
] (1,−2,4) =
3
5
∗ (1,−2,4) = (
3
5
, −
6
5
,
12
5
)
Como: (
𝟑
𝟓
, −
𝟔
𝟓
,
𝟏𝟐
𝟓
) = (
𝟑
𝟓
, −
𝟔
𝟓
,
𝟏𝟐
𝟓
), 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐, 𝑎(𝑏𝒘) = (𝑎𝑏)𝒘
Descripción del ejercicio 3
Conjuntos generadores y Dependencia lineal
d)
1. Determine si el conjunto 𝑆 genera a ℝ3
:
𝑆 = {(1,0,1),(1,1,0), (0,1,1)}
2. Determine si el conjunto 𝑆 es linealmente
dependiente.
𝑆 = {(−4, −3,4),(1, −2,3),(6,0,0)}
1. Determine si el conjunto 𝑆 genera a ℝ3
:
𝑆 = {(1,0,1),(1,1,0), (0,1,1)}
Sea el conjunto 𝑣 = (𝑣1,𝑣2,𝑣3) 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑅3. 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠
𝑘1,𝑘2, 𝑘3 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒: (𝑣1,𝑣2,𝑣3) = 𝑘1(1,0,1) + 𝑘2(1,1,0) + 𝑘3(0,1,1)
De aquí, nos arroja el siguiente sistema:

19. ALGEBRA LINEAL
𝑘1 + 𝑘2 = 𝑣1
𝑘2 + 𝑘3 = 𝑣2
𝑘1 + 𝑘3 = 𝑣3
La matriz de coeficientes:
𝑀 = [
1 1 0
0 1 1
1 0 1
] , det𝑀 = 2
Como el determinante es diferente de cero, entonces hay solución única.
Lo que demuestra que S genera R3.
2. Determine si el conjunto 𝑆 es linealmente dependiente.
𝑆 = {(−4, −3,4),(1, −2,3),(6,0,0)}
Planteamos la matriz:
𝑀 = [
−4 1 6
−3 −2 0
4 3 0
]
Hallamos su determinante:
det 𝑀 = −4 ∗ 0 − 1 ∗ 0 + 6(−1) = −0 − 0 − 6 = −6
Como el determinante es distinto de cero; entonces el conjunto S no es
linealmente dependiente.
Descripción del ejercicio 4
Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal.
d)
Dada la siguiente matriz:
𝐷 =
[
2 1 3 2
3 2 5 1
−1
3
0
1
−2
1
0
1
1
−7
17
−4]
1. Calcular el rango por el método de Gauss
Jordán
2. Calcular el rango por el método de
determinantes
3. Indique si existe dependencia o
independencia lineal.
1. Por gauss- Jordan.

20. ALGEBRA LINEAL
[
2 1 3 2
3 2 5 1
−1
3
0
1
−2
1
0
1
1
−7
17
−4]
𝑅1:
𝑅1
2
=
[
1 0.5 1.5 1
3 2 5 1
−1
3
0
1
−2
1
0
1
1
−7
17
−4]
𝑅2: −3𝑅1 + 𝑅2
𝑅3: 1𝑅1 + 𝑅3
𝑅4: −3𝑅1 + 𝑅4
=
[
1 0.5 1.5 1
0 0.5 0.5 −2
0
0
0
1.5
−3.5
1
1.5
−3.5
1
−6
14
−4]
𝑅2:
𝑅2
0.5
=
[
1 0.5 1.5 1
0 1 1 −4
0
0
0
1.5
−3.5
1
1.5
−3.5
1
−6
14
−4]
𝑅3: −1.5𝑅2 + 𝑅3
𝑅4: 3.5𝑅2 + 𝑅4
𝑅5: −1𝑅2 + 𝑅5
=
[
1 0.5 1.5 1
0 1 1 −4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 ]
Par concluir, como hay dos filas no nulas, el 𝑟𝑎𝑛 (𝐷) = 2
2. Calcular el rango por el método de determinantes
Primeramente, elegimos una matriz 2x2, y hallamos su determinante:
det (
2 1
3 2
) = 2 ∗ 2 − 1 ∗ 3 = 1
Así pues, como hay un determinante de orden 2 que no es nulo, por
ahora podríamos decir que el rango es 2.
Ahora, elegimos una matriz 3x3, y hallamos su determinante:
det (
2 1 3
3 2 5
−1 1 0
) = 2(−5)− 1 ∗ 5 + 3 ∗ 5 = 0
Como el determinante de la matriz 3x3 es cero, concluimos que no
existe un rango 3 o mayor, ya que el rango de una matriz 4x4 daría
cero.
3. Indique si existe dependencia o independencia lineal.
Como ya tenemos la forma escalonada reducida de la matriz D:

21. ALGEBRA LINEAL
[
1 0.5 1.5 1
0 1 1 −4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 ]
La última matriz corresponde a una escalonada reducida, la cual nos
muestra que:
El sistema de matriz tiene solución no trivial.
En consecuencia, el conjunto es linealmente dependiente; es decir,
Existe dependencia lineal.
Descripción del ejercicio 5
Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas,
propiedades y operaciones relacionadas con espacios
vectoriales.
d)
Sean 𝒖, 𝒗 y 𝒘 vectores en ℝ3
. Demuestre que
𝒖 × (𝒗 + 𝒘) = (𝒖 × 𝒗) + (𝒖 × 𝒘)
Sea: {
𝑢 = (𝑎1,𝑎2, 𝑎3)
𝑣 = (𝑏1,𝑏2, 𝑏3)
𝑤 = (𝑐1,𝑐2, 𝑐3)
(𝒗 + 𝒘) = (𝑏1,𝑏2, 𝑏3) + (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3) = [(𝒃𝟏 + 𝒄𝟏),(𝒃𝟐 + 𝒄𝟐),(𝒃𝟑 + 𝒄𝟑)]
Ahora calculamos el producto cruz:
𝒖 × (𝒗 + 𝒘) = [𝒂𝟐 (𝒃𝟑 + 𝒄𝟑) − 𝒂𝟑(𝒃𝟐 + 𝒄𝟐) ,𝒂𝟑(𝒃𝟏 + 𝒄𝟏)
− 𝒂𝟏(𝒃𝟑 + 𝒄𝟑) ,𝒂𝟏(𝒃𝟐 + 𝒄𝟐) − 𝒂𝟐(𝒃𝟏 + 𝒄𝟏)]
= (𝑎2𝑏3+ 𝑎2𝑐3 − 𝑎3𝑏3− 𝑎3𝑐2), (𝑎3𝑏1+ 𝑎3𝑐1 − 𝑎1𝑏3− 𝑎1𝑐3) ,(𝑎1𝑏2+ 𝑎1𝑐2
− 𝑎2𝑏1 − 𝑎2𝑐1)
Hallando la suma de los productos cruz:
𝑢 ⨯ 𝑤 = (𝑎2𝑐3 − 𝑎3𝑐2 , 𝑎3𝑐1 − 𝑎1𝑐3 ,𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1)
𝑢 ⨯ 𝑣 = (𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2 ,𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3 ,𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)
(𝒖 × 𝒗) + (𝒖 × 𝒘):
= [(𝑎2𝑐3 − 𝑎3𝑐2 + 𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏3 ),(𝑎3𝑐1 − 𝑎1𝑐3 + 𝑎3𝑏1− 𝑎1𝑏3),( 𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1
+ 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1 ]
Luego como:

22. ALGEBRA LINEAL
(𝑎2𝑏3 + 𝑎2𝑐3 − 𝑎3𝑏3 − 𝑎3𝑐2),(𝑎3𝑏1 + 𝑎3𝑐1 − 𝑎1𝑏3 − 𝑎1𝑐3) ,(𝑎1𝑏2+ 𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑏1
− 𝑎2𝑐1)
= [(𝑎2𝑐3− 𝑎3𝑐2 + 𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏3 ),(𝑎3𝑐1 − 𝑎1𝑐3 + 𝑎3𝑏1
− 𝑎1𝑏3),( 𝑎1𝑐2− 𝑎2𝑐1 + 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1 ]
Podemos concluir que:
𝒖 × (𝒗+ 𝒘) = (𝒖 × 𝒗) + (𝒖 × 𝒘)
Descripción del ejercicio 6
Tabla enlace video explicativo.
No Grupo Enlace video explicativo
379
CONCLUSIÓN
El desarrollo de cada uno de los ejercicios del trabajo colaborativo nos permitió el
reconocimiento de las temáticas relacionadas con los sistemas de ecuaciones
lineales, rectas y planos, espacio vectorial, y así lograr comprender y adquirir el un
aprendizaje a través de la interacción de trabajo en equipo.

23. ALGEBRA LINEAL
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