kesetaraan baris dan perkalian matriks

2. Kesetaraan Baris dan Perkalian Matriks
Di pembahasan ini, kita akan berkenalan dengan algoritma untuk
menghitung suatu matriks tidak singular, kita juga akan menyelidiki kaitan
antara pengolahan dasar baris yang di gunakan untuk memecahkan sistem
persamaan linear dengan pengolahan matriks yang telah di perkenalkan dan di
pelajari di dalam pembahasan yang lalu.
Jika matriks koefisien bagi sistem linier
AX=K
Dapat di balik, maka perkalian persamaan ini dengan 𝐴−1 dari sebelah kiri
menghasilkan
𝐴−1 𝐴𝑋 = 𝐴−1 𝐾
𝑋 = 𝐴−1 𝐾

3. Sekarang perhatikan persamaan matriks umum
AX=B
dengan B tidak harus berupa suatu matriks kolom. Misalkan bahwa B berukuran n x r
dan lambangkan kolom – kolom B dan X masing – masing dengan Bi dan Xi (I = 1,2,. .
.,r) sehingga
𝐵 = 𝐵1 𝐵2 … 𝐵𝑟 dan 𝑋 = 𝑋1 𝑋2 … 𝑋𝑟
Dan persamaan 1.9 Pasal 1.5 kita memperoleh
Kolj (AX) = A Kolj (X) = AX
yang berarti kolom – kolom matriks AX adalah A kali kolom – kolom matriks X; dengan
kata lain
𝐴𝑋 = 𝐴𝑋1 𝐴𝑋2 … 𝐴𝑋𝑟
Kalau sekarang kita memperhatikan persamaan matriks AX=B kolom demi kolom,kita
akan melihat bahwa persamaan itu setara dengan himpunan sistem persamaan linier
𝐴𝑋𝑖 = 𝐵𝑖 𝑖 = 1,2, … , 𝑟

4. Telah diketahui di dalam pasal 1.4 bahwa suatu himpunan sistem demikian ini dapat di
peroleh secara efisien dengan penyedehanaan baris yang sama. Khususnya, jika 𝑨−𝟏 ada dan
𝑨 𝑩
𝒑𝒆𝒏𝒚𝒆𝒅𝒆𝒓𝒉𝒂𝒏𝒂𝒂𝒏 𝒃𝒂𝒓𝒊𝒔
𝑰 𝑿 (1.12)
maka 𝑿 = 𝑨−𝟏 𝑩 merupakan solusi tunggal bagi persamaan AX=B. Jika A tidak setara baris
dengan matriks identitas, maka penyederhanaan baris itu akan terhenti pada suatu
himpunan sistem linier, yang koefisiennya berada dalam bentuk eselon baris
tersederhanakan, dan setiap sistem dapat di pecahkan dengan mudah. Di dalam hal demikian
,solusinya mungkin tidak ada,dan jika ada,mungkin tidak tunggal
Contoh 1
Pecahkan persamaan AX=B jika
𝑨 =
𝟏 𝟐 𝟑
𝟑 𝟏 −𝟐
𝟒 𝟓 𝟔
𝐝𝐚𝐧 𝑩 =
𝟏 𝟏 𝟒 𝟔
𝟏 𝟑 𝟑 𝟎
𝟏 −𝟐 𝟎 𝟏𝟐

5. Matriks gandengan untuk sistem ini adalah
𝑨 𝑩 =
yang berukuran 3 x 7. Pengolahan ( 𝐑 𝟐 ← −𝟑𝐑 𝟏 + 𝐑 𝟐) 𝐝𝐚𝐧 (𝐑 𝟑 ← −𝟒𝐑 𝟏 +
𝐑 𝟑) 𝐝𝐢 ikuti dengan (𝐑 𝟐 ← −𝟐𝐑 𝟑 + 𝐑 𝟐) dan (𝐑 𝟑 ← −𝐑 𝟑) menyederhakan matriks
gandengan itu menjadi
dan kemudian menjadi












12021654
0331213
6411321












121663630
189021150
6411321










121663630
623124110
6411321

6. Pengolahan (𝐑 𝟑 ← −𝟑𝐑 𝟐 + 𝐑 𝟑) 𝐝𝐚𝐧 (𝐑 𝟏 ← −𝟐𝐑 𝟐 + 𝐑 𝟏) sekarang menghasilkan
𝟏 𝟎 𝟏 − 𝟕 − 𝟐𝟑 − 𝟒𝟐 − 𝟔
𝟎 𝟏 𝟏 𝟒 𝟏𝟐 𝟐𝟑 𝟔
𝟎 𝟎 𝟑 − 𝟗 − 𝟑𝟎 − 𝟓𝟑 − 𝟔
Akhirnya, ( 𝐑 𝟑 ← −𝟏/𝟑𝐑 𝟑), (𝐑 𝟐 ← −𝐑 𝟑 + 𝐑 𝟐) 𝐝𝐚𝐧 (𝐑 𝟏 ← −𝐑 𝟑 + 𝐑 𝟏)
menghasilakn
𝟏 𝟎 𝟎 − 𝟒 − 𝟏𝟑 − 𝟕𝟑/𝟑 − 𝟒
𝟎 𝟏 𝟎 𝟕 𝟐𝟐 𝟏𝟐𝟐/𝟑 𝟖
𝟎 𝟎 𝟏 − 𝟑 − 𝟏𝟎 − 𝟓𝟑/𝟑 − 𝟐
= 𝑰 𝑿 = 𝑰 𝑨−𝟏
𝑩
Karena matriks koefisien ini secara baris dengan I, berarti sistem tersebut
mempunyai solusi tunggal
𝑿 = 𝑨−𝟏
𝑩 =












23/53103
83/122227
43/73134

7. Kasus khusus B = I untuk masalah di atas ada baiknya
kita perhatikan. Jika A dapat dibalik, maka solusi
tunggal bagi persamaan AX = I adalah X = A-1 dan
dapat dihitung dengan menggunakan persamaan
1.12, yaitu
𝐴 𝐼
𝑝𝑒𝑛𝑦𝑒𝑑𝑒𝑟ℎ𝑎𝑛𝑎𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠
𝐼 𝐴−1
Persamaan 1.13 menggambarkan metode paling
efisien untuk matriks tidak singular. Metode ini
sesungguhnya tidak lain adalah eliminasi Gauss-
Jordan untuk memecahkan matriks AX = I.
Perhatikan bahwa ini adalah metode yang di jelaskan
di dalam Contoh 3 pasal 1.6

8. Teorema 1.7 Suatu pengolahan dasar baris
terhadap sebuah matriks A dapat dicapai
dengan mengalikan dari sebelah kiri suatu
matriks keidentikan yang telah mengalami
pengolahan dasar baris yang sama. Dalam
lambang, jika E adalah suatu pengolahan dasar
(elementer) baris dan E(A) adalah hasil
penerapan E pada A, maka

9. Bukti formal untuk teorema ini terbagi atas tiga bagian, satu untuk
setiap jenis pengolahan dasar baris. Di sini hanya akan diberikan
rincian untuk pengolahan dasar baris Jenis III
Dalam hal ini matriks berbeda dengan I hanya pada posisi (j,i),
yaitu bahwa unsur pada posisi tersebut adalah k. Jika i < j maka

10. Dari persamaan (1.14), kita memperoleh
Barisj(EA) = Barisj(E)A = kBarisi(A) + Barisj(A)
dan selain itu kita memperoleh juga bahwa semua baris yang lain di
dalam EA dan A adalah sama. Ini membuktikan kebenaran
pernyataan teorema di atas untuk pengolahan baris Jenis III.
Definisi 1.12 Matriks dasar (elementary matrix) ialah matriks
identitas yangtelah mengalami satu kali pengolahan dasar baris.
Teorema 1.7 mengatakan bahwa pengolahan dasar baris
dapat dicaai dengan cara mengalikannya dengan matriks dasar dari
sebelah kiri.

11. Dibawah ini diberikan contoh beberapa matriks dasar 4x4 padanan pengolahan baris
Kenyataan paling penting tentang matriks dasar ialah bahwa matriks
dasar selalu dapat dibalik dan bahwa kebalikannya juga tetap
merupakan matriks dasar. Ini dapat diketahui dari pasal 1.3 bahwa
setiap pengolahan dasar baris dapat dibalikoleh pengolahan dasarbaris
sejenis.
Kebalikan matriks dasar bagi adalah matriks dasar bagi
, misalnya =

12. Kebalikan matriks dasar bagi adalah dirinya sendiri, misalnya
=
Kebalikan matriks dasar bagi adalah matriks dasar bagi
; misalnya
=
Sekarang misalkan serangkaian pengolahan dasar baris
menyederhanakan matriks A menjadi matriks B; dengan kata lain, A
setara baris dengan B. Jika E1,E2, ..., Er adalah matriks dasar yang
berasal dari pengolahan-pengolahan dasar baris yang digunakan
untuk menyederhanakan A menjadi B, maka berdasarkan Teorema
1.7 kita memperoleh
Er Er-1... E2 E1A = B

13. Matriks
P = Er Er-1... E2 E1 = Er Er-1... E2 E1 I
Adalah tidak singular, sebab meruakan hasil
kali matriks-matriks dasar yang masing-
masing tidak singular, dan selain itu P dapat
diperoleh melalui penerapan pada I
pengolahan yang persis sama yang telah
mengubah A menjadi B. Jadi, matriks P
“merekam” semua pengolahan baris yang
digunakan untuk menyederhanakan A
menjadi B.

14. • Teorema 1.8
Jika A dan B setara baris, maka ada suatu
matriks tidak singular P sedemikian rupa
sehingga PA = B. Matriks P dapat diperoleh,
sejalan dengan penyederhanaan A menjadi B
melalui
penyederhanaan baris
[A| I] [B| P]
Jika B = I, maka PA = I sehingga P = A-1.

15. Contoh 3
Perhatikan pengolahan baris berikut :

16. Informasi tentang pengolahan yang digunakan
direkam di dalam tiga kolom yang terakhir,
sehingga berdasarkan Teorema 1.8, kita
peroleh

17. Teorema 1.9
Untuk matriks A yang berukuran n x n,
pernyataan-pernyataan berikut ini setara
(equivalent) satu sama lain :
• A tidak singular.
• A tidak mempunyai kebalikan kiri (ada B
sedemikian rupa sehingga BA = I).
• AX = 0 hanya jika X = 0.
• A setara baris dengan I.
• A merupakan hasil kali sejumlahmatriks dasar.

18. Kita akan membuktikan teorema di atas melalui
pembuktian rangkaian implikasi
• (1 2) Sudah jelas.
• (2 3) Jika ada B sedemikian rupa sehingga BA = I
dan AX = 0, maka
X = B(AX) = B0 = 0.
• (3 4) Jika A tidak setara baris dengan I, maka
proses pencarian solusi pada Pasal 1.3 akan
menghasilkan suatu baris nol sehingga membuat salah
satu peubah dapat diberikan sembarang nilai
(arbitrary); oleh karenanya kita akan memperoleh
solusi bukan nol. Ini berarti A pasti setara baris dengan
I.

19. • (4 5) Karena A setara baris dengan I, maka
ada matriks-matriks dasar E1,E2,…,Ek sedemikian
rupa sehingga Ek….E2E1A = I. Dengan demikian
A = (Ek…E2E1)-1I = E1
-1 E2
-1…Ek
-1
dan, karena setiap matriks dasar mempunyai
kebalikan yang juga merupakan matriks dasar,
berarti kita telah berhasil menyatakan A sebagai
hasil kali sejumlah matriks dasar.
• (5 1) Ini sudah jelas sebab setiap matriks dasar
dapat dibalik dan hasil kali sejumlah
matriks yang dapat juga dapat dibalik

20. Contoh 4
sebagai hasil kali sejumlah matriks
dasar. Perhatikan proses penyederhanaan A
menjadi I berikut ini :
Matriks-matriks dasar

21. masing-masing merupakan padaan
pengolahan dasar baris ( ),
( ) , dan ( ) yang digunakan
untuk menyederhanakan matriks A di atas. Ini
berarti bahwa, seperti pada pembuktian
Teorema 1.9,

22. Sehingga
=
=
=
= A