8 геом бабенко_пособ_2008_укр

0 Бабенко С. П.
Серія «12 річна школа»
Заснована 2006 року
Харків
Видавнича група «Основа»
2008
Усі уроки геометрії. 8 клас 1

УДК 512
ББК 22.14
Б12
Бабенко С. П.
Усі уроки геометрії. 8 клас. — Х.: Вид. група «Основа»,
2008. — 352 с.— (Серія «12 річна школа»)
ISBN 978 966 333 897 2.
Докладні розробки уроків до вивчення геометрії в 8 класі за програ
мою 12 річної школи.
Цікаві методичні рекомендації, різноманітні прийоми роботи із зав
даннями, велика кількість усних вправ, широкий вибір форм перевірки
знань, використання ігрових моментів на уроці, грамотне урахування
вікових особливостей — усе це вигідно відрізняє посібник від традиційних
планів конспектів уроків.
Посібник для вчителя нового покоління.
УДК 512
ББК 22.14
Навчальне видання
Серія «12 річна школа»
БАБЕНКО Світлана Павлівна
Усі уроки геометрії. 8 клас
Навчально методичний посібник
Головний редактор І. С. Маркова
Редактор Г. О. Біловол
Комп’ютерна верстка О. В. Лєбєдєва
Підписано до друку 01.07.2008. Формат 60 841
16
. Папір газетний.
Гарнітура «Ньютон». Друк офсетний. Ум. друк. арк. 20,46. Зам. № 8 07/07 05.
ТОВ «Видавнича група “Основа”».
Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 2911 від 25.07.2007.
Україна, 61001 Харків, вул. Плеханівська, 66. Тел. (057) 731 96 33. E mail: math@osnova.com.ua
Б12
Бабенко С. П., 2008
ТОВ «Видавнича група “Основа”», 2008ISBN 978 966 333 897 2
ВСТУП
Матеріали посібника призначені для вчителів загальноосвітніх навчаль
них закладів, які викладають геометрію в 8 класі 12 річної школи за підруч
ником: Геометрія. 8 клас. А. П. Єршова, В. В. Голобородько, О. Ф. Крижа
новський, але можуть використовувати і ті, які працюють за іншими
підручниками.
Посібник містить детальні розробки уроків. У наведених конспектах
подаються тема, дидактична мета, тип уроку та опис обладнання, яке не
обхідне для проведення уроку.
Розробляючи плани уроків, автор дбав про те, щоб систематично
закріплювався матеріал, вивчений на попередніх уроках. У розробках пе
редбачено різноматнітні форми організації роботи учнів під час уроку,
зокрема самостійні роботи навчаючого і контролюючого характеру, мате
матичні диктанти, фронтальне опитування, розв’язання задач за готовими
кресленнями.
Змістова частина конспектів уроків має заголовок «Хід уроку». Тут
відображено: етапи уроку; зміст навчального матеріалу, що виноситься на
урок; система завдань, необхідна для досягнення дидактичної мети; мето
ди, форми і засоби, які доцільно використати на уроці; домашнє завдання.
До окремих фрагментів уроку подаються докладні методичні рекомен
дації, причому для полегшення роботи вчителів, що вже викладали гео
метрію в 8 класі за підручником О. В. Погорєлова, подається порівняльний
аналіз нових підходів до викладання навчального матеріалу, які подано
в підручнику «Геометрія. 8 клас» автори: А.П. Єршова, В. В. Голобородько,
О. Ф. Крижановський, по відношенню до підходів попереднього підручни
ка (Геометрія. 7 клас. О. В. Погорєлова). Більша частина завдань супровод
жується методичними коментарями (у тексті вони позначаються ), які
допоможуть учителю врахувати особливості розв’язування цих вправ.
Детальні методичні рекомендації, різноманітні прийоми роботи, вели
ка кількість усних вправ, широкий вибір форм перевірки знань, урахуван
ня вікових особливостей учнів — усе це відрізняє пропонований посібник
від традиційних планів конспектів та дає можливість його використання
також учителями, які працюють за різними підручниками з геометрії для
8 класу.
Автор сподівається, що вчителі не формально використовуватимуть
рекомендації цього посібника, а візьмуть їх за основу й складатимуть свої
поурочні плани, враховуючи особливості кожного класу.
Усі уроки алгебри. 8 клас 3

ОРІЄНТОВНЕ КАЛЕНДАРНЕ ПЛАНУВАННЯ
(усього 70 навчальних годин; І семестр — 32 години,
ІІ семестр — 38 годин)
№
уроку
Зміст навчального матеріалу (тема уроку)
Кіль
кість
годин
Дата
прове
дення
При
мітки
Тема І. Чотирикутники 24
1 Чотирикутник, його елементи 1
2 Опуклі чотирикутники. Сума кутів чотири
кутника
1
3 Розв’язування задач 1
4 Означення паралелограма. Властивості
паралелограма
1
5 Властивості паралелограма 1
6 Теореми про ознаки паралелограма 1
8 Прямокутник 1
9 Ромб. Квадрат 1
11 Підсумковий урок 1
12 Тематична контрольна робота № 1 1
13 Означення трапеції. Окремі види трапецій 1
14 Окремі види трапецій та їх властивості 1
15 Розв’язування задач. (Побудова парале
лограмів і трапецій)
1
16 Теорема Фалеса 1
№
уроку
Кіль
кість
годин
Дата
прове
дення
При
мітки
17 Середня лінія трикутника 1
18 Середня лінія трапеції 1
20 Градусна міра дуги. Вписаний кут 1
21 Наслідки з теореми про вписаний кут.
Розв’язування задач
1
22 Вписані чотирикутники. Описані чотири
кутники
1
Тема ІІ. Подібність трикутників 17
25 Узагальнена теорема Фалеса 1
26 Означення подібних трикутників 1
28 Подібність трикутників за двома
кутами
1
29 Подібність трикутників за двома сторонами
та кутом між ними
1
30 Подібність трикутників за трьома
сторонами
1
32 Ознаки подібності прямокутних трикут
ників. Пропорційні відрізки в прямокутно
му трикутнику
1
34 Теорема Піфагора 1
35 Теорема, обернена до теореми Піфагора 1

№
уроку
Кіль
кість
годин
Дата
прове
дення
При
мітки
37 Застосування подібності: властивість бісек
триси трикутника
1
38 Метричні співвідношення в колі 1
Тема ІІІ. Многокутники. Площі
многокутників
12
42 Ламана і многокутник 1
43 Сума кутів опуклого многокутника 1
44 Поняття площі многокутника 1
45 Площа прямокутника. Площа
паралелограма
1
47 Площа трикутника 1
48 Площа трапеції 1
50 Відношення площ подібних трикутників 1
51 Метод площ. Розв’язування задач 1
Тема ІV. Розв’язування прямокутних
трикутників
10
54 Синус, косинус і тангенс гострого кута пря
мокутного трикутника
1
55 Тригонометричні тотожності 1
№
уроку
Кіль
кість
годин
Дата
прове
дення
При
мітки
57 Формули доповнення 1
58 Значення тригонометричних функцій кутів
30°, 45°, 60°
1
59 Співвідношення між сторонами і кутами
прямокутного трикутника
1
60 Розв’язування прямокутних трикутників 1
Тема V. Повторення і систематизація
навчального матеріалу
7
64 Паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат:
властивості, обчислення площ
1
65 Трапеція: властивості, обчислення площі 1
66 Площа трикутника 1
67 Подібність трикутників та її застосування 1
68 Прямокутний трикутник 1

Тема І. ЧОТИРИКУТНИКИ (24 год)
Урок № 1
Чотирикутники
Мета: сформувати уявлення про чотирикутник, його елементи:
вершина, сторона, дiагональ, сусiднi сторони (вершини), протилежнi
сторони (вершини); ввести поняття периметра чотирикутника. Сфор
мувати первиннi вмiння:
вiдтворювати означення чотирикутника, його елементiв;
знаходити на рисунку зображення чотирикутника та його елементiв;
виконувати рисунки за описом;
розв’язувати найпростiшi задачi на обчислення iз використанням
поняття периметра чотирикутника.
Тип уроку: засвоєння нових знань.
Наочнiсть та обладнання: конспект «Чотирикутники».
Хiд уроку
І. Органiзацiйний етап
Вступне слово вчителя про:
особливостi вивчення геометрiї у 8 класi;
органiзацiю навчального процесу у 8 класi;
будову пiдручника.
ІІ. Перевiрка домашнього завдання
Вчитель перевiряє лiтнє домашнє завдання (якщо таке було задано).
ІІІ. Формулювання мети i завдань уроку
Усвiдомленому сприйняттю учнями матерiалу уроку може сприяти
робота з повторення та усвiдомлення найважливiших понять, вивче
них у 7 класi (цю роботу проводимо на етапi актуалiзацiї знань та вмiнь
учнiв), зокрема формується думка про те, що серед найважливiших по
нять курсу геометрiї 7 класу можна видiлити трикутник. Необхiдно
звернути увагу учнiв на систему вивчення геометричної фiгури «три
кутник»: означення елементи властивостi поняття рiвностi
ознаки рiвностi розв’язування задач iз використанням теоретичних
вiдомостей про трикутник.
Пiсля проведеної роботи з повторення означення та основних
властивостей трикутника пропонуємо учням виконати завдання.
На площинi дано 4 точки; розгляньте всi можливi випадки їх вза
ємного розташування. Якi фiгури утворяться, якщо поєднати всi мож
ливi випадки їх взаємного розташування? Якi можливi варiанти вза
ємного розташування 4 х точок та фiгур, що утворяться в результатi
послiдовного з’єднання точок вiдрiзками.
Зосереджуємо увагу учнiв на випадку, коли жоднi три точки не ле
жать на однiй прямiй i жоднi два вiдрiзки не мають спiльних внутрiшнiх
точок, та таким чином формулюємо основну дидактичну мету уроку —
вивчити згаданий випадок та його найпростiшi властивостi.
IV. Актуалiзацiя опорних знань
Виконання усних вправ
1. Чи правильнi наведенi твердження?
1) Через точку площини можна провести не менш нiж 1000 прямих;
2) сполучивши попарно три точки на площинi, завжди дiстанемо
три прямi;
3) на кожнiй прямiй можна вибрати принаймнi 100 точок.
2. Скiльки трикутникiв зображено на рисунку 1? Назвiть їх.
3. Скiльки трикутникiв зображено на рисун
ку 2? Назвiть їх.
4. Знайдiть усi трикутники (рис. 3), двi верши
ни яких знаходяться в точках A та B.
5. Знайдiть усi трикутники (рис. 4), двi верши
ни яких знаходяться в точках A та B.
B
D
CA
M
K
N
P
F
O
Рис. 4
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
C
D
B
A
D
CB
A
E
L
NP
K M

V. Засвоєння знань
План вивчення нового матерiалу
1. Означення чотирикутника.
2. Елементи чотирикутника.
3. Периметр чотирикутника.
Означення чотирикутника є одним iз найважливiших означень
курсу геометрiї 8 класу. Саме тому усвiдомленому сприйняттю
цього означення допоможе робота, проведена на етапi форму
лювання мети уроку: учнi мають зрозуміти, що для iснування
чотирикутника з вершинами в даних чотирьох точках необхiд
не одночасне виконання двох умов:
жоднi три з даних чотирьох точок не повиннi лежати на однiй прямiй;
жоднi двi сторони (вiдрiзки, що з’єднують цi точки) не повиннi мати
точок перетину (внутрiшнiх).
Завдання. Чи є чотирикутником фiгура, утворена точками A, B, C i D
та вiдрiзками AB, BC, CD i AD?
Пiд час вивчення питання про елементи чотирикутника корисно
було б зробити порiвняння з елементами трикутника (дослiдити, як
впливає збiльшення кiлькостi вершин многокутника на його елемен
ти). Тодi зрозумiло, що, на вiдмiну вiд сторiн та кутiв трикутника, сто
рони i кути чотирикутника можуть бути по рiзному розташованi один
вiдносно iншого (таким чином, вводиться поняття протилежних,
сусiднiх, сумiжних сторiн або вершин чотирикутника). Також важли
вим є питання про правильне позначення чотирикутника (у цьому пи
таннi учнi часто припускаються помилок): важливо, щоб учнiв усвiдо
Рис. 5
C
D
B
A
а)
D
CBA
в)
г)
д)
A
B
DC
A
B
D C
б)
е)
C
D
A
B
C
D
A
B
мили, що, на вiдмiну вiд позначення трикутника (усi вершини якого
називають у довiльному порядку), позначаючи чотирикутник, його
вершини треба називати тiльки послiдовно (букви, що стоять поряд
у позначеннi чотирикутника, визначають сусiднi вершини або одну iз
сторiн чотирикутника). Усвiдомленому сприйняттю цього фрагменту
матерiалу допоможе робота за готовими рисунками.
Завдання. Чи можна чотирикутники, що зображенi на рисунку 6,
позначити MNKP?
Порiвнюючи трикутник i чотирикутник, можна сформувати по
няття дiагоналi чотирикутника (для усвiдомлення учнями змiсту цього
поняття можна запропонувати питання про неможливiсть iснування
дiагоналi трикутника) та периметра чотирикутника.
Пiд час засвоєння нових знань доцiльно складати з допомогою
учнiв опорний конспект, в якому теоретичнi вiдомостi поданi в стисло
му виглядi.
Конспект 1
Чотирикутники
1. ABCD — чотирикутник.
Елементи чотирикутника:
а) точки A, B, C i D — вершини, причому
A i B — сусiднi; A i C — протилежнi;
б) вiдрiзки AB, BC, CD i AD — сторони,
причому: AB i AD — сусiднi,
AB i CD — протилежнi;
в) вiдрiзки AC i BD — дiагоналi.
2. Для чотирикутника ABCD сума AB BC CD AD — периметр;
P AB BC CD BD
Рис. 6
K
P
N
M
б)а)
N
K
P
M
в)
N
M
K
P
C
D
A
B

3.
внутрiшня область чотирикутника ABCD
ABCD — опуклий чотирикутник; MNPQ — неопуклий чотирикутник.
4. Якщо ABCD — опуклий чотирикутник,
то: ABC ( B); BCD ( C), CDA ( D)
i DAB ( A) — внутрiшнi кути
чотирикутника ABCD, причому
A B C D 360
VI. Формування первинних умiнь
1. Скiльки сусiднiх вершин має вершина чотирикутника? Скiльки про
тилежних? Назвiть сусiднi й протилежнi вершини для вершини B чо
тирикутника ABCD.
2. Скiльки сусiднiх сторiн має сторона чотирикутника? Скiльки про
тилежних? Назвiть сусiднi й протилежнi сторони для сторони AD
чотирикутника ABCD.
3. Вiдрiзок, який сполучає двi вершини чотирикутника, не є його
дiагоналлю. Чи можуть данi вершини бути протилежними?
4. Вершинами чотирикутника є точки K, L, M, N.
а) Вiдомо, що KM i ML — сторони чотирикутника. Назвiть його дiа
гоналi.
б) Вiдомо, що KL — дiагональ чотирикутника. Назвiть вершини, су
сiднi з вершиною K.
в) Даний чотирикутник можна назвати KMLN. Чи можна його на
звати MLKN?
Виконання графiчних вправ
Позначте точки A, B, C i D, якi не лежать на однiй прямiй, i послi
довно сполучiть їх вiдрiзками так, щоб утворився чотирикутник. Дайте
назву здобутому чотирикутнику i проведiть його дiагоналi.
C
D
A
B
B
A
D
C
N
Q
P
M
C
D
A
B
Виконання письмових вправ
1. Знайдiть периметр чотирикутника, якщо його найменша сторона
дорiвнює 5 см, а кожна наступна сторона на 2 см бiльша за
попередню.
2. Знайдiть сторони чотирикутника, якщо його периметр дорiвнює
3 дм, а одна сторона менша вiд кожної з трьох iнших на 2 см, 3 см
i 5 см вiдповiдно.
3*. Периметр чотирикутника ABCD дорiвнює 23 дм. Знайдiть довжину
дiагоналi AC, якщо периметр трикутника ABC дорiвнює 15 дм, а пе
риметр трикутника ADC дорiвнює 22 дм.
VII. Пiдсумки уроку
Тестове завдання
Яке з тверджень неправильне? У чо
тирикутнику PQMN (див. рис.):
1) вершини M і N сусідні з верши
ною Q;
2) вершина N протилежна верши
ні Q;
3) відрізки QN і PM — діагоналі;
4) NP і NM — сусідні сторони.
VIII. Домашнє завдання
Вивчити змiст основних понять уроку.
Розв’язати задачi.
1. Чи iснує чотирикутник ABCD, в якому AB 9 см, BC 12 см, AC 21
см? Вiдповiдь обґрунтуйте.
2. Периметр чотирикутника дорiвнює 20 см. Знайдiть сторони чотири
кутника, якщо одна з них складає 40 % периметра, а три iншi рiвнi.
3. Сторони чотирикутника вiдносяться
як 3:4:5:6. Знайдiть периметр чотири
кутника, якщо сума його найбiльшої
i найменшої сторiн дорiвнює 18 см.
4. (На повторення). Вiдомо, що
KMN NPK (див. рис.).
а) Доведiть, що MK NP|| ;
б) знайдiть P, якщо M 65 .
M
N P
K
Q
P
N
M

Урок № 2
Опуклi чотирикутники. Сума кутiв чотирикутника
Мета: сформувати уявлення про внутрiшню область чотирикутника,
поняття опуклого та неопуклого чотирикутникiв, кута опуклого чотири
кутника, сусiднiх та протилежних кутiв опуклого чотирикутника.
Сформувати первиннi вмiння:
вiдтворювати вивченi означення;
розрiзняти на готових рисунках вивченi об’єкти;
зображувати вивченi об’єкти на рисунку.
Сформувати усвiдомлене розумiння змiсту теореми про суму кутiв опук
лого чотирикутника та вмiння її застосовувати пiд час розв’язування задач.
Хiд уроку
Для перевiрки засвоєння учнями змiсту основних понять, розгля
нутих на попередньому уроцi, можна провести математичний диктант.
Математичний диктант
Варiант 1 Варiант 2
1. Виконайте зображення чотирикутника
MNKP STOR
Позначте на рисунку пару
протилежних сторiн протилежних вершин
2. Як називаються вiдрiзки, що з’єднують
протилежнi вершини чотирикутника?
2. Чим є в чотирикутнику кiнцi
його дiагоналi?
3. Якi з вершин чотирикутника AMOP
є сусiднiми до вершини A?
3. Якi зi сторiн чотирикутника
BCKM є сусiднiми до сторони KM?
4. Одна зi сторiн чотирикутника
удвiчi бiльша утричi менша
вiд кожної з iнших сторiн. Знаючи, що периметр чотирикутника дорiвнює
40 см, знайдiть довжину
бiльшої зi сторiн меншої зi сторiн
З метою кращого усвiдомлення учнями навчального матерiалу уро
ку доцiльно використати прийом аналогiї. Для цього порiвняємо озна
чення трикутника та його елементiв з означенням чотирикутника та
його елементiв. Пiд час порiвняння означень повторюємо означення
внутрiшнього кута трикутника та теорему про суму всiх його кутiв.
Отже, виникає питання про iснування аналогiчної теореми про суму
внутрiшнiх кутiв чотирикутника. Вiдповiдь на це питання i є основною
дидактичною метою уроку.
Виконання усних вправ за готовими рисунками
1. Дано: AB BC, AD DC. Довести:
A C
2. Дано: AD BC|| . Довести:
C D 180
3. Дано: 1 2, 3 4. Довести:
AB AD, BC CD
4. Дано: AB AD, CB CD. Довести:
AC BD
5. Дано: AB DC, BC AD. Довести:
1 2
A
B C
D
D
CB
A
D
C
B
A
A
B
C
D
D
C
B
A 1 3
2 4
2
1

1. Внутрiшня область чотирикутника.
2. Опуклий чотирикутник.
3. Внутрiшнiй кут опуклого чотирикутника.
4. Властивiсть внутрiшнiх кутiв опуклого чотирикутника.
Пiд час пiдготовки до викладення матерiалу щодо поняття опукло
го чотирикутника за новим пiдручником учителю слiд звернути
увагу на iнший пiдхiд до викладення цього питання, а саме: спо
чатку вводиться поняття внутрiшньої областi чотирикутника (над
алi використовується для введення поняття площi многокутника),
а потiм формується уявлення про два можливих випадки взаємно
го розташування прямої, що мiстить сторону чотирикутника,
вiдносно внутрiшньої областi чотирикутника: пряма або перети
нає, або не перетинає цю внутрiшню область. Далi на основi цього
уявлення формується поняття опуклого (i неопуклого) чотирикут
ника, яке закрiплюється пiд час роботи за готовими рисунками.
Що стосується поняття кута опуклого чотирикутника (внутрiшньо
го), а також теореми про суму кутiв опуклого чотирикутника, то цi пи
тання в новому пiдручнику висвiтлюються за такими ж принципами,
як i в традицiйних пiдручниках геометрiї (як, зокрема, у пiдручнику
Геометрiя. 7–9 / Пiд ред. О. В. Погорєлова).
Завдання. На якому з наведених рисункiв зображено опуклий чоти
рикутник (див. рис. 1)?
VI. Формування вмiнь та навичок
1. Чи можуть усi кути опуклого чотирикутника бути гострими? тупи
ми? прямими?
Рис. 1
а) в) г)б)
C
D
A
B
D
C
BA
D
CB
A
D
C
B
A
2. Чи може опуклий чотирикутник мати три гострi кути? три тупi
кути? два прямi кути? три прямi кути i один непрямий?
3. Чи можуть кути трикутника дорiвнювати трьом кутам чотирикут
ника? Вiдповiдь обґрунтуйте.
Проведiть двi паралельнi прямi. Позначте на однiй з них точки A i D,
а iншi — точки B i C, так, щоб за послiдовного сполучення цих точок
утворився чотирикутник ABCD.
а) Чи є побудований чотирикутник опуклим? Чому?
б) Вимiряйте зовнiшнi кути чотирикутника ABCD (по одному при
кожнiй вершинi) та обчислiть їх суму.
1. Два кути чотирикутника дорiвнюють 80° i 100°, а два iншi кути ма
ють рiвнi градуснi мiри. Знайдiть найбiльший кут чотирикутника.
2. Знайдiть кути чотирикутника, якщо один iз них удвiчi менший вiд
другого, на 20° менший вiд третього i на 40° менший вiд четвертого.
3. Периметри чотирикутникiв ABCD i ABCD1
рiвнi. Чи може один iз
цих чотирикутникiв бути опуклим, а другий — неопуклим? Вiдпо
вiдь пiдтвердьте рисунком.
Завдання. У наведених твердженнях знайдiть та виправте помилку:
1) сума кутiв будь якого чотирикутника дорiвнює 360°;
2) чотирикутником називається фiгура, яка складається з чотирьох
точок, жоднi три з яких не лежать на однiй прямiй, i чотирьох
вiдрiзкiв, якi послiдовно сполучають цi точки;
3) дiагональ чотирикутника — це вiдрiзок, що з’єднує двi вершини
чотирикутника;
4) опуклий чотирикутник — це чотирикутник, який не перетинається
прямою.
Вивчити змiст понять, розглянутих на уроцi (див. конспект), та до
ведення теореми про суму кутiв опуклого чотирикутника.

1. Знайдiть кути чотирикутника ABCD, якщо A B, C D, а су
ма кутiв A i B дорiвнює 160°.
2. Знайдiть найменший кут чотирикутника, якщо суми його кутiв,
узятих по три, дорiвнюють 240°, 260° i 280°.
3. Якщо один iз кутiв опуклого чотирикутника — гострий, то в цьому
чотирикутнику обов’язково є тупий кут. Доведiть.
Урок № 3
Мета: закрiпити знання учнями означень чотирикутника та його
елементiв; продовжувати формувати уявлення про опуклий чотирикут
ник; вiдпрацьовувати вмiння та навички застосування теореми про
суму кутiв чотирикутника пiд час розв’язування задач.
Тип уроку: засвоєння вмiнь та навичок.
Хiд уроку
І. Органiзацiйний момент
Перевiрку засвоєння учнями теоретичної частини домашнього за
вдання можна здiйснити за допомогою iнтерактивної вправи «Мiкрофон»
або гри «Найрозумнiший» (учитель заздалегiдь готує список завдань, якi
потребують швидкої та короткої вiдповiдi за темою попереднiх двох
урокiв, наприклад: «У чотирикутнику CDFE: C i E — це…» i т. д.).
Правильнiсть виконання письмових завдань домашньої роботи пе
ревiряємо або записавши розв’язання на дошцi власноруч, або ж ви
кликавши для цього двох учнiв.
Зазвичай мета уроку засвоєння вмiнь та навичок формулюється
пiсля перевiрки виконання домашнього завдання, пiд час якої виявля
ють прогалини в знаннях учнiв та певнi труднощi з оперативним
умiнням щодо застосування набутих на попереднiх уроках знань на
практицi (пiд час розв’язування задач). Тому мета уроку формулюється
як така, що складається iз двох частин:
повторити (можливо, скоригувати) змiст основних нових понять
теми «Чотирикутники»;
сформулювати схеми дiй пiд час розв’язування типових задач на за
стосування вивчених знань.
IV. Актуалiзацiя та корекцiя опорних знань та вмiнь
На цьому етапi уроку доречно буде органiзувати самостiйну роботу уч
нiв з усвiдомлення змiсту основних понять роздiлу. Для цього можна за
пропонувати їм роботу, аналогiчну за формою до тiєї, що була проведена
на етапi пiдбиття пiдсумкiв на попередньому уроцi. Пiсля виконання робо
ти обов’язкова перевiрка, обговорення i корекцiя результатiв виконання
(зрозумiло, що пiд час перевiрки широко використовуємо наочнiсть: усi
«неправильнi твердження» iлюструємо вiдповiдними рисунками).
V. Засвоєння вмiнь та навичок
На цьому етапi уроку учням пропонуються задачi, якi перед розв’я
зуванням слiд розподiлити на групи за змiстом (у довiльному порядку
пропонуються задачi на знаходження периметра чотирикутника та за
дачi на застосування теореми про суму кутiв опуклого чотирикутника;
наприклад, задачi, що подiбнi за змiстом до задач з пiдручника). Пiсля
формування основних груп задач iз теми учнi мають не просто розв’я
зати запропонованi задачi, але й сформувати загальний план розв’я
зання задач кожного типу. Ефективною на цьому етапi уроку є групова
робота учнiв iз наступною презентацiєю результатiв та корекцiєю
складених схем дiй.
VI. Пiдсумки уроку
Самостiйна робота № 1
Варiант 1
Серед наведених укажiть правильнi твердження:
1) градусна мiра кутiв опуклого чотирикутника може виражатися
числами 20°, 30°, 89°, 90°;
2) жоднi двi сторони чотирикутника не мають спiльних точок;
3) у чотирикутнику MNPQ M i Q — протилежнi вершини;
4) якщо периметр чотирикутника ABCD дорiвнює 20 см, а AC 4 см,
то периметр трикутника ADC дорiвнює 18 см.

Варiант 2
Серед наведених укажiть правильнi твердження:
1) градусна мiра кутiв опуклого чотирикутника може виражатися
числами 91°, 92°, 93°, 94°;
2) дiагональ з’єднує двi вершини чотирикутника;
3) у чотирикутнику ATFE TF i AE — сусiднi сторони;
4) якщо в чотирикутнику ABCD BD 5 см, PBCD 15 см, PABD
13 см,
то PABCD
23 см.
VII. Домашнє завдання
Повторити змiст основних понять теми.
1. Визначте, чи може чотирикутник ABCD бути опуклим, якщо:
а) точки A i D лежать по рiзнi боки вiд прямої BC;
б) пряма AB перетинає пряму CD;
в) пряма AB перетинає вiдрiзок CD.
Виконайте рисунки.
2. Один iз кутiв опуклого чотирикутника дорiвнює сумi двох iнших
кутiв. Доведiть, що даний кут є тупим.
3. У чотирикутнику три кути рiвнi, а четвертий кут менший вiд їхньої
суми на 240°. Знайдiть кути чотирикутника.
Урок № 4
Означення паралелограма. Властивостi паралелограма
Мета: домогтися засвоєння учнями означення паралелограма, озна
чення додаткових елементiв паралелограма, формулювання i доведення те
ореми про властивiсть кутiв i сторiн паралелограма; сформувати первинні
вміння відтворювати вивчені означення і властивості, а також використо
вувати їх разом із вивченими раніше властивостями та ознаками паралель
них прямих для розв’язування задач на доведення та обчислення.
Наочнiсть та обладнання: конспект «Паралелограм».
Хiд уроку
Збираємо зошити учнiв на перевiрку.
Для створення вiдповiдної мотивацiї дiяльностi учнiв та з метою
надання допомоги в усвiдомленнi необхiдностi вивчення матерiалу
уроку можна запропонувати виконати логiчне завдання.
Розглянути фiгури на рисунку 1 та знайти схожi i вiдмiннi риси. Усi
фiгури подiлити на групи за схожiстю.
Рис. 1
Гiпотетично учнi мають побачити серед спiльних та вiдмiнних рис
многокутникiв, зображених на рисунку, кiлькiсть кутiв та наявнiсть
паралельних сторiн.
Пiсля виконання завдання вчитель звертає увагу учнiв на групу чо
тирикутникiв iз двома парами паралельних сторiн (до цiєї групи увi
йшли знайомi учням iз початкових класiв квадрат i прямокутник). Зро
зумiло, що видiлення серед рiзного виду опуклих чотирикутникiв
групи таких, що мають двi пари паралельних сторiн, обумовлює не
обхiднiсть ретельного вивчення загальних властивостей цих чотири
кутникiв та систематизацiї за видами.
IV. Актуалiзацiя опорних знань та вмiнь
1. Дано: BC AD, 1 2. Довести:
ABC CDA
2 3
51 4
9
6
10
8
7 11 12
A
B
C
D
2
1

2. Дано: AO OC, 1 2. Довести:
AOD COB
3. Дано: AC CD, 1 2. Довести:
AB CD||
4. Дано: AB CD, AD BC. Довести:
BC AD||
1. Означення паралелограма.
2. Висоти паралелограма.
3. Властивостi сторiн i кутiв паралелограма.
Вивчення матерiалу уроку проводиться за традицiйною схе
мою: спочатку формулюється означення паралелограма (як чо
тирикутника, що має двi пари паралельних сторiн), а потiм
вивчаються властивостi сторiн, кутiв i дiагоналей паралелогра
ма. Властивостi елементiв паралелограма можна сформулювати
як загальну теорему (i цiлком логiчно, бо доведення всiх трьох
властивостей здiйснюється за загальною схемою — через
рiвнiсть трикутникiв).
Слiд зазначити, що пiд час вивчення означення паралелограма слiд
вкотре звернути увагу учнiв на факт, що викладений у таблицi 1 (див.
Геометрiя в таблицях, Є. П. Нелiн), а саме: якщо даний чотирикутник
є паралелограмом, то це означає, що його сторони попарно пара
лельнi, i навпаки, якщо деякий чотирикутник має двi пари паралель
них сторiн, то такий чотирикутник є паралелограмом (цю властивiсть
означення слiд закрiпити пiд час виконання усних вправ як на готових
рисунках, так i на паралелограмах, заданих перелiком своїх вершин).
A B
CD
2
1
D
A
C
O
1
2
D
CB
A
Одразу слiд пояснити учням, що, виконуючи зображення паралелогра
ма в зошитах (розлiнованих у клiтинку), використовують зазвичай та
кий прийом: iз вузла клiтинок проводять два нерiвних i непаралельних
вiдрiзки (пiд певним кутом), а вже потiм iз кiнцiв цих вiдрiзкiв
проводять вiдрiзки, вiдповiдно паралельнi (i рiвнi) даним.
Пiд час вивчення властивостей кутiв паралелограма слiд звернути
увагу на те, що властивiсть сусiднiх кутiв паралелограма розглядається
як прямий наслiдок означення паралелограма (сусiднi кути паралело
грама є внутрішніми односторонніми кутами при паралельних прямих,
що містять протилежні сторони паралелограма).
Пiд час доведення теореми про властивiсть сторiн, кутiв i дiагоналей
паралелограма використовується рiвнiсть трикутникiв, що утворюються
при проведеннi в паралелограмi однiєї з дiагоналей (для доведення
рiвностi протилежних сторiн та протилежних кутiв паралелограма) або
двох дiагоналей (для доведення властивостей дiагоналей паралелогра
ма). Тому навiть самостiйне доведення цiєї теореми (особливо пiсля на
лежним чином проведеної актуалiзацiї знань та вмiнь учнiв — див.
вище) зазвичай не викликає труднощiв в учнiв. Необхiдно також роз
глянути формулу периметра паралелограма як наслiдок властивостi
сторiн паралелограма, яка досить часто використовується в розв’язу
ваннi задач. Звернiть увагу учнiв на властивiсть дiагоналей паралелогра
ма, що була здобута на промiжному етапi доведення властивостей кутiв
i сторiн паралелограма (Є. П. Нелiн видiляє її як окрему властивiсть
дiагоналей паралелограма — див. Геометрiя в таблицях Є. П. Нелiн, таб
лиця 16) — дiагональ паралелограма дiлить його на два рiвних трикутни
ки. Повний перелiк властивостей паралелограма мiститься у конспектi
«Паралелограм».
Конспект 2
Паралелограм
Означення. Чотирикутник, протилежнi
сторони якого паралельнi парами,
називається паралелограмом.
ABCD — паралелограм AB CD|| , BC AD||
A
B C
D

Властивостi Ознаки
Якщо ABCD — парале
лограм, то
1) AB CD, BC AD
2) A C, B D
(у паралелограмi проти
лежнi сторони рiвнi,
протилежнi кути рiвн
3) P AB BC2
Якщо ABCD — чотири
кутник i AB CD,
AB CD|| , то ABCD — па
ралелограм. (Якщо в чо
тирикутнику двi сторони
паралельнi i рiвнi, то вiн
паралелограм)
Якщо ABCD — чотири
кутник i AB CD,
BC AD, то ABCD — па
ралелограм. (Якщо в чо
тирикутнику протилежнi
сторони парами рiвнi, то
цей чотирикутник — па
ралелограм)
лограм i BD — дiагональ,
то ABD CDB. (Дiаго
наль паралелограма
дiлить його на два рiвних
трикутники)
лограм, AC i BD — дiаго
налi, то AO OC,
BO OD. (Дiагональ па
ралелограма точкою пе
ретину дiлиться навпiл)
Якщо в чотирикутнику
ABCD AO OC, BO OD,
то ABCD — паралело
грам. (Якщо дiагоналi
чотирикутника точкою
перетину дiляться на
впiл, то цей чотирикут
ник — паралелограм)
лограм, BH i BM — ви
соти, проведенi з верши
ни B, то HBM A.
(Кут мiж висотами пара
лелограма, проведеними
з однiєї вершини, до
рiвнює куту при сусiднiй
вершинi паралелограма)
A
B C
D
D
CB
A
A
B C
D
O
A
B C
D
H
M
Якщо ABCD — паралело
грам i AF, BL, CT — бiсе
ктриси кутiв A, B i C, то:
1) AB BF (AB AL,
CD DT
2) AKB 90
3) AF CT|| (Бiсектриса
кута паралелограма вiд
тинає вiд паралелограма
рiвнобедрений трикут
ник; бiсектриси сусiднiх
кутiв паралелограма пер
пендикулярнi; бiсектриси
протилежних кутiв пара
лелограма паралельнi)
VI. Формування вмiнь та навичок
1. Чотирикутник ABCD — паралелограм. Назвiть:
а) сторону, паралельну сторонi BC;
б) сторону, яка дорiвнює сторонi CD;
в) кут, який дорiвнює куту A.
2. Чи правильно, що будь який паралелограм:
а) має два кути, сума яких дорiвнює 180°;
б) має два гострi i два тупi кути?
3. У паралелограмi ABCD B C. Порiвняйте кути A i D.
4. У паралелограмi ABCD AB CD AD BC. По
рiвняйте сторониBC iCD.
5. Дiагоналi паралелограма ABCD перетина
ються в точцiO (рис.).
а) Назвiть вiдрiзок, який є медiаною трикут
ника ACD;
б) назвiть трикутник, медiаною якого є вiдрiзок AO.
1. Проведiть двi паралельнi прямi. Позначте на однiй з них точки A i D
i проведiть через цi точки двi iншi паралельнi прямi, якi перетина
ють другу пряму в точках B i C вiдповiдно.
A
B C
DT
F
L
K
A
B C
D
O

а) Пояснiть, чому чотирикутник ABCD є паралелограмом.
б) Вимiряйте кут A паралелограма ABCD. Користуючись властивос
тями паралелограма, знайдiть градуснi мiри iнших його кутiв. Пе
ревiрте результати вимiрюванням.
в) Проведiть дiагональ AC i позначте її середину — точку O. За до
помогою лiнiйки перевiрте, чи належить ця точка вiдрiзкуBD.
2. Накреслiть у зошитi трикутник i проведiть через кожну його вер
шину пряму, паралельну протилежнiй сторонi. Скiльки паралело
грамiв утвориться на рисунку? Скiльки спiльних вершин мають
будь якi два паралелограми, що утворилися?
1. Знайдiть периметр паралелограма ABCD, якщо сторона AD дорiв
нює 12 см i складає
2
3
сторони AB.
2. Знайдiть кути паралелограма, якщо:
а) один iз них дорiвнює 110°;
б) один iз них на 70° менший вiд iншого;
в) сума двох його кутiв дорiвнює 90°;
г) дiагональ утворює з його сторонами кути 30° i 45°.
3. Точка перетину дiагоналей паралелограма вiддалена вiд двох його
вершин на 5 см i 8 см. Знайдiть довжини дiагоналей паралелограма.
Для перевiрки засвоєння змiсту вивчених на уроцi понять пропо
нуємо учням розв’язати уснi вправи.
1. Якi вiдомостi треба мати про чотирикутник, щоб зробити висно
вок, що вiн не є паралелограмом?
2. Яких помилок припущено у зображеннi паралелограмiв на рисун
ках 1–3?
60°5
8
35°
30°
8
5
4 4
3
3
110°
110° 60°
За пiдручником i конспектом уроку вивчити змiст означення пара
лелограма та формулювання i доведення властивостей сторiн, кутiв,
дiагоналей паралелограма.
1. Накреслiть трикутник ABD. Проведiть через вершину B i D прямi,
паралельнi сторонам AD i AB вiдповiдно. Позначте точку C — точку
перетину цих прямих.
б) Проведiть двi висоти паралелограма з вершини B. Чи рiвнi вони?
в) Вимiряйте сторони AD та AB i знайдiть периметр паралелограма.
Якою властивiстю паралелограма ви скористалися?
2. Три паралельнi прямi перетинаються з двома iншими паралельни
ми прямими. Скiльки паралелограмiв при цьому утворилося?
3. Периметр паралелограма дорiвнює 24 см. Знайдiть сторони парале
лограма, якщо:
а) одна з них на 2 см бiльша за iншу;
б) одна з них утричi менша вiд iншої;
в) сума трьох його сторiн дорiвнює 17 см.
а) один з них є прямим;
б) градуснi мiри двох кутiв вiдносяться як 2:7;
в) рiзниця двох його кутiв дорiвнює 40°;
г) сума трьох його кутiв дорiвнює 330°.
Повторити: означення бiсектриси кута, властивiсть гострих кутiв
прямокутного трикутника.
Урок № 5
Властивості паралелограма
Мета: доповнити знання учнiв властивостями бiсектрис кутiв па
ралелограма та висот паралелограма; продовжити роботу iз формуван
ня вмiнь вiдтворювати вивченi означення i властивостi паралелограма
та використовувати цi твердження пiд час розв’язування задач на
обчислення i доведення.
Тип уроку: застосування знань, умiнь та навичок.

Хiд уроку
Для перевiрки якостi засвоєння учнями основних понять уроку
можна провести математичний диктант.
Математичний диктант
Варiант 1
1. Чотирикутник KEPM — паралелограм. Скiльки спiльних точок ма
ють прямi KE i PM?
2. Дiагоналi паралелограма дорiвнюють 7 дм i 5 дм. На вiдрiзки якої
довжини вони дiляться точкою перетину?
3. Один iз кутiв паралелограма дорiвнює 35°. Чому дорiвнюють решта
його кутiв?
4. Периметр паралелограма дорiвнює 20 см, а одна з його сторiн —
3 см. Знайдiть довжини iнших його сторiн.
Варiант 2
1. Чотирикутник BCOE — паралелограм. Чи може кожний iз кутiв B i E
дорiвнювати 80°?
2. C — точка перетину дiагоналей паралелограма OBKM. Чому дорiв
нюють його дiагоналi, якщо довжини вiдрiзкiв CO i CB дорiвнюють
3,5 см та 2,5 см вiдповiдно?
3. Периметр паралелограма дорiвнює 26 см, а одна iз його сторiн —
5 см. Знайдiть довжини решти сторiн.
4. Один iз кутiв паралелограма дорiвнює 45°. Чому дорiвнюють решта
його кутiв?
Правильнiсть розв’язання задач домашньої роботи перевiряємо
пiсля виконання i перевiрки математичного диктанту.
З метою створення мотивацiї дiяльностi учнiв та усвiдомленого ро
зумiння ними важливостi матерiалу, що виноситься на урок, можна за
пропонувати виконати завдання.
Виконайте зображення паралелограма ABCD з гострим кутом
A 60 та проведiть у ньому:
бiсектрису AK (точка K належить сторонiBC) кута A; знайдiть на ри
сунку всi рiвнi кути; визначте вид трикутника ABK;
бiсектрисуBM кутаB; позначте точку L — точку перетину бiсектрис;
визначте вид трикутника ABL;
бiсектрису CN кута C паралелограма; визначте взаємне розташуван
ня прямих AK i CN;
висоти BK i BF. Яку градусну мiру має кут HBF?
Пiсля виконання завдань формулюється питання про iснування
властивостей iнших елементiв паралелограма (окрiм сторiн, кутiв та
дiагоналей). Вiдповiдь на сформульоване таким чином запитання
складатиме основну дидактичну мету уроку.
IV. Актуалiзацiя опорних знань та вмiнь
З метою свідомого розуміння та подальшого засвоєння учнями
змiсту властивостей бiсектрис та висот паралелограма слiд активiзува
ти знання i вмiння учнiв: означення бiсектриси кута, ознаки рiвнобед
реного трикутника, властивостi сусiднiх та протилежних кутiв парале
лограма, ознак паралельностi двох прямих, що перетнутi третьою,
ознаки та властивостi кутiв прямокутного трикутника.
Для виконання цiєї задачi учнi розв’язують уснi вправи.
1. Вправи за готовими рисунками.
1 Дано: AO OC, OB OD. Довести:
AB CD||
2 Дано: AO OD, CO OF. Довести:
CD AF||
3 Дано: 1 2, 3 4. Довести:
AB CD|| , BC AD||
Усi уроки геометрiї. 8 клас 29
1
4
2
3
A D
B C
O
D
C
A
B
F
E
D
C
A
B
O

4 Дано: AC CD, 1 2. Довести:
AB CD||
ABC — рiвнобедрений
2. Сума кутiв паралелограма дорiвнює 100°. Чому дорiвнює кожний iз
цих кутiв?
3. Вiдомо, що коли в трикутнику один кут прямий, то два iншi —
гострi. А чи правильне обернене твердження?
1. Властивiсть бiсектриси кута паралелограма.
2. Властивiсть бiсектрис сусiднiх кутiв паралелограма.
3. Властивiсть бiсектрис протилежних кутiв паралелограма.
4. Властивiсть вiдрiзка з кiнцями на паралельних сторонах паралело
грама, що проходить через точку перетину дiагоналей паралело
грама.
5*. Властивiсть висот паралелограма, що проведенi iз:
вершин гострого кута паралелограма;
вершин тупого кута паралелограма.
Оскiльки навчальний матерiал уроку не є обов’язковим для
вивчення, тому його можна подати, розв’язуючи опорнi задачi.
Але автор вважає за доцiльне розглянути з учнями названi влас
тивостi, бо вони мають досить широке застосування пiд час
розв’язування геометричних задач.
Доведення вищезазначених опорних фактiв можна здiйснювати
пiд час розв’язування задач або як узагальнення спостережень,
здiйснених на етапi формулювання мети (коли було розглянуто кон
кретний паралелограм), використовуючи при цьому окремi знання
з курсу геометрiї 7 класу (див. Актуалiзацiя...). Якщо рiвень пiзна
вальної активностi учнiв є досить низьким, учитель може принаймнi
B
A
C D
D
C
A B
1 2
F
21
3 4
сформулювати названi властивостi та запропонувати їх для доведення
тiльки сильним учням в якостi iндивiдуального домашнього завдання
(яке потiм оцiнити).
У будь якому разi повний перелiк властивостей елементiв парале
лограма мiститься в конспектi «Паралелограм».
VI. Застосування знань, умiнь та навичок
1. Висоти паралелограма, що виходять з вершини тупого кута, утво
рюють кут 40°. Знайдiть кути паралелограма.
2. Вiдрiзок, що проходить через точку перетину дiагоналей парале
лограма, кiнцi якого належать сторонам паралелограма, дорiвнює
5 см. На якi вiдрiзки дiлиться цей вiдрiзок точкою перетину дiа
гоналей?
3. Пiд яким кутом перетинаються бiсек
триси кутiв паралелограма, що вихо
дять iз двох сумiжних вершин парале
лограма?
4. У паралелограмi ABK CBK 60
(див. рис.). PABK
12. Знайдiть BK.
1. Периметр паралелограма ABCD дорiвнює 14 дм, а периметр трикут
ника ABC — 10 дм. Знайдiть довжину дiагоналi AC.
а) бiсектриса його кута перетинає сторону пiд кутом 35°;
б) висота паралелограма утворює з однiєю з його сторiн кут 42°.
3. Бiсектриса кута D паралелограма ABCD дiлить сторону BC у вiдно
шеннi 1:4, починаючи вiд точки B. Знайдiть периметр паралелогра
ма, якщо BC 15 см.
4. У паралелограмi ABCD AB 7 см, AD 12 см. Бiсектриса кута A пе
ретинає сторону BC у точцi K. Знайдiть довжину вiдрiзкiвBK i KC.
5*. Знайдiть кути паралелограма, якщо його дiагональ перпендикуляр
на до однiєї зi сторiн i дорiвнює половинi iншої сторони.
6* (опорна). Кут мiж висотами паралелограма, проведеним з однiєї
вершини, дорiвнює куту паралелограма при сусiднiй вершинi. До
ведiть.
D
C
A
B
K

Чи iснують паралелограми, що зображенi на рисунках 1–5?
Рис. 4 Рис. 5
Вивчити змiст властивостей бiсектрис i висот паралелограма.
1. Сума трьох сторiн паралелограма дорiвнює 15 м, сума трьох iнших
його сторiн — 18 м. Знайдiть периметр паралелограма.
а) бiсектриса його кута перетинає сторону пiд кутом 25°;
б) висота паралелограма, проведена з вершини тупого кута, дiлить
його у вiдношеннi 1:3.
3*. Бiсектриса кута паралелограма дiлить його сторону на вiдрiзки за
вдовжки 5 см i 6 см. Знайдiть периметр паралелограма. Скiльки
розв’язкiв має задача?
4* (на повторення). У чотирикутнику ABCD AB CD. Яке спiввiд
ношення необхiдно додати до умови, щоб за даними задачi довести,
що чотирикутник ABCD — паралелограм? Висловiть припущення.
D
C
A
B
K
40°
40°
50°
5
4 D
CB
A A
B C
D
3
3 4 5
A
B C
D
3
3 4
5
E
F
O
F
E
50°
D
CB
A
5
5
O
F
HAF 150
H
50°
40°
50°
M
Урок № 6
Теореми про ознаки паралелограма
Мета: сформувати в учнiв свiдоме розумiння змiсту та схеми дове
дення теореми, що виражає ознаки паралелограма.
Формувати вмiння:
вiдтворювати ознаки та їхнi доведення;
застосовувати вивченi ознаки для доведення того, що даний чотири
кутник є паралелограмом.
Хiд уроку
Домашнє завдання перевiряємо за зразком взаємоперевiркою.
ІІІ. Формулювання мети й завдань уроку
З метою створення мотивацiї навчальної дiяльностi учнiв та усвi
домлення ними логiки побудови вивчення геометричних фiгур (озна
чення властивостi ознаки) пiдводимо учнiв до розумiння необхiд
ностi вмiти знаходити серед чотирикутникiв паралелограми. Постає
питання: чи iснує вiдповiдна ознака? Якщо так, її треба сформулювати
та довести — це i є основна дидактична мета уроку.
З метою свідомого розуміння та подальшого засвоєння учнями змiсту
ознак паралелограма слiд активiзувати знання i вмiння учнiв щодо змiсту
поняття «ознака», ознак рiвностi трикутникiв, паралельностi прямих,
властивостей вертикальних кутiв, а також означення паралелограма.
Для цього учнi мають розв’язати вправи.
1 Дано: AO OD, BO OC. Довести:
AB DC
A
B C
D
О

D F
3 Дано: BO OD, CO OF. Довести:
BF CD
4 Знайти кути паралелограма
1. Змiст поняття «ознака» паралелограма.
2. Теорема ознаки паралелограма: формулювання i доведення.
3. Приклади застосування ознак паралелограма.
На вiдмiну вiд традицiйного пiдручника геометрiї (пiд ред.
О. В. Погорєлова), в якому ознаки паралелограма розглядають
ся у формi опорних задач, та вiд iнших пiд ручникiв (в яких
ознаки були розглянутi як окремi теореми), новий пiдручник
мiстить усi основнi ознаки паралелограма (за двома протилеж
ними сторонами, за парами протилежних сторiн та за дiагона
лями) у виглядi однiєї теореми. Такий пiдхiд до викладання ма
терiалу має логiчне обґрунтування, оскiльки всi ознаки
паралелограма мають однакому схему доведення:
спочатку доводиться рiвнiсть трикутникiв (здобутих у результатi
проведення однiєї або двох дiагоналей паралелограма);
iз рiвностi трикутникiв випливає рiвнiсть вiдповiдних елементiв цих
трикутникiв (якi у свою чергу є елементами паралелограма);
на основi доведеної рiвностi певних елементiв паралелограма iз ви
користанням означення (а потiм доведеного попереднього твер
дження) доводиться той факт, що даний чотирикутник — парале
лограм.
3 2
1 4
F
D
C
E
B
F
D
C
O
1 40°
25°3
P
N
K
M
Оскiльки схеми доведення всiх трьох ознак майже однаковi (вiд
мiннiсть тiльки в застосуваннi рiзних ознак рiвностi трикутникiв та ви
користаннi або означення паралелограма, або вже доведеної ознаки
паралелограма за двома протилежними сторонами), то роботу з дове
дення ознак можна органiзувати так: ознаку паралелограма за двома
протилежними сторонами доводить учитель за участi учнiв, складає
план доведення, а потiм пропонує учням самостiйно довести наступнi
ознаки за складеним планом.
Усi вивченi на уроцi ознаки паралелограма помiщенi в конспект
«Паралелограм».
VI. Формування первинних умiнь та навичок
1. Дiагоналi чотирикутника DEFK перетинаються в точцi O, причому
DO OF, EO OK. Назвiть паралельнi сторони чотирикутника i по
яснiть, чому вони паралельнi.
2. У чотирикутнику KLMN KL MN|| i KL MN. Назвiть рiвнi кути чо
тирикутника i пояснiть, чому вони рiвнi.
3. У чотирикутнику PRSQ PR SQ, PQ RS. Знайдiть суму кутiв R i S.
4. У чотирикутнику ABCD AB CD. Яке
спiввiдношення мiж сторонами чоти
рикутника необхiдно додати до умови
задачi, щоб довести, що ABCD — па
ралелограм? Наведiть усi можливi
варiанти вiдповiдi.
5. На рисунку 1 точка O — спiльна
середина вiдрiзкiв AD, CH, BE. Якi
з чотирикутникiв є паралелограма
ми? Чому?
Проведiть двi паралельнi прямi. Вiдкладiть на однiй iз них вiдрiзок
AD, а на другiй прямiй — вiдрiзок BC, що дорiвнює AD, так, щоб
вiдрiзки AB i CD не перетиналися. Побудуйте вiдрiзки AB i CD.
б) Позначте точку M так, щоб чотирикутник ABMC був паралело
грамом. Чи лежать точки M, C i D на однiй прямiй?
Рис. 1
A
B C
D
H E
О

1. Дiагоналi чотирикутника ABCD перетинаються в точцi O. Чи є да
ний чотирикутник паралелограмом, якщо AO 4 см, OC 40 мм,
BD 12, дм, OD 6 см? Вiдповiдь
обґрунтуйте.
2. За даними рисунка 2 доведiть,
що чотирикутник ABCD — па
ралелограм.
3. У чотирикутнику ABCD сторо
ни AB i CD паралельнi. Знай
дiть периметр чотирикутника,
якщо AB CD 9 см, AD 4 см.
Пiсля засвоєння змiсту теорем
i формування первинних умiнь за
стосовувати ознаки у стандартних
ситуацiях розв’язуємо задачу з де
тальним поясненням.
Задача. У паралелограмi ABCD
точки M i N — середини сторiн AB
i CD вiдповiдно (рис. 3). Доведiть,
що чотирикутник MBND — пара
лелограм.
1. Дiагоналi паралелограма ABCD
перетинаються в точцi O. Точ
ки B1
i D1
— середини вiдрiзкiв
BO i DO вiдповiдно. Доведiть,
що чотирикутник AB CD1 1
—
паралелограм.
2. За даними рисунка 4 доведiть,
що чотирикутник ABCD — па
ралелограм.
Пiд час розв’язування письмових вправ слiд зробити акцент на
тому, що цi задачi передбачають застосування властивостей паралело
грама, але оскiльки в умовi цього не дано, то план розв’язування задач
має бути таким:
а) б)
Рис. 2
A
B C
DA
B C
D
Рис. 3
D
CB
A
NM
а) б)
Рис. 4
A
B C
DA
B C
D
O FE
AECF — паралелограм
спочатку, використовуючи ознаки паралелограма, довести, що да
ний чотирикутник — паралелограм;
пiсля доведення того, що даний чотирикутник є паралелограмом,
використати властивостi паралелограма.
Змiна порядку виконання дiй є логiчною помилкою i суперечить
логiцi побудови геометрiї.
VII. Пiдсумок уроку
Тестове завдання
Діагоналі чотирикутника
MNPQ (див. рис.) в точці пере
тину діляться навпіл. Одна
з його сторін дорівнює 4 см.
Чому дорівнює протилежна їй
сторона?
1) 3 см; 2) 4 см;
3) 5 см; 4) 6 см.
Вивчити формулювання i доведення теореми про ознаки парале
лограма.
1. Накреслiть трикутник ABC i проведiть його медiану BO. На променi
BO побудуйте вiдрiзок OD, що дорiвнює BO. Сполучiть точку D
з точками A i C.
б) Позначте точку M так, щоб чотирикутник ABDM був паралело
грамом. Чи лежать точки M, C i D на однiй прямiй?
2. За даними рисунка 5 дове
дiть, що чотирикутник
ABCD — паралелограм.
3. У чотирикутнику ABCD
AB CD, AD BC. Знайдiть
кути чотирикутника, якщо
кут A втричi бiльший за
кут B.
а) б)
Рис. 5
A
B C
DA
B C
D
O O
AOB COD
Q
PN
M

4. За даними рисунка 6
доведiть, що чотири
кутник ABCD — пара
лелограм.
Урок № 7
Мета: доповнити знання учнiв поняттями: «достатня та необхiдна
умови», «критерiй»; вiдпрацювати вмiння вiдрiзняти необхiднi та дос
татнi умови, а також використовувати вивченi необхiднi й достатнi
умови паралелограма до розв’язування задач.
Тип уроку: застосування знань, умiнь та навичок.
Хiд уроку
Якiсть засвоєння теоретичного матерiалу попереднього уроку мож
на перевiрити пiд час фронтальної бесiди (яку можна провести у формi
iнтерактивної вправи «Мiкрофон»).
Запитання для бесiди
1. Дiагоналi чотирикутника ABKM перетинаються. Чи обов’язково
цей чотирикутник є паралелограмом?
2. Точка перетину дiагоналей чотирикутника BCKM не є серединою
однiєї з них. Чи може цей чотирикутник бути паралелограмом?
3. Точка M є серединою вiдрiзка KO i BD. Як називається чотирикут
ник BKDO?
4. Вiдрiзки MN i KP паралельнi. Чи означає це, що чотирикутник
MNKP є паралелограмом?
5. Для чотирьох точок площини A, B, C, K виконується умова AB CK.
Чи випливає iз цiєї умови висновок, що точки A, B, C, K є вершина
ми паралелограма?
а) б)
Рис. 6
A
B C
D
A
B C
D
F
E
AECF — паралелограм
6. Якi вiдомостi треба мати про чотирикутник, щоб зробити висновок
про те, що вiн не є паралелограмом?
Перевiрка виконання письмових вправ проводиться вчителем
фронтально за зразками (у разi необхiдностi) або тiльки в тих учнiв, які
потребують додаткової педагогiчної уваги.
Звернувшись до таблицi 1 (див. Геометрiя в таблицях Є. П. Нелi
на), учнi усвiдомлюють, що всi твердження, якi стосуються загального
поняття паралелограма, вони вивчили. Пiсля цього доречно буде ще
раз звернутись до конспекту «Паралелограм» та порiвняти твердження,
що виражають властивостi та ознаки паралелограма (див. таблицю).
У цьому разi велика ймовiрнiсть того, що учнi помiтять (якщо цього не
вiдбулося ранiше), що властивостi та ознаки паралелограма є оберне
ними твердженнями. Тому загальну мету уроку можна сформулювати
як необхідність з’ясування логічного зв’язку між вивченими власти
востями та ознаками паралелограма, а також подальше формування
вмінь застосовувати вивчені твердження про паралелограм під час
розв’язування задач.
1. У чотирикутнику ABCD A 30 , C 50 . Чи може даний чотири
кутник бути паралелограмом? Яка особливiсть паралелограма (влас
тивiсть або ознака) використовується для розв’язування цiєї задачi?
2. ABCD — паралелограм, M — середина BC, H — середина AD
(рис. 1). Доведiть, що AMCH — паралелограм.
3. ABCD — паралелограм, AM CH (рис. 2). Доведiть, що DHBM —
4. На рисунку 3 AB CD, 1 2. Доведiть, що ABCD — паралелограм.
A B
CD
A
B C
D
HM
D C
BA
H
M
1
2

5. ABCD — паралелограм,
BM AD, DH BC (рис. 4).
Доведiть, що
ABM CDH.
6. ABCD — паралелограм,
BK AC, DE AC (рис. 5).
Доведiть, щоBK DE.
V. Засвоєння нових знань
1. Достатня умова.
2. Необхiдна умова.
3. Геометричне уявлення про критерiй.
Хоча теоретичний матерiал не є обов’язковим, вивчення питан
ня про необхiдну i достатню умову бажано провести на цьому
уроцi, оскiльки правильне уявлення учнiв про види математич
них тверджень є однiєю з умов високого рiвня їхньої математич
ної культури, а також запорукою глибокого розумiння загальних
математичних закономiрностей.
Вивчення нового матерiалу, яке можна провести за пiдручником,
бажано закiнчити виконанням низки вправ на перевiрку розумiння
розглянутих понять, використавши при цьому не тiльки матерiал, ви
вчений на уроках геометрiї у 8 класi, але й геометричний матерiал 7 кла
су, а також вiдомостi з iнших галузей знань (фiзики, бiологiї тощо).
VI. Формування первинних умiнь
Свiдомому розумiнню змiсту поняття «необхiдна та достатня умо
ви» сприятиме розв’язування усних вправ.
Поставте замiсть крапок слова «необхiдно», «достатньо» або «не
обхiдно i достатньо», щоб твердження було правильним.
а) Для того щоб чотирикутник був паралелограмом, ..., щоб його
дiагоналi точкою перетину дiлилися навпiл.
б) Для того щоб два кути були сумiжними, ..., щоб їхня сума
дорiвнювала 180°.
Рис. 4 Рис. 5
A
B C
D
H
M
D
CB
A
K
E
в) Для того щоб прямi AB i CD були паралельними, ..., щоб чотири
кутник ABCD був паралелограмом.
З метою подальшого закрiплення знань та вiдпрацювання вмiнь за
стосування ознак та властивостей паралелограма доцiльно письмово
розв’язати такi задачi.
1. У технiчному кресленнi для побудови паралельних прямих викорис
товують механiчну рейсшину (рис. 6). Пояснiть принцип її дiї.
2. У паралелограмi ABCD бiсектриси кутiв B i D перетинають дiагональ
AC у точках E i F вiдповiдно. Доведiть, що чотирикутник BEDF —
3. За даними рисунка 7 доведiть, що ABCD — паралелограм.
4* (опорна). Якщо в чотирикутнику протилежнi кути попарно рiвнi,
то цей чотирикутник — паралелограм. Доведiть.
Самостiйна робота (теоретична)
Варiант 1
1. Чи iснує чотирикутник, кути якого дорiвнюють 100°, 80°, 135°, 55°?
2. У чотирикутнику ABCD A C. Чи правильно, що ABCD — пара
лелограм?
3. У паралелограмi ABCD A C 180 . Назвiть гострi кути парале
лограма.
4. Дiагоналi чотирикутника KLMN перетинаються в точцi O, KL MN,
KL MN|| . Назвiть пари рiвних вiдрiзкiв зi спiльним кiнцем O. Вiдпо
вiдь обґрунтуйте.
а) б)
Рис. 7Рис. 6
A
B
C
D
K
M
N
L L
N
M
K
D
C
B
A
KLMN — паралелограм

Варiант 2
1. Чи iснує чотирикутник, кути якого дорiвнюють 20°, 150°, 10°, 180°?
2. У чотирикутнику ABCD AB CD. Чи правильно, що ABCD — пара
лелограм?
3. У паралелограмi ABCD B D 180 . Назвiть тупi кути паралело
грама.
4. Дiагоналi чотирикутника CDEF перетинаються в точцi O, DE CF|| ,
CD EF|| . Назвiть пари рiвних вiдрiзкiв зi спiльним кiнцем O. Вiдпо
вiдь обґрунтуйте.
Варiант 3
1. Чи iснує чотирикутник, у якого три кути тупi й один прямий?
2. Чи правильно, що коли в чотирикутнику двi сторони паралельнi,
а двi iншi сторони рiвнi, то цей чотирикутник — паралелограм?
3. У паралелограмi ABCD з периметром P BC AD CD P AB0 5, . По
рiвняйте сторониBC iCD.
4. Скiльки рiзних паралелограмiв можна дiстати з чотирьох однакових
паралелограмiв, якщо прикладати їх один до одного рiзними спо
собами?
Варiант 4
1. Чи iснує чотирикутник, у якого три кути гострi й один прямий?
2. Чи правильно, що коли в чотирикутнику є двi пари рiвних, не обов’
язково протилежних сторiн, то цей чотирикутник — паралелограм?
3. У паралелограмi ABCD з периметром P 0 5, P CD BC AD AB.
Порiвняйте сторониBC i AB.
4. Скiльки рiзних паралелограмiв можна дiстати з двох рiвних рiвно
бедрених, але не рiвностороннiх трикутникiв, якщо прикладати їх
один до одного рiзними способами?
Повторити теоретичнi вiдомостi про паралелограм. Виконати до
машню самостiйну роботу.
Домашня самостiйна робота
1. Один iз кутiв паралелограма дорiвнює 47°. Знайдiть решту кутiв.
2. Периметр паралелограма дорiвнює 112 см, а двi його сторони вiд
носяться як 5:3. Знайдiть сторони паралелограма.
3. Кут мiж бiсектрисою тупого кута паралелограма i висотою, прове
деною з вершини цього кута, дорiвнює 40°. Знайдiть кути паралело
грама.
4. Бiсектриса одного з кутiв паралелограма дiлить його сторону навпiл.
Знайдiть периметр паралелограма, якщо ця сторона дорiвнює a см.
Урок № 8
Прямокутник
Мета: сформувати в учнiв уявлення про прямокутник як один iз
видiв паралелограма; розглянути властивостi та ознаки прямокутника;
сформувати вмiння й навички застосовувати властивостi та ознаки
прямокутника пiд час розв’язування задач.
Наочнiсть та обладнання: конспект «Прямокутник».
Хiд уроку
Учитель збирає зошити учнiв iз виконаною домашньою самостiй
ною роботою на перевiрку. У разi потреби на цьому етапi проводиться
стислий аналiз виконаних завдань, та учнi, якi припустилися великої
кiлькостi помилок, отримують завдання для корекцiйної роботи.
З метою створення умов для усвiдомленого сприйняття учнями ма
терiалу уроку пропонуємо їм розв’язати логiчну вправу.
Порiвняйте фiгури на рисунку 1 (за рiзними критерiями). Яка iз
фiгур «зайва»?
Рис. 1
D
A
N PB C
M K
F
E
K
S

8 геом бабенко_пособ_2008_укр

8 геом бабенко_пособ_2008_укр

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 8 геом бабенко_пособ_2008_укр

Similar to 8 геом бабенко_пособ_2008_укр (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (19)

8 геом бабенко_пособ_2008_укр