8 геом бабенко_пособ_2008_укр

0 Бабенко С. П.
Серія «12 річна школа»
Заснована 2006 року
Харків
Видавнича група «Основа»
2008
Усі уроки геометрії. 8 клас 1

УДК 512
ББК 22.14
Б12
Бабенко С. П.
Усі уроки геометрії. 8 клас. — Х.: Вид. група «Основа»,
2008. — 352 с.— (Серія «12 річна школа»)
ISBN 978 966 333 897 2.
Докладні розробки уроків до вивчення геометрії в 8 класі за програ
мою 12 річної школи.
Цікаві методичні рекомендації, різноманітні прийоми роботи із зав
даннями, велика кількість усних вправ, широкий вибір форм перевірки
знань, використання ігрових моментів на уроці, грамотне урахування
вікових особливостей — усе це вигідно відрізняє посібник від традиційних
планів конспектів уроків.
Посібник для вчителя нового покоління.
УДК 512
ББК 22.14
Навчальне видання
Серія «12 річна школа»
БАБЕНКО Світлана Павлівна
Усі уроки геометрії. 8 клас
Навчально методичний посібник
Головний редактор І. С. Маркова
Редактор Г. О. Біловол
Комп’ютерна верстка О. В. Лєбєдєва
Підписано до друку 01.07.2008. Формат 60 841
16
. Папір газетний.
Гарнітура «Ньютон». Друк офсетний. Ум. друк. арк. 20,46. Зам. № 8 07/07 05.
ТОВ «Видавнича група “Основа”».
Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 2911 від 25.07.2007.
Україна, 61001 Харків, вул. Плеханівська, 66. Тел. (057) 731 96 33. E mail: math@osnova.com.ua
Б12
Бабенко С. П., 2008
ТОВ «Видавнича група “Основа”», 2008ISBN 978 966 333 897 2
ВСТУП
Матеріали посібника призначені для вчителів загальноосвітніх навчаль
них закладів, які викладають геометрію в 8 класі 12 річної школи за підруч
ником: Геометрія. 8 клас. А. П. Єршова, В. В. Голобородько, О. Ф. Крижа
новський, але можуть використовувати і ті, які працюють за іншими
підручниками.
Посібник містить детальні розробки уроків. У наведених конспектах
подаються тема, дидактична мета, тип уроку та опис обладнання, яке не
обхідне для проведення уроку.
Розробляючи плани уроків, автор дбав про те, щоб систематично
закріплювався матеріал, вивчений на попередніх уроках. У розробках пе
редбачено різноматнітні форми організації роботи учнів під час уроку,
зокрема самостійні роботи навчаючого і контролюючого характеру, мате
матичні диктанти, фронтальне опитування, розв’язання задач за готовими
кресленнями.
Змістова частина конспектів уроків має заголовок «Хід уроку». Тут
відображено: етапи уроку; зміст навчального матеріалу, що виноситься на
урок; система завдань, необхідна для досягнення дидактичної мети; мето
ди, форми і засоби, які доцільно використати на уроці; домашнє завдання.
До окремих фрагментів уроку подаються докладні методичні рекомен
дації, причому для полегшення роботи вчителів, що вже викладали гео
метрію в 8 класі за підручником О. В. Погорєлова, подається порівняльний
аналіз нових підходів до викладання навчального матеріалу, які подано
в підручнику «Геометрія. 8 клас» автори: А.П. Єршова, В. В. Голобородько,
О. Ф. Крижановський, по відношенню до підходів попереднього підручни
ка (Геометрія. 7 клас. О. В. Погорєлова). Більша частина завдань супровод
жується методичними коментарями (у тексті вони позначаються ), які
допоможуть учителю врахувати особливості розв’язування цих вправ.
Детальні методичні рекомендації, різноманітні прийоми роботи, вели
ка кількість усних вправ, широкий вибір форм перевірки знань, урахуван
ня вікових особливостей учнів — усе це відрізняє пропонований посібник
від традиційних планів конспектів та дає можливість його використання
також учителями, які працюють за різними підручниками з геометрії для
8 класу.
Автор сподівається, що вчителі не формально використовуватимуть
рекомендації цього посібника, а візьмуть їх за основу й складатимуть свої
поурочні плани, враховуючи особливості кожного класу.
Усі уроки алгебри. 8 клас 3

ОРІЄНТОВНЕ КАЛЕНДАРНЕ ПЛАНУВАННЯ
(усього 70 навчальних годин; І семестр — 32 години,
ІІ семестр — 38 годин)
№
уроку
Зміст навчального матеріалу (тема уроку)
Кіль
кість
годин
Дата
прове
дення
При
мітки
Тема І. Чотирикутники 24
1 Чотирикутник, його елементи 1
2 Опуклі чотирикутники. Сума кутів чотири
кутника
1
3 Розв’язування задач 1
4 Означення паралелограма. Властивості
паралелограма
1
5 Властивості паралелограма 1
6 Теореми про ознаки паралелограма 1
8 Прямокутник 1
9 Ромб. Квадрат 1
11 Підсумковий урок 1
12 Тематична контрольна робота № 1 1
13 Означення трапеції. Окремі види трапецій 1
14 Окремі види трапецій та їх властивості 1
15 Розв’язування задач. (Побудова парале
лограмів і трапецій)
1
16 Теорема Фалеса 1
№
уроку
Кіль
кість
годин
Дата
прове
дення
При
мітки
17 Середня лінія трикутника 1
18 Середня лінія трапеції 1
20 Градусна міра дуги. Вписаний кут 1
21 Наслідки з теореми про вписаний кут.
Розв’язування задач
1
22 Вписані чотирикутники. Описані чотири
кутники
1
Тема ІІ. Подібність трикутників 17
25 Узагальнена теорема Фалеса 1
26 Означення подібних трикутників 1
28 Подібність трикутників за двома
кутами
1
29 Подібність трикутників за двома сторонами
та кутом між ними
1
30 Подібність трикутників за трьома
сторонами
1
32 Ознаки подібності прямокутних трикут
ників. Пропорційні відрізки в прямокутно
му трикутнику
1
34 Теорема Піфагора 1
35 Теорема, обернена до теореми Піфагора 1

№
уроку
Кіль
кість
годин
Дата
прове
дення
При
мітки
37 Застосування подібності: властивість бісек
триси трикутника
1
38 Метричні співвідношення в колі 1
Тема ІІІ. Многокутники. Площі
многокутників
12
42 Ламана і многокутник 1
43 Сума кутів опуклого многокутника 1
44 Поняття площі многокутника 1
45 Площа прямокутника. Площа
1
47 Площа трикутника 1
48 Площа трапеції 1
50 Відношення площ подібних трикутників 1
51 Метод площ. Розв’язування задач 1
Тема ІV. Розв’язування прямокутних
трикутників
10
54 Синус, косинус і тангенс гострого кута пря
мокутного трикутника
1
55 Тригонометричні тотожності 1
№
уроку
Кіль
кість
годин
Дата
прове
дення
При
мітки
57 Формули доповнення 1
58 Значення тригонометричних функцій кутів
30°, 45°, 60°
1
59 Співвідношення між сторонами і кутами
прямокутного трикутника
1
60 Розв’язування прямокутних трикутників 1
Тема V. Повторення і систематизація
навчального матеріалу
7
64 Паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат:
властивості, обчислення площ
1
65 Трапеція: властивості, обчислення площі 1
66 Площа трикутника 1
67 Подібність трикутників та її застосування 1
68 Прямокутний трикутник 1

Тема І. ЧОТИРИКУТНИКИ (24 год)
Урок № 1
Чотирикутники
Мета: сформувати уявлення про чотирикутник, його елементи:
вершина, сторона, дiагональ, сусiднi сторони (вершини), протилежнi
сторони (вершини); ввести поняття периметра чотирикутника. Сфор
мувати первиннi вмiння:
вiдтворювати означення чотирикутника, його елементiв;
знаходити на рисунку зображення чотирикутника та його елементiв;
виконувати рисунки за описом;
розв’язувати найпростiшi задачi на обчислення iз використанням
поняття периметра чотирикутника.
Тип уроку: засвоєння нових знань.
Наочнiсть та обладнання: конспект «Чотирикутники».
Хiд уроку
І. Органiзацiйний етап
Вступне слово вчителя про:
особливостi вивчення геометрiї у 8 класi;
органiзацiю навчального процесу у 8 класi;
будову пiдручника.
ІІ. Перевiрка домашнього завдання
Вчитель перевiряє лiтнє домашнє завдання (якщо таке було задано).
ІІІ. Формулювання мети i завдань уроку
Усвiдомленому сприйняттю учнями матерiалу уроку може сприяти
робота з повторення та усвiдомлення найважливiших понять, вивче
них у 7 класi (цю роботу проводимо на етапi актуалiзацiї знань та вмiнь
учнiв), зокрема формується думка про те, що серед найважливiших по
нять курсу геометрiї 7 класу можна видiлити трикутник. Необхiдно
звернути увагу учнiв на систему вивчення геометричної фiгури «три
кутник»: означення елементи властивостi поняття рiвностi
ознаки рiвностi розв’язування задач iз використанням теоретичних
вiдомостей про трикутник.
Пiсля проведеної роботи з повторення означення та основних
властивостей трикутника пропонуємо учням виконати завдання.
На площинi дано 4 точки; розгляньте всi можливi випадки їх вза
ємного розташування. Якi фiгури утворяться, якщо поєднати всi мож
ливi випадки їх взаємного розташування? Якi можливi варiанти вза
ємного розташування 4 х точок та фiгур, що утворяться в результатi
послiдовного з’єднання точок вiдрiзками.
Зосереджуємо увагу учнiв на випадку, коли жоднi три точки не ле
жать на однiй прямiй i жоднi два вiдрiзки не мають спiльних внутрiшнiх
точок, та таким чином формулюємо основну дидактичну мету уроку —
вивчити згаданий випадок та його найпростiшi властивостi.
IV. Актуалiзацiя опорних знань
Виконання усних вправ
1. Чи правильнi наведенi твердження?
1) Через точку площини можна провести не менш нiж 1000 прямих;
2) сполучивши попарно три точки на площинi, завжди дiстанемо
три прямi;
3) на кожнiй прямiй можна вибрати принаймнi 100 точок.
2. Скiльки трикутникiв зображено на рисунку 1? Назвiть їх.
3. Скiльки трикутникiв зображено на рисун
ку 2? Назвiть їх.
4. Знайдiть усi трикутники (рис. 3), двi верши
ни яких знаходяться в точках A та B.
5. Знайдiть усi трикутники (рис. 4), двi верши
ни яких знаходяться в точках A та B.
B
D
CA
M
K
N
P
F
O
Рис. 4
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
C
D
B
A
D
CB
A
E
L
NP
K M

V. Засвоєння знань
План вивчення нового матерiалу
1. Означення чотирикутника.
2. Елементи чотирикутника.
3. Периметр чотирикутника.
Означення чотирикутника є одним iз найважливiших означень
курсу геометрiї 8 класу. Саме тому усвiдомленому сприйняттю
цього означення допоможе робота, проведена на етапi форму
лювання мети уроку: учнi мають зрозуміти, що для iснування
чотирикутника з вершинами в даних чотирьох точках необхiд
не одночасне виконання двох умов:
жоднi три з даних чотирьох точок не повиннi лежати на однiй прямiй;
жоднi двi сторони (вiдрiзки, що з’єднують цi точки) не повиннi мати
точок перетину (внутрiшнiх).
Завдання. Чи є чотирикутником фiгура, утворена точками A, B, C i D
та вiдрiзками AB, BC, CD i AD?
Пiд час вивчення питання про елементи чотирикутника корисно
було б зробити порiвняння з елементами трикутника (дослiдити, як
впливає збiльшення кiлькостi вершин многокутника на його елемен
ти). Тодi зрозумiло, що, на вiдмiну вiд сторiн та кутiв трикутника, сто
рони i кути чотирикутника можуть бути по рiзному розташованi один
вiдносно iншого (таким чином, вводиться поняття протилежних,
сусiднiх, сумiжних сторiн або вершин чотирикутника). Також важли
вим є питання про правильне позначення чотирикутника (у цьому пи
таннi учнi часто припускаються помилок): важливо, щоб учнiв усвiдо
Рис. 5
C
D
B
A
а)
D
CBA
в)
г)
д)
A
B
DC
A
B
D C
б)
е)
C
D
A
B
C
D
A
B
мили, що, на вiдмiну вiд позначення трикутника (усi вершини якого
називають у довiльному порядку), позначаючи чотирикутник, його
вершини треба називати тiльки послiдовно (букви, що стоять поряд
у позначеннi чотирикутника, визначають сусiднi вершини або одну iз
сторiн чотирикутника). Усвiдомленому сприйняттю цього фрагменту
матерiалу допоможе робота за готовими рисунками.
Завдання. Чи можна чотирикутники, що зображенi на рисунку 6,
позначити MNKP?
Порiвнюючи трикутник i чотирикутник, можна сформувати по
няття дiагоналi чотирикутника (для усвiдомлення учнями змiсту цього
поняття можна запропонувати питання про неможливiсть iснування
дiагоналi трикутника) та периметра чотирикутника.
Пiд час засвоєння нових знань доцiльно складати з допомогою
учнiв опорний конспект, в якому теоретичнi вiдомостi поданi в стисло
му виглядi.
Конспект 1
1. ABCD — чотирикутник.
Елементи чотирикутника:
а) точки A, B, C i D — вершини, причому
A i B — сусiднi; A i C — протилежнi;
б) вiдрiзки AB, BC, CD i AD — сторони,
причому: AB i AD — сусiднi,
AB i CD — протилежнi;
в) вiдрiзки AC i BD — дiагоналi.
2. Для чотирикутника ABCD сума AB BC CD AD — периметр;
P AB BC CD BD
Рис. 6
K
P
N
M
б)а)
N
K
P
M
в)
N
M
K
P
C
D
A
B

3.
внутрiшня область чотирикутника ABCD
ABCD — опуклий чотирикутник; MNPQ — неопуклий чотирикутник.
4. Якщо ABCD — опуклий чотирикутник,
то: ABC ( B); BCD ( C), CDA ( D)
i DAB ( A) — внутрiшнi кути
чотирикутника ABCD, причому
A B C D 360
VI. Формування первинних умiнь
1. Скiльки сусiднiх вершин має вершина чотирикутника? Скiльки про
тилежних? Назвiть сусiднi й протилежнi вершини для вершини B чо
тирикутника ABCD.
2. Скiльки сусiднiх сторiн має сторона чотирикутника? Скiльки про
тилежних? Назвiть сусiднi й протилежнi сторони для сторони AD
чотирикутника ABCD.
3. Вiдрiзок, який сполучає двi вершини чотирикутника, не є його
дiагоналлю. Чи можуть данi вершини бути протилежними?
4. Вершинами чотирикутника є точки K, L, M, N.
а) Вiдомо, що KM i ML — сторони чотирикутника. Назвiть його дiа
гоналi.
б) Вiдомо, що KL — дiагональ чотирикутника. Назвiть вершини, су
сiднi з вершиною K.
в) Даний чотирикутник можна назвати KMLN. Чи можна його на
звати MLKN?
Виконання графiчних вправ
Позначте точки A, B, C i D, якi не лежать на однiй прямiй, i послi
довно сполучiть їх вiдрiзками так, щоб утворився чотирикутник. Дайте
назву здобутому чотирикутнику i проведiть його дiагоналi.
C
D
A
B
B
A
D
C
N
Q
P
M
C
D
A
B
Виконання письмових вправ
1. Знайдiть периметр чотирикутника, якщо його найменша сторона
дорiвнює 5 см, а кожна наступна сторона на 2 см бiльша за
попередню.
2. Знайдiть сторони чотирикутника, якщо його периметр дорiвнює
3 дм, а одна сторона менша вiд кожної з трьох iнших на 2 см, 3 см
i 5 см вiдповiдно.
3*. Периметр чотирикутника ABCD дорiвнює 23 дм. Знайдiть довжину
дiагоналi AC, якщо периметр трикутника ABC дорiвнює 15 дм, а пе
риметр трикутника ADC дорiвнює 22 дм.
VII. Пiдсумки уроку
Тестове завдання
Яке з тверджень неправильне? У чо
тирикутнику PQMN (див. рис.):
1) вершини M і N сусідні з верши
ною Q;
2) вершина N протилежна верши
ні Q;
3) відрізки QN і PM — діагоналі;
4) NP і NM — сусідні сторони.
VIII. Домашнє завдання
Вивчити змiст основних понять уроку.
Розв’язати задачi.
1. Чи iснує чотирикутник ABCD, в якому AB 9 см, BC 12 см, AC 21
см? Вiдповiдь обґрунтуйте.
2. Периметр чотирикутника дорiвнює 20 см. Знайдiть сторони чотири
кутника, якщо одна з них складає 40 % периметра, а три iншi рiвнi.
3. Сторони чотирикутника вiдносяться
як 3:4:5:6. Знайдiть периметр чотири
кутника, якщо сума його найбiльшої
i найменшої сторiн дорiвнює 18 см.
4. (На повторення). Вiдомо, що
KMN NPK (див. рис.).
а) Доведiть, що MK NP|| ;
б) знайдiть P, якщо M 65 .
M
N P
K
Q
P
N
M

Урок № 2
Опуклi чотирикутники. Сума кутiв чотирикутника
Мета: сформувати уявлення про внутрiшню область чотирикутника,
поняття опуклого та неопуклого чотирикутникiв, кута опуклого чотири
кутника, сусiднiх та протилежних кутiв опуклого чотирикутника.
Сформувати первиннi вмiння:
вiдтворювати вивченi означення;
розрiзняти на готових рисунках вивченi об’єкти;
зображувати вивченi об’єкти на рисунку.
Сформувати усвiдомлене розумiння змiсту теореми про суму кутiв опук
лого чотирикутника та вмiння її застосовувати пiд час розв’язування задач.
Хiд уроку
Для перевiрки засвоєння учнями змiсту основних понять, розгля
нутих на попередньому уроцi, можна провести математичний диктант.
Математичний диктант
Варiант 1 Варiант 2
1. Виконайте зображення чотирикутника
MNKP STOR
Позначте на рисунку пару
протилежних сторiн протилежних вершин
2. Як називаються вiдрiзки, що з’єднують
протилежнi вершини чотирикутника?
2. Чим є в чотирикутнику кiнцi
його дiагоналi?
3. Якi з вершин чотирикутника AMOP
є сусiднiми до вершини A?
3. Якi зi сторiн чотирикутника
BCKM є сусiднiми до сторони KM?
4. Одна зi сторiн чотирикутника
удвiчi бiльша утричi менша
вiд кожної з iнших сторiн. Знаючи, що периметр чотирикутника дорiвнює
40 см, знайдiть довжину
бiльшої зi сторiн меншої зi сторiн
З метою кращого усвiдомлення учнями навчального матерiалу уро
ку доцiльно використати прийом аналогiї. Для цього порiвняємо озна
чення трикутника та його елементiв з означенням чотирикутника та
його елементiв. Пiд час порiвняння означень повторюємо означення
внутрiшнього кута трикутника та теорему про суму всiх його кутiв.
Отже, виникає питання про iснування аналогiчної теореми про суму
внутрiшнiх кутiв чотирикутника. Вiдповiдь на це питання i є основною
дидактичною метою уроку.
Виконання усних вправ за готовими рисунками
1. Дано: AB BC, AD DC. Довести:
A C
2. Дано: AD BC|| . Довести:
C D 180
3. Дано: 1 2, 3 4. Довести:
AB AD, BC CD
4. Дано: AB AD, CB CD. Довести:
AC BD
5. Дано: AB DC, BC AD. Довести:
1 2
A
B C
D
D
CB
A
D
C
B
A
A
B
C
D
D
C
B
A 1 3
2 4
2
1

1. Внутрiшня область чотирикутника.
2. Опуклий чотирикутник.
3. Внутрiшнiй кут опуклого чотирикутника.
4. Властивiсть внутрiшнiх кутiв опуклого чотирикутника.
Пiд час пiдготовки до викладення матерiалу щодо поняття опукло
го чотирикутника за новим пiдручником учителю слiд звернути
увагу на iнший пiдхiд до викладення цього питання, а саме: спо
чатку вводиться поняття внутрiшньої областi чотирикутника (над
алi використовується для введення поняття площi многокутника),
а потiм формується уявлення про два можливих випадки взаємно
го розташування прямої, що мiстить сторону чотирикутника,
вiдносно внутрiшньої областi чотирикутника: пряма або перети
нає, або не перетинає цю внутрiшню область. Далi на основi цього
уявлення формується поняття опуклого (i неопуклого) чотирикут
ника, яке закрiплюється пiд час роботи за готовими рисунками.
Що стосується поняття кута опуклого чотирикутника (внутрiшньо
го), а також теореми про суму кутiв опуклого чотирикутника, то цi пи
тання в новому пiдручнику висвiтлюються за такими ж принципами,
як i в традицiйних пiдручниках геометрiї (як, зокрема, у пiдручнику
Геометрiя. 7–9 / Пiд ред. О. В. Погорєлова).
Завдання. На якому з наведених рисункiв зображено опуклий чоти
рикутник (див. рис. 1)?
VI. Формування вмiнь та навичок
1. Чи можуть усi кути опуклого чотирикутника бути гострими? тупи
ми? прямими?
Рис. 1
а) в) г)б)
C
D
A
B
D
C
BA
D
CB
A
D
C
B
A
2. Чи може опуклий чотирикутник мати три гострi кути? три тупi
кути? два прямi кути? три прямi кути i один непрямий?
3. Чи можуть кути трикутника дорiвнювати трьом кутам чотирикут
ника? Вiдповiдь обґрунтуйте.
Проведiть двi паралельнi прямi. Позначте на однiй з них точки A i D,
а iншi — точки B i C, так, щоб за послiдовного сполучення цих точок
утворився чотирикутник ABCD.
а) Чи є побудований чотирикутник опуклим? Чому?
б) Вимiряйте зовнiшнi кути чотирикутника ABCD (по одному при
кожнiй вершинi) та обчислiть їх суму.
1. Два кути чотирикутника дорiвнюють 80° i 100°, а два iншi кути ма
ють рiвнi градуснi мiри. Знайдiть найбiльший кут чотирикутника.
2. Знайдiть кути чотирикутника, якщо один iз них удвiчi менший вiд
другого, на 20° менший вiд третього i на 40° менший вiд четвертого.
3. Периметри чотирикутникiв ABCD i ABCD1
рiвнi. Чи може один iз
цих чотирикутникiв бути опуклим, а другий — неопуклим? Вiдпо
вiдь пiдтвердьте рисунком.
Завдання. У наведених твердженнях знайдiть та виправте помилку:
1) сума кутiв будь якого чотирикутника дорiвнює 360°;
2) чотирикутником називається фiгура, яка складається з чотирьох
точок, жоднi три з яких не лежать на однiй прямiй, i чотирьох
вiдрiзкiв, якi послiдовно сполучають цi точки;
3) дiагональ чотирикутника — це вiдрiзок, що з’єднує двi вершини
чотирикутника;
4) опуклий чотирикутник — це чотирикутник, який не перетинається
прямою.
Вивчити змiст понять, розглянутих на уроцi (див. конспект), та до
ведення теореми про суму кутiв опуклого чотирикутника.

1. Знайдiть кути чотирикутника ABCD, якщо A B, C D, а су
ма кутiв A i B дорiвнює 160°.
2. Знайдiть найменший кут чотирикутника, якщо суми його кутiв,
узятих по три, дорiвнюють 240°, 260° i 280°.
3. Якщо один iз кутiв опуклого чотирикутника — гострий, то в цьому
чотирикутнику обов’язково є тупий кут. Доведiть.
Урок № 3
Мета: закрiпити знання учнями означень чотирикутника та його
елементiв; продовжувати формувати уявлення про опуклий чотирикут
ник; вiдпрацьовувати вмiння та навички застосування теореми про
суму кутiв чотирикутника пiд час розв’язування задач.
Тип уроку: засвоєння вмiнь та навичок.
Хiд уроку
І. Органiзацiйний момент
Перевiрку засвоєння учнями теоретичної частини домашнього за
вдання можна здiйснити за допомогою iнтерактивної вправи «Мiкрофон»
або гри «Найрозумнiший» (учитель заздалегiдь готує список завдань, якi
потребують швидкої та короткої вiдповiдi за темою попереднiх двох
урокiв, наприклад: «У чотирикутнику CDFE: C i E — це…» i т. д.).
Правильнiсть виконання письмових завдань домашньої роботи пе
ревiряємо або записавши розв’язання на дошцi власноруч, або ж ви
кликавши для цього двох учнiв.
Зазвичай мета уроку засвоєння вмiнь та навичок формулюється
пiсля перевiрки виконання домашнього завдання, пiд час якої виявля
ють прогалини в знаннях учнiв та певнi труднощi з оперативним
умiнням щодо застосування набутих на попереднiх уроках знань на
практицi (пiд час розв’язування задач). Тому мета уроку формулюється
як така, що складається iз двох частин:
повторити (можливо, скоригувати) змiст основних нових понять
теми «Чотирикутники»;
сформулювати схеми дiй пiд час розв’язування типових задач на за
стосування вивчених знань.
IV. Актуалiзацiя та корекцiя опорних знань та вмiнь
На цьому етапi уроку доречно буде органiзувати самостiйну роботу уч
нiв з усвiдомлення змiсту основних понять роздiлу. Для цього можна за
пропонувати їм роботу, аналогiчну за формою до тiєї, що була проведена
на етапi пiдбиття пiдсумкiв на попередньому уроцi. Пiсля виконання робо
ти обов’язкова перевiрка, обговорення i корекцiя результатiв виконання
(зрозумiло, що пiд час перевiрки широко використовуємо наочнiсть: усi
«неправильнi твердження» iлюструємо вiдповiдними рисунками).
V. Засвоєння вмiнь та навичок
На цьому етапi уроку учням пропонуються задачi, якi перед розв’я
зуванням слiд розподiлити на групи за змiстом (у довiльному порядку
пропонуються задачi на знаходження периметра чотирикутника та за
дачi на застосування теореми про суму кутiв опуклого чотирикутника;
наприклад, задачi, що подiбнi за змiстом до задач з пiдручника). Пiсля
формування основних груп задач iз теми учнi мають не просто розв’я
зати запропонованi задачi, але й сформувати загальний план розв’я
зання задач кожного типу. Ефективною на цьому етапi уроку є групова
робота учнiв iз наступною презентацiєю результатiв та корекцiєю
складених схем дiй.
VI. Пiдсумки уроку
Самостiйна робота № 1
Варiант 1
Серед наведених укажiть правильнi твердження:
1) градусна мiра кутiв опуклого чотирикутника може виражатися
числами 20°, 30°, 89°, 90°;
2) жоднi двi сторони чотирикутника не мають спiльних точок;
3) у чотирикутнику MNPQ M i Q — протилежнi вершини;
4) якщо периметр чотирикутника ABCD дорiвнює 20 см, а AC 4 см,
то периметр трикутника ADC дорiвнює 18 см.

Варiант 2
Серед наведених укажiть правильнi твердження:
1) градусна мiра кутiв опуклого чотирикутника може виражатися
числами 91°, 92°, 93°, 94°;
2) дiагональ з’єднує двi вершини чотирикутника;
3) у чотирикутнику ATFE TF i AE — сусiднi сторони;
4) якщо в чотирикутнику ABCD BD 5 см, PBCD 15 см, PABD
13 см,
то PABCD
23 см.
VII. Домашнє завдання
Повторити змiст основних понять теми.
1. Визначте, чи може чотирикутник ABCD бути опуклим, якщо:
а) точки A i D лежать по рiзнi боки вiд прямої BC;
б) пряма AB перетинає пряму CD;
в) пряма AB перетинає вiдрiзок CD.
Виконайте рисунки.
2. Один iз кутiв опуклого чотирикутника дорiвнює сумi двох iнших
кутiв. Доведiть, що даний кут є тупим.
3. У чотирикутнику три кути рiвнi, а четвертий кут менший вiд їхньої
суми на 240°. Знайдiть кути чотирикутника.
Урок № 4
Означення паралелограма. Властивостi паралелограма
Мета: домогтися засвоєння учнями означення паралелограма, озна
чення додаткових елементiв паралелограма, формулювання i доведення те
ореми про властивiсть кутiв i сторiн паралелограма; сформувати первинні
вміння відтворювати вивчені означення і властивості, а також використо
вувати їх разом із вивченими раніше властивостями та ознаками паралель
них прямих для розв’язування задач на доведення та обчислення.
Наочнiсть та обладнання: конспект «Паралелограм».
Хiд уроку
Збираємо зошити учнiв на перевiрку.
Для створення вiдповiдної мотивацiї дiяльностi учнiв та з метою
надання допомоги в усвiдомленнi необхiдностi вивчення матерiалу
уроку можна запропонувати виконати логiчне завдання.
Розглянути фiгури на рисунку 1 та знайти схожi i вiдмiннi риси. Усi
фiгури подiлити на групи за схожiстю.
Рис. 1
Гiпотетично учнi мають побачити серед спiльних та вiдмiнних рис
многокутникiв, зображених на рисунку, кiлькiсть кутiв та наявнiсть
паралельних сторiн.
Пiсля виконання завдання вчитель звертає увагу учнiв на групу чо
тирикутникiв iз двома парами паралельних сторiн (до цiєї групи увi
йшли знайомi учням iз початкових класiв квадрат i прямокутник). Зро
зумiло, що видiлення серед рiзного виду опуклих чотирикутникiв
групи таких, що мають двi пари паралельних сторiн, обумовлює не
обхiднiсть ретельного вивчення загальних властивостей цих чотири
кутникiв та систематизацiї за видами.
IV. Актуалiзацiя опорних знань та вмiнь
1. Дано: BC AD, 1 2. Довести:
ABC CDA
2 3
51 4
9
6
10
8
7 11 12
A
B
C
D
2
1

2. Дано: AO OC, 1 2. Довести:
AOD COB
3. Дано: AC CD, 1 2. Довести:
AB CD||
4. Дано: AB CD, AD BC. Довести:
BC AD||
1. Означення паралелограма.
2. Висоти паралелограма.
3. Властивостi сторiн i кутiв паралелограма.
Вивчення матерiалу уроку проводиться за традицiйною схе
мою: спочатку формулюється означення паралелограма (як чо
тирикутника, що має двi пари паралельних сторiн), а потiм
вивчаються властивостi сторiн, кутiв i дiагоналей паралелогра
ма. Властивостi елементiв паралелограма можна сформулювати
як загальну теорему (i цiлком логiчно, бо доведення всiх трьох
властивостей здiйснюється за загальною схемою — через
рiвнiсть трикутникiв).
Слiд зазначити, що пiд час вивчення означення паралелограма слiд
вкотре звернути увагу учнiв на факт, що викладений у таблицi 1 (див.
Геометрiя в таблицях, Є. П. Нелiн), а саме: якщо даний чотирикутник
є паралелограмом, то це означає, що його сторони попарно пара
лельнi, i навпаки, якщо деякий чотирикутник має двi пари паралель
них сторiн, то такий чотирикутник є паралелограмом (цю властивiсть
означення слiд закрiпити пiд час виконання усних вправ як на готових
рисунках, так i на паралелограмах, заданих перелiком своїх вершин).
A B
CD
2
1
D
A
C
O
1
2
D
CB
A
Одразу слiд пояснити учням, що, виконуючи зображення паралелогра
ма в зошитах (розлiнованих у клiтинку), використовують зазвичай та
кий прийом: iз вузла клiтинок проводять два нерiвних i непаралельних
вiдрiзки (пiд певним кутом), а вже потiм iз кiнцiв цих вiдрiзкiв
проводять вiдрiзки, вiдповiдно паралельнi (i рiвнi) даним.
Пiд час вивчення властивостей кутiв паралелограма слiд звернути
увагу на те, що властивiсть сусiднiх кутiв паралелограма розглядається
як прямий наслiдок означення паралелограма (сусiднi кути паралело
грама є внутрішніми односторонніми кутами при паралельних прямих,
що містять протилежні сторони паралелограма).
Пiд час доведення теореми про властивiсть сторiн, кутiв i дiагоналей
паралелограма використовується рiвнiсть трикутникiв, що утворюються
при проведеннi в паралелограмi однiєї з дiагоналей (для доведення
рiвностi протилежних сторiн та протилежних кутiв паралелограма) або
двох дiагоналей (для доведення властивостей дiагоналей паралелогра
ма). Тому навiть самостiйне доведення цiєї теореми (особливо пiсля на
лежним чином проведеної актуалiзацiї знань та вмiнь учнiв — див.
вище) зазвичай не викликає труднощiв в учнiв. Необхiдно також роз
глянути формулу периметра паралелограма як наслiдок властивостi
сторiн паралелограма, яка досить часто використовується в розв’язу
ваннi задач. Звернiть увагу учнiв на властивiсть дiагоналей паралелогра
ма, що була здобута на промiжному етапi доведення властивостей кутiв
i сторiн паралелограма (Є. П. Нелiн видiляє її як окрему властивiсть
дiагоналей паралелограма — див. Геометрiя в таблицях Є. П. Нелiн, таб
лиця 16) — дiагональ паралелограма дiлить його на два рiвних трикутни
ки. Повний перелiк властивостей паралелограма мiститься у конспектi
«Паралелограм».
Конспект 2
Паралелограм
Означення. Чотирикутник, протилежнi
сторони якого паралельнi парами,
називається паралелограмом.
ABCD — паралелограм AB CD|| , BC AD||
A
B C
D

Властивостi Ознаки
Якщо ABCD — парале
лограм, то
1) AB CD, BC AD
2) A C, B D
(у паралелограмi проти
лежнi сторони рiвнi,
протилежнi кути рiвн
3) P AB BC2
Якщо ABCD — чотири
кутник i AB CD,
AB CD|| , то ABCD — па
ралелограм. (Якщо в чо
тирикутнику двi сторони
паралельнi i рiвнi, то вiн
паралелограм)
Якщо ABCD — чотири
кутник i AB CD,
BC AD, то ABCD — па
ралелограм. (Якщо в чо
тирикутнику протилежнi
сторони парами рiвнi, то
цей чотирикутник — па
ралелограм)
лограм i BD — дiагональ,
то ABD CDB. (Дiаго
наль паралелограма
дiлить його на два рiвних
трикутники)
лограм, AC i BD — дiаго
налi, то AO OC,
BO OD. (Дiагональ па
ралелограма точкою пе
ретину дiлиться навпiл)
Якщо в чотирикутнику
ABCD AO OC, BO OD,
то ABCD — паралело
грам. (Якщо дiагоналi
чотирикутника точкою
перетину дiляться на
впiл, то цей чотирикут
ник — паралелограм)
лограм, BH i BM — ви
соти, проведенi з верши
ни B, то HBM A.
(Кут мiж висотами пара
лелограма, проведеними
з однiєї вершини, до
рiвнює куту при сусiднiй
вершинi паралелограма)
A
B C
D
D
CB
A
A
B C
D
O
A
B C
D
H
M
Якщо ABCD — паралело
грам i AF, BL, CT — бiсе
ктриси кутiв A, B i C, то:
1) AB BF (AB AL,
CD DT
2) AKB 90
3) AF CT|| (Бiсектриса
кута паралелограма вiд
тинає вiд паралелограма
рiвнобедрений трикут
ник; бiсектриси сусiднiх
кутiв паралелограма пер
пендикулярнi; бiсектриси
протилежних кутiв пара
лелограма паралельнi)
VI. Формування вмiнь та навичок
1. Чотирикутник ABCD — паралелограм. Назвiть:
а) сторону, паралельну сторонi BC;
б) сторону, яка дорiвнює сторонi CD;
в) кут, який дорiвнює куту A.
2. Чи правильно, що будь який паралелограм:
а) має два кути, сума яких дорiвнює 180°;
б) має два гострi i два тупi кути?
3. У паралелограмi ABCD B C. Порiвняйте кути A i D.
4. У паралелограмi ABCD AB CD AD BC. По
рiвняйте сторониBC iCD.
5. Дiагоналi паралелограма ABCD перетина
ються в точцiO (рис.).
а) Назвiть вiдрiзок, який є медiаною трикут
ника ACD;
б) назвiть трикутник, медiаною якого є вiдрiзок AO.
1. Проведiть двi паралельнi прямi. Позначте на однiй з них точки A i D
i проведiть через цi точки двi iншi паралельнi прямi, якi перетина
ють другу пряму в точках B i C вiдповiдно.
A
B C
DT
F
L
K
A
B C
D
O

а) Пояснiть, чому чотирикутник ABCD є паралелограмом.
б) Вимiряйте кут A паралелограма ABCD. Користуючись властивос
тями паралелограма, знайдiть градуснi мiри iнших його кутiв. Пе
ревiрте результати вимiрюванням.
в) Проведiть дiагональ AC i позначте її середину — точку O. За до
помогою лiнiйки перевiрте, чи належить ця точка вiдрiзкуBD.
2. Накреслiть у зошитi трикутник i проведiть через кожну його вер
шину пряму, паралельну протилежнiй сторонi. Скiльки паралело
грамiв утвориться на рисунку? Скiльки спiльних вершин мають
будь якi два паралелограми, що утворилися?
1. Знайдiть периметр паралелограма ABCD, якщо сторона AD дорiв
нює 12 см i складає
2
3
сторони AB.
2. Знайдiть кути паралелограма, якщо:
а) один iз них дорiвнює 110°;
б) один iз них на 70° менший вiд iншого;
в) сума двох його кутiв дорiвнює 90°;
г) дiагональ утворює з його сторонами кути 30° i 45°.
3. Точка перетину дiагоналей паралелограма вiддалена вiд двох його
вершин на 5 см i 8 см. Знайдiть довжини дiагоналей паралелограма.
Для перевiрки засвоєння змiсту вивчених на уроцi понять пропо
нуємо учням розв’язати уснi вправи.
1. Якi вiдомостi треба мати про чотирикутник, щоб зробити висно
вок, що вiн не є паралелограмом?
2. Яких помилок припущено у зображеннi паралелограмiв на рисун
ках 1–3?
60°5
8
35°
30°
8
5
4 4
3
3
110°
110° 60°
За пiдручником i конспектом уроку вивчити змiст означення пара
лелограма та формулювання i доведення властивостей сторiн, кутiв,
дiагоналей паралелограма.
1. Накреслiть трикутник ABD. Проведiть через вершину B i D прямi,
паралельнi сторонам AD i AB вiдповiдно. Позначте точку C — точку
перетину цих прямих.
б) Проведiть двi висоти паралелограма з вершини B. Чи рiвнi вони?
в) Вимiряйте сторони AD та AB i знайдiть периметр паралелограма.
Якою властивiстю паралелограма ви скористалися?
2. Три паралельнi прямi перетинаються з двома iншими паралельни
ми прямими. Скiльки паралелограмiв при цьому утворилося?
3. Периметр паралелограма дорiвнює 24 см. Знайдiть сторони парале
лограма, якщо:
а) одна з них на 2 см бiльша за iншу;
б) одна з них утричi менша вiд iншої;
в) сума трьох його сторiн дорiвнює 17 см.
а) один з них є прямим;
б) градуснi мiри двох кутiв вiдносяться як 2:7;
в) рiзниця двох його кутiв дорiвнює 40°;
г) сума трьох його кутiв дорiвнює 330°.
Повторити: означення бiсектриси кута, властивiсть гострих кутiв
прямокутного трикутника.
Урок № 5
Властивості паралелограма
Мета: доповнити знання учнiв властивостями бiсектрис кутiв па
ралелограма та висот паралелограма; продовжити роботу iз формуван
ня вмiнь вiдтворювати вивченi означення i властивостi паралелограма
та використовувати цi твердження пiд час розв’язування задач на
обчислення i доведення.
Тип уроку: застосування знань, умiнь та навичок.

Хiд уроку
Для перевiрки якостi засвоєння учнями основних понять уроку
можна провести математичний диктант.
Варiант 1
1. Чотирикутник KEPM — паралелограм. Скiльки спiльних точок ма
ють прямi KE i PM?
2. Дiагоналi паралелограма дорiвнюють 7 дм i 5 дм. На вiдрiзки якої
довжини вони дiляться точкою перетину?
3. Один iз кутiв паралелограма дорiвнює 35°. Чому дорiвнюють решта
його кутiв?
4. Периметр паралелограма дорiвнює 20 см, а одна з його сторiн —
3 см. Знайдiть довжини iнших його сторiн.
Варiант 2
1. Чотирикутник BCOE — паралелограм. Чи може кожний iз кутiв B i E
дорiвнювати 80°?
2. C — точка перетину дiагоналей паралелограма OBKM. Чому дорiв
нюють його дiагоналi, якщо довжини вiдрiзкiв CO i CB дорiвнюють
3,5 см та 2,5 см вiдповiдно?
3. Периметр паралелограма дорiвнює 26 см, а одна iз його сторiн —
5 см. Знайдiть довжини решти сторiн.
4. Один iз кутiв паралелограма дорiвнює 45°. Чому дорiвнюють решта
його кутiв?
Правильнiсть розв’язання задач домашньої роботи перевiряємо
пiсля виконання i перевiрки математичного диктанту.
З метою створення мотивацiї дiяльностi учнiв та усвiдомленого ро
зумiння ними важливостi матерiалу, що виноситься на урок, можна за
пропонувати виконати завдання.
Виконайте зображення паралелограма ABCD з гострим кутом
A 60 та проведiть у ньому:
бiсектрису AK (точка K належить сторонiBC) кута A; знайдiть на ри
сунку всi рiвнi кути; визначте вид трикутника ABK;
бiсектрисуBM кутаB; позначте точку L — точку перетину бiсектрис;
визначте вид трикутника ABL;
бiсектрису CN кута C паралелограма; визначте взаємне розташуван
ня прямих AK i CN;
висоти BK i BF. Яку градусну мiру має кут HBF?
Пiсля виконання завдань формулюється питання про iснування
властивостей iнших елементiв паралелограма (окрiм сторiн, кутiв та
дiагоналей). Вiдповiдь на сформульоване таким чином запитання
складатиме основну дидактичну мету уроку.
З метою свідомого розуміння та подальшого засвоєння учнями
змiсту властивостей бiсектрис та висот паралелограма слiд активiзува
ти знання i вмiння учнiв: означення бiсектриси кута, ознаки рiвнобед
реного трикутника, властивостi сусiднiх та протилежних кутiв парале
лограма, ознак паралельностi двох прямих, що перетнутi третьою,
ознаки та властивостi кутiв прямокутного трикутника.
Для виконання цiєї задачi учнi розв’язують уснi вправи.
1. Вправи за готовими рисунками.
1 Дано: AO OC, OB OD. Довести:
AB CD||
2 Дано: AO OD, CO OF. Довести:
CD AF||
3 Дано: 1 2, 3 4. Довести:
AB CD|| , BC AD||
Усi уроки геометрiї. 8 клас 29
1
4
2
3
A D
B C
O
D
C
A
B
F
E
D
C
A
B
O

4 Дано: AC CD, 1 2. Довести:
AB CD||
ABC — рiвнобедрений
2. Сума кутiв паралелограма дорiвнює 100°. Чому дорiвнює кожний iз
цих кутiв?
3. Вiдомо, що коли в трикутнику один кут прямий, то два iншi —
гострi. А чи правильне обернене твердження?
1. Властивiсть бiсектриси кута паралелограма.
2. Властивiсть бiсектрис сусiднiх кутiв паралелограма.
3. Властивiсть бiсектрис протилежних кутiв паралелограма.
4. Властивiсть вiдрiзка з кiнцями на паралельних сторонах паралело
грама, що проходить через точку перетину дiагоналей паралело
грама.
5*. Властивiсть висот паралелограма, що проведенi iз:
вершин гострого кута паралелограма;
вершин тупого кута паралелограма.
Оскiльки навчальний матерiал уроку не є обов’язковим для
вивчення, тому його можна подати, розв’язуючи опорнi задачi.
Але автор вважає за доцiльне розглянути з учнями названi влас
тивостi, бо вони мають досить широке застосування пiд час
розв’язування геометричних задач.
Доведення вищезазначених опорних фактiв можна здiйснювати
пiд час розв’язування задач або як узагальнення спостережень,
здiйснених на етапi формулювання мети (коли було розглянуто кон
кретний паралелограм), використовуючи при цьому окремi знання
з курсу геометрiї 7 класу (див. Актуалiзацiя...). Якщо рiвень пiзна
вальної активностi учнiв є досить низьким, учитель може принаймнi
B
A
C D
D
C
A B
1 2
F
21
3 4
сформулювати названi властивостi та запропонувати їх для доведення
тiльки сильним учням в якостi iндивiдуального домашнього завдання
(яке потiм оцiнити).
У будь якому разi повний перелiк властивостей елементiв парале
лограма мiститься в конспектi «Паралелограм».
VI. Застосування знань, умiнь та навичок
1. Висоти паралелограма, що виходять з вершини тупого кута, утво
рюють кут 40°. Знайдiть кути паралелограма.
2. Вiдрiзок, що проходить через точку перетину дiагоналей парале
лограма, кiнцi якого належать сторонам паралелограма, дорiвнює
5 см. На якi вiдрiзки дiлиться цей вiдрiзок точкою перетину дiа
гоналей?
3. Пiд яким кутом перетинаються бiсек
триси кутiв паралелограма, що вихо
дять iз двох сумiжних вершин парале
лограма?
4. У паралелограмi ABK CBK 60
(див. рис.). PABK
12. Знайдiть BK.
1. Периметр паралелограма ABCD дорiвнює 14 дм, а периметр трикут
ника ABC — 10 дм. Знайдiть довжину дiагоналi AC.
а) бiсектриса його кута перетинає сторону пiд кутом 35°;
б) висота паралелограма утворює з однiєю з його сторiн кут 42°.
3. Бiсектриса кута D паралелограма ABCD дiлить сторону BC у вiдно
шеннi 1:4, починаючи вiд точки B. Знайдiть периметр паралелогра
ма, якщо BC 15 см.
4. У паралелограмi ABCD AB 7 см, AD 12 см. Бiсектриса кута A пе
ретинає сторону BC у точцi K. Знайдiть довжину вiдрiзкiвBK i KC.
5*. Знайдiть кути паралелограма, якщо його дiагональ перпендикуляр
на до однiєї зi сторiн i дорiвнює половинi iншої сторони.
6* (опорна). Кут мiж висотами паралелограма, проведеним з однiєї
вершини, дорiвнює куту паралелограма при сусiднiй вершинi. До
ведiть.
D
C
A
B
K

Чи iснують паралелограми, що зображенi на рисунках 1–5?
Рис. 4 Рис. 5
Вивчити змiст властивостей бiсектрис i висот паралелограма.
1. Сума трьох сторiн паралелограма дорiвнює 15 м, сума трьох iнших
його сторiн — 18 м. Знайдiть периметр паралелограма.
а) бiсектриса його кута перетинає сторону пiд кутом 25°;
б) висота паралелограма, проведена з вершини тупого кута, дiлить
його у вiдношеннi 1:3.
3*. Бiсектриса кута паралелограма дiлить його сторону на вiдрiзки за
вдовжки 5 см i 6 см. Знайдiть периметр паралелограма. Скiльки
розв’язкiв має задача?
4* (на повторення). У чотирикутнику ABCD AB CD. Яке спiввiд
ношення необхiдно додати до умови, щоб за даними задачi довести,
що чотирикутник ABCD — паралелограм? Висловiть припущення.
D
C
A
B
K
40°
40°
50°
5
4 D
CB
A A
B C
D
3
3 4 5
A
B C
D
3
3 4
5
E
F
O
F
E
50°
D
CB
A
5
5
O
F
HAF 150
H
50°
40°
50°
M
Урок № 6
Теореми про ознаки паралелограма
Мета: сформувати в учнiв свiдоме розумiння змiсту та схеми дове
дення теореми, що виражає ознаки паралелограма.
Формувати вмiння:
вiдтворювати ознаки та їхнi доведення;
застосовувати вивченi ознаки для доведення того, що даний чотири
кутник є паралелограмом.
Хiд уроку
Домашнє завдання перевiряємо за зразком взаємоперевiркою.
ІІІ. Формулювання мети й завдань уроку
З метою створення мотивацiї навчальної дiяльностi учнiв та усвi
домлення ними логiки побудови вивчення геометричних фiгур (озна
чення властивостi ознаки) пiдводимо учнiв до розумiння необхiд
ностi вмiти знаходити серед чотирикутникiв паралелограми. Постає
питання: чи iснує вiдповiдна ознака? Якщо так, її треба сформулювати
та довести — це i є основна дидактична мета уроку.
З метою свідомого розуміння та подальшого засвоєння учнями змiсту
ознак паралелограма слiд активiзувати знання i вмiння учнiв щодо змiсту
поняття «ознака», ознак рiвностi трикутникiв, паралельностi прямих,
властивостей вертикальних кутiв, а також означення паралелограма.
Для цього учнi мають розв’язати вправи.
1 Дано: AO OD, BO OC. Довести:
AB DC
A
B C
D
О

D F
3 Дано: BO OD, CO OF. Довести:
BF CD
4 Знайти кути паралелограма
1. Змiст поняття «ознака» паралелограма.
2. Теорема ознаки паралелограма: формулювання i доведення.
3. Приклади застосування ознак паралелограма.
На вiдмiну вiд традицiйного пiдручника геометрiї (пiд ред.
О. В. Погорєлова), в якому ознаки паралелограма розглядають
ся у формi опорних задач, та вiд iнших пiд ручникiв (в яких
ознаки були розглянутi як окремi теореми), новий пiдручник
мiстить усi основнi ознаки паралелограма (за двома протилеж
ними сторонами, за парами протилежних сторiн та за дiагона
лями) у виглядi однiєї теореми. Такий пiдхiд до викладання ма
терiалу має логiчне обґрунтування, оскiльки всi ознаки
паралелограма мають однакому схему доведення:
спочатку доводиться рiвнiсть трикутникiв (здобутих у результатi
проведення однiєї або двох дiагоналей паралелограма);
iз рiвностi трикутникiв випливає рiвнiсть вiдповiдних елементiв цих
трикутникiв (якi у свою чергу є елементами паралелограма);
на основi доведеної рiвностi певних елементiв паралелограма iз ви
користанням означення (а потiм доведеного попереднього твер
дження) доводиться той факт, що даний чотирикутник — парале
лограм.
3 2
1 4
F
D
C
E
B
F
D
C
O
1 40°
25°3
P
N
K
M
Оскiльки схеми доведення всiх трьох ознак майже однаковi (вiд
мiннiсть тiльки в застосуваннi рiзних ознак рiвностi трикутникiв та ви
користаннi або означення паралелограма, або вже доведеної ознаки
паралелограма за двома протилежними сторонами), то роботу з дове
дення ознак можна органiзувати так: ознаку паралелограма за двома
протилежними сторонами доводить учитель за участi учнiв, складає
план доведення, а потiм пропонує учням самостiйно довести наступнi
ознаки за складеним планом.
Усi вивченi на уроцi ознаки паралелограма помiщенi в конспект
«Паралелограм».
VI. Формування первинних умiнь та навичок
1. Дiагоналi чотирикутника DEFK перетинаються в точцi O, причому
DO OF, EO OK. Назвiть паралельнi сторони чотирикутника i по
яснiть, чому вони паралельнi.
2. У чотирикутнику KLMN KL MN|| i KL MN. Назвiть рiвнi кути чо
тирикутника i пояснiть, чому вони рiвнi.
3. У чотирикутнику PRSQ PR SQ, PQ RS. Знайдiть суму кутiв R i S.
4. У чотирикутнику ABCD AB CD. Яке
спiввiдношення мiж сторонами чоти
рикутника необхiдно додати до умови
задачi, щоб довести, що ABCD — па
ралелограм? Наведiть усi можливi
варiанти вiдповiдi.
5. На рисунку 1 точка O — спiльна
середина вiдрiзкiв AD, CH, BE. Якi
з чотирикутникiв є паралелограма
ми? Чому?
Проведiть двi паралельнi прямi. Вiдкладiть на однiй iз них вiдрiзок
AD, а на другiй прямiй — вiдрiзок BC, що дорiвнює AD, так, щоб
вiдрiзки AB i CD не перетиналися. Побудуйте вiдрiзки AB i CD.
б) Позначте точку M так, щоб чотирикутник ABMC був паралело
грамом. Чи лежать точки M, C i D на однiй прямiй?
Рис. 1
A
B C
D
H E
О

1. Дiагоналi чотирикутника ABCD перетинаються в точцi O. Чи є да
ний чотирикутник паралелограмом, якщо AO 4 см, OC 40 мм,
BD 12, дм, OD 6 см? Вiдповiдь
обґрунтуйте.
2. За даними рисунка 2 доведiть,
що чотирикутник ABCD — па
ралелограм.
3. У чотирикутнику ABCD сторо
ни AB i CD паралельнi. Знай
дiть периметр чотирикутника,
якщо AB CD 9 см, AD 4 см.
Пiсля засвоєння змiсту теорем
i формування первинних умiнь за
стосовувати ознаки у стандартних
ситуацiях розв’язуємо задачу з де
тальним поясненням.
Задача. У паралелограмi ABCD
точки M i N — середини сторiн AB
i CD вiдповiдно (рис. 3). Доведiть,
що чотирикутник MBND — пара
лелограм.
1. Дiагоналi паралелограма ABCD
перетинаються в точцi O. Точ
ки B1
i D1
— середини вiдрiзкiв
BO i DO вiдповiдно. Доведiть,
що чотирикутник AB CD1 1
—
паралелограм.
2. За даними рисунка 4 доведiть,
що чотирикутник ABCD — па
Пiд час розв’язування письмових вправ слiд зробити акцент на
тому, що цi задачi передбачають застосування властивостей паралело
грама, але оскiльки в умовi цього не дано, то план розв’язування задач
має бути таким:
а) б)
Рис. 2
A
B C
DA
B C
D
Рис. 3
D
CB
A
NM
а) б)
Рис. 4
A
B C
DA
B C
D
O FE
AECF — паралелограм
спочатку, використовуючи ознаки паралелограма, довести, що да
ний чотирикутник — паралелограм;
пiсля доведення того, що даний чотирикутник є паралелограмом,
використати властивостi паралелограма.
Змiна порядку виконання дiй є логiчною помилкою i суперечить
логiцi побудови геометрiї.
VII. Пiдсумок уроку
Діагоналі чотирикутника
MNPQ (див. рис.) в точці пере
тину діляться навпіл. Одна
з його сторін дорівнює 4 см.
Чому дорівнює протилежна їй
сторона?
1) 3 см; 2) 4 см;
3) 5 см; 4) 6 см.
Вивчити формулювання i доведення теореми про ознаки парале
лограма.
1. Накреслiть трикутник ABC i проведiть його медiану BO. На променi
BO побудуйте вiдрiзок OD, що дорiвнює BO. Сполучiть точку D
з точками A i C.
б) Позначте точку M так, щоб чотирикутник ABDM був паралело
грамом. Чи лежать точки M, C i D на однiй прямiй?
2. За даними рисунка 5 дове
дiть, що чотирикутник
ABCD — паралелограм.
3. У чотирикутнику ABCD
AB CD, AD BC. Знайдiть
кути чотирикутника, якщо
кут A втричi бiльший за
кут B.
а) б)
Рис. 5
A
B C
DA
B C
D
O O
AOB COD
Q
PN
M

4. За даними рисунка 6
доведiть, що чотири
кутник ABCD — пара
лелограм.
Урок № 7
Мета: доповнити знання учнiв поняттями: «достатня та необхiдна
умови», «критерiй»; вiдпрацювати вмiння вiдрiзняти необхiднi та дос
татнi умови, а також використовувати вивченi необхiднi й достатнi
умови паралелограма до розв’язування задач.
Хiд уроку
Якiсть засвоєння теоретичного матерiалу попереднього уроку мож
на перевiрити пiд час фронтальної бесiди (яку можна провести у формi
iнтерактивної вправи «Мiкрофон»).
Запитання для бесiди
1. Дiагоналi чотирикутника ABKM перетинаються. Чи обов’язково
цей чотирикутник є паралелограмом?
2. Точка перетину дiагоналей чотирикутника BCKM не є серединою
однiєї з них. Чи може цей чотирикутник бути паралелограмом?
3. Точка M є серединою вiдрiзка KO i BD. Як називається чотирикут
ник BKDO?
4. Вiдрiзки MN i KP паралельнi. Чи означає це, що чотирикутник
MNKP є паралелограмом?
5. Для чотирьох точок площини A, B, C, K виконується умова AB CK.
Чи випливає iз цiєї умови висновок, що точки A, B, C, K є вершина
ми паралелограма?
а) б)
Рис. 6
A
B C
D
A
B C
D
F
E
AECF — паралелограм
6. Якi вiдомостi треба мати про чотирикутник, щоб зробити висновок
про те, що вiн не є паралелограмом?
Перевiрка виконання письмових вправ проводиться вчителем
фронтально за зразками (у разi необхiдностi) або тiльки в тих учнiв, які
потребують додаткової педагогiчної уваги.
Звернувшись до таблицi 1 (див. Геометрiя в таблицях Є. П. Нелi
на), учнi усвiдомлюють, що всi твердження, якi стосуються загального
поняття паралелограма, вони вивчили. Пiсля цього доречно буде ще
раз звернутись до конспекту «Паралелограм» та порiвняти твердження,
що виражають властивостi та ознаки паралелограма (див. таблицю).
У цьому разi велика ймовiрнiсть того, що учнi помiтять (якщо цього не
вiдбулося ранiше), що властивостi та ознаки паралелограма є оберне
ними твердженнями. Тому загальну мету уроку можна сформулювати
як необхідність з’ясування логічного зв’язку між вивченими власти
востями та ознаками паралелограма, а також подальше формування
вмінь застосовувати вивчені твердження про паралелограм під час
розв’язування задач.
1. У чотирикутнику ABCD A 30 , C 50 . Чи може даний чотири
кутник бути паралелограмом? Яка особливiсть паралелограма (влас
тивiсть або ознака) використовується для розв’язування цiєї задачi?
2. ABCD — паралелограм, M — середина BC, H — середина AD
(рис. 1). Доведiть, що AMCH — паралелограм.
3. ABCD — паралелограм, AM CH (рис. 2). Доведiть, що DHBM —
4. На рисунку 3 AB CD, 1 2. Доведiть, що ABCD — паралелограм.
A B
CD
A
B C
D
HM
D C
BA
H
M
1
2

5. ABCD — паралелограм,
BM AD, DH BC (рис. 4).
Доведiть, що
ABM CDH.
6. ABCD — паралелограм,
BK AC, DE AC (рис. 5).
Доведiть, щоBK DE.
V. Засвоєння нових знань
1. Достатня умова.
2. Необхiдна умова.
3. Геометричне уявлення про критерiй.
Хоча теоретичний матерiал не є обов’язковим, вивчення питан
ня про необхiдну i достатню умову бажано провести на цьому
уроцi, оскiльки правильне уявлення учнiв про види математич
них тверджень є однiєю з умов високого рiвня їхньої математич
ної культури, а також запорукою глибокого розумiння загальних
математичних закономiрностей.
Вивчення нового матерiалу, яке можна провести за пiдручником,
бажано закiнчити виконанням низки вправ на перевiрку розумiння
розглянутих понять, використавши при цьому не тiльки матерiал, ви
вчений на уроках геометрiї у 8 класi, але й геометричний матерiал 7 кла
су, а також вiдомостi з iнших галузей знань (фiзики, бiологiї тощо).
Свiдомому розумiнню змiсту поняття «необхiдна та достатня умо
ви» сприятиме розв’язування усних вправ.
Поставте замiсть крапок слова «необхiдно», «достатньо» або «не
обхiдно i достатньо», щоб твердження було правильним.
а) Для того щоб чотирикутник був паралелограмом, ..., щоб його
дiагоналi точкою перетину дiлилися навпiл.
б) Для того щоб два кути були сумiжними, ..., щоб їхня сума
дорiвнювала 180°.
Рис. 4 Рис. 5
A
B C
D
H
M
D
CB
A
K
E
в) Для того щоб прямi AB i CD були паралельними, ..., щоб чотири
кутник ABCD був паралелограмом.
З метою подальшого закрiплення знань та вiдпрацювання вмiнь за
стосування ознак та властивостей паралелограма доцiльно письмово
розв’язати такi задачi.
1. У технiчному кресленнi для побудови паралельних прямих викорис
товують механiчну рейсшину (рис. 6). Пояснiть принцип її дiї.
2. У паралелограмi ABCD бiсектриси кутiв B i D перетинають дiагональ
AC у точках E i F вiдповiдно. Доведiть, що чотирикутник BEDF —
3. За даними рисунка 7 доведiть, що ABCD — паралелограм.
4* (опорна). Якщо в чотирикутнику протилежнi кути попарно рiвнi,
то цей чотирикутник — паралелограм. Доведiть.
Самостiйна робота (теоретична)
Варiант 1
1. Чи iснує чотирикутник, кути якого дорiвнюють 100°, 80°, 135°, 55°?
2. У чотирикутнику ABCD A C. Чи правильно, що ABCD — пара
лелограм?
3. У паралелограмi ABCD A C 180 . Назвiть гострi кути парале
лограма.
4. Дiагоналi чотирикутника KLMN перетинаються в точцi O, KL MN,
KL MN|| . Назвiть пари рiвних вiдрiзкiв зi спiльним кiнцем O. Вiдпо
вiдь обґрунтуйте.
а) б)
Рис. 7Рис. 6
A
B
C
D
K
M
N
L L
N
M
K
D
C
B
A
KLMN — паралелограм

Варiант 2
2. У чотирикутнику ABCD AB CD. Чи правильно, що ABCD — пара
лелограм?
3. У паралелограмi ABCD B D 180 . Назвiть тупi кути паралело
грама.
4. Дiагоналi чотирикутника CDEF перетинаються в точцi O, DE CF|| ,
CD EF|| . Назвiть пари рiвних вiдрiзкiв зi спiльним кiнцем O. Вiдпо
вiдь обґрунтуйте.
Варiант 3
1. Чи iснує чотирикутник, у якого три кути тупi й один прямий?
2. Чи правильно, що коли в чотирикутнику двi сторони паралельнi,
а двi iншi сторони рiвнi, то цей чотирикутник — паралелограм?
3. У паралелограмi ABCD з периметром P BC AD CD P AB0 5, . По
рiвняйте сторониBC iCD.
4. Скiльки рiзних паралелограмiв можна дiстати з чотирьох однакових
паралелограмiв, якщо прикладати їх один до одного рiзними спо
собами?
Варiант 4
1. Чи iснує чотирикутник, у якого три кути гострi й один прямий?
2. Чи правильно, що коли в чотирикутнику є двi пари рiвних, не обов’
язково протилежних сторiн, то цей чотирикутник — паралелограм?
3. У паралелограмi ABCD з периметром P 0 5, P CD BC AD AB.
Порiвняйте сторониBC i AB.
4. Скiльки рiзних паралелограмiв можна дiстати з двох рiвних рiвно
бедрених, але не рiвностороннiх трикутникiв, якщо прикладати їх
один до одного рiзними способами?
Повторити теоретичнi вiдомостi про паралелограм. Виконати до
машню самостiйну роботу.
Домашня самостiйна робота
1. Один iз кутiв паралелограма дорiвнює 47°. Знайдiть решту кутiв.
2. Периметр паралелограма дорiвнює 112 см, а двi його сторони вiд
носяться як 5:3. Знайдiть сторони паралелограма.
3. Кут мiж бiсектрисою тупого кута паралелограма i висотою, прове
деною з вершини цього кута, дорiвнює 40°. Знайдiть кути паралело
грама.
4. Бiсектриса одного з кутiв паралелограма дiлить його сторону навпiл.
Знайдiть периметр паралелограма, якщо ця сторона дорiвнює a см.
Урок № 8
Прямокутник
Мета: сформувати в учнiв уявлення про прямокутник як один iз
видiв паралелограма; розглянути властивостi та ознаки прямокутника;
сформувати вмiння й навички застосовувати властивостi та ознаки
прямокутника пiд час розв’язування задач.
Наочнiсть та обладнання: конспект «Прямокутник».
Хiд уроку
Учитель збирає зошити учнiв iз виконаною домашньою самостiй
ною роботою на перевiрку. У разi потреби на цьому етапi проводиться
стислий аналiз виконаних завдань, та учнi, якi припустилися великої
кiлькостi помилок, отримують завдання для корекцiйної роботи.
З метою створення умов для усвiдомленого сприйняття учнями ма
терiалу уроку пропонуємо їм розв’язати логiчну вправу.
Порiвняйте фiгури на рисунку 1 (за рiзними критерiями). Яка iз
фiгур «зайва»?
Рис. 1
D
A
N PB C
M K
F
E
K
S

Пiсля успiшного виконання завдань (зрозумiло, що «зайвим» є чо
тирикутник EFKS, у якого на вiдмiну вiд двох iнших чотирикутникiв
є лише двi паралельнi сторони) учитель звертає увагу учнiв на той
факт, що паралелограм MNPK є особливим випадком паралелограма,
бо, крiм паралельностi протилежних сторiн, має прямi кути. Таким чи
ном, видiляється новий об’єкт, вивчення якого за загальною схемою
i становить основну дидактичну мету.
Для свідомого розуміння та подальшого засвоєння учнями змiсту
означення, властивостей та ознак прямокутника слiд активiзувати
знання i вмiння учнiв щодо означення, властивостей та ознак парале
лограма; означення прямокутного трикутника та ознак рiвностi пря
мокутних трикутникiв; означення, властивостей кутiв та ознак рiвно
бедреного трикутника.
1 Дано: M B 180 ,
M A 180 . Довести: AMBH —
паралелограм
2 Дано: ABCD — паралелограм,
AK CM. Довести: DKBM — парале
лограм.
BM AD, DH BC. Довести:
ABM CDM
BK AC, DE AC. Довести: BK DE
5 Дано: AD DC BD. Довести:
ABC 90
BM
A H
C
B
A
D
A
B C
D
H
M
D
CB
A
K
E
A B
C
D
K
M
1. Означення прямокутника.
2. Властивостi прямокутника.
3. Ознаки прямокутника.
План вивчення поняття прямокутника за новим пiдручником вiд
повiдає уявленню учнiв про план вивчення будь якої геометрич
ної фiгури (вiдношення мiж фiгурами), вмiщеної в таблицi 1 (див.
Геометрiя в таблицях Є. П. Нелiна), а саме: спочатку вивчається
означення прямокутника, далi вивчається питання про його влас
тивостi, пiсля чого формулюються ознаки прямокутника.
Означення прямокутника формулюється традицiйно. Цiлком ло
гiчно з означення випливає виконання загальних властивостей парале
лограма для будь якого прямокутника (тому властивостi протилежних
сторiн, протилежних кутiв та властивостi вiдрiзкiв, на якi дiлиться
дiагональ прямокутника, а також властивостi бiсектрис прямокутника
формулюються без доведення).
Але надалi учнi мають усвiдомити, що пiд час вивчення фiгури, що
є «особливим» видом паралелограма, слiд також розглянути власти
востi, якi притаманнi тiльки цим фiгурам. (Вивчаючи ромб та квадрат,
ми будемо дотримуватися цiєї ж логiки розгляду властивостей.)
Тому далi вивчається теорема про властивiсть дiагоналей прямо
кутника, яка доводиться традицiйно через рiвнiсть прямокутних три
кутникiв. Що стосується iнших властивостей прямокутника, якi ко
рисно було б додатково розглянути з учнями (оскiльки вони досить
часто використовуються у розв’язуваннi задач, особливо в стерео
метрiї), то таких можна видiлити двi:
вiдрiзок, що з’єднує середину сторони прямокутника з точкою пере
тину дiагоналей, перпендикулярний до цiєї сторони i дорiвнює по
ловинi сумiжної сторони прямокутника (ця властивiсть використо
вується пiд час розв’язування задач, в яких мова йде про вiдстань вiд
точки перетину дiагоналей прямокутника до його сторони);
кут мiж дiагоналями прямокутника вдвiчi бiльший за кут мiж дiаго
налями та бiльшою стороною прямокутника.
Доведення зазначених властивостей дiагоналей прямокутника
є досить простими, тому їх можна розглянути як додатковi задачi, а по
тiм здобутi властивостi зафiксувати в зошитах учнiв як опорнi факти.

Серед ознак прямокутника, якi викладено в новому пiдручнику,
слiд звернути увагу як на ознаку, що традицiйно вивчалась у 8 класi
(ознака прямокутника за рiвнiстю дiагоналей), так i на ознаки, якi
сформульованi у виглядi опорних задач.
Опорнi задачi (ознаки прямокутника)
1. Якщо всi кути чотирикутника прямi, то цей чотирикутник — пря
мокутник.
2. Якщо один iз кутiв паралелограма прямий, то цей паралелограм
є прямокутником.
Звернiмо увагу учнiв на те, що пiд час вивчення питання про власти
вiсть дiагоналей прямокутника та ознаку прямокутника за рiвнiстю його
дiагоналей використовується термiнологiя, вивчена на попередньому
уроцi (необхiдна i достатня умови, критерiй геометричного об’єкта).
Повний перелiк тверджень, що стосуються прямокутника, якi ба
жано вивчити з восьмикласниками, мiститься в конспектi «Прямо
кутник».
Конспект 3
Означення. Паралелограм, усi кути якого прямi,
називається прямокутником
1. Усi властивостi
1. Якщо ABCD — парале
лограм i A 90 , то
ABCD — прямокутник
2. Якщо ABCD —
прямокутник, то
AC BD. (Дiагоналi
прямокутника
рiвнi)
Якщо ABCD — паралело
грам i AC BD, то
ABCD — прямокутник.
(Якщо дiагоналi паралело
грама рiвнi, то цей пара
лелограм — прямокутник)
прямокутник,
(AD CD), AC
i BD — дiагоналi, то
AOB ACB2
B C
A D
DA
CB
O
прямокутник i точ
ка M — середина
BC, то OM BC,
OM AB
1
2
.
(Вiдрiзок, що з’єд
нує середину сто
рони прямокутника
з точкою перетину
дiагоналей, перпен
дикулярний до цiєї
сторони i дорiвнює
половинi сумiжної
сторони)
VII. Формування первинних умiнь
З метою закрiплення знань учнiв щодо означення, властивостей та
ознак прямокутника спочатку доцiльно розв’язати уснi задачi.
1. У прямокутнику ABCD AB 8 см, BC 5 см. Знайдiть:
а) вiдстань вiд точки C до сторони AD;
б) вiдстань мiж прямими AB i CD.
2. Чи може дiагональ прямокутника до
рiвнювати його сторонi? Чи може
дiагональ ромба дорiвнювати його сто
ронi?
3. а) Укажiть (див. рис. 2) вiдрiзки, кути,
трикутники.
б) AOD 142 . Знайдiть OCD i OBC.
в) PBOC 16 см, AC BD 100. Знайдiть AD.
4. За рисунком 3 розв’яжiть задачi:
а) KO 4 см, OM 2 см. Знайдiть PABCD
.
б) AOD 120 ,BD 2 см. Знайдiть POBC .
5. У прямокутнику ABCD (рис. 4) BAM
DAM, MDC 30 , AB 1, BC 3.
Знайдiть PABMD
.
DA
CB
O
M
Рис. 4
DA
CB
O
K
M
O
B C
A D
Рис. 3
Рис. 2
B C
A D
M

Пiсля закрiплення знань означення, властивостей та ознак прямо
кутника доцiльно розв’язати типовi задачi на застосування цих знань.
1. Знайдiть периметр прямокутника ABCD, якщо AC 15 см, а пери
метр трикутника ABC дорiвнює 36 см.
2. У прямокутнику ABCD BAC 65 . Знайдiть кут мiж дiагоналями
прямокутника.
3. Дiагоналi прямокутника ABCD перетинаються в точцi O, причому
COD 60 , CD 8 см. Знайдiть довжину дiагоналi.
4. Точка перетину дiагоналей прямокутника вiддалена вiд двох його
сторiн на 3 см i 4 см. Знайдiть периметр прямокутника.
Який з чотирикутників не є прямокутником?
1) Чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні і один
кут прямій.
2) Паралелограм, який має прямий кут.
3) Паралелограм, у якого діагоналі рівні.
4) Чотирикутник, у якого діагоналі перпендикулярні і діляться
у точках перетину навпіл.
Вивчити змiст означення, властивостей та ознак прямокутника
(див. конспект).
1. Знайдiть сторони прямокутника, периметр якого дорiвнює 36 см,
а одна сторона вдвiчi бiльша за iншу.
2. Дiагоналi прямокутника перетинаються пiд кутом 80°. Знайдiть
кути, на якi дiагональ дiлить кут прямокутника.
3. Бiсектриса кута прямокутника дiлиться його сторону завдовжки
12 см навпiл. Знайдiть периметр прямокутника.
4. а) BH AC, ACD 60 , OH 5 см (рис. 5).
Знайдiть AB i BD.
б) BH AC, BH 3 см, BD 12 см. Знайдiть
CAD.
Повторити означення, властивостi кутiв та
ознаки рiвнобедреного трикутника.
DA
CB
O
H
Рис. 5
Урок № 9
Ромб. Квадрат
Мета: працювати над засвоєнням учнями змiсту означень, власти
востей та ознак ромба i квадрата.
вiдтворювати вивченi твердження;
застосовувати властивостi, ознаки ромба i квадрата до розв’язування
типових задач;
застосовувати властивостi, ознаки ромба i квадрата разом iз ранiше
вивченими твердженнями в темi «Чотирикутники» до розв’язування
задач пiдвищеного рiвня складностi.
Тип уроку: засвоєння вмiнь та навичок.
Наочнiсть та обладнання: конспект «Ромб, квадрат».
Хiд уроку
Перевiрку засвоєння учнями теоретичного матерiалу попереднього
уроку можна провести або у формi математичного диктанту, або
у формi бесiди за тими самими питаннями, що включенi в математич
ний диктант.
Варiант 1
1. Чи є прямокутником паралелограм, один iз кутiв якого прямий?
2. Чи правильно, що кожен прямокутник є паралелограмом?
3. Дiагоналi прямокутника AEKM перетинаються в точцi O. Вiдрiзок
AO дорiвнює 3 дм. Знайдiть довжину дiагоналi EM.
4. Дiагоналi чотирикутника рiвнi. Чи обов’язково цей чотирикутник
є прямокутником?
Варiант 2
1. Чи обов’язково чотирикутник з прямим кутом є прямокутником?
2. Чи правильно, що кожен паралелограм є прямокутником?
3. Дiагоналi паралелограма мають довжину 3 дм i 5 дм. Чи цей парале
лограм є прямокутником?
4. Сума довжин дiагоналей прямокутника дорiвнює 13 м. Знайдiть
довжину кожної дiагоналi.

Перед виконанням математичного диктанту слiд нагадати
учням правила виконання його завдань, а саме: умова завдань
не записується (учнi мають записати тiльки номер запитання),
вiдповiдь має бути короткою, але змiстовною (тобто у вiдповiдi
має бути аргументацiя — посилання на вiдповiдне геометричне
твердження).
Письмова частина домашнього завдання докладно перевiряється
тiльки в учнiв, якi потребують додаткової педагогiчної уваги; у ходi
фронтальної перевiрки правильностi виконання письмових завдань
достатньо озвучити твердження, яке було використане пiд час розв’я
зування задачi, а також здобуту вiдповiдь.
Щоб cтворити умови для усвiдомленого сприйняття учнями логiки
вивчення матерiалу, пропонуємо їм проаналiзувати, яким чином iз
довiльного паралелограма утворилась нова фiгура — прямокутник
(якщо всi кути паралелограма «зробити» рiвними, то «виходить» прямо
кутник). Далi вчитель ставить запитання: «Якi ще елементи паралело
грама можна зробити рiвними?» Звiсно, бiльшiсть учнiв дає правильну
вiдповiдь (сторони). Пiсля чого формулюється наступне запитання: «Чи
iснує паралелограм, у якого i сторони, i кути рiвнi?» Здобувши ствердну
вiдповiдь, учитель видiляє таким чином два новi (тобто такi, що ранiше
не вивчались на уроках геометрiї) геометричнi об’єкти. Вивчення озна
чення, властивостей та, можливо, ознак цих фiгур, опанування спосо
бами їх застосування є основною дидактичною метою уроку.
З метою свідомого розуміння та подальшого засвоєння змiсту
означень, властивостей, ознак ромба i квадрата слiд активiзувати знан
ня i вмiння учнiв щодо означення, властивостей та ознак паралелогра
ма, прямокутника; означення, властивостей та ознак рiвнобедреного
трикутника.
Досягненню цiєї мети сприятиме розв’язування усних задач.
1. Яких помилок припустилися пiд час зображення паралелограма
(рис. 1)?
а) б) в)
Рис. 1
2. У чотирикутнику ABCD AB DC, AD BC (рис. 2). Доведiть, що
ABCD — паралелограм.
3. У паралелограмi ABCD AM — бiсектриса кута A, BH — бiсектриса
кута B (рис. 3). Доведiть, що BH AM.
4. У паралелограмi ABCD через точку перетину дiагоналей проведено
вiдрiзок, кiнцi якого лежать на його сторонах (рис. 4). Доведiть, що
OM OK.
1. Означення ромба.
2. Властивостi ромба.
3. Ознаки ромба.
4. Квадрат: означення, властивостi.
Розглядаючи питання про означення прямокутника й ромба, слiд
звернути увагу учнiв на той факт, що оскiльки названi фiгури
є рiзновидами паралелограма, то й означення цих фiгур дається
через поняття паралелограма (тобто мова йде про формулювання
означень через спорiднене поняття); таким чином ми попере
джаємо традицiйнi помилки учнiв, яких вони припускаються,
формулюючи означення прямокутника (ромба) як чотирикутни
ка, у якого… (далi йде перелiк певних ознак). Означення квадрата
також формулюється за цим принципом, але на вiдмiну вiд пря
мокутника та ромба, для яких безпосередньо спорiдненим є по
няття паралелограма, означення квадрата формулюється через
A
B C
D
440°
50°
4
5
6
7
8
6 6
M
H
K
O
CD
BAD
B C
A M

поняття або ромба (в якого всi кути прямi), або через поняття
прямокутника (в якого всi сторони рiвнi). При цьому завертаємо
увагу учнiв на еквiвалентнiсть цих обох означень.
Вивчаючи властивостi ромба i квадрата, так само як i пiд час роз
гляду питання про властивостi прямокутника, слiд зробити акцент на
тому, що iз самих означень цих фiгур випливає бiльшiсть їх властивос
тей (для ромба — це всi властивостi паралелограма, а для квадрата — це
всi властивостi i прямокутника, а отже й паралелограма та ромба).
Тому все, що слiд зробити на цьому етапi вивчення матерiалу, — це
cформулювати вивченi властивостi, адаптувавши їх для названих фiгур
(зрозумiло, що доводити цi властивостi не треба).
Інша рiч, «додатковi» властивостi та ознаки ромба.
1. Якщо всi сторони чотирикутника рiвнi, то цей чотирикутник —
ромб.
2. Якщо сусiднi сторони паралелограма рiвнi, то цей паралелограм —
ромб.
3. Паралелограм iз перпендикулярними дiагоналями є ромбом.
4. Якщо дiагональ паралелограма є бiсектрисою його протилежних
кутiв, то цей паралелограм — ромб.
Оскiльки вони є специфiчними (тобто виконуються тiльки для
ромба), то необхiдно їх довести (доведення можна провести за пiдруч
ником або запропонувати учням виконати його самостiйно, або запро
понувати в якостi iндивiдуального завдання для сильних учнiв).
Повний перелiк тверджень, якi слiд вивчити з восьмикласниками
стосовно ромба i квадрата, вмiщено в конспектi «Ромб. Квадрат».
Конспект 4
Ромб
Означення. Паралелограм, усi сторони якого рiвнi,
називається ромбом
1. Має всi властивостi
паралелограма, тобто:
1) A C, B D;
2) AO OC, BO OD
1. Якщо ABCD — чоти
рикутник i
AB BC CD AD, то
ABCD — ромб
A
B C
D
D
A
B
CО
2. Якщо ABCD — ромб,
AC i BD — дiагоналi, то:
1) AC BD;
2) OAD OAB,
ODA ODC
2. Якщо ABCD — пара
лелограм i AB BC, то
ABCD — ромб
лелограм i AC BD, то
ABCD — ромб
лелограм i AC — бiсек
триса кутiв A i C, то
ABCD — ромб
Квадрат
Означення. Прямокутник, усi сторони якого рiвнi,
називається квадратом.
Означення. Ромб, усi кути якого прямi, нази
вається квадратом
Властивостi
Має всi властивостi
прямокутника i ромба
1. Назвiть види паралелограмiв, у яких: а) усi
кути рiвнi; б) усi сторони рiвнi; в) дiагоналi
рiвнi; г) дiагоналi перпендикулярнi.
2. Дiагоналi ромба ABCD перетинаються
в точцi O (рис. 5). Назвiть: а) бiсектрису три
кутника ABD; б) висоту трикутника ABC;
в) медiану трикутника BCD.
3. Дiагоналi квадрата ABCD перетинаються в точ
цi O. Назвiть усi рiвнi трикутники, якi утворю
ються при перетинi дiагоналей. Визначте їх вид.
45°
D
CB
A
45°
D
A
B
CО
Рис. 5

1. Накреслiть двi перпендикулярнi прямi, якi перетинаються в точцi O.
На однiй з прямих вiдкладiть по рiзнi боки вiд точки O рiвнi вiдрiзки
OA i OC, а на другiй прямiй — рiвнi вiдрiзки OB i OD. Сполучiть точки
A,B,C i D.
а) Вимiряйте сторони чотирикутника ABCD i визначте його вид.
б) Вимiряйте кут A чотирикутника ABCD. Користуючись власти
востями цього чотирикутника, знайдiть градуснi мiри iнших його
кутiв. Перевiрте результати вимiрюванням.
в) Вимiряйте кути ADB i CDB. Видiлiть кольором усi пари рiвних
кутiв мiж дiагоналями i сторонами чотирикутника.
2. Накреслiть прямокутний трикутник ABD з гiпотенузою BD. Про
ведiть через вершини B i D прямi, паралельнi сторонам AD i AB вiд
повiдно. Позначте точкуC — точку перетину цих прямих.
а) Вимiряйте сторони чотирикутника ABCD i визначте його вид.
б) Проведiть дiагональ AC. Вимiряйте i порiвняйте довжини дiаго
налей чотирикутника.
в) Позначте на прямих BC i AD точки C1
i D1
так, щоб чотирикутник
ABC D1 1
був квадратом.
1. Знайдiть кути ромба, якщо:
а) один iз них на 120° бiльший за iнший;
б) одна з його дiагоналей дорiвнює сторонi.
а) кути, утворенi його стороною з дiагоналями, вiдносяться як 1:4;
б) висота ромба удвiчi менша вiд сторони.
3. Периметр квадрата дорiвнює 40 м. Знайдiть вiдстань вiд точки пе
ретину дiагоналей квадрата до його сторони.
4*. У рiвнобедрений прямокутний трикутник вписано квадрат, двi вер
шини якого лежать на гiпотенузi трикутника, в двi iншi — на кате
тах. Знайдiть периметр квадрата, якщо гiпотенуза дорiвнює 18 см.
1. Якi спiльнi властивостi мають ромб i квадрат?
2. Якi властивостi квадрата не характернi для прямокутника?
3. Чи є квадратом:
а) прямокутник ABCD, дiагональ AC якого є бiсектрисою кута BAD;
б) ромб, дiагоналi якого рiвнi;
в) паралелограм, дiагоналi якого взаємно перпендикулярнi;
г) чотирикутник, усi сторони якого рiвнi?
Вивчити змiст означення, властивостей та ознак ромба i квадрата.
а) сума двох iз них дорiвнює 220°;
б) дiагональ утворює з однiєю зi сторiн кут 25°.
2. Вiдстань мiж протилежними сторонами квадрата дорiвнює 5 см.
Знайдiть периметр квадрата.
3. Знайдiть кути ромба, якщо висота, проведена з вершини тупого
кута, вiдтинає вiд ромба рiвнобедрений трикутник.
Повторити вивчений матерiал. Побудувати схему, що вiдобра
жається зв’язок мiж чотирикутниками, паралелограмами, прямокут
никами, ромбами та квадратами.
Урок № 10
Мета: узагальнити та систематизувати знання учнiв щодо озна
чень, властивостей та ознак рiзновидiв паралелограма; вдосконалити
вмiння учнiв застосовувати вивченi твердження пiд час побудови пра
вильних мiркувань для розв’язування типових задач.
Тип уроку: узагальнення та систематизацiя знань.
Наочнiсть та обладнання: конспекти «Паралелограм», «Ромб. Квадрат».
Хiд уроку
ІІ. Перевiрка домашньої роботи
Самостiйна робота
Варiант 1
1. Чи є ромбом будь який квадрат?
2. Чи правильно, що iснує прямокутник, який не є паралелограмом?

3. Три кути паралелограма рiвнi. Визначте вид паралелограма.
4. Як за допомогою транспортира за найменшої кiлькостi вимiрювань
перевiрити, чи є ромбом даний паралелограм?
Варiант 2
1. Чи є прямокутником будь який квадрат?
2. Чи правильно, що iснує ромб, який не є паралелограмом?
3. Три сторони паралелограма рiвнi. Визначте вид паралелограма.
4. Як за допомогою транспортира за найменшої кiлькостi вимiрювань
перевiрити, чи є прямокутником даний паралелограм?
Варiант 3
1. Чи iснує чотирикутник з перпендикулярними дiагоналями, який не
є ромбом?
2. Чи правильно, що жоден прямокутник не є ромбом?
3. Визначте вид чотирикутника, у якого є двi пари рiвних протилеж
них кутiв i жоден з них не гострий.
4. Як за допомогою лише циркуля перевiрити, чи є чотирикутник
квадратом?
Варiант 4
1. Чи iснує чотирикутник з рiвними дiагоналями, який не є прямо
кутником?
2. Чи правильно, що жоден ромб не є прямокутником?
3. Визначте вид чотирикутника, у якого двi сторони паралельнi i до
рiвнюють третiй сторонi.
4. Як за допомогою лише циркуля перевiрити, чи є чотирикутник
прямокутником?
Оскiльки письмовi завдання домашньої роботи вiдповiдали за змiс
том та рiвнем складностi письмовим завданням класної роботи, пе
ревiрку цих завдань учитель здiйснює в стислiй формi (озвучується,
яке твердження було використане, а також вiдповiдь).
Мета уроку безпосередньо випливає з теми уроку. Оскiльки на по
переднiх двох уроках було вивчено досить великий об’єм теоретичного
матерiалу, а також розглянуто випадки лише прямого застосування
вивчених тверджень, то на цьому уроцi логiчно було б систематизувати
твердження та опанувати прийоми, а також сформувати сталi вмiння
(навички) iз застосування набутих знань.
Оскiльки одна з цiлей уроку — систематизацiя знань учнiв щодо
вивчених означень, властивостей та ознак прямокутника, ромба i квад
рата, то для досягнення цiєї мети треба поновити в пам’ятi учнiв назва
нi твердження. Для цього доцiльно розв’язати усно задачi.
1. У чотирикутнику точка перетину дiагоналей дiлить їх на чотири
рiвнi вiдрiзки. Якого виду цей чотирикутник?
2. Знайдiть у прямокутнику (рис. 1) усi рiвнi мiж собою кути.
Рис. 1 Рис. 2
3. AB — дiаметр кола, в який вписано чотирикутник ADBC, причому
AD BC (рис. 2). Доведiть, що ADBC — прямокутник.
4. ABCD — ромб (рис. 3). Визначте кут x.
а) б) в)
Рис. 3 Рис. 4
5. ABCD — паралелограм, CM CK (рис. 4). Доведiть, що ABCD —
ромб.
V. Узагальнення та систематизацiя знань
1. Чи правильнi твердження?
1) Якщо в чотирикутнику дiагоналi неперпендикулярнi, то цей чо
тирикутник не ромб.
2) Якщо в паралелограмi дiагоналi нерiвнi, то вiн не може бути пря
мокутником.
21
3
4
5 6
7 8 9 10
11
12
D
C
B
A
46°
A
A
A A
CB
D
B
B
B
D
D
DC
C C
50°
x
50°
x
M
K
х

2. Чи правильнi твердження?
1) Кожний квадрат є прямокутником.
2) Існує ромб, який є прямокутником.
3) Жодний прямокутник не є ромбом.
4) Існує квадрат, який не є ромбом.
3. Чим вiдрiзняється квадрат вiд ромба, який не є квадратом? Якi
спiльнi властивостi мають цi фiгури?
Пiсля виконання усних вправ учнi презентують схеми, якi вони
склали вдома.
Далi проводиться обговорення, корекцiя та узагальнення здобутих
результатiв. Таким чином формується уявлення учнiв про спiввiдно
шення мiж вивченими поняттями «чотирикутник», «паралелограм»,
«прямокутник», «ромб», «квадрат», яке може бути зображене у виглядi
схеми.
Пiсля виконаної роботи зi складання схеми слiд провести роботу iз
читання цiєї схеми, а саме обговорити ряд питань такого змiсту:
1. Як довести, що даний чотирикутник є прямокутником?
2. Як довести, що даний чотирикутник є ромбом?
3. Як довести, що даний чотирикутник є квадратом?
4. Як довести, що даний паралелограм є прямокутником?
5. Як довести, що даний паралелограм є ромбом?
6. Як довести, що даний паралелограм є квадратом?
7. Дано прямокутник. Якi рiвностi виконуються для його елеметнiв?
Паралелограми
Прямокутники РомбиКвад
рати
8. Дано ромб. Якi рiвностi виконуються для елеметнiв цього ромба?
9. Дано квадрат. Якi рiвностi виконуються для елеметнiв цього квад
рата?
Вiдповiдi на цi запитання є фактично загальними схемами для роз
в’язування типових задач на обчислення та доведення в темi «Прямо
кутник. Ромб. Квадрат».
VI. Застосування вмiнь та навичок
На цьому етапi уроку проводиться робота iз формування в учнiв
умiнь використовувати схему та наслiдки з неї для розв’язування задач
достатнього рiвня складностi на доведення та обчислення iз викорис
танням означень, властивостей та ознак прямокутника, ромба i квад
рата.
1. Дiагоналi паралелограма утворюють кути з однiєю з його сторiн.
Доведiть, що цей паралелограм — прямокутник.
2. Точка перетину дiагоналей прямокутника розташована вiд бiльшої
сторони на 5 см ближче, нiж вiд меншої сторони. Знайдiть сторони
прямокутника, якщо його периметр дорiвнює 44 см.
3. У паралелограмi ABCD бiсектриси кутiв A i B перетинають сторони
BC i AD у точках E i F вiдповiдно. Доведiть, що ABEF — ромб.
4. Висота, що проведена iз вершини тупого кута ромба, дiлить його
сторону навпiл. Знайдiть:
а) кути ромба;
б) сторону ромба, якщо його менша дiагональ дорiвнює 16 см.
5. Доведiть, що прямокутник, дiагоналi якого
перпендикулярнi, є квадратом.
6. На дiагоналi AC квадрата ABCD позначено точ
ки K i M так, що AK CM (рис. 5). Доведiть, що
BMDK — ромб.
За наявностi часу та за рахунок побудови
схематичного рисунка i запису тiльки пла
ну розв’язання, кiлькiсть задач для пись
мового розв’язання може бути збiльшена.
Пiд час розв’язування задач учитель формує в учнiв умiння дiяти за
схемою.
A
B C
D
M
K
Рис. 5

Пiсля проведення аналiзу умови задачi учнi складають вiдповiдний
логiчний ланцюжок, який допоможе розв’язати задачу.
Такi розумовi дiї (видiлення питань задачi; визначення виду питан
ня; визначення виду твердження, що має бути використане для пошу
ку вiдповiдi на питання, а далi — складання логiчного ланцюжка iз ви
користанням даних задачi) мають передувати записам у зошитах учнiв.
Формування вмiння виконувати такi розумовi дiї — одна iз голов
них цiлей вивчення геометрiї.
Для перевiрки засвоєння
учнями основного змiсту уро
ку вчитель може запропону
вати учням розв’язати усне
завдання: за вiдповiдним го
товим рисунком (рис. 6 а, б)
складiть задачу, щоб вона роз
в’язувалась iз використанням:
а) властивостi прямокутника;
б) ознаки прямокутника.
Повторити теоретичнi вiдомостi з теми «Паралелограм та його
види».
Умова задачi Питання (висновку) задачi
Аналiз
Застосовуємо
вiдповiдну властивiсть
Невiдомий вид чотирикутникаВiдомо, що чотирикутник
належить до певного виду
Застосовуємо
вiдповiдну ознаку
321
MK
4
D
C
B
A
а) б)
Рис. 6
О
D
CB
A
Виконати домашню самостiйну роботу.
Домашня самостiйна робота
Варiант 1
1. Кут мiж дiагоналлю i стороною ромба дорiвнює 20°. Знайдiть кути
ромба.
2. Дiагональ дiлить кут прямокутника у вiдношеннi 1:8. Знайдiть ту
пий кут, який утворюється при перетинi дiагоналей прямокутника.
3. Доведiть, що прямокутник є квадратом, коли двi сусiднi сторони
утворюють з дiагоналлю рiвнi кути.
4. Побудуйте ромб за висотою i периметром.
Варiант 2
1. Кут ромба дорiвнює 140°. Знайдiть кут мiж протилежною до цього
кута дiагоналлю i стороною ромба.
2. Дiагональ дiлить кут прямокутника на два кути, один з яких на 10°
бiльший за iнший. Знайдiть кут мiж дiагоналями прямокутника.
3. Доведiть, що паралелограм є ромбом, якщо двi сусiднi сторони
утворюють з дiагоналлю рiвнi кути.
4. Побудуйте ромб за гострим кутом i висотою.
Урок № 11
Пiдсумковий урок
Мета: повторити, систематизувати й узагальнити набутi пiд час
вивчення теми «Чотирикутники» знання учнiв щодо означень, власти
востей та ознак таких понять, як чотирикутник, паралелограм, прямо
кутник, ромб i квадрат; узагальнити й систематизувати вмiння учнiв
щодо застосування вивчених теоретичних тверджень для розв’я
зування задач.
Тип уроку: узагальнення та систематизацiя знань.
Наочнiсть та обладнання: конспекти 1–4.
Хiд уроку
Вчитель збирає зошити iз виконаною самостiйною роботою, а та
кож проводить перевiрку виконання самостiйної роботи та корекцiйну

роботу (для цього учням пропонується до уваги правильне розв’язання
задач самостiйної роботи або записане на дошцi заздалегiдь, або вико
нане у формi роздавального матерiалу — на окремих аркушах мiстяться
ксерокопiї правильних розв’язань задач самостiйної роботи).
Основна дидактична мета та завдання на урок цiлком логiчно випли
вають iз мiсця уроку в темi — оскiльки урок є останнiм, пiдсумковим, то
головним є питання про повторення, узагальнення та систематизацiю
знань, набутих учнями в ходi вивчення теми «Чотирикутники». Таке фор
мулювання мети створює вiдповiдну мотивацiю дiяльностi учнiв.
IV. Повторення та систематизацiя знань
Залежно вiд рiвня пiдготовки учнiв роботу на уроцi вчитель
може органiзувати рiзними способами. Можна провести са
мостiйну роботу за теоретичним матерiалом (наприклад, за
пiдручником або за конспектом повторити змiст основних по
нять теми або ж скласти схему, що вiдображає логiчний зв’язок
мiж основними поняттями теми).
Можна провести гру «Закiнчи речення» або «Інтелектуальний
аукцiон» (кожний лот — це певне поняття, наприклад паралелограм;
торги починаються з того, що хтось з учнiв формулює одне iз вивчених
тверджень; наступний учень має «переробити» вiдповiдь попередньо
го, сформулювавши iнше твердження; перемагає той, хто назве
останнє твердження, яке нiхто не зможе «переробити»), або провести
опитування у формi iнтерактивної вправи.
Орiєнтовний перелiк запитань для опитування
2. У чотирикутнику ABCD A C. Чи правильно, що ABCD — пара
лелограм?
3. У паралелограмi ABCD A C 180 . Назвiть гострi кути парале
лограма.
4. Дiагоналi чотирикутника ABCD перетинаються в точцi O, AB CD,
AB CD|| . Назвiть пари рiвних вiдрiзкiв з кiнцем у точцi O. Вiдповiдь
обґрунтуйте.
5. Чи будь який квадрат є ромбом?
6. Чи правильно, що iснує прямокутник, який не є паралелограмом?
7. Три кути паралелограма рiвнi. Визначте вид паралелограма.
(Пiд час виконання цiєї роботи активно використовується наоч
нiсть: конспекти, складена на попередньому уроцi схема тощо). Пiд
сумком роботи є повторення та систематизацiя знань, якi учнi здобули
в ходi вивчення теми.
Систематизацiя знань учнiв полягає в тому, щоб сформувати
в учнiв певнi загальнi пiдходи до застосування знань на прак
тицi (розв’язування задач) як у стандартних, так i в нестан
дартних ситуацiях.
Застосування знань учнiв у стандартних ситуацiях
1. За даними рис. 1 знайдiть кути паралелограма ABCD.
2. За даним рис. 2 знайдiть PABCD
.
Рис. 1 Рис. 2
3. На рис. 3 KLMN — паралелограм. Доведiть, що ABCD також є пара
лелограмом.
4. На рис. 4 ABCD — паралелограм. Доведiть, що AE CF|| .
Рис. 3 Рис. 4
5. На рис. 5 ABCD — прямокутник. Знайдiть кути x i y.
6. На рис. 6 ABCD — ромб.
Знайдiть кути x i y.
Рис. 5 Рис. 6
D C
A B
E8
5
A
B C
D
D
CB
A
22°
38°
A
B C
D
F
E O
K N
L M
E
D
C
B
A
x
y
y
x
D
CB
A
O
50°
32°

7. На рис. 7 ABCD — прямокутник. Доведiть, що трикутник AKD —
рiвнобедрений.
Рис. 7 Рис. 8
8. На рис. 8 ABCD — квадрат. Доведiть, що MNKL також є квадратом.
Застосування знань учнiв у нестандартних ситуацiях
1. Через точку, яка належить сторонi рiвностороннього трикутника,
проведенi прямi, паралельнi двом iншим його сторонам. Визначте
периметр паралелограма, що утворився, якщо периметр трикут
ника дорiвнює 18 см.
2. У рiвнобедрений прямокутний трикутник вписано квадрат так, що
двi вершини квадрата лежать на гiпотенузi, а двi iншi — на катетах
(рис. 9). Знайдiть гiпотенузу трикутника, якщо сторона квадрата
дорiвнює 2 см.
3. У рiвнобедрений прямокутний
трикутник вписано квадрат так,
що вони мають спiльний пря
мий кут (рис. 10). Знайдiть пери
метр квадрата, якщо катет три
кутника дорiвнює 4 см.
V. Пiдсумки уроку
Основним пiдсумком уроку має бути усвiдомлення учнями основ
ного кола задач, якi вони мають умiти розв’язувати iз використанням
знань, набутих у ходi вивчення теми.
VІ. Домашнє завдання
Повторити змiст вивчених теоретичних вiдомостей.
Виконати домашню контрольну роботу (див. підручник).
D
CB
A D
C
A
B
M
N
K
L
K
NM
Рис. 9 Рис. 10
Урок № 12
Тематична контрольна робота № 1
Мета: перевiрити рiвень засвоєння учнями змiсту основних понять
теми, а також сформованiсть умiнь застосовувати набутi знання пiд час
Тип уроку: контроль та корекцiя знань.
Хiд уроку
Учитель збирає зошити iз виконаною домашньою контрольною
роботою на перевiрку.
Вчитель ще раз може наголосити, що метою контрольної роботи
є демонстрацiя учнями своїх навчальних досягнень, тобто знань змiсту
основних понять, вивчених у темi, а також навичок оволодiння спосо
бами дiй iз застосуванням набутих знань у розв’язуваннi задач.
IV. Умова тематичної контрольної роботи № 1
Варiант 1
1. Знайдiть кути паралелограма, якщо один iз них на 36° менший вiд
другого.
2. За даними рис. 1 доведiть, що ABCD — па
3. Дiагональ дiлить кут прямокутника у вiдно
шеннi 1:2, а менша сторона дорiвнює 12 см.
Знайдiть дiагональ прямокутника.
2. Доведiть, що паралелограм, у якому висо
ти, проведенi з вершини тупого кута, рiвнi,
є ромбом.
Варiант 2
1. Знайдiть кути паралелограма, якщо один iз
них на 312° менший за суму всiх його кутiв.
2. За даними рис. 2 доведiть, що ABCD — па
A
B C
DF
E
Рис. 1
Рис. 2
K
L D
CB
A
M
N
1 1
2
2

3. Кути ромба вiдносяться як 1:2, а менша дiагональ дорiвнює 15 см.
Знайдiть периметр ромба.
4. Доведiть, що паралелограм, у якого висоти, проведенi з вершини
гострого кута, рiвнi, є ромбом.
IV. Пiдсумки уроку
Як варiант проведення цього етапу уроку можна запропонувати
(пiсля виконання роботи) оголошення правильних вiдповiдей до за
вдань, виконаних учнями; або роздати учням для опрацювання вдома
(домашнiй аналiз контрольної роботи) копiї правильних розв’язань за
вдань контрольної роботи (заготовлених учителем заздалегiдь).
V. Домашнє завдання
Виконати аналiз контрольної роботи (за розданими розв’язаннями).
Повторити означення i властивостi опуклого чотирикутника.
Урок № 13
Означення трапецiї. Окремi види трапецiй
Мета: сформувати в учнiв поняття трапецiї, її елементiв; розгляну
ти означення рiвнобiчної та прямокутної трапецiй, змiст властивостей
кутiв трапецiї, прилеглих до бiчної сторони, та кутiв рiвнобiчної тра
пецiї.
вiдтворювати вивченi твердження;
виконувати рисунок за описом;
за готовим рисунком знаходити елементи трапецiї;
розв’язувати найпростiшi задачi на обчислення.
Наочнiсть та обладнання: конспект «Трапецiя. Види трапецiї».
Хiд уроку
Учитель збирає зошити учнiв iз виконаним аналiзом контрольної
роботи.
З метою створення позитивної мотивацiї навчальної дiяльностi
учнiв та формування розумiння логiки вивчення матерiалу можна звер
нутися до схеми, складеної на уроцi № 10.
За цiєю схемою пропонуємо учням, користуючись ранiше набути
ми знаннями, вiдповiсти на запитання.
1. Яка фiгура називається чотирикутником?
2. Яку додаткову умову треба знати, щоб стверджувати, що поданий
чотирикутник є паралелограмом?
3. Чи правильно, що будь який чотирикутник є паралелограмом?
4. Чи є паралелограмом чотирикутник, тiльки двi протилежнi сторони
якого паралельнi? Виконайте зображення такого чотирикутника.
Вiдповiдаючи на запитання, учнi мають дiйти усвiдомлення того
факту, що:
паралелограми (вивченi на попереднiх уроках) є лише одним iз при
наймнi двох видiв опуклих чотирикутникiв;
окрiм паралелограмiв (якi мають двi пари паралельних сторiн), iсну
ють чотирикутники, у яких лише одна пара паралельних сторiн.
Таким чином, видiляється новий геометричний об’єкт. Увести
означення цiєї фiгури, розглянути її властивостi, види — основна мета
уроку.
змiсту означення, властивостей та ознак рiвнобiчної трапецiї слiд ак
тивiзувати знання i вмiння щодо ознак та властивостей паралельних
прямих (перетнуті третьою), ознак рiвностi прямокутних трикутникiв,
визначення вiдстанi мiж паралельними прямими (див. 7 клас), а також
означення чотирикутника.
1. За рисунком 1 знайдiть кут x.
2. Про три точки вiдомо, що вони
знаходяться на однаковiй вiдста
нi вiд однiєї й тiєї ж прямої. Чи
можна стверджувати, що вони
лежать на однiй прямiй?
BA
30°
x
70°
D
C
Рис. 1
70°

3. Як накреслити двi паралельнi прямi на вiдстанi 3 см одна вiд од
ної?
4. На рисунку 2 AB DE|| . Доведiть, що ABC BCD CDE 360 .
5. Чи правильно виконано рисунок 3?
6. На рисунку 4 AD BC|| . Доведiть, що C D 180 .
1. Означення трапецiї. Елементи трапецiї (основи, бiчнi сторони,
кути, висоти).
2. Властивостi кутiв трапецiї, прилеглих до бiчних сторiн; висот тра
пецiї.
3. Прямокутна трапецiя: означення, властивiсть висот прямокутної
трапецiї.
4. Рiвнобiчна трапецiя: означення, властивостi кутiв та дiагоналей,
ознаки рiвнобiчної трапецiї.
Якщо порiвнювати змiст та послiдовнiсть вивчення матерiалу за
новим пiдручником та за пiдручником, який було рекомендова
но використовувати ранiше (див. Геометрiя. 7–9, О. В. По
горєлов), то помiтна суттєва вiдмiннiсть як у послiдовностi, так
i в змiстi пропонованого навчального матерiалу. А саме: в ново
му пiдручнику спочатку пропонується вивчити поняття тра
пецiї та її види, а вже пiсля цього вивчається теорема Фалеса та
її застосування пiд час обчислення середньої лiнiї трикутника
i трапецiї. Така послiдовнiсть вивчення сприяє формуванню
в учнiв цiлiсного уявлення про поняття чотирикутника: бiльш
логiчно вивчивши поняття чотирикутника на видiливши один
iз його видiв (iз двома парами паралельних сторiн), розглянути
iнший можливий випадок (з однiєю парою паралельних
Е
110°
C
A D
B
D
C
B A
65°
120°
60°
сторiн). А вже далi бiльш поглиблено вивчати особливi власти
востi кожного з видiлених видiв чотирикутникiв.
Якщо порiвнювати змiст матерiалу, то в новому пiдручнику вiн
суттєво розширений за рахунок уведення в текст властивостi кутiв при
бiчних сторонах трапецiї, властивостi висот трапецiї, видiлення двох
видiв (прямокутної та рiвнобiчної) трапецiї та уведення поняття озна
ки рiвнобiчної трапецiї (за кутами та при основi). Оскiльки змiст ма
терiалу, запропонованого у пiдручнику, майже повнiстю вiдповiдає
плану вивчення теми, то вивчення нового матерiалу на уроцi можна
органiзувати як самостiйну роботу учнiв iз здобуття знань.
Залежно вiд рiвня навчальних досягнень учнiв класу та за наявностi
часу можна розглянути такi твердження (iз доведенням):
1) висота прямокутної трапецiї дорiвнює однiй з її бiчних сторiн;
2) дiагоналi рiвнобiчної трапецiї рiвнi, i навпаки, якщо дiагоналi
трапецiї рiвнi, то вона рiвнобiчна;
3) сума протилежних кутiв рiвнобiчної трапецiї дорiвнює 180°;
4) дiагоналi рiвнобiчної трапецiї утворюють з її основою рiвнi кути,
i навпаки, якщо дiагоналi трапецiї утворюють з її основою рiвнi
кути, то трапецiя рiвнобiчна;
5) висота рiвнобiчної трапецiї, що проведена з вершини тупого
кута, дiлить бiльшу з основ на вiдрiзки, один з яких дорiвнює
пiвсумi основ, а другий — пiврiзницi основ.
Оскiльки об’єм нового матерiалу в темi «Трапецiя. Види трапецiй»
є достатньо великим, то, залежно вiд рiвня математичної пiдготовки
учнiв, планування вивчення роздiлу може бути рiзним: новий ма
терiал можна викласти на цьому уроцi, тодi на наступному уроцi буде
вiдпрацьовано його застосування; або ж на цьому уроцi вивчити
тiльки змiст матерiалу пiдручника та закрiпити знання учнiв щодо
його змiсту, а на наступному уроцi доповнити знання учнiв додатко
вими властивостями та ознаками (див. вище) та вiдпрацювати навич
ки застосування всiх тверджень, вивчених у темi «Трапецiя. Види
трапецiй».
Повний змiст навчального матерiалу уроку мiститься в конспектi
«Трапецiя. Види трапецiй».

Конспект 5
Трапецiя. Види трапецiй
Означення. Чотирикутник, двi сторони якого
паралельнi, а двi iншi непаралельнi, нази
вається трапецiєю
ABCD — трапецiя, BC
i AD — основи, AB
i CD — бiчнi сторони
ABCD — чотирикут
ник, BC AD|| (AB
i CD — непаралельнi)
AC i BD — дiагоналi, BK i TN — висоти
Якщо ABCD — трапецiя, основи BC i AD; ви
соти BK i TN, то:
1) A B C D 180 ;
2) BK TN
Окремi випадки трапецiї
а) Означення. Трапецiя, одна з бiчних сторін
якої перпендикулярна до основ, називається
прямокутною
ABCD — прямокутна
трапецiя з основами
BC i AD
A B 90 у тра
пецiї ABCD (BC AD|| )
Якщо в трапецiї ABCD BC AD|| i A 90 , то
AB — висота трапецiї
б) Означення. Трапецiя з рiвними бiчними сто
ронами називається рiвнобiчною трапецiєю
ABCD — рiвнобiчна
трапецiя з основами
BC i AD
BC AD|| (BC AD)
AB CD
T
NK
O
C
A D
B
T
NK
C
A D
B
DA
B C
C
A D
B
1) Якщо ABCD — рiвно
бiчна трапецiя з основами
BC i AD, то
1) Якщо в трапецiї
ABCD BC AD|| ,
A D, то
а) A D, B C;
б) A C
B D 180 ;
в) AC BD;
г) CAD BDA
трапецiя
бiчна трапецiя. BC AD|| ,
AB CD i BAC CAD,
то AB BC
ABCD BC AD||
i AC BD, то ABCD —
рiвнобiчна трапецiя
бiчна трапецiя, BC AD||
i BCA DCA, то
CD AD
ABCD BC AD||
i CAD ADB, то
трапецiя
1. Знайдiть на рисунку 1 трапецiї. Назвiть їх основи й бiчнi сторони.
а) б)
Рис. 1 Рис. 2
2. ABCD — паралелограм (рис. 2). Скiльки ще чотирикутникiв ви ба
чите на рисунку? Чи є серед них паралелограми; трапецiї?
3. Чи можуть основи трапецiї дорiвнювати одна однiй? Чому?
4. Чи можуть сусiднi кути трапецiї бути рiвними? Чи можуть проти
лежнi кути трапецiї бути рiвними?
5. Чи обов’язково кути трапецiї, прилеглi до бiльшої основи, є гостри
ми? Наведiть приклади.
6. Чи може рiвнобічна трапецiя бути прямокутною?
B
DA
C
O
K
D C
BA K
M
N
K
C
D
B
M
A
M
AC
B
D

7. Чи може висота трапецiї бути бiльшою за бiчну сторону? дорiвню
вати бiчнiй сторонi?
8. Дiагоналi трапецiї ABCD (BC AD|| ) перетинаються в точцi O.
а) Чи може трикутник AOD дорiвнювати трикутнику BOC?
б) Чи може трикутник AOB дорiвнювати трикутнику DOC?
9. Чи може точка перетину дiагоналей трапецiї бути серединою кож
ної з них; однiєї з них?
Особливу увагу слiд звернути на вправу № 3. Крiм попередження
типової помилки учнiв (основи трапецiї нерiвнi), це завдання має на
метi повiдомити учням про найпоширенiший спосiб зображення до
вiльної трапецiї: спочатку зображують два нерiвних паралельних вiд
рiзки, а потiм їх кiнцi з’єднують двома iншими вiдрiзками.
1. Накреслiть паралелограм ABCD i проведiть у ньому висотуCH.
а) Визначте вид трапецiї ABCH.
б) Чи є висотою трапецiї будь яка висота паралелограма? Наведiть
контрприклад.
2. Накреслiть рiвнобедрений трикутник AMD з основою AD. Позначте
на сторонi AM точку B i проведiть через неї пряму, паралельну AD.
Позначте точку C — точку перетину цiєї прямої зi стороною MD.
а) Визначте вид трапецiї ABCD.
б) Проведiть дiагоналi трапецiї. Вимiряйте i порiвняйте їх довжини.
1. У рiвнобедренiй трапецiї висота, проведена з вершини тупого кута,
дiлить бiльшу основу на вiдрiзки завдовжки 6 см i 30 см. Знайдiть
меншу основу трапецiї.
2. Знайдiть невiдомi кути:
а) трапецiї ABCD з основами AD i BC, якщо A 40 , D 50 ;
б) рiвнобедреної трапецiї, один iз кутiв якої дорiвнює 58°;
в) прямокутної трапецiї, найбiльший кут якої утричi бiльший за на
йменший.
1. Чи можуть довжини основ трапецiї бути рiвними?
2. Чи може основа трапецiї дорiвнювати бiчнiй сторонi?
3. Чи можуть бути рiвними кути трапецiї, що прилеглi до бiчної сторони?
4. Якi спiльнi властивостi мають трапецiя i паралелограм?
5. Чи iснує трапецiя, в якій: а) два протилежнi кути рiвнi; б) три кути
гострi?
6. Чи може сума кутiв при меншiй основi трапецiї бути бiльшою за
суму кутiв при бiльшiй основi?
Вивчити змiст означень, теорем та їх доведення.
1. Знайдiть невiдомi кути:
а) рiвнобедреної трапецiї, висота якої, проведена з вершини тупого
кута, утворює з бiчною стороною кут 22°;
б) прямокутної трапецiї, яку дiагональ, проведена з вершини тупо
го кута, дiлить на два рiвнобедренi прямокутнi трикутники.
2. Менша основа рiвнобедреної трапецiї до
рiвнює 10 см. Знайдiть бiльшу основу тра
пецiї, якщо висота, проведена з вершини
тупого кута, дiлить її на вiдрiзки, один
з яких дорiвнює 3 см.
3. O — точка перетину бiсектрис кутiв A i B тра
пецiї ABCD (рис. 3). Доведiть, що AOB 90 .
Урок № 14
Окремi види трапецiй та їх властивостi
Мета: доповнити знання учнiв властивостями та ознаками окре
мих видiв трапецiй i домогтися засвоєння змiсту вивчених тверджень;
сформувати вмiння вiдтворювати вивченi властивостi та ознаки окре
мих видiв трапецiй, а також використовувати їх у здiйсненнi послiдов
них мiркувань пiд час розв’язування задач.
Наочнiсть та обладнання: конспект «Трапецiя. Види трапецiї».
Хiд уроку
Традицiйно для перевiрки засвоєння учнями змiсту означень та влас
тивостей трапецiї та її окремих видiв проводиться математичний диктант.
O
D
B C
A
Рис. 3

Варiант 1
1. Чи є трапецiєю будь який чотирикутник, у якому є двi паралельнi
сторони?
2. Сторони кута (нерозгорнутого) перетнутi двома паралельними пря
мими. Який чотирикутник утворився?
3. У трапецiї MNPK MN PK|| .
а) Назвiть основи i бiчнi сторони трапецiї.
б) Чому дорiвнює сума M P?
в) Чи може виконуватись рiвнiсть MN PK?
г) Чи може виконуватись рiвнiсть NP MK? Вiдповiдь пояснiть.
д) Якщо NP MK, то якими будуть вiдрiзки MP i NK?
Варiант 2
1. У чотирикутнику ABCD сторони AB i CD не паралельнi. Чи обов’яз
ково цей чотирикутник є трапецiєю?
2. Двi паралельнi прямi перетнутi двома прямими, що мають спiльну
точку. Як називається чотирикутник, що утворився?
3. У трапецiї ABKF BK не паралельна AF.
а) Назвiть основи й бiчнi сторони трапецiї.
б) Чому дорiвнює сума A F?
в) Чи може виконуватись рiвнiсть A F? Якщо так, то в якому
випадку?
г) Чи може виконуватись рiвнiсть BF AK? Якщо так, то в якому
випадку?
д) Якщо AF BK, то що можна сказати про кути B i F?
Правильнiсть виконання домашнiх вправ достатньо перевiрити пiд
час фронтальної бесiди. Задача № 3 дає учням формулювання власти
востей бiсектрис кутiв трапецiї, прилеглих до бiчної сторони, тому її
доведення слiд обговорити, а опорний факт зафiксувати. (Розв’язання
цiєї задачi заздалегiдь за дошкою може виконати сам учитель або дору
чити це одному iз «сильних» учнiв).
Якщо на попередньому уроцi не були вивченi всi властивостi рiвно
бiчної трапецiї (включаючи додатковi властивостi дiагоналей, кутiв мiж
дiагоналями та основами тощо), то для формулювання мети достатньо
буде слiв учителя про те, що рiвнобiчна трапецiя, крiм указаних у текстi
пiдручника властивостей та ознаки, має ще ряд цiкавих критерiїв, тобто
властивостей та обернених ознак; тому метою уроку є вивчення (тобто
ознайомлення зi змiстом, доведення та запам’ятовування) цих додатко
вих властивостей та ознак, а також оволодiння способами їх застосуван
ня пiд час розв’язування задач.
змiсту властивостей та ознак рiвнобiчної трапецiї слiд активiзувати
знання i вмiння учнiв щодо означення трапецiї та визначення її еле
ментiв на готовому зображеннi та за позначенням трапецiї; визначення
окремих видiв трапецiй; вивчених властивостей трапецiї загального
виду та окремих видiв трапецiй; означення, властивостей та ознак
рiвнобедреного трикутника, прямокутного трикутника, рiвносторон
нього трикутника.
1 Дано: ABCD — рiвнобiчна трапецiя.
Довести: A D, B C
2 Дано: ABCD — рiвнобiчна трапецiя.
Довести: AC BD
3 Дано: ABCD — трапецiя, BK —
бiсектриса кута B, CM — бiсектриса
кута C.
Довести: CM BK
C
A D
B
B
D A
C
O
D
B
C
A
K
M

4 ABCD — трапецiя, CK KD.
Довести: BC DM
5 Дано: ABCD — трапецiя, AO OD.
Довести: AB DC
6 Дано: ABCD — трапецiя, ECD 80 ,
CDE 50 .
Знайдiть кути трапецiї ABCD
V. Доповнення знань
1. Властивiсть дiагоналей рiвнобiчної трапецiї. Ознака рiвнобiчної
трапецiї за дiагоналями (опорна задача).
2. Властивiсть кутiв, утворених дiагоналями рiвнобiчної трапецiї з її
основою. Ознака рiвнобiчної трапецiї за кутами, утвореними дiаго
налями з однiєю з основ (опорна задача).
3*. Властивiсть рiвнобiчної трапецiї, дiагональ якої є бiсектрисою:
гострого кута;
тупого кута.
4. Властивiсть вiдрiзкiв, на якi дiлить бiльшу основу висота рiвно
бiчної трапецiї, що проведена з вершини тупого кута.
Матерiал, винесений для вивчення на уроцi, вiднесено до до
даткового матерiалу (або взагалi може розглядатися тiльки на
конкретному прикладi). Але автор вважає, що з метою успiш
ного вивчення геометрiї в середнiй школi знання названих
властивостей кориснi для учнiв (тим бiльше, що доведення цих
тверджень є досить простими i спираються на матерiал, добре
опрацьований учнями у 7 класi, — ознаки рiвностi трикутникiв
C
A D
B
E
B
D A
C
O
C
A D
B
K
M
та означення й ознаки рiвнобедреного трикутника). Інша рiч,
вивчення критерiїв рiвнобiчної трапецiї. Якщо учнi мають ви
сокий рiвень iнтелектуальної активностi, тодi їм можна запро
понувати виконати доведення цих тверджень самостiйно.
В iнших випадках доречно провести доведення названих твер
джень у формi евристичної бесiди (для економiї часу достатньо
буде зафiксувати формулювання цих тверджень у зошитах i не
вимагати вiд учнiв вiдтворення доведення) або органiзувати ро
боту в малих групах (кожна група отримує для доведення певну
властивiсть) iз наступною презентацiєю та фiксацiєю в зошитах
учнiв формулювань тверджень.
Знайдіть х, у (рис. 1).
а) б) в)
Рис. 1
VII. Засвоєння вмiнь та навичок
1. Знайдiть кути:
а) рiвнобічної трапецiї, якщо рiзниця двох її протилежних кутiв
дорiвнює 80°;
б) прямокутної трапецiї, дiагональ якої є бiсектрисою тупого кута
й утворює з меншою бiчною стороною кут 35°.
2. Менша основа рiвнобiчної трапецiї дорiвнює бiчнiй сторонi, а дiа
гоналi перпендикулярнi до бiчних сторiн. Знайдiть кути трапецiї.
3. У трапецiї ABCD точка O — точка перетину дiагоналей. Вiдрiзки OA
i OD рiвнi. Доведiть, що AB CD.
4. Висота рiвнобiчної трапецiї, що проведена з вершини тупого кута,
дiлить бiльшу основу трапецiї на вiдрiзки довжиною 3 см i 11 см.
Знайдiть основи трапецiї.
5
A D
B C
x
9K
K 15°
x CB
DA
y
5
B
DA
C
O
x

5. Дiагональ рiвнобiчної трапецiї утворює з основою кут 32°, а її бiчна
сторона дорiвнює меншiй основi. Знайдiть кути трапецiї.
VIII. Пiдсумки уроку
Якої помилки припустилися в зображеннi трапецiї на рис. 2?
а) б) в)
г) д) е)
Рис. 2
ІХ. Домашнє завдання
Вивчити змiст означень, властивостей та ознак трапецiї.
1. Знайдiть кути прямокутної трапецiї, якщо вiдношення найбiльшого
i найменшого з них дорiвнює 3:2.
2. Дiагональ рiвнобедреної трапецiї є бiсектрисою її тупого кута. Знай
дiть периметр трапецiї, якщо її основи дорiвнюють 5 см i 10 см.
Повторити властивiсть катета, що лежить проти кута 30°.
Урок № 15
Мета: закрiпити знання учнiв про означення, властивостi та озна
ки трапецiй, вiдпрацювати навички застосування вивчених тверджень
пiд час розв’язування задач iз застосуванням властивостi катета, що
лежить проти кута 30°.
Тип уроку: комбiнований.
Наочнiсть та обладнання: конспект «Трапецiя. Види трапецiй».
DA
B C
130°
70°
35°
B
DA
C5
5
30°
5
4
4
4
8
4
O
C
A D
B
5
A D
CB
O
25°
C
A D
B
20°
3
5
Хiд уроку
З метою урiзноманiтнення та пожвавлення роботи з перевiрки до
машнього завдання цей етап уроку проводимо у виглядi гри «Знайди
помилку» (учням пропонується знайти та виправити помилки в роз
в’язаннях домашнiх задач за готовими зразками «розв’язань». Помил
ки у «розв’язаннях» мають вiдтворювати ситуацiї, за яких учнi припус
тилися найбiльшої кiлькостi помилок.
На цьому етапi уроку вчитель нагадує учням про те, що пiд час роз
в’язування задач на чотирикутники часто доводиться мати справу iз
трикутниками (див. попереднiй урок).
Серед усiх видiв трикутникiв, що були вивченi на попереднiх уро
ках геометрiї, на особливу увагу заслуговує прямокутний трикутник iз
гострим кутом 30° (яку властивiсть має такий трикутник?). Отже, ос
новне питання полягає в тому, щоб, пригадавши властивiсть вище на
званого трикутника та вивченi на попереднiх уроках властивостi тра
пецiй, сформувати вмiння застосовувати цi твердження пiд час
розв’язування задач на трапецiю (там, де це можливо).
Для свідомого розуміння та подальшого оволодiння учнями спосо
бами дiй, опрацьованих на уроцi, слiд активiзувати знання i вмiння
учнiв щодо властивостей гострих кутiв прямокутного трикутника;
властивостi катета, що лежить проти кута 30°; властивостей кутiв,
дiагоналей, висоти рiвнобiчної трапецiї.
1. Скiльки кутiв трикутника мають бути вiдомими, щоб можна було
визначити решту кутiв цього трикутника? Розгляньте випадки:
1) довiльний трикутник;
2) прямокутний трикутник;
3) рiвнобедрений трикутник;
4) рiвностороннiй трикутник;
5) прямокутний рiвнобедрений трикутник.

2. Вiдомо, що коли в трикутнику один кут прямий, то два iншi —
гострi. А чи правильне обернене твердження?
3. Яким — гострокутним, прямокутним чи тупокутним — є трикут
ник, коли:
1) один iз його кутiв дорiвнює сумi двох iнших;
2) один iз його кутiв бiльший вiд суми двох
iнших;
3) один iз його кутiв менший вiд суми двох
iнших?
4. Дано: CD BD, CD 100 (рис. 1). Знайдiть AB.
VI. Формування вмiнь, вiдпрацювання навичок
На уроцi в неявному виглядi учням подається до вивчення так
званий метод допомiжного трикутника (досить широко викорис
товується в розв’язуваннi рiзного виду задач) i вводиться прийом,
який полягає в тому, що знаходження елементiв трапецiї здiй
снюється через використання властивостей трикутника, який
є в складi цiєї трапецiї та має з нею спiльнi елементи. Оскiльки
учнi поки що мають досить обмеженi можливостi щодо розв’язу
вання трикутникiв, то в задачах цього уроку використовуються
тiльки спiввiдношення для гострих кутiв прямокутного трикутни
ка, а також властивiсть катета, що лежить проти кута 30°.
*Метод допомiжного трикутника використовується i пiд час роз
в’язування задач на побудову (зокрема на побудову трапецiї). Оскiльки
вмiння розв’язувати задачi на побудову трапецiї (паралелограмiв) не
є обов’язковим, то питання про способи побудови паралелограмiв та
трапецiї вивчається лише в тому випадку, коли для цього є умови (учнi
добре засвоїли матерiал на попереднiх уроках, оволодiли способами
розв’язання задач на обчислення й доведення). У цьому випадку на
уроцi, ознайомивши учнiв iз методом допомiжного трикутника, можна
показати способи його застосування пiд час розв’язування задач на
побудову трапецiй (паралелограмiв).
Формування вмiнь застосовувати властивостi трапецiї разом iз вив
ченими властивостями прямокутних трикутникiв (у тому числi й влас
тивiстю катета, що лежить проти кута 30°) логiчно було б розпочати
з розгляду випадкiв утворення трикутникiв пiд час розв’язування задач
на трапецiю.
DAB
C
30°15°
Рис. 1
Пропонуємо учням розглянути рис. 2 та за рисунком виконати за
вдання:
1) дати опис фiгури, що зображена на рисунку;
2) назвати властивостi трикутника, що заштрихований на рисунку
(у кожному випадку).
а) б) в)
г) д) е)
Рис. 2
Пiсля виконання усного завдання учнi мають усвiдомити зв’язок
мiж елементами трапецiї певного виду та видом трикутника, через еле
менти якого визначаються шуканi елементи трапецiї, та зафiксувати їх
як «типовi додатковi побудови для трапецiї» (див. Геометрiя в табли
цях, Є. П. Нелiн, с. 18).
Далi вже слiд приступити до розв’язування конкретних задач.
1 Дано: ABCD — трапецiя, BK AD,
ABK KAB: :7 11, CD BK2 .
Знайти: кути трапецiї
2 Дано: ABCD — трапецiя,
AB BC CD a, CH AD,
ACD 90 .
Знайти: AD
B
DA
C
K
C
A D
B C
A D
B
E
CE AB||
B
DA
C C
A D
BC
A D
B
B
DA
C
K
B
DA
C
H

3 Дано: ABCD — трапецiя, ACD 90 ,
CH BC. HB b, ACH 60 .
Знайти: AD
1. У трапецiї ABCD через вершину B проведено
прямуBK, паралельну сторонiCD (рис. 3).
а) Доведiть, що KBCD — паралелограм.
б) Знайдiть периметр трапецiї, якщо BC 4 см,
P ABK
11см.
2. Дiагональ рiвнобедреної трапецiї дiлить навпiл її гострий кут, який
дорiвнює 60°. Знайдiть периметр трапецiї, якщо її менша основа
3. Один з гострих кутiв рiвнобiчної трапецiї дорiвнює 60°, а довжина
бiчної сторони — 16 см. Знайдiть основи трапецiї, якщо їх сума
4. Бiсектриса рiвнобiчної трапецiї, проведена з вершини тупого кута,
паралельна бiчнiй сторонi. Обчислiть основи трапецiї, якщо її пе
риметр дорiвнює 60 см, а бiчна сторона — 14 см.
5. Бiльша основа рiвнобiчної трапецiї дорiвнює 18 м, а її дiагональ
є бiсектрисою гострого кута трапецiї. Знайдiть меншу основу тра
пецiї, якщо її периметр 54 см.
6. Дiагональ рiвнобiчної трапецiї є бiсектрисою тупого кута, а її осно
ви дорiвнюють 8 см i 14 см. Знайдiть периметр трапецiї.
7. Вiдрiзок EF трапецiї ABCD (рис. 4) пара
лельний сторонi CD, а точка E — середи
на AB. Доведiть, що EF CD
1
2
.
8. Побудуйте паралелограм за двома сторо
нами й дiагоналлю.
9. Побудуйте паралелограм за стороною,
дiагоналлю i кутом, протилежним до цiєї
дiагоналi.
B
DA
C
H
Рис. 3
C
D
B
KA
A F
B
D
C
Рис. 4
E
Учнi мають усвiдомити, що знання властивостей трикутникiв є пiд
ґрунтям не лише для доведення теорем. Використання властивостей
трикутникiв є також засобом розв’язування задач, в умовi яких йде мо
ва про iншi геометричнi фiгури.
Повторити змiст теоретичного матерiалу.
1. Середина бiльшої основи рiвнобедреної трапецiї сполучена з вер
шинами меншої основи. При цьому утворилися три рiвностороннi
трикутники.
а) Знайдiть кути трапецiї.
б) Знайдiть периметр трапецiї, якщо периметр одного трикутника
дорiвнює 12 м.
2. Довжини бiчних сторiн трапецiї дорiвнюють 2a, а довжини основ —
7a i 9a. Знайдiть кути трапецiї.
3. Бiльша основа iвнобiчної трапецiї дорiвнює 12 см, а бiчна сторо
на — 4 см. Гострий кут трапецiї дорiвнює 60°. Знайдiть меншу осно
ву трапецiї.
4. У рiвнобiчнiй трапецiї з тупим кутом 120° через вершину тупого
кута проведено пряму, яка паралельна бiчнiй сторонi i вiдтинає вiд
бiльшої основи вiдрiзок довжиною 12 см. Знайдiть периметр тра
пецiї, якщо менша основа дорiвнює 16 см.
Урок № 16
Теорема Фалеса
Мета: формувати в учнiв усвiдомлене розумiння змiсту теореми
Фалеса та способу її доведення; формувати вмiння вiдтворювати фор
мулювання теореми Фалеса; застосовувати її для розв’язування задач
на знаходження довжин вiдрiзкiв, що вiдтинаються на сторонах пара
лельними прямими; розв’язувати задачi на подiл вiдрiзка на n рiвні
вiдрiзки або в даному вiдношеннi.
Наочнiсть та обладнання: конспект «Теорема Фалеса».

Хiд уроку
На цьому етапi уроку можна провести самостiйну роботу, змiст за
вдань якої вiдтворює ситуацiю, опрацьовану на попереднiх уроках (за
стосування властивостей рiвнобiчної трапецiї разом iз властивiстю ка
тета, що лежить проти кута 30°).
Варiант 1
1. Основи рiвнобiчної трапецiї дорiвнюють 9 см i 15 см. Знайдiть вiд
рiзки, на якi дiлить бiльшу основу висота, проведена з вершини ту
пого кута.
2. У рiвнобiчнiй трапецiї один з кутiв дорiвнює 120°. Дiагональ тра
пецiї утворює з основою кут 30°. Знайдiть основи трапецiї, якщо
довжина бiчної сторони дорiвнює 8 см.
Варiант 2
1. Основи рiвнобiчної трапецiї дорiвнюють 2 см i 10 см. Знайдiть дов
жини вiдрiзкiв, на якi висота трапецiї, проведена з вершини тупого
кута, дiлить бiльшу основу.
2. У рiвнобiчнiй трапецiї одна основа дорiвнює a, друга втричi менша.
Кут при бiльшiй основi дорiвнює 60°. Визначте периметр трапецiї.
Пiсля виконання завдань самостiйної роботи вчитель збирає зошити
учнiв для перевiрки та опрацювання (причому можна оцiнити як до
машню, так i самостiйну роботи та порiвняти оцiнки). Але обов’язко
вою умовою має бути надання учням можливостi дiзнатися, який вигляд
має правильне розв’язання завдань — для цього вчитель заздалегiдь
готує записи правильного розв’язання завдань самостiйної роботи або
за дошкою, або у виглядi роздавального матерiалу. У разi необхiдностi
розв’язання задач обговорюються. Учням, якi не впоралися iз завдання
ми, надається можливiсть виконання коригуючої роботи (на одному з
наступних урокiв у виглядi iндивiдуального завдання).
Оскiльки властивiсть середньої лiнiї трапецiї не випливає безпосе
редньо з теореми Фалеса, то вчитель формулює мету цього та наступ
ного уроків без залучення учнів. Учням повідомляється про існування
ще одного з відрізків трапеції, що має важливу властивість (мається на
увазі перша середня лінія трапеції), доведення якої ґрунтується на тео
ремі, яку учні вивчатимуть на уроці. Отже, метою цього уроку є ви
вчення змісту, доведення та вивчення способів застосування однієї
з найважливіших теорем курсу геометрії 7—12 класів — теореми Фалеса.
З метою пiдготовки учнiв до свiдомого розумiння та способу дове
дення теореми Фалеса слiд активiзувати знання i вмiння учнiв щодо
ознак паралельностi прямих, властивостi паралельних прямих, озна
чення та властивостей паралелограма, ознак рiвностi трикутникiв.
1 Дано: 1 2. Довести:
3 4 180
2 Дано: BO OD, 1 2.
Довести: AOD COB
3
а) б) в)
Якi помилки допущено
в зображеннi парале
лограма
1. «Класичне» формулювання i доведення теореми Фалеса.
2. Інше формулювання теореми Фалеса.
3. Задача про подiл вiдрiзка на n рiвних частин.
45°
40°
2
1
BA
DC
3
4
O
1
2
D C
B
A
8
130° 40°
40°
7
6
7 130°

Формулювання i доведення теореми Фалеса, що подано в но
вому пiдручнику, не вiдрiзняється вiд аналогiчного матерiалу
попереднiх пiдручникiв геометрiї. За змiстом i за формою роз
гляд теореми Фалеса повнiстю вiдповiдає пiдручнику О. В. По
горєлова. Тому пiд час викладення цього матерiалу вчитель
може використовувати тi самi прийоми i форми роботи, що
й ранiше. А саме:
сформулювавши теорему, спочатку попрацювати над усвiдомлен
ням учнями самого змiсту (важливо, щоб учнi усвiдомили, що для
виконання умови, записаної у висновку теореми, необхiдне вико
нання трьох умов: прямi мають бути паралельнi, прямi мають пере
тинати обидвi сторони кута, паралельнi прямi мають вiдтинати на
однiй зi сторiн рiвнi вiдрiзки); для цього пропонуємо учням викона
ти уснi вправи (див. нижче);
оскiльки доведення теореми є досить простим (ґрунтується на зна
йомих учням означеннi та властивостях паралелограма, а також на
ознаках рiвностi трикутникiв), то доведення теореми учнi можуть
розглянути самостiйно за пiдручником. Для усвiдомлення ними
змiсту та логiки доведення вчитель може запропонувати на етапi ро
боти iз доведенням, поданим у пiдручнику, скласти його план;
пiсля цiєї роботи вчитель пропонує учням «пофантазувати» за теоре
мою Фалеса: чи буде вона виконуватись, якщо паралельнi прямi, що
перетинають сторони кута, вiдтинають кiлька рiвних вiдрiзкiв на
однiй зi сторiн кута? Чи буде виконуватися теорема Фалеса, якщо па
ралельнi прямi перетинають не сторони кута, а двi будь якi прямi?
Чи буде виконуватись умова, аналогiчна до теореми Фалеса, у випад
ку коли паралельнi прямi перетинають сторони не одного, а кiлькох
кутiв iз спiльною вершиною? У випадку ствердної вiдповiдi слiд
сформулювати «скориговану» для певного випадку теорему (пiд час
обґрунтування своєї точки зору, вiдповiдаючи на поставленi запи
тання, учнi вiдтворюють мiркування, аналогiчнi до тих, що мiстяться
в доведеннi теореми Фалеса, i тим самим закрiплюють знання схеми
доведення теореми Фалеса);
як один iз засобiв застосування вивченої теореми або за пiдручни
ком, або самостiйно учнi вiдшукують спосiб розв’язання класичної
задачi на подiл даного вiдрiзка на nрiвних частин (перед розв’язуван
ням цiєї задачi для створення проблемної ситуацiї пропонуємо
учням задачу про подiл вiдрiзка на 2 n
частин, потiм пропонуємо ви
падок, коли n 3; таким чином учнi усвiдомлюють неможливiсть
розв’язання задачi вiдомим способом та необхiднiсть застосування
теореми Фалеса).
Дано кут x i прямi AA1
, BB1
, CC1
. Заповнiть порожнi клiтинки таб
лицi: «+» означає виконання умови; «–» означає, що умова не вико
нується.
AA BB CC1 1 1
|| || AA1
, BB1
i CC1
перетинають
XA
AA1
, BB1
i CC1
перетинають
XA1
AB BC A B B C1 1 1 1
1 + + + +
2 + + – +
3 – + + +
4 + + – +
Конспект 6
Теорема Фалеса
Паралельнi прямi, якi пе
ретинають двi iншi сторо
ни кута i вiдтинають на
однiй iз них рiвнi
вiдрiзки, вiдтинають рiвнi
вiдрiзки i на iншiй сто
ронi
Узагальнена теорема Фалеса
Паралельнi прямi, якi пе
ретинають сторони кута,
вiдтинають на сторонах
цього кута пропорцiйнi
вiдрiзки
AB
BC
AB
B C
AB
AC
AB
AC
1
1 1
1
1
B1
X
A1
B3
A3
а)
B
B2
A2
A
A2 B2
б)
B3
A1
B1
B1
C
C1
A3

Оскiльки закрiплення змiсту теореми Фалеса та способу її доведен
ня було здiйснено пiд час вивчення нового матерiалу, то треба почати
роботу iз формування вмiнь та навичок застосовувати теорему для роз
в’язування задач на обчислення вiдрiзкiв та доведення їх рiвностi, а та
кож задач на подiл вiдрiзка на n рiвних частин (а також, якщо дозволяє
час та можливiсть учнiв, на частини у даному вiдношеннi).
1. За даними рисунка 4 знайдiть x,
якщо a b|| .
2. Точки M i N — середини сторiн
BC i AD паралелограма ABCD. До
ведiть, що прямi AM i CN дiлять
дiагональ BD на три рiвнi частини.
3. Подiлiть даний вiдрiзок на шiсть рiвних частин.
4. Точка K — середина медiани AD трикутника ABC (рис. 5). Знайдiть
вiдношення AP PC: .
Рис. 5 Рис. 6
5. У прямокутному трикутнику ABC (рис. 6) B 90 , AC 24 см.
MN AC|| i DK AC|| , BM MA, MD DA, BE — медiана. Знайдiть LP.
Подiлiть вiдрiзок у вiдношеннi: а) 1:2; б) 2:5; в) так, щоб одна з час
тин становила
2
3
вiдрiзка.
Чи правильне твердження: прямi, що вiдтинають на однiй сторонi
кута рiвнi вiдрiзки, вiдтинають на другiй його сторонi також рiвнi
вiдрiзки? Виконайте вiдповiднi iлюстрацiї та вставте пропущене слово
так, щоб твердження перетворилось на правильне.
3
3
a
x
b4 x b8a
а) б)
Рис. 4
B
C
D
A
M
C
D K
B
A E
NL
PK
Р
Вивчити змiст та доведення теореми Фалеса, а також алгоритм
подiлу вiдрiзка на n рiвних частин.
1. Через середину D сторони AB трикутника ABC проведено пряму,
яка паралельна AC i перетинає сторону BC у точцi E. Знайдiть BC,
якщо BE 8 см.
2. Подiлiть вiдрiзок у вiдношеннi 3:2.
3. Подiлiть вiдрiзок на п’ять рiвних частин.
4. На сторонi AB паралелограма ABCD
(рис. 7) позначили точки M i N, а на
сторонi CD — точки E i F так, що
BN NM MA CE EF FD. Вiдрiз
ки BE, NF, MD перетинають дiагональ
AC у точках R, Q, P вiдповiдно. До
ведiть, що AP PQ QR RC.
Повторити означення паралелограма.
Урок № 17
Середня лiнiя трикутника
Мета: сформувати в учнiв поняття середньої лiнiї трикутника. Роз
глянути властивостi середньої лiнiї трикутника та змiст задачi Варинь
йона; формувати в учнiв умiння: вiдтворювати вивченi твердження
(означення та властивостi); виконувати зображення середнiх лiнiй три
кутника та здiйснювати доведення або спростування того, що даний
вiдрiзок є середньою лiнiєю трикутника; вiдтворювати доведення влас
тивостi середньої лiнiї трикутника та опорної задачi; використовувати
властивiсть середньої лiнiї трикутника пiд час розв’язування задач.
Тип уроку: засвоєння знань, умiнь та навичок.
Наочнiсть та обладнання: конспект «Середня лiнiя трикутника».
Хiд уроку
Якщо на попередньому уроцi учнi добре засвоїли навчальний ма
терiал, то з метою економiї часу на уроцi перевiрцi пiдлягають тiльки
Рис. 7
M
N
P
D
CB
A
Q
R
F
E

завдання достатнього та високого рiвнiв складностi (№ 2, 4). Для цього
заздалегiдь на дошцi виконуються рисунки до цих задач, а на уроцi
озвучується план розв’язання.
Учитель повiдомляє учням про те, що розв’язанням задачi на подiл
даного вiдрiзка на n рiвних частин не обмежується практичне застосу
вання теореми Фалеса. На уроцi учнi мають засвоїти одне з понять,
властивостi якого доводяться саме через застосування теореми Фалеса.
Засвоєння означення, властивостей та способiв застосування цього
поняття для розв’язування задачi — головна мета уроку.
З метою пiдготовки учнiв до сприйняття нового поняття та подаль
шого оволодiння учнями способами дiй на застосування нових знань
слiд активiзувати знання i вмiння учнiв щодо поняття середини
вiдрiзка, означення трикутника та його елементiв, поняття периметра
многокутника, теореми Фалеса, ознак паралелограма.
1 Знайдiть на вiдрiзки, якi є одночас
но сторонами не менш як трьох рiз
них трикутникiв. Назвiть цi трикут
ники. Чи iснують вiдрiзки, якi є од
ночасно сторонами не бiльш як
двох трикутникiв, зображених на
рисунку?
2
а) б)
За рисунком складiть задачу i роз
в’яжiть її
3 Дано: M B 180 ,
M A 180 . Довести: AMBH —
паралелограм
B
A
K M C
CP
BA
S
Q
O BA
H
B
A
M
4 Дано: ABCD — паралелограм, M —
середина BC, H — середина AD.
Довести: AMCH — паралелограм
AM CH. Довести: DHBМ — пара
лелограм
V. Засвоєння нових знань
1. Означення середньої лiнiї трикутника.
2. Властивостi середньої лiнiї трикутника.
3. Задача Вариньйона.
Вивчення означення середньої лiнiї трикутника та її власти
востей здiйснюється традицiйно, але слiд урахувати такi кон
трольнi моменти:
пiсля введення означення середньої лiнiї трикутника слiд попрацю
вати над розумiнням учнями змiсту сформульованого означення
(для цього учням пропонується вiдповiсти на запитання: Скiльки се
реднiх лiнiй можна провести в трикутнику? Чи правильне тверджен
ня: «Лiнiя, що з’єднує середини сторiн трикутника, є його середньою
лiнiєю»? Або виконати усне завдання за готовим рисунком).
Чи є зображена на рис. 1 лiнiя середньою лiнiєю трикутника ABC?
а) б) в) г)
Рис. 1
CB
A
M
H
D
D
H
M
A B
C
B
A
3
BX BC
1
2
, AY AC
1
2
C CA
B
CA
B
CA
B
3
5
4
X
Y

змiст про властивiсть середньої лiнiї трикутника слiд опрацювати на
розумiння (учнi мають усвiдомити, що в теоремi мова йде про зв’язок
мiж середньою лiнiєю та стороною, до якої вона є паралельною, тоб
то середня лiнiя трикутника не дорiвнює половинi будь якої його
сторони; а також опанувати спосiб визначення середньої лiнiї за да
ною паралельною стороною, та навпаки, знаходження сторони, до
якої середня лiнiя трикутника з даною довжиною паралельна);
доведення як властивостi середньої лiнiї, так i опорної задачi учнi можуть
опрацьовувати самостiйно (скласти план доведення, за якими вдома бу
дуть його вивчати); пiсля вивчення змiсту доведення властивостi серед
ньої лiнiї трикутника слiд звернути увагу на те, що безпосередньо з дове
дення (точнiше з використання в ньому теореми Фалеса) випливає
справедливiсть твердження про те, що середня лiнiя трикутника дiлить
навпiл будь який вiдрiзок, один кiнець якого лежить на паралельнiй сто
ронi, а другий кiнець виходить з протилежної вершини;
додатково можна розглянути твердження, що безпосередньо випли
вають iз властивостейсередньої лiнiї трапецiї (див. конспект, власти
востi 3, 4).
Конспект 7
Середня лiнiя трикутника
Означення. Середньою лiнiєю трикутни
ка називається вiдрiзок, який сполучає
середини двох його сторiн
ABC: M — середина AB;
N — середина BC
В ABC MN — середня лiнiя
1. У будь якому трикутнику можна провести 3 середнiх лiнiї.
2. Якщо MN — середня лiнiя ABC (M — середина AB, N — середина BC),
то MN AC|| , MN AC
1
2
.
3. Периметр трикутника, утвореного всiма середнiми лiнiями трикутника,
дорiвнює половинi периметра даного трикутника (P PMNP ABC
1
2
).
4. Три середнi лiнiї трикутника дiлять його на чотири рiвних трикутники
B
A
3
C
N
P
M 1
2
1. Вiдрiзок DE — середня лiнiя трикутника ABC (рис. 2).
а) Визначте вид чотирикутника ADEC.
б) Назвiть медiану трикутника, що виходить з вершини A.
2. Чи може середня лiнiя трикутника бути
перпендикулярною до його сторони; до
двох його сторiн?
3. Чи можуть середнi лiнiї трикутника дорiв
нювати 3 см, 4 см i 10 см? Чому?
4. У трикутнику ABC проведено середню лiнiю
паралельно сторонi AC. У якому вiдношеннi
вона дiлить медiануBM; висотуBH?
5. Двi середнi лiнiї трикутника рiвнi мiж собою i взаємно перпендику
лярнi. Який це трикутник? Вiдповiдь пояснiть.
Накреслiть трикутник ABC. Позначте на сторонi AB точки A1
, A2 i A3
так, щоб вони дiлили вiдрiзок AB на чотири рiвнi частини. Проведiть
через цi точки прямi, паралельнi сторонi AC, i позначте точки їх пере
тину зi стороною BC C1
, C2 i C3 вiдповiдно.
а) Вимiряйте i порiвняйте довжини вiдрiзкiв, на якi точки C1
, C2 i C3
дiлять сторону BC.
б) Видiлiть червоним кольором середню лiнiю трикутника ABC.
1. Сторони трикутника дорiвнюють 12 см, 16 см i 20 см. Знайдiть сто
рони трикутника, вершинами якого є середини сторiн даного три
кутника.
2. Середня лiнiя трикутника вiдтинає вiд нього трапецiю з бiчними
сторонами 3 м i 4 с i меншою основою 5 м. Знайдiть периметр три
кутника.
3. Доведiть, що середини сторiн ромба є вершинами прямокутника.
Пiд час розв’язування задачi № 3 слiд повторити ознаку прямокут
ника та використати задачу Вариньйона.
Задача Вариньйона. Середини сторiн чотирикутника є вершинами
паралелограма.
B
A C
ED
Рис. 2

Якi помилки допущено в зображеннi середньої лiнiї трикутника
(див. рис. 3)?
а) б) в)
Рис. 3
Вивчити змiст нового теоретичного матерiалу.
1. Накреслiть трикутник ABC. Позначте точки D, E i F — середини
сторiн AB, BC i AC вiдповiдно. Сполучiть позначенi точки.
а) Визначте вид чотирикутника ADEF.
б) Визначте вид чотирикутника ADEC.
в) Назвiть усi трикутники, що дорiвнюють трикутнику DEF. За
пишiть вiдповiднi рiвностi.
2. Середня лiнiя рiвностороннього трикутника дорiвнює 3,5 см.
Знайдiть периметр трикутника.
3. Дiагоналi чотирикутника дорiвнюють 18 см i 22 см. Знайдiть пери
метр паралелограма, вершинами якого є середини сторiн даного
чотирикутника.
4. Доведiть, що середини сторiн прямокутника є вершинами ромба.
Урок № 18
Середня лiнiя трапецiї
Мета: сформувати в учнiв поняття середньої лiнiї трапецiї; працю
вати над засвоєнням змiсту властивостi середньої лiнiї трапецiї, а та
кож схеми її доведення.
Формувати в учнiв умiння:
вiдтворювати змiст вивчених на уроцi тверджень;
виконувати зображення середньої лiнiї трапецiї;
B
A
3
C
3
5
5
B
A
3
C
3
5
6
5
3 3
5
8
A
C
B
4
89°
NM 4
7
NM
8 N
M
використовувати властивiсть середньої лiнiї трапецiї для розв’язу
вання задач;
використовувати вивчену властивiсть у комплексi з ранiше вивчени
ми властивостями трапецiї.
Наочнiсть та обладнання: конспект «Середня лiнiя трапецiї».
Хiд уроку
Варiант 1
1. Двi сторони трикутника сполучили вiдрiзком, не паралельним до
третьої сторони. Чи є цей вiдрiзок середньою лiнiєю трикутника?
2. У трикутнику ABC сторона AB дорiвнює 6 м. Чому дорiвнює серед
ня лiнiя трикутника ABC, яка паралельна сторонi AB?
3. Точки M, P i O — середини сторiн трикутника ABC. Знайдiть пери
метр трикутника ABC, якщо сторони трикутника MPO дорiвнюють
3 см, 4 см i 5 см.
4. Кiнцi вiдрiзка AB лежать на двох сторонах трикутника, а довжина
цього вiдрiзка дорiвнює половинi третьої сторони. Чи обов’язково
AB є середньою лiнiєю трикутника?
Варiант 2
1. Точки A i B є серединами двох сторiн трикутника. Як називається
вiдрiзок AB?
2. У трикутнику ABD середня лiнiя паралельна сторонi BD i дорiвнює
4 см. Чому дорiвнює сторонаBD?
3. Точки A, B i C — середини сторiн трикутника MPO. Знайдiть пери
метр трикутника ABC, якщо сторони трикутника MPO дорiвнюють
5 дм, 6 дм i 7 дм.
4. Кiнцi вiдрiзка KL лежать на двох сторонах трикутника. Вiдрiзок KL
паралельний до третьої сторони трикутника i дорiвнює чвертi його
довжини. Чи є вiдрiзок KL середньою лiнiєю цього трикутника?
Учитель повiдомляє учням про те, що на уроцi вони нарештi будуть
вивчати ту властивiсть трапецiї, заради якої було вивчено теорему

Фалеса та поняття i властивостi середньої лiнiї трикутника. Вивчення
означення та властивостi цього нового елемента трапецiї, а також ово
лодiння способами використання вивчених на уроцi тверджень пiд час
розв’язування задач i є основною метою уроку.
З метою свiдомого сприйняття учнями змiсту означення, власти
востi та способiв доведення властивостi середньої лiнiї трапеції та под
альшого оволодiння учнями способами дiй пiд час застосування назва
них понять слiд активiзувати знання i вмiння учнiв щодо означення
трапецiї та її елементiв, властивостей трапецiй; ознак рiвностi трикут
никiв, а також теореми Фалеса.
1 Знайдiть на рисунку тра
пецiї. Назвiть їхнi основи
i бiчнi сторони
2 Дано: ABCD — рiвнобiчна
трапецiя.
Довести: AC BD
BK — бiсектриса кута B,
CM — бiсектриса кута C.
Довести: CM BK
AO OD.
Довести: AB DC
C
BA
M
K
D
A
B
C DO
B
D A
C
O
D
B
C
A
K
M
O
C
AD
B
5 Дано: AB CD|| , AX AC,
CX 10 см, BD менше вiд
DX на 3 см.
Знайти: BD
6 Дано: AB CD EF|| || ,
AC AE
1
2
, BD BF 15.
Знайти: DF
1. Означення середньої лiнiї трапецiї.
2. Властивiсть середньої лiнiї трапецiї.
Конспект 8
Середня лiнiя трапецiї
Означення. Середньою лiнiєю трапецiї
називається вiдрiзок, що сполучає се
редини бiчних сторiн трапецiї.
У трапецiї ABCD (BC AD|| ) M,
N — середини сторiн AB i CD
MN — середня лiнiя трапецiї
ABCD (BC AD|| )
1. Якщо MN — середня лiнiя трапецiї
ABCD (BC AD|| ), то:
MN AD BC|| i MN AD BC
1
2
.
2*. Середня лiнiя трапецiї дiлить навпiл
будь який вiдрiзок, кiнцi якого лежать
на основах трапецiї
C D
F
A B
E
BA
X
C D
M N
D
B
A
C
O
K
P
NM
F
D
CB
A

3. Якщо ABCD — трапецiя (BC AD|| ),
O — точка перетину дiагоналей, MN —
середня лiнiя, то P i Q — середини дiа
гоналей AC i BD:
QN BC
1
2
, PQ AD BC
1
2
Слiд зазначити, що змiст матерiалу нового пiдручника з теми
«Середня лiнiя трапецiї» майже вiдтворює змiст вiдповiдних роз
дiлiв пiдручника О. В. Погорєлова. Тому вивчення теоретичного
матерiалу (якi i на попереднiх трьох уроках) можна вести за тра
дицiйною схемою, акцентуючи увагу учнiв на таких моментах:
сформулювавши означення середньої лiнiї трапецiї, слiд звернути
увагу учнiв на те, що, на вiдмiну вiд середньої лiнiї трикутника (спо
лучає середини двох будь яких сторiн трикутника), вона сполучає
середини бiчних сторiн трапецiї, а тому в будь якiй трапецiї можна
провести лише одну середню лiнiю (для допитливих учнiв можна
дати iнформацiю про iснування такого поняття як «друга середня
лiнiя трапецiї», але в цьому разi треба наголосити на тому, що понят
тя середньої лiнiї трапецiї та другої середньої лiнiї трапецiї не iден
тичнi). Закрiплення контрольних моментiв вiдбувається пiд час роз
в’язування усних вправ. Чи є вiдрiзок MN, що зображений на рис. 1,
середньою лiнiєю трапецiї ABCD?
ABCD — трапецiя (BC AD|| );
а) б)
в) г)
QP
O
M
A
B C
N
D
M N
D
B
A
C
3 2
4 2 44
43
C
A
B
D
NM
C
A
B
DN
M
N DA
CB M
д) е)
ж) з)
Рис. 1
вивчення змiсту теореми про властивiсть середньої лiнiї трапецiї
можна провести за пiдручником (форма роботи аналогiчна до тiєї,
що була використана на попереднiх уроках) або розпочати iз задачi
на повторення, яка була задана додому (див. попереднiй урок), i здо
бути формулювання властивостi середньої лiнiї трапецiї як свого
роду наслiдок з доведеної рiвностi трикутникiв. Для допитливих
учнiв можна запропонувати «винайти» iнший спосiб доведення;
закрiплення змiсту теореми про властивiсть середньої лiнiї трапецiї
проводимо пiд час виконання усних вправ;
до властивостi середньої лiнiї трапецiї, що мiститься у формулюваннi
теореми, можна додати властивостi, якi безпосередньо випливають
iз доведеної або з теореми Фалеса (див. конспект 8); загальне форму
лювання цих додаткових властивостей середньої лiнiї трапецiї та її
вiдрiзкiв суттєво спрощує розв’язування багатьох задач (див. уснi
вправи вище).
1. Середини основ трапецiї сполученi вiдрiзком. Чи є вiн середньою
лiнiєю трапецiї?
2. Чи може середня лiнiя трапецiї бути меншою вiд обох її основ;
дорiвнювати однiй з основ?
3. Чи може середня лiнiя трапецiї проходити через точку перетину
дiагоналей?
C
A
B
D
NM
M N
D
B
A
C
2
2
2
3
3
3
C
A
B
D
NM
D
N
C
B
M
A
BM AB
1
2
CN CD
1
2

4. Знайдiть x (рис. 2):
а) б) в) г)
Рис. 2
1. Знайдiть:
а) середню лiнiю трапецiї з основами 8 см i 12 см;
б) основи трапецiї, дiагональ якої дiлить середню лiнiю на вiдрiзки
завдовжки 3 см i 4 см.
2. Основи трапецiї 8 см i 12 см. Знайдiть вiдрiзки середньої лiнiї, які
мiстяться мiж дiагоналями трапецiї.
3. Середня лiнiя трапецiї у 3 рази бiльша за меншу основу i на 8 см
менша за бiльшу основу. Знайдiть основи трапецiї.
4. Основи трапецiї дорiвнюють 10 см i 6 см. Її бiчну сторону подiлено
на 4 рiвнi частини i через точки подiлу проведено прямi, паралельні
основам. Знайдіть довжини відрізків цих прямих, які містяться між
сторонами трапеції.
У наведених твердженнях знайдiть та виправте помилки.
1) Середня лiнiя трапецiї сполучає середини двох сторiн трапецiї.
2) Середня лiнiя сполучає середини основ трапецiї.
3) Середня лiнiя трапецiї сполучає бiчнi сторони трапецiї.
4) Середня лiнiя трапецiї дорiвнює сумi основ.
5) Середня лiнiя трапецiї дорiвнює пiвсумi сторiн трапецiї.
6) Середня лiнiя трапецiї паралельна до сторони трапецiї.
7) Середня лiнiя трапецiї проходить через точку перетину дiагона
лей трапецiї.
Вивчити змiст означення, властивостi та доведення властивостi се
редньої лiнiї трапецiї.
3
x
7 7
x
5 5
x
x 4 7
3
x
1. Знайдiть:
а) середню лiнiю рiвнобедреної трапецiї з бiчною стороною 5 см
i периметром 26 см;
б) основи трапецiї, якщо одна з них бiльша за iншу на 6 см, а серед
ня лiнiя трапецiї дорiвнює 5 см.
2. Знайдiть середню лiнiю трапецiї, якщо її основи дорiвнюють:
а) 7 см i 9 см; в) a i 7a.
3. Знайдiть основу трапецiї, якщо її iнша основа i середня лiнiя вiдпо
вiдно дорiвнюють: а) 9 см i 5 см; б)3a i 7a; в) a i b.
4. Вiдрiзки, на якi дiагональ трапецiї дiлить середню лiнiю, вiдносять
ся як 5:9, а їх рiзниця дорiвнює 12 см. Знайдiть основи трапецiї.
Повторити властивiсть середньої лiнiї трикутника.
Урок № 19
Мета: закрiпити знання учнiв щодо змiсту та способiв доведення
теореми Фалеса, властивостi середньої лiнiї трикутника та середньої
лiнiї трапецiї, а також опорних фактiв, що випливають з цих твер
джень; вiдпрацювати вмiння застосовувати вивченi твердження пiд час
розв’язування задач; провести промiжну дiагностику засвоєння знань
та вмiнь iз теми.
Тип уроку: комбiнований.
Наочнiсть та обладнання: конспект № 6–8.
Хiд уроку
Правильнiсть розв’язання домашнiх письмових завдань перевiря
ється пiд час обговорення за рисунками та записами, виконаними за
здалегiдь на дошцi (записи виконує або вчитель, або сильнi учнi).
З метою створення позитивної мотивацiї навчальної дiяльностi
учнiв на уроцi пропонуємо розглянути рисунок 1 та дати вiдповiдi на за
питання.

Запитання та завдання
1. Якi вiдомi вам геометричнi фiгури ви
бачите на рис. 1?
2. Чи можна сказати, що вiдрiзки MN i PQ
є середнiми лiнiями трикутника ABC?
3. Назвiть на рис. 1 фiгуру, для якої вiдрi
зок MN є стороною. Назвiть фiгуру, для
якої вiдрiзок MN є середньою лiнiєю;
запишiть рiвнiсть, що виражає влас
тивiсть середньої лiнiї з названої фiгури
для вiдрiзка MN.
4. Назвiть фiгуру, для якої вiдрiзок PQ є стороною. Назвiть фiгуру, для
якої вiдрiзок PQ є середньою лiнiєю; запишiть вiдповiдну рiвнiсть
для вiдрiзка PQ.
5. Порiвняйте вiдповiдi на запитання, зробiть висновок.
Виконання запропонованого завдання допоможе учням усвiдо
мити, що в задачах, де мова йде про подiл сторiн трикутника (чотири
кутника) паралельними прямими на рiвнi вiдрiзки можливе застосу
вання властивостей середньої лiнiї як трикутника, так i трапецiї,
причому один i той самий вiдрiзок може вiдiгравати роль як основи,
так i середньої лiнiї.
Тому неабияке значення має питання про формування вмiнь видi
ляти в таких задачах вивченi об’єкти (середнi лiнiї трикутникiв та тра
пецiй) i про вiдпрацювання вмiнь застосовувати вивченi властивостi
середнiх лiнiй у взаємозв’язку, обумовленому умовою задачi. Ця теза
виражає основну мету уроку.
Щоб пiдготуватися до оволодiння вмiннями взаємозв’язаного ви
користання властивостей середнiх лiнiй трикутника та трапецiї, учням
слiд активiзувати знання i вмiння щодо змiсту теореми Фалеса, озна
чення та властивостей середньої лiнiї трикутника та середньої лiнiї
трапецiї.
Цю роботу можна провести в такiй формi: до уваги учнiв пропо
нується серiя рисункiв (рис. 2), за якими вони мають скласти якомога
бiльше правильних тверджень, що мають вiдношення до теми.
M
C
3
Q
B
A
5
N
5
P
3
3 5
Рис. 1
а) б) в)
Рис. 2
V. Застосування знань
Задача 1. Через точки, якi дiлять бiчну сторону трапецiї на три рiвнi
частини, проведено прямi, паралельнi основам трапецiї. Знайдiть дов
жини цих прямих, що мiстяться всерединi трапецiї, якщо її основи
дорiвнюють 2 м i 5 м.
Розбираємо розв’язання задачi за пiдручником, складаємо план
розв’язання. Складений план є орiєнтовною схемою дiй пiд час розв’я
зування аналогiчних задач.
Задача 2. Сторону AB трикутника ABC подiлено на три рiвних части
ни. Через точки подiлу проведено прямi, паралельнi сторонi BC. Наймен
ший з утворених вiдрiзкiв дорiвнює 3 см. Знайдiть довжину сторониBC.
Розв’язуємо задачу 2, узагальнюємо спосiб її розв’язання. Порiв
нюємо складенi схеми та узагальнюємо їх.
VI. Засвоєння вмiнь та навичок
1. Сторона AB трикутника ABC дорiвнює 12 см. Сторону BC подiлено
на 3 рiвнi частини i через точки подiлу проведено прямi, паралельнi
сторонi AB. Знайдiть довжини вiдрiзкiв прямих, якi мiстяться мiж
сторонами трикутника.
2. Бiчну сторону трапецiї подiлено на 6 рiвних частин. Через точки
подiлу проведено прямi, паралельнi основам. Перший i останнiй iз
вiдрiзкiв цих прямих, обмежений бiчними сторонами трапецiї,
вiдповiдно дорiвнюють 4 см i 8 см. Знайдiть основи трапецiї.
3. Пряма, яка паралельна основi рiвнобедреного трикутника i прохо
дить через середину бiчної сторони, вiдтинає вiд даного трикутника
трапецiю. Знайдiть її периметр, якщо периметр даного трикутника
дорiвнює 26 см, а основа вiдноситься до бiчної сторони як 5:4.
4. Як побудувати трикутник, якщо задано середини його сторiн?
QP
O
M
A
B C
N
D
B
A C
N
K
MB1
X
A
C1
A1
C
B

Варiант 1
1. На рис. 1 AA BB CC1 1 1
|| || , AC 8 см. Знайдiть x, y i z.
2. На рис. 2 AC KL MN|| || . Знайдiть x i y.
3. На рис. 3 ABCD — трапецiя. Знайдiть PABCD
.
Варiант 2
1. На рис. 1 AA BB CC1 1 1
|| || , OB1
12 см. Знайдiть x, y.
2. На рис. 2 AC KL MN|| || . Знайдiть x, y.
3. На рис. 3 ABCD — трапецiя. Знайдiть PABCD
.
Повторити змiст теоретичного матерiалу.
Виконати домашню самостiйну роботу.
1. Два кути трапецiї дорiвнюють 120° i 80°. Знайдiть невiдомi кути тра
пецiї.
2. Знайдiть середню лiнiю рiвностороннього трикутника з перимет
ром 54 см.
M
C
z
L
B
A
x N
10
K
A1
O
y
y
K
8 N
x
B
M
C
B
A
B1 C1
y
x
x y C1
B1
A1
O
C
B
A
z
75
K
M
A
B C
N
D
D
N
CB
A
M
K
6
4
CA
L
3. Дiагоналi трапецiї дiлять її середню лiнiю на три рiвнi частини. Знай
дiть меншу основу трапецiї, якщо бiльша основа дорiвнює 48 см.
4. Бiчна сторона трапецiї дорiвнює меншiй основi. Доведiть, що дiаго
наль трапецiї лежить на бiсектрисi її гострого кута.
Урок № 20
Градусна мiра дуги. Вписаний кут
Мета: домогтися засвоєння учнями змiсту понять: плоский кут
(у неявному виглядi), центральний кут, дуга кола, що вiдповiдає дано
му центральному куту, градусна мiра дуги кола, вписаний кут,— а та
кож засвоєння учнями змiсту властивостi вписаного кута (про вимiрю
вання вписаного кута).
вiдтворювати змiст вивчених тверджень;
знаходити на готовому рисунку вивченi поняття;
виконувати правильнi зображення вивчених понять за даним описом;
розв’язувати задачi iз використанням вивчених тверджень на обчис
лення градусної мiри вписаних та центральних кутiв.
Наочнiсть та обладнання: схема.
Хiд уроку
І. Органiзацiйний момент
Перевiрка правильностi виконання письмової частини домашньо
го завдання вiдбувається пiд час перевiрки зошитiв iз виконаною до
машньою самостiйною роботою. На уроцi для зворотного зв’язку вчи
тель лише оголошує правильнi вiдповiдi (за необхiдностi видає учням
правильнi розв’язання для виконання роботи над помилками вдома).
Для розумiння логiки вивчення матерiалу (як це правильно заува
жують автори пiдручника) можна звернутись до схеми логiчної побу
дови курсу геометрiї 7 класу, а потiм скласти вiдповiдну схему для
вiдображення логiки вивчення матерiалу у 8 класi. Результат може
мати такий вигляд (див. схему).

Схема
а)
б)
Пiсля усвiдомлення учнями логiки вивчення матерiалу на наступнi
три уроки, вчитель має пояснити, що для вивчення випадкiв взаємного
розташування чотирикутника вiдносно кола необхiднi знання додатко
вого матерiалу (без його розумiння неможливе вивчення поняття чоти
рикутника, вписаного та описаного навколо кола).
Отже, метою уроку якраз i є вивчення понять, пов’язаних iз кутами
в колi, а також дослiдження способiв їх застосування на практицi.
Для свідомого засвоєння учнями означення, властивостi та спосо
бу доведення властивостi центрального та вписаного кiл слiд активiзу
вати знання i вмiння учнiв щодо означення кола та властивостей то
чок, що належать колу; означення кута та властивостей вимiрювання
кутiв; означення та властивостей зовнiшнього кута трикутника; понят
тя кола, описаного навколо трикутника та його властивостей.
1. Продовжимо всi радiуси кола на одну й ту саму довжину (у бiк, проти
лежний щодо центра). Яку лiнiю утворять їх кiнцi? Вiдповiдь пояснiть.
Означення
Трикутник
Трикутник
i коло
7 клас
сторiн, кутiв,
медiан, висот
бiсектрис
сторiн, кутiв,
бiсектрис, дiаго
налей, середнiх
лiнiй
8 клас
Чотирикут
ник i коло
Чотирикутник
Означення
2. O — центр кола, AB BC (рис. 1). Доведiть, що 1 2.
3. Назвiть на рисунку 2 найбiльший кут.
4. Назвiть трикутники, для яких CDF є зовнiшнiм (рис. 3); BDF
є зовнiшнiм.
5. У трикутнику ABC центр описаного кола лежить на медiанi AD. Що
можна сказати про цей трикутник?
V. Засвоєння вмiнь та навичок
1. Розширення поняття кута.
2. Центральний кут: означення, вимiрювання.
3. Градусна мiра дуги.
4. Означення вписаного кута. Дуга, на яку спирається вписаний кут.
5. Теорема про вписаний кут: формулювання i доведення.
Вивчення питання про кути в колi за новим пiдручником ве
деться традицiйним способом (див. План вивчення нового
матерiалу). Це стосується означень понять «центральний кут»,
«дуга кола, що вiдповiдає даному центральному куту», «градус
на мiра дуги кола», «вписаний кут», а також формулювання та
способу доведення теореми про вписаний кут. Але, на вiдмiну
вiд традицiйного пiдручника, автори нового посiбника уника
ють використовувати поняття плаского кута, замiнивши його
на поняття кута, який може мати градусну мiру, що перевищує
180° (тобто поняття плаского кута дається на iнтуїтивному
рiвнi). Також автори уникають поняття «доповняльнi пласкi
кути» (хоча неявно обумовлюють, що кут дiлить площину на
двi частини, тобто декларується iснування двох кутiв на рис. 58
пiдручника). Тому пiд час вивчення нового матерiалу, щоб
O
1
B
C
2
A
O
C
BA
D
B
D
C
A
F

уникнути плутанини в поняттях учнiв, учителевi одразу слiд
пояснити, що на уроцi мова йде про кути як частини площини,
а тому на вiдмiну вiд кутiв як геометричних фiгур, що склада
ються з двох променiв, які виходять з однiєї точки, названi кути
будуть мати деякi особливi властивостi (наприклад, можуть
мати градусну мiру, бiльшу на 180°).
Подальше вивчення матерiалу уроку проводиться вiдповiдно до
пiдручника за записаним вище планом.
1. На кожному з рисункiв знайдiть та назвiть:
а) центральний кут;
б) дугу, що вiдповiдає центральному куту;
в) вписаний кут, що спирається на цю дугу.
а) б) в) г)
2. Визначте, чи є вписаний кут ABC гострим, прямим або тупим, якщо:
а) дуга ABC менша вiд пiвкола;
б) дуга ABC бiльша за пiвколо;
в) дуга ABC дорiвнює пiвколу.
3. Сторона вписаного кута проходить через центр кола. Чи може кут
бути тупим; прямим?
1. Накреслiть коло iз центром i позначте на ньому точки A, B i C.
а) Видiлiть двома кольорами доповняльнi плоскi кути, утворенi
променями OA i OC.
б) Яким кольором видiлено кут, що вдвiчi бiльший за кут ABC?
в) Позначте на колi точку D так, щоб вписанi кути ABC i ADC були
рiвнi.
O
m
B
C
A
O
B
C
A
A
C
B
O
A
C
B
O
m
n
nk
D
1. Знайдiть доповняльнi плоскi кути, якщо:
а) один з них бiльший за iнший на 120°;
б) їх градуснi мiри вiднося
ться як 2:7.
2. За даними рисунка 1 знай
дiть градусну мiру x (точка
O — центр кола).
3. На колi позначено точки A,
B, C i D. Знайдiть кут ABC,
якщо ADC . Скiльки
розв’язкiв має задача?
Знайдiть помилки на рисунку 2.
а) б) в)
Рис. 2
Вивчити змiст теоретичних тверджень та доведення теореми про
вписаний кут.
1. Знайдiть градусну мiру дуги, яка складає:
а) чверть кола; б) третину кола; в)
5
18
кола.
2. За даними рисунка знайдiть градусну мiру x (точ
ка O — центр кола).
3. Хорда AC дiлить коло на двi дуги, градуснi мiри
яких вiдносяться як 11:7. Знайдiть кут ABC, як
що точка B лежить на бiльшiй дузi.
O
140°
x 150°
O
а) б)
Рис. 1
O
B
C
A
A
C
B
O
A
C
B
O
120°
x
x
20°
O
40°
60° 60°
30°

Урок № 21
Наслідки з теореми про вписаний кут. Розв’язування
задач
Мета: домогтися засвоєння учнями змісту наслідків із теореми про
вписаний кут та способів їх доведення.
Сформувати вміння:
відтворювати зміст вивчених тверджень;
знаходити на рисунку об’єкти, властивість яких описується цими
наслідками;
використовувати вивчені твердження під час розв’язування задач на
обчислення кутів у колі.
Наочність та обладнання: конспект «Кути в колі».
Хід уроку
І. Організаційний етап
ІІ. Перевірка домашнього завдання
Перевірку опанування учнями способів дій, вивчених на попе
редніх уроках, можна провести у формі самостійної роботи.
Самостійна робота
Варіант 1
1. Вершини трикутника ABC ділять коло у від
ношенні 2:3:4. Знайдіть кути цього трикут
ника.
2. За рисунком знайдіть кут x (O — центр кола),
21 , 49 .
Варіант 2
1. Вершини трикутника ABC ділять коло у від
ношенні 1:3:5. Знайдіть кути цього трикут
ника.
2. За рисунком знайдіть кут x (O — центр кола),
19 , 47 .
ІІІ. Формулювання мети і завдань уроку
Задача. Три футболісти пробивають штрафні удари по воротах із
точок A, B і C (рис. 1). У кого з них кут обстрілу воріт найбільший?
x
O
O
x
Під час обговорення розв’язання задачі не
обхідно перейти до її математичної моделі та
сформулювати проблему (як порівняти вписані
кути, що спираються на одну й ту саму дугу?)
Зрозуміло, що розв’язання цієї проблеми
у вигляді деякого правильного твердження для
вписаних кутів із наступним доведенням цього
твердження, а також оволодіння способами за
стосування цього твердження і є основною метою
уроку.
IV. Актуалізація опорних знань
Фронтальна бесіда
1. Вершина кута лежить на колі. Чи обов’язково цей кут є вписаним
у коло?
2. Сторони кута перетинають коло. Чи обов’язково цей кут є вписа
ним у коло? Чи може цей кут бути центральним кутом?
3. AB і BC — хорди кола із центром у точці O. Що можна сказати про
кут ABC і AOC? Запишіть правильну рівність для градусних мір цих
кутів.
4. Точки A і B лежать на колі. Вписаний кут ACB дорівнює 90°. Чим
є хорда AB?
План вивчення матеріалу
1. Наслідок 1.
4*. Додаткові наслідки. Кути в колі.
Зміст та послідовність вивчення наслідків теореми про вписа
ний кут логічно обумовлені: наслідок 1 (про вписані кути, що
спираються на одну й ту саму дугу) ґрунтується безпосередньо
на твердженні теореми про вписаний кут. Доведення наслідку 2
(про вписаний кут, що спирається на півколо) можна розгляда
ти як особливий випадок наслідку 1 (коли дуга кола має градус
ну міру 180°). Що стосується наслідку 3 (про центр кола, описа
ного навколо прямокутного трикутника, та довжину медіани
C
Рис. 1
B
A

прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи), то дове
дення цього твердження стає очевидним під час розгляду ри
сунка до наслідку 2 (див. рис. 64 підручника). Після доведення
наслідку 3 бажано розглянути цікавий факт для прямокутного
трикутника (медіана прямокутного трикутника, проведена до
гіпотенузи, ділить прямий кут на кути, що дорівнюють гострим
кутам прямокутного трикутника), який бажано зафіксувати в зо
шитах учнів як опорний факт. Зміст основних наслідків з теоре
ми про вписаний кут міститься в конспекті «Кути в колі».
Конспект 9
Кути в колі
AOB — центральний кут,
AOB AB
Центральний кут вимірюється
дугою, на яку він спирається
ABC — вписаний кут,
ABC AC AOC
1
2
1
2
Вписаний кут вимірюється полови
ною дуги, на яку він спирається,
і дорівнює половині центрального
кута, що спирається на ту саму дугу
ABC ADC AKC
Вписані кути, які спираються на
одну й ту саму дугу, рівні між собою
ABC ADC 90
Вписаний кут, який спирається на
діаметр, дорівнює 90°
О
D
C
B
A
A
B
O
C
A
DB
K
C
B
A
O
O
B
A
MA — дотична, MB — січна
AMB MnB
1
2
AB і CD — хорди
AMC AC DB
1
2
VI. Формування первинних умінь
1. Чи можуть два вписані кути дорівнювати один одному, якщо вони
не спираються на одну дугу?
2. Чи можуть вписані кути ABC і AB C1
не дорівнювати один одному?
Наведіть приклад.
3. Чи може: а) кут, сторони якого перетинають коло в кінцях діамет
ра, бути гострим; б) кут із вершиною на колі, сторони якого пере
тинають коло в кінцях діаметра, бути гострим?
4. Дано: AB — діаметр, AC AD (рис. 2). Доведіть, що 1 2.
5. Дано: AB — діаметр, AC — хорда (рис. 3). Доведіть, що BOC BAC2 .
6. Дано: O — центр кола, AC AO (рис. 4). Знайдіть кут BAC.
1. Трикутник ABC вписаний у коло, центр якого лежить на відрізку
AB. а) Знайдіть кут B, якщо A 65 . б) Знайдіть медіану, проведе
ну з вершини C, якщо AB 12 см.
M
M
B
A
C
A D
B
n
О
D
B
A
1
2
C
C
A
B
О О
B
A
C

2. За даними рисунка 5 знайдіть кут x
(точка O — центр кола).
3. На колі позначено точки A, B і C, при
чому AC — діаметр кола, BCA 60 ,
BC 4 см. Знайдіть радіус кола.
4* (опорна). Кут між хордою і дотичною
до кола, проведеною через кінець хор
ди, вимірюється половиною дуги, яка
лежить усередині цього кута. Доведіть.
5* (опорна). а) Дуги кола, які містяться між двома паралельними хор
дами, рівні. Доведіть. б) Рівні хорди стягують дуги з однаковою гра
дусною мірою, і навпаки: дуги з однаковою градусною мірою
стягуються рівними хордами. Доведіть.
VII. Підсумки уроку
Знайдіть на рисунку 6 помилки.
а) б) в)
Рис. 6
Вивчити зміст наслідків.
Розв’язати задачі.
1. Гіпотенуза прямокутного трикутника
дорівнює 10. Чи може висота, проведена
до неї, дорівнювати 6? Відповідь обґрун
туйте.
2. За даними рисунка знайдіть кут x (точка
O — центр кола).
3. Знайдіть менший катет прямокутного
трикутника, якщо його медіана дорівнює
9 см і утворює з гіпотенузою кут 60°.
45°
Рис. 5
x
15°
85°
x
О
О
70
60° 50° 35°
120°
Урок № 22
Вписані чотирикутники. Описані чотирикутники
Мета: працювати над засвоєнням учнями змісту понять: чотири
кутник, вписаний у коло; чотирикутник, описаний навколо кола; роз
глянути зміст теорем про вписаний та описаний чотирикутники та схе
ми їх доведення.
відтворювати вивчені твердження;
виконувати рисунок за описом;
використовувати вивчені теореми під час розв’язування теореми на
чотирикутники.
Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок.
Наочність та обладнання: конспект «Вписаний і описаний много
кутники».
Хід уроку
З метою економії часу перевірка домашнього завдання проводить
ся у формі бесіди за готовими рисунками (рисунки до домашніх задач
учитель виконує на дошці заздалегідь; також можна записати схеми
розв’язання задач). Бесіда проводиться під керівництвом учителя,
який ставить питання на розуміння учнями обґрунтування основних
етапів розв’язання задач.
Учитель нагадує про складену на 20 му уроці схему, в якій відобра
жено логіку викладення навчального матеріалу з теми «Чотирикутни
ки». Після цього формулюється основна мета уроку — вивчення пи
тання про спосіб визначення поняття чотирикутника, вписаного
в коло та описаного навколо кола, з’ясування можливостей вписати
чотирикутник у коло або описати чотирикутник навколо кола та не
обхідних й достатніх умов, за яких це можна зробити.
Для успішного засвоєння учнями означення, властивості, ознаки та
способів доведення теорем про вписаний та описаний чотирикутники

слід активізувати знання і вміння учнів щодо означення та властивості
дотичної до кола та наслідку з неї (властивість відрізків дотичних); тео
реми про бісектрису кута.
1 Дано: BC — дотична, O — центр
кола, AB AC. Довести: OB OC
2 Дано: O — центр кола, 1 45 .
Знайти: кут 2
3 Дано: MH — дотична, 1 2. До
вести: AB AC
4 Дано: O — центр кола, AB і AC —
дотичні. Довести: AB AC
5 Дано: O — центр кола, 1 30 . До
вести: AOC — рівносторонній
C
A
B
B C
О
A
1
О
B
A
C
О
B
A
C
1
2
2
M H
О
1
C
A
B
О
План вивчення матеріалу
1. Означення чотирикутника, вписаного в коло.
2. Теорема про вписаний чотирикутник.
3. Наслідки з теореми про вписаний чотирикутник.
4. Означення описаного чотирикутника.
5. Теорема про описаний чотирикутник.
6. Наслідки з теореми про описаний чотирикутник.
За новою програмою з математики для дванадцятирічної школи
учні мають не тільки оволодіти змістом та вміти застосовувати
в розв’язуванні задач означення та теореми про вписаний і опи
саний чотирикутники, а й доводити ці теореми. Але, з огляду на
достатньо високий рівень складності доведення теорем, що ви
ражають ознаки вписаного й описаного чотирикутників
(у підручнику цей факт зафіксовано за допомогою відповідного
умовного позначення), вимагати від учнів відтворення дове
дення названих ознак автор вважає за недоцільне.
Під час формування знань учнів (за наведеним вище планом)
учителю слід приділити увагу таким моментам:
під час вивчення означень вписаного (описаного) чотирикутника
робимо акцент на тому, що тільки у випадку, коли всі вершини (сто
рони) чотирикутника лежать на колі (дотикаються до кола), даний
чотирикутник буде називатися вписаним у коло (описаним навколо
кола); на цьому етапі доцільно обговорити з учнями властивості чо
тирикутників та їх елементів, що пов’язані з колом (вершини чоти
рикутника, вписаного в коло, рівновіддалені від центра кола;
відрізок, що з’єднує центр кола з будь якою вершиною, є радіусом
кола; для чотирикутника, описаного навколо кола, рівновіддалени
ми від центра кола будуть сторони, тобто перпендикуляр, проведе
ний із центра кола, вписаного в чотирикутник, до сторони чотири
кутника, і є радіусом цього кола); для закріплення цих фактів
пропонується виконати завдання.
Завдання. На якому із наведених рисунків зображено чотирикут
ник ABCD:
а) вписаний у коло;
б) описаний навколо кола?

а) б) в) г)
д) е) ж)
Для таких чотирикутників назвіть радіуси кіл(описаного або впи
саного).
Вивчивши зміст теорем (які виражають, по суті, критерії вписаного
та описаного трикутників, тобто необхідну та достатню умови) про
вписаний (описаний) чотирикутник, слід звернути увагу учнів на те,
що можливі два випади їх застосування: по перше, для визначення
того, чи можна даний чотирикутник вписати в коло (описати навко
ло кола); по друге, щоб записати відповідне співвідношення для
протилежних кутів (сум протилежних сторін) чотирикутника. З ме
тою закріплення цих тверджень учні розв’язують усні вправи.
1. У який прямокутник можна вписати коло? Навколо якого ромба
можна описати коло?
2. Чи можна описати коло навколо чотирикутника, який має лише
один прямий кут; лише три прямі кути?
Для практичних потреб найбільшу цінність мають наслідки з теорем
про вписаний та описаний чотирикутники, а також опорні задачі.
Задача 1. Центр кола, описаного навколо прямокутника, є точкою
перетину його діагоналей.
Задача 2. Центр кола, вписаного в ромб, є точкою перетину його
діагоналей, а радіус кола дорівнює половині висоти ромба.
Задача 3. Радіус кола, вписаного в трапецію, дорівнює половині її
висоти.
A
B
C
DA
B C
D
D C
BA
D
CB
A
D
CB
A
B
A
D C
O
OO
O
O
O
D
CB
A
O
K
P
N
M
Отже, після визначення видів чотирикутників, які можна вписати
або описати, необхідно розглянути питання про положення центра
описаного (вписаного) кола та співвідношення між елементами (сто
ронами, висотами) чотирикутників та радіусом описаного (вписаного)
кола. Відповідні записи учні повинні зробити в зошитах.
Конспект 10
Вписаний і описаний многокутники
(вписане і описане кола)
Вписаний — усі вершини лежать на
колі
Описаний — усі сторони є дотичними
до кола.
S
P r
опис.
2
,
де P — периметр, r — радіус вписа
ного кола
Вписаний та описаний чотирикутники
A C 180 ,
B D 180
І навпаки: якщо сума протилежних
кутів чотирикутника дорівнює 180°,
то навколо нього можна описати
коло
AB CD BC AD
(суми довжин
протилежних сторін рівні)
І навпаки: якщо суми довжин про
тилежних сторін випуклого чотири
кутника рівні, то в нього можна
вписати коло
D
C
B
AA
B
C
D
R
O
r
O
O
O

R d
1
2
1. Якщо паралелограм вписано
в коло, то він прямокутник.
2. Центр кола, описаного навколо
прямокутника, — точка перетину
діагоналей
Трапеція і ромб
Якщо ABCD — вписана трапеція, то
AB CD
d hвпис. кола
O — точка перетину бісектрис
внутрішніх кутів.
AOB COD 90
Квадрат
R d
a
опис.
1
2
2
2
r aвпис.
1
2
1. Чи можна описати коло навколо прямокутної трапеції?
2. У трапеції три сторони рівні. Чи можна в таку трапецію вписати ко
ло? Чи можна навколо такої трапеції описати коло?
B
A
R
d
D
C
O
r
a
a
d
a r
a
O
O
O O
D
C
A
B
D
CB
A
O
1. Визначте, чи можна описати коло навколо чотирикутника ABCD,
якщо кути A, B, C, D дорівнюють відповідно:
а) 90°, 90°, 20°, 160°; б) 5°, 120°, 175°, 60°.
2. Знайдіть невідомі кути:
а) вписаного чотирикутника, якщо два з них дорівнюють 46° і 125°;
б) вписаної трапеції, якщо один із них дорівнює 80°;
в) вписаного чотирикутника, діагоналі якого точкою перетину ді
ляться навпіл.
3. Знайдіть периметр:
а) описаного чотирикутника, три послідовні сторони якого дорів
нюють 7 см, 9 см і 8 см;
б) описаної трапеції, бічні сторони якої дорівнюють 3 см і 11 см.
4. Рівнобедрена трапеція описана навколо кола. Знайдіть середню
лінію трапеції, якщо її бічна сторона дорівнює 7 см.
5. Діагональ ромба, що виходить з вершини кута 60°, дорівнює 24 см.
Знайдіть радіус кола, вписаного в ромб.
Засвоєння учнями змісту основних тверджень перевіряємо під час
виконання завдання.
Які помилки допущено в зображенні чотирикутників (див. рис.)?
а) б) AB 5 см, BC 5 5, см
в) O — центр
кола;
ABCD — тра
пеція
г)
A
B
C
D
O
K
P
N
M
4
4
33
3
B
A D
C
O
5
5
6
6
B
A D
C
120°
60°
110°
70°
D
CB
A
O
K
P
N
M

Вивчити зміст теоретичного матеріалу.
Виконати домашню самостійну роботу.
Домашня самостійна робота
1. У трикутнику ABC точки M і N — середи
ни сторін AB і BC відповідно. Периметр
трикутника ABC дорівнює 22 см. Знайдіть
периметр трикутника MBN.
2. На рисунку ABB A AB1 1
180 . Знай
діть периметр чотирикутника ABB A1 1
.
3. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, основа якого стягує п’я
ту частину дуги описаного кола. Розгляньте всі можливі випадки.
Урок № 23
Підсумковий урок
Мета: повторити, систематизувати та узагальнити знання учнів
щодо змісту:
означення, ознак та властивостей трапеції;
теореми Фалеса;
означення та властивостей кутів у колі.
Повторити, систематизувати та узагальнити вміння учнів застосо
вувати вивчені твердження для:
виконання зображень геометричних об’єктів за даним описом;
«читання» рисунків;
побудови правильних міркувань під час розв’язування задач різних
типів.
Тип уроку: узагальнення та систематизація знань.
Наочність та обладнання: конспекти № 5–10.
Хід уроку
З метою економії часу ретельній перевірці підлягають лише задачі
високого та достатнього рівнів складності.
9 B1
8
A1
A
B
7
O
Основна дидактична мета та завдання на урок логічно випливають
із місця уроку в темі. Оскільки урок є останнім, підсумковим, то вини
кає необхідність повторення, узагальнення та систематизації набутих
знань, умінь під час вивчення теми.
Таке формулювання мети створює відповідну мотивацію діяль
ності учнів.
IV. Повторення та систематизація опорних знань
Залежно від рівня підготовки учнів проведення цього етапу
уроку вчитель може організувати різними способами: як са
мостійну роботу з теоретичним матеріалом (наприклад, за
підручником або конспектом теоретичного матеріалу по
вторити зміст основних понять теми або ж скласти схему, що
відображає логічний зв’язок між основними поняттями теми,
тощо), провести традиційне опитування (у формі інтерактивної
вправи) за основними питаннями теми, запропонувати учням
тестові завдання.
Тестові завдання
1. Закінчіть речення так, щоб утворилося правильне твердження.
У будь якій трапеції…
а) діагоналі точкою перетину діляться навпіл;
б) дві сторони паралельні;
в) дві сторони рівні;
г) діагоналі рівні.
Периметр трикутника, утвореного середніми лініями трикутника
ABC, дорівнює…
а) периметру трикутника ABC;
б) подвоєному периметру трикутника ABC;
в) половині периметра трикутника ABC;
г) двом третинам периметра трикутника ABC.
Вписаний прямий кут спирається на…
а) дугу, що дорівнює чверті кола;
б) дугу, що дорівнює третині кола;

в) півколо;
г) дугу 90°.
4. Один із кутів прямокутної трапеції дорівнює 50°. Знайдіть
найбільший кут цієї трапеції.
а) 50°; б) 90°; в) 120°; г) 130°.
5. У вписаному чотирикутнику ABCD кут B — найбільший. Назвіть
найменший кут чотирикутника.
а) Кут A; б) кут C; в) кут D; г) визначити неможливо.
6. Сторони описаного чотирикутника дорівнюють 5 см, 6 см і 7 см.
Знайдіть довжину четвертої сторони, якщо вона є найменшою сто
роною чотирикутника.
а) 6 см; б) 3 см; в) 4 см; г) 1 см.
7. За даними рисунка знайдіть DE, якщо
прямі l та m паралельні, AE більше за DE
на 8 см.
а) 8 см; б) 16 см; в) 4 см; г) 10 см.
V. Повторення та систематизація вмінь
Зазвичай цей етап уроку проводиться у формі групової роботи,
мета якої полягає в тому, щоб учні самі сформулювали та ви
пробували узагальнену схему дій, якої вони мають дотримува
тися під час розв’язування типових завдань, подібні до яких бу
дуть винесені на контроль.
Тому перед виконанням практичного завдання проводиться робота
з виділення основних видів задач на застосування вивчених у темі по
нять. Такими видами можуть бути задачі на:
обчислення кутів трапеції;
обчислення сторін (периметра), висот, середньої лінії трапеції;
обчислення середньої лінії трикутника;
обчислення кутів у колі;
застосування означень, ознак та властивостей вписаних й описаних
чотирикутників.
Після формування списку основних видів завдань учитель об’єднує
учнів у робочі групи (за кількістю видів завдань), і завдання кожної
з груп формулюється як «Скласти план розв’язання задачі…» (кожна
з груп отримує індивідуальне завдання). На складання плану кожній
групі відводиться певний час, за який учасники групи мають обговорити
D
m8
C
A
B
E
l
план розв’язання, записати його у вигляді послідовних кроків, реалізу
вати та підготувати презентацію своєї роботи. По закінченні відбу
вається обговорення складених планів: учитель або учні (інших груп)
пропонують змінити яку небудь із даних величин і пояснити, як зміни
ться розв’язання задач. Після обговорення — обов’язкова корекція.
V. Підсумки уроку
Підсумком уроку узагальнення та систематизації знань і вмінь
учнів є, по перше, складені ними узагальнені схеми дій під час розв’я
зування типових завдань, по друге — здійснення учнями необхідної
частини свідомої розумової діяльності — рефлексії — відображення
кожним учнем сприйняття своїх успіхів, та найголовніше — проблем,
над якими слід ще попрацювати перед контрольною роботою.
Повторити зміст вивчених понять теми.
Вивчити складені на уроці схеми дій.
Розв’язати задачі домашньої контрольної роботи.
Домашня контрольна робота
1. У рівнобедреній трапеції протилежні кути відносяться як 2:7. Знай
діть кути трапеції.
2. За даними рисунка знайдіть AB1
, якщо a b|| ,
AC C C1 1 2 , AB2 12 см.
3. Середня лінія відтинає від даного трикут
ника трикутник, периметр якого дорівнює
17 см. Знайдіть периметри даного трикут
ника і трикутника, утвореного його серед
німи лініями.
4. У рівнобедреній трапеції з кутом 45° відрізки,
що сполучають середину більшої основи
з вершинами тупих кутів, перпендикулярні до
бічних сторін. Знайдіть середню лінію тра
пеції, якщо її менша основа дорівнює 4 см.
5. За даними рисунка знайдіть кут x.
6. У рівнобедрену трапецію вписано коло, яке ділить бічну сторону на
відрізки у відношенні 9:16. Знайдіть довжину цих відрізків, якщо
середня лінія трапеції дорівнює 50 см.
B2
B1
aC1
bA C2
x
30°
O50°

Урок № 24
Мета: перевірити рівень засвоєння учнями знань змісту основних
понять теми; якість сформованих умінь застосовувати набуті знання
для зображення фігур за умовою задачі, а також під час розв’язування
стандартних та нестандартних задач.
Тип уроку: перевірка та корекція знань, умінь і навичок.
Хід уроку
Зібрати зошити з виконаною домашньою контрольною роботою
(роботу перевірити та врахувати під час виставлення тематичного бала).
Учитель ще раз може наголосити, що метою контрольної роботи
є демонстрація учнями своїх навчальних досягнень.
Варіант 1
1. Середня лінія рівнобедреного трикутника,
паралельна основі, дорівнює 3 см, а бічна
сторона — 5 см. Знайдіть периметр три
кутника.
2. За даними рисунка знайдіть OB1
.
3. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника,
бічна сторона якого стягує чверть дуги
описаного кола.
4. Доведіть, що периметр описаної трапеції в чотири рази більший за
середню лінію.
Варіант 2
1. Середня лінія рівнобедреного трикутника,
паралельна бічній стороні, дорівнює 4 см,
а основа — 5 см. Знайдіть периметр три
кутника.
2. За даними рисунку знайдіть OB.
15 B1
A1
A
B
7
O
B1
27
A1
A
B
O
3. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого стя
гує шосту частину дуги описаного кола.
4. Доведіть, що середня лінія описаної рівнобедреної трапеції дорів
нює бічній стороні.
Як варіант проведення цього етапу уроку можна запропонувати
(після виконання роботи) оголошення правильних відповідей до за
вдань, виконаних учнями, або роздати учням для опрацювання вдома
(домашній аналіз контрольної роботи) копії правильних розв’язань за
вдань контрольної роботи № 2 (заготовлених учителем заздалегідь).
VI. Домашнє завдання
1. Виконати аналіз контрольної роботи (за розданими розв’язаннями).
2. Повторити зміст теореми Фалеса; означення та ознаки рівності
трикутників, поняття пропорції та її основну властивість.

128 Бабенко С. П. Усі уроки геометрії. 8 клас 129
Тема ІІ. Подібність трикутників
Урок № 25
Узагальнена теорема Фалеса
Мета: сформувати в учнів поняття про відношення відрізків, про
порційні відрізки; сформувати свідоме розуміння учнями змісту тео
реми про пропорційні відрізки (узагальнення теореми Фалеса) та ідеї
її доведення, а також можливість запису теореми у вигляді двох різних
рівностей. Формувати в учнів уміння:
• відтворювати зміст вивчених на уроці тверджень;
• знаходити на рисунку пропорційні відрізки;
• записувати рівність відношень пропорційних відрізків за умовою
задачі для знаходження довжин невідомих відрізків;
• використовувати теорему про пропорційні відрізки для розв’я
зування задачі на побудову четвертого пропорційного відрізка.
Наочність та обладнання: конспект «Теорема Фалеса».
Хід уроку
Оскільки урок є першим у другому розділі курсу геометрії 8 класу
(«Подібність трикутників. Теорема Піфагора»), то на цьому етапі уро
ку доречно буде надати учням інформацію про:
• орієнтовний план вивчення розділу;
• кількість навчальних годин, що відведено для його вивчення;
• приблизний зміст матеріалу;
• основні вимоги до знань та вмінь учнів;
• приблизний зміст завдань, що будуть винесені на контроль.
(Цю інформацію можна помістити на стенді «Довідковоінфор
маційний куточок» у кабінеті математики. З метою економії часу запро
понувати учням для самостійного ознайомлення у позаурочний час).
Якщо на попередньому уроці було запропоновано учням вдома
розв’язання задач контрольної роботи або корекційну роботу тощо),
то правильність виконання цієї роботи вчитель перевіряє, зібравши зо
шити на перевірку (для оцінювання).
Для розуміння учнями логіки вивчення матеріалу та з метою ство
рення мотивації навчальної діяльності учнів на уроці пропонуємо їм
виконати практичну роботу.
Практична робота
1. Виконайте зображення довільного відрізка AB . За допомогою цир
куля та лінійки поділіть відрізок AB на дві частини у відношен
ні 2 : 3. (Точку поділу позначте літерою C ). (Зауваження: під час
виконання побудови використовуємо теорему Фалеса та алгоритм
розв’язання задачі на поділ даного відрізка на n рівних частин.)
2. Виміряйте довжини всіх відрізків ( AB ,
AC , CB , AY , AX , XY ), що утвори
лися на рисунку 1.
3. Обчисліть значення часток: AC BC: ;
AC AB: ; AY XY: ; AY AX: . Порівняй
те здобуті числа. Що ви помітили? Чи
можете ви пояснити здобуті результа
ти?
Виконуючи побудови, що відповідають умові задачі 1, учні дістають
конфігурацію, подібну до тієї, що зображена на рис. 1.
Після виконання вимірювань та обчислень відповідно до умов за
вдань 2 і 3 учні мають помітити, що, незалежно від довжини відрізка
AB та градусної міри кута XAB і незважаючи на неточність вимірю
вань, серед здобутих значень часток довжин утворених відрізків є рів
ні числа, існування яких учні не можуть пояснити. Вчитель пропонує
учням порівняти рис. 1 із рисунком до теореми Фалеса та знайти од
накові й відмінні риси. Після виконання цієї дії учні мають поміти
ти, що, незважаючи на певну схожість (паралельні прямі перетина
ють сторони кута), випадок на рис. 1 не відповідає повністю умові те
ореми Фалеса. Таким чином формулюється проблема. Існує необхід
ність узагальнення теореми Фалеса для випадку, коли паралельні пря
мі перетинають сторони кута, відтинаючи на одній зі сторін довіль
ні відрізки, а також вираження залежності між здобутими відрізками
в алгебраїчній формі. Розв’язування поставленої проблеми є основою
метою цього уроку.


Для успішного засвоєння учнями змісту понять «відношення
відрізків», «пропорційні відрізки», змісту теореми про пропорційні
відрізки (узагальнення теореми Фалеса) та ідеї її доведення, а також
розуміння учнями можливості запису теореми у вигляді двох різних
рівностей учням слід активізувати знання і вміння щодо означення та
властивостей пропорції; змісту теореми Фалеса.
1. Серед записів:
a
b
, a b⋅ , a b: , a b− , a b+ вибрати ті, які можна на
звати відношенням чисел a і b . Що може показувати це відношення?
2. Як називається запис
a
b
c
d
= ? Як називаються числа a , b , c , d
у цьому запису?
3. Відомо, що рівність
a
b
c
d
= є правильною. Які із запропонованих
нижче рівностей є правильними? Чому?
а) ad bc= ; б)
a
c
b
d
= ; в)
c
b
d
a
= ; г)
a b
b
c d
d
+
=
+
; д) d
bc
a
= .
4. а) AK KB: := 2 3 (рис. 2). Знайдіть: AK AB: ; BK AK: ; BK AB: ;
б) BK AB m n: := . Знайдіть AK BK: , AK AB: .
5. Знайдіть NH (рис. 3), якщо AB =10 .
План вивчення нового матеріалу
1. Уявлення про зміст понять «відношення відрізків»; «пропорційні
відрізки».
2. Теоремапропропорційнівідрізки(формулюваннятаідеядоведення).
3. Побудова четвертого пропорційного відрізка.
Як показує досвід, труднощі сприйняття змісту, а звідси застосуван
ня узагальненої теореми Фалеса, виникають тому, що учні не ро

зуміють змісту поняття «пропорційні відрізки». Отже, вивчення но
вого матеріалу слід розпочинати із формування свідомого розумін
ня учнями поняття пропорційних відрізків із наступним закріплен
ням його змісту на прикладах.
За такого способу вивчення матеріалу формулювання теореми про
пропорційні відрізки є простим узагальненням результатів практичної
роботи, тому, перш ніж формулювати твердження теореми, учитель
може запропонувати учням самостійно скласти узагальнене твердження
(виходячи із рівностей, які учні здобули під час виконання практичної
роботи). Вчителю слід наголосити на тому, що виконана побудова не
є доведенням твердження (це лише ілюстрація теореми). Учні мають
розуміти, що складене твердження має бути доведеним. Оскільки строге
математичне доведення узагальненої теореми Фалеса є досить складним
для учнів 8 класу, то надається лише ідея доведення твердження теореми
про пропорційні відрізки із посиланням на доведену раніше теорему
Фалеса. Зауважимо, що, на відміну від традиційного підручника,
у новому підручнику формулюється та доводиться твердження для
відрізків, які послідовно розташовані на кожній зі сторін кута (за такого
підходу до формулювання теореми посилання на теорему Фалеса стає
більш зрозумілим).
Що стосується пропорційності відрізків, які мають спільний кінець
у вершині кута, то в новому підручнику досить оригінально доведено
цей факт через застосування до раніше доведеного твердження однієї
із властивостей пропорції.
Після опрацювання поняття пропорційних відрізків та форму
лювання і доведення теореми про пропорційні відрізки бажано на
прикладах закріпити шляхом складання відповідних пропорцій за
готовими рисунками розуміння учнями змісту теореми.
Якщо учні добре засвоїли теоретичний матеріал, а також демон
струють розуміння змісту теореми та вміння застосовувати його на
прикладах, можна на цьому уроці вивчити схему розв’язання базової
задачі на побудову четвертого пропорційного відрізка.
VI. Закріплення знань, формування первинних умінь
1. Визначте, чи є відрізки завдовжки a і b пропорційними відрізкам
c і d , якщо:
а) a = 8 см, b = 24 см, c = 7 см, d =12 см;
б) a = 9 см, b =14 см, c = 7 см, d =18 см.

2. За даними рисунка 4 знайдіть x , якщо a b|| .
3. Пряма KM паралельна стороні AC трикутника ABC (рис. 5).
Знайдіть відрізок MC , якщо AK = 2 см, KB = 6 см, BM = 9 см.
4. Пряма MN паралельна основам трапеції ABCD (рис. 6). Знайдіть
сторону CD , якщо AM AB: := 4 5 , CN = 3 см.
5. Дано відрізки a , b , c . Побудуйте відрізки: 1)
ab
c
; 2)
a
b
2
.
6. На рис. 7 BE EA: := 4 6 , BD DC: := 6 7 . Знайдіть відношення
CK KE: .
На якому з наведених рисунків допущено помилку в зображенні
паралельних прямих a і b ?
Вивчити теоретичний матеріал.
1. За даними рисунка 8 знайдіть x , якщо a b|| .
2. Пряма KM паралельна стороні AC трикут
ника ABC (рис. 5). Знайдіть відрізок MC ,
якщо AK KB: := 2 3, BC =10 см.
3. Пряма MN паралельна основам трапе
ції ABCD (рис. 6). Знайдіть сторону AB , якщо AM ND: := 3 2 ,
CN = 2 см, AM = 9 см.
��4*. Дано відрізки a , b , c . Побудуйте відрізки: а)
cb
a
; б)
b
c
2
.
Урок № 26
Означення подібних трикутників
Мета: сформувати в учнів уявлення про подібні трикутники; пра
цювати над засвоєнням учнями означення подібних трикутників, зміс
ту поняття коефіцієнта подібності. ��Сформувати вміння:
• відтворювати зміст вивчених тверджень;
• виконувати записи цих тверджень математичною мовою за
допомогою символу «  »;
• використовувати виконані записи для обчислення невідомих
елементів подібних трикутників.
Наочність та обладнання: конспект «Подібність трикутників».
Хід уроку
Цей етап уроку проводимо у формі перевірки домашнього завдання
за зразком або пропонуємо учням виконати тестове завдання.
1. За даними рисунка 1 знайдіть x .
а) 4; б) 8;
в) 9; г) 12.
2. За даними рисунка 2 знайдіть y .
а) 27; б) 24;
в) 30; г) 16.
1. 2.
3. 4.OB = 2 OA
OC =
1
2
OD

Для розуміння учнями вивчення матеріалу
уроку пропонуємо розглянути рис. 3 та дати від
повіді на такі запитання:
1) Які геометричні фігури (крім відрізків)
зображені на цьому рисунку? Назвіть їх.
2) Чи є трикутники ABB1 і ACC1 рівними?
Які елементи цих трикутників відповідно рівні?
Чому ви так вважаєте?
3) Що можна сказати про відповідні сторони AB і AC та AB1
і AC1 цих трикутників?
Здобуті відповіді дають учням можливість усвідомити, що
узагальнена теорема Фалеса приводить до появи іншого, ніж рівність,
виду відношень між фігурами (нового для учнів). Вчителю залишається
сформулювати мету уроку як необхідність вивчення означення цього
нового виду відношень між геометричними фігурами на прикладі
найпростішого многокутника, а також дослідження властивості цього
відношення та оволодіння способами його застосування під час
З метою успішного засвоєння учнями означення, а також доведен
ня властивостей подібних трикутників, учням слід активізувати знання
і вміння щодо понять «рівні трикутники», «відповідні елементи трикут
ників», «периметр трикутника», пригадати властивості кутів трикутника.
Для цього пропонуємо учням виконати усні вправи.
1. Відомо, що ∆ = ∆MAC BDF . Запишіть рівності, що з цього виплива
ють: MC = ...; BD = ...; AC = ...; ∠ =MCA ...; ∠ =BDF ... ; ∠ =CMA ...
2. Яким — гострокутним, прямокутним чи тупокутним — є трикут
ник, якщо:
а) один із його кутів дорівнює сумі двох інших;
б) один із його кутів більший від суми двох інших;
в) один із його кутів менший від суми двох інших?
1. Уявлення про подібні фігури.
2. Означення подібних трикутників.
3. Властивості відповідних елементів подібних трикутників.
Донедавна поняття подібності фігур уводилось після вивчення пе
ретворення подібності, і тому подібні фігури визначали як такі, що
переводяться одна в іншу перетворенням подібності. У чинній про
грамі з математики для дванадцятирічної школи порівняно з про
грамою 11річної школи суттєво змінився порядок вивчення де
яких розділів. Це стосується і розділу «Подібність фігур». З огля
ду на це, поняття подібності фігур у новому підручнику не визна
чається (формується уявлення про подібні фігури на інтуїтивно
му рівні), а одразу формулюється означення подібних трикутників
(раніше розглядалось як наслідок того, що для подібних трикутни
ків виконуються властивості перетворення подібності).
Після формулювання математичною мовою означення подібних
трикутниківкориснозаписати,яквиражаютьсясторониодногозподібних
трикутників через коефіцієнт подібності та сторону іншого трикутника
(тобто якщо в подібних трикутниках ABC і A B C1 1 1
AB
A B
k
1 1
= , то
AB k A B= ⋅ 1 1 ), а також сформулювати властивість, що випливає з рівності
трьох відношень відповідних сторін подібних трикутників: якщо
AB
A B
BC
B C
AC
A C1 1 1 1 1 1
= = , то AB BC AC A B B C A C: : : := 1 1 1 1 1 1 .
Також у новому підручнику порівняно з традиційним підручником
геометрії приділяється набагато більше уваги властивостям подібних
трикутників: вони сформульовані у вигляді опорної задачі та твердження,
що міститься в теоретичній частині (див. с. 106). До властивостей,
сформульованих у підручнику, автор запропонував би додати властивість
радіусів вписаного в трикутник та описаного навколо трикутника кіл
(див. конспект 11). Властивості відповідних лінійних елементів подібних
трикутників можна запропонувати для доведення на уроці або як
додаткове домашнє завдання для «сильних» учнів.
Конспект 11
Подібність трикутників
Означення. Два трикутники називаються
подібними, якщо кути одного з них відповідно
дорівнюють кутам іншого, а відповідні
сторони цих трикутників пропорційні.


∆ ∆ABC A B C 1 1 1
⇔
∠ = ∠A A1 , ∠ = ∠B B1 , ∠ = ∠C C1 ;
AB
A B
BC
B C
AC
A C
k
1 1 1 1 1 1
= = = ,
k — коефіцієнт подібності.
Властивості подібних трикутників
1. Якщо ∆ ∆ABC A B C 1 1 1 і
AB
A B
k
1 1
= , то
P
P
kABC
A B C1 1 1
= .
2. Якщо ∆ ∆ABC A B C 1 1 1 і k — коефіцієнт подібності, то
m
m
l
l
h
h
ka
a
a
a
a
a1 1 1
= = =
R
R
r
r
k
1 1
= =





 .
Ознаки подібності трикутників
Якщо в ∆ABC і ∆A B C1 1 1 :
1) ∠ = ∠A A1 , ∠ = ∠ ⇒ ∆ ∆B B ABC A B C1 1 1 1 ; або
2) ∠ = ∠A A1 і
AB
A B
AC
A C1 1 1 1
= ⇒ ∆ ∆ABC A B C 1 1 1 ; або
3)
AB
A B
BC
B C
AC
A C1 1 1 1 1 1
= = ⇒ ∆ ∆ABC A B C 1 1 1 .
Наслідок. Якщо у ∆ABC : MN AC|| ( MN
перетинає AB і BC ), то ∆ ∆ABC MBN .
1. Відомо, що ∆ ∆ABC KMN . Назвіть відповідно рівні кути цих три
кутників.
2. Трикутник ABC і трикутник з вершинами D , E , F подібні, при
чому
AB
EF
BC
FD
AC
ED
= = . Закінчіть запис ∆ ∆ABC  ...
3. Чи можуть бути подібними прямокутний і тупокутний трикутники?
4. Два трикутники подібні з коефіцієнтом 0,25. У скільки разів сто
рони одного трикутника більші за відповідні сторони іншого?
1. На рисунку 4 ∆ ∆ABC A B C 1 1 1 . За даними рисунка знайдіть x і y .
2. Відомо, що ∆ ∆ABC DEF . Знайдіть кут C , якщо ∠ = °A 45 ,
∠ = °E 110 .
3. Відомо, що ∆ ∆ABC DEF , причому ∠ = °D 70 , ∠ = °B 55 . Доведіть,
що AB AC= .
��4*. Відомо, що ∆ ∆ABC KMN , причому ∠ + ∠ = °A M 90 . Доведіть, що
AB — найбільша сторона трикутника ABC .
5 (додатково). Кут при основі рівнобедреного
трикутника дорівнює 70°. На продовженні
основи взяли точку і з’єднали її з вершиною
даного трикутника. Виявилось, що ∆ADB
подібний до даного трикутника (рис. 5).
Знайдіть кути трикутника CBD .
Два трикутники подібні. Чи відповідають
цьому твердженню наведені умови?
1. Два кути одного трикутника дорівнюють 40° і 60°, а в іншому із
трикутників є кут 80°.
2. Сторони одного із трикутників дорівнюють 1 м, 1,5 м, 2 м, а сто
рони іншого з трикутників дорівнюють 10 м, 15 м, 20 м.
Вивчити означення подібних трикутників та властивості подібних
трикутників (з доведенням).
1. На рисунку 6 ∆ ∆ABC A B C 1 1 1 . За даними рисунка знайдіть x і y .
2. Відомо, що ∆ ∆ABC DEF . Знайдіть кут F , якщо ∠ = °B 80 ,
∠ = ∠A C .

3. Сторони трикутника дорівнюють 2,5 см, 4 см і 5 см. Знайдіть сто
рони трикутника, подібного даному, якщо його найменша сторо
на дорівнює найбільшій стороні даного трикутника.
��4 (додатково). Периметр одного трикутника дорівнює
11
13
периметра
іншого, подібного до нього трикутника. Різниця відповідних сторін
цих трикутників дорівнює 1 м. Знайдіть ці сторони.
Урок № 27
Мета: закріпити знання учнів про зміст узагальненої теореми
Фалеса, а також про означення та властивості подібних трикутни
ків; удосконалювати вміння застосовувати вивчені твердження під час
Тип уроку: комбінований.
Наочність та обладнання: конспекти 6, 11.
Хід уроку
Розв’язання домашніх задач і додаткової задачі учні перевіряють
за записами на дошці, виконаними заздалегідь кількома учнями. Під
час перевірки додаткової задачі звертаємо увагу на такі контрольні
моменти:
1) дане в умові число є не що інше, як коефіцієнт подібності
трикутників, отже, дорівнює відношенню шуканих сторін;
2) оскільки коефіцієнт подібності менший від 1, то сторона першого
трикутника менша, ніж відповідна сторона другого трикутника.
Тому розв’язання задачі зручно виконувати, склавши рівняння:
x x− =
11
13
1 (де x — довжина більшої сторони в метрах).
Мета уроку безпосередьо випливає з його теми. Оскільки на
попередніх уроках було вивчено достатньо великий об’єм навчального
матеріалу, учні мають закріпити знання цього матеріалу, сформувати
сталі вміння виконувати запис рівностей для відповідних геометричних
об’єктів на основі вивчених тверджень, а також розв’язувати задачі із
використанням вивченої теорії.
1. Якщо AB CD MH PK⋅ = ⋅ , то
PK
CD
= ?
CD
MH
= ?
MH
AB
= ?
2. ∆ ∆MHP KBD . Що звідси випливає?
3. Чи можна стверджувати, що довільні
два рівносторонні трикутники подібні?
4. ∆ ∆PKM DAC , k = 2 (рис. 1). Що мож
на знайти?
5. Паралельні прямі m і n перетинають
сторони кута ABC (рис. 2). Знайдіть
довжину відрізка MN , якщо BE = 4 ,
EF =12 , BM = 5 .
6. Паралельні прямі a , b і c перетинають сторони кута MNP (рис. 3).
Знайдіть довжини відрізків CD і MB , якщо AN = 2 , NC = 3 ,
DP = 9 , AB = 4 .
V. Засвоєння вмінь та навичок
1. BB CC DD1 1 1|| || , AB = 5 , BC = 4 , CD =1
(рис. 4). Знайдіть: а) AB B C1 1 1: ; б) AB AD1 1: ;
в) AD B C1 1 1: .
2. Чи подібні трикутники, якщо їхні сторони
дорівнюють:
а) 1 м, 1,5м, 2 м і 10 м, 15 м, 20 м;
б) 2 см, 3 см, 4 см і 6 дм, 4 дм, 8 дм?

3. У трикутнику ABC провели всі середні лінії. Скільки подібних три
кутників утворилось?
4. У трикутнику ABC провели A C AC1 1 || . Знайдіть AC , якщо A C1 1 2= ,
BA1 3= , CA1 6= .
1. Паралельні прямі k і l перетинають сторони
кута MDP (рис. 5). Знайдіть довжину відрізка
AA1 , якщо DA = 8 , BB1 9= , AA DB1 2= .
2. ∆ ∆ABC A B C 1 1 1 . Знайдіть:
а) AC , якщо A C1 1 2= , B C BC1 1 3= ;
б) PABC , якщо AC = 3 , A C1 1 1= , PA B C1 1 1
7= .
3. Доведіть від супротивного, що тупокутний
і рівносторонній трикутники не можуть бути
подібними.
VI. Самостійна робота
Для перевірки якості засвоєння знань та вмінь учнів проводиться
комплексна самостійна робота, яка складається як з теоретичних
питань, так і з практичних завдань.
Варіант 1
1. Чи можуть бути подібними прямокутний і рівнобедрений трикут
ники?
2. Відомо, що ∆ ∆ABC MNK , P PABC MNK∆ ∆ =: :2 3 . Знайдіть відношен
ня NK BC: .
3. На рисунку ∆ ∆ABC A B C 1 1 1 , PABC =15 . Знайдіть x , y і z .
4. Відомо, що ∆ ∆ABC XYZ . Знайдіть кут B , якщо ∠ = °X 123 ,
∠ = °C 18 .
5. Сторони трикутника дорівнюють 18 см, 27 см, 36 см. Знайдіть пе
риметр трикутника, подібного до даного, якщо його найменша сто
рона дорівнює 36 см.
Варіант 2
1. Чи можуть бути подібними рівнобедрений і тупокутний трикут
ники?
2. Відомо, що ∆ ∆ABC MNK , MK AC: := 2 7 . Знайдіть відношення
P PABC MNK: .
3. На рисунку ∆ ∆ABC MNK . Знайдіть x і y .
4. Відомо, що ∆ ∆ABC XYZ . Знайдіть кут X , якщо ∠ = °B 72 ,
∠ = °Z 93 .
5. Сторони трикутника дорівнюють 48 см, 24 см, 56 см. Знайдіть пе
риметр трикутника, подібного до доданого, якщо його найбільша
сторона дорівнює 7 см.
Після виконання завдань самостійної роботи учні здають
розв’язання вчителю і відбувається перевірка розв’язання (за записами
на дошці або із використанням ТЗН чи роздавального матеріалу).
Повторити зміст теоретичних тверджень; означення рівних трикут
ників, а також означення та властивості трапеції.
1. Сторони трикутника дорівнюють 16 см, 12 см і 10 см. Знайдіть пе
риметр трикутника, подібного даному, якщо його найбільша сто
рона дорівнює 8 см.
2. Доведіть за означенням, що будьякі два рівносторонні трикутни
ки подібні.
3. Доведіть, що трикутник з вершинами в серединах сторін даного
трикутника подібний даному. Чому дорівнює коефіцієнт подіб
ності?
4. Через вершину трикутника проведено пряму, яка ділить даний три
кутник на два рівні трикутники. Визначте вид даного трикутника.
Чи може така пряма розділити трикутник на два нерівні, але подіб
ні, трикутники? Висловіть припущення.

Урок № 28
Подібність трикутників за двома кутами
Мета: домогтися розуміння учнями змісту першої ознаки подіб
ності трикутників та наслідку з неї, плану їх доведення. ��Формувати
вміння:
• відтворювати зміст вивченої ознаки та наслідку з неї;
• виділяти у трикутниках елементи для визначення їх подібності за
двома кутами;
• застосовувати формулювання першої ознаки подібності трикутників
до розв’язування задач.
Хід уроку
Під час усного обговорення контрольних моментів задач домаш
ньої роботи учні мають відтворити аргументовані міркування з вико
ристанням означення й властивостей подібних трикутників та їх
лінійних елементів.
З метою створення відповідної мотивації навчальної діяльності
учнів пропонуємо їм відповісти на низку запитань.
1. Які два трикутники називаються рівними? Чи можна довести, ви
користовуючи означення рівних трикутників, що трикутники, зоб
ражені на рис. 1, є рівними? Яке твердження можна для цього ви
користати?
2. Які два трикутники називаються подібними? Чи можна довести,
використовуючи означення подібних трикутників, що трикутни
ки, зображені на рис. 2, є подібними? Чи відомо вам твердження,
яке можна було б для цього використати?
Відповіді на запитання допомагають учням усвідомити, що:
поперше, так само як і означення рівності трикутників, означення
подібності трикутників має певні обмеження під час застосування;
подруге, зважаючи на існування певних аналогій між поняттями
рівності та подібності трикутників та на існування ознак рівності
трикутників, можна припустити, що є ознаки подібності трикутників,
тобто твердження, що за обмеженої кількості даних елементів
трикутників дозволяють установити подібність трикутників.
Отже, вивчення ознак подібності трикутників є загальною метою
наступних трьох уроків. На цьому уроці (див. запитання вище) має бути
встановлено, чи можна стверджувати, що трикутники подібні тільки
за двома кутами, і в разі позитивної відповіді слід оволодіти вміннями
використовувати цю ознаку для розв’язування задач.
З метою успішного засвоєння учнями ознак подібності трикутників
за двома кутами, а також ідеї її доведення, учням слід активізувати
знання і вміння щодо теореми про суму кутів трикутника; ознак
рівності трикутників; властивостей кутів при паралельних прямих та
січній; застосування теореми про пропорційні відрізки.
1 Дано: AB CD|| , AB CD= .
Довести: ∆ = ∆ABC CDA
2 Дано: AB CD|| , AB CD= .
Довести: ∠ = ∠A C
3 Дано: AD BC|| , AO OB= .
Довести: CO OD=

4 Дано: AB BC= ,
MN AB|| .
Довести: MN MC=
5 На кожному з наведе
них рисунків знайдіть міру
кута x
1. Теорема (ознака подібності трикутників за двома кутами): форму
лювання та доведення.
2. Наслідки з теореми: формулювання і доведення.
3. Перша ознака подібності для окремих видів трикутників.
З огляду на суттєву відмінність програми з математики для дванадцяти
річної школи від «старої» програми (див. методичний коментар до уро
ку № 26), доведення ознаки подібності трикутників за двома кутами ве
деться не через виконання перетворення подібності (як це було рані
ше), а здійснюється з посиланням на теорему про суму кутів трикут
ника, властивості відповідних кутів при паралельних прямих і січній,
другу ознаку рівності трикутників та теорему про пропорційні відрізки.
Отже, якщо на попередньому етапі уроку належним чином було про
ведено підготовчу роботу, то доведення ознаки подібності трикутників
за двома кутами має бути зрозумілим для учнів, а тому відтворення до
ведення (як це вимагає програма) не становитиме для них труднощів.
З метою полегшення запам’ятовування доведення доцільно скласти
план, який згодом учні зафіксують у зошитах. Закріплення змісту дове
деної теореми проводиться під час виконання усних вправ (див. нижче).
Крім теореми, що виражає ознаку подібності трикутників за двома
кутами, автор вважає за доцільне на цьому уроці розглянути деякі опорні
факти (безпосередньо випливають із доведеної ознаки), які мають
досить велике практичне значення. Мова йде про такі твердження:

• пряма, що перетинає дві сторони трикутника і проходить паралельно до
третьої сторони, відтинає від даного
трикутника подібний до нього трикутник;
• трикутники, утворені основами тра
пеції і прилеглими до них відрізками
діагоналей, на які вони діляться точкою
свого перетину, подібні (див. рис. 3).
ABCD — трапеція ( BC AD|| ); O —
точка перетину діагоналей, ∆ ∆AOD COB .
Справедливість першого твердження
очевидна (див. підручник); для доведення другого твердження достатньо
пригадати означення трапеції (основи паралельні) та властивість
внутрішніх різносторонніх кутів при паралельних прямих та січній.
Попереджаючи можливі типові помилки у застосуванні другого наслідку
(для трапеції), вчитель має одразу звернути увагу учнів на те, що різні
відповідні вершини подібних трикутників трапеції є кінцями однієї і
тієї самої діагоналі. Що стосується трансформації ознаки для окремих
видів трикутників (усі рівносторонні трикутники подібні; рівнобедрені
трикутники подібні, якщо мають або по рівному куту між бічними
сторонами, або по рівному куту при основі), то ці твердження можна
довести під час вивчення нового матеріалу, спираючись на доведену
ознаку для довільного трикутника, або розв’язати відповідні завдання,
після чого узагальнити здобуті відповіді.
Виконання графічних вправ
1. Накресліть трапецію і проведіть її діагоналі.
а) Виділіть кольором подібні трикутники, які утворилися на
рисунку. За якою ознакою можна довести їх подібність?
б) Виміряйте довжини відрізків однієї діагоналі, на які вона
ділиться точкою перетину діагоналей. Виміряйте довжину однієї з основ
трапеції і обчисліть довжину другої основи, користуючись подібністю
трикутників. Перевірте результат вимірюванням.
2. Накресліть трикутник і проведіть пряму, яка паралельна одній із
його сторін і перетинає дві інші сторони.
а) Виділіть кольором подібні трикутники, які утворилися на
рисунку. За якою ознакою можна довести їх подібність?
б) Виміряйте кути, під яким дана пряма перетинає сторони
трикутника, і знайдіть усі кути трикутника.

1. На рисунку 4 знайдіть подібні трикутники і доведіть їх подібність.
Рис. 4 Рис. 5
2. За даними рисунка 5 доведіть подібність трикутників ABC і A B C1 1 1 .
3. Продовження бічних сторін AB і CD трапеції ABCD перетина
ються в точці O .
а) Доведіть, що ∆ ∆AOD BOC .
б) Знайдіть AD , якщо BC = 4 см, OB = 6 см, OA = 9 см.
4. Два рівнобедрені трикутники мають рівні кути при основі. Основа
одного трикутника дорівнює 8 см, а бічна сторона — 6 см. Знайдіть
периметр другого трикутника, якщо його основа дорівнює 4 см.
5. Доведіть, що будьякі два рівнобедрені прямокутні трикутники
подібні.
Під час розв’язування задач (починаючи вже з усних вправ) слід
вимагати від учнів побудови доведення у формі, яка їм знайома із
сьомого класу (застосовувалась під час виконання доведення рів
ності трикутників).
Розглянемо трикутники… і … У них:
(дається перелік пар відповідно рівних кутів трикутників з обґрун
туванням відповідно до ознаки подібності або відповідно до певного
наслідку), тому
Трикутники… і … подібні за двома кутами (або як рівнобедрені…)
Чи можуть бути подібними:
а) прямокутний і рівнобедрений трикутники;
б) прямокутний і рівносторонній трикутники;
в) трикутник із кутом 50° і трикутник із кутом 100°;
г) трикутник із кутом 60° і трикутник із кутом 120°?
Вивчити зміст та доведення першої ознаки подібності трикутників.

Рис. 6
2. Діагоналі трапеції ABCD ( AD BC|| ) перетинаються в точці O .
а) Доведіть, що ∆ ∆AOD COB .
б) Знайдіть BC , якщо AD =16 см, AO OC: := 4 3.
3. Визначте, чи побідні трикутники зі сторонами:
а) 3, 4, 6 і 9, 15, 18; б) 2, 3, 3 і 8, 12, 12.
4. Два рівнобедрені трикутники мають рів
ні кути, протилежні до основи. Перимет
ри цих трикутників дорівнюють відповідно
15 см і 10 см. Знайдіть сторони другого три
кутника, якщо бічна сторона першого три
кутника дорівнює 6 см.
5. На рисунку 7 знайдіть подібні трикутники
і доведіть їх подібність.
Урок № 29
Подібність трикутників за двома сторонами та кутом між
ними
Мета: домогтися розуміння учнями змісту другої ознаки подібності
трикутників та плану її доведення.
Формувати вміння:
• відтворювати зміст вивченої ознаки;
• виділяти в трикутниках елементи для визначення їх подібності за
двома сторонами та кутом між ними;
• застосовувати формулювання другої ознаки подібності трикутників
до розв’язування задач.

Хід уроку
Розв’язання домашніх задач подається на дошці у вигляді готових
рисунків із коментарями, в яких деякі фрагменти пропущені. Учні
мають заповнити пропуски відповідними записами. Цю роботу можна
провести як самостійну та найбільш вдале виконання оцінити.
З огляду на те, що зміст матеріалу уроку певним чином пов’язаний
із матеріалом попереднього уроку, то можна застосовувати ті ж самі
прийоми, що й на попередньому (з корекцією на зміст матеріалу цього
уроку). А саме пропонуємо учням відповісти на запитання.
1. Які два трикутники називаються рівними? Чи можна довести, ви
користовуючи означення рівних трикутників або ознаку рівності
трикутників за стороною і двома прилеглими до неї кутами, що
трикутники, зображені на рис. 1, є рівними? Яке твердження мож
на для цього використати?
2. Які два трикутники називаються подібними? Чи можна довес
ти, використовуючи означення подібних трикутників або ознаку
подібності трикутників за двома кутами, що трикутники, зобра
жені на рис. 2, є подібними? Чи відоме вам твердження, яке мож
на було б для цього використати?
Відповіді на запитання допомагають учням усвідомити, що,
поперше, так само, як і означення рівності трикутників, означення
подібності трикутників має певні обмеження в застосуванні; подруге,
ознака подібності трикутників за двома кутами (так само, як і ознака
рівності трикутників за стороною і двома прилеглими до неї кутами) має
також обмежене коло застосування; потретє, зважаючи на існування
певних аналогій між поняттям рівності й подібності трикутників та
ознак рівності трикутників, можна припустити, що існує інша, крім
вивченої на попередньому уроці, ознака подібності трикутників (схожа
за набором елементів на ознаку рівності трикутників за двома сторонами
і кутом між ними). Вивчення цієї ознаки подібності трикутників та
оволодіння вміннями використовувати її під час розв’язування задач
складає мету уроку.
Для успішного засвоєння учнями ознаки подібності трикутників
за двома сторонами і кутом між ними, а також ідеї її доведення, учням
слід активізувати знання і вміння щодо ознак рівності трикутників,
властивостей кутів при паралельних прямих та січній, застосування
теореми про пропорційні відрізки, означення подібних трикутників та
ознак подібності трикутників за двома кутами.
1 Дано: ∠ = ∠1 2 . Довести:
∆ ∆ABO DCO
2 Дано: AB CD|| , ∠ = ∠1 2 .
Довести: ∆ ∆ABC CDE
3 Дано: ∆ ∆ABC DEK , M ,
H — середини AC і DK .
Довести: ∆ ∆BMC EHK
1. Теорема (ознака подібності трикутників за двома сторонами і ку
том між ними): формулювання та доведення.
2. Приклади застосування другої ознаки подібності трикутників.

Так само як і ознака подібності трикутників за двома кутами, озна
ка подібності трикутників за двома сторонами та кутом між ними
доводиться не через перетворення подібності (як це було раніше),
а з посиланнями на рівність відповідних кутів при паралельних
прямих і січній, на ознаку подібності трикутників за двома кута
ми та означення подібних трикутників. Отже, якщо на попереднь
ому етапі уроку належним чином було проведено підготовчу робо
ту, то доведення ознаки подібності трикутників за двома сторона
ми і кутом між ними має бути зрозумілим для учнів, а тому відтво
рення доведення (як це вимагає програма) не становитиме для уч
нів труднощів (для полегшення запам’ятовування доведення реко
мендується скласти план, який згодом учні зафіксують у зошитах).
Закріплення змісту доведення теореми проводиться під час вико
нання усних вправ (див. нижче).
VI. Формування вмінь
1. За даними рисунка 3 доведіть подібність трикутників ABC
і A B C1 1 1 .
Рис. 3 Рис. 4
3. На одній стороні нерозгорнутого кута O відкладені відрізки
OA = 9 см і OB =12 см, а на іншій стороні — відрізки OC = 6 см
і OD =18 см. Чи подібні трикутники OAC і OBD ? Чи подібні три
кутники OBC і ODA ?
Під час розв’язування задач продовжується робота з формування
вмінь учнів виконувати побудову доведення подібності у формі, що
якнайкраще відповідає твердженню ознаки, вивченої на уроці. Ця
форма може бути записана учнями у вигляді трафарету.
Розглянемо трикутники… і … У них:
(даєтьсяповнийперелікелементівцихтрикутниківзобґрунтуванням


відповідно до ознаки подібності трикутників за двома сторонами і кутом
між ними), тому
трикутники… і … подібні за двома сторонами і кутом між ними.
Які умови слід додати, щоб зображені на рис. 5 трикутники були
подібними:
а) за двома кутами; б) за двома сторонами і кутом між ними?
∆ ∆ABC DEF
Вивчити зміст та доведення теореми (ознака подібності трикутників
за двома сторонами і кутом між ними).
1. На рисунку 6 знайдіть подібні трикутни
ки і доведіть їх подібність.
2. Через точку на стороні довільного три
кутника необхідно провести пряму, яка
відтинає від даного трикутника подіб
ний трикутник. Скількома способа
ми це можна зробити? Як зміниться
відповідь, якщо в умові задачі замість
довільного трикутника розглянути рів
нобедрений; рівносторонній? Про
ведіть дослідження.
3. Відомо, що трикутники ABC і MPK задовольняють умови:
AB = 2 см, BC = 4 см, AC = 3 см, MP = 6 см, MK = 9 см, ∠ = ∠A M .
Знайдіть довжину сторони PK .
4. Відрізки AB і CD перетинаються в точці O . Відомо, що AO =15 см,
OD = 5 см, CO OB: :=1 3 , AB CD+ = 24 см. Знайдіть довжини
відрізків AB і CD .

Урок № 30
Подібність трикутників за трьома сторонами
Мета: домогтися розуміння учнями змісту ознаки подібності трикут
ників за трьома сторонами, плану їх доведення. ��Формувати вміння:
• відтворювати зміст вивченої ознаки;
• виділяти в трикутниках елементи для визначення їх подібності за
трьома сторонами;
• застосовувати формулювання третьої ознаки подібності трикутників
для розв’язування задач.
Хід уроку
Під час усного обговорення контрольних моментів задач
домашньої роботи учні мають відтворити аргументовані міркування із
використанням означення та вивчених ознак подібності трикутників.
Оскільки підходи до доведення всіх трьох ознак подібності
трикутників однакові, то схеми проведення уроків із вивчення ознак
подібності трикутників теж схожі.
Учням пропонуємо відповісти на запитання:
1. Які два трикутники називаються рівними?
Чи можна довести, використовуючи означення рівних трикутників,
що трикутники, зображені на рис. 1, є рівними? Яке твердження можна
для цього використати?
Рис. 1 Рис. 2
2. Які два трикутники називаються подібними? Чи можна довести,
використовуючи означення подібних трикутників, що трикутни
ки, зображені на рис. 2, є подібними? Чи відоме вам твердження,
яке можна було б для цього використати?
Виконання завдання знову підводить учнів до міркувань,
аналогічних до тих, що вже мали місце на попередніх двох уроках:
• означення подібності трикутників має певні обмеження в за
стосуванні;
• вивчені на попередніх двох уроках ознаки подібності трикутників
(за двома кутами та двома сторонами і кутом між ними) мають
також обмежене коло застосування;
• зважаючи на існування певних аналогій між поняттям рівності та
подібності трикутників та на існування ознак рівності трикутників,
припускається існування іншої, крім вивчених, ознаки подібності
трикутників (схожа за набором елементів на ознаку рівності
трикутників за трьома сторонами).
Вивчення цієї ознаки подібності трикутників та оволодіння
вміннями використовувати її під час розв’язування задач складає мету
уроку.
З метою успішного засвоєння учнями ознаки подібності трикутників
за трьома сторонами, а також ідеї її доведення, учням слід активізувати
знання і вміння щодо ознак рівності трикутників; властивостей
відповідних кутів при паралельних прямих та січній; ознаки подібності
трикутників за двома кутами.
1 Дано: AP DP= , AQ DQ= .
Довести: ∆ = ∆PAQ PDQ
2 Дано: AB CD= , AD BC= .
Довести: ∠ = ∠A C

3 Дано: ABCD — паралелог
рам, BM AD⊥ , BH CD⊥ .
Довести:
AB
BC
BM
BH
=
4 Дано: a b|| , A та B —
довільні точки. Довести:
AO
OD
BO
OC
=
1. Теорема (ознака подібності трикутників за трьома сторонами): фор
мулювання та доведення.
2. Приклади застосування.
Усі зауваження щодо особливостей способу вивчення ознак подіб
ності трикутників, що були зроблені раніше, мають місце й на
цьому уроці:
• доведення ознаки подібності трикутників за трьома сторонами
проводиться з посиланням на властивості відповідних кутів при
паралельних прямих і січній, на третю ознаку рівності трикутників
та ознаку подібності трикутників за двома кутами;
• розумінню доведення ознаки подібності трикутників за трьома
сторонами сприяє виконання усних вправ на повторення (див.
вище);
• з метою полегшення запам’ятовування доведення рекомендується
скласти план, який згодом учні зафіксують у зошитах.
Закріплення змісту доведеної теореми проводиться під час
виконання усних вправ.
VI. Формування вмінь
1. AH BC⊥ , BP AC⊥ (рис. 3).
1) Назвіть подібні трикутники.
2) Знайдіть BP , якщо AH = 3 , BC = 8 ,
AC = 5 .
2. У трикутниках ABC і A B C1 1 1
AB
A B
BC
B C
k
1 1 1 1
= = .

Яку рівність необхідно додати до умови, щоб можна було довес
ти подібність цих трикутників? Назвіть усі можливі варіанти від
повіді.
3. Дано трикутники ABC і KMN , в яких
AB
KN
BC
MN
AC
MK
= = . Назвіть
кут трикутника KMN , що дорівнює куту C . Чому ці кути рівні?
1. За даними рисунка 4 доведіть подібність трикутників ABC
і A B C1 1 1 .
Рис. 4 Рис. 5
2. Визначте відстань від точки A до недоступної точки B (рис. 5),
якщо CA = 60 м, CB = 90 м, CD = 20 м, CE = 30 м, DE = 40 м. Про
ведіть необхідні доведення.
3. Визначте, чи подібні трикутники зі сто
ронами: 15, 12, 13 і 26, 24, 30.
Міркування, що лежать в основі дове
дення подібності трикутників за трьо
ма сторонами, будуються за традицій
ною схемою.
Розглянемо трикутники… і… У них:
(дається повний перелік пар рівних відношень відповідних сторін
щодо до ознаки подібності),
тому
трикутники… і… подібні за трьома сторонами.
Які умови слід додати, щоб зображені на рис. 7 трикутники були
подібними:


Рис. 7
а) за двома сторонами і кутом між ними;
б) за трьома сторонами?
Вивчити зміст та доведення теореми, повторити зміст ознак
подібності трикутників.
2. У трикутнику ABC точка O є центром
описаного кола, точки A1 , B1 , C1 є се
рединами відрізків OA , OB , OC від
повідно. Доведіть, що трикутники ABC
і A B C1 1 1 подібні.
Урок № 31
Мета: узагальнити, систематизувати знання учнів про зміст та схе
ми застосування означення та ознак подібності трикутників. Відпрацю
вати навички застосування набутих знань. Провести діагностику рів
ня засвоєння учнями навчального матеріалу з теми «Подібність три
кутників».
Хід уроку
З метою фронтальної перевірки засвоєння учнями змісту ознак
подібності трикутників проводиться математичний диктант.
Варіант 1 Варіант 2
1 Сформулюйте умови, за яких ∆ ∆ ′ ′ ′ABC A B C
за трьома сторонами за двома кутами
2 Сформулюйте умови, за яких ∆ ∆ ′ ′ ′BCD B C D
за двома сторонами і кутом
між ними
за трьома сторонами
3 У ∆ABC і ∆DEF ∠ = ∠A D . Якої умови не вистачає, щоб ствер
джувати, що ∆ ∆ABC DEF
за двома кутами? задвомасторонамиікутомміжними?
Сторони одного з подібних трикутників мають довжину
4 3 см, 6 см і 7 см, а дві сторо
ни другого трикутника ма
ють довжини 15 см і 35 см.
15 м, 35 м і 30 м, а дві сторони дру
гого трикутника мають довжини 7 м
і 6 м.
Обчисліть довжину третьої сторони другого трикутника
Також на уроці слід перевірити розв’язання додаткової задачі (пов
не розв’язання цієї задачі записує на дошці один з учнів заздалегідь;
учні знайомляться з його змістом після виконання та перевірки завдань
математичного диктанту).
На цьому етапі уроку доречними будуть слова вчителя про те, що
на попередніх трьох уроках учні окремо вивчали ознаки подібності
трикутників та способи їх застосування, причому кожного уроку учні
розв’язували задачі на застосування лише тієї ознаки, яка вивчалась на
уроці, тобто учні працювали в «штучних умовах», за відсутності пробле
ми вибору, коли заздалегідь було відомо, який набір елементів трикут
ників (зумовлений певною ознакою подібності) слід виділити в даних
трикутниках для доведення їх подібності саме за певною ознакою.
Вчителю слід наголосити на тому, що на практиці під час
розв’язування задач, які передбачають застосування ознак подібності
трикутників, вибір певної ознаки слід робити самому учневі, виходячи
з умови задачі та своїх знань. Тому для успішного розв’язування задач
на подібність трикутників учням, крім сталих знань змісту окремих оз
нак подібності трикутників та наслідків із них, слід оволодіти вміння
ми вибирати ознаку чи наслідок відповідно до умови задачі.

Отже, мета уроку — закріплення та систематизація знань учнів
про ознаки подібності трикутників та відпрацювання навичок їх вико
ристання під час розв’язування задач на подібність трикутників.
IV. Актуалізація та систематизація опорних знань
Усвідомлення, повторення та систематизація знань учнів про зміст
означеннятаознакподібностітрикутниківможнапровестивтакійформі:
до уваги учнів пропонується рис., за яким вони виконують завдання
— до кожного з рисунків скласти відповідне твердження (означення
чи якусь із ознак подібності трикутників). Для того, щоб залучити
до роботи якомога більше учнів, можна організувати роботу в малих
групах. У такому разі спочатку завдання виконується в групах, а потім
результати виконання завдання презентуються та коригуються.
V. Відпрацювання навичок
Застосування знань у стандартних ситуаціях
1. За даними рис. 1 доведіть, що ∆ ∆ABC A B C 1 1 1 .
α
Рис. 1 Рис. 2
2. На рис. 2 знайдіть трикутники, подібні до трикутника ABC , і до
ведіть їхню подібність.
3. Знайдіть на рис. 3 всі пари подібних трикутників і доведіть їхню
подібність.
Рис. 3 Рис. 4
4. За даними рис. 4 доведіть, що ∆ ∆ABC A B C 1 1 1 .
5. На рис. 5 знайдіть трикутники, подібні до трикутника ABC , і до
ведіть їхню подібність.
α
αβ β
Рис. 5 Рис. 6
6. На рис. 6 знайдіть усі пари подібних трикутників і доведіть їхню
подібність.
Рис.

Застосування знань у нестандартних ситуаціях
1. У трикутник ABC вписано ромб
AKLM (рис. 7). Знайдіть периметр ромба,
якщо BK = 4 см, MC = 9 см.
2. Діагоналі трапеції точкою перетину
діляться у відношенні 3 : 7. Знайдіть основи
трапеції,якщоїїсереднялініядорівнює10см.
VI. Діагностика знань та вмінь
Учням пропонується самостійно розв’язати завдання як на знання
і розуміння ознак подібності трикутників, так і на застосування цих
знань у комплексі із набутими раніше знаннями.
Самостійне розв’язування задач
1. Знайдіть на рис. 8 подібні трикутники і доведіть їхню подібність.
Рис. 8 Рис. 9
2. За даними рис. 9 доведіть, що ∆ ∆ABC MBN .
3. Знайдіть на рис. 10 подібні трикутники і доведіть їхню подібність.
Рис. 10 Рис. 11
4. За даними рис. 11 доведіть, що ∆ ∆ABC ANM .
5. Точка перетину діагоналей трапеції ділить одну з них на відрізки за
вдовжки 5 см і 9 см. Знайдіть основи трапеції, якщо їх сума дорів
нює 70 см.
6. Основи трапеції дорівнюють 7 см і 15 см. Знайдіть відрізки діаго
налі, на які її ділить друга діагональ, якщо різниця цих відрізків
дорівнює 24 см.
По закінченні виконання самостійних завдань проводиться
перевірка правильності виконання, таким чином встановлюється, чи
досягнута мета уроку; в учнів з’являються підстави для самооцінки та
усвідомлення своїх недоліків, над якими слід працювати.
Повторити зміст: означення, ознаки подібності трикутників та
опорні факти для доведення подібності трикутників; зміст поняття
перпендикуляра до прямої; означення та властивості прямокутного
1. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC кут B дорівнює
36°, AD — бісектриса трикутника. Доведіть, що ∆ ∆ABC CAD .
2. Одна з діагоналей трапеції дорівнює 28 см і ділить другу діагональ
на відрізки довжиною 5 см і 9 см. Знаючи, що менша основа тра
пеції дорівнює 6 см, знайдіть:
а) відрізки, на які точка перетину діагоналей ділить першу
діагональ;
б) бічну основу трапеції.
3. У трикутник ABC вписано ромб AKPE так, що кут A спільний,
а вершина P належить стороні BC . Знайдіть сторону ромба, якщо
AB = 6 см, AC = 3 см.
Урок № 32
Ознаки подібності прямокутних трикутників. Пропорційні
відрізки в прямокутному трикутнику
Мета: сформулювати ознаку подібності прямокутних трикутни
ків за гострим кутом, на основі якої довести метричні співвідношення
в прямокутному трикутнику. Домогтися засвоєння учнями змісту оз
наки подібності прямокутних трикутників і метричних співвідношень
у прямокутному трикутнику та їх доведення.
Сформувати первинні вміння відтворювати вивчені твердження,
записувати метричні співвідношення між відрізками прямокутного
трикутника за умовою задачі, а також виконувати обчислення невідомих
відрізків прямокутного трикутника, використовуючи записи відповідних
метричних співвідношень.

Тип уроку: засвоєння вмінь та навичок.
Наочність та обладнання: конспект «Подібність прямокутних три
кутників».
Хід уроку
Правильність виконання задач домашньої роботи перевіряється під
час усної фронтальної роботи за рисунками до задач, виконаними на
дошці заздалегідь.
Вчитель нагадує учням про те, що в геометрії виділяють різні види
трикутників (за сторонами або кутами). Оскільки останнім часом на
урокахбулививченізагальніозначеннятаознакиподібностітрикутників,
то виникає питання про можливу трансформацію вивчених тверджень
для окремих видів трикутників (до речі, деякі з цих випадків було вже
розглянути — див. ознаки подібності рівносторонніх та рівнобедрених
трикутників).
Серед усіх видів трикутників (за кутами) виділяються трикутники,
про які можна сказати, що:
• один з кутів завжди дорівнює сумі двох інших;
• вони не можуть бути рівносторонніми, але можуть бути
рівнобедреними;
• для того щоб визначити решту кутів цього трикутника, достатньо
знати тільки один з його менших кутів.
(Зрозуміло, що мова йде про прямокутні трикутники.)
Отже, мета уроку — формулювання ознаки подібності прямокутних
трикутника та дослідження сфери її практичного застосування.
З метою успішного засвоєння учнями ознаки подібності прямо
кутних трикутників, метричних співвідношень у прямокутному
трикутнику, а також їх доведення, учням слід активізувати такі знання
і вміння: ознака подібності трикутників за двома кутами; означення
прямокутного трикутника та властивості гострих кутів прямокутного
трикутника; застосування поняття про перпендикуляр до прямої, похила
та проекція похилої на дану пряму; основні властивості пропорції.
1. Доведіть, що ∆ ∆ABO DCO , якщо ∠ = ∠1 2 (рис. 1).
Рис. 1 Рис. 2
2. Доведіть, що ∆ ∆ABC CDE , якщо AB CD|| , ∠ = ∠1 2 (рис. 2).
3. У кожному з наведених випадків обчисліть міру кута x (рис. 3).
Рис. 3
4. Зробіть рисунок, на якому один і той самий відрізок був би одно
часно і перпендикуляром, і похилою.
5. Якщо 7 9a b= , то
b
a
= ?
1. Ознака подібності прямокутних трикутників (за гострим кутом).
2. Уявлення про зміст поняття середнє пропорційне число між двома
числами.
3. Теорема (метричні співвідношення в прямокутному трикутнику):
формулювання і доведення.
Ознаки подібності прямокутних трикутників, а також метричні
співвідношення в прямокутному трикутнику, що безпосередньо
випливають з ознаки подібності прямокутних трикутників за го
стрим кутом, традиційно вивчаються в темі «Подібність трикутни
ків» (у деяких посібниках метричні співвідношення називають се
редні пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику). Зміст від
повідного параграфа нового підручника майже повністю повторює


зміст відповідних розділів традиційного підручника геометрії. Тому
вивчення матеріалу уроку проводиться за традиційною схемою.
Схема
Доведення ознак подібності прямокутних трикутників за гострим кутом

Доведення подібності будьякого прямокутного трикутника та прямокутних
трикутників, що утворюються, якщо в даному трикутнику провести висоту
до гіпотенузи

Запис рівностей відношень відповідних сторін цих подібних прямокутних
трикутників у вигляді пропорції

Використання здобутих пропорцій, основної властивості пропорції
Деякі зміни, які внесені авторами нового підручника до змісту
матеріалу щодо подібності прямокутних трикутників, є додатковою
інформацією.
Так, додатково автори підручника пропонують вивчити:
Ознаки подібності прямокутних трикутників за двома катетами та
за гіпотенузою і катетом.
1. Сформулюйте і доведіть ознаку подібності прямокутних трикутни
ків за двома катетами.
2. Сформулюйте і доведіть ознаку подібності прямокутних трикутни
ків за гіпотенузою і катетом.
Зміст поняття про середнє пропорційне число між двома даними
числами (для кращого розуміння учнями змісту теореми, а тому для
кращого запам’ятовування формулювання теореми).
А самі метричні співвідношення в прямокутному трикутнику автори
підручника записали у вигляді теореми (раніше ці співвідношення
розглядали як деякі співвідношення в прямокутному трикутнику).
Зміна статусу цих тверджень, без зміни їх змісту, має суто психологічне
значення — знання формулювання теореми та вміння її застосовувати
є обов’язковою програмовою вимогою.
До матеріалу, поданого в підручнику, автор посібника пропонує
додати один із корисних наслідків з метричних співвідношень, а саме:
якщо a , b — катети прямокутного трикутника, c — його гіпотенуза,
а hc — висота, що проведена до гіпотенузи, то h
ab
c
c = . (Доведення
цього наслідку можна провести як розв’язання відповідної додаткової
задачі.)
Оскільки навчальний матеріал не є складним, то пропонуємо учням
самостійну роботу з його вивчення (за підручником).
Конспект 12
Подібність прямокутних трикутників
Ознаки
Метричні співвідношення
a c ac
2
= ⋅ ,
b c bc
2
= ⋅ ,
h a bc c c
2
= ⋅
Наслідки з метричних співвідношень:
1)
a
b
a
b
c
c
=
2
2
; 2) h
ab
c
c =
V. Формування первинних умінь
Розуміння ознаки подібності прямокутних трикутників за гострим
кутом досягається під час виконання завдання.
Чи подібні два прямокутні трикутники, якщо:
а) вони мають спільний кут;
б) вони мають спільний гострий кут;
в) один із них має кут 20°, а інший — кут 70°;
г) один із них має кут 50°, а катет другого удвічі менший від
гіпотенузи?
Формування первинних умінь застосовувати вивчену ознаку
відбувається на етапі розв’язування учнями вправ.

1. На рис. 4 знайдіть пари подібних трикутників. Свої міркування
обґрунтуйте. Запишіть пропорційність відповідних сторін.
Рис. 4
Рис. 5
На застосування подібності прямокутних трикутників учні
розв’язують письмові вправи.
Спостерігач, що знаходиться в точці A ,
бачить кінець жердини B і верхню точку вежі
D , причому точки A , B і D розміщені на
одній прямій (рис. 6). Визначте висоту вежі,
якщо BC = 4 м, AC = 6 м, AE = 90 м.
VI. Формування навичок та вмінь
Формуванню вмінь записувати та використовувати метричні
співвідношення сприятиме виконання усних вправ.
Запишіть метричні співвідношення для зображених на рис. 7
прямокутних трикутників:
Рис. 7
1. У прямокутному трикутнику ABC
( ∠ = °C 90 ) проведено висоту CD (рис. 8).
Знайдіть:
а) CD , якщо AD = 4 см, DB = 25 см;
б) AC і BC ,якщо AB = 50 см, AD =18см.
2. Доведіть, що проекції катетів на гіпо
тенузу прямокутного трикутника відно
сяться як квадрати катетів:
a
b
a
b
c
c
=
2
2
.
Під час доведення подібності трикутників вимагаємо від учнів
виконання міркувань за вивченою на попередніх уроках схемою
з поправкою на зміст ознаки. (Розглянемо трикутники… і … У них
кути… і… — прямі, кути… і … — рівні, отже, трикутники… і… подіб
ні за гострим кутом).
Розв’язуючи задачі на застосування метричних співвідношень
у прямокутному трикутнику, слід вимагати від учнів спочатку відтво
рення словесного формулювання, а вже потім — виконання відповід
них їм символічних записів.
Чи правильні записи зроблені відповідно до
рис. 9? Якщо ні, виправте помилку.
1) AM BM AB+ = ;
2) BC MB MA2
= ⋅ ;
3) CM AM MB= ⋅ ;
4) CM
BC AC
AB
2
=
⋅
;
5) AC AM AB2
= ⋅ .


Вивчити зміст та доведення ознак подібності прямокутних
трикутників.

1. Для побудови четвертого пропорційного відрізка x
ab
c
= учень за
пропонував побудувати прямокутний трикутник із катетами a і b
та гіпотенузою c і провести в ньому висоту hc , яка буде дорівню
вати x . Другий учень стверджує, що цей спосіб хибний. Хто з уч
нів правий?
2. На рисунку 10 знайдіть подібні трикутники і доведіть їх подіб
ність.
Рис. 10
3. Висота дерева дорівнює 9,2 м, а довжина тіні людини, зріст якої
1,8 м, дорівнює 2,7 м. Знайдіть довжину тіні дерева.
4. Знайдіть периметр прямокутного трикутника, висота якого ділить
гіпотенузу на відрізки завдовжки 4,5 см і 8 см.
Урок № 33
Мета: закріпити та систематизувати знання учнів про зміст та схе
ми застосування ознак подібності прямокутних трикутників, метрич
них співвідношень у прямокутному трикутнику; відпрацювати навич
ки застосування набутих знань.
Тип уроку: застосування вмінь та навичок.
Наочність та обладнання: конспект «Ознаки подібності прямокут
них трикутників».
Хід уроку
Для перевірки засвоєння учнями змісту ознак подібності
трикутників фронтально проводиться математичний диктант.
1 Чи можуть бути подібними два прямокутних трикутники, якщо
в одному з них
є гострий кут 40°, а в друго-
му — гострий кут 50°?
гострий кут одного трикутника уд
вічі більший за гострий кут іншого
трикутника?
2 Виконайте зображення
∆MNK ( ∠ = °K 90 ). Як слід
провести в цьому трикутнику
пряму через точку K
∆ADK ( ∠ = °A 90 ). Як слід провес
ти в цьому трикутнику пряму че
рез точку A
щоб вона поділила даний трикутник на два трикутники, подібні
до нього? Запишіть позначення цих трикутників
3 Доповніть записи
Катет є середнім пропорцій
ним…
Висота, що проведена до гіпотену
зи, є середнім пропорційним…
Виконайте відповідний рисунок та зробіть на ньому необхідні
позначки
Також на уроці слід перевірити розв’язання домашньої задачі 1 (пов
не розв’язання цієї задачі записує на дошці хтонебудь з учнів заздале
гідь; учні знайомляться з його змістом після виконання та перевірки за
вдань математичного диктанту; задача корисна, оскільки знайомить уч
нів з додатковим способом побудови четвертого пропорційного відрізка).
Учитель говорить про те, що на попередньому уроці учні вивчи
ли ознаки подібності прямокутних трикутників та метричні співвідно
шення в прямокутному трикутнику, причому учні розв’язували зада
чі, в яких йшла мова про прямокутні трикутники із прямою вказівкою

на твердження, яке слід застосувати. Далі вчитель наголошує на тому,
що на практиці під час розв’язування задач, які передбачають застосу
вання ознак подібності прямокутних трикутників, треба знайти подіб
ні трикутники.
З метою успішного розв’язування задач на застосування подібності
прямокутних трикутників учням, крім сталих знань змісту ознак подіб
ності трикутників та метричних співвідношень, слід повторити власти
вості фігур, що були вивчені на попередніх уроках. Отже, мета уроку —
закріплення та систематизація знань учнів про ознаки подібності пря
мокутних трикутників та відпрацювання навичок їх використання під
час розв’язування задач.
IV. Актуалізація опорних знань та вмінь
Для кожного з наведених рисунків складіть твердження з вико
ристанням подібності трикутників або співвідношень між елементами
η
З метою залучення до виконання вправ усіх учнів можна організу
вати роботу в малих групах.
Спочатку завдання виконуються в групах, потім результати презен
туються та в разі необхідності коригуються.
V. Формування вмінь
1. Два прямокутні трикутники мають по рівному гострому куту. Ка
тети першого трикутника відносяться як 5 : 12. Знайдіть гіпотену
зу другого трикутника, якщо його периметр дорівнює 120 см.
2. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 24 см і 32 см. На які
частини більший катет ділиться серединним перпендикуляром гі
потенузи?
3. У прямокутний трикутник вписано квадрат (рис. 1).
а) Знайдіть на рисунку 1 подібні трикутники
і доведіть їх подібність.
б) Знайдіть сторону квадрата, якщо
BK = 9 см, MC = 4 см.
4. Два кола з радіусами 4 см і 6 см дотикають
ся зовні. Їх спільна дотична, яка не прохо
дить через точку дотику кіл, перетинає лінію
центрів у точці A . Знайдіть відстані від точ
ки A до центрів кіл.
5. Висота прямокутного трикутника дорівнює 24 см і ділить гіпотену
зу у відношенні 9 : 16. Знайдіть катети трикутника.
6. Перпендикуляр, проведений із середини основи рівнобедрено
го трикутника до бічної сторони, ділить її на відрізки завдовжки
2,25 см і 4 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до бічної сто
рони.
VI. Підсумки уроку
Який із рисунків зайвий (рис. 2)? Чому?
Рис. 2
Повторити зміст ознак подібності прямокутних трикутників та
метричних співвідношень у прямокутному трикутнику; означення та
властивості сторін і кутів прямокутного трикутника.

1. Відрізки BK і BM — висоти паралелограма ABCD , проведені
з вершини кута B до сторін AD і CD відповідно. Знайдіть BK
, якщо BM = 4 см, AD CD: := 2 3 .
2. Точка C ділить діаметр кола AB на відрізки AC =10 см і CB = 8 см.
Відрізок CD — перпендикуляр до AB . Визначте розміщення точки
D відносно даного кола, якщо CD = 9 см.
3. Точка дотику кола, вписаного в ромб, ділить сторону ромба на
відрізки завдовжки 20 см і 5 см. Знайдіть висоту ромба.
4 (на повторення). Гострий кут прямокутного трикутника дорівнює 36°.
Знайдіть кути, під якими катети видно із центра описаного кола.
Урок № 34
Теорема Піфагора
Мета: сформувати в учнів розуміння змісту теореми Піфагора та її
доведення. Формувати вміння відтворювати зміст теореми Піфагора,
застосовувати її формулювання для розв’язування задач на знаходжен
ня невідомих сторін прямокутних трикутників.
Типу уроку: засвоєння нових знань.
Наочність та обладнання: конспект «Теорема Піфагора».
Хід уроку
Під час усного обговорення контрольних моментів розв’язання
домашніх задач учні мають відтворити аргументовані міркування із
використанням ознак подібності прямокутних трикутників та метричних
співвідношень у прямокутному трикутнику.
Обговорення розв’язування задачі 4 сприяє повторенню опорного
факту: медіана прямокутного трикутника, що проведена до гіпотенузи,
ділить:
• даний трикутник на два рівнобедрених трикутники, основами яких
є катети даного трикутника;
• прямий кут прямокутного трикутника на два кути, що дорівнюють
гострим кутам даного прямокутного трикутника.
Для усвідомлення учнями важливості матеріалу, який буде вивчатись
на уроці, пропонуємо їм розв’язати задачу.
Задача. Чи можна прямокутник зі сторонами 6 см і 8 см вписати
в коло з радіусом 5 см?
Щоб знайти відповідь на запитання задачі, учні мають скласти ма
тематичну модель задачі, яка має такий вигляд: знайти діагональ пря
мокутника зі сторонами 6 см і 8 см або знайти гіпотенузу прямокут
ного трикутника з катетами 6 см і 8 см. Аналіз ситуації приводить уч
нів до усвідомлення неможливості (або нераціональності) розв’язання
задачі засобами, якими оволоділи учні на попередніх етапах вивчення
геометрії. Таким чином, констатується необхідність розширення знань
учнів щодо співвідношень в прямокутному трикутнику. Тому завдання
на урок формулюється так: спираючись на відомі учням співвідношен
ня в прямокутному трикутнику, сформулювати твердження, що вира
жає залежність між сторонами прямокутного трикутника, довести його.
А також сформувати вміння застосовувати ці залежності для знаходжен
ня невідомих сторін прямокутного трикутника.
З метою успішного засвоєння учнями змісту теореми Піфагора та
її доведення учням слід активізувати знання і вміння щодо означення
прямокутного трикутника; метричних співвідношень у прямокутному
трикутнику.
1 ∠ = °ACB 90 , CH AB⊥ . Знайдіть:
1) AC2
, CH , якщо AH = 2 ,
BH = 8 ;
2) AH , якщо BC = 6 , HB = 4 ;
3) CH , якщо AC = 3 , BC = 4 ;
4) AB , якщо BC =10 , CH = 6
2 DH AC⊥ . Знайдіть:
1) PABCD , якщо AH = 9 , CH =16 ;
2) DH , якщо AB =12 , AD = 5 ;
3) AC , якщо AD =15, DH =12 ;
4) PABCD , якщо AD DC+ = 70 ,
AH HC⋅ = ⋅9 16

1. Теорема Піфагора: доведення та формулювання.
На відміну від попередніх років, коли доведення теореми Піфаго
ра здійснювалось із посиланням на властивості косинуса гострого
кута прямокутного трикутника, в новому підручнику теорема Пі
фагора дуже просто доводиться із посиланням на метричні співвід
ношення в прямокутнику трикутнику. Тому доведення теореми Пі
фагора можна провести в такому порядку:
• розглянути прямокутний трикутник з катетами a і b , гіпотенузою
c і висотою, проведеною до гіпотенузи hc ;
• для цього трикутника записати метричні співвідношення для
катетів;
• виконати почленне додавання обох частин здобутих рівностей;
• перетворити праву частину здобутої рівності, використавши аксіому
вимірювання відрізків.
Після здобуття шуканої рівності вчитель пропонує учням
«перекласти» її з математичної мови на звичайну. Таким чином учні
формулюють твердження теореми Піфагора.
На завершення вивчення матеріалу як приклад на застосування
теореми учні розв’язують задачу, з якої почалося вивчення матеріалу
на уроці: знайти гіпотенузу, якщо катети дорівнюють 6 см і 8 см
( c2 2 2
6 8 100= + = , c =10 ). Таким чином демонструється практичне
значення вивченої теореми.
Наостанок можна підкреслити, що з теореми Піфагора випливає
властивість, вивчена у 7 класі: гіпотенуза даного прямокутного
трикутника завжди більша за його катет.
Під час розгляду прикладів розв’язання задач на застосування
теореми Піфагора за підручником слід перевірити відповідність знань
учнів щодо змісту поняття квадратний корінь. Так само у відборі задач
до уроку слід пам’ятати про необхідність дотримання відповідності між
геометричним та алгебраїчним матеріалом.
Конспект 13
Теорема Піфагора.
Обернена теорема до теореми Піфагора
Теорема Піфагора. Якщо в ∆ABC ∠ = °C 90 , то
AB AC BC2 2 2
= + ( c a b2 2 2
= + ).

Обернена теорема. Якщо в ∆ABC AB AC BC2 2 2
= + , то ∠ = °C 90 .
Піфагорові трійки чисел
Якщо числа a , b , c такі, що a b c2 2 2
+ = , то трійка чисел a , b , c —
піфагорова трійка, а трикутники зі сторонами a , b , c — піфагорові.
Єгипетський трикутник Піфагорові трикутники
1. Для яких трикутників, зображених на рис. 1, виконується теорема
Піфагора? Виконайте відповідні записи.
α
2α3α
Рис. 1
2. «Мені вдалося побудувати прямокутний трикутник, у якого довжи
ни всіх сторін — цілі непарні числа», — сказав учень. Доведіть, ви
користовуючи теорему Піфагора, що він помилився.
3. У ромбі відомі сторона та одна з діагоналей. Як знайти іншу діаго
наль ромба, не користуючись рисунком?
4. 1) Катети прямокутного трикутника 5 см і 12 см. Знайдіть гіпотенузу.
2) Гіпотенуза трикутника 5 см, а один із катетів дорівнює 3 см.

Знайдіть другий катет.
3) Катети прямокутного трикутника відносяться як 3 : 4, а гіпоте
нуза дорівнює 15 см. Знайдіть периметр трикутника.
4) Периметр квадрата дорівнює 4 см. Знайдіть діагональ квадрата.
5) Визначте вид трикутника ABC , якщо: 1) AC = 5, BC = 6, AC = 7 ;
2) AC = 4 , BC = 2 5 , AC = 6 .
Накресліть прямокутний трикутник із катетами 3 см і 4 см. Обчис
літь за теоремою Піфагора довжину його гіпотенузи. Перевірте резуль
тат вимірюванням.
1. У прямокутному трикутнику з катетами a і b та гіпотенузою c
знайдіть c , якщо a = 7 , b = 24 .
2. У прямокутнику знайдіть периметр, якщо діагональ дорівнює 10 см,
а одна зі сторін — 6 см.
3. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 16 см. Знайдіть пе
риметр трикутника, якщо його бісектриса, проведена до основи,
4. У прямокутному трикутнику знайдіть невідомі сторони, якщо:
а) катети відносяться як 3 : 4, а гіпотенуза дорівнює 45 см;
б) різниця між гіпотенузою і катетом дорівнює 1 см, а другий ка
тет дорівнює 5 см;
в) висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 12 см, а проекція од
ного з катетів на гіпотенузу має довжину 16 см.
5. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 8 см і 18 см, а висота
12 см. Знайдіть периметр трапеції. Чи можна вписати в неї коло?
6. Дві більші сторони прямокутного трикутника дорівнюють 65 см
і 63 см. Знайдіть третю сторону.
Оскільки на уроці розпочинається робота із формування вмінь за
стосовувати теорему Піфагора, то слід одразу виробляти в учнів навич
ки математичної культури, тобто застосуванню теореми Піфагора для
деякого прямокутного трикутника мають передувати такі міркування:
Розглянемо трикутник…, у ньому кут… — прямий, отже, трикутник
прямокутний із гіпотенузою… Тому за теоремою Піфагора… (робиться
загальний запис теореми для даного прямокутного трикутника).
Тільки після цього можливе виконання обчислень, складання рів
няння, вираження невідомих тощо. (Згодом ці міркування можна буде
скорочувати, але на першому уроці цього робити не слід).
На якому з рисунків (див. рис. 2) допущені помилки в зображенні
прямокутного трикутника?
Рис. 2
Вивчити зміст та доведення теореми Піфагора.
1. У прямокутнику знайдіть діагональ, якщо сторони дорівнюють
10 см і 24 см.
2. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 36 см, а бічна сто
рона — 13 см. Знайдіть медіану трикутника, проведену до основи.
3. У прямокутному трикутнику знайдіть невідомі сторони, якщо:
а) катет і гіпотенуза відносяться як 12 : 13, а другий катет дорівнює
10 см;
б) катет більший за свою проекцію на гіпотенузу на 8 см, а висота,
проведена до гіпотенузи, дорівнює 24 см.
4. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 21 см і 28 см, а більша
бічна сторона — 25 см. Знайдіть периметр трапеції. Чи можна впи
сати в неї коло?
Урок № 35
Теорема, обернена до теореми Піфагора
Мета: домогтися свідомого розуміння учнями змісту теореми Пі
фагора та її доведення; сформувати поняття єгипетського трикутни
ка, піфагорової трійки чисел, піфагорових трикутників. Формувати
вміння відтворювати зміст вивченої теореми та застосовувати її під час
розв’язування задач на доведення.
Наочність та обладнання: конспект «Теорема Піфагора».

Хід уроку
Засвоєння учнями змісту теореми Піфагора та первинних умінь її
використання перевіряємо, провівши математичний диктант.
1 Знайдіть гіпотенузу прямо
кутного трикутника, якщо
його катети дорівнюють від
повідно 5 м і 12 м
Знайдіть катет прямокутного три
кутника, якщо його інший катет
і гіпотенуза дорівнюють відповід
но 40 см і 41 см
2 Запишіть теорему Піфагора для ∆ABC , у якому
∠A — прямий ∠B — прямий
3 Знайдіть катет прямокутного
трикутника, якщо інший ка
тет і гіпотенуза дорівнюють
відповідно 60 дм і 61 дм
Знайдіть гіпотенузу прямокутно
го трикутника, якщо його кате
ти дорівнюють відповідно 6 мм
і 8 мм
4 Медіана прямокутного три
кутника, проведена до гіпоте
нузи, дорівнює 6,5 см. Знай
діть трикутники, якщо один із
катетів має довжину 5 см
Знайдіть радіус кола, описаного
навколо прямокутного трикутни
ка з катетами 8 дм і 15 дм
Розв’язання письмових вправ перевіряємо під час усної роботи за
готовими рисунками до цих задач.
Створити позитивну мотивацію пізнавальної діяльності учнів мож
на, провівши цей етап уроку в ігровій формі.
Гра «Що? Де? Коли?»
Питання знавцям
Давні єгиптяни будували прямі кути на місцевості таким чином:
ділили вузлами мотузку на 12 рівних частин, зв’язували її кінці, піс
ля чого мотузку розтягували на землі так, щоб утворився трикутник зі
сторонами 3, 4 і 5 поділок. Кут трикутника, що лежав проти сторони
з 5ма поділками, був прямий. Чи можете ви обґрунтувати правильність
цієї побудови або спростувати її?
У результаті пошуку відповідей на запитання учні мають зрозумі
ти, що з математичної точки зору питання ставиться як визначення
того, чи буде трикутник зі сторонами 3, 4, 5 одиниць прямокутним.
Також учні мають зрозуміти, що застосування теореми Піфагора для
розв’язування задачі неможливе (бо в умові немає твердження, що три
кутник є прямокутним).
Таким чином формулюється загальна проблема: як, не проводячи
вимірювань, визначити, чи є трикутник із заданими довжинами (спів
відношенням) сторін прямокутним, — розв’язання якої і є основною
метою уроку.
З метою успішного засвоєння учнями змісту теореми, оберненої
до теореми Піфагора, та її доведення учням слід активізувати знання
і вміння щодо означення прямокутного трикутника; ознак рівності
трикутників; теореми Піфагора.
1. Дано: ∠ = ∠ = °M B 90 , MC BC= (рис. 1). Доведіть, що AB MH= .
Рис. 1 Рис. 2
2. Дано: AB AD⊥ , CD AD⊥ , ∠ = ∠1 2 (рис. 2). Доведіть, що
∆ = ∆ABD DCA .
3. Диктант.
1) Якщо катети прямокутного трикутника дорівнюють 12 см і 9 см,
то гіпотенуза дорівнює…
2) Якщо дві більші сторони прямокутного трикутника дорівнюють
17 і 15, то третя сторона дорівнює…
3) Якщо діагональ квадрата дорівнює 12 см, то сторона квадрата
має довжину…
4) Якщо діагоналі ромба мають довжини 12 см і 16 см, то сторона
ромба має довжину…

1. Теорема, обернена до теореми Піфагора: формулювання та дове
дення.
2. Єгипетський трикутник.
3. Піфагорові трійки чисел, піфагорові трикутники.
Матеріал, винесений для вивчення на урок, донедавна містився
у підручнику у вигляді опорної задачі. За новою програмою з мате
матики серед програмових вимог знання теореми, оберненої до те
ореми Піфагора, та вміння доводити її, також окремо не виділені.
Проте розв’язування багатьох задачі, пов’язаних із прямокутним
трикутником, базується саме на застосуванні цієї теореми. Тому,
вивчивши теорему Піфагора, учні мають принаймні ознайомити
ся із змістом та доведенням оберненої теореми, а також сформува
ти вміння застосовувати її для визначення виду трикутника із зада
ними довжинами сторін.
Зміст матеріалу п. 13.2, що міститься після доведення теореми, не
є обов’язковим для вивчення всіма учнями, проте, з огляду на те, що
в задачах досить часто фігурують саме піфагорові трикутники, знання
цього поняття, а також знання учнями декількох піфагорових трійок
(найбільш часто зустрічаються трійки: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 6, 8, 10; 8, 15, 17)
може допомогти учням суттєво спростити обчислення невідомих сторін
трикутників. (Для учнів, які цікавляться математикою, пропонуються
формули для складання піфагорових трійок.)
Якщо m і n — натуральні числа, то числа 2mn , m n2 2
− і m n2 2
+
складають піфагорові трійки. Доведіть.
З метою закріплення знань учнів щодо змісту теореми, оберненої до
теореми Піфагора, а також формування вмінь застосування твердження
цієї теореми до розв’язування задач, учні мають послідовно розв’язати
усні задачі.
1. Чи правильно визначено вид трикутника?
а) Оскільки 12 13 52 2 2
≠ + , то трикутник зі сторонами 5, 12, 13 не є
прямокутним;
б) оскільки 6 5 1= + , то сторона довжиною 6 одиниць лежить проти
прямого кута.

2. Визначте вид трикутника ABC , якщо:
1) AC = 5 , BC = 6 , AC = 7 ;
2) AC = 4 , BC = 2 5 , AC = 6 .
3. Яку градусну міру має найбільший кут три
кутника зі сторонами 6, 8 і 10? Чому?
4. Сторони паралелограма дорівнюють 3 см
і 4 см, а діагональ — 5 см. Визначте вид па
ралелограма.
5. Чи правильно зроблено до рисунка 3 та
кий запис: «Дано AB = 5 см, BD = 4 см,
AC = 6 см, ABCD — паралелограм»?
Побудуйте трикутник зі сторонами 2,5 см, 6 см і 6,5 см. Виміряйте
найбільший кут трикутника. Підтвердьте здобутий результат за
допомогою теореми, оберненої до теореми Піфагора.
1. Визначте, чи є прямокутним трикутник зі сторонами:
а) 4, 5, 6;
б) 2, 7 , 13 .
2. Діагоналі паралелограма дорівнюють 16 см і 30 см, а сторона —
17 см. Доведіть, що даний паралелограм є ромбом.
3. Сторони трикутника дорівнюють 15 см, 20 см і 25 см. Знайдіть
медіану і висоту, проведену до найбільшої сторони.
4. Знайдіть висоти трикутника, якщо його сторони дорівнюють 7 см,
24 см і 25 см.
Крім того, на уроці слід виділити час для розв’язування задач на
застосування теореми Піфагора.
1. У рівнобедреному прямокутному трикутнику знайдіть:
а) гіпотенузу, якщо катет дорівнює 4 см; 2 2 см; a см;
б) катет, якщо гіпотенуза дорівнює 10 см; 2 см; c см.
2. Дві сторони прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см.
Знайдіть довжину третьої сторони. Скільки розв’язків має задача?
3. У рівносторонньому трикутнику знайдіть висоту, якщо сторона
дорівнює 6 см; 2 3 см; a см.
4. Висота рівнобедреного трикутника ділить бічну сторону на відріз
ки завдовжки 1 см і 12 см, починаючи від основи. Знайдіть основу

Під час розв’язування задач на пряме застосування теореми, обер
неної до теореми Піфагора (див. усні вправи № 2, 3), слід вимага
ти від учнів попереднього відтворення змісту теореми із наступ
ним записом відповідної рівності і перевіркою правильності здо
бутої рівності.
Також на уроці продовжується формування вмінь застосовувати
теорему Піфагора. Тому, щоб уникнути плутанини, слід зауважити учням,
що вивчені теореми мають різні сфери застосування: теорема Піфагора
застосовується у випадку, коли за умовою задачі дано прямокутний
трикутник (або існування прямокутного трикутника обумовлено
властивостями фігур, даних в умові — див. властивості чотирикутників
та поняття висоти трикутника); обернена теорема використовується
у випадку, коли умова задачі містить довжини сторін деякого
трикутника (абсолютні значення або у вигляді виразів чи відношень)
і умовою задачі вимагається визначити, чи є трикутник прямокутним.
Також слід звернути увагу на задачі № 1, 3 (письмові вправи) —
у задачах виводяться формули, які корисно зафіксувати в конспектах
учнів як опорні.
Гіпотенуза прямокутного рівнобедреного трикутника з катетом
a обчислюється за формулою c a= 2 ; висота рівностороннього
трикутника зі стороною a обчислюється за формулою h
a
=
3
2
.
Дві сторони трикутника мають довжини 4 см і 5 см. Якою може
бути довжина третьої сторони, щоб цей трикутник був прямокутним?
Піфагоровим?
Вивчити зміст основних понять уроку.
1. У квадраті знайдіть:
а) діагональ, якщо сторона дорівнює a ;
б) сторону, якщо діагональ дорівнює d .
2. Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 16 см і 20 см. Який кут
утворює з найменшою стороною бісектриса найбільшого кута?
3. У рівносторонньому трикутнику знайдіть сторону, якщо висота
дорівнює 1 см; 3 3 см; h см.
Повторити означення перпендикуляра до прямої, теорему Піфагора,
властивості сторін прямокутного трикутника.
 Урок № 36
Перпендикуляр і похила. Розв’язування задач
Мета: сформувати в учнів свідоме розуміння змісту понять похилої
до прямої, проекції похилої на пряму, а також властивостей перпенди
куляра, похилих та їх проекцій.
• відтворювати зміст вивчених понять;
• знаходити названі геометричні об’єкти на рисунку;
• виконувати рисунок із зображенням названих об’єктів за даним
описом;
• застосовувати формулювання властивостей перпендикулярів,
похилих та проекцій для розв’язування задач.
Тип уроку: застосування знань, умінь та навичок.
Наочність та обладнання: конспект «Перпендикуляр і похила».
Хід уроку
1 Закінчіть речення: Якщо
квадрат сторони трикутника
дорівнює сумі квадратів двох
його інших сторін, то…
У ∆MNK MN MK NK2 2 2
= + .
Знайдіть градусну міру найбіль
шого кута ∆MNK
2 У ∆STO ST TO SO2 2 2
+ = .
Яка градусна міра найбіль
шого кута ∆STO ?
Заповніть пропуски: Якщо квад
рат сторони… дорівнює сумі
квадратів двох інших сторін…, то
кут… прямий
3 Визначте, чи є в трикутнику прямий кут, якщо його сторони
40 см, 41 см, 9 см 25 см, 24 см, 27 см
4 Діагоналі паралелограма ма
ють довжину 6 см і 8 см,
а одна зі сторін — 5 см. Що
можна сказати про цей па
ралелограм?
Відомо, що довжина сторін па
ралелограма 5 см і 12 см, а одна
з діагоналей має довжину 13 см.
Що можна сказати про цей пара
лелограм?

Учитель повідомляє про те, що в математиці існують поняття, влас
тивості яких мають пряме відношення до теореми Піфагора. На уроці
відбудеться ознайомлення учнів з цими поняттями, а також будуть до
сліджені їх властивості, що випливають із тверджень теореми Піфагора.
З метою успішного засвоєння учнями змісту поняття похилої
до прямої, проекції похилої на пряму, а також розуміння учнями
їх властивостей, слід активізувати знання і вміння щодо означення
перпендикуляра, проведеного з точки поза прямою, та його
властивостей; означення прямокутного трикутника та властивостей
його сторін; теореми Піфагора.
1. Два креслярські трикутники розміщені так,
як показано на рис. 1. Що можна сказати
з цього приводу?
2. Чи може діагональ прямокутника бути мен
шою за одну з його сторін?
3. Чи може діагональ ромба бути в два рази
довшою за його сторону?
4. У теоремі Піфагора назвіть умову і висновок.
1. Похила, проведена з точки до прямої; основа перпендикуляра та
основа похилої; проекція похилої на пряму.
2. Властивості перпендикуляра, похилих та їх проекцій.
Конспект 14
Перпендикуляр і похила
Відрізок AB — перпендикуляр до прямої a ; відрізок AC — похила
до прямої; відрізок BC — проекція похилої AC на пряму a .
Властивості
Якщо AB a⊥ , AC , AD — похилі, то
1) AC AB> ; AC BC> ;
2) AC AD BC BD= ⇔ = ;
3) AC AD BC BD> ⇔ > .
Якщо перпендикуляр і похила проведені з однієї точки до однієї пря
мої, то
будьяка похила біль
ша за перпендикуляр
і за свою проекцію
Рівні похилі мають
рівні проекції, і нав
паки
більша похила має
більшу проекцію,
і навпаки
Засвоєння змісту понять «похила…» та їх властивостей відбувається
у процесі розв’язування усних задач.
1. Із точки поза прямою проведено до неї дві похилі, одна з яких
має довжину 10 см і утворює зі своєю проекцією на пряму кут 30°.
Знайдіть довжину другої похилої, якщо вона утворює з прямою
кут 45°.
2. У трикутнику ABC ∠ = °A 90 . Назвіть:
а) похилу до прямої AB , проведену з точки C ;
б) проекцію похилої BC на пряму AC .
3. Відрізки a1 і a2 — проекції похилих l1 і l2 , проведених з однієї точ
ки до однієї прямої. Порівняйте:
а) l1 і l2 , якщо a a1 2< ;
б) a1 і a2 , якщо l l1 2= .
4. Дві похилі до однієї прямої мають рівні проекції. Чи обов’язково
ці похилі рівні?
5. Скільки рівних похилих до даної прямої можна провести з точки,
яка не лежить на цій прямій?
Під час розв’язування задач бажано виконувати відповідні
ілюстрації.
6. Сформулюйте теорему Піфагора, використовуючи поняття «пер
пендикуляр», «похила», «проекція похилої».

1. Дано прямі m і n , точку A поза ними
(див. рис. 2). Проведіть перпендикуляри
з даної точки до даних прямих. Із даної
точки проведіть по дві похилі до кож
ної з прямих. Виконайте записи влас
тивостей перпендикуляра, похилих та їх
проекцій на відрізки, що утворилися на
вашому рисунку, виконавши необхідні
вимірювання.
2. Із точки, що лежить на відстані 4 см від даної прямої, треба про
вести дві похилі довжиною 5 см і 6 см. Як виконати цю побудову?
Скількома способами це можна зробити?
1. Із точки, взятої на відстані 12 см від прямої, проведено до неї дві
похилі. Знайдіть відстань між основами похилих, якщо їх сума
дорівнює 28 см, а проекції похилих відносяться як 5 : 9.
2. Із однієї точки до даної прямої проведено дві рівні похилі. Відстань
між їх основами 14 см. Визначте проекції похилих на дану пряму.
3. Точка знаходиться на відстані 6 см від прямої. З неї до прямої про
ведено похилу, яка утворює з прямою кут 45°. Знайдіть проекцію
похилої на цю пряму.
4. Із точки поза прямою проведено до неї дві похилі, довжина однієї
з них дорівнює 25 см, а довжина її проекції — 15 см. Знайдіть дов
жину другої похилої, якщо вона утворює з прямою кут 30°.
5. Із точки до прямої проведено перпендикуляр завдовжки 8 см і дві
похилі з довжинами 10 см і 17 см. Знайдіть відстань між основами
похилих. Скільки розв’язків має задача?
6. Знайдіть висоту, проведену до найбільшої сторони трикутника зі
сторонами 15, 41 і 52.
1. Нехай MN — перпендикуляр, опущений із точки M на пряму a ,
а P і R — будьякі точки прямої a (рис. 3). Яке твердження не
правильне?
1) Відрізки MP і MR називаються похилими, проведеними з точки
M до прямої a .
2) PN і RN — проекція похилих MP і MR .
3) Якщо PN NR< , то MP MR< .
4) З даної точки поза прямою можна провести до неї три похилі
однакової довжини.
2. Похила довжиною 10 см, проведена з даної точки до прямої, має
проекцію довжиною 6 см. Обчисліть довжину перпендикуляра,
опущеного з тієї самої точки на пряму.
1) 9 см; 2) 8 см; 3) 7 см; 4) 6 см.
Рис. 3 Рис. 4
3. Із точки K до прямої a проведено перпендикуляр і похилу дов
жиною відповідно 15 см і 17 см. Знайдіть проекцію похилої.
1) 6 см; 2) 7 см; 3) 8 см; 4) 9 см.
4. У трикутнику ABC ∠ = °C 90 , CD AB⊥ , AC =13 см, CD = 5 см,
AB = 20 см (рис. 4). Знайдіть проекцію катета CB на гіпотену-
зу AB .
1) 5 см; 2) 6 см; 3) 7 см; 4) 8 см.
5. Відрізок MN дорівнює 25 см. Його кінці лежать від прямої a на
відстані 4 см і 11 см. Знайдіть проекцію відрізка MN на цю пряму.
1) 22 см; 2) 23 см; 3) 24 см; 4) 20 см.
Вивчити зміст основних понять уроку.
1. З точки до прямої проведено перпендикуляр і похилу. Знайдіть дов
жину:
а) похилої, якщо її проекція дорівнює 9 см, а перпендикуляр має
довжину 40 см;
б) перпендикуляра, якщо похила та її проекція дорівнюють
відповідно 29 см і 20 см.
2. Знайдіть висоту, проведену до найбільшої сторони трикутника зі
сторонами 15, 13 і 14.

3. Із точки до прямої проведено перпендикуляр і дві похилі, різни
ця довжин яких складає 8 см. Знайдіть довжину перпендикуляра,
якщо проекції похилих дорівнюють 8 см і 20 см.
Повторити ознаки подібності прямокутних трикутників, означення
бісектриси трикутника, властивість бісектриси рівнобедреного
трикутника, проведеної до основи.
Урок № 37
Застосування подібності: властивість бісектриси
трикутника
Мета: домогтися засвоєння учнями змісту теореми, що виражає
властивість бісектриси трикутника та її доведення.
Формувати вміння:
• відтворювати зміст вивченої теореми;
• за готовими рисунками із зображенням трикутника та його бісек
триси знаходити пропорційні відрізки;
• виконувати записи відповідно до формулювання теореми та умови
задачі;
• застосовувати формулювання теореми до розв’язування задач на
обчислення відрізків у трикутнику.
Наочність та обладнання: конспект «Застосування подібності три
кутників».
Хід уроку
За необхідності перевірити виконання письмової частини
домашнього завдання проводиться усна робота за готовими рисунками
до домашніх задач.
Засвоєння змісту матеріалу попереднього уроку та формування
оперативних умінь можна перевірити під час виконання учнями
тестового завдання.
1. Яке з тверджень не є наслідком теореми Піфагора? Якщо з однієї
точки до прямої проведено перпендикуляр і похилі, то:
1) похилі більші від перпендикуляра;
2) рівні похилі мають рівні проекції;
3) з двох похилих більша та, у якої проекція більша;
4) перпендикуляр більший за проекцію похилої.
2. З точки M опущено перпендикуляр MN = 12 см на пряму a і про
ведено похилі MP = 13 см і MQ = 15 см. Знайдіть різницю між
проекціями цих похилих.
1) 5 см; 2) 9 см; 3) 4 см; 4) 3 см.
3. Пожежну драбину, довжина якого 25 м, приставлено до даху
будинку. Проекція драбини на землю дорівнює 15 м. Яка висота
стіни будинку?
1) 18 м; 2) 19 м; 3) 20 м; 4) 21 м.
4. Нехай MN — перпендикуляр, опущений з точки M на пряму a;
MP, MQ, MR — похилі, проведені з точки основи перпендикуляра
N відповідно на 18, 15 і 14 см. Яка з похилих має найбільшу
довжину?
1) MR; 2) MQ; 3) MP.
5. З точки M до прямої проведено перпендикуляр довжиною 12 см
і дві похилі, одна з яких утворює із своєю проекцією кут 45°, а друга
дорівнює 13 см. Яка довжина суми проекцій?
1) 7 см; 2) 18 см; 3) 17 см; 4) 16 см.
Учитель нагадує учням (або організує роботу таким чином, щоб учні
самі «проговорили»), що всі твердження про прямокутний трикутник,
які були вивчені протягом останніх трьох уроків, ґрунтуються на
застосуванні до прямокутного трикутника метричних співвідношень,
що випливають із подібності прямокутних трикутників.
Проте доведеними властивостями для прямокутного трикутника
практичне значення подібності трикутників не обмежується. Новий ма
теріал, вивчення якого починається на цьому уроці, вміщує деякі зі спів
відношень відрізків у трикутнику та в колі, які є результатом застосуван
ня подібності трикутників. Отже, мета уроку — вивчення одного з таких
співвідношень (під вивченням, звісно, слід розуміти ознайомлення зі
змістом, доведення, опанування способами практичного застосування).

З метою успішного засвоєння учнями змісту навчального матеріа
лу уроку учням слід активізувати знання і вміння щодо поняття про
порційних відрізків; означення подібних трикутників та ознаки подіб
ності прямокутних трикутників за гострим кутом; означення бісектри
си трикутника.
1. Дано: ∠ = ∠1 2 (рис. 1). Доведіть, що
BD
BF
AD
BC
= .
Рис. 1 Рис. 2
2. ∆ABC і ∆ADE — прямокутні і рівні (рис. 2). Доведіть, що
BC
DE
AB
AD
= .
3. ∆ ∆ABM B A C 1 1 1 , B, M, A, H — висоти (рис. 3). Доведіть, що
∆ ∆ABM B A H 1 1 1 .
4. ∆ ∆ABM A B C 1 1 1, ABCD — паралелограм, BM AD⊥ , BH CD⊥ (рис.
4). Доведіть, що
AB
BC
BM
BH
= .
Рис. 3 Рис. 4
5. Визначте, чи є відрізки завдовжки a і b пропорційними відрізкам
c і d , якщо:
а) a = 8 см; b = 24 см; c = 4 см; d =12 см;
б) a = 9 см, b =14 см; c = 7 см, d =18 см.
1. Теорема про властивість бісектриси трикутника: формулювання
і доведення.
2. Приклади застосування властивості бісектриси трикутника.
Властивість бісектриси трикутника традиційно вивчається у зв’язку
з подібністю прямокутних трикутників (див. Геометрія, 7–9,
О. В. Погорєлов, п. 106). Зміст і спосіб доведення відповідної влас
тивості в новому підручнику, порівняно з традиційним, не змінено;
відмінність полягає тільки в тому, що властивість бісектриси три
кутника подано як теорему, а тому вміння відтворювати та застосо
вувати зміст цієї властивості є однією з програмових вимог.
Конспект 15
Застосування подібності трикутників
Властивість бісектриси трикутника
Якщо в ∆ABC : D BC∈ , ∠ = ∠BAD CAD
( AD — бісектриса), то
BD
DC
AB
AC
= .
Бісектриса трикутника ділить проти
лежну сторону на відрізки, пропорційні
двом іншим сторонам.
Метричні співвідношення в колі
1) Якщо AB і CD — хорди кола 0;r( ), M — точка їх перетину, то
AM MB CM MD⋅ = ⋅ .
2) Якщо CB — січна, CD — дотична до кола 0;r( ) ( D — точка
дотику); CA — зовнішня частина січної, то CD CB CA2
= ⋅ .
Наслідок. Якщо PD і PB — січні до кола, PC і PA — їх зовнішні
частини, то PA PB PC PD⋅ = ⋅


1. Точки M і P — середини суміжних сторін AD і DC паралелог
рама ABCD відповідно. Відрізки MC і PB перетинаються в точці
K . Знайдіть відношення BK KP: .
2. Чи може бісектриса рівнобедреного трикутника ділити бічну сто
рону у відношенні 2 : 1, починаючи від основи? Якій теоремі це су
перечить?
3. Накресліть трикутник ABC і проведіть його бісектрису BD .
Виміряйте відрізки AB , AD і DC . За допомогою властивості бі
сектриси трикутника обчисліть довжину сторони BC . Перевірте
результат вимірюванням.
Побудуйте трикутник ABC зі сторонами AB = 6 см, BC = 7 см,
AC = 8 см. Позначте на стороні BC точку D так, щоб BD = 3 см.
Сполучіть точки A і D . Виміряйте кути BAD і CAD . Обґрунтуйте
здобутий результат.
1. Відрізок BD — бісектриса трикутника ABC . Знайдіть AB , якщо
BC = 8 см, AD = 3 см, DC = 2 см.
2. Відрізок BD — бісектриса трикутника ABC . Знайдіть сторони
трикутника, якщо AD = 8 см, DC =12 см, а периметр трикутни
ка дорівнює 45 см.
3. Бісектриса прямокутного трикутника ділить його катет на відрізки
завдовжки 4 см і 5 см. Знайдіть периметр трикутника.
4*. Діагоналі рівнобічної трапеції є бісектрисами її гострих кутів. Знай
діть середню лінію трапеції, якщо її периметр дорівнює 22 см,
а діагональ ділить висоту, проведену з вершини тупого кута, у від
ношенні 4 : 3.
Опрацювання матеріалу уроку розпочинається з виконання усних
вправ на розуміння змісту теореми про властивість бісектриси три
кутника (на готовому рисунку) та за описом ситуації (якщо необ
хідно, виконання вправ можна супроводжувати виконанням рисун
ків). Виконання графічних вправ сприяє формуванню в учнів ма
тематичної культури. Формування вмінь застосовувати властивість
бісектриси трикутника відбувається під час виконання письмових
вправ різного рівня складності — від вправ на пряме застосуван
ня теореми (у тому числі й задачі на складання рівнянь) до вправ
на застосування теореми про властивість бісектриси трикутника

в комплексі із знаннями, набутими на попередніх уроках (як у 7му,
так і 8му класах). Задачі підвищеної складності передбачають віль
не володіння всім об’ємом навчального матеріалу 8 класу.
Які помилки допущено в зображенні трикутників?
Вивчити зміст теореми.
1. Бісектриса рівнобедреного трикутника ділить бічну сторону на
відрізки завдовжки 2 см і 4 см, починаючи від основи трикутника.
Знайдіть основу трикутника.
2. Бісектриса прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відріз
ки, різниця яких складає 5 см. Знайдіть сторони трикутника, якщо
відношення катетів дорівнює 3 : 4.
3. Бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника ділить ви
соту, проведену до основи, на відрізки завдовжки 16,5 см і 27,5 см.
Знайдіть відрізки, на які ця бісектриса ділить бічну сторону три
кутника.
Повторити теорему про вписані кути та її наслідки.
Урок № 38
Метричні співвідношення в колі
Мета:домогтисязасвоєнняучнямизмістутеоремпропропорційність
відрізків хорд, пропорційність відрізків січної і дотичної та змісту наслід
ків (про відрізки січних, проведених з однієї точки кола) та їх доведення.
Сформувати в учнів уміння:
• відтворювати зміст вивчених теорем;
• за готовими рисунками знаходити відрізки, про які йде мова
в теоремах, та виконувати відповідні записи;

• застосовувати твердження теорем до розв’язування задач на
обчислення відрізків у колі.
Закріпити знання учнями змісту ознаки подібності трикутників за
двома кутами та властивості вимірювання вписаних кутів.
Наочність та обладнання: конспект «Застосування подібності три
кутників».
Хід уроку
За необхідності перевірити виконання письмової частини
домашнього завдання. Проводиться усна робота за готовими рисунками
до домашніх задач.
Засвоєння змісту матеріалу попереднього уроку та формування
оперативних умінь можна перевірити під час виконання учнями
самостійної роботи.
1. У трикутнику зі сторонами
25 см і 40 см проведено бісектрису
кута між даними сторонами. Вона
ділить третю сторону на відрізки,
менший з яких дорівнює 15 см.
Знайдіть периметр трикутника
1. У трикутнику ABC найбільша
сторона AB дорівнює 40 см. Бі
сектриса BD ділить сторону AC на
відрізки завдовжки 15 см і 24 см.
Знайдіть периметр трикутника
ABC
2. Бісектриса прямого кута пря
мокутного трикутника ділить гі
потенузу на відрізки завдовжки
15 см і 20 см. Знайдіть довжини
відрізків гіпотенузи, на які її ді
лить висота трикутника
2. Висота прямокутного трикут
ника ділить гіпотенузу на відріз
ки 12,6 см і 22,4 см. Знайдіть дов
жини відрізків гіпотенузи, на які
її ділить бісектриса прямого кута
Учитель нагадує учням, що зміст теоретичного матеріалу, вивчення
якого розпочалося на попередньому уроці, містить деякі співвідношен
ня відрізків у трикутнику та в колі, які є результатом застосування до цих
конфігурацій означення подібності трикутників (із попереднім доведен
ням подібності трикутників, утворених цими відрізками). Отже, мета
уроку — вивчення інших, ніж на попередньому уроці, співвідношень.
З метою свідомого засвоєння учнями змісту теорем та їх доведення
учням слід активізувати знання і вміння щодо знання означень та
властивостей хорд, дотичних та січних; означення вписаного кута
та властивості вимірювання вписаного кута і наслідку з неї; ознак
подібності трикутників.
1. Дайте назви всім відрізкам (рис. 1). Яка точка кола на рисунку 1 (б)
найближча до точки A? Найвіддаленіша від точки A?
Рис. 1
2. Чи все правильно на рис. 2?
Рис. 2
3. BC — дотична, O — центр кола, AB = AC (рис. 3). Доведіть, що
OB = OC.
4. О — центр кола, ∠ = °1 45ABC∠ = °1 45 (рис. 4). Знайдіть кут AOC.
5. О — спільний центр кіл (рис. 5). Доведіть, що DA = BC.
а) б) в)

6. MH — дотична, ∠ = °1 45MAB = ∠ = °1 45HAC (рис. 6). Доведіть, що AB = AC.
1. Пропорційність відрізків хорд.
2. Пропорційність відрізків січної та дотичної.
3. Пропорційність відрізків січних.
На відміну від програми з геометрії попередніх років, за но
вою програмою з геометрії, метричні співвідношення в колі не є
обов’язковими для вивчення у 8 класі. Проте, як і автори підруч
ника, автор вважає, що вивчення питання про застосування подіб
ності без вивчення цих теорем було б неповним. Тому, залежно від
рівня підготовки учнів, вивчення нового матеріалу можна провес
ти відповідно до підручника (з формулюванням, доведенням та від
працюванням умінь застосовувати викладені теореми) або, на роз
суд учителя, ознайомити учнів лише зі змістом поданих тверджень
як із додатковим матеріалом, застосування якого слід опрацювати
на найпростіших задачах.
1. Знайдіть (рис. 7):
1) AH і BC, якщо DH = 4��,� HB = 5, HC = 10, AD = 3;
2) AC, AD : BC, ��якщо ��AH : HC = 3 : 2, DH = 4, HB = 6.

2. Знайдіть (рис. 8):
1) AP�, якщо ��AP = DP, AC BP⊥ , AC = 12, CK = 4, BK = 6;
2) ��радіус кола, якщо AD BK⊥ , AP = DP, BP = 4PM, DC = 2, CK = 1,
BC = 20.
3. MC — дотична, MC = 6, AC = CB��, ��CK = 3, AB = 12 (рис. 9). Знай
діть ∠ABC .
1. При перетині з діаметром кола, хорда ділиться на відрізки за
вдовжки 3 см і 4 см, а діаметр — у відношенні 1 : 3. Знайдіть радіус
кола.
2. Із точки поза колом, віддаленої від найближчої точки кола на
24 см, проведено дотичну до кола. Знайдіть радіус кола, якщо відрі
зок дотичної дорівнює 36 см.
3. Хорда перпендикулярна до діаметра. Відстані від одного з кінців
хорди до кінців діаметрів дорівнюють відповідно 10 см і 24 см. Об
числіть довжини хорди і діаметра.
4. Із точки поза колом проведено дотичну, довжина якої дорівнює
12 см. Обчисліть радіус кола, якщо відстань від цієї точки до кола
Виконання учнями усних вправ сприяє закріпленню знань вивче
них метричних співвідношень та формуванню первинних умінь їх
застосування. Письмові вправи спрямовані на формування в уч
нів умінь виконувати рисунки за описом ситуації з використанням
знань термінології, відповідних до ситуації співвідношень, а також
виконання обчислень.
До кожного з наведених рисунків виберіть відповідну рівність.
Поясніть свій вибір.
Для кожного з наведених рисунків виберіть відповідну рівність.
Поясніть свій вибір.
Рис. 10
1) AE · BE = CE · DE; 2) AC · BC = CD · CE;
3) AC · BC = CD2
.

а) б) в)

Вивчити зміст метричних співвідношень у колі.
Розв’язати задачі
1. Січна, проведена з точки A, перетинає коло в точках B і C, причо
му AB = 4 см, BC = 5 см. Знайдіть довжину відрізка дотичної, про
веденої до кола з точки A.
2. Катет прямокутного трикутника дорівнює 18 см. Точка на цьому
катеті віддалена від гіпотенузи й іншого катета на 8 см. Знайдіть
периметр трикутника.
Повторити властивість бісектриси трикутника; теорему Піфагора
та наслідки з неї.
Задача (на повторення). При перетині двох хорд одна з них ділиться
на відрізки 6 см і 16 см, а друга — у відношенні 3 : 2. Знайдіть довжину
другої хорди.
Урок № 39
Мета: узагальнити та систематизувати знання учнів про зміст та
схеми застосування теорем, що випливають із подібності трикутників
(властивості бісектриси трикутника та метричних співвідношень у колі);
удосконалювати вміння та навички застосування набутих знань.
Наочність та обладнання: конспект 15.
Хід уроку
Засвоєння учнями матеріалу поперед
нього уроку (метричні співвідношення в
колі) можна провести у формі «німого»
диктанту. На дошці виконане зображення
ситуацій, що можуть бути описані метрич
ними співвідношеннями в колі (рис. 1).
Учитель формулює загальне завдання
для всіх учнів: для відрізків, на які він буде вказувати, записати пра
вильну рівність (відповідне метричне співвідношення). І далі мовчки
вказує по черзі на відрізки хорд, січних, дотичних. По закінченні ви
конання роботи відбувається само або взаємоперевірка робіт із комен
тарем.
Якістьвиконанняроботинапопередньомуетапіурокудаєможливість
учителю сформулювати мету уроку або як закріплення знань, набутих
під час вивчення застосування подібності трикутників та продовження
роботи із формування навичок практичного застосування знань, або ж
як відпрацювання навичок застосування знань та вдосконалення вмінь.
IV. Закріплення знань учнів
Повторення та систематизація знань учнів про зміст тверджень, які
випливають із подібності трикутників, можна провести в такій формі:
до уваги учнів пропонується рис. 2, за яким вони виконують завдання:
для кожного з рисунків скласти найбільш відповідне твердження (у
математичному та словесному вигляді). Для того щоб залучити до
роботи якомога більше учнів, можна організувати роботу в малих
групах. У такому разі спочатку завдання виконується в групах, а потім
результати презентуються та в разі необхідності коригуються.
Рис. 2
VI. Удосконалення вмінь
1. Бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника ділить ви
соту, проведену до основи, на відрізки завдовжки 16,5 см і 27,5 см.
Знайдіть відрізки, на які ця бісектриса ділить бічну сторону три
кутника.

2. Відрізок BP є бісектрисою трикутника ABC. Знайдіть:
а) AB, якщо BC = 9 см, AP = 7,5 см, PC = 4,5 см;
б) PC, якщо AB = 30 см, AP = 20 см, BP = 16 см і ∠ = ∠BPC C ;
в) PC, якщо AB = 14 см, BC = 20 см, AC = 21 см.
3. Хорди AB і CK перетинаються в точці P. Знайдіть довжини хорд,
якщо відомо, що:
1) AP = 8 см, BP = 12 см і CK : PK = 3 : 8;
2) AP : PB = 16 : 1, CK – CP = 9 см і AB + CK = 76 см.
Застосування знань у нестандартній ситуації
1. Катет прямокутного трикутника дорівнює 28 см. Точка, що нале
жить гіпотенузі, віддалена від кожного з катетів на 12 см. Знайдіть
довжини відрізків, на які ця точка ділить гіпотенузу.
2. У трикутник MNK вписано ромб MDEF так, що вершини D, E і F
лежать відповідно на сторонах MN, NK і MK. Знайдіть відрізки NE
і EK, якщо MN = 7 см, NK = 6 см, MK = 5 см.
Застосування знань у стандартних ситуаціях означає розв’язування
задач, в яких запитання стосується певного співвідношення.
Розв’язуваннятакихзадачдопомагаєучнямсформуватинавичкипро
ведення доказових міркувань із використанням вивчених тверджень.
Нестандартність ситуацій, описаних у задачах 1 і 2, полягає в тому,
що ці задачі вимагають від учнів упевненого володіння матеріалом,
вивченим як у 7му, так і у 8му класах (властивість діагоналей ромба,
означення відстані від точки до прямої; властивість точок кола та
властивість дотичної до кола, властивість вписаного кута, що спирається
на діаметр), а також нестандартного мислення.
Закінчивши розв’язання задач, учні здійснюють самооцінку знань
і вмінь та усвідомлюють, над якими питаннями теми слід додатково
працювати.
Повторити зміст основних понять теми.
1. Відрізок BD — бісектриса трикутника ABC. Знайдіть:
a) AB, якщо BC = 8 см, AD = 3 см, DC = 2 см;
б) AD і DC, якщо AB = 9 см, DC = 6 см, AC = 10 см.
2. Побудуйте трикутник за двома кутами і висотою, проведеною з вер
шини третього кута.

Самостійна робота на повторення
1. На рис. 1 ABCD — прямокутник. Знайдіть x.
2. На рис. 2 AC = 18 . Знайдіть BD.
3. За даними рис. 3 знайдіть x і y.
Урок № 40
Мета: повторити, систематизувати та узагальнити набуті знання
під час вивчення теми «Подібність трикутників. Теорема Піфагора».
Вдосконалити вміння учнів щодо застосування вивчених теоретичних
тверджень під час розв’язування типових задач.
Наочність та обладнання: конспекти 11—15.
Хід уроку
Учитель збирає зошити із виконаними задачами на застосування
подібності та із самостійною роботою на повторення. Згодом проводить

перевірку виконання самостійної роботи та корекцію; для цього до уваги
учнів пропонується правильне розв’язання задач самостійної роботи,
записане на дошці заздалегідь або виконане у формі роздавального
матеріалу (на окремих аркушах містяться ксерокопії правильних
розв’язань задач самостійної роботи).
Основна дидактична мета та завдання на урок цілком логічно
випливають із місця уроку в темі. Оскільки урок є останнім, підсумковим,
то головну увагу приділено питанню повторення, узагальнення та
систематизації знань та вмінь, набутих учнями в ході вивчення теми
«Подібність трикутників. Теорема Піфагора». Таке формулювання мети
створює відповідну мотивацію діяльності учнів.
IV. Повторення та систематизація знань
Залежно від рівня підготовки учнів, учитель може організувати їх
роботу різними способами: або як самостійну роботу за теоретич
ним матеріалом (наприклад, за підручником або за конспектом
повторити зміст основних понять теми чи скласти схему, що ві
дображає логічний зв’язок між основними поняттями теми тощо),
або в ігровій формі «Закінчити речення», або ж провести «Інтелек
туальний аукціон» (методика проведення див. урок 11), або провести
традиційне опитування (у формі інтерактивної вправи) за основни
ми питаннями теми. Список питань відповідає списку контроль
них запитань до розділу ІІ (див. підручник).
Під час виконання цієї роботи активно використовується наочність:
конспекти, матеріали до підсумкового огляду розділу ІІ підручника
тощо. Підсумком цієї роботи є повторення та систематизація знань,
яких учні набули в ході вивчення теми.
V. Систематизація вмінь
Систематизація вмінь полягає в тому, щоб сформувати в учнів певні
загальні підходи до застосування знань на практиці (розв’язування
задач) як у стандартних, так і в нестандартних ситуаціях.
Застосування знань учнів у стандартних ситуаціях
Учні усно розв’язують завдання (або відтворюють план розв’язання
типових задач) за готовими рисунками.
1. За даними рис. 1 доведіть, що ∆ ∆ABC ADE .


2. На рис. 2 ∆ ∆ABC A B C 1 1 1 , PA B C1 1 1
45= . Знайдіть x, y і z.
Рис. 1 Рис. 2
3. На рис. 3 ABCD — трапеція. Доведіть,
що ∆ ∆BOC DOA .
Застосування знань учнів у нестандар
тних ситуаціях
1. Знайдіть сторони рівнобедреного три
кутника з периметром 16 см, якщо
медіана, проведена до основи, дорів
нює 4 см.
2. Периметр рівнобедреної трапеції дорівнює 1 м, а різниця основ
складає 14 см. Знайдіть радіус кола, вписаного в трапецію.
3. Катет прямокутного трикутника дорівнює 32 см. Точка, що лежить
на цьому катеті, віддалена від кінців гіпотенузи на 25 см. Знайдіть
периметр трикутника.
4. Прямокутний трикутник із катетами a і b та гіпотенузою c подіб
ний прямокутному трикутнику з катетами a1
і b1
та гіпотенузою c1
.
Доведіть, що aa bb cc1 1 1+ = .
Під час розв’язування задач слід вимагати від учнів виділення
ключового теоретичного факту, який лежить в основі розв’язання, а
тому визначає вид задачі. Таким чином, наприкінці уроку складається
список типових задач розділу та відповідні ключі до їх розв’язання.
Отже, досягається мета етапу систематизації вмінь.
Основним підсумком уроку має бути усвідомлення учнями низки
задач, які вони мають уміти розв’язувати із використанням знань,
набутих під час вивчення теми 3.
Повторити зміст теоретичних відомостей.
Виконати домашню контрольну роботу.

1. Доведіть подібність трикутників ABE
і DCE, якщо AB || CD (рис. 4).
2. Периметр прямокутника дорівнює 34
см, а одна зі сторін — 5 см. Знайдіть діа
гональ прямокутника.
3. Сторони трикутника пропорційні чис
лам 21, 20 і 29. Доведіть, що даний три
кутник прямокутний.
4. Із точки до прямої проведено перпендикуляр і дві похилі завдовж
ки 17 см і 10 см. Проекції похилих відносяться як 2 : 5. Знайдіть
довжину перпендикуляра.
5. У прямокутному трикутнику бісектриса ділить гіпотенузу на відріз
ки 15 см і 20 см. На які відрізки ділить гіпотенузу висота трикутника?

Урок № 41
Мета: перевірити рівень засвоєння учнями змісту основних понять
теми та якість сформованих умінь із застосуванням набутих знань.
Тип уроку: контроль та корекція знань.
Хід уроку
Учитель збирає зошити із виконаною контрольною роботою (робо
ту перевірити та врахувати під час виставлення тематичного бала).
є демонстрація учнями своїх навчальних досягнень, а саме: показати
знання змісту основних понять, вивчених у темі, а також оволодіння
способами дій із застосування набутих знань під час розв’язування задач.
Варіант 1
1. За даними рис. 1 доведіть подібність три
кутників ABE і CDE.
2. Гострі кути двох прямокутних трикутників
відповідно рівні. Гіпотенуза і катет одно
го трикутника дорівнюють 20 см і 16 см.
Знайдіть периметр другого трикутника,
якщо його гіпотенуза дорівнює 30 см.
3. Із точки до прямої проведено дві похилі. Довжина однієї з них
дорівнює 45 см, а довжина її проекції на пряму — 21 см. Знайдіть
довжину другої похилої, якщо вона утворює з прямою кут 45°.
4. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 14 см і 24 см, а більша
діагональ є бісектрисою прямого кута. Знайдіть периметр трапеції.
Варіант 2
1. За даними рис. 2 доведіть подібність три
кутників EAB і ECD.
2. Катети прямокутного трикутника завдовж
ки 10 см і 24 см відповідно пропорційні ка
тетам іншого прямокутного трикутника.
Знайдіть гіпотенузу другого трикутника,
якщо його менший катет дорівнює 20 см.
3. Із точки до прямої проведено дві похилі. Одна з них завдовжки
24 2 см утворює з прямою кут 45°. Знайдіть довжину другої по
хилої, якщо її проекція на пряму дорівнює 18 см.
4. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 24 см і 34 см, а менша
діагональ є бісектрисою прямого кута. Знайдіть периметр трапеції.
(після виконання роботи) оголошення правильних відповідей до
завдань, виконаних учнями, або роздати учням для опрацювання вдома
(домашній аналіз контрольної роботи) копії правильних розв’язань
завдань контрольної роботи (заготовлених учителем заздалегідь).
Виконати аналіз контрольної роботи (за розданими розв’я
заннями).

Тема III. Многокутники. Площі многокутників
Урок № 42
Ламана і многокутник
Мета: сформувати в учнів поняття:
• ламана та її елементи;
• проста ламана;
• многокутник та його елементи;
• периметр многокутника;
• опуклий многокутник;
• внутрішній та зовнішній кути многокутника;
• многокутник, вписаний у коло та многокутник, описаний нав
коло кола.
Формувати вміння відтворювати означення вивчених понять; на
готовому рисунку знаходити зображення вивчених понять, і навпаки,
виконувати рисунок із зображенням вивчених понять за умовою зада
чі; застосовувати зміст вивчених понять під час розв’язування найпро
стіших задач.
Наочність та обладнання: конспект «Ламана. Многокутник».
Хід уроку
I. Організаційний етап
Оскільки урок є першим у третьому розділі курсу геометрії для
8 класу («Многокутники. Площі многокутників»), то на цьому етапі
уроку доречно буде надати учням інформацію про:
• орієнтовний план вивчення третього розділу;
• кількість навчальних годин;
(Цю інформацію можна помістити на стенді «Довідковоінфор
маційний куточок» у кабінеті математики та з метою економії часу зап
ропонувати учням для самостійного ознайомлення у позаурочний час.)
II. Перевірка домашнього завдання
Якщо на попередньому уроці було задано виконати письмове за
вдання (аналіз розв’язання задач контрольної роботи, корекційну ро
боту тощо), то правильність виконання цієї роботи вчитель перевіряє,
зібравши зошити учнів на перевірку (для оцінювання).
III. Формулювання мети і завдань уроку
Для свідомого розуміння учнями логіки вивчення навчального ма
теріалу та з метою сприяння кращому засвоєнню змісту матеріалу вчи
тель пропонує учням розв’язати просте логічне завдання:
Порівняйте об’єкти, зображені на рис. 1. Що спільного мають ці
об’єкти? Чим вони відрізняються? Який із цих об’єктів ви б видалили
як зайвий? Чому?
Рис. 1
Розв’язання завдання допомагає учням повторити та систематизу
вати знання щодо виду геометричних фігур, властивості яких учні вив
чали у 7–8 класах, а також усвідомити необхідність узагальнення цих
знань (поняттям многокутника). Отже, формулюється мета уроку: уза
гальнити знання учнів про зміст загального поняття многокутника, окре
мими випадками якого є трикутник та чотирикутник, а також вивчи
ти питання про застосування деяких властивостей вивченого поняття.
З метою успішного засвоєння учнями змісту понять уроку учням
слід активізувати знання і вміння щодо означення та елементів трикут
ника й чотирикутника; змісту поняття «опуклий чотирикутник»; «внут
рішній та зовнішній кути трикутника та чотирикутника»; поняття чо
тирикутника, вписаного в коло, та чотирикутника, описаного навколо
кола; поняття периметра трикутника та чотирикутника; означення та
властивості суміжних кутів.

1. Знайдіть усі трикутники, дві вершини яких
знаходяться в точках A та B (рис. 2).
2. Чи є на рисунку 3 суміжні кути; вертикаль
ні кути? Відповідь поясніть.
Рис. 3 Рис. 4
3. Назвіть кути, кожний з яких є зовнішнім для кількох трикутників,
зображених на рис. 4.
4. Чотирикутники, як відомо, бувають опуклі й неопуклі. А чому про
трикутники не говорять, що вони не бувають опуклі чи неопуклі?
5. Чому дорівнює сума всіх кутів опуклого чотирикутника?
1. Поняття ламаної; елементи ламаної.
2. Проста ламана.
3. Многокутник; елементи многокутника. Внутрішня область много
кутника.
4. Периметр многокутника.
5*. Кількість діагоналей многокутника.
6. Опуклі многокутники.
7. Кути многокутника. Правильний многокутник.
8. Многокутник, вписаний у коло; многокутник, описаний навколо
кола.
Матеріал §15 нового підручника є досить традиційним, однак,
порівняно з відповідним змістом попередніх підручників, він міс
тить деякі нові елементи. Згідно з новою програмою з математики
для дванадцятирічної школи разом із поняттям многокутника виз
начається і поняття многокутника, вписаного в коло, і многокут
ника, описаного навколо кола; формулюється поняття внутрішнь
ої області многокутника. Проте деякі поняття, що традиційно вив
чались у цій темі, в новому підручнику відсутні: відсутня теорема

про властивість довжини ламаної, як і саме поняття довжини ла
маної (хоча її наслідок про довжину сторони многокутника пода
но в підручнику як опорна задача); також вилучено поняття плас
кого многокутника . Якщо рівень пізнавальної активності учнів до
сить високий, то до матеріалу, який міститься в підручнику, автор
пропонує додати ще формулу для обчислення кількості діагоналей
n кутника та поняття правильного многокутника, тим самим да
ючи можливість розширити діапазон задач на застосування теоре
ми про суму кутів опуклого многокутника.
Оскільки п. 15.1 підручника містить досить багато нової терміноло
гії (у попередні роки на вивчення цього матеріалу відводилось 2 уроки),
на цьому уроці теорему про суму кутів опуклого чотирикутника краще
не вивчати (щоб не переобтяжувати учнів новим матеріалом), проте,
залежно від рівня інтелектуальної активності учнів, учитель може при
йняти рішення про інший розподіл навчального часу: на цьому уроці
вивчити зміст теоретичних понять та виконати роботу на закріплення
знань учнів, а наступного уроку — відпрацьовувати вміння застосову
вати вивчений матеріал під час розв’язування задач.
Вивчення нового матеріалу п. 15.1 підручника вчитель на свій роз
суд або проводить сам, використовуючи рис. 136, 137, 138, 139 підруч
ника (або конспект 16), або організує самостійну роботу учнів з ово
лодіння знаннями за поданим планом. Правильність розуміння учнями
змісту вивчених понять закріплюється під час розв’язування відповід
них усних вправ (див. нижче) після вивчення кожного поняття або піс
ля вивчення змісту всього теоретичного матеріалу уроку.
Конспект 16
Ламана. Многокутник
Ламана
Означення. Фігура, яка складається з точок
A1 , A2 ,..., An , послідовно сполучених відрізка
ми, називається ламаною.
Ламана A1A2 A3 A4 An:
точки A1 , A2 , A3 ,... — вершини ламаної;
A1 і An — кінці ламаної;
відрізки A A1 2 , A A2 3 ,... — ланки ламаної.
À
À
ÀÀ
À
À
À
ÀÀ
À

Проста ламана
Немає самоперетинів
Замкнена ламана
Кінці збігаються
À
À
À
À
À
À
À
À
À
À
Многокутник
Означення. Замкнена проста ламана, сусідні ланки якої не лежать
на одній прямій, називається многокутником.
À À
ÀÀ
À
À
À
À
À
À
Многокутник A1 A2 A3 ... An називається n кутником, у нього
точки A1 , A2 , A3 ,... — вершини;
відрізки A A1 2 , A A2 3 ,... — сторони;
сума сторін: P A A A A= + +1 2 2 3 ... — периметр;
відрізки, що з’єднують несусідні вершини: A A1 3 , A A1 4 , ... — діа
гоналі;
кути A1 , A2 , ... — внутрішні кути;
кути ∠1, ∠ 2 — зовнішні кути.
Опуклі многокутники
À
À
À
À
À
À
À
À
À
À
Властивості (опуклих) многокутників
В опуклому n кутнику:
1) із кожної вершини можна провести n −3 діагоналі;
2) кількість усіх діагоналей дорівнює
n n −( )3
2
;
3) для будьякої сторони a справедливо, що a P< ( P — пери
метр n кутника);
4) сума внутрішніх кутів S nn = ° −( )180 2 ;
5)сумазовнішніхкутів,взятихпоодномуприкожнійвершині,—360°;
6) якщо всі сторони і всі кути рівні, то n кутник є правильним,
і тоді a
P
n
= ( P an= , P — периметр; a — сторона);
α =
° −( )180 2n
n
— внутрішній кут; β =
°360
n
— зовнішній кут
1. Чи можна вважати ламаними фігури, що зображені на рис. 5? Дай
те пояснення.
Рис. 5
2. Назвіть вершини, ланки ламаної (рис. 6). Чи є ламана простою? за
мкненою?
3. На якому з рисунків (рис. 7) зображено опуклий многокутник?

À
B
C
D
À
B
C
D
Å
À
B C D
Å
Ê
Рис. 7.
4. Скільки діагоналей виходить з однієї
вершини семикутника?
5. Чи може діагональ шестикутника ділити його:
а) на два трикутники;
б) на два чотирикутники;
в) на трикутник і п’ятикутник?
6. Діагональ відтинає від п’ятикутника чотирикутник. Який вид має
частина, що залишилася?
Накресліть опуклий п’ятикутник.
а) Проведіть усі діагоналі п’ятикутника. Скільки діагоналей
виходить з однієї вершини?
б) Яка фігура утворилася при попарному перетині діагоналей?
в) Виміряйте кути п’ятикутника та обчисліть їх суму. Перевірте
здобутий результат, користуючись
відповідною теоремою.
1. В опуклому п’ятикутнику ABCDE вершина
B з’єднана рівними діагоналями з верши
нами D і E . Відомо, що ∠ = ∠ABE CBD ,
∠ = ∠BEA BDC . Порівняйте периметри
чотирикутників ABDE і BCDE .
2. Довжина будьякої сторони многокутника менша від суми довжин
решти сторін. Доведіть.
Розв’язування як усних, так і письмових вправ спрямоване на:
•закріпленняучнямививченоїтермінології(тому,виконуючикомен
тарідозадач,учнімаютьправильновідтворюватиназвививченихпонять);
• формування вмінь учнів переходити від нових понять уроку до
вже відомих їм та наводити доказові міркування, ґрунтуючись на здо
бутих раніше знаннях.
Який з об’єктів на рис. 9 зайвий? Чому?
Рис. 9
Вивчити зміст та формулювання означень нових понять.
1. Накресліть опуклий шестикутник.
а) Проведіть червоним кольором діагональ, яка ділить даний шес
тикутник на два чотирикутники. Скільки існує таких діагоналей?
б) Проведіть синім кольором діагональ, яка ділить даний шестикут
ник на трикутник і п’ятикутник. Встановіть закономірність між кіль
кістю кутів опуклого многокутника і сумарною кількістю кутів много
кутників, на які він ділиться діагоналлю.
2. Периметр опуклого многокутника дорівнює 20 см. Чи може його
діагональ дорівнювати 10 см? Відповідь поясніть.


3. У шестикутнику ABCDEF усі сторони рівні. Більша діагональ, про
ведена з вершини A , паралельна стороні BC , ∠ = ∠BAD CDA .
Порівняйте периметри п’ятикутників ACDEF і ABDEF .
Урок № 43
Сума кутів опуклого многокутника
Мета: закріпити знання змісту понять, вивчених на попередньому
уроці. Працювати над засвоєнням учнями змісту та доведення теореми
про суму кутів опуклого многокутника.
• відтворювати зміст вивченої теореми;
• застосовувати теорему під час розв’язування задач на знаходжен
ня градусної міри кутів многокутників.
Тип уроку: засвоєння нових знань, умінь та навичок.
Наочність та обладнання: конспект «Ламана. Многокутник».
Хід уроку
1. Закінчіть речення:
Ламаною називається фігура, яка складається з...
2. Дано незамкнену просту ламану ABCDE . Виконайте її зображен
ня. Назвіть усі вершини та ланки ламаної.
Многокутником називається...
4. В опуклому многокутнику ABCDE назвіть: сторони; вершини; діа
гоналі, проведені з точки B. Виконайте зображення цього много
кутника та, провівши необхідні вимірювання, обчисліть периметр
многокутника.
5. Скільки всього діагоналей можна провести в опуклому
п’ятикутнику?
6. Дано коло O R;( ). Як виконати зображення деякого шестикутника,
вписаного в це коло?
Учням пропонується до уваги логічна вправа (рис. 1).
Яке число пропущене?
À
À
À
À
À
À
À
À
À
À
À
Рис. 1
Легко помітивши закономірності записів у першому та другому
рядках (рис. 1), учні усвідомлюють, що для виконання завдання слід
знайти суму кутів опуклого многокутника. Під час обговорення мож
ливих варіантів відповідей слід спрямувати думки учнів у такому на
прямку: сума кутів многокутника не є сталим числом, у разі збільшен
ня кількості сторін (кутів) сума збільшується. Отже, слід з’ясувати, чи
існує залежність суми кутів многокутника Sn від кількості сторін n ,
і якщо існує, то як цю залежність задати аналітично. Пошук відповіді
на це запитання є метою уроку.
З метою успішного засвоєння учнями змісту теореми про суму кутів
опуклого многокутника та ідеї її доведення слід активізувати знання
і вміння щодо застосування теореми про суму кутів трикутника; зна
чення повного центрального кута, означення многокутника, означен
ня зовнішнього кута многокутника, означення правильного многокут
ника.
1. Чи можна провести діагоналі у шес
тикутнику (рис. 2)? Якщо можна, то
скільки?
2. Чи можна побудувати чотирикутник із
двома прямими і двома тупими кута
ми?
3. Чи може найменший кут чотирикутника дорівнювати 92°?
4. Чи може у трикутнику один із кутів бути більшим за суму двох ін
ших? Чи може один із кутів опуклого чотирикутника бути більшим
за суму трьох інших його кутів?
а) б) в)

5. Скільки діагоналей можна провести з од
нієї вершини опуклого n кутника?
6. O — центр кола (рис. 3). PE OC⊥ ,
∪ ∪ ∪ =AkB BmC AnC: : : :3 4 2 . Знайдіть:
∪AkB, ∠ ACP, ∠ BCE.
1. Теорема про суму кутів опуклого многокут
ника.
2. Сума зовнішніх кутів многокутника.
3*. Внутрішній та зовнішній кут правильного многокутника.
Теорема про суму внутрішніх кутів опуклого многокутника тради
ційно вивчається в темі «Многокутники» як основна властивість
кутів многокутника. Але доведення цієї теореми, запропоноване
авторами нового підручника, суттєво відрізняється від традиційно
го способом утворення трикутників, через обчислення суми кутів
яких визначається сума внутрішніх кутів многокутника (див. рис.
140 підручника).Тому для кращого розуміння учнями доведення те
ореми слід обговорити з учнями такі питання.
• У внутрішній області многокутника по
значенодовільнуточку,зякоїпроведеновідріз
ки до вершин трикутника. На які фігури роз
бивається даний многокутник? Скільки таких
фігур утворилося? (Після цього виконується
зображення многокутника як на рис. 140 під
ручника з додатковими позначеннями, рис. 4).
• Чому дорівнює сума кутів кожного три
кутника на рис. 4? Чому дорівнює сума всіх кутів трикутників при вер
шині O ? Чи є кути 1,2,... трикутників при вершині O кутами много
кутника? Чи буде сума кутів усіх трикутників на рис. 4 дорівнювати сумі
кутів даного многокутника? На яку величину сума кутів трикутників
буде більшою за суму кутів многокутника?
Після такого ретельного обговорення доведення теореми про суму
кутів опуклого многокутника не має викликати в учнів труднощів (єди
ний спірний момент — обґрунтування того, що сума кутів трикутників
при вершині O дорівнює 360°, вирішується посиланням на властивість
вимірювання повного центрального кута).

Оскільки з теореми про суму кутів опуклого многокутника безпо
середньо випливає низка цікавих фактів, то після доведення теореми
та первинного її закріплення (на усних вправах) учні вивчають питан
ня про суму зовнішніх кутів опуклого многокутника, взятих по одному
при кожній вершині; про внутрішній кут правильного многокутника;
про зовнішній кут правильного многокутника. Здобуті співвідношен
ня мають бути зафіксовані в зошитах (див. конспект 16) в алгебраїчній
формі (у вигляді формул). Перед початком розв’язування геометрич
них задач слід нагадати учням про технологію роботи із формулами та
поновити відповідні вміння.
1. За формулою S nn = −( )180 2° знайдіть значення:
а) Sn , якщо n = 4 , n = 5 , n = 6 ;
б) n , якщо Sn =180° , Sn =1800° , Sn = 900° .
За формулою α =
° −( )180 2n
n
знайдіть значення:
а) α , якщо n = 4 , n = 5 , n = 6 ;
б) n , якщо α = °108 .
2. Знайдіть суму внутрішніх кутів: а) 6кутника; б) 10кутника;
в) 102кутника.
3. Знайдіть внутрішній кут правильного: а) 5кутника; б) 10кутника;
в) 18кутника.
4. Чи може опуклий п’ятикутник мати чотири гострі кути; чотири
прямі кути; чотири тупі кути?
5. Чи можуть чотири кути опуклого п’ятикутника дорівнювати від
повідно чотирьом кутам опуклого чотирикутника?
Зауваження. Перед виконанням завдання 5 доцільно обговорити
питання: на скільки градусів збільшиться сума кутів опуклого много
кутника, якщо кількість його кутів (сторін) збільшити на: 1; 2; m ?
1. Знайдіть суму кутів опуклого:
а) шестикутника; б) дванадцятикутника.
2. Визначте кількість сторін опуклого многокутника, сума кутів яко
го дорівнює:
а) 540°; б) 900°; в) 1260°.

3. Два кути опуклого п’ятикутника прямі, а решта три рівні. Знайдіть
їх градусну міру.
4. Визначте, чи існує опуклий многокутник, сума кутів якого дорів
нює:
а) 1620°; б) 1350°; в) 1980°.
У випадку ствердної відповіді вкажіть кількість його сторін.
5. Діагональ ділить опуклий многокутник на п’ятикутник і чотири
кутник. Визначте вид даного многокутника і знайдіть суму його
кутів.
6. Визначте кількість сторін опуклого многокутника, кожен кут яко
го дорівнює:
а) 60°; б) 108°; в) 120°.
7. Скільки сторін має правильний многокутник, якщо кожний із зов
нішніх його кутів дорівнює:
а) 36°; б) 24°; в) a° ?
8*. П’ять кутів многокутника дорівнюють по 138°, а всі інші — по
150°. Скільки діагоналей можна провести в цьому многокутнику?
9*. В опуклому многокутнику є 5 кутів з градусною мірою 140°
кожний, усі інші кути — гострі. Знайдіть кількість сторін цього
многокутника.
Знайдіть помилки в зображенні опуклих многокутників (рис. 5).
Відповідь обґрунтуйте.











Рис. 5
Вивчити теоретичний матеріал, що розглядався на уроці.
1. Усі кути опуклого восьмикутника рівні. Знайдіть їх градусну міру.
2. П’ять кутів опуклого шестикутника дорівнюють 120°. Доведіть, що
в цьому шестикутнику всі кути рівні.
3. Три кути опуклого многокутника дорівнюють 80°, а решта — по
160°. Визначте кількість сторін многокутника.
4. Усі кути опуклого многокутника прямі.
Доведіть, що він є прямокутником.
Повторити: одиниці вимірювання площ,
формули площі прямокутника і квадрата.
Розв’язати задачу на повторення.
Обчисліть площу заштрихованої фігу
ри (рис. 6). Скількома способами це мож
на зробити?
Урок № 44
Поняття площі многокутника. Площа прямокутника
Мета: сформувати в учнів уявлення про площу многокутника, оди
ницю вимірювання площ, властивості (аксіоми) площ, рівновеликі фі
гури, рівноскладені многокутники, властивість рівноскладених много
кутників та оберненого твердження; працювати над засвоєнням учня
ми ідеї доведення теореми про площі прямокутника та квадрата. Фор
мувати вміння застосовувати теореми для обчислення площ прямокут
ника і квадрата.
Наочність та обладнання: конспект «Площа. Властивості площ.
Площа прямокутника».
Хід уроку
Засвоєння учнями матеріалу попередніх уроків перевіряється під
час виконання комплексної самостійної роботи, складеної за змістом
таких матеріалів:
1) Зошит для підсумкового та тематичного оцінювання. Геометрія,
8 клас (Єршова А. П., Голобородько В. В.); тест, варіант 1, 2; тема 4,
с. 25, 27, завдання 3 і 7;
2) Зошит для самостійних і контрольних робіт. Геометрія, 8 клас
(Єршова А. П., Голобородько В. В.); блок 7, с. р. 20, варіанти 1–4, за
вдання 1, 2;

3) Зошит для самостійних і контрольних робіт. Геометрія, 8 клас;
блок 7, с. р. 21, варіанти 1–4, завдання 1.
Правильність виконання письмових завдань домашньої роботи
вчитель перевіряє, зібравши зошити учнів на перевірку.
Варіант 1
1. Сума кутів опуклого n кутника дорівнює:
а) 180 180° − °n ; б) 180 2° −n ;
в) 360°; г) 180 2° −( )n .
2. Знайдіть зовнішній кут опуклого п’ятикутника, всі внутрішні кути
якого рівні.
а) 144°; б) 108°;
в) 72°; г) 36°.
3. Скільки діагоналей виходить з однієї вершини дев’ятикутника?
4. Чи існує чотирикутник з найменшим кутом 91°?
5. Скільки діагоналей має шестикутник?
6. Скільки сторін має многокутник, якщо сума його зовнішніх кутів
дорівнює сумі внутрішніх?
7. Знайдіть суму кутів опуклого дев’ятикутника.
го дорівнює 2 520°.
Варіант 2
1. Сума зовнішніх кутів опуклого n кутника, взятих по одному при
кожній вершині, дорівнює:
а) 180 180° − °n ; б) 180 2° −n ;
в) 360°; г) 180 2° −( )n .
2. Знайдіть внутрішній кут опуклого шестикутника, всі зовнішні
і кути якого рівні.
а) 60°; б) 120°;
в) 150°; г) 180°.
3. Скільки діагоналей виходить з однієї вершини п’ятнадцяти
кутника?
4. Чи існує чотирикутник з найбільшим кутом 89°?
5. Скільки діагоналей має семикутник?
6. Скільки сторін має многокутник, якщо всі його зовнішні кути прямі?
7. Знайдіть суму кутів опуклого семикутника.
Учитель нагадує учням про стратегічну мету вивчення розділу, яка
була намічена раніше (див. урок 42): узагальнити відомості про много
кутники та геометричні величини, пов’язані з поняттям многокутника.
Узагальнити відомості, які здобули учні в початкових класах та з жит
тєвого досвіду, про зміст та властивості поняття «площа», а також до
вести справедливість відомої з початкових класів формули площі пря
мокутника — це і є головна мета уроку.
VI. Актуалізація опорних знань
Для успішного засвоєння учнями змісту понять уроку та можли
вості вільно їх використовувати під час розв’язування змістових задач
учням слід активізувати знання і вміння щодо одиниць вимірювання
площ; ознак рівності трикутників; властивостей паралелограмів; озна
чення і властивостей прямокутника і квадрата та формул периметрів
цих чотирикутників.
1. На підлозі розстелені два килими: один площею 6 м2
, другий — 8 м2
.
Килими частково накладені один на одного — по фігурі, площа
якої дорівнює 1 м2
. Яку площу підлоги закривають килими?
2. Під час вимірювання площ земельних ділянок використовують різ
ні одиниці вимірювання. Що означає гектар; ар?
3. Що означає «сотка» городу?
4. Чи одне й те саме означають ар і сотка?
5. ABCD — паралелограм (рис. 1). Доведіть, що OM OK= .
6. ABCD — паралелограм (рис. 2). Доведіть, що ∆ ∆ABC CDA= .
7. ABCD — прямокутник, ∠ = ∠1 2 , ∠ = ∠3 4 (рис. 3). Доведіть, що
BK CM= .

8. Чи правильні твердження?
1) Кожний квадрат є прямокутником.
2) Існує ромб, який є прямокутником.
3) Жодний прямокутник не є ромбом.
4) Існує квадрат, який не є ромбом.
1. Зміст поняття «площа многокутника».
2. Одиниці вимірювання площ.
3. Спосіб наближеного обчислення площ.
4. Аксіоми площ.
5. Рівновеликі фігури. Рівноскладені многокутники. Властивість рів
носкладених многокутників.
6. Теорема про площу прямокутника. Площа квадрата.
Матеріал, який винесено для засвоєння на урок, традиційно ви
вчався в темі «Площі» перед вивченням формул площ окремих
многокутників. У цьому матеріалі зібрані всі відомості про загаль
ний зміст та властивості поняття «площа многокутника», які учні
здобули під час вивчення математики в школі впродовж поперед
ніх років навчання. Деякі з цих властивостей учні сприймали та
використовували на інтуїтивному рівні, інші з них — формулюва
лись у вигляді тверджень під час вивчення теми «Площі» у 5 класі.
На цьому уроці всі ці відомості повторюються, узагальнюються та
систематизуються відповідно до загальної логіки вивчення геомет
ричних понять (див. Геометрія в таблицях, Є. П. Нелін, таблиця 1).
Слід відзначити, що попри традиційний зміст, матеріал уроку, по
даний у підручнику (п.16.1), має більш високий науковий рівень
(вводиться поняття аксіоми площ, а зміст поняття площа много
кутника, формулюється як «...додатна величина, числове значен
ня якої задовольняє аксіоми площ»). Також цей матеріал (порівня
но з відповідним матеріалом традиційного підручника) доповне
но поняттями рівновеликих многокутників та рівноскладених мно
гокутників, а також властивостями цих понять для многокутни
ків (без доведення). Це сприяє, поперше, підвищенню рівня ма
тематичної культури учнів, подруге, збагачує арсенал засобів для
розв’язування задач на застосування поняття площі многокутника,
в тому числі для аргументації доведення формул площ паралелог
рама, трикутника, трапеції. Підсумком вивчення матеріалу є вив

чення теореми про площу прямокутника, а також її наслідку (пло
ща квадрата). Зауважимо, що формулювання теореми в підручни
ку дещо відрізняється від традиційного (поняття висоти й основи
прямокутника не використовуються, замість них використовують
ся поняття сусідніх сторін прямокутника. Під час вивчення цього
питання за новим підручником учні знайомляться лише з части
ною традиційного доведення (розглядається лише випадок, коли
сторони прямокутника a і b виражаються додатними раціональ
ними числами, тобто можуть бути розбиті на натуральне число де
яких одиничних відрізків). Повне доведення теореми пропонується
для вивчення додатково (для сильних учнів). Формула площі квад
рата виводиться як наслідок із формули площі прямокутника.
Для того щоб правильно розставити акценти, під час викладення
матеріалу вчителю слід дотримуватися змісту підручника.
Конспект 17
Площа. Властивості площ. Площа прямокутника
Для площі S многокутника M справед
ливо, що:
1) S > 0 .
2) Якщо M розбити на частини з пло
щами S1 і S2 , то S S S= + 2 .
3) Одиниця вимірювання площі в оди
ничних квадратах:
1 мм2
1 см2
і т. д.
4) Якщо M M1 2= , то S S1 2= .
5) Якщо S S1 2= , то M1 і M2 — рівновеликі.
6) На рис. а, б, в фігури є рівноскладеними.
Многокутники, складені з однакової кількості відповідно рівних
многокутників, називаються рівноскладеними.
7) Якщо M1 , M2 — рівноскладені, то S S1 2= .

Площа прямокутника
Для ABCD — прямокутника AB a= , BC b= S ab= .
Для ABCD — квадрата AB a=( ) S a= 2
З метою закріплення термінології (ріновеликі фігури, рівноскла
дені многокутники, властивість рівновеликих многокутників) та фор
мул площ прямокутника і квадрата учні мають розв’язати усні вправи.
1. Площі двох многокутників рівні. Чи означає це, що самі многокут
ники також рівні?
2. Два прямокутники мають рівні периметри. Чи є вони рівновели
кими?
3. Через середини двох протилежних сторін паралелограма проведе
но пряму. В якому відношенні вона ділить площу паралелограма?
4. Визначте, які з наведених тверджень правильні:
а) якщо діагоналі двох квадратів рівні, то ці квадрати рівновеликі;
б) два рівновеликі прямокутники рівні;
в) два рівновеликі квадрати рівні.
5. Сторона квадрата дорівнює меншій стороні прямокутника. Яка
з цих фігур має більшу площу?
6. У трикутнику ABC проведено середні лінії. Вони поділили трикут
ник на 4 частини. Площа однієї з частин дорівнює 10. Чому дорів
нюють площі інших частин?
7. Як розрізати на частини два рівних маленьких квадрати, щоб із цих
частин можна було скласти один великий квадрат?
8. Визначте площу квадрата, описаного навколо кола, радіус якого R .
9. Квадрат і прямокутник мають рівні площі. Сторона квадрата дорів
нює 12, а одна зі сторін прямокутника — 9. Чому дорівнює друга
сторона прямокутника?
10. Периметр квадрата дорівнює 32. Чому дорівнює площа цього квад
рата?
1. Знайдіть площу прямокутника ABCD , якщо:
а) AB = 9 см, BC = 4 см;
б) AB BC: := 5 7, PABCD = 48 см;
в) AD =12 см, AC =13 см.
2. Діагональ квадрата дорівнює 12 2 м. Знайдіть площу квадрата.
3. Площа прямокутника дорівнює 128 см2
. Знайдіть сторони прямо
кутника, якщо одна з них удвічі більша за іншу.
4. Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону на відрізки
завдовжки 3 см і 4 см. Знайдіть площу прямокутника. Скільки
розв’язків має задача?
Розв’язування як усних, так і письмових завдань уроку передбачає
вільне володіння учнями ознаками рівності трикутників, властиво
стей прямокутника, вираження сторони квадрата через його діаго
наль (у цьому сенсі слід звернути увагу на результат письмової зада
чі 2: S
d
кв. =
2
2
, цю формулу слід зафіксувати в зошитах учнів). Для
того щоб встигнути розв’язати всі заплановані задачі, розв’язання
письмових задач не треба записувати в зошити повністю; достат
ньо виконати прикидку розв’язання на чернетках із наступним об
говоренням розв’язання.
Для фігур, зображених на рис. 4, доберіть відповідне поняття: рів
ні, рівновеликі, рівноскладені. Поясніть свій вибір.
а) ABCD — прямокутник б) MNKP — квадрат
Рис. 4
Вивчити зміст понять, що розглядалися на уроці.
1. Сторони прямокутника дорівнюють 9 см і 25 см. Знайдіть периметр
квадрата, рівновеликого даному прямокутнику.


2. Площа квадрата дорівнює 32 см2
. Знайдіть його периметр.
Урок № 45
Площа прямокутника. Площа паралелограма
Мета: закріпити знання учнів про:
• зміст та властивості площі многокутника;
• зміст теореми про площу прямокутника та його наслідок.
Сформулювати та довести теорему про площу паралелограма.
Продовжувати формувати вміння відтворювати зміст вивчених по
нять та теорем, а також використовувати їх під час розв’язування задач
на обчислення площ прямокутника і паралелограма.
Наочність та обладнання: конспекти: «Площа. Властивості площ.
Площа прямокутника», «Площа паралелограма».
Хід уроку
Для економії часу на цьому етапі уроку учні коментують розв’язання
домашніхзадачзаготовимирисунками,виконаниминадошцізаздалегідь.
З метою створення проблемної ситуації пропонуємо учням задачу.
Задача. Двом учням дали завдання пофарбувати два листи фане
ри: одному у формі прямокутника зі сторонами 3 м і 5 м, а другому —
у формі паралелограма, в якому до сторони довжиною 5 м проведена
висота довжиною 3 м. Який з учнів впорається із завданням раніше,
якщо вони працюють з однаковою швидкістю?
Обговорюючи завдання, учні доходять висновку, що для відповіді
на запитання задачі треба знайти площі фігур, даних у задачі. Площа
прямокутника обчислюється за відомою учням формулою, а обчислен
ня площі паралелограма — є ключовим питанням. Отже, формулюється
завдання — вивчити спосіб обчислення площі паралелограма за сторо
ною та проведеною до неї висотою. Виконання цього завдання — ос
новна мета уроку.
Для успішного засвоєння учнями змісту та ідеї доведення теореми
про обчислення площі паралелограма учням слід активізувати знання і
вміння щодо властивостей площ; формули площі прямокутника; ознак
рівності прямокутних трикутників; властивостей паралелограма; опера
тивних умінь роботи з формулами.
1. На рис. 1 зображено геометричне доведення
формули a b a ab b+( ) = + +
2 2 2
2 .
Дайте пояснення.
2. Площа квадрата (у м2
) виражається тим са
мим числом, що й периметр (у м). Чому
дорівнює сторона квадрата?
3. Як зміниться площа прямокутника, коли
одну з його сторін збільшити в 4 рази, а дру
гу зменшити в 4 рази?
4. OC — бісектриса кута AOB , CD OA⊥ , CF OB⊥ (рис. 2). Доведіть,
що CD CF= .
5. ABCD — паралелограм, BM AD⊥ , DH BC⊥ (рис. 3). Доведіть, що
∆ ∆ABM CDH= .
1. Теорема про площу паралелограма.
2*. Наслідки з формули паралелограма.
На цьому уроці починається робота з вивчення формул для обчис
лення площ чотирикутників, властивості яких було вивчено рані
ше, а також формули площі трикутника. Доведення теореми про
формулу площі паралелограма зазвичай не становить труднощів
для учнів (особливо після проведеної роботи з повторення — див.
усні вправи). Запис доведення теореми можна зробити так, як це
показано на рис. 4.


S SI�I� I�I�I�= ; S S S S S h aABCD I� I�I� I� I�I�I� a= + = + = ⋅
Рис. 4
Під час роботи над закріпленням доведеної формули слід опрацю
вати такі контрольні моменти: для обчислення площі паралелограма
береться тільки висота, проведена до даної сторони; оскільки висота
паралелограма менша від його сторони (чому?), то замінювати висо
ту на сторону, обчислюючи площу паралелограма, не можна (на відмі
ну від прямокутника). Також доречно обговорити застосування форму
ли для обчислення площі ромба (оскільки висоти і сторони ромба рів
ні, то площу ромба можна знайти як добуток сторони на висоту). Як
один із важливих наслідків з формули площі паралелограма, можна роз
глянути факт про те, що сторони паралелограма обернено пропорційні
до його відповідних сторін (більш простий варіант формулювання цієї
властивості: до більшої сторони паралелограма проведено меншу висо
ту, і навпаки). Що стосується інших наслідків із доведеної теореми, які
традиційно вивчаються після здобуття формули S aha= , то вони вивча
тимуться пізніше (після опанування учнями способів розв’язання пря
мокутних трикутників).
Конспект 18
Площа паралелограма
Якщо ABCD — паралелограм, AD a= ,
BH ha= — висота, проведена до AD , то
S ahABCD a= bhb( ) .
Наслідки
1)
a
b
h
h
b
a
= . 2) S ah= .
1. Чи правильне міркування: «У паралелограмі ABCD довжини сторін
дорівнюють a і b , а площа не дорівнює ab . Отже, цей паралелог
рам не прямокутник». Чому?
2. Чи існує паралелограм, сторони якого мають довжини 3 см і 6 см,
а відповідні висоти 4 см і 1 см?
3. Кожна сторона паралелограма менша за 1 м, а площа дорівнює
1 м2
. Чи може так бути? Поясніть.
1. У паралелограмі зі стороною a , проведеною до неї висотою ha
і площею S знайдіть:
а) S , якщо a =10 см, ha = 6 см;
б) a , якщо S = 48 см2
, ha = 4 см;
в) ha , якщо S =120 см2
, a = 24 см.
2. Діагональ паралелограма дорівнює 15 см і перпендикулярна його
стороні. Знайдіть площу паралелограма, якщо інша його сторона
3. Знайдіть площу паралелограма, якщо:
а) його периметр дорівнює 42 см, а довжини висот складають 6 см
і 8 см;
б) його сторона дорівнює 5 см, а висота ділить іншу сторону на
відрізки завдовжки 4 см і 6 см;
в) його сторони дорівнюють 8 см і 10 см, а гострий кут — 30°.
Чи правильне твердження теореми про площу паралелограма для
прямокутника?
Чи правильне твердження: площа паралелограма дорівнює добут
ку його сторони на висоту? Для якого чотирикутника це твердження
правильне?
Вивчити зміст та доведення теореми про площу паралелограма.
1. Сторони паралелограма дорівнюють 12 см і 16 см. Знайдіть його
висоти, якщо площа паралелограма дорівнює 96 см2
.
2. Сторона паралелограма і проведена до неї висота дорівнюють від
повідно 16 см і 9 см. Знайдіть сторону квадрата, рівновеликого да
ному паралелограму.
3. Виріжте з паперу два рівні рівнобедрені трикутники і складіть
з них:
а) ромб; б) паралелограм, відмінний від ромба.

Порівняйте площі складених фігур.
4. Знайдіть площу паралелограма, якщо:
а) його діагональ перпендикулярна стороні, а висота, проведена
з вершини тупого кута, ділить іншу сторону на відрізки завдовжки
4 см і 9 см;
б) його сторони дорівнюють 4 2 см і 8 см, а гострий кут — 45°.
Урок № 46
Мета: закріпити та систематизувати знання учнів про:
• зміст поняття площі многокутника та його властивості;
• формули для обчислення площ прямокутника та паралелогра
ма, їх наслідки.
Відпрацювати навички застосування набутих знань.
Наочність та обладнання: конспекти 17, 18.
Хід уроку
I��. Організаційний етап
II��. Перевірка домашнього завдання
Як і на попередньому уроці, для економії часу учні коментують
розв’язання домашніх задач за готовими рисунками, виконаними на
дошці заздалегідь.
Засвоєння змісту теоретичного матеріалу та його розуміння пере
віряється під час виконання учнями математичного диктанту.
1 Яка площа однієї з двох рів
них фігур, якщо площа іншої
дорівнює 15 см2
?
Фігуру розбито на 2 частини, пло
щі яких відповідно дорівнюють 15
і 5 м2
. Яка площа цієї фігури?
2 Обчисліть площу прямокут
ника зі сторонами 15 і 5 м
Обчисліть площу прямокутника зі
стороною 7 м
3 Обчисліть площу парале
лограма, якщо одна з його
сторін дорівнює 8 см, а про
ведена до неї висота 6 см
Обчисліть площу паралелограма,
якщо одна з його сторін дорівнює
7 дм, а проведена до неї висота
6 дм
4 Площа паралелограма дорів
нює 18 дм2
, а одна зі сторін
3 дм. Знайдіть висоту, прове
дену до цієї сторони
Площа паралелограма дорівнює
18 м2
, а одна зі сторін 6 м. Знай
діть висоту, проведену до цієї сто
рони
III��. Формулювання мети і завдань уроку
Якість виконання домашньої роботи, а також результати виконан
ня математичного диктанту на попередньому етапі уроку дають мож
ливість вчителю сформулювати мету відповідно до ситуації: або як за
кріплення знань властивостей площ та формул площ прямокутника, па
ралелограма та продовження роботи із формування вмінь практичного
застосування цих знань, або ж як доповнення знань, закріплення цих
знань та відпрацювання навичок застосування знань у стандартній та
в нестандартній ситуаціях.
IV. Відтворення, корекція та систематизація опорних знань
Повторення та систематизація знань учнів, набутих ними під час
вивчення матеріалу підручника частково відбулося під час виконання
учнями математичного диктанту. Кращого результату можна домогтися,
якщо учням запропонувати виконати обернене завдання: на рис. 1
(учитель може змінити ситуації на свій смак), зображені типові ситуації
(пов’язані із застосуванням вивченого в темі матеріалу), за якими учні
мають скласти найбільш відповідне твердження (у математичному та
словесному вигляді). Для того щоб залучити до роботи якомога більше
учнів, можна організувати роботу в малих групах. Спочатку завдання
виконується по групах, а потім результати виконання завдання
презентуються та в разі необхідності коригуються.

Рис. 1
Під час презентації та корекції цього завдання вчитель може до
помогти учням «відкрити» додатково деякі цікаві співвідношення (на
приклад, рис. 1 допоможе учням «відкрити» формулу для обчислення
площі ромба як половини добутку діагоналей). Такі «відкриття» (якщо
вони були зроблені учнями) слід узагальнити, зафіксувати в зошитах та
закріпити на відповідних задачах.
V. Застосування вмінь
Застосування знань у стандартних
ситуаціях
1. На рис. 2 ABCD — квадрат. Знайдіть
SABCD .
2. На рис. 3 ABCD — паралелограм. Знай
діть SABCD .
3. На рис. 4 ABCD — прямокутник. Знай
діть SABCD .
1. Площа і периметр ромба дорівнюють відповідно 24 см2
і 24 см.
Знайдіть висоту ромба.
2. Діагоналі ромба дорівнюють 16 см і 30 см. Знайдіть площу чотири
кутника, вершинами якого є середини сторін даного ромба.
3. На діагоналі квадрата як на стороні побудо
вано інший квадрат. Доведіть, що його пло
ща вдвічі більша за площу даного квадрата.
4. Сторони паралелограма дорівнюють 12 см
і 16 см, а одна з висот — 15 см. Знайдіть
площу паралелограма.
5. На рис. 5 ABCD — ромб. Знайдіть SABCD .
Застосування знань у стандартних ситуаціях означає розв’язування
задач, до яких подається рисунок, на якому зображено відомі
величиниівидчотирикутника,томуучнімаютьпростовибратисеред
формул відповідну та за нею знайти площу фігури. Розв’язування
таких задач допомагає учням сформувати навички проводити
доказові міркування із використанням вивчених тверджень.
Нестандартність ситуацій, описаних у задачах, що йдуть далі,
полягає в тому, що ці задачі вимагають від учнів впевненого володіння
матеріалом, вивченим як у темі «Площі. Площа прямокутника, площа
паралелограма», так і в попередніх темах 7 і 8 класу (властивості ромба,
середня лінія трикутника; властивість катета, що лежить проти кута
30°, метричні співвідношення в прямокутному трикутнику, а також
вираження катета прямокутного рівнобедреного трикутника через його
діагональ), а також нестандартного мислення (наприклад, задача № 5).
I� ��спосіб

S S BO ACABCD AMNC= = ⋅ = ⋅ =9 6 3 54 3
S S BO ACABCD AMNC= = ⋅ = ⋅ =9 6 3 54 3 (см2
)
(з ∆ ABC — рівностороннього)
BO = =
⋅
=
AC 3
2
6 3 3
2
9
II� ��спосіб
∆ ABC : BH = =
6 3
2
3 3 ;
теорема Піфагора:
AH AB BH= − =2 2
= − = =108 27 81 9 ;
S AH BCABCD = ⋅ = ⋅ =9 6 3 54 3
S AH BCABCD = ⋅ = ⋅ =9 6 3 54 3 (см2
)



Підбиваючи підсумки цього етапу уроку, вчитель має наголосити
на тому, що розв’язування будьякої геометричної задачі неможливе
без вільного володіння учнями змістом вивчених геометричних понять,
а також без умінь упевнено оперувати цими знаннями.
Продовжуючи думку, висловлену вчителем на попередньому етапі
уроку, учні мають провести самооцінку результатів навчальної діяль
ності на уроці.
Повторити за підручником або конспектами зміст основних по
нять теми.
1. Висота ромба з тупим кутом 150° дорівнює 5 см. Знайдіть площу
ромба.
2. Точка, що лежить на діагоналі квадрата, віддалена від двох його
сторін на 180 см і 2,2 м. Знайдіть площу квадрата.
3. Висоти паралелограма дорівнюють 12 см і 16 см, а кут між ними —
30°. Знайдіть площу паралелограма.
Або виконати домашню самостійну роботу.
1. Площа прямокутника зі сторонами 6 см і 10 см дорівнює площі
ромба з периметром 48 см. Знайдіть висоту ромба.
2. Сторони паралелограма дорівнюють 6 2 см і 9 см, а кут між ними
3. З вершини прямокутника до діагоналі проведено перпендикуляр
завдовжки 8 см. Основа перпендикуляра ділить діагональ у відно
шенні 1 : 4. Знайдіть площу прямокутника.
Повторити властивість діагоналі паралелограма; властивість площ
рівних фігур та аксіом площ.
Урок № 47
Площа трикутника
Мета: домогтися засвоєння учнями змісту та ідеї доведення теоре
ми про формулу площі трикутника й наслідків з неї.
• відтворювати зміст вивчених формул;
• записувати формули відповідно до заданих позначень елемен
тів трикутників;
• застосовувати вивчені формули до розв’язування задач.
Наочність та обладнання: конспект «Площа трикутника. Площа
трапеції».
Хід уроку
Учитель збирає зошити учнів із виконаною домашньою самостій
ною роботою (див. вище). Учням оголошується правильне розв’язання
за рисунками, зображеними на дошці заздалегідь.
Для створення ситуації, що допоможе учням зрозуміти ідею дове
дення теореми про площу трикутника, пропонуємо учням задачу.
Задача. На дошці зображено дві фігури: паралелограм ABCD
і трикутник MNK такі, що AD MK= , і висоти проведені до цих сторін
BH NF,( ), також рівні (див. рис.).
Рис.
Площа паралелограма відома. Як знайти площу трикутника?
Пошук відповіді на питання задачі допомагає учням усвідомити:
• поперше, існування протиріччя між набутими знаннями
та змістом задачі (учні вміють знаходити площі прямокутника і
паралелограма, а за змістом задачі слід знайти площу трикутника);
• подруге, зміст задачі містить «підказку» — обчислення площі
трикутника слід якось пов’язати з обчисленням площі паралелограма.
Отже, мета уроку — подолання протиріччя, тобто вивчення формули
для обчислення площі трикутника; засобом виведення шуканої формули
є формула площі паралелограма.

З метою успішного засвоєння учнями змісту та доведення теореми про
формулу площі трикутника, а також наслідків з неї, учням слід активізувати
знанняівміннящодовластивостідіагоналіпаралелограмаідіагоналейромба,
властивості площ рівних фігур, аксіом площ, означення прямокутного
трикутника, означення рівностороннього трикутника та формули
обчислення висоти рівностороннього трикутника через його сторону.
1. Яка з фігур на рис. 1 зайва? Чому?
Рис. 1
2. Прямі a і b паралельні. Площа паралелограма ABCD дорівнює S .
Чому дорівнюють площі інших фігур на рис. 2 AD MK SR= =( )?
3. У трикутнику ABC AB BC a= = , ∠ = °A 60 . Чому дорівнює BH
і AP ( BH AC⊥ , AP BC⊥ )? Знайдіть довжини цих відрізків, якщо
AB = 3 см, PC = 2 см, AC = 4 3 см (рис. 3).
4. У паралелограмі ABCD AB = 7 , BD = 6 , PAOB =18 (рис. 4). Знай
діть AC .
5. Знайдіть кути ромба ABCD , якщо відомо, що: а) ∠ = °ABD 53 ;
б) ∠ = °CDE 32 ; в) BK AD⊥ , ∠ = °KBD 20 .
1. Теорема (формула площі трикутника).
2. Площа прямокутного трикутника.
3. Площа ромба.
4. Площа рівностороннього трикутника.
5. Властивість медіани трикутника.
Викладення формулювання і способу доведення теореми, що
виражає формулу обчислення площі трикутника, є класичним. Тому
вивчення цієї частини матеріалу уроку можна провести традиційно:
учням пропонується самостійно розглянути відповідний пункт
підручника та вивчити зміст і скласти план доведення теореми.
Після виконання цієї роботи незрозумілі моменти доведення
коментуються вчителем, зміст закріплюється на такому завданні.
За рис. 5 доповнити записи, щоб вони
стали правильними рівностями.
S — площа ∆ MNK ;
S MK NR= ⋅... ;
S MN= ⋅
1
2
...
S MF= ⋅ ⋅... ...
... = ⋅MN SK .
Вивчення наслідків з доведеної формули для площі трикутника
можна провести, заохочуючи учнів до досліджень запитаннями:
• Чи існує трикутник, сторона якого є висотою? Як записати
доведену формулу для площі такого трикутника?
• Чи існує трикутник, всі висоти якого рівні? Як виражається
висота цього трикутника через його сторону? Як записати формулу
площі для такого трикутника?
• На які фігури розбивається ромб всіма своїми діагоналями? Що
ви знаєте про ці фігури? Як виражається площа ромба через площу цих
трикутників?
Закінчивши обговорення питань, учні виконують відповідні записи
в зошитах. (Щоб учні усвідомили логічні зв’язки між вивченими на
уроці формулами, записи цих формул можна записати у вигляді схеми,
рис. 6.)


S aha=
1
2
 S
a
=
2
3
4

S ab
ab
= =
1
2 2
 S
d d
= 1 2
2
Рис. 6
Конспект 19
Площа трикутника. Площа трапеції
Якщо в ∆ ABC : ha — висота, проведена
до сторони a , то S ahABC a=
1
2
.
Наслідки
1) Якщо в ∆ ABC
∠ = °C 90 , то
2) Якщо d1 і d2
діагоналі ромба, то
3) Якщо трикутник рівно
сторонній зі стороною a , то
S
ab
=
2 S
d d
= 1 2
2
S
a
=
2
3
4
Якщо в трапеції ABCD BC AD||( ) BC a= ,
AD b= , h — висота, то S
a b
hABCD =
+
⋅
2
або
S MN h= ⋅ ( MN — середня лінія)
1. Площа трикутника ABC дорівнює S . Чому дорівнює площа пара
лелограма ABCD , три вершини якого збігаються з вершинами да
ного трикутника?
2. За якою формулою доцільно обчислювати площу прямокутного
трикутника, якщо відомі:
а) довжини гіпотенузи і проведеної до неї висоти;
б) довжини двох катетів?
3. Два рівновеликі трикутники мають рівні висоти. Чи означає це, що
основи даних трикутників також рівні?
4. Доведіть, що більшій стороні трикутника завжди відповідає менша
висота.
5. Яка площа трикутника ABC на рис. 7?
6. У паралелограмі провели діагоналі. Чи рів
ні площі всіх утворених чотирьох трикут
ників?
1. За даними рисунка 8 знайдіть площу три
кутника ABC .
Рис. 8
2. Знайдіть площу:
а) рівнобедреного трикутника з основою 10 см і бічною стороною
13 см;
б) трикутника ABC , в якому AB =17 см, а висота BH ділить
сторону AC на відрізки AH = 8 см і HC = 2 см.
3. Площа трикутника дорівнює 72 см2
. Знайдіть периметр трикутни
ка, якщо його висоти дорівнюють 9 см, 12 см і 24 см.
4. Знайдіть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 8 м і 20 м.
а) трикутника ABC з висотою BH , якщо AB =13 см, BC =15 см,
BH =12 см, а точка H лежить на відрізку AC ;
б) прямокутного трикутника, гіпотенуза якого ділиться висотою на
відрізки завдовжки 9 см і 4 см;
в) рівностороннього трикутника з висотою 2 3 см.

6. На рисунку 9 подано одиничний квадрат. Знайдіть площу заштри
хованої фігури.
7. На рисунку 10 подано одиничний квадрат. Знайдіть площу заштри
хованої фігури.
Яка із фігур на рисунку 11 зайва? Чому?
Вивчити зміст теореми, її доведення та наслідки.
а) прямокутного трикутника з гіпотенузою 20 см і катетом 12 см;
б) гострокутного трикутника ABC з висотою AH = 4 см, якщо
BH = 2 см, ∠ = °C 45 .
2. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його площа
дорівнює 20 см2
, а висота, проведена з вершини прямого кута,— 4 см.
3. Знайдіть діагоналі ромба, якщо одна з них удвічі більша за другу,
а площа ромба дорівнює 64 см2
.
4. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника з периметром 16 см
і висотою завдовжки 4 см, проведеною до основи.
5. Накресліть гострокутний трикутник і проведіть у ньому висоту.
Проведіть необхідні вимірювання та обчисліть:
а) площу даного трикутника;
б) площі трикутників, на які даний трикутник ділиться висотою.
Урок № 48
Площа трапеції
Мета: закріпити знання учнями формул для обчислення площі три
кутника. Розглянути формулу для обчислення площі трапеції. Форму
вати в учнів уміння та навички застосовувати цю формулу для обчис
лення площі трапеції.
трапеції».
Хід уроку
Як і на кількох попередніх уроках, щоб зекономити час, на цьому
етапі уроку учні коментують розв’язання домашніх задач за готовими
рисунками, виконаними на дошці заздалегідь (або самим учителем, або
учнями).
Засвоєння змісту теоретичного матеріалу та його розуміння
перевіряється під час самостійного виконання учнями тестових завдань
(див. Зошит для підсумкового та тематичного оцінювання).
Варіант 1
1. Назвіть формулу площі прямокутника зі сторонами a і b .
а)
ab
2
; б)
a b+
2
;
в) a b2 2
+ ; г) ab .
2. Знайдіть площу ромба ABCD , якщо AC = 5 см, BD = 8 см.
а) 20 см2
; б) 40 см2
;
в) 10 см2
; г) 13 см2
.
3. За даними рисунка знайдіть площу три
а) 42; б) 84;
в) 13; г) 21.
4. Знайдіть площу прямокутника зі сторо
ною 5 м і діагоналлю 13 м.
а) 60 см2
; б) 60 м2
;
в) 65 м2
; г) 156 м2
.

5. Дві сторони трикутника дорівнюють 8 см і 12 см, а висота, прове
дена до меншої з них,— 3 см. Знайдіть висоту, проведену до біль
шої сторони.
а) 4 см; б) 2 см;
в) 4,5 см; г) 10 см.
6. Знайдіть площу ромба зі стороною 12 см і гострим кутом 30°.
а) 144 см2
; б) 36см2
;
в) 72 3 см2
; г) 72 см2
.
Варіант 2
1. Назвіть формулу площі квадрата зі стороною a .
а) 2 2
a ; б) 4a ;
в) a2
; г) 4 2
a .
2. У паралелограмі ABCD до сторони AD проведено висоту BK .
Знайдіть площу паралелограма, якщо BC = 8 см, BK = 5 см.
а) 20 см2
; б) 40 см2
;
в) 80 см2
; г) 13 см2
.
3. За даними рисунка знайдіть площу три
а) 30; б) 60;
в) 15; г) 11.
4. Знайдіть площу прямокутного трикутни
ка з катетом 15 м і гіпотенузою 17 м.
а) 127,5 м2
; б) 60 м2
;
в) 120 м2
; г) 60 см2
.
5. Сторони паралелограма дорівнюють 12 см і 16 см, а менша висота
— 3 см. Знайдіть більшу висоту паралелограма.
а) 4 см; б) 2,25 см;
в) 6 см; г) 14 см.
6. Знайдіть площу паралелограма зі сторонами 8 м і 12 м та гострим
кутом 30°.
а) 48 м2
; б) 96 м2
;
в) 24 м2
; г) інша відповідь.
Після закінчення роботи — перевірка і корекція.
Залежно від рівня інтелектуальної активності учнів учитель або сам
повідомляє мету уроку — вивчення формули для обчислення площі тра
пеції, або ж пропонує учням виконати практичне завдання (на розви
ток конструктивного мислення).
Завдання
1) Одного разу Петрик П’яточкін склав трапецію із чотирьох пря
мокутних трикутників. Чи зможете ви повторити його досягнення?
«покращити» (тобто скласти трапецію з меншої кількості прямокутних
трикутників)? Що спільного мають усі трикутники в кожному із зоб
ражених випадків?
2) Який із випадків можливий для будьякої трапеції?
Розв’язуючи завдання, учні можуть прийти до конфігурацій, зоб
ражених на рис. 1.
Рис. 1
Розв’язання задачі, крім суто розвивального значення, допомагає
учням зрозуміти прийом, який використовують автори підручника під
час обґрунтування формули площі трапеції — розбиття трапеції на три
кутники з рівними висотами, що дорівнюють висоті трапеції, та зі сто
ронами, що є основами трапеції. Від розуміння цього факту до форму
лювання мети уроку один логічний крок — якщо застосувати власти
вості площ та формулу площі трикутника, то напевно можна вивести
формулу для обчислення площі трапеції/ Реалізація цього плану (з по
дальшим закріпленням виведеної формули та формуванням умінь за
стосовувати формулу площі трапеції) — основна мета уроку.
З метою успішного засвоєння учнями змісту теореми, що виражає
формулу площі трапеції, та ідеї її доведення, а також розуміння учнями
можливості запису теореми у вигляді S MN h= ⋅ , учням слід активізувати
знання і вміння щодо аксіом площ, формули площі трикутника,
означення трапеції, середньої лінії трапеції та її властивості.
1. ABCD — трапеція BC AD||( ) , AD a= ,
BC b= , AM BM= , CN ND= . ��Який із
зображених на рисунку 2 відрізків має
довжину:
а)
a
2
; б)
b
2
;
в)
a b+
2
; г)
a b−
2
?

2. На медіані BD трикутника ABC (рис. 3)
взято довільну точку M . Доведіть, що
площі трикутників ABM і CBM рівні.
1. Теорема (формула площі трапеції).
2. Друге формулювання формули площі трапеції.
1. Дві рівновеликі трапеції мають рівні висоти. Чи означає це, що ос
нови даних трапецій також відповідно рівні?
2. Чи може діагональ трапеції ділити її на два рівновеликі трикутни
ки? Відповідь обґрунтуйте.
3. Дано: ABCD — трапеція BC AD||( ) . Знайдіть S , якщо:
а) BC = 2 см; AD =10 см; h = 5 см;
б) BC AD+ =16 см; h = 6 см;
в) середня лінія дорівнює 10 см; висота 5 см;
г) r = 5 см; AB CD+ =18 .
1. Знайдіть площу трапеції, якщо:
а) її основи дорівнюють 4 см і 10 см, а висота — 6 см;
б) висота трапеції та її середня лінія дорівнюють 8 см.
2. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 8 см і 16 см, а гострий
кут — 45°. Знайдіть площу трапеції.
а) рівнобедреної трапеції з основами 15 см і 39 см, діагональ якої
перпендикулярна бічній стороні;
б) прямокутної трапеції з бічними сторонами 12 см і 13 см, діагональ
якої є бісектрисою гострого кута.
Яка із фігур на рис. 4 зайва? Чому?

Рис. 4
Вивчити формулу для обчислення площі трапеції.
1. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 6 см і 10 см, а більша біч
на сторона — 5 см. Знайдіть площу трапеції.
2. Знайдіть площу рівнобедреної трапеції з основами 14 см і 50 см та
діагоналлю 40 см.
3. У прямокутній трапеції сума основ дорівнює 20 см, а сума біч
них сторін — 30 см. Знайдіть площу трапеції, якщо один із її кутів
дорівнює 30°.
4. Основи трапеції, вписаної в коло, дорівнюють 12 см і 4 см. Знай
діть площу трапеції, якщо в неї можна вписати коло.
Урок № 49
Мета: узагальнити та систематизувати знання формул обчислення
площ трикутника й трапеції, наслідків. Відпрацювати навички засто
сування набутих знань. Провести діагностику рівня засвоєння учнями
навчального матеріалу.
трапеції».
Хід уроку
Учні коментують розв’язання домашніх задач за готовими рисун
ками, виконаними на дошці заздалегідь.
Засвоєння змісту теоретичного матеріалу та його розуміння пе
ревіряється під час самостійного виконання учнями усних вправ.
1. Встановіть відповідність між твердженнями 1) — 7) і твердження
ми а) — ж).
1) Площа трикутника дорівнює...
2) Площа трапеції дорівнює...

3) Площа паралелограма дорівнює...
4) Площа ромба дорівнює...
5) Площа квадрата дорівнює...
6) Площа прямокутника дорівнює...
7) Площа прямокутного трикутника дорівнює...
а) добутку двох сусідніх його сторін;
б) половині добутку діагоналей;
в) половині добутку висоти на сторону, до якої проведена висота;
г) добутку сторони на висоту;
д) добутку висоти на сторону, до якої проведена висота;
е) добутку середньої лінії на висоту;
ж) квадрату його сторони;
з) половині добутку катетів.
2. Знайдіть площу фігур, зображених на рисунку 1.
Рис. 1
Тема уроку визначає його мету — закріплення знань властивостей
площ і формул площ та трикутника і трапеції їх наслідків, а також про
довження роботи із формування вмінь практичного застосування цих
формул.
Повторення знань учнів, набутих ними під час вивчення матеріалу
підручника частково відбулося в процесі виконання учнями усних вправ
(див. вище).
Систематизувати знання можна шляхом розв’язування таких
завдань: на дошці подано у вигляді рисунків або в словесній формі
неповну умову задач (наприклад, див. рис. 2).
Рис. 2
До всіх запропонованих задач ставиться одне запитання: Які ще
величини слід знати (або відшукати) для того, щоб можна було знайти
площу кожної із зображених фігур? Як у такому разі знайти площу
фігури? (Знайдіть різні способи.)
Таким чином, учні не просто відтворюють вивчені формули, але й
формують уміння аналізувати умову задачі та тренують свій інтелект на
предмет пошуку різних варіантів розв’язання задачі.
1. За даними рис. 3 знайдіть S ABC∆ .
Рис. 3 Рис. 4
2. За даними рис. 4 знайдіть SABCD .
Рис. 5 Рис. 6

1. Бісектриса прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки
завдовжки 15 см і 20 см. Знайдіть площу трикутника.
4. На рис. 9 ABCD — трапеція. Знайдіть SABCD .
Продовжуючи думку, висловлену вчителем на попередньому етапі
уроку, учні мають провести самооцінку результатів своєї навчальної
діяльності на уроці.
Виконати домашню самостійну роботу.
1. Знайдіть площу прямокутного трикутника з гіпотенузою 26 см і ка
тетом 10 см.
2. Знайдіть сторону ромба із площею 96 см2
і діагоналлю 16 см.
3. Менша основа і бічна сторона прямокутної трапеції дорівнюють
a см, а один із кутів — 45°. Знайдіть площу трапеції.
Розв’язати задачу на повторення.
У трапеції ABCD основи BC і AD дорівнюють 2 см і 8 см від
повідно. Діагоналі трапеції перетинаються в точці O . Знайдіть відно
шення:
а)
CO
AC
; б)
OD
BD
; в) відрізків, на які точка O ділить висоту трапеції;
г) площ трикутників BOC і AOD . (Висловіть припущення.)
Урок № 50
Відношення площ подібних трикутників
Мета: домогтися засвоєння учнями змісту та ідеї доведення теоре
ми про відношення площ подібних трикутників. Сформувати вміння
відтворювати зміст теореми та застосовувати її під час розв’язування
задач.
Наочність та обладнання: конспект «Відношення площ подібних
трикутників».
Хід уроку
Учитель збирає зошити учнів із виконаною домашньою самостій
ною роботою (див. вище). Учням оголошується правильне розв’язання
за рисунками, зображеними на дошці заздалегідь.
Контрольні моменти обговорюються.
Учитель пропонує учням відповісти на запитання, зміст яких
наштовхне учнів на роздуми відповідно до теми уроку.
1. У паралелограмі проведено діагональ. На які фігури ця діагональ
ділить даний паралелограм? Що можна сказати про площі утворе
них фігур? Чому?
2. У паралелограмі проведено дві діагоналі. На які фігури ці діагоналі
ділять даний паралелограм? Що можна сказати про площі утворе
них фігур? Чому?
3. У трапеції проведено діагоналі. На які фігури ці діагоналі ділять
дану трапецію? Що можна сказати про площі утворених фігур?
Чому?
Під час пошуку відповідей на останнє
запитання (див. рис. 1) учні мають усві
домити, що, на відміну від діагоналей
паралелограма, діагоналі трапеції не ділять
її на трикутники, серед яких є пари рівних.
Серед чотирьох здобутих трикутників є два
рівновеликих (трикутники 1 і 3), а також
два подібних (2 і 4).

Отже, формулюється питання: «Що ми знаємо про площі подібних
трикутників?» Логічно припустити, що відповідь на це питання (тобто
встановлення залежності між площами подібних фігур та вираження її у
числовій формі, а також формування вмінь застосування цієї залежності
під час розв’язування задач), і буде головною метою уроку.
З метою формування свідомого розуміння учнями змісту та
доведення теореми про відношення площ подібних трикутників учні
мають повторити зміст вивчених раніше понять.
1. Які два трикутники називаються подібними?
2. Що означає запис: ∆ ABC подібний до ∆ MNK ?
3. Що називають коефіцієнтом подібності трикутників?
4. Нехай у подібних трикутниках ∆ ABC і ∆ MNK
AB
MN
=
2
3
. Для
яких ще елементів цих трикутників буде виконуватись таке саме
відношення?
1. Теорема (про відношення площ подібних трикутників): формулю
вання та доведення.
2. Приклади застосування теореми (про відношення площ подібних
Конспект 20
Відношення площ подібних трикутників
Якщо ∆ ∆ABC A B C 1 1 1
і
AB
A B
P
P
m
m
l
l
h
h
kABC
A B C
a
a
a
a
a
a1 1 1 1 1 1 1 1
= = = = = ⇒
S
S
kABC
A B C1 1 1
2
=
Традиційно на завершення вивчення теми «Площі» у 9 класі вивча
лась теорема про відношення площ подібних многокутників, дове
дення якої складалось із двох частин: 1) доведення твердження те
ореми для трикутників; 2) доведення твердження теореми для про
стих многокутників через доведене твердження для трикутників. За

новою програмою у 8 класі вивчається тільки теорема про відно
шення площ подібних трикутників (тобто особливий випадок тео
реми про площі подібних многокутників). Це обумовлено тим, що
поняття подібності многокутників не вивчалось.
Доведення теореми майже повністю відповідає традиційному
доведенню властивості площ подібних трикутників і спирається
на властивість сторін подібних трикутників, на ознаки подібності
прямокутних трикутників та застосування формули площі трикутника
(доведення можна провести простіше, якщо використати властивості
відношень відповідних лінійних елементів подібних трикутників,
сформульовані і доведені в темі «Подібність трикутників»). Після
виконання роботи з повторення змісту цих понять (див. усні вправи)
доведення теореми має бути зрозумілим усім учням.
Як приклад із застосування теореми про відношення площ
подібних трикутників можна розглянути з учнями опорний факт, який
є узагальненням задачі, а саме: площа трикутника, що відтинається
від даного його середньою лінією, дорівнює чверті площі даного
трикутника. Розуміння твердження теореми та наслідку відбувається
під час розв’язування усних вправ та завдань за готовими рисунками.
1. Визначте, як зміниться площа трикутника, якщо кожну його сто
рону:
а) збільшити в 4 рази;
б) зменшити в 3 рази;
в) зменшити в n разів.
2. Визначте, як треба змінити кожну сторону трикутника, щоб його
площа:
а) зменшилася в 25 разів;
б) збільшилася в 49 разів;
в) збільшилася в n2
разів.
3. Відношення площ двох трикутників дорівнює 4. Чи означає це, що
дані трикутники подібні з коефіцієнтом 2?
4. В одного із двох правильних трикутників висота удвічі менша, ніж
у другого. У скільки разів площа другого трикутника більша за пло
щу першого? У скільки разів периметр другого трикутника біль
ший, ніж периметр першого?

5. Висота одного правильного трикутника дорівнює стороні другого.
Яке відношення площ цих трикутників?
6. Площі двох подібних трикутників відносяться як 1 : 16. Як відно
сяться: а) відповідні висоти; б) периметри; в) відповідні кути цих
трикутників?
7. Площа ∆ ABC дорівнює 48 см2
. Через середину висоти BD прове
дено пряму MN , паралельну AC . Чому дорівнює площа трикут
ника MBN ( M AB∈ , N BC∈ )?
1. Відомо, що ∆ ∆ABC A B C 1 1 1 , причому
AB
A B1 1
3= . Знайдіть:
а) SABC , якщо SA B C1 1 1
9= см2
;
б) SA B C1 1 1
, якщо SABC = 9 см2
.
2. Відомо, що ∆ ∆ABC A B C 1 1 1 . Знайдіть:
а) сторону A B1 1 , якщо SABC = 24 см2
, SA B C1 1 1
6= см2
, AB = 8 см;
б) площу трикутника ABC , якщо BC = 2 см, B C1 1 6= см,
SA B C1 1 1
18= см2
.
3. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть
площу трикутника, утвореного середніми лініями цього трикутника.
4. Два трикутники подібні з коефіцієнтом 3, причому площа одного
з них на 24 см2
більша за площу іншого. Знайдіть площі цих три
кутників.
5. Площі двох подібних трикутників дорівнюють 75 м2
і 300 м2
. Пери
метр першого трикутника дорівнює 54 м. Знайдіть периметр друго
го трикутника.
6. На плані земельна ділянка має форму трикутника з площею 2,5 см2
.
Знайдіть площу ділянки, якщо масштаб плану 1 : 1 000.
Розв’язування запланованих задач сприяє закріпленню в учнів фор
мулювання теореми та розуміння, що з доведеного в підручнику
твердження випливають два різних варіанти його застосування:
• Якщо трикутники подібні з коефіцієнтом подібності k (від
ношенням відповідних сторін, висот, медіан, периметрів, тобто
відношенням відповідних лінійних елементів), то відношення їх
площ дорівнює k2
.
• Якщо трикутники подібні і відношення площ дорівнює k2
, то
коефіцієнт подібності (відношення відповідних сторін, висот,
медіан, периметрів, тобто відношення відповідних лінійних
елементів) дорівнює k .

Відповідні сторони двох подібних трикутників
дорівнюють a і b . Заповніть пропуски так, щоб
рівності стали правильними (рис. 2).
P
P
1
2
= ... ;
P
P
2
1
= ... ;
l
l
1
2
= ... ;
m
m
1
2
= ... ;
h
h
2
1
= ... ;
S
S
1
2
= ...
( l , m , h — відповідні бісектриси, медіани і ви-
соти трикутників).
Вивчити зміст та доведення теореми про
відношення площ подібних трикутників.
1. Сторони рівносторонніх трикутників дорівнюють 2 см і 6 см. Знай
діть відношення їх площ.
2. Знайдіть площу трикутника, якщо трикутник, утворений середні
ми лініями даного трикутника, має площу 5 см2
.
3. Відповідні сторони двох подібних трикутників відносяться як 2 : 3.
Площа другого трикутника дорівнює 81 см2
. Знайдіть площу пер
шого трикутника.
Розв’язати задачі на повторення.
1. Сторони прямокутника відносяться як 5 : 12. Знайдіть площу пря
мокутника, якщо його діагональ дорівнює 26 см.
2. На діагоналі квадрата як на стороні побудовано інший квадрат. До
ведіть, що його площа вдвічі більша за площу даного квадрата.
3. Висоти паралелограма дорівнюють 12 см і 16 см, а кут між ними —
Урок № 51
Метод площ. Розв’язування задач
Мета: закріпити, систематизувати та узагальнити знання учнів
з теми «Площі многокутників». Сформувати в учнів розуміння схеми
дій, що відповідають змісту поняття «метод площ». Провести діагнос
тику рівня засвоєння учнями навчального матеріалу розділу III.
Наочність та обладнання: конспекти 17–20.

Хід уроку
Розв’язання задач перевіряються під час коментування за готови
ми рисунками. Засвоєння змісту теоретичного матеріалу перевіряється
після перевірки виконання математичного диктанту.
1 Гіпотенузи двох подібних
прямокутнихтрикутниківвід
носяться як 3 : 2. Яке відно
шення площ цих трикутни
ків?
Площі подібних рівносторонніх
трикутників відносяться як 4 : 25.
Яке відношення довжин сторін
цих трикутників?
2 Відношення площ двох три
кутників із кутами 40° і 50°
дорівнює 16. Чому дорівнює
відношення їх периметрів?
Відношення периметрів двох три
кутників із кутами 40° і 50° дорів
нює 3. Чому дорівнює відношення
їх площ?
3 Як зміниться площа трикут
ника, якщо всі його медіани
зменшити у 2 рази?
Як зміниться площа трикутника,
якщо всі його висоти збільшити
у 3 рази?
Учитель повідомляє учням, що вивчення поняття площі
многокутника, її властивостей та формул для обчислення площ
вивчених видів чотирикутників, трикутників, крім суто практичного
спрямування, має ще й методологічне значення, тобто дає на озброєння
учням ще один метод розв’язування задач (і не тільки задач, в яких
мова йде про обчислення площ). Отже, мета уроку — вивчення схеми
дій, передбаченої змістом поняття «метод площ», а також формування
вмінь застосовувати цю схему під час розв’язування задач.
Оскільки матеріал уроку ґрунтується на застосуванні вивчених
раніше формул площ у новій ситуації відповідно до схеми, описаної
в коментарі до методу площ, то учням слід повторити формули площ,
їх наслідки та способи застосування в стандартних ситуаціях.
Виконання письмових вправ за готовими рисунками
1
7 2
ABCD — квадрат.
Знайдіть SABCD
2 ABCD — паралелограм.
3 ABCD — прямокутник.
4
8 2

ABCD — ромб.
5 Знайдіть S ABC∆
6 Знайдіть SABCD
7
Знайдіть відношення
S
S
1
2

8 ABCD — трапеція.
Знайдіть SABCD .
Зміст навчального матеріалу уроку є корисним доповненням,
зробленим авторами нового підручника до традиційного змісту
матеріалу, що вивчався в темі «Площі», і є узагальненням тих
способів дій, які, можливо, виконували учні, вивчаючи цю тему
в попередні роки. До вивчення на уроці пропонується розгляд
способів розв’язання деяких задач, що пов’язані із застосуванням
обчислення площ за вивченими у класі формулами. Вивчення
матеріалу на уроці проводиться за підручником (як варіант —
запропонувати спочатку розв’язати задачі самостійно, а після
виконання звернутися до підручника), причому необхідно не
просто ознайомитися зі змістом розв’язання, а й провести роботу
з його усвідомлення (цю роботу можна провести у формі бесіди).
Результат цієї роботи повинен мати вигляд певної схеми дій, що
містить ознаки, за якими можна визначити серед інших задачу,
в якій можливо застосувати метод площ, а також приблизний опис
дій під час розв’язування задач цим методом.
1. Дві сторони трикутника дорівнюють 12 см і 18 см. Знайдіть висо
ту, проведену до меншої з них, якщо висота, проведена до більшої
сторони, дорівнює 4 см.
2. Користуючись методом площ, доведіть, що в рівнобедреному три
кутнику висоти, проведені до бічних сторін, рівні.
3. Периметр паралелограма дорівнює 56 см. Знайдіть сторони пара
лелограма, якщо його висоти дорівнюють 6 см і 8 см.
4. Діагоналі ромба дорівнюють 30 см і 40 см. Користуючись методом
площ, знайдіть висоту ромба.
5. Доведіть методом площ, що паралелограм із рівними висотами
є ромбом.

6*. Пряма, паралельна стороні трикутника, ділить його на дві
рівновеликі частини. У якому відношенні ця пряма ділить дві інші
сторони трикутника?
7. Доведіть, що сторони трикутника обернено пропорційні його ви
сотам: a b c
h h ha b c
: : : :=
1 1 1
.
Повторити теоретичний матеріал з теми «Площі многокутників».
Виконати тестове завдання.
1. Назвіть формулу площі трапеції з основами a і b та висотою h .
а)
a b
h
+
⋅
2
; б)
ab
h
2
⋅ ;
в) a b h+( )⋅ ; г)
a b h+ +
2
.
2. Назвіть формулу площі ромба з діагоналями d1 та d2 .
а) d d1 2 ; б) 2 1
2
2
2
d d+ ;
в)
d d1 2
2
; г) d d1 2 .
3. Площа трикутника ABC дорівнює S . Знайдіть площу трикутни
ка, який відтинає від трикутника ABC середня лінія.
а)
1
2
S ; б)
1
3
S ;
в)
1
4
S ; г) визначити неможливо.
4. За даними рисунка знайдіть площу тра
пеції ABCD , якщо її середня лінія дорів
нює 10.
а) 120; б) 300;
в) 150; г) 136.
5. Відрізок BD — бісектриса трикутника
ABC (рисунок). Площі трикутників BDC
і ABC відносяться як 4 : 9. Знайдіть від
ношення AB BC: .
а) 5 : 2; б) 4 : 5;
в) 3 : 2; г) 5 : 4.

1. Висоти паралелограма дорівнюють 6 см і 4 см, а менша сторона —
8 см. Знайдіть периметр паралелограма.
2. Доведіть методом площ, що трикутник із рівними висотами є рів
ностороннім.
3. Доведіть методом площ метричне співвідношення у прямокутному
трикутнику: h
ab
c
c = .
4. Сума відстаней від точки основи рівнобедреного трикутника до
його бічних сторін не залежить від вибору точки. Доведіть.
Урок № 52
щодо змісту поняття площі многокутника та її властивостей; формул
для обчислення площ чотирикутників та трикутника, а також власти
востей площ подібних трикутників.
Повторити, систематизувати та узагальнити вміння учнів щодо за
стосування вивчених тверджень для розв’язування задач на обчислення
площ чотирикутників (паралелограмів, трапецій) та трикутників із ви
користанням цих знань, а також для розв’язування задач методом площ.
Хід уроку
З метою економії часу ретельній перевірці підлягають лише впра
ви високого та достатнього рівнів складності.
Основна дидактична мета та завдання на урок логічно випливають
з місця уроку в темі — оскільки урок є останнім, підсумковим, то
головним є питання про повторення, узагальнення та систематизацію
знань та вмінь, набутих учнями в ході вивчення теми. Таке формулювання
мети створює відповідну мотивацію діяльності учнів.
Методика проведення цього етапу уроку така сама, як і попередніх
уроків повторення і систематизації знань і вмінь (див. уроки 11, 23, 40).
Методика проведення цього етапу уроку така сама, як і попередніх
уроків повторення і систематизації знань і вмінь (див. уроки 11, 23, 40).
Іншою буде лише тематика задач:
• обчислення суми кутів опуклого многокутника;
• обчислення площ квадрата, прямокутника, паралелограма, три
кутника і трапеції;
• обчислення елементів (сторін, кутів) названих видів многокутників
за відомою площею;
• застосування властивостей фігур (вписаних та описаних чотири
кутників, рівнобедрених трикутників, ромбів, трапецій тощо) та
теореми Піфагора для обчислення площ.
учнів у робочі групи (за кількістю видів завдань). Завдання кожної з груп
формулюється так: «Скласти план розв’язування задачі...» (кожна група
отримує індивідуальне завдання). На складання плану відводиться
певний час, за який учасники групи мають обговорити план розв’язання,
записати його у вигляді послідовних кроків, реалізувати та підготувати
презентацію своєї роботи. Після закінчення відбувається презентація
виконаної роботи кожною з груп. Далі — обов’язкове обговорення
складених планів: учитель або учні (інших груп) пропонують змінити
якунебудь з даних величин і пояснити, як зміниться розв’язання задачі.
Після обговорення — обов’язкова корекція.
Підсумком уроку узагальнення та систематизації знань і вмінь
учнів є, поперше, складені самими учнями узагальнені схеми дій під
час розв’язування типових завдань, подруге — здійснення учнями
необхідної частини свідомої розумової діяльності — рефлексії,
відображеннякожнимучнемсприйняттясвоїхуспіхів,танайголовніше—
проблем, над якими слід ще попрацювати перед контрольною роботою.
Повторити зміст вивчених у ході вивчення теми понять та формул.
Вивчити складені на уроці схеми дій.
Використовуючи складені схеми, розв’язати задачі домашньої
контрольної роботи.

2. Площа квадрата дорівнює 144 см2
. Знайдіть площу прямокутника,
ширина якого менша від сторони квадрата на 2 см, а довжина біль
ша за сторону квадрата удвічі.
3. У рівнобедреному трикутнику бічна сторона відноситься до осно
ви як 5 : 6. Знайдіть площу трикутника, якщо висота, проведена до
основи, дорівнює 8 см.
4. Знайдітькутиромба,якщойоговисотадорівнює5см,аплоща—50см2
.
5. Висоти даного паралелограма дорівнюють 15 см і 18 см. Знайдіть
висоти рівновеликого паралелограма, сторони якого втричі більші
за відповідні сторони даного паралелограма.
6. Доведіть, що площа рівнобедреної трапеції з бічною стороною c і
радіусом вписаного кола r обчислюється за формулою S cr= 2 .
Урок № 53
Тематична контрольна робота
Мета: перевірити якість засвоєння учнями змісту поняття площі
многокутника та її властивостей; формул для обчислення площ чотири
кутників та трикутника, а також властивостей площ подібних трикутни
ків; здійснити контроль сформованих в учнів умінь щодо застосування
вивчених тверджень для розв’язування задач на обчислення площ чо
тирикутників (паралелограмів, трапецій) та трикутників із використан
ням цих знань, а також для розв’язування задач методом площ.
Тип уроку: контроль та корекція знань.
Хід уроку
Зібрати зошити із виконаною домашньою контрольною роботою
(роботу перевірити та врахувати, виставляючи тематичний бал).
є демонстрація учнями своїх навчальних досягнень. Тобто учні повин
ні показати знання змісту основних понять та володіння прийомами їх
застосування під час розв’язування програмових задач.
IV. Умова тематичної контрольної роботи
Варіант 1
1. Висота паралелограма ділить сторону, до якої вона проведена, на
відрізки завдовжки 3 см і 14 см. Знайдіть цю висоту, якщо площа
паралелограма дорівнює 340 см2
.
2. Знайдіть три невідомі кути опуклого п’ятикутника, якщо вони рівні
між собою, а градусна міра кожного з двох інших кутів дорівнює 105°.
3. Знайдіть площу рівнобедреної трапеції з основами 12 см і 22 см
і бічною стороною 13 см.
4. Площа рівнобедреного трикутника з кутом при основі 30° дорів
нює 64 3 cм2
. Знайдіть сторони трикутника.
Варіант 2
1. Діагональ паралелограма перпендикулярна до сторони завдовжки
23 см. Знайдіть цю діагональ, якщо площа паралелограма дорівнює
345 см2
.
2. Знайдіть три невідомі кути опуклого шестикутника, якщо вони рів
ні між собою, а градусна міра кожного з трьох інших кутів дорів
нює 72°.
3. Знайдіть площу рівнобедреної трапеції з основами 22 см і 40 см
і бічною стороною 41 см.
4. Площа рівнобедреного трикутника з кутом при вершині 120° дорів
нює 36 3 см2
. Знайдіть сторони трикутника.
завдань, виконаних учнями, або роздати учням для опрацювання вдома
завдань контрольної роботи (заготовлених учителем заздалегідь).
Виконати аналіз контрольної роботи (за розданими розв’язаннями).
Повторити: означення, властивості сторін і кутів, ознаки рівності
і подібності прямокутних трикутників.
Розв’язати задачі на повторення.
1. У прямокутному трикутнику ABC ∠ = °A 30 , BM — медіана, прове
дена до гіпотенузи. Доведіть, що трикутник MBC — рівносторонній.
2. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого
дорівнює 12,6 см, а медіана, проведена до основи,— 6,3 см.

Тема IV. Розв’язування прямокутних
трикутників
Урок № 54
Синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного
Мета: домогтися засвоєння учнями змісту означень синуса, коси
нуса, тангенса і котангенса гострого кута прямокутного трикутника та
їх властивостей, що випливають із теореми Піфагора, подібності пря
мокутних трикутників та властивостей сторін прямокутного трикутни
ка (проти більшої сторони лежить більший кут, і навпаки). Сформува
ти вміння відтворювати зміст означень та їх властивостей, а також зна
ходити значення тригонометричних функцій гострого кута за даними
Наочність та обладнання: конспект «Означення тригонометричних
функцій гострого кута».
Хід уроку
Як завжди, на початку вивчення нового розділу слід надати учням
інформацію:
• про орієнтовний план вивчення розділу;
• кількість навчальних годин;
(Цю інформацію можна помістити на стенді «Довідково
інформаційний куточок» у кабінеті математики та з метою економії часу
запропонуватиучнямдлясамостійногоознайомленнявпозаурочнийчас).
Якщо вдома учні виконували письмове завдання (аналіз розв’язання
задач контрольної роботи або корекційну роботу тощо), то правиль
ність виконання цієї роботи вчитель перевіряє, зібравши зошити уч
нів на перевірку.
Щоб сформулювати мету уроку, достатньо слів учителя про те, що
в науці і техніці часто розв’язують задачі, в яких за відомими стороною
і кутом прямокутного трикутника треба знайти невідомі його сторони
і кути, або навпаки, знаючи сторони прямокутного трикутник, обчис
лити його кути. Прикладом таких задач є добре відомі задачі на засто
сування співвідношень між катетом, що лежить проти кута 30°, і гіпо
тенузою, рисунки до яких подані нижче (див. рис. 1).
Знайдіть x, y, якщо a — відоме.
Рис. 1
Розв’язання цих задач демонструє залежність між довжиною катета,
протилежним кутом 30° і довжиною гіпотенузи, тобто залежність
між сторонами прямокутного трикутника та його кутом. Міркуючи
послідовно, можна передбачити існування загальних залежностей
між сторонами і кутами прямокутного трикутника, які можуть бути
записані в алгебраїчному вигляді і одним з окремих випадків яких є
відоме співвідношення між довжиною катета, протилежним кутом 30°
і довжиною гіпотенузи. Отже, мета уроку визначається як необхідність
вивчення співвідношень між сторонами і кутами прямокутного
трикутника та вивчення їх властивостей, а також опанування способів
застосування цих співвідношень під час розв’язування задач.
З метою формування свідомого розуміння учнями змісту означень
відношень між сторонами і кутами прямокутного трикутника та їх
властивостей учні мають повторити зміст означення прямокутного

трикутника та його елементів (поняття катета, що лежить проти даного
гострого кута, та катета, що прилеглий до даного кута), ознак подібності
прямокутних трикутників та властивості сторін подібних трикутників.
Повторення цього матеріалу можна провести у формі бесіди або
під час виконання усних вправ.
На рис. 2 знайдіть усі пари подібних прямокутних трикутників
і доведіть їх подібність. У кожному трикутнику назвіть найменший катет
та кут, що лежить проти цього катета, а також кут, що є прилеглим до
цього катета.
α
β
α β
Рис. 2
1. Означення синуса гострого кута прямокутного трикутника. Його
позначення.
2. Означення косинуса гострого кута прямокутного трикутника. Його
3. Означення тангенса гострого кута прямокутного трикутника. Його
4. Означення котангенса гострого кута прямокутного трикутника.
Його позначення.
5. Властивості тригонометричних функцій гострого кута прямокут
ного трикутника.
Вивчення співвідношень між сторонами і кутами в прямокутно
му трикутнику традиційно розпочинається з уведення понять си
нуса, косинуса, тангенса і котангенса гострого кута прямокутного
трикутника та формулювання і доведення їх властивостей (залеж
ність числових значень тільки від міри кута). У цьому плані теоре
тичний матеріал нового підручника не відрізняється від традицій
ного змісту відповідного розділу попереднього підручника. Проте,
у зв’язку зі зміною послідовності вивчення матеріалу за новою про

грамою порівняно з попередньою, обґрунтування властивостей си
нуса, косинуса, тангенса і котангенса гострого кута прямокутного
трикутника змінилося. Тепер сформульовані властивості дуже лег
ко доводяться із посиланням на подібність прямокутних трикут
ників (трикутники із спільним гострим кутом подібні за ознакою,
отже, їх відповідні сторони пропорційні за означенням подібності
Слід відзначити, що в новому підручнику міститься додатковий
матеріал щодо семантики понять «синус», «косинус», «тангенс»; цей
матеріал може допомогти учням швидше запам’ятати зміст означень
цих понять.
Серед властивостей, які використовуються в задачах і які слід
побачити «між рядками», необхідно виділити властивість, яка вип
ливає з того, що в трикутнику проти більшого кута лежить біль
ша сторона, і навпаки. Ця властивість — зростання синуса го
строго кута за зростання кута і спадання косинуса гострого кута
за зростання кута — на цьому етапі вивчення тригонометрії може
бути сформульована у вигляді твердження: більшому гострому
куту прямокутного трикутника відповідає більше значення синуса
і менше значення косинуса. Вивчення змісту теоретичного матеріалу
уроку доречно проводити відповідно до підручника за планом, по
даним вище. Під час вивчення питання про спосіб позначення три
гонометричних функцій слід одразу, попереджаючи типові помил
ки учнів, пояснити, що ці позначення є скороченим записом від
повідної назви латинськими літерами (наприклад, sinα — це ско
рочення виразу «синус кута альфа»), а не добуток. Крім того, ос
кільки не існує абстрактних понять синуса, косинуса, тангенса
і котангенса (ці поняття обов’язково асоціюються з певним гострим
кутом прямокутного трикутника), то й записи типу sin , cos тощо
просто не мають змісту.
Домогтися розуміння учнями змісту вивченого матеріалу та його
закріплення можна шляхом виконання вправ (див. нижче), запропо
нованих учням під час вивчення нового матеріалу.
1. Один з учнів 8 класу накреслив на дошці прямокутний трикутник
із катетами 30 см і 50 см та обчислив значення синуса, косинуса,
тангенса і котангенса гострого кута, що лежить проти меншого ка
тета. Потім до дошки вийшов інший учень і сказав, що накреслить
прямокутний трикутник із катетами 45 см і 75 см, у якому синус,

косинус, тангенс і котангенс гострого кута, протилежного до най
меншого катета, будуть більшими, бо його трикутник більший. Чи
не помиляється цей восьмикласним? У чому його помилка?
2. Які з чисел:
1; 0,5; 3 ,
2
2
,
3
4
;
4
3
; 0; –0,3 можуть бути числовими значеннями
синуса, косинуса, тангенса і котангенса гострого кута прямокутного
трикутника? Поясніть.
3. Прочитайте записи: sin A =
1
2
; cosB =
2
3
; tgγ =1; ctgφ = 2 . Пояс
ніть, що вони означають.
Після обговорення питань слід провести узагальнення способів
застосування вивченого матеріалу: якщо треба знайти значення
синуса, косинуса, тангенса і котангенса гострого кута прямокутного
трикутника, то використовують означення цих понять; якщо ж треба
відповісти на питання стосовно даних значень тригонометричних
функцій, то слід використовувати їх властивості. У вивченні нового
матеріалу користуємося конспектом.
Конспект 21
Означення тригонометричних функцій гострого кута.
Тригонометричні тотожності
Якщо 0 90< < °α — гострий кут прямокутного
трикутника, �� a — протилежний катет; b��— прилег
лий катет; ��c��— гіпотенуза, то
sinα =
a
c
, cosα =
b
c
, tgα =
a
b
, ctgα =
b
a
.
Властивості
1) 0 1< <cosα , 0 1< <sinα , tgα > 0 , ctgα > 0 .
2) Якщо 0 90< < < °α β , то sin sinα β< , cos cosα β> , tg tgα β< .
3) Якщо α β= , то sin sinα β= , cos cosα β= , tg tgα β= ,
ctg ctgα β= .
1) sin cos2 2
1α α+ = ⇒ sin cosα α= −1 2
, cos sinα α= −1 2
;
2) tg
sin
cos
α
α
α
= , ctg
cos
sin
α
α
α
= , tg ctgα α⋅ =1.
α
1. За рисунком 3 визначте, яка тригонометрична функція кута K ви
ражається відношенням:
а)
KN
KM
; б)
MN
KN
; в)
MN
KM
.
2. У прямокутному трикутнику KMN (рис. 3) KN
> MN. Який із гострих кутів трикутника має
більший синус; більший косинус; більший
тангенс?
3. Чи може синус гострого кута прямокутного
трикутника дорівнювати 0,99; 2 , 5 2− ?
4. Чи може добуток синуса і косинуса одного
кута дорівнювати одиниці? А добуток танген
са і котангенса?
5. Чи може тангенс гострого кута прямокутного трикутника дорівню
вати 2 ; 0,01; 100?
1. Накресліть за допомогою транспортира прямокутний трикутник із
гострим кутом 40°. Виміряйте його сторони та обчисліть синус, ко
синус і тангенс цього кута.
2. Побудуйте прямокутний трикутник ABC, в якому:
а) tg A =
5
6
; б) sin A =
2
3
.
3. Побудуйте кут 75°. За допомогою додаткових побудов і вимірювань
знайдіть синус, косинус, тангенс і котангенс цього кута.
4. Побудуйте гострий кут α , якщо:
а) sinα =
5
8
; б) cosα =
3
4
.
5. Доведіть, що для будьякого гострого кута A tg sinA A> .
6. Катет і гіпотенуза прямокутного трикутника відповідно дорівню
ють 6 см і 10 см. Знайдіть:
а) синус гострого кута, що лежить проти більшого катета;
б) косинус гострого кута, прилеглого до меншого катета;
в) тангенс гострого кута, що лежить проти більшого катета.
Виконання всіх вправ має на меті закріплення учнями вивченої
термінології та вивчених властивостей, а також розуміння сфери
застосування вивченого матеріалу (див. висновок попереднього


етапу уроку). Розв’язання задач передбачає додаткове повторення
теореми Піфагора для обчислення невідомої сторони прямокутно
го трикутника перед застосуванням вивчених означень.
Подайте різними способами косинус,
синус і тангенс кутів α і β (рис. 4).
Вивчити зміст означень синуса,
косинуса, тангенса гострого кута, прямо
кутного трикутника та доведення їх власти
востей.
1. Накресліть гострий кут. Позначте на одній стороні кута дві точки
і проведіть із них перпендикуляри до іншої сторони кута.
а) Виміряйте сторони прямокутних трикутників, що утворилися, та
обчисліть двома способами синус побудованого кута. Порівняйте
результати.
б) Обчисліть косинус побудованого кута двома способами — за
означенням і за основною тригонометричною тотожністю.
Порівняйте результати.
2. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 8 см і 15 см. Обчис
літь синус, косинус і тангенс найменшого кута трикутника.
3. Висота рівнобедреного трикутник, проведена до основи, дорівнює
5 см, а довжина основи — 24 см. Знайдіть синус, косинус, тангенс
і котангенс кута при основі трикутника.
4. Доведіть, що для будьякого гострого кута A cos ctgA A< .
Урок № 55
Мета: домогтися засвоєння учнями означень синуса, косинуса, тан
генса і котангенса гострого кута прямокутного трикутника та їх влас
тивостей; розглянути тригонометричну тотожність та наслідок із неї;
формувати вміння перетворювати тригонометричні вирази за допомо
гою тригонометричних тотожностей.
α
β
Хід уроку
Розв’язання письмових завдань домашньої роботи перевіряється за
готовими рисунками до домашніх задач.
Засвоєння змісту теорії, вивченої на попередньому уроці, прово
диться у формі математичного диктанту.
1 Закінчіть речення: «Косинусом
гострого кута прямокутного
трикутника називається…»
Запишіть, використовую
чи позначення: косинус 60°
дорівнює
1
2
2 Запишіть, використовуючи
позначення: косинус кута 45°
наближено дорівнює
7
9
Закінчіть речення: «Косину
сом гострого кута прямокут
ного трикутника називаєть
ся…»
3 Обчисліть косинус гострого
кута B прямокутного трикутни
ка, у якому катет AC = 11 см,
інший катет — 60 см, а гіпоте
нуза дорівнює 61 см
Обчисліть косинус гострого
кута M прямокутного трикут
ника, у якому катет PO = 21
см, інший катет — 20 см, а гі
потенуза дорівнює 29 м
4 Обчисліть синус кута M прямо
кутного трикутника, якщо його
катет MK дорівнює 45 см, дру
гий катет — 28 см, а гіпотену
за — 53 см
Обчисліть тангенс кута F пря
мокутного трикутника, якщо
його гіпотенуза дорівнює 29
дм, катет EA — 20 дм, а інший
катет — 21 дм
5 Чи може синус гострого кута
прямокутного трикутника
дорівнювати 1,01?
Тангенс гострого кута прямо
кутного трикутника дорівнює
1. Якого виду цей трикутник?

6 Обчисліть тангенс гострого
кута прямокутного рівнобедре
ного трикутника
Чи може косинус гострого
кута прямокутного трикутника
дорівнювати 1,02?
Поштовхом до інтелектуальної діяльності учнів може слугувати за
пропоноване вчителем завдання.
Завдання. Виконайте зображення прямокутного трикутника з ка
тетами a, b і гіпотенузою c. Кути, протилежні катетам a і b, позначте
відповідно α , β . Запишіть відношення, яким дорівнюють tgα та
ctgα . Порівняйте записані відношення. Що ви помітили? Чи зміниться
результат, якщо взяти інший прямокутний трикутник? Сформулюйте
здобутий результат у вигляді твердження.
Мета запропонованого завдання — наочно продемонструвати учням
існування певних залежностей між тригонометричними функціями
деякого гострого кута. Далі вчитель наголошує на тому, що для інших
тригонометричних функцій (крім тангенса і котангенса) одного й того
самого кута також існують певні залежності; їх вивчення і становить
основну мету уроку.
З метою формування свідомого розуміння учнями змісту та схем
доведення тригонометричних тотожностей учні мають повторити зміст
теореми Піфагора, означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса
гострого кута прямокутного трикутника.
1) Якщо катети прямокутного трикутника дорівнюють 12 см і 9 см,
то гіпотенуза дорівнює…
2) Якщо дві більші сторони прямокутного трикутника дорівнюють
17 і 15, то третя сторона дорівнює…
3) Якщо діагональ квадрата дорівнює 12 см, то сторона квадрата
має довжину…
4) Якщо діагоналі ромба мають довжини 12 см і 16 см, то сторона
ромба має довжину…

2. Виконайте завдання за готовими рисунками
1 Знайти: cosB , tg A
2 Знайти: sin P , cosM
3 Знайти: tgD , sinE , cosD
4 Знайти: sin A , cos A , tg A
5 √
¬
Знайти: tgD , tgC
6 Знайти: cos A , cosB

1. Теорема, що виражає основну тригонометричну тотожність.
2. Наслідок з основної тригонометричної тотожності.
3. Співвідношення для тангенса і котангенса одного й того самого го
строго кута прямокутного трикутника.
4. Приклади задач.
Зміст нового матеріалу включає в себе формулювання і доведен
ня чотирьох основних тотожностей для тригонометричних функ
цій одного й того ж гострого кута.
Вивчення нового матеріалу проводимо відповідно до спосо
бу викладення його в підручнику, проте до наведеного в підручни
ку прикладу на застосування вивчених тотожностей для обчислення
значень тригонометричних функцій бажано додати приклад на засто
сування вивчених формул для перетворення тригонометричних ви
разів (з демонстрацією прийому введення тригонометричної одини
ці). Перевірка розуміння учнями вивчених тотожностей проводить
ся за питаннями:
1) Чи правильне твердження: сума квадратів синуса і косинуса
гострого кута дорівнюють 1?
2) Чи правильне твердження: добуток тангенса кута на котангенс
кута дорівнює 1?
3) Чи може синус і косинус деякого гострого кута дорівнювати
відповідно: а)
1
3
і
2
3
; б)
3
2
і
1
2
; в) 1 і 0?
4) Чи можуть тангенс і котангенс деякого гострого кута дорівнювати
відповідно: а)
1
2
і 2; б) −
1
3
і –3; в) 1 і 1?
5) Які вирази слід дописати, щоб рівності стали тотожностями ( α ,
β , γ — деякі гострі кути)?
sin
cos
...
β
β
= ; sin ...2
1γ + = ; tg ...γ ⋅ =1; 1 = …;
...
...
ctg= 2
α ;
cos ...2
1α β+( )+ = ; 1 2
− =cos ...γ ; 1 2
− =sin ...β ;
cos sin cos sin ...2 2 2 2
β β α α+ − − =

Накресліть гострий кут. Позначте на різних сторонах кута дві точки
і проведіть із них перпендикуляри до іншої сторони кута.
а) Виміряйте сторони прямокутних трикутників, що утворилися,
та обчисліть двома способами синус і косинус побудованого кута.
Порівняйте результати.
б) Обчисліть тангенс побудованого кута двома способами — за
означенням та відповідною тригонометричною тотожністю. Порівняйте
результати.
1. Визначте, чи можуть синус і косинус одного кута відповідно дорів
нювати: а)
1
2
і
3
2
; б)
1
3
і
3
4
.
2. Визначте, чи можуть тангенс і котангенс одного кута відповідно
дорівнювати:
а) 0,4 і 2,5; б) 1,1 і 0,9; в) 5 2+ і 5 2− .
3. Знайдіть:
а) sinα , якщо cosα =
12
13
; б) cosα , якщо sinα =
1
2
;
в) tgα , якщо sinα =
15
17
.
4. Знайдіть значення тригонометричних функцій гострого кута A,
якщо:
а) sin A =
3
2
; б) cos ,A = 0 28 .
5. Спростіть вираз:
а) 1 2
− cos α ; б) tg cosα α⋅ ; в) 1 2 2
+ +sin cosα α .
а)
1 1
2
−( ) +( )sin sin
sin
α α
α
; ��б) cos cos sinα α α− 2
; ��в) tg ctg cosα α α− 2
.
Вправи, які слід виконати учням після вивчення нового матеріалу,
спрямовані на закріплення знань формул, а також на формування
вмінь використовувати вивчені формули під час розв’язування за
вдань таких типів: перевірка можливості існування кута з даними
значеннями тригонометричних функцій, обчислення значень три
гонометричних функцій, застосування тотожностей для спрощен
ня тригонометричних виразів.


Чи правильні наведені рівності?
1) tg cos sinα α α⋅ = ; ��2) 1 02 2
+ − =cos sinα α ;
3) 1 2 2
− =cos sinα α ; 4) sin cos2 2
1α β+ = ;
5) tg ctgα β⋅ =1.
Вивчити зміст та доведення теореми про основну тригонометричну
тотожність і наслідки з неї.
1. Знайдіть tgα , якщо:
а) sinα =
4
5
; б) cosα =
2
3
.
а) 1 2
− cos α ; б)
tg
sin
α
α
; в)
sin cos
cos
α α
α2
.
а) ctgα , якщо sin ,α = 0 5 ; ��б) tgα , якщо cosα =
2
2
.
а)
cos
ctg
α
α
; б) sin cos ctg sinα α α α+ 2
; в) cos tg cos2 2 2
α α α+ .
Урок № 56
Мета: узагальнити та систематизувати знання учнів про означення
тригонометричних функцій гострого кута, їх основні властивості, три
гонометричні тотожності, а також про способи застосування набутих
знань під час виконання вправ.
Хід уроку
Розв’язання завдань домашньої роботи перевіряється за зразком
та з коментарем.
Тема уроку визначає подвійну мету уроку:
1) закріплення знань означень тригонометричних функцій гострого
кута, їх властивостей, а також тотожностей для тригонометричних фун
кцій певного гострого кута;
2) продовження роботи із формування вмінь практичного застосу
вання цих відомостей.
Повторення знань учнів, набутих ними під час вивчення нового
матеріалу, частково відбулося в ході перевірки домашнього завдання.
Систематизувати знання учнів можна шляхом розв’язування таких
завдань, як завдання на дописування та на пошук помилок (приклади
таких завдань — див. попередній урок, етапи формування знань та
підбиття підсумків).
Варіант 1
1. За даними рис. 1 знайдіть cosα .
α α
2. За даними рис. 2 знайдіть x.
α α
4. За даними рис. 4 знайдіть AC.

Варіант 2
1. За даними рис. 5 знайдіть sinα .
α
α
α
α
4. За даними рис. 8 знайдіть AC.
а)
sin
cos cos
3
3
α
α α−
; б) tg sin sin2
1 1α α α−( ) +( ) ;
в)
1
1
2
2
+
+
tg
ctg
α
α
.
а) sin cos sin cosα α α α+( ) + −( )
2 2
; б)
1 2
1 2
2
2
−
−
sin
cos
α
α
;
в)
sin
cos
2
1
α
α−
; г)
sin sin
cos cos
2 2
2 2
1
1
α α
α α
−( )
−( )
; д)
1
2
+ cos
sin
α
α
;
е) 1 1 1 1
2 2 2 2
−( ) + −( ) + +( ) + +( )sin cos sin cosα α α α .
3. Обчисліть sin cosα α+ , якщо sin cos ,α α = 0 48 .
1) 1 2 2
+ −cos sinα α ; 2) 1 1−( ) +( )cos cosα α ;
3)
sin cos
sin
α α
α1 2
−
; 4) 1 2
− cos α ;
5) 2 2 2
− −cos sinα α ; 6)
sin
cos
2
2
1
α
α−
;
7)
cos
sin
2
2
1
α
α−
; 8) sin cos sin cosα α α α−( ) +
2
2 ;
9)
cos
sin
90
90
° −( )
° −( )
α
α
; 10)
1
1
2
2
−
−
cos
sin
α
α
;
11) sin sin2 2
90α α+ ° −( ) ; 12) 1 902
− ° −( )cos α ;
13) sin tg cos2 2 2
α α α+ + .
Підсумком цього етапу уроку є виділення основних типів задач
із теми та узагальнення способів їх розв’язання (незалежно від рівня
складності).
Діагностика засвоєння учнями знань та вмінь може бути проведена
у формі тестової роботи.
Тестова робота
1. Яка з тотожностей неправильна?
1) cos sinα α= −1 2
; 2) 1
12
2
+ =tg
cos
α
α
;
3) 1
1 1
2 2
+ =
tg sinα α
; 4) sin cosα α+ =1 .
2. Спростіть вираз 1 2
− cos α .
1) 1 1−( ) +( )cos cosα α ; 2) −sin2
α ;
3) sinα ; 4) sin2
α .
3. Знайдіть cosα , якщо sinα =
3
5
.
1)
4
25
; 2)
3
25
; 3)
4
5
; 4)
8
5
.
4. Знайдіть tgα , якщо sinα =
2
2
.
1) 4; 2) 3; 3) 2; 4) 1.
5. Обчисліть значення sinα , якщо tgα =
9
40
.
1)
20
21
; 2)
41
9
; 3)
9
41
; 4)
81
41
.

1. Спростіть вирази:
а) sin cos sin cosα α α α+( ) + −( )
2 2
; б)
1
sin
cos tg
α
α α− ;
в)
tg ctg
cos
tg
α α
α
α2
2
− .
2. Обчисліть:
а) cos sin sin45 45 30° ° − ° ; б) sin cos sin60 30 90° ° − ° ;
в) tg sin45 452
° ; г) 2 30 60 60ctg sin cos° ° − ° .
3. Відомо, що sin cos ,∠ + ∠ =A A 0 5 . Знайдіть sin cos∠ ∠A A .
1) cos ctgα α ;
2) sin ctgα α⋅ ( 0 90° < < °α ), якщо sinα =
16
65
.
5. Спростіть вирази:
1) sin cos sin cosα α α α+( ) + −( )
2 2
; 2)
1 2
1 2
2
2
−
−
sin
cos
α
α
;
3) 1 1+ +( ) + −( )sin cos sin cosα α α α ; 4)
sin
cos
2
1
α
α−
;
5)
sin sin
cos cos
2 2
2 2
1
1
α α
α α
−( )
−( )
; 6)
sin
cos
cos
sin
α
α
α
α1
1
+
−
−
;
7) 1 1 1 1
2 2 2 2
−( ) + −( ) + +( ) + +( )sin cos sin cosα α α α .
Урок № 57
Формули доповнення. Значення тригонометричних фун-
кцій кутів 30°, 45°, 60°
Мета: сформувати в учнів свідоме розуміння змісту та доведення
теореми, що містить формули доповнення, а також наслідку з неї; до
могтися засвоєння учнями способу обчислення та значень тригономет
ричних функцій кутів 30°, 45° і 60°. Закріпити знання вивчених формул
та сформувати вміння їх застосовувати під час розв’язування задач.
Наочність та обладнання: конспект «Формули доповнення. Значен
ня тригонометричних функцій кутів 30°, 45° і 60°».
Хід уроку
З огляду на досить великий об’єм матеріалу, який слід вивчити на
уроці, перевірку здійснюємо усно, за записами, виконаними на дошці
заздалегідь.
Поштовхом до інтелектуальної діяльності учнів може бути завдання,
одного разу вже запропоноване та вдосконалене вчителем.
Завдання. Виконайте зображення прямокутного трикутника з
катетами a, b і гіпотенузою c. Кути, протилежні катетам a, b, позначте
відповідно α , β . Запишіть, чому дорівнюють sinα та cosβ . Порівняйте
записані відношення. Що ви помітили? Чи зміниться результат, якщо
взяти інший прямокутний трикутник? Сформулюйте здобутий результат
у вигляді твердження.
Мета запропонованого завдання — наочно продемонструвати учням
існування певних залежностей між тригонометричними функціями
гострих кутів прямокутного трикутника. Далі слід наголосити на
тому, що для гострих кутів будьякого прямокутного трикутника існує
загальна властивість. Тому, узагальнивши проведені спостереження для
кутів, що мають із гострими кутами прямокутного трикутника спільну
властивість, ми дістанемо нові твердження. Вивчення цих тверджень та
способу їх застосування — основна мета уроку.
Учням слід відтворити набуті ними раніше знання про властивість
гострого кута прямокутного трикутника, медіани рівностороннього
трикутника, а також теореми Піфагора, та поновити вміння викори
стовувати ці знання під час розв’язування задач. Для цього учнями
пропонується виконати усні вправи.
1. Знайдіть кут x на рис. 1.
α
Рис. 1 Рис. 2

2. За даними рисунка 2 знайдіть ∠DAC , AD, якщо AB = BC, ∠ = °B 60 .
3. Знайдіть x на рис. 3.
Рис. 3
1. Теорема (формули доповнення).
2. Наслідок з теореми.
3. Значення тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60°.
Зміст матеріалу, поданого в п. 20.1 і 20.2 нового підручника, відріз
няється від змісту відповідного пункту традиційного підручника
лише тим, що з теореми (формули доповнення) виведено наслі
док для тангенсу і котангенсу гострого кута. Доведення теореми та
знаходження значень тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60°
здійснюється традиційним способом (через застосування теореми
Піфагора, означення тригонометричних функцій та формул допов
нення до прямокутних трикутників із гострими кутами 30° і 45°).
Оскільки зміст матеріалу уроку ґрунтується на добре засвоєних
знаннях учнів і вимагає спостережливості та вмінь виконувати
обчислення відповідно до змісту теореми Піфагора, то вивчення
матеріалу уроку проводиться у формі практичної роботи (можна в малих
групах), результати якого після закінчення оголошуються, коригуються
та узагальнюються, а також фіксуються в зошитах учнів у вигляді
записів, аналогічних до записів конспекту 22.
Конспект 22
Формули доповнення. Значення тригонометричних
функцій кутів 30°, 45°, 60°
Формули доповнення:
Якщо 0 90° < < °α ,
то sin cos90° −( ) =α α , cos sin90° −( ) =α α .
tg ctg90° −( ) =α α , ctg tg90° −( ) =α α .

90−α
α
Значення тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60°
Функція
Кут α
30° 45° 60°
sinα 1/2 2
2
/2 3
2
/2
cosα 3
2
/2 2
2
/2 1/2
tgα 3
2
/3 1 3
ctgα 3 1 3
2
/3
Після виконання цієї частини роботи вчитель має зробити акцент
на тому, що, з огляду на широку вживаність записаних у таблиці чисел,
їх треба вивчити напам’ять. Кращому запам’ятовуванню сприятиме за
стосування формул доповнення та існування певного закону у послі
довності запису чисел (значення синусів кутів 30°, 45°, 60° є дробами,
в знаменнику яких стоїть число 2, а в чисельнику — значення квадрат
ного кореня з перших трьох натуральних чисел: 1 1= , 2 , 3 ), а та
кож використовування інших мнемонічних прийомів (наприклад, виді
лення однакових чисел у таблиці однаковим кольором).
1. У прямокутному трикутника ABC з гіпотенузою AB sinB a= . Чому
дорівнює косинус кута A?
2. Чи можуть синус і косинус гострого кута прямокутного трикутни
ка дорівнювати один одному? В якому випадку?
3. У прямокутному трикутнику ABC з гіпотенузою AB tg tgA B> . Чи
може один із цих тангенсів дорівнювати одиниці?
4. Кути α і β — гострі кути прямокутного трикутника. Знайдіть до
буток tg tgα β⋅ .
1. Знайдіть гострий кут x, якщо:
а) sin cosx = °36 ; б) cos sinx = °82 ;
в) tg x = 3 ; г) cos sinx x= .
а) sin tg30 45° + ° ; б) cos tg30 60°⋅ ° ;
в) 2 45 60sin cos° − ° .

3. Кути A і B — гострі кути прямокутного трикутника. Знайдіть:
а) sinB і cosB , якщо cos ,A = 0 6 ;
б) cos A і tg A , якщо sin ,B = 0 5 .
а) tg ctgx = °22 ; б) cos ,90 0 5° −( ) =x .
Розв’язування запропонованих вправ сприяє закріпленню знань
формул доповнення та значень тригонометричних функцій кутів
30°, 45°, 60°, а також формуванню вмінь використовувати ці знан
ня під час розв’язування стандартних завдань на розуміння.
Знайдіть помилки в таких рівностях:
1) sin cos12 78° = ° ; 2) sin sin70 10° = ° ;
3) cos sin53 47° = ° ; 4) cos sin25 65° = ° ;
5) cos sin21 69° = ° ; 6) sin cos34 56° = ° .
Вивчити зміст і доведення теореми та наслідку з неї, значення
тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60°.
1. Накресліть прямокутний трикутник.
а) Виміряйте катет і гіпотенузу трикутника й обчисліть їх відно
шення.
б) Виділіть червоним кольором кут, синус якого знайдено, і синім
кольором — косинус якого знайдено.
а) cos sinx = °50 ; ��б) sin ,x = 0 5;
в) tg x =1.
а) 3 30 60cos cos° − ° ; б) cos sin45 45°⋅ ° ;
в) sin tg60 30°⋅ ° .
а) cosα і sinα , якщо sin ,90 0 8° −( ) =α ;
б) tg 90° −( )α , якщо sinα =
2
2
.
Повторити теорему Піфагора; тригонометричні тотожності; нерів
ність трикутника.

Урок № 58
Формули доповнення. Значення тригонометричних фун-
кцій кутів 30°, 45°, 60°. Розв’язування задач
Мета: закріпити знання учнями змісту формул доповнення та чис
лових значень тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60°. Сформу
вати вміння застосовувати формули до розв’язування задач.
Хід уроку
Учні виконують роботу з перевірки домашнього завдання у формі
«Знайди помилку» (запис готового розв’язання домашніх задач із
«помилками» виконано на дошці заздалегідь).
Засвоєння змісту теоретичного матеріалу уроку перевіряється під
час самостійного виконання учнями вправ на вписування.
Заповніть пропуски записами так, щоб рівності стали правильними
( α , β , χ — гострі кути).
а) sin ...90° −( ) =α ;
б) cos ... sin−( ) =β β ;
в) tg ... ctg90° −( ) = χ ;
г) ... ... tg90° −( ) = β ;
д) sin... cos ... ...+ ° = + =45
1
2
;
е) 3 5 3 5 3tg... ctg...+ = + ;
ж) 2 60 3 1 3... tg... ...+ ° + = − = ;
з) sin... tg... ...− = − =
3
2
3
Загальна мета уроку — закріплення знань учнів з теми та опанування
способів застосування цих знань, формування вмінь оперувати набутими
знаннями в стандартних та нестандартних ситуаціях.
1. Знайдіть: cosB , tg A (рис. 1).

2. Знайдіть: sin P , cosM (рис. 2).
а)
cos
sin
90
90
° −( )
° −( )
α
α
; б) sin sin2 2
90α α+ ° −( ) ;
в) 1 902
− ° −( )cos α .
а) 2 30 3 60sin cos° + ° ; б) 6 30 45sin tg° − ° ;
в) cos sin60 30°⋅ ° ; г) 4 30 60cos tg° − ° ;
д) 2 60 3 45cos tg° − ° ; е) 1 2 452
− °cos ;
ж) cos sin2 2
30 2 30° − ° ; з) sin sin2
45 30° + ° ;
и)
2 45 45
45
sin cos
tg
°⋅ °
°
.
5. Чому дорівнює тангенс гострого кута, якщо синус і косинус цього
кута рівні між собою?
6. У прямокутному трикутника ABC катет a більший від катета b. Що
більше: cos A чи cosB ?
V. Застосування знань та вмінь
1. Кути A і B — гострі кути прямокутного трикутника. Знайдіть:
а) tg A , якщо sin B =
1
5
; б) sin B , якщо ctg A = 3 ;
в) sin sin2 2
A B+ .
2. Обчисліть без допомоги таблиць:
а) cos sin2 2
30 2 30° − ° ; б) 3 45 2 602 2
cos cos° − ° ;
в) 4 30 3 30sin cos° − ° .
3. Обчисліть без допомоги таблиць:
а) cos cos cos sin30 45 45 60° + °( ) ° − °( ) ;
б) sin sin cos cos60 30 60 30° − °( ) ° + °( ) ;
в) 1 30 60 3 60 60+ ° + °( ) ° − °( )sin sin cos sin .
а) 1 90 1 90
2 2
+ ° −( )( ) + − ° −( )( )ctg ctgα α ;
б)
1 90
1 90
2
2
− ° −( )
− ° −( )
cos
sin
α
α
;
в) sin tg
sin
ctg
90
90
2
2
° −( )( ) +
° −( )






α α
α
α
.
1 (опорна). За зростання гострого кута синус і тангенс зростають,
а косинус і котангенс спадають. Доведіть.
2. Обчисліть значення виразу tg tg tg tg tg15 30 45 60 75°⋅ °⋅ °⋅ °⋅ ° .
3. Подайте вираз у вигляді суми добутків синусів деяких кутів на числа:
а) 2 3
3
4
+ − ; б)
2
3
0 25 2 3 3− + −, .
4. Запишіть вираз у вигляді суми добутків косинусів деяких кутів на
числа:
а)
1
4
2 4 3− + ; б) 1
3
3
2 2
5
8
− + − .
5. Запишіть вираз у вигляді суми добутків тригонометричних функ
цій кута 30° на деякі числа:
а) 5 4 2
2
3
− + ; б)
3
3
4 2 3+ − .
6. Розташуйте в порядку зростання:
а) sin12° , sin65° , sin38° , sin25° ;
б) cos52° , cos10° , cos80° , cos20° ;
в) tg37° , tg87° , tg77° , tg27° , tg57° .
7. Чи правильно, що:
а) sin sin2 2
28 62 1° + ° = ; б) tg tg20 70 1°⋅ ° = ;
в) sin cos3 3
1α α+ < ?
8. Що можна сказати про гострий кут A ( ∠ =A α ), якщо відомо, що:
а) sin sinα > °47 ; б) cos cosα > °31 ;
в) tg tgα > °20 ; г) sin ,α < 0 5 ;
д) tgα >1 ; е) cosα >
3
2
;
ж) sin cosα α> .
Під стандартними в цьому випадку розуміють задачі, в умові
яких є вказівки на ті твердження, які слід застосовувати під час
розв’язування.


Нестандартні ситуації як завжди представлені задачами, в яких слід
застосовувати додатковий матеріал або взагалі доводити нові опорні
факти, а також виявляти елементи творчого мислення.
Підбиваючи підсумки уроку, необхідно описати види задач
на застосування матеріалу §20 та дати словесний опис схеми їх
розв’язання.
Повторити зміст та доведення теореми про формули доповнення
та значення тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60°; означення й
властивостітригонометричнихфункційгострогокутататригонометричні
тотожності.
а) ctg tgx = °14 ; б) tg ctgx x= .
а) sinα , cosα і tgα , якщо tg 90
1
3
° −( ) =α ;
б) cos cos2 2
90α α+ ° −( ) .
3. Порівняйте:
а) sin23° і cos65° ; б) tg36° і ctg64° .
4. Доведіть, що tg tg ... tg tg1 2 88 89 1°⋅ °⋅ ⋅ °⋅ ° = .
Урок № 59
Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного
Мета: домогтися засвоєння учнями змісту правил знаходження не
відомих сторін прямокутного трикутника, що випливають з означень
тригонометричних функцій гострого кута; формувати вміння відтворю
вати зміст цих правил, а також застосовувати правила для знаходжен
ня невідомих сторін прямокутного трикутника. Закріплювати знання
числових значень тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60°, а та
кож означення та властивостей тригонометричних функцій, вивчених
на попередніх уроках.
Хід уроку
Варіант 1
1. Обчисліть: cos
tg
30
60
2
° −
°
.
2. Спростіть вираз
sin
tg
sin
2
2
2x
x
x+ .
Варіант 2
1. Обчисліть: sin
tg
30
45
2
° +
°
.
2. Спростіть вираз cos tg cos2 2 2
x x x⋅ + .
Варіант 3
1. Обчисліть: 2 3 60 30⋅ ° − °( )sin tg .
1 2
2
2−
+
cos
tg
sin
x
x
x .
Варіант 4
1. Обчисліть: 2 3 30 30⋅ ° − °( )tg cos .
1 2
2
2−
+
sin
ctg
cos
x
x
x .
Перш ніж сформулювати мету уроку, вчитель наводить відомі учням
приклади співвідношень між величинами, записаних у вигляді формул,
та нагадує про можливість математичного перетворення формул
(тобто вираження з формул одних величин через інші). Найбільш
тривіальний приклад — закон рівномірного прямолінійного руху:
s vt= , з якого можна виразити кожну з величин, за допомогою яких
цей закон записано. Проводячи аналогію з матеріалом, що вивчається
на уроках геометрії, нескладно дійти висновку, що і для геометричних
співвідношень можливо виразити одну величину через інші.
Отже, мета уроку — вивчення таких співвідношень між елементами
прямокутного трикутника, які є наслідками перетворень відомих
співвідношень у прямокутному трикутнику.

1. Дайте означення синуса, косинуса і тангенса гострого кута прямо
кутного трикутника.
2. Доведіть основну тригонометричну тотожність.
3. Доведіть формули доповнення.
4. Назвіть значення тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60°.
5. Опишіть розв’язування прямокутного трикутника:
а) за гіпотенузою і гострим кутом;
б) за катетом і гострим кутом;
в) за гіпотенузою і катетом;
г) за двома катетами.
6. Із рівності
a
b
c= виразіть a, b. Прочитайте вихідну та здобуті рів
ності, використовуючи поняття «добуток», «відношення».
7. a, b — катети, c — гіпотенуза прямокутного трикутника. Порівняй
те записи: a c= sinα , b c= cosα. Що в них спільного? Що відмінно
го? На який із цих записів більше схожий запис b c= sinα ? Чому?
1. Правило знаходження катета, протилежного гострому куту прямо
2. Правило знаходження катета, прилеглого до гострого кута прямо
3. Правило знаходження гіпотенузи.
Зміст матеріалу п. 21.1 нового підручника суттєво відрізняється від
відповідного матеріалу попереднього підручника тим, що в ньо
му подано обґрунтування різних способів знаходження невідомих
сторін прямокутного трикутника, а також описано загальну схему
дій для знаходження сторони прямокутного трикутника із вико
ристанням означення тригонометричних функцій.
Роботу з вивчення нового матеріалу можна провести або за
підручником, або запропонувавши учням виконати таке завдання:
1. Для трикутника рис. 1 запишіть у вигляді формул означення всіх
тригонометричних функцій.


2. Із кожної записаної рівності виразіть
усі можливі сторони прямокутного три
кутника.
3. Прочитайте здобуті рівності, викорис
товуючи поняття «добуток», «відношен
ня», та назви сторін прямокутного три
кутника.
4. Порівняйте здобуті рівності, розбийте їх
на групи за схожими елементами.
5. Узагальніть результати (для кожної з утворених груп скласти загаль
не правильно).
6. Порівняйте виведені правила з поданими в підручнику. Складіть
конспект.
Конспект 23
Знаходження невідомих сторін прямокутного трикутника.
Розв’язування прямокутних трикутників
Знаходження невідомих сторін прямокутного трикутника
α
Шукана
сторона
Правило знаходження Формула
Проти
лежний
катет
Катет, протилежний до кута α , дорівнює:
• добутку гіпотенузи на sinα ;
• добутку прилеглого катета на tgα
a c= sinα
a b= tgα
Прилег
лий ка
тет
Катет, прилеглий до кута α , дорівнює:
• добутку гіпотенузи на cosα ;
• відношенню протилежного катета до tgα
b c= cosα
b
a
=
tgα
Гіпоте
нуза
Гіпотенуза дорівнює:
• відношенню протилежного катета до
sinα ;
• відношенню прилеглого катета до cosα
c
a
=
sinα
c
b
=
cosα
α
β

α
β
c a b= +2 2
tgβ =
b
a
α β= ° −90
α
β
b c a= −2 2
cosβ =
a
c
α β= ° −90
α
β
a c= sinα
b c= cosα
β α= ° −90
α
β c
a
=
sinα
b c= cosα
β α= ° −90
1. Як знайти гіпотенузу прямокутного трикутника, коли відомі катет
і гострий кут?
2. Як знайти гострий кут прямокутного трикут
ника, коли відомі протилежний цьому куту
катет і гіпотенуза?
3. Як знайти гострий кут прямокутного трикут
ника, коли відомі прилеглий до цього кута ка
тет і гіпотенуза?
4. У прямокутному трикутнику KMN (рис. 2) ві
домі катет MN і кут K. Виразіть через них дру
гий катет і гіпотенузу трикутника.
1. У прямокутному трикутнику катет завдовжки 7 см є прилеглим до
кута 60°. Знайдіть гіпотенузу трикутника.
2. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 20 см, а синус од
ного з кутів — 0,6. Знайдіть катети трикутника.
3. Визначте невідомі сторони прямокутного трикутника ABC
( ∠ = °C 90 ), якщо:
1) ��AB = c, ∠ =A α ;
2) AC = b, ∠ =B β ;
3) BC = a, ∠ =B β .
α
4. За рис. 3 визначте довжини відрізків AD і CD.
α
β
α
γ
α
β
5. У прямокутному трикутнику ABC (рис. 4) AB = c, ∠ =BAC α ,
∠ =KAC β . Знайдіть довжину відрізка BK.
6. Знайдіть бічну сторону рівнобедреного трикутника, якщо його ос
нова дорівнює 24 см, а медіана, проведена до бічної сторони, дорів
нює 30 см.
7. У рівнобічній трапеції діагональ дорівнює 17 см, а висота трапеції
— 8 см. Знайдіть середню лінію трапеції.
8. Основа AD рівнобічної трапеції ABCD ділиться висотою BE на
відрізки довжиною 5 см і 16 см, а довжина бічної сторони трапеції
дорівнює 13 см. Знайдіть діагоналі трапеції.
9. Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть ви
соту трикутника, проведену до його середньої сторони.
Залежно від рівня інтелектуальної активності учнів, розв’язування
запропонованих задач ведеться з використанням або правил зна
ходження невідомих сторін прямокутних трикутників (конспект
23), або з використанням схеми дій, описаної в підручнику. Проте
за будьякого способу розв’язання, пошук невідомої сторони три
кутника слід починати з аналізу умови (що відоме, що — невідо
ме) і тільки після цього відтворювати відповідне твердження, щоб
використати його для виконання обчислень.
Користуючись рисунком 5, визначте, які з
даних тверджень правильні:
а) KN
MN
=
sinα
;
б) MK KN= sinα ;
в) KN MN= tgα ;
г) MN
KM
=
ctgα
.

α
Рис. 3
а) б)

Вивчити зміст співвідношень між сторонами й кутами прямокутного
Розв’язати задачу.
У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 8 см, а один із
катетів — 4 2 см. Знайдіть гострі кути трикутника.
Повторити властивості паралелограмів та трапецій.
Урок № 60
Мета: працювати над засвоєнням учнями змісту поняття «розв’язати
трикутник» та схем розв’язання чотирьох основних задач на знаход
ження невідомих сторін прямокутного трикутника. Сформувати вмін
ня відтворювати зміст вивчених схем, а також застосовувати їх для
розв’язування прямокутних трикутників.
Хід уроку
За готовими рисунками проводиться усне обговорення плану
розв’язання задачі, оголошується правильна відповідь.
Засвоєння теоретичного матеріалу (правил обчислення сторін пря
мокутного трикутника) перевіряється під час виконання математично
го диктанту.
1. Закінчіть речення: Катет, що лежить проти гострого кута, дорівнює
добутку гіпотенузи на…
2. Закінчіть речення: Катет, що лежить проти гострого кута, дорівнює
добутку іншого катета на….
3. Закінчіть речення: Катет, прилеглий до даного гострого кута, дорів
нює добутку гіпотенузи на…
4. Закінчіть речення: Гіпотенуза дорівнює відношенню …
5. У трикутнику ABC ∠ = °C 90 AC = a см, ∠ =B β . Як знайти AB?
BC?
6. У трикутнику MNK ∠ = °N 90 , MN = a см, ∠ =M α . Як знайти
MK? NK?
З метою формування розуміння учнями логіки вивчення матеріалу
уроку, та кращого його засвоєння, а також щоб мати можливість
провести певні аналогії, вчитель ставить учням такі запитання:
1. Для яких фігур вивчались співвідношення на уроках геометрії ос
таннім часом?
2. Які властивості прямокутного трикутника ви знаєте?
3. За якими ознаками можна встановити, що два прямокутні трикут
ники рівні?
4. За якими елементами можна побудувати прямокутний трикутник?
Скількома способами це можна зробити в певному положенні від
носно даної півпрямої?
5. Порівняйте відповіді на запитання 3 і 4. За якими елементами, ви
ходячи з цього порівняння, визначається певний прямокутний три
кутник? Чи можна знайти за цими даними всі інші невідомі еле
менти цього трикутника?
Відповідаючи на запитання, учні поступово усвідомлюють, що, ви
ходячи з ознак рівності прямокутних трикутників, певний прямокут
ний трикутник однозначно задається такими парами елементів: гіпо
тенузою та гострим кутом; катетом і гострим кутом; гіпотенузою і ка
тетом; двома катетами.
Отже, завдання на урок — з’ясувати способи обчислення невідомих
елементів прямокутного трикутника за кожним із чотирьох виділених
пар елементів, а також закріплення вмінь використовувати ці способи
для розв’язування практичних задач.
1. Обчисліть: а) cos tgα α⋅ ; б) sin tgα α ( 0 90° < < °α ),
якщо cosα =
8
17
.
2. Заповніть пропуски: a c B= ⋅ ∠... , b a A= ⋅ ∠... ,
c
a
B
=
∠...
, c
b
B
=
∠...
.
3. AB = 10 см, cos ,A = 0 6 (рис. 1). Знайдіть

BC, AC, sinB , tg A .
4. AC = 20 см, tgB = 2 (рис. 1). Знайдіть BC, sin A .
5. На рисунку 2 ∠ = °ACB 90 , BD AD⊥ .
а) ∠ =CAB α , AC = b, ∠ =DAB β .
Знайдіть BC.
б) BC = c, ∠ =ABC α , ∠ =ABD β .
Знайдіть PABCD .
1. Що означає термін «розв’язати трикутник (прямокутний)»?
2. Приклади задач на розв’язування прямокутних трикутників.
На відміну від традиційного підручника геометрії, у новому під
ручнику вже у 8 класі пояснюється зміст поняття «розв’язати три
кутник (прямокутний)», а також містяться приклади розв’язування
чотирьох видів задач на знаходження невідомих елементів прямо
кутного трикутника. Це дозволяє сформувати в учнів алгорит
мічний підхід до розв’язування трикутників і спростити процес
розв’язування багатьох геометричних задач.
Вивчення матеріалу проводиться таким чином: спочатку розбирається
зміст поняття «розв’язати трикутник (прямокутний)», далі вивчаються
розв’язання кожної задачі з тим, щоб далі узагальнити види задач та
схеми розв’язання задач окремого виду. Результати цієї роботи фіксуються
в зошитах учнів, від яких вимагається не стільки бездумне відтворення
формул, скільки розуміння геометричних співвідношень, що за цими
формулами стоять (записи схем розв’язання задач — див. конспект 23).
IV. Формування первинних умінь
1. Дано: AB = BC, BD — медіана (рис. 3). Знайдіть BD, AC.
α
α

2. Дано: AC = BC, CD — медіана (рис. 4). Знайдіть AB.
1. Розв’яжіть прямокутний трикутник
(рис. 5) за гіпотенузою і гострим кутом
c = 8, α = °30 .
(рис. 5) за катетом і гострим кутом a = 2,
β = °45 .
(рис. 5) за гіпотенузою і катетом: c = 9 2 ,
a = 9.
4. Розв’яжіть прямокутний трикутник (рис. 5) за двома катетами:
a = 6 3 , b = 6.
5. Відрізок BD — висота прямокутного трикутника ABC, проведена
до гіпотенузи. Розв’яжіть трикутник ABC, якщо:
а) BD = 4 3 , ∠ = °DBC 60 ;
б) AD = 9, ∠ = °C 10 .
6. У рівнобічну трапецію вписано коло, радіус якого дорівнює 12 см.
Знайдіть основи трапеції, якщо довжина бічної сторони дорівнює
25 см.
7. У колі з центром O і радіусом 10 см проведено хорду AB довжи
ною 16 см. Із центра кола до хорди проведено перпендикуляр, який
перетинає хорду в точці E, а коло — у точці F. Знайдіть довжину
відрізка EF.
8. Радіуси двох кіл дорівнюють 8 см і 3 см, а відстань між їх центра
ми — 13 см. Знайдіть довжину їх зовнішньої спільної дотичної.
Вправи на закріплення алгоритмів, вивчених на уроці, підібрані
таким чином, щоб обчислення невідомих елементів трикутників
можна було виконати, використовуючи значення тригонометрич
них функцій кутів 30°, 45°, 60°.
Підготовкою до наступного уроку є додаткові вправи. Розв’язавши
їх, учні повторюють властивості чотирикутників, які наступного
уроку треба буде використовувати разом із алгоритмами розв’язання
прямокутник трикутників.
Які елементи слід знати додатково, щоб мати можливість розв’язати
трикутники, що зображені на рисунку 6.

α
β

α
Рис. 6
Вивчити зміст матеріалу «Приклади розв’язання прямокутних
трикутників».
1. Розв’яжіть прямокутний трикутник (рис. 5), якщо:
а) c = 12, α = °28 ; б) a = 8, β = °40 .
2. Розв’яжіть прямокутний трикутник (рис. 5), якщо:
а) a = 6, c = 10; б) a = 5, b = 11 .
3. Відрізок BD — висота прямокутного трикутника ABC, проведена до
гіпотенузи. Розв’яжіть трикутник ABC, якщо BD = 3, DC = 4.
Повторити властивості рівнобічної трапеції, прямокутної трапеції,
метричні співвідношення в прямокутному трикутнику.
Урок № 61
Мета: закріпити та систематизувати знання учнів про вивчені спів
відношення між сторонами і кутами в прямокутному трикутнику та їх
властивості. Відпрацювати навички застосовувати набуті знання для
розв’язування прямокутних трикутників та задач на знаходження еле
ментів інших фігур.
Наочність та обладнання: конспекти 21–23.
Хід уроку
Розв’язання домашніх задач коментуються за готовими рисунками,
виконаними заздалегідь.
Загальна мета уроку, як майже і всіх уроків розв’язування задач, —
закріпити знання учнів з теми «Розв’язування прямокутних трикутни
ків» та опанувати способи застосування цих знань; формувати вмін
ня оперувати набутими знаннями в стандартних та нестандартних си
туаціях.
1. Як знайти гіпотенузу прямокутного трикутника, коли відомі катет
і гострий кут?
2. Як знайти гострий кут прямокутного трикутника, коли відомі про
тилежний цьому куту катет і гіпотенуза?
3. Як знайти гострий кут прямокутного трикутника, колі відомі при
леглий до цього кута катет і гіпотенуза?
4. Назвіть значення тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60°.
5. Опишіть розв’язання прямокутного трикутника:
а) за гіпотенузою і гострим кутом;
б) за катетом і гострим кутом;
в) за гіпотенузою і катетом;
г) за двома катетами.
1. За даними рис. 1 знайдіть tgα .
α
α

2. На рис. 2 ABCD — прямокутник. Знайдіть x і y.
α
α
4. На рис. 4 ABCD — трапеція, O — центр вписаного кола. Знайдіть
PABCD .
1. Діагональ прямокутника дорівнює 10, а кут між діагоналями — 40°.
Знайдіть сторони прямокутника.
2. Тінь від стовпа заввишки 11 м становить 4,4 м. Виразіть у градусах
висоту Сонця над горизонтом.
3. Розв’яжіть прямокутний трикутник (рис. 5) за сумою катетів m і го
стрим кутом α .
β
α
4. Висота прямокутного трикутника ділить гіпотенузу у відношенні
1 : 3. Знайдіть гострі кути трикутника.
5. На рисунку 6 показано спосіб вимірювання висоти предмета, осно
ва якого недоступна. Знайдіть цю висоту, якщо AB = d, ∠ =CAD α ,
∠ =CBD β .
Під стандартними ситуаціями в цьому випадку розуміють задачі за
готовими рисунками, за змістом яких визначається, яке з вивчених
тверджень слід використати. Нестандартні ситуації зазвичай пред
ставлені задачами, в яких слід застосовувати додатковий матеріал,
а також проявити елементи творчого мислення.

Підбиваючи підсумки уроку, доходимо висновку, що розв’язування
багатьох задач на знаходження елементів чотирикутників приводить до
необхідності розв’язувати прямокутний трикутник (опис ситуації можна
відтворити, користуючись рисунками до розв’язаних задач).
Повторити зміст вивченого матеріалу.
1. Синус кута при основі рівнобедреного трикутника дорівнює
8
17
,
а висота, проведена до основи, — 16 см. Знайдіть основу трикутника.
2. У рівнобедреній трапеції кут при основі дорівнює 135°, менша ос
нова і бічна сторона — відповідно 8 і 10. Знайдіть середню лінію
трапеції.
3. Знайдіть кут підйому гірського шосе, якщо на відстані 400 м висо
та підйому становить 28 м.
Урок № 62
щодо змісту означень тригонометричних функцій гострих кутів, три
гонометричних тотожностей та формул доповнення; правил знаходжен
ня сторін прямокутного трикутника, а також схем розв’язання прямо
кутних трикутників.
Повторити, систематизувати та узагальнити вміння учнів щодо
застосування вивчених тверджень для розв’язування завдань на
обчислення значень тригонометричних функцій; спрощення виразів,
що містять тригонометричні функції одного й того самого кута;
розв’язування прямокутних трикутників та задач на визначення
елементів чотирикутників через елементи прямокутних трикутників.
Наочність та обладнання: конспект 21–23.
r — радиус

Хід уроку
З метою економії часу ретельній перевірці підлягають лише вправи
високого та достатнього рівнів складності.
Основна дидактична мета та завдання на урок цілком логічно
випливають з його місця в темі — оскільки урок є останнім,
підсумковим, то головним є питання про повторення, узагальнення та
систематизацію знань та вмінь, набутих учнями в ході вивчення теми.
Таке формулювання мети створює відповідну мотивацію діяльності
учнів.
Залежно від рівня підготовки учнів, їх роботу вчитель може органі
зувати різними способами (див. уроки систематизації… поперед
ні теми).
Групова робота, мета якої полягає в тому, щоб учні самі сформулю
вали та випробували узагальнену схему дій, проводиться після ро
боти з виділення основних видів задач на застосування вивчених
у темі понять. Такими видами можуть бути задачі на:
• обчислення значення однієї з тригонометричних функцій певного
гострого кута через відому іншу;
• спрощення виразів, що містять тригонометричні функції одного
й того самого кута;
• розв’язування прямокутних трикутників;
• знаходженняелементівчотирикутниківчерезелементипрямокутних
трикутників.
учнів у робочі групи (за кількістю видів завдань), і завдання кожної
з груп формулюється як «Скласти план розв’язання задачі…» (кожна
з груп отримує індивідуальне завдання). На складання плану кожній
із груп відводиться певний час, за який учасники групи мають обго


ворити план розв’язання, записати його у вигляді послідовних кроків,
реалізувати та підготувати презентацію своєї роботи. Після закінчен
ня відбувається презентація виконаної роботи кожною з груп, а далі —
обов’язкове обговорення складених планів. Учитель або учні (інших
груп) пропонують змінити якунебудь із даних величин і пояснити,
як зміниться розв’язання задачі. Після обговорення — обов’язкова ко
рекція.
Підсумком уроку узагальнення та систематизації знань і вмінь уч
нів є, поперше, складені самими учнями узагальнені схеми дій під час
розв’язування типових завдань, подруге — здійснення учнями необхід
ної частини свідомої розумової діяльності — рефлексії — відображення
кожним учнем сприйняття своїх успіхів, та найголовніше — проблем,
над якими слід ще попрацювати перед контрольною роботою.
Повторити зміст вивчених в ході понять із теми 5. Вивчити складені
на уроці схеми дій. Використовуючи складені схеми, розв’язати задачі
домашньої контрольної роботи.
1. Знайдіть sin A і tg A , якщо cos A =
2
2
.
cos
sin sin
2
1 1
α
α α−( ) +( )
.
3. Обчисліть: 2 60 4 60 30 2 45sin cos ctg tg° + ° − ° − ° .
4. У прямокутному трикутнику катет завдовжки 18 см є протилежним
до кута 60°. Знайдіть другий катет і гіпотенузу трикутника.
5. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 74 см, а синус од
ного з кутів —
12
37
. Знайдіть периметр трикутника.
6. Більша бічна сторона описаної прямокутної трапеції дорівнює c,
а гострий кут — α . Доведіть, що середня лінія трапеції дорівнює

c 1
2
+( )sinα
.

Урок № 63
Мета: перевірити рівень засвоєння учнями знань щодо змісту ос
новних понять теми; перевірити якість сформованих умінь щодо засто
сування набутих знань для виконання зображення фігур за умовою за
дачі, а також для розв’язання стандартних і нестандартних задач.
Тип уроку: контроль на корекція знань і вмінь.
Хід уроку
Зібрати зошити із виконаною домашньою контрольною роботою
(роботу перевірити та врахувати під час виставлення тематичного бала).
Варіант 1
Початковий рівень
1. На рисунку в прямокутному трикутнику ABC
∠ = °B 90 , ∠ =A α .
а) Виразіть cosα ;
б) виразіть гіпотенузу AC через катет BC і
тригонометричну функцію кута α ;
в) виразіть sinC через тригонометричну
функцію кута α .
Середній рівень
2. Спростіть вираз 3 32 2
sin cosα α+ .
3. Синус гострого кута втричі більший за його косинус. Чому дорів
нює тангенс даного кута?
Достатній рівень
4. Розв’яжіть прямокутний трикутник з гіпотенузою 6 см і гострим
кутом 30°.
5. Знайдіть тангенс гострого кута α , якщо cos ,α = 0 8.
α
Високий рівень
6. Знайдіть висоту й бічну сторону рівнобедреної трапеції з основами
2 і 8 та гострим кутом α .
Варіант 2
Початковий рівень
1. На рисунку в прямокутному трикутнику ABC
∠ = °A 90 , ∠ =C γ .
а) Виразіть sin γ ;
б) виразіть катет AB через катет AC і три
гонометричну функцію кута γ ;
в) виразіть cosB через тригонометричну
функцію кута γ .
Середній рівень
2. Спростіть вираз 2 2 2
− −sin cosα α .
3. Синус гострого кута вдвічі менший за його косинус. Чому дорів
нює тангенс даного кута?
Достатній рівень
4. Розв’яжіть прямокутний трикутник із катетом 4 см і прилеглим ку
том 60°.
5. Знайдіть тангенс гострого кута α , якщо sin ,α = 0 6 .
Високий рівень
6. Знайдіть діагоналі ромба зі стороною 6 і гострим кутом α .
завдань, виконаних учнями; або роздати учням для опрацювання вдома
завдань контрольної роботи № 5 (заготовлених учителем заздалегідь).
Виконати аналіз контрольної роботи (за розданими розв’язан
нями).
γ

Уроки 64–70
Повторення і систематизація навчального матеріалу
(7 годин)
Основна мета: повторити, систематизувати та узагальнити знання
учнями змісту основних геометричних понять, вивчених у 8 класі, та
види задач на застосування означення, ознак та властивостей вивче
них понять. Повторити, систематизувати та узагальнити набуті під час
вивчення названого матеріалу вміння.
Орієнтовне планування вивчення матеріалу
1 урок: повторити, систематизувати та узагальнити знання учнів
про означення, властивості, ознаки паралелограмів і способи обчислен
ня їх площ; узагальнити вміння їх застосування до розв’язування задач;
2 урок: повторити, систематизувати й узагальнити знання учнів про
означення, властивості й ознаки трапеції і способи обчислення площі
трапеції; узагальнити вміння їх застосовувати під час розв’язування задач;
означенняівластивостіподібностітрикутників,ознакиподібностітрикут
ників; узагальнити вміння щодо їх застосування до розв’язування задач;
способи обчислення площі трикутників; узагальнити вміння їх застосу
вання до розв’язування задач;
означення, властивості й ознаки подібності прямокутних трикутників
і метричні співвідношення в прямокутному трикутнику, теорему Піфа
гора і схеми розв’язання прямокутних трикутників; узагальнити вмін
ня застосовувати ці знання до розв’язування задач;
6 урок: провести підсумкову контрольну роботу за курс геометрії
8 класу;
7 урок: підбити підсумки вивчення геометрії у 8 класі, накреслити
плани на наступний рік.
Методика проведення уроків повторення, систематизації та уза
гальнення знань та вмінь учнів описана вище (див. підсумкові
уроки з вивчених тем). За бажання вчитель може урізноманітни
ти форму проведення цих уроків за рахунок застосування нестан
дартних форм роботи (уроки-вікторини, різноманітні математич
ні змагання: естафети, брейнринги тощо). Зміст навчального ма
теріалу вчитель підбирає відповідно до рівня навчальних досягнень
учнів, але, незалежно від цього рівня, бажано запропонувати учням

різного рівня складності цікаві задачі. Як і на всіх попередніх уро
ках, на уроках повторення слід приділяти увагу усній роботі учнів,
а також на цих уроках бажано мати засіб проведення діагностики
роботи учнів. Тому нижче пропонуються матеріали для підготовки
вчителя до проведення уроків повторення та систематизації у виг
ляді набору усних вправ, цікавих нестандартних завдань та тесто
вих завдань для підсумкової діагностики.
Усні вправи
1. Із кожної вершини паралелограма можна провести два перпенди
куляри на його сторони. Від руки виконайте цю побудову. (Пара
лелограм зображено на дошці в нестандартному положенні.)
2. Розкрийте зміст твердження: «Даний чотирикутник ABCD не
є квадратом».
3. Покажіть, що міркування: «Оскільки в чотирикутнику ABCD дві
сторони паралельні, а дві інші рівні між собою, то цей чотирикут
ник — паралелограм» — помилкове.
4. Аркуш паперу має форму трапеції, один із кутів якої відірваний
(рис. 1). Як знайти довжини всіх сторін цієї трапеції?
5. Доведіть, що на рис. 2 трикутники ABM і DCM подібні. Запишіть
рівність відношень відповідних сторін.
6. На рис. 3 ∠1=∠2, ∠3=∠4, ∠AMB=120°. Знайдіть кут x.
7. Назвіть спільні і відмінні властивості прямокутника і ромба.
8. Диктант.
1) Накресліть чотирикутник, діагоналі якого рівні, але який не є
прямокутником.
2) Накресліть чотирикутник, діагоналі якого взаємно перпенди
кулярні, але який не є ромбом.

3)Накреслітьчотирикутник,діагоналіякогорівнііперпендикулярні,
але який не є квадратом.
9. Сторони прямокутника дорівнюють 12 см і 16 см. Чому дорівнює
радіус кола, описаного навколо цього прямокутника?
10. Які слова можна опустити, щоб не втратити змісту таких тверд
жень:
1) Сума двох гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.
2) Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині
гіпотенузи, то протилежний йому кут дорівнює 30°?
11. Закінчіть речення: «Якщо в паралелограмі немає жодного гостро
го кута, то він є…». Поясніть.
12. Скільки достатньо знати сторін паралелограма, щоб можна було
знайти його периметр? Скільки достатньо знати кутів паралелог
рама, щоб можна було обчислити всі інші його кути?
13. Диктант.
1) Якщо діагональ паралелограма ділить його кут навпіл, то кут між
діагоналями дорівнює… градусів, тому що…
2) Якщо діагональ ромба утворює з його стороною кут 36°, то тупий
кут ромба дорівнює…
3) Кут між осями симетрії ромба дорівнює…, тому що його осями
симетрії є…
4) Якщо кут між діагоналями прямокутника прямий, то він …, тому
що…
5) Якщо діагональ ромба дорівнює його стороні, то кути ромба
рівні…
14. Чи правильне твердження: «У чотирикутнику найменший кут
дорівнює 95°»? Обґрунтуйте.
15. На рис. 4 ∠ = ∠ = °1 2 45 , MH || AC, HK || BC. Доведіть, що CMHK —
квадрат.
16. BD — медіана рівностороннього трикутника ABC. Знайдіть
BD
AC
.
17. На рис. 5 MB — дотична, AB — діаметр. Знайдіть пару подібних три
кутників. Запишіть рівність відношень відповідних сторін.
18. На рис. 6 ∠ = ∠1 2 . Які трикутники подібні? Запишіть рівність від
ношень відповідних сторін.
19. Чи вистачить шматка дроту довжиною 20 см, щоб виготовити три
кутник, одна із сторін якого дорівнює 12 см?
20. Як можна інакше назвати такі фігури:
1) рівнокутний трикутник;
2) рівнокутний чотирикутник;
3) рівносторонній чотирикутник;
4) прямокутний ромб;
5) рівносторонній прямокутник?
21. У теоремі Піфагора назвіть умову і висновок.
22. На рис. 7 AB = BC, AH = CK. Доведіть, що
∆ = ∆ABK CBH .
23. Скільки осей симетрії має ромб; прямо
кутник; квадрат?
24. Скільки тупих кутів може бути в трапеції?
Відповідь поясніть.
25. Чи можуть бути подібними прямокутник
і ромб?
26. Сформулюйте твердження, обернені до таких:
1) Якщо чотирикутник — ромб, то його діагоналі перпен
дикулярні.
2) Якщо α β> , то sin sinα β> ( α , β — гострі кути). Чи правильні
вони?
27. Спростіть: cos cos2 2
43 47° + ° .
28.� Спростіть: cos cos cos2 2 2
150 120 90° + ° − ° .
29. Що більше: sin25° чи tg25° ? Чому?
30. Обчисліть: sin cos45 45°⋅ ° ?
31. Обчисліть: 2 0 3 90 4 180cos sin tg° + ° + ° .
32. Чому дорівнює сума квадратів косинусів усіх кутів прямокутного
трикутника?
33. На рис. 8 ABCD — ромб, M — середина AD. Чому дорівнює кут D?

34. У трапеції ABCD (рис. 9) AO = OD. Доведіть, що AB = CD.
35. Спростіть: sin cos sin cosα α α α+( ) + −( )
2 2
.
36. Перерахуйте всі властивості ромба. Які з них правильні для будь-
якого паралелограма; тільки для ромба? Які з цих властивостей не
правильні для довільного прямокутника?
37. Яка із фігур на рис. 10 зайва? Відповідь обґрунтуйте.
Рис. 10
38. Що це за паралелограм, якщо:
а) жоден із його кутів не є тупим;
б) навколо нього можна описати коло;
в) у нього можна вписати коло?
39. Знайдіть сторону ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 8 см і 6 см.
40. Висота ромба ABCD лежить на бісектрисі кута ABD. Визначте кути
ромба.
41. Знайдіть сторону квадрата, рівновеликого прямокутнику зі сторо
нами 4 см і 9 см.
42. Сторони паралелограма дорівнюють 9 см і 6 см, а гострий кут —
30°. Знайдіть висоту цього паралелограма, яка проведена до сторо
ни довжиною 9 см.
43. Знайдіть площу прямокутника, якщо кут між його діагоналями 30°,
а діаметр описаного кола дорівнює 4 м.
44. Знайдіть площу паралелограма, якщо його сторони дорівнюють
3 см і 2 см, а висоти утворюють кут 60°.
45. AM і BK — бісектриси кутів паралелограма ABCD, AM = 6 см,
BK = 8 см. Знайдіть площу чотирикутника ABMK.
46. Із точки перетину діагоналей паралелограма проведено відрізок
довжиною 5 см і під кутом 30° до сторони паралелограма. Знай
діть висоту паралелограма, проведену до цієї ж сторони.
47. Висота паралелограма утворює з його стороною кут 20°. Знайдіть
кути паралелограма.
48. З однієї вершини паралелограма проведені бісектриса і висота, кут
між ними становить 32°. Знайдіть кути паралелограма.
49. Бісектриса тупого кута паралелограма дорівнює 5см і перетинає
його сторону під кутом 60°. Знайдіть меншу сторону паралелограма.
50. Бісектриса кута паралелограма розбиває його сторону на відрізки
9 см і 6 см. Знайдіть периметр паралелограма.
51. Середня лінія трапеції дорівнює 6 см. Обчисліть периметр цієї тра
пеції, якщо відомо, що її можна розрізати на ромб і рівносторон
ній трикутник.
52. У рівнобічній трапеції основи дорівнюють 26 см і 14 см, а бічна сто
рона — 10 см. Знайдіть висоту цієї трапеції.
53. Кути при основі трапеції дорівнюють 90° і 45°. Одна з основ утри
чі більша від другої і дорівнює 18 см. Знайдіть меншу бічну сторо
ну трапеції.
54. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 17 см і 9 см, а кут між біч
ною стороною і основою — 45°. Знайдіть площу трапеції.
55. Знайдіть площу рівнобічної трапеції, висота якої дорівнює 7 см,
а діагоналі взаємно перпендикулярні.
56. Із точки A до кола проведені дотичні AB і AC. Знайдіть величину
кута A, якщо ∠ = °ABC 40 .
57. До кола з радіусом 5 см проведено дотичну в точці B. На дотичній
позначено точку A на відстані 12 см від точки B. Знайдіть відстань
від точки A до центра кола.
58. Обчисліть площу круга, якщо довжина його кола дорівнює 18 π см.
59. Визначте довжину кола, якщо площа його круга дорівнює 48π см2
.
60. У скільки разів збільшиться довжина кола, якщо площу його кру
га збільшити в 16 разів?

61. У крузі, площа якого 6 25, π см2
, проведено хорду довжиною 3 см.
Знайдіть відстань від центр круга до хорди.
62. Знайдіть довжину хорди, яку видно із центра одиничного кола під
кутом 45°.
63. Знайдіть довжину дуги AB, якщо хорда AB дорівнює радіусу кола.
64. Один із кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 92°. Знайдіть
величини всіх інших кутів.
65. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 26 см, а його ос
нова — 10 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.
66. Знайдіть бічну сторону рівнобедреного трикутника, якщо його
медіана дорівнює 12 см, а основа — 18 см. Розгляньте всі можливі
випадки.
Цікаві задачі
1. Тестові питання
У паралелограмі ABCD (рис. 1) AM — бісектриса кута A, MN || AB.
Відомо, що AB = 10 см, AD = 15 м. Учитель називає відрізок, а учень
швидко відповідає, чому дорівнює довжина названого відрізка:
1) MN; 2) BM; 3) AN; 4) BC; 5) AN; 6) ND; 7) MC.
2. Дано паралелограм. Проведіть два відрізки так, щоб вийшло чоти
ри пари рівних трикутників.
3. Відомо, що в паралелограмі ABCD AB = BK = KC = CD (рис. 2). За
допомогою тільки лінійки побудуйте прямий кут.
4. Позначте три точки, які лежать на одній прямій, не проводячи,
власне, прямої.
5. На площині позначено чотири точки: A, B, C, D (рис. 3). Вітя Тяп
ляпкін перевіряє, чи будуть вони вершинами прямокутника, у та
кий спосіб: знаходить середину відрізка AC — точку O, проводить
коло із центром у точці O й радіусом OA. Якщо інші дві точки (B
і D) лежать на цьому колі, то ABCD є прямокутником, а якщо не
лежать, то ABCD не є прямокутником. Чи це так?
6. ABCD — чотирикутник (рис. 4а). Проведемо висоту з точки B до
основи AD. «Відріжемо» здобутий трикутник і «приставимо» його
праворуч (рис. 4б). Якою має бути вихідна фігура, якщо в резуль
таті дістали квадрат?
7. У трикутнику ABC ∠ = ∠A B (рис. 5), CMNK — квадрат. Назвіть рів
ні відрізки. Доведіть їхню рівність.
Рис. 4
8. 1) У деякому чотирикутнику діагоналі рівні, але він не прямокут
ник, діагоналі взаємно перпендикулярні, але він не ромб. Що це
за фігура?
2) У деякому чотирикутнику є і рівні сторони, і паралельні сторони,
а діагоналі в ньому рівні й перпендикулярні, але він не квадрат. Що
це за фігура?
3) У деякому чотирикутнику дві сторони рівні, інші дві сторони теж
рівні, діагоналі рівні й взаємно перпендикулярні, але це не квадрат.
Що це за фігура?
9. На взаємно перпендикулярних прямих:
1) a1
і a2
; 2) b1
і b2
; 3) c1
і c2
; 4) d1
і d2
позначте по дві точки так, щоб
здобуті чотири точки стали вершинами:
1) квадрата;
2) ромба, що не є квадратом;
3) прямокутника, що не є квадратом;
4) паралелограма, що не є ромбом.
10. Ігровий момент
Учитель. Я накреслив трапецію на аркуші паперу. Поставте лише
одне запитання і, вислухавши відповідь, скажіть, чи буде вона
рівнобічною?
Учитель. Одного разу Вітя Тяпляпкін побудував трапецію із чотирьох
прямокутних трикутників. Чи зможете ви повторити його досягнен
ня?А«поліпшити»(тобтовикористатименшукількістьтрикутників)?
а) б)

12. У деякому чотирикутнику відомо один із кутів. Якого виду має бути
цей чотирикутник, щоб можна було обчислити всі інші його кути?
13. Доведіть, що діагоналі прямокутника рівні, не звертаючись до оз
нак рівності трикутників.
14. Дано рівносторонній трикутник. Що треба знати, щоб обчислити
його сторону?
15. Як на вашу думку, що знайдено поданим
розв’язанням? (Рис. 6)
AB = BC = AC = a, x a
a
a2 2
2
2
2
3
4
= −





 = ?
x
a
=
3
2
?
Учень отримав моделі трьох квадратів (рис. 7).
Не користуючись жодними інструментами, доведіть, що площа
одного з них дорівнює сумі площі інших.
17. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 70°. На про
довженні основи взяли точки й сполучили її з вершиною трикут
ника (рис. 8). Виявилося, що ∆ ∆ABC ADB . Знайдіть кути трикут
ника CDB.

18. Скільки можна одержати трикутників, подібних трикутнику ABC,
провівши через точку M різні прямі (рис. 9)?
19. Використовуючи аркуш зошита в клітинку, накресліть за допомо
гою лінійки два подібні трикутники, що
не є прямокутними.
20. У трикутнику ABC точка O — центр опи
саного кола. Точка A1
симетрична точці
O відносно точки A. Точка B1
симетрич
на точці O відносно точки B. Точка C1
симетрична точці O відносно точки C
(рис. 10). Доведіть, що ∆ ∆ABC A B C 1 1 1 .
Учитель. Діти, наступного уроку вам буде запропоновано таке
завдання: за 1 хвилину накреслити на непролінованому аркуші паперу
якомога більше подібних трикутників. Удома ви можете обміркувати
спосіб побудови, але на аркуші креслити нічого не можна. На уроці ви
зможете користуватися будьякими інструментами.
22. Втомленим прийшов чужинець з півночі в країну Великого Хапи.
Сонце вже сідало, коли він підійшов до розкішного палацу фара
она, щось сказав слугам. Ті миттєво розчинили перед ним двері й
провели його до приймальної зали. І ось він стоїть у запиленому
дорожньому палаці, а перед ним на золоченому троні сидить фара
он. Поруч стоять пихаті жерці, хранителі вічних таємниць природи.
— Хто ти? — запитав верховний жрець.
— Мене звати Фалес. Родом я із Мілета.
Жрець пихато продовжував:
— Так це ти вихвалявся, що зможеш виміряти висоту піраміди, не
підіймаючись на неї? — жерці скорчилися від реготу. — Добре буде, —
насмішкувато продовжував жрець, — якщо ти помилишся не більше
ніж на сто ліктів.
— Я можу виміряти висоту піраміди й помилитися не більше ніж
на півліктя. Я зроблю це завтра.
Обличчя жерців потемніли. Яке зухвальство! Цей чужинець
стверджує, що може обчислити те, чого не можуть вони — жерці
Великого Єгипту.
— Добре, — сказав фараон. — Біля палацу стоїть піраміда, ми
знаємо її висоту. Завтра перевіримо твою майстерність.
(Учитель пропонує учням знайти спосіб вимірювання висоти
піраміди).
23. Яку частину площа заштрихованої фігури складає від площі три
кутника (рис. 11).
Рис. 11

24. У прямокутнику проведено діагональ, в одному із здобутих три
кутників проведено медіану (рис. 12). Знайдіть співвідношення між
площами фігур Φ1 , Φ2 і Φ3 .
25. У трикутнику проведено середню лінію. Із середини бокових сторін
на основу опущено висоти (рис. 13). Що більше: площа прямокут
ника чи сума площ заштрихованих трикутників?
26. Що більше: площа одного правильного трикутника зі стороною
10 см чи сума площ десяти правильних трикутників зі стороною 1 см?
27. Учню видали два трикутники, вирізані із цупкого паперу. Необхід
но довести, що ці трикутники рівновеликі, використовуючи тіль
ки лінійку без поділок.
Учитель тримає в руках каркасну модель прямокутника. З’ясувавши
в учнів, що це за фігура, він починає повільно «зсувати» верхню
основу відповідно до нижньої. Яким має бути гострий кут другого
чотирикутника, щоб його площа була удвічі меншою від площі
прямокутника?
29. Сторони чотирикутника дорівнюють по 1 м. Чи може його площа
бути меншою за 1 см2
?
30. Дано два квадрати. За допомогою циркуля і лінійки без поділок по
будуйте квадрат, площа якого дорівнює сумі площ даних квадратів.
31. Бічна сторона трапеції з основами 3 см і 13 см розбита чотирма точ
ками на 5 рівних частин. Через ці точ
ки проведено відрізки, паралельні ос
новам (рис. 14). Вийшло 5 трапецій, ви
сота кожної з яких дорівнює
1
5
висоти
даної трапеції. Відомо, що сума площ
двох із них дорівнює площі одній із них,
що залишилися. Знайдіть ці трапеції.
Задачі за готовими рисунками
1
O — центр кола. Знайдіть AC
2
NB — діаметр, NB 10,OK 4.
Знайдіть AB
3
O — центр кола. Знайдіть MO
4
Знайдіть AE
5
Знайдіть BC
6
O — центр кола, АВ дотична,OA 25.
Знайдіть AB
7
O — центр кола, AB і AC — дотичні до
кола, BC 5. Знайдіть AB і AC
8
Хорди AB і CD паралельні. Знайдіть
відстань між AB і CD
34 Старова О. О., Маркова І. С.
B
CО
B
N
О
B
C
30°
7
A
5
K
A
A О
M
B
8
9
A
30°
О
C
B
6
E
A12 B
О
7
A
8
A
D
6
C
B
12
A
E
6
C
B
О
5
8
1 2
3 4
5 6
87

Задачі за готовими рисунками
Прямокутний трикутник
1
Знайдіть кут AOB
2
Знайдіть BC
3
Знайдіть AC, AB
4
Знайдіть AC
5
Знайдіть AB
6
ACB 90 ,CD 8, DB 4.
Знайдіть AC, tg A
7
KB — бісектриса кута B, AN 6,
NB 30. Знайдіть PABC
8
BK — бісектриса кута B. Знайдіть KB
O
C B
A
A
BC
10
30
a
C
B
A
C
BA
D
A
BC
c
K
aB
A
C
K
O
C B
A
a
BA
K
C
N
Трикутники
1
Знайдіть BC
2
AC 7, AB 3, BC 5. Знайдіть BM
3
Знайдіть sin A
4
O — точка перетину бісектрис,
AOC 120 , AC 3 3. Знайдіть
радіус описаного кола
5
BN — бісектриса кута B. NK 6. Знай�
діть відстань від точки N до сторони AB
6
Коло вписане у трикутник ABC,
NB 5, KC 6, AM 4. Знайдіть PABC
7
Знайдіть пари подібних трикутників
8
C 45 , AD — бісектриса кута A.
Знайдіть AD
Планіметрія 43
N
С
CA
N
B
CA
K
A M
B
3 5
K
O
120
B
A
B
C
3
30
2
C
B
A
K
7
120
2
K
О
N
M
CA
B
C
BA
D
a
BA
C
P
K
D
Завдання за готовими рисунками
1
ABCD — паралелограм,
ABK CBK 60 , PBKA
12.
Знайдіть BK
2
ABCD — паралелограм, A 30 ,
BC 6, BK 2, DN — бісектриса.
Знайдіть BN
3
ABCD — прямокутник. Укажіть рівні
відрізки, кути, трикутники. Знайдіть
CAD, ВOC
4
ABCD — прямокутник,
AM — бісектриса, AB 3,
AD 3 3. Знайдіть PABMD
5
ABCD — ромб, BP BC, PD 2,
BD 4. Знайдіть кути ромба і його
периметр
6
ABCD — квадрат,CK — бісектриса
кута ACD. Знайдіть відношення
AK KD:
7
ABCD — трапеція, BK — бісектриса
кута B, AK — бісектриса кута A.
Знайдіть кут BKA
8
ABCD — трапеція, AB CD 6,
BAK 60 ,CK AB|| . Знайдіть KD
K
B
A D
C
C
DA
B
K
P D
A 2
4
A
O
48°
D
B C
K D
CB
A
C
K DA
B
K D
CB
A
N
30
2
6
CB
D
30°
M
3
A
3 3
B C
6
60
1 2
3 4
5 6
87
1 2
3 4
5 6
87

Математичні диктанти
Математичний диктант 1
1 Діагоналі чотирикутни
ка ABCD перетинаються. Чи
обов’язково цей чотирикутник
паралелограм?
Точка перетину діагоналей
чотирикутника MNKL не є
серединою однієї з них. Чи
може цей чотирикутник бути
паралелограмом?
2 Точка перетину діагоналей чо
тирикутника є серединою кож
ної з них. Як називається такий
чотирикутник?
Точка M є серединою відріз
ків KC і BD . Як називається
чотирикутник BKDC ?
3 Один з кутів паралелограма
дорівнює 35°. Чому дорівнюють
інші його кути?
Периметр паралелогра
ма дорівнює 30 см, а одна зі
сторін — 5 см. Знайдіть дов
жини інших сторін
4 Периметр паралелограма 26 м,
а одна зі сторін дорівнює 3 м.
Знайдіть довжини інших сторін
Один із кутів паралелограма
дорівнює 45°. Чому дорівню
ють інші його кути?
5 Діагоналі прямокутника
ALKM перетинаються в точці
O . Відрізок AO дорівнює
3 дм. Знайдіть довжину діаго
налі LM
Діагоналі паралелограма
дорівнюють 5 дм і 3 дм. Чи є
цей паралелограм прямокут
ником?
6 Діагоналі чотирикутника рів
ні між собою. Чи обов’язково
цей чотирикутник є прямокут
ником?
Сума довжин діагоналей пря
мокутника дорівнює 13 см.
Знайдіть довжину кожної діа
гоналі
7 Периметр ромба 12 см. Знай
діть довжини його сторін
Сторона ромба дорівнює 7,5
см. Знайдіть периметр ромба
8 Діагоналі ромба поділяють його
на чотири трикутники. Знай
діть кути кожного трикутника,
якщо один з кутів ромба дорів
нює 30°
Ромб ABCD має прямий кут.
Чи є цей ромб квадратом?
9 Дві сусідні сторони паралелог
рама рівні між собою й утворю
ють прямий кут. Як називається
такий паралелограм?
Діагоналі квадрата поділяють
його на чотири трикутники.
Знайдіть кути кожного три
кутника
10 Точки M , N , K — середи
ни сторін трикутника ABC .
Знайдіть периметр трикутни
ка ABC , якщо сторони трикут
ника MNK дорівнюють 3 см, 4
см, 5 см
Точки A , B , C — середи
ни сторін трикутника MNK .
Знайдіть периметр трикутни
ка ABC , якщо відрізки MN ,
MK і NK дорівнюють 3 дм,
4 дм і 5 дм
1 Чи будь-який чотирикутник,
що має дві паралельні сторо
ни, є трапецією?
У чотирикутника ABCD сто
рони AB і CD не паралельні.
Чи обов’язково цей чотирикут
ник є трапецією?
2 Сторони кута перетнуто дво
ма паралельними прямими.
Як називається чотирикутник,
що при цьому утворився?
Дві паралельні прямі перетну
то двома прямими, які мають
спільну точку. Як називається
чотирикутник, що при цьому
утворився?
3 Як називаються
паралельні сторони трапеції? непаралельні сторони трапеції?
4 Кінці середньої лінії трапеції лежать на її сторонах KL і MP .
Як називаються сторони
KL і MP ? PK і ML ?

5 Точки M і N поділяють біч
ні сторони трапеції навпіл. Як
називається відрізок MN ?
Точки A і B лежать на біч
них сторонах трапеції. Відрі
зок AB паралельний основам.
Чи обов’язково AB — середня
лінія трапеції?
6 Сторони трапеції дорівню
ють 3 см, 5 см і 7 см. Як нази
вається така трапеція?
Дві протилежні сторони рів
нобічної трапеції дорівнюють
5 см і 7 см, третя сторона
дорівнює 5 см. Обчисліть пе
риметр трапеції
7 Периметр рівнобічної трапеції
дорівнює 26 см, а її бічна сто
рона — 5 см. Знайдіть довжи
ну середньої лінії цієї трапеції
Довжина середньої лінії трапе
ції дорівнює 3 см, а сума дов
жин її бічних сторін — 4 см.
Чому дорівнює периметр цієї
трапеції
8 Побудуйте трикутник з ос
новною 8 см. Його бічну сто
рону поділіть на чотири рів
ні частини й через точки поді
лу проведіть прямі, паралель
ні основі. Знайдіть довжини
трьох відрізків, кінці яких ле
жать на бічних сторонах три
кутника
Побудуйте довільний чотири
кутник. Поділіть кожну його
сторону навпіл. З’єднуйте точ
ки поділу послідовно відріз
ками. Доведіть, що утворений
чотирикутник є паралелогра
мом
9 Побудуйте трапецію з основа
ми 9 см і 5 см і з різними дов
жинами бічних сторін. Про
ведіть діагоналі й середню
лінію цієї трапеції. Визначте
довжини трьох частин, на які
середню лінію поділено діаго
налями
Побудуйте рівнобедрену трапе
цію з меншою основою 5 см,
бічною стороною 6 см і кутом
при більшій основі 60°. Знай
діть середню лінію трапеції
10 Чи можуть діагоналі трапеції
поділитися точкою їх перети
ну навпіл?
Чи може середня лінія трапеції
проходити через точку перети
ну діагоналей?
1 Сторони кута перетнуто трьо
ма паралельними прямими так,
що на одній зі сторін утвори
лося три відрізки по 3 см кож
ний. Один з утворених відріз
ків на другій стороні дорівнює
5 см. Чому дорівнює сума дов
жин усіх трьох відрізків, що ут
ворилися на другій стороні?
Сторони кута перетнуті трь
ома паралельними прямими
так, що на одній стороні ут
ворилося три відрізки по 6 см
кожен. Один з відрізків, що
утворилися на другій стороні,
дорівнює 4 см. Чому дорів
нює сума довжин усіх трьох
відрізків, що утворилися на
другій стороні?
2 Закінчіть речення: «У подібних
трикутників відповідні кути ...»
«У подібних трикутників від
повідні сторони ...»
3 Запишіть умови, за яких три
кутники ABC і A B C1 1 1 були
б подібні за третьою ознакою
Запишіть умови, за яких три
кутники ABC і B C D1 1 1 були
б подібні за першою ознакою
4 Запишіть умови, за яких трикутники BCD і B C D1 1 1 були
б подібними
за другою ознакою За третьою ознакою

5 У трикутниках ABC і DEF кути A і D рівні. Якої умови не
достає до того, щоб стверджувати, що ці трикутники подібні
за першою ознакою за другою ознакою
6 Довжини сторін одного трикут
ника — 3 см, 6 см і 7 см, а дов
жини двох сторін подібного
йому трикутника — 15 см
і 35 см. Обчисліть довжину тре
тьої сторони
Відповідні катети двох подіб
них прямокутних трикутни
ків дорівнюють 5 дм і 10 дм.
Знайдіть гіпотенузу більшого
трикутника, якщо гіпотенуза
меншого дорівнює 7 дм
7 Відповідні катети двох подіб
них прямокутних трикутників
дорівнюють 6 м і 18 м. Знайдіть
гіпотенузу меншого трикутни
ка, якщо гіпотенуза більшого
дорівнює 27 м
Сторони одного трикутника
дорівнюють 15 м, 35 м і 30 м,
а дві сторони подібного йому
трикутника дорівнюють 7 м
і 6 м. Обчисліть довжину тре
тьої сторони
8 Сторони паралелограма дорів
нюють 3 дм і 6 дм, відстань
між його більшими сторона
ми дорівнює 15 см. Визнач
те відстань між його меншими
сторонами. Якими способами
можна розв’язати задачу?
Відстань між більшими сто
ронами паралелограма дорів
нює 2 см, а між меншими —
5 см. Довжина меншої сторо
ни становить 10 см. Визначте
довжину більшої сторони па
ралелограма. Якими способа
ми можна розв’язати задачу?
9 Сторони рівносторонніх три
кутників дорівнюють 6 см
і 7 см. Чому дорівнює відно
шення площ цих трикутників?
Сторони квадратів відносять
ся як 2 3: . Як відносяться їх
площі?
10 Димар кидає тінь завдовжки
19,6 м, а довжина тіні від вер
тикально поставленого кілка
завдовжки 1 м дорівнює 0,5 м.
Яка висота димаря?
Знайдіть висоту дерева, якщо
довжина його тіні дорівнює
8,2 м, а тінь від вертикально
го стовпа висотою 3 м дорів
нює 4,2 м
1 Довжини сторін многокутника,
периметр якого дорівнює 65 см,
відносяться як 1 3 4 5: : : . Визна
чте довжині сторін цього мно
гокутника
Довжини сторін многокут
ника, периметр якого дорів
нює 68 см, відносяться як
1 2 3 5 6: : : : . Визначте дов
жині сторін цього многокут
ника
2 Чи є серед сторін многокутника
паралельні сторони, якщо кут
між кожними двома сусідніми
сторонами становить 120°?
Чи є серед сторін многокут
ника паралельні сторони,
якщо кут між кожними дво
ма сусідніми сторонами ста
новить 150°?
3 Скільки трикутників утво
риться, якщо одну з вершин
дев’ятикутника з’єднати з усіма
іншими його вершинами?
Скільки трикутників утво
риться, якщо одну з вершин
семикутника з’єднати з усіма
іншими його вершинами?
4 Скільки сторін має опуклий
n -кутник, сума кутів якого
дорівнює 900°?
Скільки сторін має опуклий
n -кутник, сума кутів якого
дорівнює 540°?
5 Чому дорівнює площа однієї
з двох рівних фігур, якщо пло
ща другої фігури 27 см2
?
Фігуру розбито на дві части
ни, площі яких становлять
19 м2
і 8 м2
. Якою є площа
усієї фігури?
6 Обчисліть площу трикутника,
якщо одна із його сторін дорів
нює 7 дм, а висота, проведена
до неї, — 6 дм
Обчисліть площу трикутни
ка, якщо одна із його сторін
дорівнює 8 дм, а висота, про
ведена до неї, — 4 м
7 Площа паралелограма дорівнює
18 дм2
, а одна з його сторін —
3 дм. Обчисліть його висоту,
проведену до цієї сторони
Площа паралелограма 36 см2
,
а довжина однієї з його ви
сот — 4 см. Визначте довжи
ну сторони, до якої цю висо
ту проведено

8 Периметр ромба дорівнює
20 см, а одна з його висот —
3 см. Обчисліть площу цього
ромба
Одна з висот ромба дорівнює
4 дм, а його периметр —
24 дм. Знайдіть площу ромба
9 Висота трапеції 7 дм, а середня
лінія дорівнює 5 дм. Обчисліть
площу трапеції
Висота трапеції 6 см, а серед
ня лінія дорівнює 6,5 см. Об
числіть площу трапеції
10 Відповідні сторони двох подіб
них п’ятикутників відносять
ся як 3 : 2. Яким є відношення
їх площ?
Площі подібних шестикут
ників відносяться як 4 до 25.
Яким є відношення відповід
них сторін?
1 Знайдіть відстань між точками
A 0 8;( ) і B 6 0;( )
Знайдіть відстань між точка
ми M 0 4;( ) і N 3 0;( )
2 Катети прямокутного трикут
ника 3 см і 4 см. Знайдіть про
екції катетів цього трикутника
на гіпотенузу
Проекції катетів прямокутно
го трикутника на гіпотенузу
3,6 см і 6,4 см. Знайдіть кате
ти цього трикутника
3 До кола радіусом 10 см про
ведено дотичну, на якій взято
точку M на відстані 24 см від
точки дотику. На якій відстані
знаходиться точка M від цент
ра кола?
З точки, що знаходиться на
відстані 5 см, від центра кола,
провели дотичну до кола за
вдовжки 3 см. Обчисліть
радіус кола
4 Діагоналі ромба 14 і 48 см. Об
числіть сторону ромба
Сторона ромба 17 см, а одна
з діагоналей 16 см. Обчисліть
другу діагональ
5 Висота рівнобедреного три
кутника 35 см, а основа 24 см.
Чому дорівнює довжина бічної
сторони?
Бічна сторона рівнобедрено
го трикутника 17 см, а висота
15 см. Чому дорівнює основа
цього трикутника
6 Обчисліть косинус гострого
кута B прямокутного трикут
ника, катет якого AC дорівнює
11 см, другий катет дорівнює
60 см, а гіпотенуза — 61 см
Обчисліть косинус гострого
кута M прямокутного три
кутника, катет якого PQ до-
рівнює 21 дм, другий катет
дорівнює 20 дм, а гіпотену
за — 29 дм
7 Побудуйте кут, косинус якого
дорівнює 0,6
Побудуйте кут, косинус якого
дорівнює 0,3
8 Обчисліть синус кута M пря
його катет MK дорівнює 45 см,
другий катет 28 см, а гіпотену
за — 53 см
Обчисліть синус кута F пря
його гіпотенуза дорівнює
29 см, катет AE — 20 см,
а другий катет — 21 см
9 Один з катетів прямокутного
трикутника дорівнює 24 см,
а тангенс прилеглого кута —
5
12
. Знайдіть довжину друго
го катета
Один з катетів прямокутного
трикутника дорівнює 18 м,
а тангенс протилежного кута
—
9
4
. Знайдіть довжину дру
гого катета
10 Запишіть чому дорівнює:
а) tg30° ;
б) sin45° ;
в) cos60°
а) sin60° ;
б) cos30° ;
в) tg45°

Тестове завдання 1
Варіант 1
1. У трикутнику ABC AB BC= , ∠ = °ABC 36 . Знайдіть зовнішній кут
трикутника при вершині C .
А Б В Г
144° 120° 110° 108°
2. Кути трикутника відносяться як 1 : 2 : 6. Чому дорівнює сума най
більшого й найменшого кутів трикутника?
А Б В Г
90° 100° 120° 140°
3. На рисунку зображено дві пари пара�
лельних прямих: a b|| і c d|| . Чому дорів�
нює сума кутів і ?
А Б В Г
90° 180° 270° Залежить від
величини кутів і
4. На рисунку зображено рівнобедрений
трикутник ABC (AB BC), вписаний
у коло. Чому дорівнює кут ?
А Б В Г
150° 120° 90° 60°
5. На рисунку зображені коло з центром
у точці O. Яке з наведених тверджень
є обов’язково правильним?
А Б В Г
2 2
6. У трикутнику ABC, зображеному на
рисунку, AB BC, A 40 , відрізки CE
іBD— бісектриси. Чому дорівнює вели�
a
c
b
d
A
B
C
30
D
О
C
D
CBA 70 .
9. У трикутнику ABC A 50 , B 60 , C 70 . Знайдіть кути, під
якими видно сторони ABC із центра кола, описаного навколо нього;
із центра кола, вписаного в трикутник.
Варіант 1
1. У трикутнику ABC AB BC, ABC 36 . Знайдіть зовнішній кут три�
кутника при вершині C.
А Б В Г
144° 120° 110° 108°
2. Кути трикутника відносяться як 1:2:6. Чому дорівнює сума найбіль�
шого й найменшого кутів трикутника?
А Б В Г
90° 100° 120° 140°
А Б В Г
2 2
6. У трикутнику ABC, зображеному на
рисунку, AB BC, A 40 , відрізки CE
іBD— бісектриси. Чому дорівнює вели�
чина кута ?
А Б В Г
50° 60° 70° 90°
40°
A
C
B
D
Е
Варіант 2
1. На рисунку зображено рівносторонній
трикутник ABC. Чому дорівнює сума
кутів і ?
А Б В Г
60° 120° 240° 180°
2. Знайдіть найбільший кут трикутника,
якщо його кути відносяться як 2:3:5.
А Б В Г
18° 36° 54° 90°
3. Які із зображених на рисунку прямих
паралельні?
А Б В Г
a b|| c d|| a d|| На рисунку немає
паралельних
прямих
4. На рисунку зображено рівносторонній
трикутник ABC, O — точка перетину
його бісектрис. Чому дорівнює кут
BOC?
А Б В Г
150° 135° 90° 120°
5. На рисунку зображено кол з центром O
і правильний трикутникOAB. Чому до�
рівнює кут ?
A C
B
a
cb d
110° 80°
110°
A C
B
О
A
Варіант 2

А Б В Г
150° 135° 90° 120°
5. На рисунку зображено кол з центром O
і правильний трикутникOAB. Чому до�
рівнює кут ?
А Б В Г
150° 135° 120° 90°
A C
О
B
A
АВ AD AE2
.
Властивість хорд
DM ME NM MK
AB — дуга кола.
Довжина дугиl
R
180
.
Градусна міра дуги — градусна міра
відповідного центрального кута
C
A
BО
R
K
6. Трикутник ABC, зображений на рисун�
ку, прямокутник рівнобедрений. Відріз�
киBD,BE,BF іBK поділяють прямий кут
на 5 рівних кутів. Чому дорівнює кут ?
А Б В Г
54° 60° 63° 81°
Коло
Опорний конспект
Точка O — центр кола.
OA R — радіус.
BC d — діаметр, d R2 .
DF — хорда.
Довжина колаC R2 .
Площа круга S R2
AB і AC — дотичні до кола
OB AC,OC AC,
AB AC,
AE — січна.
Властивість січних і дотичних
АВ AD AE2
.
Властивість хорд
DM ME NM MK
AB — дуга кола.
Довжина дугиl
R
180
.
C
A
B
D
E
F
K
Оd
B
D
A
C
О
A
BО
A
B
R
F
C
N
D
K
M
Завдання для усної роботи
1. Із точки A до кола проведені дотичні AB і AC. Знайдіть величину кута
A, якщо ABC 40 .
2. До кола з радіусом 5 см проведено дотичну в точціB. На дотичній по�
значено точку A на відстані 12 см від точки B. Знайдіть відстань від
точки A до центра кола.
3. Обчисліть площу круга, якщо довжина його кола дорівнює18 см.
4. Визначте довжину кола, якщо площа його круга дорівнює48 2
см
2
.
5. У скільки разів збільшиться довжина кола, якщо площу його круга
збільшити в 16 разів?
6. У крузі, площа якого 6 25, см
2
, проведено хорду довжиною 3 см.
Знайдіть відстань від центра круга до хорди.
7. Знайдіть довжину хорди, яку видно із центра одиничного кола під
кутом 45°.
8. Знайдіть довжину дуги AB, якщо хорда AB дорівнює радіусу кола.
Варіант 1
1. З точки кола проведені дві хорди. Одна з них стягує дугу 100°, а дру�
га — 80°. Обчисліть кут між цими хордами.
А Б В Г
180° 90° 100° 80°
2. Хорда стягує дугу 60°. Обчисліть гострий кут, утворений цією хордою
і дотичною до кола в кінці хорди.
А Б В Г
30° 60° 45° 20°
3. Хорда довжиною 30, перпендикулярна до діаметра і ділить його на
відрізки у відношенні 1:9. Обчисліть радіус кола.
Варіант 1
4. Пряма AB дотикається до кола з цен�
тромO, AD — січна, AC 4,CD 5 (див.
рис.). Знайдіть AB.
А Б В Г
13 6 36 20
5. AB і AD — дотичні до кола.B і D — точ�
ки дотику. AB 5, BAD 90 . Знай�
діть BD (див. рис.).
А Б В Г
2 5 2, 5 5 2 Визна�
чити
немо�
жливо
6. У колі проведено дві хорди, що перетинаються. Одна з них ділиться
точкою перетину на відрізки 2 і 6, а довжина другої — 7. Знайдіть
відрізки другої хорди.
А Б В Г
6 і 1 Визначити
неможливо
2 і 5 3 і 4
Варіант 2
1. З точки кола проведені дві хорди. Одна з них стягує дугу 80°. Обчис�
літь дугу, яку стягує друга хорда, якщо кут між хордами дорівнює 90°.
А Б В Г
180° 90° 100° 80°
2. Кут між радіусами, проведеними до кінців хорди, дорівнює 40°.
Обчисліть кут між цією хордою і дотичною до кола в кінці хорди.
B
C
A
D
D
A
B
О
О
Варіант 2
7
O — центр кола, AB і AC — дотичні до
кола, BC 5. Знайдіть AB і AC
8
Хорди AB і CD паралельні. Знайдіть
відстань між AB і CD
A
30°
О
C
B
8
A
D
6
C
B
О
5
А Б В Г
30° 60° 45° 20°
відрізки у відношенні 1:9. Обчисліть радіус кола.
А Б В Г
45 50 90 25

відрізки, різниця між якими дорівнює 40. Обчисліть радіус кола.
А Б В Г
50 45 25 90
4. Пряма MN дотикається до кола з цен�
тромO, N — точка дотику, MP — січна.
MN 12, KP 7 (див. рис.). Знайдіть
MP.
А Б В Г
8
5
7
16 9 25
5. ABі AD— дотичні до кола.Bі D— точки
дотику. ЗнайдітьBD, якщо ABD 60 ,
AB 6 (див. рис.).
А Б В Г
3 6 12 Визна�
чити
немо�
жливо
6. У колі проведено дві хорди, що перетинаються. Одна з них ділиться
точкою перетину на відрізки 3 і 12, а друга — навпіл. Знайдіть довжи�
ну другої хорди.
А Б В Г
Визначити
неможливо
6 12 15
M
P
K
N
D
A
60°
B
О
О
А Б В Г
180° 90° 100° 80°
2. Кут між радіусами, проведеними до кінців хорди, дорівнює 40°.
Обчисліть кут між цією хордою і дотичною до кола в кінці хорди.
А Б В Г
70° 20° 90° 40°
А Б В Г
Визначити
неможливо
6 12 15
Варіант 1
Тестовi завдання
Варіант 1
1. Знайдітьгіпотенузупрямокутноготрикутниказкатетами 2 3 смі2см.
А Б В Г
4 3 см 4 см 8 3 см 16 см
2. У трикутнику ABC A 90 , B 30 , AB 6 см. Знайдіть інші сто�
рони трикутника.
А Б В Г
4 3 см, 2 3 см 12 см,6 3 см 12 3 см,6 3 см 3 см, 3 3 см
3. У трикутнику ABC C 90 , AC 3 см, BC 18 см. Знайдіть tg A.
А Б В Г
1
6
6 9 1
9
4. На рисунку зображено прямокутний
трикутник ABC із гіпотенузою AB,
відрізок CD — висота даного трикут�
ника, B 30 , AD 2 см. Яка дов�
жина відрізка AC?
А Б В Г
2 3 см 6 см 3 3 см 4 см
5. З вершини B прямого кута трикутника ABC на гіпотенузу опущено
перпендикуляр BD, що ділить її на відрізки AD 2 см, DC 18 см.
Знайдіть BD.
А Б В Г
6 см 36 см 12 см 20 см
A B
C
2 30
D
Варіант 1
А Б В Г
4 3 см 4 см 8 3 см 16 см
А Б В Г
А Б В Г
1
6
6 9 1
9
А Б В Г
2 3 см 6 см 3 3 см 4 см
А Б В Г
6 см 36 см 12 см 20 см
A B
C
2 30
D
Варіант 1
А Б В Г
4 3 см 4 см 8 3 см 16 см
А Б В Г
А Б В Г
1
6
6 9 1
9
А Б В Г
2 3 см 6 см 3 3 см 4 см
А Б В Г
6 см 36 см 12 см 20 см
A B
C
2 30
D
Варіант 1
А Б В Г
4 3 см 4 см 8 3 см 16 см
А Б В Г
А Б В Г
1
6
6 9 1
9
А Б В Г
2 3 см 6 см 3 3 см 4 см
А Б В Г
6 см 36 см 12 см 20 см
A B
C
2 30
D
Варіант 1
А Б В Г
4 3 см 4 см 8 3 см 16 см
А Б В Г
А Б В Г
1
6
6 9 1
9
А Б В Г
2 3 см 6 см 3 3 см 4 см
А Б В Г
6 см 36 см 12 см 20 см
A B
C
2 30
D

6. Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорів�
нює 5 см, а відстань від основи медіани до одного з катетів — 3 см.
Знайдіть периметр трикутника.
А Б В Г
12 см 10 см 24 см 14 см
Варіант 2
1. Знайдітьгіпотенузупрямокутноготрикутниказкатетами4смі2 5 см.
А Б В Г
6 см 6 5 см 9 см 3 2 см
2. У прямокутному трикутнику ABC C 90 , AC 12 см, tg A
4
3
.
Знайдіть катет BC.
А Б В Г
16 см 9 см 12 см 18 см
3. У трикутнику ABC C 90 , AB 26 см, BC 24 см. Знайдіть sin B.
А Б В Г
2
13
5
12
12
13
5
13
трикутник ABC з гіпотенузою AB,
ника, ACD 30 , AC 3 см. Яка
довжина відрізка AB?
А Б В Г
3 3 см 4 3 см 6 см 12 см
A B
C
3
30
D
Варіант 2
5. З вершини C прямого кута трикутника ABC на гіпотенузу опущено
перпендикуляр CD, що ділить її на відрізки AD і BD. Знайдіть AB,
якщо AC 15 см і AD 3 см.
А Б В Г
75 см 72 см 18 см 5 см
6. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 6 дм, а медіана,
проведена до нього, — 5 дм. Знайдіть гіпотенузу трикутника.
А Б В Г
10 дм 61 дм 2 13 дм 2 5 см
Трикутники
Варіант 1
1. Знайдіть бічну сторону рівнобедреного трикутника, основа якого
дорівнює 16 см, а висота — 15 см.
А Б В Г
34 см 17 см 31 см 23 см
2. У трикутнику ABC AB 2 см,BC 3 см, B 30 . Яка довжина сто�
рони AC?
А Б В Г
2 см 1 см 3 см 2 см
3. У трикутнику ABC AB 8 2 см, C 45 , A 30 . Яка довжина
сторони BC?
А Б В Г
8 3 см 8 см 4 см 4 3 см
Варіант 1
1. Чому дорівнює більший з кутів паралелограма, якщо різниця двох
із них дорівнює 24°?
А Б В Г
104° 102° 110° 96°
2. Діагональ квадрата дорівнює 5 2 см. Знайдіть периметр квадрата.
А Б В Г
25 см 20 2 см 20 см 10 см
3. Точка перетину діагоналей прямокутника віддалена від його сторін
на 2 см і 3 см. Знайдіть периметр прямокутника.
А Б В Г
10 см 20 см 10 2 см 12 см

4. Периметр ромба дорівнює 80 см, а один із його кутів — 60°. Знай
діть довжину меншої діагоналі.
А Б В Г
10 см 20 3 см 30 см 20 см
5. Гострий кут прямокутної трапеції у 4 рази менший від її тупого кута
Знайдіть ці кути.
А Б В Г
40°, 160° 60°, 120° 45°, 135° 36°, 144°
6. Одна з основ трапеції на 8 см більша за іншу, а середня лінія тра
пеції дорівнює 10 см. Знайдіть меншу основу трапеції.
А Б В Г
6 см 8 см 2 см 4 см
Варіант 2
1. Сторони паралелограма пропорційні числам 3 і 7. Знайдіть ці сто
рони, якщо периметр паралелограма дорівнює 40 см.
А Б В Г
6 см, 14 см 12 см, 28 см 3 см, 7 см 9 см, 21 см
2. Периметр квадрата дорівнює 20 2 см. Знайдіть його діагональ.
А Б В Г
5 см 10 см 5 2 см 10 2 см
3. Відстань від точки перетину прямокутника до сторони, дорівнює
5 см. Довжина цієї сторони дорівнює 2 см. Знайдіть периметр пря
мокутника.
А Б В Г
7 см 9 см 18 см 14 см
4. Один із кутів ромба дорівнює 60°, а довжина меншої діагоналі —
10 см. Знайдіть периметр ромба.
А Б В Г
40 3 см 80 см 40 см 60 см
5. Чому дорівнює менший із кутів рівнобічної трапеції, якщо один із
них у 5 разів більший за інший?
А Б В Г
20° 15° 30° 60°
6. Одна з основ трапеції на 6 см менша за іншу, а середня лінія тра
пеції дорівнює 8 см. Знайдіть більшу основу трапеції.
А Б В Г
5 см 11 см 9 см 12 см
Варіант 1
1°. Периметр паралелограма 18 см. Чому дорівнюють сторони парале
лограма, якщо одна з них удвічі більша за іншу?
А. 6 см і 12 см. Б. 4 см і 8 см.
В. 3 см і 6 см. Г. 4 см і 5 см.
2°. У ромба ABCD величина кута D — 140°. Визначте кути трикутни
ка AOD ( O — точка перетину діагоналей ромба).
А. 70°, 70°, 40°. Б. 20°, 70°, 90°.
В. 20°, 20°, 140°. Г. Інша відповідь.
3°. ABCD — прямокутник, AC =18 см,
CD = 7 см. Чому дорівнює периметр
трикутника COD ?
А. 43 см.
Б. 21,5 см.
В. 25 см.
Г. 12,5 см.
= =

4. Сторони паралелограма дорівнюють 3 см і 5 см. Чи може діагональ
цього паралелограма дорівнювати:
А. 10 см. Б. 8 см.
В. 8,5 см. Г. 4 см?
5. Периметр прямокутника 12 дм. Чому дорівнює сума відстаней
довільної внутрішньої точки цього прямокутника до його сторін?
А. 12 дм. Б. 6 дм.
В. 3 дм. Г. Не можна визначити.
6. Як перевірити, чи є вирізаний з картону чотирикутник ромбом?
А. Виміряти довжини всіх його сторін і порівняти їх між собою.
Б. Провести діагоналі й виміряти кут між ними.
В. Виміряти та порівняти величини протилежних кутів.
Г. Інший спосіб.
7•
. Довжини діагоналей даного чотирикутника m і n . Знайдіть пери
метр чотирикутника, вершини якого лежать на серединах сторін
даного трикутника.
А.
m n+
2
. Б. m n+ .
В. 2 m n+( ) . Г.
m n+
4
.
8•
. Чи можна побудувати чотирикутник, що не є прямокутником, діа
гоналі якого рівні між собою? Проілюструйте свою відповідь.
9•
. Бісектриса кута B прямокутника ABCD поділяє сторону AD на
відрізкизавдовжки3смі7см.Чомудорівнюєпериметрпрямокутника?
А. 34 см. Б. 26 см.
В. 29 см. Г. Інша відповідь.
10••
. Дано паралелограм ABCD . На його сторонах BC і AD взято, від
повідно, точки E і F так, що BE DF= , O — точка перетину BD
та EF . Укажіть, які з тверджень правильні.
А. BEFA — паралелограм.
Б. BO OD> .
В. Пряма AC проходить через точку O .
Г. BE AF AD+ < .
11••
. Дано квадрат ABCD , AE BF CK DL= = = .
Доведіть, що EFKL — квадрат.
12••
. Даний відрізок поділіть на два відрізки
так, щоб їх довжини були пропорційні чис
лам 1 і 2.
Варіант 2
1°. Одна зі сторін паралелограма в 4 рази менша за другу, а його пери
метр 30 см. Чому дорівнюють сторони паралелограма?
А. 6 см і 24 см. Б. 3 см і 12 см.
В. 12 см і 18 см. Г. 5 см і 20 см.
2°. У ромба MNKL величина кута N — 100°. Визначте кути трикут
ника MON ( O — точка перетину діагоналей ромба).
А. 40°, 40°, 100°. Б. 50°, 50°, 80°.
В. 40°, 50°, 90°. Г. Інша відповідь.
3°. MNPQ — прямокутник, NP = 5 см,
MP =12 см. Чому дорівнює периметр
трикутника NOP ?
А. 16 см. Б. 17 см.
В. 29 см. Г. 22 см.
4. Сторони паралелограма 2 дм і 7 дм. Чи може діагональ цього пара
лелограма дорівнювати:
А. 8 см. Б. 9 см.
В. 9,5 см. Г. 10 см?
5. Периметр прямокутника 36 м. Чому дорівнює сума відстаней
довільної внутрішньої точки цього прямокутника до його сторін?
А. 9 м. Б. 18 м.
В. 36 м. Г. Не можна визначити.
6. Кравець викроїв з тканини чотирикутник, який має бути ромбом.
Як перевірити правильність виготовлення викрійки, не користую
чись інструментами?
А. Перегнути викрійку по діагоналі.
Б. Перегнути викрійку по лінії, що проходить через середини про
тилежних сторін.
В. Послідовно перегнути викрійку по обох діагоналях.
Г. Інший спосіб.
7•
. Периметр чотирикутника, вершини якого лежать на серединах
сторін даного чотирикутника, дорівнює
p q+
2
. Знайдіть довжини
діагоналей даного чотирикутника.
А. p і q . Б.
p
4
і
q
4
.
В.
p
2
і
q
2
. Г. 2 p і 2q .
= =
•
+
+ ( )+
+
•
•
••
=
>
+ <
••
= = =
••
= =
•
+
•
•
••
= =
•
+
+ ( )+
+
•
•
••
=
>
+ <
••
= = =
••
= =
•
+
•
•
••

8•
. Чи обов’язково чотирикутник, який має два прямі кути, є прямо
кутником? Проілюструйте свою відповідь.
9•
. Бісектриса тупого кута B паралелограма ABCD поділяє сторону
AD навпіл. Чому дорівнює периметр паралелограма, якщо його
менша сторона дорівнює 8 см?
А. 24 см.
Б. 48 см.
В. 32 см.
Г. Не вистачає даних, щоб визначити.
10••
. Дано паралелограм ABCD . Пряма, що проходить через точку пе
ретину діагоналей O , перетинає сторони BC та AD , відповідно, у
точках E та F . Які з наступних тверджень правильні? Позначте їх.
А. Периметри трикутників BFO і DFO обов’язково однакові.
Б. EO OF+ може дорівнювати AB .
В. EC може бути більше за AF .
Г. BE AF BC+ = .
11••
. Дано квадрат ABCD , AE CF= . Доведіть,
що BEDF — ромб.
12••
. Даний відрізок поділіть на два відрізки
так, щоб довжини цих відрізків були про
порційні до числам 2 і 3.
Варіант 1
1°. Довжина середньої лінії трапеції 7 дм, а однієї з основ 5 дм. Чому
дорівнює довжина другої основи?
А. 14 дм. Б. 10 дм.
В. 9 дм. Г. 6 дм.
2°. Пряма CM , яка паралельна бічній стороні AB трапеції ABCD ,
поділяє основу AD на відрізки AM = 5 см і MD = 4 см. Чому
дорівнює середня лінія трапеції?
А. 7 см. Б. 4,5 см.
В. 2,5 см. Г. 2 см.
3°. Даний відрізок поділіть на чотири рівні відрізки.
4. Основи трапеції мають довжини 8,2 см і 14,2 см. Якою є відстань
між серединами діагоналей цієї трапеції?
А. 4,1 см. Б. 7,1 см.
В. 3 см. Г. 11,2 см.
5. Кінці діаметра віддалені від дотичної до кола на 2,8 м і 1,2 м. Знай
діть довжину діаметра й позначте правильну відповідь.
А. 2 м. Б. 4 м.
В. 1,6 м. Г. 0,8 м.
6. У рівнобічній трапеції ABCD точки K , L , M , N — середини її
сторін AB , BC , CD і AD , відповідно. Периметр чотирикутника
KLMN дорівнює 40 см. Чому дорівнюють діагоналі трапеції?
А. 20 см і 20 см. Б. 10 см і 30 см.
В. 40 см і 40 см. Г. Інша відповідь.
7•
. Чому дорівнює довжина відрізка BB1 ?
А. 12.
Б. 21.
В. 3.
Г. 9.
8•
. Доведіть, що середини сторін рівнобічної
трапеції є вершинами ромба.
9•
. На прямій a взято точки A1 , A2 , A3 , A4
так, що A A1 2 3= м, A A2 3 2= м, A A3 4 5= м.
Через точки A1 , A2 , A3 , A4 прове
дено паралельні прямі, які перетина
ють пряму b у точці B1 , B2 , B3 , B4 ,
відповідно. Чи є серед відповідей правильні?
Якщо є — позначте їх.
А.
B B
B B
1 2
1 3
3
5
= .
Б. B B B B B B3 4 1 2 2 3= + .
В. B B B B1 2 2 3< .
Г. Якщо B B3 4 10= м, то B B2 3 5= м.
10••
. Побудуйте трапецію ABCD за такими елементами: AD , BC і AB .
11••
. Доведіть, що сума бічних сторін трапеції більша за різницю ос
нов.
+
+ =
••
=
••
= ∠ =
= =
= = = ∠ =
= ∠ = ∠ = =
•
•
•
= = =
= = +
<
= =
••
••
••

12••
. Проекції двох сторін гострокутного трикутника ABC на пряму
AC мають довжини 6 см і 4 см. Яку довжину мають проекції медіан
цього трикутника на ту саму пряму?
А. 1 см, 8 см, 7 см. Б. 2 см, 3 см, 3 см.
В. 5 см, 3 см, 2 см. Г. Інша відповідь.
Варіант 2
1°.Більша основа трапеції дорівнює 8 см, а менша на 2 см коротша за
середню лінію. Чому дорівнює середня лінія трапеції?
А. 6 см. Б. 4 см. В. 7 см. Г. 12 см.
2°. Паралельно бічній стороні CD трапеції ABCD проведено пряму
BK . Основа BC = 5 дм, середня лінія MN = 8 дм. Чому дорівнює
довжина відрізка AK , який пряма BK відтинає на основі AD ?
В. 5 дм. Б. 6 дм. В. 11 дм. Г. 9 дм.
3°. Поділіть даний відрізок на п’ять рівних відрізків.
4. Менша основа трапеції має довжину 6,2 см, відстань між середи
нами діагоналей цієї трапеції дорівнює 4 см. Якою є довжина біль
шої основи?
А. 3,1 см. Б. 8 см.
В. 14,2 см. Г. 10,2 см.
5. Один кінець діаметра, що дорівнює 2,6 см, віддалений від дотичної
до кола на 1,4 м. Знайдіть, на якій відстані від цієї дотичної знахо
диться другий кінець діаметра. Позначте правильну відповідь.
А. 4 м. Б. 1,2 м.
В. 3,8 м. Г. 6,8 м.
6. Діагоналі KM і LN трапеції дорівнюють 18 см і 12 см. Чому дорів
нює периметр трапеції?
А. 30 см. Б. 15 см.
7•
. Чому дорівнює довжина відрізка OB1 ?
А. 20.
Б. 9.
В. 2.
Г. 24,5.
8•
. Бічні сторони прямокутної трапеції від
носяться як 1 2: . Знайдіть найбільший
кут цієї трапеції.
9•
. На стороні ON кута MON взя
то точки B1 , B2 , B3 , B4 так, що
B B B B B B1 2 2 3 3 4= = . Через точки B1 ,
B2 , B3 , B4 проведено паралель
ні прямі, які перетинають сторону
OM кута MON , відповідно, в точ
ках A1 , A2 , A3 , A4 . Укажіть правиль
не твердження.
А. A A A A1 3 4 32 .
Б. A A A A1 2 3 42= .
В. A A A A2 4 1 2 .
Г. Якщо A A1 2 3= дм, то A A2 4 6= дм.
10••
. Побудуйте трапецію ABCD за такими елементами: AD , AB і AC .
11••
. Доведіть, що різниця основ трапеції більша за різницю бічних
сторін.
12••
. Проекції медіан трикутника ABC на пряму AC мають довжини
16 см, 14 см і 2 см. Яку довжину мають проекції двох сторін цього
трикутника на ту саму пряму?
А. 2 см і 18 см. Б. 8 см і 12 см.
Варіант 1
1°. Якою є довжина сторони AB трикутни
ка ABC , якщо AE =
5
2
, BD =
3
2
?
А.
3
2
.
Б.
5
2
.
В. 3.
Г. 5.
2°. Один із кутів прямокутного трикутника дорівнює 36°, а гострі кути
іншого прямокутного трикутника відносяться як 2 3: . Чи подібні
трикутники?
= =
•
•
•
= =
= =
= =
•
= =

=

= =
••
••
••
= =

3°. Знайдіть довжину відрізка, позначеного буквою x . Укажіть пра
вильну відповідь.
А. 21 см.
Б. 10
5
7
см.
В. 9
1
3
см.
Г. 9 см.
4. Визначте, які з трикутників подібні, якщо сторони їх дорівнюють:
А. 4 см, 6 см, 9 см і 12 см, 18 см, 8 см;
Б. 1,5 дм, 42 см, 20 см і 21 см, 10 см, 9 см;
В. 55 см, 1,5 см, 140 см і 15 см, 14 см, 10,5 см;
Г. 14 см, 21 см, 28 см і 20 см, 15 см, 10 см.
5. Катети одного прямокутного трикутника дорівнюють 15 см і 20 см,
а гіпотенуза і висота, проведена до неї, другого прямокутного три
кутника відповідно дорівнюють 75 см і 26 см. Чи подібні трикут
ники?
6. Основи трапеції BC = 20 см, AD = 30 см, діагоналі AC = 24 см і
BD = 41 см перетинаються в точці O . Чому дорівнюють перимет
ри трикутників BOC і AOD ?
А. 64 см і 96 см. Б. 46 см і 69 см.
В. 52,5 см і 62,5 см. Г. Інша відповідь.
7•
. Два рівнобедрені трикутники мають рівні кути при вершинах, які
протилежні основам. Основа першого трикутника дорівнює 12 см,
а медіана, проведена до неї, — 8 см. Знайдіть бічну сторону друго
го трикутника, якщо його периметр 128 см.
А. 10 см. Б. 40 см.
В. 32 см. Г. 48 см.
8•
. Яку висоту на плівці має зобра
ження дерева, що знаходиться
на відстані 70 м від об’єктива
фотоапарата і має висоту 14 м,
якщо відстань від об’єктива до
зображення дорівнює 50 мм?
9•
. Сторони трикутника відносяться як 7 2 6: : . Знайдіть сторони
подібного трикутника, різниця найбільшої і найменшої сторін яко
го дорівнює 15 см. Укажіть правильну відповідь.
А. 147 см, 42 см, 126 см. Б. 21 см, 6 см, 18 см.
10••
. У трикутник вписаний паралелограм, гострий кут якого співпадає
з кутом трикутника. Сторони паралелограма відносяться як 3 1: ,
а сторони трикутника, що лежать на сторонах цього кута, дорівню
ють 24 см і 36 см. Визначте сторони паралелограма.
11••
. На яку висоту піднявся пішохід, який пройшов 2 км прямою до
рогою, що піднімається під кутом до горизонту, коли відомо, що
інший пішохід, ідучи цією самою дорогою і здолавши 1,5 км, під
нявся на 0,3 км?
12••
. Доведіть, що в подібних трикутниках відповідні висоти пропор
ційні відповідним сторонам.
Варіант 2
1°. Якою є довжина сторони AB трикутника ABC , якщо
CD
AC
=
1
2
,
BC = 6 ?
А. 3.
Б. 12.
В.
3
2
.
Г. 4.
2°. Один із кутів прямокутного трикут
ника дорівнює 54°, а різниця гострих
кутів іншу прямокутного трикутника
дорівнює 18°. Чи подібні трикутни
ки?
3°. Знайдіть довжину відрізка, позначе
ного буквою x . Позначте правильну
відповідь.
А. 8 см.
Б. 24 см.
В. 4
1
6
см.
Г. 7,5 см.
= = = =
•
•
•
••
= = = =
•
•
•
••
••
= =
∠ = ∠
••
••
= =
∠ = ∠

•
•
••
••
••
4. Визначте, які з трикутників подібні, якщо сторони їх дорівнюють:
А. 3,5 см, 9 см, 1,1 дм і 7 см, 2,2 дм, 1,8 дм;
Б. 6 см, 4 см, 7 см і 3 см, 3,5 см, 6 см;
В. 72 см, 1,6 м, 96 см і 9 см, 12 см, 20 см;
Г. 25 см, 75 см, 60 см і 90 см, 72 см, 35 см.
5. Катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника відповідно
дорівнюють 12 см і 15 см, а катет і висота, проведена до гіпотену
зи, другого трикутника відповідно дорівнюють 45 см і 36 см. Чи
подібні трикутники?
6. Основи трапеції BC = 30 см, AD = 50 см, діагоналі AC = 40 см
і BD = 48 см перетинаються в точці O . Чому дорівнюють перимет
ри трикутників BOC і AOD ?
А. 36 см і 15 см. Б. 63 см і 105 см.
7•
. Два рівнобедрені трикутники мають рівні кути при вершинах, які
протилежні основам. Бічна сторона першого трикутника дорівнює
5 см, а основа — 6 см. Знайдіть висоту, проведену до основи друго
го трикутника, якщо його периметр 80 см.
А. 4 см. Б. 25 см.
В. 20 см. Г. 30 см.
8•
. На плівці зображення дерева, що
знаходиться на відстані 90 м від
об’єктива фотоапарата, має висоту
10 мм. Чому дорівнює висота де
рева, якщо відстань від об’єктива
до зображення дорівнює 50 мм?
9•
. Сторони трикутника відносяться як 5 4 2: : . Знайдіть сторони
подібного трикутника, сума найбільшої і найменшої сторін якого
дорівнює 21 см. Укажіть правильну відповідь.
А. 15 см, 12 см, 6 см. Б. 75 см, 60 см, 30 см.
10••
. У трикутник ABC вписаний паралелограм ADEF , гострий кут
якого співпадає з кутом трикутника A . Визначте сторону AC ,
коли відомо, що сторони паралелограма дорівнюють 6 см і 5 см,
а сторона AB дорівнює 17 см.
11••
. На ділянці дороги завдовжки 320 м підйом однаковий. Познач
ки про висоту над рівнем моря на кінцях ділянки 186,5 м і 194,9 м.
Знайдіть позначку на відстані 120 м від початку ділянки.
12••
. Доведіть, що в подібних трикутниках бісектриси відповідних кутів
пропорційні відповідним сторонам.
Варіант 1
1°. Які з ламаних, що мають наведені довжини ланок, можуть бути за
мкненими?
А. 1 дм, 2 дм, 3 дм, 7 дм. Б. 3 см, 4 см, 5 см, 7 см, 19 см.
В. 8 м, 9 м, 10 м, 24 м. Г.15мм,18мм,20мм,25мм,80мм.
2°. Скільки сторін має многокутник, у якого число діагоналей, прове
дених з однієї вершини, дорівнює 7?
А. 9. Б. 10.
В. 8. Г. 7.
3°. Чому дорівнює сума внутрішніх кутів опуклого восьмикутника?
А. 1440°. Б. 1080°.
В. 900°. Г. 1260°.
4. Радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює 20 мм.
Чому дорівнює відстань між серединами двох суміжних сторін пря
мокутника?
А. 10 мм. Б. 20 мм.
В. 40 мм. Г. 5 мм.
5. Сторони паралелограма дорівнюють 4,2 см і 5,6 см. Висота, про
ведена до більшої зі сторін, дорівнює 3,3 см. Чому дорівнює друга
висота цього паралелограма?
А. 18,48 см. Б. 13,86 см.
В. 7
7
55
см. Г. 4,4 см.
6. Яку фігуру утворюють вершини рівновеликих трикутників, що ма
ють спільну основу AB ?
А. Коло, діаметр якого дорівнює основі AB ;
Б. Дві прямі, паралельні основі AB ;
В. Два промені, паралельні основі AB ;
Г. Два відрізки, паралельні основі AB .

7•
. Якою є площа гострокутного трикутника, якщо його висота, про
ведена до основи, дорівнює 6 см, а проекції бічних сторін на цю
основу дорівнюють 12 см і 4 см?
А. 48 см2
. Б. 36 см2
.
В. 12 см2
. Г. 144 см2
.
8•
. У квадрат, площа якого дорівнює 64 см2
, вписано коло. Яким
є радіус цього кола?
А. 32 см.
Б. 16 см.
В. 8 см.
Г. 4 см.
9•
. Обчисліть площу зображеної фі
гури й позначте правильну від
повідь.
А. 120 см2
.
Б. 960 см2
.
В. 100 см2
.
Г. Інша відповідь.
10••
. Три кути опуклого многокутника дорівнюють по 80°, усі інші —
по 150°. Скільки вершин має цей многокутник?
А. 5. Б. 6.
В. 7. Г. 8.
11••
. Який з усіх паралелограмів з діагоналями, що дорівнюють 4 см і 8 см,
має найбільшу площу?
А. Прямокутник. Б. Квадрат.
В. Ромб. Г. Паралелограм.
12••
. Периметр описаної навколо кола трапеції дорівнює 30 см. Яка
довжина середньої лінії цієї трапеції?
А. 15 см. Б. 10 см.
В. 7,5 см. Г. Не можна визначити.
Варіант 2
1°. Які з ламаних, що мають наведені довжини ланок, не можуть бути
замкненими?
А. 2 м, 3 м, 5 м, 9 м.
Б. 7 см, 9 см, 10 см, 15 см, 35 см.
В. 11 дм, 14 дм, 17 дм, 42 дм.
Г. 20 мм, 60 мм, 70 мм, 85 мм, 25 мм.
2°. Скільки діагоналей, проведених з однієї вершини, має дев’я
тикутник?
А. 9. Б. 8. В. 7. Г. 6.
3°. Чому дорівнює сума внутрішніх кутів опуклого десятикутника?
А. 1800°. Б. 1440°. В. 1260°. Г. 1620°.
4. Відстань між серединами двох суміжних сторін прямокутника
дорівнює 12 см. Чому дорівнює радіус кола, описаного навколо
цього прямокутника?
А. 6 см. Б. 12 см. В. 24 см. Г. 48 см.
5. Сторони паралелограма дорівнюють 0,8 дм і 1 дм. Висота, проведе
на до меншої із сторін, дорівнює 0,6 дм. Чому дорівнює друга ви
сота цього паралелограма?
А. 0,48 дм. Б. 0,975 дм. В. 1,3(3) дм. Г. 0,048 дм.
6. Яку фігуру утворюють вершини паралелограмів, які рівновеликі да
ному паралелограму ABCD і мають спільну основу AD ?
А. Коло, діаметр якого дорівнює AD .
Б. Дві прямі, паралельні основі AD .
В. Два промені, паралельні основі AD .
Г. Два відрізки, паралельні основі AD .
7•
. Проекції бічних сторін на основу гострокутного трикутника дорів
нюють 14 см і 6 см, а площа цього трикутника — 77 см2
. Яку дов
жину має висота цього трикутника?
А. 3,85 см. Б. 7 см. В. 11 см. Г. 25
2
3
см.
8•
. Квадрат описаний навколо кола радіусом 6 см. Чому дорівнює пло
ща цього квадрата?
А. 36 см2
. Б. 144 см2
. В. 9 см2
. Г. 24 см2
.
9•
. Обчисліть площу зображеної фігури
й позначте правильну відповідь.
А. 2 м2
.
Б. 6 м2
.
В. 8 м2
.
Г. Інша відповідь.
•
•
•
••
••
••
•
•
•
••

10••
. Три кути опуклого многокутника прямі, інші — по 150°. Скільки
вершин має цей многокутник?
А. 5. Б. 5. В. 7. Г. 8.
11••
. Який з усіх паралелограмів зі сторонами, що дорівнюють 4 см
і 8 см, має найбільшу площу?
А. Прямокутник. Б. Квадрат.
В. Ромб. Г. Паралелограм.
12••
. Середня лінія описаної навколо кола трапеції дорівнює 14 см.
Чому дорівнює периметр цієї трапеції?
А. 28 см. Б. 42 см.
В. 56 см. Г. Не можна визначити.
Варіант 1
1°. Сторона прямокутника 8 см і 15 см. Чому дорівнює його діаго
наль?
А. 23 см. Б. 17 см. В. 289 см. Г. 161 см.
2°. У прямокутному трикутнику ABC ( ∠ = °C 90 ) AB =1 см, ∠ = °A 30 .
Яку довжину має катет AC ?
А.
1
2
см. Б.
1
3
см.
В.
3
2
см. Г.
3
4
см.
3°. Зточки A проведенодопрямої a двіпохилі: AB =10 смі AD =15 см.
Яке з наступних тверджень є правильним?
А. Пряма AB утворює з прямою a більший кут, ніж пряма AD .
Б. Пряма AD утворює з прямою a більший кут, ніж пряма AB .
В. Прямі AB і AD утворюють з прямою a однакові кути.
Г. Не можна визначити, яка з прямих, AB чи AD , утворює з пря
мою a більший кут.
4. У колі проведено хорду, перпендикулярну радіусу й таку, що прохо
дить через його середину. Чому дорівнює довжина цієї хорди, якщо
діаметр кола дорівнює 8 см?
А. 2 3 см. Б. 4 см.
5. Якою є градусна міра кута α , якщо sin ,α = 0 5035 ?
А. 30 5° ′. Б. 30 15° ′.
В. 59 15° ′ . Г. 59 45° ′ .
6. Кут при основі рівнобічної трапеції дорівнює 60°, а бічна сторона
дорівнює меншій основі й становить 10 см. Чому дорівнює серед
ня лінія трапеції?
А. 5 3 см. Б. 10 см.
В. 5 см. Г. 15 см.
7•
. Залізнична колія підіймається в горах на 0,5 м на кожні 30 м шля
ху. Чому приблизно дорівнює кут підйому?
А. 9 37° ′ . Б. 80 23° ′.
В. 57°. Г. 63°.
8•
. У прямокутному трикутнику ABC кут C — прямий, CD — висо
та,
CD
BC
=
15
17
. Визначте
AD
AC
.
А.
17
15
. Б.
15
17
.
В.
8
17
. Г. Інша відповідь.
9•
. Два кола, радіуси яких R і r , дотикаються зовні. Відстань між цен
трами кіл дорівнює d , довжина спільної дотичної, яка не прохо
дить через точку дотику кіл, — l . Визначте, які з наступних твер
джень є правильними?
А. Якщо R r≠ , то d l≠ . Б. Якщо R r≠ , то R r l+ = .
В. d l R r2 2 2
− = −( ) . Г. l Rr= 2 .
10••
. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює b . Кут при основі
дорівнює α . Чому дорівнює периметр трикутника?
А. bcosα . Б. b cosα +( )1 .
В. b 2 +( )cosα . Г. b 1
1
+





cosα
.

11••
. На прямій MN взято точку A і з неї під гострим кутом α до пря
мої MN проведено відрізок AB завдовжки a . Як змінюється ве
личина проекції відрізка AB на пряму MN за умови збільшення
кута α від 0° до 90°?
12••
. З маяка, висота якого над рівнем
моря H =150 м, визначають від
стань до пароплава, який прохо
дитьповзмаяк.Кутпадіння α = °9 .
Чому дорівнює відстань від па
роплава до маяка?
Варіант 2
1°. Ширина прямокутника 9 см, а діагональ — 15 см. Чому дорівнює
довжина цього прямокутника?
А. 6 см. Б. 144 см. В. 12 см. Г. 306 см.
2°. У прямокутному трикутнику ABC ( ∠ = °C 90 ) AC = 3 см, ∠ = °A 60 .
Яку довжину має катет BC ?
А. 6 см. Б. 1,5 см. В.
3 3
2
см. Г. 3 3 см.
3°. З точки A до прямої a проведено дві похилі AB і AC , які утво
рюють з нею кути 35° і 70°, відповідно. Яке з наступних тверджень
є правильним?
А. Похила AB має більшу довжину, ніж похила AC .
Б. Похила AC має більшу довжину, ніж похила AB .
В. Похилі AB і AC мають однакові довжини.
Г. Не можна визначити, яка з похилих — AB чи AC , має біль
шу довжину.
4. У колі проведено хорду, перпендикулярну радіусу й таку, що прохо
дить через його середину. Чому дорівнює діаметр кола, якщо дов
жина цієї хорди дорівнює 6 см?
А. 2 3 см. Б. 4 3 см.
5. Якою є градусна міра кут β , якщо cos ,β = 0 8203 ?
А. 34 47° ′ . Б. 34 53° ′. В. 55 13° ′ . Г. 55 7° ′ .
6. У прямокутній трапеції один з кутів дорівнює 135°, середня лінія
дорівнює 18 см, а основи відносяться як 1 8: . Чому дорівнює мен
ша бічна сторона трапеції?
А. 2 см. Б. 12 см. В. 12 2 см. Г. 28 см.
7•
. Кут підйому становить 36°. На скільки метрів приблизно підій
мається туристична стежина на кожні 50 м шляху?
А. 83 м. Б. 29,4 м. В. 36, 3 м. Г. 40,5 м.
8•
. У прямокутному трикутнику ABC кут C — прямий, CD висота,
BD
CD
=1 3, . Визначте
AD
CD
.
А. 1,3. Б.
10
13
.
В. 0,3. Г. Інша відповідь.
9•
. Два кола, радіуси яких R і r , дотикаються зовні. Довжина спіль
ної дотичної, яка не проходить через точку дотику кіл, дорівнює l ,
відстань між центрами кіл дорівнює d . Визначте, які з наступних
тверджень є правильними?
А. Якщо R r≠ , то l R r + . Б. Якщо R r= , то d l .
В. Якщо R r= , то d R2 2
4= . Г. l Rr2
4 .
10••
. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює a , кут при ос
нові дорівнює α . Чому дорівнює периметр цього трикутника?
А. 2acosα . Б. 2 1a +( )cosα .
В. a 1+( )cosα . Г. 2 1
1
a +





cosα
.
11••
. На прямій KL взято точку P і з неї під гострим кутом α до пря
мої KL проведено відрізок PQ завдовжки l . Як змінюється вели
чина проекції відрізка PQ на пряму KL за умови зменшення кута
α від 90° до 0°?
12••
. Літак посилає сигнал капітану
риболовецького судна, що він
знаходиться над косяком риби
на висоті H = 950 м. З судна
визначають кут підйому літака
α = ° ′26 30 . Чому дорівнює від
стань судна від косяку риби?
••
α
α ( )α+ ( )+ α +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
α
••
α
α
••
=
α =
∠ = = ∠ =
β β =
′ ′ ′ ′
α •
•
=
•
≠ + =
= =
••
α
α ( )+ α ( )+ α +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
α
••
α
α
••
=
α

Література
1. Єршова А. П., Голобородько В. В., Крижановський О. Ф. Геомет
рія. 8 клас. — Х.: Ранок, 2008.
2. Єршова А. П., Голобородько В. В., Крижановський О. Ф. Геомет
рія. 8 клас: Збірник самостійних і контрольних робіт. — Х.: Ранок,
2008.
3. Нелін Є. П. Геометрія в таблицях: Навчальний посібник для учнів
старших класів. — Х.: Світ дитинства, 1997.
4. Бурда М. І. та ін. Збірник завдань для державної підсумкової атес
тації з математики. 11 клас. — Х.: Гімназія, 2008.
5. Литвиненко Г. М., Федченко Л. Я. Збірник завдань для письмово
го екзамену з математики за курс 7–9 класів загальноосвітніх шкіл,
ліцеїв, гімназій. — Х.: ТОВ «ББН», 2000.
6. Єршова А. П., Голобородько В. В., Єршова Г. С. Самостійні та кон
трольні роботи з алгебри і геометрії для 9 класу. — М.–Х.: Ілекса,
Гімназія, 2004.
7. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Рабінович Ю. М., Якір М. С.
Збірник задач і завдань для тематичного оцінювання з геометрії
для 8 класу. — Х.: Гімназія, 2003.
8. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Рабінович Ю. М., Якір М. С.
Збірник задач і завдань для тематичного оцінювання з геометрії
для 9 класу. — Х.: Гімназія, 2003.
9. Раухман А. С., Сень Я. Г. Устные упражнения по геометрии для 7–
11 классов. — К.: Радянська школа, 1989.
10. Лоповок Л. М. Сборник задач по геометрии для 6–8 классов. — К.:
Радянська школа, 1985.
11. Моргун О. О., Фурман М. С. Геометрія. 8 клас. — Х.: Вид. група
«Основа», 2005.
12. Моргун О. О., Фурман М. С., Сильвестрова І. А. Геометрія. 9 клас.
— Х.: Вид. група «Основа», 2006.
13. Матюшко І. С. та ін. Завдання з геометрії для 7 класу. — К.: Ра
дянська школа, 1988.
14. Шуба М. Ю. Занимательные задания в обучении математике. —
М.: Просвещение, 1995.
15. Сухарева Л. С. Усні завдання, математичні диктанти та тести. Гео
метрія. 8—9 класи. — Х.: Вид. група «Основа», 2007.

8 геом бабенко_пособ_2008_укр

More Related Content

What's hot

Similar to 8 геом бабенко_пособ_2008_укр

Recently uploaded

8 геом бабенко_пособ_2008_укр