11 геом бабенко_пособ_академ_2011_укр

Серія «Усі уроки»
Заснована 2006 року
С. П. Бабенко
• уроки
ГЕОМЕТРІЇ
клас
Академічний рівень
Харків
Видавнича група «Основа»
2011

УДК 514
ББК 22.151
Б12
Бабенко С. П.
Б12 Усі уроки геометрії. 11 клас. Академічний рівень. —
X.: Вид. група «Основа», 2011. — 299, [5] с. — (Серія «Усі
уроки»).
ISBN 978-617-00-1088-9.
Докладні розробки уроків до вивчення геометрії в 11 класі (акаде
мічний рівень).
Цікаві методичні рекомендації, різноманітні прийоми роботи із за
вданнями, велика кількість усних вправ, широкий вибір форм перевір
ки знань, використання ігрових моментів на уроці, грамотне урахуван
ня вікових особливостей — усе це вигідно відрізняє посібник від тради
ційних планів-конспектів уроків.
Посібник для вчителя нового покоління.
УДК 514
ББК 22.151
© Бабенко С. П., 2011
ISBN 978-617-00-1088-9 © TOB «Видавнича група “Основа”», 2011
OD.

ЗМІСТ
Орієнтовне календарне планування
(І семестр — 32 годин (2 години на тиждень)
II семестр — 38 годин (2 години на тиждень),
усього — 70 годин ...................................................................... 6
Тема 1. Координати та вектори у просторі .................................. 9
Урок № 1. Прямокутна система координат у просторі .... 9
Урок № 2. Відстань між точками ........................................... 13
Урок № 3. Координати середини відрізка ........................... 17
Урок № 4. Переміщення в просторі та його
властивості .................................................................................. 22
Урок № 5. Симетрія в просторі ............................................... 27
Урок № 6. Паралельне перенесення в просторі .................. 32
Урок № 7. Розв’язування задач .............................................. 36
Урок № 8. Вектори у просторі ................................................ 40
Урок № 9. Операції над векторами в просторі
та їх властивості ........................................................................ 45
Урок № 10. Скалярний добуток векторів у просторі ........ 50
Урок № 11. Розв’язування задач ........................................... 55
Урок № 12. Компланарність векторів [Розкладання векторів
за трьома некомпланарними векторами] ............................ 58
Урок № 13. [Рівняння площини] ........................................... 63
Урок № 15. Координати та вектори у просторі.
Підсумковий урок ...................................................................... 74
Урок № 16. Координати та вектори у просторі.
Контрольна робота № 1 ............................................................ 77
Тема 2. Многогранники ................................................................... 80
Урок № 17. Двогранні кути. Лінійний кут двогранного кута.
Многогранні кути ...................................................................... 80
Урок № 18. Многогранник та його елементи. Опуклі много
гранники ...................................................................................... 85
Урок № 19. Призма. Пряма і правильна призми ............... 90
Урок № 21. Площі бічної та повної поверхонь призми _ 99
Урок № 22. Розв’язування задач ............................................ 103
Урок № 23. Паралелепіпед ..................................................... 107

4 Геометрія. 11 клас. Академічний рівень
Урок № 24. Прямокутний паралелепіпед. Куб ...................112
Урок № 25. Піраміда. Площі бічної та повної поверхонь
піраміди .......................................................................................116
Урок № 26. Розв’язування задач ...........................................121
Урок № 27. Правильна піраміда. Формула для обчислення
площі бічної поверхні правильної піраміди .......................125
Урок № 28. Розв’язування задач (Зрізана піраміда*) ......130
Урок № 29. Правильні многогранники ...............................134
Урок № ЗО. Підсумковий урок із теми «Многогранники» 139
Урок № 31. Контрольна робота № 2 .................................... 143
Урок № 32. Узагальнення знань учнів, набутих
у І семестрі. Розв’язування задач ..........................................144
Тема 3. Тіла обертання (14 годин) ................................................ 150
Урок № 33. Тіла та поверхні обертання ..............................150
Урок № 34. Циліндр і його елементи ...................................154
Урок № 35. Перерізи циліндра площинами .......................158
Урок № 38. Конус і його елементи ........................................ 171
Урок № 39. Перерізи конуса площинами.
Зрізаний конус ...........................................................................175
Урок № 42. Куля і сфера. Перерізи кулі площиною ..........188
Урок № 43. Площина, дотична до сфери ..............................194
Урок № 44. Розв’язування задач [Рівняння сфери] .......... 199
Урок № 45. Підсумковий урок із теми
«Тіла обертання» .......................................................................204
Урок № 46. Контрольна робота № 3 ......................................207
Тема 4. Об’єми та площі поверхонь геометричних тіл
(14 годин) ............................................................................................ 209
Урок № 47. Поняття про об’єм тіла. Основні властивості
об’ємів. Об’єм паралелепіпеда ................................................ 209
Урок № 48. Об’єм призми ........................................................ 213
Урок № 49. Об’єм піраміди ......................................................218
Урок № 51. Об’єм циліндра .................................................... 227
Урок № 52. Об’єм конуса ..........................................................231
Урок № 53. Об’єм кулі ..............................................................236
Урок № 55. Площа бічної та повної поверхонь
циліндра .......................................................................................244

Зміст 5
Урок № 56. Площа бічної та повної поверхонь конуса .... 248
Урок № 57. Площа сфери ..........................................................253
Урок № 59. Підсумковий урок із теми «Об’єми та площі
поверхонь геометричних тіл» ...................................................260
Урок № 60. Контрольна робота № 4 ........................................ 263
Повторення, узагальнення та систематизація навчального
матеріалу. Розв’язування задач .......................................................265
Уроки № 61, 62. Повторення стереометрії за курс
10 класу ..........................................................................................265
Урок № 63. Координати та вектори у просторі .................... 273
Урок № 64. Призма .................................................................... 278
Урок № 65. Піраміда ..................................................................283
Урок № 66. Тіла обертання .......................................................288
Урок № 67. Підсумкова контрольна робота ..........................294
Уроки № 69, 70 (Резервні години). Розв’язування задач на
комбінацію геометричних тіл ...................................................297
Література ............................................................................................300

ГЕОМЕТРІЯ. 11 КЛАС.
АКАДЕМІЧНИЙ РІВЕНЬ
ОРІЄНТОВНЕ КАЛЕНДАРНЕ ПЛАНУВАННЯ
(І семестр — 32 годин (2 години на тиждень)
II семестр — 38 годин (2 години на тиждень),
усього — 70 годин
№
уроку
Зміст навчального матеріалу (тема уроку)
Кількість
годин
Тема 1. Координати та вектори у просторі 16
1 Прямокутна система координат у просторі 1
2 Відстань між точками 1
3 Координати середини відрізка 1
4 Переміщення в просторі та його властивості 1
5 Симетрія в просторі 1
6 Паралельне перенесення в просторі 1
7 Розв’язування задач 1
8 Вектори в просторі 1
9 Операції на векторами в просторі та їх власти
вості
1
10 Скалярний добуток векторів у просторі 1
12 Компланарність векторів [Розкладання векто
рів за трьома некомпланарними векторами]
1
13 [Рівняння площини] 1
15 Координати та вектори в просторі. Підсумко
вий урок
1
16 Координати та вектори в просторі. Контрольна
робота № 1
1
Тема 2. Многогранники 16
17 Двогранні кути. Лінійний кут двогранного
кута. Многогранні кути
1

Орієнтовне календарне планування 7
№
уроку
Кількість
годин
18 Многогранник та його елементи. Опуклі много
гранники
1
19 Призми. Пряма і правильні призми 1
21 Площі бічної та повної поверхонь призми 1
23 Паралелепіпед 1
24 Прямокутний паралелепіпед. Куб 1
25 Піраміда. Площі бічної та повної поверхні
піраміди
1
27 Правильна піраміда. Формула для обчислення
бічної поверхні правильної піраміди
1
28 Розв’язування задач. (Зрізана піраміда*) 1
29 Правильні многогранники 1
ЗО Підсумковий урок із теми «Многогранники» 1
31 Контрольна робота № 2 1
32 Узагальнення знань учнів, набутих у першому
семестрі. Розв’язування задач
1
Тема 3. Тіла обертання 14
33 Тіла та поверхні обертання 1
34 Циліндр і його елементи 1
35 Перерізи циліндра площинами 1
38 Конус і його елементи 1
39 Перерізи конуса площинами. Зрізаний конус 1
42 Куля і сфера. Перерізи кулі площиною 1
43 Площина, дотична до сфери 1
44 Розв’язування задач. [Рівняння сфери] 1
45 Підсумковий урок із теми «Тіла обертання» 1

№
рок
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
Г7е
63
64
65
66
67
68
9/7
Геометрія. 11 клас. Академічний рівень
Кількість
годин
Контрольна робота № З
Тема 4. Об’єми та площі поверхонь
геометричних тіл
14
Поняття про об’єм тіла. Основні властивості
об’ємів. Об’єм паралелепіпеда
Об’єм призми
Об’єм піраміди
Розв’язування задач
Об’єм циліндра
Об’єм конуса
Об’єм кулі
Площі бічної та повної поверхонь циліндра
Площі бічної та повної поверхонь конуса
Площа сфери
Підсумковий урок із теми «Об’єми та площі по
верхонь геометричних тіл»
Контрольна робота № 4
Повторення, узагальнення та систематизація
навчального матеріалу. Розв’язування задач
Повторення стереометрії за курс 10 класу
Координати та вектори у просторі
Призма
Піраміда
Тіла обертання
Підсумкова контрольна робота
Резервні години. Розв’язування задач на комбі
нації геометричних тіл

ТЕМА 1. КООРДИНАТИ ТА ВЕКТОРИ
У ПРОСТОРІ (16 ГОДИН)
УРОК № 1
ПРЯМОКУТНА СИСТЕМА КООРДИНАТ У ПРОСТОРІ
Мета: домогтися засвоєння учнями:
S поняття прямокутної системи координат у просторі;
S назви координатних осей у просторі.
Сформувати вміння:
S відтворювати зміст вивчених понять;
S визначати положення точки в просторі за її координатами;
S визначати координати точки в просторі.
Типуроку: засвоєння знань, формування вмінь.
Наочність та обладнання: конспект «Прямокутна система коор
динат у просторі».
Хід уроку
I. Організаційний етап
Вступне слово вчителя
S особливості вивчення геометрії в 11 класі;
S вимоги до вивчення предмета;
S критерії оцінювання навчальних досягнень учнів;
S структура підручника та особливості роботи з підручником;
S додаткові матеріали (зошити для тематичного оцінювання, до
відники тощо).
II. Перевірка домашнього завдання
Учитель перевіряє літнє домашнє завдання (якщо таке було
задане).
III. Формулювання мети й завдань уроку
На цьому етапі уроку вчителеві доцільно нагадати учням про
те, що вони ознайомлені з поняттям прямокутної системи
координат на площині, що прямокутну систему координат
на площині широко використовують під час вивчення функ
цій. Перехід від системи координат на площині до системи
координат у просторі пов’язано із життєвою необхідністю.

10 Тема 7. Координати та вектори у просторі
Наприклад, положення літака в повітрі неможливо описа
ти за допомогою тільки двох координат, тобто за допомогою
координат проекції літака на поверхню землі (довготи та
широти), необхідно знати ще й висоту літака над поверхнею
землі. Ця та інші просторові ситуації спонукають до введен
ня ще однієї координатної осі для описання положення то
чок у просторі за допомогою чисел. Отже, завданням цього
уроку є засвоєння поняття прямокутної системи координат
у просторі, формування вміння визначати положення точ
ки в просторі за її координатами та координати точки в про
сторі.
IV. Актуалізація опорних знань і вмінь
Фронтальне опитування
1. Яку будову має прямокутна система координат на площині?
2. Яку вісь називають віссю абсцис?
3. Яку вісь називають віссю ординат?
4. Як визначають координати точки?
5. Скільки існує точок із заданими координатами?
6. Скільки координат має задана точка?
7. Чому дорівнюють координати початку координат?
8. Чому дорівнюють абсциси точок, що належать осі ординат?
9. Чому дорівнюють ординати точок, що належать осі абсцис?
10.Скільки існує точок на площині з координатами (7;-8)?
Математичний диктант із подальшою перевіркою
та обговоренням
1. Укажіть координатну чверть або вісь координат, якій нале
жить точка з координатами:
а) (-2;3); б) (і;10і); в) (-59;0);
г) (75;—75); д) (0;10); е) (-20;-30).
2. Чому дорівнює відстань від точки А(-5;4) до осі абсцис?
3. Чому дорівнює відстань від точки Б (-9;і) до осі ординат?
4. Дано: точка А(2;3), точка В(х;у). Наведіть які-небудь значен
ня х і у такі, щоб відрізок А В :
а) перетинав вісь абсцис, але не перетинав осі ординат;
б) перетинав вісь ординат, але не перетинав осі абсцис;
в) перетинав обидві координатні осі;
г) не перетинав жодної з координатних осей;
д) проходив через початок координат.

Урок № 1. Прямокутна система координат у просторі 11
V. Засвоєння знань
План вивчення новогоматеріалу
1. Побудова прямокутної системи координат у просторі.
2. Назви координатних осей у просторі.
3. Поняття координатних площин.
4. Визначення координат довільної точки простору.
5. Відповідність кожній точці простору єдиної впорядкованої
трійки чисел.
6. Відповідність будь-якій трійці чисел єдиної точки простору.
Конспект 1
Прямокутна система координат у просторі
Прямокутна система координат у просторі задається трійкою попарно
перпендикулярних осей:
вісь абсцис О х, вісь ординат Оу, вісь аплікат Ог, які мають спільний
початок (початок координат) і однаковий масштаб уздовж осей.
Кожній точці простору за певним правилом ставиться у відповідність
трійка чисел (х;у;г), які називають координатами точки.
Правило визначення координат точки
Через точку А проводимо три площини, паралельні координатним
площинам ху, хг, уг. Ці площини перетнуться з координатними осями
в точках хА, уА, гА. Число х, абсолютна величина якого дорівнює
довжині відрізка ОхА, називають абсцисою точки А . Аналогічно
визначають ординату у і аплікату г точки А.
Координати в просторі записують у дуж
ках поруч із буквеним позначенням точки,
причому першою записують абсцису, дру
гою — ординату, третьою — аплікату.
Точки, аплікати яких дорівнюють нулю,
належать площині ху;
точки, ординати яких дорівнюють нулю,
належать площині хг;
точки, абсциси яких дорівнюють нулю,
належать площині уг.
Будь-якій трійці чисел х, у, г відповідає
єдина точка простору А (х,у,г)
Під час вивчення нового матеріалу доречно провести аналогію
між прямокутною системою координат на площині та прямокутною
системою координат у просторі. Цьому сприяють вправи, запропо
новані учням під час актуалізації опорних знань і вмінь. Оскільки
матеріал в основному відомий учням, його викладення доцільно

провести так, щоб окремі фрагменти теорії були підбиттям підсум
ку роботи, виконаної учнями раніше.
VI. Формування вмінь
Виконанняуснихвправ
1. Точка К розташована на від’ємній півосі г на відстані 10 від
початку координат. Які координати точки К 1
2. Перша координата точки від’ємна, а друга і третя дорівнюють
нулю. Як розміщена ця точка в просторі?
3. Точка А лежить на площині ху, але не на осях координат. Що
можна сказати про координати цієї точки?
Виконання письмових вправ
1. Укажіть координатну площину, в якій лежить точка:
беріть ту, яка не належить жодній із координатних площин.
4. Знайдіть відстань від точки Р(-5;-6;-7) до координатних пло
щин.
5. Побудуйте в прямокутній системі точки А(і;-3;2) і В(-3;3;-4).
Яка з цих точок розміщена ближче до площини ху? Чи пра
вильно, що точки А і В знаходяться на однаковій відстані від
площини хг"!
Виконання наведених вправ сприяє засвоєнню поняття пря
мокутної системи координат у просторі. За допомогою цих
вправ можна сформувати вміння знаходити точку простору
за її координатами, знаходити координати точки. Крім того,
виконання усних вправ сприяє розвитку просторової уяви
учнів, тому бажано, щоб учні розв’язували задачі дійсно
усно, не користуючись чернетками. Під час виконання вправ
доцільно вимагати від учнів обґрунтування відповідей, навіть
якщо вони здаються очевидними. Наприклад, розв’язуючи
письмово задачу 1, необхідно не тільки вказати площину,
якій належить та чи інша точка, але й дати пояснення, чому
точка належить саме цій координатній площині.
а) А(0;-2;8); б) В(-1;0;-5); в) С(9;-3;0).
2. З-поміжточок А(2;0;-4), В(3;0;0), С(0;5;0), D(-2;9;0), Я(0;0;13)
виберіть ту, яка належить:
а) осі аплікат; б) осі ординат.
3. З-поміж точок А(2;2;-8), В(0;2;-4), С(-4;0;б), £>(0;-12;8) ви-
VII.Підсумки уроку
1. Поясніть, як визначають координати точки в просторі.

Урок №2. Відстань між точками 13
2. Заповніть порожні місця в таблиці:
Положення точки На координатній осі У координатній площині
Ох Оу Ог ху уг хг
Координати точки
VIII. Домашнє завдання
Вивчити означення понять, розглянутих на уроці.
Виконати вправи.
1. Знайдіть координати основ перпендикулярів, проведених із точ
ки .А(5;9;13), до координатних осей і координатних площин.
2. Знайдіть відстані від точки М(7;-9;5) до координатних пло
щин.
3. Побудуйте в прямокутній системі координат куб ABCDA1B1C1D1
так, щоб грань ABCD належала площині ху, а початок коор
динат збігався з точкою перетину діагоналей цієї грані. Знай
діть координати вершин цього куба, якщо довжина ребра до
рівнює 5 см. Скільки розв’язків має задача?
Повторити формулу для знаходження відстані між точками
площини, якщо відомі координати цих точок.
УРОК № 2
ВІДСТАНЬ М ІЖ ТОЧКАМИ
Мета: домогтися засвоєння формули для знаходження відстані
між двома точками в просторі, заданими координатами; сформува
ти вміння застосовувати цю формулу до розв’язування задач.
Наочність та обладнання: конспект «Відстань між двома точка
ми в просторі».
Хід уроку
Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.
Перевірка наявностіта обговорення письмового
домашнього завдання
Виконання тестовихзавдань
Варіант 1
1. Яка з наведених точок належить координатній осі Ох?

А) А(і;-5;0); Б) В(5;0;-4); В) С(-9;0;0); Г) Z>(0;-8;0).
2. Яка з наведених точок належить координатній площині х г ?
А) А(0;-7;0); Б) В(4;0;-і); В) С(3;-4;3); Г) Х>(-1;-1;2).
Варіант 2
1. Яка з наведених точок належить осі О уі
А)А(2;0;-3); Б) В(0;-4;0); В) С(3;1;-і); Г) Х>(0;9;1).
2. Яка з наведених точок належить координатній площині угі
А) А(0;3;1); Б) В(2;0;0); В) С(і;1;б); Г) І>(5;-3;-3).
Щоб створити ситуацію, яка допоможе учням усвідомити
необхідність вивчення зазначеної теми, вчитель може за
пропонувати для обговорення такі питання:
1. Як знайти периметр трикутника ABC, якщо його вершини ле
жать у координатній площині і мають координати: А(х1;г/1),
В (х 2-,у2), С (х3;у3)?
Для розв’язування цієї задачі треба спочатку знайти довжини
відрізків, які є сторонами трикутника ABC (або відстані між від
повідними точками), скориставшися формулою відстані між двома
точками на площині: А В = yj(x1—х2)2 + (У і-У 2)2, а потім знайти
суму довжин цих відрізків.
2. Як знайти периметр трикутника ABC, якщо його вершини ма
ють координати: А(-3;0;4), В(-2;1;і), С(3;0;4)?
Після обговоренняситуації (що змінилося, чи можнарозв’язати
задачу тим самим способом, що й попередню, тощо) вчитель форму
лює завдання: дослідити можливість визначення відстані між дво
ма точками через їхні координати в прямокутній системі коорди
нат у просторі. Учитель звертає увагу учнів на те, що ця формула
є однією з основних формул методу координат. Вивчення формули
відстані між двома точками простору, якщо відомі їх координати,
і є основною метою уроку.
IV. Актуалізація опорних знань
Колективнерозв'язування задач
1. Знайдіть відстань між двома точками, які лежать на коорди
натній прямій:
а) А (5) і В(2); б) А(-3) і В (-7);
в) А(-5) і В(б); г) A (xJ і В ( х 2).

Урок №2. Відстань між точками 15
2. Знайдіть відстань між двома точками, які лежать у координат
ній площині:
а) А(3;4) і В(-1;і); б) А(-5;2) і В (3;-4);
в) А(3;і) і В(0;-і); г) А(х1;у1) і В(х2;у2).
3. Знайдіть відстань до початку координат від точки:
а) А(5;-2); б) А(-4;3).
4. На осі Оу знайдіть точку, рівновіддалену від точок А(2;4)
і В(-1;5).
План вивчення теми
1. Формула відстані між двома точками.
2. Відстань від точки до початку координат.
3. Застосування формули відстані між двома точками.
Конспект 2
Відстань між двома точками в просторі
1. Теорема. Відстань між точками А (х1;у1;г1) і В(х2;у2;г2) обчислюють
за формулою АВ = ^(х1- х2)2+(у1-у 2)г+(г1- г 2)2.
2. Наслідок. Відстань від точки А(х;у;г) до початку координат дорівнює
АО = у[з^+у ^+^.
3. Задача. На осі Ог знайдіть точку С, рівновіддалену від точок
А(-3;2;5) і В(2;-2;4).
Розв’язання. Нехай точка С(0;0;з) рівновіддалена від точок А і В. Тоді
СА2= (-3 -0 )2+ ( 2 - О)2+ (5 -г)2= 9+4 + 25-102 + г2= 3 8 -1 0 г + г2;
СБ2= (2 -0 )2+ (-2 -0 )2+ (4 -г )2= 4 + 4 + 16-8г + г2= 2 4 -8 г + г 2.
За умовою СА = СВ, тому СА2=С В2 і 3 8 -Ю г+ г2= 2 4 -8 г + г 2, звідки
г = 7.
Відповідь. С(0;0;7)
Вивчення нового матеріалу можна розпочати із запитання:
як формулу для обчислення відстані між двома точками на
площині АВ =- х2)2+ (у1- у2)2 узагальнити на випадок
двох точок у просторі? Учні, швидше за все, здогадаються
про необхідну модифікацію останньої формули. Після цього
її виведення доцільно провести лекційним методом. Під час
доведення теореми (виведення формули) необхідно розгля

нути окремий випадок: відрізок паралельний якій-небудь
координатній площині.
Для кращого запам’ятовування формулу
2
А В = уІ(Хі ~ х 2)2+ (у 1- у 2)2 + (г 1- г 2)2
корисно записати словами: в ід ста н ь м іж двома то ч к ам и
дорівнює к вад р атн о м у кореню із суми к в а д р а т ів різниць
відповідних коорди н ат точ ок.
Можна обговорити з учнями питання: чи правильна рівність
7(*1 —Х2)2 +(Уі ~Уг)2+ (2і - г 2)2 = ^ ( х 2 - X ,)2+ (у2 - Уі)2 + (г 2 - 2г)2 ?
Як правильність цієї рівності обґрунтувати аналітично та
геометрично?
1. Чому дорівнює відстань між точками:
а) А(0;0;3) і В(0;-4;0); б) А(2;0;0) і В(-1;0;0)?
2. Знайдіть відстань від точки М^-1;2;-/її) до початку коор
динат.
1. При якому значенні х А В = А С , якщо А(х;-2;0), В(х;-3;2),
С(2;-2;2)?
2. Задано точки А (2 ;-3 ;г), В(4;1;2), С(3;-1;-і). При якому зна
ченні г виконується рівність ~ А В = А С ?
3. На осі Оу знайдіть точку, відстань від якої до точки А(-4;0;9)
удвічі більша від відстані до точки В(4;0;-2).
4. Доведіть, що точки А(0;12;17), В(9;-3;8), С(18;-18;-1) лежать
на одній прямій.
5. Доведіть, що трикутник з вершинами А(4;2;10), Б(і0;-2;8),
С(-2;0;б) рівнобедрений.
Під час розв’язування вправ на засвоєння формули для об
числення відстані між двома точками в просторі доцільно
зробити акценти на таких моментах:
'Ґ зазначена формула правильна й у випадках, якщо точка (точ
ки) лежить на координатній осі або в координатній площині;

Урок № 3. Координати середини відрізка 17
S як окремий наслідок із доведеної теореми можна розглянути
формулу відстані від заданої точки до початку координат;
S застосування вивченої формули можливо не тільки у випад
ках, коли вказано на необхідність обчислення відстані між
двома точками, але й у випадках, що передбачають обчислення
довжин відрізків для доведення певних геометричних фактів
(письмова задача № 5).
VII. Підсумки уроку
Виконанняусних вправ
1. Знайдіть відстань АВ, якщо А (-1;3;-і), В(-1;0-5).
2. Яка з точок: А(2;1;5) чи В(-2;1;б) — лежить ближче до почат
ку координат?
Вивчити формулу для обчислення відстані між двома точками
простору.
Виконати вправи
1. Знайдіть значення х , якщо відстань між точками А(х;3;-5)
і В(2;-1;0) дорівнює 5л/2.
2. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо А(7;1;-5),
В(4;-3;-4), С(і;3;-2).
3. Доведіть, що трикутник ABC правильний, якщо А(7;1;-7),
В (0;8;-7), С(0;1;0).
4. На осі Ох знайдіть точку, відстань від якої до точки -ЙГ(0;2;-1)
утричі менша від відстані до точки М(0;7;5).
Повторити формулу для обчислення координат середини від
різка на площині.
УРОК № З
КООРДИНАТИ СЕРЕДИНИ ВІДРІЗКА
Мета: домогтися засвоєння формули для знаходження коорди
нат середини відрізка, якщо відомі координати його кінців; сформу
вати вміння використовувати цю формулу для розв’язування задач.
Наочність та обладнання: конспект «Координати середини від
різка» .

Хід уроку
Перевірка наявностіта обговорення письмового домашнього за
вдання
Самостійнароботаз подальшою взаємоперевіркою
Варіант 1
1. Знайдіть довжину відрізка M N , якщо М (-2;-3;і) і ЛГ(-1;-1;3).
2. Знайдіть координати точки, яка лежить на осі Ох і рівновідда-
лена від точок А(1;3;2) і В (-2;1;4).
3. При яких значеннях х виконується рівність ЗM N = М К , якщо
М ( 1;-3;-5), iV (*;-l;-2), К ( 4;3;4)?
Варіант 2
1. Знайдіть довжину відрізка РІГ, якщо Р(-1;-2;3), К (-2 ;0 ;і).
2. Знайдіть координати точки, яка лежить на осі Оу ірівновідда-
лена від точок А(4;-1;3) і В(і;3;0).
3. При яких значеннях у виконується рівність 2M N = М К , якщо
M (-2;l;3), N (-3;y;6), К(0;5;9)?
Як і на попередньому уроці, можна скористатися аналогією
між формулами для обчислення координат середини відріз
ка на площині й у просторі, запропонувавши учням для об
говорення такі задачі:
1. Як знайти довжину медіани C M трикутника ABC, якщо
АІх^у^), В(х2',у^), С[хя;у3)?
Учні пригадують, що медіана трикутника — це відрізок, який
сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.
Отже, для того щоб обчислити довжину медіани C M трикутника
ABC, потрібно спочатку знайти координати точки М {х;у) — се
редини відрізка А В, скориставшися формулами для обчислення
Х 1 + х , у, + у,
координат середини відрізка на площині: х = —----у = —----- ----
2 2
а потім обчислити довжину відрізка C M .
2. Як знайти довжину медіани C M трикутника ABC, якщо
^ ( ^ з ’Уз’^з)^

Урок №3. Координати середини відрізка 19
За аналогією з попередньою задачею, спочатку треба знайти
координати середини відрізка А В , але в поданій задачі цей відрі
зок розміщений у просторі.
Виведення формул для знаходження координат середини від
різка у просторі — основна мета уроку.
Колективнерозв'язування задач
1. Знайдіть координату середини відрізка А В , якщо:
а) А(3), 5(7); б) А(-б), В(9); в) Л(ж1), В{х2).
2. Знайдіть координати середини відрізка АВ, якщо:
а) А (2;-3), В (-4;і); б) А (х1;у1), В(х2;у2).
3. Точка М(3;-5) — середина відрізка АВ. Знайдіть координати
точки А , якщо В(-3;і).
4. Знайдіть довжину середньої лінії трикутника АВС, яка пара
лельна стороні ВС, якщо А (1;7), В(-3;-5), С(5;-5).
1. Формули для обчислення координат середини відрізка в про
сторі.
2. Застосування формули координат середини відрізка в просторі.
Конспект З
1. Теорема. Координати (х;у;г) точки, що є серединою відрізка, обчис
люють за формулами:
* 1 + * 2 У1 +У2 % + г 2
2 ’ 2 ’ 2 ’
де (л^;у152^) і (аг2;і/2;г2) — координати кінців відрізка.
2. Задача. Знайдіть координати точки С — середини відрізка А В , якщо
А (3;4;-1), В(-1;2;-5).
Розв’язання. Оскільки АС = ВС і А (3;4;-і), В(-1;2;-5), то
х ХА + ХВ 3 + (~ 1) ! Уа + У в 4 + 2 з г г А + г в ~ 1 + (~ 5) з
0 2 2 с 2 2 ’ с 2 2
Отже, С (і;3;-3).
Відповідь. С(і;3;-3)
Як і на попередньому уроці, формули для обчислення коор
динат середини відрізка на площині необхідно узагальнити
для випадку, коли відрізок розміщений у просторі. Дове

дення теореми про формули координат середини відрізка
проводять традиційно. Залежно від рівня підготовленості
учнів виведення цих формул можна провести або у формі
фронтальної роботи, або у вигляді самостійної роботи учнів
за текстом підручника, або лекційним методом.
Для кращого запам’ятовування формули для обчислення
координат середини відрізка за відомими координатами
його кінців корисно записати словами: кож н а коорд и н ата
середини відрізка дорівнює півсумі відповідних коорди н ат
його кінців.
1. Знайдіть координати точки С — середини відрізка А В , якщо
А(0;4;-9), Б(б;-2;3).
2. Чи правильно, що середина відрізка А В належить площині
#2, якщо А(3;2;-і), Б(-3;2;і)?
3. Знайдіть координати точки С, якщо АС = В С , А(-1;2;5),
Б(-3;4;і) і точки А , В , С лежать на одній прямій.
4. А В — діаметр кола, А(-2;3;5), Б(3;2;-і). Знайдіть координа
ти центра кола.
1. Знайдіть довжину медіани А М трикутника А В С , якщо
А(2;1;3), В(2;1;5), С(0;1;і).
2. Точка С (і;3;-5) — середина відрізка А В . Знайдіть координати
точки А , якщо Б(5;0;-3).
3. Точки М(-2;3;4), ІГ(3;5;2), ЛГ(3;-5;і) — середини сторін три
кутника. Знайдіть координати вершин цього трикутника.
4. Точка А(4;3;2) є серединою відрізка М2У, точка М належить
площині х у , точка N належить осі Ог. Знайдіть координати
точок М і N .
5. Доведіть, що чотирикутник АВСХ) із вершинами А(-3;2;4),
Б(3;-2;2), С(і ;- 10;0), £>(-5;-6;2) є паралелограмом.
Майже всі задачі, що заплановані для розв’язування на уро
ці, спрямовані на засвоєння формул координат середини
відрізка і передбачають їх застосування в прямому або зво
ротному порядку. Під час розв’язування письмової задачі

Урок №3. Координати середини відрізка 21
№ 5 можна застосувати ознаку паралелограма: якщо діаго
налі чотирикутника перетинаються і точкою перетину ді
ляться навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм. Необ
хідно звернути увагу учнів натой факт, що оскільки відрізки
АС і BD мають спільну середину, то прямі АС і BD пере
тинаються, а це означає, що точки А , В, С і D лежать в од
ній площині. Крім того, оскільки за умовою ABCD — чоти
рикутник, то точки А , В, С і D не лежать на одній прямій.
Під час розв’язування аналогічної задачі в курсі планіметрії
було застосовано й інший спосіб — доводили попарну рів
ність протилежних сторін поданого чотирикутника. Але
в просторі цей спосіб неприйнятний, оскільки з рівностей
AB = CD і A D = BC не випливає, що точки А , В, С і D ле
жать в одній площині.
1. Знайдіть координати середини відрізка АВ, якщо А(-3;2;5),
5(-1;4;і).
2. Точка С — середина відрізка А В . Знайдіть координати точки
В, якщо А(3;-2;і), С (2;-3;-і).
3. Точка С —серединавідрізкаАВ, точка D —середина відрізка ВС.
Знайдіть координати точки І>,якщо А(-2;-1;2), В(4;3;б).
Вивчити формулу для знаходження координат середини від
різка.
1. Задано точки А(7;-1;3) і В(х;уш,Ь). При яких значеннях х і у
середина відрізка АВ належить осі Oz?
2. Доведіть, що середина відрізка з кінцями М{а,Ь,с) і N (p;q,-c)
лежить у площині ху.
3. Доведіть, що чотирикутник ABCD є ромбом, якщо А(б;7;8),
-В(8;2;6), С(4;3;2), Я(2;8;4).
4. Знайдіть координати вершини D паралелограма ABC D, якщо
відомі координати трьох його вершин: А(і;-1;0), В(0;1;-і),
С(-1;0;1).
Повторити перетворення фігур на площині; означення та влас
тивості руху.

УРОК № 4
ПЕРЕМІЩЕННЯ В ПРОСТОРІ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ
Мета: сформувати поняття переміщення (руху) в просторі; уза
гальнити властивості переміщення на площині для випадку перемі
щення в просторі; домогтися засвоєння властивості переміщення,
за якою переміщення переводить площину в площину; сформувати
поняття рівних фігур у просторі; сформувати вміння застосовувати
означення та властивості переміщення до розв’язування задач.
Наочність та обладнання: конспект «Переміщення в просторі та
його властивості».
Хід уроку
Виконання тестовихзавдань
Варіант 1
1. Яка з точок є серединою відрізка АВ, якщо А(-1;2;-3),
В(3;2;-1)?
А) .йГ(2;4;-4); Б) Р(і;2;-2); В) М(-1;2;2); Г) ЛГ(і;2;2).
2. Точка С(і;1;і) — середина відрізка А В . Знайдіть координати
точки В , якщо А (2;3;-і).
А) В(0;-1;3); Б) В(-1;0;3); В) В(3;0;-і); Г) В(-3;1;2).
3. У трикутнику з вершинами А(2;1;3), В (2;1;5), С(0;1;і) знай
діть довжину медіани А М .
А)1; Б) 2; В) 3; Г) 4.
Варіант 2
1. Яка з точок є серединою відрізка АВ, якщо А(-2;4;-3),
В(4;-2;5)?
А)Г(-2;2;2); Б) (?(-1;1;-і); В) Ь(1;1;і); Г) і?(2;-2;і).
2. Точка М(-2;1;4) — середина відрізка К Ь . Знайдіть координа
ти точки К , якщо 2;3;-2).
А) К (-2 ;-1 ;5 ); Б) А:(-6;1;10); В) і5Г(-6;-1;10); Г) К ( 2;1;-5).

Урок № 4. Переміщення в просторі та його властивості 23
3. У трикутнику з вершинами М(-1;2;0), іГ(0;3;—і), Р(2;1;-3)
знайдіть довжину медіани М К .
А)4; Б) 3; В) 2л/2; Г) л/б .
Тема «Перетворення фігур» стоїть окремо в курсі геометрії,
тому з метою усвідомлення значення цього розділу в сис
темі геометричних знань учитель може провести з учнями
бесіду, під час якої нагадає, що предметом вивчення геоме
трії є геометричні фігури та їх властивості, відношення між
геометричними фігурами. До відомих учням відношень між
фігурами належать паралельність прямих, паралельність
площин, рівність фігур на площині. Крім відношень між фі
гурами, учням відоме ще одне поняття сучасної геометрії —
перетворення фігур на площині. Отже, предметом вивчення
розділу є перетворення фігур у просторі, а метою уроку —
узагальнення знань учнів про переміщення фігур на площині
для випадку переміщення в просторі, вивчення нової власти
вості переміщення, яку воно має тільки в просторі.
IV. Актуалізація опорних знань і вмінь
Повторення поняття перетворення фігур і переміщення на площині
1. Що називають перетворенням фігур на площині?
2. Яке перетворення фігур на площині називають переміщенням?
3. Чи правильно, що:
а) два переміщення, виконані послідовно, задають переміщення;
б) перетворення, обернене до переміщення, також є перемі
щенням?
4. У які геометричні фігури під час переміщення переходять точ
ки, що лежать на одній прямій? Чи зберігається порядок їх
взаємного розташування?
5. У які геометричні фігури переходять під час переміщення:
а) прямі; б) промені; в) відрізки?
6. Чи правильно, що під час переміщення зберігаються кути між
променями?
1. Під час переміщення квадрат ABCD переходить у геометрич
ну фігуру M N K P . Чи може M N K P бути:
а) трикутником; б) квадратом; в) прямокутником;
г) ромбом; д) паралелограмом?

2. У яку фігуру під час переміщення переходить ромб? Відповідь
обґрунтуйте.
3. Знайдіть площу геометричної фігури, у яку під час переміщен
ня переходить круг радіуса 5 см.
4. Під час переміщення чотирикутника АВСХ> дістали квадрат
А1В 1С1В 1. Обчисліть довжину діагоналі В В , якщо А1С1 =7 см.
5. Під час переміщення прямокутний трикутник А В С перехо
дить у трикутник А1В1С1. Чи може який-небудь із кутів три
кутника А1В 1С1 бути тупим?
Оскільки переміщення в просторі означають так само, як і на
площині, і всі властивості переміщення, що відомі з курсу
планіметрії, зберігаються, то етап актуалізації знань і вмінь
учнів має вирішальне значення. Запитання, запропоновані
для фронтальної роботи, призначені для відтворення озна
чення перетворення фігур на площині, переміщення на пло
щині та йоговластивостей. Вправи для усноїроботи сприяють
актуалізації вміння застосовувати означення та властивості
переміщення до розв’язування задач. У разі необхідності під
час проведення актуалізації опорних знань і вмінь можна ви
користовувати фрагменти конспекту 4.
1. Означення переміщення в просторі.
2. Властивості переміщення в просторі.
3. Означення рівних фігур у просторі.
Конспект 4
Переміщення в просторі та його властивості
1. Переміщенням (рухом) у просторі називають геометричне перетворен
ня, яке зберігає відстані між точками.
2. Властивості переміщення:
• під час переміщення точки, що лежать на прямій, переходять у точки,
що лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення;
• під час переміщення прямі переходять у прямі, промені — у промені,
відрізки — у відрізки, площини — у площини;
• під час переміщення зберігаються кути між променями.
3. Дві фігури в просторі називають рівними, якщо вони суміщаються
переміщенням

Урок № 4. Переміщення в просторі та його властивості 25
Властивості переміщення, у яких йдеться про те, що пря
мі переходять у прямі, півпрямі — у півпрямі, відрізки —
у відрізки і зберігаються кути між променями, доводять до
слівно так само, як і для переміщення на площині. Новою
властивістю переміщення в просторі є те, що переміщення
переводить площину в площину. Залежно від рівня підго
товленості учнів доведення можна провести лекційним ме
тодом або запропонувати учням виконати його самостійно
за текстом підручника.
VI.Формування вмінь
Виконанняусних вправ
1. Чи існує переміщення, яке переводить:
а) сторону паралелограма в протилежну сторону;
б) одну зі сторін трапеції в іншу;
в) один із кутів трикутника в інший;
г) одну із граней куба в іншу?
2. Точка С ділить відрізок АВ у відношенні 2:3. Унаслідок пе
реміщення відрізок АВ і точка С переходять у відрізок А1В1
і точку Сг відповідно. Знайдіть довжину відрізка С1В1, якщо
АВ = 10 см.
3. Трикутник А1В1С1 є образом прямокутного рівнобедреного
трикутника АВС, здобутим у результаті переміщення. Чому
дорівнюють кути трикутника А1В1С1?
1. Під час переміщення прямокутний трикутник АВС [АС = 90°)
переходить у трикутник А1В1С1. Знайдіть довжину сторони
А1В1, якщо АС = 12 см, ВС = 5 см.
2. Чотирикутник М Н К Р — образ паралелограма А В С Б , здобу
тий у результаті переміщення. Обчисліть кути чотирикутника
М И К Р , якщо кут А удвічі більший від кута В.
3. Обчисліть об’єм геометричного тіла, здобутого в результаті пе
реміщення куба, ребро якого дорівнює 5 см.
4. Діагоналі квадрата АВСБ перетинаються в точці О. Відрізок
М О довжиною 4 см перпендикулярний до площини поданого
квадрата. Унаслідок переміщення відрізок М О і площина ква
драта АВСБ переходять відповідно у відрізок М101 і площину
квадрата А1В1С1Д (Ог — точка перетину діагоналей квадрата
А1В1С1£)1). Знайдіть відстань від точки М1 до сторони квадрата
А ^ С ^ , якщо АВ = 6 см.

Вправи, що заплановані для розв’язування на уроці, спри
яють засвоєнню означення та властивостей переміщення.
Усі запропоновані задачі передбачають формування та за
своєння учнями вмінь проводити стандартні міркування за
схемою: оскільки подане перетворення є переміщенням, то
за властивістю... (якою самою)... (висновок щодо співвідно
шень між елементами фігури, що розглядаються в задачі).
Контрольнізапитання
1. Чи існує переміщення, яке переводить рівнобедрений трикут
ник у рівносторонній? Відповідь обґрунтуйте.
2. Чи існує переміщення, яке переводить відрізок АВ, де
А(-3;2;і), В(-1;1;0), у відрізок C D ,де C(-2;0;-l), Z>(-3;-l;-2)?
Відповідь обґрунтуйте.
Вивчити означення та властивості переміщення у просторі.
1. У трикутнику ABC Z A = 30°, ВС = 6 см. Трикутник M N K —
образ трикутника ABC, здобутий у результаті переміщення.
Чому дорівнює радіус кола, описаного навколо трикутника
M N K ?
2. У ромбі ABCD Z A = 36°. Знайдіть кут між меншою діагонал
лю та стороною ромба, здобутого в результаті переміщення
ромба A B CD.
3. Площа бічної поверхні куба дорівнює 216 см2. Знайдіть біч
не ребро куба, здобутого в результаті переміщення поданого
куба.
4. Пряма CD перпендикулярна до площини гострокутного три
кутника ABC, С К — його висота. Унаслідок переміщення
пряма CD, площина трикутника ABC і відрізок С К перехо
дять відповідно в пряму C1D1, площину трикутника А1В1С1
і відрізок С1К 1. Обґрунтуйте взаємне розміщення прямих D1K 1
і АЛВ1.
Повторити означення та властивості симетрії відносно точки та
відносно прямої.

Урок № 5. Симетрія в просторі 27
УРОК № 5
СИМЕТРІЯ В ПРОСТОРІ
Мета: сформувати поняття точок простору, симетричних відносно:
'ґ точки;
'ґ прямої;
'ґ площини.
Сформувати поняття геометричних фігур, симетричних віднос
но площини; домогтися засвоєння основних властивостей симетрії
в просторі; сформувати вміння розв’язувати задачі, що передбача
ють використання означення та властивостей симетрії в просторі.
Наочність та обладнання: конспект «Симетрія в просторі».
Хід уроку
Оскільки письмові вправи домашньої роботи аналогічні за
дачам, розглянутим на попередньому уроці, то можна перевірити
лише наявність домашнього завдання та правильність виконання
обчислень; у разі необхідності, відповісти на запитання учнів, що
виникли під час виконання домашньої роботи.
З метою оперативної перевірки засвоєння знань і вмінь учнів
можна провести математичний диктант.
Математичний диктант
1. У яку фігуру переходить унаслідок переміщення двогранний
кут?
2. У яку фігуру внаслідок переміщення переходить площина?
3. Чи існує переміщення, яке переводить пряму в промінь?
4. А М — медіана трикутника А В С . У результаті переміщення
точки А , В , С і М переходять у точки А1, Д , С1 і М1 відпо
відно. Чому дорівнює відношення В 1М 1 :М1С1?
5. АР — висота трикутника А В С . У результаті переміщення
точки А, В , С і Р переходять у точки А1, В1, Сх і відповід
но. Яке взаємне розміщення прямих А1Р1 і В 1С1?
6. АР — бісектриса рівнобедреного трикутника А В С , у якого
/ .В = /.С = 40°. У результаті переміщення точки А, В , С і Р
переходять у точки А1, Вг, С1 і Рг відповідно. Чому дорівнює
величина кута В1А1Р1Ч

На цьому етапі уроку вчителеві доречно нагадати учням про
те, що їм відоме поняття симетрії відносно точки та відносно
прямої на площині. Але існує багато прикладів просторової
симетрії. В основі будови живих форм лежить принцип си
метрії, причому природа використовує різні види симетрії
майже з математичною строгістю (листя дерев, квіти, тва
рини). Неможливо уявити архітектурні споруди без вико
ристання симетрії у просторі. Довершену симетричну фор
му мають різноманітні кристали. Таких прикладів можна
наводити безліч. Отже, метою уроку є вивчення симетрії
в просторі та її властивостей.
1. Які точки називають симетричними відносно точки?
2. Які точки називають симетричними відносно прямої?
3. Чи правильно, що перетворення симетрії відносно точки та від
носно прямої є рухом?
4. Наведіть приклади геометричних фігур, які мають:
а) центр симетрії; б) вісь симетрії.
5. Скільки осей симетрії має:
а) коло; б) квадрат; в) рівнобічна трапеція?
6. Чи має осі симетрії:
а) різносторонній трикутник; б) рівнобедрений трикутник;
в) рівносторонній трикутник? Якщо так, то скільки?
1. Укажіть координати точки, симетричної точці А (—3;2) віднос
но початку координат.
2. Знайдіть центр симетрії відрізка АВ,якщо А(4;-б), -В(-2;0).
3. Укажіть координати точки, симетричної точці М { - 5;3) від
носно осі абсцис.
4. Укажіть координати точки, симетричної точці .ЙГ(3;-1) віднос
но осі ординат.
1. Означення точок простору, симетричних відносно:
а) точки; б) прямої; в) площини.
2. Означення перетворення симетрії відносно площини (дзеркаль
ної симетрії).

3. Означення фігури, симетричної відносно площини.
4. Основна властивість дзеркальної симетрії (теорема).
Конспект 5
Симетрія в просторі
1. Точки А1 і А2 називають симетричними відносно точки О , якщо
точка О — середина відрізка А1А2.
Перетворення, за якого кожна точка поданої фігури відображається
у точку, симетричну їй відносно точки О , називають симетрією відносно
точки, або центральною симетрією.
Якщо симетрія відносно деякої точки О відображає фігуру на ту ж саму
фігуру, то таку фігуру називають симетричною відносно точки О , або
центрально-симетричною, а саму точку О — центром симетрії фігури.
2. Точки А1 і А% називають симетричними відносно прямої І, якщо
пряма І проходить через середину відрізка А1А2 і перпендикулярна до
нього.
у точку, симетричну їй відносно заданої прямої, називають симетрією
відносно прямої, або осьовою симетрією.
Якщо симетрія відносно деякої прямої І відображає фігуру на ту ж саму
фігуру, то таку фігуру називають симетричною відносно прямої І ,
а саму пряму І — віссю симетрії.
3. Точки А1 і А^ називають симетричними відносно площини а , якщо
ця площина перпендикулярна до відрізка А1Аг і ділить його навпіл.
у точку, симетричну їй відносно площини а , називають симетрією
відносно площини, або дзеркальною симетрією.
Якщо симетрія відносно деякої площини а відображає фігуру на ту ж
саму фігуру, то таку фігуру називають симетричною відносно площини
а ,а саму площину а — площиною симетрії.
Основна властивість симетрії відносно площини (теорема):
Симетрія відносно площини є переміщенням
Перетворення симетрії відносно точки і відносно прямої
у просторі означають так само, як і на площині. Тому, за
лежно від рівня підготовленості учнів, ці пункти плану
можна запропонувати учням опрацювати самостійно за під
ручником або провести їх вивчення у формі фронтальної бе
сіди. Основну увагу слід приділити новому поняттю — симе
трії відносно площини. Після введення поняття дзеркальної

зо Тема 7. Координати та вектори у просторі
симетрії потрібно довести, що дзеркальна симетрія є пере
міщенням. Для доведення зручніше за все скористатися ме
тодом координат. Але перед цим доцільно обговорити з учня
ми питання про те, які координати мають точки, симетричні
точці А(х;у;г) відносно початку координат, координатних
осей, координатних площин. Для цього можна запропону
вати учням у ході вивчення нового матеріалу заповнювати
таблицю:
Координати точки, симетричної точці А[х;у;г) відносно:
початку
координат
площи
ни ху
площи
ни хг
площи
ни уг
осі Ох осі Оу осі Ог
(-х;-у ;-г) (х;у;-г) (х;-у;г) (~х;у;г) (х;-у;-г) {-ху;-г)
'І'Г
Ьь
1
н
1. Чи симетричні будь-які дві точки простору відносно деякої тре
тьої точки?
2. Скільки центрів симетрії має:
а) пряма; б) відрізок; в) коло; г) площина; д) куб?
3. Скільки осей симетрії має:
4. Скільки площин симетрії має:
5. Відомо, що довжина відрізка А В дорівнює 5 см. Чому дорів
нює довжина відрізка А1В 1, симетричного відрізку А В віднос
но ПЛОЩИНИ Х 2 ? Відповідь обґрунтуйте.
Виконання графічнихвправ
Задано куб А В С 0А 1В 1С10 1. Побудуйте геометричне тіло, симе
тричне заданому кубу відносно:
а) вершини А ; б) прямої СС1; в) площини А1В1СІ .
1. Знайдіть координати точки, симетричної точці А (—2;3;-5) від
носно:
а) початку координат; б) осі Ог; в) площини ху.
2. У яку точку перейде середина відрізка А В за симетрії відносно
площини х г, якщо А(4;2;10), В(-2;0;б)?

3. Точки А (2;-4;б) і В(-4;-2;0) симетричні відносно точки С.
Знайдіть координати точки С .
4. Знайдіть координати точки А, симетричної точці В(-3;2;-і)
відносно точки С(4;-2;5).
5. Знайдіть координати точки, у яку перейде точка А(2;-3;і),
якщо її спочатку симетрично відображено відносно точки
В [4;-1;5), а потім відносно прямої Ох.
Вправи, що заплановані для виконання на уроці, спрямова
ні на засвоєння учнями означень нових понять та їх власти
востей, формування вмінь проводити аргументовані мірку
вання з їх використанням. Крім того, виконання усних та
графічних вправ сприяє розвитку просторової уяви учнів,
а виконання письмових вправ — повторенню вивчених ра
ніше формул координат середин відрізка.
Фронтальна робота
Задано куб ABCDA1B1C1D1. Укажіть його:
а) центр симетрії; б) осі симетрії; в) площини симетрії.
Засвоїти поняття симетрії в просторі.
1. Знайдіть координати точки, симетричної точці А(і;8;-5) від
носно:
а) осі Оу ; б) площини х г .
2. Знайдіть координати середини відрізка CD, симетричного від
різку АВ відносно прямої Ох, якщо А (2;-7;і), В(4;-1;3).
3. Знайдіть координати точки, у яку перейде точка А(-4;3;-2),
якщо її спочатку симетрично відображено відносно площини
хг, а потім відносно точки В(-3;1;4).
4. Побудуйте прямокутний паралелепіпед ABCDAiB1C1D1. Побу
дуйте геометричне тіло, симетричне цьому паралелепіпеду від
носно:
а) точки Dx; б) прямої АА1;
в) площини A B C .
Повторити означення та властивості паралельного перенесен
ня на площині.

УРОК № б
ПАРАЛЕЛЬНЕ ПЕРЕНЕСЕННЯ В ПРОСТОРІ
Мета: сформувати поняття паралельного перенесення в про
сторі, домогтися засвоєння його властивостей; сформувати вміння
розв’язувати задачі на використання означення та властивостей
паралельного перенесення в просторі.
Наочність та обладнання: конспект «Паралельне перенесення
в просторі».
Хід уроку
Враховуючи, що на попередньому уроці розглядалося багато
понять, перевірку домашнього завдання доцільно розпочати з тео
ретичного математичного диктанту.
Математичний диктант
Закінчіть речення.
1. Точки А1 і називають симетричними відносно точки О,
якщо...
2. Центральна симетрія — це...
3. Точки А1 і називають симетричними відносно прямої І,
якщо...
4. Осьова симетрія — це...
5. Точки А1 і А^ називають симетричними відносно площини ос,
якщо...
6. Дзеркальна симетрія — це...
Оскільки вправи для домашнього завдання були аналогічні
тим, що виконувалися на попередньому уроці, то можна, у разі
необхідності, відповісти на запитання учнів, що виникли під час
виконання домашньої роботи і зібрати зошити для перевірки наяв
ності та правильності виконання завдань.
На цьому етапі уроку вчитель пропонує учням зіставити види
переміщень на площині, які їм відомі з попередніх класів, та
у просторі, з якими вони ознайомилися протягом останніх
уроків, і пригадати, які види переміщень на площині ще не
розглянуті. Враховуючи, що на попередньому уроці було

Урок № 6. Паралельне перенесення в просторі 33
задано повторити означення та властивості паралельного
перенесення на площині, учні з легкістю знайдуть відповідь
на це запитання. Отже, мета уроку — вивчення означення та
властивостей паралельного перенесення в просторі.
1. Які промені називають:
а) однаково напрямленими; б) протилежно напрямленими?
2. Сформулюйте означення паралельного перенесення на площині.
3. Сформулюйте властивості паралельного перенесення на пло
щині.
4. Запишіть формули, які задають у прямокутній системі коорди
нат паралельне перенесення точки А (х;у ) у точку А1{х1;у1).
1. Означення паралельного перенесення в просторі.
2. Властивості паралельного перенесення в просторі.
3. Формули для задання паралельного перенесення в прямокут
ній системі координат.
Конспект 6
Паралельне перенесення в просторі
1. Паралельним перенесенням фігури Р у напрямку променя ОА на
відстань а називають перетворення фігури Е у фігуру , за якого
кожна точка X фігури .Р переходить у точку Х 1 фігури ^ так, що
промені ОА і Х Х г співнапрямлені і Х Х 1= а .
2. Властивості паралельного перенесення
Теорема. Паралельне переміщення в просторі є переміщенням.
Наслідок 1. У результаті паралельного перенесення кожна пряма пере
ходить у паралельну їй пряму (або в себе), відрізок — у рівний йому
відрізок, кут — у рівний йому кут.
Наслідок 2. У результаті паралельного перенесення площина переходить
у паралельну їй площину (або в себе).
3. За умови введення прямокутної системи координат паралельне
перенесення, яке переводить точку М (х;у;г) у точку М1(лс1;і/1;21),
можна задати формулами:
х1= х + а , у1= у+Ь, гх= г + с,
де а , Ь і с — деякі числа, однакові для всіх точок простору

Оскільки означення та основні властивості паралельного
перенесення в просторі майже не відрізняються від означен
ня та основних властивостей паралельного перенесення на
площині, то викладення нового матеріалу можна побудува
ти за такою ж схемою, як і на попередньому уроці. Новою
і такою, що потребує доведення, є властивість паралельного
перенесення, за якою площина переходить у паралельну їй
площину або в себе. Доведення цієї властивості можна про
вести лекційним способом або запропонувати учням зробити
це самостійно, використовуючи текст підручника або план
доведення, наданий учителем.
VI.Формування вмінь
1. Чи можна в результаті якого-небудь паралельного перенесення
куба дістати прямокутний паралелепіпед? Відповідь обґрун
туйте.
2. Задано паралельне перенесення, у результаті якого вершина В
куба АВСБА1В1С10 1 переходить у вершину В1. Чи правильно,
що в результаті цього паралельного перенесення:
а) грань ВВ1С1С переходить у грань А А ^ І);
б) грань АВСБ переходить у грань А1В1С1Б1;
в) грань А1В1С1Б1 переходить у грань АВСБ ?
3. Чи існує паралельне перенесення, у результаті якого одна грань
піраміди переходить в іншу грань цієї ж піраміди?
Виконання графічнихвправ
Задано куб АВСОА1В1С1В1. Виконайте паралельне перенесення
цього куба так, щоб:
а) точка Б перейшла у точку Д ;
б) точка А перейшла у точку Сг.
1. Паралельне перенесення задано формулами:
хг= х - 3 , у1= у + 3, г ^ = г -1 .
У яку точку в результаті цього паралельного перенесення пере
ходить точка А(3;2;і)?
2. У результаті паралельного перенесення точка А(-3;2;5) пере
ходить у точку А1(і;-2;3). Задайте формули цього паралельно
го перенесення.

Урок № 6. Паралельне перенесення в просторі 35
3. Під час паралельного перенесення точка А(3;4;5) переходить
у точку В(-2;6;-3). У яку точку під час цього паралельного пе
ренесення перейде точка:
а) М ( 1;-1;1); б) ЛГ(-3;2;8); в) .й:(5;-2;0)?
4. У результаті паралельного перенесення точка А(-2;1;0) пере
ходить у точку А1(і;—3;0). У яку точку перейде точка £>(0;-5;б)
під час послідовного виконання паралельного перенесення, яке
задають точки А і А1, та симетрії відносно осі абсцис?
5. Доведіть, що чотирикутник АВС2), вершини якого знаходять
ся в точках А(3;-1;-2), В ( - 5;7;4), С(1;5;2), І)(9;-3;-4), є пара
лелограмом.
Виконання вправ спрямоване на засвоєння учнями означен
ня та властивостей паралельного перенесення в просторі. Ме
тою розв’язування задач є також формування вмінь застосо
вувати відповідні твердження для обґрунтування міркувань,
розвиток просторової уяви. Необхідно приділяти увагу фор
муванню вмінь розв’язувати як стандартні задачі на застосу
вання формул паралельного перенесення в прямокутній сис
темі координат (письмові задачі № 1-4), так і нестандартні
(письмова задача № 5). Слід звернути увагу учнів на те, що
задачу, аналогічну письмовій задачі № 5, розв’язано під час
вивчення теми «Координати середини відрізка» (урок № 3).
Тепер цю задачу можна розв’язати іншим способом, викорис
товуючи формули паралельного перенесення. Для цього тре
ба показати, що паралельне перенесення, яке переводить точ
ку В в точку А , переводить точку С у точку і). Дійсно,
підставивши в загальні формули паралельного перенесення
координати точок А і В , дістанемо:
3 = -5 + а, а = 8; -1 = 7+ Ь, Ь= - 8; -2 = 4 + с, с = - 6.
Тоді формули цього перенесення мають вигляд:
х 1= х + 8 , у1= у - 8 , г1 = г - 6.
Підставивши в здобуті формули координати точок X) і С,
дістанемо правильні рівності. Отже, за властивістю пара
лельного перенесення в чотирикутнику АВСХ> дві сторони
паралельні й рівні, тобто АВСХ) — паралелограм.
VII.Підсумки уроку
Контрольнізапитання
1. Сформулюйте означення паралельного перенесення в просторі.

2. Чи буде паралельним перенесенням два паралельних перене
сення, виконаних послідовно?
3. Чи буде паралельним перенесенням перетворення, обернене до
паралельного перенесення?
Вивчити означення та властивості паралельного перенесення
в просторі.
1. Паралельнеперенесеннязаданоформулами: хг= х + 2, у1= у + 3 ,
Zj = г + 4. Точка А в результаті цього паралельного перенесення
переходить у точку Al(4;-3;2). Знайдіть координати точки А .
2. У результаті паралельного перенесення точка А(-4;5;і) пере
ходить у точку А1(—3;5;0). У яку точку під час цього перенесен
ня перейде початок координат?
3. Вершини трикутника ABC знаходяться в точках А(7;1;-5),
В(4;-3;-4), С(і;3;-2). У яку точку перейде середина К сторо
ни А В у результаті паралельного перенесення, яке вершину С
переводить у точку Сі(-4;2;5)?
4. Побудуйте геометричну тіло, у яке перейде куб ABCDA1BlC1D1
у результаті паралельного перенесення, що переводить точку
В у точку А1.
УРОК № 7
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ
Мета: працювати над засвоєнням учнями змісту понять пря
мокутної системи координат у просторі, основних формул коорди
натного методу, означення симетрії та паралельного перенесення
в просторі та їх властивостей.
Сформувати вміння та навички використовувати вивчені твер
дження для розв’язування задач.
Типуроку: застосування знань, умінь та навичок.
Наочність та обладнання: конспекти 1-6.
Хід уроку
І. Організаційний етап

11 геом бабенко_пособ_академ_2011_укр

11 геом бабенко_пособ_академ_2011_укр

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 11 геом бабенко_пособ_академ_2011_укр

Similar to 11 геом бабенко_пособ_академ_2011_укр (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (14)

11 геом бабенко_пособ_академ_2011_укр