Dokumen tersebut membahas tentang interpolasi polinom Newton dan Lagrange. Interpolasi polinom digunakan untuk menentukan fungsi yang melalui sejumlah titik data, dengan cara membentuk polinom yang melalui semua titik tersebut. Dokumen tersebut menjelaskan cara kerja interpolasi polinom Newton dan Lagrange beserta contoh penerapannya.

1. 3 Interpolasi Polinom
Pencarian data titik - titik dalam suatu koordinat kartesius akan mudah dilakukan apabila
kita telah memiliki bentuk aturan fungsinya. Sebagai contoh, jika aturan fungsinya adalah
f(x) = x2
+ 1, maka titik - titik yang berada pada koordinat kartesius adalah titik - titik
yang memenuhi aturan (x, f(x)), sebagai contoh adalah (−1, 2), (0, 1), (1, 2), dan seterus-
nya. Kita dapat pula menentukan ordinat bagi absis x = 10 dengan mensubstitusikan
titik tersebut ke dalam fungsi. Sebaliknya, jika diberikan sekumpulan berhingga pasan-
gan titik - titik (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) tanpa diketahui bentuk aturan fungsinya,
bagaimana menentukan pasangan titik xn+1, yn+1 dan seterusnya? Interpolasi polinom
adalah salah satu caranya. Ada dua jenis interpolasi yang akan dibahas di sini, yaitu
interpolasi polinom Newton dan interpolasi Lagrange.
3.1 Interpolasi Polinom Newton
Misalkan terdapat pasangan dua buah titik (x0, f(x0)) dan (x1, f(x1)), maka secara seder-
hana dari kedua titik tersebut dapat dibentuk sebuah garis dengan persamaan
f(x) − f(x0)
f(x1) − f(x0)
=
x − x0
x1 − x0
atau dapat ditulis sebagai berikut
f(x) = f(x0) +
f(x1) − f(x0)
x1 − x0
(x − x0) (7)
Ini adalah rumus interpolasi linear.
Contoh: Tentukan interpolasi linear jika diberikan data sebagai berikut
x 1.4 1.25
y 3.7 3.9
Solusi: Gunakan persamaan (7) untuk memperoleh
p (x) = 3.7 +
3.9 − 3.7
1.25 − 1.4
(x − 1.4)
= 3.7 −
4
3
(x − 1.4)
Dari sini dapat dihitung nilai y apabila x = 1.3, yaitu
p (1.3) = 3.7 −
4
3
(1.3 − 1.4)
= 3.8333333
Dapat dilihat bahwa polinom yang terbentuk oleh dua buah titik ini berderajat satu.
Persamaan (7) dapat ditulis sebagai
f(x) = f(x0) + c(x − x0) dengan c =
f(x1) − f(x0)
x1 − x0
12

2. Nilai c diperoleh dari data. Lebih lanjut, jika terdapat 3 pasangan titik, secara intuisi
fungsi yang terbentuk tidak lagi berbentuk garis. Bentuk ini akan diperumum untuk dera-
jat yang lebih tinggi sehingga untuk data sebanyak 3 pasangan titik (x0, f(x0)), (x1, f(x1))
dan (x2, f(x2)) polinomnya akan berbentuk
f(x) = b0 + b1(x − x0) + b2(x − x0)(x − x1) (8)
Akan tetapi seperti apakah b0, b1 dan b2? Perhatikan bahwa f(x) melalui titik - titik
(x1, f(x1)), (x2, f(x2)), (x3, f(x3)). Substitusikan nilai - nilai ini ke persamaan (8) sebagai
berikut
f(x0) = b0 + b1(x0 − x0) + b2(x0 − x0)(x0 − x1) = b0
→ b0 = f(x0)
f(x1) = f(x0) + b1(x1 − x0) + b2(x1 − x0)(x1 − x0) = f(x0) + b1(x1 − x0)
→ b1 =
f(x1) − f(x0)
x1 − x0
f(x2) = f(x0) +
f(x1) − f(x0)
x1 − x0
(x2 − x0) + b2(x2 − x0)(x2 − x1)
→ b2 =
f(x2)−f(x0)
x2−x0
− f(x1)−f(x0)
x1−x0
x2 − x1
Untuk kemudahan komputasi, bentuk b2 di atas diubah menjadi bentuk ekivalennya (tun-
jukkan caranya!)
b2 =
f(x2)−f(x1)
x2−x1
− f(x1)−f(x0)
x1−x0
x2 − x0
Pembilang pada b2 ini adalah pengurangan antara bentuk - bentuk beda terbagi derajat
pertama. Selanjutnya akan diperkenalkan definisi beda terbagi untuk mempermudah
penulisan dalam interpolasi Newton ini.
Definisi: Beda terbagi untuk fungsi f(x) didefinisikan sebagai berikut.
f[xk] = f(xk)
f[xk−1, xk] =
f[xk−1] − f[xk]
xk − xk−1
f[xk−2, xk−1, xk] =
f[xk−1, xk] − f[xk−2, xk−1]
xk − xk−2
f[xk−3, xk−2, xk−1, xk] =
f[xk−2, xk1 , xk] − f[xk−3, xk−2, xk−1]
xk − xk−3
...
f[xk−j, xk−j+1, . . . , xk] =
f[xk−j+1...,xk
] − f[xk−j, . . . , xk−1]
xk − xk−j
Koefisien - koefisien bk dalam interpolasi polinom Newton dapat ditulis sebagai
bk = f[x0, x1, . . . , xk]
13

3. Dalam perhitungan, akan lebih mudah jika kita mengkonstruksi tabel beda terbagi ter-
lebih dahulu sebagai berikut.
x f [ ] f [ , ] f [ , , ] f [ , , , ]
x0 f [x0]
f [x0, x1]
x1 f [x1] f [x0, x1, x2]
f [x1, x2] f [x0, x1, x2, x3]
x2 f [x2] f [x1, x2, x3]
f [x2, x3]
x3 f [x3]
Contoh: Konstruksilah diagram beda terbagi dari fungsi f yang tabelnya diberikan
berikut ini
x 1 3/2 0 2
f (x) 3 13/4 3 5/3
Kemudian tulislah interpolasi polinom Newton dari fungsi f tersebut.
Solusi: Tabel beda terbagi dari fungsi f diberikan sebagai berikut
x f [ ] f [ , ] f [ , , ] f [ , , , ]
1 3
1/2
3/2 13/4 1/3
1/6 −2
0 3 −5/3
−2/3
2 5/3
Jadi,
p3 (x) = 3 +
1
2
(x − 1) +
1
3
(x − 1)
�
x −
3
2
�
− 2 (x − 1)
�
x −
3
2
�
x
3.2 Interpolasi Polinom Lagrange
Perhatikan lagi persamaan (7). Bentuk tersebut dapat diubah menjadi berikut
f(x) = f(x0) +
f(x1) − f(x0)
x1 − x0
(x − x0) → P1(x) = y0
x − x1
x0 − x1
� �� �
L1,0
+y1
x − x0
x1 − x0
� �� �
L1,1
(9)
Bentuk linear ini diperumum untuk n buah titik sebagai berikut
Pn(x) =
n�
k=0
Ln,k(x)yk
Ln,k(x) =
(x − x0) . . . (x − xk−1)(x − xk+1) . . . (x − xn)
(xk − x0) . . . (x − xk−1)(x − xk+1) . . . (x − xn)
(10)
Contoh: Tuliskan interpolasi polinom Lagrange apabila diberikan data sebagai berikut
x 1
3
1
4
1
f (x) 2 −1 7
14

4. Solusi: Gunakan persamaan ( 10) untuk memperoleh
L2,0 (x) =
�
x − 1
4
�
(x − 1)
�1
3
− 1
4
� �1
3
− 1
� = −18
�
x −
1
4
�
(x − 1)
L2,1 (x) =
�
x − 1
3
�
(x − 1)
�1
4
− 1
3
� �1
4
− 1
� = 16
�
x −
1
3
�
(x − 1)
L2,2 (x) =
�
x − 1
3
� �
x − 1
4
�
�
1 − 1
3
� �
1 − 1
4
� = 2
�
x −
1
3
� �
x −
1
4
�
Jadi, diperoleh polinom Lagrange sebagai berikut
P2 (x) = −36
�
x −
1
4
�
(x − 1) − 16
�
x −
1
3
�
(x − 1) + 14
�
x −
1
3
� �
x −
1
4
�
Tugas Mandiri Gunakan Interpolasi Newton dan Lagrange untuk mencari solusi dari
tiap permasalahan berikut
1. Tentukan aproksimasi polinom yang menginterpolasi data berikut
x 1.2 2.1 3.0 3.6
y 0.7 8.1 27.7 45.1
2. Tentukan polinom berderajat dua yang menginterpolasi data - data berikut
x 0.2 0.4 0.6
y -0.95 -0.82 -0.65
3. Tentukan polinom yang menginterpolasi tabel
x 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
f(x) 14.5 19.5 30.5 53.5 94.5 159.5
Gunakan polinom hasil interpolasi tersebut untuk menghitung f(4.5)! Bandingkan
dengan nilai eksak f(4.5) = 71.375.
4. Tentukan polinom yang menginterpolasi fungsi f(x) = cos x pada titik - titik�
0,
1
3
,
2
3
, 1
�
5. Tentukan polinom yang menginterpolasi f(x) = 2x2
− x + 2 pada x = 0, 1, 2, 3.
Berapakah derajat polinom tersebut?
6. Untuk menyeldiki hubungan antar hasil panen kentang, y dengan tingkat pem-
berian pupuk, x, seorang peneliti membagi suatu ladang menjadi 5 baian yang
sama dan mengaplikasikan sejumlah pupuk dengan kuantitas yang berbeda pada
setiap bagian. Datanya diberikan sebagai berikut (dalam pon).
x 1 2 3 4 5
y 22 23 25 30 28
(a) Tentukan interpolasi polinomnya
(b) Gunakan (a) untuk menghitung hasil panen yang diharapkan dari suatu bagian
dimana pupuk diberikan sebesar 2.5 pon.
15