Download to read offline
![С—31
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию
f ( x ) = ± - x — x3.
С -3 2
1. Исследуйте квадратичную функцию у — З а
стройте ее график.
2. Решите неравенство:
Юлг-ЬЗ и по-
а) х2— 17л:— 1 8 ^ 0 ; б) 9л:2— 12х + 4 > 0 .
С -3 3
Исследуйте функцию
г / 2х—3 1
f M - 2 + х 1
и постройте ее график.
С—34
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
II
1
00
Xю
на отрезке [— 1; 2].
2. Разбейте число 10 на два неотрицательных слагаемых так,
чтобы сумма квадратов этих слагаемых была наименьшей.
С -3 5
1. Проверьте, является ли функция у — s i n решением диф
ференциального уравнения у" = — —•у.
2. Напишите дифференциальное уравнение гармонического
колебания у — 2 cos (х —л). Чему равны амплитуда, частота и на
чальная фаза этого колебания?
12](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-14-320.jpg)
![Найдите производную функции: а) 2x6+ 20y*; б) x c tg * ;
в) tg у -; г) cos х2', д) у —-р-.
С -4 0
С - 4 1
1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ
ции / (*)=cos (лг+ З) в точке с абсциссой х — — 3.
2. Вычислите приближенно:
а) 1,000000730°; б) sin ^ , считая я «3,1416.
С— 42
1. Исследуйте функцию f (х) = х3-~3х — 5 и постройте ее
график.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = 4 х + — на отрезке [0,5; 4].
3. Материальная точка массой 3 кг движется по прямой
согласно уравнению s (<)= 2/3—2/ + 3 (s измеряется в метрах,
t — в секундах). Найдите действующую на нее силу в момент
времени / = 5 с.
Вариант 2
С — 1
1. Выразите в радианной мере величины углов 75° и 168°.
5зх 17я
2. Выразите в градусной мере величины углов у и — .
3. С помощью таблиц или калькулятора найдите радианную
меру угла:
а) 31°; б) 86°23'.
Найдите значения синуса и косинуса этих углов.
4. С помощью таблиц или калькулятора найдите градусную
меру угла:
а) 0,5400; б) 1,4327.
14](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-16-320.jpg)
![С—33
Исследуйте функцию
/ W - *+31— 2х
и постройте ее график.
С -3 4
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у — 2х* —8х
на отрезке [—2; 1].
2. Разбейте число 18 на два неотрицательных слагаемых
так, чтобы произведение квадрата первого слагаемого и вто
рого слагаемого было бы наибольшим.
С—35
1. Проверьте, является ли функция y = sin 2х решением диф
ференциального уравнения у" = —2у.
2. Напишите дифференциальное уравнение гармонического
колебания у = 3 cos (х + я). Чему равны амплитуда, частота и
начальная фаза этого колебания?
С—36
1. Найдите tg ^ a + -j-^ , если известно, что c o s a = - ^ ,
0 < « < f .
2. Упростите выражение
sin a cos (я + «) cos (л — 2a)
cos 4a
3. Найдите без таблиц
sin 75° —sin 15°.
22](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-24-320.jpg)
![С—41
1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ
ции f (x)= sin (х — 3) в точке с абсциссой х0= 3.
2. Вычислите приближенно:
а) -/0>99999996; б) sin , считая я«3,1416.
С—42
1. Исследуйте функцию f(x)— x3—3x-j-5 и постройте ее
график.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
4
У = х - - — на отрезке [1; 4].
3. Материальная точка массой 4 кг движется по прямой со
гласно уравнению s (t) = 3t + 2t3 (s измеряется в метрах, t — в
секундах). Найдите действующую силу в момент времени t = Зс.
Вариант 3
С -1
1. Выразите в радианной мере величины углов 64°, 160°.
2. Выразите в градусной мере величины углов l-j-я .
О 4
3. Отметьте на единичной окружности точку Р3п . Назовите
т
абсциссу и ординату этой точки, sin и cos .
С—2
1. Дано: sin а = —4~, 1 8 0 °< а < 2 7 0 °. Найдите cos а и ctg а.
5
2. Докажите тождество
16 sin4а — (sin2 а — 3 cos2 а)2 = 24 sin2 а — 9.
24](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-26-320.jpg)
![1. Вычислите:
a) sin (-1470°); б) cos (-6 9 0 °); в) tg (-1 3 2 0 °).
2. Упростите выражение
2 cos ^ cos а
cos (n + a )-sin 3^ - ^ - + a ^ — sin (л — a) cos3^ - ^ + a ^
С—8
С—9
Начертите график функции y = sinx на отрезке [—л; 2,5л].
Отметьте на этом графике множество точек, для которых выпол
няются условия: а) sin лг= 0,5; б) s in x = 'l; в) sin x > 0 ,5 . Вы
пишите соответствующие значения х, при которых выполняется
каждое из условий.
С—10
Начертите график функции у = cos х на отрезке [—л; 2,5л].
Отметьте на этом графике множество точек, для которых выпол
няются условия: а) cosx = 0,5; б) c o s x = l; в) c o sx > 0 ,5 . Вы
пишите соответствующие значения х, при которых выполняется
каждое из условий.
С—11
Начертите график функции y = t g x на отрезке [—л; 1,5л].
Отметьте на этом графике множество точек, для которых выпол
няются условия: а) t g x = l ; б) t g x < l . Выпишите соответ
ствующие значения х, при которых выполняется каждое из
условий.
С—12
Вычислите: а) ar csi n^— ; б) arctg УЗ;
в) sin^arccos^ —^ 0 ) ; г) tg ^ 2 arcsin^ •
26](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-28-320.jpg)
![С—24
1. Найдите область определения функции У ~ ^ 9Л ■
2. Найдите <р'(—•1), если ф (дс)= (5 + блс)1°.
С—25
1. Найдите производную функции:
а ) f (х) = 3 cos 2 л:; б ) <p (*) = 4 tg Зх.
Вычислите Г ( —у ) и <р'^
2. Решите уравнение g ' (х)=0, если g (x) = sin х + 0,5 sin 2х.
С—26
Решите неравенство:
a) - y f ,-— < 0 ; б) (х--2)-л]х2— 1> 0 .
С—27
Дана функция f (х)= — + + 4.
а) Составьте уравнение касательной к графику данной функ
ции в точке его с абсциссой хо= —2.
б) Выполните рисунок.
в) Вычислите площадь треугольника, ограниченного отрез
ками касательной и осей координат.
С—28
Вычислите приближенно:
а) Т48Д6; б) sin 1,03; в) cos 43°.
С—29
Основание параллелограмма а изменяется по закону а = 2 + 5/,
а высота b — по закону 6 = 2 + 6/. Вычислите скорость изменения
его площади в момент t — Зс. Основание а и высота b изме
ряются в сантиметрах.
29](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-31-320.jpg)
![Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) / (х) — х2+ Зх 6; б) ф {х) = хъ+ 2 х — 1;
в) g (х)= х3— Злг2+ 5.
С—31
Исследуйте на максимум и минимум функцию:
a) f(x) = x* — 8х2; б) Ф( * )= - J - + i- .
С—32
Исследуйте функцию f ( х ) = —х2(х2—4) с помощью произ
водной и постройте ее график.
С—33
Исследуйте функцию f{x)— -^-x5— ?—х3 с помощью произ-
р О
водной и постройте ее график.
С—30
С—34
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
/ (x) = cos х — 5- cos Зл:
на отрезке
[ 0: т ] ■
С—35
1. Дана функция f (х) = 6 sin . Найдите f ' (х), f" (х),
f ' ( - n ) , f " ( f ) •
2. Напишите три отличных от нуля решения дифференциаль
ного уравнения у " = — 9у.
30](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-32-320.jpg)
![С—8
1. Вычислите:
a) sin (-1860°); б) cos (-4 2 0 °); в) ctg( —930°).
2. Упростите выражение
cos | | sin3 (л — а ) - -cos (л + а) sin3 1
(¥-•)2 sin a sin |
(т -“)1
С—9
Начертите график функции г/= sin л: на отрезке [—0,5л; Зл].
Отметьте на этом графике множество точек, для которых вы
полняются условия:
a) sin х = 0,5у/2; б) s in x = — 1; в) sinx> 0,5V 2.
Выпишите соответствующие значения х, при которых выпол
няется каждое из условий.
С—10
Начертите график функции у — cos х на отрезке [—0,5л; Зл].
Отметьте на этом графике множество точек, для которых выпол
няются условия:
a) cos х = 0,5у/3; б) c o s x = — 1; в) cos х>0,5-/3.
Выпишите соответствующие значения х, при которых выпол
няется каждое из условий.
С - 1 1
Начертите график функции у — tg х на отрезке [— 1,5л; л].
Отметьте на этом графике множество точек, для которых выпол
няются условия:
a ) tg х = — 1; б) t g x > — 1.
Выпишите соответствующие значения х, при которых выпол
няется каждое из условий.](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-36-320.jpg)
![1. Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее график:
у = —0,5х2+ 2х + 2,5.
2. Решите неравенство:
а) Здс2—2х + 1> 0 ; б) 9х2- 18х + 4 < 5 х 2- 6 х + 11.
С—32
С— 33
Исследуйте функцию и постройте ее график:
у = хА~ 2 х 2~-1.
С -3 4
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f (х)=Зх5- 5 х 3+
на отрезке [—2; 2].
2. Разбейте число 6 на два неотрицательных слагаемых так,
чтобы произведение квадрата первого слагаемого и второго
слагаемого было наибольшим.
С— 35
1. Проверьте, является ли функция jc(/) = sin5f решением
дифференциального уравнения х" ( t ) = —25x(t).
2. Запишите дифференциальное уравнение гармонического
колебания х (/) = 3 cos (-/2 t — 1). Укажите амплитуду, частоту
и начальную фазу этого колебания.
С—36
1. Найдите sin (а + Р), если известно, что sin а = ~ , —■< а < л;
О Z
cos р = g—, л < р < у - .
2. Упростите выражение
cos2( —- -2ос^ 2
V2 2 cos2 — 2 sin2-2-) .
cos2(л—а) ’ V 2 27
3. Найдите tg 22°30' и sin 22°30'.
48](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-50-320.jpg)
![1. Исследуйте функцию у = 4х — х4 и постройте ее график.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
/ (x)=p-Ly на отрезке [— 1; 0,5].
С—42
Вариант 6
С -1
1. Выразите в радианной мере величины углов 42° и 130°.
2. Выразите в градусной мере величины углов - - и л.
3. С помощью таблиц или калькулятора найдите радианную
меру угла:
а) 57°; б) 88°55'.
Найдите значения синуса и косинуса этих углов.
4. С помощью таблиц или калькулятора найдите градусную
меру угла:
а) 0,8796; б) 2,3422.
С— 2
1. Докажите справедливость равенства
j . cos4 а + sin2 a cos2 а 1
sin2а ‘ sin2 а
2. Определите знак выражения:
„ч sin 110° cos 220° п i л
а) ~ctg 330° ; б> sin 2 -ctg 4.
3. Найдите sin а и ctg а, если известно, что t g a = 3 и а
не лежит в III четверти.
50](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-52-320.jpg)
![1. Докажите, что функция у = х3—Зх убывает на проме
жутке [— 1; 1].
2. Найдите нули функции у — —0,5х2+ 2л: и координаты ее
вершины. Начертите схематически график данной функции
и с его помощью найдите промежутки возрастания и убывания
этой функции.
С - 7
С— 8
1. Пользуясь периодичностью, четностью или нечетностью со
ответствующей тригонометрической функции, запишите данное
значение так, чтобы аргумент был выражен наименьшим положи
тельным числом градусов или радиан: a) sin 312° 19'; б) cos 5042°;
В) C t g f .
2. Вычислите cos (—30°) -f- sin 660° + ctg (—510°).
3. Найдите наименьший положительный период функции:
a) y = tg (1 —Зх); б) i/ = sin4x + cos4х.
С—9
1. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt,
для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют
неравенству sin / > 4 ~.
2. Найдите точки максимума и минимума функции / (*)=
= s in (2* + f ) .
3. Расположите в порядке убывания числа
sin (—300°); sin (—250°); sin (— 150°); sin 20°; sin 40°.
С— 10
1. Расположите в порядке возрастания числа
cos 10°; cos 70°; cos (—20°); sin 15°.
2. Отметьте на графике функции у — cos л: множество точек,
для которых соответствующие значения косинуса удовлетворяют
неравенству cos х > —
3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
» - « • ( ■ § — пг) ■
52](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-54-320.jpg)
![С—30
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
f (х) = 2х3+ Зх2— 12х.
2. Найдите критические точки функции
f {х)=2х—л[х.
Укажите, какие из этих точек — точки максимума функции,
а какие — точки минимума.
С—31
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию
f (х) = 2 х2—х4+ 3.
С—32
1. Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее график:
у — —0,5х2+ * + 1,5.
2. Решите неравенство:
. а) 2х2- х + 1 < 0 ; б) 16x2+ 6* + 3 > 7 x 2- 6 x - 1.
С—33
Исследуйте функцию и постройте ее график:
у = 2 х 3—6х2+ 4.
С—34
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = x* + 20х2+ 3
на отрезке [— 1; 1].
2. Разбейте число 8 на два неотрицательных слагаемых так,
чтобы сумма квадрата первого слагаемого и куба второго сла
гаемого была наименьшей.
57](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-59-320.jpg)
![С -3 9
1. Решите неравенство:
а) х2—6х + 8 > 0 ; б) х2— 12х + 3 6 < 0 .
2. Решите неравенство методом интервалов:
а) (X—1)-(х+ 2 ) ^ 0. б)
х—3 х —j~I х“I-2
С— 40
Найдите производную функции:
а) х7—2х?+ 3 х —3; б) (1+Зх)н/х; в) cos 5х;
г) ctg (y -x + 5) ; д) ( j-x —б)
С— 41
1. Напишите уравнение касательной к графику функции
/ (х) = Зх + 2х2 в точке с абсциссой хо=1.
2. Вычислите приближенно:
а) д/Ь002; б) 0,9999760.
3. Материальная точка движется по прямой согласно уравне
нию
* (0 = * 3+ y * * - 7 f .
Найдите ее скорость и ускорение в момент времени to— 2>.
С— 42
„4
1. Исследуйте функцию у = 8х — — и постройте ее график.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f (х)— -гт~г на отрезке [—2; 0,5].X -р 1
59](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-61-320.jpg)
![С—34
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = x3- 2 x 2+ 8 x - 2
на отрезке [—4; 2].
2. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и углом
60° вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипоте
нузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его
площадь была наибольшей?
С— 35
1. Запишите общий вид решений для дифференциального
уравнения
и " = - и -
2. Напишите дифференциальное уравнение гармонического ко
лебания x(t) = 2 sin Укажите амплитуду, частоту и начальную
фазу этого колебания.
С— 36
5
1. Найдите cos (а + (5), если известно, что cos а = -у,
• л 1 2 /~ . ЗХ ЗХ________
_
о
Р=ТГ' 0 < а < — , у < Р < л .
2. Упростите выражение
8 sin2(л —a) sin2^ y - |- a ) — 1.
3. Найдите sin у - и tg ~ если c o s a = — 0 < а < л .
С— 37
Проведите исследование и постройте график функции:
а) f(x) = cos(^2x— у ) ; б) f ( x ) = y + s i n в) f(x) = 3-
3* 67](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-69-320.jpg)
![С—42
1. Исследуйте функцию f ( x ) = x 4— 8x2 и постройте ее график.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
/ (х) —2 л:3 + Зх2+ 2 на отрезке [—2; 0].
Вариант 8
С— 1
1. Выразите в радианной мере величины углов 48° и 188°.
2. Выразите в градусной мере величины углов ^ и ^-п.
3. С помощью таблиц или калькулятора найдите радианную
меру угла:
а) 23,6°; б) 83°53'.
Найдите значения синуса и косинуса этих углов.
4. С помощью таблиц или калькулятора найдите градусную
меру угла:
а) 0,0995; б) 3,1012.
, „ С— 2
1. Докажите справедливость равенства
sin2 а (1 -f-sin-1 a + ctg а) (1 —sin-1 а -f-ctg а) = 2 sin а cos а.
2. Определите знак выражения:
ч sin 200° cos 20° 1 • о * с
а ) Tg 3 0 0 ° c tg ib 0 ° ; б > cos sin 3 tg 5.
3. Найдите sin а и cos а, если известно, что tgoc = 3 и а не
лежит в I четверти.
1. Вычислите: С—3
a) sin 1935°; б) tg 1395°; в) c o s ^ .
2. Упростите выражение (cos 70° + cos 50°) (cos 310° +
+ cos 290°) + (cos 4 0 ° + cos 160°) (cos 320° —cos 380°).
3. Докажите тождество
tg ( л - а ) ( 1 + t g ( § 4 -a) c t g ( f - + 2a )) = tg (2л - a ) -
- c t g ( | - - 2a) .
69](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-71-320.jpg)
![С—30
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
/ (х)— х3--Зх—8.
2. Найдите критические точки функции
Укажите, какие из этих точек — точки максимума функции,
а какие — точки минимума.
С—31
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функ
цию
f W = (7 ^ 3 f-
С—32
1. Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее график:
f (х)— 3х2— 4х — 7.
2. Решите неравенство:
а) х2— 9х — 2 2 ^ 0 ; б) х2--8х-- 16 > 0 .
С—33
Исследуйте функцию и постройте ее график:
I W x 2 _ i_ g •
С—34
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f (х)= х3—2х2+ 8х —-2
на отрезке [1; 4].
2. В прямоугольный треугольник с катетом 12 см и про
тиволежащим углом 30° вписан прямоугольник, основание ко
торого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть размеры
прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
76](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-78-320.jpg)
![С—39
1. Решите неравенство:
а) х2—Ъх —7 < 0 ; б) *2+ 6* + 9 > 0 .
2. Решите неравенство методом интервалов:
а ( * — (ЛГ+ 3 ) 8 A . g 5 . 6 о
а) зТ+Т ^ и’ ' зГГГ+ 2ГГТ< ’3-
С—40
Найдите производную функции:
а) Зх — 7x3+ - i- x 8+ *9; б) x ^ j5 + x ; в) cos 0,3л:;
г) c tg ( ^ — Зл:) ; д) (5*2— I)8.
С—41
1. Напишите уравнение касательной к графику функции
f (х) = х2— Зх — З в точке пересечения графика с осью ординат.
2. Вычислите приближенно:
а) -уд/0,999996 ; б) 0,99997350.
3. Материальная точка движется по прямой согласно урав
нению
Найдите ее скорость и ускорение в момент времени to==1.
С -4 2
1. Исследуйте функцию / (х) = 2х2— х4 и постройте ее график.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
/ (л:)= 2 + 3х2—х3 на отрезке [—2; 2].
78](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-80-320.jpg)
![С — 8
1. На рисунке 7 приведена часть гра
фика периодической функции, имеющей
период Т. Продолжите график на отре
зок [—2Г; 3Т].
2. Найдите наименьший положитель
ный период функции:
а ) / (х) = Isinxl + tg 2х;
б) f (x) = cos(^j2 х — .
/1 1 Л ,
-т т 0
2
Т Т х
2
Рис. 7
3. Докажите,
= COS XCOS (■>/2х ) -
что функция: а) / (x) = sin х2; б) f (х) =
■не является периодической.
С—9
1. Отметьте на единичной окружности множество точек Р>,
для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют
1 /о
неравенству у - < Isin /| •
2. Найдите область значений функции
f (х) = sin2х —2sin л:+ 3.
3. Определите знак числа (sin 2 —sin 4) (sin 3 —sin 5).
С—10
1. Отметьте на графике функции у = cos х множество точек,
для которых соответствующие значения косинуса удовлетво
ряют неравенству
Icos х | .
2. Пользуясь возрастанием (убыванием) функции y = sirix
{у — cos х) на отрезке J^O; -p-J , докажите, что
cos sin у - > sin cos ~ .
3. Найдите область определения функции
/ W = ----- 1— г -
cos22 х —
4
4 Заказ 68 81](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-83-320.jpg)
![1. Найдите область определения функции, заданной фор
мулой:
0,5х2~ х + 2 х 3 _________
a) f(x) = — — l — б) f (*)—д/3 Ал[х .
х (4 —л/х— 1)
2. Дана функция
{( ч / 2jc2+ 1 при |* |< 3 ,
IVе)— Зх —7 при х ^ 3 .
а) Вычислите /( —3), /(2), /(5), /(* 2+ 4).
б) Начертите график данной функции.
С—5
С— 6
1. Может ли уравнение f (х)— 0 иметь в точности 6 корней,
если / всюду определенная и: а) четная функция; б) нечетная
функция?
2. Докажите, что любая функция с симметричной относи
тельно точки О областью определения может быть представлена
в виде суммы четной и нечетной функций, причем единственным
образом.
С— 7
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) f {х) = Зх2—4л:+ 5;
б) ( W = T T ? -
2. Пусть функции / и g возрастают на всей числовой прямой.
Приведите примеры, показывающие, что функция / —g может:
а) возрастать на всей числовой прямой;
б) убывать на всей числовой прямой;
в) быть убывающей на (— оо; 0] и возрастающей на [0; оо);
г) иметь бесконечно много промежутков возрастания и убы
вания.
91](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-93-320.jpg)
![1. На рисунке 9 приведена
часть графика периодической
функции, имеющей период Т.
Продолжите график на отрезок
[ — ЗТ; 2Т].
2. Найдите наименьший по
ложительный период функции:
а) /( x ) = |c o s x |+ c tg y - ;
б) f(*) = sin(V 3*—f-)-
а) / W = sin д/|х|;
б) / (х) = cos х + cos д/2х — не является периодической.
С - 8
С - 9
1. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt,
для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют
неравенству -5- ^ Isin t ■< 1.
2. Найдите область значений функции
/ (х) = 5 —4 sin х —sin2х.
3. Определите знак числа (sin 2 —sin 1) (sin 4 —sin 3).
С—10
1. Отметьте на графике функции у = cos х множество точек,
для которых соответствующие значения косинуса удовлетво
ряют неравенству
|cos х < 1.
2. Пользуясь возрастанием (убыванием) функции у = sin х (у =
= cos х) на отрезке ^0; -|-j, докажите, что cos (sin l)> s in (cos 1).
3. Найдите область определения функции
/ М = — — - ■2 *COS^X——
'Т _ 2 Т Т 0
3 3
I 2 J т
J 3
Рис. 9
3. Докажите, что функция:
92](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-94-320.jpg)
![4. Исследуйте функцию / (х)= х3+ х и постройте эскиз ее
графика (без использования производной).
Опишите схему исследования функции.
5. Расположите в порядке возрастания числа sin 2, sin 4,
sin 6.
Перечислите основные свойства функции синус.
6. Найдите наименьший положительный период функции:
a) /(x ) = s in ( 3 x + y - ) ; б) f (х) = tg 2( * ~ у-)-
7. Вычислите: a) tg -/2+ tg (—д/2); б) t g ^ - c t g ^ .
Перечислите основные свойства функции тангенс.
/з
8. Найдите arccos (— 1); arccos^-.
Сформулируйте определение арккосинуса числа. При каких а
определен arccos а? В каких пределах может лежать arccos а?
9. Решите уравнение: a) tg ^ 2 x — ^ = 1;б) 2 c o s(-|—f-l) = l.
Напишите формулу для решения уравнения sinx = a.
10. Решите неравенство: а) t g 2 x > l ; б) sin — 1.
11. Решите систему
j cos (* + (/)=0,5,
1 sin (х —у)= 1.
Вариант 2
1
1. Изобразите схематически график функции f (х)--
х (х—1) '
Что называют графиком функции?
2. Докажите, что для возрастающей на промежутке I функ
ции / уравнение f(x )= a для любого а имеет не более одного
корня на /. Верно ли аналогичное утверждение для убывающей
функции /?
3. Докажите, что функция f является нечетной:
а) / ( x ) = s i r i б) f (х)= х2tg х; в) / (х) = х7— 5х3.
Какие функции называют четными? нечетными?
4. Изобразите эскиз графика какой-либо функции g, обла
дающей следующими свойствами: 1) g возрастает на проме
жутках (— оо; 1] и [5; оо); 2) g убывает на промежутке [1; 5];
3) х = 1 — точка максимума функции, х= Ъ — точка минимума
функции, при этом g (l) = 4, g (5)—2.
Может ли функция g с указанными свойствами быть четной
или нечетной? Почему?
5. Укажите точки максимума и минимума функции cos ^ 2 х + - ^ .
102](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-104-320.jpg)
![6. Вычислите приближенно л/л/^7-
7. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
f (х)= х — 2~фс.
8. Найдите максимумы и минимумы функции
9. Исследуйте функцию f (х)— х3— Зх — 2 и постройте ее
график.
10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f( x ) = x - |- i -
на отрезке [1; 3].
11. Запишите дифференциальное уравнение гармонического
колебания у = 2 cos (д/Зх— 1).
Вариант 2
1. Решите неравенство методом интервалов:
а) 3 , - 7 , ’ « 0 ; б) Д £ + 3)> 0 -
2. Напишите уравнение касательной к графику функции
у = 2х2— 1 в точке с абсциссой *о= 3.
3. Найдите производную функции у = 2,5л:2—х5; у = tg 2дс—
—2 c tg -|-. Каков геометрический смысл производной в точ
ке *0?
4. Маховик вращается вокруг оси, поворачиваясь за t секунд
на угол со (t)= 2t4— t (рад). Определите его угловую скорость
в момент времени: a) t; б) 2. В какой момент времени угловая
скорость маховика равна нулю?
5. Известно, что / . Найдите /' (х); f ' (2). Сформу
лируйте теорему о производной частного.
6. Найдите производную функции f (х) = (2х3— I)100.
Запишите формулу для вычисления производной сложной
функции.
7. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
у = х3+ х.
8. Найдите максимумы и минимумы функции g (х)—л/х— х.
104](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-106-320.jpg)
![1. Решите уравнение:
a} sin jc= -—1; б) 2 cos2х —cos х — 1= 0 ; в) sin2л:+
+ д/3 sin х cos х = 0.
2. Решите неравенство sin х ^ —0,5.
3. Решите систему уравнений
[ х + у = п,
I sin x + sin у = —-]2.
4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Решите неравенство
|2 sin х — 11<11.
Вариант 2
1. Решите уравнение:
a) c o s x = — 1; б) 2 sin2jc—sin л:— 1= 0; в) cos2* —
— /3 sin х cos * = 0.
2. Решите неравенство cos xsgC—0,5.
3. Решите систему уравнений
( х --у = л ,
1 cos х —cos р = У2.
4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Решите неравенство
|2 cos х -f- 11^ 1.
Вариант 3
1. Решите уравнение:
a) sin * = 0,5д/2; б) 2 sin2x = cos х + 1; в) sin2x —2 sin x X
Xcos x = 3 cos2x.
2. Решите неравенство t g x ^ — 1.
3. Решите систему уравнений
Г х + у = ^ ~ ,
^ sin x + sin у = — Д.
4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Решите неравенство
2 sin2x + sin х — I <i0.
К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 3
Вариант 1
Вариант 4
1. Решите уравнение:
а) созх = 0,5д/2; б) 2 cos2х — 1= siri х; в) sin2x +
+ sin х cos х = 2 cos2х.
109](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-111-320.jpg)
![1. Решите уравнение:
a) s in x = — 1; б) 2 cos2х —cos х — 1= 0 ; в) sin2x +
+ -/3 sin х cos х = 0.
2. Решите неравенство sin х ^ —0,5.
3. Решите систему уравнений
( х + у = л,
I sin x + sin у = —-]2.
4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Решите неравенство
|2 sin х — 11^ 1.
Вариант 2
1. Решите уравнение:
a) c o s x = — 1; б) 2 sin2х — sin х — 1= 0 ; в) cos2x —
— [3 sin х cos х = 0.
2. Решите неравенство cos 0,5.
3. Решите систему уравнений
/ х + г/= л,
cos х —cos г/= -у2.
4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Решите неравенство
|2 cos х + 11^ 1.
Вариант 3
1. Решите уравнение:
a) sinx = 0,5y 2; б) 2 sin2x = cos х + 1; в) sin2x —2 sin хХ
Xcos х = 3 cos2х.
2. Решите неравенство t g x ^ — 1.
3. Решите систему уравнений
( x + y = jr >
| sin x + sin у = — л[2.
4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Решите неравенство
2 sin2x + sin х — 1 ^ 0 .
К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 3
Вариант 1
Вариант 4
1. Решите уравнение:
a) cosx = 0,5V 2; б) 2 cos2 х — 1= s ir i х; в) sin2 x +
+ sin х cos х = 2 cos2 х.
109](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-113-320.jpg)
![4. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) — x2--2x в точке его с абсциссой х о = —2. Выполните ри
сунок.
5. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Начертите схемати
чески график функции f (х), которая определена на проме
жутке (—5; 4], непрерывна в точке х = 2, но не дифференциру
ема в этой точке. Известно, что х = — 1 — точка максимума и
/ (— 1)=3.
К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 6
Вариант 1
1. Исследуйте функцию / (х) = х3— Зх2+ 4 и постройте ее гра
фик.
2. Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицатель
ных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них
на удвоенное другое слагаемое было наибольшим.
3. Докажите, что функция у (t)=7 cos 8^ является решением
дифференциального уравнения у " = —64 у.
4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Докажите, что функ
ция ф (х)= —4,3 х —cos2лг+ sin2х убывает на множестве действи
тельных чисел.
Вариант 2
1. Исследуйте функцию f (х)— —+ + 3х2—4 и постройте ее
график.
2. Число 9 представьте в виде суммы двух неотрицатель
ных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них
на утроенное другое слагаемое было наибольшим.
3. Напишите дифференциальное уравнение гармонического ко
лебания х = 3 cos (2 /+ 0,3).
4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Докажите, что функ
ция /(*) —2 sin л:-sin (0,5л+ х) + 3,2х возрастает на множестве
действительных чисел.
Вариант 3
1. Исследуйте функцию / (х)=-^—х3— 4х — 3 и постройте ее гра
фик.
2. Число 8 представьте в виде суммы двух неотрицательных
слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на дру
гое слагаемое было наибольшим.
3. Напишите дифференциальное уравнение гармонического ко
лебания x(t) = 3 cos 2t.
5 Заказ 68 113](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-117-320.jpg)
![Р а б о т а 3. О с н о в н ы е с в о й с т в а ф у н к ц и й
Задание Ответ (л£2)
Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4
Найдите облас
функ
и —_V L
у х2— 4
гь определения
ции:
У==Э—х2
x^>-Q, х ф 2 х ^ О , х ф ± 2 х < 0 , х ф —3 х ^ О , х ф ± 3
ц - х~ s m x — 1
у — x+lр COSX+1
х ф л - - 2 лп / ^ 1
Х ф — фпп. хф-^---2лп х ф л - - л п
Найдите промежутки
убывания функции
t/= 2x2—4 х + 1
Найдите промежутки
возрастания функции
у = 0,5х2+ х + 1
’(— оо; — 1] [— 1; оо) [1 ; о о ) ( — о о ; 1]
В е р н ы й о т в е т: вариант 1—1 3 4 ; вариант 2—3 1 2
Р а б о т а 4. Р е ш е н и е п р о с т е й ш и х т р и г о н о м е т р и ч е с к и х у р а в н е н и й
Задание Ответ {n^Z)
Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4
Решите у
sin х - ~ -
равнение
V2
sin X— — — -J-+ 2лт
( - 1 Г х + лга
(_!)«+*
Л 1
+ я п](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-124-320.jpg)
![ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
С а м о с т о я т е л ь н ы е р а б о т ы
Вариант 1
С —1.1. - j - и 2. 135° и 50°. 3. а) 0,8552; б) 1,3285. 4. а) 49°16',; б) 70°52'.
С—2. 2. а) Плюс; минус. 3. 0,5. С—3. 1. а) 0,5; б) — - . 2. — 1,— С—4. 1. —
,/3 sin а 2
527 336
2- — 625= 527' 3‘ 3 sin 2а. С - 5 . 1. a) ( - о о ; — 2)U( —2; 2)U(2; оо); б) ( - о о ; -0 ,5 ]U
U[0,5; оо). 2. I и х2 (при х ^ 0 ) . С—7. 1. Убывает на ( — оо;0,25], возрастает на
[0,25; оо). 2. Пусть х? > х и тогда х! >•■*?; складывая эти два неравенства,
получим ;t2+ *2> X i+X i, т. е. / (х2) > / (xi). С—8. 1. а) — cos 3°; б) — sin 79° =
Зл л 2л
= — cos 11°; в) ctg — = t g — . 2. 0. 3. а) Зл; б) -у “, в) Зл. С—9. 2. В озраста
ет на промежутках [— 2л + 8л k; 2л 8лй], k £ Z, убывает на промежутках [2л + 8л&;
6я + 8л£], k ^ Z . 3. [0,5; 1,5]. С—110. 1. /(х )> > 0 на интервалах ^ + БлА;
, fcg-Z, j(<x}c0 :на интервалах 1( 4 р + 6 л & ; -4^—)-&л£^ , k £ Z . 2. Мно-
я , лк „ 2л£ , „
жество всех действительных чисел, кромечисел вида—— Ь-гр-. 3. х = ——, « g z ,—
4 Z о
jt “I- 2 n k
точки максимума; х = -----=---------•, k ^ Z ,— точки минимума. С— 11. 2.(— оо;3].
О
_ _■» ( зт , nk Л Z l k 1 _ _ . _
3. Возрастает на промежутках ( ----- 8~ Т " ’ "*8— ^ — а '
— гг: б) 5 ? -2 . 3. а) — 1,1198; б) 1,3908; в) 0,3082. С— 13. а) ± ^ + 2 л / г ,
о о 4 о
kez; б) --11+ДД., в)- | ^ + л / г , AgZ. С— 14.а ) . [ - ^ + 2лй;
Д — |-2зтЛJ, fe£Z; 6) - £ - + ? ) • k e z - с ” 15- а) ( - 1)4- ^ - + лА'
б) — с- 17- ( х +лй; "I— пй) ’ /г£2‘ С~ 18- а)
g не определена в точке — 1; б) да (в обоих случаях); в) предел / в точке
— 1 не существует; lim g ( x ) = l . С— 19. 1. а) 10; б) 9. 2. а)5; б) 1,4.
Х -+ - — I
С—20. I. — 2Ах; — 0,4. 2. 2х0— 1+'А х; — 0,9; — 0,999; — 0,99999; предел равен
— 1. С— 21. а) — 7; б) — Дт. С—22. 1. а) 5х4— Х- б) -у . 2. — 9; — 297;
3 — 12х2; 3 — 12 (х + 2)2. С—23. а) 1,5; (1,5; оо); { - t o - 1,5); б) 0 , (— оо; — 2,5)1)
и( — 2,5; оо); 0 . С -2 4 . 1. а) ( - оо ; — I ) ( j ( - у ; у ) и ( у ; °о ) ;
123](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-127-320.jpg)
![Рис. 12
Рис. 11
б) ( — 1.5; 1,5). 2. и - y J — T - 3. а)
л/х — 1 ’ х ~ 1л/г
а) 2 cos 2х + 3 sin Зх; б)
300 (Зл — 4)"; б) I. С—25.
cos
1
; в) sin 2jc. С—26. 1. ( — о о ;0).
в 1 п *
(0; 2) и (2; оо). 2. а) ( - о о ; -2 )U (2 ; оо); б) [ - 4 ; — |-)и [2 ;6 ]; в) ( - 4 ; - 2 ) U
U(13; оо). С—27. 1. 27. 2. у = — Зх + 9,5. С—28. 1. 1,0004. 2. 1,035. С—29.
1. — 8; — 24. 2. 180 м. С—30. 1. Возрастает на промежутках ( — оо; — 3) и
(3; оо); убывает на промежутках ( —3; 0) и (0; 3). 2. х = — 5 — точка максимума;
х = 1 — точка минимума. С—31. Убывает на промежутках о о ; — и
Г1 Г 1 11 1H j-; оо 1 , возрастает на промежутке — — ; — ; х = — - — точка минимума;
х — -i точка максимума. С— 32. 1. График изображен на рисунке 11. 2.
а) [— 1; 18]; б) о о ; С—33. График изображен на рисун
ке 12. С—34. 1. m a x J = / ( — 1 ) = — 7-^-; min f = f ( 2 ) = — 32. 2. 5 + 5. С—35.
[ - 1 : 2 1
I. Д а. 2. у " = - у . С -3 6 . 1. 3. 3. VT5- С -3 8 . 1. а) у ; б) ^ . 2 . а) -£ +
+ 2nk, kez- б) - ± + 2nk, (-1)4-^+ лА, kez. 3. а) (у+ л*;у+"*].
*62; б) (л*; -^+ л /г), kez. С—39. 1. а) [—1;2,5]; б) (—о о ; — 2 —У3)и
U ( - 2 + V3; оо). 2. а) [ - 4 ; - 2 ] и х = 3; б) ( - 5 ; - 4 ) U ( - 3 ; 3)U(4; 5). С -4 0 ,
а) 12х5+ - ^ ; б) c tg x — ; в) ----- ?— ; г) — 2х sin х2; д) 4 -—
- fx ' ■7 2 X
7 cos —
С—41. 1. 0. 2. а) 1,00021; б) 0,15708. С—42. 1. Возрастает на (— оо; оо), экстре
мумов нет. 2. min f = f (1 ,5 )= 12; max f = f (0,5)— 20. 3. 180 H.
[0,5; 41 [0,5; 4)
124](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-128-320.jpg)
![Вариант 2
С— 1. 1. и 2. 150° и 85°. 3. а) 0,5411; б) 1,5077. 4. а) 30°56'; б) 82°5'
1Z 1о
С—2. 2. а) Минус; б) плюс. 3. — С—3. 1. а) 0,5; б) - Д 2. — . С—4.
Э COS GC
К 0 ’5- 2- S и ~ Ш 3- 2- С- 5- *• а) ( - ~ ; 0)и(о;4) и ( 4;оо);
4-1 , воз-
8 J
я
2. 0.
5
я k
~~2 ]' 8 +
растает на ["g"’ 00) - ^ *• а ) — tg 41°; б) — cos 43°; в) - s i n -
. 4л л . _ _ Л Л _ Г л , як л ,
3. а) — ; б) — ; в) 6л. С—9. 2. Возрастает на промежутках — —~—— +
о 5 L о 2 о
. nk~] . _ V я , як Ъя , я k~] п г ,
Т г убывает на промежутках I "g"Н—2"J »k ^ z - 3* [— 1; 3].
С— 10. 1. / ( * ) > О на промежутках ^ ; 1 Т + 4 г ) ’ k ^ Z ' на
( f2nk л 2я&
Т " ' Т + ~3~)
промежутках I —|— — ; — — — ), &£Z. 2. М ножество всех действительных
чисел, кроме чисел вида л + 2 яk, где fe£Z. 3. х — 10я£, k £ Z ,— точки макси
мума; х = 5л+ Ю л& , k £ Z ,— точки минимума. С— 11. 2. [3; оо). 3. Возрастает
л Зл
на промежутках (— я + 2яА; я + 2л&), k £ Z . С— 12. 1. а) — — ; б) я. 2. — — .
3. а) 0,9273; б) 1,8473; в) 1,2626. С— 13. а) - у + я £ , fegZ; б) у , * 6 Z,
в) - ^ - + ( - 1 ) ‘ -|- + лй, ££Z . С— 14. а) ^ + 2 я * ;^ ? -+ 2 я й ), ft£Z; б) ( - я +
+ 2лй; — |- + 2 я й ] , £(EZ. С - 1 5 , а) ± ^ + 2лk, AgZ; б) — 2 . + ^ , fegz.
С— 17. 0 2 + 2лй; 2 л й ); (2 л £ ; - ^ + 2л/г), 6 gZ. С— 18. а) / ( 1) = 1; g ( 1 )= 2 ;
б) предел / существует, предела g не существует; в) lim g (x ) = 2, предела f
Х -* ~ 1
в точке 1 не существует. С— 19. 1. а) — 16; б) 40. 2. а) 0; б) 3. С—20. 1. — ЗДх;
— 0,9. 2. 2х0+ 1 + Д х ; 1,1; 1,001; 1,00001; предел равен 1. С—21. а) — 6; б)
2 8х *
С—22. а) 14х6+ — ; б) — г а . 2. 20; 64; 4х + 3х2; 4 (* — 3) + 3 ( х - 3 ) 2.
-у* (■*
С—23. а) — 1,5; (— 1,5; оо); (— оо; — 1,5); б) 0 ; ( — оо ; — 2) (J( — 2; оо)- 0 .
С -2 4 . 1. а) ( - о о ; - 0 , 2 5 )U (-0 ,25; 0,25)11(0,25; оо); б) Г— ; -^-1. 2. Х 2 ± 1
/-------- L 3 3 J л/х + 2-[х--2
. 3. а) 320 (2х — З)159; б) - . С -2 5 , а) - 2 sin 2 х - 3 cos Зх;
с+2 Yi^ 3 ?
б) ~ 7 “ в) - s i n 2 x . С—26. 1. (— оо; — 2), ( — 2; 0) и (0; оо).
-л / х + 1
И Vjc+ 2
2. а) (— 3; 3); б) ( — со ; —3]U( — 0,5; 1]U[5; оо); в) (— 5; — 2)U(11; оо). С—27.
1. 27. 2. i/= 6x + 11. С—28. 1. 0,999992. 2. 0,999988. С—29. 1. 3; - 1 8 . 2. 80 м.
С—30. 1. Возрастает на (— оо; — 2] и на [2; оо), убывает на [— 2; 0) и на (0; 2].
2. х — — 1 — точка максимума; х = 5 — точка минимума. С—31. Убывает на
( — о о ; — 4] и на [4; оо), возрастает на [— 4; 4]; х — — 4 — точка минимума;
х — 4 — точка максимума. С—32. 2. а) ( — оо; — 16]U[1; «=); б) jc = — 1,5. С—33.
Убывает на промежутках (— оо;0,5) и (0,5; оо); экстремумов нет. С—34.
125](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-129-320.jpg)
![1. m ax f — f (— 2) = 48; min f = / ( 1 ) = — 6. 2. 12 + 6. C—35. J. Нет. 2. y” = - y .
[-2; II [—2; I]
C—36. 1. 3. 2. 0,25 tg 4a. 3. C—38. 1. a) у ; 6 ) y . 2. а) у + 2лА, A+Z;
6) - g - . k £ Z . 3. a) |д £ + л*; + > * £ 2 ; б) + k £ Z . C—39.
1. a) [ - 2; 5]; 6 ) ( - oo; 3 - V8)U(3+ 7 » ; °°)- 2. a) [1; 4] и x = - 2; 6) ( - o o ; — 4]U
U ( - 3 ; -2 )U (2 ; 3)U[4; о о ).-C -4 0 . a) 7x6-----% ; 6 ) tg jM ^ - 1 в) - ■ '
C° S X ' 3 s in 2 4 '
•J
8 4
r) 2XCOSX2; Д ) y —y . C—41. 1. 1. 2. a) 0,99999998; 6 ) 0,031416. C—42.
1. Возрастает на ( — оо; — 1] и на [1; оо), убывает на [— 1; 1]; х — — 1 — точка
максимума; х = 1 — точка минимума. 2. max f = f ( l ) = f (4)= 5; min f — f (2) = 4.
3. 144 Н. [1;*! ,fl;41
Вариант 3
С - 1 . 1. 1,1170; 2,7925. 2. 108°; 315°. 3. . С - 2 . 1. — 4-1 4 - - С - 3 .
2 2 5 4
1. - - L - . 2. 2. С - 4 . 1. а) _ § ; б) - Ц ± ± ; в) - ± . С - 5 . 1. а) 0; - 2
1; 4. 2. [0; V ^ 5 ) U ( ^ 5 , _<х>). С—6. а) Четная; б) нечетная. С—7. 0 ^ х < 4
С - 8. 1. а) — 1 ; б) Щ -, в) -л /3 . 2. tg 2а. С - 9 . а) у ; у ; 2 - 1 я; б) у
о 1 ч Л ^ ^ 5 л о 1 ^ i Г »» ч Л Я , 2 „ 1
2 у л ; в) у < * < у ; 2 у я < * < 2 у л . С -Г 0 . a) - у ; у ; 1 у л ; 2 у л
б) 0; 2л;в) — y C x c - i , 1 я < л : < 2 у л. С -1 1 , а) - у
ч Зл л я "Я , 1 — . л .
б) — л < х < — —; —— < х < — ; у < К 1— л. С— 12. а) -
в) г) д/З. С— 13. а) - у + 2ля, h 6 Z; б) 2л7е, A+Z; в) - у + у " ’ " eZ
г) ( — l)" д ) 2лн, — ^- + 2лл, n£ Z . С— 14. а) у + 2 я л < л :<
Зл л 2л л , л ,
< — 4- 2ля, б ) у 4- я л < ; л : < ~ 4-я /1., в) — — 4- л п < х < — + пп,
л л 2л
n £ Z . С— 15. а) гЬ-тг-4-ял,ti£Z б) (-— )п — ~~лп, n ^ Z в) ± - т 4 - 2 л я , n£ Z .
о Ъ о
С— 16. а) —-?";ь 4 г ,!’ n €Z; б) — ^- + яя, arctg 5 + лл, ng'Z. С— 17. а) +
8 2 4 12
+ 2лл, у + 2 я л , n£Z ; б) ля, — ^- + ля, n £ Z . С— 18. а)Возрастаетна [0; 1),
убывает на ( — оо;0] и [1; оо); .-б) lim /( * ) = 1 ; в) не существует. С — 19.
x-^—I
1. (1,95; 2,05). 2.а) 5; б) - 1 2 ; в) 10. С— 20. 1. 3. 2. 2,6. С—21. 1. — 8. 2. —у .
С—22. I. 0; - 1 . 2. 8 х; 2. 3. а) •2 2; б) (— оо; 1>Н(1; оо). С—23. 1. 7 [? , 189.
(I ■X)
2. [ — 3 ; 4 ] - 3‘ а С —24. 1. [— 4; 2)U(2; 4]. 2. — 60. С—25. 1. а) —6sin 2х
—Зл/5; б > !f - ; 12. 2. л + 2 л й . ± ^ - + 2nk, A+Z. С—26. а) (1; 3); б) ( - 2 ; - 1)U
COS ОХ о
U(l; оо). С—27. a) </=4* + 8; в) 8. С—28. а) 6,933; б) 0,8573; в) 0,7314.
126
я
1— л
т 4
я л
У ’ б) У
+ —
^ 2 л, n g Z](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-130-320.jpg)
![С—29. 202 см2/с. G—30. а). Возрастает на [— 1,5; оо); убывает на ( — оо; — 1,5];
б) возрастает на Л; в) возрастает на ( — о о ;0 ] и [2; оо), убывает на [0; 2].
С—31. а) Х— — 2 и х = 2 — точки минимума, /(-— 2 )= /(2 )Г = — 16; х — 0 — точка
максимума, f ( 0) —0; б) х = — 4 — точка максимума, / ( —4):= —2; х = 4 — точка
минимума, f(4 )= 2 . С—32. х — — /2 и х = ф 2 — точки максимума, / ( — /2) =
— — 4; x = Q — точка минимума, / ( 0) = 0. С—33. х = — 2,—- точка макси-
4 4
мума, / ( —2) = 4 — ; х — 2 — точка минимума, / ( 2 ) = — 4— ; х = 0 — точка
15 ч 15
перегиба, / ( 0) = 0. С—34. т а х f ( x )= f = min / (х) = / ( - ^ Л = 0 .
, , ИК HI ,С -3 5 . 1. 12 c o s ( 2* + y ) , - 2 4 з г п ( 2 * + у ) , бфЗ, — 1 2 ^ С -3 6 . 2. + Щ -
С—38. 1. — ^ -+ я п , n£Z: 2. — ^ + я т г ^ х ^ —у п + я л , n ^ Z . 3. л + 2лл, rr£Z.
о 1*2 12
С—39. а) (— оо; — 4]U(0; 2)U[4; оо); б) ( — оо; — 2]U[2; 5]. С—40. 1. а) — Y '
cos Зх *
cos х 2х sin х
б) — ; в) sin 2х; г) —9.sin Зх (cos Зх + 6)2. 2. — 8. С—41. 1. Точка
2-ух
с координатами (1;0). 2. у = х — 1. С—42. 1. Слагаемые 4 и 4. 2. х = 0 — точка
максимума, f ( 0) = 0; х — 1 — точка минимума, /(L )= — 1.
Вариант 4
С— 1. 1. 0,9774; 2,9671. 2. 150°, 390°; 3. С -2 - 1- X , - ^ г .
б 2 20 Z4
' О , г л Т 4 + 3 V 3 . 1
cos а ' 25 ’ 10 ’ 7
2. (— о о ; — — /2i 0]. С—6. а) Нечетная; б) четная. С—7. 0^Сх<Г2.
С—8. 1. а) — у ; б). у 7 в), —л/ i 2. —e tg 2 a . С—9. а) у , у , 2 у я,
« 3 , , я З я , я Зя „ 1 „ 3 „ , я я
2 т я; б) у ; в) т < Ж у ,. г у Ж ж г у я . С -1 0 , а) - у . у .
, 5 _ 1 , я я , 5 1 _ , 1
1— я, 2 -2-л ; б) я, Зя; в) — т < х < -~Г • и < Ж 2 - ^ - я . С— 11. а) — 1— я,
О О 0 0 0 0 4
л Зя , , , 1 я я я Зя ^ „
— Г - т • б) — 1— я < х < — — , — —< х < , ------ < х < я . С— 12.
4 4 4 2 4 2 4
а) — ; б) у ; в) —л/3; г) — i - . С— 13. а) я + 2ял, n £ Z ; б) у + 2ля, n g Z ;
в) —- у + у " , " € Z ; г) ± у + ^ , ngZ ; д) 2лл, у + 2лл, ng Z . С— 14. а) —у +
л 5л - л л
+ 2лл < * < - - } - 2лп, rt£Z; б) —- ^ - - л п С х < С — j --fro * , n£Z; в) — —-f л л <
< т < у + лл, H6 Z. С -1 5 , a) d r y + ЯЛ, n £ Z ; б) (— 1)*+' у + л£, fc£Z; в) ± у +
+ 2лл, n £ Z . С— 16. a) y + y n > n £Z; б) — ^ -+ я л ;. — arctg 3 + лл, n £ Z .
2л л
С— 17. а) — + 2ял, n fZ ; 6) ял, ——|-л я, n £ Z . С— 181 а) Возрастает на каждом
о 4
из промежутков- ( — оо; — 1) и [0; оо); убывает на промежутке- [т— f,.0];
29 1
б) lim / (лг)=0,5; в) не существует. С— 19. 1. 1— < х < 2 — . 2. а) 6; б) — 18;
х-» 5 0 30
1 fi
в) 2. С—20. 1. 2. 2. 1,4. С—21. 1. — 18. 2 .— . С—22; 1. 0; 1. 2. 8х; 4. 3. а) 7- 7- 775;
-фс (х ~ г 1Г
127](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-131-320.jpg)
. 3. 4. С—24.
1. (— оо; —7)U( — 7; — 5](J[5; оо). 2. — 24. С—25. 1. а) 10 cos 5*; 5; б) — - J j ^ ;
—6. 2. лп, ngZ. С—26. а) (—2; — 1); б) (— оо; — 1)(J(1; 3). С—27. а) у = —4л:—8;
в) 8. С—28. а) 6,085; б) —0,4699; в) 0,6018. С—29. 603 см2/с. С—30. а) Воз
растает на промежутке ( — оо; 2], убывает на [2; оо); б) возрастает на Л; в) воз
растает на каждом из промежутков (— оо;0] и [1; оо), убывает на [0; 1].
С—31. а) х = — 1 и х = 1 — точки минимума, / ( — 1)= /(1 )= — 1; х = 0 —
точка максимума, f(0)=l; б) х = —6 — точка максимума, (( —6 ) = —3;
х = 6 — точка минимума, / ( 6) = 3. С—32. х = —у/2 и х = д/2— точки минимума,
/ ( — [ 2 ) = f (-/2)= 0; х = 0 — точка максимума, /(0) = 4. С—33. х = — 1 — точка
минимума, / ( — 1)= — 1-— ; х — 1 — точка максимума, /(1 )= 1 — ; х = 0 — точка
О О
перегиба, / ( 0)= 0. С—34. max / (х) = / f-?-') = 1 4 -; min ( М = /(0) = 0.
И ] И ]
С—35. 8 c o s^ 4 x + -|- ); - 3 2 sin (4х + у ) ; 4; - 1 6 . С—36. 2. . С—38.
1. — g- + n п> n ^ Z - 2' + ’ n ^ Z ‘ 3' — т у + 2ля, n£Z . С—39.
а) [ - 3 ; 0)U[3; 5); б) [ - 5 ; -4]U [4; оо). С -4 0 . 1. а) - - ^ ; б) -*‘£ £ ± ^ 5 -21 ? ;
в) —sin 2х; г) 6 cos 2х (sin 2х —5)2. 2. 8. С—41. 1. Точка с координатами (1; 0).
2. у = —х + 3 . С—42. 1. Слагаемые 9 и 3. 2. х = —2 — точка максимума,
/ ( —2)= 4; х = 0 — точка минимума, /( 0) = 0.
Вариант 5
С— 1. 1. ~ и 2. 165° и 517°30'. 3. а) 1,3788; б) 0,6696. 4. а) 43°24';
5 У
б) 116°4Г. С—2. 2. а) Плюс; б) минус. 3 . С—3. 1. а )
б) ^ ; в) 2‘ - f sin22“- с- 4- *• 2- - W 3- - cos4“'
С—5. 1. а) (— оо; 1)U(1; 6)U(6; оо); б) (— оо; —2)11(2; оо). 2. - 1 5 ; х3+ Зх2+
+ 6х + 3. С—7. 1. Для любых х2> х , > 1 имеем: / (х2)—f(xl) = x2—Зх2—х3+
+ 3 x i= (x 2—Х|)(х2+ х,х2+ х1 —3 )> 0 , так как х2—х , > 0 и х2+ х,х2+ х ?> 3 .
2. Возрастает на ( — оо; 1], убывает на [1; 0). С—8. 1. а) —sin 34°43';
б) sin 0° = 0; в) t g 4 r - 2. —л/З. С—9. 2. х = ^ + ^ , AgZ, — точки макси-
7Т О ттЬ
мума, х = |— -— , k £ Z ,— точки минимума. 3. sin 100°, sin 150°, sin (—200°),
42 3
sin 10°, sin (— 100°). С— 10. 1. cos 70°, sin 40°, cos 40°, sin 70°. 3. Убывает
на промежутках - A n k ^ - + 4 n f tj , fcgZ, возрастает на промежутках
£ — ^ - + 4 n * j , k £ Z . С— 11. 2. Возрастает на промежутках
— - —р — ; “ + , ft£Z. 3. М ножество всех действительных чисел, кроме
8 2 8 2 /
чисел вида -т—Ь -тг» k £ Z . С— 12. 1. а) б) 0,1. 2.— . 3. а) 1,1130;
4 2 о 4
C j. 5л лА?
б) 2,4544; в) — 1,3258.С -1 3 , a) ± - ^ - + 2 n k , k £ Z ; б) — + 2л/г, k £ Z; в) — ,
, г, ^ . . ч ( л , 5л 2л& , , , г , Г л л/г л л/г
* € Z . С - 1 4 , а) ( т + — 1 ! - + — ) . ^€ Z ; б) [ - - + - у = T + t ) ’ ^
128](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-132-320.jpg)
. С—27. 1. у = х + 2. 2. у = —^ х + ^ - я + -^ -. С—28. 1. 5,9925.
32
2. 0,16. С—29. 1. 6Н. 2. 2 — м. С—30. 1. Возрастает на ( — оо; — 1] и на [2; оо),
4 5 ^
убывает на [— 1; 2]. 2. х = 1 — точка максимума. С—31. Убывает на (— оо;0]
и [3; 6]; возрастает на [0; 3] и на [6; оо); х = 0 и * = 6 — точки минимума; х = 3 —
точка максимума. С—32. 1. Возрастает на (— оо;2], убывает на [2; оо); х = 2 —
точка максимума. 2. а) ( — оо; оо); б) [— 0,5; 3,5]. С—33. Убывает на (— оо; — 1]
и на [0; 1], возрастает на [— 1; 0] и на [1; оо); * = ± 1 — точки минимума;
х = 0 — точка максимума. С—34. 1. min / = / ( — 2 )= — 55; max f = f (2) = 57.
[ - 2; 2] [ - 2; 2]
2. 4 + 2. С—35. 1. Д а. 2. х " = — 2х; А = 3; to = ->/2; ф = 2 я — 1. С—36. 1. 0.
„ , „ /к . v 2 — /2 _ „ , 2я „ л , л „ , л л
2. 4. 3. у/2— 1 и ' — - . С—38. 1. а) — ;б) — ; в) — — . 2. a) - g - ± —
+ я£, k£Z ; б) - j —(-лй, хо + л&, A+Z, хо = arctg 3 я; 1,249. 3. а) ^ — j —[
8 8
як
2 ’
k £ Z ; б) ^ + 2 л А ; - ^ + 2 л * ) , k £ Z . С—39. 1. а) [1; 3];
б) (— оо; 3)U(3; оо). 2. а) [1; 3); б) (1; 1,25)U(2; 3). С—40. а) 6х5- 1 2 х 3+ 6х2;
б) — ; в) 2 cos 2х; г) у — — г ; д) 34 (2х— I)16. С—41. 1. 1/ = х + 1 .
Л
1ЛМ8 1 2 )
-fx 3 cos'
( t - 0
2. a) 0,999; 6 ) 1,015. 3. 7; 8. С—42. 1. Возрастает на промежутке ( — оо; 1],
убывает на промежутке [1; о о ) ; х = 1 — точка максимума. 2. min / = / ( — 1)= 0,5;
m ax f = / ( 0 ) = l . 1- 1: 0,51
[- 1 :0 ,5 1
Вариант 6
С— 1. 1. -^ -и 2. 105° и 945°. 3. а) 0,9948; б) 1,5519. 4. а) 50°24'; б) 134°12'.
129](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-133-320.jpg)
![С—2. 2. а), б) Плюс. 3. -jL r; 4 “ - С —3- 1. a) 4 r i б) в) 1— . 2. 1.
УЙ) 3 2 . 2 -л/3
С - 4 . 1. ?-V t ± 3 g . 2. 3. 1. С - 5 . 1. а) ( - оо; 2)U(2; 3)U(3; оо);
б) (— 4; 4). 2. 4; 2л:3— блг' + бл:-!- 4. С—7. 1. Пусть 1^ jc2> jci ^ — 1. Тогда
f { x e b ~ x i ) ( x l - { - x 2xi + xi — 3 ) < 0 , так как x2— x > 0 , a xi + x2xi +
+ jc?< 3 (лг1^ 1, лс?<М, x 2x <C 1). 2. Возрастает на ( — oo;2], убывает на [2; оо).
С—8. 1. а) — sin 47°41у; б) cos 2°; в) c tg - J - . 2. У3- С—9. 2. x = ^ - - - n k ,
О ZU
fegZ,— точки максимума; х = —^ + л£, ftgZ ,— точки минимума. 3. sin (— 250°);
sin ( — 300°); sin 40°; sin 20°; sin ( — 150°). С— 10. 1. sin 15°; cos 70°; co s( — 20°);
cos 10°. 3. Убывает на промежутках —f-блЛ; —|-6n&J , fcgZ; возрастает на
промежутках £ — -i-jp -+ 6nfe; - ^ - + 6nftJ , fegZ. C— 11. Убывает на промежутках
^ ^ —(-2лб; Д ^ -+ 2 л /г ^ , k £ Z . 3. М ножество всех действительных чисел,
кроме чисел вида k £ Z . С— 12. 1. а) — б) — 0,3. 2. — 3. а) —0,8271;
о о о
б) 3,0641; в) 1,3068. С— 13. а) { - 1)*+‘ -j~ + n k , k £ Z; б) 2лА; — ^-+ 2 л Л ,
kez- в) у + ^ , * 6 Z. С -1 4 , а) ( - ^ —Ьл£; ^ + я * ) . * 6 2 ; б) ( — £ +
+ ^ ; 1 + + + Ч , * £ 2 . С -1 5 . а) -Т -+ Л *; х0+ лй, ft£Z, х0= arctg 3 « 1,249;
о «зо о / 4
б) - ■ ^ + Л Й , ft€2. С - 1 7 . ( ^ - + л А : + ^ ; _ . £ - + * * — у - ) , *£Z , n£Z .
С— 18. 1. а) 1; 2; б) 1; — 1. 2. 0,001. С— 19. 1. а) — 5; б) — 0,2. 2. а) 53;
Д у
б) — 2. С—20. 1. 0,5Длс; 0,1. 2. 3 —х0— g -; 3,95; 3,999; 3,999995; предел равен 4.
С -2 1 , a) б) 2х. С -2 2 . 1. а) 7*б+ 1 0 х 4— ; б) - £ ± g + l . 2. 1;
* 4 - ( - - • Ч М 4 - ~ М - т •
4 - ) ; б) 0 ; ( - 00; — 1)U( — 1; оо); 0 . С -2 4 . 1. а) [0; 4]; б) ( - 00; 1)U(2; 00).
/------
2. .1 + i L и V 1+ - - - 3. а) 191 (5х4- 4 х ) ( х 5- 2 х 2)190; б) "*■■■■ С -2 5 .
1 — 2 л/х 1 —2лс У 1 - х 2
2
а) 4 sin (3 —4х); б) -—а ; в) cosxcos(2x — 3) — 2 sin лсsin (2л: — 3) = cos(3x —
— 3)— sin л:sin (2л: — 3). C -2 6 . l . ( - o o ; — 1), (— 1; Г), (1; 3) и (3; оо). 2. а) ( - 00; 1)U
U(2; оо); б) ( - 3 ; — 1)U(— 1; 2); в) ( - 3 ; - |-)и [2 ; 6]. С - 2 7 . 1. у = х + ^ - ^ - .
2. г / = — 0,5х — 2. С—28. 1. 7,005. 2. 0,3. С—29. 1. 0. 2. 4,3375 м. С—30. 1. Воз
растает на (— оо; — 2] и на [1; оо), убывает на [— 2; 1]. 2. лс= — — точка минимума.
С—31. Возрастает на ( — 00; — 1] и на [0; 1], убывает на [— 1; 0) и на [1; оо).
С—32. 1. Возрастает на ( — 00; 1], убывает на [1; 00); х = 1 — точка максимума.
2. а) 0 ; б) (— оо; оо). С—33. В озрастает на ( — оо;0] и на [2; оо), убывает
на [0; 2]; лс= 0 — точка максимума; х = 2 — точка минимума. С—34. 1. m in^/ =
= f (0) = 3; m ax f = j { 1)= 24. 2. 6 + 2. С—35. 1. Нет. 2. х " = - 3 х ; Л = 4 ~ ;
130](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-134-320.jpg)
![и
ш = УЗ; ч = 2 . С—36. 1. —Ц . 2. — cos 8а. 3. 2 — л/3 и У2 + ^ • С—38. 1.
а) ; б) -g~: в) — 2. а) — у + ( — 1)*-^—-2nk, ££ Z ; б) -^ -+ л й ; х0+
+ л/г, fc£Z, хо = a rctg 0,32. 3. а) —(-2лА; л + 2лА ^, k £ Z ; б) ^
+ 2л*; ^ j - + 2 n k ) , fe£Z. С—39. I. a) (-o o ;2 )U (4 ; оо)-, б) 6. 2. а) ( - о о ; -2 ]U
U(3; оо) и х = 1 ; б) ( - о о ; - 2 ) U ( - 1 ,5 ; -1 )U (1 ; оо). С—40. а) 7х6- 1 0 х 4+ 3;
б) _ L d l^ . в) _ 5 s in 5 x ; г ) ------------------- г-;д) —6^ . С—41. 1. у =
2 V* 2 sin2 ( 4 _ + 5j W 7
= 7х— 2. 2. а) 1,001; б) 0,9982. 3. 23; 19. С—42. 1. Возрастает на промежутке
( — оо, 2], убывает на промежутке [2; оо); х = 2 — точка максимума. 2. min f =
[-2 ; 0,51
= / ( — t ) = — I; max f = f (0,5)=0,8.
I—2: O.Sj
Вариант 7
С— 1. t. 4 ^ и 4 т ^ - 2. 50° и 1740°. 3. a) 1,2462; б) 0,5111. 4. a) 2°6'; б) Г14*47'
oU 15
C—2. 2. а), б)Плюс. 3. — . C—3. 1. a) -y= ; 6) 0; в)— 1. 2. 1.
■■ ^ - # ■ з- й Н - ■> [ f = 2)
U(2; oo); 6 ) [2; 2,5). 2. a) — 1; 3; 0; — 1. С—7. 1. Убывает на ( — оо; 1) и на
(1,оо). У к а з а н и е . ^ 7 = 3 + — -. 2. х = 1 ,2 5 — точка максимума.
С—8.1. а) — cos41°43'; б) - c o s 20°; в) - t g Щ -= - c t g . 3. а) б) я.
О I (J Z
С—9. 2. sin 4; sin 3;sin 1; sin 2. 3.£ —у ^ -+ 2 л £ ; ^ - + 2 n * J , k £ Z . C— 10.
Л 2nk 71
2. — -— — , fegZ. 3. — + 2 л k, &£Z. С— 11. 1. М ножество всех действитель-
л nk / 2л
ныхчисел, кроме чисел вида ——|—— ,A£Z. 3.Возрастает на ( -------- -—-2nk;
Д.ТГ ТГ 7Я
— 4 -2 я Ы , k £ Z . С— 12. 1. а ) — — ; б) . 2. Первое меньше. 3. а) —0,3275;
б) 2,4966; в) 1.2729. С -1 3 , а) - ~ + п к , * € Z ; б) _ -£ - + ( - 1)“ ~ + nk, A£Z;
в) ^ + * 6 Z. С -1 4 , а)[ _ ^ + 4л*; _ ^ + 4я*] , k £ Z ; б) ( з - ^ +
+ 3лк-, З - ^ + З л ф k £ Z . С— 15. а) —у + 2лА>, k £ Z б) л*; - | - + л *. *£Z .
С— 17. ^ у + 2 л й ; 4 4 + 2 я л ^ ; + 2л£; у + 2 л л ^ , A£Z, n £ Z . С— 18. 1. а) — 0,5;
—0,5; б) 0,5; — 1,5. 2. 0,002. С— 19. 1. а) — 1 4 - ; б) 1 2. а) —6,5; б) 0.
3 * 8
С—20. 1. (2 х о -3 ) Дх + А х 2; а) -1 ,2 5 ; б) - 6. 2. ЗхК- 5 + Зх0Ах + Дх2. С -2 1 .
а) - 5 ; б) 2 х —4. С— 22. 1. а) 7х6- 15х4— б) 3* + 5 , 2. - 1 3 ; — - ;
хл[х 2 -у/х 13 ’
131](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-135-320.jpg)
![- , '4"ЕД ; - l4 . С -2 3 , а) 0; ± 0 .5 ; ( - 0 ,5 ; 0)U(0,5; оо); ( - о о ; -0 ,5 )U (0 ; 0,5);
(х + 5) х
б) 0 ; ( — оо; 2)U(2; оо);0 . С—24. 1. а) [3; 4)U(4; оо); б) [0; 41 2. sin3 x + 2 s i n x
и sin (x 3+ 2x). 3. а) 2020 (*3- * 4)(5*4- 4 х 5)100; б) ‘Л С -2 5 .
Ух —2х
2 / 2 3
а) — — sin ( -л -х — 1 I ; б) 3 cos Зх; в) —sin х cos 2х — 2 cos х sin 2 х гтг-.
3 3 / cos3 2х
С - 2 6 . 1. ( — оо; 0), (0; 1), (1; 6), (6; оо). 2. а) [ - 8; -2 )(J[9 ; оо); б) ( - 3 ; 4).
С—27. 1. У= 7 Г + - ^ ( х —у ) • 2- У= 2х — 4. С—28. 1. 4,01. 2. 2. С—29.
1. — 3 2 ^ ' 2‘ а ) "(Г ’ ^ с' ^ в о з р а с т а е т на ^ — оо; — y j и
на [1; оо), убывает на —у ; 1j . 2. х = ± У б — точки минимума. С—31. Убы
вает на (— оо; 1), возрастает на (1; оо), экстремумов нет. С—32. 1. Убывает на
( — оо;0,3], возрастает на [0,3; оо); х = 0 ,3 — точка минимума. 2. а) (— 2; — 0,5);
б) 6. С—33. Убывает на ( — оо; — 3] и на [5; оо), возрастает на [— 3; 5]; х = — 3 —
точка минимума; х = 5 — точка максимума. С—34. 1. min / = / ( — 4 )= — 130;
[ — 4; 2]
m ax f = f (2 )= 14. 2. 8 см; 2-/3 см. У к а з а н и е (рис. 13). Решим задачу в
более общем виде. Пусть в треугольник с основанием а и высотой Л вписан
прямоугольник наибольшей площади; найдем стороны прямоугольника и его
площадь: И з подобия треугольников А Р К и А С В имеем: (h —y):h = x'.a, откуда
x==a { h - y ) _ S = xy= zay ( ° - J } .' S ' и S '( y ) = 0 при y = j - . Д алее,
S (0) = S (Л)= 0, поэтому m ax S = S ^ y ^ = y . При этом x = 0 ,5 a , г/= 0,5/г. С—35.
1. у = А cos . 2. х" = — А = 2, о) = у , <Р= у • С—36. 1. — 1
2. — cos 4а. 3.
2 гг __ . . л л . Зл Зл&
у и У2. С—38. 1. а) л; б) — у ; в) - у . 2. а) — у - , A£Z;
б) ( - 1 ) * у + я £ ; (— 1)*+ 1хо+ л £ , ££Z , x0= arcsin 0,75яй0,8481. 3. а) ( —
у + у ) . &6 Z; б) ( ^ + л й ; ^ J + л / г ) , fe£Z. С - 3 9 . 1. а) ( _ о о ; ^ = ^ ) и
и № - ) = »»
з) [ — 5; у ) и х = 3; б) ( -
и(Чт;-т)и(1;оо>-
а) 8х7- 1 8 х 5+ 6х; б)
-4; - 3 ] . 2.
I)U
1 х
в) - у cos - у ;
С -4 0 .
Зх+ 6
2Vx+ 3’
2
Рис. 13
cos2(2x—у)
д) - 2 1 0 х ^ у - З х 2) 3’ • С - 4 1 . 1. у =
= — 2 х + 3 . 2. а) 1,00001; б) 1,015.
132](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-136-320.jpg)
![3. ; ~ ^ 2 ■ С —42. 1. Убывает на ( — оо; — 2] и на [0; 2], возрастает на
[—2; 0] и на [2; оо); х = ± 2 — точки максимума; х = 0 — точка максимума.
2. ш ах / = / (-—1) ==3; min /= = /( —2) = — 2.
1-2; 0] [—2; 0]
Вариант 8
4л 47л
С— 1. 1. и 2. 33°45' и 440°. 3. а) 0,4119; б) 1,4640. 4. а) 5°42';
б) 177°4Г. С—2. 2. а), б) Минус. 3 . -----; ----------- L . С—3. 1. а) ^ ; б) - 1 ;
уП) yio 2
■’ i - с - ' '■ J r i ' 2- 3- с- 5- '• ■' - 'W
астает наи ( — 1; 0°); б) ( - о о ; - 2 ) и [ у ; ° ° ) . 2. а) 1; 0; 0; 1. С—7. 1. Возр
( — оо; — 1) и на (— 1; оо). 2. лг= 1,5 — точка максимума. С—8. !. a) cos 33° 17';
б) tg 6 0 ° = y 3 ; в) cos — . 2. — /3. 3. а) 6л; б) л. С—9. 2. sin 1,5; sin 0,5;
sin 3; sin 4,5. 3. |Д + 2л£; ~ + 2 n * j , k £ Z . С— 10. 2. ^ + 6л*, k£ Z . 3. +
+4л& , k £ Z . С— 11. 1. М ножество всех действительных чисел, кроме чисел вида
^р + 3л£, k £ Z . 3. Возрастает на ^ k ^ 2" С— |2 - '• а )
б) 12° = - ^ . 2. arccos 1 < arctg 1. 3. а) 1,4279; б) 1,9538; в) — 1,3977. С— 13.
a) - y + nfe, А е г; б) Щ + 2л/г, £ 6 2 ; в) - у + ( - 1 )4 у + 2 я й , AgZ. С -1 4 .
. / я , л& я , л £ , _ , , Г 7я , 11я , ,1 , „
а) ( (Г Т : 12 " 3 ) ’ 6 ; б) |_24 ~24 ^ С- 15-
а) я + 2лА, £ £ Z ; б) лА; - 4 + я *. С— 17. + I -т- + 2 я я —
3 4 2 4 2 /
&6 Z, n ^ Z . С— 18. 1. а) 0; не определена; б) 1; 1. 2. 0,006. С— 19. 1. а) — 3 -}г ;
о
9
б) не существует. 2. а) — 163; б) —— . С—20. 1. 2хоАх + 2Ах + Ах2; а) —5;
б) - 1 у - 2. З х З -И + ЗхоДх + Дх2. С - 2 1 , а) - 7 ; б) 2х + 3. С -2 2 .
,. . ) 8, ' - 1 2 ^ 2 . 5 ^ « А Ь й . 2. ± ; J g ; ' ;
С -2 3 . . ) 0; ± 1 ; о ) и ( | ; « ) ; ( - - ± ) и (о ; ± ) ; б) - 3 и
7 ; ( — оо; — 3)U(7; оо); ( - 3 ; 2)U(2;7). С - 2 4 . 1. а) [ - 2 ; 14)U(14; оо); б) [0; 25).
2. (cos х + I)4— 2 cos х — 2 и cos (х4— 2 х ) + 1. 3. а) 3633 (х2—х6) (7х3— Зх7)'72;
Зх? з 3 /3 v I
б) — ------ . С— 25. а) — cos ( — + I ) ; б) — 2 sin 2х; в) --- *— (-cos х sin 2х +
2 У х ^ У к 7 V 7 т У
+ 2 sin х cos 2х. С—26. 1. ( — оо;0), (0; 2)- (2; 3); (3; оо). 2. а) (— оо; —2)U(0; t]U
U[3; 5]; б) ( — 2; 3). С—27. 1. у = “ у ( х - у ~ 2 ^ • 2. у = - 2 х + 2. С—28.
2 8 о
1- 9-^-—. 2. 0,0014. С—29. 1. —зс=Н. 2. 1,04 — ; 25с. С—30. 1. Возрастает на
300 27 с
( — со; оо). 2. х = ± У б — точки минимума. С—31. Возрастает на ( — оо ; 3),
убывает на (3; оо), экстремумов нет. С —32. 1. Убывает на возрастает
133](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-137-320.jpg)
![на оо^ ; точкаминимума. 2. а) [—3. 11]; б) ( — оо; — 4)U( —4; оо).
С—р33. Убывает на ( — оо; — 2] и на [4; оо), возрастает на [— 2; 4]; х — — 2 — точка
минимума; х = 4 — точка максимума. С— 34. 1. m in / = / (1 )= 5 ; m ax f —J (4)= 62.
(I; 4] [1; 4]
2. 12 см, 3V3 см. У к а з а н и е. См. указание к вар. 7. С—35. 1. у = 4 cos ^2х + - ^ .
2. х " = - 9 х . С—36. 1. 2 + ^VlO 2 _ J _ cos4(X. з. - д / l ; J j L . С—38. 1.
9 4 V JO V 3
. 5л л . л л . зх , л к л . л к . , _ л; , _ .. , _ _
а) -6 ; б) ~ Т : в) Т - 2- а) -6-+ y ; Т 8 + Т ’ ckeZ; б) ±-з+2п*’ *ег-
3. а) ^— я + 2я/г; - y + 2 n f c j , * 6Z ; б) ^ + п* )> С—39. 1.
„ ( ± - Е , 5 ± з И ) , о , г. { - о о ; - 1 ) и [ 8 ; ~ > ; 6, ( - » 4 ) и
u f - ^ ; 4-^U (2; оо). С -4 0 , а) 3 — 21хг + 2хг+ ’9 ^ б) 3^,+ 10 ; в) - 0 ,3 sin 0,Зх;
*о * / 2-yjc тЬ 5
г) 3------ -- ; д) 80х (5х2— I)7. С—41. 1. у = — Зх— 3. 2. а) 0,999999; б) 0,9895.
sin2 ( ^ — Зх)
2 4
3. — ; —ТоЕ- С—42. 1. Возрастает на (— оо; — 1] и на (0; 1], убывает на [— L; 0]
ZO 1ZJ
и на [1; оо); х = ± 1— тонки максимума; х = 0 — точка минимума. .2. т а х ^ / =
= / ( — 2) = 22; min / = / ( 0) = 2.
1— 2 ; в ]
Вариант 9
л 9зс 9л
с — 1. 1. ~ . 2. а) - 7 2 ° ; б) — 4248°. 3. 22°30'; 52°30'; 127°30'; 157°30';
0,3927. 4. 35°25'; 21°53'. С—2. 2. а) Минус; б) плюс. 3. 2 ctg а ; — 1. С—3. 1. 1.
2 .1 . С—4. 1 -4 - ..2. - 2 4 - . 3. cos 8а. С— 5. 1. a ),[— 1; 0)11(0; 3)У(3; оо); б) [0; 20,25].
О 4
2. а) 8; 5; 3; х2. С —6. 1. а ), б) Д а. С—7. 1. а) Убывает на ^ — оо; , возрастает
на ° ° ) 1 0) возрастает на ( — оо; — 1] и на [1; оо), убывает на [— 1; 0) и на
(0; 1]. 2. а), в), д) Возрастает; г) убывает. С—8. 1. См. рис. 14. 2. а) я; б) я-/2.
3. а) Р е ш е н и е. Пусть Т > 0 — период функции f (x) = sin х2. Тогда f ( T ) = f (0) =
= 0 , поэтому 7 имеет вид -1лпо, где (так как sin х2= 0 при х2= л я , т. е.
х — +л[лпо)- Но тогда на интервале (0; 7) функция имеет (по—Т) нулей (в част
ности, при по— 1 ни одного нуля), а на интервале (Г; 27) имеет 4по — по— 1— Зпо— 1
нулей. Следовательно, Зло— 1 = п о —1, откуда яо = 0, что невозможно, так как](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-138-320.jpg)
![по — натуральное число; б) у к а з а н и е : / (х) = 1 только при х = 0, это сле
дует из иррациональности -у2. С—9. 2. [2; 3]. 3. Плюс. С— 10. 2. Решение.
л л _ л л л л ,
sin , поэтому cos sm — -> co s — , a c o s — > sin cos — (так как x > s m x,
где x — cos-y-)- 3. М ножество всех действительных чисел, кроме чисел вида
, k£Z. С— 11. 1. D (/) совпадает с D (tg) £ (/)— (0; 1]. 3. tg 5; tg:2;
tg 10; tg 7. С — 12. 1. a) 0,96; б) З л — 10. 2. Р е ш е н и е . ■— — arcsin xg[Q; л] и
cos — arcsin x^ = s in (arcsin x) = x. 3. a) — 0,8223; 6) 0,8025. С— 13.
Л Jlk л zzk
а) ( — l)t + 1т п + т г • k£Z] б) -Г5-+ - 5- , k ^ Z . У к а з а н и е . Уравнение приводится
12-; 2 1x5 о
к виду tg Зх—~ , после решения которого, надо проверить, что при получен-
л/з
л it Ttk~ ( 9л
ных значениях определены t g x и tg 2х; в) 42 ± ;'д ‘ + _з ' • kZ Z . С— 14. а) f —
tS+"*) ;(Й+^;т +лк) ' ( т +лй: ш +лк) :{т£+л*;й +л*) -*е2-
У к а з а н и е . Неравенство приводится к виду tg ( х - Ь - ^ < - 4 . после решения
L 5Я , и Л ,которого из полученного множества надо исключить числа вида — + як, ~у~г
+ л к , при которых не определен t g^ 3xH— или tg 2х; б) + ,
* 6Z. С— 15. а) хо~-—у , ftgZ, x0= y a rc tg ( — ^ « . —0,58; б) — ^- + 2лк
( - l f ^ + л к , k £ Z . С -1 7 . ( ( — I)4 -g -+ „ n ; ( - l ) * J L + f 0 С -1 8 . 1. а) 1; 3;
б) не существует; 1; в) ( — 2; 2] и точка 3. 2. 0,39. С — 19. 1.а) 2,5; б) 6. 2. а) 4;
3
б) — . С—20. 1. Второе больше (в обоих случаях). 2. Зх2— 4хо + 4+{Зхо — 2) Дх +
+ Дх2; Зхо —4хо + 4. С—21. а) 4=.— Зх2; б) -— Ц , . С—22. 1. а) 2 - л [ х -
, л/х (х ~ Н 2
1 Sjc -1-9г
—— 5.4*17; б) —— . 2. 0. У к а з а н и е . /( * ) = * х и / ' (0) =
2 -Д* 2 у х
— lim — — - — lim lim k l = 0 (так как функция g -(* )= U j непре-
Xr-^ 0 X х-*-0 X х-»-0
рывна в точке 0). С—23. а) ± 2 ; ( — оо-; — 2)U(2; оо); ( — 2; 2); б) 0; (0)1);
( — оо; 0)U(1; <»)• С —24. 1. а) ( —л/П ; —л/7)U(л/7: л/ГТ); б) [4; оо) и точка 0.
2. fn (х)— 1— — при ri = 3k — 2, f„ (х )= — * t при ti — 3 k — , f„{x) = x при /г— Зй,
*€Л7; D (/) = ( — оо; 0)U(0; оо); D (/„) = ( — оо; 0)U(0; 1)U(1; °°) при п^=2. 3.
а) — ----; б) 27 ( х 2— 4 V *) (*3—^ V*)8- С—25. а)5 cos 5х; б) 0 при
2.л/Зх?-1-2х2- 12 V 2 /
xZD(J) в) З-у’г з ш 4 x s in (2 x — . С—26. 1. При 0 < а < 4 . 2. a) [—V2; — 1]U
и ( - Т ; т ) и (1 :^ ); б) ( _ 4 ; — 3)U( — 2.5; - 2 ) . С -2 7 . 1. 2. у =
= _ L _ 4 ? j x - Л). С—28. 1. 1,012. 2. 0,9009. С—29. 1. 4с; 2 1 — . 2. Р е ш е н и е .
у/2 6 с
135](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-139-320.jpg)
![S' (0= - 7 7 ^ W '' * ' ( 0 = Л а ; f = m 0s "(0 =
6т 0
(t—2)3 ’ " w _ (<-2)4’ 4V_(<-2)4 -
= 6mos2 (1). С —30. 1. Возрастает на ( — оо; оо). 2. х =
= — 4 + л^. ^ 6 ^ ,— точки максимума; х = -^ - + лй, ft£Z,—
о о
точки минимума. С —31. Убывает на (— оо; 1) и н а |^ ^ I °°у .
возрастает на 1 х = ~ ^ — точка максимума. С—32.
1. Возрастает на ( ~ " 001'[У > убывает на
x — j 2 — точка максимума. С—33. Убывает на (— оо; — 1],
возрастает на [— 1; оо); х = — 1 — точка максимума.
С—34. 1. max/ = / ( l ) = l ; m in / = / ( — 1 ) = — 1. 2. 3 м2.
R R
X co s ^ 2 / + - ^ . Р е ш е н и е . Х (< )+ х2 (0= 3 ^cos 2/ +
+ c o s ^ 2 < + - = 6 cos ( 2/ + - ^ c o s ^ - . 2. ± 3-/3.
С — 36. —Щ . 3. tg 7 5 ° = 2 + V 3 и cos 7 5 ° = ^ ~ л /2. С — 38. 1. а) | | ;
б) у . 2. а) k e Z , к ф 7 п (где я £ 2 ). K Z ; б) - J + y ;
Т + Т ;М+ Й ’ *€Z- 3- а) ( ~ т +2я*; Т +2я* ) ’ б) [ ~ Т +
+ 2я&; 2nftj ,j^^-)-2nfe; n + 2nfej , k £ Z . С—39. 1. a) (— 0 0 ; —8]U
U[-4;4]U[8; 00); 6) (3; 4). 2. a) ( - 2 ; - 1)U(2; 00); 6) ( - 0 0 ; - 7 ) U ( - 4 ; - 2 ) .
C—40. 1. a) — 4 — 4 — % J 6) -------- * — ; в) x2 sin x ; r) 66 (3x2— 2x) (x3—
X X X x2 Ух2-)- 1
—x2)65.2. (— oo; 0)U(2; 00). С—41. 1. y = 1 и y = — 8x + 9. У к а з а н и е . За
пишите уравнение касательной, проходящей через точку (хо; — Хо— 2хо). (Это
уравнение имеет вид у+Хо+2хо = (—2хо — 2) (х—х0), т. е. у = ( — 2х0—2) х+х§.)
После этого найдете х0 из условия у (1)= 1, откуда х0= — 1 или хо= 3. 2. а) 1,0004;
3
б) 0,5302. 3. — jg Н. С —42. 1. См. рис. 15. 2. Правильный.
Вариант 10
тг ТГ 4ТТ.
С— 1. 1. -£•; -£• ; 1L■; -Д.■. 2. а) — 144°; б) —4176°. 3. 40°; 65°; 115°; 140°; 2,4435.
о о о Ь 2
4. 89°28/; 139°43'. С — 2. 2. а); б) Минус. 3. 1—sin а ; 1-1—- . С—3. 1. 1. 2. cos 2а.
т/5
С -4 . 1. - - 1 . 2. - 1 ^ - 3 . - 2 sin22а. С -5 . 1. а) [1; 17)U(17; 00 ); б) [ о ; •
2. — 16; 9; 8; Зх2+ 5. С—7. 1. а) Убывает на ( — 0 0 ; y j , возрастает на ; оо^ ;
б) убывает на (— 0 0 ; — 1] и на [1; оо), возрастает на [— 1; 1] 2. Например,
136](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-140-320.jpg)
![У
5 7 "_ 4Т -Т 2 Т Т О
~3 3 ' з "з
Г / Г У Г У Г
Т 2Т Т 4 7 5 7
3 5 5 5
Рис. 16
a) f[x) = 2x, g ( x ) = x ; б) f{ x ) = x g (x) = 2x в) / ( х ) = 2 х + х ; g (х)= 2х;
г) f {х) = 2jc+ sinjc; g (x ) = 2x. С—8. 1. Рис. 16. 2. а) Зл; б) з. а) У к а з а -
О
н и е. Пусть 7 "> 0 — период функции. Тогда f(T )= f(0 ), поэтому Т имеет вид
Т — л 2п2, где n £ N , f (2 T )= f (Т) = 0, поэтому 2Т имеет вид л 2*2, где * 6Л Но
тогда 2л2п2= л 2*2, откуда ->j2— ~ , что противоречит иррациональности у/2. Другой
способ рассуждений: период не меньше расстояния между двумя соседними нулями
функции, а это расстояние (л2 (* + I)2— л 2*2= (2* + 1) л2) можно выбрать большим
любого наперед заданного числа Г > 0 (взяв достаточно большое к ) ; б) у к а з а
н и е . / (х) = 2 только при х = 0; это следует из иррациональности у/2. С—9. 2. [0; 8].
3. Минус. С— 10. 2. У к а з а н и е , cossin l > c o s l> s in c o s 1 (подробнее см. ре
шение вар. 9). 3. М ножество всех действительных чисел, кроме чисел вида
* 6 Z. С— 11. 1. D (/) совпадает с D (tg); £ ( / ) = [ — 1;1]. 3. tg 12; tg 9; tg 6; tg 3.
С— 12. 1. a) 0,28; б) 4 л — 10. 2. Р е ш е н и е . a r c c tg x = —— arctg х, поскольку
9906.ctg — arctg x^ = tg a r c tg x = x и 0 < -^ - — arctg x < n . 3. a) 0,7622; 6) 0;
C -1 3 . a) ( - l ) ‘+ ' 4 + ^ , *gZ ; 6) - У + n k , ^ + лk, * 6 2 . У к а з а н и е .
О 2 12 12
Уравнение приводится к виду tg З х = — 1, из множества решений которого (это
31 I пп п , яп
множество чисел вида — ’ п ^ ' надо исключить числа вида ~ —-— ,
n £ Z , при которых не определен tg 2х, и проверить, что при полученных значениях
1 г; П 1 n k Я t Zlk ЗЛ , Jlk . _ _
определен tg 5х; в) g j + ^ g . k £ Z . С -1 4 , a) ; 2 8 + ~ 2 / ’ 6 ’ У К а '
з а н и е (см. указание к вар. 9); б) |^ - + я*; ^ + n*J , * 6 2 . С— 15. а) у + 2я*;
. 5я , „ , , л , 2л* „ / я , л/г я , я* ,
± -g - + 2n*, * €Z; б) 2л*; -g--|— g- . С— 17. ^ л я ; - ^ - + - < r + n n )>
« 6 2 . С— 18. 1. а) 0; 0,5; б) не существует; в) ( — 1; 2,5) и точка 3. 2. 0,36.
7 1
С — 19. 1. а) — ; б) 10. 2. а) ; б) —42. С—20. 1. Первое больше в обоих слу
чаях. 2. Зхо + 4*о — 5 + (Зхо + 2) Дх + Дх2; 3xo-f*4xo — 5. С—21. а) 2 х ;
1 1 5 ^
б) - Т - - а . С - 2 2 . 1. а ) - - ---- — + 1 0 U 100; б) 7,5л:у/х-3,5х*-фс. 2. 0.
4 х ^ х 2-yJx
У к а з а н и е , f (х )= х 2х и / ' (0 )= lim ^ ^ — lim хх — 0. С—23. а) — 2
Jt-vO х х-*-0
и 1; ( —оо; —2) и (1; оо); (—2; 1); б) - З и —1; ( —3; —2) U(— 2; —1); ( —оо; — 3)U
137](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-141-320.jpg)
![U(— I; оо). С—24. 1. a) (--*/5; -2 ]U [2 ; у/5); б) [1; оо) и точка 0. 2. /„ (*) = j------
X — 1
при n — 3* — 2; U {x)— —^r~ при n = 3 k — 1; f„ (x )= x при n = 3 k , k £ N , D (/) =
= ( — oo; 1)U(1; оо); О (Jn)— ( — оо; 0)U(0; 1)U(1; оо) при n ^ 2 . С—25. a) — 5 sin 5*;
6) — . ; в) —4x sin (4x2—6) cos2 (2x? — 3). C -2 6 . 1. При a > 2,25. 2.
sin (2* -f-2)
a) ( - o o ; - 2 ) U ( - V 2 ; - 0 , 5 ] u [ y ; V 2 )u (2 ; °o); 6) (2; 2.5)U(3; 4). C -2 7 . 1.
(M 3) ‘ + T - -
. C —28. 1. 0,9976. C—29. 1 .7 c; 23,5 — . 2. P e in e-
12 с
и и e. s' (/)= —
(21-1)'
16
F = moa-
16m0
(2/ —1)'
= 2m 0s 3 (t).
3-V3 .C —30. 1. Возрастает на ^ — oo; ^ з ^ ~ ] и lla | * ~ • 00 ) ■убывает на
• 2. х = я£, fcgZ,— точки минимума; х = - ^ - + л к , k £ Z ,— точки макси
мума.С—31. Возрастает на ^ — ° ° ; — 4 и на ( — 2; оо), убывает на
—4 - i - ; — 2 ^ ; х — — 4-^ точка максимума. С —32. 1. Возрастает на
^ - оо; — j , убывает на £ — ' ° ° ) ’ х ~ — ^ ~ точка максимума.
2 р — 2 ^3 _ 3 + 2V 3) ^ у (х) _ 2 [х— 1)2> 0 при х ф , поэтому / возрастает
на ( — оо; 1], в частности, f ( x ) < f ( t) = - |- при х < 1 . С—33. Убывает на ( — оо; — 2)
и на [2; оо), возрастает на ( — 2; 2]; х = 2 — точка максимума. С —34. 1. D (/) =
= [ - 2 ; 1], ш ах / = / ( - 0 , 5 ) = 1,5; min / = / ( —2) = '
[-2: 1] [-2; 11
= f ( l ) = 0. 2. 40 см.У к а з а н и е . Обозначим боль
шее основание через 2х. Тогда Л = У 2 02—(10— x f =
= У 3 0 0 + 2 х -л г !; 5 (x)==2 f ± 2 2 A = (x + 10).y300 + 2 0 * -
.S' (*) = 400 + 2* ,...? £ L и S '(^ ) = 0 при дсг= 20. Д алее,
у з о о + 20* - +
D (S) = [10; 30], S (20) = 300УЗ > S (10) = 400, S (30) = 0.
Чя
С—35. 1. 2 cos — cos
о
2. 0. Решение.
x(t) = 2 cos (51 + <р), при этом х(0) = 2, т. е. c o sq > = l.
Д алее xf (t)= — 10 sin (5/+<р) и xf (0 )= — 10 sin <p=0.
-|^ .3 .tg l5 ° = 2-y3; -cos.5° = - ^ ± ^ .C—36. 1.
С —38. I. a> i g ; б) Y . 2. a) 2nk, AgZ; б) . як, k £ Z .
3. a) ( - i + 2nft; Y + 2 afe), k £ Z ; 6) | - + 2лй; y +
+ 2 n k , ] ^ + 2nk у + 2jia] , k £ Z . С —39. 1. a) [ - 6; -2 ]U
U[2; 6i 6) ( - oo; 0)U(0; 3>U(5; oo). 2. a) ( - 2 ; 0)u[-|; 2) ;
138](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-142-320.jpg)
![Ч 4 Ч 1 -4- Ч г 2
б) ( - 3 ; —2)U(— 1; оо)- С -4 0 . 1. а) - 4 + 4 - 4 ; б) г ‘; * - ■; в) *2Х
х х х У х (1— х2)2
X cos х; г) 42(4х3— Зх2)(х, — х 3)4'. 2. [— 1; 0)U(0; 1]. С—41. 1. у = и i / = — 8х — 7.
2. а) 1,0016; б) 1,1047. С —42. 1. 3. У к а з а н и е . Функция f{x) = x 3— 9 * + 1 0
возрастает на промежутках ( — оо; — ^3], [УЗ; оо), убывает на промежутке
[— [3^[3] (рис. 17), поэтому она имеет на каждом из этих промежутков не
более одного корня. При этом корень существует на каждом из этих промежут
ков, так как функция непрерывна и, например, / ( * ) < 0 при больших по модулю
отрицательных х, a f ( —-у 3 )> 0 . 2. Правильный.
П р о в е р о ч н ы е р а б о т ы
П Р — 1. Вар. 1. 1. 0,6; — 0,8; sin я = 0; cos я = — I; sin (— 630°)= 1.
2. у см. з, ± у * . 4. 0. 6. Минус. 7. Например, /(х ) = х3. 8. 0,75. 9. 0. 10. 2.
Вар. 2. 1. у ; у ; t g y = l ; c t g y = l ; ctg ( —450°) = 0; tg 5 4 0 ° = 0 . 2. 2,45 м2.
3. ± 4 - - 4. 5 sin a cos а (т. е. 2,5 sin 2а). 6. Плюс. 7. Например, / ( х ) = х 2.
У3 ,—8. 2,7. 9. У0,1 . 10. 2 cos (р — a )c o s(P + a).
П Р — 2. Вар. I. D (/) = (— оо; оо); Е (f) — (0; 1]. 2. Убывает на ( — оо; 1],
возрастает на [1; оо). 4. Возрастает на ( — оо; оо), экстремумов нет. 5. sin 4;
sin 6; sin 2. 6. а) ~ ; б) я. 7. а) 0; б) 1. 8. л; 9. а) 4 + 4 . &€Z;
3 о 1о 2
б) - 2 ± у + 4 л * , kez. ю . а) ( у + у ; т + т ) ’ ft€Z; б) _ т + 2л*> fefEZ
11. ( J ^ + nk + nri; —^ + л й — я n j ^ —- ^ + л £ + я л ; —^ + л£ — лл^ , £gZ ,
n(:Z. Вар. 2. 5. х = — -^r+ n k, k £ Z ,— точки максимума; x = ^ + nk, &6 Z ,— точ-
1и о
ки минимума. 6. а) 4л; б) л. 7. — . 8. а) Д а; б) нет. 9. 4-{-( — 1)*
. 4 Ь о
A+Z; б) ± у + у . b t z . 10. а) ( _ у + 2лк; у + 2л* ) , *£Z ; б) ( - у + у ;
у + у ] , 11- ( у + 2лк-, у -2 л й ) , *gZ.
ПР — 3. Вар. I. 1. а) ( — oo;0,5]U [l; <»); б) (— 1,5; 1)U(2; 4). 2. 1/ = — 4х — 4.
3. 9х2— 9х; - 4 - sin 4 — 2 cos 2х. 4. а) (12/3—6#*)— ; (3612— 1 2 1 )4 . 5. З х + 2 ;
, С С 2У х+ 1
2,75. 6. 2 2 , 0 3 . 7. Убывает на [0; 1], возрастает на [1; оо). 8. х — — точка
32 3
максимума; х ~ — точка минимума. 9. Возрастает на ( — оо; — 1] и на [1; оо),
убывает на [— 1; 1]; х = — 1 — точка максимума; х = 1 — точка минимума.
10. min f = f (2) = 4; гтшх / = / (1 )= 5 . И . у " = — 3у. Вар. 2. 1. а) ( — оо; 0 ] ll[ y - ; ° ° ) ;
б) ( оо; 3)(J( 1; 2)U(6; оо). 2. « /= 1 2 х -1 9 . 3. 5 х - 5 * 4; _ 2 + ^ —
COS Z a . п X
Sin2 у
1 о __ у
4. а) 8/3— 1; б) 63 р ад/с; со(1)= 0 при t — -^ -. 5 .-------- - ; 0. 6. 600х2 (2х3— 1)"
2 2 х 2 У х — 1
139](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-143-320.jpg)
![7. Возрастает на R . 8. х = 0,25— точка максимума. 9. Возрастает на (— оо; —2]
и на [0; оо), убывает на [—2; — 1) и на (— 1;0]. !0. а) 12+ 0; б) 6 + 6.
11. у = A cos (0,5х + ф).
П р и м е р н ы е к о н т р о л ь н ы е р а б о т ы
К— 1. В а р , 1. 1. а) —- у ; б) - Щ - в) 2. а) - 0 ,8 ; б) - Ц М .
4. т 2— 1; У2. В а р . 2. 1. а) — 0,5; б) - у ; в) — УЗ. 2. а) 4 ; б) -—
4. 1 - л 2; -л /2 . В а р . 3. 1. а) — Д б) в) Щ . 2. а) -0 ,6 ; б) - 7 . 4. р = - 2 ,
n €Z. В а р . 4 . 1. а ) ^ ; б) - 0 ,5 ; в) у . 2. а) -0 ,8 ; б) - 7 . 4. р =
^ "У3
= х + 2, х ф 2 , х ф - ^ п , n £ Z .
К—2. В а р . 1. 1. [ - 2 ; 3)U(3; оо). 2.0,5. 5. [о; у ) ( j ( y ; у ) и ( у ; &]■ В а р . 2.
1. [- 0 ,5 ; 2)U(2; оо). 2. 1,5. 5.[ - 4 ; - я ) 1 1 ( - я ; 0).В а р . 3. 1. ( - оо; 0)U(0; 1].
2 . ^ . В а р . 4. 1. ( - о о ; —3)U( —3; -1 ] . 2. -1 ,5 .
я 2л
К—3. В а р . 1 . 1. а) — —+ 2лл, n £ Z б) 2лл, ± у + 2 л л , n £ Z ; в) ял,
— -7-+ ЛЯ, n£Z. 2. — ^- + 2 л л ^ х < 4 + 2ял, a£Z. 3. ( — ^- + 2лл; 4 —2ллУ
о 6 6 4 4 /
n£Z ; ^ —у + 2 л £ ; у — 2nk^ , k £ Z . 4. 2лл =£(х л + 2лл , a£ Z . Вар. 2. 1. а) л +
+ 2лл, n£ Z ; б) у + 2лл, (— 1)"+ | у + лл, a(EZ;в) у + лл, у + лл, n £ Z .
2. у + 2 л л ^ х ^ у + 2лл, ngZ. 3. + 2ял; у — 2лл^ , n£Z; ^ — у + 2лк
у —2лk j , ftigZ. 4. у + 2лл < + < у + 2лл, п 6 Z. Вар. 3. 1. a) ( — l)" у + лл, л £Z;
б) я + 2лл, ± у + 2лл, a£Z; в) —у + лл, arctg 3 + лл, agZ. 2. — ^ - + л л ^ х <
< 4 г + я л > n£Z. 3. ( 4 л + 2лл; — л —2лл ), ngZ. 4. —4 + 2 я я ^ х ^ 4 г +
2 4 4 / 6 6
+ 2яя, ngZ. Вар. 4. 1. а) ± у + 2лл, ngZ; б) —у + 2ля, (— 1 ) " у + ля, n£Z;
тг я л / Зл
в) у + л л , —arctg 2 + лл, ngZ. 2. — —+ ял < х г ^ у + лл, n£Z. 3. +
+ 2 ял; 4 + 2 ллУ n £ Z . 4. —^ + 2 я я < л : < ^ + 2яя, agZ.
4 / 3 3
6 3
К—4. В а р . 1 . 1. 1,56. 2. а) х2+ 2х + 2; б) —у — ^л/х; в) g ' (х)=4 cos х,
g ' ( - y ) = - 2 ; г) А ' ( х ) = - £ - р ] , ; А' ( 1)= 8. 3. 2. 4. / ' ( * ) - - |х|.
/ ' ( 0) = 0. Вар. 2. 1. 1,12. 2. а) - 2 * 2+ 4 х - 1 ; б) - ) ^ + y V x ; в) g ’ (х)=
= —3 sin х, g ' ( - ^ ) = l,5; г) А'(х) = - ^ 4 _ 5; Л '( 1 ) = - 7 . 3. 3. 4. /'(*) =
= 4 |х|, Г(0) = 0. Вар. 3. 1. 5,25. 2. а) 2х2- 2 х - 7 ; б) - 4 r + - | j = : в) g ' (х)=
хх З у х
140](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-144-320.jpg)
![- s h ' « ' ( ~ т ) - 4; г) * 'и - 5 Т з ? ' 3- 4- «• гМ -л 5 = Т
4 3 4 / 2лЛ
Вар. 4 1.2,78. 2. а) - * 2+ 8* + 2; б) в) * ' (*) = , г ' ( ~ т ) =
= - 5 у ; г) Л 'W = - ( ^ j 5. Л '( 4 ) = - 1 3 . 3. 2. 4. * ( * ) = У ? + 2 .
К—5. Вар. /. 1. (— с» ; — 3)U(3; 5). 2. 6 см/с. 3. - j - . 4. у = 2х. 5. ( — оо; — 1];
х = 1 . Вар. 2. 1. (— 5; — 2)U(2; оо). 2. 8 см/с. 3. - j - . 4. у — — 2 х — 2. 5. [0; 5];
х = — 5. Вар. 3. 1. ( — оо; — 1,5]U[1; 5). 2. 36 см /с2. 3. — . 4. у = 2 х — 4. Вар. 4.
1. [ — 3,5; 2]U(4; оо). 2. 36 см /с2. 3. у . 4. у = - 2 х - 4 .
К—6. Вар. /. 1. Возрастает на ( — оо;0] и [2; оо); убывает на [0; 2]; х = 0 —
точка максимума; х = 2 — точка минимума; f(0) — 4, / ( 2) = 0. 2. Слагаемые 8 и 4.
4. —6 ,3 < ! ф '( д :К — 2,3; ф '(л:)<;0 для любого действительного х. Вар. 2. 1. Убы
вает на ( — оо; 0] и [2; оо); возрастает на[0; 2]; х = 0 — точка минимума;
х — 2 — точка максимума, /( 0 ) = — 4, / ( 2) = 0. 2. Слагаемые 6 и 3. 3. х" =
= —4лг. 4. 1,2sg;/' ( х ) ^ 5,2; f (х) > 0 для любого действительного х.Вар. 3.
1. Возрастает на (— о о ; —2] и [2; оо); убывает на [— 2; 2]; х — — 2 — точка
максимума; х = 2 — точка минимума. / ( —2) = 2-^-, / ( 2 ) = — . 2. Слагаемые
О о
6 и 2. 3. У ' = —4х. 4. Уравнение имеет один корень, если с > 2 ~ - или с < — 8-^-;
о О
два корня, если с — 2-^- или с = —8-^-; три корня, если — 8-^- < с С 2 -j-. Вар. 4.
О о о о
1. Убывает на ( — оо; — 2] и [2; оо), возрастает на [—2; 2J, х — 2 — точка макси
мума; х = —2 — точка минимума, / ( —2 )= — 2 -r-, f (2) = 8-5-. 2. Слагаемые 9 и 3.
О О
3. Например, при А = 1, ф = 0, y = cos It. 4. Уравнение имеет один корень, если
т > 8-^- или т < — 2-^-; два корня, если т = 8-^- или т — — 2-^-; три корня,
если —2- ^ - < m < 8- i - .
К—7. Вар. 1. 1. а) | + | л , « € 2 ; б) ~ + | я , n € Z. 2. - 2 . 3. а) - - £ • +
+ 2ля < х < - ^ - + 2 л п , ng Z ; б) ( — 00; 0]U[2; 4). 4. Возрастает на ( — оо;0] и
[2; оо), убывает на [0; 2]; х — 0 — точка максимума; х = 2 — точка минимума,
/ (0 )= 1 -i-, f(2 )= 0 , 0 < f ( r ) < l - |- , если — l ^ x ^ 3 . 5. х2+ х + 1 > 0 для всех х,
О О
поэтому 4Х2— 9 < 0 , — 1 ,5 < л г< 1,5, c o s x > 0 . Вар. 2. 1. a) « 6 2 ;
б) | + | n , ng Z . 2. 1. 3. а) -^- + 2 л п < х < ^ + 2лп, n £ Z б) ( — 1;0]U[4; 00).
4. Возрастает на (— оо;0] и [1; оо), убывает на [0; 1]; х = 0 — точка макси-
1 2
мума; х — 1 — точка минимума, f (0)= — 1— , / ( 1) = — !— , —3 < / ( х ) ^ 0 , если
о О
— 1 ^ х ^ 2 . 5. х 2—х + 1 > 0 для всех х, поэтому х 2— 3 х < 0 , 0 < х < 3 , s i n x > Q .
Вар. 3. 1. а) ± ~ + лп, n £ Z б) —^ + «■ « 6 2 . 2. — I. 3. а) ^р + 2 я п ^ х <
5Я
+ 2лл, n g Z ; б) ( — 1;0)U(0; 1)U(3; оо). 4. Возрастает на (— оо;0] и [1; оо),
141](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-145-320.jpg)
![убывает на [0; 1]; * = 0 — точка максимума; х = 1 — точка минимума, / ( 0 )= 5 ,
/(1 ) = 4. Корень уравнения — 1. 5. х2+ 1 > 0 для всех х, поэтому х —5х + 6 < 0 ,
2 < х < 3 , 1 < -^ -< 1 ,5 , s in -^ -> 0 . Вар. 4. 1. а) ± - ^ - + л л , n £ Z б)
n£ Z . 2. — 2,5. 3. а) ^ + 2лл + 2лп, n £ Z ; б) ( - оо; — 3)U(— 1; 0)(J
U(0; 3). 4. Убывает на ( — оо; — 1] и [1; оо), возрастает на [ — 1; I]; х = — 1 —
точка минимума; х = 1 — точка максимума, / ( — 1 )= 0 , /(1 ) = 4. Корни уравне
ния — 1 и 2. 5. х* + 3 > 0 для всех х, поэтому х3 — 10х + 2 4 < 0 ; 4 < х < 6 ;
2 < - |- < 3 ; c o s -^ -< 0 .
М а т е р и а л д л я и т о г о в о г о п о в т о р е н и я
Вариант 1. 1. -^- + лл; + 2 л п , n £ Z . 2. —- ^ + cos 2х. 3.
U ^ -^ -;3 j. 4. ( — оо; — 2)U[0; 3). 5. х = 0 — точка максимума, у ( 0) = 0; х = 2 —
точка минимума, у ( 2 ) = — 4. Графики имеют три общие точки.
Вариант 2. 1. —^ + 2 л л < х < - ^ + 2лл, n £ Z . 2. —-^--f sin 0,5х. 3. у =
= Л cos (5/ + <р). Например, у = cos 51, у = 2 cos ^ 5 / + - ^ . 4. ( — оо; — 5)U(0; 3].
5. max y = i/(3 )= 2 1 , min у = у { ) = .
- и— oo;3)U (3; оо). 3. sin х. 4. Объединение трех прямых:
у — 1, х = 6, х — — 3. 5. х = 0 и х — 2 — точки минимума, f( 0 ) = f( 2 ) = 0 ; х = t —
точка максимума, / (1) ===4.
Вариант 4. 1. — 2. 2. 120 см/с, 168 см /с2. 3. — cos х. 4. х = 0 и х = 4 —
точки минимума, f(0) = f(4) = 0; х — 2 — точка максимума, / (2) = 4. 5. +
+ 2лл; — ^— 2л л ^ , n ^ Z .
Вариант 5. 1. tg а. 2. — arctg 4 + лл, ~ + лп, n £ Z . 3. — 12. 4. (— 8; —3)U
U(3; оо). 5. Возрастает на каждом из промежутков (— оо; — 1] и [1; оо), убы
вает на [— 1; 1]; х = — 1 — точка максимума, / ( — 1)= 8; х = 1 — точка мини
мума, / ( 1)= 0.
Вариант 6. 1. 1. 2. у = 2х — 8. 3. ( — оо; — 1]U(2; 3]. 4. arctg 3 + лп, — ^- +
+ лл, n£ Z . 5. Возрастает на каждом из промежутков [— 1; 0] и [1; оо), убыва
ет на каждом из промежутков ( — оо; — 1] и [0; !]; х = — 1 и х = I — точки ми
нимума, / (— 1 )= /(1 1 = 2; х = 0 — точка максимума, / ( 0 )= 3 .
24
Вариант 7. 1. —— . 3. — 1. 4. а) ( — оо; 2)(J( — 2; 2)U(2; оо); б) возрастает
на каждом из промежутков [1; 2) и (2; 4]. 5. Слагаемые 24; 12; 18.
Вариант 8. 1. — I- Возрастает на каждом из промежутков ( — оо; — 1]
и [1; <*)"■ убывает на [— 1; 1]. 3. ~ - - 2 л п , ( — 1)'1 + |-^- + л л , n£ Z . 5. Слагаемые
16, 16, 16.
Ь Н fВариант 3. 1. 2. 2. Г
142](https://image.slidesharecdn.com/algebra9klass-150908130547-lva1-app6892/85/9-146-320.jpg)
More Related Content
Similar to ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ДЛЯ 9 КЛАССА
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ДЛЯ 9 КЛАССА
- 1. ^ : ВСМ СААКЯН СИШВАРЦБ ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПОАЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ДЛЯ 9 КЛАССА
- 2. У к аз а т е л ь у ч е б н о г о м а т е р и а л а с о о т в е т с т в у ю щ е г о с о д е р ж а н и ю с а м о с т о я т е л ь н ы х р а б о т Г лава I «Тригонометрические функции» Содержание учебного материала Пункты учебного пособия Номера соответ ствующих само стоятельных работ Преобразование тригонометрических выра жений (повторение) 1,2 С — 1 по С — 4 Функция 3 С — 5 Исследование функций 4 С — 6, С — 7 Периодичность тригонометрических функций 5 С — 8 Исследование функции y = sin х 6 С — 9 Исследование функции у = cos х 7 С — 10 Исследование функции y — t g x 8 С — 11 Арксинус, арккосинус и арктангенс 10 С — 12 Решение простейших тригонометрических уравнений И С — 13 Решение простейших тригонометрических неравенств 12 С — 14 Примеры решения тригонометрических урав нений и систем уравнений 13 С — 15 по С — 17
- 3. Б.М.ИВЛЕВ С.М.СААКЯН С.И.ШВАРЦБУРД ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПОАЛГЕБРЕ ИНАЧАЛАМ АНАЛИЗА РЯ I КЛАССА ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ Рекомендовано Главным управлением общ его среднего образования М инистерства просвещ ения СССР ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ ПЕРЕРАБОТАННОЕ о Л P Q г П Г hr iJ Щ j-.: 55 ". "Э 53 сю МОСКВА „ПРОСВЕЩЕНИЕ" 1987
- 4. ББК 74.262 И25 И25 Р ец е н з е н т ы : учитель-методист школы № 67 Москвы Л. И. Звавич; учитель-методист школы № 420 Москвы Б. П. П игарев Ивлев Б. М. и др. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 9 класса: Пособие для учителя / Б. М. Ивлев, С. М. Са- акян, С. И. Шварцбурд.— 2-е изд., перераб.— М.: Просвеще ние, 1987.— 143 с.: ил. Д и дактические м атериалы предназначены д л я учителей средней ш колы в качестве д о полнительного пособия. Тексты сам остоятельны х и контрольны х работ даны в соответствии с действую щ им учебным пособием «А лгебра и н ачала ан али за, 9 — 10». . 4306010000—732 , „„ I — инф. письмо — 87 ББК 74.262 103(03)—87 w © Издательство «Просвещение», 1987
- 5. ПРЕДИСЛОВИЕ В пособии содержатсясамостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа, проверочные работы по курсу IX класса, материал для итогового повторения. Дидактические цели письменных работ того и другого вида учителям известны. Самостоятельные работы обозначаются буквой С с соответст вующим номером. Например, С-3 — это третья самостоятельная работа. Обычно самостоятельные работы рассчитаны примерно на 10— 15 мин. Они дают представление об уровне усвоения мате риала и выполняют большую обучающую роль. Самостоятельные работы могут быть проведены на различных этапах урока с последующим обсуждением результатов на том же уроке. Это полезная форма работы для выработки навыков решения основных типов задач. Проведение таких работ может носить контролирую щий характер. При этом работы учащихся проверяются учителем после урока. В журнал могут быть выставлены не все оценки. Некоторые самостоятельные работы содержат материал по 2—3 пунктам учебного пособия. Такие самостоятельные работы могут быть использованы учителем на одном или двух уроках в соответствии с его поурочным планом. По усмотрению учителя любая из работ может быть предложе на учащимся не полностью. Работы («С») даны в 10 вариантах. Первые два из них, как правило, несколько легче остальных вариантов. Последние два варианта содержат задания повышенной сложности. Они могут быть использованы для работы с учащимися, проявляющими повышенный интерес к математике. Эти задания могут быть даны таким ученикам после выполнения ими основной работы наравне со всеми учащимися класса в оставшееся время или использованы в качестве необязательных заданий для домашней работы, а также на занятиях математических кружков. Контрольные работы обозначены буквой К с соответствующим номером. Некоторые упражнения вариантов 3 и 4 труднее по сравнению с соответствующими заданиями вариантов 1 и 2. з
- 6. Необязательные задания контрольныхработ адресованы уча щимся, проявляющим повышенный интерес к математике. Они вы полняются на отдельных листочках и сдаются учителю в случае полного решения задания. В противном случае работа над ними может быть продолжена дома или на занятии математического кружка. Материал для итогового повторения содержит 8 вариантов. Здесь представлены все основные типы задач по курсу IX клас са. Эти варианты заданий могут быть разобраны на уроках и в связи с этим одновременно повторены соответствующие вопросы теории. Частично их можно использовать для домашних письмен ных работ, в процессе выполнения которых учащиеся приводят краткие теоретические обоснования, готовятся к выполнению итоговой двухчасовой работы по курсу IX класса. В конечном счете эта работа способствует выработке специальных умений и навыков решения задач, повышению уровня математической гра мотности учащихся. В конце пособия даны ответы к большинству заданий самостоя тельных, контрольных и проверочных работ, к упражнениям для итогового повторения. Замечания и предложения просим направлять по адресу: Моск ва, 129846, 3-й проезд Марьиной рощи, д. 41, издательство «Про свещение», редакция математики. Авторы
- 7. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ (С) Вариант1 С—1 1. Выразите в радианной мере величины углов 60° и 144°. 2. Выразите в градусной мере величины углов ^ и Щ-. 3. С помощью таблиц или калькулятора найдите радианную меру угла: а) 49°; б) 76°7'. Найдите значения синуса и косинуса этих углов. 4. С помощью таблиц или калькулятора найдите градусную меру угла: а) 0,8600; б) 1,2369. С—2 1. Докажите справедливость равенства sin4 а —2 sin2 к cos2 а + cos4 а j gjn ^ (sin a + cos а)2 2. Определите знак выражения: a) cos 700° tg 380°; б) cos (— 1) sin (—2). 2 я 3. Найдите tg а, если известно, что c o s a = ^ - , 0 < a < —• С—3 1. Вычислите: а) s in ( — ; б) ctg( —600°). 2. Упростите выражение l+ ctg ()x + a ) t g ( ^ — a) . 3. Докажите тождество cos (2a + л) = cos2( a — ^ + c o s (a + л) sin ^ a + -|-) . 5
- 8. 1. Вычислите 4sin 37°30' cos 37°30' sin 15°. 2. Известно, что cos а = -|r, j L< <*< 2л ■Найдите cos 2а и tg 2а. 3. Упростите выражение (sin a —cos а)2— 1+ 4 sin 2а. С - 4 С - 5 1. Найдите область определения функции f, заданной форму лой: а) б> /W = V 4 ? ^ T . 2. Для функции / (x) = (x — I)4 найдите /(2) и / ( 1 д/*). 3. Постройте график функции / (х) = 3 —2х —х2. С - 6 1. Докажите, что функция /(х) = л:4—2х2—sin2Зх является четной. 2. Докажите, что функция f ( x ) = x 3—3x-f-sin2x является не четной. С - 7 1. Найдите нули функции у — 2х2—х и координаты вершины соответствующей параболы. Начертите схематически график функции у и с его помощью найдите промежутки возрастания и убывания этой функции. 2. Докажите, что функция f(x) = x5--х возрастает на всей числовой прямой. 6
- 9. С — 8 1.Пользуясь периодичностью, четностью или нечетностью со ответствующей тригонометрической функции, запишите данное значение так, чтобы аргумент был выражен наименьшим поло жительным числом градусов или радиан: a) cos 177°; б) sin 3521°; в) c tg ^ y -. 2. Упростите выражение sin (2л:+ 4л) —2 sin (* + л) cos (х — л). 3. Запишите (без доказательства), чему равен наименьший по ложительный период функции: a) f(x)= sin Ц- б) f(x) = cos7x; в) f (х) = t g х . С - 9 1. Отметьте на графике функции y — sinx множество точек, для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют урав нению sin х = ~ . О 2. Запишите промежутки возрастания и убывания функции y = sin — . 3. Найдите область значений функции у = 1— С—10 1. Запишите промежутки знакопостоянства функции f ( x ) = cos у -. 2. Найдите область определения функции f (х) = —1— . COS 3. Запишите точки максимума и минимума функции f (х) = = cos 5х. С -1 1 1. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для которых соответствующие значения тангенса удовлетворяют уравнению t g / = —3,5. 2. Найдите область значений функции f(x) = 3 —tg2x. 3. Запишите промежутки возрастания и убывания функции f{x) = tg4x. 1 . ( X , л 2 S ( 3 + 1з) ' 7
- 10. 1. Найдите значение:a) arc sin ^ —у -^ ; б) arccos^—у ) . 2. Вычислите arctg 1+ arccos 1. 3. Найдите с помощью таблиц или калькулятора: a) arcsin (—0,9); б) arccos 0,179 ; в) arctg у . С—12 Решите уравнение: a) cosjc= —у - ; С—13 б) sin Зл:= — 1; в) c tg ^ x - f y ) = —л/З. С—14 Решите неравенство: a) s i n j c ^ y б) tg 3 x > V 3 . С—15 Решите уравнение: а) 2 cos2x + 2 sin х = 2,5; б) sin х = —д/3 cos х. С—16 Докажите тождество: а) 2 sin22а + cos 4а = 1; б) 2 sin (75° —a) cos (75° + а ) = у — sin 2а. С—17 Решите систему уравнений ( x + y = f ; sin2x + sin2г / = у . 8
- 11. С— 18 На рисунке1 изображены графики функций / (х) и g (х). -2 -7 О у=д(х) Рис. 1 Ответьте на вопросы в каждом из двух случаев. а) Чему равно значение функции в точке х = — 1? б) Существует ли предел функции в точке х = —2? в) Существует ли предел в точке х = — 'и если да, то чему он равен? Запишите это символически (в случае, если предел существует). 1. Известно, что lim f (х) = 3, lim g (x) = x-*-2 x -> 2 C—19 1. Найдите предел x -f-'l в точке 2 для функции: а) 3f(x) — g(x); б) 3 f(x)g2(x). 2. Вычислите, пользуясь теоремами о пределах: „3__„ 2 ^ qv ga) lim (З х —х + 2); х-*-1 urn Зх— 1 2 Г + 1 С—20 1. Начертите график функции /(х) = 3 —2х. Выразите прира щение функции в точке хо через хо и Ах. Найдите А/ (хо), если Х о — 1 и Ах = 0,2. Дайте иллюстрацию результатов на рисунке. 2. Найдите Ад ^ — для ФУНКДИИ /(х )= х 2—х. Вы числите Ад ^ при хо= 0 и Ах = 0,1; 0,001; 0,00001. Найдите lim Щ аА >если-х0= 0. Дх->0 9
- 12. С—21 Пользуясь определением производной,найдите производную функции / в точке х a) f(x ) = 4 — 7x; б) f(x )= -j-. С—22 1. Найдите производную функции: a) f ( x) = x 5- 2х/х; б) f ( x ) = = ~ j . 2. Вычислите производные функции f (х) = Зх — 4х3 в точках 1; 5; х; x-j-2. С—23 Решите уравнение f (х) = 0 и неравенства f '( x ) > 0 и f ' ( x ) < О для функции: a) f ( x ) = x 2— З х + 1 ; б) f ( x ) = ~ ^ . С -2 4 1. Найдите область определения функции: а ) б) 2. Даны функции f ( x ) = ^ - j и g(x) = ^fx. Задайте с помощью формул функции / (g(x)) и g (/ (х)). 3. Найдите производную функции: а) / (х)= (4 —Злг)100; б) g ( x ) = V ^ + l- С—25 Найдите производную функции: а) f(x) = sin2x —cos Зх; б) f(x) = t g x — c t g ( * + ^ -); в) f(x) = sin2 *. 10
- 13. С—26 yb 3^2 1. Запишитепромежутки непрерывности функции / (х.)= х"{Г—2у 2. Решите методом интервалов неравенство: а) 2а:2—8 > 0 ; 6 J ( х - 2 ) ( х + 4 ) ( х - 6 ) ^ х2- 11Л'—26 ^ Q Зх —|—2 X I- 4 С — 27 1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ ции / (х) = х3+ 27 в точке пересечения этого графика с осью абсцисс. 2. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) — 5 — ~ х 2 в точке с абсциссой х = 3. Выполните рисунок. С—28 1. Вычислите приближенно xjl +0,0008, пользуясь формулой ц /Г + Д я ^ 1-f-- - . 2. Вычислите приближенно значение 1,0000750°. С—29 1. Материальная точка движется по прямой по закону s (t) = = 16^ —213. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени i = 2. 2. Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью щ, дви- жется по закону h (f)=vof— у-., где h — путь в метрах, t — время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которой достигнет тело, если цо = 60 м/с, g = 1 0 м /с2. С—30 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f ( x ) = x + - J - . 2. Найдите критические точки функции j/==a:3+ 6a:2— 15х —3. Какие из этих точек — точки максимума, а какие — точки мини мума функции? И
- 14. С—31 Исследуйте на возрастание(убывание) и экстремумы функцию f ( x ) = ± - x — x3. С -3 2 1. Исследуйте квадратичную функцию у — З а стройте ее график. 2. Решите неравенство: Юлг-ЬЗ и по- а) х2— 17л:— 1 8 ^ 0 ; б) 9л:2— 12х + 4 > 0 . С -3 3 Исследуйте функцию г / 2х—3 1 f M - 2 + х 1 и постройте ее график. С—34 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции II 1 00 Xю на отрезке [— 1; 2]. 2. Разбейте число 10 на два неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих слагаемых была наименьшей. С -3 5 1. Проверьте, является ли функция у — s i n решением диф ференциального уравнения у" = — —•у. 2. Напишите дифференциальное уравнение гармонического колебания у — 2 cos (х —л). Чему равны амплитуда, частота и на чальная фаза этого колебания? 12
- 15. 1. Найдите tg ^ a — , если известно, что sin С—36 а — — п ^ -— < а < л . 2. Упростите выражение sin (a + Р) + sin (a — Р) cos a cos р 3. Найдите без таблиц cos 75° + cos 15°. VS* Исследуйте функцию и постройте ее график: а) у = s in ^ -; б) у = cos(x + ^-) ; в) у = tg 2лх. С -3 7 С -3 8 1. Вычислите: а) 2 arccos^ — ; б) arcsin -Jr-—arctg (—т/3). 2. Решите уравнение: a) sin^* —у-) = — 1; б) cos2x = sinx. 3. Решите неравенство: a) cos 2 х < — ; б) tg (x + -|-) > д/3. С -3 9 1. Решите квадратичное неравенство: а) 2х2—Зх —5 ^ 0 ; б) х2+ 4 х + 1 > 0 . 2. Решите неравенство методом интервалов: а) (х + 2)3(х —3)2(х + 4 )< 0 ; б) p i |_ —р 2 _ < 0 . 13
- 16. Найдите производную функции:а) 2x6+ 20y*; б) x c tg * ; в) tg у -; г) cos х2', д) у —-р-. С -4 0 С - 4 1 1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ ции / (*)=cos (лг+ З) в точке с абсциссой х — — 3. 2. Вычислите приближенно: а) 1,000000730°; б) sin ^ , считая я «3,1416. С— 42 1. Исследуйте функцию f (х) = х3-~3х — 5 и постройте ее график. 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = 4 х + — на отрезке [0,5; 4]. 3. Материальная точка массой 3 кг движется по прямой согласно уравнению s (<)= 2/3—2/ + 3 (s измеряется в метрах, t — в секундах). Найдите действующую на нее силу в момент времени / = 5 с. Вариант 2 С — 1 1. Выразите в радианной мере величины углов 75° и 168°. 5зх 17я 2. Выразите в градусной мере величины углов у и — . 3. С помощью таблиц или калькулятора найдите радианную меру угла: а) 31°; б) 86°23'. Найдите значения синуса и косинуса этих углов. 4. С помощью таблиц или калькулятора найдите градусную меру угла: а) 0,5400; б) 1,4327. 14
- 17. 1. Докажите справедливостьравенства sin4 а + 2 sin2a cos2 a + cos4 a + sin2a + cos2a = 2. 2. Определите знак выражения: a) sin 300° cos 400°; б) sin (— 1) cos (—2). 1 Jl 3. Найдите cos a, если известно, что s i n a = — ; — < а < я . o Z с -з 1. Вычислите: а) co s-Ц^-; б) tg 600°. о 2. Упростите выражение l + t g ( n + oc)ctg(y- —а) . 3. Докажите тождество cos (я —2a) = sin (я —a) c o s ^ —sin2^ a - |- - ^ . С—2 С - 4 1. Вычислите 4 sin 7°30' cos 7°30' sin 75°. 2. Известно, что sin a = |^ - , 0 < a < - ^ . Найдите sin 2a и Z o Z ctg 2a. 3. Упростите выражение (sin a cos a)2+ 1—sin 2a. С—5 1. Найдите область определения функции /, заданной фор мулой: а) fM = 3xr-2x ’ б) ^ (х)=л/9х2— 4 . 2. Для функции f(x) = ( x + l f найдите /(1) и 1). 3. Постройте график функции / (х) = 5 —4х —х2. 15
- 18. С - 6 V I— X 2 —-2 является четной. 2. Докажите, что функция g(x) = 7x3+ sin является нечет ной. С - 7 1. Найдите нули функции у — 4х2— х и координаты вершины соответствующей параболы. Начертите схематически график функции и с его помощью найдите промежутки возрастания и убывания этой функции. 2. Докажите, что функция f ( x ) = x 3+ Зх возрастает на всей числовой прямой. С - 8 1. Пользуясь периодичностью, четностью или нечетностью соответствующей тригонометрической функции, запишите дан ное значение так, чтобы аргумент был выражен наименьшим положительным числом градусов или радиан: a) tg 139°; б) cos 2743°; в) sin ^ . 2. Упростите выражение c o s^ 4 a :+ -^ + 2 sin (2х —л) cos (2х + + я ). 3. Запишите (без доказательства), чему равен наименьший положительный период функции: а) / (x)= cos ; б) f(x) = tg5x; в) f(x) = s i n ( j — . С - 9 1. Отметьте на графике функции y = sinx множество точек, для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют I уравнению sin х = — —. 2. Запишите промежутки возрастания и убывания функции f/= sin 4х. 3. Найдите область значений функции f (х) — 2 sin ^ Зх — i-j-j + 1. 16
- 19. С—10 1. Запишите промежуткизнакопостоянства функции f (х)-- = cos Зх. 2. Найдите область определения функции f (х)-- X C0ST 3. Запишите точки максимума и минимума функции f (х)= — cos -f- 5 C - l l 1. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для которых соответствующие значения тангенса удовлетворяют уравнению tg t = —3. 2. Найдите область значений функции f (х) = tg2x + 3. 3. Запишите промежутки возрастания и убывания функции f( С— 12 f Г;~ Найдите значение: a) arcsin ^ — ^ ; б) arccos(— 1). | 2d Вычислите arctg (— 1)+ arcsin (— 1). 1 3. Найдите с помощью таблиц или калькулятора: I) arcsin 0,8; б) arccos (—0,273); в) arctg л. т щ в п в г * —— С— 13 Решите уравнение: a) t g x = —д/З; б) cos22x = 1 ; в) sin^x+ -j-^ = - ^ - . С— 14 Решите неравенство: a) cos л:> ; б) tg — 1. 17
- 20. С—15 Решите уравнение: а) 2sin2х — 2 cos х — б) sin 2 х = —cos 2х. С—16 Докажите тождество: а) sin4а + cos4 а = 1—0,5 sin2 2а; б) 4 cos (45° + а) cos (45° —а) = 2 cos 2а. С—17 Решите систему уравнений: ( 2я Х— У=1Г, I 1co s х -f- COS У =-Х ~- С—18 На рисунке 2 изображены графики функций f (х) и g (х). Рис. 2 Ответьте на вопросы в каждом из двух случаев. а) Чему равно значение функции в точке * = 1 ? б) Существует ли предел функции в точке х = 0? в) Существует ли предел функции в точке х = 1 и если да, то чему он равен? Запишите это символически (в случае, если предел существует). 18
- 21. 1. Известно, чтоlim / (jc) = —2; lim g(jc)= 5. Найдите пре- х-*- — 3 х-*- — 3 дел в точке —3 для функции: a) 3f(x) — 2g{x); б) 2 f (х) g (х). 2. Вычислите, пользуясь теоремами о пределах: a) lim (х3- 4 х - 3 ) ; б) lim -*£±1. х —►— 1 х-+2 X — 1 С—19 С—20 1. Начертите график функции f (х)=4 — 3х. Выразите прира щение функции в точке хо через хо и Да:. Найдите Af (дсо), если Хо= — 1 и Дл:= 0,3. Дайте иллюстрацию полученных результа тов на рисунке. 2. Найдите J (*>+^0~ f М_ для функции f (х) = х2+ х. Вычислите -Ад ^ при хо= 0 и Да:= 0,1; 0,001; 0,00001. Найдите lim , если х0= 0. Ах-*~0 А Х С—21 Пользуясь определением производной, найдите производную функции f в точке х: a) f(x) = Б— 6х- б) / (х) = — ~ . С—22 1. Найдите производную функции: а) / (х) — 2х7+ 4л[х б) 2. Вычислите производную функции f (х) = 2х2--х3 в точках 2; 4; х х —3. 19
- 22. Решите уравнение f'(х) = 0 и неравенства / ' (л')>0 и /' (х )< 0 для функции: a) f ( x ) = x 2+ Зх — З; б) = С—23 С -2 4 1. Найдите область определения функции: б) 2. Даны функции / (х)= и g (х)= л[х. Задайте с помощью формул функции f(g(x)) и g(f(x)). 3. Найдите производную функции: а) /(*) = (3 - 2 х ) 160; б) g(x) = x / - x 2. Найдите производную функции: a) f(x)=cos 2х — sin Зх; б) f (*) = ctg * + tg 2-); в) f (x) = cos2x. fix) 1. Запишите промежутки непрерывности функции х4+ Зх3 С—25 С—26 х (х + 2) 2. Решитеметодоминтервалов неравенство: а) Зх2—27 < 0 ; (х 1) (л:+ 3) (* 5) . •. х 2 9х22.— ~ б ) 2 Й Д ^ U’ В-) ~ Т + 5 > а С—27 1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f (х) = х3— 27 в точке пересечения этого графика с осью абсцисс. 2. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) — 2 — х2 в точке с абсциссой х = —3. Выполните рисунок. 20
- 23. 1. Вычислите приближеннод/1 —0,000016, пользуясь формулой д / Г + Л ^ « 1 + ^ . 2. Вычислите приближенно значение 0,99999996300. С—28 С—29 1. Материальная точка движется по прямой по закону s (t)= — 2 t - 3 t 3. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t = l . 2. Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью о0, р/2 движется по закону h(t) — vot—^ - , где h — путь в метрах, t — время в секундах. Найдите наибольшую высоту, которой достиг нет тело, если о0= 40 м/с, g = 1 0 м/с . С—30 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f ( x ) = x + ~ . 2. Найдите критические точки функции у — х3— 6х2— 15х + 7. Какие из них — точки максимума, а какие — точки минимума функции? С—31 Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функ цию f (х)— 48х— х 3. С—32 1. Исследуйте квадратичную функцию у = 2х2+ 5х + 2 и по стройте ее график. 2. Решите неравенство: a) *2+ 1 5 * - 1 6 > 0 ; б) 4*2+ 1 2 * + 9 < 0 . 21
- 24. С—33 Исследуйте функцию / W- *+31— 2х и постройте ее график. С -3 4 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у — 2х* —8х на отрезке [—2; 1]. 2. Разбейте число 18 на два неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата первого слагаемого и вто рого слагаемого было бы наибольшим. С—35 1. Проверьте, является ли функция y = sin 2х решением диф ференциального уравнения у" = —2у. 2. Напишите дифференциальное уравнение гармонического колебания у = 3 cos (х + я). Чему равны амплитуда, частота и начальная фаза этого колебания? С—36 1. Найдите tg ^ a + -j-^ , если известно, что c o s a = - ^ , 0 < « < f . 2. Упростите выражение sin a cos (я + «) cos (л — 2a) cos 4a 3. Найдите без таблиц sin 75° —sin 15°. 22
- 25. С—37 Исследуйте функцию ипостройте ее график: a) t/= sin Зл:; б) y — cos-~- в) y = tgnx. п 1 со оо 1. Найдите значения: a) ar ccos^— ; б) arcsin —arctg (— 1). 2. Решите уравнение: a) cos^x + y-^ = — 1; б) cos 2х = cos х. 3. Решите неравенство: a) s in 2 x > -|-; б) tg (x + - y ) > l . С -3 9 1. Решите квадратичное неравенство: а) х 2—Зл:— 1 0 ^ 0 ; б) х2—6 л :+ 1 > 0 . 2. Решите неравенство методом интервалов: а) (х— 1) (х + 2)2(х — 4 )< 0 ; б) - 4 ~ — ^ > 0 .х —4 х —9 С -4 0 Найдите производную функции: а) х7—4у/л:; б) x t g x в) c tg -|-; г) sin х2; д) 23
- 26. С—41 1. Найдите тангенсугла наклона касательной к графику функ ции f (x)= sin (х — 3) в точке с абсциссой х0= 3. 2. Вычислите приближенно: а) -/0>99999996; б) sin , считая я«3,1416. С—42 1. Исследуйте функцию f(x)— x3—3x-j-5 и постройте ее график. 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 4 У = х - - — на отрезке [1; 4]. 3. Материальная точка массой 4 кг движется по прямой со гласно уравнению s (t) = 3t + 2t3 (s измеряется в метрах, t — в секундах). Найдите действующую силу в момент времени t = Зс. Вариант 3 С -1 1. Выразите в радианной мере величины углов 64°, 160°. 2. Выразите в градусной мере величины углов l-j-я . О 4 3. Отметьте на единичной окружности точку Р3п . Назовите т абсциссу и ординату этой точки, sin и cos . С—2 1. Дано: sin а = —4~, 1 8 0 °< а < 2 7 0 °. Найдите cos а и ctg а. 5 2. Докажите тождество 16 sin4а — (sin2 а — 3 cos2 а)2 = 24 sin2 а — 9. 24
- 27. С - 3 1.Упростите выражение sin (180° —а) —с°*~^ 8—270^j"' 2. Вычислите sin 105°-cos 15° + sin 15°-sin 165° + tg225°. С - 4 1. Дано: s in a = 4". 9 0 ° < a < 1 8 0 ° . Найдите: а) sin 2a; б) sin (60° —а); в) tg(45° + a). 2. Докажите тождество sin (^~—|-л^ cos х —cos ^ —|- xj sin х — 0,5. С - 5 1. Дана функция f /и —1 *2* еСЛИ ' ' ' X 2х, если х < 0. а) Найдите /(0), / ( — 1), /(1), /(2). б) Начертите график данной функции. 2. Найдите область определения функции ^ 2х2—5 • С - 6 Исследуйте на четность функцию: а) б) ф M = 2*5+ 3 ctgx. С — 7 Начертите графики функций: а) у = х2— 3; б) у = х2— 4х--4; в) у = 0,5х2—2х —2,5. В примере в) найдите множество значений х, при которых У < - 2,5. 25
- 28. 1. Вычислите: a) sin(-1470°); б) cos (-6 9 0 °); в) tg (-1 3 2 0 °). 2. Упростите выражение 2 cos ^ cos а cos (n + a )-sin 3^ - ^ - + a ^ — sin (л — a) cos3^ - ^ + a ^ С—8 С—9 Начертите график функции y = sinx на отрезке [—л; 2,5л]. Отметьте на этом графике множество точек, для которых выпол няются условия: а) sin лг= 0,5; б) s in x = 'l; в) sin x > 0 ,5 . Вы пишите соответствующие значения х, при которых выполняется каждое из условий. С—10 Начертите график функции у = cos х на отрезке [—л; 2,5л]. Отметьте на этом графике множество точек, для которых выпол няются условия: а) cosx = 0,5; б) c o s x = l; в) c o sx > 0 ,5 . Вы пишите соответствующие значения х, при которых выполняется каждое из условий. С—11 Начертите график функции y = t g x на отрезке [—л; 1,5л]. Отметьте на этом графике множество точек, для которых выпол няются условия: а) t g x = l ; б) t g x < l . Выпишите соответ ствующие значения х, при которых выполняется каждое из условий. С—12 Вычислите: а) ar csi n^— ; б) arctg УЗ; в) sin^arccos^ —^ 0 ) ; г) tg ^ 2 arcsin^ • 26
- 29. С—13 Решите уравнение: a) siпл:= — 1; б) cosa: = 1 ; b) tg 2л: = —д/З; г) sin 5х cos х —cos 5х sin х = 0,5; д) cos^2л:+ -2^ cos x + sin^2x + -j-^ s in x = ^ - . С -1 4 Решите неравенство: a) s in x ^ ^ p ; б) cos 2л:< —0,5; в) ig х ^ — х/3. С—15 Решите уравнение: а) 4 sin2л:— 1= 0 ; б) 4 sin2х — 4 sin х + 1—0; в) 2 sin2л:+ 5 cos х + 1= 0 . Решите уравнение: a) sin 2x + cos 2л: = 0; б) 1—2 sin 2лг= 6 cos2х. С—16 Решите уравнение: а) д/З sin x + cos х= д/2; б) (cos A:+ sin a:)2= cos 2х . С—17 С—18 Изобразите схематически график функции f — { х*> если х < 1 , ' ' ' —х + 3, если х~ ^. а) Назовите промежутки возрастания и убывания функции. б) Существует ли предел функции в точке х = — 1 и если существует, то чему он равен? Запишите это символически. в) Существует ли предел функции в точке jc= 1? Ответ объяс ните. 27
- 30. С—19 1. Для функции/(х) = 2х укажите окрестность точки 2 оси абсцисс, для всех точек которой приближенное равенство /(х ) « 4 выполняется с точностью до 0,1. 2. Известно, что lim /(x) = 8, lim g(x) = —0,5. Найдите: х-+2 х-*-2 a) lim (0,5 / (х) — 2g {х)У, б) lim (3/ (x)-g (х)); х->-2 х->-2 и) lim ■ х-*-2 4 g (X) + 3 С—20 1. Для функции /(х) = Зх + 2 найдите . 2. Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции у — х2, проходящей через точки графика с абсциссами хо= 1, хо-(-Дх=1,6. Выполните рисунок к задаче. С—21 1. Пользуясь определением производной, найдите значение производной функции /(х) = 2х2+ 3 в точке х — —2. 2. Пользуясь определением производной, найдите /' (х), если С—22 1. Решите уравнение / ' (х) = 0, если / (х)= х3+ 1 ,5 х 2— 1. 2. Дано: / (х)=(3-|-2х)-(2х —3). Найдите / ' (х), /'(0,25). 3. Дано: ■ а) Найдите ср' (х); б) решите нера венство ф '(х )> 0 . С—23 1. Дано: /(х) = 4хз/хГ- Найдите / ' (х), /'(81). 2. Решите неравенство »' (х) ^ 0. если y (x )= x 3+ 4х2—Зх. 3. Найдите g ' (— 1), если g (х)— х/х + 2 (х— 1). 28
- 31. С—24 1. Найдите областьопределения функции У ~ ^ 9Л ■ 2. Найдите <р'(—•1), если ф (дс)= (5 + блс)1°. С—25 1. Найдите производную функции: а ) f (х) = 3 cos 2 л:; б ) <p (*) = 4 tg Зх. Вычислите Г ( —у ) и <р'^ 2. Решите уравнение g ' (х)=0, если g (x) = sin х + 0,5 sin 2х. С—26 Решите неравенство: a) - y f ,-— < 0 ; б) (х--2)-л]х2— 1> 0 . С—27 Дана функция f (х)= — + + 4. а) Составьте уравнение касательной к графику данной функ ции в точке его с абсциссой хо= —2. б) Выполните рисунок. в) Вычислите площадь треугольника, ограниченного отрез ками касательной и осей координат. С—28 Вычислите приближенно: а) Т48Д6; б) sin 1,03; в) cos 43°. С—29 Основание параллелограмма а изменяется по закону а = 2 + 5/, а высота b — по закону 6 = 2 + 6/. Вычислите скорость изменения его площади в момент t — Зс. Основание а и высота b изме ряются в сантиметрах. 29
- 32. Найдите промежутки возрастанияи убывания функции: а) / (х) — х2+ Зх 6; б) ф {х) = хъ+ 2 х — 1; в) g (х)= х3— Злг2+ 5. С—31 Исследуйте на максимум и минимум функцию: a) f(x) = x* — 8х2; б) Ф( * )= - J - + i- . С—32 Исследуйте функцию f ( х ) = —х2(х2—4) с помощью произ водной и постройте ее график. С—33 Исследуйте функцию f{x)— -^-x5— ?—х3 с помощью произ- р О водной и постройте ее график. С—30 С—34 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции / (x) = cos х — 5- cos Зл: на отрезке [ 0: т ] ■ С—35 1. Дана функция f (х) = 6 sin . Найдите f ' (х), f" (х), f ' ( - n ) , f " ( f ) • 2. Напишите три отличных от нуля решения дифференциаль ного уравнения у " = — 9у. 30
- 33. С -3 6 1.Докажите тождество sin4a + 2 sin a-cos a —cos 4a ____COS zee. tg 2a—1 2. Вычислите без таблиц и калькулятора 1 - s in 422,5° + cos4 22,5°. С—37 1. Найдите нули функции у = 2 s in -|-, наибольшее и наи- меньшее значения и постройте ее график. 2. Докажите, что функция f(x )— x 2— 2-х четная. Построи те график этой функции, используя свойство графика четной функции. С—38 1. Решите уравнение sin х tg х + д/З sin x + tg х + л/3 = 0. 2. Решите неравенство 2 sin 2 х + 1< 0 . 3. Найдите критические точки функции f (х) = 2х —0,5 sin 2х + sin х. С—39 Решите неравенство: а) - ^ r ^ ° L > 0- б) < x -5 )V x 2- 4 < 0 . С -4 0 1. Найдите производную функции: a) tg Злг; б) -ф с-cos*; в) sin2л:; г) (cos3x + 6)3. 2. Дано: f —Ь б соэях. Найдите /'(I). 31
- 34. С -41 1. Накривой у = х2— Зх + 2 найдите точку, в которой каса тельная параллельна прямой у — —х. 2. Напишите уравнение касательной к графику функции » — 1 в точке его с абсциссой л:о=1. Выполните рисунок. X С -4 2 1. Число 8 представьте в виде двух неотрицательных сла гаемых так, чтобы произведение квадратов этих слагаемых было наибольшим. 2. Исследуйте функцию / (х)= х 2(2х — 3) и постройте ее гра фик. Вариант 4 С -1 1. Выразите в радианной мере величины углов 56°, 170°. 2. Выразите в градусной мере величины углов , 2 -|-л . 3. Отметьтена единичной окружности точку Р5л. Назовите Т абсциссу и ординату этой точки, sin — , cos^p-. С - 2 1. Дано: c o s a = — , 9 0 ° < a <180°. Найдите sin а и tg a. Z u 2. Докажите тождество (tg a —sin a )-(^°s ~ + ctg —sin2 a. 32
- 35. С - 3 1.Упростите выражение sin (90° + ос)— g°^„aj_270°)~' 2. Вычислите sin 32° sin 148° —cos 32° sin 302° + ctg 225°. С— 4 1. Дано: cos a = — f - , 1 8 0 °< a < 2 7 0 °. Найдите: a) cos 2a; 6) sin (30° -f- a); в) tg (45° —a). 2. Докажите тождество c o s^ -|-+ ^ .-c o s лг+ sin *sin x — 0,5. C— 5 1. Дана функция /0 )= x , если лг<С0, —Зх, если х ^ О . а) Найдите: f (0), f(l), f (— 1), f (— 2). б) Начертите график данной функции. 2. Найдите область определения функции Зх2—6 С— 6 Исследуйте на четность функцию: а) f (x) = 2x3+ ig х-, б) Ф(Х) = ~ Г - С—7 Начертите графики функций: а ) У— — *2+ 3; б) у = — х2+ 2х — 1; в) у = —0,5л:2+ х + 1,5. В примере в) найдите множество значений х, при которых 1,5. 2 Заказ 68 33
- 36. С—8 1. Вычислите: a) sin(-1860°); б) cos (-4 2 0 °); в) ctg( —930°). 2. Упростите выражение cos | | sin3 (л — а ) - -cos (л + а) sin3 1 (¥-•)2 sin a sin | (т -“)1 С—9 Начертите график функции г/= sin л: на отрезке [—0,5л; Зл]. Отметьте на этом графике множество точек, для которых вы полняются условия: a) sin х = 0,5у/2; б) s in x = — 1; в) sinx> 0,5V 2. Выпишите соответствующие значения х, при которых выпол няется каждое из условий. С—10 Начертите график функции у — cos х на отрезке [—0,5л; Зл]. Отметьте на этом графике множество точек, для которых выпол няются условия: a) cos х = 0,5у/3; б) c o s x = — 1; в) cos х>0,5-/3. Выпишите соответствующие значения х, при которых выпол няется каждое из условий. С - 1 1 Начертите график функции у — tg х на отрезке [— 1,5л; л]. Отметьте на этом графике множество точек, для которых выпол няются условия: a ) tg х = — 1; б) t g x > — 1. Выпишите соответствующие значения х, при которых выпол няется каждое из условий.
- 37. С—12 Вычислите: a) arcsin(—0,5); б) arctg ; в) tg (arccos ( г) cos^2 arcsin^ — • -0,5)); С -1 3 Решите уравнение: a) c o s x = — 1; б) sin х = 1 ; в) tg З х = — г) cos 5х cos 2х + sin 5х sin 2х = 0,5; д) sirt^2x + Y^ cos х — co s^2 x + -y ) s m ; e = ^ . С -1 4 Решите неравенство: a) c o s x ^ y - ; б) sin 2л: < —0,5; в) t g - O — 1. С—15 Решите уравнение: а) 4 cos2х — 1 = 0 ; б) 4 sin2х + 4 sin х + 1= 0 ; в) 2 sin2х--5 cos х --1= 0 . С—16 Решите уравнение: a) sin 2 х— jb cos 2л:=0; б) 1+ 2 sin 2x-j-2 cos2л:= 0. С—17 Решите уравнение: а) УЗ sin х —cos х — 2; б) (cos л:—sin х)2—cos 2х. 2* 35
- 38. Изобразите схематически графикфункции t / _/ 0,5л:2, если — 1, ' • ’I * + 3, если х < — 1. а) Назовите промежутки возрастания и убывания функции. б) Существует ли предел функции в точке л:=1 иеслису ществует, то чему онравен? Запишите это символически. в) Существует ли предел функции в точке х ~ —1?Ответ объясните. С—18 С— 19 1. Для функции f(x) — 3x укажите окрестность точки 2 оси абсцисс, для всех точек которой приближенное равенство /(*)«*6 выполняется с точностью до 0,1. 2. Известно, что Пт/(л:)==6, lim g (х)= — 1,5. Найдите: х->-3 *->-3 a) lim (0,5/ (x) — 2g (*)); б) Hm (2/ (x)-g(x)); в) Urn НхУг?--. С — 20 1. Для функции f ( х ) = 2 х + 3 найдите 2. Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции у = 0 , 5 л:2, проходящей через точки графика с абсциссами *о= 1, *0+ А *=1,8. Выполните рисунок к задаче. С— 21 1. Пользуясь определением производной, найдите значение производной функции /(л:)= Зх2+ 2 в точке х — —3. 2. Пользуясь определением производной, найдите /' (л:), если / (*) = 2л[х. С— 22 1. Решите уравнение /'(* ) = 0, если / (*) = 2лс3—■Зле2+ 1. 2. Дано: / (* )= (1 + 2*) (2*— 1). Найдите /'(*), /'(0,5). 6х 3. Дано: Ф(*) == j- • а) Найдите ф' (х) б) решите нера венство ф '(л:)>0. 36
- 39. С—23 1. Дано: f(x)=5xfx¥. Найдите f ' (х), f (32). 2. Решите неравенство у ' ( х ) ^ 0, если у(х)— 2х3- + 12x + 7. 3. Найдите g' (4), если g (x)=^Jx — 3 (х--2). - 9 х 2+ С—24 1. Найдите область определения функции у = ^ ~ - ^ . 2. Найдите ф '( —2), если ср(x) = (2x--3)i2. С—25 1. Найдите производную функции: а ) f W = 2 sin 5х; б) ф(х)== 3 ctg 2х. Вычислите / ' ( — и ф' ( — ^ . 2. Решите уравнение f ' (х) = 0, если f ( x ) = cos х —0,25 cos 2х. С—26 Решите неравенство: а) ^ ± ^ < 0 ; б) (х 3)у/*2 К О . С—27 Дана функция /( х ) = х 2— 4. а) Составьте уравнение касательной к графику данной функ ции в точке его с абсциссой л:о= —2. б) Выполните рисунок. в) Вычислите площадь треугольника, ограниченного отрез ками касательной и осей координат. С—28 Вычислите приближенно: а) -т/37,03; б) cos 2,06; в) sin 37°. 37
- 40. С—29 Радиус круга Rизменяется по закону /? = 4-{-2/2. Определите, с какой скоростью изменяется его площадь в момент /== 2с. Радиус круга измеряется в сантиметрах. С—30 Найдите промежутки возрастания и убывания функции: а ) / М — —х 2+ 4х — 3; б) ф {х) = х3--4х — 7; в) g (х) = 2х3—Зх2 1. С—31 Исследуйте на максимум и минимум функцию: а) / (х) = 2х4—Ах2+ 1; б) С—32 Исследуйте функцию /(x) = (x2—2 f с помощью производной и постройте ее график. С—33 Исследуйте функцию / (х)= —2х5+ 3 -i-x3 с помощью произ водной и постройте ее график. С—34 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции / (x) = sin х — Зх на отрезке 0; . 38
- 41. С—35 1. Дана функция/ (х) = 2 sin^4x+ -|-^ . Найдите f ' (х), Г (х), f '( - n ) , f " ( f ) . 2. Напишите три отличных от нуля решения дифференциаль ного уравнения у" = — 100г/. С—36 1. Докажите тождество 2sin 2а 4-sin 4а 0 —------ = 2а cos а -2(cosa + cos3a) 2. Вычислите без таблиц и калькулятора 1—sin4 15° —cos4 15°. С—37 1. Найдите нули функции у = 2 cos 0,5х, наибольшее и наи меньшее значения и постройте ее график. 2. Докажите, что функция / (х) = 0,5л:2+ х четная. Построй те график этой функции, используя свойство графика четной функции. С—38 1. Решите уравнение V3 tg x sin * - V 3 t g x + s i n x - l = 0. 2. Решите неравенство 2 cos З х + 1^ 0 . 3. Найдите критические точки функции / (х) = 0,5 sin 2х — cos х--2х. С— 39 Решите неравенство: a) б) (х + 5 ) V ^ - 1 6 > 0 . 39
- 42. 1. Найдите производнуюфункции: a) ctg 2х; б) л/x-sinx; в) cos2л:; г) (sin 2х — 5)3. 2. Дано: f (х)= + 8 sin 0,5ях. Найдите / ' ( — I). С -4 0 С— 41 1. На кривой у — —х2-{-Зх — 2 найдите точку, в которой каса тельная параллельна прямой у = х . 2. Напишите уравнение касательной к графику функции у = х^~1 в точке его с абсциссой хо= 1. Выполните рисунок. X С— 42 1. Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на утроенное другое слагаемое было наибольшим. 2. Исследуйте функцию f (х)= х2(х + 3) и постройте ее график. Вариант 5 С—1 S. Выразите в радианной мере величины углов 72° и 140°. 2. Выразите в градусной мере величины углов и ^ -я . 12 о 3. С помощью таблиц или калькулятора найдите радианную меру угла: а ) '79°; б) 38°22'. Найдите значения синуса и косинуса этих углов. 4. С помощью таблиц или калькулятора найдите градусную меру угла: ‘а) 0,7575; б) 2,0365. 40
- 43. 1. Докажите справедливостьравенства . | sin4 oc+ sin2 a cos2 a 1 ^""I 9 2 *cos a cos a 2. Определите знак выражения: v cos 200° tg 300° . n 4 л а ) :— ; 6 ) C O S Z - t g 4 . ’ sin 400° ' & o 3. Найдите sin a и tg a, если известно, что c o s a = - ^ - и a не лежит во II четверти. С—2 1. Вычислите: а) sin 1050°; б) cos2- ^ ; в) tg2130°. 2. Упростите выражение si"2 ( т + “) _cos2( a _ T ) tg 2( ^ + « ) - ctg 2( a - Y ) 3. Докажите тождество cos (— a) sin 3 s ( — a ) , /З я , / л т тг— т * t g ( — “ ) ctg ( - - “ )• C - 3 1. Вычислите С— 4 1— sin222°30' 2 cos 1 5 ° -1 2. Известно, что cos a = - — и л < а < ^ - . Найдите cos 2a и tg 2a. 3. Упростите выражение ctg2 a (I —cos 2a)2— cos2 2a. 41
- 44. 1. Найдите областьопределения функции, заданной формулой: *> б>/W-V5 - 2. Для функции, заданной формулойД (х)—х3+ Зх— 1, найди те f (—2) и /(* + 1 ). 3. Постройте график функции у —х 2— 2х — 3. С—5 С - 6 1. Докажите, что функция / является четной. 2. Докажите, что функция g (лг)= |х| cos 2х sin3Зх является нечетной. С— 7 1. Докажите, что функция у = х 3— Зх возрастает на проме жутке [1; оо). 2. Найдите нули функции у = - х 2-{-2х и координаты ее вершины. Начертите схематически график данной функции и с его помощью найдите промежутки возрастания и убывания этой функции. С - 8 1. Пользуясь периодичностью, четностью или нечетностью соответствующей тригонометрической функции, запишите задан ные значения так, чтобы аргумент был выражен наименьшим возможным положительным числом градусов или радианов: a) cos 235° 17'; б) sin 5040°; в) t g ^ -я. 2. Вычислите sin (—60°) + cos 690° + tg (—600°). 3. Найдите наименьший положительный период функции: а ) */= tg (-f— -f-) : б) y = cos2 2х — sin 4х. 42
- 45. С—9 1. Отметьте наединичной окружности множество точек Pt, для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют неравенству sin 2. Найдите точки минимума и максимума функции / (х) = = sin^3x —~ j . 3. Расположите в порядке убывания числа sin (—200°); sin (— 100°); sin 10°; sin 100°; sin 150°. С—10 1. Расположите в порядке возрастания числа sin 40°; cos 40°; sin 70°; cos 70°. 2. Отметьте на графике функции у = cos х множество точек, для которых соответствующие значения косинуса удовлетво ряют неравенству c o s x ^ —Щ-. 3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции у = COS ( f -t ) ■ С - 1 1 1. Отметьте на графике функции у — tg х множество точек, для которых t g x > —2. 2. Найдите промежутки возрастания функции /( * ) = tg ( 2 * — J-) . 3. Найдите область определения функции f (х)- *g i ‘ - i ) ' С—12 1. Найдите значение: a) ar ccos^— б) sin (arcsin 0,1).. 2. Вычислите arctg (— l)+ a rc c o s (— 1). 3. С помощью таблиц или калькулятора найдите значение: a) arcsin 0,897; б) arccos{— 0,773); в) arctg( —4). 43
- 46. Решите уравнение: a) co s x = — б) sin (x —-f-) = l'> в) tg (3 x + -|-) С—13 1 = V3- С -1 4 Решите неравенство: a) c o s 3 * < j - ;6 ) tg (2 x + f-) > —д/З- С -1 5 Решите уравнение: а) ctg х = —4 —3 tg х; б) д/3 sin^A:— + 3 cos^x — =0. Докажите тождество: а) 2 sin22y + cos 4 у = 1; б) 4 cos (а + 60°) cos а = 1+ 2 sin (30° —2а). С—16 С—17 Решите систему уравнений | sin х cos у = —0,25, 1 cos х sin г/= 0,75. С—18 1. Для функции, график ко торой изображен на рисунке 3, укажите: а) ее значения в точках —2 и 4; б) ее предел в точках —2 и 4. 2. Укажите наибольшее б, при котором для всех х=^3 из б-окрестности точки 3 выпол няется неравенство |/(х )+ 6 | <0,001, где /(* )= Л = £ . X — О 44
- 47. 1. Известно, чтоlim f(x) = 5; lim g(x) = 2. Найдите предел в *->-3 * -* з точке 3 для функции: а) f ( x) —2 g 2 (x); б) 2| (если указанный предел существует). 2. Вычислите, пользуясь правилами вычисления пределов: a) lim (1 —3x3-j-4x4); б) lim - f t * 9- . *— - 2 х - * 3 X — X — 1 С—19 С—20 о 1. Начертите график функции f {х)= —— х + 2. Выразите при ращение функции в точке хо через х0 и Ах. Найдите Af (*0), если хо— , Д* = 0,1. Дайте иллюстрацию полученных результатов на рисунке. 2. Найдите П*0' для функции f(x )= 1— Зх — 2х2. Вычислите при *0=1 И Д* = 0,1; 0,002; 0,00001. Найдите l i m ^ I , А х Ах-*~0 А х если Хо=1. С—21 Пользуясь определением производной, найдите производную функции f в точке х: а) /(•* )= 6 ^ ; б) f (х)— 4 — х2. С—22 1. Найдите производную функции: a) f(x) = x9— Зх6— 4 + 2; 4 — Y2 б>n*)~hh-2. Вычислите производную функции f (х) — (х+ 1) -у/х в точках 2, 4, х, х —2. 45
- 48. Решите уравнение /'(*) = 0 и неравенства f ' (х)> О и f ' (х)< О для функции: a) f(x) = 9x3+ x- б) /(*)=*- С—23 С—24 1. Найдите область определения функции: а) /(* )= У з V *— 1 ; б) f(x ) = — =====-. у х —6*+ 9 2. Даны функции / M = и g(x)=-[x. Задайте с помощью формул функции / (g (*)) и g (/ (*)). 3. Найдите производную функции: a) f (х)=(х7— Эх4)120; б) g (* )= V * 2— *• Найдите производную функции: a) f W = t g ( j - + Ю); б) / (Jf)=cos(3 —2л:); в) / W = tg * sin (2л:+ 5). С—26 1. Укажите промежутки непрерывности функции г / ч х 2—4______ ' ^Х ) ~ ( х - 1 ) ( х г - З х - 4 ) • 2. Решите методом интервалов неравенство: а) , 2+ 5* + 4 < 0 ; 6) <*~2) f + f ’^ ~ 7)< 0 ; в) • С—27 1. Напишите уравнение касательной к гиперболе г / = — ~ в точке с абсциссой х — — 1. Выполните рисунок. 2. Напишите уравнение касательной к графику функции у = c o s в точке с абсциссой х = п. 46
- 49. 1. Вычислите приближенно-/35,91, используя формулу V iT a^ i + ^ l . 2. Вычислите приближенно 1,00008'000—0,99996200. С—28 С—29 1. Материальная точка массой 3 кг движется прямолинейно по закону s (t)= l 7 t - 2 t 2---^-t3, где s — путь в метрах, t — время О в секундах. Найдите силу, действующую на нее в момент t = Зс. 2. Тело, выпущенное вертикально вверх с высоты ho с на чальной скоростью vo, движется по закону h (t) = ho + vot— , где h — высота в метрах, t — время в секундах. Найдите высо ту тела в момент времени, когда скорость тела в 3 раза меньше первоначальной, если Ло= 2м, у0= 4-^- считайте равным 10 С—30 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f (х)— 2х3—Здс2— 12х. 2. Найдите критические точки функции f (х)=2 л[х — х. Укажите, какие из этих точек — точки максимума функции, а какие — точки минимума. С—31 Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию f (х)= х2(х — 6)2. 47
- 50. 1. Исследуйте квадратичнуюфункцию и постройте ее график: у = —0,5х2+ 2х + 2,5. 2. Решите неравенство: а) Здс2—2х + 1> 0 ; б) 9х2- 18х + 4 < 5 х 2- 6 х + 11. С—32 С— 33 Исследуйте функцию и постройте ее график: у = хА~ 2 х 2~-1. С -3 4 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (х)=Зх5- 5 х 3+ на отрезке [—2; 2]. 2. Разбейте число 6 на два неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата первого слагаемого и второго слагаемого было наибольшим. С— 35 1. Проверьте, является ли функция jc(/) = sin5f решением дифференциального уравнения х" ( t ) = —25x(t). 2. Запишите дифференциальное уравнение гармонического колебания х (/) = 3 cos (-/2 t — 1). Укажите амплитуду, частоту и начальную фазу этого колебания. С—36 1. Найдите sin (а + Р), если известно, что sin а = ~ , —■< а < л; О Z cos р = g—, л < р < у - . 2. Упростите выражение cos2( —- -2ос^ 2 V2 2 cos2 — 2 sin2-2-) . cos2(л—а) ’ V 2 27 3. Найдите tg 22°30' и sin 22°30'. 48
- 51. С -3 7 Проведитеисследование и постройте график функции: а) у = sin 2*; б) у = c o s(x -fy -) ; в) y = t g (-|— f j . 1. Вычислите: a) arccos^ ^ ; б) a r c s in ^ ; в) arctg ( —^ . 2. Решите уравнение: a) 2 cos^2* — у ) —V2; б) cos2х — sin 2х — — 2. Решите неравенство: a) t g 2x < — 1;в ) sin С—38 С—39 1. Решите неравенство: а) х 2—4х + 3=^0; б) х 2—6х + 9 > 0 . 2. Решите неравенство методом интервалов: а) (^ = В ^ < 0; б) ;с! , + х! 2 > 4- Найдите производную функции: а) х ^ ~ 3 х 4-~2х3— 3 б) (3 — 2х)л[х в) sin 2х; г) — *) >Д) f i x — I)17. С—40 € -4 1 1. Напишите уравнение касательной к графику функции f (х) — 3х— х2 в точке с абсциссой х0= 1. 2. Вычислите приближенно: a) VO,998; б) (1,0003)5°. 3. Материальная точка движется по прямой согласно урав нению x ( t ) = t 3— 2t2+ 3t. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t0— 2. 49
- 52. 1. Исследуйте функциюу = 4х — х4 и постройте ее график. 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции / (x)=p-Ly на отрезке [— 1; 0,5]. С—42 Вариант 6 С -1 1. Выразите в радианной мере величины углов 42° и 130°. 2. Выразите в градусной мере величины углов - - и л. 3. С помощью таблиц или калькулятора найдите радианную меру угла: а) 57°; б) 88°55'. Найдите значения синуса и косинуса этих углов. 4. С помощью таблиц или калькулятора найдите градусную меру угла: а) 0,8796; б) 2,3422. С— 2 1. Докажите справедливость равенства j . cos4 а + sin2 a cos2 а 1 sin2а ‘ sin2 а 2. Определите знак выражения: „ч sin 110° cos 220° п i л а) ~ctg 330° ; б> sin 2 -ctg 4. 3. Найдите sin а и ctg а, если известно, что t g a = 3 и а не лежит в III четверти. 50
- 53. 1. Вычислите: a) sin2280°; б) c o s ^ - ; в) tg 1590°. 2. Упростите выражение ctg (270° —a) ctg2(360° - а ) - 1 1—tg 2(а — 180°)" ctg (180° + а) 3. Докажите тождество ^¥ г^г< *(т+ “)*«(т+“)-соЧ т + « ) С—3 1. Вычислите С— 4 1 - s in 2 15° 2cos2-£— 1 О 2. Известно, что s i n a = — и - 2 - < а < л . Найдите cos 2a и ctg 2a. 3. Упростите выражение cos22a + (l -f-cos 2a )2tg2 a. C— 5 1. Найдите область определения функции, заданной формулой: а > в . б> 2. Для функции, заданной формулой f (х)= 2х3—лг+ 5, найдите / ( — 1) и f ( х — 1). 3. Постройте график функции у = х 2+ 2х — 3. С— 6 1. Докажите, что функция f (х)= — xcof xtgx является чет ной. * р 2. Докажите, что функция g (х) — хх sin 5х tg Зх является не четной. 51
- 54. 1. Докажите, чтофункция у = х3—Зх убывает на проме жутке [— 1; 1]. 2. Найдите нули функции у — —0,5х2+ 2л: и координаты ее вершины. Начертите схематически график данной функции и с его помощью найдите промежутки возрастания и убывания этой функции. С - 7 С— 8 1. Пользуясь периодичностью, четностью или нечетностью со ответствующей тригонометрической функции, запишите данное значение так, чтобы аргумент был выражен наименьшим положи тельным числом градусов или радиан: a) sin 312° 19'; б) cos 5042°; В) C t g f . 2. Вычислите cos (—30°) -f- sin 660° + ctg (—510°). 3. Найдите наименьший положительный период функции: a) y = tg (1 —Зх); б) i/ = sin4x + cos4х. С—9 1. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют неравенству sin / > 4 ~. 2. Найдите точки максимума и минимума функции / (*)= = s in (2* + f ) . 3. Расположите в порядке убывания числа sin (—300°); sin (—250°); sin (— 150°); sin 20°; sin 40°. С— 10 1. Расположите в порядке возрастания числа cos 10°; cos 70°; cos (—20°); sin 15°. 2. Отметьте на графике функции у — cos л: множество точек, для которых соответствующие значения косинуса удовлетворяют неравенству cos х > — 3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции » - « • ( ■ § — пг) ■ 52
- 55. С—11 1. Отметьте награфике функции y = t g x множество точек, для которых tg x < [l,5 . 2. Найдите промежутки убывания функции / (x) = tg^-^---------- . 3. Найдите область определения функции f(x ) = ^ — . С— 12 1. Найдите значение: a) arc sin ^ — ; б) cos (arccos (—0,3)). 2. Вычислите arctg (—д /3 )+ arctg 3. С помощью таблиц или калькулятора найдите значение: a) arcsin (—0,736); б) arccos (—0,997); в) arctg 3,7. С—13 Решите уравнение: a) sin х = — б) c o s ( x + - | _л/З. ) 2 ’ в) tg ( 2дс-1 со|а II % С -1 4 Решите неравенство: a) s in 2 x > ^ ; б) tg^3x — ^ С -1 5 Решите уравнение: а) tg х + З ctg х = 4; б) sin ^хН— -f- cos ^х + - 2-^ = 0. С—16 Докажите тождество: а) 2 cos22р —cos 4р = 1; б) 4 sin (30° + a) cos а = 1+ 2 cos (60S —2а). 53
- 56. Решите систему уравнений (cos х cos у —0,5, 1 sin х sin у = —0,5. С—17 С— 18 1, Для функции, график ко торой изображен на рисунке 4, укажите: а) ее значения в точках —3 и 2; б) ее предел в точках —3 и 2. 2. Укажите наибольшее зна чение б, при котором для всех х ф 2 из б-окрестности точки 2 выполняется неравенство f (х) —4| <0,001, е / х 2— 4 где f(x ) = — 2-. С— 19 1. Известно, что lim f (х) = 2; lim g ( х)=3. х -у — 1 Найдите предел в точке — 1 для функции: а ) f2(x)— 3g(х) б) (если указанный предел су ществует) . 2. Вычислите, пользуясь правилами вычисления пределов: a) lim (l-3 x 2+ 4x4); б) lim х-»2 х ^ - 3 Х 2+ Х + 1 С— 20 1. Начертите график функции f (х)=0,Ъх — 2. Выразите при ращение функции в точке хо через х0 и Ах. Найдите Af (х0), если лго= 5, Ах ==0,2. Дайте иллюстрацию полученных результатов на рисунке. 2. Найдите для функции f (х )= 2 + Зх— Вычислите при Хо= — 1 и Ад:= 0,1; 0,002; 0,00001. Найдите Ах если дго= — 1. Ах-»0 Л* 54
- 57. Пользуясь определением производной,найдите производную функции f в точке х: a) f(x)=4^[x; б) /(х ) = х 2+ 3. С—21 С—22 1. Найдите производную функции: a) f ( x ) = x 7+ 2x5+ ± - 1; б) / ( х ) = | ^ - . 2. Вычислите производную функции f (х )= х д/х+ 1 в точках О, 3, х, х — 1. С—23 Решите уравнение /' (х) = 0 и неравенство /' (х )> 0 и / ' (х )< 0 для функции: a) f(x) = 3x3—х; б) С—24 1. Найдите область определения функции: а) /(х )= У 4 —2 V*; б) f(x) = ~ ~ _ ~ =r. -yjx —Зх+ 2 2. Даны функции / (х) = и g (х)=У х. Задайте с помощью формул функции / (g (х)) и g (/ (х)). 3. Найдите производную функции: a) f(x) — (xb— 2х2)191; б) g (х) = д/1—х2. С—25 Найдите производную функции /: а) / (x) = cos (3 —4х); б) f (x )= tg (2х —7); в) f (x)= sin х cos (2х —3). 55
- 58. С—26 1. Укажите промежуткинепрерывности функции f ( x ) = ____ __________ / w ( x + l ) ( x 2- 4 x + 3)' 2. Решите методом интервалов неравенство: а) х2- 3 * + 2 > 0; б) х —3 2х —5 ' х + З ^ 4х —3 ' С—27 1. Напишите уравнение касательной к графику функции y = sin 2х в точке с абсциссой 2. Напишите уравнение касательной к гиперболе У=-^~ в точ ке с абсциссой х = —2. Выполните рисунок. С—28 1. Вычислите приближенно д/49,07, используя формулу V l + A ^ l + f , 2. Вычислите приближенно 1.ООООб3000—0.999986000. С— 29 1. Материальная точка массой 4 кг движется прямолинейно по закону s (t) = 4t--t2— l—t3, где s — путь в метрах, t — время в секундах. Найдите силу, действующую на точку в момент t — 2c. 2. Тело, выпущенное вертикально вверх с высоты h0 с началь ной скоростью vo, движется по закону h (t)— ho--vot-~ 2 где h — высота в метрах, t — время в секундах. Найдите высоту тела в момент времени, когда скорость тела в 2 раза меньше первоначальной, если ho = 4 м, по= 3— ( g считайте равным « * ) ■ 56
- 59. С—30 1. Найдите промежуткивозрастания и убывания функции f (х) = 2х3+ Зх2— 12х. 2. Найдите критические точки функции f {х)=2х—л[х. Укажите, какие из этих точек — точки максимума функции, а какие — точки минимума. С—31 Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию f (х) = 2 х2—х4+ 3. С—32 1. Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее график: у — —0,5х2+ * + 1,5. 2. Решите неравенство: . а) 2х2- х + 1 < 0 ; б) 16x2+ 6* + 3 > 7 x 2- 6 x - 1. С—33 Исследуйте функцию и постройте ее график: у = 2 х 3—6х2+ 4. С—34 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x* + 20х2+ 3 на отрезке [— 1; 1]. 2. Разбейте число 8 на два неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадрата первого слагаемого и куба второго сла гаемого была наименьшей. 57
- 60. С—35 1. Проверьте, являетсяли функция х (/) = sin -j- решением диф ференциального уравнения х" — — х . 2. Запишите дифференциальное уравнение гармонического ко лебания a:(/)= -^ -cos (д/3/ Н-2). Укажите амплитуду, частоту и на- и чальную фазу этого колебания. С—36 1. Найдите cos (а —р), если известно, что cos d = -|~ , ^ 5 - < а < О Z < 2л; cos р = — g-, - |~ < р < л . 2. Упростите выражение (2 cos2а — 2 sin2 а )2sin2(л —2а) —sin2 — 4а) . 3. Найдите tg 15° и cos 15°. С—37 Проведите исследование и постройте график функции: а) у = cos б) y = s in (* —у-) ; в) y = t g ( 3 * + -у) . С—38 1. Вычислите: a) ar ccos^— ; б) arcsin-у ; в) arctg (— 1). 2. Решите уравнение: а) 2 sin( 'f _+ "f') = 1; б) cos2x + sin 2* = -|-. 3. Решите неравенство: a) t g 1; б) cos(* + y ) <&-. 58
- 61. С -3 9 1.Решите неравенство: а) х2—6х + 8 > 0 ; б) х2— 12х + 3 6 < 0 . 2. Решите неравенство методом интервалов: а) (X—1)-(х+ 2 ) ^ 0. б) х—3 х —j~I х“I-2 С— 40 Найдите производную функции: а) х7—2х?+ 3 х —3; б) (1+Зх)н/х; в) cos 5х; г) ctg (y -x + 5) ; д) ( j-x —б) С— 41 1. Напишите уравнение касательной к графику функции / (х) = Зх + 2х2 в точке с абсциссой хо=1. 2. Вычислите приближенно: а) д/Ь002; б) 0,9999760. 3. Материальная точка движется по прямой согласно уравне нию * (0 = * 3+ y * * - 7 f . Найдите ее скорость и ускорение в момент времени to— 2>. С— 42 „4 1. Исследуйте функцию у = 8х — — и постройте ее график. 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (х)— -гт~г на отрезке [—2; 0,5].X -р 1 59
- 62. Вариант 7 С— 1 1.Выразите в радианной мере величины углов 66° и 156°. 5л 29 2. Выразите в градусной мере величины углов — и —л. 10 о 3. С помощью таблиц или калькулятора найдите радианную меру угла: а) 71,4°; б) 29°17'. Найдите значения синуса и косинуса этих углов. 4. С помощью таблиц или калькулятора найдите градусную меру угла: а) 0,0367; б) 2,0033. С—2 1. Докажите справедливость равенства cos а (1 + c o s -1 a + tg a) (1 —cos-1 a + tg a ) = 2 sin a. 2. Определите знак выражения: ч sin 100° cos 100° . • , о . с 3 ) tg 200» ctg 300^ ’ б ) 8Ш 1 C° S d tg b - 3. Найдите sin a, cos a, если известно, что t g a = —2 и cos a > 0. С—3 1. Вычислите: a) cos 1755°; б) sin 2160°; в) c tg ^ b . 2. Упростите выражение (sin160° + sin 40°) (sin 140° + + sin 2 0 °)+ (sin 50°- s i n 70°) (sin 130°- s i n 110°). 3. Докажите тождество sin (a-t-л) I cos (Зл —a) __ 1 . / Зл / я cos a ‘ s i n f c t + y ) c o s ^ y + a j — 1 C—4 1—sin2 67°30' 2 cos2 75° - 1 ‘<P 2. Известно, что s in a = - |- и -^ -С а С л . Найдите sin 4a и 1. Вычислите tg 4a. 3. Упростите выражение 1 с g ?а с . tg a + ctg а 60
- 63. 1. Найдите областьопределения функции, заданной формулой: а> б>/м -л/Й •2. Дана функция t м —/ х 2— 1 при х > — 1, 1 ' ' I x-f- 1 при х<С — 1. а) Вычислите /(0), / (2), / ( — 1), / ( —2). б) Начертите график данной функции. С—5 С— 6 Какие из функций: а) у = 2 sin xcos 2 x tg Зх; б) у = х 2 cos х ctg Зх; в) у = 2 cos sin х; г) y = 3x2-f-2 sin 5х cos х — являются четными, какие — нечетными, а какие не являются ни четными, ни нечетными? С—7 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции /(*) = _Зх + 7 х—1 2. Найдите точки максимума и минимума функции /(х) = 5х — —2х2—2. Изобразите схематически ее график. С— 8 1. Пользуясь периодичностью, четностью или нечетностью со ответствующей тригонометрической функции, запишите заданные значения так, чтобы аргумент был выражен наименьшим возмож ным положительным числом градусов или радиан: a) sin 311° 17'; б) cos 4160°; в) tg у-л. 2. Вычислите: sin (—30°)+ cos 660° + tg (—510°). 3. Найдите наименьший положительный период функции: a) f (x) = tg ^ 2x — y j ; б) f (x) = sin2x -f tg x. 61
- 64. С—9 1. Отметьте награфике функции синус множество точек, для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют нера венству sin 2. Расположите в порядке возрастания числа sin 1, sin 2, sin 3, sin 4. 3. Найдите промежутки возрастания функции /( * ) = s in ( x - y - ) . С— 10 1. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для которых соответствующие значения косинуса удовлетворяют нера венству cos 2. Найдите точки максимума функции f {x) = cos(^3x— ~ ^ . 3. Решите уравнение cos(-£— Б г)= ®' С—11 1. Найдите область определения функции /( * ) = tg (3 * — J-) - 2. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для которых соответствующие значения тангенса удовлетворяют неравенству tg / < —2. 3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции / « = t g ( - f - - f - ) • 1. Найдите значение: ^ ** a) arccos- р — arcsin 1; б) arcsin (sin 110°). ~J2 2. Поставьте вместо звездочки знак равенства или неравенства так, чтобы получилось истинное высказывание: arcsin (— 1) * arctg (— 1). 3. Найдите с помощью таблиц или калькулятора значение: a) arcsin (—0,3217); б) arccos (—0,7991); в) arctg 3,257. 62
- 65. С -1 3 Решитеуравнение: a) tg x = - - j = ; б) s i n ( * + y ) = ^ ; в) cos ( з *— — 1. С—14 Решите неравенство: а) s i r i f < - f ; 6) t g ( f — Решите уравнение: а) cos2х — 3 sin х —3 = 0; б) sin 2х = 2 л/З sin2х. С—15 С—16 I 2 а ctg2^ . С—17 Решите систему уравнений cos (х + у )= —у , sin лг+ sin y = V3. Докажите тождество: о I * 2 siri —+ sin а cos 2а 1—tg “ . 2 1 cin 9yv 1_Ltrr гу ’ 1l+ s in 2 a 1 + t g a ’ а 2 Sin у 1. Для функции, график которой изоб ражен на рисунке 5, укажите: а) ее значение в точках — 1 и 1; б) ее предел в точках — 1 и 1. 2. Укажите наибольшее б, при кото ром для всех 1^=5 из б-окрестности точ ки 5 выполняется неравенство I / M - 2 I < 0,001, где / ( * ) = 4 тГ=5Г- С—18 63
- 66. 1. Известно, чтоlim f(x )= 4 -; lim g ( х ) = — . х-> 3 £ Х -+3 о Найдите предел в точке 3 для функции: a) /(x)g(x); б) — (если указанный предел су ществует) . 2. Вычислите, пользуясь правилами вычисления пределов: а) iim ( i_ * + ± - * 2- i - * 3) ; б) . С—19 С—20 1. Для функции /(х) = х2—Зх выразите приращение в точке Хо через х0 и Ах и найдите Ду, если: а) х0= 3; А х — — j-; б) х0= —2; Ал:= 1. 2. Найдите И<о+ ^ —И£о) ддя фуНКЦИИ /(х) = х3—5х. С—21 Пользуясь определением производной, найдите производную • функции f в точке х0: a) f (х) = 7 —5л:; б) f(x) = x2—4л: —7. С—22 1. Найдите производную функции: a) /(х) = х7—Зх5+ ^ —2; б) g (л:)= (л + 5) л[х. 2. Вычислите производную функции р / 3 2х /W = T + 5 - в точках —4, 8, х, х2—5. С—23 Решите уравнение f' (х)= 0 и неравенства /' (х )> 0 и /' (х )< 0 для функции: а) / (х) = 2х4—х2; б) f ( х ) = ± = £ . 64
- 67. 1. Найдите областьопределения функции: а) f ( x) = -7=== > б) f (X) = ~F==~ ■ У ^ З - 1 ' l / 2-V i 2. Даны функции f ( x ) = x 2х и g (x)= siri х. Задайте с по мощью формул функции f (g (*)) и B (f (*))• 3. Найдите производную функции;_______ а) / (х)— (5х4— 4л:5)101; б) g (х)=д/3х2—Зх. С—24 С—25 Найдите производную функции: а) / (x) = cos ( Щ— 01 ; б) / (jc)= sin х cos 2х + cos х sin 2х; в) f (x) = cos х cos 2х — — tg Зх. С—28 1. Укажите промежутки непрерывности функции f (х) Зх—8 . / W х —7х --6х • 2. Решите методом интервалов неравенство: а) ( ^ - 2)(*+8)(* -9 )^ 0 ; б) (х2 16)yx + 3 < 0. С—27 1. Напишите уравнение- касательной к графику функции </= siri в точке с абсциссой х=-^~. 2. Напишите уравнение касательной к параболе у в ее точке с абсциссой х0= 2. Выполните рисунок. — х2—2х С—28 1. Вычислите приближенно У 16,08, используя формулу У'1 + Л х « 1 + ^ . 2. Найдите приближенно значение 1,00004100+ 0,99996100. 3 Заказ 68 65
- 68. С—29 1. Материальная точкамассой 5 кг движется прямолинейно по закону s = гДе s — путь в метрах, t — время в се кундах. Найдите силу, действующую на точку в момент t = 4 с. 2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t с на угол 3/ —О,ОН2 (рад). Найдите: а) угловую скорость вра щения маховика в момент 4= 7 с; б) в какой момент време ни маховик остановится. С— 30 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f (х) = Зх3—х2—7х. 2. Найдите критические точки функции Укажите, какие из этих точек — точки максимума функции, а ка кие — точки минимума. С— 31 Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию . С— 32 1. Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее график: f{x) = 5х2- З х - 8 . 2. Решите неравенство: а) 2х2+ 5х + 2 < 0 ; б) х2— 12х + 36 0. С— 33 Исследуйте функцию и постройте ее график: f ( х ) = 6 х + 15 66
- 69. С—34 1. Найдите наибольшееи наименьшее значения функции f(x) = x3- 2 x 2+ 8 x - 2 на отрезке [—4; 2]. 2. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и углом 60° вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипоте нузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? С— 35 1. Запишите общий вид решений для дифференциального уравнения и " = - и - 2. Напишите дифференциальное уравнение гармонического ко лебания x(t) = 2 sin Укажите амплитуду, частоту и начальную фазу этого колебания. С— 36 5 1. Найдите cos (а + (5), если известно, что cos а = -у, • л 1 2 /~ . ЗХ ЗХ________ _ о Р=ТГ' 0 < а < — , у < Р < л . 2. Упростите выражение 8 sin2(л —a) sin2^ y - |- a ) — 1. 3. Найдите sin у - и tg ~ если c o s a = — 0 < а < л . С— 37 Проведите исследование и постройте график функции: а) f(x) = cos(^2x— у ) ; б) f ( x ) = y + s i n в) f(x) = 3- 3* 67
- 70. С—38 1. Найдите значение: a)arccos (— 1); б) arcsin 2. Решите уравнение: a) siri2^-^— б) 8 cos2х —2 sin х = 5. 3. Решите неравенство: a) tg 2 х > — б) cos (2х- - i ) ; в) arctg ' С—39 1. Решите неравенство: а) х2—З х — 11 > 0 ; б) х2+ Т х+ 12< 0. 2. Решите неравенство методом интервалов: а) (£=| i ± 5 f < 0 ; б) s l t + 5 l . < 2. С—40 Найдите производную функции: а) х^ —Злг6-J-2я3—7; б) яд/З + х; в) sin г) tg ^2jc— —^ ; д) ( f - з * 2) 35. С—41 1. Напишите уравнение касательной к графику функции f (х)= х2— 2х + 3 в точке пересечения графика с осью ординат. 2. Вычислите приближенно: а) УУ1.00004; б) 1,0000350°. 3. Материальная точка движется по прямой согласно уравне нию г - Найдите ее скорость и ускорение в момент времени /е —2. 68
- 71. С—42 1. Исследуйте функциюf ( x ) = x 4— 8x2 и постройте ее график. 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции / (х) —2 л:3 + Зх2+ 2 на отрезке [—2; 0]. Вариант 8 С— 1 1. Выразите в радианной мере величины углов 48° и 188°. 2. Выразите в градусной мере величины углов ^ и ^-п. 3. С помощью таблиц или калькулятора найдите радианную меру угла: а) 23,6°; б) 83°53'. Найдите значения синуса и косинуса этих углов. 4. С помощью таблиц или калькулятора найдите градусную меру угла: а) 0,0995; б) 3,1012. , „ С— 2 1. Докажите справедливость равенства sin2 а (1 -f-sin-1 a + ctg а) (1 —sin-1 а -f-ctg а) = 2 sin а cos а. 2. Определите знак выражения: ч sin 200° cos 20° 1 • о * с а ) Tg 3 0 0 ° c tg ib 0 ° ; б > cos sin 3 tg 5. 3. Найдите sin а и cos а, если известно, что tgoc = 3 и а не лежит в I четверти. 1. Вычислите: С—3 a) sin 1935°; б) tg 1395°; в) c o s ^ . 2. Упростите выражение (cos 70° + cos 50°) (cos 310° + + cos 290°) + (cos 4 0 ° + cos 160°) (cos 320° —cos 380°). 3. Докажите тождество tg ( л - а ) ( 1 + t g ( § 4 -a) c t g ( f - + 2a )) = tg (2л - a ) - - c t g ( | - - 2a) . 69
- 72. 1—2 cos2^ 1. Вычислите2 ——. sin2 75° — 1 2. Известно, что c o s a = - |- и s in a < 0 . Найдите sin 4a и ctg 4a. 3. Упростите выражение 1—ctg 2a tg a tg a + ctg a С - 4 C— 5 1. Найдите область определения функции, заданной формулой: » Г (* У = ? Ш т '- б > f « = V Ш - 2. Дана функция t (г / —х2+ 1 при л:< 1, ' ^ ’ х — 1 при х ^ Л . а) Вычислите /(0); f(l); / ( — 1); /(2). б) Начертите график данной функции. С - 6 Какие из функций: а) у — 2 sin х cos Зх tg 5л:; б) г/=л:3 sin (x-j- |лг|); б) ^ = tg ( —-§-); Г) y = ctg х + х cos2х — являются четными, какие — нечетными, а какие не являются ни четными, ни нечетными? С— 7 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции с t 2"х—3 f M = 7 + T - 2. Найдите точки максимума и минимума функции f (х) — — Зх—х2+ 1. Изобразите схематически ее график. 70
- 73. С—8 1. Пользуясь периодичностью,четностью или нечетностью со ответствующей тригонометрической функции, запишите задан ные значения так, чтобы аргумент был выражен наименьшим возможным положительным числом градусов или радиан: a) cos 393° 17'; б) tg 4020°; в) cosyy-л. 2. Вычислите cos (—60°) + sin 690° + tg (—600°). 3. Найдите наименьший положительный период функции: a) f(x) = c o s (-|-+ -|-) ; б) f ( x ) = cos2* —ctg х. С— 9 1. Отметьте на графике функции синус множество точек, для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют нера венству sin х < — |- . 2. Расположите в порядке убывания числа sin 0,5; sin 1,5; sin 3; sin 4,5. 3. Найдите промежутки убывания функции /(* )—s i n ( x + y ) . С—10 1. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для которых соответствующие значения косинуса удовлетво- /з ряют неравенству cos t > . 2. Найдите точки минимума функции /(*) = cos (•§-+-!-) . 3. Решите уравнение c° s ( i + i ) = ° - 71
- 74. С—11 1. Найдите областьопределения функции /(* )“ tg ( - § - + § ) . 2. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для которых соответствующие значения тангенса удовлетво ряют неравенству t g / > 2. 3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f (x) = t g ( 2 x —-J-) . С—12 1. Найдите значение: a) arctg 1 —arccos ; б) arccos (cos (— 12°)). V2 2. Поставьте вместо звездочки знак равенства или неравенст ва так, чтобы получилось истинное высказывание: arccos 1 * arctg 1. 3. Найдите с помощью таблиц или калькулятора значение:, a) arcsin 0,9898; б) arccos (—0,3737); в) arctg (—5,72). С—13 Решите уравнение: a) t g x = —V3; б) c o s(^ — х) = — 1; В) S i n ( f + f ) - f . С—14 Решите неравенство: a) tg Злг< 1; б) c o s(2x — ^ . Решите уравнение: a) sin2х —3 cos х — 3 = 0; б) 2 sin2х — л/3 sin 2х = 0. С—15 72
- 75. С—16 Докажите тождество: cos2а 1 + tg g . sin z a —z sin a , 2 1—sin 2a 1—tg a ’ ' sin 2a + 2 sin a ^ C—17 Решите систему уравнений f sin (x + y )= 1, I sin2x + cos2y = 1. C—18 1. Для функции, график которой изоб ражен на рисунке 6, укажите: а) ее значение в точках —3 и 0; б) ее предел в точках —3 и 0. 2. Укажите наибольшее б, при кото ром для всех х ф — 1 из б-окрестности точки — 1 выполняется неравенство !/(*) —2 | < 0,002, где (х)-- х2+ 8* + 7 = 3 (* + 1 ) С—19 1. Известно, что lim f (х) = — lim g (х) = 3. Найдите предел х-*-2 Л х~+2 в точке 2 для функции: а) J § ) + 2f ( x ) g ( x)', б) e/(x)+f (х) ^если Указанный предел существует). 2. Вычислите, пользуясь правилами вычисления пределов: а) lim (1 —х + 2х2--З х 3); б) l i m ■ х->-4 х->— 3 — X -f- 1 >0 73
- 76. 1. Для функцииf (х)— х2--2х выразите приращение в точке х0 через х0 и Ах и найдите Ау, если: а) х0= 2; Ах = — 1; б) х0= —3; А х = — . 2. Найдите Пхо+Д^—/Ы для фуНКЦИИ /.(х)= х 3+ 4х. С—20 С—21 Пользуясь определением производной, найдите производную функции f в точке хо: а) /( х ) = 2 —7х; б) / (х)==х2-(-Зх —2. С—22 1. Найдите производную функции; a) f(x) = x8—2х6—У х ^+ 9; б) g (х)— х л/х+ 1. 2. Вычислите производную функции в точках —3, 6, х, х2— 1. С—23 Решите уравнение f' (х) = 0 и неравенства f' (х )> 0 и f' (х )< 0 для функции: а) / (х) = 8х4—х2; б) f ( х ) = ^ ~ - . С—24 1. Найдите область определения функции: а) / ( х ) = ^ _ _ — ; б) f ( * ) = - — г . 2. Даны функции f (х)= х4— 2х и g(x) = c o s x + l. Задайте с помощью формул функции / (я М) и g (/ (х)). 3. Найдите производную функции: а) /(х) = (7х3—Зх7)173; б) g (х)=^/х3—Зх. 74
- 77. Найдите производную функции:а) / (x) = sin ( y ~ f l) > б) / (x) = cos л: cos 3x:+ sin х sin Зл:; в) f (jc)= ctg — л^ + + sin x sin 2x. С—25 C— 26 1. Укажите промежутки непрерывности функции с / 2лг—-3 ' ’л:3—5х2+ 6л: 2. Решите методом интервалов неравенство: а ) (Х~ 1}^ ~ У ~ 5)< 0; б) (x2- 9 h J x + 2 < 0 . С—27 1. Напишите уравнение касательной к графику функции / (jc)= cos -j- в точке М ; 2 0 . 2. Напишите уравнение касательной к параболе г/= 0,5л:2— —2л:+ 2 в точке ее с абсциссой х0= 0. Выполните рисунок. С—28 1. Вычислите приближенно д/81,12, используя формулу У Г + Д л:« 1 + ^ . 2. Вычислите приближенно 1,000007100—0,999999700. С—29 1. Материальная точка массой 4 кг движется прямолинейно по закону s (t)=3t — где s — путь в метрах, / — время в секундах. Найдите силу, действующую на точку в момент / = 1с. 2. Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за / с на угол 2t — 0,04/2 (рад). Определите: а) угловую скорость вра щения маховика в момент /= 1 2 с; б) в какой момент маховик остановится. *■ $ -------------- 75
- 78. С—30 1. Найдите промежуткивозрастания и убывания функции / (х)— х3--Зх—8. 2. Найдите критические точки функции Укажите, какие из этих точек — точки максимума функции, а какие — точки минимума. С—31 Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функ цию f W = (7 ^ 3 f- С—32 1. Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее график: f (х)— 3х2— 4х — 7. 2. Решите неравенство: а) х2— 9х — 2 2 ^ 0 ; б) х2--8х-- 16 > 0 . С—33 Исследуйте функцию и постройте ее график: I W x 2 _ i_ g • С—34 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (х)= х3—2х2+ 8х —-2 на отрезке [1; 4]. 2. В прямоугольный треугольник с катетом 12 см и про тиволежащим углом 30° вписан прямоугольник, основание ко торого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? 76
- 79. 1. Запишите решениедифференциального уравнения у" = = —4у с амплитудой А = 4 и начальной фазой <р=Д-. О 2. Докажите, что уравнение x(/) = 3 sin 3 / задает гармони ческое колебание, и запишите дифференциальное уравнение этого колебания. С—35 С—36 1. Найдите sin (а — р), если известно, что s in a = -^ -, 0 < a < j ~ - cos p = J - , ^ < р < 2л. 2. Упростите выражение sin2(л —a) cos2(я -f- a )— ^-sin2^ 2a + ^ - ^ . 3. Найдите cos и tg -|- , если c o s a = — л < а < 2 л . С—37 Проведите исследование и постройте график функции: а) /(*) = sin —h-f-) ; б) /(*) = 2 —cos 2х в) / ( х ) = - |- + + t g ( f - - x ) . С—38 1. Найдите значение: а) arccos ( — ; б) arcsin ( — Щ') ; в) arctg -у/З. 2. Решите уравнение: a) cos2^3x— ^ sin2х + 4 cos х — 5. 3. Решите неравенство: a) t g - |- < —л/З; б) s in (2x - ~ ) > ^ . 77
- 80. С—39 1. Решите неравенство: а)х2—Ъх —7 < 0 ; б) *2+ 6* + 9 > 0 . 2. Решите неравенство методом интервалов: а ( * — (ЛГ+ 3 ) 8 A . g 5 . 6 о а) зТ+Т ^ и’ ' зГГГ+ 2ГГТ< ’3- С—40 Найдите производную функции: а) Зх — 7x3+ - i- x 8+ *9; б) x ^ j5 + x ; в) cos 0,3л:; г) c tg ( ^ — Зл:) ; д) (5*2— I)8. С—41 1. Напишите уравнение касательной к графику функции f (х) = х2— Зх — З в точке пересечения графика с осью ординат. 2. Вычислите приближенно: а) -уд/0,999996 ; б) 0,99997350. 3. Материальная точка движется по прямой согласно урав нению Найдите ее скорость и ускорение в момент времени to==1. С -4 2 1. Исследуйте функцию / (х) = 2х2— х4 и постройте ее график. 2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции / (л:)= 2 + 3х2—х3 на отрезке [—2; 2]. 78
- 81. Вариант 9 С -1 1.Выразите в радианной мере величины углов равнобедрен ного треугольника с углом при вершине в 18°. 2. На сколько градусов нужно повернуть минутную стрелку, чтобы перевести часы на 12 мин: а) вперед; б) назад? (Часы разрешается переводить только по часовой стрелке.) 3. Найдите градусную меру углов четырехугольника, если известно, что их величины относятся как 3:7:17:21, и выразите при помощи таблиц или калькулятора наименьший из углов в радианах. 4. Сумма двух положительных углов равна 1, а радианная мера одного из них есть квадрат радианной меры другого. Найдите с помощью таблиц или калькулятора градусную меру этих углов. С—2 1. Докажите справедливость равенства -1 / 1 + s>n « —. / 1— sin а г, , п . . я V .. V-гг-- = 2 tg а, если 0 < а < —V 1— sin а * l- ( - s in a в 2 2. Определите знак выражения: » cos 1700° tg 3400° , ч . _ п * 11 а ) "sin 5000°-------- ; б> COS 9 tg 11. 3. Упростите выражение (sin а + cos а)2— 1 , tg а tg а —&ш а eos а ° 2 и наидите его значение, зная, что sin а = — и cos а < 0. ф С—3 L Вычислите tg 31° •tg 33°• tg 35° •...-tg 59°. 2. Упростите выражение ■"(-Й»(т+т)■+“ » ( “ —f ) 3. Докажите тождество sin ^2ф— ^ cos (Зф + л) = sin (2ф—л) sin (л —Зф) —sin ^ + ф^ . 79
- 82. С—4 1. Вычислите cos-g- cos cos . 2. Найдите 2 sin 2a — 3 cos 2ct 4 sin 2a + 5 cos 2a ’ если известно, что tg a = 3. 3. Упростите выражение cos42a —6 cos22a sin22a + sin4a. C— 5 1. Найдите область определения функции, заданной фор мулой: а) f (x )= 3j ^ H i j £l ■ б) /М = Л /9 _ 2 JC(2 — ул: 1) 2. Дана функция f/И — / 1-^1 ПРИ — *- ' ' ' 12 —Зл: при х ^ — 1. а) Вычислите / (—2), / (— 1), /(3), / (х2). б) Начертите график данной функции. С— 6 1. Может ли уравнение f (х) = 0 иметь в точности 5 корней, если f всюду определенная и: а) четная функция; б) нечет ная функция? 2. Докажите, что любая функция с симметричной относи тельно точки О областью определения может быть представ лена в виде суммы четной и нечетной функций, причем един ственным образом. С - 7 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: а) f(x) = 4х2— Зх — 9; б) f ( x ) = x + ~ . 2. Пусть функции / и g возрастают на всей числовой прямой. Всегда ли функция: а) f + g б) f — g; в) 2/; г) — д) f3; е) /2— будет возрастающей (убывающей) на всей числовой прямой? 80
- 83. С — 8 1.На рисунке 7 приведена часть гра фика периодической функции, имеющей период Т. Продолжите график на отре зок [—2Г; 3Т]. 2. Найдите наименьший положитель ный период функции: а ) / (х) = Isinxl + tg 2х; б) f (x) = cos(^j2 х — . /1 1 Л , -т т 0 2 Т Т х 2 Рис. 7 3. Докажите, = COS XCOS (■>/2х ) - что функция: а) / (x) = sin х2; б) f (х) = ■не является периодической. С—9 1. Отметьте на единичной окружности множество точек Р>, для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют 1 /о неравенству у - < Isin /| • 2. Найдите область значений функции f (х) = sin2х —2sin л:+ 3. 3. Определите знак числа (sin 2 —sin 4) (sin 3 —sin 5). С—10 1. Отметьте на графике функции у = cos х множество точек, для которых соответствующие значения косинуса удовлетво ряют неравенству Icos х | . 2. Пользуясь возрастанием (убыванием) функции y = sirix {у — cos х) на отрезке J^O; -p-J , докажите, что cos sin у - > sin cos ~ . 3. Найдите область определения функции / W = ----- 1— г - cos22 х — 4 4 Заказ 68 81
- 84. С—11 1. Найдите областиопределения и значений функции f W = t F T + 7 - 2. Отметьте на графике функции y = t g x множество точек, для которых —2 < t g x ^ l . 3. Расположите в порядке возрастания числа tg2, tg 5, tg 7, tg 10. С—12 1. Найдите: a) sin (arccos 0,28); 6) arcsin (sin 10). 2. Докажите тождество arcsin x + arccos x = y - . 3. Найдите с помощью таблиц или калькулятора: a) cos (5 arccos 0,7321); б) sin (4 arcsin 0,0237 + arccos 0,67). С—13 Решите уравнение: л ■ < х + 1в2х 1 а) 4 sin х cos x = — 1; б) , ' г о" = ~ т i1— tg х tg 2* ф в) | COS(зх | = ± - . С -1 4 Решите неравенство: tg(* + -f-)+ tg 2* а) — ^ ----------г - С — ; б ) sin2x > — . l - t g 2.rtg (* + y ) V3 82
- 85. С—15 Решите уравнение: а) 3sin 2л:+ 7 cos 2х = 0; б) cos 2х —sin х = 0. С—16 Докажите тождество: v sin 2т . п а) , — = sin у, если ( Х у - с - — -Д + sin 2v + V ' —sin 2v 4 6, t g 4 a - t g 2 « = a ^ . С—17 Решите систему уравнений f tg х tg 2г/== 1, I sin 2 x — -yj2>cos 2</„ 1 Для функции, график ко торой изображен на рисунке 8, укажите: а) ее значение в точках — 2 и 3; б) ее предел в точках — 2 и 3; в) ее область значений. 2. Укажите наибольшее б, при котором для всех хФ Ъ из б-окрестности точки 3 выпол няется неравенство I/ (х)—4| < 0,1, где / ( * ) = — л Д П - 2 С—18 4* 83
- 86. 1. Известно, чтоlim / (лг)==2, lim g (x )= — 1. Найдите предел х-+1 2 Х-*-1 в точке 1 для функции: a) I ; б) (л/Цх) + g ( x ))2+ + Ы Ш ~ ё ( х ) ) 2. 2. Вычислите предел, пользуясь правилами вычисления пре делов: ч .. х 3— 8 -JZx —2 —2 а ) hl? - r - 9-; б) lim ^—_—г— .x-»2 X— 2 х->-2 х —2 С—19 С—20 1. Сравните А/(х0) и Ag (х0) в точке х0= 2 для функций f (х)= — , g (х) = х2— 1 при Ах = 0,1 и 0,2. 2. Найдите I (x ° + b x ) — f ( х о) и i j m f (*о + А х ) — / (*о ) д л я ф у Н К Ц И И Ах Дх-ч-о Ах / (х )= х 3— 2х 2+ 4х — 3. С—21 Пользуясь определением производной, найдите производную функции } в точке х: a) / (х) = 4 л[х —х3; б) f (х) = ~ . С—22 1. Найдите производную функции: а) 1(х)=л[хГ— л[х — Ъххь б) g (х) = (х2+ Зх)Ух. 2. Докажите, что функция С, S ( х2 при Х ^О , /(* )= { - X 2 при х < 0 дифференцируема в точке 0, и найдите f' (0). С—23 Решите уравнение /' (х) = 0 и неравенства f' (х )> 0 и /' (х)< 0 Для функции: а) /(х ) = (х - 2 ) 2(х + 4); б) f ( х ) = ^ ± . 84
- 87. С - 24 1.Найдите область определения функции: а) f ( x) = ; б) f (x)=-Jx— -yjx— 2-Jx . 2. Найдите f (f (x)), f (f (f (x))) и вообще сложную функцию, являющуюся п-кратной композицией функции f с собой, если f(x)— l — Укажите область определения этой композиции (для каждого n£N). 3. Найдите производную функции: a) f(x) = -JЗ Р Я -2? —Т2; б) f (х)—(х3— x^fxf. С—25 Найдите производную функции: а) / (x) = sin 2х cos Зл' + cos 2х sin За'; б) f W = , tf >в) / (*) = siri3 2x + cos3 2х.1+tg Xtg (X—1) » ' ' ' ' С—26 1. При каких а > 0 справедливо неравенство г2 п2 lim ' а < 3 2 ? *-*-<>Ух—Уа 2. Решите методом интервалов неравенство: а) "47 3*Ч ,2< 0; б) 1 + 2 < 3 • 6х2- х - 1 ^ ' х + 2 1х+ 3 х+ 4 С—27 1. В какой точке графика функции у= л[х касательная на клонена к оси абсцисс под углом 60°? 2. Напишите уравнение касательной к графику функции f (х) = cos ----в точке с абсциссой х — л. 85
- 88. С—28 1. Вычислите приближенно(д/4,0008— д/0,9998)40. 2. Вычислите приближенно sin 64°, считая я » 3,1416, sin 60° ж 0,8660. С— 29 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону s (t) — — ^-t3-j-4i2~l-5f, где s — путь в метрах, t — время в се- кундах. Найдите: а) момент времени /, когда ускорение точки равно 0; б) скорость, с которой движется точка в этот момент времени. 2. Точка массой то движется прямолинейно по закону s(t)— 1 2 . Докажите, что действующая на нее сила пропор- (г 2) циональна квадрату пройденного пути. С— 30 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x) = Зх3- 2 х 2+ З х - 2 . 2. Найдите критические точки функции / (x) = tg3 х — tg х — 3. Укажите, какие из этих точек — точки максимума функции, а какие — точки минимума. С— 31 Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функ цию с /,д (*—2)(6+ х) ' W ( x - l f С— 32 1. Исследуйте квадратичную функцию и постройте ее график: h (х) — —6х2+ х + 1. 2. Решите неравенство 5х2+ 8х —4 ^ 0 . 3. Докажите, что при — 1 имеет место неравенство -f-x3+ 2*2+ 2* > 86
- 89. С—33 Исследуйте функцию ипостройте ее график f(x)= х2+2х 1 У 1 х2+ 2х + 2 ' С—34 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 2х f(x ) = - r_— на всей числовой прямой. 2. В треугольник с основанием 4 м и высотой 3 м вписан прямоугольник наибольшей площади. Найдите площадь этого прямоугольника (одна из сторон прямоугольника лежит на осно вании треугольника). С -3 5 1. Запишите в виде гармонического колебания сумму гар монических колебаний х (t) = 3 cos 2t и Хч {t)= 3 cos ^ 2/ + - ^ . 2. Амплитуда и частота гармонического колебания равны 2 и 3, начальная координата х (0) равна 1. Найдите начальную скорость х' (0) этого колебания. С -3 6 3 1. Найдите sin (а + 0 + у), если известно, что s i n a = — , cos p = i - , t g y = j ~ , 0 < a < f - , 0 < p < f - , я < 7 < ^ . 2. Докажите тождество . о о tg 4 a. sin2 2 a + 4 sin4 a —4 sin2a cos2 a , 4 —sin2 2a —4 sin2 a 3. Вычислите: а ) tg 7° + tg 68° . ’ 1—tg 7° tg 68° ’ б) cos 16° cos 59° —sin 16° sin 59°. 87
- 90. Проведите исследование ипостройте график функции: a) f ( x ) = s in ( 2x + -|-) ; б) /(x) = co s(-|— -£-) ; в) t g ( 3 x — у -) . С — 38 1. Найдите значение: a) sin ( 2 arcsin -f-j ; б) arctg ^2 + a rc tg -4 - о / -у/2 2. Решите уравнение: a) cos х cos 2х cos 4 х б ) cos22х + cos24х —sin26х — —sin28х = 0. 3. Решите неравенство: a) s in x < c o s x ; б) sin x^cos х + -|-) =^0. С— 39 1. Решите неравенство: а) х2- 1 2 |х |+ 3 2 ^ 0 ; б) 2. Решите неравенство методом интервалов: at —jr 6t (х ~ 2)(х-4)(х-7) . ' х + 2 > • >(х + 2) (х + 4) (х + 7) ' С—37 1. Найдите производную функции: a, - L + 4 _+ 4 _; б) Ш 1 ; X X2 X3 X С—40 в) (2 —х2) cos х + 2х sin х; г) (х3—х2)66. 2. Решите неравенство f'( x )> g '( x ) , если / (х) = х3+ х —-/2; g (х) = Зх2+ х — д/3. 88
- 91. 1. Напишите уравнениякасательных к графику функции f (х)= —х2— 2х, проходящих через точку (1; 1). 2. Вычислите приближенно: a) (V4,000008-VO,999996)100; б) sin 32°. 3. Материальная точка массой 3 кг движется по прямой согласно уравнению s ( t ) = 2 * . Найдите действующую на нее силу в тот момент времени С > 0, когда ее скорость равна 0 (путь s измеряется в метрах, время t — в секундах). С—41 С— 42 1. Определите число корней уравнения х3—б х + 12 = 0. 2. Среди всех равнобедренных треугольников данной пло щади S найдите треугольник наименьшего периметра. Вариант 10 С—1 1. Выразите в радианной мере величины углов равнобочной трапеции с одним из углов в 36°. 2. На сколько градусов нужно повернуть минутную стрелку, чтобы перевести часы на 24 мин: а) вперед, б) назад? (Часы разрешается переводить только по часовой стрелке.) 3. Найдите градусную меру углов четырехугольника, если известно, что их величины относятся как 8:13:23:28, и выра зите при помощи таблиц или калькулятора наибольший угол в радианах. 4. Сумма двух положительных углов равна 4, а радианная мера одного из них есть квадрат радианной меры другого. Найди те с помощью таблиц или калькулятора градусную меру этих углов. 89
- 92. 1. Докажите справедливостьравенства - д А + Д Ё д — 2 tg а, V l - s i n a V 1 + s in a & если 90° < а < 180°. 2. Определите знак выражения: cos 1100° sin 2200° • о ± q ia t i - 29805 ; б ) 51П 6 t g 8 COS 10. 3. Упростите выражение •т Д т h tg « ctg a tg a + ctg a — S— T S_ sin a (sin a + cos a) и найдите его значение, если известно, что t g a = 2 и s i n a < 0. С—2 С— 3 1. Вычислите ctg 13°-ctg 17°-ctg 21°-...-ctg 77°. 2. Упростите выражение cos ^ 2 a — ^ + sin (Зя —4a) —cos + 4 sin (5я —3a) cos (a —2я) 3. Докажите тождество c o s ^ 4 t + y - ) c ° s ( t — л ) — c o s ^ ^ - + 3 ^ = = s i n ^ - ^ - — 4 sin ( t -j- л). , г, я 2л 4я 1. Вычислите co s— cos — cos — . 2. Найдите 3 siri 2a —4 cos 2a 5 cos 2a —siri 2a если известно, что t g a = 3. 3. Упростите выражение С— 4 ( l + t g 2 « ) - 2 t g 2 a _ s i n 4 a _ 1 l + t g J 2a 90
- 93. 1. Найдите областьопределения функции, заданной фор мулой: 0,5х2~ х + 2 х 3 _________ a) f(x) = — — l — б) f (*)—д/3 Ал[х . х (4 —л/х— 1) 2. Дана функция {( ч / 2jc2+ 1 при |* |< 3 , IVе)— Зх —7 при х ^ 3 . а) Вычислите /( —3), /(2), /(5), /(* 2+ 4). б) Начертите график данной функции. С—5 С— 6 1. Может ли уравнение f (х)— 0 иметь в точности 6 корней, если / всюду определенная и: а) четная функция; б) нечетная функция? 2. Докажите, что любая функция с симметричной относи тельно точки О областью определения может быть представлена в виде суммы четной и нечетной функций, причем единственным образом. С— 7 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: а) f {х) = Зх2—4л:+ 5; б) ( W = T T ? - 2. Пусть функции / и g возрастают на всей числовой прямой. Приведите примеры, показывающие, что функция / —g может: а) возрастать на всей числовой прямой; б) убывать на всей числовой прямой; в) быть убывающей на (— оо; 0] и возрастающей на [0; оо); г) иметь бесконечно много промежутков возрастания и убы вания. 91
- 94. 1. На рисунке9 приведена часть графика периодической функции, имеющей период Т. Продолжите график на отрезок [ — ЗТ; 2Т]. 2. Найдите наименьший по ложительный период функции: а) /( x ) = |c o s x |+ c tg y - ; б) f(*) = sin(V 3*—f-)- а) / W = sin д/|х|; б) / (х) = cos х + cos д/2х — не является периодической. С - 8 С - 9 1. Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для которых соответствующие значения синуса удовлетворяют неравенству -5- ^ Isin t ■< 1. 2. Найдите область значений функции / (х) = 5 —4 sin х —sin2х. 3. Определите знак числа (sin 2 —sin 1) (sin 4 —sin 3). С—10 1. Отметьте на графике функции у = cos х множество точек, для которых соответствующие значения косинуса удовлетво ряют неравенству |cos х < 1. 2. Пользуясь возрастанием (убыванием) функции у = sin х (у = = cos х) на отрезке ^0; -|-j, докажите, что cos (sin l)> s in (cos 1). 3. Найдите область определения функции / М = — — - ■2 *COS^X—— 'Т _ 2 Т Т 0 3 3 I 2 J т J 3 Рис. 9 3. Докажите, что функция: 92
- 95. С -11 1. Найдитеобласти определения и значений функции f(x = 2t,g--L_ ' W l+ tg2Jc ‘ 2. Отметьте на графике функции y — t g x множество то чек я, для которых — l < t g x < 2. 3. Расположите в порядке возрастания числа tg 3, tg 6, tg 9, tg 12. С—12 1. Найдите: a) cos (arcsin (—0,96)); 6) arccos (cos 10). 2. Докажите тождество arctg x + arcctg x = . 3. Найдите с помощью таблиц или калькулятора: a) sin (7 arcsin 0,1235); б) cos (4 arccos 0,12 + arcsin 0,3375). С -1 3 Решите уравнение: а) 4 sin хcos хД; 6) , f ig i,f g6x П в) |s i n ( 9 * + f ) | = Х . Решите неравенство: tg Зх tg(x -j*) , 3) ------------- -7----t 4 - > V 3 ; б) cos — . l + tg 3 * tg (* -9 ) С—14 С—15 Решите уравнение: а) 2 cos2^ x + y ^ + 3 sin^-|— ^ + 1 = 0 ; б) sin 2х — sin 3дг= 0. 93
- 96. С—16 Докажите тождествен________ а) -Jtgх + sin х -{--ytg л:—-sin л:—2-/tg x cos ^ если 0 < x < f ; б) tg 2p —2 tg p = tg2 p tg 2p. C— 17 Решите систему уравнений ( COS X sin у =Y~, 1 sin 2 x = —sin 2y. C— 18 1. Для функции, график ко торой изображен на рисунке 10, укажите: а) ее значение в точках — 1 и 2; б) ее предел в точках — 1 и 2; в) ее область значений. 2. Укажите наибольшее зна чение б, при котором для всех х ф —4, из б-окрестности точ ки —4 выполняется неравен ство If (*)— -2| < 0 ,2 , х + 4 где / (х)-- ~фс+Ъ—1 С—19 1. Известно, что lim f(x) = 3, lim g (x ) = —2. Найдите предел х -*-2 х-+-2 f (О“I- (О в точке 2 для функции: a) 4f {x)+ 3g {-j < б) ы т + v - & (х)? + ( v T w - V — § (х))2- 2. Вычислите предел, пользуясь правилами вычисления пределов: а) Нт ^ Т — Т9= б> lim ( - 7^ ------2х2) 'х^ з х + х — 12 х —* —з -/хф 7 —2 / 94
- 97. 1. Сравните Af(х0) и Ag (х0) в точке х0= 2 для функций g ( x ) = ^ Y L- при Ал:=0,1 и 0,3. 2. Найдите ^(*о+A*)—f (х0) и цт f (x0+ Ax)—f (х0) я ф у Н К Ц И И Д * & х-»о Д * / (*)=л:3+ 2;с2—5л:+ 6. С—20 С—21 1. Пользуясь определением производной, найдите произ водную функции f в точке х: a) f{x) = x2— 2-фс; б) Д*)==А±_. С—22 1. Найдите производную функции: a) f ( x ) = — Х—--------^ — Ь*101; б) g (х)=(3х— х2)-фст. 2дА У*5 2. Докажите, что функция /(* )= { 1_"зР" р* ^ < 0 дифференцируема в точке 0, и найдите /' (0). С—23 Решите уравнение /'(лс) = 0 и неравенства f' (х) > 0 и /' (лс)< 0 для функции: а) / (х) — 2х3+ Зл:2— 12х; б) f (х )= 3~ ^ . ”Т" ■" С—24 1. Найдите область определения функции: а) / (x )= — — J ; б) f( x ) = ^ J x — д/л: — -фс. V1— 2. Найдите / (/ (л:)), f (f (f (х))) и вообще сложную функцию, являющуюся «-кратной композицией функции / с собой, если f (лг)= —[— . Укажите область определения этой функции (для каждого п £N). 3. Найдите производную функции: а) / (x)— -j2x3—Зл;2+ 7; б) / (х)=(х2--x-yft)7. 95
- 98. Найдите производную функции: a)f (х) = cos Зх cos 2л:—s в) f (x)— ^-cos* (2х2— 3). С—25 а) / (x) = cos Зх cos 2х — sin Зх sin 2х; б) f (х )= -1■ 7.^ ;/ | / / I / 2tg ( х + 1) С—26 1. При каких а > 0 справедливо неравенство lim * ~ а‘ > 13,5? *-*-о 2. Решите методом интервалов неравенство: v 6х2+ х—1 -^/ч. 1 I 2 3 ^ л-4—6х2+ 8 ^ л:—2 л' —3 х —4 С—27 1. В какой точке графика функции у = л/х касательная накло нена к оси абсцисс под углом 30°? 2. Напишите уравнение касательной к графику функции f (х) = = cos^2x + -|-^ в точке с абсциссой х = —-Ц-. С—28 1. Вычислите приближенно (х/3,99992 —-/,00004)60. 2. Вычислите приближенно cos 3°, считая л «3,1416, cos 30° « «0,8660. С—29 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону s ( t ) = — где 5 — путь в метрах, t — время в секундах. Найдите: а) момент времени to, когда ускорение точки равно 0; б) скорость, с которой движется точка в этот момент времени. 2. Точка массой т0 движется прямолинейно по закону s (/)== 2 = —— у • Докажите, что действующая на нее сила пропорцио нальна кубу пройденного пути. 96
- 99. С—30 1. Найдите промежуткивозрастания и убывания функции f (х)= х3— Зле2 2л: —7. 2. Найдите критические точки функции f (х)=8 sin2jc+ + 2 cos 2х--2. Укажите, какие из этих точек — точки максимума функции, а какие — точки минимума. С—31 Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функцию f /.л . (х~ 5) (3+ *) 1 (х+ 2f С—32 1. Исследуйте квадратичную функцию и h { x ) = — 8л:2—2л:+ 1. 2. Решите неравенство Зл:2—блг— 1 < 0 . 3. Докажите, что при х < имеет место постройте ее график неравенство -|“ *3—2л:2+ 2л:< . С—33 Исследуйте функцию и постройте ее график: f ( * ) - ? + 4х+ 4 ' С—34 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (х) = /2 —х —л:2 на ее области определения. 2. Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны 20 см. Найдите ее большее основание так, чтобы площадь тра пеции была наибольшей. 97
- 100. C—35 1. Запишите ввиде гармонического колебания сумму rap- монических колебаний x i(/)= c o s 3 t и x2{t)= cos( iP1 CO 2. Амплитуда и частота гармонического колебания равны 2 и д/5, начальная координата *(0) равна 2. Найдите начальную скорость х' (0) этого колебания. C—36 1. Найдите cos{a + p+ y), если известно, что 3 cos oc = — , 0 siri р = - |- , t g y = - |- , 0 < a < л, 0 < Р < - ^ , 0 < у < л . 2. Докажите тождество ------------- sin_4a---------— __2 sjn а sjn 2a 2 cos a + cos 3a + cos 5a 3. Вычислите: a) ^ g V t g - g r ; 6) siri 23° sin 8° + cos 23° cos 8°. С—37 Проведите исследование функции и постройте график: a) /(*) = sin (-|— f - ) ;6 ) /( * ) = c o s(2 x — 5-); в) С—38 1. Найдите значение: a) cos ^2 arcsin ; б) arctg д/5 + arctg . 2. Решите уравнение: a) cos л: cos 2х cos 4х — 1; б) 8 cos6x = 3 cos 4x-f-c°s 2х + 4. 3. Решите неравенство: a) cos л г< sin х; б) cos x^sin ^ 0 . 98
- 101. С—39 1. Решите неравенство: а)л:2-8 |л г | + 12< 0 ; б) l + ^ - > - L . 2. Решите неравенство методом интервалов: ' х — 2 х х + 2 ( х + 1) (х + 2 ) (х + 3) С—40 1. Найдите производную функции: а) - — Л -+ А -; б) - А - ;X X X 1—X в ) ( —2 + х2) siri х--2х cos х г ) (лг4— дг3)42. о 2. Решите неравенство f' ( x ) ^ g ' (х), если f( x ) = — , g(x) = С—41 1. Напишите уравнения касательных к графику функции f(x) = x2— 2x-j-2, проходящих через точку (— 1; 1). 2. Вычислите приближенно: а) (VI6,000032 -V8,999982)200; б) tg 8°. 3. Материальная точка массы 2 кг движется по прямой со- 21 гласно уравнению s (/) = p — Найдите действующую на нее силу в тот момент времени t > 0, когда ее скорость вдвое меньше первоначальной (путь s измеряется в метрах, время t — в се кундах). С—42 1. Определите число корней уравнения х3— 9дг+ 1 0 = 0 . 2. Среди всех равнобедренных треугольников данного пери метра 2р найдите треугольник наибольшей площади. 99
- 102. ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ П ро в е р о ч н а я р а б о т а № 1 (по материалу § 1 главы I учебного пособия) Вариант 1 1. Точка Pt единичной окружности имеет координаты Найдите значения cos t, sin t. Дайте определения синуса и косинуса угла а. Найдите значения sin л, cos л, sin (—630°), cos (—630°). 2. Найдите длину дуги радиуса 5 см, радианная мера которой равна yj-. 3. Чему равен cos а, если sin а = 0,5? 4. Упростите выражение (sin а + cos а)2+ (sin а —cos а)2—2. 5. Докажите равенство 6. Определите знак произведения cos 350° sin — . 7. Приведите пример нечетной (не тригонометрической) функции. Какие из основных тригонометрических функций являются нечетными? 8. Найдите cos (л —а), если cos а = —0,75. Запишите формулы приведения для углов — а, л —а, —а. 9. Найдите sin 2а, если cos а = 1 . 10. Представьте в виде произведения sin 2а —sin 2р. Запишите формулы суммы и разности синусов. 1. Точка Pt единичной окружности имеет координаты (—0,8; —0,6). Найдите значения tg t и ctg t. 100 1+ t g 2 a 1+ c t g 2a Вариант 2
- 103. Дайте определения тангенсаи котангенса угла а. Найдите значения c tg -2-, tg ctg (—450°), tg 540°. 2. Найдите площадь сектора радиуса д/7 м, радианная мера дуги которого равна 0,7. т/з 3. Чему равен tg а, если cos а=^С-? 4. Упростите выражение (cos a + sin a)2—(cos a —sin a)2-f cos a siri a. 5. Докажите равенство cos2 a = (l -f tg2 a) cos2 a. 7jr 6. Определите знак произведения sin ctg 250°. 7. Приведите примеры четной (не тригонометрической) функ ции. Какие из основных тригонометрических функций являются четными? 8. Найдите c t g ( ^ - f a ) , если t g a = —2,7. Запишите формулы приведения для углов -j- + a , л - fa , 4 f + a - 9. Найдите siri-j-, если cos a = 0,8 и л < а < 2 л . 10. Представьте в виде произведения cos 20-f cos 2a. Запишите формулы суммы и разности косинусов. П р о в е р о ч н а я р а б о т а № 2 (по материалу § 2—4 главы I учебного пособия) Вариант 1 1. Найдите области определения и значений функции Сформулируйте определение функции. Что называют областью определения функции? областью ее значений? 2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f {х)= х2— 2x-f 1. Какую функцию называют возрастающей на множестве Р? 3. Докажите, что функция / является четной: а ) f (х)= cos 2х; б) /(x) = siri2x; в) / (х) = 2х4—Зх2. 101
- 104. 4. Исследуйте функцию/ (х)= х3+ х и постройте эскиз ее графика (без использования производной). Опишите схему исследования функции. 5. Расположите в порядке возрастания числа sin 2, sin 4, sin 6. Перечислите основные свойства функции синус. 6. Найдите наименьший положительный период функции: a) /(x ) = s in ( 3 x + y - ) ; б) f (х) = tg 2( * ~ у-)- 7. Вычислите: a) tg -/2+ tg (—д/2); б) t g ^ - c t g ^ . Перечислите основные свойства функции тангенс. /з 8. Найдите arccos (— 1); arccos^-. Сформулируйте определение арккосинуса числа. При каких а определен arccos а? В каких пределах может лежать arccos а? 9. Решите уравнение: a) tg ^ 2 x — ^ = 1;б) 2 c o s(-|—f-l) = l. Напишите формулу для решения уравнения sinx = a. 10. Решите неравенство: а) t g 2 x > l ; б) sin — 1. 11. Решите систему j cos (* + (/)=0,5, 1 sin (х —у)= 1. Вариант 2 1 1. Изобразите схематически график функции f (х)-- х (х—1) ' Что называют графиком функции? 2. Докажите, что для возрастающей на промежутке I функ ции / уравнение f(x )= a для любого а имеет не более одного корня на /. Верно ли аналогичное утверждение для убывающей функции /? 3. Докажите, что функция f является нечетной: а) / ( x ) = s i r i б) f (х)= х2tg х; в) / (х) = х7— 5х3. Какие функции называют четными? нечетными? 4. Изобразите эскиз графика какой-либо функции g, обла дающей следующими свойствами: 1) g возрастает на проме жутках (— оо; 1] и [5; оо); 2) g убывает на промежутке [1; 5]; 3) х = 1 — точка максимума функции, х= Ъ — точка минимума функции, при этом g (l) = 4, g (5)—2. Может ли функция g с указанными свойствами быть четной или нечетной? Почему? 5. Укажите точки максимума и минимума функции cos ^ 2 х + - ^ . 102
- 105. Перечислите основные свойствафункции косинус. 6. Найдите наименьший положительный период функции: a) f ( x ) = c o s ( | — б) / (x) = sin2x + tg *• Какие функции называются периодическими? 7. Найдите arctg (— 1), arctg — . V3 При каких а определен arctg а? В каких пределах лежит arctg а? 8. Ответьте, верно ли равенство: a) arcsin ( — f j л / 3 Л 2 / 3 б) arcsin (— 1)=-^-? Ответ обоснуйте. Объясните, как опреде ляется арксинус числа а. В каких пределах может лежать arcsin а? 9. Решите уравнение: a) 4 siri(-|— 2) = 2 ; б) tg23x = 3. Напишите формулу для решения уравнения cosx = a. 10. Решите неравенство: a) c o s x > y - ; б) t g 2 x < l . 11. Решите систему { x + y = f , sin лг-j- sin у = л !2. П р о в е р о ч н а я р а б о т а 3 (по материалу главы II учебного пособия) Вариант 1 1. Решите неравенство методом интервалов: а) 2 х * - З х + 1 > 0 ; б) ^ g ± 3 ) < 0 . 2. Напишите уравнение касательной к графику функции У=-^~ в точке с абсциссой х о = —0,5. 3. Найдите производную функции у = З х 3—4,5х2. Какой механический смысл производной в точке хо? 4. Тело движется прямолинейно по закону x(t)= 3t* — 2t3+ l (х в метрах, t в секундах). Найдите его скорость и ускорение в момент времени: а) б) 2. 5. Известно, что g (x)=x^Jx-- 1. Найдите g ' (х); g' (3). Сформулируйте теорему о производной произведения. юз
- 106. 6. Вычислите приближеннол/л/^7- 7. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f (х)= х — 2~фс. 8. Найдите максимумы и минимумы функции 9. Исследуйте функцию f (х)— х3— Зх — 2 и постройте ее график. 10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f( x ) = x - |- i - на отрезке [1; 3]. 11. Запишите дифференциальное уравнение гармонического колебания у = 2 cos (д/Зх— 1). Вариант 2 1. Решите неравенство методом интервалов: а) 3 , - 7 , ’ « 0 ; б) Д £ + 3)> 0 - 2. Напишите уравнение касательной к графику функции у = 2х2— 1 в точке с абсциссой *о= 3. 3. Найдите производную функции у = 2,5л:2—х5; у = tg 2дс— —2 c tg -|-. Каков геометрический смысл производной в точ ке *0? 4. Маховик вращается вокруг оси, поворачиваясь за t секунд на угол со (t)= 2t4— t (рад). Определите его угловую скорость в момент времени: a) t; б) 2. В какой момент времени угловая скорость маховика равна нулю? 5. Известно, что / . Найдите /' (х); f ' (2). Сформу лируйте теорему о производной частного. 6. Найдите производную функции f (х) = (2х3— I)100. Запишите формулу для вычисления производной сложной функции. 7. Найдите промежутки возрастания и убывания функции у = х3+ х. 8. Найдите максимумы и минимумы функции g (х)—л/х— х. 104
- 107. 9. Исследуйте функцию х2 + 2 х + 2 У х + 1 и постройте ее график. 10. Разбейте число 12 на сумму двух неотрицательных сла гаемых так, чтобы сумма квадратов этих слагаемых была: а) наибольшей; б) наименьшей. 11. Запишите общий вид решения дифференциального урав нения у " = —0,25г/.
- 108. ПРИМЕРНЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ Ко н т р о л ь н а я р а б о т а № 1 (на 20 мин) Вариант 1 1. Вычислите без таблиц и калькулятора: a) sin 240°; б) cos ; в) c t g ^ — . 2. Дано: sin а = —0,6 и Найдите: a) cos а; б) cos ^ — аУ 3. Докажите тождество 2 sin2 a ctg а = 2 а cos а — sin а 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е * . Дано: sin х + cos х = — т. Найдите sin 2х и наибольшее значение т. Вариант 2 1. Вычислите без таблиц и калькулятора: a) cos 240°; б) s in ^ i; в) t g ( —~~j. 15 л 2. Дано: c o s a = —— и — < а < л . Найдите: а) sin а; б) sin ( - § - + “ )• 3. Докажите тождество 2 cos2 a tg a sm a —cos a -tg 2a. * По пятибалльной системе оценок оценивается основная часть контрольной работы. Н е о б я з а т е л ь н ы е з а д а н и я адресованы учащимся, проявляю щим повышенный интерес к математике. Они выполняются на отдельных листках и сдаются учителю в случае полного решения задания. В противном случае работа над ними может быть продолжена дома или на занятии математического кружка. 106
- 109. 4. Н ео б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Дано: sin х —cosx — = п . Найдите sin 2х и наименьшее значение п. Вариант 3 1. Вычислите без таблиц и калькулятора: a) tg 300°; б) s i n ( - ^ ) ; в) cos 2. Дано: sin а = 0,8 и - |- < а < л . Найдите: a) cos а; 6) t g ( f - а ). 3. Докажите тождество sin За —sin а , ^ ; = tg а. cos За + cos а 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Начертите график функции y = 2texcte* 4 Вариант 4 1. Вычислите без таблиц и калькулятора: a) ctg 300°; б) cos ; в) sin ( - ^ ) . о _ 2. Дано: cos а = —0,6 и л < а < — . Найдите: a) sin а; «> 3. Докажите тождество cos а —cos 5а . п -т—=——-----= tg 2а. sin 5а + sin а ° 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Начертите график функции х 1— 4 tg х ctg х у = ^ 2- ^ - К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 2 Вариант 1 1. Найдите область определения функции у . 2. Вычислите sin (—750°) + ctg 945°. 3. Докажите, что функция f (%)= 2jk5+ 4 tg х является не четной. 107
- 110. 4. Исследуйте функциюу = 2 sin х и постройте ее график. 5. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Найдите область определения функции 2^/x + 3^j5 —х COS X Вариант 2 1. Найдите область определения функции у = ■ 2. Вычислите cos 1140° + t g ( —495°). Зл:2 3. Докажите, что функция f (х)==~ _^ является нечетной. 4. Исследуйте функцию у — 1,5 cos х ипостройте ее график. 5. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Найдите область определения функции ЗУ^л-+ 2Ух+ 4 у sin л Вариант 3 1. Найдите область определения функции у = ^.,1~£ . 2. Вычислите sin (—660°) + cos 810°. 3. Докажите, что функция h(x) = Зх4tg * является нечетной. 4. Исследуйте функцию = sin 0,5л: и постройте ее график. 5. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Используя рисунок к заданию 4, изобразите схематически график функции у — = |sin 0,5 л:| и выпишите два промежутка возрастания функции. Вариант 4 1. Найдите область определения функции У— 2. Вычислите cos 840° + tg (—585°). и3. Докажите, что функция у ( х ) = - — является четной. 4. Исследуйте функцию у = cos 0,5л: и постройте ее график. 5. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Используя рисунок к заданию 4, изобразите схематически график функции у = = |cos 0,5лг| и выпишите два промежутка убывания функции. 108
- 111. 1. Решите уравнение: a}sin jc= -—1; б) 2 cos2х —cos х — 1= 0 ; в) sin2л:+ + д/3 sin х cos х = 0. 2. Решите неравенство sin х ^ —0,5. 3. Решите систему уравнений [ х + у = п, I sin x + sin у = —-]2. 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Решите неравенство |2 sin х — 11<11. Вариант 2 1. Решите уравнение: a) c o s x = — 1; б) 2 sin2jc—sin л:— 1= 0; в) cos2* — — /3 sin х cos * = 0. 2. Решите неравенство cos xsgC—0,5. 3. Решите систему уравнений ( х --у = л , 1 cos х —cos р = У2. 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Решите неравенство |2 cos х -f- 11^ 1. Вариант 3 1. Решите уравнение: a) sin * = 0,5д/2; б) 2 sin2x = cos х + 1; в) sin2x —2 sin x X Xcos x = 3 cos2x. 2. Решите неравенство t g x ^ — 1. 3. Решите систему уравнений Г х + у = ^ ~ , ^ sin x + sin у = — Д. 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Решите неравенство 2 sin2x + sin х — I <i0. К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 3 Вариант 1 Вариант 4 1. Решите уравнение: а) созх = 0,5д/2; б) 2 cos2х — 1= siri х; в) sin2x + + sin х cos х = 2 cos2х. 109
- 112. 2. Решите неравенствоtgx^.-yj3. 3. Решите систему уравнений I Х~ У = Ь ( cos х —cos у = — У2. 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Решите неравенство 2 cos2jt — cos х — 1< 0 . К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 4 Вариант 1 1. Для функции у = х 2 найдите приращение у , если л:0= 1, Лас= 0,6. 2. Найдите производную функции: a) f (х)=-^-х3+ х2+ 2х; б) ср(х)=-р— хл[х ( 2Д___________ 2_Зх т) * ^ (^ ~ Т + 2 ---- и вычислите 3. Решите уравнение - ^ ^ - = 0 , если / (* )= ^ -х 3—4л:, g (х) — л/х. 8 W з 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Имеет ли производную функция / (*) = —0,5jc|л:| в точке х = 0? Вариант 2 1. Для функции у — 0,5л:2 найдите приращение Лу, если лс0= 1 , Дл:= 0,8. 2. Найдите производную функции: а) / ( * ) = — 1~ *3+ 2х2— х б) ф ( x ) = jr + x [ x ; в) ё (х)— 3 cos х — и вычислите ё ' ( —^ ) ; r) h ( x ) = ^ ~ — и вычислите h' (1). 3. Решите уравнение - ;-^ -= 0 , если / (х) = ~ х 3— 18*. g (x )= — 2 -фс. 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Имеет ли производную функция / (лг)= 2 л: |л:| в точке х = 0? Вариант 3 1. Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции у = х3, проходящей через точки графика с абсциссами хо= 0,5, *о+ Ал:= 2 . 110
- 113. 1. Решите уравнение: a)s in x = — 1; б) 2 cos2х —cos х — 1= 0 ; в) sin2x + + -/3 sin х cos х = 0. 2. Решите неравенство sin х ^ —0,5. 3. Решите систему уравнений ( х + у = л, I sin x + sin у = —-]2. 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Решите неравенство |2 sin х — 11^ 1. Вариант 2 1. Решите уравнение: a) c o s x = — 1; б) 2 sin2х — sin х — 1= 0 ; в) cos2x — — [3 sin х cos х = 0. 2. Решите неравенство cos 0,5. 3. Решите систему уравнений / х + г/= л, cos х —cos г/= -у2. 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Решите неравенство |2 cos х + 11^ 1. Вариант 3 1. Решите уравнение: a) sinx = 0,5y 2; б) 2 sin2x = cos х + 1; в) sin2x —2 sin хХ Xcos х = 3 cos2х. 2. Решите неравенство t g x ^ — 1. 3. Решите систему уравнений ( x + y = jr > | sin x + sin у = — л[2. 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Решите неравенство 2 sin2x + sin х — 1 ^ 0 . К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 3 Вариант 1 Вариант 4 1. Решите уравнение: a) cosx = 0,5V 2; б) 2 cos2 х — 1= s ir i х; в) sin2 x + + sin х cos х = 2 cos2 х. 109
- 114. 2. Решите неравенствоtg x ^ -/3 . 3. Решите систему уравнений ( ^ / Х ~ У = Т ' cos х — cos у — —-/2. 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Решите неравенство 2 cos2х —cos х — 1^ 0. К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 4 Вариант 1 1. Для функции у = х 2 найдите приращение Ау, если х0= 1, А* = 0,6. 2. Найдите производную функции: а ) / (x) = j -x3+ x2+ 2x ; б) <p(x)=Jj— хл[х ( 2д 2_з>с Т ) * ^ № = 7+2--и вычислите h’ (— 1). 3. Решите уравнение если / (х)=4~х3—4х, g (х) = л[х. 6 х ) J 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Имеет ли производную • функция f ( х ) = —0,5х|х| в точке х = 0 ? Вариант 2 1. Для функции у = 0,5х2 найдите приращение Ау, если хо= 1, Ах = 0,8. 2. Найдите производную функции: а) / (* )= —-|-*3+ 2х2—х; б) ср(х ) = 4 г + х V*:; в) g ( x) ~ 3 cos х — и вычислите & '( —^р") ; г) h(x) —j ~ — и вычислите h ' (1). 3. Решите уравнение = 0 , если /(х )= -|-х 3— 18х, g{x)— = 2л[х. 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Имеет ли производную функция f (х)=2хх в точке х = 0? Вариант 3 1. Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции у = х3, проходящей через точки графика с абсциссами хо= 0,5, Хо-f" Ах= 2 . 110
- 115. 2. Найдите производнуюфункции: а ) /(* )= -f-*3—х2—7х; б) Ф( х ^ ^ з + в) g (х) = 2 tg х — и вычислите g ' ^ ^ ; г) h (х )= 4дср~1 — и вычислите Л' (—2). X-у-о 3. Решите уравнение / ' (х) g ' (х)==0, если f (х) = х3—6х2, g (х)= = 4 -л Д . 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Дана функция / (х) = = х2-J- 1, где х ^ О . Найдите функцию g (х) такую, чтобы выпол нялось условие f (g (х))= х. Вариант 4 1. Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции у = 0 ,5 х 3, проходящей через точки графика с абсциссами хо= 0,6 и хо+ Ах = 2. 2. Найдите производную функции: а) / ( х ) = — ^-х3+ 4х2+ 2х; б) <р(х)= 4 — W ;О X в) g(x) = 4 c t g x — и вычислите g ' ^ — ; г) h — — и вычислите h' (4). 3. Решите уравнение f (х) g' (х)= 0, если /(х) = х3—Зх2, g ( x ) = f ^ . 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е. Дана функция / (х) = = х 2—2, где х ^ О . Найдите функцию g (х) такую, чтобы выпол нялось условие g (f (х))= х. К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 5 Вариант 1 у? Q 1. Решите неравенство - —g-< 0 методом интервалов. 2. Точка движется прямолинейно по закону x ( t ) = t 2--5. Найдите ее скорость в момент времени 1= 3 с (координата х (t) измеряется в сантиметрах, время t — в секундах). 3. Найдите угол наклона касательной к графику функции 2д-__1 / (х)= —-— в точке его с абсциссой хо=1. I l l
- 116. 4. Напишите уравнениекасательной к графику функции f(x) — x2-- 1 в точке с абсциссой х0= . Выполните рисунок. 5. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Решите неравенство х (х2+ 4х + 4) -л/х2— Г^ 0. Вариант 2 X? 4 1. Решите неравенство ^ > 0 методом интервалов. 2. Точка движется прямолинейно по закону х (t) = 2t2+ 1 . Найдите ее скорость в момент времени t — 2 с (координата х (t) измеряется в сантиметрах, время t — в секундах). 3. Найдите угол наклона касательной к графику функции Од. ^ f (х )= —-— в точке с абсциссой х0= 2. 4. Напишите уравнение касательной к графику функции / (л:)= лг2— 1 в точке его с абсциссой х0= — 1. Выполните рисунок. 5. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Решите неравенство х (х2—2х-- 1) -/25 —х2^ 0 . Вариант 3 (х П(2х4-3) 1. Решите неравенство -----—^ ^ 0 методом интервалов. 2. Точка движется прямолинейно по закону х (<)= З/3+ 2 /+ 1. Найдите ее ускорение в момент времени t = 2 с (координа та х (/) измеряется в сантиметрах, время / — в секундах). 3. Найдите угол наклона касательной к графику функции f(x ) = — в точке его с абсциссой хо — — 1. 4. Напишите уравнение касательной к графику функции f ( x ) = x 2—2х в точке его с абсциссой х0— 2. Выполните рисунок. 5. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Начертите схематиче ски график функции ф (лг), которая определена на промежутке 4; 3), непрерывна в точке х — —2, но не дифференцируема в этой точке. Известно, что х = — точка минимума и ф (1)=2. Вариант 4 1. Решите неравенство (х~^) + 7) ^ о методом интервалов. 2. Точка движется прямолинейно по закону х (/) = 2/3+ 3 /+ 1. Найдите ее ускорение в момент времени / = 3 с (координата х (/) измеряется в сантиметрах, время t — в секундах). 3. Найдите угол наклона касательной к графику функции f (x)= 2x~^fi в точке его с абсциссой х0= . 112
- 117. 4. Напишите уравнениекасательной к графику функции f(x) — x2--2x в точке его с абсциссой х о = —2. Выполните ри сунок. 5. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Начертите схемати чески график функции f (х), которая определена на проме жутке (—5; 4], непрерывна в точке х = 2, но не дифференциру ема в этой точке. Известно, что х = — 1 — точка максимума и / (— 1)=3. К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 6 Вариант 1 1. Исследуйте функцию / (х) = х3— Зх2+ 4 и постройте ее гра фик. 2. Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицатель ных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на удвоенное другое слагаемое было наибольшим. 3. Докажите, что функция у (t)=7 cos 8^ является решением дифференциального уравнения у " = —64 у. 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Докажите, что функ ция ф (х)= —4,3 х —cos2лг+ sin2х убывает на множестве действи тельных чисел. Вариант 2 1. Исследуйте функцию f (х)— —+ + 3х2—4 и постройте ее график. 2. Число 9 представьте в виде суммы двух неотрицатель ных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на утроенное другое слагаемое было наибольшим. 3. Напишите дифференциальное уравнение гармонического ко лебания х = 3 cos (2 /+ 0,3). 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Докажите, что функ ция /(*) —2 sin л:-sin (0,5л+ х) + 3,2х возрастает на множестве действительных чисел. Вариант 3 1. Исследуйте функцию / (х)=-^—х3— 4х — 3 и постройте ее гра фик. 2. Число 8 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на дру гое слагаемое было наибольшим. 3. Напишите дифференциальное уравнение гармонического ко лебания x(t) = 3 cos 2t. 5 Заказ 68 113
- 118. 4. Н ео б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Используя результаты задания 1, определите число корней уравнения f(x)— C, где С — действительное число. Вариант 4 1. Исследуйте функцию /(х) = — 1-х3-f- 4х + 3 и постройте ее график. 2. Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицатель ных слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на удвоенное другое слагаемое было наибольшим. 3. Напишите какое-нибудь отличное от нуля решение диффе ренциального уравнения у" = —49 у. 4. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Используя результаты задания 1, определите число корней уравнения f{x) = m, где m — действительное число. К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 7 (на 2 часа) Вариант 1 1. Решите уравнение: а) 2 sin2л:— 1 = 0 ; б) sin 2х + УЗ cos 2х = 0. 2. Дано: f ( х ) = ^ - ^ — 3 sm х. Найдите /'(0). г— 2 х ___х^ 3. Решите неравенство: а) 2 cos л:—У 2 > 0 ; б) ——р^2=0. 4. Постройте график функции /(х )= у -х 3—x2-f~y- и найдите множество значений х, для которых 0 ^ f ( x ) ^ l- ^ - . О 5. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Докажите, что если (4х2—9) (х2-)-х + 1)< 0, то c o s x > 0 . Вариант 2 1. Решите уравнение: а) 2 cos2х — 1 = 0 ; б) 3 sin 2 х —д/3 cos 2х = 0. 2. Дано: / ( х ) = - ^ - + 7 cos х. Найдите /' (0). X-ро г— 4д-_ 3. Решите неравенство: а) 2 siriх + -у3> 0; б) —j - — 0. х ~т~» 4. Постройте график функции / (х)= -|-х3—х2— и найдите О О множество значений х, для которых —3<C/(x)<iO. 5. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Докажите, что если (х2—Зх) (х2—х + 1 ) < 0 , то s in x > 0 . 114
- 119. 1. Решите уравнение:а) 4 sin2х —3 = 0; б) s in ^ 2 x + - ^ + + c o s(2 x + -|-) = 0. 2. Дано: f (х)—х j~ ‘ + 2 cos х. Найдите /'(0). 3. Решите неравенство: а) 2 c o s x + V ^ ^ O ; б) Т 1!> 0 . Q О w 4. Постройте график функции у — 2л:3—Зх + 5 и графически решите уравнение 2х3— Зх2+ 5 = 0. 5. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е . Докажите, что если (х2+ 1) (х2—5х + 6 )< 0 , то s in -|-> 0 . Вариант 4 1. Решите уравнение: а) 4 cos2* —3 = 0; б) si n^2x— — —cos ^2х — ^ = 0. 2. Дано: f (х)= х j y —2 sin х. Найдите / ' (0). 3. Решите неравенство: а) 2 sin х + у/З^О ; б) * < 0 . 4. Постройте график функции г / = —х3+ Злг+ 2 и графически решите уравнение —лг3+ 3* + 2 —0. 5. Н е о б я з а т е л ь н о е з а д а н и е. Докажите, что если (х2+ 3)(х2— 1Ох + 24)< 0, то cos ~ < 0 . Вариант 3 .>•; -Р-1" "»ТЙОПг-1,-,| | 5*
- 120. МАТЕРИАЛ ДЛЯ ИТОГОВОГОПОВТОРЕНИЯ Вариант 1 1. Решите уравнение 2 cos2x + cos х = 0. 2. Найдите f (х), если f(x) = x _2 + 0,5 sin 2х. ■Jg х 2 3. Найдите область определения функции */= J xz • х (х I 2) 4. Решите неравенство v ' ^ 0 . X О 5. Постройте график функции у — х2(х —3). Сколько об щих точек имеют графики функций у — х2(х —3) и у = х —3? Вариант 2 1. Решите неравенство 2 sin х — 1<с0. 2. Найдите / ' (х), если / (х) — х ~ 1—2 cos 0,5*. 3. Напишите два отличных от нуля решения дифференциаль ного уравнения у" — —25у. 4. Решите неравенство 5s 0- 5. Постройте график функции у = х3—Зх + З. Найдите наи большее и наименьшее значения функции на отрезке £ — 3^ . Вариант 3 1. Дана функция / (х) = 2 sin х sin (0,5л —х). Найдите f (л). 2. Дана функция f (х) = 2*-— . Решите неравенство /'( х ) > 0.О — X 3. Упростите выражение sin ^-|-л + х) —sin + . 4. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию (у— 1) (х2—Зх — — 18) = 0. 5. Исследуйте функцию у = 4х2(х —2)2 и постройте ее график. Вариант 4 1. Дана функция / (х) = 2 cos х cos (0,5л —х). Найдите 2. Точка движется прямолинейно по закону х (/) = З/4+ 2/3-f 6. 116
- 121. Найдите ее скоростьи ускорение в момент времени ( = 2 с (ко ордината х (t) измеряется в сантиметрах, время t — в секун дах). 3. Упростите выражение cos ^ -|-л + xj -f- cos ^-|-л + x'j . 4. Исследуйте функцию у = ^-х2(х —4)2 и постройте ее график. 5. Решите систему уравнений | x + y = f , I sin х — sin г/= д/2. Вариант 5 . sin 2а 1. Упростите выражение t ^ 'с'оГ2сГ' 2. Решите уравнение tg 2x + 3 t g x —4 = 0. 3. Дана функция / (х) = (3 —2х)6. Найдите /'(1). 4. Решите неравенство -/х2—9(х + 8 )> 0 . 5. Найдите промежутки возрастания, убывания, точки макси мума и минимума функции у = (х — 1)2(2х + 4). Постройте график этой функции. Вариант 6 1. Дано: s i n a = ^ , 0 ° < a < 9 0 ° . Вычислите sin (30°-f-a). 2. Напишите уравнение касательной к графику функции у = 0,5х2—2х в точке его с абсциссой х0= 4. з 3. Решите неравенство -— 4. Решите уравнение 1—4 cos2x = sin 2х. 5. Найдите промежутки возрастания, убывания, точки макси мума и минимума функции g (х) — х4—■2х2+ 3. Постройте график этой функции. Вариант 7 1. Дано: c o s a = — |-, - ^ - С а С л . Вычислите sin 2а. 2. Постройте график функции у = — 0,5х2—х + 1,5. 3. Упростите выражение cos ( а + ¥ ) — cos( a ~ т ) V2 sin (л + a) 117
- 122. 4. Для функцииУ = - 5—j - найдите: а) промежутки непре рывности; б) промежутки возрастания. 5. Число 54 представлено в виде суммы трех положительных слагаемых. Первое слагаемое в два раза больше второго. Найдите эти слагаемые, зная, что их произведение наибольшее. Вариант 8 1. Вычислите sin (—840°) + t g ( —855°). 2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции /(х) = (2 х -4 )(х + 1 )2. 3. Решите уравнение 2 sin2х — 1= sin х. 4. Постройте график функции у = 1 ,5 co s—. 5. Число 48 представлено в виде суммы трех положительных слагаемых. Два слагаемых равны между собой. Найдите эти слагаемые, зная, что их произведение наибольшее. х 2 5
- 123. МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯПРОГРАММИРОВАННОГО КОНТРОЛЯ Р а б о т а 1. П р е о б р а з о в а н и я т р и г о н о м е т р и ч е с к и х в ы р а ж е н и й Задание Ответ Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4 4 sin а —— , 5 — < а < я . Найдите cos а 3 cos а = ----- =-,5 — < а < я . Найдите sin а 4 5 3 5 3 5 4 5 Вы' sin 240° шслите: cos 240° V3 2 L 2 1 2 2 sin а = - р 9 0 ° < а < 180°. Найдите cos (30° + а) V3 cos а — — j v 9 0 ° < а < 180°. Найдите sin (30° + ос) i 0,5 0 - 1 В е р н ы й о т в е т : вариант 1—2 1 4; вариант 2 — 4 2 3 Р а б о т а 2. А р к с и н у с , а р к к о с и н у с и а р к т а н г е н с Задание ■Ответ Вариант i Вариант 2 1 2 3 4 Вы ■шслите: 2л л л 2л arcsin (—0,5) arccos (—0,5) 3 6 6 3 . - Л arcsin — —arccos ( - - у ) V s arccos — — arcsin л 2 л 2 Я — Я sin (2 arctg (— 1)) cos (3 arctg ( - - Г ) ) 1 ' 0 0,5 - 1 В е р н ы й о т в е т : вариант 1—3 2 4; вариант 2—4 1 2
- 124. Р а бо т а 3. О с н о в н ы е с в о й с т в а ф у н к ц и й Задание Ответ (л£2) Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4 Найдите облас функ и —_V L у х2— 4 гь определения ции: У==Э—х2 x^>-Q, х ф 2 х ^ О , х ф ± 2 х < 0 , х ф —3 х ^ О , х ф ± 3 ц - х~ s m x — 1 у — x+lр COSX+1 х ф л - - 2 лп / ^ 1 Х ф — фпп. хф-^---2лп х ф л - - л п Найдите промежутки убывания функции t/= 2x2—4 х + 1 Найдите промежутки возрастания функции у = 0,5х2+ х + 1 ’(— оо; — 1] [— 1; оо) [1 ; о о ) ( — о о ; 1] В е р н ы й о т в е т: вариант 1—1 3 4 ; вариант 2—3 1 2 Р а б о т а 4. Р е ш е н и е п р о с т е й ш и х т р и г о н о м е т р и ч е с к и х у р а в н е н и й Задание Ответ {n^Z) Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4 Решите у sin х - ~ - равнение V2 sin X— — — -J-+ 2лт ( - 1 Г х + лга (_!)«+* Л 1 + я п
- 125. sin 2х— —1 sin 2х— 1 — ^ -+ 2 яп f + n n - f + n n -“ + 2 я п 4 cos З х = ^ cos Зх= ± 1 0 °+ 1 2 0 °п 10° + 120°п —50° + 120°л ± 50°+ 120°п В е р н ы й о т в е т : вариант 1—2 3 1; вариант 2—3 2 4 Р а б о т а 5. П р а в и л а в ы ч и с л е н и я п р о и з в о д н ы х Задание Ответ Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4 f (х)—(3 + 4х) (4х —3). Найдите f' (— 1) / (х)—(2 —5х) (5х + 2). Найдите f (— 1) - 3 2 32 50 - 5 0 g (х)— 2xMiF. Найдите g ' (1) g (x)=5xfyxr. Найдите g' (1) 1,75 3,5 1,4 7 Ф 0 М = £ . Найдите ф' (— 1) / ч 2—5л: ф й = — • Найдите ф' (— 1) - 2 4 —4 2 В е р н ы й о т в е т : вариант 1—1 2 3; вариант 2—3 4 1
- 126. Р а бо т а 6. М е т о д и н т е р в а л о в Задание Ответ Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4 Решите не хА- х 2< 0 равенство: хА— 4х2> 0 ( - 1 ; 1) ( — 1; 0)и(0; 1) ( - 2 ; 2) ( — оо; 2)U(2; оо) (х2— 4) л/х+ 3 > 0 (х2— 1) -/х+ 3 < 0 (-3; -2 )U(2; «о) (-<*>; -2)(J(2; <») (— 1; О ( - 3 ; 1) В е р н ы й о т в е т : вариант 1—2 1; вариант 2—4 3 Р а б о т а 7. К а с а т е л ь н а я к г р а ф и к у ф у н к ц и и Задание Ответ Вариант 1 Вариант 2 1 2 3 4 Найдите угол наклона KacaTej в точке его с г f (х)= 2 х2, х0= —0,25 1ьной к графику функции f (х) 1бсциссой *о: f ( x ) = — 2х2, хо = —0,25 30° 135° 60° 45° Напишите уравнение касател в точке его с а М х )= 2.x2+ 1 ьной к графику функции f (х) бсциссой xq=0: Н * )= 2 * 2- 1 у = = 1 У=- 2 у = у = 2 В е р н ы й о т в е т : вариант 1— 2 3; вариант 2— 4 1
- 127. ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ Са м о с т о я т е л ь н ы е р а б о т ы Вариант 1 С —1.1. - j - и 2. 135° и 50°. 3. а) 0,8552; б) 1,3285. 4. а) 49°16',; б) 70°52'. С—2. 2. а) Плюс; минус. 3. 0,5. С—3. 1. а) 0,5; б) — - . 2. — 1,— С—4. 1. — ,/3 sin а 2 527 336 2- — 625= 527' 3‘ 3 sin 2а. С - 5 . 1. a) ( - о о ; — 2)U( —2; 2)U(2; оо); б) ( - о о ; -0 ,5 ]U U[0,5; оо). 2. I и х2 (при х ^ 0 ) . С—7. 1. Убывает на ( — оо;0,25], возрастает на [0,25; оо). 2. Пусть х? > х и тогда х! >•■*?; складывая эти два неравенства, получим ;t2+ *2> X i+X i, т. е. / (х2) > / (xi). С—8. 1. а) — cos 3°; б) — sin 79° = Зл л 2л = — cos 11°; в) ctg — = t g — . 2. 0. 3. а) Зл; б) -у “, в) Зл. С—9. 2. В озраста ет на промежутках [— 2л + 8л k; 2л 8лй], k £ Z, убывает на промежутках [2л + 8л&; 6я + 8л£], k ^ Z . 3. [0,5; 1,5]. С—110. 1. /(х )> > 0 на интервалах ^ + БлА; , fcg-Z, j(<x}c0 :на интервалах 1( 4 р + 6 л & ; -4^—)-&л£^ , k £ Z . 2. Мно- я , лк „ 2л£ , „ жество всех действительных чисел, кромечисел вида—— Ь-гр-. 3. х = ——, « g z ,— 4 Z о jt “I- 2 n k точки максимума; х = -----=---------•, k ^ Z ,— точки минимума. С— 11. 2.(— оо;3]. О _ _■» ( зт , nk Л Z l k 1 _ _ . _ 3. Возрастает на промежутках ( ----- 8~ Т " ’ "*8— ^ — а ' — гг: б) 5 ? -2 . 3. а) — 1,1198; б) 1,3908; в) 0,3082. С— 13. а) ± ^ + 2 л / г , о о 4 о kez; б) --11+ДД., в)- | ^ + л / г , AgZ. С— 14.а ) . [ - ^ + 2лй; Д — |-2зтЛJ, fe£Z; 6) - £ - + ? ) • k e z - с ” 15- а) ( - 1)4- ^ - + лА' б) — с- 17- ( х +лй; "I— пй) ’ /г£2‘ С~ 18- а) g не определена в точке — 1; б) да (в обоих случаях); в) предел / в точке — 1 не существует; lim g ( x ) = l . С— 19. 1. а) 10; б) 9. 2. а)5; б) 1,4. Х -+ - — I С—20. I. — 2Ах; — 0,4. 2. 2х0— 1+'А х; — 0,9; — 0,999; — 0,99999; предел равен — 1. С— 21. а) — 7; б) — Дт. С—22. 1. а) 5х4— Х- б) -у . 2. — 9; — 297; 3 — 12х2; 3 — 12 (х + 2)2. С—23. а) 1,5; (1,5; оо); { - t o - 1,5); б) 0 , (— оо; — 2,5)1) и( — 2,5; оо); 0 . С -2 4 . 1. а) ( - оо ; — I ) ( j ( - у ; у ) и ( у ; °о ) ; 123
- 128. Рис. 12 Рис. 11 б)( — 1.5; 1,5). 2. и - y J — T - 3. а) л/х — 1 ’ х ~ 1л/г а) 2 cos 2х + 3 sin Зх; б) 300 (Зл — 4)"; б) I. С—25. cos 1 ; в) sin 2jc. С—26. 1. ( — о о ;0). в 1 п * (0; 2) и (2; оо). 2. а) ( - о о ; -2 )U (2 ; оо); б) [ - 4 ; — |-)и [2 ;6 ]; в) ( - 4 ; - 2 ) U U(13; оо). С—27. 1. 27. 2. у = — Зх + 9,5. С—28. 1. 1,0004. 2. 1,035. С—29. 1. — 8; — 24. 2. 180 м. С—30. 1. Возрастает на промежутках ( — оо; — 3) и (3; оо); убывает на промежутках ( —3; 0) и (0; 3). 2. х = — 5 — точка максимума; х = 1 — точка минимума. С—31. Убывает на промежутках о о ; — и Г1 Г 1 11 1H j-; оо 1 , возрастает на промежутке — — ; — ; х = — - — точка минимума; х — -i точка максимума. С— 32. 1. График изображен на рисунке 11. 2. а) [— 1; 18]; б) о о ; С—33. График изображен на рисун ке 12. С—34. 1. m a x J = / ( — 1 ) = — 7-^-; min f = f ( 2 ) = — 32. 2. 5 + 5. С—35. [ - 1 : 2 1 I. Д а. 2. у " = - у . С -3 6 . 1. 3. 3. VT5- С -3 8 . 1. а) у ; б) ^ . 2 . а) -£ + + 2nk, kez- б) - ± + 2nk, (-1)4-^+ лА, kez. 3. а) (у+ л*;у+"*]. *62; б) (л*; -^+ л /г), kez. С—39. 1. а) [—1;2,5]; б) (—о о ; — 2 —У3)и U ( - 2 + V3; оо). 2. а) [ - 4 ; - 2 ] и х = 3; б) ( - 5 ; - 4 ) U ( - 3 ; 3)U(4; 5). С -4 0 , а) 12х5+ - ^ ; б) c tg x — ; в) ----- ?— ; г) — 2х sin х2; д) 4 -— - fx ' ■7 2 X 7 cos — С—41. 1. 0. 2. а) 1,00021; б) 0,15708. С—42. 1. Возрастает на (— оо; оо), экстре мумов нет. 2. min f = f (1 ,5 )= 12; max f = f (0,5)— 20. 3. 180 H. [0,5; 41 [0,5; 4) 124
- 129. Вариант 2 С— 1.1. и 2. 150° и 85°. 3. а) 0,5411; б) 1,5077. 4. а) 30°56'; б) 82°5' 1Z 1о С—2. 2. а) Минус; б) плюс. 3. — С—3. 1. а) 0,5; б) - Д 2. — . С—4. Э COS GC К 0 ’5- 2- S и ~ Ш 3- 2- С- 5- *• а) ( - ~ ; 0)и(о;4) и ( 4;оо); 4-1 , воз- 8 J я 2. 0. 5 я k ~~2 ]' 8 + растает на ["g"’ 00) - ^ *• а ) — tg 41°; б) — cos 43°; в) - s i n - . 4л л . _ _ Л Л _ Г л , як л , 3. а) — ; б) — ; в) 6л. С—9. 2. Возрастает на промежутках — —~—— + о 5 L о 2 о . nk~] . _ V я , як Ъя , я k~] п г , Т г убывает на промежутках I "g"Н—2"J »k ^ z - 3* [— 1; 3]. С— 10. 1. / ( * ) > О на промежутках ^ ; 1 Т + 4 г ) ’ k ^ Z ' на ( f2nk л 2я& Т " ' Т + ~3~) промежутках I —|— — ; — — — ), &£Z. 2. М ножество всех действительных чисел, кроме чисел вида л + 2 яk, где fe£Z. 3. х — 10я£, k £ Z ,— точки макси мума; х = 5л+ Ю л& , k £ Z ,— точки минимума. С— 11. 2. [3; оо). 3. Возрастает л Зл на промежутках (— я + 2яА; я + 2л&), k £ Z . С— 12. 1. а) — — ; б) я. 2. — — . 3. а) 0,9273; б) 1,8473; в) 1,2626. С— 13. а) - у + я £ , fegZ; б) у , * 6 Z, в) - ^ - + ( - 1 ) ‘ -|- + лй, ££Z . С— 14. а) ^ + 2 я * ;^ ? -+ 2 я й ), ft£Z; б) ( - я + + 2лй; — |- + 2 я й ] , £(EZ. С - 1 5 , а) ± ^ + 2лk, AgZ; б) — 2 . + ^ , fegz. С— 17. 0 2 + 2лй; 2 л й ); (2 л £ ; - ^ + 2л/г), 6 gZ. С— 18. а) / ( 1) = 1; g ( 1 )= 2 ; б) предел / существует, предела g не существует; в) lim g (x ) = 2, предела f Х -* ~ 1 в точке 1 не существует. С— 19. 1. а) — 16; б) 40. 2. а) 0; б) 3. С—20. 1. — ЗДх; — 0,9. 2. 2х0+ 1 + Д х ; 1,1; 1,001; 1,00001; предел равен 1. С—21. а) — 6; б) 2 8х * С—22. а) 14х6+ — ; б) — г а . 2. 20; 64; 4х + 3х2; 4 (* — 3) + 3 ( х - 3 ) 2. -у* (■* С—23. а) — 1,5; (— 1,5; оо); (— оо; — 1,5); б) 0 ; ( — оо ; — 2) (J( — 2; оо)- 0 . С -2 4 . 1. а) ( - о о ; - 0 , 2 5 )U (-0 ,25; 0,25)11(0,25; оо); б) Г— ; -^-1. 2. Х 2 ± 1 /-------- L 3 3 J л/х + 2-[х--2 . 3. а) 320 (2х — З)159; б) - . С -2 5 , а) - 2 sin 2 х - 3 cos Зх; с+2 Yi^ 3 ? б) ~ 7 “ в) - s i n 2 x . С—26. 1. (— оо; — 2), ( — 2; 0) и (0; оо). -л / х + 1 И Vjc+ 2 2. а) (— 3; 3); б) ( — со ; —3]U( — 0,5; 1]U[5; оо); в) (— 5; — 2)U(11; оо). С—27. 1. 27. 2. i/= 6x + 11. С—28. 1. 0,999992. 2. 0,999988. С—29. 1. 3; - 1 8 . 2. 80 м. С—30. 1. Возрастает на (— оо; — 2] и на [2; оо), убывает на [— 2; 0) и на (0; 2]. 2. х — — 1 — точка максимума; х = 5 — точка минимума. С—31. Убывает на ( — о о ; — 4] и на [4; оо), возрастает на [— 4; 4]; х — — 4 — точка минимума; х — 4 — точка максимума. С—32. 2. а) ( — оо; — 16]U[1; «=); б) jc = — 1,5. С—33. Убывает на промежутках (— оо;0,5) и (0,5; оо); экстремумов нет. С—34. 125
- 130. 1. m axf — f (— 2) = 48; min f = / ( 1 ) = — 6. 2. 12 + 6. C—35. J. Нет. 2. y” = - y . [-2; II [—2; I] C—36. 1. 3. 2. 0,25 tg 4a. 3. C—38. 1. a) у ; 6 ) y . 2. а) у + 2лА, A+Z; 6) - g - . k £ Z . 3. a) |д £ + л*; + > * £ 2 ; б) + k £ Z . C—39. 1. a) [ - 2; 5]; 6 ) ( - oo; 3 - V8)U(3+ 7 » ; °°)- 2. a) [1; 4] и x = - 2; 6) ( - o o ; — 4]U U ( - 3 ; -2 )U (2 ; 3)U[4; о о ).-C -4 0 . a) 7x6-----% ; 6 ) tg jM ^ - 1 в) - ■ ' C° S X ' 3 s in 2 4 ' •J 8 4 r) 2XCOSX2; Д ) y —y . C—41. 1. 1. 2. a) 0,99999998; 6 ) 0,031416. C—42. 1. Возрастает на ( — оо; — 1] и на [1; оо), убывает на [— 1; 1]; х — — 1 — точка максимума; х = 1 — точка минимума. 2. max f = f ( l ) = f (4)= 5; min f — f (2) = 4. 3. 144 Н. [1;*! ,fl;41 Вариант 3 С - 1 . 1. 1,1170; 2,7925. 2. 108°; 315°. 3. . С - 2 . 1. — 4-1 4 - - С - 3 . 2 2 5 4 1. - - L - . 2. 2. С - 4 . 1. а) _ § ; б) - Ц ± ± ; в) - ± . С - 5 . 1. а) 0; - 2 1; 4. 2. [0; V ^ 5 ) U ( ^ 5 , _<х>). С—6. а) Четная; б) нечетная. С—7. 0 ^ х < 4 С - 8. 1. а) — 1 ; б) Щ -, в) -л /3 . 2. tg 2а. С - 9 . а) у ; у ; 2 - 1 я; б) у о 1 ч Л ^ ^ 5 л о 1 ^ i Г »» ч Л Я , 2 „ 1 2 у л ; в) у < * < у ; 2 у я < * < 2 у л . С -Г 0 . a) - у ; у ; 1 у л ; 2 у л б) 0; 2л;в) — y C x c - i , 1 я < л : < 2 у л. С -1 1 , а) - у ч Зл л я "Я , 1 — . л . б) — л < х < — —; —— < х < — ; у < К 1— л. С— 12. а) - в) г) д/З. С— 13. а) - у + 2ля, h 6 Z; б) 2л7е, A+Z; в) - у + у " ’ " eZ г) ( — l)" д ) 2лн, — ^- + 2лл, n£ Z . С— 14. а) у + 2 я л < л :< Зл л 2л л , л , < — 4- 2ля, б ) у 4- я л < ; л : < ~ 4-я /1., в) — — 4- л п < х < — + пп, л л 2л n £ Z . С— 15. а) гЬ-тг-4-ял,ti£Z б) (-— )п — ~~лп, n ^ Z в) ± - т 4 - 2 л я , n£ Z . о Ъ о С— 16. а) —-?";ь 4 г ,!’ n €Z; б) — ^- + яя, arctg 5 + лл, ng'Z. С— 17. а) + 8 2 4 12 + 2лл, у + 2 я л , n£Z ; б) ля, — ^- + ля, n £ Z . С— 18. а)Возрастаетна [0; 1), убывает на ( — оо;0] и [1; оо); .-б) lim /( * ) = 1 ; в) не существует. С — 19. x-^—I 1. (1,95; 2,05). 2.а) 5; б) - 1 2 ; в) 10. С— 20. 1. 3. 2. 2,6. С—21. 1. — 8. 2. —у . С—22. I. 0; - 1 . 2. 8 х; 2. 3. а) •2 2; б) (— оо; 1>Н(1; оо). С—23. 1. 7 [? , 189. (I ■X) 2. [ — 3 ; 4 ] - 3‘ а С —24. 1. [— 4; 2)U(2; 4]. 2. — 60. С—25. 1. а) —6sin 2х —Зл/5; б > !f - ; 12. 2. л + 2 л й . ± ^ - + 2nk, A+Z. С—26. а) (1; 3); б) ( - 2 ; - 1)U COS ОХ о U(l; оо). С—27. a) </=4* + 8; в) 8. С—28. а) 6,933; б) 0,8573; в) 0,7314. 126 я 1— л т 4 я л У ’ б) У + — ^ 2 л, n g Z
- 131. С—29. 202 см2/с.G—30. а). Возрастает на [— 1,5; оо); убывает на ( — оо; — 1,5]; б) возрастает на Л; в) возрастает на ( — о о ;0 ] и [2; оо), убывает на [0; 2]. С—31. а) Х— — 2 и х = 2 — точки минимума, /(-— 2 )= /(2 )Г = — 16; х — 0 — точка максимума, f ( 0) —0; б) х = — 4 — точка максимума, / ( —4):= —2; х = 4 — точка минимума, f(4 )= 2 . С—32. х — — /2 и х = ф 2 — точки максимума, / ( — /2) = — — 4; x = Q — точка минимума, / ( 0) = 0. С—33. х = — 2,—- точка макси- 4 4 мума, / ( —2) = 4 — ; х — 2 — точка минимума, / ( 2 ) = — 4— ; х = 0 — точка 15 ч 15 перегиба, / ( 0) = 0. С—34. т а х f ( x )= f = min / (х) = / ( - ^ Л = 0 . , , ИК HI ,С -3 5 . 1. 12 c o s ( 2* + y ) , - 2 4 з г п ( 2 * + у ) , бфЗ, — 1 2 ^ С -3 6 . 2. + Щ - С—38. 1. — ^ -+ я п , n£Z: 2. — ^ + я т г ^ х ^ —у п + я л , n ^ Z . 3. л + 2лл, rr£Z. о 1*2 12 С—39. а) (— оо; — 4]U(0; 2)U[4; оо); б) ( — оо; — 2]U[2; 5]. С—40. 1. а) — Y ' cos Зх * cos х 2х sin х б) — ; в) sin 2х; г) —9.sin Зх (cos Зх + 6)2. 2. — 8. С—41. 1. Точка 2-ух с координатами (1;0). 2. у = х — 1. С—42. 1. Слагаемые 4 и 4. 2. х = 0 — точка максимума, f ( 0) = 0; х — 1 — точка минимума, /(L )= — 1. Вариант 4 С— 1. 1. 0,9774; 2,9671. 2. 150°, 390°; 3. С -2 - 1- X , - ^ г . б 2 20 Z4 ' О , г л Т 4 + 3 V 3 . 1 cos а ' 25 ’ 10 ’ 7 2. (— о о ; — — /2i 0]. С—6. а) Нечетная; б) четная. С—7. 0^Сх<Г2. С—8. 1. а) — у ; б). у 7 в), —л/ i 2. —e tg 2 a . С—9. а) у , у , 2 у я, « 3 , , я З я , я Зя „ 1 „ 3 „ , я я 2 т я; б) у ; в) т < Ж у ,. г у Ж ж г у я . С -1 0 , а) - у . у . , 5 _ 1 , я я , 5 1 _ , 1 1— я, 2 -2-л ; б) я, Зя; в) — т < х < -~Г • и < Ж 2 - ^ - я . С— 11. а) — 1— я, О О 0 0 0 0 4 л Зя , , , 1 я я я Зя ^ „ — Г - т • б) — 1— я < х < — — , — —< х < , ------ < х < я . С— 12. 4 4 4 2 4 2 4 а) — ; б) у ; в) —л/3; г) — i - . С— 13. а) я + 2ял, n £ Z ; б) у + 2ля, n g Z ; в) —- у + у " , " € Z ; г) ± у + ^ , ngZ ; д) 2лл, у + 2лл, ng Z . С— 14. а) —у + л 5л - л л + 2лл < * < - - } - 2лп, rt£Z; б) —- ^ - - л п С х < С — j --fro * , n£Z; в) — —-f л л < < т < у + лл, H6 Z. С -1 5 , a) d r y + ЯЛ, n £ Z ; б) (— 1)*+' у + л£, fc£Z; в) ± у + + 2лл, n £ Z . С— 16. a) y + y n > n £Z; б) — ^ -+ я л ;. — arctg 3 + лл, n £ Z . 2л л С— 17. а) — + 2ял, n fZ ; 6) ял, ——|-л я, n £ Z . С— 181 а) Возрастает на каждом о 4 из промежутков- ( — оо; — 1) и [0; оо); убывает на промежутке- [т— f,.0]; 29 1 б) lim / (лг)=0,5; в) не существует. С— 19. 1. 1— < х < 2 — . 2. а) 6; б) — 18; х-» 5 0 30 1 fi в) 2. С—20. 1. 2. 2. 1,4. С—21. 1. — 18. 2 .— . С—22; 1. 0; 1. 2. 8х; 4. 3. а) 7- 7- 775; -фс (х ~ г 1Г 127
- 132. б) ( -о о ; — 1)и(— 1; оо). с —23. 1. 9 V ?, 144. 2. ( - о о ; 1](J[2; оо). 3. 4. С—24. 1. (— оо; —7)U( — 7; — 5](J[5; оо). 2. — 24. С—25. 1. а) 10 cos 5*; 5; б) — - J j ^ ; —6. 2. лп, ngZ. С—26. а) (—2; — 1); б) (— оо; — 1)(J(1; 3). С—27. а) у = —4л:—8; в) 8. С—28. а) 6,085; б) —0,4699; в) 0,6018. С—29. 603 см2/с. С—30. а) Воз растает на промежутке ( — оо; 2], убывает на [2; оо); б) возрастает на Л; в) воз растает на каждом из промежутков (— оо;0] и [1; оо), убывает на [0; 1]. С—31. а) х = — 1 и х = 1 — точки минимума, / ( — 1)= /(1 )= — 1; х = 0 — точка максимума, f(0)=l; б) х = —6 — точка максимума, (( —6 ) = —3; х = 6 — точка минимума, / ( 6) = 3. С—32. х = —у/2 и х = д/2— точки минимума, / ( — [ 2 ) = f (-/2)= 0; х = 0 — точка максимума, /(0) = 4. С—33. х = — 1 — точка минимума, / ( — 1)= — 1-— ; х — 1 — точка максимума, /(1 )= 1 — ; х = 0 — точка О О перегиба, / ( 0)= 0. С—34. max / (х) = / f-?-') = 1 4 -; min ( М = /(0) = 0. И ] И ] С—35. 8 c o s^ 4 x + -|- ); - 3 2 sin (4х + у ) ; 4; - 1 6 . С—36. 2. . С—38. 1. — g- + n п> n ^ Z - 2' + ’ n ^ Z ‘ 3' — т у + 2ля, n£Z . С—39. а) [ - 3 ; 0)U[3; 5); б) [ - 5 ; -4]U [4; оо). С -4 0 . 1. а) - - ^ ; б) -*‘£ £ ± ^ 5 -21 ? ; в) —sin 2х; г) 6 cos 2х (sin 2х —5)2. 2. 8. С—41. 1. Точка с координатами (1; 0). 2. у = —х + 3 . С—42. 1. Слагаемые 9 и 3. 2. х = —2 — точка максимума, / ( —2)= 4; х = 0 — точка минимума, /( 0) = 0. Вариант 5 С— 1. 1. ~ и 2. 165° и 517°30'. 3. а) 1,3788; б) 0,6696. 4. а) 43°24'; 5 У б) 116°4Г. С—2. 2. а) Плюс; б) минус. 3 . С—3. 1. а ) б) ^ ; в) 2‘ - f sin22“- с- 4- *• 2- - W 3- - cos4“' С—5. 1. а) (— оо; 1)U(1; 6)U(6; оо); б) (— оо; —2)11(2; оо). 2. - 1 5 ; х3+ Зх2+ + 6х + 3. С—7. 1. Для любых х2> х , > 1 имеем: / (х2)—f(xl) = x2—Зх2—х3+ + 3 x i= (x 2—Х|)(х2+ х,х2+ х1 —3 )> 0 , так как х2—х , > 0 и х2+ х,х2+ х ?> 3 . 2. Возрастает на ( — оо; 1], убывает на [1; 0). С—8. 1. а) —sin 34°43'; б) sin 0° = 0; в) t g 4 r - 2. —л/З. С—9. 2. х = ^ + ^ , AgZ, — точки макси- 7Т О ттЬ мума, х = |— -— , k £ Z ,— точки минимума. 3. sin 100°, sin 150°, sin (—200°), 42 3 sin 10°, sin (— 100°). С— 10. 1. cos 70°, sin 40°, cos 40°, sin 70°. 3. Убывает на промежутках - A n k ^ - + 4 n f tj , fcgZ, возрастает на промежутках £ — ^ - + 4 n * j , k £ Z . С— 11. 2. Возрастает на промежутках — - —р — ; “ + , ft£Z. 3. М ножество всех действительных чисел, кроме 8 2 8 2 / чисел вида -т—Ь -тг» k £ Z . С— 12. 1. а) б) 0,1. 2.— . 3. а) 1,1130; 4 2 о 4 C j. 5л лА? б) 2,4544; в) — 1,3258.С -1 3 , a) ± - ^ - + 2 n k , k £ Z ; б) — + 2л/г, k £ Z; в) — , , г, ^ . . ч ( л , 5л 2л& , , , г , Г л л/г л л/г * € Z . С - 1 4 , а) ( т + — 1 ! - + — ) . ^€ Z ; б) [ - - + - у = T + t ) ’ ^ 128
- 133. + nk --nn-^ -+ л й — л п ) ; ^ - ^ -+ л * + лл; ^ - + n k — n n ^ , k £ Z , n £ Z . C— 18. 1. a) — 1; 1; 6) — 1; —2. 2. 0,001. С— 19. 1. a) —3; б) не существует. 2. a) 89; 2 1 6) 3. С—20. 1 . — Дх; —— . 2. — 3 — 4x0— 2Дх; — 7,2; — 7,004; — 7,00002; 3 lo 3 предел равен —7 С—21. а) — ; б) — 2*. С—22. 1. а) 9х8— 15х4+ 12л:- 5 ; 2х2+ 6х + 8 7V2 Q 1 З х + 1 Зх — 5 „ „„ «» — p + s ? - ' 2' - r ; 3 T ' - i v r : ^ f с- 23- ■» ^ б) множество из двух точек — 5 и 3; ( — оо; — 5)U(3; оо); ( —5; — 1)Ц(— 1; 3). С -2 4 . 1. a) N p o o ) ; б) ( - оо; 3)U(3; оо). 2. 2 + ?V* и д / 1 + 5 . L » / 1 » I X 3. а) 120 (7л:6— 12х3) (х7— Зх4)119; б) , * . С -2 5 , а) — ; ( т + ' ° ) С— 15. а ) j - + n £ , Xa + nk, k£Z, x0= a r c tg ^ 0,32. С— 17. ^ ---- j? -+ л/?1 3 cos' б) 2 sin (3 — 2х); в) 2 tg х cos (2л:+ 5 )+ • С—26. 1. ( — оо ; — 1), ( — 1; 1), (1; 4), (4; оо). 2. а) (— 4; — 1); б) ( - 4 ; - 2 ) U ( - 2 ; 2)U(4; 7); в) ( - o o ; - 2 ) U U(0,25; 1](J[4; оо). С—27. 1. у = х + 2. 2. у = —^ х + ^ - я + -^ -. С—28. 1. 5,9925. 32 2. 0,16. С—29. 1. 6Н. 2. 2 — м. С—30. 1. Возрастает на ( — оо; — 1] и на [2; оо), 4 5 ^ убывает на [— 1; 2]. 2. х = 1 — точка максимума. С—31. Убывает на (— оо;0] и [3; 6]; возрастает на [0; 3] и на [6; оо); х = 0 и * = 6 — точки минимума; х = 3 — точка максимума. С—32. 1. Возрастает на (— оо;2], убывает на [2; оо); х = 2 — точка максимума. 2. а) ( — оо; оо); б) [— 0,5; 3,5]. С—33. Убывает на (— оо; — 1] и на [0; 1], возрастает на [— 1; 0] и на [1; оо); * = ± 1 — точки минимума; х = 0 — точка максимума. С—34. 1. min / = / ( — 2 )= — 55; max f = f (2) = 57. [ - 2; 2] [ - 2; 2] 2. 4 + 2. С—35. 1. Д а. 2. х " = — 2х; А = 3; to = ->/2; ф = 2 я — 1. С—36. 1. 0. „ , „ /к . v 2 — /2 _ „ , 2я „ л , л „ , л л 2. 4. 3. у/2— 1 и ' — - . С—38. 1. а) — ;б) — ; в) — — . 2. a) - g - ± — + я£, k£Z ; б) - j —(-лй, хо + л&, A+Z, хо = arctg 3 я; 1,249. 3. а) ^ — j —[ 8 8 як 2 ’ k £ Z ; б) ^ + 2 л А ; - ^ + 2 л * ) , k £ Z . С—39. 1. а) [1; 3]; б) (— оо; 3)U(3; оо). 2. а) [1; 3); б) (1; 1,25)U(2; 3). С—40. а) 6х5- 1 2 х 3+ 6х2; б) — ; в) 2 cos 2х; г) у — — г ; д) 34 (2х— I)16. С—41. 1. 1/ = х + 1 . Л 1ЛМ8 1 2 ) -fx 3 cos' ( t - 0 2. a) 0,999; 6 ) 1,015. 3. 7; 8. С—42. 1. Возрастает на промежутке ( — оо; 1], убывает на промежутке [1; о о ) ; х = 1 — точка максимума. 2. min / = / ( — 1)= 0,5; m ax f = / ( 0 ) = l . 1- 1: 0,51 [- 1 :0 ,5 1 Вариант 6 С— 1. 1. -^ -и 2. 105° и 945°. 3. а) 0,9948; б) 1,5519. 4. а) 50°24'; б) 134°12'. 129
- 134. С—2. 2. а),б) Плюс. 3. -jL r; 4 “ - С —3- 1. a) 4 r i б) в) 1— . 2. 1. УЙ) 3 2 . 2 -л/3 С - 4 . 1. ?-V t ± 3 g . 2. 3. 1. С - 5 . 1. а) ( - оо; 2)U(2; 3)U(3; оо); б) (— 4; 4). 2. 4; 2л:3— блг' + бл:-!- 4. С—7. 1. Пусть 1^ jc2> jci ^ — 1. Тогда f { x e b ~ x i ) ( x l - { - x 2xi + xi — 3 ) < 0 , так как x2— x > 0 , a xi + x2xi + + jc?< 3 (лг1^ 1, лс?<М, x 2x <C 1). 2. Возрастает на ( — oo;2], убывает на [2; оо). С—8. 1. а) — sin 47°41у; б) cos 2°; в) c tg - J - . 2. У3- С—9. 2. x = ^ - - - n k , О ZU fegZ,— точки максимума; х = —^ + л£, ftgZ ,— точки минимума. 3. sin (— 250°); sin ( — 300°); sin 40°; sin 20°; sin ( — 150°). С— 10. 1. sin 15°; cos 70°; co s( — 20°); cos 10°. 3. Убывает на промежутках —f-блЛ; —|-6n&J , fcgZ; возрастает на промежутках £ — -i-jp -+ 6nfe; - ^ - + 6nftJ , fegZ. C— 11. Убывает на промежутках ^ ^ —(-2лб; Д ^ -+ 2 л /г ^ , k £ Z . 3. М ножество всех действительных чисел, кроме чисел вида k £ Z . С— 12. 1. а) — б) — 0,3. 2. — 3. а) —0,8271; о о о б) 3,0641; в) 1,3068. С— 13. а) { - 1)*+‘ -j~ + n k , k £ Z; б) 2лА; — ^-+ 2 л Л , kez- в) у + ^ , * 6 Z. С -1 4 , а) ( - ^ —Ьл£; ^ + я * ) . * 6 2 ; б) ( — £ + + ^ ; 1 + + + Ч , * £ 2 . С -1 5 . а) -Т -+ Л *; х0+ лй, ft£Z, х0= arctg 3 « 1,249; о «зо о / 4 б) - ■ ^ + Л Й , ft€2. С - 1 7 . ( ^ - + л А : + ^ ; _ . £ - + * * — у - ) , *£Z , n£Z . С— 18. 1. а) 1; 2; б) 1; — 1. 2. 0,001. С— 19. 1. а) — 5; б) — 0,2. 2. а) 53; Д у б) — 2. С—20. 1. 0,5Длс; 0,1. 2. 3 —х0— g -; 3,95; 3,999; 3,999995; предел равен 4. С -2 1 , a) б) 2х. С -2 2 . 1. а) 7*б+ 1 0 х 4— ; б) - £ ± g + l . 2. 1; * 4 - ( - - • Ч М 4 - ~ М - т • 4 - ) ; б) 0 ; ( - 00; — 1)U( — 1; оо); 0 . С -2 4 . 1. а) [0; 4]; б) ( - 00; 1)U(2; 00). /------ 2. .1 + i L и V 1+ - - - 3. а) 191 (5х4- 4 х ) ( х 5- 2 х 2)190; б) "*■■■■ С -2 5 . 1 — 2 л/х 1 —2лс У 1 - х 2 2 а) 4 sin (3 —4х); б) -—а ; в) cosxcos(2x — 3) — 2 sin лсsin (2л: — 3) = cos(3x — — 3)— sin л:sin (2л: — 3). C -2 6 . l . ( - o o ; — 1), (— 1; Г), (1; 3) и (3; оо). 2. а) ( - 00; 1)U U(2; оо); б) ( - 3 ; — 1)U(— 1; 2); в) ( - 3 ; - |-)и [2 ; 6]. С - 2 7 . 1. у = х + ^ - ^ - . 2. г / = — 0,5х — 2. С—28. 1. 7,005. 2. 0,3. С—29. 1. 0. 2. 4,3375 м. С—30. 1. Воз растает на (— оо; — 2] и на [1; оо), убывает на [— 2; 1]. 2. лс= — — точка минимума. С—31. Возрастает на ( — 00; — 1] и на [0; 1], убывает на [— 1; 0) и на [1; оо). С—32. 1. Возрастает на ( — 00; 1], убывает на [1; 00); х = 1 — точка максимума. 2. а) 0 ; б) (— оо; оо). С—33. В озрастает на ( — оо;0] и на [2; оо), убывает на [0; 2]; лс= 0 — точка максимума; х = 2 — точка минимума. С—34. 1. m in^/ = = f (0) = 3; m ax f = j { 1)= 24. 2. 6 + 2. С—35. 1. Нет. 2. х " = - 3 х ; Л = 4 ~ ; 130
- 135. и ш = УЗ;ч = 2 . С—36. 1. —Ц . 2. — cos 8а. 3. 2 — л/3 и У2 + ^ • С—38. 1. а) ; б) -g~: в) — 2. а) — у + ( — 1)*-^—-2nk, ££ Z ; б) -^ -+ л й ; х0+ + л/г, fc£Z, хо = a rctg 0,32. 3. а) —(-2лА; л + 2лА ^, k £ Z ; б) ^ + 2л*; ^ j - + 2 n k ) , fe£Z. С—39. I. a) (-o o ;2 )U (4 ; оо)-, б) 6. 2. а) ( - о о ; -2 ]U U(3; оо) и х = 1 ; б) ( - о о ; - 2 ) U ( - 1 ,5 ; -1 )U (1 ; оо). С—40. а) 7х6- 1 0 х 4+ 3; б) _ L d l^ . в) _ 5 s in 5 x ; г ) ------------------- г-;д) —6^ . С—41. 1. у = 2 V* 2 sin2 ( 4 _ + 5j W 7 = 7х— 2. 2. а) 1,001; б) 0,9982. 3. 23; 19. С—42. 1. Возрастает на промежутке ( — оо, 2], убывает на промежутке [2; оо); х = 2 — точка максимума. 2. min f = [-2 ; 0,51 = / ( — t ) = — I; max f = f (0,5)=0,8. I—2: O.Sj Вариант 7 С— 1. t. 4 ^ и 4 т ^ - 2. 50° и 1740°. 3. a) 1,2462; б) 0,5111. 4. a) 2°6'; б) Г14*47' oU 15 C—2. 2. а), б)Плюс. 3. — . C—3. 1. a) -y= ; 6) 0; в)— 1. 2. 1. ■■ ^ - # ■ з- й Н - ■> [ f = 2) U(2; oo); 6 ) [2; 2,5). 2. a) — 1; 3; 0; — 1. С—7. 1. Убывает на ( — оо; 1) и на (1,оо). У к а з а н и е . ^ 7 = 3 + — -. 2. х = 1 ,2 5 — точка максимума. С—8.1. а) — cos41°43'; б) - c o s 20°; в) - t g Щ -= - c t g . 3. а) б) я. О I (J Z С—9. 2. sin 4; sin 3;sin 1; sin 2. 3.£ —у ^ -+ 2 л £ ; ^ - + 2 n * J , k £ Z . C— 10. Л 2nk 71 2. — -— — , fegZ. 3. — + 2 л k, &£Z. С— 11. 1. М ножество всех действитель- л nk / 2л ныхчисел, кроме чисел вида ——|—— ,A£Z. 3.Возрастает на ( -------- -—-2nk; Д.ТГ ТГ 7Я — 4 -2 я Ы , k £ Z . С— 12. 1. а ) — — ; б) . 2. Первое меньше. 3. а) —0,3275; б) 2,4966; в) 1.2729. С -1 3 , а) - ~ + п к , * € Z ; б) _ -£ - + ( - 1)“ ~ + nk, A£Z; в) ^ + * 6 Z. С -1 4 , а)[ _ ^ + 4л*; _ ^ + 4я*] , k £ Z ; б) ( з - ^ + + 3лк-, З - ^ + З л ф k £ Z . С— 15. а) —у + 2лА>, k £ Z б) л*; - | - + л *. *£Z . С— 17. ^ у + 2 л й ; 4 4 + 2 я л ^ ; + 2л£; у + 2 л л ^ , A£Z, n £ Z . С— 18. 1. а) — 0,5; —0,5; б) 0,5; — 1,5. 2. 0,002. С— 19. 1. а) — 1 4 - ; б) 1 2. а) —6,5; б) 0. 3 * 8 С—20. 1. (2 х о -3 ) Дх + А х 2; а) -1 ,2 5 ; б) - 6. 2. ЗхК- 5 + Зх0Ах + Дх2. С -2 1 . а) - 5 ; б) 2 х —4. С— 22. 1. а) 7х6- 15х4— б) 3* + 5 , 2. - 1 3 ; — - ; хл[х 2 -у/х 13 ’ 131
- 136. - , '4"ЕД; - l4 . С -2 3 , а) 0; ± 0 .5 ; ( - 0 ,5 ; 0)U(0,5; оо); ( - о о ; -0 ,5 )U (0 ; 0,5); (х + 5) х б) 0 ; ( — оо; 2)U(2; оо);0 . С—24. 1. а) [3; 4)U(4; оо); б) [0; 41 2. sin3 x + 2 s i n x и sin (x 3+ 2x). 3. а) 2020 (*3- * 4)(5*4- 4 х 5)100; б) ‘Л С -2 5 . Ух —2х 2 / 2 3 а) — — sin ( -л -х — 1 I ; б) 3 cos Зх; в) —sin х cos 2х — 2 cos х sin 2 х гтг-. 3 3 / cos3 2х С - 2 6 . 1. ( — оо; 0), (0; 1), (1; 6), (6; оо). 2. а) [ - 8; -2 )(J[9 ; оо); б) ( - 3 ; 4). С—27. 1. У= 7 Г + - ^ ( х —у ) • 2- У= 2х — 4. С—28. 1. 4,01. 2. 2. С—29. 1. — 3 2 ^ ' 2‘ а ) "(Г ’ ^ с' ^ в о з р а с т а е т на ^ — оо; — y j и на [1; оо), убывает на —у ; 1j . 2. х = ± У б — точки минимума. С—31. Убы вает на (— оо; 1), возрастает на (1; оо), экстремумов нет. С—32. 1. Убывает на ( — оо;0,3], возрастает на [0,3; оо); х = 0 ,3 — точка минимума. 2. а) (— 2; — 0,5); б) 6. С—33. Убывает на ( — оо; — 3] и на [5; оо), возрастает на [— 3; 5]; х = — 3 — точка минимума; х = 5 — точка максимума. С—34. 1. min / = / ( — 4 )= — 130; [ — 4; 2] m ax f = f (2 )= 14. 2. 8 см; 2-/3 см. У к а з а н и е (рис. 13). Решим задачу в более общем виде. Пусть в треугольник с основанием а и высотой Л вписан прямоугольник наибольшей площади; найдем стороны прямоугольника и его площадь: И з подобия треугольников А Р К и А С В имеем: (h —y):h = x'.a, откуда x==a { h - y ) _ S = xy= zay ( ° - J } .' S ' и S '( y ) = 0 при y = j - . Д алее, S (0) = S (Л)= 0, поэтому m ax S = S ^ y ^ = y . При этом x = 0 ,5 a , г/= 0,5/г. С—35. 1. у = А cos . 2. х" = — А = 2, о) = у , <Р= у • С—36. 1. — 1 2. — cos 4а. 3. 2 гг __ . . л л . Зл Зл& у и У2. С—38. 1. а) л; б) — у ; в) - у . 2. а) — у - , A£Z; б) ( - 1 ) * у + я £ ; (— 1)*+ 1хо+ л £ , ££Z , x0= arcsin 0,75яй0,8481. 3. а) ( — у + у ) . &6 Z; б) ( ^ + л й ; ^ J + л / г ) , fe£Z. С - 3 9 . 1. а) ( _ о о ; ^ = ^ ) и и № - ) = »» з) [ — 5; у ) и х = 3; б) ( - и(Чт;-т)и(1;оо>- а) 8х7- 1 8 х 5+ 6х; б) -4; - 3 ] . 2. I)U 1 х в) - у cos - у ; С -4 0 . Зх+ 6 2Vx+ 3’ 2 Рис. 13 cos2(2x—у) д) - 2 1 0 х ^ у - З х 2) 3’ • С - 4 1 . 1. у = = — 2 х + 3 . 2. а) 1,00001; б) 1,015. 132
- 137. 3. ; ~^ 2 ■ С —42. 1. Убывает на ( — оо; — 2] и на [0; 2], возрастает на [—2; 0] и на [2; оо); х = ± 2 — точки максимума; х = 0 — точка максимума. 2. ш ах / = / (-—1) ==3; min /= = /( —2) = — 2. 1-2; 0] [—2; 0] Вариант 8 4л 47л С— 1. 1. и 2. 33°45' и 440°. 3. а) 0,4119; б) 1,4640. 4. а) 5°42'; б) 177°4Г. С—2. 2. а), б) Минус. 3 . -----; ----------- L . С—3. 1. а) ^ ; б) - 1 ; уП) yio 2 ■’ i - с - ' '■ J r i ' 2- 3- с- 5- '• ■' - 'W астает наи ( — 1; 0°); б) ( - о о ; - 2 ) и [ у ; ° ° ) . 2. а) 1; 0; 0; 1. С—7. 1. Возр ( — оо; — 1) и на (— 1; оо). 2. лг= 1,5 — точка максимума. С—8. !. a) cos 33° 17'; б) tg 6 0 ° = y 3 ; в) cos — . 2. — /3. 3. а) 6л; б) л. С—9. 2. sin 1,5; sin 0,5; sin 3; sin 4,5. 3. |Д + 2л£; ~ + 2 n * j , k £ Z . С— 10. 2. ^ + 6л*, k£ Z . 3. + +4л& , k £ Z . С— 11. 1. М ножество всех действительных чисел, кроме чисел вида ^р + 3л£, k £ Z . 3. Возрастает на ^ k ^ 2" С— |2 - '• а ) б) 12° = - ^ . 2. arccos 1 < arctg 1. 3. а) 1,4279; б) 1,9538; в) — 1,3977. С— 13. a) - y + nfe, А е г; б) Щ + 2л/г, £ 6 2 ; в) - у + ( - 1 )4 у + 2 я й , AgZ. С -1 4 . . / я , л& я , л £ , _ , , Г 7я , 11я , ,1 , „ а) ( (Г Т : 12 " 3 ) ’ 6 ; б) |_24 ~24 ^ С- 15- а) я + 2лА, £ £ Z ; б) лА; - 4 + я *. С— 17. + I -т- + 2 я я — 3 4 2 4 2 / &6 Z, n ^ Z . С— 18. 1. а) 0; не определена; б) 1; 1. 2. 0,006. С— 19. 1. а) — 3 -}г ; о 9 б) не существует. 2. а) — 163; б) —— . С—20. 1. 2хоАх + 2Ах + Ах2; а) —5; б) - 1 у - 2. З х З -И + ЗхоДх + Дх2. С - 2 1 , а) - 7 ; б) 2х + 3. С -2 2 . ,. . ) 8, ' - 1 2 ^ 2 . 5 ^ « А Ь й . 2. ± ; J g ; ' ; С -2 3 . . ) 0; ± 1 ; о ) и ( | ; « ) ; ( - - ± ) и (о ; ± ) ; б) - 3 и 7 ; ( — оо; — 3)U(7; оо); ( - 3 ; 2)U(2;7). С - 2 4 . 1. а) [ - 2 ; 14)U(14; оо); б) [0; 25). 2. (cos х + I)4— 2 cos х — 2 и cos (х4— 2 х ) + 1. 3. а) 3633 (х2—х6) (7х3— Зх7)'72; Зх? з 3 /3 v I б) — ------ . С— 25. а) — cos ( — + I ) ; б) — 2 sin 2х; в) --- *— (-cos х sin 2х + 2 У х ^ У к 7 V 7 т У + 2 sin х cos 2х. С—26. 1. ( — оо;0), (0; 2)- (2; 3); (3; оо). 2. а) (— оо; —2)U(0; t]U U[3; 5]; б) ( — 2; 3). С—27. 1. у = “ у ( х - у ~ 2 ^ • 2. у = - 2 х + 2. С—28. 2 8 о 1- 9-^-—. 2. 0,0014. С—29. 1. —зс=Н. 2. 1,04 — ; 25с. С—30. 1. Возрастает на 300 27 с ( — со; оо). 2. х = ± У б — точки минимума. С—31. Возрастает на ( — оо ; 3), убывает на (3; оо), экстремумов нет. С —32. 1. Убывает на возрастает 133
- 138. на оо^ ;точкаминимума. 2. а) [—3. 11]; б) ( — оо; — 4)U( —4; оо). С—р33. Убывает на ( — оо; — 2] и на [4; оо), возрастает на [— 2; 4]; х — — 2 — точка минимума; х = 4 — точка максимума. С— 34. 1. m in / = / (1 )= 5 ; m ax f —J (4)= 62. (I; 4] [1; 4] 2. 12 см, 3V3 см. У к а з а н и е. См. указание к вар. 7. С—35. 1. у = 4 cos ^2х + - ^ . 2. х " = - 9 х . С—36. 1. 2 + ^VlO 2 _ J _ cos4(X. з. - д / l ; J j L . С—38. 1. 9 4 V JO V 3 . 5л л . л л . зх , л к л . л к . , _ л; , _ .. , _ _ а) -6 ; б) ~ Т : в) Т - 2- а) -6-+ y ; Т 8 + Т ’ ckeZ; б) ±-з+2п*’ *ег- 3. а) ^— я + 2я/г; - y + 2 n f c j , * 6Z ; б) ^ + п* )> С—39. 1. „ ( ± - Е , 5 ± з И ) , о , г. { - о о ; - 1 ) и [ 8 ; ~ > ; 6, ( - » 4 ) и u f - ^ ; 4-^U (2; оо). С -4 0 , а) 3 — 21хг + 2хг+ ’9 ^ б) 3^,+ 10 ; в) - 0 ,3 sin 0,Зх; *о * / 2-yjc тЬ 5 г) 3------ -- ; д) 80х (5х2— I)7. С—41. 1. у = — Зх— 3. 2. а) 0,999999; б) 0,9895. sin2 ( ^ — Зх) 2 4 3. — ; —ТоЕ- С—42. 1. Возрастает на (— оо; — 1] и на (0; 1], убывает на [— L; 0] ZO 1ZJ и на [1; оо); х = ± 1— тонки максимума; х = 0 — точка минимума. .2. т а х ^ / = = / ( — 2) = 22; min / = / ( 0) = 2. 1— 2 ; в ] Вариант 9 л 9зс 9л с — 1. 1. ~ . 2. а) - 7 2 ° ; б) — 4248°. 3. 22°30'; 52°30'; 127°30'; 157°30'; 0,3927. 4. 35°25'; 21°53'. С—2. 2. а) Минус; б) плюс. 3. 2 ctg а ; — 1. С—3. 1. 1. 2 .1 . С—4. 1 -4 - ..2. - 2 4 - . 3. cos 8а. С— 5. 1. a ),[— 1; 0)11(0; 3)У(3; оо); б) [0; 20,25]. О 4 2. а) 8; 5; 3; х2. С —6. 1. а ), б) Д а. С—7. 1. а) Убывает на ^ — оо; , возрастает на ° ° ) 1 0) возрастает на ( — оо; — 1] и на [1; оо), убывает на [— 1; 0) и на (0; 1]. 2. а), в), д) Возрастает; г) убывает. С—8. 1. См. рис. 14. 2. а) я; б) я-/2. 3. а) Р е ш е н и е. Пусть Т > 0 — период функции f (x) = sin х2. Тогда f ( T ) = f (0) = = 0 , поэтому 7 имеет вид -1лпо, где (так как sin х2= 0 при х2= л я , т. е. х — +л[лпо)- Но тогда на интервале (0; 7) функция имеет (по—Т) нулей (в част ности, при по— 1 ни одного нуля), а на интервале (Г; 27) имеет 4по — по— 1— Зпо— 1 нулей. Следовательно, Зло— 1 = п о —1, откуда яо = 0, что невозможно, так как
- 139. по — натуральноечисло; б) у к а з а н и е : / (х) = 1 только при х = 0, это сле дует из иррациональности -у2. С—9. 2. [2; 3]. 3. Плюс. С— 10. 2. Решение. л л _ л л л л , sin , поэтому cos sm — -> co s — , a c o s — > sin cos — (так как x > s m x, где x — cos-y-)- 3. М ножество всех действительных чисел, кроме чисел вида , k£Z. С— 11. 1. D (/) совпадает с D (tg) £ (/)— (0; 1]. 3. tg 5; tg:2; tg 10; tg 7. С — 12. 1. a) 0,96; б) З л — 10. 2. Р е ш е н и е . ■— — arcsin xg[Q; л] и cos — arcsin x^ = s in (arcsin x) = x. 3. a) — 0,8223; 6) 0,8025. С— 13. Л Jlk л zzk а) ( — l)t + 1т п + т г • k£Z] б) -Г5-+ - 5- , k ^ Z . У к а з а н и е . Уравнение приводится 12-; 2 1x5 о к виду tg Зх—~ , после решения которого, надо проверить, что при получен- л/з л it Ttk~ ( 9л ных значениях определены t g x и tg 2х; в) 42 ± ;'д ‘ + _з ' • kZ Z . С— 14. а) f — tS+"*) ;(Й+^;т +лк) ' ( т +лй: ш +лк) :{т£+л*;й +л*) -*е2- У к а з а н и е . Неравенство приводится к виду tg ( х - Ь - ^ < - 4 . после решения L 5Я , и Л ,которого из полученного множества надо исключить числа вида — + як, ~у~г + л к , при которых не определен t g^ 3xH— или tg 2х; б) + , * 6Z. С— 15. а) хо~-—у , ftgZ, x0= y a rc tg ( — ^ « . —0,58; б) — ^- + 2лк ( - l f ^ + л к , k £ Z . С -1 7 . ( ( — I)4 -g -+ „ n ; ( - l ) * J L + f 0 С -1 8 . 1. а) 1; 3; б) не существует; 1; в) ( — 2; 2] и точка 3. 2. 0,39. С — 19. 1.а) 2,5; б) 6. 2. а) 4; 3 б) — . С—20. 1. Второе больше (в обоих случаях). 2. Зх2— 4хо + 4+{Зхо — 2) Дх + + Дх2; Зхо —4хо + 4. С—21. а) 4=.— Зх2; б) -— Ц , . С—22. 1. а) 2 - л [ х - , л/х (х ~ Н 2 1 Sjc -1-9г —— 5.4*17; б) —— . 2. 0. У к а з а н и е . /( * ) = * х и / ' (0) = 2 -Д* 2 у х — lim — — - — lim lim k l = 0 (так как функция g -(* )= U j непре- Xr-^ 0 X х-*-0 X х-»-0 рывна в точке 0). С—23. а) ± 2 ; ( — оо-; — 2)U(2; оо); ( — 2; 2); б) 0; (0)1); ( — оо; 0)U(1; <»)• С —24. 1. а) ( —л/П ; —л/7)U(л/7: л/ГТ); б) [4; оо) и точка 0. 2. fn (х)— 1— — при ri = 3k — 2, f„ (х )= — * t при ti — 3 k — , f„{x) = x при /г— Зй, *€Л7; D (/) = ( — оо; 0)U(0; оо); D (/„) = ( — оо; 0)U(0; 1)U(1; °°) при п^=2. 3. а) — ----; б) 27 ( х 2— 4 V *) (*3—^ V*)8- С—25. а)5 cos 5х; б) 0 при 2.л/Зх?-1-2х2- 12 V 2 / xZD(J) в) З-у’г з ш 4 x s in (2 x — . С—26. 1. При 0 < а < 4 . 2. a) [—V2; — 1]U и ( - Т ; т ) и (1 :^ ); б) ( _ 4 ; — 3)U( — 2.5; - 2 ) . С -2 7 . 1. 2. у = = _ L _ 4 ? j x - Л). С—28. 1. 1,012. 2. 0,9009. С—29. 1. 4с; 2 1 — . 2. Р е ш е н и е . у/2 6 с 135
- 140. S' (0= -7 7 ^ W '' * ' ( 0 = Л а ; f = m 0s "(0 = 6т 0 (t—2)3 ’ " w _ (<-2)4’ 4V_(<-2)4 - = 6mos2 (1). С —30. 1. Возрастает на ( — оо; оо). 2. х = = — 4 + л^. ^ 6 ^ ,— точки максимума; х = -^ - + лй, ft£Z,— о о точки минимума. С —31. Убывает на (— оо; 1) и н а |^ ^ I °°у . возрастает на 1 х = ~ ^ — точка максимума. С—32. 1. Возрастает на ( ~ " 001'[У > убывает на x — j 2 — точка максимума. С—33. Убывает на (— оо; — 1], возрастает на [— 1; оо); х = — 1 — точка максимума. С—34. 1. max/ = / ( l ) = l ; m in / = / ( — 1 ) = — 1. 2. 3 м2. R R X co s ^ 2 / + - ^ . Р е ш е н и е . Х (< )+ х2 (0= 3 ^cos 2/ + + c o s ^ 2 < + - = 6 cos ( 2/ + - ^ c o s ^ - . 2. ± 3-/3. С — 36. —Щ . 3. tg 7 5 ° = 2 + V 3 и cos 7 5 ° = ^ ~ л /2. С — 38. 1. а) | | ; б) у . 2. а) k e Z , к ф 7 п (где я £ 2 ). K Z ; б) - J + y ; Т + Т ;М+ Й ’ *€Z- 3- а) ( ~ т +2я*; Т +2я* ) ’ б) [ ~ Т + + 2я&; 2nftj ,j^^-)-2nfe; n + 2nfej , k £ Z . С—39. 1. a) (— 0 0 ; —8]U U[-4;4]U[8; 00); 6) (3; 4). 2. a) ( - 2 ; - 1)U(2; 00); 6) ( - 0 0 ; - 7 ) U ( - 4 ; - 2 ) . C—40. 1. a) — 4 — 4 — % J 6) -------- * — ; в) x2 sin x ; r) 66 (3x2— 2x) (x3— X X X x2 Ух2-)- 1 —x2)65.2. (— oo; 0)U(2; 00). С—41. 1. y = 1 и y = — 8x + 9. У к а з а н и е . За пишите уравнение касательной, проходящей через точку (хо; — Хо— 2хо). (Это уравнение имеет вид у+Хо+2хо = (—2хо — 2) (х—х0), т. е. у = ( — 2х0—2) х+х§.) После этого найдете х0 из условия у (1)= 1, откуда х0= — 1 или хо= 3. 2. а) 1,0004; 3 б) 0,5302. 3. — jg Н. С —42. 1. См. рис. 15. 2. Правильный. Вариант 10 тг ТГ 4ТТ. С— 1. 1. -£•; -£• ; 1L■; -Д.■. 2. а) — 144°; б) —4176°. 3. 40°; 65°; 115°; 140°; 2,4435. о о о Ь 2 4. 89°28/; 139°43'. С — 2. 2. а); б) Минус. 3. 1—sin а ; 1-1—- . С—3. 1. 1. 2. cos 2а. т/5 С -4 . 1. - - 1 . 2. - 1 ^ - 3 . - 2 sin22а. С -5 . 1. а) [1; 17)U(17; 00 ); б) [ о ; • 2. — 16; 9; 8; Зх2+ 5. С—7. 1. а) Убывает на ( — 0 0 ; y j , возрастает на ; оо^ ; б) убывает на (— 0 0 ; — 1] и на [1; оо), возрастает на [— 1; 1] 2. Например, 136
- 141. У 5 7 "_4Т -Т 2 Т Т О ~3 3 ' з "з Г / Г У Г У Г Т 2Т Т 4 7 5 7 3 5 5 5 Рис. 16 a) f[x) = 2x, g ( x ) = x ; б) f{ x ) = x g (x) = 2x в) / ( х ) = 2 х + х ; g (х)= 2х; г) f {х) = 2jc+ sinjc; g (x ) = 2x. С—8. 1. Рис. 16. 2. а) Зл; б) з. а) У к а з а - О н и е. Пусть 7 "> 0 — период функции. Тогда f(T )= f(0 ), поэтому Т имеет вид Т — л 2п2, где n £ N , f (2 T )= f (Т) = 0, поэтому 2Т имеет вид л 2*2, где * 6Л Но тогда 2л2п2= л 2*2, откуда ->j2— ~ , что противоречит иррациональности у/2. Другой способ рассуждений: период не меньше расстояния между двумя соседними нулями функции, а это расстояние (л2 (* + I)2— л 2*2= (2* + 1) л2) можно выбрать большим любого наперед заданного числа Г > 0 (взяв достаточно большое к ) ; б) у к а з а н и е . / (х) = 2 только при х = 0; это следует из иррациональности у/2. С—9. 2. [0; 8]. 3. Минус. С— 10. 2. У к а з а н и е , cossin l > c o s l> s in c o s 1 (подробнее см. ре шение вар. 9). 3. М ножество всех действительных чисел, кроме чисел вида * 6 Z. С— 11. 1. D (/) совпадает с D (tg); £ ( / ) = [ — 1;1]. 3. tg 12; tg 9; tg 6; tg 3. С— 12. 1. a) 0,28; б) 4 л — 10. 2. Р е ш е н и е . a r c c tg x = —— arctg х, поскольку 9906.ctg — arctg x^ = tg a r c tg x = x и 0 < -^ - — arctg x < n . 3. a) 0,7622; 6) 0; C -1 3 . a) ( - l ) ‘+ ' 4 + ^ , *gZ ; 6) - У + n k , ^ + лk, * 6 2 . У к а з а н и е . О 2 12 12 Уравнение приводится к виду tg З х = — 1, из множества решений которого (это 31 I пп п , яп множество чисел вида — ’ п ^ ' надо исключить числа вида ~ —-— , n £ Z , при которых не определен tg 2х, и проверить, что при полученных значениях 1 г; П 1 n k Я t Zlk ЗЛ , Jlk . _ _ определен tg 5х; в) g j + ^ g . k £ Z . С -1 4 , a) ; 2 8 + ~ 2 / ’ 6 ’ У К а ' з а н и е (см. указание к вар. 9); б) |^ - + я*; ^ + n*J , * 6 2 . С— 15. а) у + 2я*; . 5я , „ , , л , 2л* „ / я , л/г я , я* , ± -g - + 2n*, * €Z; б) 2л*; -g--|— g- . С— 17. ^ л я ; - ^ - + - < r + n n )> « 6 2 . С— 18. 1. а) 0; 0,5; б) не существует; в) ( — 1; 2,5) и точка 3. 2. 0,36. 7 1 С — 19. 1. а) — ; б) 10. 2. а) ; б) —42. С—20. 1. Первое больше в обоих слу чаях. 2. Зхо + 4*о — 5 + (Зхо + 2) Дх + Дх2; 3xo-f*4xo — 5. С—21. а) 2 х ; 1 1 5 ^ б) - Т - - а . С - 2 2 . 1. а ) - - ---- — + 1 0 U 100; б) 7,5л:у/х-3,5х*-фс. 2. 0. 4 х ^ х 2-yJx У к а з а н и е , f (х )= х 2х и / ' (0 )= lim ^ ^ — lim хх — 0. С—23. а) — 2 Jt-vO х х-*-0 и 1; ( —оо; —2) и (1; оо); (—2; 1); б) - З и —1; ( —3; —2) U(— 2; —1); ( —оо; — 3)U 137
- 142. U(— I; оо).С—24. 1. a) (--*/5; -2 ]U [2 ; у/5); б) [1; оо) и точка 0. 2. /„ (*) = j------ X — 1 при n — 3* — 2; U {x)— —^r~ при n = 3 k — 1; f„ (x )= x при n = 3 k , k £ N , D (/) = = ( — oo; 1)U(1; оо); О (Jn)— ( — оо; 0)U(0; 1)U(1; оо) при n ^ 2 . С—25. a) — 5 sin 5*; 6) — . ; в) —4x sin (4x2—6) cos2 (2x? — 3). C -2 6 . 1. При a > 2,25. 2. sin (2* -f-2) a) ( - o o ; - 2 ) U ( - V 2 ; - 0 , 5 ] u [ y ; V 2 )u (2 ; °o); 6) (2; 2.5)U(3; 4). C -2 7 . 1. (M 3) ‘ + T - - . C —28. 1. 0,9976. C—29. 1 .7 c; 23,5 — . 2. P e in e- 12 с и и e. s' (/)= — (21-1)' 16 F = moa- 16m0 (2/ —1)' = 2m 0s 3 (t). 3-V3 .C —30. 1. Возрастает на ^ — oo; ^ з ^ ~ ] и lla | * ~ • 00 ) ■убывает на • 2. х = я£, fcgZ,— точки минимума; х = - ^ - + л к , k £ Z ,— точки макси мума.С—31. Возрастает на ^ — ° ° ; — 4 и на ( — 2; оо), убывает на —4 - i - ; — 2 ^ ; х — — 4-^ точка максимума. С —32. 1. Возрастает на ^ - оо; — j , убывает на £ — ' ° ° ) ’ х ~ — ^ ~ точка максимума. 2 р — 2 ^3 _ 3 + 2V 3) ^ у (х) _ 2 [х— 1)2> 0 при х ф , поэтому / возрастает на ( — оо; 1], в частности, f ( x ) < f ( t) = - |- при х < 1 . С—33. Убывает на ( — оо; — 2) и на [2; оо), возрастает на ( — 2; 2]; х = 2 — точка максимума. С —34. 1. D (/) = = [ - 2 ; 1], ш ах / = / ( - 0 , 5 ) = 1,5; min / = / ( —2) = ' [-2: 1] [-2; 11 = f ( l ) = 0. 2. 40 см.У к а з а н и е . Обозначим боль шее основание через 2х. Тогда Л = У 2 02—(10— x f = = У 3 0 0 + 2 х -л г !; 5 (x)==2 f ± 2 2 A = (x + 10).y300 + 2 0 * - .S' (*) = 400 + 2* ,...? £ L и S '(^ ) = 0 при дсг= 20. Д алее, у з о о + 20* - + D (S) = [10; 30], S (20) = 300УЗ > S (10) = 400, S (30) = 0. Чя С—35. 1. 2 cos — cos о 2. 0. Решение. x(t) = 2 cos (51 + <р), при этом х(0) = 2, т. е. c o sq > = l. Д алее xf (t)= — 10 sin (5/+<р) и xf (0 )= — 10 sin <p=0. -|^ .3 .tg l5 ° = 2-y3; -cos.5° = - ^ ± ^ .C—36. 1. С —38. I. a> i g ; б) Y . 2. a) 2nk, AgZ; б) . як, k £ Z . 3. a) ( - i + 2nft; Y + 2 afe), k £ Z ; 6) | - + 2лй; y + + 2 n k , ] ^ + 2nk у + 2jia] , k £ Z . С —39. 1. a) [ - 6; -2 ]U U[2; 6i 6) ( - oo; 0)U(0; 3>U(5; oo). 2. a) ( - 2 ; 0)u[-|; 2) ; 138
- 143. Ч 4 Ч1 -4- Ч г 2 б) ( - 3 ; —2)U(— 1; оо)- С -4 0 . 1. а) - 4 + 4 - 4 ; б) г ‘; * - ■; в) *2Х х х х У х (1— х2)2 X cos х; г) 42(4х3— Зх2)(х, — х 3)4'. 2. [— 1; 0)U(0; 1]. С—41. 1. у = и i / = — 8х — 7. 2. а) 1,0016; б) 1,1047. С —42. 1. 3. У к а з а н и е . Функция f{x) = x 3— 9 * + 1 0 возрастает на промежутках ( — оо; — ^3], [УЗ; оо), убывает на промежутке [— [3^[3] (рис. 17), поэтому она имеет на каждом из этих промежутков не более одного корня. При этом корень существует на каждом из этих промежут ков, так как функция непрерывна и, например, / ( * ) < 0 при больших по модулю отрицательных х, a f ( —-у 3 )> 0 . 2. Правильный. П р о в е р о ч н ы е р а б о т ы П Р — 1. Вар. 1. 1. 0,6; — 0,8; sin я = 0; cos я = — I; sin (— 630°)= 1. 2. у см. з, ± у * . 4. 0. 6. Минус. 7. Например, /(х ) = х3. 8. 0,75. 9. 0. 10. 2. Вар. 2. 1. у ; у ; t g y = l ; c t g y = l ; ctg ( —450°) = 0; tg 5 4 0 ° = 0 . 2. 2,45 м2. 3. ± 4 - - 4. 5 sin a cos а (т. е. 2,5 sin 2а). 6. Плюс. 7. Например, / ( х ) = х 2. У3 ,—8. 2,7. 9. У0,1 . 10. 2 cos (р — a )c o s(P + a). П Р — 2. Вар. I. D (/) = (— оо; оо); Е (f) — (0; 1]. 2. Убывает на ( — оо; 1], возрастает на [1; оо). 4. Возрастает на ( — оо; оо), экстремумов нет. 5. sin 4; sin 6; sin 2. 6. а) ~ ; б) я. 7. а) 0; б) 1. 8. л; 9. а) 4 + 4 . &€Z; 3 о 1о 2 б) - 2 ± у + 4 л * , kez. ю . а) ( у + у ; т + т ) ’ ft€Z; б) _ т + 2л*> fefEZ 11. ( J ^ + nk + nri; —^ + л й — я n j ^ —- ^ + л £ + я л ; —^ + л£ — лл^ , £gZ , n(:Z. Вар. 2. 5. х = — -^r+ n k, k £ Z ,— точки максимума; x = ^ + nk, &6 Z ,— точ- 1и о ки минимума. 6. а) 4л; б) л. 7. — . 8. а) Д а; б) нет. 9. 4-{-( — 1)* . 4 Ь о A+Z; б) ± у + у . b t z . 10. а) ( _ у + 2лк; у + 2л* ) , *£Z ; б) ( - у + у ; у + у ] , 11- ( у + 2лк-, у -2 л й ) , *gZ. ПР — 3. Вар. I. 1. а) ( — oo;0,5]U [l; <»); б) (— 1,5; 1)U(2; 4). 2. 1/ = — 4х — 4. 3. 9х2— 9х; - 4 - sin 4 — 2 cos 2х. 4. а) (12/3—6#*)— ; (3612— 1 2 1 )4 . 5. З х + 2 ; , С С 2У х+ 1 2,75. 6. 2 2 , 0 3 . 7. Убывает на [0; 1], возрастает на [1; оо). 8. х — — точка 32 3 максимума; х ~ — точка минимума. 9. Возрастает на ( — оо; — 1] и на [1; оо), убывает на [— 1; 1]; х = — 1 — точка максимума; х = 1 — точка минимума. 10. min f = f (2) = 4; гтшх / = / (1 )= 5 . И . у " = — 3у. Вар. 2. 1. а) ( — оо; 0 ] ll[ y - ; ° ° ) ; б) ( оо; 3)(J( 1; 2)U(6; оо). 2. « /= 1 2 х -1 9 . 3. 5 х - 5 * 4; _ 2 + ^ — COS Z a . п X Sin2 у 1 о __ у 4. а) 8/3— 1; б) 63 р ад/с; со(1)= 0 при t — -^ -. 5 .-------- - ; 0. 6. 600х2 (2х3— 1)" 2 2 х 2 У х — 1 139
- 144. 7. Возрастает наR . 8. х = 0,25— точка максимума. 9. Возрастает на (— оо; —2] и на [0; оо), убывает на [—2; — 1) и на (— 1;0]. !0. а) 12+ 0; б) 6 + 6. 11. у = A cos (0,5х + ф). П р и м е р н ы е к о н т р о л ь н ы е р а б о т ы К— 1. В а р , 1. 1. а) —- у ; б) - Щ - в) 2. а) - 0 ,8 ; б) - Ц М . 4. т 2— 1; У2. В а р . 2. 1. а) — 0,5; б) - у ; в) — УЗ. 2. а) 4 ; б) -— 4. 1 - л 2; -л /2 . В а р . 3. 1. а) — Д б) в) Щ . 2. а) -0 ,6 ; б) - 7 . 4. р = - 2 , n €Z. В а р . 4 . 1. а ) ^ ; б) - 0 ,5 ; в) у . 2. а) -0 ,8 ; б) - 7 . 4. р = ^ "У3 = х + 2, х ф 2 , х ф - ^ п , n £ Z . К—2. В а р . 1. 1. [ - 2 ; 3)U(3; оо). 2.0,5. 5. [о; у ) ( j ( y ; у ) и ( у ; &]■ В а р . 2. 1. [- 0 ,5 ; 2)U(2; оо). 2. 1,5. 5.[ - 4 ; - я ) 1 1 ( - я ; 0).В а р . 3. 1. ( - оо; 0)U(0; 1]. 2 . ^ . В а р . 4. 1. ( - о о ; —3)U( —3; -1 ] . 2. -1 ,5 . я 2л К—3. В а р . 1 . 1. а) — —+ 2лл, n £ Z б) 2лл, ± у + 2 л л , n £ Z ; в) ял, — -7-+ ЛЯ, n£Z. 2. — ^- + 2 л л ^ х < 4 + 2ял, a£Z. 3. ( — ^- + 2лл; 4 —2ллУ о 6 6 4 4 / n£Z ; ^ —у + 2 л £ ; у — 2nk^ , k £ Z . 4. 2лл =£(х л + 2лл , a£ Z . Вар. 2. 1. а) л + + 2лл, n£ Z ; б) у + 2лл, (— 1)"+ | у + лл, a(EZ;в) у + лл, у + лл, n £ Z . 2. у + 2 л л ^ х ^ у + 2лл, ngZ. 3. + 2ял; у — 2лл^ , n£Z; ^ — у + 2лк у —2лk j , ftigZ. 4. у + 2лл < + < у + 2лл, п 6 Z. Вар. 3. 1. a) ( — l)" у + лл, л £Z; б) я + 2лл, ± у + 2лл, a£Z; в) —у + лл, arctg 3 + лл, agZ. 2. — ^ - + л л ^ х < < 4 г + я л > n£Z. 3. ( 4 л + 2лл; — л —2лл ), ngZ. 4. —4 + 2 я я ^ х ^ 4 г + 2 4 4 / 6 6 + 2яя, ngZ. Вар. 4. 1. а) ± у + 2лл, ngZ; б) —у + 2ля, (— 1 ) " у + ля, n£Z; тг я л / Зл в) у + л л , —arctg 2 + лл, ngZ. 2. — —+ ял < х г ^ у + лл, n£Z. 3. + + 2 ял; 4 + 2 ллУ n £ Z . 4. —^ + 2 я я < л : < ^ + 2яя, agZ. 4 / 3 3 6 3 К—4. В а р . 1 . 1. 1,56. 2. а) х2+ 2х + 2; б) —у — ^л/х; в) g ' (х)=4 cos х, g ' ( - y ) = - 2 ; г) А ' ( х ) = - £ - р ] , ; А' ( 1)= 8. 3. 2. 4. / ' ( * ) - - |х|. / ' ( 0) = 0. Вар. 2. 1. 1,12. 2. а) - 2 * 2+ 4 х - 1 ; б) - ) ^ + y V x ; в) g ’ (х)= = —3 sin х, g ' ( - ^ ) = l,5; г) А'(х) = - ^ 4 _ 5; Л '( 1 ) = - 7 . 3. 3. 4. /'(*) = = 4 |х|, Г(0) = 0. Вар. 3. 1. 5,25. 2. а) 2х2- 2 х - 7 ; б) - 4 r + - | j = : в) g ' (х)= хх З у х 140
- 145. - s h' « ' ( ~ т ) - 4; г) * 'и - 5 Т з ? ' 3- 4- «• гМ -л 5 = Т 4 3 4 / 2лЛ Вар. 4 1.2,78. 2. а) - * 2+ 8* + 2; б) в) * ' (*) = , г ' ( ~ т ) = = - 5 у ; г) Л 'W = - ( ^ j 5. Л '( 4 ) = - 1 3 . 3. 2. 4. * ( * ) = У ? + 2 . К—5. Вар. /. 1. (— с» ; — 3)U(3; 5). 2. 6 см/с. 3. - j - . 4. у = 2х. 5. ( — оо; — 1]; х = 1 . Вар. 2. 1. (— 5; — 2)U(2; оо). 2. 8 см/с. 3. - j - . 4. у — — 2 х — 2. 5. [0; 5]; х = — 5. Вар. 3. 1. ( — оо; — 1,5]U[1; 5). 2. 36 см /с2. 3. — . 4. у = 2 х — 4. Вар. 4. 1. [ — 3,5; 2]U(4; оо). 2. 36 см /с2. 3. у . 4. у = - 2 х - 4 . К—6. Вар. /. 1. Возрастает на ( — оо;0] и [2; оо); убывает на [0; 2]; х = 0 — точка максимума; х = 2 — точка минимума; f(0) — 4, / ( 2) = 0. 2. Слагаемые 8 и 4. 4. —6 ,3 < ! ф '( д :К — 2,3; ф '(л:)<;0 для любого действительного х. Вар. 2. 1. Убы вает на ( — оо; 0] и [2; оо); возрастает на[0; 2]; х = 0 — точка минимума; х — 2 — точка максимума, /( 0 ) = — 4, / ( 2) = 0. 2. Слагаемые 6 и 3. 3. х" = = —4лг. 4. 1,2sg;/' ( х ) ^ 5,2; f (х) > 0 для любого действительного х.Вар. 3. 1. Возрастает на (— о о ; —2] и [2; оо); убывает на [— 2; 2]; х — — 2 — точка максимума; х = 2 — точка минимума. / ( —2) = 2-^-, / ( 2 ) = — . 2. Слагаемые О о 6 и 2. 3. У ' = —4х. 4. Уравнение имеет один корень, если с > 2 ~ - или с < — 8-^-; о О два корня, если с — 2-^- или с = —8-^-; три корня, если — 8-^- < с С 2 -j-. Вар. 4. О о о о 1. Убывает на ( — оо; — 2] и [2; оо), возрастает на [—2; 2J, х — 2 — точка макси мума; х = —2 — точка минимума, / ( —2 )= — 2 -r-, f (2) = 8-5-. 2. Слагаемые 9 и 3. О О 3. Например, при А = 1, ф = 0, y = cos It. 4. Уравнение имеет один корень, если т > 8-^- или т < — 2-^-; два корня, если т = 8-^- или т — — 2-^-; три корня, если —2- ^ - < m < 8- i - . К—7. Вар. 1. 1. а) | + | л , « € 2 ; б) ~ + | я , n € Z. 2. - 2 . 3. а) - - £ • + + 2ля < х < - ^ - + 2 л п , ng Z ; б) ( — 00; 0]U[2; 4). 4. Возрастает на ( — оо;0] и [2; оо), убывает на [0; 2]; х — 0 — точка максимума; х = 2 — точка минимума, / (0 )= 1 -i-, f(2 )= 0 , 0 < f ( r ) < l - |- , если — l ^ x ^ 3 . 5. х2+ х + 1 > 0 для всех х, О О поэтому 4Х2— 9 < 0 , — 1 ,5 < л г< 1,5, c o s x > 0 . Вар. 2. 1. a) « 6 2 ; б) | + | n , ng Z . 2. 1. 3. а) -^- + 2 л п < х < ^ + 2лп, n £ Z б) ( — 1;0]U[4; 00). 4. Возрастает на (— оо;0] и [1; оо), убывает на [0; 1]; х = 0 — точка макси- 1 2 мума; х — 1 — точка минимума, f (0)= — 1— , / ( 1) = — !— , —3 < / ( х ) ^ 0 , если о О — 1 ^ х ^ 2 . 5. х 2—х + 1 > 0 для всех х, поэтому х 2— 3 х < 0 , 0 < х < 3 , s i n x > Q . Вар. 3. 1. а) ± ~ + лп, n £ Z б) —^ + «■ « 6 2 . 2. — I. 3. а) ^р + 2 я п ^ х < 5Я + 2лл, n g Z ; б) ( — 1;0)U(0; 1)U(3; оо). 4. Возрастает на (— оо;0] и [1; оо), 141
- 146. убывает на [0;1]; * = 0 — точка максимума; х = 1 — точка минимума, / ( 0 )= 5 , /(1 ) = 4. Корень уравнения — 1. 5. х2+ 1 > 0 для всех х, поэтому х —5х + 6 < 0 , 2 < х < 3 , 1 < -^ -< 1 ,5 , s in -^ -> 0 . Вар. 4. 1. а) ± - ^ - + л л , n £ Z б) n£ Z . 2. — 2,5. 3. а) ^ + 2лл + 2лп, n £ Z ; б) ( - оо; — 3)U(— 1; 0)(J U(0; 3). 4. Убывает на ( — оо; — 1] и [1; оо), возрастает на [ — 1; I]; х = — 1 — точка минимума; х = 1 — точка максимума, / ( — 1 )= 0 , /(1 ) = 4. Корни уравне ния — 1 и 2. 5. х* + 3 > 0 для всех х, поэтому х3 — 10х + 2 4 < 0 ; 4 < х < 6 ; 2 < - |- < 3 ; c o s -^ -< 0 . М а т е р и а л д л я и т о г о в о г о п о в т о р е н и я Вариант 1. 1. -^- + лл; + 2 л п , n £ Z . 2. —- ^ + cos 2х. 3. U ^ -^ -;3 j. 4. ( — оо; — 2)U[0; 3). 5. х = 0 — точка максимума, у ( 0) = 0; х = 2 — точка минимума, у ( 2 ) = — 4. Графики имеют три общие точки. Вариант 2. 1. —^ + 2 л л < х < - ^ + 2лл, n £ Z . 2. —-^--f sin 0,5х. 3. у = = Л cos (5/ + <р). Например, у = cos 51, у = 2 cos ^ 5 / + - ^ . 4. ( — оо; — 5)U(0; 3]. 5. max y = i/(3 )= 2 1 , min у = у { ) = . - и— oo;3)U (3; оо). 3. sin х. 4. Объединение трех прямых: у — 1, х = 6, х — — 3. 5. х = 0 и х — 2 — точки минимума, f( 0 ) = f( 2 ) = 0 ; х = t — точка максимума, / (1) ===4. Вариант 4. 1. — 2. 2. 120 см/с, 168 см /с2. 3. — cos х. 4. х = 0 и х = 4 — точки минимума, f(0) = f(4) = 0; х — 2 — точка максимума, / (2) = 4. 5. + + 2лл; — ^— 2л л ^ , n ^ Z . Вариант 5. 1. tg а. 2. — arctg 4 + лл, ~ + лп, n £ Z . 3. — 12. 4. (— 8; —3)U U(3; оо). 5. Возрастает на каждом из промежутков (— оо; — 1] и [1; оо), убы вает на [— 1; 1]; х = — 1 — точка максимума, / ( — 1)= 8; х = 1 — точка мини мума, / ( 1)= 0. Вариант 6. 1. 1. 2. у = 2х — 8. 3. ( — оо; — 1]U(2; 3]. 4. arctg 3 + лп, — ^- + + лл, n£ Z . 5. Возрастает на каждом из промежутков [— 1; 0] и [1; оо), убыва ет на каждом из промежутков ( — оо; — 1] и [0; !]; х = — 1 и х = I — точки ми нимума, / (— 1 )= /(1 1 = 2; х = 0 — точка максимума, / ( 0 )= 3 . 24 Вариант 7. 1. —— . 3. — 1. 4. а) ( — оо; 2)(J( — 2; 2)U(2; оо); б) возрастает на каждом из промежутков [1; 2) и (2; 4]. 5. Слагаемые 24; 12; 18. Вариант 8. 1. — I- Возрастает на каждом из промежутков ( — оо; — 1] и [1; <*)"■ убывает на [— 1; 1]. 3. ~ - - 2 л п , ( — 1)'1 + |-^- + л л , n£ Z . 5. Слагаемые 16, 16, 16. Ь Н fВариант 3. 1. 2. 2. Г 142
- 147. СОДЕРЖАНИЕ П р еди сл о ви е........................................................................................ 3 Самостоятельные р а б о т ы ............................................................. 5 Проверочные р а б о т ы ................................................. 100 Примерные контрольные р а б о т ы ................................................ 106 Материал для итогового п о в т о р е н и я ...........................................116 Материал для проведения программированного контроля 119 Ответы и у к а з а н и я ............................................................................123
- 148. Борис Михайлович Ивлев Самвел Манасович Саакян Семен Исаакович Ш в а р ц б у р д Д И Д А К ТИ Ч ЕС К И Е М АТЕРИАЛЫ ПО А Л ГЕБРЕ * И НАЧАЛАМ АН АЛИЗА для 9 класса Зав. редакцией Р . А . Х а б и б Редактор J I . Н . Б е л о н о в с к а я Младшие редакторы J I . И . З а с е д а т е л е в а , Л . Е . К о з ы р е в а Художники Б . J 1 . Н и к о л а е в , 3 . К . С м о л и н а Художественный редактор Е . Р . Д а ш у к Технические редакторы М . И . С м и р н о в а , Г . Е . П е т р о в с к а я Корректоры Я. В . К р а с и л ь н и к о в а , Е . В . М а м и т о в а И Б № 10279 Сдано в набор 26.02.87. Подписано к печати !4.08.87. Формат 60 X 90’/i6. Бум. типограф. № 2. Гарнитура литерат. Печать высокая. Уел. печ. л. 9. Уел. кр.-отт. 9,375. Уч.-изд. л. 6,12. Тираж 831 ООО экз. Заказ 68. Цена 15 коп. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполиграфпрома Государственного комитета РСФ СР по делам издательств, полиграфии й книжной торговли. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.
- 149. Г л ав а II «Производная и ее применения» Содержание учебного материала Пункты учебного пособия Номера соответ ствующих само стоятельных работ Приближенное вычисление значений функ ций (понятие предела функции в точке, прави ла вычисления пределов) 14 С — 18, С — 19 Приращение функции 15 С — 20 Понятие о производной. Касательная к графику функции. Определение производной. Примеры вычисления производной 16, 17 С — 21 П равила вычисления производных 18 С — 22, С — 23 П роизводная сложной функции 19 С — 24 Производные тригонометрических функций 20 С — 25 Метод интервалов 21 С — 26 Касательная к графику функции 22 С — 27 Формулы для приближенных вычислений 23 С — 28 П роизводная в физике и технике 24 С — 29 П ризнак возрастания (убывания) функции 25 С — 30 Критические точки функции, ее максимумы и минимумы 26 С — 31 Примеры применения производной к иссле дованию функций 27 С — 32, С — 33 Наибольшее и наименьшее значения функции 28 С — 34 Гармонические колебания 29 С — 35 Итоговое повторение курса алгебры и начал анализа С — 36 по С — 42