ds

2. Параллельный перенос:
Параллельным
переносом на вектор а
называют такое
отображение плоскости
на себя, при котором
каждая точка М
отображается в такую
точку М1 ,что вектор
ММ1 равен вектору а.
* Параллельный
перенос является
движением.

3. Параллельный перенос:
Передвинем систему координат XОY в плоскости так, чтобы оси OX и OY
оставались параллельны самим себе, а начало координат О сместилось в
точку О' ( a, b ). Получим новую систему координат X'O'Y' (рис. 1):
Координаты точки Р в
новой и старой системе
координат связаны
соотношениями:
Следствия:
1) При a=b=0 параллельный
перенос совпадает с
тождественным
преобразованием. Каждая точка
плоскости — неподвижная точка
преобразования.
2) Если a2 + b 2 > 0, то
параллельный перенос не имеет
неподвижных точек.

4. Задача
Координаты точки относительно некоторой системы
координат x = 2, y = -1. Чему будут равны координаты
этой точки, если сохраняя направления осей,
перенести начало координат в точку (7, -4).
Решение
x = 2, x0 = 7, y = -1, y0 = -4, получаем x1 = 2 - 7; y1 = -1 -
(-4), отсюда новые координаты точки x1 = -5; y1 = 3
Ответ: (-5,3)

5. В системе декартовых координат дана прямая р, определяемая
уравнением: 3х+2у-6=0. При параллельном переносе плоскости точка
А(-3,1) переходит в точку В с координатами (1,3). Найдите уравнение
прямой р1, являющейся образом прямой р при данном отображении.
Решение
Находим координаты вектора, на который перенесли плоскость:
Х=1-(-3)=4
У=3-1=2
Подставляем:
3(х-4)+2(у-2)-6=0
3х-12+2у-4-6=0
3х+2у-22=0
Значит, уравнение прямой р1: 3х+2у-22=0

6. Поворот плоскости вокруг начала координат:
 Поворотом плоскости вокруг точки О на угол Ф называется
отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М
отображается в такую точку М1, что ОМ=ОМ1 и угол МОМ1
равен Ф.
* Поворот является
движением.

7. Поворот вокруг начала координат:
Повернем систему координат ХОУ в плоскости на угол :
(рис.2)
Установим связь между
координатами Р в старой и
новой системах координат.

8. Как видно из рис. 13:

9. Доказательство:
Наша цель – установить формулы, выражающие Х1,
У1 через ХУ
Пусть Р некоторая точка плоскости, ОХ и ОУ старые, а ОХ1
и ОУ1 новые оси координат.
Обозначим угол поворота ф, ОР р угол ХОР а, а угол РОХ1
а1. a1
В старой системе координаты Р (Х, У), а в новой (Х1, У1). a
Очевидно, что а0=ф+а, тогда
x=р*cos(а0), y=p*sin(а0);
х1=p*cos(a), у1=p*sin(a);
Таким образом:
X=p*cos(а0)=p*cos(ф+а)=р*(cos(a)*cos(ф)-
sin(a)*sin(ф))=р*cos(a)*cos(ф)-р*sin(a)*sin(ф)=х1 (cos(ф)-у1
(sin(ф)
Y=p*sin(а0)=p*sin(ф+а)=р*(cos(a)*sin(ф)+sin(a)*cos(ф))=
Р*cos(a)*sin(ф)+р*sin(a)*cos(ф)=х1 (sin(ф)+у1 (cos(ф)

10. Задача
Какой вид примет уравнение равносторонней
гиперболы x2 - y2 = a2, если оси координат повернуть
на угол φ = -45°?
Решение.
Так как то
Подставляя эти значения x и y в уравнение гиперболы
x2 - y2 = a2, будем иметь
или

11. Задача:
Предположим, что осуществляется поворот осей координат на угол против часовой Решение. Любой вектор плоскости может быть выражен через координатные орты
стрелки относительно начала координат (см. рис. 14). Пусть и — старая и и . В частности, можно предположить, что:
новая системы координат. Требуется выразить новые координатные орты и через
орты и . = + ó ={ , } — в системе координат ;
= + ó ={ , } — в системе координат .
Поскольку = =1, имеем
= = , = = ,
= , = = ;
Т. е. в системе координат :
={ , }, ={ , }.
Отсюда
ó = .

12. Презентацию
породил
Гореликов Андрюша