This document discusses the continuity of pressure in quantum statistical mechanics. It proves that under certain conditions on the pairwise interaction potential, the pressure in the canonical ensemble is a continuous function that satisfies a Lipschitz condition. Specifically, it shows that if the interaction potential is twice continuously differentiable and satisfies an additional inequality, then:
1) The pressure exists for all specific volumes and temperatures.
2) In any closed region of the specific volume-temperature plane, the pressure satisfies a Lipschitz inequality, meaning the difference in pressure between any two points is bounded by a constant times the difference in specific volume.
3) Sufficient conditions are given for the interaction potential to satisfy the required inequality, such as
This document discusses the continuity of pressure in quantum statistical mechanics. It proves that under certain conditions on the pairwise interaction potential, the pressure in the canonical ensemble is a continuous function that satisfies a Lipschitz condition. Specifically, it shows that if the interaction potential is twice continuously differentiable and satisfies an additional inequality, then:
1) The pressure exists for all specific volumes and temperatures.
2) In any closed region of the specific volume-temperature plane, the pressure satisfies a Lipschitz inequality, meaning the difference in pressure between any two points is bounded by a constant times the difference in specific volume.
3) Sufficient conditions are given for the interaction potential to satisfy the required inequality, such as
Проведен анализ стандартов второго поколения с позиции определения места, роли и значения предмета информатика и информационных технологий для всег7о содержания образования в начальной школе.
Презентация выступления Г.Б. Клейнера на конференции памяти Б.Л. Овсиевича? СПбЭМИ, 21 октября 2013 г.
Продолжается развитие системного взгляда на экономику. Согласно этому взгляду, экономику делают не люди, не станки, не институты, не IT-технологии, а экономические системы. И если мы хотим управлять экономикой и вести ее в нужном направлении, то надо научиться управлять не трудом, не капиталом, а системами.
This document is an introduction to an English language textbook on international management practice for students studying global economics. It discusses the following:
- The textbook covers basic theoretical and practical issues of management, the activities of multinational corporations, human resource management, and staff motivation.
- Exercises and tests are designed to help students develop English language skills for professional use.
- The textbook is intended for teaching English to university students and graduates in global economics and other international specializations, as well as professionals who need knowledge of international company management basics.
- The goal is for students to gain professional competencies, including the ability to read, translate and analyze specialty literature in English and select useful information for their professional
This document provides an introduction to an English language textbook titled "Introduction to Accounting" which is intended to teach accounting terminology to Russian university students studying accounting and auditing.
The textbook contains 5 units that present original English language texts from accounting literature along with exercises using carefully selected terminology. The goal is to develop students' professional communication skills in English and improve their ability to quickly understand accounting texts.
Each unit contains main texts, additional readings, and exercises to practice vocabulary and develop language skills through accounting terms. Appendices provide tables of accounting term equivalents in different English varieties and lists of international accounting standards. The textbook is designed to facilitate independent and instructor-guided study of accounting in English.
1) The paper establishes a relationship between the maximal entropy and degree of coherence of radiation. Specifically, it shows that for stationary radiation fields that are coherent in the first order, the maximal entropy cannot exceed that of a partially coherent field with the same mean photon number.
2) As a radiation field approaches higher-order coherence, the maximal entropy never increases for fields described by a P representation density matrix.
3) For stationary radiation fields described by a diagonal density matrix, the maximal entropy is a monotonically increasing function of the second-order coherence and attains its minimum when second-order coherence is lowest, though not necessarily when it is equal to one.
This summary provides the key points from the document in 3 sentences:
1) The document studies representations of the algebra of observables where every vector functional can be approximated by finite linear combinations of pure states.
2) It proves that this assumption is equivalent to the algebra being the closure of vectors representing pure states, and establishes that superselection operators coincide with selfadjoint operators adjoining the center of the observable algebra.
3) Properties of coherent subspaces are also established, and it is shown that the spectrum of any superselection operator is discrete.
2. УДК 510.8
У76
У с о в а Э.А., К о т ю к о в В.И. Моделирование систем: Учеб.
пособие.— Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2008. — 124 с.
ISBN 5-93461-341-3
Рассматриваются вопросы математического моделирования стохасти-
ческих систем. Работа содержит следующие разделы: модели систем и их
классификация, формы и принципы построения математических моделей,
случайные события и случайные величины, их точечные и интервальные
оценки, статистическая проверка гипотез, корреляционный, дисперсион-
ный и регрессионный анализы, анализ зависимости между качественными
факторами, вероятностные основы теории информации, случайные процес-
сы и временные ряды, теория распознавания образов и теория массового
обслуживания, имитационное моделирование систем.
Рекомендовано студентам специальностей «Информационные системы
и технологии», «Прикладная информатика (в экономике)» и других
технических специальностей.
Утверждено редакционно-издательским советом универси-
тета в качестве учебного пособия.
О т в е т с т в е н н ы й р е д а к т о р
д-р техн. наук, проф. В.И. Хабаров
Р е ц е н з е н т ы:
кафедра «Программные системы и базы данных» Новоси-
бирского государственного технического университета (зав-
кафедрой А.А. Попов)
канд. техн. наук, доц. кафедры ППиМЭ П.П. Люмаров
Усова Э.А., Котюков В.И., 2008
Сибирский государственный университет
путей сообщения, 2008
ISBN 5-93461-341-3
3. 3
ВВЕДЕНИЕ
Моделирование широко используются в различных сфе-
рах человеческой деятельности, особенно в сферах проектиро-
вания и управления, где особенными являются процессы приня-
тия эффективных решений на основе получаемой информации.
Любой закон природы или общественного развития может
быть выражен в виде описания характера или структуры вза-
имосвязей, существующих между изучаемыми явлениями или
показателями.
Для использования ЭВМ при решении прикладной задачи
последняя прежде всего должна быть «переведена» на фор-
мальный математический язык, т.е. для реального объекта, про-
цесса или системы должна быть построена своя математичес-
кая модель.
Модель — образ реальной системы (объекта, процесса) в
материальной или теоретической форме. Этот образ отражает
существенные свойства объекта, он замещает реальный объект
в ходе исследования и управления. Моделирование основы-
вается на принципе аналогии, т.е. возможности изучения ре-
ального объекта (системы) не непосредственно, а опосредо-
ванно, через рассмотрение подобного ему и более доступного
объекта (модели).
Целью моделирования является получение, обработка, пред-
ставление и использование информации об объектах, которые
взаимодействуют между собой и внешней средой; модель здесь
выступает как средство познания свойств и закономерностей
4. 4
поведения объекта. Суть компьютерного моделирования со-
стоит в следующем: на основе математической модели с помо-
щью ЭВМ проводится серия вычислительных экспериментов,
т.е. исследуются свойства объектов или процессов, находятся
их оптимальные параметры и режимы работы, уточняется мо-
дель. Например, располагая уравнением, описывающим проте-
кание того или иного процесса, можно, изменяя его коэффици-
енты, начальные и граничные условия, исследовать, как при
этом будет вести себя объект.
В аналитических моделях поведение реальных процессов и
систем задается в виде явных функциональных зависимостей.
Когда явления сложны и многообразны, исследователю прихо-
дится идти на упрощенные представления сложных систем. В
результате аналитическая модель становится слишком грубым
приближением к действительности. Если все же для сложных
систем удается получить аналитические модели, то зачастую
они превращаются в трудно разрешимую проблему. Поэтому
исследователь часто вынужден использовать имитационное мо-
делирование.
Имитационное моделирование представляет собой числен-
ный метод проведения на ЭВМ вычислительных эксперимен-
тов с математическими моделями, имитирующими поведение
реальных объектов, процессов и систем во времени в течение
заданного периода. При этом функционирование системы раз-
бивается на элементарные явления, подсистемы и модули.
Функционирование этих элементарных явлений, подсистем и
модулей описывается набором алгоритмов, которые имитиру-
ют элементарные явления с сохранением их логической струк-
туры и последовательности протекания во времени.
Данное учебное пособие посвящено математическому моде-
лированию стохастических процессов, в нем рассматривается
исследование реальных процессов и систем с помощью двух
типов математических моделей: аналитических и имитацион-
ных.
5. 5
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
Модель всегда строится с определенной целью, которая вли-
яет на то, какие свойства объективного явления окажутся су-
щественными, а какие — нет. Модель представляет собой как
бы проекцию объективной реальности под определенным уг-
лом зрения. Иногда, в зависимости от целей, можно получить
ряд проекций объективной реальности, вступающих в проти-
воречие. Это характерно, как правило, для сложных систем, у
которых каждая проекция выделяет существенное для опре-
деленной цели из множества несущественного.
В основе теории моделирования лежит теория подобия. При
моделировании абсолютное подобие не имеет места и лишь
стремится к тому, чтобы модель достаточно хорошо отобража-
ла исследуемую сторону функционирования объекта. Абсо-
лютное подобие может иметь место лишь при замене одного
объекта другим, точно таким же.
Важнейшим понятием моделирования является понятие
адекватности модели или соответствия модели реальному объек-
ту. При проверке модели на адекватность выделяют два ас-
пекта, а именно: верификация модели (проверка правильнос-
ти структуры модели) и валидация модели (проверка соответ-
ствия данных моделирования реальному процессу).
Модели можно разделить на:
— вещественные;
— идеальные.
В свою очередь, вещественные модели можно разделить на:
— натурные;
— физические;
— математические.
Идеальные модели можно разделить на:
— наглядные;
— знаковые;
— математические.
Вещественные натурные модели — это реальные объекты,
процессы и системы, над которыми выполняются эксперимен-
ты научные, технические и производственные.
6. 6
Вещественные физические модели — это макеты, муляжи,
воспроизводящие физические свойства оригиналов (кинема-
тические, динамические, гидравлические, тепловые, электричес-
кие, световые модели).
Вещественные математические — это аналоговые, структур-
ные, геометрические, графические, цифровые и кибернетичес-
кие модели.
Идеальные наглядные модели — это схемы, карты, чертежи,
графики, графы, аналоги, структурные и геометрические модели.
Идеальные знаковые модели — это символы, алфавит, язы-
ки программирования, упорядоченная запись, топологическая
запись, сетевое представление.
Идеальные математические модели — это аналитические,
функциональные, имитационные, комбинированные модели.
В приведенной классификации некоторые модели имеют
двойное толкование (например, аналоговые). Все модели, кро-
ме натурных, можно объединить в один класс мысленных мо-
делей, так как они являются продуктом абстрактного мышле-
ния человека.
Остановимся на одном из наиболее универсальных видов
моделирования — математическом. Математическое модели-
рование ставит в соответствие изучаемому физическому про-
цессу систему математических соотношений, решение которой
позволяет получить ответ на вопрос о поведении объекта без
создания физической модели, которая часто оказывается до-
рогостоящей и неэффективной.
Математическое моделирование — это средство изучения
реального объекта, процесса или системы путем их замены ма-
тематической моделью, более удобной для экспериментально-
го исследования с помощью ЭВМ.
Математическая модель является приближенным представ-
лением реальных объектов, процессов или систем, выражен-
ным в математических терминах и сохраняющим существен-
ные черты оригинала.
Построение математической модели заключается в опреде-
лении связей между теми или иными процессами и явлениями,
создании математического аппарата, позволяющего выразить
количественно и качественно связь между теми или иными
7. 7
процессами и явлениями, между интересующими специалиста
физическими величинами и факторами, влияющими на конеч-
ный результат.
Обычно их оказывается настолько много, что ввести в мо-
дель всю их совокупность не удается. При построении мате-
матической модели перед исследованием возникает задача
выявить и исключить из рассмотрения факторы, несуществен-
но влияющие на конечный результат (математическая модель
обычно включает значительно меньшее число факторов, чем в
реальной действительности). На основе данных эксперимента
выдвигаются гипотезы о связи между величинами, выражаю-
щими конечный результат, и факторами, введенными в матема-
тическую модель.
Конечной целью этого этапа является формулирование ма-
тематической задачи, решение которой с необходимой точнос-
тью выражает результаты, интересующие специалиста.
Форма и принципы представления математической модели
зависят от многих факторов.
По принципам построения математические модели разде-
ляют на:
— аналитические;
— имитационные.
В аналитических моделях процессы функционирования ре-
альных объектов, процессов или систем записываются в виде
явных функциональных зависимостей.
Аналитическая модель разделяется на типы в зависимости
от математической проблемы:
— уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифферен-
циальные, интегральные);
— аппроксимационные задачи (интерполяция, экстраполя-
ция, численное интегрирование и дифференцирование);
— задачи оптимизации;
— стохастические проблемы.
Однако по мере усложнения объекта моделирования пост-
роение аналитической модели превращается в трудноразре-
шимую проблему. Тогда исследователь вынужден использо-
вать имитационное моделирование.
8. 8
В имитационном моделировании функционирование объек-
тов, процессов или систем описывается набором алгоритмов.
Алгоритмы имитируют реальные элементарные явления, со-
ставляющие процесс или систему с сохранением их логичес-
кой структуры и последовательности протекания во времени.
Имитационное моделирование позволяет по исходным дан-
ным получить сведения о состояниях процесса или системы в
определенные моменты времени, однако прогнозирование по-
ведения объектов, процессов или систем здесь затруднитель-
но. Можно сказать, что имитационные модели — это проводи-
мые на ЭВМ вычислительные эксперименты с математически-
ми моделями, имитирующими поведение реальных объектов,
процессов или систем.
В зависимости от характера исследуемых реальных про-
цессов и систем математические модели могут быть:
— детерминированные;
— стохастические.
В детерминированных моделях предполагается отсутствие
всяких случайных воздействий, элементы модели (переменные,
математические связи) достаточно точно установленные, пове-
дение системы можно точно определить. При построении де-
терминированных моделей чаще всего используются алгебра-
ические уравнения, интегральные уравнения, матричная алгеб-
ра. Данные модели рассматриваются в классических курсах:
«Численные методы», «Исследование операций и методы оп-
тимизаций».
Стохастическая модель учитывает случайный характер
процессов в исследуемых объектах и системах, который опи-
сывается методами теории вероятности и математической ста-
тистики. Данные модели рассматриваются в курсах: «Мате-
матическая статистика», «Теория принятия решения», «Сис-
темный анализ», «Моделирование систем», «Имитационное
моделирование экономических систем», «Эконометрика».
По виду входной информации модели разделяются на:
— непрерывные;
— дискретные.
Если информация и параметры являются непрерывными, а
математические связи устойчивы, то модель — непрерывная.
9. 9
И наоборот, если информация и параметры дискретны, а связи
неустойчивы, то и математическая модель — дискретная.
По поведению во времени модели разделяются на:
— статические;
— динамические.
Статические модели описывают поведение объекта, процес-
са или системы в какой-либо момент времени. Динамические
модели отражают поведение объекта, процесса или системы во
времени.
По степени соответствия математической модели реально-
му объекту, процессу или системе математические модели раз-
деляют на:
— изоморфные (одинаковые по форме);
— гомоморфные (разные по форме).
Модель называется изоморфной, если между нею и реаль-
ным объектом, процессом или системой существует полное
поэлементное соответствие. Гомоморфной — если существует
соответствие лишь между наиболее значительными составны-
ми частями объекта и модели.
Можно привести другую классификацию математических
моделей:
— по целевому назначению: теоретико-аналитические и при-
кладные модели;
— по степени связи с окружающей средой: открытые, от-
носительно обособленные, закрытие и изолированные;
— по специфике содержания: социальные, экономические,
технические, технологические, информационные и пр.;
— по степени агрегированности объектов моделирования:
макроэкономические и микроэкономические модели;
— по конкретному предназначению: балансовые модели (вы-
ражают требования соответствия наличия ресурсов и их ис-
пользования); трендовые модели (выражают развитие моде-
лируемой экономической системы через тренд ее основных
показателей); оптимизационные модели (предназначены для
выбора наилучшего варианта из определенного числа вариан-
тов решений);
— имитационные модели (изучают экономические явления
с помощью машинных экспериментов);
10. 10
— по типу информации: аналитические (построенные на
априорной информации) и идентифицируемые модели (пост-
роенные на апостериорной информации);
— по учету фактора времени: статические (все зависимос-
ти отнесены к одному моменту времени) и динамические моде-
ли (описывают эволюцию процесса во времени);
— по фактору определенности: детерминированные и ве-
роятностные модели (стохастические);
— по типу математического аппарата, положенного в осно-
ву модели: матричные модели; модели линейного и нелиней-
ного программирования; регрессионные модели; модели тео-
рии игр; модели теории графов; сетевые модели; модели мас-
сового обслуживания; модели управления запасами.
Рассмотрим в качестве примера экономическую систему.
Экономические системы — искусственные; материальные; от-
крытые; динамические; стохастические. На различных уров-
нях это суперсистемы, большие системы, подсистемы или их
объекты. Искусственность экономических систем означает, что
они созданы трудом человека, даже если максимально исполь-
зуют природный ресурс. Искусственность предполагает так-
же большую степень возможного разнообразия систем, что и
обусловливает многообразие экономик. Материальный харак-
тер экономических систем означает не только объективность
их существования, но и тот или иной уровень материальных и
финансовых затрат. Для информационных подсистем эконо-
мики, например, необходимы значительные затраты на покупку
компьютерной техники и технологии. Экономические системы
являются системами открытого типа, так как покупка или про-
дажа товара связана с открытостью рынка, открытостью дея-
тельности фирмы. Однако при этом любая фирма борется с
промышленным шпионажем, тщательно оберегает коммерчес-
кие и производственные секреты. Экономические системы яв-
ляются системами динамического типа, они подвержены старе-
нию, развитию, движению, прогрессу и регрессу, делению и сли-
янию и т. д. В любой динамической системе протекают те или
иные процессы. Если эти процессы не совершенствовать, то
система деградирует, а если их не поддерживать, то система
прекратит свое существование. Желательно все процессы сис-
11. 11
темы прогнозировать, предвидеть, влиять на их развитие. Эко-
номические системы характеризуются вероятностью структу-
ры, функций, целей, задач, ресурсов и т. д. Это значительно
повышает роль индивидуальных, творческих начал в управле-
нии системами, роль учета тех факторов, которые делают пове-
дение фирмы более предсказуемым.
Для построения математической модели сложных систем
необходимо:
— тщательно проанализировать реальный объект, процесс
или систему;
— выделить его наиболее существенные черты и свойства;
— определить переменные, т.е. параметры, значения кото-
рых влияют на основные черты и свойства объекта;
— описать зависимость основных свойств объекта, процес-
са или системы от значения переменных с помощью логико-
математических соотношений (уравнения, равенства, неравен-
ства, логико-математические конструкции);
— выделить внутренние связи объекта, процесса или систе-
мы с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств,
логико-математических конструкций;
— определить внешние связи и описать их с помощью ог-
раничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математи-
ческих конструкций.
Математическое моделирование, кроме исследования объекта,
процесса или системы и составления их математического опи-
сания, также включает:
— построение алгоритма, моделирующего поведение объек-
та, процесса или системы;
— проверку адекватности модели и объекта, процесса или
системы на основе вычислительного и натурного эксперимента;
— корректировку модели;
— использование модели.
Математическое описание исследуемых процессов и систем
зависит от:
— природы реального процесса или системы и составляется
на основе законов физики, химии, механики, термодинамики,
гидродинамики, электротехники, теории пластичности, теории
упругости и т. д.
12. 12
— требуемой достоверности и точности изучения и иссле-
дования реальных процессов и систем.
Предварительный, системный анализ исследуемой системы
позволяет описать ее структуру и функционирование на язы-
ке ряда факторов (показателей, переменных). Среди этих
факторов следует выделить совокупность «входных» показа-
телей Х = {x1
, …, xm
}, определяющих условия функционирова-
ния объекта и его внутреннее строение, и совокупность «вы-
ходных» (результирующих) показателей Y = {y1
, …, yk
}, харак-
теризующих результаты функционирования объекта (объек-
тов), а также скрытые (не поддающиеся непосредственному из-
мерению) случайные «остаточные» компоненты = {1
, …, r
}.
Изучаемая система представлена на рис. 1.
Рис. 1. Изучаемая система
Тогда задача статистического исследования зависимостей
может быть сформулирована следующим образом: по резуль-
татам n измерений {Xi
, Yi
} = (x1i
, x2i
, …, xmi
, y1i
, y2i
, …, yki
),
ni ,1 , исследуемых переменных построить функцию (модель)
g = (x1
, …, xm
), которая позволит наилучшим (в определенном
смысле) образом восстанавливать значения результирующих
(прогнозируемых) переменных Y*
по заданным значениям
входных переменных Х. Через Yi
*
будем обозначать не «ис-
тинные», а определяемые по модели g() значения фактора Yi
,
что отражает условный характер любой математической модели.
Построение стохастической математической модели объек-
та (системы) может быть осуществлено различными способа-
ми. Среди них можно выделить следующие:
— естественно-научный (феноменологический) подход;
13. 13
— подход, основанный на анализе данных.
Первый подход является традиционным путем развития
соответствующей науки, путем «открытия законов природы».
Этот подход трудно формализуем и сугубо индивидуален от-
носительно исследователя и области знаний.
Второй подход основан на предварительном получении
выборочных данных относительно значений факторов {X,Y},
характеризующих различные состояния объекта. На последу-
ющем этапе данные обрабатываются с целью непосредствен-
ного построения математической модели объекта. Часто оба
подхода дополняют друг друга в общем процессе математи-
ческого моделирования.
На этапе выбора математической модели устанавливаются:
линейность и нелинейность объекта, процесса или системы,
динамичность или статичность, стационарность или нестацио-
нарность, а также степень детерминированности исследуемого
объекта или процесса. При математическом моделировании
сознательно отвлекаются от конкретной физической природы
объектов, процессов или систем и сосредотачиваются в основ-
ном на изучении количественных или качественных зависи-
мостей между величинами, описывающими эти процессы. Изу-
чение данных зависимостей необходимо проводить, используя
качественные или количественные шкалы.
1. Качественная шкала.
Номинальная (классификационная) шкала. Используется
только для того, чтобы отнести объект к определенному клас-
су. Например: цвет — красный, синий.
Порядковая шкала. Это номинальная шкала, в которой вве-
дена степень выраженности данного свойства, т. е. упорядочи-
вает классы. Например: список лиц в алфавитном порядке.
2. Количественная шкала.
Интервальная шкала. Шкала, в которой можно отразить, на
сколько по степени выраженности заданного свойства один
объект отличается от другого. Для этого задают начальную
точку отсчета и единицу измерения. Например: температур-
ная шкала, где 0° — начальная точка, 1°— единица измерения.
14. 14
Шкала отношений. Шкалы, в которых обычно не вводят
начальную точку, но есть единица измерения. Например, вре-
менная шкала.
На количественных шкалах можно ввести арифметические
преобразования и операции отношения.
Факторы (переменные) могут быть различных размерностей:
1. Скаляр. Конкретное значение Х = х.
2. Вектор. Например: фактор вес х = (2, 3, 0), где 2, 3, 0 —
реализации; х = (х1
, х2
, х3
).
3. Матрица и т.д.
Контрольные вопросы к разделу 1
1. Понятие модели. Цели моделирования.
2. Адекватности модели. Критерии адекватности модели.
3. Классификация моделей.
4. Какой тип модели учитывает случайный характер про-
цессов?
5. Этапы построения математической модели.
6. Подходы к построению стохастической математической
модели.
7. Понятие качественной и количественной шкал.
2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ, СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
На практике человек часто сталкивается со случайными
явлениями.
Случайным называют событие, которое при осуществлении
совокупности условий S может либо произойти, либо не про-
изойти. Заранее предсказать, произойдет единичное событие
или нет, нельзя.
Однако достаточно большое число случайных событий, ко-
торые многократно наблюдаются при осуществлении одних и
тех же условий, подчиняются определенным закономерностям.
Установлением этих закономерностей и занимается теория
вероятностей. Знание этих закономерностей позволяет пред-
видеть, как эти события будут протекать.
Система понятий, приемов и математических методов, пред-
назначенных для сбора, систематизации, интерпретации и об-
работки статистических данных с целью получения научных
15. 15
и практических выводов — это задачи математической стати-
стики.
2.1. Случайные величины
Случайные величины делятся на:
— дискретные;
— непрерывные.
Дискретной случайной величиной называется случайная
величина, которая может принять одно из конечного или счет-
ного множества возможных значений с определенной вероят-
ностью. Множество же возможных значений непрерывных
случайных величин несчетно (например, одно из значений из
некоторого конечного или бесконечного промежутка).
Вероятностный характер распределения значений случай-
ных величин задается с помощью закона распределения.
Дискретную случайную величину можно задать:
1. Табличным способом — соответствием между возмож-
ными значениями и их вероятностями (табл. 1).
Таблица 1
Табличный способ задания дискретной случайной величины
Случайная величина может принять n значений: x1
, … , xn
,
причем выполняется условие .1
1
n
i
ip
2. С помощью многоугольника распределения (рис. 2).
Х x1 … xn
Р p1 … pn
Рис. 2. Многоугольник распределения
16. 16
3. С помощью закона распределения (функции распреде-
ления).
Непрерывную случайную величину обычно задают с помо-
щью функции распределения или с помощью функции плот-
ности распределения.
Функция распределения (закон распределения) F(x) —
это вероятность того, что случайная величина X примет значе-
ние меньшее, чем x, т. е. F(x) = P(X < x), X R.
Геометрически функцию распределения можно интерпре-
тировать так: F(x) — это вероятность того, что случайная ве-
личина примет значение, которое изображается на числовой
оси лучом, лежащим левее точки х (рис. 3).
Свойства функции распределения:
1. F(–) = 0; F(+) = 1, т.е. 0 F(x) 1.
2. x1
< x2
, F(x1
) F(x2
), т.е. функция распределения —
неубывающая функция.
3. )()(lim 0
00
xFxF
xx
, т.е. функция распределения — не-
прерывная слева функция.
Если F(x) — непрерывна, то можно определить функцию
плотности распределения: ),(
)(
)( xF
dx
xdF
xf
.
)()(
lim)(
0 x
xFxxF
xf
x
Зная функцию плотности распределения, можно найти фун-
кцию распределения: .)()(
x
duufxF
Рис. 3. Геометрическая интерпретация функции распределения
17. 17
Функция плотности распределения вероятности определя-
ет плотность вероятности в этой точке. Геометрическая интер-
претация связи функции плотности вероятности и функции
распределения приведена на рис. 4.
Рис. 4. Геометрическая интерпретация связи функции плотности
вероятности и функции распределения
Рис. 5. Геометрическая интерпретация вероятности попадания в интервал
Свойства функции плотности распределения:
1. f(x) 0;
2. .1)(
dxxf
Вероятность попадания случайной величины в интервал
(a, b] можно вычислить по формуле
).()()()( aFbFdxxfbxaP
b
a
Геометрическая интерпретация вероятности попадания в
интервал (a, b] — это площадь криволинейной трапеции, огра-
ниченной функцией плотности распределения в заданном ин-
тервале (рис. 5).
X
X
18. 18
Закон распределения двухмерной дискретной случайной
величины можно задать матрицей (табл. 2).
Таблица 2
Закон распределения двухмерной случайной величины
Причем имеет место
n
i
m
j
ijp
1 1
.1 Если X и Y независимы,
то pij
= pi
pj
.
2.2. Основные числовые характеристики
Функция распределения или плотность распределения яв-
ляются полной, исчерпывающей характеристикой случайной
величины. Однако наиболее существенные особенности зако-
на распределения можно выразить при помощи числовых ха-
рактеристик.
1. Математическое ожидание для дискретной случайной
величины вычисляется по формуле ,)(
1
n
i
iipxXM а для
непрерывной случайной величины — .)()(
dxxxfXM
Математическое ожидание уже не является случайной вели-
чиной.
Отметим свойства математического ожидания: M(C) = 0,
где C = const; M(CX) = CM(X); M(X+Y) = M(X) + M(Y);
M(XY) = M(X)M(Y), X и Y независимы.
Проинтерпретировать математическое ожидание можно сле-
дующим образом: математическое ожидание M(X) — как
центр масс стержня, где xi
— расстояние i-го кусочка стержня
от центра масс, а pi
— вес этого кусочка стержня.
Y
X
y1 y2 … ym
x1 p11 p12 … p1m
x2 p21 p22 … p2m
… … … … …
xn pn1 pn2 … pnm
19. 19
2. Дисперсия определяет среднеожидаемый квадрат раз-
броса значений случайной величины X относительно матема-
тического ожидания M(X). Дисперсию можно вычислить по
формуле D(X) = M[(X – M(X))2
] = M(X2
) – [M(X)]2
.
Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по
формуле ,)()(
1
22
1
22
n
i
ii
n
i
ii pxpxXD а для не-
прерывной случайной величины —
.)()()()( 2222
dxxfxdxxfxXD
Свойства дисперсии: D(C) = 0; D(CX) = C2
D(X); D(X+Y)=
= D(X) + D(Y), если X иY независимы; D(C+X) = D(X);
D(X+Y) = D(X)+D(Y), если X иY независимы.
3. Среднеквадратическое отклонение вычисляется по фор-
муле .)(XD
Имеет место равенство ,)()()( YDXDYX если X и
Y независимы.
Дисперсия D(Х) и среднеквадратичное отклонение ха-
рактеризуют степень рассеивания случайной величины отно-
сительно ее математического ожидания. Чем меньше D(Х),
тем меньше степень рассеивания случайной величины. Это ут-
верждение наглядно представлено на рис. 6.
Рис. 6. Рассеивание данных с различными значениями
среднеквадратичных отклонений
x
f(x)
M(x)
Примечание. Глядя лишь на одно значение дисперсии, нельзя сказать,
большое рассеивание данных относительно математического ожидания или
нет. Ведь при вычислении значения дисперсии большое значение имеет,
например, масштабирование данного фактора (можно измерять в тоннах
или граммах), значение математического ожидания, минимальное и макси-
мальное значения, которые может принимать фактор.
20. 20
4. Мода — значение случайной величины Х, при котором
достигается локальный максимум функции плотности распре-
деления f(x). Иными словами, мода определяет наиболее ве-
роятное значение случайной величины. Разные распределения
могут иметь различное число локальных максимумов (рис. 7).
Рис. 7. Одномодальное и бимодальное распределения
5. Медиана для дискретной случайной величины — это зна-
чение фактора, которое делит ранжированный ряд наблюде-
ний на две равные по объему группы. Ранжированный — зна-
чит упорядоченный, т.е. x1
< x2
< ... < xn
. Иными словами,
медиана делит выборку на две равные по объему части.
Для непрерывной случайной величины понятие медианы мож-
но ввести следующим образом: ,
2
1
)()(
med
med
x
x
dxxfdxxf что
графически представлено на рис. 8.
а)
б)
Рис. 8. Геометрическая интерпретация медианы для непрерывной
случайной величины
21. 21
Можно ввести универсальное определение медианы.
Медиана xmed
— это такое значение случайной величины Х,
что F(xmed
) = P(X < xmed
) = P(X > xmed
) =
2
1
. То есть вероят-
ность того, что случайная величина X примет значение мень-
ше, чем xmed
, равна
2
1
(рис. 9).
Рис. 9. Универсальное определение медианы
Рис. 10. Виды функций плотности распределений с различными
значениями асимметрии
6. Асимметрия (асимметричность) — характеристика сим-
метричности функции плотности распределения (многоуголь-
ное распределение) относительно моды. Для дискретной слу-
чайной величины асимметрия вычисляется по формуле
,/)( 33
i
n
i
is pxA а для непрерывной —
33
/)()(
dxxfxAs (рис. 10). Асимметрия нормаль-
но распределенной случайной величины считается равной нулю.
У нормально распределенной случайной величины (НРСВ)
функция плотности распределения описывается формулой
.
2
1
)(
2
2
2
)(
x
exf
X
22. 22
7. Эксцесс — характеристика островершинности кривой
функции плотности распределения по сравнению с нормально
распределенной случайной величиной с такими же значениями
математического ожидания М(X) и дисперсии D(X) (рис. 11).
Для дискретной случайной величины эксцесс вычисляется по
формуле ,3/)( 4
1
4
i
n
i
ik pxE а для непрерывной —
.3/)()( 44
dxxfxEk
Рис. 11. Виды функций плотности распределений с различными
значениями эксцесса
Примечание. По значению эксцесса можно судить о разбросе данных
относительно математического ожидания. Если эксцесс положительный, то
разброс данных меньше, чем у НРСВ; если отрицательный, то больше, чем у
НРСВ (см. свойства функции плотности распределения).
8. Квантиль q
— это такое значение случайной величины
Х, при котором функция распределения принимает значение,
равное . F(q) = (рис. 12).
Рис. 12. Геометрическая интерпретация квантиля
X
23. 23
Вводят специальные значения квантиля: q0,25
— нижний
квартиль (от слова кварта — четверть); q0,75
— верхний квар-
тиль; q0,5
— медиана.
2.3. Некоторые специальные законы распределения
2.3.1. Биномиальное распределение
Рассмотрим частный случай распределения дискретной слу-
чайной величины. Пусть производится n независимых испы-
таний. В каждом из них может произойти с вероятностью p
событие A и не произойти с вероятностью q = 1 – p.
Пусть X дискретная случайная величина, равная числу
появления события A. Величина X может иметь такие значе-
ния: x = 0; x = 1; …; x = n.
Формула Бернулли позволяет найти вероятность появле-
ния события A в n испытаниях ровно k раз по формуле Pk
(k)=
= Cn
m
pk
(1 – p)n–k
, где .
)!(!
!
knk
n
Cm
n
Закон распределения, определяемый формулой Бернулли,
называется биномиальным.
Приближенное значение Pn
(k) при больших n и малых p
можно аппроксимировать формулой Пуассона ,
!
)(
k
e
kP
k
n
где = n p.
Для закона Бернулли математическое ожидание и диспер-
сия случайной величины X = k можно вычислить по форму-
лам M(X) = np и D(X) = npq соответственно.
Рассмотрим двухточечное распределение для одного испы-
тания случайной величины. Пусть x = 0, если событие A не
наступило; x = 1, если наступило. Вероятности данных собы-
тий равны соответственно P(x = 0) = 1 – p и P(x = 1) = p.
Математическое ожидание в этом случае равно M(X) =
= 0(1 – p) + 1p = p, а дисперсия вычисляется по формуле
D(X) = p – p2
= p.
24. 24
2.3.2. Геометрическое распределение
Схема здесь такая же, что и у биномиального распределе-
ния. Испытания заканчиваются, когда событие A произойдет.
Пусть x — число испытаний до первого появления события
A. Тогда вероятность, что число испытаний равняется k, можно
вычислить по формуле P(x = k) = qk – 1
p; x < . Математичес-
кое ожидание и дисперсия равны соответственно ;
1
)(
p
XM
.
1
)( 2
p
p
XD
2.3.3. Распределение Пуассона
Здесь схема испытаний, как и у биномиального закона. Толь-
ко пусть при числе испытаний n имеем = np = const, т.е.
имеет место массовые испытания редких событий.
Вероятность того, что событие A в n испытаниях появится
ровно k раз, вычисляется по формуле .
!
)(
k
e
kP
k
n
Эта ве-
роятность зависит только от .
Математическое ожидание и дисперсия равны соответственно
M(X) = ; D(X) = .
2.3.4. Равномерное распределение
Равномерное (прямоугольное) распределение можно задать
функцией плотности распределения
ab
xf
1
)( при a < x < b
(рис. 13) или функцией распределения
ab
ax
xF
)( (рис.
14). У равномерно распределенной случайной величины
;
2
)( medx
ba
XM
.
)(
)(
2
ab
ab
XD
25. 25
2.3.5. Нормальное распределение
Функция плотности нормального распределения описыва-
ется формулой
2
2
2
)(
2
1
)(
x
exf (рис. 15). Случайная ве-
личина X изменяется – < x < +. У данного распределения
два параметра: — математическое ожидание; 2
— диспер-
сия. Функция распределения выражается формулой
x
duufxF )()( (рис. 16).
ab
1
f(X)
X
a b
Рис. 13. Функция плотности
равномерного распределения
Рис. 14. Функция
равномерного распределения
F(X)
X
1
ba
Рис. 15. Функция плотности нормального распределения
f(X
)
X
26. 26
У нормально распределенной случайной величины M(X) =
= xmed
= xmod
; D(X) = 2
. Справедливы следующие правила:
;68,0)( xP ;95,0)22( xP
97,0)33( xP (правило «трех сигм»).
Двухмерный закон распределения нормальной случайной
величины (X, Y) можно описать функцией распределения
))(),((),( yYxXPyxF или функцией плотности распре-
деления .
),(
),(
yx
yxF
yxf
Причем выполняются следующие соотношения: M(X,Y) =
(MX),M(Y)); ,
)(),cov(
),cov()(
),(
YDYX
YXxD
YXD здесь кова-
риация ;),cov(),cov( xyXYYX
))]())(([( YMYXMXMxy
.)],())())(([(
dxdyyxfYMyXMx
Коэффициент корреляции между X и Y может быть опре-
делен по формуле .11
yx
xy
xy
Рис. 16. Функция нормального распределения
F(X)
X
1
27. 27
Контрольные вопросы к разделу 2
1. Понятие случайного события. Дискретные и непрерыв-
ные случайные величины.
2. Свойства и геометрический смысл функции распределе-
ния и функции плотности распределения.
3. Как вычислить вероятность попадания случайной вели-
чины в интервал ( a, b]?
4. Основные числовые характеристики.
5. Специальные законы распределения.
3. ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
Знания законов распределения случайных величин доста-
точно для проведения полных вероятностных расчетов.
Однако при решении прикладных задач обычно ни законы
распределения, ни значение их числовых характеристик не
известны. Поэтому исследователь обращается к обработке
опытных данных, которые получены в результате проведенно-
го эксперимента.
Основные задачи в этом случае следующие:
— указать способы сбора и группировки опытных (эмпи-
рических) данных;
— разработать методы анализа статистических данных в за-
висимости от целей исследования.
Введем понятия генеральной совокупности и выборки.
Под генеральной совокупностью будем понимать совокуп-
ность всех мыслимых наблюдений, которые могли бы быть
сделаны при данном комплексе условий.
Но на практике исследование всей генеральной совокупно-
сти либо слишком трудоемко, либо принципиально невозмож-
но. Например, определить продолжительность работы лампоч-
ки. Если мы будем проводить исследование всей генеральной
совокупности, то нечем будет освещать комнаты. Приходится
ограничиваться анализом лишь некоторой выборки из анали-
зируемой генеральной совокупности.
Наблюдения выборки получены с помощью случайного ме-
ханизма из генеральной совокупности, причем каждое из на-
блюдений имеет одинаковый шанс попасть в выборку.
28. 28
Назначение статистических методов состоит в том, чтобы на
основе анализа выборки V выносить обоснованное суждение
о всей генеральной совокупности.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка V.
х1
наблюдается n1
раз.
х2
наблюдается n2
раз.
……………………….
хk
наблюдается nk
раз.
k
i
i nn
1
— объем выборки (число элементов в выборке).
Наблюдаемые значения xi
называют вариантами, последо-
вательность вариант в возрастающем порядке — вариацион-
ным рядом.
3.1. Частота
Числа наблюдений ni
называются частотами (рис. 17), а их
отношение к объему выборки i
i
w
n
n
— относительными час-
тотами (рис. 18).
Рис. 17. Полигон частот
Рис. 18. Полигон относительных частот
29. 29
Введем еще понятия кумулятивной (интегральной) частоты
(рис. 19) и относительной кумулятивной частоты. Формула
вычисления кумулятивной частоты
j
i
ij nE
1
(число наблю-
дений вариант x1
,x2
, …, xj
в вариационном ряду, причем Ek
= n),
а относительной кумулятивной частоты — nnE
j
i
ij /
1
отн
(рис. 20).
Рис. 19. Полигон кумулятивных частот
Рис. 20. Полигон относительных кумулятивных частот
Статистическим распределением выборки называют пере-
чень вариант и соответствующих им частот или относитель-
ных частот (табл. 3).
Таблица 3
Статистическое распределение выборки
xi 2 6 12
ni 3 10 7
30. 30
Эмпирической функцией распределения называют функцию
F*
(x), определяющую для каждого значения х относительную
кумулятивную частоту события Х < x: ,/)(
1
*
nnxF
j
i
i
где
nx
— частоты попадания в интервалы, лежащие левее x; n —
объем выборки.
F(x) — функция распределения для генеральной совокуп-
ности. Ее называют теоретической функцией распределения.
Пример нахождения эмпирической функции распределе-
ния. Исходные выборочные данные приведены в табл. 4.
Таблица 4
Исходные данные
Вычислим объем выборки .207103
1
k
i
inn
Эмпирическая функция распределения получится следую-
щего вида:
,1
,20/13
,20/3
,0
)(*
xF
12
126
62
2
x
x
x
x
Графически данная функция представлена на рис. 21.
xi 2 6 12
ni 3 10 7
Рис. 21. Эмпирическая функция распределения
Примечание. Отличие теоретической функции распределения F(x) от
эмпирической функции распределения F*
(x) состоит в том, что F(x) опре-
деляет вероятность события Х < х, а F*
(x) определяет относительную ку-
мулятивную частоту этого события X < x.
31. 31
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состо-
ящую из прямоугольников, основаниями которых служат час-
тичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению .
h
ni
Пример. На рис. 22 сверху отображена гистограмма с ша-
гом h = 2, а снизу — с шагом h = 5.
Рис. 22. Гистограммы с различными шагами разбиения интервала
3.2. Оценка параметров
Закон распределения F(x) случайной величины Х, опреде-
ляющий генеральную совокупность ее значений, характеризу-
ется набором числовых параметров = (1
, 2
, …, n
).
Пример.
1. У нормально распределенной случайной величины два
параметра распределения (математическое ожидание и стан-
дартное отклонение): ).,(
2
1
)(
2
2
2
)(
NexF
x x
2. У показательного распределения один параметр распре-
деления: .0),(
0,
0,0
)(
xe
x
xf x
32. 32
Параметры обычно неизвестны. Их необходимо оценить
на основе анализа выборки V. Часто неизвестен и сам вид
функции распределения F(x).
Оценкой
параметра называется статистика, реализа-
цию которой принимают за неизвестное истинное значение па-
раметра .
Так как выборка V случайна, то и оценка
— случайная
величина, которая может принимать какие-то значения
.,,, 21 k
Возникает вопрос, какую из этих оценок выбрать.
Рассмотрим некоторые характеристики «надежности»
оценки.
1. Оценка
называется несмещенной, если ее математи-
ческое ожидание равняется значению оцениваемого парамет-
ра: .)(
M Иначе — смещенная.
2. Оценка
называется эффективной, если она является
несмещенной и имеет при заданном объеме выборки n наи-
меньшую дисперсию.
3. Оценка
называется состоятельной, если при неогра-
ниченном увеличении числа наблюдений n она сходится по
вероятности к , т.е. .0.0lim
P
n
3.3. Примеры оценок
1. Среднеарифметическое значение (выборочное среднее)
является эффективной, состоятельной оценкой для математи-
ческого ожидания М(X). Средневыборочное вычисляется по
формулам: ,1
n
nx
x
n
i
ii
n
i
inn
1
или .1
n
x
x
n
i
i
2. Оценка дисперсии характеризует разброс данных отно-
сительно среднеарифметического x и вычисляется по форму-
лам: ,
)(
1
2
n
xx
D
n
i
i
B
.
1
)(
1
2
2
n
xx
S
n
i
i
Оценка DB
(ее так-
33. 33
же обозначают 2
) является смещенной оценкой для генераль-
ной дисперсии, а S2
является несмещенной.
3. В качестве оценки вероятности события используют от-
носительную частоту данного события.
Эти оценки являются точечными, так как определяются од-
ним числом.
3.4. Доверительный интервал
При выборке малого объема точечная оценка может значи-
тельно отличаться от оцениваемого параметра. Поэтому при
небольшом объеме выборки следует пользоваться интерваль-
ными оценками.
Интервальной называют оценку, которая определяется дву-
мя числами — концами интервала
и .
Надежностью оценки или доверительной вероятностью на-
зывают вероятность , с которой осуществляется неравенство
,
т.е. )(
P (рис. 23).
Рис. 23. Доверительный интервал, построенный с надежностью
Иными словами, вероятность того, что интервал ),(
заключает в себя (покрывает) неизвестный параметр , равна .
Как видно из рис. 23, с увеличением надежности довери-
тельный интервал должен стать шире, так как увеличивает-
ся. Но определяет информативность оценки и, следователь-
но, информативность оценки станет меньше. С одной стороны,
чем меньше надежность , тем доверительный интервал уже и,
следовательно, это хорошо, так как увеличилась информатив-
ность оценки. Но, с другой стороны, — это надежность и
значит, чем выше, тем лучше, так как с большей вероятностью
f()
34. 34
оценим . Получили противоречие. Обычно в статистике ис-
пользуют = 0,95; 0,99; 0,999.
Надежность и уровень значимости (доверительный уро-
вень) связаны формулой = 1 – .
Пример 1. Доверительный интервал для математического
ожидания М(X) с надежностью = 1 – вычисляется по
формуле ,
1
)(
1
1,
2
1,
2
n
St
xXM
n
St
x
nn
где x — выбороч-
ное среднее; S
— несмещенная оценка среднеквадратическо-
го отклонения; n — объем выборки;
1,
2
n
t — значение функ-
ции распределения Стьюдента, взятое при уровне значимости
2
и с n – 1 степенью свободы.
Пример 2. Доверительный интервал для вероятности изоб-
ражен на рис. 24.
В качестве точечной оценки вероятности биномиального
закона распределения ( jjj nn
j
n
j
n
nj ppCnp
)1()( ) возьмем ве-
личину .
n
n
p
j
Для построения доверительного интервала
Рис. 24. Доверительный интервал для вероятности
1
1
p
p
p
p
р
35. 35
вычислим ,
)1(
2
1 n
pp
u
где
2
1
u — значение квантиля
2
1
стандартного нормального распределения (M(x) = 0;
D(x) = 1). Тогда доверительный интервал для вероятности:
. ppp
Пример 3. Доверительный интервал для дисперсии имеет
вид (sn
2
– k(sn
2
), sn
2
+ k(sn
2
)). Коэффициент k определяется
из уравнения = 2(k) – 1; — функция распределения
стандартного нормального закона (с нулевым математическим
ожиданием и единичной дисперсией); — уровень значимос-
ти (квантиль порядка
2
1
стандартного нормального зако-
на); среднеквадратичное отклонение (sn
2
) статистики sn
2
вы-
числяется по формуле .
)(
1
)(
2
1
4
2
n
sxx
n
s
n
i
i
n
3.5. Статистическая проверка гипотез
Ясно, что никаких точных утверждений о параметрах зако-
на распределения на основе анализа случайной выборки V
делать нельзя. Можно лишь высказывать различные предпо-
ложения о них — гипотезы.
Статистической называют гипотезу о виде неизвестного рас-
пределения, или о параметрах неизвестного распределения.
Примеры гипотез:
1) генеральная совокупность распределена по нормально-
му закону распределения;
2) дисперсии двух генеральных совокупностей равны меж-
ду собой.
Примечание. Гипотеза — это не вопросительное предложение, это ут-
верждение.
Наряду с выдвинутой гипотезой H0
рассматривают и про-
тиворечащую ей гипотезу Н1
.
36. 36
Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H0
.
Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н1
, ко-
торая противоречит основной.
Простой называют гипотезу, содержащую только одно пред-
положение.
В зависимости от вида альтернативной гипотезы мы можем
говорить о двухсторонней, левосторонней или правосторонней
альтернативных гипотезах.
Примеры гипотез:
1) двусторонняя гипотеза: Н0
: М(X) = 10; Н1
: М(X) 10;
2) правосторонняя гипотеза: Н0
: М(X) = 10; Н1
: М(X) 10;
3) левосторонняя гипотеза: Н0
: М(X) = 10; Н1
: М(X) 10.
Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного
или бесконечного числа простых гипотез.
Пример. Н0
: М(X) 5; D(X) — неизвестна. То есть
М(Х) = 5, М(X) = 6 и т.д.
Выдвинутая гипотеза может быть правильной или непра-
вильной, следовательно, существует необходимость проверять
гипотезы с помощью статистических методов (табл. 5).
Таблица 5
Проверка гипотез
Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута
правильная гипотеза.
Ошибка второго рода состоит в том, что не будет отвергну-
та неправильная гипотеза.
Вероятность совершить ошибку первого рода называют
уровнем значимости и обозначают . Вероятность совершить
ошибку второго рода обозначают .
Например, пусть = 0,05. Это означает, что в пяти случаях
из ста мы рискуем совершить ошибку первого рода — отверг-
нуть правильную гипотезу.
Проверка гипотез базируется на выборочных данных. Вы-
борочное пространство можно разделить на две области так,
Н0 Не верна Верна
Отвергаем +
– ошибка первого
рода
Нет оснований отвергнуть – ошибка второго рода +
37. 37
что попадание полученной выборки в одну из частей ведет к
принятию одной гипотезы, а в другую — другой. Таким обра-
зом, основной гипотезе будет соответствовать одна область, а
конкурирующей — другая.
Пример. Рассмотрим правостороннюю гипотезу (рис.25).
Н0
: М(Х) = 10;
Н1
: М(Х) > 10.
Рис. 25. Правосторонняя гипотеза
Критической областью называют совокупность значений
критерия, при которой нулевую гипотезу отвергают.
Областью принятия гипотезы (областью допустимых зна-
чений) называют совокупность значений критерия, при кото-
рых гипотезу не отвергают.
Мощностью критерия называют вероятность попадания
критерия в критическую область, при условии, что справедли-
ва конкурирующая гипотеза, т.е. вероятность отвергнуть ну-
левую гипотезу Н0
, если верна конкурирующая гипотеза Н1
,
равна 1 – .
Примечание. Необходимо выдвигать конкурирующую гипотезу с мак-
симальной мощностью критерия.
Основные принципы проверки статистических гипотез:
1. Если наблюдаемое значение критерия принадлежит кри-
тической области, гипотезу отвергают (прямой метод).
2. Если вычисленный уровень значимости меньше теорети-
ческого уровня значимости, то гипотезу отвергают (обратный
метод).
38. 38
3.6. Проверка простой гипотезы о том, что значение
математического ожидания равняется значению b
Для проверки гипотезы о том, что значение математического
ожидания равняется конкретному значению (H0
: M(Х) = b),
вычисляется t-статистика
.набл
s
nbx
t
Прямой метод проверки гипотезы зависит от вида альтерна-
тивной гипотезы. В нашем случае возможны три вида альтер-
нативных гипотез:
1. Двусторонняя гипотеза H1
: M(Х) b. Вычисляется зна-
чение критической точки tдвухст.кр
(, n – 1). Если |tнабл
| > tдвухст.кр
,
то гипотезу отвергают.
2. Правосторонняя гипотеза H1
: M(Х) > b. Вычисляется зна-
чение критической точки tправост.кр
(, n – 1). Если tнабл
> tправост.кр
,
то гипотезу отвергают.
3. Левосторонняя гипотеза H1
: M(Х) < b. Вычисляется зна-
чение критической точки tлевост.кр
(, n – 1). Если tнабл
< tлевост.кр
,
то гипотезу отвергают.
При проверке гипотезы обратным методом вид альтерна-
тивной гипотезы не влияет на выводы об отвержении гипоте-
зы. На основе tнабл
и объема выборки находится значение вы-
численного уровня значимости в
. Если вычисленный уровень
значимости меньше теоретического уровня значимости (в
< ),
то гипотезу отвергают.
3.7. Проверка гипотезы о законе распределения F(x)
На практике не всегда известны две гипотезы: основная и
конкурирующая. Часто под конкурирующей гипотезой подра-
зумевается то, что просто не выполнена основная гипотеза.
Тогда задача ставится так: согласуются ли результаты наблю-
дений с выдвинутым утверждением.
С помощью оценок параметров функции распределения, а
следовательно, и оценки функции распределения, можно про-
верить гипотезы о том, насколько хорошо выборочные данные
согласуются с теоретическими выводами о виде функции рас-
пределения.
39. 39
Рассмотрим критерий согласия 2
. Пусть известны вариан-
ты x1
, x2
, …, xv
и эмпирические частоты; n1
*
, n2
*
, …, nk
*
; ,
1
*
k
i
i nn
где п — объем выборки. Разобьем вариационный ряд на k
группы так, чтобы в группу попали 5–10 наблюдений (рис.
26).
0
1
2
… m–1
k
xmin
xmax
Рис. 26. Вариационный ряд
Для того чтобы вычислить теоретические вероятности по-
падания в i-й интервал pi
= F(ai
) – F(ai–1
), ,,1 ki вместо па-
раметров распределения используются их эффективные оцен-
ки, которые находятся на основе выборки. Таким образом, на-
ходят оценки вероятностей. Умножив оценки вероятностей на
объем выборки n, находят оценки теоретических частот попа-
дания в i-й интервал.
Вычисляют статистику ,
)(
1
2*
2
k
i i
ii
np
npn
которая имеет
k – r – 1 степеней свободы, где k — число интервалов; r —
число оцениваемых параметров исследуемого распределения.
На основе этой статистики 2
находится вычисленный уровень
значимости
. Затем вычисленный уровень значимости срав-
нивается с исходным уровнем значимости для проверки ги-
потезы. Если
< , то гипотеза отвергается.
Критерий 2
не доказывает справедливость гипотезы, а лишь
устанавливает при принятом уровне значимости ее согласие
или несогласие с данными наблюдениями.
Рассмотрим критерий согласия Колмагорова—Смирнова.
Вычисляются статистики )};()({max *
XFXFD n
X
n
)},()({max *
XFXFD n
X
n
где Fn
*
(Х) — эмпирическая фун-
кция распределения; F(Х) — функция распределения, кото-
40. 40
рая вычисляется, используя оцениваемые параметры на основе
выборки (рис. 27).
Рис. 27. Критерий Колмагорова—Смирнова
На основе этих статистик находится значение
},max{
nnn DDD — максимальное отклонение эмпиричес-
кой функции распределения от теоретической, вычисленной
на основе оценок параметров распределения.
Критическую область находят из неравенства: , dDn n
где d
— квантиль предельного распределения Колмагорова
1 – Кp
(d
) = . На основе критической точки Кp
находится
вычисленный уровень значимости
. Если
< , то гипотеза
отвергается.
Примечание. Хорошо, если по обоим критериям нет основания отверг-
нуть гипотезу. Что делать, если по одному критерию гипотеза отвергается, а
по другому критерию нет основания отвергнуть эту же гипотезу? Тогда
среди гипотез нужно выбрать ту, для которой оба вычисленных уровня
значимости максимальны, то есть близки к тому, чтобы не отвергать гипоте-
зу (так как если
< , то Н0
отвергается).
Контрольные вопросы к разделу 3
1. Понятие выборки и генеральной совокупности.
2. Понятие частоты, относительной частоты, кумулятивной
частоты, относительной кумулятивной частоты.
3. Эмпирическая функция распределения.
4. Какая числовая характеристика является аппроксимацией
вероятности?
5. Критерии качества оценки параметра.
6. Точечные и интервальные оценки. В каких случаях воз-
никает необходимость строить интервальные оценки?
41. 41
7. Понятие надежности (доверительной вероятности) пост-
роения доверительного интервала.
8. Связь между уровнем значимости и доверительной веро-
ятностью.
9. Связь между доверительной вероятностью и доверитель-
ным интервалом.
10. Связь между объемом выборки и доверительным ин-
тервалом. Как изменится доверительный интервал, если объем
выборки устремить к бесконечности?
11. Верно ли утверждение: поскольку доверительный ин-
тервал стал шире, следовательно, доверительный интервал по-
строен с большей надежностью?
12. Основная и альтернативная гипотезы. Двухсторонняя,
правосторонняя и левосторонняя гипотезы.
13. Прямой и обратный метод проверки гипотез. Существу-
ет ли связь между данными методами?
14. Возможна ли ситуация, когда прямым методом гипотеза
отвергнута, а обратным методом нет оснований отвергнуть дан-
ную гипотезу?
15. Влияет ли вид альтернативной гипотезы на методику
принятия решения об отвержении гипотезы прямым методом?
Обратным методом?
16. Ошибка первого и второго рода. Связь между данными
ошибками.
17. Уровень значимости, мощность критерия.
18. Можно ли при проверке гипотезы установить вероят-
ность совершения ошибки первого рода нулевой? Если нет, то
почему?
19. Суть метода проверки гипотезы о том, что значение ма-
тематического ожидания равняется значению b.
20. Суть метода проверки гипотезы о законе распределе-
ния. Основные ограничения критерия согласия Пирсона.
21. Критерий согласия и критерий Колмагорова—Смирнова.
42. 42
4. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Это статистический метод анализа результатов наблюдений,
зависящих от различных, одновременно действующих факто-
ров, выбор наиболее важных факторов и оценки их влияния.
Идея дисперсионного анализа заключается в разложении об-
щей дисперсии случайной величины на независимые случай-
ные слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того
или иного фактора или их взаимодействие.
Сравнивая остаточную дисперсию, которая учитывает вли-
яние неучтенных или случайных факторов, и дисперсию вход-
ного фактора Х, можно установить степень влияния фактора
Х на величину Y по сравнению с неучтенными факторами.
4.1. Однофакторный дисперсионный анализ
На практике дисперсионный анализ применяют, чтобы ус-
тановить, оказывает ли влияние некоторый качественный фак-
тор Х, который имеет k уровней Х1
, Х2
, …, Хk
(k — значений),
на изучаемую величину Y.
В этом случае основная идея дисперсионного анализа со-
стоит в сравнении факторной дисперсии (порождаемой воз-
действием фактора) и остаточной дисперсии (обусловленной
случайными причинами). Если различие между этими дис-
персиями значимо, то фактор оказывает существенное влия-
ние на Y. Средние наблюдаемых значений на каждом уровне
(групповые средние) будут различаться также значимо.
Иногда дисперсионный анализ применяют, чтобы устано-
вить однородности нескольких совокупностей. То есть прове-
ряют гипотезу о равенстве математических ожиданий в каж-
дой группе: Н0
: М(Х1
) = М(Х2
) = … = М(Хk
). Дисперсии
этих совокупностей могут быть одинаковыми или различными.
Если гипотеза не отвергается, то однородные совокупности
можно объединить в одну. Это позволяет получить более пол-
ную информацию и, следовательно, делать более надежные ста-
тистические выводы.
В этом случае дисперсионный анализ заключается в разло-
жении общей дисперсии случайной величины на независимые
случайные слагаемые, каждое из которых характеризует вли-
яние того или иного фактора или их взаимодействие.