Documentul tratează diverse concepte de geometrie sintetică plană, inclusiv concurența liniilor importante într-un triunghi, cum ar fi medianele, bisectoarele, mediatoarele și înălțimile. De asemenea, se discută despre teoremele relevante, cum ar fi teorema lui Menelaus și Ptolemeu, probleme de coliniaritate și relații metrice în triunghiuri. În plus, documentul abordează transformări geometrice și aplicații ale numerelor complexe în geometrie.

1. Capitole speciale de geometrie pentru profesori
Camelia Frigioiu
Galati, 2009
¸

2. 2

3. Cuprins
1 Geometrie sintetic˘ plan˘
a a 1
1.1 Concurenta liniilor importante ˆntr-un triunghi . . . . . . . . . . . .
¸ ı 1
1.1.1 Concurenta medianelor, mediatoarelor, bisectoarelor si ˆn˘ ltimilor
¸ ¸ ı a¸
ˆntr-un triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı 1
1.1.2 Cercul ˆnscris ˆn triunghi, cercul circumscris si exˆnscris unui
ı ı ¸ ı
triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Teoremele MENELAUS si CEVA . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸ 9
1.2.1 Teorema lui Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Teorema lui Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Teorema lui VAN AUBEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Patrulatere inscriptibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Teorema lui Ptolemeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Patrulatere circumscriptibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Cercul lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Probleme de coliniaritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 Metode de demonstrare a coliniarit˘¸ii unor puncte . . . . . 20
at
1.5.2 Teorema lui Euler, dreapta lui Simpson . . . . . . . . . . . 21
1.5.3 Relatia lui Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
¸
¸˘
1.6 Probleme de concurenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.1 Metode de demonstrare a concurentei unor drepte . . . . . . 25
¸
1.6.2 Teoremele lui Gergonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.3 Teorema lui Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Relatii metrice ˆn triunghi si patrulater . . . . . . . . . . . . . . . . 28
¸ ı ¸
1.7.1 Teorema Pitagora generalizat˘ . . . . . . . . . . . . . . . . 28
a
1.7.2 Relatia lui Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
¸
1.7.3 Teorema medianei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7.4 Relatia lui Euler pentru patrulatere . . . . . . . . . . . . . . 31
¸
2 Transform˘ ri geometrice
a 33
2.1 Simetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
i

4. ii CUPRINS
2.2 Translatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸ 42
2.3 Rotatia ˆn plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸ ı 45
2.4 Propriet˘¸i generale ale izometriilor . . . . . . . . . . . . . . . . .
at 48
2.5 Asem˘ narea ˆn plan. Propriet˘¸i generale . . . . . . . . . . . . . . .
a ı at 51
2.6 Omotetia ˆn plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı 53
2.6.1 Folosirea omotetiei la rezolvarea unor probleme de loc geo-
metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7 Inversiunea ˆn plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ı 57
3 Geometrie ˆn spatiu
ı ¸ 63
3.1 Introducere ˆn geometria tetraedrului
ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Tetraedre Crelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Tetraedre echifaciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4 Tetraedre ortocentrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4 APLICATII ALE NUMERELOR COMPLEXE IN GEOMETRIE
¸ ˆ 83
4.1 Elemente de trigonometrie aplicate ˆn geometrie . . . . . . . . . . .
ı 83
4.1.1 Aplicatii practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¸ 85
4.2 Numere complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3 Aplicatii ale numerelor complexe ˆn geometrie . . . . . . . . . . . .
¸ ı 88
4.4 Teoreme clasice de geometrie demonstrate cu ajutorul numerelor
complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5. Capitolul 1
Geometrie sintetic˘ plan˘
a a
1.1 Concurenta liniilor importante ˆntr-un triunghi
¸ ı
Linii importante ale unui triunghi sunt:
1. medianele
2. bisectorele interioare ale unghiurilot triunghiului
3. mediatoarele laturilor triunghiului
4. ˆnaltimile.
ı ¸
1.1.1 Concurenta medianelor, mediatoarelor, bisectoarelor si ˆn˘ ltimilor ˆntr-un triunghi
¸ ¸ ı a¸ ı
ˆ
Intr-un triunghi se poate demonstra pentru fiecare categorie de linii importante c˘
a
sunt concurente si anume:
¸
1. cele trei mediatoare ale laturilor unui triunghi sunt concurente ˆntr-un punct care
ı
este centrul cercului circumscris triunghiului;
2. cele trei bisectoare interioare ale unui triunghi sunt concurente ˆntr-un punct
ı
care este centrul cercului ˆnscris ˆn triunghi;
ı ı
3. cele trei ˆn˘ ltimi ale unui triunghi sunt concurente ˆntr-un punct care se numeste
ı a¸ ı ¸
ortocentrul triunghiului;
4. cele mediane ale unui triunghi sunt concurente ˆntr-un punct care se numeste
ı ¸
centrul de greutate al triunghiului.
ˆ continuare vom demonstra concurenta acestor linii importante ale triunghiului.
In ¸
Asa cum bine se stie, mediatoarea unui segment de dreapt˘ este perpendiculara
¸ ¸ a
construit˘ pe mijlocul segmentului.
a
1

6. 2 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
Toate punctele mediatoarei unui segment se afl˘ la aceeasi distanta fata de ca-
a ¸ ¸˘ ¸˘
petele acestuia si reciproc toate punctele din plan care se afl˘ la distante egale de
¸ a ¸
capetele unui segment se afl˘ pe mediatoarea acestuia.
a
ˆ
TEOREMA 1.1 Intr-un triunghi mediatoarele laturilor sunt concurente.
A
N
O
B C
M
Figura 1.1: Concurenta mediatoarelor
¸
Demonstratie.
¸
Not˘ m cu M si N mijloacele laturilor [BC] si [AB] ale triunghiului ABC. Punc-
a ¸ ¸
tul de intersectie al perpendicularelor ˆn M si N pe laturile respective(mediatoarele
¸ ı ¸
acestor laturi) va fi notat cu O. Cele dou˘ mediatoare sunt concurente, altfel punctele
a
A, B, C ar fi coliniare, ceea ce este imposibil.
¸˘ ¸˘
Folosind proprietatea punctelor de pe mediatoare de a fi la egal˘ distanta fata de
a
capetele segmentului, putem scrie
OA = OB, ON fiind mediatoarea lui [AB] si ¸
OB = OC, OM fiind mediatoarea lui [BC].
Rezult˘ din tranzitivitatea relatiei de egalitate c˘ OA = OC, deci punctul O se
a ¸ a
afl˘ si pe mediatoarea laturii [AC].
a¸ q.e.d.
Vom demonstra concurenta bisectoarelor interioare unui triunghi, folosind propri-
¸
etatea punctelor de pe bisectoare de a fi la egal˘ distanta fata de laturile acestuia.
a ¸˘ ¸˘
ˆ
TEOREMA 1.2 Intr-un triunghi bisectoarele interioare sunt concurente.
Demonstratie. Not˘ m [AA1 si [BB1 bisectoarele unghiurilor BAC si ABC ale
¸ a ¸ ¸
triunghilui ABC si I punctul lor de intersectie. Aceste bisectoare sunt concurente,
¸ ¸
altfel ar fi paralele ceea ce ar ˆnsemna c˘ unghiurile BAA1 si ABB1 ar fi unghiuri
ı a ¸
interne si de aceeasi parte a secantei AB, iar suma m˘ surilor lor ar fi de 180◦ , ceea
¸ ¸ a
ce este imposibil c˘ ci suma m˘ surilor unghiurilor triunghiului ABC este 180◦ .
a a

7. ¸ ˆ
1.1. CONCURENTA LINIILOR IMPORTANTE INTR-UN TRIUNGHI 3
A
P
M
B1
C1 I
B N A C
1
Figura 1.2: Concurenta bisectoarelor
¸
Folosind proprietatea c˘ numai punctele de pe bisectoare sunt egal dep˘ rtate de
a a
laturile triunghiului putem scrie:
IM = IN si IM = IP, (M ∈ (AB), N ∈ (BC), P ∈ (AC), IM ⊥
¸
AB, IN ⊥ BC, IP ⊥ AC).
Folosind proprietatea de tranzitivitatea a egalit˘¸ii numerelor reale, rezult˘
at a
IN = IP
deci punctul I se afl˘ si pe bisectoarea unghiului ACB.
a¸ q.e.d.
ˆ
TEOREMA 1.3 Intr-un triunghi ˆn˘ ltimile sunt concurente.
ı a¸
C1 A B1
B’
C’
B C
A’
A
1
Figura 1.3: Concurenta ˆn˘ ltimilor
¸ ı a¸
Demonstratie. Consider˘ m un triunghi ABC, cu ˆn˘ ltimile [AA‘, [BB , [CC
¸ a ı a¸
(AA‘ ⊥ BC, BB ⊥ AC, CC ⊥ AB.

8. 4 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
Paralelele prin vˆ rfurile triunghiului la laturile opuse se intersecteaz˘ ˆn punc-
a aı
tele A1 , B1 , C1 . Din congruenta laturilor opuse ale paralelogramelor obtinute rezult˘
¸ ¸ a
c˘ punctele A, B, C sunt mijloacele laturilor [B1 C1 ], [C1 A1 ], [A1 B1 ] ale triunghiului
a
A1 B1 C1 (AB1 = AC1 , BC1 = BA1 , CA1 = CB1 ).
Din AA ⊥ BC si C1 B1 BC rezult˘ AA ⊥ C1 B1 . Analog pentru celelalte la-
¸ a
turi se g˘ seste c˘ BB ⊥ C1 A1 si CC ⊥ A1 B1 .Constat˘ m c˘ ˆn˘ ltimile triunghiului
a ¸ a ¸ a aı a¸
ABC sunt mediatoarele triunghiului A1 B1 C1 . Dar, concurenta mediatoarelor a fost
¸
demonstrat˘ , asa c˘ si concurenta ˆn˘ ltimilor este demonstrat˘ .
a ¸ a¸ ¸ ı a¸ a q.e.d.
Reamintim c˘ linia mijlocie ˆntr-un triunghi este segmentul de dreapt˘ care uneste
a ı a ¸
mijloacele a do˘ laturi ale triunghiului, c˘ este paralel˘ cu cea de-a treia latur˘ a
a a a a
triunghiului si egala cu jum˘ tate din lungimea ei.
¸ a
ˆ
TEOREMA 1.4 Intr-un triunghi medianele sunt concurente.
A
A"
C’ B’
G C"
B C
A’
Figura 1.4: Concurenta medianelor
¸
Demonstratie. Not˘ m cu A , B , C mijloacele laturilor [BC], [AC], [AB] ale
¸ a
triunghiului ABC. Punctul de intersectie al medianelor [AA ] si [CC ] este G.
¸ ¸
Vom demonstra c˘ punctul G apartine si medianei [BB ]. Mijloacele segmentelor
a ¸ ¸
[AG], [CG] vor fi notate cu A” respectiv C”
AA” = A”G, CC” = C”G.
[A”C”] este linie mijlocie ˆn triunghiul GAC, ceea ce implic˘
ı a
1
A”C” AC, A”C” = AC. (1.1)
2
De asemenea, [A C ] este linie mijlocie ˆn triunghiul BAC si se obtine:
ı ¸ ¸
1
AC AC, A C = AC. (1.2)
2

9. ¸ ˆ
1.1. CONCURENTA LINIILOR IMPORTANTE INTR-UN TRIUNGHI 5
Din (1.1) si (1.2), folosind tranzitivitatea relatiei de paralelism si a celei de egalitate,
¸ ¸ ¸
rezult˘
a
A C A”C”, A C = A”C”.
Deci patrulaterul A C A”C” este paralelogram, cu G punctul de intersectie al diago-
¸
nalelor, ceea ce implic˘
a
A G = GA”, C G = GC”.
Cum AA” = A”G si CC” = C”G, rezult˘ :
¸ a
1
AA” = A”G = GA = AA
3
si
¸
1
CC” = C”G = GC = CC .
3
Am obtinut astfel:
¸
Punctul G de intersectie al medianelor [AA ] si [CC ] se afl˘ pe fiecare dintre cele
¸ ¸ a
dou˘ mediane la dou˘ treimi de vˆ rf si o treime de mijlocul laturii opuse.
a a a ¸
Un rezulta asem˘ n˘ tor se poate demonstra si pentru medianele [AA ] si [BB ].
a a ¸ ¸
Cum pe [AA ] este un singur punct care se afl˘ la dou˘ treimi de vˆ rf si o treime
a a a ¸
de mijlocul laturii opuse, rezult˘ c˘ acesta este G, deci mediana [BB ] trece si ea
a a ¸
prin punctul G. q.e.d.
1.1.2 Cercul ˆnscris ˆn triunghi, cercul circumscris si exˆnscris unui triunghi
ı ı ¸ ı
Cercul ˆnscris ˆn triunghi
ı ı
A
P
M
r r
I
r
B N C
Figura 1.5: Cerc ˆnscris ˆn triunghi
ı ı

10. 6 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
DEFINITIA 1.1 1. Triunghiul care are laturile tangente la un cerc se numeste
¸ ¸
triunghi circumscris acelui cerc.
2. Cercul care este tangent la laturile unui triunghi se numeste cerc ˆnscris ˆn
¸ ı ı
triunghi.
Centrul cercului ˆnscris ˆn triunghi, I, este punctul de intersectie al bisectoarelor
ı ı ¸
unghiurilor triunghiului.
1. Triunghiul ABC este triunghiul circumscris cercului C(I; r);
2. C(I; r) este cercul ˆnscris ˆn triunghiul ABC;
ı ı
3. r este raza cercului ˆnscris: IM = IN = IP = r;
ı
2A
4. r = , unde A este aria triunghiului ABC, iar P = AB + AC + BC.
P
ˆ
Intr-adev˘ r aria triunghiului ABC este suma ariilor triunghiurilor AIB, BIC, CIA.
a
AB · IM BC · IN AC · IP r·P
A = AAIB + ABIC + ACIA = + + = .
2 2 2 2
Cercul circumscris unui triunghi
A
N R P
O
R R
B C
M
Figura 1.6: Cerc circumscris unui triunghi
DEFINITIA 1.2 1. Triunghiul care are vˆ rfurile situate pe un cerc, iar laturile
¸ a
sunt coarde ale cercului se numeste ˆnscris ˆn cerc.
¸ ı ı
2. Cercul ˆn care se ˆnscrie un triunghi se numeste cerc circumscris triunghiului.
ı ı ¸

11. ¸ ˆ
1.1. CONCURENTA LINIILOR IMPORTANTE INTR-UN TRIUNGHI 7
Centrul cercului circumscris unui triunghi este punctul de intersectie al mediatoarelor
¸
laturilor triunghiului.
1. Triunghiul ABC este triunghiul inscris in C(O; R);
2. C(O; R) este cercul circumscris triunghiului ABC;
abc
3. R este raza cercului circumscris: OA = OB = OC = R; R = ; unde a, b, c
4A
sunt lungimile laturilor, iar A este aria triunghiului ABC.
¸˘
4. Simetricele ortocentrului triunghiului fata de mijloacele laturilor triunghiului
apartin cercului circumscris triunghiului.
¸
¸˘
5. Simetricele ortocentrului triunghiului fata de laturile triunghiului apartin cercu-
¸
lui circumscris triunghiului.
Formula de calcul pentru raza cercului circumscris se obtine astfel:
¸
A
h
O
B C
D
E
Figura 1.7: Raza cercului circumscris
Prin vˆ rful A al triunghiului se construieste diametrul cercului circumscris, notat
a ¸
cu AE. Se obtine astfel triunghiul dreptunghic ABE (triunghi ˆnscris ˆn semicerc).
¸ ı ı
Prin construirea ˆn˘ ltimii din punctul A se obtine triunghiul dreptunghic ADC ase-
ı a¸ ¸
menea cu ABE conform cazului U U . Not˘ m lungimea acestei ˆnaltimi cu h.
a ı ¸
Laturile celor dou˘ triunghiuri asemenea sunt proportionale:
a ¸
AE AB AC · AB
= ⇒ 2Rh = AC · AB ⇒ R = .
AC AD 2h
h · BC
Dar, aria triunghiului ABC, notat˘ cu A, este A =
a , de unde rezult˘ :
a
2
2A
h= .
BC

12. 8 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
ˆ
Inlocuind h ˆn expresia lui R se obtine formula de calcul a razei cercului circumscris
ı ¸
triunghiului ABC,
abc
R= .
4A
O legatur˘ ˆntre raza cercului ˆnscris si raza cercului circumscris unui triunghi este
aı ı ¸
dat˘ de relatia lui Euler.
a ¸
Relatia lui Euler
¸
d2 = R(R − 2r)
unde d este distanta dintre centrul cercului circumscris si centrul cercului ˆnscris ˆn
¸ ¸ ı ı
triunghi, R raza cercului circumscris si r raza cercului ˆnscris ˆn triunghi.
¸ ı ı
Se poate vedea c˘ si egalitatea lui Euler
a¸
R > 2r
este verificat˘ .
a
Cercuri exˆnscrise unui triunghi
ı
A
A1
B C
A2
Figura 1.8: Cerc exˆnscris unui triunghi
ı
DEFINITIA 1.3 Un cerc tangent unei laturi a unui triunghi si prelungirilor celor-
¸ ¸
lalte dou˘ laturi se numeste triunghi exˆnscris triunghiului.
a ¸ ı
Centrul unui cerc exˆnscris unui triunghi se afl˘ la intersectia bisectoarelor celor dou˘
ı a ¸ a
unghiuri exterioare si a bisectoarei unghiului interior neadiacent cu ele.
¸
Exist˘ 3 cercuri exˆnscrise unui triunghi.
a ı
Proprietate
Punctele de tangenta ale cercului exˆ nscris si cercului ˆnscris ˆntr-un triunghi sunt
¸˘ a ı ı
¸˘
simetrice fata de mijlocul laturii la care sunt tangente amˆ ndou˘ .
a a

13. 1.2. TEOREMELE MENELAUS SI CEVA
¸ 9
TEOREMA 1.5 Fie triunghiul ABC. Dac˘ M, N, P sunt punctele de tangenta ale
a ¸˘
cercurilor exˆ nscrise cu laturile triunghiului, atunci AM, BN, CP sunt concurente
a
ˆn punctul care se numeste punctul lui Nagel.
ı ¸
1.2 Teoremele MENELAUS si CEVA
¸
1.2.1 Teorema lui Menelaus
Teorema lui Menelaus este una dintre teoremele clasice ale geometriei.
De-a lungul anilor ea a fost demonstrat˘ prin diverse metode folosind rezultatele
a
din geometria sintetic˘ , dar si cu metoda analitic˘ ¸ cu metoda vectorial˘ si cu ajutorul
a ¸ a, a¸
transform˘ rilor geometrice, al omotetiei.
a
TEOREMA 1.6 (TEOREMA LUI MENELAUS)
Fie un triunghi ABC, M ∈ (BC, N ∈ (AC), P ∈ (AB).Dac˘ punctele M, N, P
a
sunt coliniare, atunci:
M B CN AP
· · = 1. (1.3)
MC NA PB
Demonstratie. Se construieste prin C paralela cu dreapta d care contine punctele
¸ ¸ ¸
M, N, P . Aceasta intersecteaz˘ AB ˆn punctul notat cu R.
a ı
A
P
R N
d
B C M
Figura 1.9: Teorema lui Menelaus
Se aplic˘ teorema lui Thales ˆn triunghiul BM P cu CR
a ı MP :
MB PB
= , (1.4)
MC PR
iar ˆn triunghiul ARC cu P N
ı RC rezult˘ :
a
CN PR
= . (1.5)
NA PA

14. 10 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
Din relatiile (1.4) si (1.5) rezult˘ :
¸ ¸ a
M B CN AP P B P R AP
· · = · · = 1.
MC NA PB PR PA PB
q.e.d.
O alt˘ demonstratie a teoremei lui Menelaus
a ¸
A
R
P
S
N
T
d
B C M
Figura 1.10: Teorema lui Menelaus
Demonstratie. Fie triunghiul ABC si transversala d care se intersecteaz˘ cu la-
¸ ¸ a
turile triunghiului ˆn punctele M ∈ (BC, N ∈ (AC), P ∈ (AB). Construim
ı
CT ⊥ d, BS ⊥ d, AR ⊥ d, lungimile acestor segmente reprezentˆ nd distantele
a ¸
de la vˆ rfurile triunghiului la transversala d, vor fi notate cu CT = dC , BS = dB ,
a
AR = dA .
Se formeaz˘ astfel perechile de triunghiuri dreptunghice asemenea:
a
∆ARP ∼ ∆BP S, ∆BSM ∼ ∆CT M, ∆N CT ∼ ∆AP N
pentru care scriem proportionalitatea laturilor:
¸
dA AP dB MB dC NC
= ; = ; = .
dB BP dC MC dA NA
ˆ
Inmultind aceste relatii membru cu membru se va obtine relatia lui Menelaus.
¸ ¸ ¸ ¸
q.e.d.
Vom prezenta ˆn continuare reciproca teoremei lui Menelaus:
ı
TEOREMA 1.7 Fie un triunghi ABC, M ∈ (BC, N ∈ (AC), P ∈ (AB) astfel
ˆncˆ t are loc relatia:
ı a ¸
M B CN AP
· · = 1. (1.6)
MC NA PB
Atunci punctele M, N, P sunt coliniare.

15. 1.2. TEOREMELE MENELAUS SI CEVA
¸ 11
Demonstratie. Dreapta M N se intersecteaz˘ cu AB ˆn punctul pe care-l not˘ m
¸ a ı a
cu P1 . Punctele M, N, P1 fiind coliniare, aplic˘ m teorema lui Menelaus si obtinem:
a ¸ ¸
M B CN AP1
· · = 1. (1.7)
M C N A BP1
Din relatiile (1.6), (1.7) rezult˘
¸ a
AP1 AP
=
BP1 PB
adic˘ P = P1 . Deci punctele M, N, P sunt coliniare.
a q.e.d.
Teorema lui Menelaus se poate demonstra si ˆn cazul M ∈ (BC, N ∈ (AC, P ∈
¸ ı
(AB.
TEOREMA 1.8 Fie un triunghi ABC, M ∈ (BC, N ∈ (AC, P ∈ (AB. Dac˘
a
punctele M, N, P sunt coliniare, atunci:
M B CN AP
· · = 1. (1.8)
MC NA PB
Demonstratie. Construim dreapta d care se intersecteaz˘ cu (BC ˆn punctul M ,
¸ a ı
cu (AC ˆn N si cu (AB ˆn P . Ducem prin C paralela la d care se intersecteaz˘ cu
ı ¸ ı a
AB ˆn R.
ı
A
B
C
R
P N d M
Figura 1.11:
Aplic˘ m teorema lui Thales
a
• ˆn triunghiul BM P cu CR
ı MP :
MB PB
= , (1.9)
MC PR

16. 12 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
• ˆn triunghiul ARC cu P N
ı RC:
CN PR
= . (1.10)
NA PA
Din relatiile (1.9) si (1.10) rezult˘ :
¸ ¸ a
M B CN AP P B P R AP
· · = · · = 1.
MC NA PB PR PA PB
q.e.d.
ˆ continuare vom prezenta teorema lui Menelaus pentru un patrulater:
In
TEOREMA 1.9 Fie ABCD un patrulater si punctele M ∈ (CB, N ∈ (AB), P ∈
¸
(DC), Q ∈ (AD. Dac˘ punctele M, N, P, Q sunt coliniare, atunci
a
M C BN AQ P D
· · · = 1. (1.11)
M B N A QD P C
Demonstratie. Not˘ m cu d dreapta care contine punctele M, N, P, Q. Se con-
¸ a ¸
struiesc paralele la dreapta d prin punctele B si A care se intersecteaz˘ cu (CD ˆn
¸ a ı
punctele R si S.
¸
C
D
B
R
Q
P N M d
S A
Figura 1.12: Teorema lui Menelaus ˆn patrulater
ı
Aplic˘ m teorema lui Thales
a
• ˆn triunghiul CM P cu BR
ı MP :
MC PC
= , (1.12)
MB PR
• ˆn triunghiul ADS cu P Q
ı AS:
AQ PS
= . (1.13)
QD PD

17. 1.2. TEOREMELE MENELAUS SI CEVA
¸ 13
Dreptele BR NP AS t˘ iate de secantele AB si CS determin˘ proportionalitatea
a ¸ a ¸
segmentelor:
BN PR
= . (1.14)
NA PS
Din relatiile (1.12), (1.13), (1.14) se obtine:
¸ ¸
M B BN AQ P D PC PR PS PD
· · · = · · · = 1.
M C N A QD P C PR PS PD PC
q.e.d.
ˆ acelasi mod se poate demonstra o relatie ca cea din teorema lui Menelaus pentru
In ¸ ¸
un poligon cu n > 4 laturi convex sau concav.
1.2.2 Teorema lui Ceva
Teorema lui Ceva este un rezultat din geometria triunghiului, cu aplicatii ˆn geome-
¸ ı
tria proiectiv˘ . A fost descoperit˘ de matematicianul italian Giovanni Ceva, care a
a a
formulat-o si a demonstrat-o ˆn 1678 ˆn lucrarea De lineis rectis se invicem secanti-
¸ ı ı
bus statica constructio.
Se pare c˘ aceast˘ teorem˘ era cunoscut˘ , cu multe secole ˆnainte (secolul al XI-
a a a a ı
lea), si de unii matematicieni arabi (Yusuf Al-Mu’taman ibn Hud).
¸
TEOREMA 1.10 (TEOREMA LUI CEVA)
Fie triunghiul ABC si D, E, F trei puncte diferite de vˆ rfurile triunghiului, aflate
¸ a
respectiv pe laturile acestuia [BC], [CA], [AB].Dac˘ dreptele AD, BE si CF sunt
a ¸
concurente atunci:
AF BD CE
· · = 1. (1.15)
F B DC EA
A
F
E
B C
D
Figura 1.13: Teorema lui Ceva

18. 14 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
Demonstratie. Not˘ m cu M punctul de intersectie al dreptelor AD, BE si CF .
¸ a ¸ ¸
Aplic˘ m teorema lui Menelaus pentru:
a
-triunghiul ABD cu secanta CF
CB M D F A
· · = 1, (1.16)
CD M A F B
de unde se obtine:
¸
MD F B CD
= · ; (1.17)
MA F A CB
-ˆn triunghiul ADC cu secanta BE
ı
BC M D AE
· · = 1. (1.18)
BD M A EC
Din relatiile (1.17) si (1.18) se obtine:
¸ ¸ ¸
BC F B CD AE
· · · = 1,
BD F A CB EC
adic˘ relatia din teorem˘ .
a ¸ a q.e.d.
ˆ
Intr-un triunghi dreapta care uneste un vˆ rf al acestuia cu un punct de pe latura
¸ a
opus˘ se numeste cevian˘ .
a ¸ a
TEOREMA 1.11 (Reciproca teoremei lui Ceva)
Dac˘ AD, BE, CF sunt trei ceviene ˆn triunghiul ABC si
a ı ¸
AF BD CE
· · = 1. (1.19)
F B DC EA
atunci cevienele sunt concurente.
Demonstratie. Demonstratia se face prin reducere la absurd.
¸ ¸
Presupunem c˘ AD nu trece prin punctul M , {M } = CF ∩ BE. Fie N punctul
a
de intersectie dintre AM si BC, AM ∩ BC = {N }. Aplicˆ nd teorema lui Ceva
¸ ¸ a
pentru punctele E, F si N si comparˆ nd cu relatia din enunt obtinem c˘ M = N .
¸ ¸ a ¸ ¸ ¸ a
q.e.d.
1.2.3 Teorema lui VAN AUBEL
TEOREMA 1.12 (TEOREMA LUI VAN AUBEL)
Fie un triunghi ABC, D ∈ (BC), E ∈ (AC), F ∈ (AB). Dac˘ AD, BE, CF
a
sunt concurente ˆn M atunci
ı
EA F A MA
+ = . (1.20)
EC F B MD

19. 1.3. PATRULATERE INSCRIPTIBILE 15
A
B D C
F M
E
Figura 1.14: Teorema lui Van Aubel
Demonstratie. Se aplic˘ teorema lui Menelaus:
¸ a
ˆn triunghiul ABD cu secanta F C
ı
F B AM DC
· · = 1, (1.21)
AF M D BC
de unde rezult˘
a
AM DC AF
· = . (1.22)
M D BC FB
si ˆn triunghiul ADC cu secanta BE
¸ ı
CE AM BD
· · =1 (1.23)
AE M D BC
de unde rezult˘ :
a
AM BD AE
· = . (1.24)
M D BC CE
Adun˘ m relatiile (1.22) si (1.24):
a ¸ ¸
AM DC BD AF AE
+ == + ⇒
MD BC BC F B CE
EA F A MA
+ = .
EC F B MD
q.e.d.
1.3 Patrulatere inscriptibile
Dac˘ ˆn cazul triunghiului ˆntotdeauna exist˘ un cerc circumscris acestuia, ˆn cazul
aı ı a ı
patrulaterelor nu se aplic˘ acest rezultat, adic˘ nu orice patrulater poate fi ˆnscris
a a ı
ˆntr-un cerc.
ı

20. 16 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
DEFINITIA 1.4 1. Patru puncte (sau mai multe) se numesc puncte concilice dac˘
¸ a
exist˘ un cerc c˘ ruia s˘ -i apartin˘ toate cele patru puncte.
a a a ¸ a
2. Un patrulater se numeste inscriptibil dac˘ cele patru vˆ rfuri ale sale sunt puncte
¸ a a
conciclice.
A
B
O
D
C
Figura 1.15: Patrulater inscriptibil
PROPOZITIA 1.1 Propriet˘ ¸i ale patrulaterului inscriptibil
¸ at
ˆ
1. Intr-un patrulater inscriptibil, unghiurile opuse sunt suplementare.
2. Unghiurile formate de diagonale cu dou˘ laturi opuse sunt congruente.
a
Demonstratia acestor afirmatii este imediat˘ folosind m˘ rimea arcelor subˆntinse
¸ ¸ a a ı
de aceste unghiuri.
Reciprocele acestor afirmatii, de asemenea, se pot demonstra usor.
¸ ¸
PROPOZITIA 1.2 Un patrulater este inscriptibil dac˘ si numai dac˘ mediatoarele
¸ a¸ a
laturilor sale sunt concurente.
Demonstratie. “⇒” Se consider˘ un un patrulater ABCD, care este inscriptibil,
¸ a
adic˘ exist˘ un cerc C(O, r) care contine punctele A, B, C, D. Atunci
a a ¸
OA = OB = OC = OD = r,
deci punctul O se afl˘ pe mediatoarele segmentelor [AB], [BC], [AC], [AD].
a
“⇐” Se consider˘ patrulaterul ABCD, cu mediatoarele laturilor sale [AB], [BC],
a
[AC], [AD], concurente ˆn punctul O.
ı
Atunci folosind proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment de a se
¸ ¸˘ ¸˘
afla la aceeasi distanta fata de capetele lui se obtine
¸
OA = OB = OC = OD = r,
adic˘ vˆ rfurile lui se afl˘ pe cercul cu centrul ˆn punctul O si raz˘ r.
a a a ı ¸ a q.e.d.

21. 1.3. PATRULATERE INSCRIPTIBILE 17
A
B
O
D
C
Figura 1.16: Patrulater inscriptibil
Cazuri particulare de patrulatere inscriptibile
1. Dreptunghiul, p˘ tratul sunt patrulatere inscriptibile.
a
2. Un trapez este inscriptibil dac˘ si numai dac˘ este isoscel.
a¸ a
1.3.1 Teorema lui Ptolemeu
Inegalitatea lui Ptolemeu ˆ orice patrulater convex ABCD are loc relatia:
In ¸
AC · BD ≤ AB · CD + BC · AD.
TEOREMA 1.13 (TEOREMA LUI PTOLEMEU)
Patrulaterul convex ABCD este inscriptibil dac˘ si numai dac˘
a¸ a
AC · BD = AB · CD + BC · AD.(Relatia
¸ lui P tolemeu) (1.25)
A
B
K
D
C
Figura 1.17: Teorema lui Ptolemeu
Demonstratie. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Pe diagonala AC se consi-
¸
der˘ punctul K astfel ˆncˆ t ABK = CBD.
a ı a
ABK + CBK = ABC = CBD + ABD ⇒ CBK = ABD.

22. 18 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
Se observ˘ c˘ triunghiurile ABK ∼ DBC, de unde rezult˘
a a a
AK AB
= , (1.26)
CD BD
iar triunghiul ABD ∼ KBC, cu
CK BC
= . (1.27)
DA BD
Putem scrie:
AK · BD = AB · CD
CK · BD = AD · BC
si adunˆ nd aceste relatii obtinem relatia lui Ptolemeu.
¸ a ¸ ¸ ¸ q.e.d.
Observatia 1.1 Se pot deplasa punctele A, B, C, D pe cerc oricum, dar ca relatia
¸ ¸
lui Ptolemeu s˘ se verifice este necesar ca AC si BD s˘ r˘ mˆ n˘ diagonale.
a ¸ a a a a
ˆ
In cazul ˆn care ABCD este dreptunghi, relatia lui Ptolemeu devine teorema lui
ı ¸
PITAGORA.
1.4 Patrulatere circumscriptibile
DEFINITIA 1.5 1. Un patrulater care are cele patru laturi tangente unui cerc se
¸
numeste patrulater circumscris cercului.
¸
2. Un patrulater spunem c˘ este circumscriptibil dac˘ poate fi circumscris unui
a a
cerc.
Nu putem spune c˘ orice patrulater este circumscriptibil.
a
PROPOZITIA 1.3 Un patrulater poate fi circumscris unui cerc dac˘ si numai dac˘
¸ a¸ a
bisectoarele unghiurilor sale sunt concurente.
Demonstratie. “⇒” Consider˘ m un patrulater ABCD circumscris unui cerc,
¸ a
adic˘ laturile sale [AB], [BC], [AC], [AD] sunt tangente la un cerc C(O, r). Atunci
a
d(O, AB) = d(O, BC) = d(O, CD) = d(O, AD) = r,
deci punctul O se afl˘ pe bisectoarele unghiurilor A, B, C, D.
a
“⇐” Se consider˘ patrulaterul ABCD, cu bisectoarele unghiurilor sale concu-
a
rente ˆn punctul O.
ı

23. 1.4. PATRULATERE CIRCUMSCRIPTIBILE 19
A
B O
D
C
Figura 1.18: Patrulater circumscris
Atunci folosind proprietatea punctelor de pe bisectoare de a se afla la aceeasi
¸
¸˘ ¸˘
distanta fata de laturile unghiului se obtine
¸
d(O, AB) = d(O, BC) = d(O, CD) = d(O, AD) = r,
adic˘ cercul cu centrul ˆn punctul O si raz˘ r este tangent fiec˘ rei laturi a patrulate-
a ı ¸ a a
rului.
q.e.d.
PROPOZITIA 1.4 Un patrulater este circumscriptibil dac˘ si numai dac˘ suma
¸ a ¸ a
lungimilor laturilor opuse este aceeasi,
¸
AB + CD = AD + BC.
Aceasta proprietate poate fi usor demonstrat˘ , deoarece stim c˘ tangentele duse dintr-
¸ a ¸ a
un punct la un cerc au aceeasi lungime.
¸
PROPOZITIA 1.5 1. Dac˘ un patrulater circumscris unui cerc este trapez atunci
¸ a
punctele de contact cu cercul ale bazelor si centrul cercului sunt colineare.
¸
2. Dac˘ trapezul este isoscel atunci lungimea diametrului cercului ˆnscris ˆn trapez
a ı ı
este media geometric˘ a lungimii bazelor.
a
Demonstratie.
¸
1.Triunghiurile ∆DEO ≡ ∆DIO sunt congruente, pentru c˘ sunt dreptunghice
a
si au laturile respectiv egale.
¸

24. 20 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
A E D
I
O
B F C
Figura 1.19: Trapez circumscris
Congruente sunt si triunghiurile ∆OIC ≡ δOF C (se poate demonstra tot folo-
¸
¸˘
sind cazul 3 de congruenta a triunghiurilor). Obtinem astfel congruenta unghiurilor
¸ ¸
EOD ≡ DOI si IOC ≡ COF .Dar triunghiul DOC este dreptunghic cu unghiul
¸
drept DOC. Atunci se observ˘ c˘ unghiul EOF este alungit, adic˘ m˘ sura lui este
a a a a
◦
180 , ceea ce ne arat˘ coliniaritatea celor trei puncte.
a
2.ˆ triunghiul dreptunghic DOC segmentul OI este ˆn˘ ltime pe ipotenuz˘ si cum
In ı a¸ a¸
DI = DE, CI = CF obtinem ¸
DE · CF = OI 2 = r2 ; AE · BF = r2 .
Dac˘ trapezul este isoscel se obtine proprietatea anuntat˘ .
a ¸ ¸ a q.e.d.
1.4.1 Cercul lui Euler
Cercul lui Euler sau cercul celor 9 puncte este cercul ce trece prin mijloacele laturilor
unui triunghi ; picioarele ˆnˆ ltimilor ; mijloacele segmentelor cuprinse ˆntre vˆ rfuri
ı a¸ ı a
si ortocentru.
¸
Centrul lui se g˘ seste la mijlocul segmentului HO ( H este ortocentrul; O este-
a ¸
centrul cercului circumscris) si are raza egal˘ cu jum˘ tatea razei cercului circumscris.
¸ a a
Vom demonstra conciclitatea celor 9 puncte ˆn capitolul urm˘ tor, folosind trans-
ı a
form˘ rile geometrice.
a
1.5 Probleme de coliniaritate
1.5.1 Metode de demonstrare a coliniarit˘ tii unor puncte
a¸
Coliniaritatea a trei puncte se poate demonstra prin mai multe metode:

25. 1.5. PROBLEME DE COLINIARITATE 21
1. folosind identitatea AB = AC + CB, unde AB, AC, BC sunt segmente de
dreapt˘ ;
a
2. utilizˆ nd reciproca teoremei unghiurilor opuse la vˆ rf;
a a
3. cu ajutorul unghiului alungit;
4. identificarea apartenentei punctelor la o dreapt˘ remarcabil˘ (linie mijlocie, me-
¸ a a
diatoare, bisectoare, etc.) ˆn configuratia respectiv˘ .
ı ¸ a
5. folosind postulatul lui Euclid: Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce
o paralel˘ si numai una la acea dreapt˘ .
a¸ a
6. cu ajutorul propriet˘¸ilor paralelogramului;
at
7. folosind unicitatea perpendicularei dintr-un punct pe o dreapt˘ ;
a
8. utilizˆ nd reciproca teoremei lui Menelaus;
a
9. prin utilizarea axiomei 6 de incidenta (sau de situare): Dac˘ dou˘ plane distincte
a a
au un punct comun atunci intersectia lor este o dreapt˘ ;
¸ a
10. prin metoda analitic˘ ;
a
11. prin metoda vectorial˘ ;
a
12. folosind transform˘ ri geometrice;
a
13. folosind numerele complexe: punctele M1 (z1 ), M2 (z2 ), M3 (z3 ) sunt colineare
z3 − z1
dac˘ si numai dac˘
a¸ a ∈ R.
z2 − z1
1.5.2 Teorema lui Euler, dreapta lui Simpson
Dreapta lui Euler
ˆ
TEOREMA 1.14 In orice triunghi ortocentrul H, centrul de greutate G si centrul
¸
cercului circumscris triunghiului sunt coliniare.
Dreapta determinat˘ de cele trei puncte se numeste dreapta lui Euler.
a ¸
Demonstratie. a)Dac˘ triunghiul ABC este isoscel sau dreptunghic, atunci cele
¸ a
trei puncte se afl˘ pe o median˘ .
a a
b)ˆ cazul triunghiului oarecare ABC, not˘ m cu A1 , B1 picioarele ˆn˘ ltimilor din
In a ı a¸
vˆ rfurile A si B, iar picioarele medianelor din aceste vˆ rfuri sunt A si B . Triunghiu-
a ¸ a ¸
rile HAB si OA B pentru c˘ au laturile paralele. Folosind teorema fundamental˘ a
¸ a a

26. 22 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
asem˘ n˘ rii se obtine:
a a ¸
HA HB AB HA
= = =2⇒ = 2.
OA OB AB OA
AG
Dar punctul G ˆmparte mediana ˆn raportul
ı ı GA = 2. Atunci triunghiurile OGA si
¸
A
B1
B’
H
O
G
B C
A1 A’
Figura 1.20:
HGA sunt asemenea conform cazului al doilea de asem˘ nare si rezult˘
a ¸ a
OGA = AGH,
ceea ce implic˘ coliniaritatea punctelor O, G, H.
a q.e.d.
Dreapta lui Simpson
TEOREMA 1.15 Proiectiile ortogonale ale unui punct de pe cercul circumscris tri-
¸
unghiului ABC pe laturile acestuia sunt coliniare.
Dreapta care contine punctele coliniare din teorema anterioar˘ se numeste dreapta
¸ a ¸
lui Simpson.
Demonstratie. Consider˘ m un punct M pe cercul circumscris triunghiului ABC
¸ a
si not˘ m proiectiile ortogonale ale acestuia pe laturile BC, AC, AB cu D, E, respec-
¸ a ¸
tiv F .
Patrulaterele AEM F, F BDM sunt inscriptibile pentru c˘ au unghiurile opuse
a
suplementare, dar si M EDC este inscriptibil.
¸
Atunci
DEC = DM C = 90◦ − DCM = 90◦ − F AM = F M A = F EA.

27. 1.5. PROBLEME DE COLINIARITATE 23
F
A M
E
B C
D
Figura 1.21:
Obtinem DEC = F EA, care sunt unghiuri opuse la vˆ rf, ceea ce implic˘ coliniari-
¸ a a
tatea punctelor D, E, F .
q.e.d.
1.5.3 Relatia lui Carnot
¸
TEOREMA 1.16 (TEOREMA LUI CARNOT)
Fie un triunghi ABC, D ∈ (BC), E ∈ (AC), F ∈ (AB).Perpendicularele ˆn D
ı
pe (BC), ˆn E pe (AC) si ˆn F pe (AB) sunt concurente dac˘ si numai dac˘
ı ¸ ı a¸ a
DB 2 − DC 2 + EC 2 − EA2 + F A2 − F B 2 = 0. (1.28)
Relatia (1.28) se numeste relatia lui Carnot.
¸ ¸ ¸
Demonstratie. “⇒” Presupunem c˘ perpendicularele ˆn D pe (BC), ˆn E pe (AC)
¸ a ı ı
si ˆn F pe (AB) sunt concurente. Se formeaz˘ triunghiurile dreptunghice DM B,
¸ ı a
DM C, EM C, EM A, AM F , F M B pentru care vom scrie teorema lui Pitagora
obtinˆ nd relatiile:
¸ a ¸
BM 2 = M D2 + DB 2 ; (1.29)
CM 2 = M D2 + DC 2 ; (1.30)
CM 2 = M E 2 + EC 2 ; (1.31)
AM 2 = M E 2 + EA2 ; (1.32)

28. 24 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
A
F
E
M
B D C
Figura 1.22:
AM 2 = F A2 + F M 2 ; (1.33)
BM 2 = F M 2 + F B 2 . (1.34)
Scazˆ nd relatiile dou˘ cˆ te dou˘ obtinem:
a ¸ a a a ¸
BM 2 − CM 2 = DB 2 − DC 2 ;
CM 2 − AM 2 = EC 2 − EA2 ;
AM 2 − BM 2 = F A2 − F B 2 .
Vom aduna aceste trei relatii si se va obtine relatia lui Carnot.
¸ ¸ ¸ ¸
“ ⇐ Presupunem c˘ relatia lui Carnot este adev˘ rat˘ , dar perpendicularele pe
a ¸ a a
A
F
N E
M
B D C
Figura 1.23:
laturile triunghiului construite ˆn punctele D, E, F nu sunt concurente.
ı

29. ¸˘
1.6. PROBLEME DE CONCURENTA 25
Perpendicularele construite ˆn dou˘ dintre aceste puncte sunt concurente, de exem-
ı a
plu cea construit˘ ˆn punctul D si cea din E. Punctul lor de concurenta va fi M .
aı ¸ ¸˘
Not˘ m proiectia punctului M pe latura AB cu N . Conform implicatiei directe
a ¸ ¸
care a fost demonstrat˘ , putem scrie relatia lui Carnot pentru punctele N, E, D:
a ¸
DB 2 − DC 2 + EC 2 − EA2 + N A2 − N B 2 = 0. (1.35)
Conform ipotezei:
DB 2 − DC 2 + EC 2 − EA2 + F A2 − F B 2 = 0. (1.36)
Sc˘ zˆ nd (1.28) si (1.36), rezult˘ :
a a ¸ a
N A2 − N B 2 = F A 2 − F B 2 .
Not˘ m BN = m, N F = x, AF = n si relatia anterioar˘ va fi
a ¸ ¸ a
(n + x)2 − m2 = n2 − (m + x)2
ceea ce implic˘ x = 0, adic˘ punctele N, F coincid.
a a q.e.d.
1.6 ¸˘
Probleme de concurenta
1.6.1 Metode de demonstrare a concurentei unor drepte
¸
Pentru a demonstra concurenta a dou˘ sau mai multe drepte putem folosi una dintre
¸ a
urm˘ toarele metode:
a
1. folosind de definitia dreptelor concurente, adic˘ s˘ ar˘ tam c˘ exist˘ un punct
¸ a a a a a
comun dreptelor;
2. concurenta a trei drepte const˘ ˆn a ar˘ ta c˘ punctul de intersectie a dou˘ drepte
¸ aı a a ¸ a
apartine si celei de a treia drepte;
¸ ¸
3. pentru a demonstra concurenta a trei drepte putem s˘ folosim teoremele referi-
¸ a
toare la concurenta liniilor importante ˆn triunghi;
¸ ı
4. folosind reciproca teoremei lui Ceva;
5. prin metoda analitic˘ , folosind ecuatiile analitice ale dreptelor;
a ¸
6. pentru concurenta a trei drepte, demonstr˘ m c˘ se intersecteaz˘ dou˘ cˆ te dou˘
¸ a a a a a a
si aria poligonului obtinut este 0.
¸ ¸

30. 26 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
1.6.2 Teoremele lui Gergonne
TEOREMA 1.17 (TEOREMA LUI GERGONNE)
Fie un triunghi ABC, D ∈ (BC), E ∈ (AC), F ∈ (AB). Dac˘ AD, BE si CF
a ¸
sunt concurente ˆn punctul M atunci:
ı
DM EM F M
+ + = 1. (1.37)
AD BE CF
Demonstratie. Not˘ m cu ha distanta de la punctul A la BC; cu da distanta de
¸ a ¸ ¸
la punctul M la BC; ABM C aria triunghiului BM C si cu AABC aria triunghiului
¸
ABC.
A
E
F M
B C
D
Figura 1.24: Teorema lui Gergonne
ABM C da
Se observ˘ c˘
a a = (au aceeasi baz˘ .
¸ a
AABC ha
Se construiesc ˆn˘ ltimile AG pentru triunghiul ABC si M I pentru triunghiul
ı a¸ ¸
BM C. Se formeaz˘ astfel triunghiurile asemenea AGD si M ID, pentru care putem
a ¸
scrie:
da MD
= . (1.38)
ha AD
Se obtine:
¸
ABM C MD
= (1.39)
AABC AD
Prin procedee analoage se pot obtine:
¸
AAM B MF
= ; (1.40)
AABC CF
AAM C ME
= (1.41)
AABC BE

31. ¸˘
1.6. PROBLEME DE CONCURENTA 27
adunˆ nd relatiile (1.39),(1.40), (1.41) vom obtine:
a ¸ ¸
ABM C AAM C AAM B DM EM F M
1= + + = + + .
AABC AABC AABC AD BE CF
q.e.d.
TEOREMA 1.18 (PUNCTUL LUI GERGONNE)
Fie cercul ˆnscris ˆn triunghiul ABC. Dac˘ M, N, P sunt punctele de tangenta
ı ı a ¸˘
ale cercului cu laturile triunghiului, atunci AM, BN, CP sunt concurente ˆn punctul
ı
lui Gergonne.
Pentru demonstratie se foloseste reciproca teoremei lui Ceva.
¸ ¸
1.6.3 Teorema lui Steiner
TEOREMA 1.19 (TEOREMA LUI STEINER)
Dac˘ AM, AN sunt ceviene ˆn triunghiul ABC, egal ˆnclinate fata de bisectoarea
a ı ı ¸˘
unghiului A, atunci are loc relatia:
¸
AB 2 BM · BN
= (1.42)
AC 2 CM · CN
A
B C
M N
Figura 1.25: Teorema lui Steiner
Demonstratie. Not˘ m m˘ surile unghiurilor: BAM = CAN = x, M AN =
¸ a a
y, AM N = z, AN M = t. Calcul˘ m ariile triunghiurilor:
a
AABD = 0, 5AD · BD sin(180◦ − z) = 0, 5AB · AD sin x; (1.43)
AADC = 0, 5AD · DC sin(z) = 0, 5AC · AD sin(x + y). (1.44)

32. 28 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
ˆ artim aceste relatii si se obtine:
Imp˘ ¸ ¸ ¸ ¸
BD AB sin x
= . (1.45)
DC AC sin(x + y)
Preced˘ m analog pentru:
a
AABE = 0, 5AE · BE sin t = 0, 5AE · AB sin(x + y); (1.46)
AAEC = 0, 5AE · EC sin(180◦ − t) = 0, 5AE · AC sin x. (1.47)
ˆ artim relatiile (1.46) si (1.47) :
Imp˘ ¸ ¸ ¸
BE AB sin(x + y)
= . (1.48)
EC AC sin x
ˆ
Inmultind relatiile (1.45) si (1.48) obtinem concluzia teoremei.
¸ ¸ ¸ ¸ q.e.d.
Cevienele AM, AN din teorema lui Steiner sunt si egal ˆnclinate fata de laturile
¸ ı ¸˘
triunghiului care pleac˘ din acelasi vˆ rf cu ele. Se numesc ceviene izogonale.
a ¸ a
Un exemplu de ceviene izogonale sunt ˆnaltimea dintr-un vˆ rf si diametrul cercu-
ı ¸ a ¸
lui circumscris triunghiului, dus din vˆ rful respectiv.
a
A
h
O
B C
D
E
Figura 1.26: Ceviene izogonale
1.7 Relatii metrice ˆn triunghi si patrulater
¸ ı ¸
1.7.1 Teorema Pitagora generalizat˘
a
Este bine cunoscut˘ teorema lui Pitagora, care se aplic˘ ˆn triunghiuri dreptunghice.
a aı
Acum prezent˘ m generalizarea ei, numit˘ si teorema cosinusului, care se poate aplica
a a¸
ˆn orice triunghi.
ı

33. ¸ ˆ
1.7. RELATII METRICE IN TRIUNGHI SI PATRULATER
¸ 29
aı ˆ
TEOREMA 1.20 Dac˘ ˆn triunghiul ABC, C este un unghi ascutit si D = prBC A,
¸ ¸
atunci:
AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2BC · DC.
Demonstratie. Vom discuta 3 cazuri:
¸
ˆ
a) unghiul B este ascutit, not˘ m cu D = prBC A, atunci D ∈ (BC) Triunghiurile
¸ a
A
B C
D
Figura 1.27: teorema lui Pitagora generalizat˘
a
ABD si ADC fiind dreptunghice vom aplica teorema Pitagora:
¸
AB 2 = AD2 + BD2 (1.49)
AD2 = AC 2 − DC 2 (1.50)
BD = BC − DC. (1.51)
Se ˆnlocuieste ˆn (1.49) AD si BD date de egalit˘¸ile (1.50) si (1.51) atunci
ı ¸ ı ¸ at ¸
AB 2 = AC 2 − DC 2 + (BC − DC)2
,
AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2BC · DC.
ˆ
a) unghiul B este obtuz, atunci B ∈ (DC). Egalit˘¸ile (1.49) si (1.50) r˘ mˆ n
at ¸ a a
adev˘ rate si
a ¸
BD = DC − BC. (1.52)
ˆ
Inlocuind ˆn (1.49) AD si BD date de (1.50) si (1.52) se obtine:
ı ¸ ¸ ¸
AB 2 = AC 2 − DC 2 + (DC − BC)2
,
AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2BC · DC.
c) pentru B unghi drept se aplic˘ Pitagora.
a q.e.d.

34. 30 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA
A
B C
D
Figura 1.28: teorema lui Pitagora generalizat˘
a
1.7.2 Relatia lui Stewart
¸
Teorema lui Stewart furnizeaz˘ o relatie ˆntre lungimile laturilor unui triunghi si
a ¸ ı ¸
lungimea segmentului dintr-un vˆ rf la un punct de pe latura opus˘ .
a a
TEOREMA 1.21 (TEOREMA LUI STEWART) Fie un triunghi ABC cu lungimile
A
c p b
x y
B C
P
a
Figura 1.29: teorema Stewart
laturilor BC = a, AC = b, AB = c. Fie P un punct pe latura [BC] care divide
latura ˆn dou˘ segmente cu lungimile BP = x, P C = y. Lungimea segmentului AP
ı a
o vom nota cu p. Atunci:
a(p2 + xy) = b2 x + c2 y. (1.53)
Demonstratie. Aplic˘ m teorema Pitagora generalizat˘ ˆn triunghiurile ABP si
¸ a aı ¸
AP C corespunz˘ toare unghiurilor suplementare AP B, respectiv AP C si adun˘ m
a ¸ a
relatiile obtinute, dar nu ˆnainte de a le ˆnmulti cu y respectiv x.
¸ ¸ ı ı ¸
q.e.d.

35. ¸ ˆ
1.7. RELATII METRICE IN TRIUNGHI SI PATRULATER
¸ 31
1.7.3 Teorema medianei
ˆ geometria plan˘ , teorema medianei stabileste o relatie ˆntre lungimea unei me-
In a ¸ ¸ ı
diane dintr-un triunghi si lungimile laturilor triunghiului. Teorema medianei este un
¸
caz particular al teoremei lui Stewart.
TEOREMA 1.22 Fie triunghiul ABC cu M mijlocul laturii (BC). Atunci:
2(b2 + c2 ) − a2
m2 =
a (1.54)
4
unde ma = AM, a = BC, b = AC, c = AB.
ˆ
COROLARUL 1.1 Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei corespunz˘ toare
a
unghiului drept este egal˘ cu jum˘ tate din lungimea ipotenuzei.
a a
1.7.4 Relatia lui Euler pentru patrulatere
¸
TEOREMA 1.23 Fie patrulaterul ABCD, E mijlocul diagonalei AC si F mijlocul
¸
lui BD. Atunci:
AB 2 + BC 2 + CD2 + AD2 = AC 2 + BD2 + 4EF 2 . (1.55)
Relatia (1.55) se numeste relatia lui Euler pentru patrulatere.
¸ ¸ ¸
Demonstratie. Se construiesc AF, F C, BE, DE. Vom folosi teorema medianei
¸
ˆn:
ı
• triunghiul ABD:
4AF 2 = 2(AB 2 + AD2 ) − BD2 ; (1.56)
• triunghiul BCD:
4CF 2 = 2(BC 2 + CD2 ) − BD2 ; (1.57)
• triunghiul ABC:
4BE 2 = 2(AB 2 + BC 2 ) − AC 2 ; (1.58)
• triunghiul ADC:
4DE 2 = 2(AD2 + CD2 ) − AC 2 ; (1.59)
• triunghiul AF C:
4EF 2 = 2(AF 2 + F C 2 ) − AC 2 ; (1.60)
• triunghiul BED:
4EF 2 = 2(BE 2 + ED2 ) − BD2 . (1.61)
Se adun˘ relatiile (1.56),(1.57), (1.58), (1.59) cu relatiile (1.60), (1.61) ˆnmultite
a ¸ ¸ ı ¸
cu 2 si se obtine (1.55).
¸ ¸
q.e.d.

36. 32 ˘ ˘
CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA PLANA

37. Capitolul 2
Transform˘ ri geometrice
a
Istoria matematicii consemneaz˘ c˘ transform˘ rile geometrice au fost folosite pentru
a a a
obtinerea primelor demonstratii ale unor teoreme de geometrie.
¸ ¸
Astfel se afirm˘ c˘ Thales din Milet a demonstrat prin suprapunerea figurilor,
a a
folosind ideea de miscare, tradus˘ ast˘ zi ˆn aceea de transformare geometric˘ , teore-
¸ a a ı a
mele: unghiurile opuse la vˆ rf sunt congruente; unghiurile de la baza unui triunghi
a
isoscel sunt congruente; diametrul ˆmparte cercul ˆn dou˘ p˘¸i congruente s.a.
ı ı a at ¸
Mai tˆ rziu, Aristotel a eliminat miscarea din geometrie si deci si transform˘ rile
a ¸ ¸ ¸ a
geometrice, considerˆ nd obiectele matematicii ca entit˘¸i abstracte. Aceast˘ conceptie
a at a ¸
a fost concretizat˘ de Euclid prin celebra sa carte ”Elementele”, ˆn care geometria
a ı
este construit˘ f˘ r˘ utilizarea ideii de miscare pentru c˘ aceasta nu poate exista, con-
a aa ¸ a
form conceptiei lui Platon, Aristotel, Euclid, ˆn lumea formelor ideale.
¸ ı
Pe aceeasi linie s-a situat D. Hilbert ˆn constructia sistemului cunoscut de axiome
¸ ı ¸
ale geometriei. El a ˆnlocuit ideea de miscare cu ceea de figuri congruente.
ı ¸
Predarea geometriei ˆn spiritul axiomaticii lui Hilbert sau a lui Birkhoff este im-
ı
plicat˘ , indiscutabil, ˆn diminuarea ponderii transform˘ rilor geometrice ˆn unele pro-
a ı a ı
grame analitice si manuale.
¸
Intuitia asigur˘ ˆntelegerea de c˘ tre elevi a notiunilor de miscare, suprapunere,
¸ aı ¸ a ¸ ¸
transformare a figurilor, ceea ce favorizeaz˘ ˆntelegerea ulterioar˘ a unor concepte
aı ¸ a
fundamentale din geometrie sau ofer˘ o cale de a p˘ trunde ˆn corpul teoremelor geo-
a a ı
metrice f˘ r˘ supozitii complicate, greu de explicitat si de motivat. Acest fapt indic˘
aa ¸ ¸ a
posibilitatea de a introduce ˆn geometrie transform˘ rile geometrice.
ı a
Transform˘ rile geometrice sunt ˆn esenta functii. Studiul lor este calea principal˘
a ı ¸˘ ¸ a
pe care notiunea de functie p˘ trunde ˆn geometrie.
¸ ¸ a ı
Desi transform˘ rile geometrice erau folosite de mult timp ˆn rezolvarea unor pro-
¸ a ı
bleme de geometrie, ele nu au fost gˆ ndite ca functii decˆ t relativ recent, cˆ nd figurile
a ¸ a a
geometrice au fost concepute ca multimi de puncte.
¸
Ca orice alte functii, transform˘ rile geometrice se pot compune. Exist˘ multe
¸ a a
situatii ˆn care multimea transform˘ rilor geometrice de un anumit tip este ˆnchis˘
¸ ı ¸ a ı a
33

38. 34 ˘
CAPITOLUL 2. TRANSFORMARI GEOMETRICE
la compunere, formˆ nd un grup. Amintim grupul translatiilor, grupul rotatiilor de
a ¸ ¸
acelasi centru, grupul asem˘ n˘ rilor. Asadar transform˘ rile geometrice furnizeaz˘
¸ a a ¸ a a
exemple netriviale de grupuri, fapt ce faciliteaz˘ ˆntelegerea notiunii abstracte de
aı ¸ ¸
grup la algebr˘ si care indic˘ rolul integrator al transform˘ rilor geometrice cu algebra
a¸ a a
abstract˘ .
a
Primele obiective operationale care se urm˘ resc ˆn predarea temei respective sunt:
¸ a ı
- construirea imaginii unui punct printr-o anume transformare geometric˘ ; a
- determinarea punctelor ce corespund printr-o transformare care duce o figur˘ a
ˆntr-o alt˘ figur˘ ;
ı a a
- remarcarea elementelor care determin˘ o transformare geometric˘ : centrul si-
a a
metriei, centrul si unghiul rotatiei, etc.;
¸ ¸
- construirea imaginii unei figuri printr-o transformare geometric˘ . a
Prin atingerea acestor obiective elevii cap˘ t˘ deprinderea de a folosi transform˘ rile
aa a
geometrice ˆn rezolvarea problemelor.
ı
ˆ functie de timpul disponibil, se poate aborda structura grupal˘ a transform˘ rilor
In ¸ a a
geometrice si teoreme de exprimare a unor transform˘ ri geometrice ca o compunere
¸ a
de transform˘ ri mai simple. De exemplu, orice izometrie este compunerea a cel mult
a
trei simetrii axiale.
O structur˘ geometric˘ suficient de simpl˘ si ˆn acelasi timp cu multe propriet˘¸i
a a a¸ ı ¸ at
este structura metric˘ a planului (spatiului) dat˘ de distanta dintre dou˘ puncte.
a ¸ a ¸ a
Aceast˘ structur˘ are si un accentuat caracter intuitiv, ceea ce permite utilizarea ei ˆn
a a ¸ ı
clasele a VI-a si a VII-a.Transform˘ rile geometrice compatibile cu structura metric˘
¸ a a
sunt interesante si bogate ˆn propriet˘¸i. Dou˘ asemenea clase de transform˘ ri sunt
¸ ı at a a
studiate cu prec˘ dere: izometriile si asem˘ n˘ rile.
a ¸ a a
Gˆ ndim spatiul fizic obisnuit ca o multime de elemente numite puncte, notat cu
a ¸ ¸ ¸
S.
Distanta este o aplicatie , cu urm˘ toarele propriet˘¸i:
¸ ¸ a at
1. d(A, B) ≥ 0 si d(A, B) = 0 dac˘ si numai dac˘ A ≡ B;
¸ a¸ a
2. d(A, B) = d(B, A)
3. d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B), oricare ar fi punctele A, B, C ∈ S.
Aplicatia T : S → S se numeste izometrie dac˘
¸ ¸ a
d(T A, T B) = d(A, B),
adic˘ p˘ streaz˘ distanta ˆntre puncte si
a a a ¸ ı ¸
se numeste asem˘ nare dac˘
¸ a a
d(T A, T B) = k · d(A, B),
adic˘ multiplic˘ distanta cu un factor real strict pozitiv k.
a a ¸

39. 2.1. SIMETRII 35
Orice izometrie este o asem˘ nare particular˘ (k = 1).
a a
Totusi ˆn mod obisnuit, se face ˆntˆ i studiul detaliat al izometriilor apoi cel al
¸ ı ¸ ı a
asem˘ n˘ rilor. Aceast˘ ordonare pe lˆ ng˘ avantajul didactic evident de a se trece de
a a a a a
la simplu la mai complicat este dictat˘ si de faptul c˘ orice asem˘ nare este compu-
a¸ a a
nerea unei izometrii cu o omotetie (o asem˘ nare particular˘ ). Teoreme asem˘ n˘ toare
a a a a
pentru izometrii, de exemplu, orice izometrie a planului care p˘ streaz˘ orientarea
a a
este sau o translatie, sau rotatie, sau simetrie central˘ , respectiv, orice izometrie este
¸ ¸ a
compunerea a cel mult trei simetrii axiale ne arat˘ c˘ e recomandabil˘ mai ˆntˆ i stu-
a a a ı a
dierea izometriei particulare (simetria, translatia, rotatia), apoi trecerea la stabilirea
¸ ¸
propriet˘¸ilor generale ale izometriilor.
at
ˆ urma analizei modalit˘¸ilor de a concepe predarea transform˘ rilor geometrice
In at a
ˆn diferite programe si manuale se pot distinge dou˘ puncte de vedere: sintetic si
ı ¸ a ¸
vectorial- analitic.
Conform primului, transform˘ rile geometrice se definesc ˆn mod direct, cu ele-
a ı
mente geometrice simple: puncte, drepte, plane, unghiuri si propriet˘¸ile lor se de-
¸ at
monstreaz˘ geometric pe baza axiomelor si teoremelor simple de geometrie.
a ¸
Al doilea punct de vedere se refer˘ la introducerea transform˘ rilor geometrice pe
a a
baza notiunii de vector sau prin expresiile lor analitice, propriet˘¸ile obtinˆ ndu-se
¸ at ¸ a
prin combinarea elementelor de algebr˘ vectorial˘ cu elemente de geometrie anali-
a a
tic˘ .
a
ˆ cele ce urmeaz˘ vom explora succesiv ambele puncte de vedere pentru fiecare
In a
din izometriile remarcabile si apoi pentru asem˘ n˘ ri.
¸ a a
2.1 Simetrii
ˆ mod natural trebuie s˘ ˆncepem cu studiul simetriilor ˆn plan, apoi s˘ trecem la
In aı ı a
spatiu.
¸
Simetria fa˘ de un punct ˆn plan
a ı
• Putem ˆncepe prin a cere elevilor (clasa a VI-a) s˘ deseneze mai multe seg-
ı a
mente care au acelasi mijloc O. Ei deseneaz˘ m˘ surˆ nd cu rigla sau eventual cu
¸ a a a
compasul (dac˘ sunt familiarizati cu acest instrument) o figur˘ asem˘ n˘ toare cu
a ¸ a a a
a¸ ¸˘
figura 2.1, care poate fi apoi prezentat˘ si pe o plansa preg˘ tit˘ anterior.
a a
• Cu notatiile introduse ˆn figura 2.1, vom spune c˘ A este simetricul punctului A
¸ ı a
¸˘ ¸˘
fata de O, c˘ B este simetricul punctului B fata de O, la fel C este simetricul
a
¸˘
lui C fata de O s.a.m.d.
¸
• Subliniem c˘ O este mijlocul pentru segmentele AA , BB , CC etc, si repet˘ m
a ¸ a
modul de constructie al punctelor A , B , etc.
¸

40. 36 ˘
CAPITOLUL 2. TRANSFORMARI GEOMETRICE
C’
D A’
B O B’
A C D’
¸˘
Figura 2.1: Simetria fata de un punct
• Fix˘ m apoi definitia formal˘ :
a ¸ a
¸˘
simetricul unui punct M fata de un punct O este un punct M , astfel c˘ O este
a
mijlocul segmentului M M ; simetricul lui O este O.
• Alternativ, pentru a preg˘ ti ideea de functie putem spune c˘ oric˘ rui punct M
a ¸ a a
a a ¸˘
din plan putem s˘ -i asociem un punct M , simetricul s˘ u fata de O; lui O i se
asociaz˘ O ˆnsusi.
a ı ¸
Aici sau la o reluare ˆntr-o clas˘ superioar˘ aceast˘ asociere o vom numi simetrie
ı a a a
de centru O si o vom nota prin SO , pentru a indica centrul de simetrie, scriind
¸
A = SO (A), B = SO (B), etc.
• Revenind la figura 2.1, din paralelogramul ABA B (diagonalele se ˆnjum˘ t˘¸esc)
ı a at
constat˘ m c˘ segmentul A B este congruent cu segmentul AB, adic˘ simetria
a a a
¸˘
fata de O (numit˘ si simetrie de centru O, sau simetrie central˘ ) este o izometrie.
a¸ a
a ¸˘
• Spunem apoi c˘ dreapta A B este simetrica dreptei AB fata de punctul O si ¸
subliniem c˘ ea este paralel˘ cu dreapta AB. La fel dreapta A C este simetrica
a a
¸˘ ¸˘
dreptei AC fata de O. Deci simetrica unei drepte fata de un punct O se obtine
¸
construind simetricele a dou˘ puncte distincte ale ei si apoi unindu-le.
a ¸
a a a ¸˘
• Observ˘ m c˘ dac˘ M este simetricul fata de O al punctului M , atunci simetricul
¸˘
fata de O al punctului M este chiar M .
2
Mai tˆ rziu vom scrie SO = I, unde I este transformarea identic˘ a planului si
a a ¸
vom spune c˘ SO este transformare involutiv˘ .
a a
a a ¸˘
• Fie acum d o dreapt˘ oarecare din plan. Dac˘ ea trece prin O, simetrica ei fata
de punctul O coincide cu ea ca multime (nu punct cu punct). Cu alte cuvinte,
¸
simetricul oric˘ rui punct de pe d se afl˘ pe d. Vom spune c˘ O situat pe d este
a a a
centru de simetrie pentru figura format˘ din dreapta d.
a

41. 2.1. SIMETRII 37
d
d’
O
¸˘
Figura 2.2: Simetrica unei drepte fata de un punct
a ¸˘
Presupunem c˘ O nu este situat pe d. Simetrica dreptei d fata de O este o dreapt˘
a
d paralel˘ cu d. Figura F = d ∪ d are proprietatea c˘ simetricul oric˘ rui punct
a a a
¸˘
al ei fata de O este tot pe ea, figura 2.2. Vom spune c˘ O este centru de simetrie
a
al figurii F .
Cele observate pot fi formulate astfel:
DEFINITIA 2.1 Spunem c˘ o figur˘ F admite ca centru de simetrie un punct O,
¸ a a
dac˘ simetricul fata de O al oric˘ rui punct al figurii F se afl˘ ˆn F .
a ¸˘ a aı
Dup˘ cum am v˘ zut mai sus:
a a
-oricare punct al unei drepte este centru de simetrie pentru ea, adic˘ dreapta are o
a
infinitate de centre de simetrie.
Figura format˘ din dou˘ drepte care se intersecteaz˘ ˆn O are ca centru de simetrie
a a aı
pe O si numai pe el.
¸
d d’ δ
D C
O
δ
A B
Figura 2.3: Centru de simetrie
Din figura 2.2 rezult˘ c˘ figura format˘ din reunirea a dou˘ drepte paralele are
a a a a
o infinitate de centre de simetrie, situate pe o dreapt˘ . Reunind aceste dou˘ drepte
a a

42. 38 ˘
CAPITOLUL 2. TRANSFORMARI GEOMETRICE
cu alte dou˘ drepte paralele ˆntre ele, dar formˆ nd un anumit unghi cu primele dou˘
a ı a a
obtinem o figur˘ cu un singur centru de simetrie ( figura 2.3).
¸ a
ˆ particular, paralelogramul are un singur centru de simetrie.
In
Unghiul, ˆnteles ca reuniunea a dou˘ semidrepte cu originea comun˘ , nu are centru
ı ¸ a a
de simetrie.
Centrele de simetrie sunt importante ˆn aplicatiile geometriei ˆn practic˘ .
ı ¸ ı a
ˆ ¸˘
Intr-o abordare vectorial-analitic˘ a geometriei, simetria fata de un punct O se
a
poate defini astfel:
−→
− −→
simetricul lui A fata de O este un punct A , astfel ca OA = −OA.
¸˘
¸˘
Gˆ ndim simetria fata de O direct ca aplicatie: A → A , definit˘ de relatia vecto-
a ¸ a ¸
¸˘
rial˘ de mai sus. Fie B simetricul fata de O al unui punct B diferit de A.
a
Egalit˘¸ile vectoriale
at
− → −→ −→ −
− − − → − −→ −→
A B = OB − OA = OA − OB = −AB
ne arat˘ c˘ simetria fata de O p˘ streaz˘ coliniaritatea punctelor, duce o dreapt˘ ˆntr-o
a a ¸˘ a a aı
dreapt˘ paralel˘ cu ea si c˘ este izometrie.
a a ¸ a
Remarc˘ m c˘ relatiile vectoriale au avantajul de a da informatii mai multe ˆntr-o
a a ¸ ¸ ı
form˘ condensat˘ .
a a
Pentru a deduce ecuatiile simetriei vom introduce un reper cartezian ˆn plan. Cel
¸ ı
mai simplu este s˘ lu˘ m originea sa ˆn O.
a a ı
¸ ¸ a ¸˘
Fie A(x, y) si A (x , y ) . Relatia vectorial˘ de definire a simetriei fata de O con-
duce la:
x = −x, y = −y (2.1)
¸˘
Aceste formule se numesc ecuatiile simetriei fata de origine.
¸
Rezult˘ c˘ o figur˘ din plan descris˘ de o expresie algebric˘ E(x, y) are originea
a a a a a
ca centru de simetrie dac˘ si numai dac˘ E(−x, −y) = E(x, y).
a¸ a
Dac˘ O are coordonate oarecare (x0 , y0 ), aceeasi relatie de definire a simetriei
a ¸ ¸
¸˘
fata de O conduce a formulele
x = 2x0 − x, y = 2y0 − y. (2.2)
Aceste formule pot fi luate ca definitie a simetriei centrale.
¸
¸˘
Simetria fata de o dreapt˘ ˆn plan
aı
Pentru a introduce definitia acestei transform˘ ri geometrice la clasa a VI-a putem
¸ a
ˆncepe cu urm˘ toarea semiexperienta:
ı a ¸˘

43. 2.1. SIMETRII 39
• ˆn partea superioar˘ a unei coli albe de hˆ rtie se fac trei - patru pete mici de
ı a a
cerneal˘ , apoi coala se ˆndoaie. Petele de cerneal˘ vor l˘ sa urme pe partea infe-
a ı a a
rioar˘ a colii.
a
• Dezdoim coala si unim cu o linie colorat˘ fiecare pat˘ cu urma l˘ sat˘ de ea la
¸ a a a a
ˆndoirea colii.
ı
• Tras˘ m cu o alt˘ culoare linia de ˆndoire a colii. Dreptele duse anterior vor
a a ı
intersecta linia de ˆndoire dup˘ niste puncte.
ı a ¸
• Cerem elevilor s˘ m˘ soare, pentru fiecare pat˘ ˆn parte, distanta de la ea si de la
a a aı ¸ ¸
urma ei la dreapta de ˆndoire. Vor constata c˘ aceste distante sunt aproximativ
ı a ¸
egale si c˘ dreapta ce uneste o pat˘ cu imaginea ei (cu urma ei) este perpendi-
¸ a ¸ a
cular˘ pe linia de ˆndoire a colii.
a ı
• Reprezent˘ m coala cu care am lucrat ca ˆn figura 2.4, inroducem notatii si
a ı ¸ ¸
afirm˘ m c˘ dreptele AA , BB , CC si DD sunt perpendiculare pe d si c˘
a a ¸ ¸ a
(AP ) ≡ (P A ), (BQ) ≡ (QB ), (CR) ≡ (RC ), (DS) ≡ (SD ).
B D
C
A M
Q R S d
P
M’ C’
A’
D’
B’
¸˘
Figura 2.4: Simetria fata de o dreapt˘
a
a ¸˘
Vom spune c˘ A este simetricul lui A fata de dreapta d si c˘ B este simetricul
¸ a
¸˘
lui B fata de dreapta d, s.a.m.d.
¸
• Punctul A se mai poate construi astfel:
Ducem din A perpendiculara pe d si prelungim segmentul (AP ) cu un segment
¸
(P A ) ≡ (AP ).
Preciz˘ m apoi, dac˘ e cazul, cum se efectueaz˘ aceast˘ constructie cu rigla si
a a a a ¸ ¸
compasul.
a a a ¸˘
• Se constat˘ c˘ simetricul oric˘ rui punct fata de dreapta d este unic determinat;
simetricul unui punct de pe d fata de d este el ˆnsusi.
¸˘ ı ¸

44. 40 ˘
CAPITOLUL 2. TRANSFORMARI GEOMETRICE
a ¸˘
Asociind unui punct din plan simetricul s˘ u fata de dreapta d, obtinem o functie
¸ ¸
a ¸˘
care va fi numit˘ simetria fata de dreapta d, notat˘ cu Sd .
a
a ¸˘
Dac˘ A este simetricul lui A fata de d, vom spune c˘ si punctele A si A sunt
a¸ ¸
¸˘
simetrice fata de dreapta d, A = Sd (A).
a a a ¸˘
• Din figura 2.4 rezult˘ c˘ dou˘ puncte sunt simetrice fata de dreapta d, dac˘ d
a
este mediatoarea segmentului ce le uneste. Aceast˘ observatie poate fi luat˘ ca
¸ a ¸ a
definitie.
¸
• Completˆ nd figura 2.4 cu linii punctate, din dou˘ triunghiuri dreptunghice con-
a a
gruente constat˘ m c˘ AB = A B .
a a
ˆ a ¸ a ¸˘
Intrucˆ t punctele A si B sunt arbitrare deducem c˘ simetria fata de o dreapt˘a
este o izometrie.
¸˘
• Studiem apoi imaginile printr-o simetrie fata de o dreapt˘ dat˘ (numit˘ si sime-
a a a¸
trie axial˘ ) a diferitelor figuri geometrice, ˆn functie de cunostintele elevilor la
a ı ¸ ¸ ¸
momentul respectiv.Remarc˘ m, unde este cazul, congrueta elementelor ce co-
a ¸
respund prin simetrie axial˘ .
a
Revenind la figura 2.4, fix˘ m atentia asupra trapezului isoscel B B AA. Punctele
a ¸
de pe segmentul (AB) sunt duse prin Sd ˆn puncte de pe A B , iar punctele de pe
ı
segmentul AA sunt duse prin Sd ˆn puncte de pe acelasi segment. Similar pentru
ı
(BB ). Asadar, oricare punct de pe trapez are imaginea prin Sd tot pe trapez.
¸
• Vom spune ca trapezul ˆn discutie are o ax˘ de simetrie: dreapta d.
ı ¸ a
Fie un cerc de centru O si M N un diametru al s˘ u. Simetricul oric˘ rui punct
¸ a a
¸˘
de pe cerc fata de M N este pe cerc (diametrul este mediatoarea oric˘ rei coarde
a
perpendicular˘ pe el). Vom spune c˘ diametrul M N este ax˘ de simetrie a cercului
a a a
dat.
• Orice diametru al cercului este ax˘ de simetrie pentru cerc, deci cercul admite o
a
infinitate de axe de simetrie.
Situatiile prezentate impun urm˘ toarea definitie.
a ¸
DEFINITIA 2.2 O figur˘ plan˘ F admite o ax˘ de simetrie d, dac˘ simetricul
¸ a a a a
oric˘ rui punct din F fata de d este ˆn F .
a ¸˘ ı
• C˘ ut˘ m apoi alte figuri plane care admit axe de simetrie. ˆ aceast˘ c˘ utare ne
a a In a a
poate ajuta urm˘ toarea observatie.
a ¸
Observatia 2.1 Dac˘ F este simetrica unei figuri F fata de o dreapt˘ d, atunci
¸ a ¸˘ a
figura F ∪ F are ca ax˘ de simetrie pe d.
a

45. 2.1. SIMETRII 41
De exemplu, fie o dreapt˘ a care face un anumit unghi α (diferit de unghiul nul) cu
a
d si o intersecteaza ˆn O. Not˘ m cu a simetrica ei fata de d.
¸ ı a ¸˘
Dac˘ α = 90◦ , atunci a coincide cu a si putem spune ca d este ax˘ de simetrie
a ¸ a
pentru a. Rezult˘ c˘ dreapta a are o infinitate de axe de simetrie: dreptele perpendi-
a a
culare pe ea.
Un segment nenul are o singura ax˘ de simetrie - mediatoarea sa;
a
axa de simetrie a unei semidrepte este perpendiculara pe ea ˆn originea ei (ˆn baza
ı ı
observatiei de mai sus).
¸
Dac˘ m˘ sura lui α este diferit˘ de 90◦ , atunci a ∪ a este figura format˘ din patru
a a a a
unghiuri opuse, dou˘ cˆ te dou˘ , la vˆ rf. Dreapta d apare ca ax˘ de simetrie pentru
a a a a a
dou˘ dintre ele, pentru care este si bisectoare. Rezult˘ c˘ orice unghi are o ax˘ de
a ¸ a a a
simetrie: bisectoarea sa.
Dac˘ presupunem acum c˘ dreapta a este paralela cu d, atunci a este si ea paralela
a a ¸
cu d. Rezult˘ c˘ figura format˘ din dou˘ drepte paralele admite o ax˘ de simetrie.
a a a a a
Fie b si b dou˘ drepte paralele si perpendiculare pe d. Axa lor de simetrie d va fi
¸ a ¸
perpendiculara pe d. Prin reunirea celor patru drepte a, a , b, b obtinem un dreptunghi
¸
completat cu niste semidrepte. Rezult˘ c˘ figura are dou˘ axe de simetrie d si d .
¸ a a a ¸
• Orice dreptunghi are dou˘ axe de simetrie perpendiculare ˆntre ele.
a ı
• prezentarea unor planse cu figuri plane care admit axe de simetrie poate fi util˘ .
¸ a
¸˘
• Rezolvarea unor probleme de geometrie prin folosirea simetriei fata de o ax˘
a
este pasul urm˘ tor.
a
¸˘
Simetria fata de o dreapt˘ se preteaz˘ , ca si simetria central˘ , la o tratare vectorial˘
a a ¸ a a
si analitic˘ . Definitia ei vectorial˘ se poate da folosind vectorul de directie al dreptei
¸ a ¸ a ¸
(axei de simetrie). Propriet˘¸ile ei se demonstreaz˘ ˆn mod specific.
at aı
Tratarea vectorial˘ a simetriei axiale nu aduce simplific˘ ri. Dimpotriv˘ , ˆn multe
a a a ı
locuri apare complicat˘ si artificial˘ . Ea este recomandabil˘ numai dac˘ insist˘ m s˘
a¸ a a a a a
trat˘ m unitar (vectorial ˆn acest caz) toate transform˘ rile geometrice.
a ı a
Analitic, prin introducerea unui reper ˆn plan, putem exprima coordonatele sime-
ı
tricului unui punct dat fata de o dreapta d, ˆn functie de coordonatele punctului dat
¸˘ ı ¸
si de elementele care determin˘ dreapta d. Formulele care se obtin sunt ˆn general
¸ a ¸ ı
complicate si nu pot fi retinute. Exceptie, face situatia ˆn care reperul se alege astfel
¸ ¸ ¸ ¸ ı
ˆncˆ t dreapta d s˘ fie una din axele de coordonate.
ı a a
Dac˘ d coincide cu axa absciselor, ecuatiile simetriei Sd sunt:
a ¸
x = x, y = −y,

46. 42 ˘
CAPITOLUL 2. TRANSFORMARI GEOMETRICE
iar dac˘ d coincide cu axa ordonatelor obtinem
a ¸
x = −x, y = y.
Aceste ecuatii vor folosi la reprezentarea grafic˘ a functiilor ˆn studiul simetriilor
¸ a ¸ ı
graficului.
2.2 Translatia
¸
Aceast˘ transformare geometric˘ este cu mult mai important˘ decˆ t simetriile, pentru
a a a a
c˘ definirea si studiul ei impun conceptul de vector ˆn forma sa riguroas˘ : clas˘ de
a ¸ ı a a
segmente orientate echipolente (de aceeasi lungime, aceeasi directie si acelasi sens).
¸ ¸ ¸ ¸ ¸
ˆ general, ˆn c˘ rtile ˆn care acest subiect se abordeaz˘ , se introduce izomorfismul
In ı a¸ ı a
ˆntre grupul translatiilor (cu operatia de compunere) si grupul aditiv al vectorilor.
ı ¸ ¸ ¸
Cˆ teva observatii se impun de la ˆnceput.
a ¸ ı
Pentru notiunea de vector cadrul cel mai convenabil este spatiul si nu planul. ˆ
¸ ¸ ¸ In
¸˘
consecinta apare mai natural studiul translatiei ca transformare a spatiului. Vectorii
¸ ¸
dintr-un plan se vor identifica cu translatiile care duc planul ˆn sine. Evident c˘
¸ ı a
aceast˘ abordare este posibil˘ dup˘ ce elevii au anumite cunostinte de geometria
a a a ¸ ¸
spatiului.
¸
Intuitiv translatia ˆn spatiu se defineste ca o transformare prin care toate punctele
¸ ı ¸ ¸
se deplaseaz˘ ˆn una si aceeasi directie, ˆntr-un sens dat, la aceeasi distanta. Evident
aı ¸ ¸ ¸ ı ¸ ¸˘
c˘ este mai greu de sesizat deplasarea simultan˘ a tuturor punctelor spatiului decˆ t a
a a ¸ a
unei submultimi (figuri) a lui.
¸
ˆ consecinta este mai bine s˘ ˆncepem prin a spune c˘ o figur˘ F s-a obtinut
In ¸˘ aı a a ¸
dintr-o figur˘ F printr-o translatie dac˘ punctele ei s-au obtinut din cele ale lui F
a ¸ a ¸
prin deplasare ˆn una si aceeasi directie, ˆntr-un sens dat, la aceeasi distanta. Aceste
ı ¸ ¸ ¸ ı ¸ ¸˘
aspecte intuitive se cer sprijinite de figuri variate. Credem c˘ un scurt film de desene
a
animate, bine realizat, ar putea fi util ˆn sprijinirea intuitiei elevilor.
ı ¸
O prim˘ formalizare a consideratiilor intuitive se poate da astfel:
a ¸
figurile F si F corespund printr-o translatie dac˘ oricare ar fi punctele P si Q
¸ ¸ a ¸
distincte din F lor le corespund ˆn mod unic punctele P si Q din F , astfel ˆncˆ t
ı ¸ ı a
segmentele (P P ) si (QQ ) s˘ fie congruente, paralele si de acelasi sens.
¸ a ¸ ¸
Ca aplicatie a spatiului S pe el ˆnsusi, translatia poate fi definit˘ prin:
¸ ¸ ı ¸ ¸ a
DEFINITIA 2.3 O aplicatie
¸ ¸
τ :S→S
se numeste translatie, dac˘ oricare ar fi punctele distincte
¸ ¸ a
P, Q ∈ S, P = τ (P ), Q = τ (Q),

47. 2.2. TRANSLATIA
¸ 43
segmentele (P P ) si (QQ ) sunt congruente, paralele si de acelasi sens.
¸ ¸ ¸
Dac˘ R este un al treilea punct din S, diferit de P, Q si R = τ (R), rezult˘ c˘
a ¸ a a
segmentele (RR ), (P P ) si (QQ ), sunt congruente ˆntre ele, paralele ˆntre ele si de
¸ ı ı ¸
acelasi sens. Din definitia de mai sus rezult˘ c˘ si figura P P Q Q este un paralelo-
¸ ¸ a a¸
gram, deci segmentele (P Q ) si (P Q) sunt de asemenea paralele si congruente. ˆ
¸ ¸ In
P’
Q’
R’
P
Q
R
¸˘
Figura 2.5: Simetria fata de o dreapt˘
a
concluzie, translatia este o izometrie.
¸
• Din propriet˘¸ile generale ale izometriilor urmeaz˘ c˘ imaginea unei drepte d
at a a
este o dreapt˘ d , adic˘ τ (d) = d .
a a
Pentru translatie d este paralel˘ cu d sau d coincide cu d. Al doilea caz se
¸ a
obtine atunci si numai atunci cˆ nd exist˘ un punct A ∈ d astfel ca τ (A) ∈ d.
¸ ¸ a a
• ˆ particular, un segment este aplicat prin translatie ˆntr-un segment paralel cu
In ¸ ı
el sau ˆn sine.
ı
• Rezult˘ de asemenea c˘ translatia aplic˘ un unghi ˆntr-un unghi congruent cu el,
a a ¸ a ı
• un triunghi ˆntr-un triunghi congruent cu el;
ı
• un plan ˆntr-un plan paralel sau ˆn sine.
ı ı
Compunerea a dou˘ translatii τ si σ.
a ¸ ¸
Pentru dou˘ puncte distincte P si Q din spatiu, not˘ m
a ¸ ¸ a
P = τ (P ), Q = τ (Q), P ” = σ(P ), Q” = σ(Q ).
Corespondenta P → P ”, Q → Q” se bucur˘ de proprietatea c˘ segmentele (P P ”)
¸ a a
si (QQ”) sunt congruente, paralele si de acelasi sens. Acest fapt rezult˘ usor ˆn
¸ ¸ ¸ a ¸ ı
urma analizei mai multor cazuri, de exemplu fig. 7, ˆn care ∆P P P ” ≡ ∆QQ Q”
ı
sunt congruente si au laturile respectiv paralele. Cum punctele P si Q erau arbitrare,
¸ ¸
consideratiile de mai sus pot fi aplicate la oricare alte perechi de puncte.
¸

48. 44 ˘
CAPITOLUL 2. TRANSFORMARI GEOMETRICE
P’
P P’ P"
P P" P’
P P"
Q’
Q Q’ Q"
Q Q" Q Q" Q’
¸˘
Figura 2.6: Simetria fata de o dreapt˘
a
Asadar, corespondenta P → P ”, Q → Q” etc. defineste o translatie pe care o
¸ ¸ ¸ ¸
vom nota prin σ ◦ τ si o vom numi compunerea translatiilor τ si σ.
¸ ¸ ¸
Cu notatiile precedente avem σ◦τ (P ) = σ(τ (P )) pentru orice punct P din spatiu.
¸ ¸
Fiind dat˘ translatia τ , definit˘ de corespondenta P → P , Q → Q etc., se con-
a ¸ a ¸
stat˘ usor c˘ asocierea P → P, Q → Q, e.t.c. defineste o translatie pe care o vom
a ¸ a ¸ ¸
−1
nota cu τ si o vom numi inversa translatiei τ .
¸ ¸
Considerˆ nd aplicatia identic˘ drept translatie particular˘ suntem ˆn pozitia de a
a ¸ a ¸ a ı ¸
pune ˆn evidenta grupul translatiilor spatiului.
ı ¸˘ ¸ ¸
Studiul translatiilor este incomplet f˘ r˘ a stabili leg˘ tura lor cu notiunea de vec-
¸ aa a ¸
tor. ˆ consideratiile de mai sus avem suficiente motive pentru introducerea notiunii
In ¸ ¸
de vector. ˆ definirea unei translatii prin corespondenta P → P , Q → Q etc.
In ¸ ¸
subˆntelegem c˘ segmentele (P P ), (QQ ), (RR ) etc. sunt perechi ordonate de puncte.
ı ¸ a
Vom spune c˘ segmentele ˆn discutie sunt orientate, primul punct va fi numit origine
a ı ¸
si al doilea extremitate a segmentului orientat.
¸
Recitind definitia translatiei constat˘ m c˘ o translatie este caracterizat˘ de ceea ce
¸ ¸ a a ¸ a
au ˆn comun segmentele orientate (P P ), (QQ ) etc., adic˘ lungime, directie si sens.
ı a ¸ ¸
DEFINITIA 2.4 Se numeste vector o multime de segmente orientate care au aceeasi
¸ ¸ ¸ ¸
lungime, aceeasi directie si acelasi sens.
¸ ¸ ¸ ¸
Vom nota vectorul prin P P si vom spune c˘ segmentul orientat (P P ) este un
¸ a
reprezentant al vectorului P P . Oricare alt segment orientat din multimea respectiv˘
¸ a
reprezint˘ vectorul P P . Asadar o translatie este caracterizat˘ de un vector u = P P
a ¸ ¸ a ¯
si ˆn continuare vom indica translatia prin vectorul ce o caracterizeaz˘ , spunˆ nd:
¸ ı ¸ a a
translatia de vector P P .
¸
Este cu totul natural s˘ spunem c˘ doi vectori sunt egali dac˘ multimile de seg-
a a a ¸
mente orientate care ˆi definesc sunt egale.
ı
Consider˘ m translatiile τ si σ definite respectiv de vectorii P P si P P “ . Com-
a ¸ ¸ ¸

49. ¸ ˆ
2.3. ROTATIA IN PLAN 45
pusa lor σ ◦ τ este definit˘ (caracterizat˘ ) de vectorul P P . Avem astfel posibilitatea
a a
ca la doi vectori P P si P P “ s˘ asociem un al treilea vector P P , numit suma
¸ a
vectorilor P P si P P “.
¸
Este posibil s˘ folosim o alt˘ cale pentru introducerea notiunii de vector, situatia
a a ¸ ¸
ˆn care translatia se defineste astfel:
ı ¸ ¸
DEFINITIA 2.5 Se numeste translatie de vector u o aplicatie
¸ ¸ ¸ ¯ ¸
Tu : S → S,
¯
Tu (P ) = P astfel ca P P = u
¯ ¯
Se stabilesc apoi propriet˘¸ile translatiei folosind propriet˘¸i ale vectorilor. Caracte-
at ¸ at
rizarea translatiei printr-un vector conduce imediat la teorema:
¸
TEOREMA 2.1 Date fiind dou˘ puncte distincte A si A exist˘ o translatie unic˘ ce
a ¸ a ¸ a
duce A ˆn A .
ı
Aceasta este evident translatia de vector AA .
¸
Consideratiile de mai sus pot fi repetate identic pentru un plan fixat. Obtinem
¸ ¸
astfel notiunea de translatie ˆn plan, cea de vector ˆn plan. Alternativ, avˆ nd notiunile
¸ ¸ ı ı a ¸
precedente ˆn spatiu putem s˘ ne punem problema restrictiei lor la un plan sau o
ı ¸ a ¸
dreapt˘ . Astfel translatiile care duc un plan π ˆn sine se vor numi translatii ale
a ¸ ı ¸
planului π. Corespunz˘ tor, doi sau mai multi vectori sunt coplanari dac˘ exist˘
a ¸ a a
reprezentanti ai lor ˆn acelasi plan.
¸ ı ¸
Pentru reprezentarea translatiei ˆn coordonate consider˘ m un plan fixat ˆn care am
¸ ı a ı
introdus un sistem cartezian de coordonate. Orice vector este atunci caracterizat de
o pereche de numere reale.
Fie translatia de vector u = (a, b) care aplic˘ P (x, y) ˆn P (x , y ) . Asadar, avem
¸ ¯ a ı ¸
P P = u sau OP − OP = u,
¯ ¯
unde O este originea sistemului de coordonate.
Ultima relatie vectorial˘ este echivalent˘ cu relatiile:
¸ a a ¸
x =x+a
(2.3)
y = y + b.
Ecuatiile (2.3) se numesc ecuatiile translatiei de vector u. Ele pot fi luate si ca
¸ ¸ ¸ ¯ ¸
definitie a translatiei ˆn plan.
¸ ¸ ı
2.3 Rotatia ˆn plan
¸ ı
Aceast˘ transformare geometric˘ , relativ usor de definit formal, are la baz˘ un fond
a a ¸ a
de reprezent˘ ri intuitive extrem de complex: cele care duc la ideea de cerc, cele
a
referitoare la unghiuri si m˘ sura unghiurilor, miscarea de rotatie tratat˘ la fizic˘ s.a.
¸ a ¸ ¸ a a¸

50. 46 ˘
CAPITOLUL 2. TRANSFORMARI GEOMETRICE
•ˆ
Inainte de a introduce aceast˘ tem˘ trebuie s˘ ne asigur˘ m c˘ elevii posed˘ fon-
a a a a a a
dul necesar de reprezent˘ ri intuitive, ˆnt˘ rindu-l si orientˆ ndu-l spre abordarea
a ı a ¸ a
temei ˆn discutie. ˆ acest caz sunt utile figuri convenabile si exemple simple de
ı ¸ In ¸
misc˘ ri de rotatie ˆn jurul unui punct ˆntˆ lnite curent de elevi (acele de ceasor-
¸ a ¸ ı ı a
nic, rotile de transmisie, ...). Se pot de asemenea construi modele specifice care
¸
s˘ reprezinte imaginile prin rotatie ale unor figuri simple.
a ¸
• Vom ˆncepe prin a considera rotatia de un unghi dat ˆn jurul unui punct dat a unei
ı ¸ ı
figuri geometrice simple. Cel mai simplu pare a fi s˘ consider˘ m o semidreapt˘
a a a
de origine O si s˘ discut˘ m despre rotatiile ei ˆn jurul punctului O.
¸ a a ¸ ı
Fie deci semidreapta (OA pe care o rotim ˆn pozitia (OA . ˆ ¸elegem pentru
ı ¸ Int
moment cuvˆ ntul ”rotim“ ˆn sens cinematic pe baza unor reprezent˘ ri intuitive.
a ı a
La rotirea semidreptei (OA punctul A descrie un arc de cerc AA , figura 8. Un
alt punct M , de pe semidreapta (OA, ˆn urma aceleiasi rotatii va ajunge ˆn M
ı ¸ ¸ ı
dup˘ ce descrie un arc de cerc M M .
a
• Observ˘ m c˘ unghiurile AOA ≡ M OM si congruente cu unghiul format de
a a ¸
semidreptele (OA si (OA . ˆ plus, segmentele (OA) si (OA ) sunt congruente.
¸ In ¸
La fel sunt si segmentele (OM ) ≡ (OM ).
¸
Dac˘ unghiul AOA are m˘ sura α (grade) vom spune c˘ A a fost obtinut din A
a a a ¸
printr-o rotatie de unghi α ˆn jurul punctului O. Similar s-a obtinut M din M .
¸ ı ¸
Semidreapta (OA este obtinut˘ la fel. Vom nota aceast˘ transformare prin Rα
¸ a a O
y
M’
A’
O α A M
α θ x
B
A"
B’
¸˘
Figura 2.7: Simetria fata de o dreapt˘
a
si vom scrie Rα (A) = A , Rα (M ) = M etc.
¸ O O
Am obtinut astfel o definitie a rotatiei ˆn jurul unui punct, dar pe o figur˘ care
¸ ¸ ¸ ı a
are mai multe particularit˘¸i. Astfel pentru a obtine semidreapta (OA am rotit
at ¸

51. ¸ ˆ
2.3. ROTATIA IN PLAN 47
semidreapta (OA ˆn sens invers acelor de ceasornic. Acest sens este cel uzual
ı
numit si sens direct trigonometric. Puteam s˘ fi rotit (OA si ˆn sensul acelor de
¸ a ¸ ı
ceasornic ˆn pozitia (OA”. Complet˘ m fig. 8 cu linii punctate. Alegem noua
ı ¸ a
pozitie ˆncˆ t unghiurile AOA ≡ AOA”. Ele au aceeasi m˘ sur˘ α, fapt care
¸ ı a ¸ a a
genereaz˘ confuzie dac˘ lu˘ m ca definitie a rotatiei pe cea dat˘ mai sus. Trebuie
a a a ¸ ¸ a
ca ˆn acea definitie s˘ introducem elemente care s˘ ne permit˘ distingerea celor
ı ¸ a a a
dou˘ sensuri de rotatie. Se poate proceda astfel:
a ¸
DEFINITIA 2.6 Spunem c˘ unghiul AOA este orientat dac˘ perechea de se-
¸ a a
midrepte (OA si (OA este ordonat˘ .
¸ a
Deci unghiul orientat AOA este diferit de unghiul orientat A OA.
Vom spune c˘ unghiul orientat AOA este orientat pozitiv dac˘ sensul de rotatie
a a ¸
de la semidreapta (OA spre semidreapta (OA este opus misc˘ rii acelor de cea-
¸ a
sornic.
Dac˘ m˘ sura unghiului neorientat AOA este α vom spune c˘ m˘ sura unghiului
a a a a
orientat AOA este α sau −α, dup˘ cum el este orientat pozitiv sau negativ.
a
Amintim c˘ multimea de valori a functiei m˘ sur˘ a unghiurilor este intervalul
a ¸ ¸ a a
[0 , 180 ]. Prin procedeul de mai sus am extins acest interval la [−180◦ , 180◦ ].
◦ ◦
Rotatiile ˆn acelasi sens cu acele de ceasornic vor fi descrise de unghiuri negativ
¸ ı ¸
orientate, deci de m˘ suri ˆn intervalul [−180◦ , 0◦ ].
a ı
Continuˆ nd rotatia semidreptei (OA dup˘ pozitia (OA ˆn sens pozitiv ajungem
a ¸ a ¸ ı
ˆn pozitia (OB ˆncˆ t unghiul AOB este alungit (are m˘ sura 180◦ )(figura 8). Putem
ı ¸ ı a a
continua rotatia ˆn acelasi sens si ajungem, de exemplu, ˆn pozitia (OB . Unghiul
¸ ı ¸ ¸ ı ¸
◦
neorientat dintre (OA si (OB este 180 − α. Dar pentru a descrie rotatia efectuat˘
¸ ¸ a
suntem obligati s˘ folosim unghiul orientat AOB c˘ ruia este normal s˘ -i asociem
¸ a a a
◦
m˘ rimea 180 + α. Deci putem considera ca multime a valorilor pentru functia-
a ¸ ¸
◦ ◦
m˘ sur˘ a unghiurilor orientate intervalul [−360 , 360 ]. Intuitia ne spune c˘ obtinem
a a ¸ a ¸
◦ ◦
(OA din (OA printr-o rotatie de unghi α ∈ [0 , 180 ] ca ˆn figura 8, dar si c˘ aceeasi
¸ ı ¸ a ¸
semidreapt˘ poate fi obtinut˘ dup˘ ce (OA efectueaz˘ n rotatii complete ˆn jurul lui
a ¸ a a a ¸ ı
O si apoi o rotatie de unghi α .
¸ ¸
ˆ al doilea caz vom spune c˘ unghiul orientat AOA are m˘ sur˘ α + n · 360◦ ,
In a a a
dac˘ rotatiile sunt pozitive si are m˘ sura α − n · 360◦ , dac˘ rotatiile sunt negative.
a ¸ ¸ a a ¸
Putem asadar spune c˘ m˘ sura unui unghi orientat este α + k · 360◦ sau α + 2k · π ˆn
¸ a a ı
radiani, unde k este un num˘ r ˆntreg.
a ı
DEFINITIA 2.7 Rotatia de centru O si unghi orientat α a planului este o trans-
¸ ¸ ¸
formare a planului prin care O se transform˘ ˆn el ˆnsusi si orice alt punct A se
aı ı ¸ ¸

52. 48 ˘
CAPITOLUL 2. TRANSFORMARI GEOMETRICE
transform˘ ˆntr-un punct A , astfel ˆncˆ t (OA) ≡ (OA ) si unghiurile α si AOA
aı ı a ¸ ¸
sunt congruente si au aceeasi orientare.
¸ ¸
Din punct de vedere cinematic este preferabil s˘ indic˘ m rotatia printr-un unghi de
a a ¸
◦ ◦ ◦
forma α + k · 360 cu α ∈ [−360 , 360 ] pentru a citi cˆ te rotatii s-au efectuat si
a ¸ ¸
ˆn ce sens, informatii date de valoarea absolut˘ si de semnul lui k ∈ Z. Geometric,
ı ¸ a¸
◦
rotatiile de unghi α + k · 360 cu k ∈ Z coincid si ˆn continuare ele vor fi identificate
¸ ¸ ı
cu rotatia de unghi α.
¸
Este acum usor s˘ dovedim, folosind triunghiuri congruente, c˘ orice rotatie ˆn
¸ a a ¸ ı
plan este o izometrie.
Rezult˘ c˘ rotatia:
a a ¸
duce o dreapt˘ ˆntr-o dreapt˘ .
aı a
Din consideratiile de mai sus rezult˘ c˘ o semidreapt˘ este dus˘ ˆntr-o semi-
¸ a a a a ı
dreapt˘ .
a
Compusa a dou˘ rotatii de acelasi centru Rα si Rβ este rotatia Rα+β .
a ¸ ¸ O ¸ O ¸ O
α+2k·π
Identificarea rotatiilor RO
¸ ne oblig˘ s˘ consider˘ m suma α + β modulo 2 · π.
a a a
α −α
Inversa rotatiei RO este rotatia RO .
¸ ¸
Se verific˘ apoi c˘ multimea rotatiilor de acelasi centru formeaz˘ un grup izomorf
a a ¸ ¸ ¸ a
cu grupul claselor de resturi modulo 2π.
Introducem ˆn figura 8 un sistem cartezian de coordonate, ˆncˆ t unghiul ˆntre Ox
ı ı a ı
si (OA s˘ fie θ . Dac˘ A(x, y) si A (x , y ) , notˆ nd OA = OA = r, obtinem
¸ a a ¸ a ¸
x = r cos θ, y = r sin θ
si
¸
x = r cos(θ + α), y = r sin(θ + α).
Folosind formule uzuale de trigonometrice, obtinem
¸
x = x cos α − y sin α
(2.4)
y = x sin α + y cos α.
Aceste formule, numite si reprezentarea analitic˘ a rotatiei Rα , ele pot fi luate ca
¸ a ¸ O
α
definitie a rotatiei RO .
¸ ¸
2.4 Propriet˘ ti generale ale izometriilor
a¸
ˆ
In majoritatea programelor analitice de geometrie din ˆnvˆ¸amˆ ntul preuniversitar,
ı at ˘ a
dup˘ parcurgerea izometriilor particulare mentionate mai sus, nu se mai g˘ seste timp
a ¸ a ¸
pentru notiunea general˘ de izometrie si pentru cˆ teva din propriet˘¸ile ei. Consi-
¸ a ¸ a at
der˘ m c˘ aceast˘ situatie lipseste pe elevi de posibilitatea de a relua si aprofunda
a a a ¸ ¸ ¸

53. ˘¸
2.4. PROPRIETATI GENERALE ALE IZOMETRIILOR 49
unele cunostinte de baz˘ din geometrie, de sinteza util˘ ˆn procesul de integrare a
¸ ¸ a aı
cunostintelor la nivelul geometriei si cu alte discipline matematice studiate ˆn scoal˘ .
¸ ¸ ¸ ı ¸ a
Este necesar ca ˆn clasele terminale de liceu, cˆ nd notiunea de functie este pe
ı a ¸ ¸
deplin consolidat˘ , s˘ se rezerve un num˘ r de 4-6 ore pentru tratarea propriet˘¸ilor
a a a at
generale ale izometriilor, ocazie cu care s˘ se reaminteasc˘ izometriile particulare
a a
ˆntˆ lnite ˆn clasele anterioare. Schitam mai jos o posibilitate de abordare a acestui
ı a ı ¸˘
subiect.
¸ ¸˘
Dup˘ actualizarea functiei distanta, definim notiunea de izometrie. Propriet˘¸ile
a ¸ at
generale pe care le avem ˆn vedere pot fi tratate direct ˆn spatiu. Am definit anterior
ı ı ¸
izometria ca aplicatie care p˘ streaz˘ distanta. Din definitie rezult˘ c˘ orice izometrie
¸ a a ¸ ¸ a a
este bijectiv˘ , dar surjectivitatea se demonstreaz˘ greoi, ˆncˆ t este de preferat s˘ o
a a ı a a
introducem ˆn definitie.
ı ¸
DEFINITIA 2.8 O aplicatie f : S → S a spatiului ˆn el ˆnsusi se numeste izome-
¸ ¸ ¸ ı ı ¸ ¸
trie, dac˘ este surjectiv˘ si p˘ streaz˘ distanta, adic˘
a a¸ a a ¸ a
d(f (A), f (B)) = d(A, B), ∀A, B ∈ S. (2.5)
TEOREMA 2.2 Orice izometrie a spatiului este bijectiv˘ si inversa ei este de ase-
¸ a¸
menea izometrie.
Demonstratie. ˆ
¸ Intr-adev˘ r, f (A) = f (B) implic˘ d(A, B) = 0, de unde A = B,
a a
adic˘ f este injectiv˘ .
a a
Dac˘ f (A) = A si f (B) = B atunci f −1 (A ) = A, f −1 (B ) = B si (2.5) se
a ¸ ¸
rescrie
d(f −1 (A ), f −1 (B )) = d(A , B ),
deci f −1 este izometrie. q.e.d.
Definitia precedent˘ se poate formula pentru un plan si orice izometrie a planului
¸ a ¸
este bijectiv˘ , inversa ei fiind izometrie.
a
Amintim acum c˘ fiind date trei puncte distincte A, B, C ˆn spatiu se spune c˘
a ı ¸ a
punctul B este ˆntre A si C dac˘ si numai dac˘
ı ¸ a¸ a
d(A, B) + d(B, C) = d(A, C).
a
Se mai spune c˘ B este interior segmentului (AC).
TEOREMA 2.3 Fie f : S → S o izometrie a spatiului. Dac˘ punctul B este ˆntre
¸ a ı
A si C, atunci f (B) este ˆntre punctele f (A) si f (C) si reciproc.
¸ ı ¸ ¸

54. 50 ˘
CAPITOLUL 2. TRANSFORMARI GEOMETRICE
Ipotezele conduc imediat la relatia
¸
d(f (A), f (B)) + d(f (B), f (C)) = d(f (A), f (C)).
Folosind aceast˘ teorem˘ , se demonstreaz˘ c˘ orice izometrie a spatiului transform˘ :
a a a a ¸ a
• orice segment (AB) ˆn segmentul (f (A)f (B)), astfel ˆncˆ t se p˘ streaz˘ ordinea
ı ı a a a
punctelor;
• orice semidreapt˘ (AB ˆn semidreapta (f (A)f (B)) astfel ˆncˆ t se p˘ streaz˘ or-
a ı ı a a a
dinea punctelor;
• orice dreapt˘ AB ˆn dreapta f (A)f (B) astfel ˆncˆ se p˘ streaz˘ ordinea puncte-
a ı ı t a a
lor;
• orice plan π ˆn planul f (π) ;
ı
• orice semiplan ˆnchis (deschis) de frontier˘ AB ˆntr-un semiplan ˆnchis (des-
ı a ı ı
chis) de frontier˘ f (A)f (B);
a
• orice unghi AOB ˆn unghiul f (A)f (O)f (B) congruent cu AOB;
ı
• orice semispatiu ˆnchis (deschis) de frontier˘ π ˆn semispatiul ˆnchis (deschis)
¸ ı a ı ¸ ı
de frontier˘ f (π) ;
a
• orice unghi diedru αdβ ˆn unghiul diedru f (α)f (d)f (β) congruent cu αdβ,
ı
unde α, β sunt plane si α ∪ β;
¸
• orice cerc C(O, r) (orice disc D(O, r)) ˆn cercul C(f (O), r) (ˆn discul D(f (O), r));
ı ı
• orice sfer˘ S(O, r) ˆn sfera S(f (O), r).
a ı
Demonstrarea acestor rezultate este o ocazie excelent˘ de a reactualiza si apro-
a ¸
funda notiuni geometrice mai rar utilizate la nivel logic (semidreapt˘ , semiplan,
¸ a
semispatiu etc.).
¸
Din propriet˘¸ile de mai sus rezult˘ c˘ orice izometrie a spatiului p˘ streaz˘ (inva-
at a a ¸ a a
riaz˘ ):
a
• paralelismul si perpendicularitatea planelor si dreptelor;
¸ ¸
• paralelismul si perpendicularitatea dintre drepte si plane.
¸ ¸
TEOREMA 2.4 Multimea izometriilor spatiului S formeaz˘ un grup ˆn raport cu
¸ ¸ a ı
operatia de compunere.
¸

55. ˘ ˆ ˘¸
2.5. ASEMANAREA IN PLAN. PROPRIETATI GENERALE 51
Apare aici ocazia de a repeta notiunea de grup, de compunere a aplicatiilor cu
¸ ¸
proprietatea ei de asociativitate.
Ne limit˘ m acum la izometrii plane.
a
TEOREMA 2.5 Fie dou˘ triunghiuri ABC si A B C ˆn planul π, astfel c˘
a ¸ ı a
(AB) ≡ (A B ), (BC) ≡ (B C ), (CA) ≡ (C A ).
Atunci exist˘ o unic˘ izometrie f : π → π astfel ca f (A) = A , f (B) = B , f (C) =
a a
C.
Ideea de demonstratie este de a defini f pentru A, B si C ca mai sus, de a o extinde
¸ ¸
mai ˆntˆ i la dreptele AB si AC, apoi la ˆntreg planul. Unicitatea se demonstreaz˘
ı a ¸ ı a
prin reducere la absurd.
Aceast˘ teorem˘ combinat˘ cu observatia c˘ orice izometrie transform˘ un tri-
a a a ¸ a a
unghi ˆntr-un triunghi congruent cu el ne conduce la concluzia: dou˘ triunghiuri
ı a
dintr-un plan dat sunt congruente dac˘ si numai dac˘ exist˘ o izometrie a planului
a¸ a a
care transform˘ un triunghi ˆn cel˘ lalt.
a ı a
Din consideratiile de mai sus rezult˘ c˘ , interpretat˘ ca o aplicatie ˆntre vˆ rfurile a
¸ a a a ¸ ı a
dou˘ triunghiuri indicat˘ prin ( ), congruenta este restrictia unei izometrii a planului.
a a ¸ ¸
¸˘
Avem aici o motivare a termenului de congruenta folosit uneori pentru izometrie.
a ¸˘
Este acum natural s˘ extindem termenul de congruenta la figuri oarecare spunˆ nd a
c˘ figura F este congruent˘ cu figura F dac˘ exist˘ o izometrie f (a planului dac˘
a a a a a
figurile sunt plane), astfel c˘ f (F ) = F .
a
Aceast˘ definitie poate fi util˘ ˆn considerarea functiei arie pentru figuri plane mai
a ¸ aı ¸
complicate decˆ t suprafetele poligonale.
a ¸
2.5 Asem˘ narea ˆn plan. Propriet˘ ti generale
a ı a¸
Elevii obtin o idee despre figurile asemenea cu ocazia studiului temei Asem˘ narea
¸ a
triunghiurilor. Dintre multele variante de tratare a ei este de preferat una care
preg˘ teste terenul pentru predarea asem˘ n˘ rii ca transformare geometric˘ a planu-
a ¸ a a a
lui (spatiului). Consider˘ m c˘ aceast˘ tem˘ se poate studia imediat dup˘ studiul
¸ a a a a a
propriet˘¸ilor generale ale izometriilor ˆn maniera descris˘ de noi mai sus.
at ı a
Transformarea de asem˘ nare poate fi introdus˘ prin generalizarea izometriei. Izo-
a a
metria este transformarea geometric˘ ce p˘ streaz˘ distanta.
a a a ¸
Putem considera, teoretic vorbind, transform˘ ri geometrice care multiplic˘ distanta
a a ¸
cu un factor.Cum distantele se exprim˘ prin numere reale pozitive, factorul de mul-
¸ a
tiplicare trebuie s˘ fie ˆn mod necesar un numˆ r real strict pozitiv.
a ı a

56. 52 ˘
CAPITOLUL 2. TRANSFORMARI GEOMETRICE
DEFINITIA 2.9 O aplicatie ak : π → π a planului se numeste asem˘ nare de
¸ ¸ ¸ a
raport k, unde k este un num˘ r real strict pozitiv dac˘ este surjectiv˘ si pentru
a a a ¸
oricare dou˘ puncte A si B din π avem
a ¸
d(ak (A), ak (B)) = k · d(A, B). (2.6)
Num˘ rul k trebuie luat strict pozitiv pentru c˘ dac˘ ar fi zero, din (2.6) ar rezulta
a a a
a0 (A) = a0 (B) pentru oricare dou˘ puncte A, B.
a
Deci aplicatia a0 este o aplicatie constant˘ , care nu este surjectiv˘ .
¸ ¸ a a
Multimea asem˘ n˘ rilor planului nu este vid˘ , deoarece contine izometriile planu-
¸ a a a ¸
lui, obtinute pentru k = 1.
¸
Din relatia (2.6) rezult˘ c˘ orice asem˘ nare a planului este injectiv˘ , iar fiind prin
¸ a a a a
definitie surjectiv˘ , este bijectiv˘ . Se demonstreaz˘ usor c˘ inversa unei asem˘ n˘ ri
¸ a a a ¸ a a a
1
de raport k este o asem˘ nare de raport k .
a
Mention˘ m c˘ (2.6) asigur˘ si surjectivitatea aplicatiei ak . Considerˆ nd aplicatia
¸ a a a¸ ¸ a ¸
identic˘ asem˘ nare particular˘ , se constat˘ c˘ multimea asem˘ n˘ rilor planului for-
a a a a a ¸ a a
meaz˘ un grup ˆn raport cu compunerea aplicatiilor.
a ı ¸
Asocierea ak → k este un izomorfism al acestui grup cu grupul multiplicativ al
numerelor reale strict pozitive.
Asem˘ n˘ rile au multe propriet˘¸i similare cu cele ale izometriilor.
a a at
TEOREMA 2.6 Fie ak o asem˘ nare de raport k, atunci punctul B se afl˘ ˆntre A si
a aı ¸
C, dac˘ si numai dac˘ punctul ak (B) se afl˘ ˆntre ak (A) si ak (C).
a¸ a aı ¸
Modul de transformare a figurilor din plan prin asem˘ nare este identic cu cel
a
descris la izometrii, cu modificarea evident˘ c˘ un cerc C(O, r), respectiv un disc
a a
D(O, r) este transformat prin ak ˆntr-un cerc C(O, kr), respectiv un disc D(O, kr),
ı
adic˘ raza se multiplic˘ cu factorul k.
a a
Orice asem˘ nare transform˘ drepte paralele ˆn drepte paralele si c˘ asem˘ n˘ rile
a a ı ¸ a a a
p˘ streaz˘ raportul lungimilor segmentelor.
a a
Leg˘ tura cu asem˘ narea triunghiurilor se stabileste prin
a a ¸
TEOREMA 2.7 Dac˘ ∆ABC si ∆A B C sunt dou˘ triunghiuri oarecare ˆn planul
a ¸ a ı
π astfel ˆncˆ t
ı a
d(A , B ) = k · d(A, B), d(B , C ) = k · d(B, C), d(C , A ) = k · d(C, A)
unde k este un num˘ r real strict pozitiv, atunci exist˘ o asem˘ nare de raport k a
a a a
planului π unic˘ ak ˆncˆ t
a ı a
ak (A) = A , ak (B) = B , ak (C) = C .

57. ˆ
2.6. OMOTETIA IN PLAN 53
Din observatia c˘ orice triunghi este transformat printr-o asem˘ nare ˆntr-un triunghi
¸ a a ı
asemenea cu el si teorema precedent˘ rezult˘ :
¸ a a
dou˘ triunghiuri sunt asemenea dac˘ si numai dac˘ exist˘ o asem˘ nare care s˘
a a¸ a a a a
transforme unul ˆn cel˘ lalt.
ı a
O prim˘ consecinta a acestui fapt este aceea c˘ , ˆntrucˆ t ˆn planul euclidian exist˘
a ¸˘ a ı a ı a
triunghiuri asemenea necongruente, exist˘ asem˘ n˘ ri ale planului care nu sunt izo-
a a a
metrii.
O alt˘ consecinta rezid˘ ˆn motivatia urm˘ toarei definitii:
a ¸˘ aı ¸ a ¸
DEFINITIA 2.10 Dou˘ figuri F si F ale planului π se numesc asemenea cu coefi-
¸ a ¸
cientul de asem˘ nare k dac˘ exist˘ o asem˘ nare ak a planului π , ˆncˆ t ak (F ) = F
a a a a ı a
.
2.6 Omotetia ˆn plan
ı
Asem˘ narea particular˘ cea mai important˘ , l˘ sˆ nd la o parte izometria, este omote-
a a a aa
tia de centru dat si raport dat.
¸
TEOREMA 2.8 Orice asem˘ nare este produsul dintre o omotetie si o izometrie.
a ¸
1
Demonstratie. Dac˘ ak este o asem˘ nare de raport k si hO este o omotetie de
¸ a a ¸ k
1 1
raport si centrul O un punct oarecare, atunci f = ak ◦ hO este o asem˘ nare de
¸ k
a
k
1
raport k · = 1, deci este o izometrie. Relatia de mai sus conduce la ak = f ◦ hk .
¸ O
k
q.e.d.
Pe de alt˘ parte, omotetia este foarte util˘ ˆn rezolvarea problemelor de geometrie,
a aı
fapt bine cunoscut si care se poate constata din numeroase culegeri de probleme
¸
de geometrie. Din acest motiv, consider˘ m c˘ omotetia trebuie studiat˘ ˆnaintea
a a aı
asem˘ n˘ rii si chiar ˆnaintea trat˘ rii izometriei ˆn general.
a a ¸ ı a ı
Definitia sintetic˘ a omotetiei poate fi introdus˘ foarte devreme ˆn forma:
¸ a a ı
DEFINITIA 2.11 Fie O un punct ˆntr-un plan π si k un num˘ r real strict pozitiv.
¸ ı ¸ a
Omotetia de centru O si raport k este o transformare a planului π care asociaz˘
¸ a
fiec˘ rui punct M un punct M , astfel c˘ O, M si M sunt coliniare ˆn ordinile O −
a a ¸ ı
M − M sau O − M − M si OM = k · OM .
¸
Evident c˘ ordinea O − M − M atrage k > 1, iar ordinea O − M − M atrage k < 1.
a
Pe de alt˘ parte, exist˘ si posibilitatea de a lua ordinele M −O−M sau M −O−M .
a a¸
Acest fapt ne determin˘ s˘ numim transformarea definit˘ mai sus omotetie de gen 1,
a a a

58. 54 ˘
CAPITOLUL 2. TRANSFORMARI GEOMETRICE
iar transformarea ˆn care apar ordinile M − O − M , sau M − O − M , s˘ o numim
ı a
omotetie de gen 2.
Cu aceast˘ definitie, considerˆ nd pe rˆ nd ordinile posibile, se pot demonstra prin-
a ¸ a a
cipalele propriet˘¸i ale omotetiei.
at
Ordinea de abordare a lor ar putea fi urm˘ toarea:
a
1
• asocierea M → M este omotetie de centru O si raport . Ea este inversa
¸
k
omotetiei de centru O si raport k;
¸
• omotetia de raport k si centru O multiplic˘ distanta ˆntre puncte prin factorul k;
¸ a ¸ ı
• omotetia transform˘ o dreapt˘ ce trece prin O ˆn ea ˆns˘ si, cu alte cuvinte, omo-
a a ı ı a¸
tetiile de centru O invariaz˘ dreptele prin O;
a
• omotetia de centru O transform˘ o dreapt˘ d ce nu trece prin O ˆntr-o dreapt˘ d
a a ı a
paralel˘ cu d;
a
1
• omotetia de centru O si raport k transform˘ un cerc C(P0 , r) ˆntr-un cerc C(P0 , kr)
¸ a ı
1
unde P0 este omoteticul lui P0 .
Cu aceste putine cunostinte privind omotetia putem s˘ rezolv˘ m multe probleme
¸ ¸ ¸ a a
interesante de geometrie. De exemplu, putem obtine majoritatea rezultatelor privind
¸
configuratia Cercul lui Euler prin considerarea omotetiei inverse de centru G (centrul
¸
1
de greutate al triunghiului) si raport .
¸
2
Ultimele dou˘ propriet˘¸i ale omotetiei, mentionate mai sus, permit abordarea
a at ¸
unei clase mari de probleme de loc geometric, dac˘ sunt reformulate dup˘ cum ur-
a a
meaz˘ :
a
• Locul geometric al punctului M , omoteticul punctului ˆntr-o omotetie de centru
ı
O si raport k, este o dreapt˘ d , cˆ nd M descrie o dreapt˘ d. Dac˘ d trece prin
¸ a a a a
O, avem d = d, iar ˆn caz contrar avem d d.
ı
• Locul geometric al punctului M , omoteticul punctului M ˆntr-o omotetie de
ı
1
centru O si raport k, este un cerc C(P0 , kr), cˆ nd M descrie cercul C(P0 , r),
¸ a
1
unde P0 este omoteticul lui P0 .
ˆ momentul ˆn care elevii dispun de notiunea de vector se poate trata omotetia cu
In ı ¸
metode vectoriale. ˆ asi definitia ei devine mai usoar˘ pentru c˘ notiunea de vector
Ins˘ ¸ ¸ ¸ a a ¸
ne permite s˘ surprindem simultan situatiile de ordonare a punctelor ˆntˆ lnite ante-
a ¸ ı a
rior.

59. ˆ
2.6. OMOTETIA IN PLAN 55
DEFINITIA 2.12 Fie O un punct ˆn planul π si k un num˘ r real nenul. Omotetia de
¸ ı ¸ a
centru O si raport k este o transformare a planului care aplic˘ un punct M ˆntr-un
¸ a ı
punct M dat de formula
OM = k · OM .
ˆ aceast˘ definitie cuprindem omotetiile de ambele genuri (cele de gen 1 co-
In a ¸
respund la k pozitiv, iar cele de gen 2 la k negativ). Demonstratiile propriet˘¸ilor
¸ at
mentionate mai sus se simplific˘ pentru c˘ nu trebuie s˘ mai distingem cele dou˘
¸ a a a a
genuri de omotetie, dar ideile sunt ˆn esenta aceleasi.
ı ¸˘ ¸
ˆ acest context vectorial putem s˘ ne ocup˘ m de urm˘ toarele dou˘ propriet˘¸i ale
In a a a a at
omotetiilor:
• Multimea omotetiilor de acelasi centru formeaz˘ un grup comutativ izomorf cu
¸ ¸ a
grupul multiplicativ al numerelor reale nenule.
• Produsul a dou˘ omotetii hk si hk este o omotetie avˆ nd centrul coliniar cu O
a O ¸ O a
si O , dac˘ k · k =1 si este o translatie de vector OO dac˘ k · k = 1. Ca aplicatie
¸ a ¸ ¸ a ¸
se poate demonstra teorema lui Menelaus.
Omotetia ˆn spatiu se poate prezenta similar. Definitia vectorial˘ r˘ mˆ ne practic
ı ¸ ¸ a a a
aceeasi. Propriet˘¸ile anterioare r˘ mˆ n valabile. La ele se pot ad˘ uga urm˘ toarele:
¸ at a a a a
• omotetia spatiului invariaz˘ dreptele si planele care trec prin centrul omotetiei;
¸ a ¸
• omotetia spatiului transform˘ un plan care nu trece prin centru de omotetie ˆntr-
¸ a ı
un plan paralel cu el;
• omotetia spatiului de centru O si raport k transform˘ o sfer˘ S(P0 , r) ˆntr-o sfer˘
¸ ¸ a a ı a
1 1
S(P0 , kr) unde P0 este omoteticul lui P0 .
Aplicatiile omotetiei ˆn spatiu sunt analoage cu cele ale omotetiei plane.
¸ ı ¸
Revenim la plan.
Fie un punct fix O si o omotetie hk . Introducem ˆn plan un reper cartezian oa-
¸ O ı
¸˘
recare fata de care avem O(x0 , y0 ), M (x, y) si omoteticul s˘ u M (x , y ). Conditia
¸ a ¸
OM = k · OM este echivalent˘ cu a
x = x0 + k(x − x0 )
(2.7)
y = y0 + k(y − y0 ).
Aceste ecuatii se numesc ecuatiile omotetiei hk ˆn raport cu reperul cartezian ales.
¸ ¸ O ı
Ele pot fi luate ca definitie a omotetiei ˆn plan si utilizate pentru a demonstra pro-
¸ ı ¸
priet˘¸ile esentiale ale omotetiilor. Pentru a facilita asemenea demonstratii putem
at ¸ ¸
alege reperul cu originea ˆn O, deci x0 = 0 si y0 = 0.
ı ¸

60. 56 ˘
CAPITOLUL 2. TRANSFORMARI GEOMETRICE
De exemplu, dac˘ M parcurge dreapta de ecuatie ax + by + c = 0, atunci coordo-
a ¸
natele lui M satisfac ecuatia ax + by + ck = 0, deci M parcurge o dreapt˘ paralel˘
¸ a a
cu cea dat˘ .
a
Similar, dac˘ M se afl˘ pe cercul de ecuatie (x−a)2 +(y −b)2 = r2 , coordonatele
a a ¸
lui M verific˘ ecuatia (x − ka) + (y − kb)2 = (kr)2 . Deci, M se afl˘ pe cercul de
a ¸ 2
a
raz˘ kr si de centru omotetic cu centrul cercului dat.
a ¸
Analog se pot demonstra alte propriet˘¸i ale omotetiei.
at
2.6.1 Folosirea omotetiei la rezolvarea unor probleme de loc geometric
ˆ aplicatii intervine ˆn mod frecvent urm˘ toarea problem˘ de loc geometric.
In ¸ ı a a
Problem˘ a
Se dau cercul C(O, R), unde O este un punct fix si puntul I de asemenea fixat,
¸
iar P un punct variabil pe cerc. Se cere s˘ se determine locul geometric al punctului
a
MI
M ∈ IP , dac˘ raportul IP = k este cunoscut, k fiind un num˘ r pozitiv fixat.
a a
P
M
I
O’ O
Figura 2.8:
Construim paralela M O P O, O ∈ IO. Atunci
OI MI MO MI
= = k, = = k,
IO IP PO IP
si cum segmentele IO, P O au lungimea constant˘ , rezult˘ c˘ punctul O este fix, iar
¸ a a a
segmentul M O are lungimea constant˘ . a
Locul geometric este cercul cu centrul O si raz˘ M O (omoteticul cercului dat sau
¸ a
transformatul acestuia prin omotetia de centru I si raport k).
¸
Ca exemplu ˆn acest sens poate servi Cercul lui Euler, cercul care trece prin mij-
ı
loacele unui triunghi ABC, prin picioarele ˆn˘ ltimilor sale si prin mijloacele seg-
ı a¸ ¸
mentelor AH, BH, CH, H fiind ortocentrul triunghiului. (Cercul celor 9 puncte)

61. ˆ
2.7. INVERSIUNEA IN PLAN 57
2.7 Inversiunea ˆn plan
ı
O alt˘ transformare geometric˘ foarte util˘ ˆn rezolvarea problemelor de geometrie
a a aı
este inversiunea. ˆ
Inainte de introducerea definitiei inversiunii ˆn plan bine s˘ se rea-
¸ ı a
a ¸˘
minteasc˘ puterea unui punct fata de un cerc, pornind de la urm˘ toarele rezultate:
a
Fie C(O, r) un cerc ˆn planul π, cu centrul ˆn punctul fixat O si raz˘ r.
ı ı ¸ a
• Oricare ar fi punctele A, B, A , B ∈ C(O, r) cu proprietatea c˘ dreptele AB si
a ¸
A B se intersecteaz˘ ˆntr-un punct P are loc egalitatea:
aı
PA · PB = PA · PB .
Se demonstreaz˘ usor din proportionalitatea laturilor triunghiurilor asemenea
a ¸ ¸
∆P AB si ∆P A B.
¸
• Dac˘ o secant˘ variabil˘ trece printr-un punct fix P si intersecteaz˘ un cerc
a a a ¸ a
C(O, r) ˆn punctele A si B, atunci produsul
ı ¸
P A · P B = ct
este constant.
DEFINITIA 2.13 Se numeste putere a punctului P fata de cercul C(O, r), num˘ rul
¸ ¸ ¸˘ a
notat
ρ(P ) = P A · P B
unde A si B sunt punctele de intersectie ale unei secante duse prin P cu cercul
¸ ¸
C(O, r).
• se defineste astfel o functie ρ : π → R, definit˘ prin
¸ ¸ a
ρ(P ) = P A · P B
unde A si B sunt punctele de intersectie ale unei secante duse prin P cu cercul
¸ ¸
C(O, r).
¸˘ ¸˘
• puterea unui punct fata de un cerc ne indic˘ pozitia punctului fata de cerc:
a ¸
1. P ∈ Ext(C(O, r)) dac˘ si numai dac˘ ρ(P ) > 0;
a¸ a
2. P ∈ C(O, r) dac˘ si numai dac˘ ρ(P ) = 0;
a¸ a
3. P ∈ Int(C(O, r)) dac˘ si numai dac˘ ρ(P ) < 0.
a¸ a
¸˘
• puterea unui punct P fata de un cerc este
ρ(P ) = (OP )2 − r2 .

62. 58 ˘
CAPITOLUL 2. TRANSFORMARI GEOMETRICE
Putem prezenta aceste rezultate si vectorial dac˘ elevii cunosc elementele de calcul
¸ a
vectorial. De asemenea definitia inversiunii poate fi dat˘ mai usor.
¸ a ¸
Fie O ∈ π un punct fix si k un num˘ r real nenul.
¸ a
DEFINITIA 2.14 Inversiunea de pol O si raport k este o transformare a planului
¸ ¸
prin care fiec˘ rui punct X ∈ π − {O} i se asociaz˘ punctul X pe dreapta OX astfel
a a
ˆncˆ t
ı a
OX · OX = k
iar punctului O i se asociaz˘ punctul O.
a
Inversiunea de pol O si raport k se noteaz˘ ik .Punctul O se numeste polul inversiunii.
¸ a O ¸
Asadar
¸
ik : π → π
O
ik (X) ∈ OX,
O OX · Oik (X) = k,
O ∀X ∈ π.
Punctul X = ik (X) se numeste transformatul punctului X prin inversiunea de pol
O ¸
O si raport k sau inversul punctului X prin aceast˘ inversiune si vice-versa X este
¸ a ¸
k
inversul punctului X prin iO .
Punctele X si ik (X) se numesc puncte omoloage ale inversiunii ik .
¸ O O
Astfel se pune ˆn evidenta c˘ :
ı ¸˘ a
• inversiunea este o transformare involutiv˘
a
ik ◦ ik = 1 π
O O
• inversiunea este inversabil˘ si (ik )−1 = ik
a¸ O O
• punctul O este invariant ˆn raport cu inversiunea ik si toate dreptele care trec
ı O ¸
prin O sunt drepte invariante ˆn raport cu inversiunea ik .
ı O
DEFINITIA 2.15 Dac˘ k > 0 inversiunea ik se numeste pozitiv˘ , iar dac˘ k < 0
¸ a O ¸ a a
k
inversiunea iO se numeste negativ˘ .
¸ a
Vom prezenta ˆn continuare cˆ teva propozitii care ne dau imaginile unui cerc si unei
ı a ¸ ¸
drepte din plan printr-o inversiune.
TEOREMA 2.9 Dac˘ ik este o inversiune pozitiv˘ , atunci ik√invariaz˘ punct cu
√a O a O a
punct cercul C(O, k) si transform˘ interiorul cercului C(O, k) ˆn exteriorul lui
¸ √ a ı
si exteriorul cercului C(O, k) ˆn interiorul lui.
¸ ı

63. ˆ
2.7. INVERSIUNEA IN PLAN 59
T T
O O
X X’ X
X’
Figura 2.9:
Demonstratie.
¸ √ √
ˆ
Intr-adev˘ r pentru orice X ∈ C(O, k) are loc OX · OX = ( k)2 = √ si deci
a k¸
√ √
ik (X) = X pentru √ X ∈ C(O, k). Adic˘ ik (C(O, k)) = C(O, k). Fie
O orice a O
acum X ∈Int(C(O, k)). Construim perpendiculara pe dreapta OX prin punctul X √
si fie T unul din punctele de intersectie√ acestei perpendiculare cu cercul C(O, k).
¸ ¸ al
Tangenta ˆn punctul T la cercul C(O, k) intersecteaz˘ dreapta OX ˆn punctul X .
ı a ı
√Din teorema catetei aplicat˘ ˆn triunghiul OT X (figura ) rezult˘ OX · OX =
2 k
aı a
( k) = k si deci iO (X)√ X .
¸ = √
Dac˘ X ∈Ext(C(O, k)) construim tangenta XT la cercul C(O, k). T ∈
√ a
C(O, k) (figura ) si X piciorul perpendicularei din T pe dreapta OX. Teorema
¸ √
catetei ˆn OT X ne d˘ OX · OX = ( k)2 = k si deci ik (X ) = X.
ı a ¸ O q.e.d.
Din aceast˘ teorem˘ rezult˘ o metod˘ practic˘ de constructie a imaginii ik (X)
a a a a a ¸ O
k
unui punct X prin inversiunea iO , k > 0.
k
√
DEFINITIA 2.16 Pentru iO o inversiune pozitiv˘ , cercul C(O, k) se numeste cer-
¸ a ¸
k
cul inversiunii iO sau cercul de inversiune.
DEFINITIA 2.17 Dou˘ cercuri secante se numesc ortogonale dac˘ tangenta ˆntr-
¸ a a ı
un punct comun la unul dintre cercuri trece prin centrul celuilalt.
TEOREMA 2.10 Un cerc diferit de cercul de inversiune este invariant ˆn raport cu
ı
inversiunea dac˘ si numai dac˘ este ortogonal cu cercul de inversiune.
a¸ a
PROPOZITIA 2.1 Orice dou˘ perechi de puncte omoloage ˆntr-o inversiune sunt
¸ a ı
asezate pe un cerc, dac˘ nici unul dintre puncte nu este polul inversiunii.
¸ a
Se pot demonstra urm˘ toarele rezultate:
a
• printr-o inversiune orice cerc care nu contine polul inversiunii se transform˘
¸ a
ˆntr-un cerc care de asemenea nu contine polul inversiunii;
ı ¸

64. 60 ˘
CAPITOLUL 2. TRANSFORMARI GEOMETRICE
• printr-o inversiune ik orice patru puncte situate pe un cerc care contine polul O
O ¸
al inversiunii se transform˘ ˆn patru puncte situate pe o dreapt˘ care nu contine
aı a ¸
polul inversiunii.
• printr-o inversiune orice dreapt˘ care nu contine polul inversiunii se transform˘
a ¸ a
ˆntr-un cerc care contine polul inversiunii.
ı ¸
• daca cercul C(O2 , r2 ) este imaginea cercului C(O1 , r1 ) prin inversiunea ik ,
O
r2 k
atunci = , unde ρ(O) este puterea polului O ˆn raport cu cercul C(O2 , r2 ).
ı
r1 ρ(O)
DEFINITIA 2.18 Unghiul a dou˘ cercuri care se intersecteaz˘ ˆn punctele A si B
¸ a aı ¸
este unghiul format de cele dou˘ tangente la cercuri ˆn A sau B.
a ı
DEFINITIA 2.19 Unghiul dintre o dreapt˘ si un cerc pe care-l intersecteaz˘ ˆn A
¸ a¸ aı
si B este unghiul format de dreapt˘ si una dintre tangentele la cerc ˆn A sau B.
¸ a¸ ı
C(O, r)
1 1
A B’ A’
B O1 O’
1
Figura 2.10: Inversul unui cerc care nu trece prin polul inversiunii O
ˆ
Intr-o inversiune sunt invariante:
• unghiul a dou˘ cercuri secante;
a
• unghiul dintre o dreapt˘ si un cerc pe care-l intersecteaz˘ ;
a¸ a
• unghiul a dou˘ drepte secante.
a
TEOREMA 2.11 Multimea tuturor omotetiilor si a inversiunilor planului, care au
¸ ¸
acelasi centru formeaz˘ un grup.
¸ a
DEFINITIA 2.20 Grupul format din omotetiile si inversiunile planului cu acelasi
¸ ¸ ¸
centru si pol O se numeste grupul conform de centru O al planului.
¸ ¸
Constructia cu rigla si compasul a imaginii unui cerc printr-o inversiune ik se face
¸ ¸ O
astfel:

65. ˆ
2.7. INVERSIUNEA IN PLAN 61
O
ˆ
• cercul C(O1 , r1 ) nu trece prin polul inversiunii ik . In acest caz fie A si B punc-
¸
tele de intersectie ale dreptei OO1 cu cercul C(O1 , r1 ) (figura 2.10). Construim
¸
punctele A = ik (A) si B = ik (B). Inversul cercului C(O1 , r1 ) prin inversiu-
O ¸ O
k
nea iO este cercul de diametru [A B ].
C(O, r)
1 1
A’ A O
O1
Figura 2.11:
ˆ
• cercul C(O1 , r1 ) trece prin polul inversiunii ik .In acest caz imaginea cercului
O
C(O1 , r1 ) prin inversiunea ik . este o dreapt˘ . Fie A al doilea punct de intersectie
O a ¸
al dreptei OO1 cu cercul C(O1 , r1 ) (figura 2.10).Construim imaginea punctului
A prin inversiunea ik si vom obtine A = ik (A) ∈ OO1 . Perpendiculara pe
O ¸ ¸ O
OO1 ˆn A este imaginea cercului C(O1 , r1 ) prin inversiunea ik .
ı O
C(O, r)
1 1
A
O O O1
O1
B
Figura 2.12 a). Figura 2.12 b)
Figura 2.12:
Dac˘ cercul C(O1 , r1 ) intersecteaz˘ cercul de inversiune ˆn punctele A si B,
a a ı ¸
k
atunci AB = iO (C(O1 , r1 )) (figura 2.11), iar dac˘ cercul C(O1 , r1 ) este tangent
a
k
la cercul de inversiune, atunci iO (C(O1 , r1 )) este tangenta la cercul de inver-
siune ˆn punctul de tangenta al celor dou˘ cercuri. (figura 2.12)
ı ¸˘ a

66. 62 ˘
CAPITOLUL 2. TRANSFORMARI GEOMETRICE

67. Capitolul 3
Geometrie ˆn spatiu
ı ¸
3.1 Introducere ˆn geometria tetraedrului
ı
Se poate defini tetraedrul ca un caz particular al piramidei:
DEFINITIA 3.1 Fie S = [A1 A2 . . . An ] o suprafata poligonal˘ cu frontiera un po-
¸ ¸˘ a
ligon apartinˆ nd unui plan π si V ∈ π. Se numeste piramid˘ cu vˆ rful V si baz˘ S
¸ a ¸ ¸ a a ¸ a
multimea tuturor segmentelor [V A], cu A ∈ S.
¸
¸˘
Suprafata poligonal˘ S se numeste baza piramidei.
a ¸
• ˆ functie de natura poligonului S se pot ˆntˆ lni mai multe tipuri de piramide.
In ¸ ı a
• Se pune ˆn evidenta faptul c˘ o piramid˘ triunghiular˘ se numeste tetraedru.
ı ¸˘ a a a ¸
Deci, tetraedrul este o piramid˘ particular˘ , cu poligonul S un triunghi.
a a
Dar putem defini direct tetraedrul:
DEFINITIA 3.2 Fie punctele A, B, C, D patru puncte necoplanare din spatiu. Multimea
¸ ¸ ¸
ABCD = [ABC] ∪ [ABD] ∪ [ACD] ∪ [BCD] se numeste tetraedru.
¸
A
B D
C
Figura 3.1: Tetraedrul ABCD
63

68. 64 ˆ
CAPITOLUL 3. GEOMETRIE IN SPATIU
¸
• Punctele A, B, C, D se numesc vˆ rfurile tetraedrului ABCD;
a
• Segmentele ˆnchise [AB], [AC], [AD], [BD], [BC], [CD] definesc muchiile te-
ı
traedrului;
• Suprafetele triunghiulare [ABC], [ABD], [ACD], [BCD] se numesc fetele te-
¸ ¸
traedrului;
• Folosind materialul didactic elevii vor constata c˘ ˆn cazul tetraedrului fiecare
aı
¸˘ a a¸ a ¸ a a ¸˘
fata poate fi considerat˘ baz˘ si cˆ nd asez˘ m un tetraedru oarecare cu o alt˘ fata
ca baz˘ el capat˘ de fiecare dat˘ alt aspect.
a a a
• Analogie ˆntre triunghi si tetraedru: tetaedrul este poliedrul cu cel mai mic
ı ¸
num˘ r de fete asa cum triunghiul este poligonul cu cel mai mic num˘ r de la-
a ¸ ¸ a
turi.
DEFINITIA 3.3 Numim ˆn˘ ltime a unui tetraedru perpendiculara dus˘ dintr-un
¸ ı a¸ a
vˆ rf al tetraedrului pe fata opus˘ .
a ¸ a
Spre deosebire de cazul triunghiului (ale c˘ rui ˆn˘ ltimi sunt ˆntotdeauna concurente),
a ı a¸ ı
ˆn˘ ltimile unui tetraedru nu sunt ˆntotdeauna concurente!
ı a¸ ı
ˆ general cele patru ˆnaltimi ale unui tetraedru sunt dou˘ cˆ te dou˘ necopla-
In ı a a a
nare si sunt generatoarele unui hiperboloid (J. STEINER-1827), numit hiperboloidul
¸
ˆn˘ ltimilor. Acestui hiperboloid ˆi apartin perpendicularele ridicate pe planele fetelor
ı a¸ ı ¸ ¸
tetraedrului care trec prin ortocentrele acestor fete.
¸
¸ ˆ
DEFINITIA 3.4 Intr-un tetraedru numim bimedian˘ segmentul care uneste mijloa-
a ¸
cele a dou˘ muchii opuse.
a
Orice tetraedru are sase muchii, deci exist˘ trei bimediane.
¸ a
ˆ
PROPOZITIA 3.1 Intr-un tetraedru oarecare cele trei bimediane sunt concurente.
¸
Demonstratie. ˆ tetraedrul ABCD consider˘ m punctele M, N, P , Q, R, S mij-
¸ In a
a
loacele laturilor [AB], [CD], [BC], [AD], [AC], [BD] respectiv. Vom demonstra c˘
bimedianele [M N ], [P Q], [M N ] sunt concurente.
ˆ triunghiurile BAC si DAC care au latura comun˘ [AC] sunt puse ˆn evidenta
In ¸ a ı ¸˘
liniile mijlocii [M P ] si [QN ], care corespund laturii comune.
¸
Deci:
M P QN si M P = QN.
¸
Analog: P N M Q si P N = M Q
¸
P S QR si P S = QR.
¸

69. ˆ
3.1. INTRODUCERE IN GEOMETRIA TETRAEDRULUI 65
A
M Q
R
G
B S D
P N
C
Figura 3.2: Concurenta bimedianelor
¸
Rezult˘ c˘ patrulaterele P RQS, M P N Q sunt paralelograme si mai mult cele
a a ¸
trei bimediane [M N ], [P Q], [RS] ale tetraedrului sunt diagonale ˆn aceste parale-
ı
lograme.
Cum diagonalele unui paralelogram sunt concurente si se ˆnjum˘ t˘¸esc, cele trei
¸ ı a at
bimediane [M N ], [P Q], [RS] ale tetraedrului ABCD sunt concurente, punctul de
¸˘
concurenta este notat cu G si este mijlocul fiec˘ rei bimediane.
¸ a q.e.d.
DEFINITIA 3.5 (LEONARDO DA VINCI)
¸
Punctul de concurenta al bimedianelor, notat cu G, se numeste centrul de greu-
¸˘ ¸
tate, sau centrul distantelor medii, sau baricentrul tetraedrului.
¸
AM
PROPOZITIA 3.2 Fie ABCD un tetraedru, M ∈ (AB) cu
¸ = u, 0 < u < 1
AB
CN
si N ∈ (CD) astfel ˆncˆ t
¸ ı a = 1 − u. Atunci au loc urm˘ toarele inegalit˘ ¸i:
a at
CD
|u · BC − (1 − u) · AD| < M N < u · BC + (1 − u) · AD, (3.1)
|u · BD − (1 − u) · AC| < M N < u · BD + (1 − u) · AC.
Demonstratie.
¸
Fie P ∈ (AC) astfel ˆncˆ t M P
ı a BC (fig. 3). Din teorema fundamental˘ aa
PC
asemanarii avem M P = u · BC si ¸ = 1 − u.
AC
CN
Cum = 1 − u, vom obtine P N
¸ AD si ˆn consecinta din triunghiurile
¸ ı ¸˘
CD
asemenea CP N si CAD se obtine P N = (1 − u) · AD. Deoarece punctele M, P, N
¸ ¸
nu pot fi coliniare, din inegalit˘¸ile triunghiului obtinem
at ¸
|M P − P N | < M N < M P + P N

70. 66 ˆ
CAPITOLUL 3. GEOMETRIE IN SPATIU
¸
A
M
P
B D
N
C
Figura 3.3:
sau dup˘ ˆnlocuiri, avem
aı
|u · BC − (1 − u) · AD| < M N < u · BC + (1 − u) · AD.
Procedˆ nd la fel obtinem si al doilea grup de inegalit˘¸i.
a ¸ ¸ at
q.e.d.
COROLARUL 3.1 (Inegalit˘ ¸ile bimedianei).
at
Fie ABCD un tetraedru, M mijlocul lui [AB] si N mijlocul lui [CD]; atunci
¸
|BC − AD| < 2M N < BC + AD, |BD − AC| < 2M N < BD + AC. (3.2)
Demonstratie.
¸
1
Luˆ nd u = ˆn (3.1) vom g˘ si aceste inegalit˘¸i.
a ı a at q.e.d.
2
ˆ
DEFINITIA 3.6 Intr-un tetraedru ABCD, dreptele care unesc punctele A, B, C, D
¸
cu centrele de greutate ale fetelor opuse se numesc medianele tetraedrului ABCD.
¸
TEOREMA 3.1 Cele patru mediane ale unui tetraedru sunt concurente.
Demonstratie.
¸
Fie G1 punctul de intersectie al medianelor triunghiului BCD. Se noteaz˘ cu
¸ a
M, N, P, Q mijloacele segmentelor [AB], [CD], [BC], [AD], figura (3.3).
ˆ planul (AP D), P Q ∩ AG1 =∅.
In
ˆ planul paralelogramului M P N Q, M N ∩ P Q = ∅.
In
ˆ planul (AN B), N M ∩ AG1 =∅. Deci dreptele M N, P Q, AG1 , se intersecteaz˘
In a
dou˘ cˆ te dou˘ si nu sunt coplanare. Rezult˘ c˘
a a a¸ a a
M N ∩ P Q ∩ AG1 =∅,

71. ˆ
3.1. INTRODUCERE IN GEOMETRIA TETRAEDRULUI 67
A
M Q
G
B D
P G1 N
C
Figura 3.4: Concurenta medianelor
¸
deci G ∈ AG1 .
Not˘ m cu G2 punctul de intersectie al medianelor triunghiului ACD, iar G3 pen-
a ¸
tru triunghiul ABD. Analog se demonstreaz˘ BG2 si CG3 trec prin G.
a ¸
q.e.d.
PROPOZITIA 3.3 (LEONARDO DA VINCI)
¸
Centrul de greutate al unui tetraedru ˆmparte o median˘ ˆn dou˘ segmente, dintre
ı aı a
care cel care contine vˆ rful tetraedrului este triplul celuilalt .
¸ a
Demonstratie. Se consider˘ separat planul (AP D), figura (3.3). Aplicˆ nd teo-
¸ a a
rema lui Menelaus ˆn triunghiul AG1 D, pentru dreapta Q, G, P se obtine:
ı ¸
AQ P D GG1
· · =1
QD P G1 GA
GG1 1 GG1 1
Dar AQ = QD si P D = 3P G1 , de unde rezult˘ c˘
¸ a a = sau = .
GA 3 AG1 4
q.e.d.
• Un plan arbitrar, care trece printr-o median˘ , ˆmparte tetraedrul ˆn dou˘ poliedre
a ı ı a
cu volume egale (J. L. LAGRANGE, 1810-1811).
PROPOZITIA 3.4 Planele perpendiculare pe muchiile unui tetraedru duse prin
¸
mijloacele lor se intersecteaz˘ ˆntr-un punct.
aı
Demonstratie.
¸
Vom demonstra c˘ exist˘ un punct egal dep˘ rtat de toate vˆ rfurile tetraedrului.
a a a a
Stim c˘ toate punctele egal dep˘ rtate de B, C si D se afl˘ pe o dreapt˘ d per-
¸ a a ¸ a a
pendicular˘ pe planul BCD care trece prin centrul cercului circumscris triunghiului
a
BCD.

72. 68 ˆ
CAPITOLUL 3. GEOMETRIE IN SPATIU
¸
Punctele egal dep˘ rtate de de A si B se afl˘ ˆn planul mediator P al segmentului
a ¸ aı
AB.
Planul P si dreapta d se intersecteaz˘ ˆntr-un punct O, c˘ ci altfel ar fi paralele si
¸ aı a ¸
segmentul AB ar fi ˆn planul BCD, contrar ipotezei.
ı q.e.d.
COROLARUL 3.2 Perpendicularele ridicate pe fetele unui tetraedru ˆn centrele
¸ ı
cercurilor circumscrise acelor fete sunt concurente ˆntr-un punct, O.
¸ ı
Demonstratie.
¸
Aceste perpendiculare sunt determinate de intersectiile perechilor de plane per-
¸
pendiculare pe muchiile unui tetraedru duse prin mijloacele lor si conform propozitiei
¸ ¸
anterioare sunt concurente. q.e.d.
Astfel am demonstrat c˘ punctul O din propozitia de mai sus este egal dep˘ rtat de
a ¸ a
vˆ rfurile tetraedrului si el este centrul unei sfere care contine vˆ rfurile tetraedrului,
a ¸ ¸ a
care se numeste sfera circumscris˘ tetraedrului.
¸ a
Deci:
Orice tetraedru poate fi ˆnscris ˆntr-o sfer˘ , care are centrul ˆn punctul de intersectie
ı ı a ı ¸
al planelor mediatoare ale muchiilor tetraedrului si care este ˆn acelasi timp si punc-
¸ ı ¸ ¸
tul de intersectie al perpendicularelor ridicate pe fetele tetraedrului ˆn centrele cer-
¸ ¸ ı
curilor circumscrise acestora.
DEFINITIA 3.7 Numim coordonate baricentrice ale punctului P , patru numere
¸
λ1 , λ2 , λ3 , λ4 care sunt proportionale cu volumele tetraedrelor cu vˆ rful ˆn P si
¸ a ı ¸
avˆ nd drept baze fetele tetraedrului.
a ¸
Deci, dac˘ µ este factorul de proportionalitate, atunci avem:
a ¸
λ1 + λ2 + λ3 + λ4 = µV,
V fiind volumul tetraedrului.
Pentru µ = 1 coordonatele baricentrice se numesc absolute.
• Segmentele de dreapt˘ care unesc centrul de greutate al tetraedrului, G, cu
a
vˆ rfurile tetraedrului ˆmpart tetraedul ˆn patru tetraedre echivalente: din aceast˘
a ı ı a
cauz˘ coordonatele baricentrice ale lui G sunt egale.
a
• Distantele lui G la fetele tetraedrului sunt invers proportionale cu ariile acestor
¸ ¸ ¸
fete.
¸

73. ˆ
3.1. INTRODUCERE IN GEOMETRIA TETRAEDRULUI 69
PROPOZITIA 3.5 (lungimea medianei)
¸
Fie tetraedrul A1 A2 A3 A4 , AG1 o median˘ a tetraedrului, unde G1 este centrul
a
de greutate al fetei A2 A3 A4 . Atunci
¸
A1 A2 + A1 A2 + A1 A2 A2 A2 + A2 A2 + A3 A4
2 3 4 3 4 4
A1 G2
1 = − .
3 9
Demonstratie.¸
Fie A1 A2 A3 A4 un tetraedru cu G1 centrul de greutate al fetei A2 A3 A4 , iar M
¸
mijlocul laturii A3 A4 . Vom aplica relatia lui Stewart ˆn triunghiul A1 A2 M :
¸ ı
A2 M (A1 G2 + A2 G1 · G1 M ) = A1 M 2 · A2 G1 + A1 A2 · G1 M,
1 2
A1
A4
A2
G1 M
A3
Figura 3.5: lungimea medianelor
ˆn care vom folosi expresiile date de teorema medianei aplicat˘ ˆn triunghiul
ı a ı
A1 A3 A4 pentru mediana A1 M si ˆn triunghiul A2 A3 A4 pentru mediana A2 M . Se
¸ ı
obtine astfel lungimea medianei tetraedrului.
¸ q.e.d.
Observatia 3.1 Propozitia (3.5) este analoag˘ teoremei medianei unui triunghi.
¸ ¸ a
PROPOZITIA 3.6 (lungimea bimedianei)
¸
Fie tetraedrul oarecare ABCD, M mijlocul muchiei AB si M mijlocul muchiei
¸
opuse CD. Atunci:
BC 2 + BD2 + AC 2 + AD2 − AB 2 − CD2
2
MM = . (3.3)
4
Demonstratie.
¸
Aplic˘ m teorema medianei pentru M M , median˘ a triunghiului ABM .
a a
BM este median˘ ˆn triunghiul BCD si AM este median˘ ˆn triunghiul ACD,
aı ¸ aı
unde pentru calculul lor vom folosi tot teorema medianei. q.e.d.

74. 70 ˆ
CAPITOLUL 3. GEOMETRIE IN SPATIU
¸
A
M
B D
M’
C
Figura 3.6: lungimea bimedianelor
Folosind lungimea bimedianelor unui tetraedru se poate demonstra imediat:
PROPOZITIA 3.7 Fie tetraedrul oarecare ABCD, M, N, P, Q, R, S mijloacele
¸
muchiilor [AB], [CD], [BC], [AD], [AC], [BD] respectiv. Atunci:
2 2 AB 2 + BC 2 + AD2 + AC 2 + BD2 + CD2
2
M N + P Q + RS = .
4
A
M Q
R
G
B S D
P N
C
Figura 3.7:
4
PROPOZITIA 3.8 Suma p˘ tratelor medianelor este egala cu din suma p˘ tratelor
¸ a a
9
muchiilor.
Demonstratie.
¸
Se folosesc lugimile medinelor unui tetraedru, conform propozitia anterioare si se
¸ ¸
obtine relatia anuntat˘ .
¸ ¸ ¸ a q.e.d.
PROPOZITIA 3.9 Suma p˘ tratelor distantelor centrului de greutate la vˆ rfuri este
¸ a ¸ a
egal˘ cu suma p˘ tratelor lungimilor bimedianelor.
a a

75. ˆ
3.1. INTRODUCERE IN GEOMETRIA TETRAEDRULUI 71
PROPOZITIA 3.10 Fie BCD un triunghi si M un punct oarecare ˆn spatiu, iar G1
¸ ¸ ı ¸
centrul de greutate al triunghiului BCD. Atunci are loc relatia lui Leibniz:
¸
M B 2 + M C 2 + M D2 = 3M G2 + G1 B 2 + G1 C 2 + G1 D2 .
1 (3.4)
Demonstratie. Fie S, T, R respectiv mijloacele laturilor CD, BD, BC ale triun-
¸
ghiului DBC. Apli˘ m teorema lui Stewart ˆn triunghiul M BS, se obtine:
a ı ¸
BS 2BS BS 2BS
M B2 + M S2 = M G2 · BS +
1 BS,
3 3 3 3
care se poate scrie:
M
R
C B
G1
S T
D
Figura 3.8:
M B 2 + 2M S 2 = 6SG2 + 3M G2 .
1 1 (3.5)
ˆ triunghiul M DS lungimea medianei M S este
In
4M S 2 = 2(M C 2 + M D2 ) − DC 2 . (3.6)
Din (3.5) si (3.6) se obtine:
¸ ¸
1
M B 2 + M C 2 + M D2 = 3M G2 + 6G1 S 2 + DC 2 .
1 (3.7)
2
ˆ triunghiul G1 DC, G1 S este median˘ , deci:
In a
4G1 S 2 = 2(G1 D2 + G2 C 2 ) − DC 2 . (3.8)
Din (3.7) si (3.8) se obtine:
¸ ¸
M B 2 + M C 2 + M D2 = 3M G2 + 4G1 S 2 + G1 D2 + G1 C 2 .
1
Dar 2G1 S = G1 B si se obtine relatia din enunt.
¸ ¸ ¸ ¸ q.e.d.

76. 72 ˆ
CAPITOLUL 3. GEOMETRIE IN SPATIU
¸
PROPOZITIA 3.11 (J. L. LAGRANGE)
¸
Fie ABCD un tetraedru si G centrul s˘ u de greutate, iar M un punct oarecare
¸ a
din spatiu. Atunci are loc relatia:
¸ ¸
M A2 + M B 2 + M C 2 + M D2 = 4M G2 + GA2 + GB 2 + GC 2 + GD2 .
Demonstratie.
¸
Not˘ m cu G1 centrul de greutate al fetei BCD. Aplic˘ m relatia lui Stewart ˆn
a ¸ a ¸ ı
triunghiul M AG1 :
M A2 + 3M G2 = 4M G2 + 12GG2 .
1 1 (3.9)
Prin aplicarea propozitiei 3.10 se obtine:
¸ ¸
B
G G1
A C
D
M
Figura 3.9:
M B 2 + M C 2 + M D2 = 4M G2 + G1 B 2 + G1 C 2 + G1 D2 .
1 (3.10)
Din relatiile (3.9) si (3.10) se obtine:
¸ ¸ ¸
M A2 + M B 2 + M C 2 + M D2 = 4M G2 + 12G1 A2 + G1 B 2 + G1 C 2 + G1 D2 . (3.11)
ˆ propozitia 3.10, cu M = G, se obtine:
In ¸ ¸
GB 2 + GC 2 + GD2 = 3GG2 + G1 B 2 + G1 C 2 + G1 D2 .
1
Tinˆ nd seama c˘ 3G1 G = GA, relatia (3.11) devine:
¸ a a ¸
M A2 + M B 2 + M C 2 + M D2 = 4M G2 + GA2 + GB 2 + GC 2 + GD2 .
q.e.d.
Observatia 3.2 Folosind aceast˘ proprietate se obtine c˘ suma p˘ tratelor distantelor
¸ a ¸ a a ¸
lui G la cele patru vˆ rfuri este minim˘ .
a a

77. ˆ
3.1. INTRODUCERE IN GEOMETRIA TETRAEDRULUI 73
Observatia 3.3 Relatia din propozitia 3.11 este generalizarea relatiei
¸ ¸ ¸ ¸
M A2 + M B 2 + M C 2 = 3M G2 + GA2 + GB 2 + GC 2
valabil˘ pentru un triunghi ABC, G centrul de greutate al triunghiului, M un punct
a
oarecare din planul triunghiului.
Au fost demonstrate urm˘ toarele afirmatii:
a ¸
• Locul geometric al punctelor P a c˘ ror sum˘ a p˘ tratelor distantelor la vˆ rfurile
a a a ¸ a
tetraedrului este constant˘ , este o sfer˘ cu centrul ˆn centrul de greutate al tetra-
a a ı
edrului G. (J. L. LAGRANGE).
• Centrul de greutate G al tetraedrului nu trebuie confundat cu centrul de greutate
al suprafetei tetraedrului, ˆn schimb acesta este centrul sferei ˆnscrise ˆn tetrae-
¸ ı ı ı
drul care are drept vˆ rfuri centrele de greutate ale fetelor tetraedrului dat. (C. C.
a ¸
GERONO; 1826-1827).
PROPOZITIA 3.12 Planele care trec prin mijloacele muchiilor si sunt perpendicu-
¸ ¸
lare pe muchia opus˘ , sunt concurente ˆntr-un punct M (G. MONGE-1813), numit
a ı
punctul lui MONGE sau anticentrul tetraedrului.
Demonstratie. Fie L si L mijloacelor laturilor AB si CD ˆn tetraedrul ABCD.
¸ ¸ ¸ ı
D
L’
O G
M
A C
L
B
Figura 3.10:
Bimediana LL trece prin centrul de greutate al tetraedrului G si GL = GL . Planul
¸
care trece prin L si este perpendicular pe muchia AB trece prin centrul sferei cir-
¸
cumscrise tetraedrului, punctul O. Deci planul care trece prin L si este de asemenea
¸
perpendicular pe AB contine punctul M al dreptei OG caracterizat prin OG = GM .
¸
ˆ baza acestui rationament, punctul M se afl˘ si ˆn celelalte plane care trec prin
In ¸ a¸ ı
mijlocul uneia dintre laturile tetraedrului si sunt perpendiculare pe muchia opus˘ .
¸ a
q.e.d.

78. 74 ˆ
CAPITOLUL 3. GEOMETRIE IN SPATIU
¸
Anticentrul unui tetraedru este un punct simetric cu centrul sferei circumscrise te-
traedrului, ˆn raport cu centrul de greutate al acestuia.Punctul lui Monge (anticentrul)
ı
al tetraedrului este centrul hiperboloidului ˆn˘ ltimilor.
ı a¸
• Centrul sferei circumscrise apartine dreptei care uneste centrul de greutate G
¸ ¸
¸˘
cu punctul lui MONGE M , si el este simetricul punctului M fata de G. (G.
¸
MONGE-1813).
PROPOZITIA 3.13 Planele bisectoare ale diedrelor unui tetraedru sunt concu-
¸
rente.
Punctul de intersectie al acestor plane bisectoare, notat cu I este egal dep˘ rtat de
¸ a
fetele tetraedrului. Exist˘ o sfer˘ de centru I tangent˘ celor patru fete ale tetraedrului,
¸ a a a ¸
avˆ nd punctele de contact cu fetele proiectiile lui I pe aceste plane. Sfera cu centrul
a ¸ ¸
ˆn I este sfera cu centrul ˆn I, raza ei o vom nota cu r.
ı ı
TEOREMA 3.2 (P. FERMAT)
Cele patru bisectoare ale triedrelor unui tetraedru sunt concurente.
Dac˘ se consider˘ fetele tetraedrului ABCD prelungite atunci planele bisectoare ale
a a ¸
diedrelor suplimentare cu muchiile AB, AC, BC ˆntˆ lnesc bisectoarea ∆D ˆntr-un
ı a ı
punct Id egal dep˘ rtat de fetele tetraedrului, dar exterior lui. Id este centrul sferei Sd
a ¸
exˆnscrise tetraedrului ABCD corespunz˘ toare triedrului D. ˆ mod analog se obtin
ı a In ¸
sferele exˆnscrise Sa , Sb , Sc corespunz˘ toare triedrelor cu vˆ rfurile A, B, C ale c˘ ror
ı a a a
centre se noteaz˘ cu Ia , Ib , Ic si au razele ra , rb , rc .
a ¸
Au loc urm˘ toarele relatii:
a ¸
1 1 1 1 2
+ + + = ;
ra rb rc rd r
ra · rb · rc · rd ≥ 16r4 .
PROPOZITIA 3.14 Planele care trec printr-o muchie a tetraedrului (T ) si care
¸ ¸
sunt paralele cu muchia opus˘ , determin˘ un paralelipiped circumscris tetraedrului:
a a
patru dintre vˆ rfurile acestui paralelipiped sunt vˆ rfuri ale tetraedrului; celelalte
a a
patru vˆ rfuri determin˘ un alt tetraedru care are acelasi centru de greutate G cu
a a ¸
(T ), care este simetricul lui (T ) fata de G, si sfera circumscris˘ acestui al doilea
¸˘ ¸ a
tetraedru are drept centru punctul lui MONGE al primului tetraedru (A. JACOBI).
DEFINITIA 3.8 Fie A1 A2 A3 A4 un tetaedru. Un punct T cu proprietatea
¸
Ai T Aj = Ak T Al , ∀i, j, k, l ∈ {1, 2, 3, 4}
se numeste centrul izogon sau punctul lui Torricelli al tetraedrului.
¸

79. 3.2. TETRAEDRE CRELLE 75
Observatia 3.4 Punctul lui Torricelli al tetraedrului A1 A2 A3 A4 este caracterizat de
¸
urm˘ toarea proprietate vectorial˘ :
a a
T A1 T A 2 T A 3 T A4
+ + + = 1.
T A1 T A 2 T A 3 T A4
Unul dintre cele cinci poliedre regulate ale lui PLATON este tetraedrul si de el s-a
¸
ocupat si EUCLID ˆn Elementele sale (ˆn Cartea a XIII-a).
¸ ı ı
DEFINITIA 3.9 Un tetraedru cu toate muchiile congruente se numeste tetraedru
¸ ¸
regulat.
1. Tetraedrul regulat are toate fetele triunghiuri echilaterale congruente.
¸
2. ˆ altimea tetraedrului regulat cade ˆn centrul fetei opuse, care este la intersectia
In˘ ¸ ı ¸ ¸
ˆn˘ ltimilor fetei.
ı a¸ ¸
3. Tetraedrul regulat are 4 ˆn˘ ltimi congruente.
ı a¸
4. ˆ
Intr-un tetraedru regulat unind centrele fetelor se obtine un nou tetraedru regulat.
¸ ¸
Volumul tetraedrului regulat este
√
l3 2
V = . (3.12)
12
3.2 Tetraedre Crelle
ˆ general nu exist˘ o sfer˘ care s˘ fie tangent˘ la toate muchiile unui tetraedru (T).
In a a a a
Cu toate acestea, pentru unele tetraedre particulare o astfel de sfer˘ exist˘ .
a a
TEOREMA 3.3 (Teorema lui CRELLE)
Fiind dat un tetraedru ABCD exist˘ o sfer˘ tangent˘ celor sase muchii ale tetra-
a a a ¸
edrului, dac˘ si numai dac˘ are loc conditia:
a¸ a ¸
AB + CD = AC + BD = AD + BC.
Demonstratie.
¸
a a at ¸˘
” ⇒ ” Implicatia este evident˘ datorit˘ propriet˘¸ii de congruenta a tangentelor
¸
dintr-un punct exterior.
⇐ ” Presupunem c˘ este indeplinit˘ conditia:
a a ¸
AB + CD = AC + BD = AD + BC.
Rezult˘ :
a

80. 76 ˆ
CAPITOLUL 3. GEOMETRIE IN SPATIU
¸
D
S
R
N
A C
D Q
P M
B
Figura 3.11: Teorema lui Crelle
AC + AB − BC = AD + AB − BD si AB + BC − AC = BD + BC − CD.
¸
Prima relatie arat˘ c˘ cercul ˆnscris ˆn triunghiul ABC are punctul de contact cu
¸ a a ı ı
AB identic cu punctul de contact al lui AB cu cercul ˆnscris ˆn triunghiul ABD. Deci
ı ı
exist˘ o sfer˘ ce contine cele dou˘ cercuri (ˆnscris ˆn ABC si ˆnscris in ABD). Exist˘
a a ¸ a ı ı ¸ ı a
deci punctele M, N, O, P, Q ˆn sfera care este tangent˘ segmentelor [BC], [AC],
ı a
[AD], [BD], [AB]. Se consider˘ planul (BDC) si cercul de intersectie determinat
a ¸ ¸
de plan si sfera considerat˘ . Relatia a dou˘ dovedeste c˘ punctul de contact cu BC
¸ a ¸ a ¸ a
al cercului ˆnscris ˆn triunghiul BDC si punctul de contact cu BC al cercului ˆnscris
ı ı ¸ ı
ˆn triunghiul ABC coincid.
ı
Cum, cercul de intersectie dintre planul BDC si sfera este tangent muchiilor te-
¸ ¸
traedrului ˆn P si M , iar pe de alta parte prin P si M trece cercul ˆnscris ˆn triunghiul
ı ¸ ¸ ı ı
BDC, rezul˘ c˘ cercul de intersectie dintre planul (BDC) si sfera si cercul ˆnscris
a a ¸ ¸ ¸ ı
ˆn triunghiul BDC coincid. Deci sfera este tangent˘ si muchiei [CD], ceea ce de-
ı a¸
monstreaz˘ teorema.
a
q.e.d.
DEFINITIA 3.10 Tetraedrele cu proprietatea c˘ exist˘ o sfer˘ hexatangent˘ mu-
¸ a a a a
chiilor se numesc tetraedre Crelle.
Pentru tetraedrele Crelle se poate demonstra urm˘ toarea teorem˘ :
a a
TEOREMA 3.4 (Teorema lui Brianchon)
ˆ
Intr-un tetraedru Crelle cele trei segmente ce unesc punctele de contact de pe
muchiile opuse ale sferei hexatangente sunt concurente.
Demonstratie.
¸
Se foloseste Teorema lui Menelaus ˆn spatiu pentru patrulaterul ABCD si rezult˘
¸ ı ¸ ¸ a
c˘ dreptele RC si SM sunt coplanare, deci RM ∩ SP =∅.
a ¸

81. 3.3. TETRAEDRE ECHIFACIALE 77
Analog se arat˘ c˘ N Q ∩ SP =∅ si RM ∩ N Q=∅.
a a ¸
Cum dreptele RM, SP, N Q nu pot fi coplanare rezult˘ c˘ sunt concurente (Dac˘
a a a
ˆn spatiu trei drepte se intersecteaz˘ dou˘ cˆ te dou˘ , atunci ele sunt sau coplanare
ı ¸ a a a a
sau concurente).S˘ demonstr˘ m aceast˘ proprietate.
a a a
Fie dreptele a, b si c si s˘ presupunem c˘ nu sunt concurente. Fie P planul de-
¸ ¸ a a
terminat de dreptele a si b. Cum dreapta c intersecteaz˘ atˆ t pe a cˆ t si pe b si cele
¸ a a a ¸ ¸
trei puncte de intersectie sunt dou˘ cˆ te dou˘ diferite, rezult˘ c˘ dreapta c are dou˘
¸ a a a a a a
puncte diferite ˆn planul P , deci este ˆn ˆntregime continut˘ ˆn acest plan. S-a de-
ı ı ı ¸ aı
monstrat astfel ca dreptele a, b si c sunt coplanare.
¸
q.e.d.
ˆ
PROPOZITIA 3.15 Intr-un tetraedru Crelle ABCD, unde AB = c, AC = b,
¸
BC = a, AD + BC = s, volumul V si raza ρ a sferei hexatangente satisfac egalita-
¸
tea:
3V ρ = 2(s − p)(p − a)(p − b)(p − c).
3.3 Tetraedre echifaciale
ˆ prima jum˘ tate a secolului XIX o serie de geometrii str˘ luciti: Feuerbach, Vec-
In a a ¸
ten, Jacobi au stabilit multiple propriet˘¸i ale tetraedrului cu fetele congruente.
at ¸
DEFINITIA 3.11 (J. NEUBERG) Tetraedrul cu cele patru fete tringhiuri congru-
¸ ¸
ente se numeste isoscel sau echifacial
¸
Tetraedrul echifacial are urm˘ toarele propriet˘¸i remarcabile:
a at
1. Perechile de muchii opuse sunt egale.
2. Bimedianele sunt ortogonale dou˘ cˆ te dou˘ : adic˘ ele determin˘ un triedru
a a a a a
tridreptunghic avˆ nd originea ˆn G, si ˆntˆ lnesc dreptele suport ale muchiilor
a ı ¸ ı a
tetraedrului sub unghiuri drepte (A. JACOBI).
3. Fiecare muchie este egal ˆnclinat˘ fata de fetele neadiacente cu ea (A. JACOBI).
ı a ¸˘ ¸
4. Bisectoarele unghiurilor sub care se vad din centrul de greutate dou˘ muchii
a
opuse tetraedrului sunt bimedianele (J. NEUBERG).
5. Patru puncte remarcabile coincid, mai precis: centrul de greutate, punctul lui
MONGE, centrul sferei circumscrise si centrul sferei ˆnscrise.
¸ ı
6. Suma algebric˘ a distantelor unui punct arbitrar din spatiu la fetele tetraedrului
a ¸ ¸ ¸
este constant˘ (A. JACOBI).
a

82. 78 ˆ
CAPITOLUL 3. GEOMETRIE IN SPATIU
¸
7. Volumul tetraedrului este egal cu a treia parte a produsului segmentelor bime-
diane (E. GENTY-1878)
2(a2 + b2 − c2 )(a2 − b2 + c2 )(−a2 + b2 + c2 )
V = (3.13)
12
unde a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului.
8. Cele patru triedre ale tetraedrului sunt congruente, din aceast˘ cauz˘ suma die-
a a
drelor triedrelor este constant˘ .
a
9. Fetele sunt ˆntotdeauna triunghiuri ascutitunghice. (MORLEY).
¸ ı ¸
10. Cele patru ˆnaltimi ale tetraedrului echifacial sunt egale (A. SCHMIDT-1889).
ı ¸
11. Punctele de contact ale sferei ˆnscris˘ , ˆn tetraedrul echifacial, cu fetele sunt
ı a ı ¸
centrele cercurilor circumscrise acestora (J. NEUBERG), iar punctele de con-
tact interne ale fetelor cu sferele exˆnscrise sunt ortocentrele acestor fete, iar
¸ ı ¸
punctele de contact interne ale fetelor cu sferele exˆ nscrise sunt ortocentrele
¸ a
acestor fete.
¸
12. Exist˘ cinci sfere tangente la fetele tetraedrului; sfera ˆnscris˘ si cele patru sfere
a ¸ ı a¸
exˆnscrise.
ı
ı a ¸˘
13. Centrele sferelor exˆnscrise sunt simetricele vˆ rfurilor tetraedrului fata de cen-
trul sferei ˆnscrise, din acest motiv, ele sunt vˆ rfurile paralelipipedului circum-
ı a
scris tetraedrului (F. MORLEY-1894).
14. Sfera circumscris˘ trece prin centrele celor patru sfere exˆnscrise (J. NEUBERG-
a ı
1890).
15. Exista o sfer˘ avˆ nd centrul ˆn G care este tangent˘ la ˆn˘ ltimile tetraedrului
a a ı a ı a¸
echifacial si la perpendicularele ridicate pe fete ˆn ortocentrele acestor fete. (A.
¸ ı ¸
SCHMIDT-1889).
16. Exist˘ patru sfere exˆnscrise la muchiile unui tetraedru echifacial (G. RIBONI-
a ı
1890).
Alte clase de tetraedre particulare sunt cele ˆn care doar dou˘ fete sunt egale, ori trei
ı a ¸
fete egale, sau care au fetele egale dou˘ cˆ te dou˘ . ˆ acest din urma caz, exist˘ dou˘
¸ ¸ a a a In a a
bimediane care sunt ˆn acelasi timp si perpedicularele comune ale muchiilor opuse
ı ¸ ¸
corespunz˘ toare.
a
PROPOZITIA 3.16 Un tetraedru echifacial care are o pereche de muchii opuse
¸
perpendiculare, este regulat.

83. 3.4. TETRAEDRE ORTOCENTRICE 79
3.4 Tetraedre ortocentrice
ˆ general o muchie a unui tetraedru ABCD nu este perpendicular˘ pe muchia
In a
opus˘ ; ˆns˘ dac˘ una dintre muchii, de exemplu AB este perpendicular˘ pe CD,
a ı a a a
atunci ˆn˘ ltimile duse din vˆ rfurile A si B sunt coplanare, si sunt de asemenea co-
ı a¸ a ¸ ¸
planare ˆn˘ ltimile coborˆ te din vˆ rfurile C si D, si reciproc.
ı a¸ a a ¸ ¸
ˆ anul 1827 geometrul elvetian Jacob Steiner a introdus notiunea de tetraedru
In ¸ ¸
ortic sau ortocentric, care are cele patru ˆn˘ ltimi concurente.
ı a¸
DEFINITIA 3.12 Un tetraedru care are perechile de muchii opuse ortogonale se
¸
numeste tetraedru ortocentric.
¸
Suficienta conditiei de perpendicularitate pentru dou˘ perechi de muchii.
¸ ¸ a
PROPOZITIA 3.17 Dac˘ dou˘ perechi de muchii opuse ale unui tetraedru sunt
¸ a a
perpendiculare, atunci si muchiile r˘ mase ale tetraedrului sunt de asemenea per-
¸ a
pendiculare.
Demonstratie.
¸
Fie un tetraedru ABCD, cu AB ⊥ CD, BC ⊥ AD. Se duce AE ⊥ CD, AF ⊥
BC (fig.3.12).
A
B D
F A’
E
C
Figura 3.12: tetraedre ortocentrice
Rezult˘ CD ⊥ (ABE), BC ⊥ (ADF ). Deci dac˘ AA = (ABE) ∩ (ADF ),
a a
atunci AA ⊥ (BCD) si AA ⊥ BD. Dar, CA ⊥ BD, deci BD ⊥ (ACA ) si
¸ ¸
BD ⊥ AC. q.e.d.
¸ ˆ a¸
PROPOZITIA 3.18 In˘ ltimile unui tetraedru sunt concurente ˆntr-un punct H dac˘
ı a
si numai dac˘ tetraedrul este ortocentric.
¸ a
Demonstratie.
¸

84. 80 ˆ
CAPITOLUL 3. GEOMETRIE IN SPATIU
¸
“⇐”
Presupunem ca tetraedrul ABCD este ortocentric, cu AB ⊥ CD, AC ⊥ BD,
AD ⊥ BC.
Atunci prin AB, AC, AD se pot duce plane perpendiculare pe CD, BD, BC.
Aceste plane se vor intersecta dup˘ dreapta AA ⊥ (BCD).A este ortocentrul tri-
a
unghiului BCD.
Planul care contine pe AB, perpendicular pe CD se intersectez˘ cu CD ˆn E.
¸ a ı
AE este o ˆn˘ ltime a triunghiului ACD, BE o ˆn˘ ltime a triunghiului BCD.
ı a¸ ı a¸
Not˘ m cu B ortocentrul triunghiului ACD. BB ⊥ (ACD). Dreptele AA si
a ¸
BB fiind ˆn ABE sunt concurente.
ı
Dou˘ ˆn˘ ltimi oarecare ale tetraedrului ortocentric sunt concurente si deoarece nu
aı a¸ ¸
pot fi toate ˆn acelasi plan, trec toate prin acelasi punct.
ı ¸ ¸
“⇒”
Presupunem c˘ ˆn˘ ltimile tetraedrului ABCD au punctul comun H.
aı a¸
(A HB ) ⊥ CD si (A HB ) ∩ CD = E, astfel ˆncˆ t BA E si AB E sunt ˆn˘ ltimi
¸ ı a ¸ ı a¸
ale fetelor BCD, ACD. Rezult˘ c˘ ABE ⊥ CD, deci AB ⊥ CD.
¸ a a
Analog se demonstreaz˘ si perpendicularitatea celorlalte perechi de muchii opuse.
a¸
Deci tetraedrul este ortocentric.
q.e.d.
DEFINITIA 3.13 Punctul H de concurenta al ˆn˘ ltimilor se numeste ortocentrul
¸ ¸˘ ı a¸ ¸
tetraedrului.
Un tetraedru ortocentric se bucur˘ de propriet˘¸ile urm˘ toare:
a at a
1. Picioarele ˆnaltimilor sunt ortocentrele fetelor corespunz˘ toare.
ı ¸ ¸ a
2. Centrele de greutate ale fetelor sunt vˆ rfurile unui tetraedru ortocentric, care
a
¸ ¸˘
este omotetic cu tetraedrul initial fata de G, din aceast˘ cauz˘ perpendicularele
a a
ridicate pe fetele unui tetraedru ortocentric ˆn centrele de greutate ale acestor
¸ ı
fete sunt concurente ˆntr-un punct H , care se gaseste pe dreapta GH, astfel
¸ ı
1
ˆncˆ t H G = HG (L. A. S. FERRIOT, 1811-1812).
ı a
3
3. Cele trei bimediane ale unui tetraedru ortocentric sunt egale, si reciproc: un
¸
tetraedru care are bimedianele egale, este ortocentric.
Mai precis, dac˘ ˆntr-un tetraedru
aı
• dac˘ cele trei bimediane sunt egale atunci cele patru ˆnaltimi ale tetraedrului
a ı ¸
sunt concurente ˆntr-un acelasi punct
ı ¸

85. 3.4. TETRAEDRE ORTOCENTRICE 81
• dac˘ dou˘ bimediane sunt egale atunci dou˘ ˆnaltimi sunt concurente ˆntr-un
a a aı ¸ ı
punct H1 si celelalte dou˘ ˆn˘ ltimi sunt concurente ˆntr-un alt punct H2
¸ aı a¸ ı
• dac˘ cele trei mediane au lungimi diferite atunci cele patru ˆn˘ ltimi sunt,
a ı a¸
dou˘ cˆ te dou˘ , necoplanare. (H. GELLENTHIN, 1885).
a a a
4. Suma p˘ tratelor a dou˘ muchii opuse este egal˘ cu de patru ori p˘ tratul distantei
a a a a ¸
dintre mijloacele a dou˘ muchii opuse. (K. W. FEUERBACH-1827).
a
Din aceasta cauz˘ , ˆntr-un tetraedru ortocentric suma p˘ tratelor muchiilor opuse
a ı a
este constant˘ .
a
5. Perpendiculara comun˘ a perechilor de muchii opuse (axele tetraedrului) trec
a
prin H; si punctele lor de sprijin pe aceste muchii sunt picioarele ˆn˘ ltimilor
¸ ı a¸
fetelor tetraedrului (K. W. FEUERBACH-1827).
¸
6. Ortocentrul ˆmparte fiecare dintre aceste drepte (cele patru ˆnaltimi si cele trei
ı ı ¸ ¸
axe) ˆn dou˘ segmente al c˘ ror produs este constant (A. JACOBI).
ı a a
7. ˆ
Intr-un tetraedru ortocentric produsul cosinusilor a dou˘ diedre opuse este con-
¸ a
stant. (J. NEUBERG).
8. Vˆ rfurile unui tetraedru ortocentric si ortocentrul s˘ u determin˘ un pentagon.
a ¸ a a
Fiecare vˆ rf al acestiu pentagon este ortocentrul tetraedrului determinat de ce-
a
lelalte patru vˆ rfuri (pentagon ortocentric), (K. W. FEUERBACH-1827).
a
9. ˆ
Intr-un tetraedru ortocentric, mijloacele muchiilor si picioarele ˆn˘ ltimilor fetelor
¸ ı a¸ ¸
sunt dou˘ sprezece puncte care se g˘ sesc pe aceeasi sfer˘ (prima sfer˘ a celor
a a ¸ a a
dou˘ sprezece puncte) avˆ nd centrul ˆn centrul de greutate al tetraedrului (H.
a a ı
VOGT-1881) si raza egal˘ cu jum˘ tatea din lungimea unei bimediane.
¸ a a
10. Centrul de greutate al unui tetraedru ortocentric si ortocentrele fetelor aces-
¸ ¸
tuia apartin aceleiasi sfere, a c˘ rei raz˘ este egal˘ cu a treia parte a razei sfe-
¸ ¸ a a a
rei circumscrise tetraedrului. Aceast˘ sfer˘ ˆmparte segmentele ˆn˘ ltimilor cu-
a aı ı a¸
prinse ˆntre vˆ rfuri si ortocentru ˆn raportul 2 : 1 (cea de-a dou˘ sfer˘ a celor
ı a ¸ ı a a
dou˘ sprezece puncte sau sfera lui JACOBI).
a
11. ˆ
Intr-un tetraedru ortocentric mijloacele segmentelor ˆn˘ ltimilor cuprinse ˆntre
ı a¸ ı
vˆ rfuri si ortocentru apartin unei sfere cu centrul ˆn G, a c˘ rei raz˘ este egal˘ cu
a ¸ ¸ ı a a a
jum˘ tatea razei sferei circumscrise (A. JACOBI).
a
PROPOZITIA 3.19 Orice tetraedru regulat este ortocentric.
¸

86. 82 ˆ
CAPITOLUL 3. GEOMETRIE IN SPATIU
¸
3.5 Probleme
1. S˘ se verifice c˘ ˆntr-un tetraedru cu muchiile AB ⊥ BD si AC ⊥ CD, piciorul
a aı ¸
ˆn˘ ltimii din vˆ rful A se afl˘ pe cercul circumscris triunghiului BCD.
ı a¸ a a
Indicatie: Vˆ rfurile tetraedrului se afl˘ pe sfera cu diametrul AD, care se inter-
¸ a a
secteaz˘ cu planul BCD dup˘ un cerc.
a a
2. Fie tetraedrul ABCD si a, b, c, d lungimile ˆn˘ ltimilor duse din vˆ rfurile A, B,
¸ ı a¸ a
C, D; fie O un punct oarecare din interiorul tetraedrului, iar α, β, γ, δ distantele
¸
punctului O la fetele BCD, CDA, DBA, ABC. S˘ se demonstreze:
¸ a
α β γ δ
+ + + = 1.
a b c d
3. ˆ
Intr-un tetraedru ortogonal ABCD suma diedrelor si a unghiurilor f˘ cute de
¸ a
muchii cu fetele este egal˘ cu 12 unghiuri drepte.
¸ a
4. Fie ABCD un tetraedru si unghiul φ al dreptelor AC, BD. S˘ se verifice egali-
¸ a
tatea:
2AC · BD| cos φ| = |AD2 + BC 2 − AB 2 − CD2 |.

87. Capitolul 4
APLICATII ALE NUMERELOR
¸
ˆ
COMPLEXE IN GEOMETRIE
4.1 Elemente de trigonometrie aplicate ˆn geometrie
ı
Geometria este una dintre ramurile matematicii ˆn care trigonometria are aplicatii
ı ¸
imediate.
Aici vom reaminti cˆ teva teoreme si relatii trigonometrice care folosesc la re-
a ¸ ¸
zolvarea triunghiului si vom prezenta unele aplicatii practice ale trigonometriei in
¸ ¸
topografie.
Not˘ m cu a, b, c lungimile laturilor unui triunghi ABC si cu R raza cercului cir-
a ¸
cumscris triunghiului.
A
R b
c
ha
O
B C
a
Figura 4.1: Triunghiul ABC
• Teorema sinusurilor
ˆ orice triunghi ABC are loc relatia:
In ¸
a b c
= = = 2R.
sin A sin B sin C
83

88. 84 ¸ ˆ
CAPITOLUL 4. APLICATII ALE NUMERELOR COMPLEXE IN GEOMETRIE
• Teorema cosinusului
ˆ orice triunghi ABC are loc relatia:
In ¸
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A. (4.1)
Observatia 4.1 Din relatia (4.1) se obtin:
¸ ¸ ¸
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B;
c2 = b2 + a2 − 2ab cos C.
• ˆ orice triunghi ABC are loc relatia:
In ¸
2bc A
la = cos (4.2)
b+c 2
la fiind lungimea bisectoarei unghiului A.
ˆ mod analog putem calcula lungimile bisectoarelor celorlalte dou˘ unghiuri ale
In a
triunghiului:
2ac B 2ab C
lb = cos ; lc = cos .
a+c 2 a+b 2
• Formule de calcul pentru aria S unui triunghi oarecare ABC.
1.
aha bhb chc
S= = = ,
2 2 2
unde ha , hb , hc sunt lungimile ˆn˘ ltimilor corespunz˘ toarele laturilor a, b,
ı a¸ a
respectiv c;
2.
ab sin C bc sin A ac sin B
S= = = ;
2 2 2
3.
S= p(p − a)(p − b)(p − c),
p fiind semiperimetrul triunghiului;
4.
a2 sin B sin C b2 sin A sin C c2 sin A sin B
S= = =
2 sin A 2 sin B 2 sin C
5.
S = rp
r este raza cercului ˆnscris ˆn triunghi;
ı ı

89. ˆ
4.1. ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE APLICATE IN GEOMETRIE 85
6.
abc
S= ;
4S
7.
S = 2R2 sin A sin B sin C.
4.1.1 Aplicatii practice
¸
• Distanta dintre dou˘ puncte accesibile ˆntre care se afl˘ un obstacol.
¸ a ı a
A
b
B C
a
Figura 4.2:
Pentru a calcula distanta de la A la B se alege un punct C din care se v˘ d punctele A
¸ a
si B. Prin m˘ sur˘ tori se obtin numerele AC = b, BC = a, m(ACB) = C. Distanta
¸ a a ¸ ¸
de la A la B se calculeaz˘ folosind teorema cosinusului ˆn triunghiul ABC:
a ı
AB 2 = a2 + b2 − 2ab cos C.
• Distanta dintre dou˘ puncte inaaccesibile.
¸ a
A B
α δ
β γ
C D
Figura 4.3:

90. 86 ¸ ˆ
CAPITOLUL 4. APLICATII ALE NUMERELOR COMPLEXE IN GEOMETRIE
Pentru a calcula distanta de la A la B se aleg punctele C si D din care se v˘ d
¸ ¸ a
punctele A si B astfel ˆncˆ t distanta CD s˘ se poat˘ determina.
¸ ı a ¸ a a
Prin m˘ sur˘ tori se obtin numerele CD = a, m(ACB) = α, m(BCD) = β,
a a ¸
m(ADC) = γ, m(ADB) = δ
Din triunghiurile BCD respectiv ACD se obtin: ¸
a sin(γ + δ) a sin γ
BC = , AC = .
sin(α + β + γ) sin(α + β + γ)
Distanta dintre punctele inaccesibile A si B se obtine din triunghiul ABC, cu-
¸ ¸ ¸
noscˆ ndu-i dou˘ laturi si unghiul cuprins ˆntre ele.
a a ¸ ı
• Determinarea ˆn˘ ltimii unui turn inaccesibil situat pe un deal.
ı a¸
Fie turnul marcat prin segmentul AB. Alegem un punct accesibil si lucr˘ m ˆn planul
¸ a ı
determinat de punctele A, B, C. Luˆ nd ˆnc˘ un punct accesibil D ∈ BC si not˘ m cu
a ı a ¸ a
E punctul de intersectie al verticalei prin A cu orizontala prin D. Prin m˘ sur˘ tori se
¸ a a
A
B
α
C
β
φ D
Figura 4.4:
obtin:
¸
CD = a, m(EDB), m(ADB) = β, m(ACB) = α.
ˆ triunghiul ACD, avem
In
AC a
= .
sin β sin(α − β)
Din triunghiul ABC se obtine
¸
AB AC
= .
sin α sin( π + φ)
2
Asadar
¸
a sin α sin β
AB = .
sin(α − β) cos φ

91. 4.2. NUMERE COMPLEXE 87
4.2 Numere complexe
Numerele complexe au fost introduse ˆn matematic˘ pentru a face posibil˘ rezolvarea
ı a a
unor ecuatii de gradul al II-lea care nu admit r˘ d˘ cini reale. S-a pornit de la ecuatia
¸ a a ¸
2
x + 1 = 0 care nu admite r˘ d˘ cini reale.
a a
√
ˆ secolul al XVI-lea, Cardan utiliza ˆn mod formal simbolul −a cu a ∈ R, a 0
In ı √
pentru a descrie r˘ d˘ cinile ecuatiei x2 − 10x + 40 = 0 cu numerele 5 + −15 si
√ a a ¸ ¸
5 − −15 numite numere imaginare.
Tot ˆn secolul al XV I−lea, cu ocazia unor turniruri stiintifice, N. Fontana zis
ı ¸ ¸
Tartaglia (1500-1557) g˘ seste formula de rezolvare a ecuatiilor de gradul al III-lea
a ¸ ¸
care conduce c˘ tre numere imaginare.
a
ˆ secolul al XIX-lea, prin Gauss si Cauchy, se reuseste o reprezentare a nume-
In ¸ ¸ ¸
relor imaginare cu obiecte matematice cunoscute. Astfel, Gauss reprezinta nume-
rele imaginare prin punctele unui plan ˆn raport cu un reper ortonormat, foloseste
√ ı ¸
simbolul −1 = i si adopt˘ denumirea de num˘ r complex. Cauchy observ˘ c˘ nu-
¸ a a a a
merele complexe pot fi obtinute aplicˆ nd asupra numerelor reale si a simbolului i,
¸ a ¸
2
cu i = −1, regulile de adunare si ˆnmultire din R. Observ˘ si concluzioneaz˘ c˘
¸ ı ¸ a¸ a a
numerele complexe pot fi scrise sub forma a + ib cu a, b ∈ R.
Descoperirea interpret˘ rii geometrice a numerelor complexe este legat˘ de mate-
a a
maticienii K. Wessel (1745-1818), J.R. Argand (1768-1822) si G. F. Gauss (1777-
¸
1855).
K. Wessel public˘ pentru prima dat˘ o interpretare geometric˘ a numerelor com-
a a a
plexe ˆn 1799 la Copenhaga. Lucrarea sa a fost descoperit˘ dup˘ o sut˘ de ani. Ge-
ı a a a
ometrul francez J.R. Argand public˘ ˆn 1806 Essai sur une maniere de representer
aı
les quantites imaginaires ˆn care interpretarea geometric˘ a numerelor complexe este
ı a
intens utilizat˘ , demonstrˆ nd teorema fundamentalˆ a algebrei. Mult timp, aceast˘
a a a a
lucrare a fost ignorat˘ . Dup˘ redescoperirea lucr˘ rii, ˆn lumea matematic˘ mondial˘
a a a ı a a
devine preponderent˘ denumirea de diagram˘ Argand care se utilizeaz˘ frecvent. In
a a a ˆ
literatura de specialitate romˆ neasc˘ nu a fost precizat˘ aceast˘ denumire. La noi
a a a a
se utilizeaz˘ termenul propus ˆn 1821 la Ranchy: afix al lui M(x,y) pentru num˘ rul
a ı a
complex z = x + iy.
Marele matematician G. F. Gauss contureaz˘ ˆnc˘ din 1799 interpretarea geo-
aı a
metric˘ a numerelor complexe, iar ˆn 1828 public˘ o teorie complet˘ a numerelor
a ı a a
complexe ˆn care foloseste diagrama Argand care este denumit˘ si interpretarea lui
ı ¸ a¸
Gauss.
ˆ ¸ara noastr˘ Dimitrie Pompeiu (1873-1954) al˘ turi de Gheorghe Titeica si
In t a a ¸¸ ¸
Traian Lalescu reprezint˘ marii matematicieni care s-au preocupat de geometrie,
a
aplicˆ nd elemente de teoria numerelor complexe.
a

92. 88 ¸ ˆ
CAPITOLUL 4. APLICATII ALE NUMERELOR COMPLEXE IN GEOMETRIE
Problema
dac˘ ABC este un triunghi echilateral si M un punct arbitrar ˆn planul s˘ u,
a ¸ ı a
lungimile M A, M B, M C sunt laturile unui triunghi eventual degenerat
poart˘ numele lui Dimitrie Pompeiu. Acesta o demonstreaz˘ atˆ t sintetic, cˆ t si
a a a a ¸
utilizˆ nd operatii cu numere complexe, realizˆ nd ˆnca o dat˘ legatura ˆntre geometrie
a ¸ a ı a ı
si algebr˘ .
¸ a
4.3 Aplicatii ale numerelor complexe ˆn geometrie
¸ ı
• ˆ artirea unui segment ˆntr-un raport dat.
Imp˘ ¸ ı
Fie A1 , A2 puncte distincte din plan, de afixe z1 si respectiv z2 si fie P un punct pe
¸ ¸
−→
− −→
−
dreapta A1 A2 , astfel ˆncˆ t P A1 = λP A2 , unde λ ∈ R, λ=1. Dac˘ P are afixul zP ,
ı a a
atunci:
1 λ
zP = z1 − z2 .
1−λ 1−λ
Formula reprezint˘ afixul punctului care ˆmparte un segment ˆntr-un raport dat.
a ı ı
Afixul mijlocului unui segment.
Dac˘ P este mijlocul segmentului [A1 A2 ], atunci λ = −1. Din formula prece-
a
dent˘ se obtine:
a ¸
z1 + z2
zP = .
2
Patrulaterul M1 M2 M3 M4 , unde punctele Mi au afixele zi , i = 1, 4 este paralelogram
dac˘ si numai dac˘
a¸ a
z1 + z3 = z2 + z4 .
• Centrul de greutate al unui triunghi.
Fie ABC un triunghi ale c˘ rui vˆ rfuri au afixele zA , zB , zC . Atunci centrul de greu-
a a
tate G al triunghiului are afixul
zA + zB + zC
zG = .
3
• Distanta dintre dou˘ puncte; ecuatia cercului.
¸ a ¸
Dac˘ A1 , A2 sunt puncte ˆn plan de afixe z1 si respectiv z2 , atunci lungimea segmen-
a ı ¸
tului [A1 A2 ] este
|A1 A2 = |z1 − z2 |.
Rezult˘ c˘ cercul de centru A0 (z0 ) si raz˘ r are ecuatia
a a ¸ a ¸
(z − z0 )(¯ − z0 ) = 0.
z ¯

93. ¸ ˆ
4.3. APLICATII ALE NUMERELOR COMPLEXE IN GEOMETRIE 89
• Conditia de coliniaritate :
¸
Punctele M1 , M2 , M3 de afixe z1 , z2 respectiv z3 sunt coliniare dac˘ si numai dac˘
a¸ a
exist˘ k1 , k2 , k3 ∈ R cu k1 + k2 + k3 = 0 si k1 z1 + k2 z2 + k3 z3 = 0.
a ¸
ˆ −−
−→
Intr-adev˘ r dac˘ M1 , M2 , M3 sunt coliniare, atunci exist˘ k ∈ R cu M2 M1 =
a a a
−−
−→ z1 − kz3
k M2 M3 . Deci z2 = , adic˘ z1 − (1 − k)z2 − kz3 = 0.
a
1−k
Pentru k1 = 1, k2 = 1 − k, k3 = −k obtinem concluzia.
¸
Reciproc, din k1 + k2 + k3 = 0 cu k2 = −k1 − k3 obtinem ¸
k1 (z1 − z2 ) = −k3 (z3 − z2 ).
k3 z1 − kz3
Pentru k = − obtinem z2 =
¸ , adic˘ M1 , M2 , M3 sunt coliniare.
a
k1 1−k
• M˘ surarea unghiului orientat.
a
M˘ sura unghiului orientat M1 OM2 , ˆn sens trigonometric, (semidreapta OM1 se
a ı
roteste ˆn sens trigonometric peste semidreapta OM2 ),fata de un reper cu originea
¸ ı ¸˘
ˆn O este:
ı
z2
m(M1 OM2 ) = arg ,
z1
unde z1 , z2 sunt afixele punctelor M1 , respectiv M2 .
Dac˘ punctele M1 , M2 , M3 au afixe z1 , z2 respectiv z3 , atunci m˘ sura unghiului
a a
orientat (ˆn sens trigonometric) M1 M2 M3 este
ı
z3 − z2
m(M1 M2 M3 ) = arg .
z1 − z2
z3 − z2
Dac˘ punctele M1 , M2 , M3 au afixe z1 , z2 , z3 si
a ¸ = ρε, unde ρ > 0, ε =
z1 − z2
cos α + i sin α cu α ∈ [0, 2π), atunci
M2 M3
= ρ, m(M1 M2 M3 ) = min(α, 2π − α).
M1 M2
• Ecuatia dreptei care trece prin dou˘ puncte.
¸ a
Fie A1 , A2 , dou˘ puncte distincte din plan de afixe z1 , respectiv z2 . Atunci, dreapta
a
A1 A2 reprezint˘ multimea punctelor din plan ale c˘ ror afixe z sunt de forma:
a ¸ a
z = (1 − λ)z1 + λz2 , λ ∈ R.
O alt˘ form˘ a ecuatiei unei drepte ˆn C.
a a ¸ ı
Punctul P apartine dreptei A1 A2 dac˘ si numai dac˘ afixul s˘ u z verific˘ egalita-
¸ a¸ a a a
tea:
z2 − z1
z − z1 = (¯ − z1 ).
z ¯
z2 − z1
¯ ¯

94. 90 ¸ ˆ
CAPITOLUL 4. APLICATII ALE NUMERELOR COMPLEXE IN GEOMETRIE
• Unghiul a dou˘ drepte
a
Fie punctele M1 , M2 , M3 , M4 , distincte ˆn plan, diferite de origine, cu afixele
ı
zi , i = 1, 4. M˘ sura unghiului orientat (ˆn sens trigonometric) al dreptelor M1 M2
a ı
si M3 M4 este:
¸
z2 − z1
m(M1 M2 , M3 M4 ) = arg .
z4 − z3
COROLARUL 4.1 Dreptele M1 M2 si M3 M4 sunt:
¸
z2 − z1
1. M1 M2 ⊥ M3 M4 dac˘ si numai dac˘
a¸ a ∈ iR∗ ;
z4 − z3
z2 − z1
2. M1 M2 M3 M4 dac˘ si numai dac˘
a¸ a ∈ R∗ .
z4 − z3
• Punctele distincte M1 , M2 , M3 , M4 sunt conciclice dac˘ si numai dac˘ raportul
a¸ a
anarmonic al afixelor lor este real, adic˘ :
a
z3 − z1 z4 − z1
(z1 , z2 , z3 , z4 ) = : ∈ R∗ .
z3 − z2 z4 − z2
• Ortocentrul unui triunghi.
Fie ABC un triunghi ˆnscris ˆntr-un cerc cu centrul ˆn originea O a sistemului car-
ı ı ı
tezian xOy. ˆ altimile AA1 , BB1 si CC1 ale triunghiului sunt concurente ˆntr-un
In˘ ¸ ¸ ı
punct H care ˆndeplineste conditia vectorial˘ :
ı ¸ ¸ a
−→ −
− → − −→ − →
OH = OA + OB + OC.
Dac˘ afixele vˆ rfurilor triunghiului sunt z1 , z2 , z3 pentru punctele A, B respectiv C
a a
atunci afixul ortocentrului este h si este
¸
h = z1 + z2 + z3 .
COROLARUL 4.2 Dac˘ originea reperului cartezian nu este ˆn centrul cercului
a ı
circumscris triunghiului, atunci punctul O are afixul o si are loc relatia:
¸ ¸
h + 2o = z1 + z2 + z3 .
COROLARUL 4.3 Fata de un reper cu originea ˆn centrul cercului circumscris
¸˘ ı
triunghiului ABC, centrul cercului lui Euler are afixul:
z1 + z2 + z3
ω= .
2
• Centrul cercului ˆnscris ˆntr-un triunghi
ı ı

95. ¸ ˆ
4.3. APLICATII ALE NUMERELOR COMPLEXE IN GEOMETRIE 91
Fie ABC un triunghi ale c˘ rui laturi BC, CA, AB au respectiv lungimile a, b, c.
a
Centrul I al cercului ˆnscris ˆn triunghiul ABC are afixul
ı ı
1
zI = [azA + bzB + czC ].
a+b+c
• Aria unui triunghi
Dac˘ zi , i = 1, 3 sunt afixele vˆ rfurilor triunghiului ABC, notat ˆn sens trigonome-
a a ı
tric, atunci aria triunghiului este:
1
SABC = Im(z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ).
2
F˘ r˘ a restˆ nge generalitatea problemei putem considera c˘ originea sistemului orto-
aa a a
y A
O
x
B C
Figura 4.5:
gonal de axe se afl˘ ˆn interiorul triunghiului. Folosind forma trigonometric˘ a celor
aı a
3 afixe:
zi = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ), i = 1, 3,
atunci:
z1 z2 +z2 z3 +z3 z1 = r1 r2 [cos(θ2 −θ1 )+i sin(θ2 −θ1 )]+r2 r3 [cos(θ3 −θ2 )+i sin(θ3 −θ2 )]+
+r1 r3 [cos(θ1 − θ3 ) + i sin(θ1 − θ3 )].
Calcul˘ m
a
1
Im(z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 ) =
2
1 1 1
= r1 r2 sin(θ2 − θ1 ) + r2 r3 sin(θ3 − θ2 ) + r1 r3 sin(θ1 − θ3 ) =
2 2 2
= SAOB + SBOC + SCOA = SABC .

96. 92 ¸ ˆ
CAPITOLUL 4. APLICATII ALE NUMERELOR COMPLEXE IN GEOMETRIE
• Caracterizarea triunghiului dreptunghic.
Triunghiul ABC ˆnscris ˆn cercul C(O, R) este dreptunghic dac˘ si numai dac˘
ı ı a¸ a
|a + b + c| = R, unde A(a), B(b), C(c).
Demonstratie. Dac˘ triunghiul ABC este dreptunghic, cu unghiul drept ˆn A,
¸ a ı
atunci B si C sunt diametral opuse, deci b = −c, de unde |a + b + c| = |a| = R.
¸
Reciproc, dac˘ |a + b + c| = R, atunci |a + b + c|2 = R2 , adic˘ (a + b +
a a
2 2 2
R R R
c) + + = R2 , deci
a b c
1 1 1
(a + b + c) + + =1
a b c
echivalent cu
(a + b)(b + c)(c + a) = 0
adic˘ dou˘ dintre punctele A, B, C sunt diametral opuse.
a a q.e.d.
• Formula rotatiei ˆn complex
¸ ı
Dac˘ punctul M3 (z3 ) se obtine printr-o rotatie cu centrul ˆn M2 (z2 ) si unghi α ∈
a ¸ ¸ ı ¸
[0, 2π) a punctului M1 (z1 ), atunci:
z3 = z2 + (z1 − z2 )
unde = cos α + i sin α dac˘ rotatia se efectueaz˘ ˆn sens trigonometric sau =
a ¸ aı
cos(2π − α) + i sin(2π − α), dac˘ rotatia se efectueaz˘ ˆn sens invers trigonometric
a ¸ aı
COROLARUL 4.4 Triunghiul ABC este echilateral dac˘ si numai dac˘
a¸ a
c = a + (b − a)
π π
unde = cos + i sin , dac˘ triunghiul ABC este orientat ˆn sens trigonome-
a ı
3 3
5π 5π
tric, sau = cos + i sin , dac˘ triunghiul ABC este orientat ˆn sens invers
a ı
3 3
trigonometric
4.4 Teoreme clasice de geometrie demonstrate cu ajutorul numerelor com-
plexe
ˆ cele ce urmeaz˘ vom prezenta cˆ teva propriet˘¸i ale punctului si dreptei lui Nagel
In a a at ¸
folosind numerele complexe. O prezentare sintetic˘ a acestor rezultate a fost f˘ cut˘
a a a
ˆn primul capitol.
ı

97. 4.4. TEOREME CLASICE DE GEOMETRIE DEMONSTRATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE93
Fie ABC un triunghi oarecare. Not˘ m cu A mijlocul laturii (BC) si cu D, D
a ¸
punctele de contact ale acesteia cu cercurile ˆnscris si A-exˆ nscris triunghiului dat.
ı ¸ a
Pe laturile (CA) si (AB) consider˘ m punctele B , E, E si respectiv C , F, F cu
¸ a ¸
semnificatii analoage. Sunt cunoscute (sau se deduc usor) urm˘ toarele relatii:
¸ ¸ a ¸
BD = p − c, D C = p − b, CE = p − a, E A = p − c, AF = p − b, F B = p − a,
(4.3)
unde p este semiperimetrul triunghiului.
Not˘ m afixul unui punct X oarecare cu zX .
a
PROPOZITIA 4.1 Dreptele AD , BE , CF sunt concurente ˆntr-un punct N cu
¸ ı
afixul:
1
zN = [(p − a)zA + (p − b)zB + (p − c)zC ] . (4.4)
p
Demonstratie.
¸
BD p−c
Folosind (4.3) avem k = = , deci
DC p−b
zB + kzC 1
zD = = [(p − b)zB + (p − c)zC ].
1+k a
Se obtin formule similare pentru afixele punctelor E , F . Fie V un punct pe seg-
¸
AV
mentul (AD ) determinat de raportul v = . Astfel
VD
zA + vzD 1 1 v v
zV = = zA + (p − b)zB + (p − c)zC .
1+v 1+v p−a a a
Vom obtine o form˘ simetric˘ pentru paranteza paranteza p˘ trat˘ legˆ nd v astfel ˆncˆ t
¸ a a a a a ı a
1 v a
= , adic˘ v =
a . Atunci, punctul de pe AD corespunz˘ tor acestei
a
p−a a p−a
1
valori a lui v, punct pe care-l not˘ m cu N , va avea afixul zN = p [(p − a)zA + (p −
a
b)zB + (p − c)zC ]. Simetria acestei relatii face evident faptul c˘ punctul N este situat
¸ a
si pe dreptele BE si CF .
¸ ¸ q.e.d.
Punctul N pus ˆn evidenta de Propozitia 4.1 este punctul lui Nagel.
ı ¸˘ ¸
PROPOZITIA 4.2 Punctul lui Nagel are propriet˘ ¸ile:
¸ at
1. G ∈ (IN ) si N G = 2GI,
¸
2. N H OI si N H = 2OI.
¸

98. 94 ¸ ˆ
CAPITOLUL 4. APLICATII ALE NUMERELOR COMPLEXE IN GEOMETRIE
A
E
C’ B’
I S E’
G N
B C
D A’ D’
Figura 4.6:
Demonstratie. 1)Pentru afixele centrului de greutate G al triunghiului si al cen-
¸ ¸
trului cercului ˆnscris ˆn triunghi avem:
ı ı
zA + zB + zC 1
zG = , zI = [azA + bzB + czC ] (4.5)
3 2p
Din (4.4) si (4.5) vom obtine:
¸ ¸
1 1
zG − zI 3 (zA + zB + zC ) − 2p (azA + bzB + czC )
= 1 =
zN − zG p [(p − a)zA + (p − b)zB + (p − c)zC ] − p(zA + zB + zC )
1 2p(zA + zB + zC ) − 3(azA + bzB + czC ) 1
= = ,
2 3 [(p − a)zA + (p − b)zB + (p − c)zC ] − p(zA + zB + zC ) 2
zG − zI 1
deci = ∈ R, de unde rezult˘ c˘ G ∈ (IN ) si |zN − zG | = 2|zG − zI |,
a a ¸
zN − zG 2
adic˘ N G = 2GI.
a
2) Alegem un sistem de axe cu originea ˆn O, centrul cercului circumscris triun-
ı
ghiului ABC. ˆ acest caz stim c˘ zH = zA + zB + zC si vom avea
In ¸ a ¸
1
zN − zH p [(p − a)zA + (p − b)zB + (p − c)zC ] − (zA + zB + zC )
= 1 = −2 ∈ R,
zI − zO 2p (azA + bzB + czC )
deci N H OI si |zN − zH | = 2|zI − zO |, adic˘ N H = 2OI.
¸ a q.e.d.
Dreapta IN se numeste dreapta lui Nagel.
¸
PROPOZITIA 4.3 Cercul ˆnscris ˆn triunghiul median A B C are centrul ˆn mijlo-
¸ ı ı ı
cul S al segmentului (IN ).

99. 4.4. TEOREME CLASICE DE GEOMETRIE DEMONSTRATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE95
a b c 1
Demonstratie. Evident B C = , C A = , A B = si p = p , p fiind semi-
¸ ¸
2 2 2 2
perimetrul triunghiului median. Atunci afixul centrului cercului ˆnscris ˆn triunghiul
ı ı
median este:
1 a b c 1 zB + zC zA + zC zB + zA
zI = zA + zB + zC = a +b +c =
2p 2 2 2 2p 2 2 2
1
= [(b + c)zA + (a + c)zB + (b + a)zC ]
4p
Pe de alt˘ parte
a
1 1 1 1
zS = (zI +zN ) = (azA + bzB + czC ) + [(p − a)zA + (p − b)zB + (p − c)zC ] =
2 2 2p p
1 1
= [(2p − a)zA + (2p − b)zB + (2p − c)zC ] = [(b + c)zA + (a + c)zB + (b + a)zC ]
4p 4p
Ca urmare, zI = zS si deci I coincide cu S.
¸ q.e.d.
Punctul S mijlocul segmentului (IN ) se numeste punctul lui Spiecker, iar cercul
¸
r
C(S, 2 ) ˆnscris ˆn triunghiul median cercul lui Spiecker.
ı ı
PROPOZITIA 4.4 Centrul I al cercului ˆnscris ˆn triunghiul ABC este punctul lui
¸ ı ı
Nagel al triunghiului median A B C .
Demonstratie. Pentru punctul lui Nagel N al triunghiului A B C avem
¸
1
zN = [(p − a )zA + (p − b )zB + (p − c )zC ] =
p
1 zB + zC zA + zC zB + zA
= (p − a) + (p − b) + (p − c) =
p 2 2 2
1
= (azA + bzB + czC ) = zI ,
2p
deci N coincide cu I. q.e.d.

100. 96 ¸ ˆ
CAPITOLUL 4. APLICATII ALE NUMERELOR COMPLEXE IN GEOMETRIE

101. Bibliografie
¸˘
[1] Ion Chitescu, Marcel Chirita, Geometria patrulaterului, Editura Teora, 1998
¸
[2] Traian Lalescu, Geometria triunghiului, Editura Apollo, Craiova 1993
[3] Liviu Nicolescu, Vladimir Broskov, Probleme practice de geometrie, Editura
Tehnica, Bucuresti, 1990
97