Matematici pentru incepatori, vol i

MATEMATICI PENTRU
ÎNCEP¼ATORI
*
Constantin M. ARCU¸S
2012

ii
So¸tiei mele Liana, ¸si p¼arin¸tilor mei Margareta ¸si Marin.

Cuprins
Prefa¸ta vii
1 Mul¸timi 1
1.1 Apartenen¸t¼a ¸si nonapartenen¸t¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Incluziune ¸si nonincluziune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Egalitate ¸si nonegalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Mul¸timea vid¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Imagini de familii de mul¸timi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Diferen¸ta a dou¼a mul¸timi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 Intersec¸tia a dou¼a mul¸timi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9 Reuniunea a dou¼a mul¸timi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.10 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.11 Frontiera unei mul¸timi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.12 Interiorul unei mul¸timi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.13 Închiderea unei mul¸timi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.14 Exteriorul unei mul¸timi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.15 Mul¸timi conexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.16 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
I Geometrie 41
2 Figuri geometrice 43
2.1 Planul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.1 Drepte paralele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.2 Drepte concurente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 Segmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.1 Figuri geometrice convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.2 Poligoane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.3 Paralelogramul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.4 Trapezul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
iii

iv CUPRINS
2.5 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6 Semiplane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.7 Semidrepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7.1 Unghiuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.8 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.9 Discul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.10 Cercul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.11 Teza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3 Transform¼ari geometrice 81
3.1 Transformarea identitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2 Simetria central¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.3 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4 Transla¸tia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.6 Simetria axial¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.7 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.8 Drepte perpendiculare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.8.1 Unghiul drept. Triunghiul dreptunghic . . . . . . . . . . . 113
3.8.2 Dreptunghiul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.8.3 Trapezul dreptunghic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.9 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.10 Rota¸tia în jurul unui punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.11 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.12 Figuri geometrice congruente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.12.1 Rombul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.12.2 P¼atratul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4 Lungimea unui segment închis 133
4.1 Adunarea lungimilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2 Multiplicarea lungimilor cu numere naturale . . . . . . . . . . . . 135
4.3 Compararea lungimilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.4 Sc¼aderea lungimilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.5 Multiplicarea lungimilor cu numere zecimale pozitive . . . . . . . 141
4.6 Distan¸ta dintre capetele unui segment închis . . . . . . . . . . . . 143
4.6.1 Arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.7 Aplica¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.8 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.9 Teza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5 M¼arimea unghiular¼a a unui unghi 163
5.1 Adunarea m¼arimilor unghiulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.2 Multiplicarea m¼arimilor unghiulare cu numere naturale . . . . . . 170
5.3 Compararea m¼arimilor unghiulare . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.4 Sc¼aderea m¼arimilor unghiulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.5 M¼asura unei m¼arimi unghiulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

CUPRINS v
5.6 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
II Algebr¼a 181
6 Numere naturale 183
6.1 Mul¸timea N a numerelor naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.2 Adunarea numerelor naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.3 Egalit¼a¸ti. Ecua¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.4 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.5 Inegalit¼a¸ti. Inecua¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.6 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.7 Înmultirea numerelor naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.8 Egalit¼a¸ti. Ecua¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.9 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.10 Probleme care se rezolv¼a cu ajutorul ecua¸tiilor . . . . . . . . . . 222
6.11 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.12 Inegalit¼a¸ti. Inecua¸tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.13 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.14 Puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.15 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.16 Împ¼ar¸tirea numerelor naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.17 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
7 Numere zecimale pozitive 253
7.1 Adunarea numerelor zecimale pozitive . . . . . . . . . . . . . . . 256
7.2 Compararea numerelor zecimale pozitive . . . . . . . . . . . . . . 258
7.3 Sc¼aderea numerelor zecimale pozitive . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7.4 Înmul¸tirea cu 10p ¸si împ¼ar¸tirea la 10p . . . . . . . . . . . . . . . 262
7.5 Produsul numerelor zecimale pozitive . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7.6 Procente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
7.7 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
8 Unit¼a¸ti de m¼asur¼a 273
8.1 Unit¼a¸ti de m¼asur¼a pentru mas¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
8.2 Unit¼a¸ti de m¼asur¼a pentru capacitate . . . . . . . . . . . . . . . . 275
8.3 Evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
8.4 Unit¼a¸ti de m¼asur¼a pentru durat¼a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
A Informa¸tii metodice 281

Prefa¸ta
¸Scoala este confruntat¼a acum cu una dintre problemele principale ale în-
v¼a¸t¼amântului: modernizarea con¸tinuturilor ¸si a metodelor de predare. Se caut¼a
mereu solu¸tii de actualizare a …ec¼arei discipline, alc¼atuind în prip¼a programe ¸si
manuale noi care, de cele mai multe ori, nu sunt compatibile cu ordinea intern¼a
a domeniului …ec¼arei discipline.
Mai mult decât celelalte discipline, "matematica este personaj principal" al
acestor fr¼amânt¼ari. Prezentarea integrat¼a a no¸tiunilor de geometrie ¸si de algebr¼a
este principala problem¼a care apare în acest sens.
În acest¼a carte no¸tiunile de matematic¼a sunt prezentate axiomatic semifor-
malizat cu respectarea regulilor date de maximele latine¸sti: Non nova sed
nove! ¸si Non multa sed multum!
Având în vedere evolu¸tia ¸stiin¸tei în general ¸si a matematicii în special, no¸ti-
unile de geometrie sunt introduse bazându-ne pe no¸tiuni elementare de teoria
mul¸timilor ¸si topologie. Claritatea no¸tiunilor introduse ¸si exemplele ilustrative
prezentate dup¼a …ecare de…ni¸tie ajut¼a profesorul pentru a motiva corespunz¼ator
elevii.
Credem c¼a matematica trebuie ¸si poate … studiat¼a paralel cu o axiomatizare
a sa, deoarece astfel se creeaz¼a o anumit¼a toleran¸t¼a pentru o alt¼a modalitate de
acceptare a adev¼arului. Memorarea axiomelor ¸si a demonstra¸tiilor la orele de
geometrie are un rol secundar în acest¼a carte care se dore¸ste un instrument de
lucru pentru elevii anului întâi din ciclul gimnazial.
Pledoaria în favoarea transform¼arilor geometrice este solid¼a, deoarece ideea
de mi¸scare a …gurilor geometrice este de baz¼a în matematica modern¼a. Intro-
ducerea transform¼arilor geometrice este în m¼asur¼a s¼a fac¼a pe elev s¼a tr¼aiasc¼a
momente stimulatoare ¸si atractive atât în timpul orelor de curs cât ¸si în timp
ce-¸si efectueaz¼a tema, deoarece elevul este pus continuu în situa¸tia de a utiliza
instrumentele geometrice în realizarea diferitelor construc¸tii. No¸tiunile geomet-
rice: congruen¸t¼a, lungimi, m¼arimi unghiulare, sunt formulate folosind transfor-
m¼arile geometrice.
Un accent deosebit este pus pe logica intern¼a a domeniului, pe limbajul folosit
precum ¸si pe nota¸tiile explicite pentru a desemna drepte, segmente, semidrepte,
semiplane, lungimi, distan¸te, m¼arimi unghiulare ¸si m¼asuri de m¼arimi unghiulare.
Consider¼am c¼a toate acestea sunt la fel de bune din punct de vedere pedagogic,
dup¼a cum sunt ¸si din punct de vedere logic.
vii

viii Prefa¸ta
Exemplele care ilustraz¼a no¸tiunile prezentate în de…ni¸tii, prezentarea pe
etape a diferitelor construçtii precum ¸si prezentarea de probleme rezolvate ajut¼a
pe elev s¼a dobândeasc¼a un limbaj matematic riguros pe care s¼a-l foloseasc¼a apoi
în aplica¸tii.
La orele de algebr¼a sunt prezentate în ordine natural¼a propriet¼a¸tile adun¼arii
¸si înmul¸tirii numerelor naturale ¸si zecimale pozitive, propriet¼a¸ti care sunt jus-
ti…cate cu demonstra¸tii complete. Toate demonstra¸tiile sunt scrise petit ¸si nu
sunt obligatorii pentru elevi. Prezentarea acestora este în m¼asur¼a s¼a justi…ce
faptul c¼a rezultatele ¸si no¸tiunile prezentate respect¼a ordinea intern¼a a domeniu-
lui, iar maunalul nu este doar o în¸siruire de formule, re¸tete ¸si tautologii aplicate
în scheme rigide.
Fiecare leçtie de matematic¼a poate …studiat¼a mai întâi de elevi acas¼a pentru
ca la ¸scoal¼a, sub supravegherea profesorului, elevii s¼a dobândeasc¼a corect no¸ti-
unile ¸si tehnicile construçtiilor diferitelor …guri geometrice sau s¼a-¸si însu¸seasc¼a
corect diferitele propriet¼a¸ti ale opera¸tiilor cu numere pe care s¼a le aplice în
situa¸tii concrete.
Deoarece nu ne propunem s¼a ar¼at¼am elevului ce nu ¸stie s¼a fac¼a ci, ceea ce ¸stie
s¼a fac¼a foarte bine, manualul de fa¸t¼a pune la dispozi¸tia elevului toate evalu¼arile
pe care acesta urmeaz¼a s¼a le sus¸tin¼a.
Astfel, elevii cap¼at¼a încredere în for¸tele proprii, se angajeaz¼a în discu¸tii,
cap¼at¼a gustul critic ¸si al lucrului bine f¼acut, devenind interesan¸ti ¸si interesa¸ti
de matematic¼a iar leçtia de matematic¼a devine o dezbatere condus¼a de pro-
fesor la care elevii particip¼a activ. Abordarea creativ¼a a …ec¼arui profesor în
funçtie de nivelul clasei de elevi conduce la atingerea obiectivele programei ¸sco-
lare concomitent cu stimularea crescând¼a a capacitat¼a¸tii creatoare a elevilor prin
completarea verbelor a ar¼ata ¸si a reproduce cu verbele a explica ¸si a rezolva.
R¼adine¸sti,
Ianuarie, 2012
Autorul

Capitolul 1
Mul¸timi
Spa¸tiul este corpul nostru ¸si tot ceea ce ne înconjoar¼a. Not¼am spa¸tiul cu
litera grecesac¼a (sigma). Admitem c¼a spa¸tiul este format din puncte pe care
le not¼am cu litere mari din alfabet. Punctul este considerat no¸tiune primar¼a ¸si
este asimilat cu urma l¼asat¼a de vârful unui stilou la sfâr¸situl unei propozi¸tii.
Matematica este disciplina care a ap¼arut ca o consecin¸t¼a a demersurilor
f¼acute de om în scopul cunoa¸sterii spa¸tiului cu ajutorul c¼areia se d¼a semni…ca¸tie
natural¼a numerelor. Num¼arul natural este considerat tot no¸tiune primar¼a, cu
care omul se na¸ste, deoarece este cunoscut c¼a oricât de modest¼a este zestrea
intelectual¼a a unui om el ¸stie s¼a numere g¼ainile din ograd¼a sau oile din turm¼a.
Matematica se bazeaz¼a pe ni¸ste propozi¸tii acceptate intuitiv pe care le nu-
mim axiome. A…rma¸tiile matematice cu ajutorul c¼arora sunt introduse no¸tiuni
¸si concepte sugerate de realitatea obiectiv¼a sau de axiome se numesc de…ni¸tii.
A…rma¸tiile matematice ob¸tinute prin folosirea axiomelor ¸si de…ni¸tiilor sau a
axiomelor, de…ni¸tiilor ¸si a altor a…rma¸tii matematice se numesc observa¸tie, re-
marc¼a, propozi¸tie, lem¼a sau teorem¼a dup¼a puterea informa¸tiei pe care o con¸tin.
Consecin¸tele se mai numesc ¸si corolare.
Explorarea spa¸tiului din perspectiv¼a matematic¼a se face prin studiul p¼ar¸tilor
acestuia pe care le numim mul¸timi. Mul¸timile se noteaz¼a tot cu litere mari din
alfabet ca ¸si punctele, diferen¸ta dintre o mul¸time ¸si un punct f¼acându-se în
func¸tie de context.
Exemplul 1.1 Consider¼am punctele M;N; P;Q ¸si R ca în desenul:
M.
. R
. Q
.
. N
P
1

2 CAPITOLUL 1. MUL ¸ TIMI
Mul¸timea format¼a din punctele M;N; P;Q ¸si R se noteaz¼a fM;N; P; Q;Rg ;
ordinea punctelor ne…ind important¼a: Aceasta poate … notat¼a ¸si cu litere mari
din alfabet ¸si putem avea scrierea:
E = fM;N; P; Q;Rg ;
Exemplul 1.2 Punctele curbei din desenul:
E
formeaz¼a mul¸timea pe care o not¼am E:
Exemplul 1.3 Punctele por¸tiunii ha¸surate din desenul:
F
formeaz¼a mul¸timea pe care o not¼am F: Conturul trasat cu linie continu¼a sem-
ni…c¼a faptul c¼a punctele sale sunt puncte ale mul¸timii F: Ha¸surile semni…c¼a
faptul c¼a mul¸timea F este alc¼atuit¼a din toate punctele por¸tiunii ha¸surate.
M
formeaz¼a mul¸timea pe care o not¼am M: Conturul trasat cu linie continu¼a sem-
ni…c¼a faptul c¼a punctele sale sunt puncte ale mul¸timii M iar conturul trasat cu
linie întrerupt¼a semni…c¼a faptul c¼a punctele sale nu sunt puncte ale mul¸timii
M: Ha¸surile semni…c¼a faptul c¼a mul¸timea M este alc¼atuit¼a din toate punctele
por¸tiunii ha¸surate.
Exemplul 1.5 Punctele por¸tiunii colorate cu albastru din desenul:
N

1.1. APARTENEN ¸ T¼A
¸SI NONAPARTENEN ¸ T¼A
3
formeaz¼a mul¸timea care are o lacun¼a pe care o not¼am N: Conturul trasat cu
linie continu¼a semni…c¼a faptul c¼a punctele sale sunt puncte ale mul¸timii N iar
conturul trasat cu linie întrerupt¼a semni…c¼a faptul c¼a punctele sale nu sunt
puncte ale mul¸timii N:
M
formeaz¼a mul¸timea care are dou¼a lacune pe care o not¼am M: Conturul trasat
cu linie continu¼a semni…c¼a faptul c¼a punctele sale sunt puncte ale mul¸timii M
iar conturul trasat cu linie întrerupt¼a semni…c¼a faptul c¼a punctele sale nu sunt
puncte ale mul¸timii M:
Exemplul 1.7 Punctele por¸tiunii colorate cu galben din desenul:
L
formeaz¼a mul¸timea pe care o not¼am L: Conturul trasat cu linie întrerupt¼a sem-
ni…c¼a faptul c¼a punctele sale nu sunt puncte ale mul¸timii L:
Tema 1.1 Prezenta¸ti cinci exemple de mul¸timi.
1.1 Apartenen¸t¼a ¸si nonapartenen¸t¼a
De…ni¸tia 1.1.1 Dac¼a punctul P se a‡¼a printre punctele ce alc¼atuiesc mul¸ti-
mea E; atunci spunem c¼a punctul P apar¸tine mul¸timii E ¸si scriem P 2 E: În
caz contrar, spunem c¼a punctul P nu apar¸tine mul¸timii E ¸si scriem P =2 E:
Problema 1.1.1 Consider¼am punctele M;N; P;Q ¸si R:
Stabili¸ti valoarea de adev¼ar a propozi¸tiilor: P1: M 2 fR; P;Mg ; P2: N =2
fR; P;Q;Mg ; P3:M 2 fR; P;N;Qg ; P4: Q =2 fM; P; Q;Ng ; P5: N =2 fR; P;Mg ;
P6: Q 2 fR; P;Q;M;Ng ; P7: N 2 fP;M;Qg ; P8: P =2 fP; Q;N;Rg :
R¼aspuns
- Deoarece punctul M se a‡¼a printre punctele care alc¼atuiesc mul¸timea
fR; P;Mg ; rezult¼a c¼a propozi¸tia P1 este adev¼arat¼a.
- Deoarece punctul N nu se a‡¼a printre punctele care alc¼atuiesc mul¸timea
fR; P;Q;Mg ; rezult¼a c¼a propozi¸tia P2 este adev¼arat¼a.
- Deoarece punctul M nu se a‡¼a printre punctele care alc¼atuiesc mul¸timea
fR; P;N;Qg ; rezult¼a c¼a propozi¸tia P3 nu este adev¼arat¼a.

- Deoarece punctul Q se a‡¼a printre punctele care alc¼atuiesc mul¸timea
fM; P; Q;Ng ; rezult¼a c¼a propozi¸tia P4 nu este adev¼arat¼a.
fR; P;Mg ; rezult¼a c¼a propozi¸tia P5 este adev¼arat¼a.
- Deoarece punctul Q se a‡¼a printre punctele care alc¼atuiesc mul¸timea
fR; P;Q;M;Ng ; rezult¼a c¼a propozi¸tia P6 este adev¼arat¼a.
fP;M;Qg ; rezult¼a c¼a propozi¸tia P7 nu este adev¼arat¼a.
- Deoarece punctul P se a‡¼a printre punctele care alc¼atuiesc mul¸timea
fP; Q;N;Rg ; rezult¼a c¼a propozi¸tia P8 nu este adev¼arat¼a.
Tema 1.1.1 Consider¼am mul¸timea E ¸si punctele C;K; P; L; T;R;Q ca în
desenul:
.
E
. .
.
P
C .
.
K
L
T
Q
. R
Stabili¸ti valoarea de adev¼ar a propozi¸tiilor: P1: T 2 E; P2: L =2 fR; P;Q; Tg ;
P3: K 2 fC;K;Lg ; P4: Q =2 E; P5: C =2 fR; T;Q;Kg ; P6: Q 2 fR; P;Q; T;Lg ;
P7: L =2 E; P8: T 2 fP; Q;C;Rg :
Tema 1.1.2 Consider¼am mul¸timea F ¸si punctele T;C; P; A;B;R ca în de-
senul:
F . R T . . P
. A
. B
.C
Completa¸ti cu simbolurile 2 sau =2 astfel încât s¼a …e adev¼arate urm¼atoarele
propozi¸tii: P1: T ::::: F; P2: A::::: fR; P; A; Tg ; P3: P::::: fA;B;Cg ; P4: B:::::F ;
P5: C::::: fR; T; A;Bg ; P6: R::::: fR; P;C; T;Ag ; P7: P:::::F ; P8: B::::: fA;C;Rg :
Tema 1.1.3 Consider¼am mul¸timea N ¸si punctele S; T;R; L;Q ca în desenul:
N
. Q
. R
.
T.
S
. L

1.2. INCLUZIUNE ¸SI NONINCLUZIUNE 5
Completa¸ti cu simbolurile 2 sau =2 astfel încât s¼a nu …e adev¼arate urm¼a-
toarele propozi¸tii: P1: S ::::: N; P2: L::::: fR; L; Q; Tg ; P3: S::::: fQ;L; Sg ;
P4: R:::::N; P5: S::::: fR; T;L;Qg ; P6: R::::: fR; T; S; L;Qg ; P7: L:::::M; P8:
Q::::: fT; S;L;Rg :
1.2 Incluziune ¸si nonincluziune
De…ni¸tia 1.2.1 Fie E ¸si F dou¼a mul¸timi.
Dac¼a oricare ar … P 2 E rezult¼a c¼a P 2 F; atunci scriem E F ¸si spunem
c¼a mul¸timea E este inclus¼a în mul¸timea F sau c¼a mul¸timea E este submul¸time
a mul¸timii F:
Dac¼a exist¼a un punct P 2 E astfel încât P =2 F; atunci scriem E F ¸si
spunem c¼a mul¸timea E nu este inclus¼a în mul¸timea F sau mul¸timea E nu este
submul¸time a mul¸timii F:
Problema 1.2.1 Consider¼am punctele M;N; P;Q ¸si R.
Stabili¸ti valoarea de adev¼ar a propozi¸tiilor: P1: fM; Pg fR; P;Mg ; P2:
fN;M;Qg fR; P;Q;Mg ; P3: fM;N; Pg fR;M;N;Qg ; P4: fQ;Rg
fM; P; Q;Ng ; P5: fM; P; Q;Ng ( fR; P;Mg ; P6: fR;M;N;Qg fR; Q;M;Ng ;
P7: fN;M; P;Rg fP;M;Qg ; P8: fP; Q;Rg fP; Q;N;Rg :
R¼aspuns
- Deoarece orice punct al mul¸timii fM; Pg apar¸tine mul¸timii fR; P;Mg ;
rezult¼a c¼a propozi¸tia P1 este adev¼arat¼a.
- Deoarece exist¼a N 2 fN;M;Qg astfel încât N =2 fR; P;Q;Mg ; rezult¼a c¼a
propozi¸tia P2 este adev¼arat¼a.
- Deoarece exist¼a P 2 fM;N; Pg astfel încât P =2 fR;M;N;Qg ; rezult¼a c¼a
propozi¸tia P3 este fals¼a.
- Deoarece exist¼a R 2 fQ;Rg astfel încât R =2 fM; P; Q;Ng ; rezult¼a c¼a
- Deoarece exist¼a Q 2 fM; P; Q;Ng astfel încât Q =2 fR; P;Mg ; rezult¼a c¼a
- Deoarece orice punct al mul¸timii fR;M;N;Qg apar¸tine mul¸timii
fR; P;Q;M;Ng ; rezult¼a c¼a propozi¸tia P6 este adev¼arat¼a.
- Deoarece exist¼a N 2 fN;M; P;Rg astfel încât N =2 fP;M;Qg ; rezult¼a c¼a
- Deoarece orice punct al mul¸timii fP; Q;Rg apar¸tine mul¸timii fP; Q;N;Rg ;
rezult¼a c¼a propozi¸tia P8 este fals¼a.
Tema 1.2.1 Consider¼am mul¸timea E ¸si punctele C;K; P;L; T;R;Q ca în

desenul:
.
E
. .
.
P
C .
.
K
L
T
Q
. R
Stabili¸ti valoarea de adev¼ar a propozi¸tiilor: P1: fT;C;Lg E; P2: fL; Tg
fR; P;Q; Tg ; P3: fK;L;Cg fC;K;Lg ; P4: fQ;R;Kg E; P5: fC;K;Qg
fR; T;Q;Kg ; P6: fQ;L; P;Rg fR; P;Q; T;Lg ; P7: fL;Kg E; P8: fQ;Cg
fP; Q;C;Rg :
Tema 1.2.2 Consider¼am mul¸timea M ¸si punctele S; T;R; L; P; A;X ca în
desenul:
M
.
X
. R
. L
. A
. P
.S T.
Completa¸ti cu simbolurile sau astfel încât s¼a …e adev¼arate urm¼atoarele
propozi¸tii: P1: fT;R;L;Xg ::::: M; P2: fA; T;Rg ::::: fR; L; A; Tg ; P3: fX; P;Lg ::::: fA; P; Sg ; P4: fR; P; Sg :::::M; P5: fX; A;Rg ::::: fR; T; A;Xg ; P6: fR; S; Pg ::::: fR; P; Tg ; P7: fP; S; T;Ag :::::M; P8: fL;R;X; Pg ::::: fP; T; A;L;R;Xg :
Tema 1.2.3 Consider¼am mul¸timea L ¸si punctele S; V; Y;K;Q ca în desenul:
L
.Q
V . .
S
. Y
. K
Completa¸ti cu simbolurile sau astfel încât s¼a nu …e adev¼arate ur-
m¼atoarele propozi¸tii: P1: fQ; S;Kg ::::: L; P2: fQ; S; Y g ::::: fV; Y;Q; Sg ; P3:
fS;Kg ::::: fQ;K; Sg ; P4: fY; V g :::::L; P5: fS;Q;Kg ::::: fK; V; Y;Qg ; P6: fY;Kg ::::: fY; S; V;Qg ; P7: fV; S;Qg :::::L; P8: fK; V;Q; Sg ::::: fK; S; Q; V g :

1.3. EGALITATE ¸SI NONEGALITATE 7
1.3 Egalitate ¸si nonegalitate
De…ni¸tia 1.3.1 Fie E ¸si F dou¼a mul¸timi.
Dac¼a E F ¸si F E; atunci scriem E = F ¸si spunem c¼a mul¸timile E ¸si F
sunt egale:
Dac¼a E F sau F E; atunci scriem E6= F ¸si spunem c¼a mul¸timile E ¸si
F sunt diferite:
Stabili¸ti valoarea de adev¼ar a propozi¸tiilor: P1: fM;R; Pg = fR; P;Mg ; P2:
fN;M;Qg6= fR; P;Q;Mg ; P3: fM;N; P;Rg = fR;M;N;Qg ; P4: fQ;R;Ng6=
fR; Q;Ng ; P5: fM; P; Q;Ng = fR; P;Q;Mg ; P6: fR;M;N;Qg6= fP; Q;M;Ng ;
P7: fN;M; P;Rg6= fP;M;Qg ; P8: fP; Q;Rg6= fQ;R; Pg :
R¼aspuns
- Deoarece fM;R; Pg fR; P;Mg ¸si fR; P;Mg fM;R; Pg ; rezult¼a c¼a
- Deoarece fN;M;Qg fR; P;Q;Mg ; rezult¼a c¼a propozi¸tia P2 este ade-
v¼arat¼a.
- Deoarece fM;N; P;Rg fR;M;N;Qg ; rezult¼a c¼a propozi¸tia P3 este fals¼a.
- Deoarece fQ;R;Ng fR; Q;Ng ¸si fR; Q;Ng fQ;R;Ng ; rezult¼a c¼a
- Deoarece fM; P; Q;Ng fR; P;Q;Mg ; rezult¼a c¼a propozi¸tia P5 este fals¼a.
- Deoarece fP; Q;M;Ng fR;M;N;Qg ; rezult¼a c¼a propozi¸tia P6 este ade-
v¼arat¼a.
- Deoarece fN;M; P;Rg fP;M;Qg ; rezult¼a c¼a propozi¸tia P7 este ade-
v¼arat¼a.
- Deoarece fP; Q;Rg fQ;R; Pg ¸si fQ;R; Pg fP; Q;Rg ; rezult¼a c¼a
Tema 1.3.1 Consider¼am mul¸timea F ¸si punctele T;C; P; A;B;R ca în de-
senul:
F . R T . . P
. A
. B
.C
Completa¸ti cu simbolurile = sau6= astfel încât s¼a …e adev¼arate urm¼atoarele
propozi¸tii: P1: fT; P;Rg ::::: F; P2: fA;B;Cg ::::: fR; P; A; Tg ; P3: fC;B;Ag :::::
fA;B;Cg ; P4: fB;C;R; Tg :::::F ; P5: fA;B;R; Tg ::::: fR; T;A;Bg ; P6: fR; T;Cg ::::: fR;C; T;Ag ; P7: fP; T;Rg :::::F ; P8: fR;C; Pg ::::: fP;C;Rg :

Tema 1.3.2 Consider¼am mul¸timea N ¸si punctele S; T;R; L;Q ca în desenul:
N
. Q
. R
.
T.
S
. L
Completa¸ti cu simbolurile = sau6= astfel încât s¼a nu …e adev¼arate ur-
m¼atoarele propozi¸tii: P1: fS; T;Lg ::::: N; P2: fL;R;Qg ::::: fR; L; Q; Tg ; P3:
fS; T;L;Q;Rg ::::: fQ; L; Sg ; P4: fR; Q; Tg :::::N; P5: fS; Tg ::::: fR; T;L;Q; Sg ;
P6: fR; Q;Lg ::::: fR; T; S; L;Qg ; P7: fQ;Rg :::::M; P8: fQ;L; Tg ::::: fT; S;L;Rg :
1.4 Mul¸timea vid¼a
Exist¼a mul¸timi care nu au elemente, despre care vom spune c¼a au niciun
element.
Exemplul 1.4.1 Mul¸timea format¼a din punctele care apar¸tin acoperi¸sului
¸scolii ¸si temeliei ¸scolii are niciun element.
Exemplul 1.4.2 Mul¸timea format¼a din punctele care apar¸tin tablei din sala
de clas¼a ¸si u¸sii clasei are niciun element.
Axioma I
Orice mul¸time are ca submul¸timi toate mul¸timile care au niciun
element.
Propozi¸tia 1.4.1 Exist¼a o singur¼a mul¸time care are niciun element pe care
o numim mul¸timea vid¼a ¸si pe care o not¼am cu litera greceasc¼a .
Demonstra¸tie
Într-adev¼ar, dac¼a 1 ¸si 2 ar … dou¼a mul¸timi care au niciun element, atunci,
folosind axioma precedent¼a, rezult¼a c¼a 1 2 ¸si 2 1; adic¼a 1 = 2:q.e.d.
Exemplul 1.4.3 Mul¸timea format¼a din punctele care apar¸tin acoperi¸sului
¸scolii ¸si temeliei ¸scolii este egal¼a cu mul¸timea vid¼a.
Exemplul 1.4.4 Mul¸timea format¼a din punctele care apar¸tin tablei din sala
de clas¼a ¸si u¸sii clasei este egal¼a cu mul¸timea vid¼a.
Exemplul 1.4.5 Consider¼am desenul:
M
N

1.5. IMAGINI DE FAMILII DE MUL ¸ TIMI 9
Mul¸timea format¼a din punctele care apar¸tin atât mul¸timii M cât ¸si mul¸timii
N este egal¼a cu mul¸timea vid¼a
Tema 1.4.1 G¼asi¸ti cinci exemple de mul¸timi egale cu mul¸timea vid¼a.
1.5 Imagini de familii de mul¸timi
De…ni¸tia 1.5.1 Mai multe mul¸timi formeaz¼a imaginea unei familii de mul¸timi.
Spunem c¼a mul¸timile ce alc¼atuiesc imaginea unei familii de mul¸timi sunt ele-
mente ale acesteia.
Exemplul 1.5.1 C¼ar¸tile din biblioteca ¸Scolii Generale CORNELIUS RADU
formeaz¼a imaginea familiei c¼ar¸tilor din bibliotec¼a.
Exemplul 1.5.2 Imaginea familiei elevilor din clasa a V-a care sunt pe
acoperi¸sul ¸scolii este egal¼a cu mul¸timea vid¼a.
Exemplul 1.5.5 Imaginea familiei submul¸timilor unei mul¸timiM se noteaz¼a
P (M) ¸si se nume¸ste mul¸timea p¼ar¸tilor mul¸timii M: Evident c¼a ¸si M sunt
elemente ale lui P (M) :
Exemplul 1.5.6 Dac¼a X = fTg ; atunci
P (X) = f; fTgg :
Exemplul 1.5.7 Dac¼a M = fA;Bg ; atunci
P (M) = f; fAg ; fBg ; fA;Bgg :
Exemplul 1.5.8 Dac¼a N = fP; Q;Rg ; atunci
P (N) = f; fPg ; fQg ; fRg ; fP;Qg ; fQ;Rg ; fR; Pg ; fP; Q;Rgg :
Tema 1.5.1 Prezenta¸ti cinci exemple de imagini de familii de mul¸timi.
De…ni¸tia 1.5.2 Spunem c¼a num¼arul elementelor mul¸timii vide este zero ¸si
scriem
Card () = 0:
Spunem c¼a num¼arul elementelor mul¸timii fg este unu ¸si scriem
Card (fg) = 1:
Spunem c¼a num¼arul elementelor mul¸timii f; fgg este doi ¸si scriem
Card (f; fgg) = 2:
Spunem c¼a num¼arul elementelor mul¸timii f; fg ; f; fggg este trei ¸si
scriem
Card (f; fg ; f; fggg) = 3:
:::::

Simbolurile 0; 1; 2; 3; ::: vor … folosite în scopul numerot¼arii paginilor acestei
c¼ar¸ti, a propozi¸tiilor, a problemelor, a de…ni¸tiilor,... Acele¸si nota¸tii vor …folosite
¸si pentru numerele naturale pe care le vom introduce într-o lec¸tie viitoare de
algebr¼a.
Tema 1.5.2. Stabili¸ti câte elemente are imaginea familiei g¼ainilor din
gospod¼arie.
Tema 1.5.3. Enumera¸ti elementele imaginii familiei pisicilor din gospod¼arie.
Tema 1.5.4 Prezenta¸ti imaginea unei familii de mul¸timi care este egal¼a cu
mul¸timea vid¼a.
1.6 Evaluare
Testul 1.6.1
1. Consider¼am mul¸timea M ¸si punctele S; T;R; L; P; A;X ca în desenul:
M
.
X
. R
. L
. A
. P
.S T.
Completa¸ti cu simbolurile 2 sau =2 astfel încât s¼a …e adev¼arate urm¼atoarele
propozi¸tii: P1: T ::::: M; P2: A::::: fR; L; A; Tg ; P3: X::::: fA; P; Sg ; P4: R:::::M;
P5: S::::: fR; T; A;Xg ; P6: R::::: fR; P;X; T;Ag ; P7: P:::::M ; P8: L::::: fP; T; A;Lg :
2. Consider¼am mul¸timea F ¸si punctele T;C; P; A;B;R ca în desenul:
F . R T . . P
. A
. B
.C
Completa¸ti cu simbolurile sau astfel încât s¼a …e adev¼arate urm¼atoarele
propozi¸tii: P1: fT; P;Rg ::::: F; P2: fA;B;Cg ::::: fR; P; A; Tg ; P3: F::::: fA;B;Cg ;
P4: fB;C;R; Tg :::::F ; P5: fA;B;Rg ::::: fR; T; A;Bg ; P6: fR;C;Bg ::::: fP; T;Ag ;
P7: fP; T;Rg :::::F ; P8: F::::: fP; T; A;C;Rg :

1.6. EVALUARE 11
3. Consider¼am mul¸timea L ¸si punctele S; V; Y;K;Q ca în desenul:
L
.Q
V . .
S
. Y
. K
Completa¸ti cu simbolurile = sau6= astfel încât s¼a nu …e adev¼arate urm¼a-
toarele propozi¸tii: P1: fQ; S;Kg ::::: L; P2: fQ; S; Y g ::::: fY;Q; Sg ; P3: fS;K;Qg ::::: fQ;K; Sg ; P4: fY; V g :::::L; P5: fS;Q;Kg ::::: fK; V; Y;Qg ; P6: fY;K; S;Qg ::::: fY; S; V;Qg ; P7: fV; S;Qg :::::L; P8: fK; V; Q; Sg ::::: fK; S; Q; V g :
4. Consider¼am mul¸timea E ¸si punctele C;K; P;L; T;R;Q ca în desenul:
.
E
. .
.
P
C .
.
K
L
T
Q
. R
Stabili¸ti valoarea de adev¼ar a propozi¸tiilor: P1: fR;C;Lg = E; P2: Q 2
fR; P;Q; Tg ; P3: fQ; L;Cg6= fQ;K;Lg ; P4: fC; L;Kg E; P5: Q =2 fR; Q;Kg ;
P6: fQ;L; P;Qg6= fR; P;Q;Lg ; P7: fL;K;Cg E; P8: P 2 fP; L;C;Kg :
5. Stabili¸ti câte elemente are imaginea familiei fetelor din clasa a V-a.
6. Enumera¸ti elementele familiei caietelor din ghiozdanul vostru.
7. Prezenta¸ti o mul¸time care nu este egal¼a cu mul¸timea vid¼a.
8. Prezenta¸ti imaginea unei familii de mul¸timi care este egal¼a cu mul¸timea
vid¼a.
9. Dac¼a M;N ¸si P sunt trei puncte diferite, determina¸ti imaginea familiei
p¼ar¸tilor mul¸timilor fM;Ng ¸si fM; P;Ng :
Testul 1.6.2
1. Consider¼am mul¸timea L ¸si punctele S; V; Y;K;Q ca în desenul:
L
.Q
V . .
S
. Y
. K
Completa¸ti cu simbolurile 2 sau =2 astfel încât s¼a nu …e adev¼arate urm¼a-
toarele propozi¸tii: P1: Q ::::: L; P2: Q::::: fV; Y;Q; Sg ; P3: S::::: fQ;K; Sg ; P4:
K:::::L; P5: S::::: fK; V; Y;Qg ; P6: Y::::: fY; S; V;Qg ; P7: V:::::M; P8: K::::: fK; Sg :

2. Consider¼am mul¸timea N ¸si punctele S; T;R; L;Q ca în desenul:
N
. Q
. R
.
T.
S
. L
Completa¸ti cu simbolurile sau astfel încât s¼a nu …e adev¼arate ur-
m¼atoarele propozi¸tii: P1: fS; T;Lg ::::: N; P2: fL;R;Qg ::::: fR; L; Q; Tg ; P3:
fS; T;L;Q;Rg ::::: fQ; L; Sg ; P4: fR; Q; Tg :::::N; P5: fS; Tg ::::: fR; T;L;Q; Sg ;
P6: fR; Q;Lg ::::: fR; T; S; L;Qg ; P7: fQ;Rg :::::M; P8: fQ; L; Tg ::::: fS;L;Rg :
3. Consider¼am mul¸timea M ¸si punctele S; T;R; L; P; A;X ca în desenul:
M
.
X
. R
. L
. A
. P
.S T.
Completa¸ti cu simbolurile = sau6= astfel încât s¼a …e adev¼arate urm¼atoarele
propozi¸tii: P1: fT;R;L;Xg ::::: M; P2: fA; T;R;Lg ::::: fR; L; A; Tg ; P3: fX; Pg ::::: fA; P; S; L;Xg ; P4: fR; P; Sg :::::M; P5: fX; A; L;Rg ::::: fR; T; A;Xg ; P6:
fR; S; Pg ::::: fR; P; Sg ; P7: fP; S; T;Ag :::::M; P8: fL;R;X; Pg ::::: fP; L;R;Xg :
4. Consider¼am mul¸timea E ¸si punctele C;K; P; L; T;R;Q ca în desenul:
.
E
. .
.
P
C .
.
K
L
T
Q
. R
Stabili¸ti valoarea de adev¼ar a propozi¸tiilor: P1: fT;C;Lg E; P2: R 2
fR; P; Tg ; P3: fK;L;Cg fC;K;Lg ; P4: fQ;R;Kg = E; P5: C =2 fR; T;Qg ;
P6: fQ;L; P;Rg6= fR; P;Q;Lg ; P7: fL;Kg E; P8: T =2 fP; Q;C;Rg :

1.7. DIFEREN ¸ TA A DOU¼A
MUL ¸ TIMI 13
5. Stabili¸ti câte elemente are imaginea familiei b¼aie¸tilor din clasa a V-a.
6. Enumera¸ti elementele familiei c¼ar¸tilor din ghiozdanul vostru.
7. Prezenta¸ti o mul¸time care este egal¼a cu mul¸timea vid¼a.
8. Prezenta¸ti imaginea unei familii de mul¸timi care nu este egal¼a cu mul¸timea
vid¼a.
9. Dac¼a A;B ¸si C sunt trei puncte diferite, determina¸ti imaginea familiei
p¼ar¸tilor mul¸timilor fA;Bg ¸si fB;C;Ag :
1.7 Diferen¸ta a dou¼a mul¸timi
De…ni¸tia 1.7.1 Dac¼a E ¸si F sunt dou¼a mul¸timi, atunci mul¸timea format¼a
din punctele P care apar¸tin mul¸timii E ¸si nu apar¸tin mul¸timii F se nume¸ste
diferen¸ta mul¸timilor E ¸si F ¸si se noteaz¼a E n F: Vom scrie:
E n F = fP : P 2 E ¸si P =2 Fg :
Remarca 1.7.1 Dac¼a E este o mul¸time, atunci E n E = ; E n = E ¸si
n E = :
Problema 1.7.1 Consider¼am punctele M;N; A;B;D ¸si G.
Calcula¸ti: a) fA;N;M;D;GgnfM;B;D;Gg ; b) fM;B;D;GgnfA;N;M;Gg ;
c) fA;D;Gg n fM;B;Gg ; d) fB;D;Gg n fA;N;Mg ; e) fA;Mg n fM;B;Gg ;
f) fM;B;Dg n fA;N;Gg ; g) fA;D;G;B;Ng n fM;B; A;Gg ; h) fB; G;Mg n
fA;N;D;M;Gg :
R¼aspuns
a) fA;N;M;D;Gg n fM;B;D;Gg = fA;Ng ;
b) fM;B;D;Gg n fA;N;M;Gg = fB;Dg ;
c) fA;D;Gg n fM;B;Gg = fA;Dg ;
d) fB;D;Gg n fA;N;Mg = fB;D;Gg ;
e) fA;Mg n fM;B;Gg = fAg ;
f) fM;B;Dg n fA;N;Gg = fM;B;Dg ;
g) fA;D; G;B;Ng n fM;B; A;Gg = fD;Ng ;
h) fB; G;Mg n fA;N;D;M;Gg = fBg :
Tema 1.7.1 Consider¼am punctele M;N; P;Q ¸si R.
Calcula¸ti: a) fP;N;MgnfM;R;Qg ; b) fM; P; Q;RgnfN;M; Pg ; c) fP;Qgn
fM;R;Ng ; d) fM;R;Ng n fP;Qg ; e) fM;Rg n fM;R;Ng ; f) fM;R;Ng n
fM;Rg ; g) fM;R;Qg n fP;N;Mg ; h) fQ;N;Rg n fP;N; Q;M;Rg :
Problema 1.7.2 Consider¼am desenul:
E
F

Colora¸ti diferit punctele mul¸timilor EnF ¸si FnE:
R¼aspuns
Colorând cu ro¸su punctele mul¸timii EnF ¸si cu verde punctele mul¸tmii FnE
ob¸tinem situa¸tia din desenul:
FE
EF
E
F
Conturul colorat cu ro¸su trast întrerupt subliniaz¼a faptul c¼a punctele sale nu
apar¸tin mul¸timii EnF iar conturul colorat cu verde trast întrerupt subliniaz¼a
faptul c¼a punctele sale nu apar¸tin mul¸timii FnE:
Tema 1.7.2 Consider¼am desenul:
E
F
Tema 1.7.2´ Consider¼am desenul:
E
F

1.7. DIFEREN ¸ TA A DOU¼A
MUL ¸ TIMI 15
E
F
R¼aspuns
Colorând cu albastru punctele mul¸timii EnF ¸si cu ro¸su punctele mul¸tmii
FnE ob¸tinem situa¸tia din desenul:
E F
FE
FE
EF
EF
Linia albastr¼a trasat¼a întrerupt semni…c¼a faptul c¼a punctele sale nu apar¸tin
mul¸timii EnF:
E
F

E
F
1.8 Interseçtia a dou¼a mul¸timi
din punctele P care apar¸tin mul¸timii E ¸si mul¸timii F se nume¸ste interseçtia
mul¸timilor E ¸si F ¸si se noteaz¼a E F: Vom scrie:
E F = fP : P 2 E ¸si P 2 Fg :
Dou¼a mul¸timi care au interseçtia mul¸timea vid¼a se numesc mul¸timi disjuncte.
Remarca 1.8.1 Dac¼a E este o mul¸time, atunci E E = E; E = ¸si
E = :
Calcula¸ti: a) fP;N;MgfM;R;Qg ; b) fM; P; Q;RgfN;M; Pg ; c) fP;Qg
fM;R;Ng ; d) fM;R;N; Pg fP;Qg ; e) fM;Rg fM;R;Ng ; f) fM;R;Ng
fP; Q;Rg ; g) fM;R;Qg fP;Ng ; h) fQ;N;Rg fP;N;Q;M;Rg :
R¼aspuns
a) fP;N;Mg fM;R;Qg = fMg ;
b) fM; P; Q;Rg fN;M; Pg = fM; Pg ;
c) fP;Qg fM;R;Ng = ;
d) fM;R;N; Pg fP;Qg = fPg ;
e) fM;Rg fM;R;Ng = fM;Rg ;
f) fM;R;Ng fP; Q;Rg = fRg ;
g) fM;R;Qg fP;Ng = ;
h) fQ;N;Rg fP;N;Q;M;Rg = fQ;N;Rg :
Tema 1.8.1 Consider¼am punctele M;N; A;B;D ¸si G.
Calcula¸ti: a) fA;N;M;D;GgfM;B;D;Gg ; b) fM;B;D;GgfA;D;Gg ;
c) fA;D;GgfM;B;Gg ; d) fB;D;GgfA;N;Mg ; e) fA;M;DgfM;B;Gg ;
f) fM;B;Dg fA;N;Gg ; g) fA;D; G;B;Ng fM;B; A;Gg ; h) fB; G;Mg
fA;N;D;M;Gg :

1.8. INTERSEC ¸ TIA A DOU¼A
MUL ¸ TIMI 17
E
F
Colora¸ti cu albastru punctele mul¸timii E F:
R¼aspuns
Colorând cu albastru punctele mul¸timii E F ob¸tinem situa¸tia din desenul:
E
F
E Ç F
Conturul albastru trasat continuu subliniaz¼a faptul c¼a punctele sale apar¸tin
mul¸timii E F:
E
F
Colora¸ti cu verde punctele mul¸timii E F:
E
F
Colora¸ti cu albastru punctele mul¸timii E F:

E
F
Colora¸ti cu ro¸su punctele mul¸timii E F:
R¼aspuns
Colorând cu ro¸su punctele mul¸timii E F ob¸tinem situa¸tia din desenul:
E
F
E ÇF

E
F

1.9. REUNIUNEA A DOU¼A
MUL ¸ TIMI 19
E
F
Colora¸ti cu maro punctele mul¸timii E F:
1.9 Reuniunea a dou¼a mul¸timi
din punctele P care apar¸tin mul¸timii E n F sau mul¸timii E F sau mul¸timii
F n E se nume¸ste reuniunea mul¸timilor E ¸si F ¸si se noteaz¼a E [ F: Vom scrie:
E [ F = fP : P 2 E n F sau P 2 E F sau P 2 F n Eg :
Remarca 1.9.1 Dac¼a E este o mul¸time, atunci E [ E = E; E [ = E ¸si
[ E = E:
Calcula¸ti: a) fP;N;Mg [ fM;R; Q; Pg ; b) fM; P; Q;Rg [ fN; Q;M; Pg ; c)
fP; Q;Ng [ fM;R;Ng ; d) fM;R;Ng [ fP;Ng ;
R¼aspuns
a) Deoarece
fP;N;Mg n fM;R; Q; Pg = fNg ;
fP;N;Mg fM;R; Q; Pg = fM; Pg ;
fM;R; Q; Pg n fP;N;Mg = fR;Qg ;
rezult¼a c¼a fP;N;Mg [ fM;R; Q; Pg = fN;M; P;R;Qg :
b) Deoarece
fM; P; Q;Rg n fN; Q;M; Pg = fRg ;
fM; P; Q;Rg fN; Q;M; Pg = fM; P;Qg ;
fN; Q;M; Pg n fM; P; Q;Rg = fNg ;
rezult¼a c¼a fM; P; Q;Rg [ fN; Q;M; Pg = fR;M; P;Q;Ng :

c) Deoarece
fP; Q;Ng n fM;R;Ng = fP;Qg ;
fP; Q;Ng fM;R;Ng = fNg ;
fM;R;Ng n fP; Q;Ng = fM;Rg ;
rezult¼a c¼a fP; Q;Ng [ fM;R;Ng = fP; Q;N;M;Rg :
d) Deoarece
fM;R;Ng n fP;Ng = fM;Rg ;
fM;R;Ng fP;Ng = fNg ;
fP;Ng n fM;R;Ng = fPg ;
rezult¼a c¼a fM;R;Ng [ fP;Ng = fM;R;N; Pg :
Tema 1.9.1 Consider¼am punctele M;N; P;Q ¸si R ca în desenul:
M.
. R
. Q
.
. N
P
Calcula¸ti: a) fM;R;Ng[fM;R;Ng ; b) fM;R;Ng[fM;Rg ; c) fM;R;Qg[
fP;N;Mg ; d) fQ;N;Rg [ fP;N;Q;M;Rg :
E
F
Colora¸ti cu negru punctele mul¸timii E [ F:
R¼aspuns
Colorând cu ro¸su punctele mul¸timii EnF; cu negru punctele mul¸timii E F

1.9. REUNIUNEA A DOU¼A
MUL ¸ TIMI 21
¸si cu verde punctele mul¸timii FnE ob¸tinem situa¸tia din desenul:
FE
EF
E
F
E Ç F
Punând împreun¼a elementele mul¸timilor EnF;EF ¸si FnE ob¸tinem mul¸timea
E [ F ca în desenul:
EÈF

E
F
E
F

E
F
R¼aspuns
Colorând cu albastru punctele mul¸timii EnF; cu negru punctele mul¸timii
E F ¸si cu ro¸su punctele mul¸timii FnE ob¸tinem situa¸tia din desenul:
E F
FE
FE
EF
EF
EÇF
Punând împreun¼a elementele mul¸timilor EnF;EF ¸si FnE ob¸tinem mul¸timea
E [ F ca în desenul:
E ÈF

1.10. EVALUARE 23
E
F
E
F
1.10 Evaluare
Testul 1.10.1
1. Consider¼am punctele M;N; A;B;D ¸si G.
Calcula¸ti: a) fM;D;GgnfM;Gg ; b) fB;D;GgnfA;N;Mg ; c) fM;D;Gg n
fM;N;Gg ; d) fB; A;D;Gg n fA;D;M;Ng ; e) fN; A;M;Dg n fM;B; G;Ag ; f)
fA;B;DgnfA;N;D;Mg ; g) fA;D;B;NgnfN;B; A;Mg ; h) fB; A;N; G;Mgn
fA;N;Mg :
2. Consider¼am desenul:
E
F

Ha¸surile semni…c¼a faptul c¼a mul¸timea E con¸tin toate punctele por¸tiunii ha¸su-
rate. Colora¸ti diferit punctele mul¸timilor EnF ¸si FnE:
3 Consider¼am desenul:
M
N
Colora¸ti diferit punctele mul¸timilor MnN ¸si NnM:
Calcula¸ti: a) fM;GgfM;Bg ; b) fB;M;GgfM;D;Gg ; c) fM;N;D;Gg
fM;N; A;D;Gg ; d) fA;D;GgfG;D;M;Ng ; e) fN; A;B;DgfM;B; G;Ag ;
f) fM;B; G;AgfN; A;B;Dg ; g) fM; G;B;NgfN;B; A;Mg ; h) fB; A;Ng
fG;B; A;N;Mg :
E
F
Colora¸ti cu portocaliu punctele mul¸timilor E F:
M
N
Colora¸ti cu albastru punctele mul¸timii M N:
Calcula¸ti: a) fM;D;Gg[fM;Bg ; b) fB;D;Gg[fA;N;Mg ; c) fM; A;Gg [
fM;N;Gg ; d) fB; A;D;Gg[fA;D;M;Ng ; e) fN; A;M;Dg[fM;B; G;Ag ; f)

1.10. EVALUARE 25
fA;B;Dg[fA;N;D;Mg ; g) fA;D;B;Ng[fN;B; A;Mg ; h) fB; A;N; G;Mg[
fA;N;Mg :
E
F
Colora¸ti cu portocaliu punctele mul¸timilor E [ F:
M
N
Colora¸ti cu albastru punctele mul¸timilor M [ N:
Testul 1.10.2
Calcula¸ti: a) fD; G;Ag n fM;Bg ; b) fB;Gg n fM;D; G;Ag ; c) fM;N;Gg n
fM;N; A;D;Gg ; d) fA;D;Gg n fG;D;M;Ng ; e) fN; A;B;Dg n fM;B; G;Ag ;
f) fM;B; G;AgnfN; A;B;Dg ; g) fM; G;B;NgnfN;B; A;Mg ; h) fB; A;N;Mgn
fG;B; A;N;Mg :
E
F

M
N
Colora¸ti diferit punctele mul¸timilor MnN ¸si NnM:
Calcula¸ti: a) fM;D;GgfB;D;Gg ; b) fB;GgfA;N;Mg ; c) fM;D;Gg
fM;N;Gg ; d) fB; A;D;GgfA;D;M;Ng ; e) fN; A;M;DgfM;B; G;Ag ; f)
fA;B;DgfA;N;D;Mg ; g) fA;D;B;NgfN;B; A;Mg ; h) fB; A;N; G;Mg
fA;N;Mg :
E
F
M
N
Colora¸ti cu ro¸su punctele mul¸timii M N:
7. Consider¼am punctele M;N; A;B;D ¸si G
Calcula¸ti: a) fM;D;Gg[fB;Dg ; b) fB;D;Gg[fA;Ng ; c) fM; A;D;Gg [
fM;N;Gg ; d) fB; A;D;Gg[fA;D;M;Ng ; e) fN; A;M;Dg[fM;B; G;Ag ; f)
fA;B;Dg[fA;N;D;Mg ; g) fA;D;B;Ng[fN;B; A;Mg ; h) fB; A;N; G;Mg[
fA;N;Mg :

1.11. FRONTIERA UNEI MUL ¸ TIMI 27
E
F
Colora¸ti cu albastru punctele mul¸timilor E [ F:
M
N
Colora¸ti cu negru punctele mul¸timii M [ N:
1.11 Frontiera unei mul¸timi
Introducerea riguroas¼a a no¸tiunii de frontier¼a a unei mul¸timi este di…cil¼a.
De aceea o s¼a prezent¼am câteva exemple în care asimil¼am frontiera unei mul¸timi
cu conturul acelei mul¸timi. Dac¼a E este o mul¸time, atunci not¼am cu Fr (E)
frontiera acesteia.
E Fr(E)
Conturul trasat cu linie continu¼a care m¼argine¸ste por¸tiunea ha¸surat¼a este
frontiera mul¸timii E.

Fr(M)
M
Conturul trasat cu linie continu¼a ¸si întrerupt¼a care m¼argine¸ste por¸tiunea
ha¸surat¼a este frontiera mul¸timii M.
N Fr(N)
Conturul trasat cu linie continu¼a ¸si întrerupt¼a care m¼argine¸ste por¸tiunea
colorat¼a albastru este frontiera mul¸timii N.
L Fr(L)
Conturul trasat cu linie întrerupt¼a care m¼argine¸ste por¸tiunea colorat¼a galben
este frontiera mul¸timii L.
Tema 1.11.1 Colora¸ti diferit frontiera a cinci mul¸timi diferite.
Tema 1.11.2 Construi¸ti dou¼a mul¸timi E ¸si F care au puncte comune. Col-
ora¸ti diferit Fr (EnF), Fr (E F) ¸si Fr (FnE) :
Tema 1.11.3 Construi¸ti dou¼a mul¸timi E ¸si F care au puncte comune ¸si
colora¸ti Fr (E [ F) :

1.12. INTERIORUL UNEI MUL ¸ TIMI 29
1.12 Interiorul unei mul¸timi
De…ni¸tia 1.12.1 Dac¼a M este o mul¸time, atunci mul¸timea
Int (M) = MnFr (M)
se nume¸ste interiorul mul¸timii M:
O mul¸time care coincide cu interiorul s¼au se nume¸ste mul¸time deschis¼a.
Remarca 1.12.1 Intieriorul oric¼arei mul¸timi este o mul¸time deschis¼a.
Axioma a II-a
Mul¸timea vid¼a ¸si întregul spa¸tiu sunt mul¸timi deschise.
Exemplul 1.12.1 Consider¼am mul¸timea E din desenul:
E Fr(E)
Deoarece Fr (E) este trasat¼a cu linie continu¼a, rezult¼a c¼a punctele sale
apar¸tin mul¸timii E: A¸sadar, Fr (E) E: Dac¼a d¼am la o parte punctele Fr (E) ;
atunci ob¸tinem interiorul mul¸timii E care arat¼a ca în desenul:
Int(E)
Fr(Int(E))
Fr (Int (E)) a fost trasat¼a cu linie întrerupt¼a, deoarece punctele sale nu
apar¸tin Int (E) : De¸si Fr (Int (E)) ¸si Fr (E) sunt trasate diferit, avem egalitatea
Fr (Int (E)) = Fr (E) :

Exemplul 1.12.2 Consider¼am mul¸timea M din desenul:
Fr(M)
M
Deoarece Fr (M) este trasat¼a cu linie continu¼a ¸si întrerupt¼a, rezult¼a c¼a nu
toate punctele sale apar¸tin mul¸timii M: A¸sadar, Fr (M) M: Dac¼a d¼am la o
parte punctele Fr (M) ; atunci ob¸tinem interiorul mul¸timii M care arat¼a ca în
desenul:
Fr(Int(M))
Int(M)
Fr (Int (M)) a fost trasat¼a cu linie întrerupt¼a, deoarece punctele sale nu
apar¸tin Int (M) : De¸si Fr (Int (M)) ¸si Fr (M) sunt trasate diferit, avem egali-
tatea
Fr (Int (M)) = Fr (M) :
Exemplul 1.12.3 Consider¼am mul¸timea N din desenul:
N Fr(N)
Deoarece Fr (N) este trasat¼a cu linie continu¼a ¸si întrerupt¼a, rezult¼a c¼a nu
toate punctele sale apar¸tin mul¸timii N: A¸sadar, Fr (N) N: Dac¼a d¼am la o
parte punctele Fr (N) ; atunci ob¸tinem interiorul mul¸timii N care arat¼a ca în

1.13. ÎNCHIDEREA UNEI MUL ¸ TIMI 31
desenul:
Int(N) Fr(Int(N))
Fr (Int (N)) a fost trasat¼a cu linie întrerupt¼a, deoarece punctele sale nu
apar¸tin Int (N) : De¸si Fr (Int (N))¸si Fr (N) sunt trasate diferit, avem egalitatea
Fr (Int (N)) = Fr (N) :
Exemplul 1.12.4 Consider¼am mul¸timea L din desenul:
L Fr(L)
Deoarece Fr (L) este trasat¼a cu linie întrerupt¼a, rezult¼a c¼a toate punctele
sale nu apar¸tin mul¸timii L: A¸sadar, L = Int (L) : Deci, L este o mul¸time de-
schis¼a.
De re¸tinut: Frontiera mul¸timilor deschise se traseaz¼a cu linie întrerupt¼a.
Tema 1.12.1 Construi¸ti cinci mul¸timi deschise ¸si colora¸ti-le diferit frontiera
¸si interiorul. Pentru …ecare mul¸time în parte construi¸ti cel pu¸tin dou¼a puncte
care apar¸tin frontierei ¸si cel pu¸tin dou¼a puncte care apar¸tin interiorului.
Tema 1.12.2 Construi¸ti dou¼a mul¸timi f¼ar¼a lacune, deschise ¸si diferite M
¸si N care au puncte comune. Colora¸ti diferit Int (MnN) ; Int (M N) ¸si
Int (NnM) :
Tema 1.12.3 Construi¸ti dou¼a mul¸timi cu lacune, deschise ¸si diferite M
¸si N care au puncte comune. Colora¸ti diferit Int (MnN) ; Int (M N) ¸si
Int (NnM) :
1.13 Închiderea unei mul¸timi
M = M [ Fr (M)
se nume¸ste închiderea mul¸timii M:
O mul¸time care coincide cu închiderea sa se nume¸ste mul¸time închis¼a.

Exemplul 1.13.1 Consider¼am mul¸timea E din desenul:
E Fr(E)
Deoarece Fr (E) este trasat¼a cu linie continu¼a, rezult¼a c¼a Fr (E) E:
A¸sadar, E = E [ Fr (E) : Deci, mul¸timea E este închis¼a.
Exemplul 1.13.2 Consider¼am mul¸timea M din desenul:
Fr(M)
M
Deoarece Fr (M) este trasat¼a cu linie continu¼a ¸si întrerupt¼a, rezult¼a c¼a nu
toate punctele sale apar¸tin mul¸timii M: A¸sadar, Fr (M) M: Dac¼a lipim
la mul¸timea M ¸si punctele frontierei mul¸timii M; atunci ob¸tinem închiderea
mul¸timii M care arat¼a ca în desenul:
Fr(M )
M
Fr

M

a fost trasat¼a cu linie continu¼a, deoarece punctele sale apar¸tin
mul¸timii M: De¸si Fr

M

¸si Fr (M) sunt trasate diferit, avem egalitatea
Fr

M

= Fr (M) :

1.13. ÎNCHIDEREA UNEI MUL ¸ TIMI 33
Exemplul 1.13.3 Consider¼am mul¸timea N din desenul:
N Fr(N)
Deoarece Fr (N) este trasat¼a cu linie continu¼a ¸si întrerupt¼a, rezult¼a c¼a nu
toate punctele sale apar¸tin mul¸timii N: A¸sadar, Fr (N) N: Dac¼a lipim
la mul¸timea N ¸si punctele frontierei mul¸timii N; atunci ob¸tinem închiderea
mul¸timii N care arat¼a ca în desenul:
N Fr(N )
Fr

N

a fost trasat¼a cu linie continu¼a, deoarece punctele sale apar¸tin mul¸timii
N: De¸si Fr

N

¸si Fr (N) sunt trasate diferit, avem egalitatea
Fr

N

= Fr (N) :
Exemplul 1.13.4 Consider¼am mul¸timea L din desenul:
L Fr(L)
Deoarece Fr (L) este trasat¼a cu linie întrerupt¼a, rezult¼a c¼a toate punctele
sale nu apar¸tin mul¸timii L: A¸sadar, Fr (L) L: Dac¼a lipim la mul¸timea L ¸si
punctele frontierei mul¸timii L; atunci ob¸tinem închiderea mul¸timii L care arat¼a
ca în desenul:
L Fr(L )
Fr

L

a fost trasat¼a cu linie continu¼a, deoarece punctele sale apar¸tin mul¸timii
L: De¸si Fr

L

¸si Fr (L) sunt trasate diferit, avem egalitatea
Fr

L

= Fr (L) :

De re¸tinut: Frontiera mul¸timilor închise se traseaz¼a cu linie continu¼a.
Tema 1.13.1 Construi¸ti cinci mul¸timi închise ¸si colora¸ti-le diferit frontiera
¸si interiorul. Pentru …ecare mul¸time în parte construi¸ti cel pu¸tin dou¼a puncte
care apar¸tin frontierei ¸si cel pu¸tin dou¼a puncte care apar¸tin interiorului.
Tema 1.13.2 Construi¸ti dou¼a mul¸timi cu lacune, inchise ¸si diferite M ¸si N
care au puncte comune. Colora¸ti diferit MnN ¸si NnM:
Tema 1.13.3 Construi¸ti dou¼a mul¸timi f¼ar¼a lacune, inchise ¸si diferite M ¸si
N care au puncte comune. Colora¸ti cu verde M N:
Tema 1.13.4 Construi¸ti o mul¸time deschis¼a cu lacune E, ¸si o mul¸time
inchis¼a f¼ar¼a lacune F care au puncte comune. Colora¸ti diferit EnF ¸si FnE:
Tema 1.13.5 Construi¸ti o mul¸time deschis¼a f¼ar¼a lacune E, ¸si o mul¸time
inchis¼a cu lacune F care au puncte comune. Colora¸ti cu ro¸su E F:
Tema 1.13.6 Construi¸ti o mul¸time deschis¼a E, ¸si o mul¸time inchis¼a F care
au puncte comune. Colora¸ti cu negru închiderea mul¸timii E [ F:
1.14 Exteriorul unei mul¸timi
Ext (M) = nM
se nume¸ste exteriorul mul¸timii M:
Exemplul 1.14.1 Consider¼am mul¸timea închis¼a E ca în desenul:
E Fr(E)
Exteriorul mul¸timii E este o mul¸time deschis¼a ¸si arat¼a ca în desenul:
Ext(E)

1.14. EXTERIORUL UNEI MUL ¸ TIMI 35
De¸si Fr (E) ¸si Fr (Ext (E)) sunt trasate diferit, avem egalitatea
Fr (E) = Fr (Ext (E)) :
Exemplul 1.14.2 Consider¼am mul¸timea nici închis¼a nici deschis¼a M din
desenul:
Fr(M)
M
Exteriorul mul¸timii M este o mul¸time deschis¼a ¸si arat¼a ca în desenul:
Ext(M)
De¸si Fr (M) ¸si Fr (Ext (M)) sunt trasate diferit, avem egalitatea
Fr (M) = Fr (Ext (M)) :
Exemplul 1.14.3 Consider¼am mul¸timea nici închis¼a nici deschis¼a N din
desenul:
N Fr(N)

Exteriorul mul¸timii N este o mul¸time deschis¼a ¸si arat¼a ca în desenul:
Ext(N)
De¸si Fr (N) ¸si Fr (Ext (N)) sunt trasate diferit, avem egalitatea
Fr (N) = Fr (Ext (N)) :
Exemplul 1.14.4 Consider¼am mul¸timea deschis¼a L din desenul:
L Fr(L)
Exteriorul mul¸timii L este o mul¸time deschis¼a ¸si arat¼a ca în desenul:
Ext(L)
Avem egalitatea Fr (L) = Fr (Ext (L)) :
Tema 1.14.1 Construi¸ti cinci mul¸timi diferite ¸si colora¸ti-le diferit interiorul,
frontiera ¸si exteriorul. Pentru …ecare mul¸time în parte construi¸ti cel pu¸tin dou¼a
puncte care apar¸tin interiorului, frontierei ¸si exteriorului.

1.15. MUL ¸ TIMI CONEXE 37
1.15 Mul¸timi conexe
De…ni¸tia 1.15.1 Dac¼a F este o mul¸time pentru care nu exist¼a dou¼a mul¸timi
deschise, nevide ¸si disjuncte D ¸si astfel încât
F = (F D) [ (F ) ;
atunci spunem c¼a mul¸timea F este conex¼a sau dintr-o bucat¼a. În caz contrar,
spunem c¼a mul¸timea F nu este conex¼a sau c¼a este format¼a din mai multe p¼ar¸ti.
Exemplul 1.15.1 Consider¼am mul¸timea fP;M; Q;R;Ng ca în desenul:
M.
. R
. Q
.
. N
P
Consider¼am mul¸timile deschise, nevide ¸si disjuncte D ¸si din desenul:
M.
. R
. Q
.
. N
P
D
D
Deoarece fP;M; Q;R;Ng D = fM; P;Qg ; fP;M; Q;R;Ng = fN;Rg ¸si
fP;M; Q;R;Ng = fM; P;Qg [ fN;Rg
rezult¼a c¼a mul¸timea fP;M; Q;R;Ng nu este conex¼a.
Exemplul 1.15.2 Consider¼am mul¸timea E = E1 [ E2 ca în desenul:
E
E
E 2 1

Consider¼am mul¸timile deschise, nevide ¸si disjuncte D ¸si din desenul:
1 E 2 E
D E D
Deoarece E = E1 [ E2 = (E D) [ (E ) rezult¼a c¼a mul¸timea E nu este
conex¼a.
Tema 1.15.1 Construi¸ti dou¼a mul¸timi conexe ¸si dou¼a mul¸timi neconexe.
Tema 1.15.2 Construi¸ti o mul¸time conex¼a nici închis¼a nici deschis¼a cu trei
lacune pe care o not¼am cu M.
1. Fixa¸ti punctele A;B;C;D 2 Int (M) ; P;Q;R 2 Fr (M) ¸si E; F;G;H 2 Ext (M) :
2. Calcula¸ti fA;H;D;Q;Cg [ fQ; P;E; F; A;Dg :
Tema 1.15.3 Construi¸ti o mul¸time neconex¼a închis¼a format¼a din trei p¼ar¸ti
diferite E; F;G:
1. Fixa¸ti punctele A;B 2 Int (E) ; P; Q;R 2 Ext (F)G ¸si K;H 2 Fr (F) :
2. Calcula¸ti fA;K; P; Q;Rg [ fG;B; G;K;Ag :
3. Stabili¸ti valoarea de adev¼ar a propozi¸tiilor: P1: fA;B; Pg E; P2:
fP;Rg G; P3: P 2 F; P4: P =2 G; P5: fA;B;K;Hg Ext (F) ; P6: fP;R;Kg =
fK; P;Rg ; P7: fG;B; G;K;Ag6= A;K; P;Q; P8: R =2 F:
1.16 Evaluare
Testul 1.16.1
1. Construi¸ti o mul¸time deschis¼a, conex¼a care are dou¼a lacune pe care o
not¼am E. Colora¸ti diferit Fr (E) ¸si Int (E) :
2. Construi¸ti o mul¸time neconex¼a format¼a dintr-o parte deschis¼a E ¸si o
parte închis¼a F: Fixa¸ti punctele M;N 2 Fr (E) ¸si P;Q 2 Int (F) :
3. Construi¸ti o mul¸time închis¼a, neconex¼a format¼a din trei p¼ar¸ti E; F ¸si G.
Construi¸ti o mul¸time deschis¼a H care s¼a aib¼a puncte comune cu F ¸si G: Colora¸ti
diferit Int (F H) ¸si Int (G H) :
4. Construi¸ti o mul¸time conex¼a, cu dou¼a lacune, nici închis¼a nici deschis¼a
pe care o not¼am M: Construi¸ti o mul¸time închis¼a N care s¼a aib¼a puncte comune
cu M: Colora¸ti diferit Int (M N) ¸si Fr (M N) :
5. Construi¸ti o mul¸time conex¼a închis¼a cu o lacun¼a pe care o not¼am cu K.
Fixa¸ti punctele P; Q;R; S 2 Int (K) ; A;O;B 2 Fr (K) ¸si E; F;H 2 Ext (K) :
Calcula¸ti fA;O; P;Q;Hg [ fS;Q;E; F; A;Bg :
6. Construi¸ti o mul¸time neconex¼a deschis¼a format¼a din dou¼a p¼ar¸ti diferite
M ¸si N:

1.16. EVALUARE 39
a) Fixa¸ti punctele A;C;D 2 Int (M) ; P;B;E;R 2 Ext (N) nM ¸si L; S 2 Fr (N) : Calcula¸ti fA; L; P;E;Rg [ fC;D;B; A; S;Lg :
b) Stabili¸ti valoarea de adev¼ar a propozi¸tiilor: P1: fA;B; P;Eg N; P2:
fP;R;Eg M; P3: P 2 Ext (M) ; P4: P =2 N; P5: fA;B; L; Sg Ext (N) ; P6:
fP;R;Dg = fR; P;Dg ; P7: fC;B; L;Ag6= fA; S; P;Dg ; P8: R =2 M:
7. Construi¸ti o mul¸time închis¼a, neconex¼a format¼a din dou¼a p¼ar¸ti E ¸si G.
Colora¸ti cu galben exteriorul acesteia ¸si cu albastru interiorul acesteia.
8. Construi¸ti o mul¸time conex¼a, cu patru lacune, nici închis¼a nici deschis¼a
pe care o not¼am N: Colora¸ti cu albastru exteriorul acesteia ¸si cu ro¸su interiorul
acesteia.
9. Construi¸ti o mul¸time conex¼a, închis¼a cu o lacun¼a pe care o not¼am X ¸si o
mul¸time deschis¼a, conex¼a cu dou¼a lacune pe care o not¼am Y: Colora¸ti cu negru
X [ Y ¸si cu galben Ext (X [ Y ) .
Testul 1.16.2
1. Construi¸ti o mul¸time deschis¼a, conex¼a care are dou¼a lacune pe care o
not¼am E. Colora¸ti diferit Fr (E) ¸si Int (E) :
2. Construi¸ti o mul¸time neconex¼a format¼a dintr-o parte deschis¼a M ¸si o
parte închis¼a N: Fixa¸ti punctele E;K 2 Fr (N) ¸si P; S 2 Int (M) :
3. Construi¸ti o mul¸time închis¼a, neconex¼a format¼a din dou¼a p¼ar¸ti deschise
K ¸si T. Construi¸ti o mul¸time închis¼a L care s¼a aib¼a puncte comune cu K ¸si T:
Colora¸ti diferit Int (L K) ¸si Int (T L) :
4. Construi¸ti o mul¸time conex¼a, cu dou¼a lacune, nici închis¼a nici deschis¼a
pe care o not¼am X: Construi¸ti o mul¸time închis¼a Y care s¼a aib¼a puncte comune
cu X: Colora¸ti diferit Int (X Y ) ¸si Fr (X Y ) :
5. Construi¸ti o mul¸time conex¼a deschis¼a cu dou¼a lacune pe care o not¼am
cu X. Fixa¸ti punctele P; T;R;L 2 Int (X) ; A;C;B 2 Fr (X) ¸si E;D;G 2 Ext (X) : Calcula¸ti fA;C; P; T;Lg [ fC;E;G; A;Bg :
6. Construi¸ti o mul¸time neconex¼a închis¼a format¼a din dou¼a p¼ar¸ti diferite M
¸si N:
a) Fixa¸ti punctele P; Q;R 2 Int (M) ; E; F;K;L 2 Ext (N) nM ¸si T; S 2 Fr (N) : Calcula¸ti fA; L; P;Q;Rg [ fT; S;E;K;Lg :
b) Stabili¸ti valoarea de adev¼ar a propozi¸tiilor: P1: fT; Sg N; P2: fP;Lg
M; P3: E 2 Ext (M) ; P4: P =2 N; P5: fR; P;K;Eg Ext (M) ; P6: fP; Q; Tg =
fT; P;Rg ; P7: fE;K; Pg6= fF;K; P;Qg ; P8: R =2 M:
7. Construi¸ti o mul¸time deschis¼a, neconex¼a format¼a din dou¼a p¼ar¸ti R ¸si T.
Colora¸ti cu galben exteriorul acesteia ¸si cu albastru interiorul acesteia.
8. Construi¸ti o mul¸time conex¼a, cu cinci lacune, nici închis¼a nici deschis¼a
pe care o not¼am X: Colora¸ti cu albastru exteriorul acesteia ¸si cu ro¸su interiorul
acesteia.
9. Construi¸ti o mul¸time conex¼a, deschis¼a cu o lacun¼a pe care o not¼am F ¸si o
mul¸time deschis¼a, conex¼a cu dou¼a lacune pe care o not¼am G: Colora¸ti cu negru
F [ G ¸si cu galben Int (F [ G) .

Studiul mul¸timilor ca p¼ar¸ti ale spa¸tiului a determinat apari¸tia
Geometriei ¸si a Algebrei, dou¼a ramuri importante ale Matematicii.
În continuare, Partea I a acestui manual este destinat¼a studiului
…gurilor geometrice (plane, semispa¸tii, drepte, segmente, poligoane,
semidrepte, unghiuri, semiplane,...) ¸si a transform¼arilor geometrice,
iar Partea a II-a este destinat¼a studiului mul¸timilor de numere ca
mul¸timi de puncte ale unei drepte.

Capitolul 2
Figuri geometrice
Începând cu aceast¼a lec¸tie toate mul¸timile folosite se vor numi …guri geometrice.
2.1 Planul
De…ni¸tia 2.1.1 Orice …gur¼a geometric¼a închis¼a care are interiorul egal cu
mul¸timea vid¼a se nume¸ste suprafa¸t¼a.
Remarca 2.1.1 O suprafa¸t¼a este o …gur¼a geometric¼a care coincide cu frontiera
sa. A¸sadar, frontiera oric¼arei …guri geometrice este o suprafa¸t¼a.
Axioma a III-a
Oricare trei puncte distincte A;B ¸si C determin¼a în mod unic o
suprafa¸t¼a (A;B;C) care le con¸tine astfel încât Ext (A;B;C) s¼a …e
reuniunea a dou¼a …guri geometrice nevide, deschise ¸si disjuncte.
De…ni¸tia 2.1.2 Suprafa¸ta (A;B;C) dat¼a de axioma precedent¼a se nume¸ste
planul determinat de punctele A;B ¸si C: Cele dou¼a …guri geometrice nevide,
deschise ¸si disjuncte a c¼aror reuniune este Ext (A;B;C) se numesc semispa¸tii
deschise opuse care au drept frontier¼a planul (A;B;C) ¸si se noteaz¼a (A;B;C)
respectiv (A;B;C):
De re¸tinut: Mul¸timile incluse într-un plan se vor numi …guri geometrice
plane. Când construim o …gur¼a geometric¼a pe tabla din clas¼a, consider¼am c¼a
avem o …gur¼a geometric¼a plan¼a inclus¼a în planul foii de tabl¼a. Când construim
o …gur¼a geometric¼a pe foaia caietului, consider¼am c¼a avem o …gur¼a geometric¼a
plan¼a inclus¼a în planul foii de caiet. Mai multe …guri geometrice incluse în
acela¸si plan se numesc …guri geometrice coplanare.
Planele se mai noteaz¼a ¸si cu literele grece¸sti (alfa),

(beta),
(gama) ¸si
(pi).
43

44 CAPITOLUL 2. FIGURI GEOMETRICE
2.2 Dreapta
De…ni¸tia 2.2.1 Intersec¸tia nevid¼a a dou¼a plane diferite se nume¸ste dreapt¼a.
Dreptele se noteaz¼a cu litere mici din alfabet sau cu litera greceasc¼a (delta).
Instrumentele folosite pentru a construi drepte încluse în planul foii de caiet
sau de tabl¼a sunt rigla ¸si echerul.
- Cum construim o dreapt¼a inclus¼a în planul foii de caiet?
Pasul 1. Fix¼am rigla pe plan ca în desenul:
Pasul 2. Tras¼am o dreapt¼a d în lungul riglei ca în desenul:
d
Pasul 3. Îndep¼art¼am rigla ¸si ob¸tinem dreapta d din desenul:
d
Construc¸tia de mai sus ne determin¼a s¼a introducem
Axioma a IV-a
Oricare dou¼a puncte distincte din spa¸tiu determin¼a în mod unic
o dreapt¼a.
De re¸tinut: Dac¼a A ¸si B sunt dou¼a puncte distincte din spa¸tiu, atunci
dreapta determinat¼a de punctele A ¸si B se noteaz¼a AB:
- Cum construim dreapta determinat¼a de punctele distincte A ¸si B?

2.2. DREAPTA 45
Pasul 1. Fix¼am în planul foii de caiet punctele A ¸si B ca în desenul:
.
.
A
B
Pasul 2. Fix¼am rigla lâng¼a punctele A ¸si B ca în desenul:
.
.
A
B
Pasul 3. Tras¼am o dreapt¼a în lungul riglei care con¸tine punctele A ¸si B ca
în desenul:
A
B
Pasul 4. Îndep¼art¼am rigla ¸si ob¸tinem dreapta AB din desenul:
A
B
M
N
P
a
b
d
Dreptele a; b;MN;NP;MP ¸si d sunt egale. Vom scrie: a = b = MN =
NP = MP = d:

Problema 2.2.1 Construi¸ti o …gur¼a geometric¼a deschis¼a, conex¼a cu dou¼a
lacune pe care o not¼am cu E:
a) Fixa¸ti punctele R ¸si S pe frontiera acesteia ¸si construi¸ti dreapta RS:
b) Fixa¸ti celelalte puncte de intersec¸tie dintre dreapta RS ¸si Fr (E) :
c) Identi…ca¸ti cinci dreptele egale cu dreapta RS:
R¼aspuns
a) Folosind datele problemei ob¸tinem situa¸tia din desenul:
E
R
A
B C
D
S
b) Celelalte puncte de intersec¸tie dintre dreapta RS ¸si Fr (E) sunt punctele
A;B;C ¸si D:
c) Cinci drepte egale cu dreapta RS sunt: AR;BC; SD;CS ¸si AC:
Tema 2.2.1 Construi¸ti o …gur¼a geometric¼a închis¼a, conex¼a cu dou¼a lacune
pe care o not¼am cu F:
a) Fixa¸ti punctele P ¸si Q pe frontiera acesteia ¸si construi¸ti dreapta PQ:
b) Fixa¸ti A 2 Int (F) PQ ¸si B 2 Ext (F) PQ:
c) Identi…ca¸ti toate dreptele egale cu dreapta PQ:
N
P
d
Dreptele NP ¸si d sunt diferite. Vom scrie: NP6= d:
Problema 2.2.2 Construi¸ti o …gur¼a geometric¼a închis¼a, conex¼a cu o lacun¼a
pe care o not¼am cu M:
a) Fixa¸ti punctele R; S 2 Int (M) ¸si A;B 2 Ext (M) :
b) Construi¸ti toate dreptele diferite determinate de …ecare dou¼a puncte
diferite:
c) Identi…ca¸ti dou¼a perechi de dreptele egale.
R¼aspuns

2.2. DREAPTA 47
a) Folosind datele problemei ob¸tinem situa¸tia din desenul:
S
B
R
A
b) Dreptele diferite determinate de …ecare dou¼a puncte diferite sunt urm¼a-
toarele: AB;BS; SR;AR;AS ¸si BR:
c) AS = SA ¸si BR = RB:
Tema 2.2.2 Construi¸ti o …gur¼a geometric¼a închis¼a, conex¼a, f¼ar¼a lacune pe
care o not¼am cu E:
a) Fixa¸ti punctele P;Q 2 Fr (E) ¸si C;D;E 2 Ext (E) :
b) Construi¸ti toate dreptele diferite care se pot construi cu oricare dou¼a
puncte diferite.
c) Identi…ca¸ti o dreapt¼a egal¼a cu dreapta PQ¸si trei drepte diferite de dreapta
DE:
Axioma a V-a
Dac¼a este un plan ¸si d este o dreapt¼a astfel încât d = ,
atunci d sau d :
Propozi¸tia 2.2.1 Dac¼a este un plan, P 2 ¸si Q 2 ; atunci PQ
este format¼a dintr-un singur punct.
Demonstra¸tie
Folosind Axioma a V-a rezult¼a c¼a PQ6= : Dac¼a PQ ar …format¼a
din cel pu¸tin dou¼a puncte distincte, atunci ar exista cel pu¸tin dou¼a drepte
distincte care s¼a con¸tin¼a punctele distincte P ¸si Q:
Astfel, folosind Axioma a IV-a am ajunge la o contradic¸tie. q.e.d.
Propozi¸tia 2.2.2 Dac¼a este un plan ¸si A;B 2 astfel încât A6= B;
atunci AB :
Demonstra¸tie
Fie C 2 Ext () : Cum (A;B;C) = AB; rezult¼a c¼a AB :q.e.d.

2.2.1 Drepte paralele
De…ni¸tia 2.2.1.1 Dreptele a ¸si b sunt paralele dac¼a sunt egale sau diferite,
coplanare ¸si au intersec¸tia egal¼a cu mul¸timea vid¼a. Vom scrie: a k b:
Exemplul 2.2.1.1 Consider¼am desenul:
M
N
P
a
b
d
Deoarece a = b = MN = NP = MP = d; rezult¼a c¼a a k b k MN k NP k MP k d:
Tema 2.1.2.1 Construi¸ti trei drepte paralele egale notate a; b ¸si c:
Exemplul 2.2.1.2 Pentru a construi dou¼a drepte paralele diferite par-
curgem mai mul¸ti pa¸si.
Pasul 1. Folosind echerul, construim o dreapt¼a d ca în desenul:
d
Pasul 2. Construim o dreapt¼a ajut¼atoare ca în desenul:
d
Pasul 3. Deplas¼am echerul în lungul dreptei ajut¼atoare pân¼a ce ob¸tinem

2.2. DREAPTA 49
situa¸tia din desenul:
d
Pasul 4. Construim o dreapt¼a ca în desenul:
d
d
Pasul 5. Îndep¼artând echerul ¸si ¸stergând dreapta ajut¼atoare ob¸tinem:
d
d
d ¸si sunt dou¼a drepte paralele diferite.
Tema 2.1.2.2 Construi¸ti trei drepte paralele diferite notate m; n ¸si p:
De…ni¸tia 2.2.1.2 Mul¸timea tuturor dreptelor paralele cu o dreapt¼a d formea-
z¼a direc¸tia dreptei d:
Tema 2.2.1.3 Construi¸ti 3 drepte egale ¸si 7 drepte diferite care apar¸tin
direc¸tiei unei drepte d:
De re¸tinut: Oricare dou¼a drepte paralele diferite a ¸si b determin¼a în mod
unic un plan pe care îl not¼am (a; b) :

Axioma a VI-a
Orice punct exterior unei drepte apar¸tine unei singure drepte
paralel¼a cu dreapta dat¼a.
- Cum proced¼am pentru a construi paralela la o dreapt¼a d care con¸tine
punctul P?
Pasul 1. Fix¼am punctul P ¸si folosind echerul, construim o dreapt¼a d ca în
desenul:
. d P. P
Pasul 2. Construim o dreapt¼a ajut¼atoare ca în desenul:
. d P. P
Pasul 3. Deplas¼am echerul în lungul dreptei ajut¼atoare pân¼a ce ob¸tinem
situa¸tia din desenul:
P. d

2.2. DREAPTA 51
Pasul 4. Construim o dreapt¼a care con¸tine punctul P ca în desenul:
d
P
d
Pasul 5. Îndep¼artând echerul ¸si ¸stergând dreapta ajut¼atoare ob¸tinem:
d
P
d
Dreapta este unica paralel¼a la dreapta d care con¸tine punctul P:
Tema 2.2.1.4 Fixa¸ti patru puncte diferite A;B;C ¸si D: Construi¸ti paralele
la dreapta AD care con¸tin punctele B ¸si C:
De re¸tinut: O dreapt¼a d ¸si un punct exterior P determin¼a în mod unic un
plan pe care îl not¼am (d; P) :
2.2.2 Drepte concurente
De…ni¸tia 2.2.2.1 Dou¼a drepte diferite cu intersec¸tia diferit¼a de mul¸timea
vid¼a se numesc drepte concurente.
Propozi¸tia 2.2.2.1 Dac¼a a ¸si b sunt dou¼a drepte concurente, atunci a b
este format¼a dintr-un singur punct.
Demonstra¸tie
Din ipotez¼a rezult¼a c¼a a6= b ¸si a b6= :
Presupunem, prin absurd, c¼a exist¼a P;Q 2 a b : P6= Q:
Folosind Axioma a IV-a, rezult¼a c¼a a = PQ = b: Contradic¸tie! q.e.d.

De re¸tinut: Dou¼a drepte concurente a ¸si b arat¼a ca în desenul:
P
a b
Punctul de interseçtie P se nume¸ste punct de concuren¸t¼a al dreptelor a ¸si b:
Oricare dou¼a drepte concurente a ¸si b determin¼a în mod unic un plan pe care
îl not¼am (a; b) :
Tema 2.2.2.1 Construi¸ti cinci drepte concurente în acela¸si punct pe care
s¼a le nota¸ti diferit.
Propozi¸tia 2.2.2.1 Dac¼a akb ¸si c (a; b) astfel încât dreptele a ¸si c sunt
concurente, atunci b ¸si c sunt concurente.
Demonstra¸tie
Dac¼a a = b; atunci demonstra¸tia este imediat¼a.
Dac¼a a6= b; atunci trebuie s¼a avem c6= b: În caz contrar, ar rezulta c¼a
cka ¸si am ajunge la o contradiçtie.
Presupunem, prin absurd, c¼a dreptele b ¸si c nu sunt concurente.
Astfel, punctul de interseçtie dintre dreptele a ¸si c apar¸tine la dou¼a
paralele diferite la dreapta b:
Folosind Axioma a VI-a, rezult¼a c¼a a = c: Contradiçtie! q.e.d.
2.3 Evaluare
Testul 2.3.1
1. Construi¸ti o …gur¼a geometric¼a deschis¼a, neconex¼a format¼a din dou¼a p¼ar¸ti
E ¸si F:
a) Fixa¸ti punctele P 2 Fr (E) ¸si Q 2 Int (F) astfel încât PQ(E [ F)6= :
b) Fixa¸ti R 2 Fr (E) PQ ¸si S; T 2 Fr (F) PQ:
c) Identi…ca¸ti toate dreptele egale cu dreapta RS:
2. Construi¸ti cinci puncte diferite A;B;C;D ¸si E în planul foii de caiet.
a) Construi¸ti toate dreptele diferite determinate de …ecare dou¼a puncte dis-
tincte. Cîte drepte apar?

2.3. EVALUARE 53
b) Identi…ca¸ti trei perechi de drepte egale.
3. Construi¸ti trei drepte paralele egale notate AB; d ¸si EF:
4. Construi¸ti patru drepte paralele diferite AC; d; e ¸si KF:
5. Consider¼am trei puncte diferite M;N ¸si P: Construi¸ti dou¼a drepte egale
care apar¸tin direçtiei dreptei MN; trei drepte diferite care apar¸tin direçtiei
dreptei NP ¸si trei drepte egale care apar¸tin direçtiei dreptei MP.
6. Consider¼am ¸sase puncte diferite M;N;R; S; T ¸si P: Construi¸ti dreptele
care apar¸tin direçtiei dreptei MN ¸si care con¸tin punctele R; S; T ¸si P:
7. Construi¸ti o …gur¼a geometric¼a neconex¼a format¼a din trei p¼ar¸ti E; F ¸si
G:
a) Trasa¸ti o dreapt¼a d care s¼a intersecteze doar …gura geometric¼a G:
b) Fixa¸ti punctele P; Q;R 2 Int (F) ¸si A;B;C 2 Fr (E) :
c) Construi¸ti paralelele la dreapta d care con¸tin punctele P; Q;R; A;B ¸si C:
8. Consider¼am punctele diferite A;B;C;D;E ¸si F: Construi¸ti dreptele
diferite concurente în punctul A:
9. Consider¼am punctele diferite A;B;C ¸si D: Câte perechi de drepte con-
curente se pot construi? Care sunt acestea?
Testul 2.3.2
1. Construi¸ti o …gur¼a geometric¼a nici închis¼a nici deschis¼a, conex¼a cu trei
lacune pe care o not¼am F:
a) Fixa¸ti punctele A 2 Ext (F) ¸si B 2 Int (F) astfel încât AB Fr (F) s¼a
…e format¼a din cel pu¸tin patru puncte:
b) Identi…ca¸ti toate dreptele egale cu dreapta AB:
2. Construi¸ti o dreapt¼a d:
a) Fixa¸ti R; P;Q 2 d ¸si S; T;L 2 Ext (d) :
b) Construi¸ti toate dreptele diferite care se pot construi cu oricare dou¼a
puncte diferite.
c) Identi…ca¸ti toate dreptele egale cu dreapta RP:
3. Construi¸ti trei drepte paralele egale notate AB;BC ¸si AC:
4. Construi¸ti trei drepte paralele diferite notate AM;LC ¸si FG:
5. Consider¼am dou¼a puncte diferite Q ¸si P: Construi¸ti trei drepte egale
care apar¸tin direçtiei dreptei QP ¸si patru drepte diferite care apar¸tin direçtiei
dreptei QP:
6. Consider¼am ¸sase puncte diferite C;D;E; F;G ¸si H: Construi¸ti dreptele
care apar¸tin direçtiei dreptei CD ¸si care con¸tin punctele E; F;G ¸si H:
7. Construi¸ti o …gur¼a geometric¼a neconex¼a format¼a din trei p¼ar¸ti A;M ¸si
N:
a) Trasa¸ti o dreapt¼a d care s¼a intersecteze doar …gura geometric¼a A:
b) Fixa¸ti punctele X;Z; Y 2 Int (N) ¸si L;B;C 2 Fr (M) :
c) Construi¸ti paralelele la dreapta d care con¸tin punctele X;Z; Y; L;B ¸si C:
8. Consider¼am punctele diferite M; P;L ¸si R: Câte perechi de drepte con-
curente se pot construi? Care sunt acestea?
9. Consider¼am punctele diferite X; F; I;K ¸si Y: Construi¸ti dreptele diferite
concurente în punctul I:

2.4 Segmente
De…ni¸tia 2.3.1 Intersec¸tia nevid¼a ¸si conex¼a dintre o dreapt¼a ¸si o …gur¼a
geometric¼a deschis¼a se nume¸ste segment deschis.
A
D d
B
Figura geometric¼a ]A;B[ = d D se nume¸ste segment deschis care are drept
frontier¼a punctele A ¸si B:
Dac¼a ¸stergem tot ce este în plus, atunci segmentul deschis ]A;B[ arat¼a ca în
desenul:
A
B
Exemplul 2.3.2 Figurile geometrice [A;B[ = fAg [ ]A;B[ ¸si ]A;B] =
]A;B[ [ fBg se numesc segmente semideschise care au drept frontier¼a punctele
A ¸si B: Segmentul semideschis [A;B[ arat¼a ca în desenul:
A
B
Îngro¸sarea punctului A semni…c¼a faptul c¼a acesta apar¸tine segmentului semi-
deschis [A;B[ : Segmentul semideschis ]A;B] arat¼a ca în desenul:
A
B
Îngro¸sarea punctului B semni…c¼a faptul c¼a acesta apar¸tine segmentului semi-
deschis ]A;B] :

2.4. SEGMENTE 55
Exemplul 2.3.3 Figura geometric¼a [A;B] = fAg [ ]A;B[ [ B se nume¸ste
segment închis care are drept frontier¼a punctele A ¸si B: Segmentul închis [A;B]
arat¼a ca în desenul:
A
B
Îngro¸sarea punctelor A ¸si B semni…c¼a faptul c¼a acestea apar¸tin segmentului
închis [A;B] :
Tema 2.3.1 Folosind nota¸tii diferite, construi¸ti câte cinci segmente din
…ecare tip prezentat mai sus.
Tema 2.3.2. Construi¸ti o …gur¼a geometric¼a F deschis¼a, conex¼a cu trei
lacune. Fixa¸ti P 2 Int (F) ¸si Q 2 Ext (F) ¸si construi¸ti dreapta PQ: Câte
segmente diferite apar? Ce fel de segmente sunt? Nota¸ti-le diferit.
Tema 2.3.3. Construi¸ti o …gur¼a geometric¼a G închis¼a, conex¼a cu dou¼a
lacune. Fixa¸ti A 2 Int (G) ¸si B 2 Ext (G) ¸si construi¸ti dreapta AB: Câte
segmente diferite apar? Ce fel de segmente sunt? Nota¸ti-le diferit.
Tema 2.3.4. Construi¸ti o …gur¼a geometric¼a M nici deschis¼a nici închis¼a,
neconex¼a format¼a din trei buc¼a¸ti. Construi¸ti o dreapt¼a d care are puncte comune
cu M: Câte segmente diferite apar? Ce fel de segmente sunt? Nota¸ti-le diferit.
De re¸tinut: Dreapta care include un segment se nume¸ste suportul segmen-
tului respectiv.
2.4.1 Figuri geometrice convexe
De…ni¸tia 2.4.1.1 O …gur¼a geometric¼a F este convex¼a dac¼a oricare ar …
A;B 2 F; rezult¼a c¼a [A;B] F: În caz contrar, dac¼a exist¼a A;B 2 F; astfel
încât [A;B] F; atunci spunem c¼a …gura geometric¼a F nu este convex¼a.
Axioma a VII-a
Spa¸tiul este o …gur¼a geometric¼a convex¼a.
De re¸tinut: Folosind axioma precedent¼a, rezult¼a c¼a spa¸tiul este o mul¸time
conex¼a f¼ar¼a g¼auri. Astfel, planul este perceput ca …ind o suprafa¸t¼a far¼a denivel¼ari,
f¼ar¼a lacune ¸si nesfâr¸sit¼a iar dreapta este perceput¼a ca …ind o sfoar¼a bine întins¼a
¸si nesfâr¸sit¼a.
Exemplul 2.4.1.1 Planul este o …gur¼a geometric¼a convex¼a.

Exemplul 2.4.1.2 Dreapta este o …gur¼a geometric¼a convex¼a.
Exemplul 2.4.1.3 Segmentele sunt …guri geometrice convexe.
Exemplul 2.4.1.4 Consider¼am …gura geometric¼a N nici închis¼a nici de-
schis¼a din desenul:
N
Fix¼am punctele A;B 2 N ¸si construim segmentul închis [A;B] ca în desenul:
N
A
B
Deoarece [A;B] N; rezult¼a c¼a …gura geometric¼a N nu este convex¼a.
Exemplul 2.4.1.5 Dou¼a drepte concurente nu formeaz¼a o …gur¼a geometric¼a
convex¼a.
Exemplul 2.4.1.6 Dou¼a drepte paralele diferite nu formeaz¼a o …gur¼a geo-
metric¼a convex¼a.
Tema 2.4.1.1 Construi¸ti dou¼a …guri geometrice convexe ¸si dou¼a …guri geo-
metrice neconvexe.
Tema 2.4.1.2 Construi¸ti trei drepte concurente a; b ¸si c într-un punct P:
Figura geometric¼a a [ b [ c este convex¼a? Dar conex¼a?
Tema 2.4.1.3 Fixa¸ti trei puncte diferite A;B ¸si C: Figura geometric¼a
[A;B] [ [B;C] [ [A;C] este convex¼a? Dar conex¼a?
Tema 2.4.1.4 Construi¸ti dou¼a drepte paralele diferite AB ¸si MN: Figura
geometric¼a AB [MN este convex¼a? Dar conex¼a?
2.4.2 Poligoane
De…ni¸tia 2.4.2.1 Figura geometric¼a plan¼a, închis¼a ¸si convex¼a a c¼arei fron-
tier¼a este reuniune …nit¼a de segmente închise se nume¸ste poligon. Segmentele
frontier¼a se numesc laturile poligonului, iar punctele frontier¼a ale laturilor se
numesc vârfurile poligonului.
Poligoanele care au interiorul egal cu mul¸timea vid¼a se numesc poligoane de-
generate, iar cele care au interiorul diferit de mul¸timea vid¼a se numesc poligoane
nedegenerate.

2.4. SEGMENTE 57
Poligonul cu trei (patru, cinci, ¸sase,...) laturi se nume¸ste triunghi (patrulater,
pentagon, hexagon,...).
De re¸tinut: Citirea unui poligon se face circular ¸si nu în zig-zag.
A
B C
Int(ABC)
Ext(ABC)
Am construit triunghiul nedegenerat ABC:
Fr (ABC) = [A;B] [ [B;C] [ [A;C] :
Punctele A;B ¸si C sunt vârfurile triunghiului nedegenerat ABC:
Tema 2.4.2.1 De…ni¸ti triunghiul. Folosind modelul din exemplul precedent,
construi¸ti patru triunghiuri nedegenerate notate diferit.
A
Ext(ABC)
B C
Am construit triunghiul degenerat ABC = [B;C] :
Fr (ABC) = [A;B] [ [B;C] [ [A;C] = [B;C] :
Punctele A;B ¸si C sunt vârfurile triunghiului degenerat ABC:
Ext(ABC) .
A
B C
Am construit triunghiul degenerat ABC = fAg = fBg = fCg :
Fr (ABC) = [A;B] [ [B;C] [ [A;C] = fAg = fBg = fCg :

Punctele A;B ¸si C sunt vârfurile triunghiului degenerat ABC:
M
Ext(MNPQ)
Q N
Int(MNPQ)
P
Am construit patrulaterul nedegenerat MNPQ:
Fr (MNPQ) = [M;N] [ [N; P] [ [P;Q] [ [Q;M] :
Punctele M;N; P ¸si Q sunt vârfurile patrulaterului nedegenerat MNPQ:
Tema 2.4.2.2 De…ni¸ti patrulaterul. Folosind modelul din exemplul prece-
dent, construi¸ti trei patrulatere nedegenerate notate diferit.
M
R N
Int(MNPQR)
Ext(MNPQR)
Q P
Am construit pentagonul nedegenerat MNPQR:
Fr (MNPQR) = [M;N] [ [N; P] [ [P;Q] [ [Q;R] [ [R;M] :
Punctele M;N; P;Q ¸si R sunt vârfurile pentagonului nedegenerat MNPQR:
Tema 2.4.2.3 De…ni¸ti pentagonul. Folosind modelul din exemplul prece-
dent, construi¸ti dou¼a patrulatere nedegenerate notate diferit.
Tema 2.4.2.4 De…ni¸ti hexagonul ¸si construi¸ti dou¼a hexagoane nedegenerate
notate diferit.

2.4. SEGMENTE 59
2.4.3 Paralelogramul
De…ni¸tia 2.4.3.1 Patrulaterul nedegenerat pentru care dreptele suport ale
laturilor opuse sunt paralele se nume¸ste paralelogram.
- Cum construim un paralelogram?
Pasul 1. Folosind echerul construim dou¼a drepte paralele diferite ca în
desenul:
Pasul 2. Folosind echerul construim alte dou¼a drepte paralele diferite ca în
desenul:
Pasul 3. Îndep¼artând echerul, ¸stergând dreptele ajut¼atoare ¸si liniile ap¼arute

în plus, ob¸tinem paralelogramul PQRS din desenul:
P
Q
R
S
Int(PQRS)
Ext(PQRS)
Din construc¸tie rezult¼a c¼a PQkRS ¸si PSkQR:
Tema 2.4.3.1 Construi¸ti cinci paralelograme în diferite pozi¸tii ¸si colora¸ti
diferit interiorul, frontiera ¸si exteriorul acestora.
Tema 2.4.3.2 Consider¼am triunghiul nedegenerat ABC:
a) Construi¸ti paralelogramul ABEF astfel încât E; F 2 Ext (ABC) :
b) Construi¸ti paralelogramul BCGH astfel încât G;H 2 Ext (ABC) :
Tema 2.4.3.3 Consider¼am paralelogramul XY KL:
a) Construi¸ti paralelogramul KLEF astfel încât E; F 2 Ext (XY KL) :
b) Construi¸ti paralelogramul FEAB astfel încât A;B 2 Ext (KLEF) :
2.4.4 Trapezul
De…ni¸tia 2.4.4.1 Patrulaterul nedegenerat pentru care doar dreptele suport
a dou¼a laturi opuse sunt paralele se nume¸ste trapez.
- Cum construim un trapez?
Pasul 1. Folosind echerul construim dou¼a drepte paralele diferite ca în
desenul:

2.5. EVALUARE 61
Pasul 2. Folosind echerul construim alte dou¼a drepte neparalele diferite ca
în desenul:
Pasul 3. ¸Stergând dreapta ajut¼atoare ¸si liniile ap¼arute în plus, ob¸tinem
trapezul MATE din desenul:
M
A
T
E
Int(MATE)
Ext(MATE)
Din construc¸tie rezult¼a c¼a MAkTE ¸si AT , ME:
Tema 2.4.4.1 Construi¸ti cinci trapeze în diferite pozi¸tii ¸si colora¸ti diferit
interiorul, frontiera ¸si exteriorul acestora.
Tema 2.4.4.2 Consider¼am triunghiul nedegenerat ABC:
a) Construi¸ti trapezul ABEF (AB k EF) astfel încât E; F 2 Ext (ABC) :
b) Construi¸ti trapezul BCGH (BH k GC) astfel încât G;H 2 Ext (ABC) :
Tema 2.4.4.3 Consider¼am trapezul ABKL (AB k KL) :
a) Construi¸ti trapezul ABEF (AF k ED) astfel încât E; F 2 Ext (ABKL) :
b) Construi¸ti paralelogramul BEXY astfel încât X; Y 2 Ext (ABEF) :
2.5 Evaluare
Testul 2.5.1
1. Construi¸ti un triunghi nedegenerat ABC ¸si colora¸ti cu galben interiorul
s¼au:
a) Fixa¸ti M 2 ]A;B[ ¸si N 2 ]B;C[ :
b) Construi¸ti segmentele închise [C;M] ¸si [N;A] :
c) Nota¸ti cu P punctul de intersec¸tie al dreptelor CM ¸si AN:

d) Nota¸ti cu Q punctul de interseçtie al dreptelor BP ¸si AC:
e) Construi¸ti triunghiul nedegenerat MNQ ¸si colora¸ti cu albastru interiorul
s¼au:
2. Construi¸ti patrulaterul nedegenerat PQRS ¸si …xa¸ti M 2 Ext (PQRS) :
a) Construi¸ti dreptele care con¸tin punctele P; Q;R respectiv S ¸si sunt con-
curente în punctul M:
b) Colora¸ti cu ro¸su punctele interseçtiei dintre dreapta MR ¸si patrulaterul
nedegenerat PQRS
c) Construi¸ti paralela la dreapta QR care con¸tine punctul S.
d) Construi¸ti triunghiul PQR ¸si colora¸ti diferit Int (PQR) ¸si Int (PRS) :
3. Construi¸ti paralelogramul ABCD ¸si …xa¸ti M 2 Int (ABCD).
a) Construi¸ti paralelele la dreptele suport ale laturilor paralelogramului care
con¸tin punctul M:
b) Nota¸ti cu U; V;X respectiv T punctele de interseçtie cu laturile [A;B] ;
[B;C] ; [C;D] respectiv [A;D] :
c) Câte paralelograme apar? Enumera¸ti-le.
4. Construi¸ti paralelogramul EFGH ¸si …xa¸ti A 2 Ext (EFGH) :
con¸tin punctul A:
b) Nota¸ti cu M;N; P respectiv Q punctele de interseçtie cu dreptele EF; FG;
GH respectiv EH:
5. Construi¸ti un un triunghi nedegenerat ABC:
a) Construi¸ti paralela a la drepata BC care con¸tine punctul A:
b) Construi¸ti paralela b la drepata AC care con¸tine punctul B:
c) Construi¸ti paralela c la drepata BA care con¸tine punctul C:
d) Face¸ti nota¸tiile: fMg = c b; fNg = b a ¸si fPg = c a:
e) Câte triunghiuri apar? Dar paralelograme? Enumera¸ti-le.
6. Construi¸ti triunghiul nedegenerat PQS ¸si …xa¸ti A 2 Int (PQS) :
a) Construi¸ti paralela c la drepata PQ care con¸tine punctul A:
b) Construi¸ti paralela d la drepata QS care con¸tine punctul A:
c) Face¸ti nota¸tiile: fMg = PS c; fNg = QS c; fCg = PS d ¸si fBg =
PQ d:
e) Câte triunghiuri apar? Dar trapeze? Dar paralelograme? Enumera¸ti-le.
7. Construi¸ti triunghiul nedegenerat ABC ¸si …xa¸ti M 2 ]B;C[ :
a) Construi¸ti paralela c la dreapta AB care con¸tine punctul M:
b) Construi¸ti paralela b la dreapta AC care con¸tine punctul M:
c) Face¸ti nota¸tiile: fNg = AC c ¸si fPg = AB b:
8. Construi¸ti trapezul ABCD (AB k CD) ¸si …xa¸ti M;N 2 ]D;C[ astfel
încât M6= N ¸si N 2 [M;C] :
a) Construi¸ti paralela m la dreapta BC care con¸tine punctul M:
b) Construi¸ti paralela n la dreapta AD care con¸tine punctul N:
c) Face¸ti nota¸tiile: fPg = m n; fEg = m AD ¸si fFg = BC n:
e) Câte triunghiuri apar? Dar hexagoane? Enumera¸ti-le.
9. Fie trapezul ABCD (AB k CD) :

2.5. EVALUARE 63
a) Construi¸ti paralelogramul ABEF astfel încât E; F 2 Ext (ABCD) :
b) Construi¸ti paralelogramul CDGH astfel încât G;H 2 Ext (ABCD) :
c) Folosind echerul, veri…ca¸ti dac¼a EFGH este trapez.
Testul 2.5.2
1. Construi¸ti un triunghi nedegenerat DEC ¸si …xa¸ti R 2 Int (DEC) :
a) Construi¸ti segmentele închise [R;D] ; [R;E] ¸si [R;C] :
b) Nota¸ti cu P punctul de interseçtie al dreptelor RD ¸si EC:
c) Nota¸ti cu S punctul de interseçtie al dreptelor RE ¸si DC:
d) Nota¸ti cu Q punctul de interseçtie al dreptelor RC ¸si DE:
e) Construi¸ti triunghiul nedegenerat PSQ ¸si colora¸ti cu galben interiorul
s¼au:
2. Construi¸ti patrulaterul nedegenerat ABCD ¸si …xa¸ti N 2 Int (ABCD) :
a) Construi¸ti dreptele care con¸tin punctele A;B;C respectiv D ¸si sunt con-
curente în punctul N:
b) Colora¸ti cu albastru punctele interseçtiei dintre dreapta DN ¸si patru-
laterul nedegenerat ABCD:
c) Construi¸ti paralela la dreapta BC care con¸tine punctul A.
d) Construi¸ti triunghiul BCD ¸si colora¸ti diferit Int (ABD) ¸si Int (BCD) :
3. Construi¸ti paralelogramele XY ZT ¸si XY CD.
a) Construi¸ti segmentele închise [T;D] ¸si [Z;C] :
b) Folosind echerul, veri…ca¸ti dac¼a ZTDC este paralelogram.
4. Construi¸ti paralelogramul ABCD ¸si …xa¸ti M 2 Int (ABCD) :
con¸tin punctul M:
b) Nota¸ti cu R; S; P respectiv T punctele de interseçtie cu laturile [A;B] ;
[B;C] ; [C;D] respectiv [D;A] :
5. Construi¸ti un triunghi nedegenerat MNP:
a) Construi¸ti paralela m la drepata NP care con¸tine punctul M:
b) Construi¸ti paralela n la drepata MP care con¸tine punctul N:
c) Construi¸ti paralela p la drepata MN care con¸tine punctul P:
d) Face¸ti nota¸tiile: fAg = p n; fBg = p m ¸si fCg = m n:
e) Câte triunghiuri apar? Dar paralelograme? Enumera¸ti-le.
6. Construi¸ti triunghiul nedegenerat PQS ¸si …xa¸ti punctele diferite A;B;C;
D 2 [P; S] :
a) Construi¸ti paralelele la drepata SQ care con¸tin punctele A;B;C ¸si D:
b) Câte triunghiuri apar? Dar trapeze? Dar paralelograme?
c) Folosind nota¸ti adecvate, enumera¸ti-le.
7. Construi¸ti triunghiul nedegenerat MAC ¸si …xa¸ti P 2 ]A;C[ :
a) Construi¸ti paralela x la dreapta AM care con¸tine punctul P:
b) Construi¸ti paralela y la dreapta MC care con¸tine punctul P:
c) Face¸ti nota¸tiile: fXg = AM y ¸si fY g = MC x:

8. Construi¸ti trapezul MNPQ (PQ k MN) ¸si …xa¸ti A;B 2 ]P;Q[ astfel
încât A6= B ¸si A 2 [P;B] :
a) Construi¸ti paralela a la dreapta MQ care con¸tine punctul A:
b) Construi¸ti paralela b la dreapta NP care con¸tine punctul B:
c) Face¸ti nota¸tiile: fRg = a b; fSg = a NP ¸si fTg = MQ b:
e) Câte triunghiuri apar? Dar hexagoane? Enumera¸ti-le.
9. Fie paralelogramul ABCD:
a) Construi¸ti paralelogramul ABEF astfel încât E; F 2 Ext (ABCD) :
b) Construi¸ti paralelogramul DCGH astfel încât G;H 2 Ext (ABCD) :
c) Folosind echerul, veri…ca¸ti dac¼a EFHG este paralelogram.
2.6 Semiplane
De…ni¸tia 2.6.1 Intersec¸tia nevid¼a dintre un semispa¸tiu deschis ¸si un plan se
nume¸ste semiplan deschis. Închiderea unui semiplan deschis se nume¸ste semi-
plan închis.
Consider¼am desenul:
d d p
d - p
Dac¼a d este o dreapt¼a inclus¼a în planul ; atunci …gurile geometrice deschise
¸si disjuncte d ¸si d sunt semiplane deschise opuse care au drept frontier¼a
dreapta d:
Axioma a VIII-a
Dac¼a d ¸si sunt dou¼a drepte incluse în planul astfel încât
d = ; atunci d sau d:
Propozi¸tia 2.6.1 Dac¼a d este o dreapt¼a inclus¼a în planul iar P 2 d ¸si
Q 2 d; atunci PQ d este format¼a dintr-un singur punct.

2.6. SEMIPLANE 65
Demonstra¸tie
Folosind Axioma a VIII-a rezult¼a c¼a PQ d6= : Dac¼a PQ d ar …
format¼a din cel pu¸tin dou¼a puncte distincte, atunci ar exista cel pu¸tin
dou¼a drepte distincte care s¼a con¸tin¼a punctele distincte P ¸si Q:
Astfel, folosind Axioma a IV-a am ajunge la o contradic¸tie. q.e.d.
De re¸tinut: Un semiplan este bine determinat de dreapta frontier¼a ¸si un
punct arbitrar care nu apar¸tine acesteia.
.M
d
Am construit semiplanul deschis care are drept frontier¼a dreapta d ¸si care
con¸tine punctul M: Acesta se noteaz¼a ]d;M :
.
A
B
P
Am construit semiplanul deschis care are drept frontier¼a dreapta AB ¸si care
con¸tine punctul P: Acesta se noteaz¼a ]AB; P :

Exemplul 2.6.3 Consider¼am semiplanele deschise egale din desenul:
.
A
B
P
.Q d
d
Avem egalit¼a¸tile: ]AB; P = ]d; P = ]AB;Q = ];Q :
.N
d
Am construit semiplanul închis care are drept frontier¼a dreapta ¸si care
con¸tine punctul N: Acesta se noteaz¼a [;N :
.
Q
P
A
Am construit semiplanul închis care are drept frontier¼a dreapta PQ ¸si care
con¸tine punctul A: Acesta se noteaz¼a [PQ;A :

2.7. SEMIDREPTE 67
Exemplul 2.6.3 Consider¼am semiplanele închise egale din desenul:
a
.
.
Q
P
L
A
.S
b
Avem egalit¼a¸tile: [PQ;A = [a;A = [PQ;L = [b; S = [a;L = [PQ; S =
[b;A :
Tema 2.6.1 Construi¸ti trei semiplane deschise ¸si trei semiplane închise
folosind diferite nota¸tii. Colora¸ti diferit dreptele frontier¼a ¸si interioarele aces-
tora.
Tema 2.6.2 Construi¸ti dou¼a semiplane deschise egale ¸si trei semiplane în-
chise egale folosind diferite nota¸tii.
Tema 2.6.3 Fixa¸ti în planul foii de caiet punctele diferite A;B;C ¸si D:
a) Construi¸ti semiplanul închis care are drept frontier¼a dreapta AB ¸si care
con¸tine punctul C:
b) Construi¸ti opusul semiplanul deschis care are drept frontier¼a dreapta BC
care con¸tine punctul D:
c) Colora¸ti cu albastru intersec¸tia semiplanelor construite la punctele a) ¸si
b).
Tema 2.6.4 Construi¸ti în planul foii de caiet triunghiul nedegenerat ABC:
a) Fixa¸ti punctele distincte E ¸si F care apar¸tin opusului semiplanului deschis
care are drept frontier¼a dreapta BC ¸si care con¸tine punctul A:
b) Construi¸ti dreptele EA;EB ¸si EC:
c) Construi¸ti paralelele la dreptele suport ale laturilor triunghiului ABC care
con¸tin punctul F:
2.7 Semidrepte
De…ni¸tia 2.7.1 Intersec¸tia nevid¼a dintre un semiplan deschis ¸si o dreapt¼a
inclus¼a în planul din care face parte semiplanul se nume¸ste semidreapt¼a de-
schis¼a.

Consider¼am desenul:
P
d d p
d - p
P d
P - d
Dac¼a este o dreapt¼a inclus¼a în planul = d [ d [ d; atunci …gurile
geometrice deschise ¸si disjuncte P ¸si P sunt semidrepte deschise opuse care
au drept frontier¼a punctul P:
Închiderea unui semidrepte deschise se nume¸ste semidreapt¼a închis¼a.
De re¸tinut: O semidreapt¼a este bine determinat¼a de punctul frontier¼a ¸si
un punct arbitrar diferit de acesta.
A
B
Am construit semidreapta deschis¼a care are drept frontier¼a punctul A ¸si care
con¸tine punctul B: Acesta se noteaz¼a ]A;B :
A
A d
B
M
N

2.7. SEMIDREPTE 69
Avem egalit¼a¸tile: ]A;B = ]A;M = ]B;N = dA = ]B;M = ]A;N :
P
Q
Am construit semidreapta închis¼a care are drept frontier¼a punctul P ¸si care
con¸tine punctul Q: Aceasta se noteaz¼a [P;Q :
P
Q
A
B
A d
Avem egalit¼a¸tile: [P;A = [P;Q = [P;B = A:
Tema 2.7.1 Construi¸ti trei semidrepte deschise ¸si trei semidrepte închise
folosind diferite nota¸tii.
Tema 2.7.2 Construi¸ti dou¼a semidrepte deschise egale ¸si trei semidrepte
închise egale folosind diferite nota¸tii.
Tema 2.7.3 Consider¼am punctele distincte A;B; F; G;H ¸si P.
a) Construi¸ti semidreptele închise care au drept frontier¼a punctul P ¸si care
con¸tin punctele A;B; F;G ¸si H:
b) Construi¸ti opusa semidreptei deschise care are drept frontier¼a punctul A
¸si care con¸tine punctul F:
c) Construi¸ti dou¼a puncte diferite X ¸si Y care apar¸tin semidreptei deschise
care are drept frontier¼a punctul G care con¸tine punctul H:
Tema 2.7.4 Construi¸ti în planul foii de caiet triunghiul nedegenerat MNP:
a) Fixa¸ti punctul E 2 ]N; P .
b) Fixa¸ti punctul F 2 ]P;N .
c) Construi¸ti semidreptele [A;E ¸si [A; F :
d) Ha¸sura¸ti interiorul semiplanului ]EF;A :
e) Indica¸ti trei semiplane închise egale cu [BC;A :
f) Indica¸ti trei semidrepte închise egale cu [E;B :

De re¸tinut: Dreapta care include o semidreapt¼a se nume¸ste suportul semi-
dreptei respective.
2.7.1 Unghiuri
De…ni¸tia 2.7.1.1 Figura geometric¼a plan¼a, închis¼a ¸si convex¼a a c¼arei fron-
tier¼a este reuniunea a dou¼a semidrepte închise se nume¸ste unghi. Semidreptele
frontier¼a se numesc laturile unghiului, iar punctul frontier¼a al laturilor se nu-
me¸ste vârful unghiului.
Unghiurile care au interiorul egal cu mul¸timea vid¼a se numesc unghiuri de-
generate, iar cele care au interiorul diferit de mul¸timea vid¼a se numesc unghiuri
nedegenerate.
A
O
B
Am construit unghiul degenerat AOB care se nume¸ste unghi nul.
Punctul O este vîrful unghiului iar semidreptele închise [O;A ¸si [O;B sunt
laturile unghiului.
A
O
B
Int(ÐAOB)
Ext(ÐAOB)
Am construit unghiul nedegenerat AOB.
Punctul O este vîrful unghiului iar semidreptele închise [O;A ¸si [O;B sunt
laturile unghiului.
P
Q
M
Ext(ÐMPQ)
Int(ÐMPQ)

2.8. EVALUARE 71
Am construit unghiul nedegenerat MPQ.
Punctul P este vîrful unghiului iar semidreptele închise [P;M ¸si [P;Q sunt
laturile unghiului.
Int(ÐLMN)
L M N
Ext(ÐLMN)
Am construit unghiul nedegenerat LMN care se nume¸ste unghi plat sau
unghi alungit.
Punctul M este vîrful unghiului iar semidreptele închise [M;L ¸si [M;N sunt
laturile unghiului.
Tema 2.7.1.1 Construi¸ti dou¼a perechi de unghiuri nedegenerate egale.
Tema 2.7.1.2 Fixa¸ti cinci puncte diferite C;D;E; F ¸si G .
a) Construi¸ti unghiul DEF:
b) Construi¸ti unghiul GEF:
c) Colora¸ti cu ro¸su DEF GEF:
Tema 2.7.1.2 Construi¸ti unghiul plat AOB.
a) Construi¸ti trapezul PQRS (PQ k RS) care s¼a …e inclus în Int (AOB) :
b) Construi¸ti paralelogramaul MY TE care s¼a …e inclus în Ext (AOB) :
c) Construi¸ti ¸si colora¸ti cu albastru unghiul TAY:
2.8 Evaluare
Testul 2.8.1
1. Consider¼am un semiplan deschis care are drept frontier¼a dreapta d ¸si care
con¸tine punctul A:
a) Construi¸ti punctele diferite M;N; P;Q 2 ]d;A
b) Construi¸ti triunghiul nedegenerat PQM:
c) Construi¸ti semidreapta închis¼a [N;A :
2. Consider¼am paralelogramul ABCD:
a) Construi¸ti un trapez PQRS (PQ k RS) inclus în ]BC;A :
b) Construi¸ti un pentagon nedegenerat LMNXZ inclus în ]AD;B :
3. Consider¼am hexagonul nedegenerat ABCDEF:
a) Fixa¸ti M 2 Ext (ABCDEF) :

b) Construi¸ti semidreptele închise care au drept frontier¼a punctul M ¸si care
con¸tin vârfurile pentagonului.
4. Consider¼am unghiul nedegenerat ¸si neplat TY F:
a) Fixa¸ti P; Q;R 2 Int (TY F) :
b) Construi¸ti unghiul QRP:
c) Colora¸ti cu galben Int (TY F QRP) :
d) Colora¸ti cu albastru Fr (TY F QRP) :
5. Consider¼am triunghiul nedegenerat NFS ¸si T 2 ]F; S[ :
a) Construi¸ti semidreapta închis¼a [N; T :
b) Fixa¸ti punctele diferite A;B 2 ]T;N
c) Construi¸ti semidreptele închise [F;A ¸si [F;B :
d) Construi¸ti semidreptele închise [S;A ¸si [S;B :
e) Câte triunghiuri apar? Enumera¸ti-le.
6. Consider¼am pentagonul ABCDE astfel încât AB k DE:
a) Construi¸ti unghiul BED:
b) Construi¸ti unghiul DAC:
c) Construi¸ti semidreptele închise [B;A ¸si ]C;D :
Testul 2.8.2
1. Consider¼am un semiplan închis care are drept frontier¼a dreapta XY ¸si
care con¸tine punctul P:
a) Construi¸ti punctele diferite M;N; P;Q 2 ]XY; P
b) Construi¸ti patrulaterul nedegenerat PQMN:
c) Construi¸ti semidreapta deschis¼a ]P;X :
2. Consider¼am trapezul PQRS (PQ k RS) :
a) Construi¸ti un paralelogram ABCD inclus în ]RS; P :
b) Construi¸ti un pentagon nedegenerat LTNMZ inclus în ]CD;A :
3. Consider¼am hexagonul nedegenerat MNPQRS:
a) Fixa¸ti D 2 Ext (MNPQRS) :
b) Construi¸ti semidreptele închise care au drept frontier¼a punctul D ¸si care
con¸tin vârfurile pentagonului.
4. Consider¼am unghiul nedegenerat ¸si neplat BOC:
a) Fixa¸ti P; Q;R 2 Ext (BOC) :
b) Construi¸ti unghiul RQP:
c) Colora¸ti cu albastru Int (BOC RQP) :
d) Colora¸ti cu verde Fr (BOC RQP) :
5. Consider¼am triunghiul nedegenerat ALX ¸si H 2 ]A;X[ :
a) Construi¸ti semidreapta închis¼a [L;H :
b) Fixa¸ti punctele diferite P;Q 2 ]H;L
c) Construi¸ti semidreptele închise [A; P ¸si [A;Q :
d) Construi¸ti semidreptele închise [X; P ¸si [X;Q :
e) Câte triunghiuri apar? Enumera¸ti-le.
6. Consider¼am pentagonul PABFS astfel încât AB k PS:
a) Construi¸ti unghiul BSA:
b) Construi¸ti unghiul FPB:
c) Construi¸ti semidreptele închise [B; P ¸si ]S; F :

2.9. DISCUL 73
2.9 Discul
Instrumentul folosit în continuare este compasul care arat¼a ca în desenul:
De…ni¸tia 2.9.1 Fie O ¸si M dou¼a puncte în plan. Fix¼am vârful compasu-
lui în punctul O ¸si mi¸sc¼am bra¸tele compasului în articula¸tie pân¼a când vârful
creionului cade peste punctul M ca în desenul:
O M
Figura geometric¼a plan¼a, închis¼a ¸si convex¼a care are drept frontier¼a conturul
descris de vârful creionului prin rotirea compasului în jurul punctului O se nu-
me¸ste disc de centru O ¸si raz¼a [O;M] ¸si se noteaz¼a D (O; [O;M]). Dac¼a O = M;
atunci spunem c¼a discul este degenerat.

Fr(D(O,[O,M])) Ext(D(O,[O,M]))
O
M
Int(D(O,[O,M]))
Am construit discul D (O; [O;M]).
Tema 2.9.1 Construi¸ti cinci discuri diferite ¸si colora¸ti diferit interioarele
acestora.
De…ni¸tia 2.9.2 Intersec¸tia nevid¼a dintre un disc ¸si o dreapt¼a se nume¸ste
coard¼a a discului. Coarda care con¸tine centrul discului se nume¸ste diametrul
discului.
B
O M A
d
d
P
N
Segmentul închis [A;B] este coard¼a a discului D (O; [O;M]) iar segmentul
închis [N; P] este diametrul discului D (O; [O;M]) .
Tema 2.9.2 Construi¸ti trei corzi ¸si trei diametre în dou¼a discuri diferite.
2.10 Cercul
De…ni¸tia 2.10.1 Frontiera unui disc de centru O ¸si raz¼a [O;M] se nume¸ste
cerc de centru O ¸si raz¼a [O;M] ¸si se noteaz¼a C (O; [O;M]).
O
M

Matematici pentru incepatori, vol i

Matematici pentru incepatori, vol i

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (16)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Matematici pentru incepatori, vol i

Similar to Matematici pentru incepatori, vol i (20)

Matematici pentru incepatori, vol i