y

1. REGRESI NON LINIER

2. ANALISIS REGRESI
REGRESI LINEAR REGRESI NONLINEAR
REGRESI LINEAR
SEDERHANA
REGRESI LINEAR
BERGANDA
REGRESI
KUADRATIK
REGRESI KUBIK
Membentuk garis lurus Membentuk Garis Lengkung

3. • Regresi non linier adalah suatu metode untuk
mendapatkan model non linier yang menyatakan
hubungan variabel dependen dan variabel
independen
• Regresi nonlinier dapat mengestimasi model
hubungan variabel dependen dan independen dalam
bentuk non linier dengan keakuratan yang lebih baik
daripada regresi linier, karena dalam mengestimasi
model dipakai iterasi algoritma

4. • Secara umum model regresi non linear dapat
dinyatakan dalam persamaan :
  ),(xfy

5. Langkah Analisis
1. Melakukan penaksiran garis regresi untuk memprediksi pola
hubungan antara variabel respon (y) dan variabel prediktor (x). Hal ini
dapat dilakukan dengan melihat scatter plot antara y dan x. Model
linear memiliki kurva yang membentuk garis lurus, sedangkan untuk
model non linear memiliki kurva yang membentuk garis lengkung.
Bentuk persamaan matematis model regresi non linear ada beberapa
jenis, diantaranya :
Polinomial, contoh : (kuadratik)
(kubik)
Exponensial, contoh :
2. Melakukan transformasi dari bentuk non linier ke bentuk linier untuk
mendapatkan linieritas dari hubungan non linier
  2
210 xxy
  3
3
2
210 xxxy
 
 x
ey 1
0

6. Continued…
Beberapa bentuk model nonlinier yang dapat dan tidak dapat
ditransformasikan ke model linier adalah sebagai berikut :
Model Persamaan Bentuk Linier
Linear Y = a + bx -
Quadratik Y = a + bx + cx2
-
Cubic Y = a + bx + cx2
+ dx3
-
Logarithm Y = a + b ln x -
Inverse Y = a + b/x -
Compound Y = abx
ln Y = ln a + x ln b
Power Y = axb
ln Y = ln a + b ln x
S Y = ea+b/t
ln Y = a + b/t
Growth Y = ea+bx
ln Y = a + bx
Exponential Y = a(ebx
) ln Y = ln a + bx
Logistic Y = (1/u + abx
)-1
ln (1/Y-1/u) = ln a + x ln b

7. Continued…
• Selanjutnya setelah diperoleh persamaan linier dari
hasil transformasi maka langkah analisisnya sama
dengan regresi linier.
Namun Jika suatu model tidak dapat dilinearkan,
maka nilai β dapat diduga dengan dengan cara
meminimumkan jumlah kuadrat residual. Jumlah
kuadrat ini dapat diminimukan jika turunan pertama
terhadap β sama dengan nol atau
 
  0
),(
),(
),(
1
2
1












i
n
i
ii
n
i
ii
xf
xfy
SSE
xfySSE

8. Continued…
• Hasil turunan pertama terhadap β sama dengan nol
membentuk suatu sistem persamaan non-linear
yang tidak dapat diselesaikan secara langsung tetapi
dapat didekati secara iteratif dengan menggunakan
metode numerik, salah satu metode numerik yang
dapat menyelesaikan hal ini adalah metode Gauss-
Newton.
• Metode Gauss-Newton ini bekerja dengan
menggunakan pendekatan deret Taylor dari fungsi
sampai suku kedua.

SSE

9. Continued…
• Nilai dugaan β pada iterasi ke i+1 adalah :
dimana
iiiiii e')(ˆˆ 1'
1  
 





















k
nnn
k
k
xfxfxf
xfxfxf
xfxfxf



















),(
...
),(),(
...
),(
...
),(),(
),(
...
),(),(
10
2
1
2
0
2
1
1
1
0
1
Iterasi dihentikan jika nilai :
ii  ˆˆ
1 
0000.0ˆˆ
1  ii atau

10. Continued…
• Levenberg-Marquardt menyempurnakan metode
Gauss-Newton dengan memasukkan konstanta β
(nilai awal βi+1 yang besarnya berubah-ubah
mengikuti perubahan SSE. Nilai β akan diperkecil
sepersepuluh kali dan iterasi diteruskan jika SSE
turun serta nilai β akan meningkat sepuluh kali dan
kembali ke iterasi awal jika SSE meningkat. Formula
Levenberg-Marquardt adalah :
Analisis ini bisa dilakukan dengan bantuan macro
Minitab atau SPSS
iiiiiiii ediag ')'(ˆˆ 1'
1  
 

11. Prosedur linearisasi ini memiliki kelemahan untuk
masalah-masalah tertentu, yaitu:
1. Proses kekonvergenannya mungkin berjalan
sangat lambat, dengan kata lain dibutuhkan
langkah iterasi yang sangat banyak sebelum
solusinya stabil. Perilaku ini tidak sering, namun
dapat terjadi.
2. Adakalanya solusinya berosilasi, terus berganti-
ganti arah, dan sering menaik turunkan jumlah
kuadrat tersebut, walaupun pada akhirnya solusi
mencapai kestabilan.
3. Proses iterasi tidak konvergen sama sekali atau
bahkan divergen sehingga jumlah kuadrat galat ini
naik terus tanpa batas.

12. Contoh 1
• Suatu penelitian mengetahui bahwa nikotin
menyebabkan gangguan kesehatan berupa karbon
monoksida yang merupakan racun bagi manusia.
Kandungan nikotin dalam rokok digunakan untuk
mengukur karbon monoksida. Oleh karena itu,
nikotin bertindak sebagai variabel prediktor (x) dan
karbon monoksida sebagai variabel respons (y).
Berikut adalah data mengenai jumlah nikotin dalam
rokok dan karbon monoksida yang dihasilkan rokok
pada 25 merek rokok.

13. Data
y x y x y x y x y x
13.6 0.86 15.0 1.04 13.0 1.01 1.5 0.13 15.9 1.01
16.6 1.06 9.0 0.76 14.4 0.90 18.5 1.26 8.5 0.61
23.5 2.03 12.3 0.95 10.0 0.57 12.6 1.08 10.6 0.69
10.2 0.67 16.3 1.12 10.2 0.78 17.5 0.96 13.9 1.02
5.4 0.40 15.4 1.02 9.5 0.74 4.9 0.42 14.9 0.82
Y = karbon monoksida
X = kadar nikotin

14. Penyelesaian
• Membuat plot antara variabel dependen dan variabel
independen
nikotin (mg)
karbonmonoksida(mg)
2.01.51.00.50.0
30
25
20
15
10
5
0
S 1.82845
R-Sq 85.7%
R-Sq(adj) 85.1%
Fitted Line Plot
karbon monoksida (mg) = 1.665 + 12.40 nikotin (mg)

15. Model Kuadratik
n iko t in (m g )
karbonmonoksida(mg)
2.01.51 .00 .50 .0
2 5
2 0
1 5
1 0
5
0
S 1.58336
R -S q 89.8%
R -S q (ad j) 88.8%
F itte d L ine P lo t
ka rbo n m o no ksida (m g) = - 1.7 8 4 + 2 0 .11 niko tin (m g)
- 3.7 3 0 niko tin (m g)* * 2

16. Model Kubik
n iko t in (m g )
karbonmonoksida(mg)
2.01.51 .00 .50 .0
2 5
2 0
1 5
1 0
5
0
S 1.61137
R -S q 89.9%
R -S q (ad j) 88.4%
F itte d L ine P lo t
ka rbo n m o no ksida (m g) = - 0.8 5 8 + 1 5 .95 niko tin (m g)
+ 1.0 3 7 niko tin (m g)* * 2 - 1 .47 1 nikotin (m g)* * 3

17. Continued…
• Dari fitted line plot di atas dapat diketahui
nilai-nilai sebagai berikut :
Dari hasil fitted line plot diatas dapat diketahui
bahwa model terbaik adalah model kuadratik dengan
nilai S yang paling kecil dan nilai R-Sq (adj) yang
besar.
Statistik linier Kuadratik Kubik
S 1.82845 1.58336 1.61137
R-Sq 85.7% 89.8% 89.9%
R-Sq(adj) 85.1% 88.8% 88.4%

18. Continued…
• Untuk tahapan pada ANOVA adalah sebagai
berikut :
1.mendapatkan nilai kuadrat dari variabel
nikotin.
2.meregresikan variabel karbon monoksida
dengan variabel nikotin dan nikotin^2
• Hasil dari output minitab adalah sebagai
berikut :

19. Continued…
Regression Analysis: karbon monoksida versus nikotin (mg), nikotin^2
The regression equation is
karbon monoksida (mg) = - 1.78 + 20.1 nikotin (mg) - 3.73 nikotin^2
Predictor Coef SE Coef T P
Constant -1.784 1.453 -1.23 0.233
nikotin (mg) 20.111 2.775 7.25 0.000
nikotin^2 -3.730 1.267 -2.94 0.007
S = 1.58336 R-Sq = 89.8% R-Sq(adj) = 88.8%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Regression 2 484.00 242.00 96.53 0.000
Residual Error 22 55.15 2.51
Total 24 539.15
Source DF Seq SS
nikotin (mg) 1 462.26
nikotin^2 1 21.74
Unusual Observations
karbon
nikotin monoksida
Obs (mg) (mg) Fit SE Fit Residual St Resid
3 2.03 23.500 23.670 1.536 -0.170 -0.44 X
16 0.13 1.500 0.768 1.136 0.732 0.66 X
19 0.96 17.500 14.086 0.371 3.414 2.22R
R denotes an observation with a large standardized residual.
X denotes an observation whose X value gives it large influence.

20. Continued…
• Pada fitted line plot dan hasil regresi dengan
menggunakan variabel yang dikuadratkan, hasil
R-Sq, S, dan R-Sq (adj) adalah sama. Sehingga
dapat disimpulkan bahwa regresi kuadratik lebih
baik daripada regresi linier biasa dengan satu
variabel biasa tanpa di kuadratkan.
• Dari hasil uji serentak, dapat diketahui bahwa
persamaan regresinya diterima dengan melihat
nilai p value = 0.

21. TERIMA KASIH