Ομογενή συστήματα Ειδικοί Πίνακες Πράξεις

1. Omogen Sust mata
Grammik 'Algebra
Omogen sust mata
Prˆxeic me PÐnakec
Tm ma Hlektrolìgwn Mhqanik¸n kai Mhqanik¸n Upologist¸n
Panepist mio JessalÐac
13 OktwbrÐou 2014

2. Omogen Sust mata
Je¸rhma
An v eÐnai lÔsh enìc sust matoc Ax Æ 0 tìte kai to
®v eÐnai lÔsh tou Ðdiou sust matoc ìpou ® eÐnai
ènac opoiosd pote pragmatikìc arijmìc.

3. Omogen Sust mata
Je¸rhma
An v eÐnai lÔsh enìc sust matoc Ax Æ 0 tìte kai to
®v eÐnai lÔsh tou Ðdiou sust matoc ìpou ® eÐnai
ènac opoiosd pote pragmatikìc arijmìc.
Apìdeixh
v lÔsh tou Ax Æ 0

4. Omogen Sust mata
Je¸rhma
An v eÐnai lÔsh enìc sust matoc Ax Æ 0 tìte kai to
®v eÐnai lÔsh tou Ðdiou sust matoc ìpou ® eÐnai
ènac opoiosd pote pragmatikìc arijmìc.
Apìdeixh
v lÔsh tou Ax Æ 0
)Av Æ 0

5. Omogen Sust mata
Je¸rhma
An v eÐnai lÔsh enìc sust matoc Ax Æ 0 tìte kai to
®v eÐnai lÔsh tou Ðdiou sust matoc ìpou ® eÐnai
ènac opoiosd pote pragmatikìc arijmìc.
Apìdeixh
v lÔsh tou Ax Æ 0
)Av Æ 0)®Av Æ 0

6. Omogen Sust mata
Je¸rhma
An v eÐnai lÔsh enìc sust matoc Ax Æ 0 tìte kai to
®v eÐnai lÔsh tou Ðdiou sust matoc ìpou ® eÐnai
ènac opoiosd pote pragmatikìc arijmìc.
Apìdeixh
v lÔsh tou Ax Æ 0
)Av Æ 0)®Av Æ 0)A®v Æ 0

7. Omogen Sust mata
Je¸rhma
An v eÐnai lÔsh enìc sust matoc Ax Æ 0 tìte kai to
®v eÐnai lÔsh tou Ðdiou sust matoc ìpou ® eÐnai
ènac opoiosd pote pragmatikìc arijmìc.
Apìdeixh
v lÔsh tou Ax Æ 0
)Av Æ 0)®Av Æ 0)A®v Æ 0)A(®v) Æ 0

8. Omogen Sust mata
Je¸rhma
An v eÐnai lÔsh enìc sust matoc Ax Æ 0 tìte kai to
®v eÐnai lÔsh tou Ðdiou sust matoc ìpou ® eÐnai
ènac opoiosd pote pragmatikìc arijmìc.
Apìdeixh
v lÔsh tou Ax Æ 0
)Av Æ 0)®Av Æ 0)A®v Æ 0)A(®v) Æ 0
)®v eÐnai lÔsh tou Ax Æ 0.

9. Omogen Sust mata
Omogen Sust mata
Orismìc
'Ena sÔsthma lègetai omogenèc an ìloi oi stajeroÐ ìroi tou
(dhlad oi ìroi tou dexioÔ mèlouc tou sust matoc) eÐnai mhdèn.

10. Omogen Sust mata
Omogen Sust mata
Orismìc
'Ena sÔsthma lègetai omogenèc an ìloi oi stajeroÐ ìroi tou
(dhlad oi ìroi tou dexioÔ mèlouc tou sust matoc) eÐnai mhdèn.

11. Omogen Sust mata
Omogen Sust mata
Orismìc
'Ena sÔsthma lègetai omogenèc an ìloi oi stajeroÐ ìroi tou
(dhlad oi ìroi tou dexioÔ mèlouc tou sust matoc) eÐnai mhdèn.
Je¸rhma
An èna sÔnolo dianusmˆtwn eÐnai lÔsh enìc omogenoÔc
sust matoc tìte kai kˆje grammikìc sunduasmìc touc eÐnai lÔsh
tou.

12. Omogen Sust mata
Omogen Sust mata
Orismìc
'Ena sÔsthma lègetai omogenèc an ìloi oi stajeroÐ ìroi tou
(dhlad oi ìroi tou dexioÔ mèlouc tou sust matoc) eÐnai mhdèn.
Je¸rhma
An èna sÔnolo dianusmˆtwn eÐnai lÔsh enìc omogenoÔc
sust matoc tìte kai kˆje grammikìc sunduasmìc touc eÐnai lÔsh
tou.
Avi Æ 0, i Æ 1, . . . ,n ¡!A(
Xn
i
®ivi) Æ 0, 8®i 2 R

13. Omogen Sust mata
'Askhsh
To ginìmeno dÔo ˆnw trigwnik¸n pinˆkwn eÐnai ˆnw
trigwnikìc pÐnakac.

14. Omogen Sust mata
'Askhsh
To ginìmeno dÔo ˆnw trigwnik¸n pinˆkwn eÐnai ˆnw
trigwnikìc pÐnakac.
LÔsh
'Estw i È j,
ci,j Æ ai,1b1,jÅ. . .ai,jbj,jÅ. . .Åai,ibi,jÅ. . .ai,nbn,j

15. Omogen Sust mata
'Askhsh
To ginìmeno dÔo ˆnw trigwnik¸n pinˆkwn eÐnai ˆnw
trigwnikìc pÐnakac.
LÔsh
'Estw i È j,
ci,j Æ ai,1b1,jÅ. . .ai,jbj,jÅ. . .Åai,ibi,jÅ. . .ai,nbn,j Æ 0.

16. Omogen Sust mata
OrismoÐ
Tautotikìc PÐnakac (I) èqei monˆdec sthn kÔria diag¸nio kai
mhdenikˆ ìla ta ektìc kurÐac diagwnÐou stouqeÐa
tou. (Ii,j Æ 0 8i6Æ j, Ii,i Æ 1 8i)
Diag¸nioc PÐnakac (D) èqei mhdenikˆ ìla ta ektìc kurÐac
diagwnÐou stoÐqeia tou. (Di,j Æ 0, 8i6Æ j)
Anw(kˆtw) Trigwnikìc PÐnakac (U(L)) Kˆje pÐnakac pou èqei
mhdenikˆ ìla ta stoiqeÐa tou ³
kˆtw(ˆnw) ´
thc kurÐac
diagwnÐou stoiqeÐa tou. (Ui,j
Ui,j
Æ 0, 8i È (Ç)j)
PÐnakac Antimetˆjeshc (P) prokÔptei apo enallagèc gramm¸n
enìc tautotikoÔ pÐnaka.
Jemelei¸dhc PÐnakac (Ek,l(p)) tautotikìc pÐnakac o opoÐoc èqei
to stoiqeÐo tou sthn jèsh k, l Ðso me p.

17. Omogen Sust mata
'Askhsh
Perigrˆyte to ginìmeno (apì dexiˆ kai apì
aristerˆ) enìc pÐnaka A me
1. ton tautotikì pÐnaka I

18. Omogen Sust mata
'Askhsh
Perigrˆyte to ginìmeno (apì dexiˆ kai apì
aristerˆ) enìc pÐnaka A me
1. ton tautotikì pÐnaka I o Ðdioc o pÐnakac

19. Omogen Sust mata
'Askhsh
Perigrˆyte to ginìmeno (apì dexiˆ kai apì
aristerˆ) enìc pÐnaka A me
1. ton tautotikì pÐnaka I o Ðdioc o pÐnakac
2. ènan diag¸nio pÐnaka D

20. Omogen Sust mata
'Askhsh
Perigrˆyte to ginìmeno (apì dexiˆ kai apì
aristerˆ) enìc pÐnaka A me
1. ton tautotikì pÐnaka I o Ðdioc o pÐnakac
2. ènan diag¸nio pÐnaka D h kˆje gramm (st lh) tou
A pollaplasiˆzetai me to antÐstoiqo diag¸nio stoiqeÐo
tou D
3. me ton pÐnaka P pou prokÔptei apì ton
tautotikì I an antimetajèsoume thn i me thn j
gramm tou.

21. Omogen Sust mata
'Askhsh
Perigrˆyte to ginìmeno (apì dexiˆ kai apì
aristerˆ) enìc pÐnaka A me
1. ton tautotikì pÐnaka I o Ðdioc o pÐnakac
2. ènan diag¸nio pÐnaka D h kˆje gramm (st lh) tou
A pollaplasiˆzetai me to antÐstoiqo diag¸nio stoiqeÐo
tou D
3. me ton pÐnaka P pou prokÔptei apì ton
tautotikì I an antimetajèsoume thn i me thn j
gramm tou. o pÐnakac pou prokÔptei apì ton A an
antimetajèsoume thn i me thn j gramm (st lh) tou.

22. Omogen Sust mata
Parˆdeigma
AÆ
0
BB@
1
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
CCA

23. Omogen Sust mata
Parˆdeigma
AÆ
0
BB@
1
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
CCA
DÆ
0
2 0 0 0
0 ¡1 0 0
0 0 3 0
0 0 0 1
BB@
1
CCA

24. Omogen Sust mata
Parˆdeigma
AÆ
0
BB@
1
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
CCA
DÆ
0
2 0 0 0
0 ¡1 0 0
0 0 3 0
0 0 0 1
BB@
1
CCA
P Æ
0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0
BB@
1
CCA

25. Omogen Sust mata
Ask seic
Perigrˆyte to ginìmeno (apo dexiˆ kai apo
aristerˆ) enìc pÐnaka A me ton jemelei¸dh pÐnaka
Ek,l(p) tètoion ¸ste
Ei,j Æ
8><
>:
1, i Æ j;
p, i Æ k , j Æ l;
0, eidˆlwc.

26. Omogen Sust mata
Parˆdeigma
AÆ
0
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
BBB@
1
CCCA
ei,j Æ
8><
>:
1, i Æ j;
¡p, i Æ k , j Æ l;
0, eidˆlwc.
E3,1 Æ

27. Omogen Sust mata
Parˆdeigma
AÆ
0
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
BBB@
1
CCCA
ei,j Æ
8><
>:
1, i Æ j;
¡p, i Æ k , j Æ l;
0, eidˆlwc.
E3,1 Æ
0
1 0 0 0
0 1 0 0
¡p 0 1 0
0 0 0 1
BBB@
1
CCCA