ΠΛΗ20
ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2
Μάθηµα 5.1:
Παραστάσεις Γραφηµάτων
∆ηµήτρης Ψούνης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Β.Θεωρία
1. Πίνακας Γειτνίασης
1. Ορισµός για µη κατευθυνόµενα γραφήµατα
2. Ορισµός για κατευθυνόµενα γραφήµατα
3. Θεώρηµα Υπολογισµού Μονοπατιών
2. Πίνακας Προσπτώσεως
1. Ορισµός για µη κατευθυνόµενα γραφήµατα
2. Ορισµός για κατευθυνόµενα γραφήµατα
Γ. Λυµένες Ασκήσεις
∆. Ασκήσεις
1. Ασκήσεις Κατανόησης
2. Ερωτήσεις
3. Εφαρµογές
2∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων

Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Επίπεδο Α
Νέοι Ορισµοί (Πίνακας Γειτνίασης – Πίνακας Πρόσπτωσης)
Ασκήσεις: Ερωτήσεις
Ασκήσεις: Ασκήσεις Κατανόησης
Επίπεδο Β
Ασκήσεις: Εφαρµογές
Επίπεδο Γ
Ασκήσεις: Λυµένες Ασκήσεις
3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων

Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα γειτνίασής του:
B. Θεωρία
1. Πίνακας Γειτνίασης
1. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Ορισµός:
Ο πίνακας γειτνίασης (ή µητρώο σύνδεσης) ενός µη κατευθυνόµενου γραφήµατος
G=(V,E) µε |V|=n είναι ένας n x n τετραγωνικός πίνακας που ορίζεται ως:
Α ,
1, , ∈
0, , ∉
Α
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1

B. Θεωρία
1. Πίνακας Γειτνίασης
2. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
∆ΙΑΙΣΘΗΣΗ: Η µορφή που πρέπει να έχουµε στο µυαλό µας για τον πίνακα γειτνίασης σε απλά µη
κατευθυνόµενα γραφήµατα είναι η ακόλουθη:
• Συµµετρικός ως προς
την κύρια διαγώνιο
κορυφές
κορυφές
Το στοιχείο , είναι
0: αν δεν υπάρχει η ακµή
που συνδέει τις ,
1: αν υπάρχει η ακµή
που συνδέει τις ,
Άθροισµα των στοιχείων της
γραµµής i ισούται µε d
Άθροισµα των στοιχείων της
στήλης j ισούται µε d
Άθροισµα όλων των στοιχεί-
ων του πίνακα ισούται µε
d 2
ΠΛΗΘΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ: n2

Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα γειτνίασής του:
B. Θεωρία
1. Πίνακας Γειτνίασης
2. Ορισµός για Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Ορισµός:
Ο πίνακας γειτνίασης (ή µητρώο σύνδεσης) ενός κατευθυνόµενου γραφήµατος
G=(V,E) µε |V|=n είναι ένας n x n τετραγωνικός πίνακας που ορίζεται ως:
Α ,
1, , ∈
0, , ∉
Α
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1

B. Θεωρία
1. Πίνακας Γειτνίασης
2. Ορισµός για Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
∆ΙΑΙΣΘΗΣΗ: Η µορφή που πρέπει να έχουµε στο µυαλό µας για τον πίνακα γειτνίασης σε
κατευθυνόµενα γραφήµατα είναι η ακόλουθη:
κορυφές
κορυφές
Το στοιχείο , είναι
0: αν δεν υπάρχει η ακµή
από την στην
1: αν υπάρχει η ακµή
από την στην
Άθροισµα των στοιχείων της
γραµµής i ισούται µε έξω
βαθµό κορυφής !"
Άθροισµα των στοιχείων της
στήλης j µε έσω
βαθµό κορυφής !#
Άθροισµα όλων των στοιχεί-
ων του πίνακα ισούται µε
!"
ΠΛΗΘΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ: n2

B. Θεωρία
1. Πίνακας Γειτνίασης
3. Θεώρηµα (υπολογισµού µονοπατιών)
8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Θεώρηµα (υπολογισµού µονοπατιών):
Το στοιχείο $, % του πίνακα Α& (ο πίνακας γειτνίασης υψωµένος στην k δυναµη) δίνει
πόσα µονοπάτια µήκους k υπάρχουν από την κορυφή στην κορυφή
Πόρισµα 1:
Το στοιχείο $, % του πίνακα A ( Α ( ⋯ ( Α& δίνει πόσα µονοπάτια µήκους το πολύ k
υπάρχουν από την κορυφή στην κορυφή
Πόρισµα 2:
Αν ένα µη διαγώνιο στοιχείο $, % του πίνακα A ( Α ( ⋯ ( Α #
(όπου n=|V| ) είναι 0,
τότε το γράφηµα δεν είναι συνδεόµενο.

Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα πρόσπτωσής
B. Θεωρία
2. Πίνακας Πρόσπτωσης
1. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Ορισµός:
Ο πίνακας πρόσπτωσης (ή µητρώο εφαπτόµενων ακµών) ενός µη κατευθυνόµενου
γραφήµατος G=(V,E) µε |V|=n, |E|=m είναι ένας n x m πίνακας που ορίζεται ως:
Α * , +
1, , -./01, 23 3 -/. 4,5 6
0, 773ώ5
6 6 6 6 69
Α
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
6
6
6
6 69

B. Θεωρία
2. Πίνακας Πρόσπτωσης
2. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
∆ΙΑΙΣΘΗΣΗ: Η µορφή που πρέπει να έχουµε στο µυαλό µας για τον πίνακα πρόσπτωσης σε απλά
µη κατευθυνόµενα γραφήµατα είναι η ακόλουθη:
Κορυφές
Ακµές
6 Το στοιχείο , είναι
0: αν η ακµή 6 δεν είναι
άκρο της
1: αν η ακµή 6 είναι
άκρο της
Άθροισµα των στοιχείων της
γραµµής i ισούται µε d
Μία στήλη έχει:
• 2 άσσους
• n-2 µηδενικά
Άθροισµα όλων των στοιχεί-
ων του πίνακα ισούται µε
2
ΠΛΗΘΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ: nm

Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα πρόσπτωσής
B. Θεωρία
2. Πίνακας Πρόσπτωσης
2. Ορισµός για Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Ορισµός:
Ο πίνακας πρόσπτωσης (ή µητρώο εφαπτόµενων ακµών) ενός κατευθυνόµενου
γραφήµατος G=(V,E) µε |V|=n, |E|=m είναι ένας n x m πίνακας που ορίζεται ως:
Α * , :
1, , -./01, 23 3 /;, 4,5 6
<1, , -./01, 23 3 =2/ 5 4,5 6
0, 773ώ5
6 6 6 6 69
Α
0
<1
0
1
<1
0
0
1
<1
1
0
0
1
0
<1
0
0
1
<1
0
6
6
6
6 69

∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 1
12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
∆ιαπιστώστε τι ιδιότητα έχουν τα γραφήµατα που αντιστοιχούν στους ακόλουθους
πίνακες γειτνίασης (θεωρούµε ότι n≥2)
1. Α a , +
0, $ ? %
2, $ %
2. Α a , +
1, $ ? %
0, $ %
3. Α a , :
1, $ % ( 1, % 1, … , C < 1
1, $ % < 1, % 2, … C
0, 773D5

∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 2
13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
∆ιαπιστώστε τι ιδιότητα έχουν τα γραφήµατα που αντιστοιχούν στους ακόλουθους
πίνακες γειτνίασης (θεωρούµε ότι n:άρτιος≥2)
1. Α a ,
0 $ %
1, $ ? %, 1 E $ E , 1 E % E
1, $ ? %, F $ E C, F % E C
0, 773D5
2. Α a , G
0, 1 E $ E , 1 E % E
0, F $ E C, F % E C
1, 773D5

∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 3
14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Να σχεδιαστεί ένα απλό συνδεδεµένο µη-κατευθυνόµενο γράφηµα, χωρίς
ανακυκλώσεις, για το οποίο ο πίνακας γειτνίασης και ο πίνακας πρόσπτωσης είναι ίδιοι
όταν τηρείται η ίδια διάταξη των κορυφών και στους δύο πίνακες (εξαιρείται το τετριµµένο
γράφηµα).

∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 4
15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Για µη-κατευθυνόµενο γράφηµα χωρίς ανακυκλώσεις, αν Μ είναι ο πίνακας
πρόσπτωσης, να εξετάσετε τι αναπαριστούν (i) τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα Μ·ΜΤ,
και (ii) τα µη διαγώνια στοιχεία του Μ·ΜΤ. Υπενθυµίζεται ότι ΜΤ είναι ο ανάστροφος
πίνακας του Μ.

∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 1
16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Στο ακόλουθο γράφηµα εξετάστε αν ισχύουν οι ακόλουθες
Προτάσεις που αφορούν τον πίνακα γειτνίασης Α του γραφήµατος:
1. Το άθροισµα των στοιχείων του πίνακα ισούται µε 8
2. Το άθροισµα των διαγωνίων στοιχείων του Α2 ισούται µε 8
3. Το στοιχείο (2,2) του πίνακα Α3 ισούται µε 2
4. Κανένα στοιχείο του πίνακα Α+Α2 δεν είναι ίσο µε 0

∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 2
17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης και Π ο πίνακας πρόσπτωσης ενός µη κατευθυντικού (µη
κατευθυνόµενου) απλού γραφήµατος.
1. Το άθροισµα των στοιχείων της i-οστης γραµµής του Α είναι ίσο µε το άθροισµα των
στοιχείων της i-οστης στήλης.
2. Ο αριθµός των άσσων του Α είναι άρτιος.
3. Το άθροισµα των στοιχείων της i-οστης γραµµής του Π είναι ίσο µε το άθροισµα των
στοιχείων της i-οστης στήλης.
4. Είναι δυνατόν να υπάρχει στήλη στον Π µόνο µε µηδενικά.

∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 3
18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Έστω Kn το πλήρες γράφηµα µε n ≥ 3 κορυφές, Α ο πίνακας γειτνίασης του Kn, και Μ ο
πίνακας πρόσπτωσης του Kn. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες
όχι;
1. Ο πίνακας γειτνίασης Α περιέχει µόνο 1.
2. Ο αριθµός των στοιχείων του πίνακα πρόσπτωσης Μ είναι ίσος µε n2(n–1) / 2.
3. Ο αριθµός των 0 στον πίνακα πρόσπτωσης Μ είναι ίσος µε 3 .
4. Το αθροισµα των διαγωνίων στοιχείων του Α ισούται µε n

∆. Ασκήσεις
Εφαρµογή 1
19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης του Κ5. Συµβολίζουµε µε dn την κοινή τιµή των διαγωνίων
στοιχείων του Αn και µε an την κοινή τιµή των µη διαγωνίων στοιχείων του Αn. ∆είξτε µε
µαθηµατική επαγωγή ότι ισχύουν τα εξής (α) an+1=dn+3an (β) dn+1=4an

∆. Ασκήσεις
Εφαρµογή 2
20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Γράψτε τον πίνακα γειτνίασης Α για το γράφηµα G που απεικονίζεται στο παρακάτω
σχήµα και εξετάστε τη σχέση
(i) των διαγώνιων στοιχείων του πίνακα Α2
µε τους βαθµούς των κορυφών
του G και
(ii) του ίχνους του πίνακα Α3
(ίχνος ενός πίνακα είναι το άθροισµα των
διαγώνιων στοιχείων του) µε τον αριθµό των τριγώνων (κύκλων µήκους 3)
του G .
V3
V4
V2
V1
V5
G