More Related Content
What's hot
What's hot (16)
Similar to مراجعة مركزة نهائية 2021
Similar to مراجعة مركزة نهائية 2021 (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
مراجعة مركزة نهائية 2021
- 1. 1 2021 ) فثكل م ا ر ا كذتسالا ليلد ( ةزكر لما ة ع جارلما ب ف ر ع ي ه يملعال سداسال فصال ايرلضايت
- 2. 2 2021 جهنلما راكفا مهال عمج الا يه ام ) فثك ال م ال ا س ت ذ ك ا ر د ل ي ل ( ةلئسا نا بالطال يزيزع الو يرازوال ناحتمالا بقل ةريخالا تاعاسال ةدام ت ع ت ب ر يهو اهعضاو رظن ةهجو بسح . ةيرازوال ةلئسالا سفن ةرورضالب ثمتل ال يهف باتكال نع يدبال ت ع ت ب ر
- 3. 3 2021 ) ال م ك ث ف ا ال س ت ذ ك را دليل ( لم زلم ة يليصفتال ال م ح تو ى ةحفصال ةدامال 5 القبطية ةغيصال ىال مال ةبكر دادعالا ادبية ألا ول االابتخ ر أسلئة 5 ا ه تجيت ن و ا ه مي م ع ت و رف ا ومي د ة ن ه ربم يناثال ابتخالا ر ةلئسأ 6 صقانال عطقالو ئفاكمال عطقال ثالثال االابتخ ر أسلئة 6 ةطلتخمال طقالو عو ا ز ئد ال عطقال ا ر ب ع ال االابتخ ر أسلئة 7-12 اهمضهو كذت راه بجي اثالوني ألا ول ال ف ص ل ي ن نع يضمئة ا تر ذش 13 اثني و ف ص ل اول ف ص ل لماش ناحتما سماخال االابتخ ر أسلئة 14 ال زةينم تالدعمالو التفاضل تايادب سداسال االابتخ ر أسلئة 15 ب ي رق ا الت و ةط س وتمال ةم ا اليق و ل ا و ر يتن ه ربم ع باسال ابت ر خ ال ا ةلئسأ 15 الودال مسرو اهناليات أسلئة ف ي ثال وابت ق ي م نماثال االابتخ ر أسلئة 16 ) ف ق ط ال ت ط ب ي ق ي ( اهناليات ىلع ةيلمعال التطبيقات اتالسع االابتخ ر أسلئة 17-22 اهمضهو كذت راه بجي ثالثال الفلص نع يضمئة ا تر ذش 23 ثالثال الفلص ف ي لماش ناحتما شاعال ر االابتخ ر أسلئة 24 بجال رةي الودلل ددحمال يغ ر لماكتال شع ر يداحال االابتخ ر أسلئة 25 المثلثية الودلل ددحمال يغ ر لماكتال شع ر اثالني االابتخ ر أسلئة 26 خو اوصه ددحمال لماكتال شع ر ثالثال االابتخ ر أسلئة 27 لالواغ ةيمتر الودال تالماكتو اقتشمت شع ر ا ر ب ع ال االابتخ ر أسلئة 28 ت ا ح ا سمال رشع س ما خ ال ابت ر خ ال ا ةلئسأ 29 ةفاسمال رشع سد ا سال ابت ر خ ال ا ةلئسأ 30-36 اهمضهو كذت راه بجي ا ر ب ع ال الفلص نع يضمئة ا تر ذش 37 ا ر ب ع ال الفلص ف ي لماش ناحتما شع ر اسالبع االابتخ ر أسلئة 38 ) ت ط ب ي ق ي الا ول الفلص ( الا واغيم نع يضمئة ا تر ذش 39 ف ق ط ب ال ت ط ب ي ق ي صاخ شع ر نماثال االابتخ ر أسلئة 40-42 القبطية ةغيصال ىال مال ةبكر دادعالا ادبية ألا ول االابتخ ر ةبوجأ 43-45 ا ه تجيت ن و ا ه مي م ع ت و رف ا ومي د ة ن ه ا ر ب م يناثال ابتخالا ر ة ب ا و ج أ 46-49 صقان ال ع ا الطق و ئف ا كمال ع ط ق ال ث ا ال ثال ابتخالا ر ة ب ا و ج أ 50-54 ةطلتخمال طقالو عو ا ز ئد ال عطقال ا ر ب ع ال االابتخ ر ةبوجأ 55-59 ينا ث ل ص ف و ل ا و ا ل ص ف لما ش ن ا ح تم ا سم ا خ ال ابتخالا ر ة ب ا و ج أ
- 4. 60-62 ال زةينم تالدعمالو التفاضل تايادب سداسال االابتخ ر ةبوجأ 63-64 الوتق ريب تمالوةطس ةميقالو لور م ب ر ه ن ت ي اسالبع االابتخ ر ةبوجأ 65-68 الودال مسرو اهناليات اسلئة ف ي ثال وابت ق ي م نماثال االابتخ ر ةبوجأ 69-71 ت ا يا ه نال ىلع ةيلمعال تاق ي بطت ال ع سات ال ابتخالا ر ة ب ا و ج أ 72-77 ثالثال الفلص ف ي لماش ناحتما شاعال ر االابتخ ر ةبوجأ 78-80 بجال رةي الودلل ددحمال يغ ر لماكتال شع ر يداحال االابتخ ر ةبوجأ 81-83 المثلثية الودلل ددحمال يغ ر لماكتال شع ر اثالني االابتخ ر ةبوجأ 84-89 ه ص ا ا و خ و ددحمال لم ا كتال رشع ث ا ال ثال ابتخالا ر ة ب ا و ج أ 90-93 لالواغ ةيمتر الودال تالماكتو اقتشمت شع ر ا ر ب ع ال االابتخ ر ةبوجأ 94-97 ت ا ح ا سمال رشع سم ا خ ال ابتخالا ر ة ب ا و ج أ 98-99 ةفاسمال رشع سد ا سال ابت ر خ ال ا ة ب ا و ج أ 100-103 ا ر ب ع ال الفلص ف ي لماش ناحتما شع ر اسالبع االابتخ ر ةبوجأ 104-105 )الا و(اغيم ف ق ط ب ال ت ط ب ي ق ي صاخ شع ر نماثال االابتخ ر ةبوجأ 106-107 108 4 2021
- 5. 5 2021 1 (𝟏−𝒊)𝟏𝟏 𝟑𝟐 2 𝐱+𝐲 𝐢 𝟓−𝟒𝐢 𝟏−𝟐𝐢 𝟕−𝟒𝐢 , x , y 3 𝒁𝟐 – 𝟑𝒁 + 𝟏 + 𝟑𝒊 = 𝟎 c 4 (𝟏 + 𝟐𝒊) 𝒙𝟐 – (𝟑 – 𝒊)𝒙 + 𝒂 = 𝟎 a 5 (𝟏 + 𝟐𝒊), (𝟏 − 𝒊) 1 𝟐 ( 𝟐√𝟑 − √−𝟒) 2 𝟐( 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝝅 )−𝟒 𝟖 𝟖 3 (𝒄𝒐𝒔𝟑𝜽−𝒊 𝒔𝒊𝒏𝟑𝜽)𝟐 (𝒄𝒐𝒔𝟑𝜽+𝒊 𝒔𝒊𝒏𝟑𝜽)𝟓 − ( 𝒄𝒐𝒔𝟕𝜽 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏𝟕𝜽 )𝟑 4 𝟑 𝒙𝟑 − 𝟗𝒊 = 𝟎 5 𝒁 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒁𝒏 = 𝟏 𝟏+𝒁𝟐𝒏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒏𝜽
- 6. 6 2021 1 (2,-1) 2 {𝟏, 𝟗} 3 𝟐𝟓𝟔 (− 𝟒 , 𝟏𝟕) 4 𝟑 𝐲𝟐 − 𝟐 𝐱 = 𝟎 √𝟐 5 (15 ) (𝟐√𝟏𝟕 ) 1 6 ( 𝟏 , −𝟐√𝟕 ), ( 𝟏 , 𝟐√𝟕 ) 2 𝟑 𝟏 𝐲𝟐 − 𝐱𝟐 = 𝟏 𝟏 √𝟑 3 4 𝟗𝐱𝟐 + 𝟐𝟓𝐲𝟐 = 𝟐𝟐𝟓 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒚𝟐 = 𝟒𝟖 hx2 – ky2 = 25 h , k 5 𝒚𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 = 𝟎 (𝟔, 𝟐√𝟐)
- 7. 7 2021 1 i (1) 4 1 i 4 4 2 1 (-1) 4 3 i i (-i) 4 i i 1 i سسال ا ط ر ح ت ةمسقال د نع 𝐢𝟏𝟓 = −𝐢 )3 ي و ا سي4 لعى ة قسم ال ي ق ا ب نال ( , 𝒊−𝟏𝟗 = 𝒊−𝟏𝟗 . 𝒊𝟐𝟎 = 𝒊 3 3 3i13 3i13 2 2.i16 2 i3 2 i 2 i √−𝟒 = 𝟐𝒊 , √−𝟑 = √𝟑 𝒊 3 a + bi . 4 i (a + bi) (a - bi) = a2 + b2 i √− 𝐚 = √𝐚 𝐢 5 6 7 a + bi a-bi –a- bi 𝟏 𝐚+𝐛𝐢 . 8 𝒙𝟐 – (𝑴 + 𝑳) 𝒙 + 𝑴 𝑳 = 𝟎 M, L
- 8. 8 2021 1 -أ a ∈ R+ 𝒂 = 𝒂 (𝒄𝒐𝒔𝟎 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟎) , − 𝒂 = 𝒂(𝒄𝒐𝒔 𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝝅 ) 𝒂𝒊 = 𝒂 (𝒄𝒐𝒔 𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝝅 ) , − 𝒂𝒊 = 𝒂 ( 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝝅 ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 -ب a + bi r = √𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 , cos 𝜽 = 𝐚 , sin 𝜽 = 𝐛 𝐫 𝐫 𝜽 مث z = r (cos 𝜽 + i sin 𝜽 ) 𝜽 = π - sin x , csc x (+) 𝜽 = any (+) (cosx ,sinx) (0 ,1 ) (-1 , 0) (1 , 0) (cosx ,sinx) (cosx ,sinx) (cosx ,sinx) (0 ,- 1 ) tan x , cot x (+) 𝜽 = π + cos x , sec x (+) 𝜽 = π -
- 9. 9 2021 2 [𝒓 (𝒄𝒐𝒔 𝞱 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝞱)]𝒏 = 𝒓𝒏 (𝒄𝒐𝒔 𝒏 𝞱 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝒏 𝞱) ∀ 𝒏 ∈ 𝑵 , 𝞱 ∈ 𝑹 [r ( cos θ + i sin θ )]-n = r–n( cosnθ - i sin nθ) ∀ n ∈ N , θ ∈ R [r ( cos θ - i sin θ )]n = rn( cosnθ - i sin nθ) ∀ n ∈ N , θ ∈ R 1 2 𝟏 𝟏 [𝐫 (𝐜𝐨𝐬 𝛉 + 𝐢𝐬𝐢𝐧 𝛉 )]𝒏 = 𝐫𝐧( cos 𝜽+𝟐𝒌𝝅 𝒏 + i sin 𝜽+𝟐𝒌𝝅 𝒏 ) ; k = 0 , 1 , 2 , ….. , n-1 𝟏 𝟏 [𝐫 (𝐜𝐨𝐬 𝛉 − 𝐢𝐬𝐢𝐧 𝛉 )]𝒏 = 𝒓𝒏( cos 𝜽+𝟐𝒌𝝅 𝒏 - i sin 𝜽+𝟐𝒌𝝅 𝒏 ) ; k = 0 , 1 , 2 , ….. , n-1 −𝟏 −𝟏 [𝐫 (𝐜𝐨𝐬 𝛉 + 𝐢𝐬𝐢𝐧 𝛉 )]𝒏 = 𝒓 𝒏 ( cos 𝜽+𝟐𝒌𝝅 𝒏 - i sin 𝜽+𝟐𝒌𝝅 𝒏 ) ; k = 0 , 1 , 2 , ….. , n-1 −𝟏 −𝟏 [𝐫 (𝐜𝐨𝐬 𝛉 − 𝐢𝐬𝐢𝐧 𝛉 )]𝒏 = 𝒓 𝒏 ( cos 𝜽+𝟐𝒌𝝅 𝒏 + i sin 𝜽+𝟐𝒌𝝅 𝒏 ) ; k = 0 , 1 , 2 , ….. , n-1 r–n = 𝟏 𝒓𝒏 𝟏 ≠ 𝒓𝒏 : ر ي تحذ 100
- 10. 10 2021 لماعتال متي ةجتانال ةيوازال نإف اهجئاتن ىدحا وا رفاوميد ةنهربم بطتيق دعب يال ت ال ل ي ص ف ت ال ب س ح ا ه ع م -1 a b -2 a b a b )2( ماقلما فعض لعى تمسقه بباقي بالسط يف 𝜋 ملاعم تسيبدل -3 {1 , 2 , 3 , 4 , 6 } {1 , 2} {a , b} {3 , 4 , 6 } a b a -4 cos(-x) = cosx , sec(-x) = secx -5 sin(−𝒙) = − 𝒔𝒊𝒏𝒙 ,𝒄𝒔𝒄(−𝒙) = − 𝒄𝒔𝒄𝒙 ,𝒕𝒂𝒏(−𝒙) = − 𝒕𝒂𝒏𝒙 , 𝒄𝒐𝒕(−𝒙) = − 𝒄𝒐𝒕𝒙 -6 𝐚 𝛑 𝐚 𝒂𝝅 -7 a- sin 𝟓𝛑 = sin 𝛑 = 𝟏 , cos 𝟓𝛑 = - cos 𝛑 = −√𝟑 ,sin 𝟓𝛑 =- sin 𝛑 = −√𝟑 ,cos 𝟓𝛑 = cos 𝛑 = 𝟏 𝟔 𝟔 𝟐 𝟔 𝟔 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 b- sin 𝟓𝛑 = - sin 𝛑 = −𝟏 , cos 𝟓𝛑 = - cos 𝛑 = −𝟏 𝟒 𝟒 √𝟐 𝟒 𝟒 √𝟐 c- sin 𝟒𝛑 = sin 𝟐𝛑 = sin 𝛑 = √𝟑 , cos 𝟒𝛑 = cos 𝟐𝛑 = - cos 𝛑 = −𝟏 𝟔 𝟑 𝟑 𝟐 𝟔 𝟑 𝟑 𝟐 d- sin 𝟐𝟗𝛑 = sin( [𝟐𝟗−(𝟐)(𝟏𝟐)] 𝛑 ) =sin 𝟓𝛑 = sin 𝛑 = 𝟏 𝟔 𝟔 𝟔 𝟔 𝟐 e- cos 𝟒𝟗𝛑 = cos( [𝟒𝟗−(𝟔)(𝟖)] 𝛑 ) =cos 𝛑 = 𝟏 𝟒 𝟒 𝟒 √𝟐 f- cos−𝟏𝟗𝛑 = cos𝟏𝟗𝛑 = cos([𝟏𝟗−𝟏𝟐]𝛑 𝟔 𝟔 𝟔 ) =cos 𝟕𝛑 = - cos 𝛑 = −√𝟑 𝟔 𝟔 𝟐
- 11. 11 2021 -1 F(p,0) x-axis x = -p y2 = 4px F(- p,0) x-axis x = p y2 = - 4px F(0,p) y-axis y = -p x2 = 4py F(0,- p) y-axis y = p x2 = - 4py -2 p (x , y) p x y x or y . .
- 12. 12 2021 -3 . . (x , y) -4 . -5 a b 𝝅 2𝝅 √𝐚𝟐+ 𝐛𝟐 𝟐 .4ab -6 p = c p = a p = b p = a p = a OR p = b . -7 . -8 (n , 0) y=m x=n (0 , m) . -9 2a 2c 2c 2a 𝐛𝟐 . 2a 2a (2c)
- 13. 13 2021 1 𝒙 = 𝟏 − 𝟑𝒊 , 𝒚 = 𝟐 + 𝒊 ̅𝒙 ̅̅. ̅̅𝒚 ̅ = 𝒙 ̅ . 𝒚 ̅ (−𝟐√𝟑 , −𝟏) , ( √𝟔 , − 𝟏 𝟐 ) √𝟖𝟐 𝝅 2 𝐱 , 𝐲 𝐑 𝟏−𝟐𝒊 𝒙 + 𝟑−𝒊 𝒚 = 𝟑 − 𝟐𝟏 𝒊 𝟏+𝒊 𝟏−𝒊 𝟗𝒚𝟐 – 𝟏𝟔𝒙𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 8 3 c 𝒑( 𝒉 , 𝟐 √𝟐) 𝒙𝟐 − 𝒊𝒙 + 𝟔 = 𝟎 𝒙𝟐 − 𝟑𝒚𝟐 = 𝟐𝒉 h P 4 (−𝟏 − 𝒊)𝟕 ( 𝟐 √𝟑𝟎 , 𝟐) 5 −𝟏+√𝟑𝒊 −𝟏− √−𝟑 x2 –24y = 0 x2 + y2 –16y –64 = 0
- 14. 14 2021 1 𝒚 = 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝐲(𝟓) – 𝐲′ − 𝟒𝐬𝐢𝐧𝐱 = 𝟎 2 𝟗𝟔 𝒄𝒎𝟐 𝟐𝒄𝒎/𝒔 𝟖 𝒄𝒎 3 𝟖 𝒎 𝟔 𝒎𝟑/𝒔 𝟏 𝒎 4 24cm 16 cm 5 cm3/s 1 cm3/s 𝟗 𝐜𝐦 5 x x2 + y2 + 4x – 8y = 108 t y
- 15. 15 2021 1 𝒇(𝒙) = 𝟒 [−𝟐, 𝟓] c 2 𝒇(𝒙) = 𝟑 √𝒙 − 𝟒𝒙 c , 𝒙 ∈ [ 𝟏 , 𝟒] [𝟎, 𝒌] 3 𝒇(−𝟏) = 𝟏𝟏 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒 c 𝒂, 𝒌 ∈ 𝑹 4 2.97 cm 5 𝟑 √−𝟗 1 (𝟐, 𝟔) 𝒇(𝒙) = 𝒂 − (𝒙 − 𝒃)𝟒 a , b 2 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝒙𝟑 + 𝒄 c 3 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 4 𝒚𝒙 = 𝟏 5 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 𝒈(𝒙) = 𝟏 − 𝟏𝟐𝒙 g , f f (𝟏, −𝟏𝟏)
- 16. 16 2021 1 60 2 𝟑√𝟑 𝒄𝒎 3 𝟒 𝒄𝒎 𝟏𝟐 𝒄𝒎 4 𝟐𝟒𝛑 𝐜𝐦𝟐 5 𝟐√𝟑 (𝟎, 𝟒)
- 18. 18 2021 مدقاو قاقتشالل ةلباقو ةرمتسم ةالدال نوكت نا ةطسوتلما ةيمقالو لور يتنهربم طورش نم 1 . ك لذب ة ص ا خ ال تاظ ح ال لما ض ع ب sinax , cosax * * * * * R R * * تناك اذا 2 * * ةيالتال طورشال اهب تققحت اذا لور ةنهربم ققحت اهنا لوقنف ةالد y = f(x) [a , b] (a , b) f(b) = f(a) * c ∈ ( a , b ) f ′(c) = 0
- 19. 19 2021 ةيالتال طورشال اهب تققحت اذا ةطسوتلما ةميقال ةنهربم ققحت اهنا لوقنف ةالد y = f(x) تناك اذا 3 [a , b] * * * (a , b) c ∈ (a , b) f ′(c) = 𝐟(𝐛)− 𝐟(𝐚) 𝐛−𝐚 ملع اذاف الوا نوناقال تكنب يسدنه لكش مجح وا ةحاسم وا بلعد التقيربية ةميقال داجيإل 4 هفرط نوناقال نم ملع اذا اما ةرشابم ةالدال مسا لثمي نوناقال ناف نميالا هفرط نوناقال نم املع ةالدلل مسا ايتخار مث ال ت ب س ي ط ىال جاتحنف نميالا فرطال نم ءازجا ل ه اضيف دقو رسيالا . نيميال ىال راسيال نم االةيزيلكن زومرال وه نوناقالب دوصقلما نا ىرخأ ىال ةميق نم اهداعبا دحا ي ت غ ي ر امدنع ةمولعم ةالدل ) أطخال رادقم ( التقيربي التغير رادقم 5 . ىنعلما سفن لمحي يسدنه لكش يال طقف يجراخال فالغال ةيمك نا املع h f '(a) ثمتل ةديعبالو دحاوالو الصرف ب ي ن ةروصحلما ةيرشعال روسكال روذجل التقيربية ةميقال داجيا نكمي ال 6 . رذجال ليلد تافعاضم نم وا يواست ةزرافال نيمي على بتارلما ددع تناك اذا الا دحاو ددعال نع -1 . x ريغتمال ةميق داجيإل ةجتانال ةلداعمال لح مث البصرف اهتاواسم مث ىلوالا ةقتشمال داجيإ ֎ . ةجرح طاقن (x , y) طاقنال ةعومجم نوكتف y ةميق داجيإل ةيلصالا ةلداعمالب x ةميق ضيوعت ֎ لك نم ددع ذخأن مث ماسقا ةدع ىال هميسقت متيف طقف x ميق لعيه توثبيت يقفالا دادعالا طخ مسر ֎ . طقف هتراشا جتانال نم ذخأن مث ىلوالا ةقتشمالب هضوعنو مسق دنع) ( ةصقانتم ةالدال نوكتو ، ةبجومال ةراشالا دنع ) ( ةدـيازتم ةالدال نوكتف دادعالا طخ ةءارق ֎ . ة ب ال س ال ة ار ش اال )نم ( صقانتال ىال ديازتال نم اهيف x ةميق تلقتنا اذا ةيلحم ىمظع نوكتف ةجرحال ةطقنال عون نايب ֎ راسيال ةهج نم ) ( ديازتال ىال صقانتال نم x ةميق تلقتنا اذا ةيلحم ىرغص نوكتو راسيال ةهج . هسفن ىال صقانتال نم وا هسفن ىال ديازتال نم x ةميق تلقتنا اذا ةجرح ةطقن درجم نوكتو ، اضيا نكمي الف اثبات اهطسب ةيبسن ةالد ىلوالا اهتقتشم نوكت يتال ةيرذجال وا ةيبسنال الودال ةالح يف ֎ لعجت يتال ةميقال لعيه ثنبت لوالا دادعالا طخ مسر دنعو ةجرح طاقن دجوتال يالتالبو البصرف اهتاواسم . ة و ج ف لكش ىلع ر فص ماق م ال
- 20. 20 2021 . x -2 ֎ ֎ ֎ x y (x , y) ֎ x ֎ )⋃( )⋂( ֎ x x ֎ ֎ -3 : ةيالتال احلاالت بسح ثالانية املشتقة مادختساب اهعون عم ةفر يفمنك ةجرح ةطقن (x , y) ناكت اذا f″(x) > 0 تناك اذا . ة ي ل ح م ىر غص ة ا ي ه ن ة ط قن يه ة ج ر ح ال ة ط ق ن ال ناف . ة ي ل ح م ى م ظ ع ة ي ا ه ن ة ط قن يه ةج ر ح ال ة ط ق ن ال ناف f″(x) < 0 ت ن كا ا ذا . دادعالا طخ ىال ءوجلال بجي اهدنعو ةطقنال عون ديدحت يف ةلشاف ةقيرطال هذه ناف f″(x) = 0 تناك اذا f″(x) = a تناك اذا ةياهن ةطقن نوكتو ، a < 0 تناك اذا ةيلحم ىمظع يه ةجرحال ةطقنال ناف . ةجرحال ةطقنلل ينيسال يثادحالا ةفرعم ىال ةجاحال نود a > 0 تناك اذا ةيلحم ىرغص
- 21. 21 2021 − ل م ا ع م 𝒙 -4 . ىرخأ ةهج نم البصرف ىلوالا ةقتشمال ةاواسم ققحتو ةهج نم ينحنمال ةلداعم ققحت ةجرحال ةطقنال . ىرخأ ةهج نم البصرف ةيناثال ةقتشمال ةاواسم ققحتو ةهج نم ينحنمال ةلداعم ققحت بالقنالا ةطقن ةهج نم ساممال ليمب ىلوالا ةقتشمال ةاواسم ققحتو ةهج نم ينحنمال ةلداعم ققحت سامتال ةطقن نوكي اهدنعو ينحنمال ميس ميقتسم ةلداعم ىطعت دقف امولعم نكي مل اذا ساممال ليم نا املع ىرخا ايزاوم ينحنملل ساممال ناك اذا اما ، m = 𝒚لماعم نوناقال قيرط نع وا ىلوالا ةقتشمال وه ميقتسمال ليم عنصي ساممال ناك اذاو ، ارفص يواسي ساممال ليم ناف تاداصال روحم ىلع ايدومع وا تانيسال روحمل .tan 𝝷 يواسي ساممال ليم ناف تانيسال روحمل بجومال هاجتالا عم 𝝷 اهرادقم ةيواز . ط قف ه ت ل د ا عم ق ق ح ت ا ه ن اف ة ا ع ت ي ا د ي ة ط قنب ين ح ن م ال ر م اذا . طقف البصرف ىلوالا ةقتشمال ةاواسم نم نف ست ف ي د طقف x ةميق ةجرحال ةطقنال نم ملع اذا . طقف البصرف ةيناثال ةقتشمال ةاواسم نم نف ست ف ي د طقف x ةيمق بالقنالا ةطقن نم ملع اذا ناف x = a دنع ةرمتسم ةالدال تناكو سكعالب وا x < a لكل ةبدحمو x > a لكل ةرعقم ةالدال تناك اذا . x = a د نع بال ق ن ا ة ط قن ة ال د ل ل ةقت ش م ال د اجيا بجي اه د نعو y = h ن ا ين عت ف h ا ه ت م ي ق ) ( ة ي ا ه ن ا ه ل ة ال د ال ت ن كا اذا نم اكرث تملع اذاو بولطمال متيف ةدحاو ةميق تناك اذا ف x ةميق جارختسال البصرف اهتاواسم مث ىلوالا ةطقنال عون نم للتققح لوالا دادعالا طخ وا ةيناثال ةقتشمال ىلع اهضرع بجيف (x) ـل دحاو ةميق .بولطمال :y = f(x) -5
- 22. 22 2021 -1 2 3 2 1 2 5 7 2h 2x -2 . -3 -4 . -5 -6
- 23. 23 2021 1 y = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒂+𝒃 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒚 = 𝒂𝒄𝒐𝒔 𝒙+𝒃 (𝒂+𝒃 𝒄𝒐𝒔 𝒙)𝟐 𝒅𝒙 𝟒 √𝟎. 𝟎𝟎𝟖 2 𝒇(𝒙) = 𝟑 + 𝒂𝒙 + 𝒃𝒙𝟐 (𝟏, 𝟒) a,b 40 m/s 10 cm 3 𝒄𝒎 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟑 𝒙 𝟑 , 𝒙 ∈ [ 𝟏 , 𝟑 ] c 4 f(x) = 𝐱𝟐 𝐱𝟐+ 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 – 𝟗𝒙 – 𝟔 5 c 𝟒 𝐱+𝟐 , x ∈ [ -1 , 2] f(x) = 3 cm
- 24. 24 2021 1) ∫ (𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓) 𝒅𝒙 2) ∫(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)𝟒 (𝟑𝒙 + 𝟑)𝒅𝒙 𝟐 3) ∫(√𝒙 + 𝟏) √𝒙 𝒅𝒙 4) ∫ 𝟑 √𝒙𝟓− 𝒙𝟑𝒅𝒙 5) ∫ 𝒙𝟒− 𝟏𝟔 𝒅𝒙 𝒙−𝟐 ∫ 𝒙 𝟑 6) 𝒙𝟑 (𝟏 − 𝟑 ) 𝒅𝒙 7) ∫ √𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 8) 𝟐 𝟐 𝐱𝟐 ∫ (𝟑𝐱 − 𝟓) − 𝟐𝟓 𝐝𝐱 9) ∫ (𝟑− √𝟓𝒙) 𝟕 √𝟕𝒙 𝒅𝒙 √𝒙𝟑 𝟒 10) ∫ √𝒙− √𝒙 𝒅𝒙 , 𝒙 > 𝟎
- 25. 25 2021 1 a) ∫ 𝐬𝐢 𝐧(𝟑𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙 b) ∫ (√𝒙 + 𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙 2 a) ∫ (sinx - cosx)7 (cosx + sinx) dx b) ∫(𝒄𝒔𝒄 𝒙 . 𝒄𝒐𝒕 𝒙 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒙 3 a) ∫ 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟑𝒙 𝒅𝒙 b) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙−𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙 𝒅𝒙 4 a) ∫(𝟏 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙)𝟐 𝒅𝒙 b) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝟐𝒙 𝒅𝒙 5 a) ∫ √𝟏 − 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙 b) ∫ √𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙 𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒙 𝒅𝒙
- 26. 26 2021 1 𝟔 𝑭 ∶ [𝟎 , 𝝅 ] 𝑹 , 𝑭(𝒙) = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝝅 𝟔 𝒇 ∶ [𝟎 , ] 𝑹 , 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝝅 ∫𝟔 𝐟(𝐱)𝒅𝒙 𝟎 𝟎 ∫ 𝒙(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟐)𝒅𝒙 𝟒 2 −𝟐 1) ∫ 𝟐 (𝟔𝐱 + 𝟏𝟓)√𝟐𝐱 + 𝟓 𝐝𝐱 𝒅𝒙 2) ∫ 𝟏 −𝟏 𝟗−𝟏𝟐𝒙+𝟒𝒙𝟐 3) ∫ 𝟒 √𝒙(𝒙 + 𝟔)𝒅𝒙 𝟎 𝝅 4) ∫𝟐(𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 )𝟐 𝒅𝒙 𝟎 3 𝒂 ∫ ( 𝒙 − 𝒙𝟑)𝒅𝒙 = −𝟗 𝟒 −𝟏 a ∈ R 𝐟(𝐱) = { 𝟑𝐱𝟐 , ∀ 𝒙 < 𝟎 , ∀ 𝒙 ≥ 𝟎 𝟐𝐱 𝟑 𝐟(𝐱)𝐝𝐱 ∫−𝟏 4 𝟒 ∫ [𝟖 − 𝟐𝒇(𝒙)]𝒅𝒙 −𝟏 𝟒 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟐 −𝟏 𝟒 ∫ 𝐟(𝐱)𝐝𝐱 𝒇(𝒙) = |𝟐𝒙 − 𝟒| −𝟑 5 )أ 𝟏 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = −𝟏 𝟑 𝟒 ∫ [ 𝟒𝒇(𝒙) + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏]𝒅𝒙 = 𝟖𝟐 𝟏 𝟒 ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝟑 )ب 5 𝟑 ∫ 𝐟(𝐱)𝐝𝐱 𝟏 k ∈ R f(x) = x2 + 2x + k 𝒇(𝒙) = (𝒙 − 𝟑)𝟑 + 𝟏 (a , b) 𝐛 𝐚 ∫ 𝐟 ′(x) dx - ∫ 𝐟′′(𝐱)𝐝𝐱 𝟎 𝟎
- 27. 27 2021 1 𝒚 = 𝒙𝟐𝐥 𝐧|𝒙| 𝒚 = 𝒆𝒙𝟐 + 𝒆𝟐𝒙 𝒚 = 𝟑𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙 𝒚 = √𝒍𝒏𝒙 2 𝒚 = 𝒂𝒖 𝐝𝐲 = 𝒂𝒖 . 𝒍𝒏𝒂 . 𝒅𝒖 𝐝𝐱 𝒅𝒙 𝒙 −𝒙 𝒚 = 𝒆 + 𝒆 𝒆𝒙− 𝒆−𝒙 𝒚" + 𝟐𝒚 𝒚′ = 𝟎 3 𝟎 𝐱𝟐+ 𝟗 𝟒 𝐱 ∫ dx 𝐥𝐧𝟑 𝐥𝐧𝟓 ∫ 𝐞𝟑𝐱dx ∫ √𝐞𝟐𝐱−𝟒 ∫ 𝐝𝐱 𝟏 𝐱 𝐥𝐧𝐱+𝐱 𝐝𝐱 4 ∫(𝒕𝒂𝒏𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙)𝒅𝒙 𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝒍𝒏𝒙) ∫ 𝒅𝒙 𝐬𝐞𝐜𝟐𝐱 𝛑 −𝛑 (𝟐+𝐭𝐚𝐧𝐱) ∫𝟒 𝒅𝒙 𝟒 ∫ 𝒄𝒐𝒕𝟑 𝟓𝒙 𝒅𝒙 5 𝒆𝟑𝒙 ∫ 𝒅𝒙 𝒆𝟑𝒙−𝟏 ∫ (𝒆𝟑𝒙 − 𝟏)𝟐𝒅𝒙 ∫ (𝒆𝟑𝒙 − 𝟏)𝟐 𝒆𝟑𝒙𝒅𝒙 ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐𝟖𝒙 𝟐𝒕𝒂𝒏𝟖𝒙 𝒅𝒙
- 28. 28 2021 1 𝐲 = 𝐱𝟑 − 𝟒𝐱 [ − 𝟐 𝟎] 2 𝟐 𝐟(𝐱) = 𝟏 𝐱 , 𝐠(𝐱) = √𝐱 − 𝟏 [ 𝟐 , 𝟓 ] 3 𝒚 = 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝛑 𝟐 [𝟎 , ] 4 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 , 𝒈(𝒙) = 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙 𝛑 𝟐 [𝟎 , ] 5 𝐲 = 𝐚𝐱𝟑 + 𝐛𝐱 (−𝟏 , 𝟐)
- 29. 29 2021 1 𝑽(𝒕) = 𝟔𝒕𝟐 − 𝟏𝟐𝒕 + 𝟔 𝒎/𝒔𝒆𝒄 (a b [ 𝟎, 𝟓] 2 4 2 (t) (𝟓𝟎𝐭 – 𝟑𝐭𝟐) 𝐤𝐦/𝐦𝐢𝐧 3 5 m/sec2 45 m/sec 6 sec 4 𝐕(𝐭) = (𝟔𝒕𝟐 − 𝟏𝟐𝒕) 𝐦/𝐬𝐞𝐜 [ 𝟏 𝟑] [𝟏 𝟑] .
- 30. 30 2021 ) ( ( عبا ر ال فالصل عيضاوم ن ع ة ئ يض م تار ذش لماشال ناحتمالاب عورشال لبق اهركذت م ن ققحتال لواح ) جلاربية الودلل حملادد غو ير حملادد ملاكتال ( -1 1 ) ( . ) -2 -3 -4 -5
- 31. 31 2021 -1 If y= sinu → y΄ = cosu du If y=cos u → y΄ = - sinu du If y=tan u → y΄ =sec2 u du If y=cot u → y΄ =- csc2 u du If y=sec u → y΄ = secu tanu du If y=csc u → y΄ =- csc u cotu du -2 )1( sec2x =1 + tan2x , csc2x = 1 + cot2x 𝟏 𝟏 tanx= 𝐬𝐢𝐧𝐱 , cotx= 𝐜𝐨𝐬𝐱 , secx= , cscx= 𝐜𝐨𝐬𝐱 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬𝐱 𝐬𝐢𝐧𝐱 -3 sin 2ax = 2 sin ax cos ax ةجاحلا بسح Cos 2ax = cos2 ax – sin2 ax = 2cos2 ax – 1 = 1 – 2sin2 ax (cosu , sinu , sec2u , csc2u , secu tanu , cscu cotu ) ∫cosu du = sinu + c -4 𝟐 tan2ax = sec2ax – 1 , cot2ax = csc2ax – 1 , sin ax cos ax = 𝟏 sin2ax cos2x = 𝟏 𝟐 sin2x = 𝟏 𝟐 1 - sin2x ة ي درف قب وة الؤسال لصا ان ك ا ذا ( 1 + cos2x) ة وز جي قب وة الؤسال لصا ان ك اذا 1 - cos2x ة ي درف قب وة ال ؤسال ل ص ا ان ك ا ذا (1 - cos2x) ة جي وز قب وة ال ؤسال ل ص ا ان ك اذا ∫sinu du = - cos u + c ∫ sec2 u du = tan u + c ∫ csc2 u du = - cot u + c ∫secu tanu du = sec u + c ∫csc u cotu du = - csc u + c u= f(x) du = f΄(x) ) املثلثية الودلل حملادد غو ير حملادد ملاكتال (
- 32. 32 2021 -5 √[𝒇(𝒙)]𝟐 = ∓𝒇(𝒙) √[𝒇(𝒙)]𝟐 = | 𝒇(𝒙)| ) ( -1 f1 , f2 𝐛 𝐛 ∫ 𝐚 𝒉𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒉 ∫ 𝐚 𝐟(𝐱)𝐝𝐱 𝐛 𝐚 ∫𝐚 𝐟= - ∫𝐛 𝐟 -2 -3 f [a , b] c ∈ [a , b] 𝐛 𝐜 𝐛 ∫𝐚 𝐟 = ∫𝐚 𝐟 + ∫𝐜 𝐟 -4 𝒅𝒖 ∫ 𝒖 Ln u u = 𝒍𝒏|𝒖| + 𝒄 u if y = Ln u ⇒ y' = 𝒅𝒖 ,,,,, 𝒖 Ln| م ا ق م ال | + c if y = eu ⇒ y' = eu du ,,,,, eu ʃ eu du = eu + c eu ) ددحمل ا ملاك ت ال ص خ او م ا ه ( 𝐛 𝐛 𝐛 ∫𝐚 ( 𝐟𝟏 ∓ 𝐟𝟐 )= ∫𝐚 𝐟𝟏 ∓ ∫𝐚 𝐟𝟐 أفن[a , b] ) ةيتمر ا غو ل ال و ةيسال ا ال و د ال ت الم ا تك و ات ق ت ش م (
- 33. 2021 𝟏 𝑳𝒏𝒂 au + c au 33 ,,,,, ʃ au du = Ln if y = au ⇒ y' = au du . Lna . au Ln Lne = 1 , Ln1 = 0 , e0 = 1 , Lnab = b Lna Lnex = x , , eLnx = x euLna = au -1 :لوالا . ) مل ا كتال ةئز ج ت ب م ن قو ال ا ن ن ا أي ( : ين ا ث ال -2 )-1( |x| = { 𝒙 ∀ 𝒙 > 0 فص را افالصل اهدح ةجو د زم ةال د حت ب اص |3x - 6| = { 𝟑𝒙 − 𝟔 −𝒙 ∀ 𝒙 < 0 ∀ 𝒙 > 2 −𝟑𝒙 + 𝟔 ∀ 𝒙 < 2 )2( ل ص ا ف ال ا هدح ة زود ج م ةال د حت ب ا ص ) ةقلطلما ةميقال الودو ملازةجود الودلل حملادد ملاكتال (
- 34. 34 2021 -1 [a , b] x -2 [a , b] x = a, x = b -3 x x -4 -5 ) ةف ا سلماو ات ح املسا ( لحن مث ب ال ص ف ر ينحنمال ةالد ةاواسمب اءادتبا موقن تانيسال روحمو ةالد ينحنم يبن ةحاسمالداجيإل : ةيالتال االامتحالت دحا ىال الؤسال لوحتي مث نمو ، x ميق داجيإل ةلداعمال
- 35. 35 2021 -6 * sinax = 0 ⇒ ax = 0 + n 𝛑 , n = 0 , 1 , 2 , -1 , -2 , ….. ةجاحلا بسح 𝟐 * cosax = 0 ⇒ ax = 𝛑 + n 𝛑 , n = 0 , 1 , 2 , -1 , -2 , ….. ةجاحلا بسح *𝒔𝒊𝒏(−𝒙) = − 𝒔𝒊𝒏𝒙 , 𝒄𝒐𝒔(−𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝒙 , 𝒔𝒆𝒄(−𝒙) = 𝒔𝒆𝒄𝒙 , 𝒄𝒔𝒄(−𝒙) = −𝒄𝒔𝒄𝒙 , 𝒕𝒂𝒏(−𝒙) = −𝒕𝒂𝒏𝒙 , 𝒄𝒐𝒕(−𝒙) = −𝒄𝒐𝒕𝒙 } نات ك اذا * 𝟏 , √𝟑 , 𝟏 𝟐 𝟐 √𝟐 الزاوةي عقوم بسح x يقميت تسنخ جر مث دانسا ازوةي تسنخ جر sinx, cosx = ± { . ة ع رب ال ا ع ا ب الار يف عقوم بسح x يقميت تسنخ جر مث دانسا ازوةي تسنخ جر tanx , cotx = ± { 𝟏 √𝟑 , √𝟑 , 𝟏 } ت ن اك اذا * . ة ع رب الا ع اال ربا يف اوةي ز ال . الوةدح ائدرة يف اهعقوم لالخ من x ةميق تسنخ جر sinx , cosx = { 1 , -1} اكنت اذا *
- 36. 36 2021 أ V(t) [a, b] d = ∫ 𝐛 | 𝐕(𝐭)|𝐝𝐭 𝐚 t ب s = ∫ 𝐛 𝐕(𝐭)𝐝𝐭 𝐚 ـج V(t) t 𝐕(𝐭)𝐝𝐭 | d = | ∫ 𝐭 د V(t) 𝐭−𝟏 t s = ∫ 𝐭 𝐕(𝐭)𝐝𝐭 𝟎 t [0,t] ـ ه v(t) a(t) ∫ a(t)dt = v(t) + c c و t ليجعت ال و ةع ر س الو ة ف اسلماو ة ح ازال ا
- 37. 37 2021 1 a ) ∫ 𝒄𝒐𝒕𝟑𝟐𝒙 𝒅𝒙 , 𝟒 𝒙 𝒃) ∫𝟎√𝒙𝟐+ 𝟗 𝒅𝒙 c ) 𝟒 ∫ −𝟑 |𝟐𝐱 − 𝟒| 𝐝𝐱 𝟐 𝒅𝒙 𝝅 , d) ∫𝟐(𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 ) 𝟎 2 f(x) 𝝅 𝟐 [𝟎, ] 𝑭(𝒙) = 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒇(𝒙) 𝛑 ∫𝟐 𝐟(𝐱)𝐝𝐱 𝟎 f(x)=cosx , g(x)= sinx 𝟐 𝟐 [− 𝝅 , 𝝅 ] 3 𝐛 ∫𝐚(𝟐𝐱 + 𝟑) 𝐝𝐱 = 12 a + 2b = 3 a , b 𝐝𝐲 𝐝𝐱 𝒂) 𝒚 = 𝒍𝒏(𝟐 − 𝒄𝒐𝒔𝒙) , 𝒃) 𝒚 = 𝒄𝒐𝒕(𝒔𝒊𝒏𝒙) 4 √𝟑 𝒙 − 𝟏 √ 𝟑 √𝒙𝟐 𝟖 ∫𝟏 𝒅𝒙 = 𝟐 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 5 𝐟(𝐱) = {𝟐𝐱𝟐 − 𝟑𝐱 , ∀ 𝑥 < 1 , ∀ 𝑥 ≥ 1 𝟒𝐱 + 𝟑 𝟓 𝐟(𝐱)𝐝𝐱 ∫𝟐 𝟏𝟎 𝒎/𝒔𝟐 2 24 m/s 4
- 38. 38 2021 1 ω 1) 1 + 𝝎 + 𝝎2 = 0 , 2) 𝝎3 = 1 1 𝟏 + 𝝎 = − 𝝎𝟐 , 𝟏 + 𝝎𝟐 = −𝝎 , 𝝎 + 𝝎𝟐 = −𝟏 𝝎 = −𝟏 − 𝝎𝟐 , 𝝎𝟐 = −𝟏 − 𝝎 , 𝟏 = −𝝎 – 𝝎𝟐 2 ،1 𝝎 2 )1( 3 3 𝝎2 3 𝝎 2 ω 3 1 ω2 ω 3 ω10 = ω, 𝟏 = 𝝎𝟑 𝝎 𝝎 = 𝝎𝟐, = 𝟏 𝝎𝟑 𝟏+𝝎 − 𝝎𝟐 = − 𝝎, 𝟑𝒊 𝟏+𝝎𝟐 = 𝟑𝒊 − 𝝎 = 𝟑𝒊𝝎𝟑 − 𝝎 = −𝟑𝒊𝝎𝟐
- 39. 39 2021 1 𝛚𝟒 𝟐+𝛚𝟐 𝟏 ( + 𝟏+ 𝛚𝟐 𝟏 𝟐 ) = 𝒊 2 x , y ) = - 2 ω – 2 ω2 (x + yi )(1 - √−𝟑 (3 + 2 𝝎 + 4 𝝎2 )2 =-3 3 4 𝟖 𝝎 𝟏 𝟏 𝟑 𝝎𝟐 + ) = −𝟏 ( 𝟏 − )100 𝟏 𝟏+𝒊 − 𝟏 𝟏−𝒊 ( 5 𝝎 (𝒊 − 𝟑 ) , (𝒊 − 𝟑 𝝎𝟐 )
- 40. 40 2021 (𝟏−𝒊)𝟏𝟏 رادقمال عض 1 𝟑𝟐 . ب ك ر م ال د د عل ل ةلد ا ع ال ةغ ي ص ال ب (𝟏−𝒊)𝟏𝟎 ( 𝟏−𝒊) 𝟑𝟐 𝟏𝟏 sol: 𝒛 = (𝟏−𝒊) = 𝟑𝟐 (𝟏−𝟐𝒊+ 𝒊𝟐)𝟓 ( 𝟏−𝒊) = [(𝟏−𝒊)𝟐]𝟓 ( 𝟏−𝒊) = 𝟑𝟐 𝟑𝟐 (−𝟐𝒊)𝟓 ( 𝟏−𝒊) = −𝟑𝟐 𝒊𝟓 ( 𝟏−𝒊) = = 𝟑𝟐 𝟑𝟐 − 𝟑𝟐𝒊 ( 𝟏−𝒊) = − 𝒊(𝟏 – 𝒊 ) 𝟑𝟐 = −𝒊 + 𝒊𝟐 = −𝟏 − 𝒊 حي ض و ت a + bi [(a + bi)2]n [(a + bi)2]n (a + bi) ( - i )n in n - in n (𝟏−𝒊)𝟐𝟑 𝟐𝟎𝟒𝟖 2 𝐱+𝐲 𝐢 𝟏−𝟐𝐢 𝟓−𝟒𝐢 𝟕−𝟒𝐢 , x , y sol : −𝟒𝒊 𝐱+𝐲 𝐢 ̅̅̅ 𝟕̅̅̅̅ ̅̅ 𝒙+𝒚 𝒊 𝟕+𝟒𝒊 𝒙+𝒚 𝒊 = ( ) ⇒ = ⇒ = . 𝟕+𝟒𝒊 𝟏−𝟐𝒊 𝟓−𝟒𝐢 𝟏−𝟐𝒊 𝟓−𝟒𝒊 𝟏+𝟐𝒊 𝟓−𝟒𝒊 𝟏+𝟐𝒊 𝟏−𝟐𝒊 𝟐 𝒙+𝒚 𝒊 = 𝟕−𝟏𝟒𝒊+𝟒𝒊−𝟖𝒊 ⇒ 𝒙+𝒚 𝒊 = 𝟏𝟓−𝟏𝟎𝒊 ⇒ 𝐱+𝐲 𝐢 𝟓−𝟒𝒊 𝟏+𝟒 𝟓−𝟒𝒊 𝟓 𝟓−𝟒𝐢 = 𝟑 − 𝟐𝒊 (𝒙 + 𝒚𝒊) = (𝟑 − 𝟐𝒊)(𝟓 − 𝟒𝒊) 𝒙 + 𝒚𝒊 = (𝟏𝟓 − 𝟖) + (−𝟏𝟐 − 𝟏𝟎)𝒊 ⇒ 𝒙 + 𝒚𝒊 = 𝟕 – 𝟐𝟐𝒊 𝒙 = 𝟕 , 𝒚 = −𝟐𝟐 𝒙+𝒚 𝒊 = 𝟕+𝟒𝒊 𝟓−𝟒𝒊 𝟏+𝟐𝒊 (𝒙 + 𝒚𝒊)(𝟏 + 𝟐𝒊) = (𝟕 + 𝟒𝒊)(𝟓 − 𝟒𝒊) 𝒙 + 𝒚𝒊 = (𝟕+𝟒𝒊)(𝟓−𝟒𝒊) 𝟏+𝟐𝒊 H.W
- 41. 2021 3 41 𝒁𝟐 – 𝟑𝒁 + 𝟏 + 𝟑𝒊 = 𝟎 c 𝒔𝒐𝒍: 𝒂 = 𝟏 , 𝒃 = −𝟑 , 𝒄 = 𝟏 + 𝟑𝒊 Z = −𝐛±√𝐛𝟐−𝟒𝐚𝐜 = −(−𝟑)±√(−𝟑)𝟐−𝟒.𝟏 .(𝟏+𝟑𝐢) 𝟐𝐚 𝟐.𝟏 = 𝟑 ± √𝟗−𝟒−𝟏𝟐𝐢 = 𝟑 ± √𝟓−𝟏𝟐𝐢 𝟐 𝟐 𝟓 − 𝟏𝟐𝒊 = (𝒙 + 𝒙𝟐 – 𝒚𝟐 = 𝟓 𝟐 −𝟔 𝟐 𝒙 ( ) = 𝟓 𝒙 𝒙𝟒 – 𝟑𝟔 = 𝟓𝒙𝟐 ⇒ 𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟐 – 𝟑𝟔 = 𝟎 (𝒙𝟐 – 𝟗)( 𝒙𝟐 + 𝟒) = 𝟎 𝒆𝒊𝒕𝒉𝒆𝒓 𝒙𝟐 + 𝟒 = 𝟎 𝑶𝑹 𝒙𝟐 – 𝟗 = 𝟎 ⇒ 𝒙𝟐 = 𝟗 ⇒ 𝒙 = ± 𝟑 𝟔 𝟑 𝒙 = 𝟑 ⇒ 𝒚 = − ( ) ⇒ 𝒚 = −𝟐 𝒙 = − 𝟑 ⇒ 𝒚 = − ( 𝟔 ) ⇒ 𝒚 = 𝟐 𝟓 − 𝟏𝟐𝒊 − 𝟑 { ±( 𝟑 − 𝟐𝒊 ) } 𝟓 − 𝟏𝟐𝒊 𝒚𝒊)𝟐 ⇨ 𝟓 − 𝟏𝟐 𝒊 = (𝒙𝟐 – 𝒚𝟐) 𝒙 + 𝒚𝒊 + (𝟐𝒙𝒚) 𝒊 −𝟏𝟐 = −𝟔 … (𝟑 𝟐𝒙 𝒙 ⇒ [ 𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 = 𝟓 ] 𝑥2 ≠ 0 𝒙𝟐 𝒁 = 𝟑+( 𝟑−𝟐𝒊 ) 𝟐 𝟐 = 𝟔−𝟐𝒊 = 𝟑 – 𝒊 𝑶𝑹 𝒁 = 𝟑−( 𝟑−𝟐𝒊 ) = 𝟑+(− 𝟑+𝟐𝒊 ) 𝟐 𝟐 𝟐 = 𝟐𝒊 = 𝒊 ans : { 𝟑 – 𝒊 , 𝒊 } OR Z2 – 3Z + 1 + 3i = 0⇨ (Z2 + 1) -3 (Z - i) = 0 ⇨ (Z2 – i2) – 3(Z - i) = 0 (Z – i)(Z + i) – 3(Z - i) = 0 ⇨ (Z – i)(Z + i – 3) = 0
- 42. 42 4 2021 (𝟏 + 𝟐𝒊) x2 – (3 – i)x + a = 0 a Sol: x2 – (h + k)x + hk = 0 يعية ب ال رت اعلمادلة x2 – (3 – i) x + a = 0 , let h = 1 + 2i الاول رذجلا , k ثالاني رذجلا h + k = 3 – i (1 + 2i) + k = 3 – i k = (3 – i) – (1 + 2i) k = (3 – i) + (- 1 – 2i ) = 2 – 3i h k = a (1 + 2i)(2 – 3i) = a a = 2 – 3i + 4i + 6 a = 8 + i X (1+2i) a (1+2i) 5 (𝟏 + 𝟐𝒊), (𝟏 − 𝒊) 𝒍𝒆𝒕 𝑴 = 𝟏 + 𝟐𝒊 , 𝑳 = 𝟏 − 𝒊 𝑴 + 𝑳 = (𝟏 + 𝟐𝒊) + (𝟏 − 𝒊) = 𝟐 + 𝒊 𝑴𝑳 = (𝟏 + 𝟐𝒊)(𝟏 − 𝒊) = 𝟏 − 𝒊 + 𝟐𝒊 − 𝟐𝒊𝟐 = 𝟑 + 𝒊 𝒙𝟐 − (𝑴 + 𝑳)𝒙 + 𝑴𝑳 = 𝟎 𝒙𝟐 − (𝟐 + 𝒊)𝒙 + 𝟑 + 𝒊 = 𝟎
- 43. 43 2021 1 𝟐 ( 𝟐√𝟑 − √−𝟒) 𝟐 𝟐 sol: ( 𝟐√𝟑 − √−𝟒) = ( 𝟐√𝟑 − 𝟐𝒊) 𝒓(𝐜𝐨𝐬𝛉 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽) 𝟐 𝒛 = ( 𝟐√𝟑 − 𝟐𝒊) = 𝟏𝟐 − 𝟖√𝟑 𝒊 + 𝟒𝒊𝟐 = 𝟖 − 𝟖√𝟑 𝒊 r =√𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 = √(𝟖)𝟐 + ( −𝟖√𝟑)𝟐 = √𝟔𝟒 + 𝟏𝟗𝟐 = √𝟐𝟓𝟔 = 16 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒙 𝒓 = 𝟖 = 𝟏 𝐲 = − 𝟖√𝟑 = − √𝟑 𝐫 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝝅 𝟑 , 𝐬𝐢𝐧 𝛉 = 𝜽 𝝅 𝜽 = 𝟐𝝅 − = 𝟑 𝟑 𝟓𝝅 𝒛 = 𝒓 (𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝜽 ) ⇒ 𝒛 = 𝟏𝟔(𝒄𝒐𝒔 𝟓𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝝅 ) 𝟑 𝟑 𝒛 = 𝟐√𝟑 − 𝟐𝒊 r =√𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 = √(𝟐√𝟑)𝟐 + ( −𝟐)𝟐 = √𝟏𝟐 + 𝟒 = √𝟏𝟔 = 4 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒓 𝟒 𝒙 = 𝟐√𝟑 = √𝟑 𝟐 𝐫 𝐲 𝟐 𝟒 , 𝐬𝐢𝐧 𝛉 = = − = − 𝟏 𝟐 𝝅 𝟔 𝜽 𝝅 𝜽 = 𝟐𝝅 − = 𝟔 𝟔 𝟏𝟏𝝅 𝟔 𝟔 𝒛 = 𝒓 (𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝜽 ) ⇒ 𝒛 = 𝟒(𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟏𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟏𝝅 ) 𝟐 )𝟐 𝒛𝟐 = [ 𝟒(𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟏𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟏𝝅 ) ] = (𝟒 (𝒄𝒐𝒔 𝟔 𝟔 𝟔 𝟔 𝟐𝟐𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟐𝟐𝝅 ) = 𝟏𝟔 (𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟏𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟏𝝅 ) = 𝟏𝟔(𝒄𝒐𝒔 𝟓𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝝅 ) 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑
- 44. 44 2021 2 𝟐( 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝝅 )−𝟒 𝟖 𝟖 𝟐( 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝝅 )−𝟒 ≠ [𝟐 ( 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝝅 )]−𝟒 𝟖 𝟖 𝟖 𝟖 sol : 𝟐( 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝝅 )−𝟒 = 𝟐 ( 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟐𝝅 − 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟏𝟐𝝅 ) 𝟖 𝟖 𝟖 𝟖 = 𝟐 (𝒄𝒐𝒔 𝟑𝝅 − 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝝅 ) 𝟐 𝟐 = 𝟐( 𝟎 − 𝒊(−𝟏)) = 𝟐(𝟎 + 𝒊) = 𝟎 + 𝟐𝒊 𝟐( 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝝅 )−𝟒 = 𝟖 𝟖 = 𝟐 𝟐 ( 𝒄𝒐𝒔𝟑𝝅 +𝒊 𝒔𝒊𝒏𝟑𝝅 )𝟒 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟐𝝅 +𝒊𝒔𝒊𝒏𝟏𝟐𝝅 𝟖 𝟖 𝟖 𝟖 = 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟑𝝅 +𝒊 𝒔𝒊𝒏𝟑𝝅 𝟐 𝟐 −𝒊 𝟐 𝟐 𝒊 = = . = 𝟐𝒊 = 𝟎 + 𝟐𝒊 −𝒊 𝒊 𝟑𝝅 𝟑𝝅 −𝟒 ( 𝒄𝒐𝒔 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 ) = 𝟖 𝟖 𝟏 𝟑𝝅 𝟑𝝅 ( 𝒄𝒐𝒔 𝟖 +𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟖 ) 𝟒 ≠ ( 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝝅 𝟖 𝟖 𝟏 )𝟒 3 (𝒄𝒐𝒔𝟑𝜽−𝒊 𝒔𝒊𝒏𝟑𝜽)𝟐 (𝒄𝒐𝒔𝟑𝜽+𝒊 𝒔𝒊𝒏𝟑𝜽)𝟓 − ( 𝒄𝒐𝒔𝟕𝜽 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏𝟕𝜽 )𝟑 (𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽) [(𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽)]𝒏 = (𝒄𝒐𝒔 𝒏 𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝒏 𝜽) ∀ 𝒏 ∈ 𝑵 ,𝜽 ∈ 𝑹 [ ( cos θ + i sin θ )]-n = ( cosnθ - i sin nθ) ∀ n ∈ N , θ ∈ R sol : (𝒄𝒐𝒔𝟑𝜽+𝒊 𝒔𝒊𝒏𝟑𝜽)𝟓 (𝒄𝒐𝒔𝟑𝜽−𝒊 𝒔𝒊𝒏𝟑𝜽)𝟐 − ( 𝒄𝒐𝒔𝟕𝜽 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏𝟕𝜽 )𝟑 = [(𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽)𝟑]𝟓 [(𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽)−𝟑 ]𝟐 − [(𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽)𝟕]𝟑 (𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽)𝟏𝟓 = − (𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽)𝟐𝟏 (𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽)−𝟔 = (𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽)𝟐𝟏 − (𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 𝜽)𝟐𝟏 = 𝟎
- 45. 45 2021 4 𝟑 𝒙𝟑 − 𝟗𝒊 = 𝟎 𝟑 𝟑 sol : [𝒙 − 𝟗𝒊 = 𝟎 ] . 𝟑 → 𝒙𝟑 − 𝟐𝟕𝒊 = 𝟎 → 𝒙𝟑 = 𝟐𝟕𝒊 𝟑 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝒙 = 𝟐𝟕 (𝐜𝐨𝐬 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 ) 𝝅 𝟐 𝝅 𝟐 𝒙 = [𝟐𝟕 (𝐜𝐨𝐬 + 𝒊𝒔𝒊𝒏 )] 𝟏 𝟑 𝛑 +𝟐𝐤𝛑 𝟑 𝛑 +𝟐𝐤𝛑 𝟑 x = 3 (cos 𝟐 + i sin𝟐 ) ; 𝒌 = 𝟎 , 𝟏 , 𝟐 if k = 0 ⇒ 𝐱 = 𝟑(𝒄𝒐𝒔 𝝅 𝟔 𝝅 𝟔 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 ) = 𝟑 ( 𝟐 √𝟑 + 𝟐 𝟏 𝒊) = ( 𝟐 𝟑√𝟑 + 𝟐 𝟑 𝒊) if k = 1 ⇒ 𝐱 = 𝟑(𝒄𝒐𝒔 𝟓𝝅 𝟔 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝝅 ) = 𝟑 (− √𝟑 + 𝟏 𝒊) = ( − 𝟑√𝟑 + 𝟑 𝒊) 𝟔 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 if k = 2 ⇒ 𝐱 = 𝟑 (𝒄𝒐𝒔 𝟗𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟗𝝅 ) = 𝟑 (𝒄𝒐𝒔 𝟑𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝝅 ) = −𝟑𝒊 𝟔 𝟔 𝟐 𝟐 5 𝒁 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒁𝒏 = 𝟏 𝟏+𝒁𝟐𝒏 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒏𝜽 𝒁𝒏 sol : LHS: = = (𝒄𝒐𝒔𝜽+𝒊 𝒔𝒊𝒏𝜽)𝒏 𝒄𝒐𝒔𝒏𝜽+𝒊𝒔𝒊𝒏𝒏𝜽 𝟏+𝒁𝟐𝒏 𝟏+(𝒄𝒐𝒔𝜽+𝒊 𝒔𝒊𝒏𝜽)𝟐𝒏 𝟏+ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒏𝜽+𝒊 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒏𝜽 = = 𝒄𝒐𝒔𝒏𝜽+𝒊 𝒔𝒊𝒏𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝒏𝜽+𝒊𝒔𝒊𝒏𝒏𝜽 𝟏+𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒏𝜽−𝟏+𝒊 (𝟐𝒔𝒊𝒏 𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔 𝒏𝜽) 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒏𝜽+𝒊 (𝟐𝐬𝐢 𝐧 𝒏𝜽𝐜𝐨 𝐬 𝒏𝜽) = 𝒄𝒐𝒔𝒏𝜽+𝒊 𝒔𝒊𝒏𝒏𝜽 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝜽 (𝒄𝒐𝒔𝒏𝜽+𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝒏𝜽) 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝜽 = :RHS 𝒁𝒏 = 𝟏+𝒁𝟐𝒏 𝟏+𝒁𝟐𝒏 𝒁𝒏 . 𝒁−𝒏 = 𝟏 𝒁−𝒏 𝒁−𝒏+𝒁𝒏 = 𝟏 (𝒄𝒐𝒔𝜽+𝒊 𝒔𝒊𝒏𝜽)−𝒏+(𝒄𝒐𝒔𝜽+𝒊 𝒔𝒊𝒏𝜽)𝒏 = = 𝟏 𝟏 (𝒄𝒐𝒔𝒏𝜽−𝒊 𝒔𝒊𝒏𝒏𝜽)+(𝒄𝒐𝒔𝒏𝜽+𝒊 𝒔𝒊𝒏𝒏𝜽) 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒏𝜽
- 46. 46 2021 1 (2,-1) (𝟐 ,−𝟏) ∈ 𝒚 = −𝟏 𝒙𝟐 = 𝟒𝒑𝒚 𝒙𝟐 = 𝟒𝒚 𝑭(𝟎, 𝟏) 𝒑 = 𝟏 2 {𝟏, 𝟗} 2a 2c 2a = 1+9 2a = 10 a = 5 2c= 9-1 2c= 8 c= 4 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 25 = 𝒃𝟐 + 𝟏𝟔 𝒃𝟐 = 𝟗 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 𝟐𝟓 𝟗 𝟐 𝟐 𝒙 + 𝒚 = 𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 = 𝟏 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 = 𝟏
- 47. 47 2021 3 𝟐𝟓𝟔 (− 𝟒 , 𝟏𝟕) 2a , 2b (𝟐𝒂)𝟐 + (𝟐𝒃)𝟐 = 𝟒𝒂𝟐 + 𝟒𝒃𝟐 (𝟐𝒂 + 𝟐𝒃)𝟐 (𝒎, 𝒍) 𝒙 = 𝒎 (𝒎, 𝒍) 𝒍 𝒚 = 𝒍 𝒎 x = -4 p = 4 𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙 F(4 , 0) 𝒚𝟐 = 𝟏𝟔𝒙 (∓𝟒, 𝟎) c = 4 (𝟐𝒂 + 𝟐𝒃)𝟐 = 𝟐𝟓𝟔 𝟐𝒂 + 𝟐𝒃 = 𝟏𝟔 𝒂 + 𝒃 = 𝟖 𝒂 = 𝟖 − 𝒃 ….(1) (𝟖 − 𝒃)𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝟏𝟔 , 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝟏𝟔 …. (2) 𝟔𝟒 − 𝟏𝟔𝒃 + 𝒃𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝒃 = 𝟒𝟖 𝒃 = 𝟑 in(1) 𝒂 = 𝟖 − 𝟑 = 𝟓 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 𝟐𝟓 𝟗 𝟐 𝟐 𝒙 + 𝒚 = 𝟏
- 48. 48 2021 4 𝟑 𝐲𝟐 − 𝟐 𝐱 = 𝟎 √𝟐 1 2 𝟑 𝐲𝟐 − 𝟐 𝐱 = 𝟎 𝒚 = √𝟐 𝟑 𝟐 − 𝟐 𝒙 = 𝟎 𝟑 𝟐 𝒙 = 𝟐 𝒙 = 𝟑 (𝟑 ,√𝟐 ) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟐 2a = 3(2b) a = 3b …..(1) 𝟗 𝟗𝒃𝟐 + 𝟐 = 𝟏 𝟏 + 𝟐 = 𝟏 𝟑 = 𝟏 𝒃𝟐 = 𝟑 𝒃𝟐 𝒃𝟐 𝒃𝟐 𝒃𝟐 𝒃 = √𝟑 in(1) 𝒂 = 𝟑√𝟑 𝟐𝟕 𝟑 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏
- 49. 49 2021 5 (15 ) (𝟐√𝟏𝟕 ) 𝑨 = 𝒂𝒃𝝅 𝑷 = 𝟐𝝅√𝒂𝟐+𝒃𝟐 𝟐 𝟏𝟓𝝅 = 𝒂𝒃𝝅 𝒂𝒃 = 𝟏𝟓 𝒂 = 𝟏𝟓 𝒃 ….(1) in(2) 𝟐√𝟏𝟕 = 𝟐𝝅√𝒂𝟐+𝒃𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 √𝟏𝟕 = √𝒂 +𝒃 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟕 = 𝒂 +𝒃 𝟐 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝟑𝟒 ….(2) 𝒃𝟐 [ 𝟐𝟐𝟓 + 𝒃𝟐 = 𝟑𝟒 ] . 𝒃𝟐 𝟐𝟐𝟓 + 𝒃𝟒 = 𝟑𝟒𝒃𝟐 𝒃𝟒 − 𝟑𝟒𝒃𝟐 + 𝟐𝟐𝟓 = 𝟎 (𝒃𝟐 − 𝟐𝟓)(𝒃𝟐 − 𝟗) = 𝟎 either 𝒃𝟐 = 𝟐𝟓 𝒃 = 𝟓 in(1) 𝒂 = 𝟑 OR 𝒃𝟐 = 𝟗 𝒃 = 𝟑 in(1) 𝒂 = 𝟓 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 𝟐𝟓 𝟗 𝟐 𝟐 𝒙 + 𝒚 = 𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟐𝟓 𝟗 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 = 𝟏 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 = 𝟏
- 50. 50 2021 1 6 ( 𝟏 , −𝟐√𝟕 ), ( 𝟏 , 𝟐√𝟕 ) p 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒃𝟐 ( 𝟏 , −𝟐√𝟕 ), ( 𝟏 , 𝟐√𝟕 ) 𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙 𝟐𝟖 = 𝟒𝒑 𝒑 = 𝟕 𝒚𝟐 = 𝟐𝟖𝒙 𝑭(𝟕,𝟎) 𝑭(∓𝟕, 𝟎) 𝒄 = 𝟕 𝟐𝒂 = 𝟔 𝒂 = 𝟑 , 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝟒𝟗 = 𝟗 + 𝒃𝟐 𝒃𝟐 = 𝟒𝟎 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟏 𝟗 𝟒𝟎 𝟐 𝟐 , 𝒙 − 𝒚 = 𝟏
- 51. 51 2021 2 𝟑 𝟏 𝐲𝟐 − 𝐱𝟐 = 𝟏 𝟏 √𝟑 𝟏 √𝟑 𝑴(𝒙, 𝒚) 𝟏 √𝟑 1 F x,y 𝟑 𝟏 𝐲𝟐 − 𝐱𝟐 = 𝟏 𝒂𝟐 = 𝟑 , 𝒃𝟐 = 𝟏 , 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝟒 𝑭(𝟎,𝟐) , 𝒄 = 𝟐 let M(x,y) ∈ , M F= 𝟏 √𝟑 = √(𝒙 − 𝟎)𝟐 + (𝒚 − 𝟐)𝟐 𝟏 √𝟑 𝟏 √𝟑 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒚 + 𝟒 𝟑 𝟏 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒚 + 𝟒 3 𝟏 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟏𝟐 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟏𝟏 = 𝟎 … (𝟏) 𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 [ 𝐲 − 𝐱 = 𝟏] . 𝟑 𝒚𝟐 − 𝟑𝒙𝟐 = 𝟑 𝟑𝒙𝟐 = 𝒚𝟐 − 𝟑 … (𝟐) in(1) 𝒚𝟐 − 𝟑 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟏𝟏 = 𝟎 [𝟒𝒚𝟐 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟖 = 𝟎 ] 4 𝒚𝟐 − 𝟑𝒚 + 𝟐 = 𝟎 (𝒚 − 𝟐)(𝒚 − 𝟏) = 𝟎 y=1 𝟑𝒙𝟐 = −𝟐 y=2 𝟑𝒙𝟐 = 𝟒 − 𝟑 𝟑𝒙𝟐 = 𝟏 𝒙𝟐 = 𝟏 𝒙 = ∓ 𝟏 𝟑 √𝟑 𝟏 𝟏 ( , 𝟐) , ( − , 𝟐) ∈ √𝟑 √𝟑
- 52. 52 2021 3 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒚𝟐 = 𝟒𝟖 𝟒 𝟏𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 [𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒚𝟐 = 𝟒𝟖 ] 48 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟏 , 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟏 𝒂𝟐 = 𝟒 , 𝒃𝟐 = 𝟏𝟐 , 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒄𝟐 = 𝟒 + 𝟏𝟐 = 𝟏𝟔 𝒂 = 𝟐 , 𝒃 = √𝟏𝟐 = 𝟐√𝟑 , 𝒄 = 𝟒 𝑭(∓𝟒,𝟎) , 𝑽(∓𝟐, 𝟎) 𝑴(𝟎,∓𝟐√𝟑) 𝟐𝒂 = 𝟒 𝟐𝒃 = 𝟒√𝟑 𝒄 𝟒 𝒂 𝟐 𝒆 = = = 𝟐
- 53. 53 2021 4 𝟗𝐱𝟐 + 𝟐𝟓𝐲𝟐 = 𝟐𝟐𝟓 hx2 – ky2 = 25 h , k 𝟐𝟓 𝟗 [𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒚𝟐 = 𝟐𝟐𝟓] 225 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 𝒂𝟐 = 𝟐𝟓 , 𝒃𝟐 = 𝟗 , 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = 𝟐𝟓 − 𝟗 = 𝟏𝟔 𝒂 = 𝟓 , 𝒃 = 𝟑 , 𝒄 = 𝟒 𝑭(∓𝟒,𝟎) 𝑭(∓𝟓,𝟎) 𝒄 = 𝟓 , 𝒂 = 𝟒 , 𝑽(∓𝟓,𝟎) , 𝑽(∓𝟒,𝟎) 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝟐𝟓 = 𝟏𝟔 + 𝒃𝟐 𝒃𝟐 = 𝟗 , 𝒃 = 𝟑 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟏 𝟏𝟔 𝟗 𝟐 𝟐 , 𝒙 − 𝒚 = 𝟏 [𝒉𝒙𝟐 − 𝒌𝒚𝟐 = 𝟐𝟓] 25 𝒙𝟐 𝟐𝟓 𝒉 𝒚𝟐 𝟐𝟓 𝒌 − = 𝟏 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓 𝒉 = 𝟐𝟓 𝒉 𝟏𝟔 𝟗 = 𝟐𝟓 𝒌 = 𝟐𝟓 𝒌 𝟗 𝟏𝟔 𝟗 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟏 𝒉𝒙𝟐 − 𝒌𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟗 h,k 25
- 54. 54 2021 5 𝒚𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 = 𝟎 (𝟔, 𝟐√𝟐) (𝟔, 𝟐√𝟐) c 𝒂𝟐𝒃𝟐 1 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 2 𝟒𝒑 = 𝟏𝟔 𝒑 = 𝟒 sol : 𝒚𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 = 𝟎 , 𝒚𝟐 = −𝟏𝟔𝒙 , 𝒚𝟐 = −𝟒𝒑𝒙 𝑭(−𝟒,𝟎) (∓𝟒,𝟎) 𝒄 = 𝟒 , (𝟔, 𝟐√𝟐) ∈ 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟏 [ 𝟑𝟔 − 𝟖 = 𝟏 ] . 𝒂𝟐𝒃𝟐 𝟑𝟔𝒃𝟐 − 𝟖𝒂𝟐 = 𝒂𝟐𝒃𝟐 … . (𝟏) 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟏𝟔 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒂𝟐 = 𝟏𝟔 − 𝒃𝟐 ….(2) in(1) 𝟑𝟔𝒃𝟐 − 𝟖(𝟏𝟔 − 𝒃𝟐) = (𝟏𝟔 − 𝒃𝟐)𝒃𝟐 𝟑𝟔𝒃𝟐 − 𝟏𝟐𝟖 + 𝟖𝒃𝟐 = 𝟏𝟔𝒃𝟐 − 𝒃𝟒 𝒃𝟒 + 𝟐𝟖𝒃𝟐 − 𝟏𝟐𝟖 = 𝟎 (𝒃𝟐 + 𝟑𝟐)(𝒃𝟐 − 𝟒) = 𝟎 𝒃𝟐 + 𝟑𝟐 = 𝟎 , 𝒃𝟐 − 𝟒 = 𝟎 𝒃𝟐 = 𝟒 in(2) 𝒂𝟐 = 𝟏𝟔 − 𝟒 = 𝟏𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟏 𝟑𝟔 𝟖 𝟏𝟐 𝟒 − = 𝟑 − 𝟐 = 𝟏
- 55. 55 2021 1 ̅𝒙 ̅̅. ̅̅𝒚 ̅ = 𝒙 ̅ . 𝒚 ̅ 𝒙 = 𝟏 − 𝟑𝒊 , 𝒚 = 𝟐 + 𝒊 sol : 𝑳𝑯𝑺: ̅𝒙̅̅.̅̅𝒚̅ = (̅̅𝟏̅̅−̅̅̅ 𝟑̅̅𝒊̅)̅.̅(̅̅𝟐̅̅+̅̅̅ 𝒊̅)̅̅ = 𝟐̅̅̅ +̅̅̅ 𝒊̅̅−̅̅̅ 𝟔̅̅𝒊̅−̅̅̅ 𝟑̅̅𝒊̅𝟐 ̅ = ̅𝟓̅̅−̅̅̅𝟓̅̅𝒊 = 𝟓 + 𝟓𝒊 𝑹𝑯𝑺: 𝒙 ̅ . 𝒚 ̅ = ̅(̅𝟏̅̅−̅̅̅ 𝟑̅̅𝒊̅̅) . ̅(̅𝟐̅̅+̅̅̅ 𝒊̅̅) = (𝟏 + 𝟑𝒊)(𝟐 − 𝒊) = 𝟐 − 𝒊 + 𝟔𝒊 − 𝟑𝒊𝟐 = 𝟓 + 𝟓𝒊 𝑳𝑯𝑺 = 𝑹𝑯𝑺 (−𝟐√𝟑 , −𝟏) , ( √𝟔 , − 𝟏 𝟐 ) √𝟖𝟐 𝝅 𝒙𝟐 = −𝟒𝒑𝒚 𝟏𝟐 = 𝟒𝒑 𝒑 = 𝟑 𝑭(𝟎, −𝟑) 𝑭(𝟎 , ∓𝟑) 𝒄 = 𝟑 𝑷 = 𝟐𝝅√𝒂𝟐+𝒃𝟐 𝟐 √𝟖𝟐 𝝅 𝟐 = 𝟐𝝅√𝒂𝟐+𝒃 𝟐 √𝟖𝟐 𝟐 = 𝟐√𝒂𝟐+𝒃 𝟐 𝟐 𝟐 𝟖𝟐 = 𝟒(𝒂 +𝒃 ) 𝟐 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝟒𝟏 …(1) 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝟗 …(2) in(1) 𝒃𝟐 + 𝟗 + 𝒃𝟐 = 𝟒𝟏 𝟐𝒃𝟐 = 𝟑𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏𝟔 in(2) 𝒂𝟐 = 𝟐𝟓 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 = 𝟏 , 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 = 𝟏
- 56. 56 2021 2 𝐱 , 𝐲 𝐑 𝟏−𝟐𝒊 𝒙 + 𝟑−𝒊 𝒚 = 𝟑 − 𝟐𝟏 𝒊 𝟏+𝒊 𝟏−𝒊 sol: (𝟏−𝟐𝒊 . 𝟏−𝒊 ) 𝒙 + (𝟑−𝒊 . 𝟏+𝒊 ) 𝒚 = 𝟑 − 𝟐𝟏 𝒊 𝟏+𝒊 𝟏−𝒊 𝟏−𝒊 𝟏+𝒊 ( 𝟏−𝐢−𝟐𝐢+𝟐𝐢𝟐 𝟑+𝟑𝒊−𝒊−𝒊𝟐 𝟐 𝟐 ) 𝒙 + ( ) 𝒚 = 𝟑 − 𝟐𝟏 𝒊 2 (−𝟏 − 𝟑𝒊)𝒙 + (𝟒 + 𝟐𝒊)𝒚 = 𝟔 − 𝟒𝟐𝒊 (−𝒙 − 𝟑𝒙𝒊) + (𝟒𝒚 + 𝟐𝒚𝒊) = 𝟔 − 𝟒𝟐𝒊 (−𝒙 + 𝟒𝒚) + (−𝟑𝒙 + 𝟐𝒚)𝒊 = 𝟔 − 𝟒𝟐𝒊 −𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟔 𝒙 = 𝟒𝒚 − 𝟔 …(1) in(2) −𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟒𝟐 …(2) −𝟑(𝟒𝒚 − 𝟔) + 𝟐𝒚 = −𝟒𝟐 −𝟏𝟐𝒚 + 𝟏𝟖 + 𝟐𝒚 = −𝟒𝟐 𝒙 = 𝟐𝟒 − 𝟔 = 𝟏𝟖 −𝟏𝟎𝒚 = −𝟔𝟎 𝒚 = 𝟔 in(1) 𝟗𝒚𝟐 – 𝟏𝟔𝒙𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 8 [𝟗𝒚𝟐 – 𝟏𝟔𝒙𝟐 = 𝟏𝟒𝟒] 144 𝒚𝟐 − 𝒙𝟐 = 𝟏 𝒂𝟐 = 𝟏𝟔 , 𝒃𝟐 = 𝟗 , 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟗 𝑭(𝟎, ∓𝟓) 𝒄 = 𝟓 8 𝒂 = 𝟓 , 𝟐𝒃 = 𝟖 𝒃 = 𝟒 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 = 𝟏 𝟐𝟓 𝟏𝟔 𝟐 𝟐 , 𝒚 + 𝒙 = 𝟏 1 2 3 12 10 8
- 57. 57 2021 3 𝒙𝟐 − 𝒊𝒙 + 𝟔 = 𝟎 c sol: 𝒙𝟐 − 𝒊𝒙 + 𝟔 = 𝟎 𝒙𝟐 − 𝒊𝒙 − 𝟔𝒊𝟐 = 𝟎 𝒆𝒊 𝒙 = 𝟑𝒊 (𝒙 − 𝟑𝒊)(𝒙 + 𝟐𝒊) = 𝟎 𝒂𝒏𝒔 = { 𝟑𝒊 , −𝟐𝒊} 𝑶𝑹 𝒙 = −𝟐𝒊 𝒑( 𝒉 , 𝟐 √𝟐) 𝒙𝟐 − 𝟑𝒚𝟐 = 𝟐𝒉 h P هتلداعم قق ح ت اهن إ ف ة ط ن ق ب ين ح نمال رم ا ذ ا ل ح ال ⇒ h2 – 2h – 24 = 0 ⇒ (h – 6)(h + 4) = 0 h2 – 3(8) = 2h either h = - 4 بجوم ح ق ي ق ي ددعال نا ركذ هنأل لمهت OR h = 6 𝟐 𝟐 [x2 – 3y2 = 12 ] ÷ 12 ⇒ 𝐱 − 𝐲 = 𝟏 𝟏𝟐 𝟒 a2 = 12 , b2 = 4 , c2 = a2 + b2 ⇒ c2 = 12 + 4 ⇒ c2 = 16 ⇒ c = 4 F1(4 , 0) , F2(- 4 , 0) د ئاز ال ع ط قال يترؤب ى ن م ال ي ة ه ال ج ن م يرؤب ال رط ق ال ف ص نال ل ط و و ه P F1 س ر ى ي ال ة ه ال ج ن م يرؤب ال رط ق ال ف ص نال ل ط و و ه P F2 P F1 = √(𝟔 − 𝟒 )𝟐 + (√𝟖 − 𝟎 )𝟐= √𝟒 + 𝟖 = √𝟏𝟐 = 2√𝟑 لوط ةدحو P F2 = √(𝟔 + 𝟒 )𝟐 + (√𝟖 − 𝟎 )𝟐= √𝟏𝟎𝟎 + 𝟖 = √𝟏𝟎𝟖 = 6√𝟑 لوط ةدحو
- 58. 58 2021 4 (−𝟏 − 𝒊)𝟕 𝒛 = −𝟏 − 𝒊 𝒑(𝒛) = (−𝟏, −𝟏) 𝒓 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = √(−𝟏)𝟐 + (−𝟏)𝟐 = √𝟏 + 𝟏 = √𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒙 = − 𝟏 , 𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝒚 = − 𝟏 , 𝒓 √𝟐 𝒓 √𝟐 𝝅 𝟒 𝜽 = 𝝅 + 𝝅 = 𝟓𝝅 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝒛 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏𝜽) = √𝟐 ( 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝝅 ) 𝟒 𝟒 𝟒 𝟕 𝒛𝟕 = [√𝟐 ( 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟓𝝅 ) ] = (√𝟐) 𝟕 ( 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟓𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝟓𝝅 ) 𝟒 𝟐 𝟑 = [(√𝟐) ] √𝟐 ( 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝝅 𝟒 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟑𝝅 𝟒 ) = 𝟖√𝟐 ( 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝝅 𝟑𝝅 𝟒 𝟒 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 ) 𝝅 𝟒 𝝅 𝟒 𝟏 𝟏 √𝟐 √𝟐 = 𝟖√𝟐 (−𝒄𝒐𝒔 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 ) = 𝟖√𝟐 (− + 𝒊) = −𝟖 + 𝟖𝒊 1 2 ( 𝟐 √𝟑𝟎 , 𝟐) 2c= 4(2b) c= 4b …..(1) in(3) 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟏 [ 𝟏𝟐𝟎 − 𝟒 = 𝟏] . 𝒂𝟐𝒃𝟐 𝟏𝟐𝟎𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝟐 = 𝒂𝟐𝒃𝟐 … .(2) 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 …. (3) 𝟏𝟔𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒂𝟐 = 𝟏𝟓𝒃𝟐 … (4) in(2) 𝟏𝟐𝟎𝒃𝟐 − 𝟔𝟎𝒃𝟐 = (𝟏𝟓𝒃𝟐)𝒃𝟐 [𝟔𝟎𝒃𝟐 = 𝟏𝟓𝒃𝟒] 𝟏𝟓𝒃𝟐 𝒃𝟐 = 𝟒 in(4) 𝒂𝟐 = 𝟔𝟎 𝟔𝟎 𝟒 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟏
- 59. 59 2021 5 −𝟏+√𝟑𝒊 −𝟏− √−𝟑 𝒛 = −𝟏+√𝟑𝒊 = −𝟏+√𝟑𝒊 .−𝟏+√𝟑𝒊 = 𝟏−𝟐√𝟑𝒊+𝟑𝒊𝟐 = −𝟐−𝟐√𝟑𝒊 −𝟏− √−𝟑 −𝟏− √𝟑 𝒊 −𝟏+√𝟑𝒊 𝟏+𝟑 𝟒 = − − 𝟐 𝟐 𝟏 √𝟑 𝒊 𝟐 𝟏 √𝟑 𝟐 𝟐 𝒓 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = √(− ) + (− ) 𝟐 𝟏 𝟑 𝟒 𝟒 = √ + = 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒙 = − 𝟏 , 𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝒚 = − √𝟑 , 𝒓 𝟐 𝒓 𝟐 𝝅 𝟑 𝜽 = 𝝅 + 𝝅 = 𝟒𝝅 𝟑 𝟑 𝒛 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏𝜽) = ( 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝝅 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟒𝝅 ) 𝟑 𝟑 𝟏 𝟒𝛑 +𝟐𝐤𝛑 𝟒𝛑 +𝟐𝐤𝛑 𝟐 𝟐 𝐳𝟐 = (𝒄𝒐𝒔 𝟑 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟑 ) ; 𝒌 = 𝟎 , 𝟏 𝟏 𝟒𝝅 𝟒𝝅 𝟐 𝟐 𝒊𝒇 𝒌 = 𝟎 ⇒ 𝒛𝟐 = ( 𝒄𝒐𝒔 𝟑 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟑 ) = ( 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝝅 𝟑 𝟐𝝅 −𝟏 √𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 ) = + 𝒊 𝟏 𝟒𝝅 +𝟐𝝅 𝟐 𝟒𝝅 +𝟐𝝅 𝟐 𝒊𝒇 𝒌 = 𝟏 ⇒ 𝒛𝟐 = ( 𝒄𝒐𝒔 𝟑 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 𝟑 ) 𝟑 𝟓𝝅 𝟓𝝅 𝟑 𝟏 𝟐 = ( 𝒄𝒐𝒔 + 𝒊 𝒔𝒊𝒏 ) = − √𝟑 𝟐 𝒊 x2 –24y = 0 x2 + y2 –16y –64 = 0 sol : x2 – 24y = 0 ⇒ x2 = 24 y , x2 = 4py ⇒ 4p = 24 ⇒ p = 6 F(0 , 6) ئفاكمال عطقال ةرؤب ⇒ (0 , ± 6) انالقص عطقال يترؤب c = 6 ت ا د ا ص ال رو ح م ىل ع ن ا عق ت ي ن ت ر ب ؤ ال و ن إ ف y = 0 ن وك ي ا م دنع x2 + y2 – 16y – 64 = 0 ين ح ن مال يف x2 – 64 = 0 ⇒ x2 = 64 ⇒ x = ± 8 ⇒ (8,0) , (-8,0) يسالنات رومح مع نيحنلما عطاقت تيطقن (±8,0) ∈ صقانال عطقال ⇒b = 8 اتداصال رومح ىلع انعقت بالؤنرتي نأل a2 = b2 + c2 ⇒ a2 = 64 + 36 = 100 𝐚𝟐 𝐛𝟐 𝟐 + 𝐱 = 𝟏 ⇒ 𝐲𝟐 𝐲𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝟔𝟒 𝟐 + 𝐱 = 𝟏 انقص ال ع ط قال ة لداعم
- 60. 60 2021 1 𝒚 = 𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙 sol: 𝐲(𝟓) – 𝐲′ − 𝟒𝐬𝐢𝐧𝐱 = 𝟎 = 𝒙 . 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝐝𝟐𝐲 𝐝𝐱𝟐 𝐲(𝟑) 𝐲(𝟒) = 𝐱(− 𝐬𝐢𝐧𝐱) + 𝐜𝐨𝐬𝐱 + 𝐜𝐨𝐬𝐱 = − 𝐱 . 𝐬𝐢𝐧 𝐱 + 𝟐𝐜𝐨𝐬𝐱 = −𝐱 . 𝐜𝐨𝐬 𝐱 + 𝐬𝐢𝐧 𝐱 . (−𝟏) – 𝟐𝐬𝐢𝐧 𝐱 = − 𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱 – 𝟑 𝐬𝐢𝐧 𝐱 = − 𝐱 (−𝐬𝐢𝐧 𝐱) + 𝐜𝐨𝐬 𝐱 ( −𝟏) – 𝟑 𝐜𝐨𝐬 𝐱 = 𝐱 𝐬𝐢𝐧 𝐱 – 𝟒 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝒚(𝟓) = 𝐱 𝐜𝐨𝐬𝐱 + 𝐬𝐢𝐧𝐱 + 𝟒 𝐬𝐢𝐧𝐱 = 𝐱 𝐜𝐨𝐬𝐱 + 𝟓 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐲(𝟓) – 𝐲′ − 𝟒𝐬𝐢𝐧𝐱 = 𝐱 𝐜𝐨𝐬𝐱 + 𝟓 𝐬𝐢𝐧𝐱 − 𝒙 . 𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒔𝒊𝒏𝒙 − 𝟒𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝟎 2 𝟗𝟔 𝒄𝒎𝟐 𝟐𝒄𝒎/𝒔 𝟖 𝒄𝒎 sol: let A = A = x y , x = , y = 𝐝𝐱 𝐝𝐭 𝐝𝐭 = 2 , 𝐝𝒑 = ? 𝟗𝟔 = 𝟖𝒙 ⇒ 𝒙 = 𝟏𝟐 A = 96 ) ( 𝟎 = 𝒙 𝒅𝒚 + 𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒕 𝒅𝒕 x = ? , y = 8 𝟎 = 𝟏𝟐 𝒅𝒚 + (𝟖) (𝟐) 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⇒ 𝟏𝟐 𝒅𝒚 = −𝟏𝟔 ⇒ 𝒅𝒚 = − 𝒅𝒕 𝟑 𝟒 𝒄𝒎/𝒔 ض رعال ر يغ ت لدعم 𝒑 = 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 𝒅𝒑 = 𝟐 𝒅𝒙 + 𝟐 𝒅𝒚 = 𝟐(𝟐) + 𝟐 (− 𝟒 ) = 𝟒 − 𝟖 = 𝟒 𝒎/𝒔 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝟑 𝟑 𝟑 X y
- 61. 61 2021 3 : ل ل ح ا ( = 3) 𝒗𝟏 = (𝟖)𝟑 𝒗𝟐 = (𝟖 + 𝟐𝒙)𝟑 𝟖 𝒎 𝟔 𝒎𝟑/𝒔 𝟏 𝒎 ، x = ⇐ 8 = ⇐ (8 + 2x) = 𝒗 = 𝒗𝟐 – 𝒗𝟏 ⇒ 𝒗 = (𝟖 + 𝟐𝒙)𝟑 – (𝟖)𝟑 𝒅𝒗 𝒅𝒕 𝒅𝒕 = 𝟑(𝟖 + 𝟐𝒙)𝟐 . (𝟐)𝒅𝒙 + 𝟎 𝒅𝒕 − 𝟔 = 𝟑( 𝟖 + 𝟐)𝟐 . (𝟐) 𝒅𝒙 ⇒ 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = − 𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝒎/𝒔 𝐝𝐭 𝐝𝐱 = - 0,01 m/s 𝐝𝐭 𝐝𝐱 = 0,01 m/s 16 4 cm 5 cm3/s 24cm 1 cm3/s 𝟗 𝐜𝐦 , r = Sol: let V = , h = 𝟑 V = 𝛑 r2 h 𝟖 = 𝒓 𝟐𝟒 𝒉 𝒂𝒃𝒄 ,𝒂𝒆𝒇 𝟖 𝒉 = 𝟐𝟒 𝒓 ⇒ 𝒉 = 𝟑𝒓 𝒉 = 𝟗 𝟗 = 𝟑𝒓 𝒓 = 𝟑 𝑽 = 𝝅 𝒓𝟐(𝟑𝒓) ⇒ 𝑽 = 𝝅𝒓𝟑 𝟑 𝐝𝐯 = 𝟑𝛑𝐫𝟐 𝒅𝒓 𝐝𝐭 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝟒 = 𝟑𝝅(𝟑)𝟐 𝒅𝒓 ⇒ 𝒅𝒓 𝒅𝒕 = 𝟒 𝟐𝟕𝝅 𝒄𝒎/𝒔 𝒅𝒕 𝒅𝒗 = 𝟓 − 𝟏 = 𝟒 𝒄𝒎𝟑/𝒔 𝒅𝒕 𝒉 = 𝟗 , 𝒅𝒓 = ? رط ق ال ج ر اخ 2011 رط ق ال ج ر اخ 2014 1 د ي ق يب ط ت 2018
- 62. 62 2021 5 x x2 + y2 + 4x – 8y = 108 y t sol: let M (x , y) ; 𝐝𝐱 = 𝐝𝐲 𝐝𝐭 𝐝𝐭 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 – 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝟐𝒙 𝒅𝒙 + 𝟐𝒚 𝒅𝒚 + 𝟒 𝒅𝒙 − 𝟖 𝒅𝒚 = 𝟎 𝟐𝒙 𝒅𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 = 𝟖 𝒅𝒚 − 𝟐𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⇒ ( 𝟐𝒙 + 𝟒) 𝒅𝒙 = ( 𝟖 − 𝟐𝒚) 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ∵ 𝒅𝒙 = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⇒ [ (𝟐𝒙 + 𝟒) = (𝟖 − 𝟐𝒚) ] ÷ 𝟐 ⇒ 𝒙 + 𝟐 = 𝟒 – 𝒚 ⇒ 𝒚 = 𝟐 – 𝒙 … … . (𝟏 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 – 𝟖𝒚 = 𝟏𝟎𝟖 … … . . (𝟐 𝒙𝟐 + (𝟐 – 𝒙)𝟐 + 𝟒𝒙 – 𝟖(𝟐 – 𝒙) – 𝟏𝟎𝟖 = 𝟎 𝒙𝟐 + 𝟒 – 𝟒𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 – 𝟏𝟔 + 𝟖𝒙 – 𝟏𝟎𝟖 = 𝟎 𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 – 𝟏𝟐𝟎 = 𝟎 ⇒ 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 – 𝟔𝟎 = 𝟎 ⇒ (𝒙 + 𝟏𝟎)(𝒙 – 𝟔) = 𝟎 𝒙 = − 𝟏𝟎 ⇒ 𝒚 = 𝟐 + 𝟏𝟎 = 𝟏𝟐 𝑶𝑹 𝒙 = 𝟔 ⇒ 𝒚 = 𝟐 – 𝟔 = − 𝟒 𝑴 = { (−𝟏𝟎 ,𝟏𝟐) , (𝟔 , − 𝟒) }
- 63. 63 2021 1 𝒇(𝒙) = 𝟒 [−𝟐, 𝟓] c )1 :للحا . )2 [−𝟐, 𝟓] (−𝟐, 𝟓) . f(-2) = f(5) = 4 )3 c (-2 , 5) f ′ (c) = 0 . 2 ؟c 𝒇(𝒙) = 𝟑 √𝒙 − 𝟒𝒙 : ل ل ح ا )1 , 𝒙 ∈ [ 𝟏 , 𝟒] x ≥ 0 [1,4] let a∈ (1 , 4) ⇒ f(a) = 3 √𝐚 − 𝟒𝐚∈ R lim f(x) = lim 3 √𝐱 - 4x = 3 √𝐚 − 𝟒𝐚∈ R 𝐱 → 𝐚 𝐱 → 𝐚 f(a) = lim f(x) 𝐱 → 𝐚 𝒙→𝟏+ 𝐥𝐢𝐦 𝟑 √𝐱 − 𝟒𝐱 = 𝟑 √𝟏 – 𝟒 = −𝟏 , 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟒− 𝟑 √𝐱 − 𝟒𝐱 = 𝟑 √𝟒 – 𝟏𝟔 = −𝟏𝟎 [1 , 4] f ′(x) = 𝟑 𝟐 √𝐱 − 𝟒 )2 )1 , 4( )3 f ′(c) = 𝐟(𝐛)− 𝐟(𝐚) 𝐛−𝐚 − 𝟒 ⇒ f ′(c)= f ′(x) = 𝟑 𝟐 √𝐱 𝟑 c ∈ ( a , b ) − 𝟒 𝟐 √𝐜 𝐟(𝐛)− 𝐟(𝐚) = 𝐟(𝟒)− 𝐟(𝟏) 𝐛−𝐚 𝟒−𝟏 (𝟑√𝟒− 𝟏𝟔)− (𝟑√𝟏− 𝟒) = 𝟑 𝟑 = (− 𝟏𝟎)− (−𝟏) = −𝟗 = -3 𝟑 = 𝟑 𝟐 √𝐜 − 𝟒 = - 3 ⇒ 𝟑 𝟐 √𝐜 𝟒 = 1 ⇒ 𝟐 √𝐜 = 3 ⇒ 4c = 9 ⇒ c = 𝟗 (1 , 4) ∈ 𝒙 > 𝟎
- 64. 64 3 [𝟎, 𝒌] 𝒇(−𝟏) = 𝟏𝟏 2021 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒 c 𝒂, 𝒌 ∈ 𝑹 𝒔𝒐𝒍: 𝒇(−𝟏) = 𝟏𝟏 𝟏𝟏 = 𝒂 + 𝟔 + 𝟒 𝒂 = 𝟏 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒 𝒇(𝟎) = 𝒇(𝒌) (𝟎)𝟐 − 𝟔(𝟎) + 𝟒 = 𝒌𝟐 − 𝟔𝒌 + 𝟒 𝒌𝟐 − 𝟔𝒌 = 𝟎 𝒌(𝒌 − 𝟔) = 𝟎 𝒆𝒊𝒕𝒉𝒆𝒓 𝒌 = 𝟎 OR 𝒌 = 𝟔 𝒇′(𝒄) = 𝟎 c 𝒇′(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟔 𝒇′(𝒄) = 𝟐𝒄 − 𝟔 𝟐𝒄 − 𝟔 = 𝟎 𝒄 = 𝟑 ∈ (𝟎, 𝟔) 4 / لل ح ا h = 3x ،x = V V = x2 h V(x) = x2 . 3x 2.97 cm h × V(x) = 3x3 a = 3 , b = 2.97 , h = b – a = - 0.03 , V(a) = 3(3)3 = 81 V′(x) = 9x2 V′(a) = 81 V′ (a+h) ≈ V(a) + hV′ (a) = 81 – 0.03 (81) = 81 – 2.43 = 78.57 5 𝟑 √−𝟗 sol: f(x) = let 𝟑 √𝐱 = 𝐱 a = - 8 𝟏 𝟑 , b = - 9 , h = b - a = -9 + 8 = -1 , f(a) = 𝟑 √−𝟖 = -2 ⇒ f ′(x) = 𝟏 𝟑 𝐱 𝟑 𝐚 𝟑 √ 𝟐 𝟑 √ 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑𝟑 √(−𝟖)𝟐 𝟏𝟐 ⇒ f ′(a) = = = = 0.083 f(a + h) ≈ f(a) + h.f′(a) ⇒ f(-9) ≈ -2 + (0.083) (- 1) ≈ -2 - 0.083 ≈ - 2.083
- 65. 65 2021 1 (𝟐, 𝟔) 𝒇(𝒙) = 𝒂 − (𝒙 − 𝒃)𝟒 a , b sol: 𝒇(𝟐) = 𝟔 𝟔 = 𝒂 − (𝟐 − 𝒃)𝟒 … … … (𝟏) 𝒇′(𝟐) = 𝟎 𝒇′(𝒙) = − 𝟒(𝒙 − 𝒃)𝟑 − 𝟒(𝟐 − 𝒃)𝟑 = 𝟎 𝟐 – 𝒃 = 𝟎 𝟔 = 𝒂 − (𝟐 − 𝟐)𝟒 𝒂 = 𝟔 𝒃 = 𝟐 (𝒊𝒏 𝟏) 𝒇(𝒙) = 𝟔 − (𝒙 − 𝟐)𝟒 𝒇′′(𝒙) = − 𝟏𝟐(𝒙 − 𝟐)𝟐 𝒇′′(𝟐) = − 𝟏𝟐(𝟐 − 𝟐)𝟐 = 𝟎 x < 2 x > 2 ++++++ (2) ----------- f′(x) (𝟐 ,𝟔) 2 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝒙𝟑 + 𝒄 c 𝐲 = 𝟎 𝒇′(𝒙) = 𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 = 𝟎 𝒙𝟐 = 𝟏 𝒙 = ∓𝟏 𝒇"(𝒙) = −𝟔𝒙 𝒇"(𝟏) = −𝟔 < 𝟎 ( ) , 𝒇"(−𝟏) = 𝟔 > 𝟎 (−𝟏, 𝟎) ∈ 𝒇(𝒙) 𝟎 = −𝟑 + 𝟏 + 𝒄 𝒄 = 𝟐 رط ق ال ج ر اخ 2011
- 66. 66 2021 f(x) = x3 + 3x2 ةالدال نمحين ارمس البتفاضل لعموكتام مادختساب 3 R ةالدلل الجم اوعس دج و تال ت ح ا ذ ي ا م ال عطا قتال ط اقن if x = 0 y = 0 , if y = 0 x3 + 3x2 = 0 x2(x+3)= 0 x2 = 0 x = 0 , x = -3 (0, 0) , (- 3, 0) انتالظر⩝ x ∈ R , ∃ (-x) ∈ R f(- x) = (-x)3 + 3(-x)2 = - x3 + 3x2 = -( x3 - 3x2) ≠ -f(x) رظانت دجويال تاياهنال f′(x) = 3x2 + 6x 3x2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 f(0) = 0 , or x = - 2 f(-2)=- 8 + 12 = 4 either x = 0 (𝟎 ,𝟎) , (−𝟐 ,𝟒) x < - 𝟐 (−𝟐 ,𝟎) 𝐱 > 𝟎 +++++(−𝟐) − − − − − −(𝟎) +++++ { x : x ∈ R ; x >𝟎 } { x : x ∈ R ; x < - 𝟐 } { x : x ∈ R ; x ∈ (-𝟐 ,𝟎) } (−𝟐 , 𝟒) , (𝟎 , 0) f′′(x) = 6x + 6 6x+6 = 0 f(-1) = 2 (-1 , 2) x < 0 x > 0 - - - - - (-1)++++++ { x : x ∈ R ; x < -1 } { x : x ∈ R ; x > -1 } (−𝟏, 𝟐) (-2,4) (-1,2) x = -1 (-3,0) (0,0) +++++++++(-2)--------------------- 𝟎 +++++ ----------------------------- 1 ++++++++++
- 67. 67 2021 4 𝒚𝒙 = 𝟏 , y = 0 ي قفال ا يذاح م ال sol: R/ {0} ة ل د ال ل ال جم ع س و ا x = 0 ي د و م ع ال يذاح م ال عطا قتال ط اقن if x = 0 ⇒ y = x ≠ 𝟎 , 𝐲 ≠ 0 , if y = 0 ⇒ x = فرعم ريغ ر ظا ن ت ال ⩝ x ∈ R , ∃ (-x) ∈ R f(- x) = تاياهنال 𝟏 (−𝐱) 𝐱 𝟏 = − ( ) = - f(x) ⇒ (𝐱)(𝟎)−(𝟏)(𝟏) f′(x) = x<0 𝐱𝟐 x > 0 −𝟏 = ≠ 0 𝐱𝟐 - - - - - - (0) - - - - - - x=0 { x : x ∈ R ; x >0} { x : x ∈ R ; x <0} y=0 𝟐 f′′(x)= 𝐱 .(𝟎)− (−𝟏) (𝟐𝐱) 𝐱𝟒 𝟐 = ≠ 0 𝐱𝟑 x < 0 x > 0 - - - - - - (0) ++++++ { x : x ∈ R ; x > 0 } { x : x ∈ R ; x < 0} 0 - - - - - - - - - - - (0) ++++++ -
- 68. 68 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 5 2021 𝒈(𝒙) = 𝟏 − 𝟏𝟐𝒙 g , f f (𝟏, −𝟏𝟏) a , b , c ∈ R sol: , , [ f(1) = -11 f ′(1) = m f ″(1) = 0 ∵ 𝒇(𝟏) = −𝟏𝟏 ] ⇒ 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = −𝟏𝟏 … (𝟏 يق ي بطت ل وألا ر ود ال 2017 2 ر ود 2014 ملع خ ةطري 𝒎 = 𝒈 ′(𝒙) = − 𝟏𝟐 , 𝒇 ′(𝒙) = 𝟑𝒂𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒙 + 𝒄 ∵ 𝒇 ′(𝟏) = 𝒎 ⇒ 𝟑𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄 = − 𝟏𝟐 … … … … (𝟐 ∓𝒂 ∓ 𝒃 ∓ 𝒄 = ±𝟏𝟏 … … … … (𝟏 𝟐𝒂 + 𝒃 = −𝟏 … … . . (𝟒) 𝒇 ″(𝒙) = 𝟔𝒂𝒙 + 𝟐𝒃 , ∵ 𝒇 ″(𝟏) = 𝟎 ⇒ 𝟔𝒂 + 𝟐𝒃 = 𝟎 … … … . (𝟑 𝟐𝒃 = − 𝟔𝒂 ⇒ 𝒃 = − 𝟑𝒂 𝒊𝒏(𝟒) 𝟐𝒂 − 𝟑𝒂 = − 𝟏 ⇒ 𝒂 = 𝟏 ⇒ 𝒃 = − 𝟑 𝒊𝒏(𝟏) 𝟏 − 𝟑 + 𝒄 = −𝟏𝟏 ⇒ 𝒄 = − 𝟗 y=1-12x g(x)=1-12x m= -12 x , y
- 69. 69 2021 1 60 Sol: x , y 𝒙 + 𝒚 = 𝟔𝟎 ⇒ 𝑨 = 𝒚 𝒙𝟑 𝒚 = 𝟔𝟎 – 𝒙 ⇒ 𝑨 = (𝟔𝟎 – 𝒙) . 𝒙𝟑 = 𝟔𝟎𝒙𝟑 – 𝒙𝟒 ⇒ 𝟏𝟖𝟎 𝒙𝟐 – 𝟒𝒙𝟑 = 𝟎 ⇒ 𝟒𝒙𝟐(𝟒𝟓 – 𝒙) = 𝟎 𝑨′ = 𝟏𝟖𝟎𝒙𝟐 – 𝟒𝒙𝟑 either x = 0 or x = 45 ⇒ y = 60 – 45 = 15 45 , 15 امه ناددعال 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟎𝟐𝟓 + 𝟐𝟐𝟓 = 𝟐𝟐𝟓𝟎 ام ه ي عبر م ع و مجم اهالمها ي ت م ال ت ي ال ق ي م ة نم ل ل ت ح ق ق يلوألا ل ل م ش ت ق ة دادعالا طخ مادختسا نكمي ... ت ن و ي ه .𝟑√𝟑 𝒄𝒎 هرتو لوط ةيوازال مئاق ثلثم نارود نم جتان مئاق يرئاد طورخم اكرب حجم دج 2 h x (3√𝟑)2 = x2 + h2 ⇒ 27 = x2 + h2 x2 = 27 – h2 𝟑 V = 𝛑 x2 h V = 𝛑 h (27 – h2) ⇒ V = 𝛑 (27h – h3) 𝟑 𝟑 V′ = 𝛑 (27 – 3h2) ⇒ 𝛑 (27 – 3h2) = 0 𝟑 𝟑 27 – 3h2 = 0 ⇒ 3h2 = 27 ⇒ h2 = 9 ⇒ h = 3 x2 = 27 – 9 = 18 x = 3√𝟐 V = 𝛑 (18)(3) ⇒ V = 𝟏𝟖𝛑 cm3 𝟑 x h
- 70. 70 2021 3 4 𝑐𝑚 12 𝑐𝑚 Sol: h x abc , aef ل ث ي ن ث م ال ه باش ت نم = 𝒙 𝟏𝟐−𝒉 𝟒 𝟏𝟐 𝟏𝟐𝒙 = 𝟒(𝟏𝟐 – 𝒉) ⇒ 𝟑𝒙 = 𝟏𝟐 − 𝒉 𝒉 = 𝟏𝟐 – 𝟑𝒙 𝝅 𝟑 𝟐 𝑽 = 𝒙 𝒉 𝟑 𝟑 𝑽 = 𝝅 𝒙𝟐 (𝟏𝟐 – 𝟑𝒙) ⇒ 𝑽 = 𝝅 (𝟏𝟐𝒙𝟐 – 𝟑𝒙𝟑) 𝑽′ = 𝝅 (𝟐𝟒𝒙 – 𝟗𝒙𝟐) ⇒ 𝟐𝟒𝒙 – 𝟗𝒙𝟐 = 𝟎 𝟑 𝟑𝒙 ( 𝟖 – 𝟑𝒙) = 𝟎 𝟑𝒙 = 𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟎 لمهي 𝟖 𝟑 𝑶𝑹 𝒙 = 𝒄𝒎 ⇒ 𝒉 = (𝟏𝟐 – 𝟖) = 𝟒𝒄𝒎 بولطمال طورخمال يدعب
- 71. 71 2021 4 𝟐𝟒𝛑 𝐜𝐦𝟐 r h 2 2 [ 24 𝝅 = 2𝝅rh + 2 𝝅 r2 ] ÷ 2𝝅 12 = rh + r2 r h = 12 – r2 𝟐 h = 𝟏𝟐− 𝒓 𝒓 𝟐 V = 𝝅 r2 h V = 𝝅 r2 .( 𝟏𝟐− 𝒓 ) = 𝝅 ( 12r – r3 ) 𝒓 , V ' = 0 𝝅 ( 12 – 3r2 ) = 0 3r2 = 12 V ' = 𝝅 ( 12 – 3r2 ) r2 = 4 r = 2 cm 𝟐 h = 𝟏𝟐− 𝟒 = 𝟒 cm V " = 𝝅 (- 6r ) v"(2) = - 12 𝝅 < 0 5 𝟐√𝟑 (𝟎, 𝟒) 𝟐𝒂 = 𝟐√𝟑 𝒂 = √𝟑 𝒃 = √𝟑 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒚𝟐 − 𝒙𝟐 = 𝟏 𝟐 𝟐 → [ 𝒚 − 𝒙 = 𝟏] . 𝟑 → 𝒚𝟐 − 𝒙𝟐 = 𝟑 𝟑 𝟑 p(x , y) y2 – x2 = 3 ⇒ x2 = y2 - 3 P = √(𝐱𝟐 − 𝐱𝟏)𝟐 + (𝐲𝟐 − 𝐲𝟏)𝟐 = √(𝐱 − 𝟎)𝟐 + (𝐲 − 𝟒)𝟐 P = √𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 − 𝟖𝐲 + 𝟏𝟔 P = √𝐲𝟐 − 𝟑 + 𝐲𝟐 − 𝟖𝐲 + 𝟏𝟔 = √ 𝟐𝐲𝟐 − 𝟖𝐲 + 𝟏𝟑 P′ = 𝟒𝐲−𝟖 𝟒𝐲−𝟖 𝟐 √ 𝟐𝐲𝟐− 𝟖𝐲+𝟏𝟑 𝟐 √ 𝟐𝐲𝟐− 𝟖𝐲+𝟏𝟑 ⇒ = 0 ⇒ 4y – 8 = 0 𝒚 = 𝟐 𝒙𝟐 = 𝟒 – 𝟑 = 𝟏 ⇒ 𝒙 = ± 𝟏 { (𝟏 ,𝟐) , ( − 𝟏 , 𝟐) } لحال ة عو م جم
- 72. 72 2021 1 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒂+𝒃 𝒄𝒐𝒔 𝒙 ا ث ب ت y = ناك اذا 𝒅𝒚 = 𝒂𝒄𝒐𝒔 𝒙+𝒃 𝒅𝒙 (𝒂+𝒃 𝒄𝒐𝒔 𝒙)𝟐 ؟ sol: 𝒅𝒚 = 𝒅𝒙 (𝒂+𝒃 𝒄𝒐𝒔 𝒙).𝒄𝒐𝒔𝒙−𝒔𝒊𝒏𝒙 (−𝒃𝒔𝒊𝒏𝒙) (𝒂+𝒃 𝒄𝒐𝒔 𝒙)𝟐 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒙 +𝒃 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙+𝒃𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 (𝒂+𝒃 𝒄𝒐𝒔 𝒙)𝟐 𝟐 𝟐 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒙 +𝒃 (𝒄𝒐𝒔 𝒙+𝒔𝒊𝒏 𝒙) (𝒂+𝒃 𝒄𝒐𝒔 𝒙)𝟐 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝒙+𝒃 (𝒂+𝒃 𝒄𝒐𝒔 𝒙)𝟐 ؟𝟒 √𝟎.𝟎𝟎𝟖 افتالضتال موهفم مادختساب ت ق ر ي ب ي ة ةروصب دج sol: f(x) = 𝟒 √𝐱 = 𝐱 𝟏 𝟒 let a = 0.0081 , b = 0.0080 , h = b - a = - 0.0001 , f(a) = 𝟒 √𝟎.𝟎𝟎𝟖𝟏 = 0.3 ⇒ f ′(x) = 𝟏 𝟏 𝟒 𝐱 𝟒 𝐚 ⇒ f ′(a) = = 𝟏 𝟒 (𝟎.𝟎𝟎𝟖𝟏)𝟑 𝟒 √ 𝟑 𝟒 √ 𝟑 𝟒 √ 𝟏 𝟎.𝟏𝟎𝟖 = ≈ 9 f(a + h) ≈ f(a) + h.f′(a) ⇒ f(0.008) ≈ 0.3 + (- 0.0009) ≈ 0.2991
- 73. 73 2021 2 𝒇(𝒙) = 𝟑 + 𝒂𝒙 + 𝒃𝒙𝟐 (𝟏, 𝟒) a,b 𝒔𝒐𝒍: 𝒇(𝟏) = 𝟒 , 𝒇’(𝟏) = 𝟎 الؤسال لح ةطخ 𝒇(𝒙) = 𝟑 + 𝒂𝒙 + 𝒃𝒙𝟐 𝒇′(𝒙) = 𝒂 + 𝟐𝒃𝒙 𝟒 = 𝟑 + 𝒂 + 𝒃 𝟏 = 𝒂 + 𝒃 … (𝟏) 𝟎 = 𝒂 + 𝟐𝒃 𝒂 = −𝟐𝒃 … (𝟐) 𝒊𝒏(𝟏) 𝟏 = −𝟐𝒃 + 𝒃 𝒃 = −𝟏 𝒊𝒏(𝟐) 𝒂 = 𝟐 𝒇”(𝒙) = 𝟐𝒃 = −𝟐 < 𝟎 (𝟏,𝟒) ة ل ي ح م ى م عظ ة ن ه ا ي ة ن ق ط لدعم دج 40 m/s ءالما ارافتع ت غ ي ر لدعم ناكو ءالما اهيف ي ص ب ةمئاق ةيرئاد ةناوطسا ؟10 cm يواسي ةناوطسالا ةدعاق رطق فصن ناك اذا ءالما مجح في الت غير لتمحي : لل ح ا ، h = ،) تب ا ث ( x = v = 𝐝𝐡 = 40 , 𝐝𝐭 𝐝𝐭 𝐝𝐯 = ? r = 10 cm = 0.1 m 𝐯 = 𝛑 𝐫𝟐 𝐡 = 𝟎. 𝟎𝟏 𝛑 𝐡 ⇒ 𝐝𝐯 = 0.01 𝝅 𝐝𝐡 𝐝𝐭 𝐝𝐭 𝐝𝐭 𝐝𝐯 = (0.01) (𝟒𝟎)𝛑 = 𝟎. 𝟒 𝛑 m3/s r = 0.1 h
- 74. 2021 𝒄𝒎 ه ط ي حم ل ي ط ت س م ر بكا ن ا ن ه ر ب 3 74 ) ط ق ف ي ق يبطتل ل ( اعب ر م ن و كي 2 ) Sol: x , y 𝟒𝟎 = 𝟐(𝐱 + 𝐲) 𝟐𝟎 = 𝐱 + 𝐲 𝐱 = 𝟐𝟎 – 𝐲 ( 𝑨 = 𝒙 . 𝒚 𝐀 = (𝟐𝟎 – 𝐲) 𝐲 = 𝟐𝟎𝐲 – 𝐲𝟐 𝐀 ′ = 𝟐𝟎 – 𝟐𝐲 , 𝐀′ = 𝟎 𝟐𝟎 – 𝟐𝐲 = 𝟎 𝐲 = 𝟏𝟎 x = 20 – 10 = 10 𝐀" = −𝟐 < 𝟎 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟑 𝒙 𝟑 , 𝒙 ∈ [ 𝟏 , 𝟑 ] c : ل ل ح ا )أ 𝟑 [ 𝟏 , 𝟑 ] R / {0} )ب 𝟑 ( 𝟏 , 𝟑 ) R / {0} )ـ ج 𝟑 𝟑 f( 𝟏 ) = 1 + 9 = 10 , f(3) = 9 + 1 = 10 ⇒ f( 𝟏 ) = f(3) f ′(x) = 3 - 𝟑 𝐱𝟐 , f ′ (c) = 0 𝐜𝟐 𝐜𝟐 𝟑 𝟑 3 - 𝟑 = 0 ⇒ 3 = 𝟑 ⇒ c2 = 1 ⇒ c = 1 ∈ ( 𝟏 , 𝟑 ) OR c = -1 ∉ ( 𝟏 , 𝟑 )
- 75. 75 2021 4 f(x) = 𝐱𝟐 𝐱𝟐+ 𝟏 sol: R ةالدلل الجم اوعس ) د ج و يال ( يد و م ع ال يذاح م ال عطا قتال اقنط , 𝒚 = 𝟏 ي قفال ا يذاح م ال if x = 0 ⇒ y = 0 , if y = 0 ⇒ x2 = 0 ⇒ x = 0 (0 ,0) ر ظا ن ت ال ⩝ x ∈ R , ∃ (-x) ∈ R (−𝐱)𝟐 = (−𝐱)𝟐+ 𝟏 𝐱𝟐+ 𝟏 𝐱𝟐 = f(x) ⇒ f(- x) = تاياهنال f′(x) = (𝐱𝟐+ 𝟏)(𝟐𝐱)−(𝐱𝟐)(𝟐𝐱) (𝐱𝟐+ 𝟏)𝟐 = 𝟐𝐱𝟑+ 𝟐𝐱−𝟐𝐱𝟑 (𝐱𝟐+ 𝟏)𝟐 = 𝟐𝐱 (𝐱𝟐+ 𝟏)𝟐 = 0 2x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ y = 0 x< 0 x > 0 ⇒ (0 , 0) - - - - - - (0) ++++++ { 𝐱 ∶ 𝐱 ∈ 𝐑 ; 𝐱 > 𝟎} { 𝐱 ∶ 𝐱 ∈ 𝐑 ; 𝐱 < 𝟎} (0 , 0) f′′(x)= (𝐱𝟐+ 𝟏)𝟐 .𝟐−𝟐𝐱 .𝟐(𝐱𝟐+ 𝟏).𝟐𝐱 (𝐱𝟐+ 𝟏)𝟒 = 𝟐(𝐱𝟐+ 𝟏)𝟐−𝟖𝐱𝟐(𝐱𝟐+ 𝟏) (𝐱𝟐+ 𝟏)𝟒 (𝐱𝟐+ 𝟏)𝟒 (𝐱𝟐+ 𝟏)𝟑 (𝐱𝟐+ 𝟏)[𝟐(𝐱𝟐+ 𝟏)− 𝟖𝐱𝟐 ] f′′(x) = = = 𝟐𝐱𝟐+𝟐−𝟖𝐱𝟐 𝟐−𝟔𝐱𝟐 (𝐱𝟐+ 𝟏)𝟑 = 0 2 – 6x2 = 0 ⇒ 6x2 = 2 ⇒ x2 = 𝟏 ⇒ x = ± 𝟏 ⇒ y = 𝟑 √𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 + 𝟏 = 𝟏 𝟑 𝟒 𝟑 = 𝟏 𝟒 ( 𝟏 , 𝟏 ) ,( − 𝟏 ,𝟏 ) √𝟑 𝟒 √𝟑 𝟒 - - - - - - (- 𝟏 ) + + + + + + + ( 𝟏 ) - - - - - - √𝟑 √𝟑 𝟏 √𝟑 𝟏 √𝟑 { 𝐱 ∶ 𝐱 ∈ 𝐑 ; 𝐱 > } , { 𝐱 ∶ 𝐱 ∈ 𝐑 ; 𝐱 < − } 𝟏 𝟏 √𝟑 √𝟑 { 𝐱 ∶ 𝐱 ∈ 𝐑 ; 𝐱 ∈ ( − , ) } ( 𝟏 , 𝟏 ) ,( − 𝟏 ,𝟏 ) √𝟑 𝟒 √𝟑 𝟒 √𝟑 𝟒 𝟏 𝟏 ( , ) −𝟏 𝟏 √𝟑 𝟒 ( , ) (0,0)
- 76. 76 2021 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 – 𝟗𝒙 – 𝟔 𝒇′(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟗 𝒇"(𝒙) = 𝟔𝒙 + 𝟔 𝟔𝒙 + 𝟔 = 𝟎 𝟔𝒙 = −𝟔 𝒙 = −𝟏 𝒇(−𝟏) = −𝟏 + 𝟑 + 𝟗 − 𝟔 = 𝟓 (−𝟏, 𝟓) 𝒎 = 𝒇′(−𝟏) = 𝟑 − 𝟔 − 𝟗 = −𝟏𝟐 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏) 𝒚 − 𝟓 = −𝟏𝟐(𝒙 + 𝟏) 𝒚 − 𝟓 = −𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 𝟏𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟕 = 𝟎 5 c f(x) = 𝟒 𝐱+𝟐 , x ∈ [ -1 , 2] : ل ل ح ا )1 . R / {-2} )2 )3 [-1 , 2] )-1 , 2( c ∈ ( a , b ) f ′(c) = 𝐟(𝐛)− 𝐟(𝐚) 𝐛−𝐚 f ′(x) = (𝐱+𝟐)(𝟎)− (𝟒)(𝟏) (𝐱+𝟐)𝟐 = −𝟒 (𝐱+𝟐)𝟐 ⇒ f ′(c)= −𝟒 (𝐜+𝟐)𝟐 𝐟(𝐛)− 𝐟(𝐚) 𝐛−𝐚 = 𝐟(𝟐)− 𝐠(−𝟏) 𝟐+𝟏 = 𝟒 𝟏 (𝟒 )− ( 𝟒 ) 𝟑 = −𝟑 𝟑 = −𝟏 = −𝟒 (𝐜+𝟐)𝟐 = −𝟏 ⇒ (𝒄 + 𝟐)𝟐 = 𝟒 ⇒ 𝒄 + 𝟐 = ± 𝟐 ⇒ 𝒄 = 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 ∈ (−𝟏 ,𝟐) , 𝑶𝑹 𝒄 = −𝟐 – 𝟐 = −𝟒 ∉ (−𝟏 ,𝟐)
- 77. 77 2021 3 x .3 cm اهرطق فصن ةرك لخاد هعضو نكمي مئاق يرئاد طورخم اكرب حجم دج )ت ) ط ق ف ي ق يبط ت لل ( x sol: h 9 = x2 + (h – 3)2 9 = x2 + h2 – 6h + 9 x2 = 6h – h2 𝟑 V = 𝛑 x2 h V = 𝛑 (6h – h2) h 𝟑 𝟑 V = 𝛑 (6h2 – h3) h-3 V'= 𝛑 (12h – 3 h2) = 0 12h – 3h2 = 0 𝟑 3h(4 – h)= 0 either h = 0 OR h = 4 h x2 = 24 – 16 = 8 V = 𝛑 (8)(4) = 𝟑𝟐𝛑 cm3 𝟑 𝟑
- 78. 78 2021 ① ∫ 𝐝𝐱 = 𝐱 + 𝐜 ➁ ∫ 𝐱𝐧 𝐝𝐱 = 𝟏 𝐧+𝟏 𝐱𝐧+𝟏 + 𝐜 , 𝐧 ≠ −𝟏 ➂ ∫ 𝐚𝐱𝐧 𝐝𝐱 = 𝐚 𝐧+𝟏 𝐱𝐧+𝟏 + 𝐜 , 𝐧 ≠ −𝟏 ➃ ∫ [ 𝐟(𝐱) ± 𝐠(𝐱) ] 𝐝𝐱 = ∫ 𝐟(𝐱)𝐝𝐱 ± ∫ 𝐠(𝐱)𝐝𝐱 ➄ ∫[ 𝐟(𝐱)]𝐧 𝐟 ′(𝐱) 𝐝𝐱 = 𝟏 𝐧+𝟏 [ 𝐟(𝐱)]𝒏+𝟏 + 𝐜 1) ∫ (𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓) 𝒅𝒙 = 𝟏 𝒙𝟓 − 𝟑 𝒙𝟑 𝟓 𝟑 𝟐 + 𝟒 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝒄 𝟓 = 𝟏 𝒙𝟓 − 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝒄 . دودحال نم ددع يأل حرطالو عمجال ىلع عزوتي لماكتال نا ن س ت ن ت ج يفساوي ةالد ف ي ابورضم اثالبت لماكت اما ، ريغتمال مسا ف ي ابورضم ن ف س ه اثالبت وه هدحول اثالبت لماكت نا ن س ت ن ت ج . لبقه لويس لماكتال ةيلمع نم ءاهتنالا دعب لم اكتال اثبت ةفاضإ س ى ن ن الو ةالدال لماكت ف ي ابورضم ن ف س ه اثالبت 2) ∫(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)𝟒 (𝟑𝒙 + 𝟑)𝒅𝒙 = ∫(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)𝟒 (𝟑)(𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 𝟐 𝟏 = (𝟑)( ) ∫ (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙)𝟒 (𝟐)(𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 𝟑 𝟏 𝟐 𝟓 = ( ) ( ) 𝟐 )𝟓 (𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝒄 = 𝟑 ( 𝟏𝟎 𝟐 )𝟓 𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝒄 ة ي ربجال ال و د ال تال u = x2 + 2x du =(2x + 2)dx = 2(x + 1) dx
- 79. 79 2021 3) ∫(√𝒙 + 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 √𝒙 𝒅𝒙 = ∫ (𝒙𝟐 + 𝟏) 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 𝟓 𝟏 = ∫ (𝒙 + 𝟐 𝒙𝟐 𝟓 = 𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 + 𝟐 𝟑 + 𝟏) 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = ∫ (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙 𝟑 𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟐 √ 𝟓 𝟐 𝟑 𝟓 𝟑 𝒙 + 𝒙𝟐 + √𝒙 + 𝒄 𝟔 ∫(𝟗𝒙𝟒 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟒)𝟓 𝒙𝒅𝒙 = ∫[(𝟑𝒙𝟐 − 𝟐)𝟐]𝟓𝒙𝒅𝒙 = 𝟏 ∫(𝟑𝒙𝟐 − 𝟐)𝟏𝟎𝟔𝒙𝒅𝒙 = 𝟏 . 𝟏 𝟔 𝟏𝟏 𝟔𝟔 (𝟑𝒙𝟐 − 𝟐)𝟏𝟏 + 𝒄 = 𝟏 (𝟑𝒙𝟐 − 𝟐)𝟏𝟏 + 𝒄 𝟓 𝟑 𝟓 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟐 4) ∫ 𝟑 √𝒙 − 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ (𝒙 − 𝒙 )𝟑 𝒅𝒙 = ∫ [𝒙 (𝒙 − 𝟏)]𝟑 𝒅𝒙 = ∫(𝒙𝟐 𝟏 − 𝟏)𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 ∫ (𝒙 − 𝟏)𝟑 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟑 𝟐 𝟒 𝟒 𝟖 𝟐 𝟐 𝟒 𝟑 𝟑 = . (𝒙 − 𝟏)𝟑 + 𝒄 = √(𝒙 − 𝟏) + 𝒄 5) ∫ 𝒙𝟒− 𝟏𝟔 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 = ∫ (𝒙𝟐− 𝟒)(𝒙𝟐+ 𝟒) (𝒙− 𝟐)(𝒙+𝟐)(𝒙𝟐+ 𝟒) 𝒙−𝟐 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 = ∫ 𝒅𝒙 = ∫ (𝒙 + 𝟐)(𝒙𝟐 + 𝟒) 𝒅𝒙 = ∫ (𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟖) 𝒅𝒙 = 𝟏 𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐 𝒙𝟑 + 𝟖𝒙 + 𝒄 𝟒 𝟑 𝒙𝟐− 𝟔𝒙+𝟗 (𝒙−𝟑)𝟐 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟐 ∫(𝒙 − 𝟑)−𝟐 𝒅𝒙 (𝒙−𝟑) = −𝟐 (𝒙 − 𝟑)−𝟏 + 𝒄 = −𝟐 + 𝒄
- 80. 80 2021 ∫ 𝒙 6) 𝒙𝟑 (𝟏 − 𝟑 ) 𝟑 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ [ 𝒙 ( 𝟏 − ) 𝟑 ] 𝒅𝒙 𝟒 = ∫(𝒙 − 𝟑)𝟑 𝒅𝒙 = 𝟏 (𝒙 − 𝟑)𝟒 + 𝒄 7) ∫ √𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = ∫ √(𝒙 − 𝟏)𝟐 𝒅𝒙 = ∓ ∫(𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙 𝟐 = ∓ 𝟏 (𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝒄 √[𝒇(𝒙)]𝟐 = ±𝒇(𝒙) :أتكدي 𝟐 𝐱𝟐 𝐱𝟐 8) ∫ (𝟑𝐱 − 𝟓) − 𝟐𝟓 𝐝𝐱 = ∫ 𝟗𝐱 − 𝟑𝟎 𝐱 +𝟐𝟓−𝟐𝟓 𝐝𝐱 = ∫ 𝟗𝐱 − 𝟑𝟎 𝐱 𝟐 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝐱𝟐 𝐝𝐱 𝐱𝟐 (𝟗𝐱𝟐− 𝟑𝟎)(𝐱𝟐) = ∫ 𝐝𝐱 = ∫ (𝟗𝐱𝟐 − 𝟑𝟎) 𝐝𝐱 = 𝟑 𝐱𝟑 − 𝟑𝟎𝐱 + 𝐜 𝟗) ∫ 𝟕 (𝟑− √𝟓𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝟕 (𝟑− √𝟓 √𝒙) √𝟕𝒙 √𝟕√𝒙 𝟏 √𝟕 𝟕 𝟏 −𝟏 𝒅𝒙 = ∫ (𝟑 − √𝟓 𝒙𝟐) 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏 −𝟐 √𝟕 √𝟓 𝟏 𝟕 √𝟓 𝟐 −𝟏 = ( )( )∫ (𝟑 − √𝟓 𝒙𝟐) (− 𝒙 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝟏 𝟖 = ( ) ( −𝟐 √𝟑𝟓 𝟏 𝟖 ) (𝟑 − √𝟓 𝒙𝟐) + 𝒄 = −𝟏 𝟒√𝟑𝟓 (𝟑 − 𝟖 √𝟓𝒙) + 𝒄 𝟏𝟎) ∫ √𝒙− √𝒙 √𝒙𝟑 𝟒 𝒅𝒙 , 𝒙 > 𝟎 ∫ √𝒙𝟑 𝟒 𝒅𝒙 = ∫ √𝒙− √𝒙 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 [𝒙𝟐( 𝒙𝟐− 𝟏)] 𝟑 𝒙𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 −𝟑 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙𝟒 . ( 𝒙𝟐 − 𝟏) 𝒙 𝟒 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 𝟏 −𝟐 𝟏 𝟏 −𝟏 𝟐 = 𝟐∫ (𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐 . 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟏 −𝟏 𝟏 = ∫ ( 𝒙𝟐 − 𝟏) 𝒙 𝟒 𝒅𝒙 = ∫ (𝒙𝟐 − 𝟏)𝟐 . 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟑 𝟐 = (𝟐)( ) (𝒙𝟐 − 𝟏) + 𝒄 = 𝟒 √ 𝟑 𝟑 ( √𝒙 − 𝟏) + 𝒄 𝟏 𝒖 = 𝟑 − √𝟓 𝒙𝟐 𝒅𝒖 = − √𝟓 𝟐 −𝟏 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝟏 𝒖 = 𝒙𝟐 − 𝟏 𝟏 𝟐 −𝟏 𝒅𝒖 = 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ج ر ا خ يقي ب ط ت 2 د2017