2014年度春学期　画像情報処理　第１０回　画像の集合演算とオープニング (2014. 6. 25)

1. A.Asano,KansaiUniv. 2014年度春学期画像情報処理浅野晃関西大学総合情報学部画像の集合演算とオープニング第１０回

2. A.Asano,KansaiUniv.

3. A.Asano,KansaiUniv. マセマティカル・モルフォロジとは

5. A.Asano,KansaiUniv. 画像には，「構造」がある構造によって説明ができる

6. A.Asano,KansaiUniv. 画像には，「構造」がある構造によって説明ができる func(1); func(2); ... func(9); for(i = 1; i < 10; i++){ 　　func(i); }

7. A.Asano,KansaiUniv. 画像には，「構造」がある構造によって説明ができる func(1); func(2); ... func(9); for(i = 1; i < 10; i++){ 　　func(i); } これが「構造」

8. 2014 A.Asano,KansaiUniv. マセマティカル・モルフォロジとは

9. 2014 A.Asano,KansaiUniv. マセマティカル・モルフォロジとは画像に対する操作を，基本的な集合演算で表し，定量的な画像の操作を構成する

10. 2014 A.Asano,KansaiUniv. マセマティカル・モルフォロジとは画像に対する操作を，基本的な集合演算で表し，定量的な画像の操作を構成する École des Mine de Parisで研究が始められた（鉱物の分類が起源）

11. 2014 A.Asano,KansaiUniv. マセマティカル・モルフォロジとは画像に対する操作を，基本的な集合演算で表し，定量的な画像の操作を構成する École des Mine de Parisで研究が始められた（鉱物の分類が起源） International Symposium on Mathematical Morphology: 40 years onが開催

12. 2014 A.Asano,KansaiUniv. マセマティカル・モルフォロジとは画像に対する操作を，基本的な集合演算で表し，定量的な画像の操作を構成する École des Mine de Parisで研究が始められた（鉱物の分類が起源） International Symposium on Mathematical Morphology: 40 years onが開催

14. A.Asano,KansaiUniv. モルフォロジの演算のしかた

15. 2014 A.Asano,KansaiUniv. モルフォロジの演算のしかた

16. 2014 A.Asano,KansaiUniv. モルフォロジの演算のしかた（○＝画素）画像＝図形 X

17. 2014 A.Asano,KansaiUniv. モルフォロジの演算のしかた（○＝画素）構造要素 B (structuring element) （●＝原点）画像＝図形 X

18. 2014 A.Asano,KansaiUniv. モルフォロジの演算のしかた画像を構造要素で操作する（○＝画素）構造要素 B (structuring element) （●＝原点）画像＝図形 X

19. 2014 A.Asano,KansaiUniv. もっとも基本的な演算：オープニング

20. 2014 A.Asano,KansaiUniv. もっとも基本的な演算：オープニング原図形

21. 2014 A.Asano,KansaiUniv. もっとも基本的な演算：オープニング原図形

22. 2014 A.Asano,KansaiUniv. もっとも基本的な演算：オープニング原図形構造要素が図形上を移動し，

23. 2014 A.Asano,KansaiUniv. もっとも基本的な演算：オープニング原図形構造要素が図形上を移動し，

24. 2014 A.Asano,KansaiUniv. もっとも基本的な演算：オープニング原図形構造要素が図形に完全に含まれたら構造要素が図形上を移動し，

25. 2014 A.Asano,KansaiUniv. もっとも基本的な演算：オープニング原図形構造要素が図形に完全に含まれたら構造要素が図形上を移動し，その位置での構造要素全体を保存

30. 2014 A.Asano,KansaiUniv. もっとも基本的な演算：オープニング原図形構造要素が図形に完全に含まれたら構造要素が図形上を移動し，オープニングその位置での構造要素全体を保存

31. 2014 A.Asano,KansaiUniv. もっとも基本的な演算：オープニング原図形原図形のうち構造要素が入りきらない部分を取り除く構造要素が図形に完全に含まれたら構造要素が図形上を移動し，オープニングその位置での構造要素全体を保存

32. 2014 A.Asano,KansaiUniv. もっとも基本的な演算：オープニング原図形原図形のうち構造要素が入りきらない部分を取り除く構造要素が図形に完全に含まれたら構造要素が図形上を移動し，オープニングその位置での構造要素全体を保存

33. 2014 A.Asano,KansaiUniv. もっとも基本的な演算：オープニング原図形原図形のうち構造要素が入りきらない部分を取り除く構造要素が図形に完全に含まれたら構造要素が図形上を移動し，オープニングその位置での構造要素全体を保存（構造要素のサイズにもとづく定量的操作）

34. 2014 A.Asano,KansaiUniv. もっとも基本的な演算：オープニング原図形原図形のうち構造要素が入りきらない部分を取り除く構造要素が図形に完全に含まれたら移動してきた構造要素の位置にある画素間でのAND/OR演算によるerosion/dilationで表現可能構造要素が図形上を移動し，オープニングその位置での構造要素全体を保存（構造要素のサイズにもとづく定量的操作）

35. 2014 A.Asano,KansaiUniv. もっとも基本的な演算：オープニング原図形原図形のうち構造要素が入りきらない部分を取り除く構造要素が図形に完全に含まれたら移動してきた構造要素の位置にある画素間でのAND/OR演算によるerosion/dilationで表現可能構造要素が図形上を移動し，オープニングその位置での構造要素全体を保存（構造要素のサイズにもとづく定量的操作）モルフォロジでは，２値画像中にある物体を，物体を構成する点（通常，輝度が白，あるいは値が１）を表すベクトルの集合で表す．通常の離散的な画像の場合は，２値画像は「白画素の座標」の集合で表されるということになる．さらに，この画像集合への作用を表す別の画像集合を考え，これを構造要素 (structuring element) とよぶ．構造要素は，フィルタでいうウィンドウに相当し，通常は処理の対象となる画像よりもずっと小さいものを想定する．モルフォロジの基本となる演算は “opening” である．処理される画像集合を X，構造要素を B で表すとき，X の B による opening は，次の性質をもつ． XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2 }, (3) ここで Bz は B を z だけ移動したもの (translation) で，以下のように定義される． Bz = {b + z | b ∈ B}. (4) X の B による opening は「X からはみださないように， B を X の内部でくまなく動かしたときの，B そのもの mis.hiroshima-u.ac.jp ルフォロジでは，２値画像中にある物体を，物体をする点（通常，輝度が白，あるいは値が１）を表すトルの集合で表す．通常の離散的な画像の場合は，画像は「白画素の座標」の集合で表されるというこなる．さらに，この画像集合への作用を表す別の画合を考え，これを構造要素 (structuring element) と．構造要素は，フィルタでいうウィンドウに相当し，は処理の対象となる画像よりもずっと小さいものをする．ルフォロジの基本となる演算は “opening” である．される画像集合を X，構造要素を B で表すとき，X による opening は，次の性質をもつ． B = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2 }, (3) で Bz は B を z だけ移動したもの (translation) で，のように定義される． z = {b + z | b ∈ B}. (4) B による opening は「X からはみださないように，

36. 2014 A.Asano,KansaiUniv. さらに分解すると：erosion

37. 2014 A.Asano,KansaiUniv. さらに分解すると：erosion 構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形に完全に含まれたら，構造要素の原点の位置に●を置く（AND演算）

45. 2014 A.Asano,KansaiUniv. さらに分解すると：erosion 構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形に完全に含まれたら，構造要素の原点の位置に●を置く（AND演算）の集合にくらべ定義される．全とする．このと属性値が，ある，これらの要素属性セットに関方法には，「下近集合を X とす X の内部に，X 多く配置して，表される．一方，スタを，X を含で，「ラフ」な集ここで Bz は B を z だけ移動したもの (translat 以下のように定義される． Bz = {b + z | b ∈ B}. X の B による opening は「X からはみださない B を X の内部でくまなく動かしたときの，B その軌跡」であり，「X から，B が収まりきらない小さな部分だけを除去して，他はそのまま保存すいう作用を表している．したがって， Opening XB は，下のように，さらに基本的な分解することができる． XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B 前半の X ⊖ ˇB は，erosion とよばれる演算で， X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} というものである．すなわち，X ⊖ ˇB は「X か

46. 2014 A.Asano,KansaiUniv. さらに分解すると：dilation

47. 2014 A.Asano,KansaiUniv. さらに分解すると：dilation 構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形と一部でも重なったら，構造要素の原点の位置に●を置く（OR演算）

55. 2014 A.Asano,KansaiUniv. さらに分解すると：dilation 構造要素が図形上を移動し，構造要素が図形と一部でも重なったら，構造要素の原点の位置に●を置く（OR演算）とで，「ラフ」な集とするとき，以下 } (1) = ∅} (2) して x と同値な要で，x の同値類といて図形のもつ構として提案されたいる．以下，２値簡単に説明する． X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} というものである．すなわち，X ⊖ ˇB は「X かださないように，B を X の内部でくまなく動かきの，B の原点の軌跡」である．ここで， ˇB は転を表し， ˇB = {−b|b ∈ B} と定義される．また，後半は Minkowski 和とよ演算で， X ⊕ B = b∈B Xb. と定義される．なお，X ⊕ ˇB を dilation といい，質をもつ． X ⊕ ˇB = {x|Bx ∩ X ̸= ∅}.

56. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニングをerosion／dilationで

57. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニングをerosion／dilationで原図形構造要素

61. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニングをerosion／dilationで原図形構造要素 opening

62. 2014 A.Asano,KansaiUniv. Opening = erosion + 構造要素を反転してdilation

63. 2014 A.Asano,KansaiUniv. Opening = erosion + 構造要素を反転してdilation 原図形構造要素

64. 2014 A.Asano,KansaiUniv. Opening = erosion + 構造要素を反転してdilation 原図形構造要素 erosion

65. 2014 A.Asano,KansaiUniv. Opening = erosion + 構造要素を反転してdilation 原図形構造要素を反転

68. 2014 A.Asano,KansaiUniv. Opening = erosion + 構造要素を反転してdilation 原図形構造要素反転してdilation を反転

70. 2014 A.Asano,KansaiUniv. Opening = erosion + 構造要素を反転してdilation 原図形構造要素を反転 opening

71. 2014 A.Asano,KansaiUniv. Opening = erosion + 構造要素を反転してdilation 原図形構造要素を反転 opening 」で定義される．全もつとする．このと性の属性値が，あるとき，これらの要素その属性セットに関する方法には，「下近象の集合を X とすを X の内部に，X 限り多く配置して，で表される．一方，クラスタを，X を含ことで，「ラフ」な集 Bz = {b + z | b ∈ B}. X の B による opening は「X か B を X の内部でくまなく動かしの軌跡」であり，「X から，B が小さな部分だけを除去して，他いう作用を表している．したが Opening XB は，下のように分解することができる． XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B 前半の X ⊖ ˇB は，erosion とよ X ⊖ ˇB = {x|B ⊆ X}

72. 2014 A.Asano,KansaiUniv. Opening = erosion + 構造要素を反転してdilation 原図形構造要素を反転 opening 」で定義される．全もつとする．このと性の属性値が，あるとき，これらの要素その属性セットに関する方法には，「下近象の集合を X とすを X の内部に，X 限り多く配置して，で表される．一方，クラスタを，X を含ことで，「ラフ」な集 Bz = {b + z | b ∈ B}. X の B による opening は「X か B を X の内部でくまなく動かしの軌跡」であり，「X から，B が小さな部分だけを除去して，他いう作用を表している．したが Opening XB は，下のように分解することができる． XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B 前半の X ⊖ ˇB は，erosion とよ X ⊖ ˇB = {x|B ⊆ X} はBの反転を表す．全のとある要素に関下近とすに，X して，一方，を含 z 以下のように定義される． Bz = {b + z | b ∈ B}. X の B による opening は「X からはみださ B を X の内部でくまなく動かしたときの，の軌跡」であり，「X から，B が収まりきら小さな部分だけを除去して，他はそのままいう作用を表している．したがって， Opening XB は，下のように，さらに基本分解することができる． XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B 前半の X ⊖ ˇB は，erosion とよばれる演算

73. 2014 A.Asano,KansaiUniv. Opening = erosion + Minkowski和

74. 2014 A.Asano,KansaiUniv. Opening = erosion + Minkowski和原図形構造要素

75. 2014 A.Asano,KansaiUniv. Opening = erosion + Minkowski和原図形構造要素

76. 2014 A.Asano,KansaiUniv. Opening = erosion + Minkowski和原図形構造要素 erosion

77. 2014 A.Asano,KansaiUniv. Opening = erosion + Minkowski和原図形構造要素構造要素ではなく，図形のほうを動かす

86. 2014 A.Asano,KansaiUniv. Opening = erosion + Minkowski和原図形構造要素 Minkowski和構造要素ではなく，図形のほうを動かす

87. 2014 A.Asano,KansaiUniv. Opening = erosion + Minkowski和原図形構造要素 opening 構造要素ではなく，図形のほうを動かす

88. 2014 A.Asano,KansaiUniv. Opening = erosion + Minkowski和原図形構造要素 opening 構造要素ではなく，図形のほうを動かす限りにおいて可能な限り多く配置して，を作るもので，R(X) で表される．一方，体集合に配置されたクラスタを，X を含可能な限り取り去ることで，「ラフ」な集，R(X) で表される．，x を全体集合の要素とするとき，以下． X) = {x|[x]A ∈ X} (1) X) = {x|[x]A ∩ X ̸= ∅} (2) ，属性セット A に関して x と同値な要り x の属するクラスタで，x の同値類とジ [2] は，画像処理において図形のもつ構 XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B 前半の X ⊖ ˇB は，erosi X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X というものである．すなださないように，B を X きの，B の原点の軌跡」転を表し， ˇB = {−b|b ∈ B} と定義される．また，後演算で， X ⊕ B = b∈B Xb. と定義される．なお，X Minkowski和

89. 2014 A.Asano,KansaiUniv. グレースケール画像の場合

90. 2014 A.Asano,KansaiUniv. グレースケール画像の場合画素の位置輝度多値図形明 ↑ ↓ 暗

91. 2014 A.Asano,KansaiUniv. グレースケール画像の場合画素の位置輝度多値図形明 ↑ ↓ 暗構造要素（多値）原点

92. 2014 A.Asano,KansaiUniv. グレースケール画像の場合画素の位置輝度多値図形明 ↑ ↓ 暗構造要素の各画素へのベクトルに沿って構造要素（多値）原点

93. 2014 A.Asano,KansaiUniv. グレースケール画像の場合画素の位置輝度多値図形明 ↑ ↓ 暗構造要素の各画素へのベクトルに沿って構造要素の値を足して図形を動かして構造要素（多値）原点

94. 2014 A.Asano,KansaiUniv. グレースケール画像の場合画素の位置輝度多値図形明 ↑ ↓ 暗構造要素の各画素へのベクトルに沿って構造要素の値を足して図形を動かして重ね合わせる構造要素（多値）原点

104. 2014 A.Asano,KansaiUniv. グレースケール画像の場合画素の位置輝度多値図形明 ↑ ↓ 暗構造要素の各画素へのベクトルに沿って構造要素の値を足して図形を動かして重ね合わせる画素毎の最大値 Minkowski和反転すると dilation 構造要素（多値）原点

105. 2014 A.Asano,KansaiUniv. グレースケール画像の場合画素の位置輝度多値図形明 ↑ ↓ 暗構造要素の各画素へのベクトルに沿って構造要素の値を足して図形を動かして重ね合わせる画素毎の最大値 Minkowski和反転すると dilation 画素毎の最小値 Minkowski差反転すると erosion 構造要素（多値）原点

107. A.Asano,KansaiUniv. 数式でどうやって表すか？

108. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニング図形Xの構造要素Bによるオープニングうは処理対象の画像よりもずっと小さいものを想定していま合 X とし，構造要素を集合 B とします。このとき，X の B 表します。 XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2 }. 動したもの (translation) で，次のように定義されます。 Bz = {b + z | b ∈ B}. 学期）第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.

109. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニング図形Xの構造要素Bによるオープニングうは処理対象の画像よりもずっと小さいものを想定していま合 X とし，構造要素を集合 B とします。このとき，X の B 表します。 XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2 }. 動したもの (translation) で，次のように定義されます。 Bz = {b + z | b ∈ B}. 学期）第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.

110. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニング図形Xの構造要素Bによるオープニングうは処理対象の画像よりもずっと小さいものを想定していま合 X とし，構造要素を集合 B とします。このとき，X の B 表します。 XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2 }. 動したもの (translation) で，次のように定義されます。 Bz = {b + z | b ∈ B}. 学期）第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko. ２次元座標平面の格子点

111. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニング図形Xの構造要素Bによるオープニングうは処理対象の画像よりもずっと小さいものを想定していま合 X とし，構造要素を集合 B とします。このとき，X の B 表します。 XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2 }. 動したもの (translation) で，次のように定義されます。 Bz = {b + z | b ∈ B}. 学期）第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko. うひとつの画像集合を考え，これを構造要素 (structuring elemen 処理対象の画像よりもずっと小さいものを想定しています。とし，構造要素を集合 B とします。このとき，X の B によるオます。 XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2 }. もの (translation) で，次のように定義されます。 Bz = {b + z | b ∈ B}. 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペ Bをzだけ移動２次元座標平面の格子点

112. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニング図形Xの構造要素Bによるオープニングうは処理対象の画像よりもずっと小さいものを想定していま合 X とし，構造要素を集合 B とします。このとき，X の B 表します。 XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2 }. 動したもの (translation) で，次のように定義されます。 Bz = {b + z | b ∈ B}. 学期）第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko. うひとつの画像集合を考え，これを構造要素 (structuring elemen 処理対象の画像よりもずっと小さいものを想定しています。とし，構造要素を集合 B とします。このとき，X の B によるオます。 XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2 }. もの (translation) で，次のように定義されます。 Bz = {b + z | b ∈ B}. 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペ Bをzだけ移動２次元座標平面の格子点 BがXの内部を移動するときの B自身の軌跡

113. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニング図形Xの構造要素Bによるオープニングうは処理対象の画像よりもずっと小さいものを想定していま合 X とし，構造要素を集合 B とします。このとき，X の B 表します。 XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2 }. 動したもの (translation) で，次のように定義されます。 Bz = {b + z | b ∈ B}. 学期）第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko. うひとつの画像集合を考え，これを構造要素 (structuring elemen 処理対象の画像よりもずっと小さいものを想定しています。とし，構造要素を集合 B とします。このとき，X の B によるオます。 XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2 }. もの (translation) で，次のように定義されます。 Bz = {b + z | b ∈ B}. 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペ Bをzだけ移動２次元座標平面の格子点 BがXの内部を移動するときの B自身の軌跡これが

114. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニング図形Xの構造要素Bによるオープニングうは処理対象の画像よりもずっと小さいものを想定していま合 X とし，構造要素を集合 B とします。このとき，X の B 表します。 XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2 }. 動したもの (translation) で，次のように定義されます。 Bz = {b + z | b ∈ B}. 学期）第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko. うひとつの画像集合を考え，これを構造要素 (structuring elemen 処理対象の画像よりもずっと小さいものを想定しています。とし，構造要素を集合 B とします。このとき，X の B によるオます。 XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2 }. もの (translation) で，次のように定義されます。 Bz = {b + z | b ∈ B}. 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペ Bをzだけ移動２次元座標平面の格子点 BがXの内部を移動するときの B自身の軌跡 X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} ことは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまないます。ープニング XB は，次のように分解されます XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B.これがであることを示す？？？？

115. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニングの分解：反転と集合差 x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ 定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。 X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀ b ∈ B}. ) ˇB を，次のように定義します。 ˇB = {−b|b ∈ B}. = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次 X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀ b ∈ B}. tion) ˇB を，次のように定義します。 ˇB = {−b|b ∈ B}. ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のように表 X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. 反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。よっす。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。この関係くまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示しています b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ B} 3 年度春学期）第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.jp/ をBの反転，(3) 式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せま X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀ b ∈ B}. B の反転 (reﬂection) ˇB を，次のように定義します。 ˇB = {−b|b ∈ B}. つの式から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集 X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. らば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であること ∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡である和については， Minkowski集合差を使って表すと，

116. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニングの分解：反転と集合差 x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ 定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。 X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀ b ∈ B}. ) ˇB を，次のように定義します。 ˇB = {−b|b ∈ B}. = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次 X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀ b ∈ B}. tion) ˇB を，次のように定義します。 ˇB = {−b|b ∈ B}. ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のように表 X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. 反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。よっす。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。この関係くまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示しています b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ B} 3 年度春学期）第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.jp/ をBの反転 ) 式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書 X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀ b ∈ 反転 (reﬂection) ˇB を，次のように定義します。 ˇB = {−b|b ∈ B}. 式から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となる X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. ，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} で B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式のの内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌，(3) 式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せま X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀ b ∈ B}. B の反転 (reﬂection) ˇB を，次のように定義します。 ˇB = {−b|b ∈ B}. つの式から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集 X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. らば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であること ∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡である和については， Minkowski集合差を使って表すと，

119. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニングの分解：反転と集合差 x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ 定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。 X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀ b ∈ B}. ) ˇB を，次のように定義します。 ˇB = {−b|b ∈ B}. = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次 X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀ b ∈ B}. tion) ˇB を，次のように定義します。 ˇB = {−b|b ∈ B}. ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のように表 X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. 反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。よっす。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。この関係くまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示しています b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ B} 3 年度春学期）第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.jp/ をBの反転 ) 式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書 X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀ b ∈ 反転 (reﬂection) ˇB を，次のように定義します。 ˇB = {−b|b ∈ B}. 式から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となる X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. ，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} で B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式のの内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌トル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − 差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。 X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀ b ∈ B}. ion) ˇB を，次のように定義します。 ˇB = {−b|b ∈ B}. ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差 X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. 反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわ，(3) 式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せま X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀ b ∈ B}. B の反転 (reﬂection) ˇB を，次のように定義します。 ˇB = {−b|b ∈ B}. つの式から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集 X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. らば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であること ∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡である和については， Minkowski集合差を使って表すと，

120. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニングの分解：反転と集合差 x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ 定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。 X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀ b ∈ B}. ) ˇB を，次のように定義します。 ˇB = {−b|b ∈ B}. = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次 X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀ b ∈ B}. tion) ˇB を，次のように定義します。 ˇB = {−b|b ∈ B}. ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のように表 X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. 反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。よっす。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。この関係くまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示しています b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ B} 3 年度春学期）第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.jp/ をBの反転 ) 式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書 X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀ b ∈ 反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。 ˇB = {−b|b ∈ B}. 式から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となる X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. ，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} で B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式のの内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌トル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − 差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。 X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀ b ∈ B}. ion) ˇB を，次のように定義します。 ˇB = {−b|b ∈ B}. ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差 X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. 反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわところで，あるベクトル使うと，(3) 式の集合差のまた，B の反転 (reflectio 上の２つの式から，X ⊖B なぜならば，(6) 式の反転 {x−b|b ∈ B} となりますは， ˇB が X の内部をくま集合和については，がXの内部を動くときの，ところで，あるベクトル x が Xb に含まれる，すな使うと，(3) 式の集合差の定義は，次のような画素毎 X ⊖ B = {x|x − また，B の反転 (reflection) ˇB を，次のように定義し ˇB = {−b 上の２つの式から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b X ⊖ B = { なぜならば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + {x−b|b ∈ B} となります。この式を (5) 式に代入するは， ˇB が X の内部をくまなく動き回ったときの，B 集合和については，の原点の軌跡，(3) 式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せま X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀ b ∈ B}. B の反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。 ˇB = {−b|b ∈ B}. つの式から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集 X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. らば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であること ∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡である和については， Minkowski集合差を使って表すと，

121. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニングの分解：集合和すなわち X ⊕ B = {b + x|b ∈ B, x ∈ X} = x∈X Bx. は，X ⊕ B は，B のコピーを X 内部のすべての点に貼付けるて，X の B によるエロージョンを X ⊖ ˇB と，またダイレーシ X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} す。このことは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまなく動き回の式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。このく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示してい b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ B} 学期）第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneX ⊕ B = {b + x|b ∈ B, x ∈ X} = x∈X Bx. は，X ⊕ B は，B のコピーを X 内部のすべての点に貼付けて，X の B によるエロージョンを X ⊖ ˇB と，またダイレー Minkowski集合和は

122. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニングの分解：集合和すなわち X ⊕ B = {b + x|b ∈ B, x ∈ X} = x∈X Bx. は，X ⊕ B は，B のコピーを X 内部のすべての点に貼付けるて，X の B によるエロージョンを X ⊖ ˇB と，またダイレーシ X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} す。このことは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまなく動き回の式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。このく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示してい b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ B} 学期）第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneX ⊕ B = {b + x|b ∈ B, x ∈ X} = x∈X Bx. は，X ⊕ B は，B のコピーを X 内部のすべての点に貼付けて，X の B によるエロージョンを X ⊖ ˇB と，またダイレー BのコピーをXを構成する各画素にくまなく貼付ける Minkowski集合和は

123. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニングの分解 −b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよう X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。このき回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示してい b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ B} 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikenek なぜならば，(6) 式の反転の定義から {x−b|b ∈ B} となります。この式を ( は， ˇB が X の内部をくまなく動き回集合和については， b∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１がXの内部を動くときの， X ⊖ B = {x|Bx ⊆ X}. なぜならば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} で {x−b|b ∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式のは， ˇB が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌集合和については， b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１０回 (2013. 6. 12) の原点の軌跡

124. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニングの分解 −b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよう X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。このき回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示してい b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ B} 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikenek なぜならば，(6) 式の反転の定義から {x−b|b ∈ B} となります。この式を ( は， ˇB が X の内部をくまなく動き回集合和については， b∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１がXの内部を動くときの， X ⊖ B = {x|Bx ⊆ X}. なぜならば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} で {x−b|b ∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式のは， ˇB が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌集合和については， b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１０回 (2013. 6. 12) の原点の軌跡によるエロージョンを X ⊖ ˇB と，またダイレーショ X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} とは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまなく動き回っます。プニング XB は，次のように分解されます。 XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B.

125. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニングの分解 −b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよう X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。このき回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示してい b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ B} 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikenek なぜならば，(6) 式の反転の定義から {x−b|b ∈ B} となります。この式を ( は， ˇB が X の内部をくまなく動き回集合和については， b∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１がXの内部を動くときの， X ⊖ B = {x|Bx ⊆ X}. なぜならば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} で {x−b|b ∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式のは， ˇB が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌集合和については， b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１０回 (2013. 6. 12) の原点の軌跡によるエロージョンを X ⊖ ˇB と，またダイレーショ X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} とは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまなく動き回っます。プニング XB は，次のように分解されます。 XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B.

126. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニングの分解 −b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよう X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。このき回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示してい b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ B} 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikenek なぜならば，(6) 式の反転の定義から {x−b|b ∈ B} となります。この式を ( は， ˇB が X の内部をくまなく動き回集合和については， b∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１がXの内部を動くときの， X ⊖ B = {x|Bx ⊆ X}. なぜならば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} で {x−b|b ∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式のは， ˇB が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌集合和については， b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１０回 (2013. 6. 12) の原点の軌跡 BがXの内部を動くときのBの原点の軌跡＝erosion によるエロージョンを X ⊖ ˇB と，またダイレーショ X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} とは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまなく動き回っます。プニング XB は，次のように分解されます。 XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B.

127. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニングの分解 −b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよう X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。このき回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示してい b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ B} 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikenek なぜならば，(6) 式の反転の定義から {x−b|b ∈ B} となります。この式を ( は， ˇB が X の内部をくまなく動き回集合和については， b∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１がXの内部を動くときの， X ⊖ B = {x|Bx ⊆ X}. なぜならば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} で {x−b|b ∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式のは， ˇB が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌集合和については， b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１０回 (2013. 6. 12) の原点の軌跡 BがXの内部を動くときのBの原点の軌跡＝erosion によるエロージョンを X ⊖ ˇB と，またダイレーショ X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} とは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまなく動き回っます。プニング XB は，次のように分解されます。 XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B. 以上から，オープニングフォロジでは，２値画像中の物体は，物体を構成する点を表すィジタル画像を考える場合は，２値画像は白画素（画素値が 1），画像を操作するためのもうひとつの画像集合を考え，これをす。構造要素は，ふつうは処理対象の画像よりもずっと小さい，処理対象の画像を集合 X とし，構造要素を集合 B とします。は，次のような効果を表します。 XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2 }. ，Bz は B を z だけ移動したもの (translation) で，次のように Bz = {b + z | b ∈ B}. は

130. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニングの分解 −b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよう X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。このき回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示してい b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ B} 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikenek なぜならば，(6) 式の反転の定義から {x−b|b ∈ B} となります。この式を ( は， ˇB が X の内部をくまなく動き回集合和については， b∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１がXの内部を動くときの， X ⊖ B = {x|Bx ⊆ X}. なぜならば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} で {x−b|b ∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式のは， ˇB が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌集合和については， b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１０回 (2013. 6. 12) の原点の軌跡 BがXの内部を動くときのBの原点の軌跡＝erosion によるエロージョンを X ⊖ ˇB と，またダイレーショ X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} とは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまなく動き回っます。プニング XB は，次のように分解されます。 XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B. X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} のことは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまなくています。オープニング XB は，次のように分解されます XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B. ˇB) ⊕ B と定義され，これは z∈X⊖ ˇB Bz と同 ˇ 以上から，オープニングフォロジでは，２値画像中の物体は，物体を構成する点を表すィジタル画像を考える場合は，２値画像は白画素（画素値が 1），画像を操作するためのもうひとつの画像集合を考え，これをす。構造要素は，ふつうは処理対象の画像よりもずっと小さい，処理対象の画像を集合 X とし，構造要素を集合 B とします。は，次のような効果を表します。 XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2 }. ，Bz は B を z だけ移動したもの (translation) で，次のように Bz = {b + z | b ∈ B}. は

131. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニングの分解 −b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよう X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。このき回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示してい b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ B} 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikenek なぜならば，(6) 式の反転の定義から {x−b|b ∈ B} となります。この式を ( は， ˇB が X の内部をくまなく動き回集合和については， b∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１がXの内部を動くときの， X ⊖ B = {x|Bx ⊆ X}. なぜならば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} で {x−b|b ∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式のは， ˇB が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌集合和については， b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１０回 (2013. 6. 12) の原点の軌跡 BがXの内部を動くときのBの原点の軌跡＝erosion によるエロージョンを X ⊖ ˇB と，またダイレーショ X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} とは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまなく動き回っます。プニング XB は，次のように分解されます。 XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B. X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} のことは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまなくています。オープニング XB は，次のように分解されます XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B. ˇB) ⊕ B と定義され，これは z∈X⊖ ˇB Bz と同 ˇ 以上から，オープニングフォロジでは，２値画像中の物体は，物体を構成する点を表すィジタル画像を考える場合は，２値画像は白画素（画素値が 1），画像を操作するためのもうひとつの画像集合を考え，これをす。構造要素は，ふつうは処理対象の画像よりもずっと小さい，処理対象の画像を集合 X とし，構造要素を集合 B とします。は，次のような効果を表します。 XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2 }. ，Bz は B を z だけ移動したもの (translation) で，次のように Bz = {b + z | b ∈ B}. は

132. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニングの分解 −b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよう X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。このき回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示してい b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ B} 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikenek なぜならば，(6) 式の反転の定義から {x−b|b ∈ B} となります。この式を ( は， ˇB が X の内部をくまなく動き回集合和については， b∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１がXの内部を動くときの， X ⊖ B = {x|Bx ⊆ X}. なぜならば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} で {x−b|b ∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式のは， ˇB が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌集合和については， b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１０回 (2013. 6. 12) の原点の軌跡 BがXの内部を動くときのBの原点の軌跡＝erosion によるエロージョンを X ⊖ ˇB と，またダイレーショ X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} とは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまなく動き回っます。プニング XB は，次のように分解されます。 XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B. X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} のことは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまなくています。オープニング XB は，次のように分解されます XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B. ˇB) ⊕ B と定義され，これは z∈X⊖ ˇB Bz と同 ˇ 以上から，オープニング BがXの内部を動くときのBの原点フォロジでは，２値画像中の物体は，物体を構成する点を表すィジタル画像を考える場合は，２値画像は白画素（画素値が 1），画像を操作するためのもうひとつの画像集合を考え，これをす。構造要素は，ふつうは処理対象の画像よりもずっと小さい，処理対象の画像を集合 X とし，構造要素を集合 B とします。は，次のような効果を表します。 XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2 }. ，Bz は B を z だけ移動したもの (translation) で，次のように Bz = {b + z | b ∈ B}. は

133. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニングの分解 −b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよう X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。このき回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示してい b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ B} 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikenek なぜならば，(6) 式の反転の定義から {x−b|b ∈ B} となります。この式を ( は， ˇB が X の内部をくまなく動き回集合和については， b∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１がXの内部を動くときの， X ⊖ B = {x|Bx ⊆ X}. なぜならば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} で {x−b|b ∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式のは， ˇB が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌集合和については， b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１０回 (2013. 6. 12) の原点の軌跡 BがXの内部を動くときのBの原点の軌跡＝erosion によるエロージョンを X ⊖ ˇB と，またダイレーショ X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} とは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまなく動き回っます。プニング XB は，次のように分解されます。 XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B. X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} のことは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまなくています。オープニング XB は，次のように分解されます XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B. ˇB) ⊕ B と定義され，これは z∈X⊖ ˇB Bz と同 ˇ 以上から，オープニング BがXの内部を動くときのBの原点フォロジでは，２値画像中の物体は，物体を構成する点を表すィジタル画像を考える場合は，２値画像は白画素（画素値が 1），画像を操作するためのもうひとつの画像集合を考え，これをす。構造要素は，ふつうは処理対象の画像よりもずっと小さい，処理対象の画像を集合 X とし，構造要素を集合 B とします。は，次のような効果を表します。 XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2 }. ，Bz は B を z だけ移動したもの (translation) で，次のように Bz = {b + z | b ∈ B}. は

134. 2014 A.Asano,KansaiUniv. オープニングの分解 −b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよう X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}. から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。このき回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示してい b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ B} 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikenek なぜならば，(6) 式の反転の定義から {x−b|b ∈ B} となります。この式を ( は， ˇB が X の内部をくまなく動き回集合和については， b∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１がXの内部を動くときの， X ⊖ B = {x|Bx ⊆ X}. なぜならば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} で {x−b|b ∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式のは， ˇB が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌集合和については， b∈B Xb = {x + b|x ∈ X, ∀ b ∈ 浅野晃／画像情報処理（2013 年度春学期）第１０回 (2013. 6. 12) の原点の軌跡 BがXの内部を動くときのBの原点の軌跡＝erosion によるエロージョンを X ⊖ ˇB と，またダイレーショ X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} とは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまなく動き回っます。プニング XB は，次のように分解されます。 XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B. X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X} のことは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまなくています。オープニング XB は，次のように分解されます XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B. ˇB) ⊕ B と定義され，これは z∈X⊖ ˇB Bz と同 ˇ 以上から，オープニング BがXの内部を動くときのBの原点その原点にBを貼り付けるフォロジでは，２値画像中の物体は，物体を構成する点を表すィジタル画像を考える場合は，２値画像は白画素（画素値が 1），画像を操作するためのもうひとつの画像集合を考え，これをす。構造要素は，ふつうは処理対象の画像よりもずっと小さい，処理対象の画像を集合 X とし，構造要素を集合 B とします。は，次のような効果を表します。 XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2 }. ，Bz は B を z だけ移動したもの (translation) で，次のように Bz = {b + z | b ∈ B}. は

2014年度春学期　画像情報処理　第１０回　画像の集合演算とオープニング (2014. 6. 25)

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