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A.Asano,KansaiUniv.
2015年度秋学期 統計学
浅野 晃
関西大学総合情報学部
不確かな測定の不確かさを測る
― 不偏分散とt分布
第13回
A.Asano,KansaiUniv.
A.Asano,KansaiUniv.
ちょっと前回までの復習
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
例題
母集団
(受験者全体)
母平均μ
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
例題
母集団
(受験者全体)
母平均μ 母平均μの95%信頼区間が
知りたい
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
例題 標本X1, ... Xnをとりだす
サイズn母集団
(受験者全体)
母平均μ 母平均μの95%信頼区間が
知りたい
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
例題 標本X1, ... Xnをとりだす
サイズn母集団
(受験者全体)
母平均μ 母平均μの95%信頼区間が
知りたい
標本平均 X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
例題 標本X1, ... Xnをとりだす
サイズn母集団
(受験者全体)
母平均μ 母平均μの95%信頼区間が
知りたい
正規分布
と仮定する
標本平均 X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
例題 標本X1, ... Xnをとりだす
サイズn母集団
(受験者全体)
母平均μ 母平均μの95%信頼区間が
知りたい
正規分布
と仮定する
母分散σ2がわかっている...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
例題 標本X1, ... Xnをとりだす
サイズn母集団
(受験者全体)
母平均μ 母平均μの95%信頼区間が
知りたい
正規分布
と仮定する
母分散σ2がわかっている...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
数値をいくつか抽出して標本平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
数値をいくつか抽出して標本平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
数値をいくつか抽出して標本平均
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
数値をいくつか抽出して標本平均
仮に,何度も抽出したとすると
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
数値をいくつか抽出して標本平均
仮に,何度も抽出したとすると
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
数値をいくつか抽出して標本平均
仮に,何度も抽出したとすると
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
数値をいくつか抽出して標本平均
仮に,何度も抽出したとすると
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
数値をいくつか抽出して標本平均
仮に,何度も抽出したとすると
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
数値をいくつか抽出して標本平均
仮に,何度も抽出したとすると
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
数値をいくつか抽出して標本平均
仮に,何度も抽出したとすると
X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
数値をいくつか抽出して標本平均
仮に,何度も抽出したとすると
母平均(実際にはわからない)
X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
数値をいくつか抽出して標本平均
仮に,何度も抽出したとすると
母平均(実際にはわからない)
のまわりにばらついている
X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
数値をいくつか抽出して標本平均
仮に,何度も抽出したとすると
母平均(実際にはわからない)
のまわりにばらついている
標本平均の
期待値
=母平均
X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
数値をいくつか抽出して標本平均
データ1個
より
ばらつきが
小さくなる
仮に,何度も抽出したとすると
母平均(実際にはわからない)
のまわりにばらついている
標本平均の
期待...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
数値をいくつか抽出して標本平均
データ1個
より
ばらつきが
小さくなる
仮に,何度も抽出したとすると
母平均(実際にはわからない)
のまわりにばらついている
標本平均の
期待...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
標本平均の左右に区間をつける
X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
標本平均の左右に区間をつける
X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
標本平均の左右に区間をつける
X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
標本平均の左右に区間をつける
X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
標本平均の左右に区間をつける
X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
標本平均の左右に区間をつける
母平均
X
X
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
標本平均の左右に区間をつける
母平均
X
X
X
X
(実際にはわからない)
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
標本平均の左右に区間をつける
区間は母平均を
母平均
X
X
X
X
(実際にはわからない)
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
標本平均の左右に区間をつける
区間は母平均を
母平均
X
X
X
X
含む
(実際にはわからない)
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
標本平均の左右に区間をつける
区間は母平均を
母平均
X
X
X
X
含む
含む
(実際にはわからない)
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
標本平均の左右に区間をつける
区間は母平均を
母平均
X
X
X
X
含む
含む
含まない
(実際にはわからない)
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
標本平均の左右に区間をつける
区間は母平均を
母平均
X
X
X
X
含む
含む
含まない
含む
(実際にはわからない)
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
標本平均の左右に区間をつける
区間は母平均を
母平均
どの回の区間が
母平均を含むか・
含まないかは
わからないが
X
X
X
X
含む
含む
含まない
含む
(実際にはわから...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
区間推定の考え方
標本平均の左右に区間をつける
区間は母平均を
母平均
どの回の区間が
母平均を含むか・
含まないかは
わからないが
確率95%で
母平均を含むように
区間を設定できる
X
X
...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
信頼区間
区間は母平均を
母平均
X
X
X
X
含む
含む
含ま
ない
含む
(実際にはわからない)
確率95%で
母平均を含むように計
算した区間だから,そ
の1回も含むと信じる
2015
A.Asano,KansaiUniv.
信頼区間
区間は母平均を
母平均
X
X
X
X
含む
含む
含ま
ない
含む
(実際にはわからない)
確率95%で
母平均を含むように計
算した区間だから,そ
の1回も含むと信じる
母平均の
...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
信頼区間
区間は母平均を
母平均
X
X
X
X
含む
含む
含ま
ない
含む
(実際にはわからない)
確率95%で
母平均を含むように計
算した区間だから,そ
の1回も含むと信じる
母平均の
...
A.Asano,KansaiUniv.
A.Asano,KansaiUniv.
不偏分散
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
例題 標本X1, ... Xnをとりだす
サイズn母集団
(受験者全体)
母平均μ 母平均μの95%信頼区間が
知りたい
正規分布
と仮定する
標本平均 X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
例題 標本X1, ... Xnをとりだす
サイズn母集団
(受験者全体)
母平均μ 母平均μの95%信頼区間が
知りたい
正規分布
と仮定する
母分散σ2がわかっている...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
例題 標本X1, ... Xnをとりだす
サイズn母集団
(受験者全体)
母平均μ 母平均μの95%信頼区間が
知りたい
正規分布
と仮定する
母分散σ2がわかっている...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母分散は,ふつうはわからない
母集団全体は調べていないし,母平均も
わからない
(わからないから,いま推定しようとし
ている)
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母分散は,ふつうはわからない
それなのに,母分散がわかるはずがない
母集団全体は調べていないし,母平均も
わからない
(わからないから,いま推定しようとし
ている)
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母分散は,ふつうはわからない
それなのに,母分散がわかるはずがない
母集団全体は調べていないし,母平均も
わからない
(わからないから,いま推定しようとし
ている)
母分散の「代用品」を,標本を...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本を使って分散を計算
分散=(偏差)2の平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本を使って分散を計算
分散=(偏差)2の平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本を使って分散を計算
分散=(偏差)2の平均
(データの各数値)ー(データの平均)
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本を使って分散を計算
標本を使って分散を計算する。
分散=(偏差)2の平均
(データの各数値)ー(データの平均)
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本を使って分散を計算
標本を使って分散を計算する。
分散=(偏差)2の平均
(データの各数値)ー(データの平均)
データ: 標本X1, ... Xn
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本を使って分散を計算
標本を使って分散を計算する。
分散=(偏差)2の平均
(データの各数値)ー(データの平均)
データ: 標本X1, ... Xn
データの平均:
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本を使って分散を計算
標本を使って分散を計算する。
分散=(偏差)2の平均
(データの各数値)ー(データの平均)
データ: 標本X1, ... Xn
データの平均: 本当は母平均だが,
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本を使って分散を計算
標本を使って分散を計算する。
分散=(偏差)2の平均
(データの各数値)ー(データの平均)
データ: 標本X1, ... Xn
わからないので
標本平均 X で代用
デー...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本を使って分散を計算
標本を使った分散
(不偏標本分散)といい,標本サイズを n,標本を X1, X2, . . . , X
散 s2 は
s2
=
1
n − 1
(X1 − ¯X)2
+ ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本を使って分散を計算
標本を使った分散
(不偏標本分散)といい,標本サイズを n,標本を X1, X2, . . . , X
散 s2 は
s2
=
1
n − 1
(X1 − ¯X)2
+ ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本を使って分散を計算
標本サイズで割る
標本を使った分散
(不偏標本分散)といい,標本サイズを n,標本を X1, X2, . . . , X
散 s2 は
s2
=
1
n − 1
(X1 ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本を使って分散を計算
標本サイズで割る
標本を使った分散
(不偏標本分散)といい,標本サイズを n,標本を X1, X2, . . . , X
散 s2 は
s2
=
1
n − 1
(X1 ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本を使って分散を計算
標本サイズで割る
標本を使った分散
(不偏標本分散)といい,標本サイズを n,標本を X1, X2, . . . , X
散 s2 は
s2
=
1
n − 1
(X1 ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
X1
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
X1 X2
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
X1 X2
母平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
X1 X2
母平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
X1
母平均との隔たり(偏差)
X2
母平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
XX1
母平均との隔たり(偏差)
X2
母平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
XX1
母平均との隔たり(偏差)
X2
母平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
XX1
母平均との隔たり(偏差)
X2
標本平均との隔たり
母平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
XX1
母平均との隔たり(偏差)
X2
標本平均との隔たり
母平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
XX1
母平均との隔たり(偏差)
X1
X2
標本平均との隔たり
母平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
XX1
X2
母平均との隔たり(偏差)
X1
X2
標本平均との隔たり
母平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
XX1
X2
母平均との隔たり(偏差)
X1
X2
標本平均との隔たり
母平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
XX1
X2
母平均との隔たり(偏差)
X1
X2
X
標本平均との隔たり
母平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
XX1
X2
母平均との隔たり(偏差)
X1
X2
X
標本平均との隔たり
母平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
XX1
X2
母平均との隔たり(偏差)
X1
X2
X
標本平均との隔たり
母平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
XX1
X2
母平均との隔たり(偏差)
X1
X2
X
標本平均との隔たり
X1
母平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
XX1
X2
母平均との隔たり(偏差)
X1
X2
X
標本平均との隔たり
X2X1
母平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
XX1
X2
母平均との隔たり(偏差)
X1
X2
X
標本平均との隔たり
X2X1
母平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
XX1
X2
母平均との隔たり(偏差)
X1
X2
X
標本平均との隔たり
X2X1 X
母平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
XX1
X2
母平均との隔たり(偏差)
X1
X2
X
標本平均との隔たり
X2X1 X
母平均
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
XX1
X2
母平均との隔たり(偏差)
X1
X2
X
標本平均との隔たり
X2X1 X
標本平均との隔
たりのほうが
た...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
別の説明 母集団の
度数分布
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
別の説明 母集団の
度数分布
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
別の説明 母集団の
度数分布
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
別の説明 母集団の
度数分布
これなら
「標本平均との隔たり」と
「母平均との隔たり」は
かわらない
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
別の説明 母集団の
度数分布
これなら
「標本平均との隔たり」と
「母平均との隔たり」は
かわらない
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
別の説明 母集団の
度数分布
これなら
「標本平均との隔たり」と
「母平均との隔たり」は
かわらない
X
X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
標本平均を用いた偏差
別の説明 母集団の
度数分布
これなら
「標本平均との隔たり」と
「母平均との隔たり」は
かわらない
X
こんなふうに偏っていると
「標本平均との隔たり」
のほうが小さい X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
不偏分散
2015
A.Asano,KansaiUniv.
不偏分散
母平均との隔たりよりも
標本平均との隔たりのほうが
たいてい小さい
2015
A.Asano,KansaiUniv.
不偏分散
母平均との隔たりよりも
標本平均との隔たりのほうが
たいてい小さい
標本平均との隔たりを使って分散を計算
すると,母分散よりもたいてい小さめに
なる
2015
A.Asano,KansaiUniv.
不偏分散
母平均との隔たりよりも
標本平均との隔たりのほうが
たいてい小さい
標本平均との隔たりを使って分散を計算
すると,母分散よりもたいてい小さめに
なる
では,計算のときに少し大きめ
にし...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
不偏分散
計算のときに少し大きめにする
2015
A.Asano,KansaiUniv.
不偏分散
計算のときに少し大きめにする
の母分散のかわりに,標本から推定した分散を使って,母平均を推測
各データの,期待値(平均)からのへだたり)の2乗の,そのまた期
応して「(各標本の,標本平...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
不偏分散
計算のときに少し大きめにする
の母分散のかわりに,標本から推定した分散を使って,母平均を推測
各データの,期待値(平均)からのへだたり)の2乗の,そのまた期
応して「(各標本の,標本平...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
不偏分散
計算のときに少し大きめにする
の母分散のかわりに,標本から推定した分散を使って,母平均を推測
各データの,期待値(平均)からのへだたり)の2乗の,そのまた期
応して「(各標本の,標本平...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
不偏分散
計算のときに少し大きめにする
の母分散のかわりに,標本から推定した分散を使って,母平均を推測
各データの,期待値(平均)からのへだたり)の2乗の,そのまた期
応して「(各標本の,標本平...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
不偏分散
計算のときに少し大きめにする
の母分散のかわりに,標本から推定した分散を使って,母平均を推測
各データの,期待値(平均)からのへだたり)の2乗の,そのまた期
応して「(各標本の,標本平...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「不偏」とは?
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「不偏」とは?
標本平均との隔たりを使って分散を計算す
ると,母分散よりもたいてい小さめになる
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「不偏」とは?
計算のときに少し大きめにすると?
標本平均との隔たりを使って分散を計算す
ると,母分散よりもたいてい小さめになる
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「不偏」とは?
計算のときに少し大きめにすると?
標本平均との隔たりを使って分散を計算す
ると,母分散よりもたいてい小さめになる
母分散と一致するわけではないが
母分散より大きくも小さくも
平等...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
「不偏」とは?
計算のときに少し大きめにすると?
標本平均との隔たりを使って分散を計算す
ると,母分散よりもたいてい小さめになる
母分散と一致するわけではないが
母分散より大きくも小さくも
平等...
A.Asano,KansaiUniv.
A.Asano,KansaiUniv.
不偏分散を用いた区間推定
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
例題 標本X1, ... Xnをとりだす
サイズn母集団
(受験者全体)
母平均μ 母平均μの95%信頼区間が
知りたい
正規分布
と仮定する
標本平均 X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
例題 標本X1, ... Xnをとりだす
サイズn母集団
(受験者全体)
母平均μ 母平均μの95%信頼区間が
知りたい
正規分布
と仮定する
母分散σ2がわかっている...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
例題 標本X1, ... Xnをとりだす
サイズn母集団
(受験者全体)
母平均μ 母平均μの95%信頼区間が
知りたい
正規分布
と仮定する
母分散σ2がわかっている...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
考え方
標本は,母集団分布と同じ確率分布に
したがう
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
考え方
標本は,母集団分布と同じ確率分布に
したがう
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
考え方
標本は,母集団分布と同じ確率分布に
したがう 正規分布N(μ, σ2)
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
考え方
標本は,母集団分布と同じ確率分布に
したがう 正規分布N(μ, σ2)
標本平均は,やはり正規分布にしたが
うが,分散が1/nになる
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
考え方
標本は,母集団分布と同じ確率分布に
したがう 正規分布N(μ, σ2)
標本平均は,やはり正規分布にしたが
うが,分散が1/nになる
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
考え方
標本は,母集団分布と同じ確率分布に
したがう 正規分布N(μ, σ2)
標本平均は,やはり正規分布にしたが
うが,分散が1/nになる
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
考え方
標本は,母集団分布と同じ確率分布に
したがう 正規分布N(μ, σ2)
標本平均は,やはり正規分布にしたが
うが,分散が1/nになる [性質2]
2015
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正規分布の場合の区間推定
考え方
標本は,母集団分布と同じ確率分布に
したがう 正規分布N(μ, σ2)
標本平均は,やはり正規分布にしたが
うが,分散が1/nになる
正規分布N(μ, σ2/n...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
考え方
標本は,母集団分布と同じ確率分布にしたがう
正規分布N(μ, σ2)
標本平均は,やはり正規分布にしたがうが,分散
が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
考え方
標本は,母集団分布と同じ確率分布にしたがう
正規分布N(μ, σ2)
標本平均は,やはり正規分布にしたがうが,分散
が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
考え方
標本は,母集団分布と同じ確率分布にしたがう
正規分布N(μ, σ2)
標本平均は,やはり正規分布にしたがうが,分散
が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
考え方
標本は,母集団分布と同じ確率分布にしたがう
正規分布N(μ, σ2)
標本平均は,やはり正規分布にしたがうが,分散
が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
考え方
標本は,母集団分布と同じ確率分布にしたがう
正規分布N(μ, σ2)
標本平均は,やはり正規分布にしたがうが,分散
が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
考え方
標本は,母集団分布と同じ確率分布にしたがう
正規分布N(μ, σ2)
標本平均は,やはり正規分布にしたがうが,分散
が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
正規分布の場合の区間推定
考え方
標本は,母集団分布と同じ確率分布にしたがう
正規分布N(μ, σ2)
標本平均は,やはり正規分布にしたがうが,分散
が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母分散はわからない
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母分散はわからない
Z =
¯X − µ
σ2/n
で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準
である区間」はどういうものか考えてみまし
したように,Z がある区間に入る確率は,標
応する部分...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母分散はわからない
Z =
¯X − µ
σ2/n
で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準
である区間」はどういうものか考えてみまし
したように,Z がある区間に入る確率は,標
応する部分...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母分散はわからない
Z =
¯X − µ
σ2/n
で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準
である区間」はどういうものか考えてみまし
したように,Z がある区間に入る確率は,標
応する部分...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母分散はわからない
Z =
¯X − µ
σ2/n
で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準
である区間」はどういうものか考えてみまし
したように,Z がある区間に入る確率は,標
応する部分...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母分散はわからない
Z =
¯X − µ
σ2/n
で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準
である区間」はどういうものか考えてみまし
したように,Z がある区間に入る確率は,標
応する部分...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母分散はわからない
Z =
¯X − µ
σ2/n
で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準
である区間」はどういうものか考えてみまし
したように,Z がある区間に入る確率は,標
応する部分...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母分散はわからない
Z =
¯X − µ
σ2/n
で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準
である区間」はどういうものか考えてみまし
したように,Z がある区間に入る確率は,標
応する部分...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
母分散はわからない
Z =
¯X − µ
σ2/n
で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準
である区間」はどういうものか考えてみまし
したように,Z がある区間に入る確率は,標
応する部分...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算され
t =
¯X − µ
s2/n
t 統計量といいます。Z は標準正規分布にし
?
布は,標準正規分布ではなく,自由度 n − 1
れを t(n...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布
は
。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算され
t =
¯X − µ
s2/n
t 統計量といいます。Z は標準正規分布にし
?
布は,標準正規分布ではなく,自由度 n − 1
れを ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布
は
。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算され
t =
¯X − µ
s2/n
t 統計量といいます。Z は標準正規分布にし
?
布は,標準正規分布ではなく,自由度 n − 1
れを ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布
は
t(n-1)
。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算され
t =
¯X − µ
s2/n
t 統計量といいます。Z は標準正規分布にし
?
布は,標準正規分布ではなく,自由度 n ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布
は
t(n-1)
。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算され
t =
¯X − µ
s2/n
t 統計量といいます。Z は標準正規分布にし
?
布は,標準正規分布ではなく,自由度 n ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布
は
t(n-1)
。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算され
t =
¯X − µ
s2/n
t 統計量といいます。Z は標準正規分布にし
?
布は,標準正規分布ではなく,自由度 n ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布
は
t(n-1)
。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算され
t =
¯X − µ
s2/n
t 統計量といいます。Z は標準正規分布にし
?
布は,標準正規分布ではなく,自由度 n ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
この例題は
標本X1, ... Xnをとりだす
サイズn母集団
(受験者全体)
母平均μ 母平均μの95%信頼区間が
知りたい
正規分布
と仮定する
標本平均 X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
この例題は
標本X1, ... Xnをとりだす
サイズn母集団
(受験者全体)
母平均μ 母平均μの95%信頼区間が
知りたい
正規分布
と仮定する
母分散σ2がわか
標本平均 X
2015
A.Asano,KansaiUniv.
この例題は
標本X1, ... Xnをとりだす
サイズn母集団
(受験者全体)
母平均μ 母平均μの95%信頼区間が
知りたい
正規分布
と仮定する
母分散σ2がわか
標本平均 X
らないので,
2015
A.Asano,KansaiUniv.
この例題は
標本X1, ... Xnをとりだす
サイズn母集団
(受験者全体)
母平均μ 母平均μの95%信頼区間が
知りたい
正規分布
と仮定する
母分散σ2がわか
標本平均 X
らないので,...
2015
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t
0
t分布を用いた区間推定
は自由度(n-1)のt分布にしたがう
しょう。このとき,(3) 式には µ と σ の2つの未知の量がある
で,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t分布を用いた区間推定
は自由度(n-1)のt分布にしたがう
t(n-1)の
確率密度関数
しょう。このとき,(3) 式には µ と σ の2つの未知の量がある
で,母分散 σ2 を,標...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t分布を用いた区間推定
は自由度(n-1)のt分布にしたがう
t(n-1)の
確率密度関数
しょう。このとき,(3) 式には µ と σ の2つの未知の量がある
で,母分散 σ2 を,標...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t分布を用いた区間推定
この区間に入っている確率=95%とすると
は自由度(n-1)のt分布にしたがう
t(n-1)の
確率密度関数
が
しょう。このとき,(3) 式には µ と σ の...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t分布を用いた区間推定
この区間に入っている確率=95%とすると
は自由度(n-1)のt分布にしたがう
t(n-1)の
確率密度関数
が
面積=95%
しょう。このとき,(3) 式には ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t分布を用いた区間推定
この区間に入っている確率=95%とすると
は自由度(n-1)のt分布にしたがう
t(n-1)の
確率密度関数
が
面積=95%
境界の値はいくら?
しょう。このと...
2015
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t
0
t
0
t分布を用いた区間推定
面積=95%
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t
0
t分布を用いた区間推定
面積=95%
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t
0
t分布を用いた区間推定
面積=95%
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t
0
t分布を用いた区間推定
面積=95%
面積=2.5%
(左右で5%)
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t
0
t分布を用いた区間推定
面積=95%
面積=2.5%
(左右で5%)
境界の値は自由度によってちがうので
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t
0
t分布を用いた区間推定
面積=95%
面積=2.5%
(左右で5%)
境界の値は自由度によってちがうので
t0.025(n-1)としておく
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t
0
t分布を用いた区間推定
面積=95%
面積=2.5%
(左右で5%)
境界の値は自由度によってちがうので
t0.025(n-1)としておく[上側2.5%点]という
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t分布を用いた区間推定
t(n-1)
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t分布を用いた区間推定
t(n-1)
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t分布を用いた区間推定
この区間に入っている確率=95%
が
団分布が母平均 µ,母分散 σ2 の正規分布で,そこから n 個の標本を取
あるとき,
Z =
¯X − µ
σ2/n
正規...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t分布を用いた区間推定
この区間に入っている確率=95%
が
面積=95%
団分布が母平均 µ,母分散 σ2 の正規分布で,そこから n 個の標本を取
あるとき,
Z =
¯X − µ
...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t分布を用いた区間推定
この区間に入っている確率=95%
が
面積=95%
団分布が母平均 µ,母分散 σ2 の正規分布で,そこから n 個の標本を取
あるとき,
Z =
¯X − µ
...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t分布を用いた区間推定
この区間に入っている確率=95%
が
面積=95%
団分布が母平均 µ,母分散 σ2 の正規分布で,そこから n 個の標本を取
あるとき,
Z =
¯X − µ
...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t分布を用いた区間推定
この区間に入っている確率=95%
が
面積=95%
団分布が母平均 µ,母分散 σ2 の正規分布で,そこから n 個の標本を取
あるとき,
Z =
¯X − µ
...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
が -t0.025(n-1) と
t0.025(n-1) の間に入って
いる確率が95%
しょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つの未知の量がある
で,母分...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
式で書くと
が -t0.025(n-1) と
t0.025(n-1) の間に入って
いる確率が95%
しょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つの未知の量があ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
式で書くと
が -t0.025(n-1) と
t0.025(n-1) の間に入って
いる確率が95%
しょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つの未知の量があ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
式で書くと
が -t0.025(n-1) と
t0.025(n-1) の間に入って
いる確率が95%
μの式に直すと
しょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
式で書くと
が -t0.025(n-1) と
t0.025(n-1) の間に入って
いる確率が95%
μの式に直すと
しょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
るような値」とすると
P −t0.025(n − 1)
¯X − µ
s2/n
t0.025(n − 1) = 0.95
ます(図 2)。この式から,
P ¯X − t0...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
μの95%
信頼区間の
下限
るような値」とすると
P −t0.025(n − 1)
¯X − µ
s2/n
t0.025(n − 1) = 0.95
ます(図 2)。こ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
μの95%
信頼区間の
下限
μの95%
信頼区間の
上限
るような値」とすると
P −t0.025(n − 1)
¯X − µ
s2/n
t0.025(n − 1) =...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
μの95%
信頼区間の
下限
μの95%
信頼区間の
上限
例題では
るような値」とすると
P −t0.025(n − 1)
¯X − µ
s2/n
t0.025(n −...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
μの95%
信頼区間の
下限
μの95%
信頼区間の
上限
例題では
標本平均=50
るような値」とすると
P −t0.025(n − 1)
¯X − µ
s2/n
t0...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
μの95%
信頼区間の
下限
μの95%
信頼区間の
上限
例題では
標本平均=50
不偏分散=25
るような値」とすると
P −t0.025(n − 1)
¯X − µ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
μの95%
信頼区間の
下限
μの95%
信頼区間の
上限
例題では
標本平均=50
不偏分散=25 標本サイズ=10
るような値」とすると
P −t0.025(n − ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
μの95%
信頼区間の
下限
μの95%
信頼区間の
上限
例題では
標本平均=50
不偏分散=25 標本サイズ=10
上側2.5%点 t0.025(n-1) は?
るよ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t分布表
面積=2.5%
t0.025(n-1)
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t分布表
面積=2.5%
t0.025(n-1)
0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
1 0.3249 0.7265 ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t分布表
面積=2.5%
t0.025(n-1)
0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
1 0.3249 0.7265 ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t分布表
面積=2.5%
パーセントの値
t0.025(n-1)
0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
1 0.3249...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t分布表
面積=2.5%
パーセントの値
例題では n-1 = 9
t0.025(n-1)
0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t分布表
面積=2.5%
パーセントの値
例題では n-1 = 9
0.025
t0.025(n-1)
0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t
0
t分布表
面積=2.5%
パーセントの値
例題では n-1 = 9
0.025
t0.025(9)=2.262
t0.025(n-1)
0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
るような値」とすると
P −t0.025(n − 1)
¯X − µ
s2/n
t0.025(n − 1) = 0.95
ます(図 2)。この式から,
P ¯X − t0...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
μの95%
信頼区間の
下限
るような値」とすると
P −t0.025(n − 1)
¯X − µ
s2/n
t0.025(n − 1) = 0.95
ます(図 2)。こ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
μの95%
信頼区間の
下限
μの95%
信頼区間の
上限
るような値」とすると
P −t0.025(n − 1)
¯X − µ
s2/n
t0.025(n − 1) =...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
μの95%
信頼区間の
下限
μの95%
信頼区間の
上限
例題では
るような値」とすると
P −t0.025(n − 1)
¯X − µ
s2/n
t0.025(n −...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
μの95%
信頼区間の
下限
μの95%
信頼区間の
上限
例題では
標本平均=50
るような値」とすると
P −t0.025(n − 1)
¯X − µ
s2/n
t0...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
μの95%
信頼区間の
下限
μの95%
信頼区間の
上限
例題では
標本平均=50
不偏分散=25
るような値」とすると
P −t0.025(n − 1)
¯X − µ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
μの95%
信頼区間の
下限
μの95%
信頼区間の
上限
例題では
標本平均=50
不偏分散=25 標本サイズ=10
るような値」とすると
P −t0.025(n − ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
μの95%
信頼区間の
下限
μの95%
信頼区間の
上限
例題では
標本平均=50
不偏分散=25 標本サイズ=10
るような値」とすると
P −t0.025(n − ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
μの95%
信頼区間の
下限
μの95%
信頼区間の
上限
例題では
標本平均=50
不偏分散=25 標本サイズ=10
るような値」とすると
P −t0.025(n − ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
t分布を用いた区間推定
μの95%
信頼区間の
下限
μの95%
信頼区間の
上限
例題では
標本平均=50
不偏分散=25 標本サイズ=10
るような値」とすると
P −t0.025(n − ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
前回の例題と比較
どちらも
標本平均=50
標本サイズ=10
2015
A.Asano,KansaiUniv.
前回の例題と比較
どちらも
標本平均=50
標本サイズ=10
母分散=25 のとき
2015
A.Asano,KansaiUniv.
前回の例題と比較
どちらも
標本平均=50
標本サイズ=10
母分散=25 のとき
母平均の
95%信頼区間は
[46.9, 53.1]
2015
A.Asano,KansaiUniv.
前回の例題と比較
どちらも
標本平均=50
不偏分散=25 のとき
標本サイズ=10
母分散=25 のとき
母平均の
95%信頼区間は
[46.9, 53.1]
2015
A.Asano,KansaiUniv.
前回の例題と比較
どちらも
標本平均=50
不偏分散=25 のとき
標本サイズ=10
母分散=25 のとき
母平均の
95%信頼区間は
[46.9, 53.1]
[46.4, 53.6]
2015
A.Asano,KansaiUniv.
前回の例題と比較
不偏分散は,母分散の推定量なので,
不確か
どちらも
標本平均=50
不偏分散=25 のとき
標本サイズ=10
母分散=25 のとき
母平均の
95%信頼区間は
[46.9, ...
2015
A.Asano,KansaiUniv.
前回の例題と比較
不偏分散は,母分散の推定量なので,
不確か
どちらも
標本平均=50
不偏分散=25 のとき
標本サイズ=10
母分散=25 のとき
母平均の
95%信頼区間は
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2015年度春学期 統計学 第13回 不確かな測定の不確かさを測る ― 不偏分散とt分布 (2015. 7. 9)

関西大学総合情報学部 「統計学」(担当:浅野晃)

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2015年度春学期 統計学 第13回 不確かな測定の不確かさを測る ― 不偏分散とt分布 (2015. 7. 9)

  1. 1. A.Asano,KansaiUniv. 2015年度秋学期 統計学 浅野 晃 関西大学総合情報学部 不確かな測定の不確かさを測る ― 不偏分散とt分布 第13回
  2. 2. A.Asano,KansaiUniv.
  3. 3. A.Asano,KansaiUniv. ちょっと前回までの復習
  4. 4. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 例題 母集団 (受験者全体) 母平均μ
  5. 5. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 例題 母集団 (受験者全体) 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい
  6. 6. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 例題 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 (受験者全体) 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい
  7. 7. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 例題 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 (受験者全体) 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい 標本平均 X
  8. 8. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 例題 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 (受験者全体) 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい 正規分布 と仮定する 標本平均 X
  9. 9. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 例題 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 (受験者全体) 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい 正規分布 と仮定する 母分散σ2がわかっているものとする 標本平均 X
  10. 10. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 例題 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 (受験者全体) 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい 正規分布 と仮定する 母分散σ2がわかっているものとする (説明の都合です) 標本平均 X
  11. 11. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 数値をいくつか抽出して標本平均
  12. 12. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 数値をいくつか抽出して標本平均
  13. 13. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 数値をいくつか抽出して標本平均 X
  14. 14. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 数値をいくつか抽出して標本平均 仮に,何度も抽出したとすると X
  15. 15. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 数値をいくつか抽出して標本平均 仮に,何度も抽出したとすると X
  16. 16. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 数値をいくつか抽出して標本平均 仮に,何度も抽出したとすると X X
  17. 17. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 数値をいくつか抽出して標本平均 仮に,何度も抽出したとすると X X
  18. 18. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 数値をいくつか抽出して標本平均 仮に,何度も抽出したとすると X X X
  19. 19. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 数値をいくつか抽出して標本平均 仮に,何度も抽出したとすると X X X
  20. 20. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 数値をいくつか抽出して標本平均 仮に,何度も抽出したとすると X X X X
  21. 21. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 数値をいくつか抽出して標本平均 仮に,何度も抽出したとすると 母平均(実際にはわからない) X X X X
  22. 22. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 数値をいくつか抽出して標本平均 仮に,何度も抽出したとすると 母平均(実際にはわからない) のまわりにばらついている X X X X
  23. 23. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 数値をいくつか抽出して標本平均 仮に,何度も抽出したとすると 母平均(実際にはわからない) のまわりにばらついている 標本平均の 期待値 =母平均 X X X X
  24. 24. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 数値をいくつか抽出して標本平均 データ1個 より ばらつきが 小さくなる 仮に,何度も抽出したとすると 母平均(実際にはわからない) のまわりにばらついている 標本平均の 期待値 =母平均 X X X X
  25. 25. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 数値をいくつか抽出して標本平均 データ1個 より ばらつきが 小さくなる 仮に,何度も抽出したとすると 母平均(実際にはわからない) のまわりにばらついている 標本平均の 期待値 =母平均 標本平均の 分散 =母分散 標本サイズ X X X X
  26. 26. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 標本平均の左右に区間をつける X X X X
  27. 27. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 標本平均の左右に区間をつける X X X X
  28. 28. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 標本平均の左右に区間をつける X X X X
  29. 29. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 標本平均の左右に区間をつける X X X X
  30. 30. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 標本平均の左右に区間をつける X X X X
  31. 31. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 標本平均の左右に区間をつける 母平均 X X X X
  32. 32. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 標本平均の左右に区間をつける 母平均 X X X X (実際にはわからない)
  33. 33. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 標本平均の左右に区間をつける 区間は母平均を 母平均 X X X X (実際にはわからない)
  34. 34. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 標本平均の左右に区間をつける 区間は母平均を 母平均 X X X X 含む (実際にはわからない)
  35. 35. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 標本平均の左右に区間をつける 区間は母平均を 母平均 X X X X 含む 含む (実際にはわからない)
  36. 36. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 標本平均の左右に区間をつける 区間は母平均を 母平均 X X X X 含む 含む 含まない (実際にはわからない)
  37. 37. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 標本平均の左右に区間をつける 区間は母平均を 母平均 X X X X 含む 含む 含まない 含む (実際にはわからない)
  38. 38. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 標本平均の左右に区間をつける 区間は母平均を 母平均 どの回の区間が 母平均を含むか・ 含まないかは わからないが X X X X 含む 含む 含まない 含む (実際にはわからない)
  39. 39. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 区間推定の考え方 標本平均の左右に区間をつける 区間は母平均を 母平均 どの回の区間が 母平均を含むか・ 含まないかは わからないが 確率95%で 母平均を含むように 区間を設定できる X X X X 含む 含む 含まない 含む (実際にはわからない)
  40. 40. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 信頼区間 区間は母平均を 母平均 X X X X 含む 含む 含ま ない 含む (実際にはわからない) 確率95%で 母平均を含むように計 算した区間だから,そ の1回も含むと信じる
  41. 41. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 信頼区間 区間は母平均を 母平均 X X X X 含む 含む 含ま ない 含む (実際にはわからない) 確率95%で 母平均を含むように計 算した区間だから,そ の1回も含むと信じる 母平均の [信頼係数]95%の [信頼区間] という
  42. 42. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 信頼区間 区間は母平均を 母平均 X X X X 含む 含む 含ま ない 含む (実際にはわからない) 確率95%で 母平均を含むように計 算した区間だから,そ の1回も含むと信じる 母平均の [信頼係数]95%の [信頼区間] という ([95%信頼区間])
  43. 43. A.Asano,KansaiUniv.
  44. 44. A.Asano,KansaiUniv. 不偏分散
  45. 45. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 例題 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 (受験者全体) 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい 正規分布 と仮定する 標本平均 X
  46. 46. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 例題 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 (受験者全体) 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい 正規分布 と仮定する 母分散σ2がわかっているものとする 標本平均 X
  47. 47. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 例題 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 (受験者全体) 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい 正規分布 と仮定する 母分散σ2がわかっているものとする (説明の都合です) 標本平均 X
  48. 48. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 母分散は,ふつうはわからない 母集団全体は調べていないし,母平均も わからない (わからないから,いま推定しようとし ている)
  49. 49. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 母分散は,ふつうはわからない それなのに,母分散がわかるはずがない 母集団全体は調べていないし,母平均も わからない (わからないから,いま推定しようとし ている)
  50. 50. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 母分散は,ふつうはわからない それなのに,母分散がわかるはずがない 母集団全体は調べていないし,母平均も わからない (わからないから,いま推定しようとし ている) 母分散の「代用品」を,標本を使って計 算できないか。
  51. 51. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本を使って分散を計算 分散=(偏差)2の平均
  52. 52. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本を使って分散を計算 分散=(偏差)2の平均
  53. 53. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本を使って分散を計算 分散=(偏差)2の平均 (データの各数値)ー(データの平均)
  54. 54. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本を使って分散を計算 標本を使って分散を計算する。 分散=(偏差)2の平均 (データの各数値)ー(データの平均)
  55. 55. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本を使って分散を計算 標本を使って分散を計算する。 分散=(偏差)2の平均 (データの各数値)ー(データの平均) データ: 標本X1, ... Xn
  56. 56. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本を使って分散を計算 標本を使って分散を計算する。 分散=(偏差)2の平均 (データの各数値)ー(データの平均) データ: 標本X1, ... Xn データの平均:
  57. 57. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本を使って分散を計算 標本を使って分散を計算する。 分散=(偏差)2の平均 (データの各数値)ー(データの平均) データ: 標本X1, ... Xn データの平均: 本当は母平均だが,
  58. 58. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本を使って分散を計算 標本を使って分散を計算する。 分散=(偏差)2の平均 (データの各数値)ー(データの平均) データ: 標本X1, ... Xn わからないので 標本平均 X で代用 データの平均: 本当は母平均だが,
  59. 59. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本を使って分散を計算 標本を使った分散 (不偏標本分散)といい,標本サイズを n,標本を X1, X2, . . . , X 散 s2 は s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 S2 = 1 n (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 本サイズの n そのものではなく,n − 1 で割ることに注意してく ,その期待値が母分散に等しくなるように調整された分散です りかえし標本を取り出して,そのつど不偏分散の値を計算したと は毎回異なるので,不偏分散の値も毎回違います。毎回違います 同じ,というものです。 はなく n − 1 で割るのでしょうか? それを直観的に理解するため 。図 1 では標本サイズを2つ(2つしか標本をとらない)とし
  60. 60. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本を使って分散を計算 標本を使った分散 (不偏標本分散)といい,標本サイズを n,標本を X1, X2, . . . , X 散 s2 は s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 S2 = 1 n (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 本サイズの n そのものではなく,n − 1 で割ることに注意してく ,その期待値が母分散に等しくなるように調整された分散です りかえし標本を取り出して,そのつど不偏分散の値を計算したと は毎回異なるので,不偏分散の値も毎回違います。毎回違います 同じ,というものです。 はなく n − 1 で割るのでしょうか? それを直観的に理解するため 。図 1 では標本サイズを2つ(2つしか標本をとらない)とし
  61. 61. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本を使って分散を計算 標本サイズで割る 標本を使った分散 (不偏標本分散)といい,標本サイズを n,標本を X1, X2, . . . , X 散 s2 は s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 S2 = 1 n (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 本サイズの n そのものではなく,n − 1 で割ることに注意してく ,その期待値が母分散に等しくなるように調整された分散です りかえし標本を取り出して,そのつど不偏分散の値を計算したと は毎回異なるので,不偏分散の値も毎回違います。毎回違います 同じ,というものです。 はなく n − 1 で割るのでしょうか? それを直観的に理解するため 。図 1 では標本サイズを2つ(2つしか標本をとらない)とし
  62. 62. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本を使って分散を計算 標本サイズで割る 標本を使った分散 (不偏標本分散)といい,標本サイズを n,標本を X1, X2, . . . , X 散 s2 は s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 S2 = 1 n (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 本サイズの n そのものではなく,n − 1 で割ることに注意してく ,その期待値が母分散に等しくなるように調整された分散です りかえし標本を取り出して,そのつど不偏分散の値を計算したと は毎回異なるので,不偏分散の値も毎回違います。毎回違います 同じ,というものです。 はなく n − 1 で割るのでしょうか? それを直観的に理解するため 。図 1 では標本サイズを2つ(2つしか標本をとらない)とし 分散=(偏差)2の平均 だから当然だけど…
  63. 63. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本を使って分散を計算 標本サイズで割る 標本を使った分散 (不偏標本分散)といい,標本サイズを n,標本を X1, X2, . . . , X 散 s2 は s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 S2 = 1 n (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 本サイズの n そのものではなく,n − 1 で割ることに注意してく ,その期待値が母分散に等しくなるように調整された分散です りかえし標本を取り出して,そのつど不偏分散の値を計算したと は毎回異なるので,不偏分散の値も毎回違います。毎回違います 同じ,というものです。 はなく n − 1 で割るのでしょうか? それを直観的に理解するため 。図 1 では標本サイズを2つ(2つしか標本をとらない)とし 分散=(偏差)2の平均 だから当然だけど… 本当にこれでいいの?
  64. 64. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
  65. 65. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
  66. 66. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X1
  67. 67. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X1 X2
  68. 68. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X1 X2 母平均
  69. 69. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X1 X2 母平均
  70. 70. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X1 母平均との隔たり(偏差) X2 母平均
  71. 71. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 母平均との隔たり(偏差) X2 母平均
  72. 72. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 母平均との隔たり(偏差) X2 母平均
  73. 73. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 母平均との隔たり(偏差) X2 標本平均との隔たり 母平均
  74. 74. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 母平均との隔たり(偏差) X2 標本平均との隔たり 母平均
  75. 75. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 母平均との隔たり(偏差) X1 X2 標本平均との隔たり 母平均
  76. 76. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり(偏差) X1 X2 標本平均との隔たり 母平均
  77. 77. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり(偏差) X1 X2 標本平均との隔たり 母平均
  78. 78. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり(偏差) X1 X2 X 標本平均との隔たり 母平均
  79. 79. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり(偏差) X1 X2 X 標本平均との隔たり 母平均
  80. 80. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり(偏差) X1 X2 X 標本平均との隔たり 母平均
  81. 81. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり(偏差) X1 X2 X 標本平均との隔たり X1 母平均
  82. 82. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり(偏差) X1 X2 X 標本平均との隔たり X2X1 母平均
  83. 83. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり(偏差) X1 X2 X 標本平均との隔たり X2X1 母平均
  84. 84. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり(偏差) X1 X2 X 標本平均との隔たり X2X1 X 母平均
  85. 85. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり(偏差) X1 X2 X 標本平均との隔たり X2X1 X 母平均
  86. 86. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり(偏差) X1 X2 X 標本平均との隔たり X2X1 X 標本平均との隔 たりのほうが たいてい小さい 母平均
  87. 87. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 別の説明 母集団の 度数分布
  88. 88. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 別の説明 母集団の 度数分布
  89. 89. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 別の説明 母集団の 度数分布 X
  90. 90. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 別の説明 母集団の 度数分布 これなら 「標本平均との隔たり」と 「母平均との隔たり」は かわらない X
  91. 91. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 別の説明 母集団の 度数分布 これなら 「標本平均との隔たり」と 「母平均との隔たり」は かわらない X
  92. 92. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 別の説明 母集団の 度数分布 これなら 「標本平均との隔たり」と 「母平均との隔たり」は かわらない X X
  93. 93. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 標本平均を用いた偏差 別の説明 母集団の 度数分布 これなら 「標本平均との隔たり」と 「母平均との隔たり」は かわらない X こんなふうに偏っていると 「標本平均との隔たり」 のほうが小さい X
  94. 94. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 不偏分散
  95. 95. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 不偏分散 母平均との隔たりよりも 標本平均との隔たりのほうが たいてい小さい
  96. 96. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 不偏分散 母平均との隔たりよりも 標本平均との隔たりのほうが たいてい小さい 標本平均との隔たりを使って分散を計算 すると,母分散よりもたいてい小さめに なる
  97. 97. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 不偏分散 母平均との隔たりよりも 標本平均との隔たりのほうが たいてい小さい 標本平均との隔たりを使って分散を計算 すると,母分散よりもたいてい小さめに なる では,計算のときに少し大きめ にしておけば?
  98. 98. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 不偏分散 計算のときに少し大きめにする
  99. 99. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 不偏分散 計算のときに少し大きめにする の母分散のかわりに,標本から推定した分散を使って,母平均を推測 各データの,期待値(平均)からのへだたり)の2乗の,そのまた期 応して「(各標本の,標本平均からのへだたり)の2乗の,そのまた (不偏標本分散)といい,標本サイズを n,標本を X1, X2, . . . , Xn, 散 s2 は s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 S2 = 1 n (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 本サイズの n そのものではなく,n − 1 で割ることに注意してくださ は,その期待値が母分散に等しくなるように調整された分散です1。 くりかえし標本を取り出して,そのつど不偏分散の値を計算したとす 本は毎回異なるので,不偏分散の値も毎回違います。毎回違いますが と同じ,というものです。
  100. 100. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 不偏分散 計算のときに少し大きめにする の母分散のかわりに,標本から推定した分散を使って,母平均を推測 各データの,期待値(平均)からのへだたり)の2乗の,そのまた期 応して「(各標本の,標本平均からのへだたり)の2乗の,そのまた (不偏標本分散)といい,標本サイズを n,標本を X1, X2, . . . , Xn, 散 s2 は s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 S2 = 1 n (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 本サイズの n そのものではなく,n − 1 で割ることに注意してくださ は,その期待値が母分散に等しくなるように調整された分散です1。 くりかえし標本を取り出して,そのつど不偏分散の値を計算したとす 本は毎回異なるので,不偏分散の値も毎回違います。毎回違いますが と同じ,というものです。
  101. 101. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 不偏分散 計算のときに少し大きめにする の母分散のかわりに,標本から推定した分散を使って,母平均を推測 各データの,期待値(平均)からのへだたり)の2乗の,そのまた期 応して「(各標本の,標本平均からのへだたり)の2乗の,そのまた (不偏標本分散)といい,標本サイズを n,標本を X1, X2, . . . , Xn, 散 s2 は s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 S2 = 1 n (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 本サイズの n そのものではなく,n − 1 で割ることに注意してくださ は,その期待値が母分散に等しくなるように調整された分散です1。 くりかえし標本を取り出して,そのつど不偏分散の値を計算したとす 本は毎回異なるので,不偏分散の値も毎回違います。毎回違いますが と同じ,というものです。 (標本サイズ − 1)で割る
  102. 102. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 不偏分散 計算のときに少し大きめにする の母分散のかわりに,標本から推定した分散を使って,母平均を推測 各データの,期待値(平均)からのへだたり)の2乗の,そのまた期 応して「(各標本の,標本平均からのへだたり)の2乗の,そのまた (不偏標本分散)といい,標本サイズを n,標本を X1, X2, . . . , Xn, 散 s2 は s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 S2 = 1 n (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 本サイズの n そのものではなく,n − 1 で割ることに注意してくださ は,その期待値が母分散に等しくなるように調整された分散です1。 くりかえし標本を取り出して,そのつど不偏分散の値を計算したとす 本は毎回異なるので,不偏分散の値も毎回違います。毎回違いますが と同じ,というものです。 (標本サイズ − 1)で割る これを不偏分散(不偏標本分散)といい, 母分散の代用に用いる
  103. 103. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 不偏分散 計算のときに少し大きめにする の母分散のかわりに,標本から推定した分散を使って,母平均を推測 各データの,期待値(平均)からのへだたり)の2乗の,そのまた期 応して「(各標本の,標本平均からのへだたり)の2乗の,そのまた (不偏標本分散)といい,標本サイズを n,標本を X1, X2, . . . , Xn, 散 s2 は s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 S2 = 1 n (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 本サイズの n そのものではなく,n − 1 で割ることに注意してくださ は,その期待値が母分散に等しくなるように調整された分散です1。 くりかえし標本を取り出して,そのつど不偏分散の値を計算したとす 本は毎回異なるので,不偏分散の値も毎回違います。毎回違いますが と同じ,というものです。 (標本サイズ − 1)で割る これを不偏分散(不偏標本分散)といい, 母分散の代用に用いる 「不偏」とは?
  104. 104. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「不偏」とは?
  105. 105. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「不偏」とは? 標本平均との隔たりを使って分散を計算す ると,母分散よりもたいてい小さめになる
  106. 106. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「不偏」とは? 計算のときに少し大きめにすると? 標本平均との隔たりを使って分散を計算す ると,母分散よりもたいてい小さめになる
  107. 107. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「不偏」とは? 計算のときに少し大きめにすると? 標本平均との隔たりを使って分散を計算す ると,母分散よりもたいてい小さめになる 母分散と一致するわけではないが 母分散より大きくも小さくも 平等にはずれる
  108. 108. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「不偏」とは? 計算のときに少し大きめにすると? 標本平均との隔たりを使って分散を計算す ると,母分散よりもたいてい小さめになる 母分散と一致するわけではないが 母分散より大きくも小さくも 平等にはずれる 「不偏」とは「えこひいきしない」こと
  109. 109. A.Asano,KansaiUniv.
  110. 110. A.Asano,KansaiUniv. 不偏分散を用いた区間推定
  111. 111. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 例題 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 (受験者全体) 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい 正規分布 と仮定する 標本平均 X
  112. 112. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 例題 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 (受験者全体) 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい 正規分布 と仮定する 母分散σ2がわかっているものとする 標本平均 X
  113. 113. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 例題 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 (受験者全体) 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい 正規分布 と仮定する 母分散σ2がわかっているものとする (説明の都合です) 標本平均 X
  114. 114. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は,母集団分布と同じ確率分布に したがう
  115. 115. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は,母集団分布と同じ確率分布に したがう
  116. 116. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は,母集団分布と同じ確率分布に したがう 正規分布N(μ, σ2)
  117. 117. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は,母集団分布と同じ確率分布に したがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は,やはり正規分布にしたが うが,分散が1/nになる
  118. 118. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は,母集団分布と同じ確率分布に したがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は,やはり正規分布にしたが うが,分散が1/nになる
  119. 119. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は,母集団分布と同じ確率分布に したがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は,やはり正規分布にしたが うが,分散が1/nになる
  120. 120. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は,母集団分布と同じ確率分布に したがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は,やはり正規分布にしたが うが,分散が1/nになる [性質2]
  121. 121. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は,母集団分布と同じ確率分布に したがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は,やはり正規分布にしたが うが,分散が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n) [性質2]
  122. 122. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は,母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は,やはり正規分布にしたがうが,分散 が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)[性質2] X
  123. 123. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は,母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は,やはり正規分布にしたがうが,分散 が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)[性質2] 正規分布の[性質1]により X
  124. 124. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は,母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は,やはり正規分布にしたがうが,分散 が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)[性質2] 正規分布の[性質1]により X 規分布 N(µ, σ2) にしたがうならば,それらの う 質の X1, ..., Xn にあてはまっていますから, す。 Z = ¯X − µ σ2/n で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準 は標準正規分布にしたがう
  125. 125. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は,母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は,やはり正規分布にしたがうが,分散 が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)[性質2] 正規分布の[性質1]により X 規分布 N(µ, σ2) にしたがうならば,それらの う 質の X1, ..., Xn にあてはまっていますから, す。 Z = ¯X − µ σ2/n で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準 は標準正規分布にしたがう
  126. 126. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は,母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は,やはり正規分布にしたがうが,分散 が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)[性質2] 正規分布の[性質1]により X 規分布 N(µ, σ2) にしたがうならば,それらの う 質の X1, ..., Xn にあてはまっていますから, す。 Z = ¯X − µ σ2/n で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準 は標準正規分布にしたがう
  127. 127. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は,母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は,やはり正規分布にしたがうが,分散 が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)[性質2] 正規分布の[性質1]により X 規分布 N(µ, σ2) にしたがうならば,それらの う 質の X1, ..., Xn にあてはまっていますから, す。 Z = ¯X − µ σ2/n で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準 は標準正規分布にしたがう
  128. 128. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は,母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は,やはり正規分布にしたがうが,分散 が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)[性質2] 正規分布の[性質1]により X 規分布 N(µ, σ2) にしたがうならば,それらの う 質の X1, ..., Xn にあてはまっていますから, す。 Z = ¯X − µ σ2/n で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準 は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
  129. 129. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 母分散はわからない
  130. 130. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 母分散はわからない Z = ¯X − µ σ2/n で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準 である区間」はどういうものか考えてみまし したように,Z がある区間に入る確率は,標 応する部分の面積になります。この部分の面積 ことにし,図 3(a) のように表します。このと は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
  131. 131. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 母分散はわからない Z = ¯X − µ σ2/n で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準 である区間」はどういうものか考えてみまし したように,Z がある区間に入る確率は,標 応する部分の面積になります。この部分の面積 ことにし,図 3(a) のように表します。このと は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
  132. 132. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 母分散はわからない Z = ¯X − µ σ2/n で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準 である区間」はどういうものか考えてみまし したように,Z がある区間に入る確率は,標 応する部分の面積になります。この部分の面積 ことにし,図 3(a) のように表します。このと は標準正規分布にしたがう N(0, 1) 本当は母分散はわからない
  133. 133. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 母分散はわからない Z = ¯X − µ σ2/n で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準 である区間」はどういうものか考えてみまし したように,Z がある区間に入る確率は,標 応する部分の面積になります。この部分の面積 ことにし,図 3(a) のように表します。このと は標準正規分布にしたがう N(0, 1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する
  134. 134. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 母分散はわからない Z = ¯X − µ σ2/n で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準 である区間」はどういうものか考えてみまし したように,Z がある区間に入る確率は,標 応する部分の面積になります。この部分の面積 ことにし,図 3(a) のように表します。このと は標準正規分布にしたがう N(0, 1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する Z = ¯X − µ σ2/n したがうことを説明しました。これまでの例 ました。 ょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つ ,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n
  135. 135. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 母分散はわからない Z = ¯X − µ σ2/n で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準 である区間」はどういうものか考えてみまし したように,Z がある区間に入る確率は,標 応する部分の面積になります。この部分の面積 ことにし,図 3(a) のように表します。このと は標準正規分布にしたがう N(0, 1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する Z = ¯X − µ σ2/n したがうことを説明しました。これまでの例 ました。 ょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つ ,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n
  136. 136. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 母分散はわからない Z = ¯X − µ σ2/n で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準 である区間」はどういうものか考えてみまし したように,Z がある区間に入る確率は,標 応する部分の面積になります。この部分の面積 ことにし,図 3(a) のように表します。このと は標準正規分布にしたがう N(0, 1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する Z = ¯X − µ σ2/n したがうことを説明しました。これまでの例 ました。 ょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つ ,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 不偏分散
  137. 137. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 母分散はわからない Z = ¯X − µ σ2/n で述べた「正規分布の性質1」から,Z は標準 である区間」はどういうものか考えてみまし したように,Z がある区間に入る確率は,標 応する部分の面積になります。この部分の面積 ことにし,図 3(a) のように表します。このと は標準正規分布にしたがう N(0, 1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する Z = ¯X − µ σ2/n したがうことを説明しました。これまでの例 ました。 ょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つ ,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 不偏分散 何分布にしたがう?
  138. 138. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算され t = ¯X − µ s2/n t 統計量といいます。Z は標準正規分布にし ? 布は,標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 れを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度 右対称の形になっています。 t統計量
  139. 139. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布 は 。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算され t = ¯X − µ s2/n t 統計量といいます。Z は標準正規分布にし ? 布は,標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 れを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度 右対称の形になっています。 t統計量
  140. 140. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布 は 。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算され t = ¯X − µ s2/n t 統計量といいます。Z は標準正規分布にし ? 布は,標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 れを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度 右対称の形になっています。 自由度(n-1)のt分布にしたがう t統計量
  141. 141. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布 は t(n-1) 。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算され t = ¯X − µ s2/n t 統計量といいます。Z は標準正規分布にし ? 布は,標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 れを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度 右対称の形になっています。 自由度(n-1)のt分布にしたがう t統計量
  142. 142. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布 は t(n-1) 。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算され t = ¯X − µ s2/n t 統計量といいます。Z は標準正規分布にし ? 布は,標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 れを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度 右対称の形になっています。 自由度(n-1)のt分布にしたがう t統計量 (「スチューデントのt分布」という)
  143. 143. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布 は t(n-1) 。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算され t = ¯X − µ s2/n t 統計量といいます。Z は標準正規分布にし ? 布は,標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 れを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度 右対称の形になっています。 自由度(n-1)のt分布にしたがう t統計量 (「スチューデントのt分布」という)
  144. 144. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布 は t(n-1) 。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算され t = ¯X − µ s2/n t 統計量といいます。Z は標準正規分布にし ? 布は,標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 れを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度 右対称の形になっています。 自由度(n-1)のt分布にしたがう t統計量 (「スチューデントのt分布」という) 発見者ウィリアム・ゴセットのペンネーム
  145. 145. 2015 A.Asano,KansaiUniv. この例題は 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 (受験者全体) 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい 正規分布 と仮定する 標本平均 X
  146. 146. 2015 A.Asano,KansaiUniv. この例題は 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 (受験者全体) 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい 正規分布 と仮定する 母分散σ2がわか 標本平均 X
  147. 147. 2015 A.Asano,KansaiUniv. この例題は 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 (受験者全体) 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい 正規分布 と仮定する 母分散σ2がわか 標本平均 X らないので,
  148. 148. 2015 A.Asano,KansaiUniv. この例題は 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 (受験者全体) 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい 正規分布 と仮定する 母分散σ2がわか 標本平均 X らないので, 不偏分散s2で代用
  149. 149. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布を用いた区間推定 は自由度(n-1)のt分布にしたがう しょう。このとき,(3) 式には µ と σ の2つの未知の量がある で,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえた t = ¯X − µ s2/n (4) 量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが,t はどのよ 標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 の t 分布(スチューデント n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正規分布とよく の形になっています。 合でも,標準正規分布の場合と同様に母平均の信頼区間を求める しょう。 であるとします。この試験の受験者から 10 人の標本を無 を平均したところ 50 点で,またこの 10 人の点数の不偏分 t(n-1)
  150. 150. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布を用いた区間推定 は自由度(n-1)のt分布にしたがう t(n-1)の 確率密度関数 しょう。このとき,(3) 式には µ と σ の2つの未知の量がある で,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえた t = ¯X − µ s2/n (4) 量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが,t はどのよ 標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 の t 分布(スチューデント n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正規分布とよく の形になっています。 合でも,標準正規分布の場合と同様に母平均の信頼区間を求める しょう。 であるとします。この試験の受験者から 10 人の標本を無 を平均したところ 50 点で,またこの 10 人の点数の不偏分 t(n-1)
  151. 151. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布を用いた区間推定 は自由度(n-1)のt分布にしたがう t(n-1)の 確率密度関数 しょう。このとき,(3) 式には µ と σ の2つの未知の量がある で,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえた t = ¯X − µ s2/n (4) 量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが,t はどのよ 標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 の t 分布(スチューデント n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正規分布とよく の形になっています。 合でも,標準正規分布の場合と同様に母平均の信頼区間を求める しょう。 であるとします。この試験の受験者から 10 人の標本を無 を平均したところ 50 点で,またこの 10 人の点数の不偏分 t(n-1)
  152. 152. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布を用いた区間推定 この区間に入っている確率=95%とすると は自由度(n-1)のt分布にしたがう t(n-1)の 確率密度関数 が しょう。このとき,(3) 式には µ と σ の2つの未知の量がある で,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえた t = ¯X − µ s2/n (4) 量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが,t はどのよ 標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 の t 分布(スチューデント n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正規分布とよく の形になっています。 合でも,標準正規分布の場合と同様に母平均の信頼区間を求める しょう。 であるとします。この試験の受験者から 10 人の標本を無 を平均したところ 50 点で,またこの 10 人の点数の不偏分 平均 µ,母分散 σ2 の正規分布で,そこから n 個の標本を取り出したと Z = ¯X − µ σ2/n ( (0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では,Z のこの 定を行いました。 るとしましょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つの未知の量があ ん。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえ t = ¯X − µ s2/n ( を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが,t はどの ? t(n-1)
  153. 153. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布を用いた区間推定 この区間に入っている確率=95%とすると は自由度(n-1)のt分布にしたがう t(n-1)の 確率密度関数 が 面積=95% しょう。このとき,(3) 式には µ と σ の2つの未知の量がある で,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえた t = ¯X − µ s2/n (4) 量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが,t はどのよ 標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 の t 分布(スチューデント n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正規分布とよく の形になっています。 合でも,標準正規分布の場合と同様に母平均の信頼区間を求める しょう。 であるとします。この試験の受験者から 10 人の標本を無 を平均したところ 50 点で,またこの 10 人の点数の不偏分 平均 µ,母分散 σ2 の正規分布で,そこから n 個の標本を取り出したと Z = ¯X − µ σ2/n ( (0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では,Z のこの 定を行いました。 るとしましょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つの未知の量があ ん。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえ t = ¯X − µ s2/n ( を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが,t はどの ? t(n-1)
  154. 154. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布を用いた区間推定 この区間に入っている確率=95%とすると は自由度(n-1)のt分布にしたがう t(n-1)の 確率密度関数 が 面積=95% 境界の値はいくら? しょう。このとき,(3) 式には µ と σ の2つの未知の量がある で,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえた t = ¯X − µ s2/n (4) 量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが,t はどのよ 標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 の t 分布(スチューデント n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正規分布とよく の形になっています。 合でも,標準正規分布の場合と同様に母平均の信頼区間を求める しょう。 であるとします。この試験の受験者から 10 人の標本を無 を平均したところ 50 点で,またこの 10 人の点数の不偏分 平均 µ,母分散 σ2 の正規分布で,そこから n 個の標本を取り出したと Z = ¯X − µ σ2/n ( (0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では,Z のこの 定を行いました。 るとしましょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つの未知の量があ ん。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえ t = ¯X − µ s2/n ( を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが,t はどの ? t(n-1)
  155. 155. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 面積=95%
  156. 156. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 面積=95%
  157. 157. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 面積=95%
  158. 158. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 面積=95% 面積=2.5% (左右で5%)
  159. 159. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 面積=95% 面積=2.5% (左右で5%) 境界の値は自由度によってちがうので
  160. 160. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 面積=95% 面積=2.5% (左右で5%) 境界の値は自由度によってちがうので t0.025(n-1)としておく
  161. 161. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 面積=95% 面積=2.5% (左右で5%) 境界の値は自由度によってちがうので t0.025(n-1)としておく[上側2.5%点]という
  162. 162. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布を用いた区間推定 t(n-1)
  163. 163. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布を用いた区間推定 t(n-1)
  164. 164. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布を用いた区間推定 この区間に入っている確率=95% が 団分布が母平均 µ,母分散 σ2 の正規分布で,そこから n 個の標本を取 あるとき, Z = ¯X − µ σ2/n 正規分布 N(0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では µ の区間推定を行いました。 が不明であるとしましょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つの未 ができません。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2 t = ¯X − µ s2/n す。この t を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが でしょうか? たがう確率分布は,標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 の t 分布(ス 率分布で,これを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正 t(n-1)
  165. 165. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布を用いた区間推定 この区間に入っている確率=95% が 面積=95% 団分布が母平均 µ,母分散 σ2 の正規分布で,そこから n 個の標本を取 あるとき, Z = ¯X − µ σ2/n 正規分布 N(0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では µ の区間推定を行いました。 が不明であるとしましょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つの未 ができません。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2 t = ¯X − µ s2/n す。この t を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが でしょうか? たがう確率分布は,標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 の t 分布(ス 率分布で,これを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正 t(n-1)
  166. 166. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布を用いた区間推定 この区間に入っている確率=95% が 面積=95% 団分布が母平均 µ,母分散 σ2 の正規分布で,そこから n 個の標本を取 あるとき, Z = ¯X − µ σ2/n 正規分布 N(0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では µ の区間推定を行いました。 が不明であるとしましょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つの未 ができません。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2 t = ¯X − µ s2/n す。この t を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが でしょうか? たがう確率分布は,標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 の t 分布(ス 率分布で,これを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正 t(n-1)
  167. 167. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布を用いた区間推定 この区間に入っている確率=95% が 面積=95% 団分布が母平均 µ,母分散 σ2 の正規分布で,そこから n 個の標本を取 あるとき, Z = ¯X − µ σ2/n 正規分布 N(0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では µ の区間推定を行いました。 が不明であるとしましょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つの未 ができません。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2 t = ¯X − µ s2/n す。この t を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが でしょうか? たがう確率分布は,標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 の t 分布(ス 率分布で,これを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正 t0.025(n-1) t(n-1)
  168. 168. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布を用いた区間推定 この区間に入っている確率=95% が 面積=95% 団分布が母平均 µ,母分散 σ2 の正規分布で,そこから n 個の標本を取 あるとき, Z = ¯X − µ σ2/n 正規分布 N(0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では µ の区間推定を行いました。 が不明であるとしましょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つの未 ができません。そこで,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2 t = ¯X − µ s2/n す。この t を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが でしょうか? たがう確率分布は,標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 の t 分布(ス 率分布で,これを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正 t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1)
  169. 169. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 が -t0.025(n-1) と t0.025(n-1) の間に入って いる確率が95% しょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つの未知の量がある で,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえた t = ¯X − µ s2/n (4) 量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが,t はどのよ 標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 の t 分布(スチューデント n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正規分布とよく の形になっています。 合でも,標準正規分布の場合と同様に母平均の信頼区間を求める ましょう。 であるとします。この試験の受験者から 10 人の標本を無 を平均したところ 50 点で,またこの 10 人の点数の不偏分
  170. 170. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 式で書くと が -t0.025(n-1) と t0.025(n-1) の間に入って いる確率が95% しょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つの未知の量がある で,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえた t = ¯X − µ s2/n (4) 量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが,t はどのよ 標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 の t 分布(スチューデント n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正規分布とよく の形になっています。 合でも,標準正規分布の場合と同様に母平均の信頼区間を求める ましょう。 であるとします。この試験の受験者から 10 人の標本を無 を平均したところ 50 点で,またこの 10 人の点数の不偏分
  171. 171. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 式で書くと が -t0.025(n-1) と t0.025(n-1) の間に入って いる確率が95% しょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つの未知の量がある で,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえた t = ¯X − µ s2/n (4) 量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが,t はどのよ 標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 の t 分布(スチューデント n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正規分布とよく の形になっています。 合でも,標準正規分布の場合と同様に母平均の信頼区間を求める ましょう。 であるとします。この試験の受験者から 10 人の標本を無 を平均したところ 50 点で,またこの 10 人の点数の不偏分 t 0 t0.025(n –1)–t0.025(n –1) tが入る確率95%の区間 図 2: t 分布と区間推定 あるような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 立ちます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 ますから,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。
  172. 172. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 式で書くと が -t0.025(n-1) と t0.025(n-1) の間に入って いる確率が95% μの式に直すと しょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つの未知の量がある で,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえた t = ¯X − µ s2/n (4) 量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが,t はどのよ 標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 の t 分布(スチューデント n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正規分布とよく の形になっています。 合でも,標準正規分布の場合と同様に母平均の信頼区間を求める ましょう。 であるとします。この試験の受験者から 10 人の標本を無 を平均したところ 50 点で,またこの 10 人の点数の不偏分 t 0 t0.025(n –1)–t0.025(n –1) tが入る確率95%の区間 図 2: t 分布と区間推定 あるような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 立ちます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 ますから,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。
  173. 173. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 式で書くと が -t0.025(n-1) と t0.025(n-1) の間に入って いる確率が95% μの式に直すと しょう。このとき,(3) 式には µ と σ2 の2つの未知の量がある で,母分散 σ2 を,標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえた t = ¯X − µ s2/n (4) 量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが,t はどのよ 標準正規分布ではなく,自由度 n − 1 の t 分布(スチューデント n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正規分布とよく の形になっています。 合でも,標準正規分布の場合と同様に母平均の信頼区間を求める ましょう。 であるとします。この試験の受験者から 10 人の標本を無 を平均したところ 50 点で,またこの 10 人の点数の不偏分 t 0 t0.025(n –1)–t0.025(n –1) tが入る確率95%の区間 図 2: t 分布と区間推定 あるような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 立ちます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 ますから,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 t 0 t0.025 (n –1)–t0.025 (n –1) 0.025P(t ≤ –t0.025(n –1)) = 0.025 tが入る確率95%の区間 図 2: t 分布と区間推定 であるような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 立ちます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
  174. 174. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには,一緒に配布した数表(t ができます。数表では,各自由度 ν(縦軸)と定数 α(横軸)に対して,tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合,標本平均 ¯X = 50,不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから,µ の 95%信頼区間は「46.4(点)以上 53.6(点)以下」 のように,母分散が 25 とわかっているときには,µ の 95%信頼区間は「46.9(点 でしたから,今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは,不偏分散は母分散そのものではな
  175. 175. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 μの95% 信頼区間の 下限 るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには,一緒に配布した数表(t ができます。数表では,各自由度 ν(縦軸)と定数 α(横軸)に対して,tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合,標本平均 ¯X = 50,不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから,µ の 95%信頼区間は「46.4(点)以上 53.6(点)以下」 のように,母分散が 25 とわかっているときには,µ の 95%信頼区間は「46.9(点 でしたから,今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは,不偏分散は母分散そのものではな
  176. 176. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 μの95% 信頼区間の 下限 μの95% 信頼区間の 上限 るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには,一緒に配布した数表(t ができます。数表では,各自由度 ν(縦軸)と定数 α(横軸)に対して,tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合,標本平均 ¯X = 50,不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから,µ の 95%信頼区間は「46.4(点)以上 53.6(点)以下」 のように,母分散が 25 とわかっているときには,µ の 95%信頼区間は「46.9(点 でしたから,今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは,不偏分散は母分散そのものではな
  177. 177. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 μの95% 信頼区間の 下限 μの95% 信頼区間の 上限 例題では るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには,一緒に配布した数表(t ができます。数表では,各自由度 ν(縦軸)と定数 α(横軸)に対して,tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合,標本平均 ¯X = 50,不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから,µ の 95%信頼区間は「46.4(点)以上 53.6(点)以下」 のように,母分散が 25 とわかっているときには,µ の 95%信頼区間は「46.9(点 でしたから,今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは,不偏分散は母分散そのものではな
  178. 178. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 μの95% 信頼区間の 下限 μの95% 信頼区間の 上限 例題では 標本平均=50 るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには,一緒に配布した数表(t ができます。数表では,各自由度 ν(縦軸)と定数 α(横軸)に対して,tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合,標本平均 ¯X = 50,不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから,µ の 95%信頼区間は「46.4(点)以上 53.6(点)以下」 のように,母分散が 25 とわかっているときには,µ の 95%信頼区間は「46.9(点 でしたから,今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは,不偏分散は母分散そのものではな
  179. 179. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 μの95% 信頼区間の 下限 μの95% 信頼区間の 上限 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには,一緒に配布した数表(t ができます。数表では,各自由度 ν(縦軸)と定数 α(横軸)に対して,tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合,標本平均 ¯X = 50,不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから,µ の 95%信頼区間は「46.4(点)以上 53.6(点)以下」 のように,母分散が 25 とわかっているときには,µ の 95%信頼区間は「46.9(点 でしたから,今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは,不偏分散は母分散そのものではな
  180. 180. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 μの95% 信頼区間の 下限 μの95% 信頼区間の 上限 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには,一緒に配布した数表(t ができます。数表では,各自由度 ν(縦軸)と定数 α(横軸)に対して,tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合,標本平均 ¯X = 50,不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから,µ の 95%信頼区間は「46.4(点)以上 53.6(点)以下」 のように,母分散が 25 とわかっているときには,µ の 95%信頼区間は「46.9(点 でしたから,今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは,不偏分散は母分散そのものではな
  181. 181. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 μの95% 信頼区間の 下限 μの95% 信頼区間の 上限 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 上側2.5%点 t0.025(n-1) は? るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには,一緒に配布した数表(t ができます。数表では,各自由度 ν(縦軸)と定数 α(横軸)に対して,tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合,標本平均 ¯X = 50,不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから,µ の 95%信頼区間は「46.4(点)以上 53.6(点)以下」 のように,母分散が 25 とわかっているときには,µ の 95%信頼区間は「46.9(点 でしたから,今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは,不偏分散は母分散そのものではな
  182. 182. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布表 面積=2.5% t0.025(n-1)
  183. 183. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布表 面積=2.5% t0.025(n-1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 10 0.2602 0.5415 0.6998 0.8791 1.0931 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 11 0.2596 0.5399 0.6974 0.8755 1.0877 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058 12 0.2590 0.5386 0.6955 0.8726 1.0832 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545 13 0.2586 0.5375 0.6938 0.8702 1.0795 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 t分布表(自由度 の100 パーセント点 t ( ))
  184. 184. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布表 面積=2.5% t0.025(n-1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 10 0.2602 0.5415 0.6998 0.8791 1.0931 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 11 0.2596 0.5399 0.6974 0.8755 1.0877 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058 12 0.2590 0.5386 0.6955 0.8726 1.0832 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545 13 0.2586 0.5375 0.6938 0.8702 1.0795 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 t分布表(自由度 の100 パーセント点 t ( )) 自由度
  185. 185. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布表 面積=2.5% パーセントの値 t0.025(n-1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 10 0.2602 0.5415 0.6998 0.8791 1.0931 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 11 0.2596 0.5399 0.6974 0.8755 1.0877 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058 12 0.2590 0.5386 0.6955 0.8726 1.0832 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545 13 0.2586 0.5375 0.6938 0.8702 1.0795 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 t分布表(自由度 の100 パーセント点 t ( )) 自由度
  186. 186. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布表 面積=2.5% パーセントの値 例題では n-1 = 9 t0.025(n-1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 10 0.2602 0.5415 0.6998 0.8791 1.0931 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 11 0.2596 0.5399 0.6974 0.8755 1.0877 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058 12 0.2590 0.5386 0.6955 0.8726 1.0832 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545 13 0.2586 0.5375 0.6938 0.8702 1.0795 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 t分布表(自由度 の100 パーセント点 t ( )) 自由度
  187. 187. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布表 面積=2.5% パーセントの値 例題では n-1 = 9 0.025 t0.025(n-1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 10 0.2602 0.5415 0.6998 0.8791 1.0931 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 11 0.2596 0.5399 0.6974 0.8755 1.0877 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058 12 0.2590 0.5386 0.6955 0.8726 1.0832 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545 13 0.2586 0.5375 0.6938 0.8702 1.0795 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 t分布表(自由度 の100 パーセント点 t ( )) 自由度
  188. 188. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布表 面積=2.5% パーセントの値 例題では n-1 = 9 0.025 t0.025(9)=2.262 t0.025(n-1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 10 0.2602 0.5415 0.6998 0.8791 1.0931 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 11 0.2596 0.5399 0.6974 0.8755 1.0877 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058 12 0.2590 0.5386 0.6955 0.8726 1.0832 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545 13 0.2586 0.5375 0.6938 0.8702 1.0795 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 t分布表(自由度 の100 パーセント点 t ( )) 自由度
  189. 189. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには,一緒に配布した数表(t ができます。数表では,各自由度 ν(縦軸)と定数 α(横軸)に対して,tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合,標本平均 ¯X = 50,不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから,µ の 95%信頼区間は「46.4(点)以上 53.6(点)以下」 のように,母分散が 25 とわかっているときには,µ の 95%信頼区間は「46.9(点 でしたから,今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは,不偏分散は母分散そのものではな
  190. 190. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 μの95% 信頼区間の 下限 るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには,一緒に配布した数表(t ができます。数表では,各自由度 ν(縦軸)と定数 α(横軸)に対して,tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合,標本平均 ¯X = 50,不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから,µ の 95%信頼区間は「46.4(点)以上 53.6(点)以下」 のように,母分散が 25 とわかっているときには,µ の 95%信頼区間は「46.9(点 でしたから,今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは,不偏分散は母分散そのものではな
  191. 191. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 μの95% 信頼区間の 下限 μの95% 信頼区間の 上限 るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには,一緒に配布した数表(t ができます。数表では,各自由度 ν(縦軸)と定数 α(横軸)に対して,tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合,標本平均 ¯X = 50,不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから,µ の 95%信頼区間は「46.4(点)以上 53.6(点)以下」 のように,母分散が 25 とわかっているときには,µ の 95%信頼区間は「46.9(点 でしたから,今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは,不偏分散は母分散そのものではな
  192. 192. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 μの95% 信頼区間の 下限 μの95% 信頼区間の 上限 例題では るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには,一緒に配布した数表(t ができます。数表では,各自由度 ν(縦軸)と定数 α(横軸)に対して,tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合,標本平均 ¯X = 50,不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから,µ の 95%信頼区間は「46.4(点)以上 53.6(点)以下」 のように,母分散が 25 とわかっているときには,µ の 95%信頼区間は「46.9(点 でしたから,今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは,不偏分散は母分散そのものではな
  193. 193. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 μの95% 信頼区間の 下限 μの95% 信頼区間の 上限 例題では 標本平均=50 るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには,一緒に配布した数表(t ができます。数表では,各自由度 ν(縦軸)と定数 α(横軸)に対して,tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合,標本平均 ¯X = 50,不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから,µ の 95%信頼区間は「46.4(点)以上 53.6(点)以下」 のように,母分散が 25 とわかっているときには,µ の 95%信頼区間は「46.9(点 でしたから,今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは,不偏分散は母分散そのものではな
  194. 194. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 μの95% 信頼区間の 下限 μの95% 信頼区間の 上限 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには,一緒に配布した数表(t ができます。数表では,各自由度 ν(縦軸)と定数 α(横軸)に対して,tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合,標本平均 ¯X = 50,不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから,µ の 95%信頼区間は「46.4(点)以上 53.6(点)以下」 のように,母分散が 25 とわかっているときには,µ の 95%信頼区間は「46.9(点 でしたから,今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは,不偏分散は母分散そのものではな
  195. 195. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 μの95% 信頼区間の 下限 μの95% 信頼区間の 上限 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには,一緒に配布した数表(t ができます。数表では,各自由度 ν(縦軸)と定数 α(横軸)に対して,tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合,標本平均 ¯X = 50,不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから,µ の 95%信頼区間は「46.4(点)以上 53.6(点)以下」 のように,母分散が 25 とわかっているときには,µ の 95%信頼区間は「46.9(点 でしたから,今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは,不偏分散は母分散そのものではな
  196. 196. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 μの95% 信頼区間の 下限 μの95% 信頼区間の 上限 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには,一緒に配布した数表(t ができます。数表では,各自由度 ν(縦軸)と定数 α(横軸)に対して,tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合,標本平均 ¯X = 50,不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから,µ の 95%信頼区間は「46.4(点)以上 53.6(点)以下」 のように,母分散が 25 とわかっているときには,µ の 95%信頼区間は「46.9(点 でしたから,今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは,不偏分散は母分散そのものではな
  197. 197. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 μの95% 信頼区間の 下限 μの95% 信頼区間の 上限 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには,一緒に配布した数表(t ができます。数表では,各自由度 ν(縦軸)と定数 α(横軸)に対して,tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合,標本平均 ¯X = 50,不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから,µ の 95%信頼区間は「46.4(点)以上 53.6(点)以下」 のように,母分散が 25 とわかっているときには,µ の 95%信頼区間は「46.9(点 でしたから,今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは,不偏分散は母分散そのものではな t0.025(10-1)=2.262
  198. 198. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 μの95% 信頼区間の 下限 μの95% 信頼区間の 上限 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます(図 2)。この式から, P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から,µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには,一緒に配布した数表(t ができます。数表では,各自由度 ν(縦軸)と定数 α(横軸)に対して,tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合,標本平均 ¯X = 50,不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから,µ の 95%信頼区間は「46.4(点)以上 53.6(点)以下」 のように,母分散が 25 とわかっているときには,µ の 95%信頼区間は「46.9(点 でしたから,今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは,不偏分散は母分散そのものではな t0.025(10-1)=2.262 計算すると,例題の答は 「46.4以上53.6以下」( [46.4, 53.6] )
  199. 199. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 前回の例題と比較 どちらも 標本平均=50 標本サイズ=10
  200. 200. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 前回の例題と比較 どちらも 標本平均=50 標本サイズ=10 母分散=25 のとき
  201. 201. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 前回の例題と比較 どちらも 標本平均=50 標本サイズ=10 母分散=25 のとき 母平均の 95%信頼区間は [46.9, 53.1]
  202. 202. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 前回の例題と比較 どちらも 標本平均=50 不偏分散=25 のとき 標本サイズ=10 母分散=25 のとき 母平均の 95%信頼区間は [46.9, 53.1]
  203. 203. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 前回の例題と比較 どちらも 標本平均=50 不偏分散=25 のとき 標本サイズ=10 母分散=25 のとき 母平均の 95%信頼区間は [46.9, 53.1] [46.4, 53.6]
  204. 204. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 前回の例題と比較 不偏分散は,母分散の推定量なので, 不確か どちらも 標本平均=50 不偏分散=25 のとき 標本サイズ=10 母分散=25 のとき 母平均の 95%信頼区間は [46.9, 53.1] [46.4, 53.6]
  205. 205. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 前回の例題と比較 不偏分散は,母分散の推定量なので, 不確か どちらも 標本平均=50 不偏分散=25 のとき 標本サイズ=10 母分散=25 のとき 母平均の 95%信頼区間は [46.9, 53.1] [46.4, 53.6] →信頼区間が広い

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