Γενική παρουσίαση των αριθμητικών συστημάτων - Δυαδικό, Οκταδικό, Δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμισης που χρησιμοποιείται στους Η/Υ και πράξεις σε αυτό.

1. Αριθμητικά συστήματα στον Η/Υ
Δεκαδικό, δυαδικό, οκταδικό και
δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμισης.
http://pshfiakh-texnologia-epal-b.ggia.info

2. Αριθμητικά συστήματα
Η ανάγκη του ανθρώπου για μετρήσεις οδήγησε:
• Αρχικά στην επινόηση των αριθμών
• Κατόπιν στην επινόηση συμβόλων για την
παράσταση τους
• Τέλος στη δημιουργία των αριθμητικών
συστημάτων: Π.χ. δεκαδικό, δυαδικό, τριαδικό,
τετραδικό, … , οκταδικό, .., δεκαεξαδικό ..

3. Το δεκαδικό σύστημα
αρίθμησης
• Επικράτησε στην καθημερινή ζωή μας
• Χρησιμοποιεί τα αραβικά ψηφία 0, 1, 2, … 9
• Στο σύστημα αυτό οι μαθηματικές πράξεις γίνονται
με μεγάλη ευχέρεια από τον άνθρωπο
• Επειδή το μαθαίνει από μικρή ηλικία
Ερώτηση: Οι άραβες τι αριθμούς χρησιμοποιούνε;
Απάντηση: τους Αραβο-Ινδικούς Αριθμούς!
https://en.wikipedia.org/wiki/File:13-08-06-abu-dhabi-by-RalfR-102.jpg

4. Διαφορετικές αναπαραστάσεις
European (descended from the West Arabic)
Arabic-Indic
Eastern Arabic-Indic (Persian and Urdu)
Devanagari (Hindi)
Tamil
Αναπαραστάσεις αριθμών σε Ινδικό μαθηματικό κείμενο (χειρόγραφο “Bakhshali”)
το οποίο χρονολογείται μεταξύ 2ου αιώνα π.Χ. - 2ο αιώνα μ.Χ.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/21/Arabic_numerals-en.svg
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Bakhshali_numerals_2.jpg

5. Οι ελληνικοί αριθμοί:

6. Κυριλλικοί Αριθμοί
Τέτοιοι αριθμοί χρησιμοποιούνταν στις σλαβικές χώρες.
Για παράδειγμα στην Ρωσία χρησιμοποιούνταν μέχρι το 1700, μέχρι που ο
Μεγάλος Πέτρος Ι (τσάρος) τους άλλαξε υιοθετώντας τους γνωστούς μας
αραβικούς αριθμούς (0,1,2…).

7. Roman numbers (λατινικοί)
Μονάδες:
Δεκάδες:
Εκατοντάδες:
Χιλιάδες:
MCMXLV -> 1945
MCMXCVII -> 1997
Τέτοιους αριθμούς
Βλέπουμε σε παλιές
Ταινίες σινεμά.
Admiralty Arch, London:
Εδώ το MDCCCCX δηλώνει το 1910 / MCMX (εξέλιξη λατινικών αριθμών)

8. Suzhou ή huama κινέζικοι αριθμοί.
https://en.wikipedia.org/wiki/File:Huama_numerals.svg

9. Κωδικοποίηση αριθμών με
διαφορετικά σύμβολα
• Με τις προηγούμενες διαφάνειες είδαμε μερικά
παραδείγματα κωδικοποίησης των αριθμών από
διαφορετικούς πολιτισμούς.
• Η κωδικοποίηση των αριθμών εξελίχθηκε για τις
ανάγκες του κάθε πολιτισμού για να
αναπαρασταθούν χρονολογίες, μονάδες μέτρησης
αγαθών, χρηματικές συναλλαγές κλπ κλπ.
• Καθιερώθηκε η χρήση των γνωστών αραβικών
αριθμών και το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης με 10
ψηφία: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

10. Αριθμητικά συστήματα
Το όνομα ενός συστήματος αρίθμησης προέρχεται από τον αριθμό
των ψηφίων που χρησιμοποιεί για την παράσταση των αριθμών.
• Ο αριθμός αυτός ονομάζεται «βάση» του συστήματος
• Το δεκαδικό σύστημα (βάση 10) χρησιμοποιεί τα ψηφία
0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9
• Το δυαδικό σύστημα (βάση 2) χρησιμοποιεί τα ψηφία 0,1
• Το οκταδικό σύστημα (βάση 8) χρησιμοποίει τα ψηφία 0,1,3,4,5,6,7
• Το δεκαεξαδικό σύστημα (βάση 16) χρησιμοποιεί τα
ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9, A, B, C, D, E και F
Ενα από τα σύμβολα σημαίνει την έλλειψη ποσότητας, το μηδέν,
και τα άλλα σύμβολα διαφέρουν από το προηγούμενό τους (όπως
τα έχουμε καταγράψει) κατά μια ακέραιη μονάδα.

11. Αριθμητικά συστήματα
Ο αριθμός που περιγράφει μια ποσότητα έχει
δυο τμήματα που χωρίζονται με υποδιαστολή
(συνήθως μια τελεία). Το αριστερό τμήμα
είναι το ακέραιο μέρος της ποσότητας και το
δεξιό τμήμα είναι το κλασματικό μέρος της
ποσότητας. Οταν υπάρχει κλασματικό μέρος η
αναγραφή της υποδιαστολής είναι
υποχρεωτική.
Παράδειγμα : Ο αριθμός 2143,45 έχει
ακέραιο μέρος το [2143] και κλασματικό
μέρος το [,45].

12. Αριθμητικά συστήματα
• Η θέση των συμβόλων μέσα στον αριθμό τους δίνει
και την συνολική αριθμητική τους αξία, γιατί κάθε
σύμβολο πολλαπλασιάζεται με την βάση υψωμένη
σε κάποια δύναμη.
• Ο εκθέτης της θέσης ακριβώς αριστερά από την
υποδιαστολή είναι μηδέν. Οι εκθέτες αυξάνονται
κατά μια μονάδα αν πηγαίνουμε σε αριστερότερη
θέση και μειώνονται κατά μια μονάδα αν
πηγαίνουμε σε δεξιότερη θέση. Ολες οι
χρησιμοποιούμενες θέσεις, από την μεγαλύτερη
μέχρι την μικρότερη, πρέπει να περιέχουν κάποιο
σύμβολο, έστω κι αν αυτό είναι το μηδέν.

13. Παραδείγματα δεκαδικών (DEC)

14. Απορία: Γιατί ο Η/Υ δεν χρησιμοποιεί
το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης;
Αν θέλαμε να παραστήσουμε τους αριθμούς
στον υπολογιστή με το 10δικό σύστημα, θα
έπρεπε να κατασκευάσουμε ένα φυσικό μέσο
που να παριστάνει 10 διαφορετικές
καταστάσεις
• Είναι πολύ ακριβότερο (ηλεκτρονικά κυκλώματα).
• Πολύ πιο δύσκολο (π.χ. να γίνουν αριθμητικές
πράξεις σε αυτό).

15. Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης
Είναι το πιο διαδεδομένο σύστημα στους
υπολογιστές.
• Τα ψηφία που χρησιμοποιούμε είναι το «0» και
το«1».
• Σε ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα η αναπαράσταση
του ψηφίου 1 μπορεί να είναι περνάει ρεύμα
ενώ 0 δεν περνάει ρεύμα.

16. Αντιστοιχία 2αδικού-10δικού
Συστήματος
Μέθοδος με την οποία σχηματίζουμε
τους (ακέραιους) αριθμούς :
Βήμα-Α : Βάζουμε το 0 στην θέση με
εκθέτη μηδέν.
Βήμα-Β : Προσθέτουμε στον αριθμό
μια ακέραια μονάδα, οπότε
χρησιμοποιούμε στην θέση με
εκθέτη μηδέν το επόμενο σύμβολο.
Βήμα-Γ : Αν δεν υπάρχει επόμενο
σύμβολο, βάζουμε 0 στην θέση αυτή
και προσθέτουμε 1 στην αριστερή
διπλανή θέση.

17. Σχηματισμός: 2αδικό, 4αδικό, 8αδικό, 10δικό, 16αδικό
2αδικό 4αδικό 8δικό 10δικό 16αδικό
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
10 2 2 2 2
11 3 3 3 3
100 10 4 4 4
101 11 5 5 5
110 12 6 6 6
111 13 7 7 7
1000 20 10 8 8
1001 21 11 9 9
1010 22 12 10 A
1011 23 13 11 B
1100 30 14 12 C
1101 31 15 13 D
1110 32 16 14 E
1111 33 17 15 F
10000 100 20 16 10
10001 101 21 17 11
10010 102 22 18 12
10011 103 23 19 13
10100 110 24 20 14
Μέθοδος με την οποία σχηματίζουμε τους
(ακέραιους) αριθμούς στο κάθε σύστημα
αρίθμησης:
Βήμα-Α : Βάζουμε το 0 στην θέση με εκθέτη
μηδέν.
Βήμα-Β : Προσθέτουμε στον αριθμό μια
ακέραια μονάδα, οπότε χρησιμοποιούμε στην
θέση με εκθέτη μηδέν το επόμενο σύμβολο.
Βήμα-Γ : Αν δεν υπάρχει επόμενο σύμβολο,
βάζουμε 0 στην θέση αυτή και προσθέτουμε 1
στην αριστερή διπλανή θέση.
Προσέξτε:
• Στο δυαδικό [10] είναι το δύο.
• Στο τετραδικό [10] είναι το τέσσερα.
• Στο οκταδικό [10] είναι το οκτώ.
• Στο δεκαδικό [10] είναι το δέκα.
• Στο δεκαεξαδικό [10] είναι το δεκαέξι.
Το [10] δηλώνει την βάση του συστήματος
αριθμων!

18. Σχολιασμός 1: Τι δηλώνει το [10]
σε κάθε σύστημα αρίθμησης;
Σε όλα τα αριθμητικά συστήματα η βάση γράφεται
[10], (1 * βάση^1 + 0 * βάση^0). (Ετοιμαζόμαστε να
γράψουμε την βάση μόλις μας τελειώσουν τα
ψηφία, άρα βάζουμε 0 στην θέση των μονάδων και 1
ακριβώς αριστερά του).
• Στο δυαδικό [10] είναι το δύο.
• Στο τετραδικό [10] είναι το τέσσερα.
• Στο οκταδικό [10] είναι το οκτώ.
• Στο δεκαδικό [10] είναι το δέκα.
• Στο δεκαεξαδικό [10] είναι το δεκαέξι.

19. Σχολιασμός 2: Τι δηλώνει το [100]
σε κάθε σύστημα αρίθμησης;
Φυσικά κάτι αντίστοιχο ισχύει για όλες τις δυνάμεις
της βάσης. Το τετράγωνο της βάσης, που γράφεται
πάντοτε [100], ισοδυναμεί:
• για το δυαδικό σύστημα με 22 = 4,
• για το τετραδικό σύστημα με 42 = 16,
• για το οκταδικό σύστημα με 82 = 64,
• για το δεκαδικό σύστημα με 102 = 100,
• για το δεκαεξαδικό σύστημα με 162 = 256.

20. Βασικές πράξεις στο δυαδικό
σύστημα
Πρόσθεση
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
Πολλαπλασιασμός
0x0=0
0x1=0
1x0=0
1x1=1
Σημείωση: οι πράξεις στο
2αδικό σύστημα αρίθμησης
είναι ευκολότεροι από ότι
στο γνωστό μας 10δικό
σύστημα αρίθμησης.

21. Είδαμε το παράδειγμα των
δεκαδικών (DEC)

22. Παραδείγματα δυαδικού (BIN)

23. Δεκαδικό / Δυαδικό / Οκταδικό /
Δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

24. Παραδείγματα oκταδικών (OCT)

25. Παραδείγματα δεκαεξαδικών (HEX)

26. Εύκολη (;) ερώτηση:
• To 10 τι συμβολίζει στο 2αδικό, 3αδικό,
4τραδικό, 5αδικό, 6αδικό, 7αδικό, 8αδικό,
9αδικό, 10δικό, 11δικό, 12δικό, 13δικό,
14δικό, 15δικό, 16δικό σύστημα αρίθμησης;
Λύση: Οπως είδαμε σε προηγούμενη
διαφάνεια το [10] δηλώνει την βάση του
συστήματος αρίθμησης. Ετσι ο αριθμός 10
συμβολίζει αντίστοιχα το 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16.

27. Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός
στο δυαδικό σύστημα.
Πολλαπλασιασμός
0x0=0
0x1=0
1x0=0
1x1=1
Πρόσθεση
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10

28. Εξοικείωση με δυαδικό σύστημα
Πρόβλημα (;) : Μπορεί να φαίνεται σε πρώτη
ματιά το δυαδικό σύστημα αρίθμησης
δύσκολο αλλά αυτό οφείλεται απλά στο ότι
δεν είμαστε εξασκημένοι σε αυτό.
Πρακτική : Μόνο λύνοντας πολλές ασκήσεις με
το δυαδικό / οκταδικό / δεκαεξαδικό σύστημα
αρίθμησης μπορούμε να το
απομυθοποιήσουμε..

29. Η χρησιμότητα της γνώσης του
δυαδικού συστήματος.
• Ο προγραμματισμός εφαρμογών κατευθείαν σε
γλώσσα μηχανής H/Y γίνεται σε γλώσσα μηχανής
(assembly) (π.χ. οδηγών συσκευών – drivers).
• Η κωδικοποίηση της πληροφορίας σε ένα
ηλεκτρονικό υπολογιστή γίνεται πάντα σε ψηφία 0
και 1. Π.χ. μια ψηφιακή φωτογραφία, ένα τραγούδι
mp3 κλπ.. κωδικοποιείται σε αριθμούς οι οποίοι
αναπαριστούνται με 0 και 1 κλπ.
• Το δυαδικό σύστημα είναι χρήσιμο αν θέλουμε να
μάθουμε να προγραμματίζουμε σε οποιαδήποτε
γλώσσα προγραμματισμού υψηλού επιπέδου (π.χ.
Basic, Pascal, C/C++, java κλπ).

30. Βιβλιογραφία
http://en.wikipedia.org/wiki/Arabic_numbers
http://en.wikipedia.org/wiki/Greek_numerals
http://www.geocities.com/rmlyra/Numbers.html
http://www2.ignatius.edu/faculty/turner/arabic/anumbers.htm
http://utopia.duth.gr/~ksiop/lessons/plhroforikh_i.html
http://www.survey.ntua.gr/main/courses/general/csintro/lectures/IntroCS_20
05_lecture_1.pdf
http://www.cs.uoi.gr/~kabousia/pdf/LogicDesign/Th1_BinarySystems.pdf
http://www.cs.uoi.gr/~lagaris/ITC/PowerPoint/SystimataArithmisis.ppt
http://en.wikipedia.org/wiki/Cyrillic_numerals
http://en.wikipedia.org/wiki/Roman_numerals
http://blogs.sch.gr/manolas/2008/09/25/%CF%83%CF%85%CF%83%CF
%84%CE%AE%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B1-%CE%B1%CF%81%CE%AF%CE
%B8%CE%BC%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82/