Download to read offline
4-141012104910-conversion-gate02.pptx
- 1. ТЕМА 4 СИМПЛЕКСНИЙ ТАМ-МЕТОД (МЕТОД ШТУЧНОГО БАЗИСУ) РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗЛП .
- 2. План 1.Симплексний метод розв’язування задачлінійного програмування. 2.Алгоритм розв’язування задач лінійного програмування симплекс- методом. 3.Приклад розв’язання задачі лінійного програмування симплекс- методом. 4. Двоїстий симплекс-метод. .
- 3. 4.1. Симплексний методрозв’язування ЗЛП • Загальним методом розв’язання задач лінійного програмування є симплекс-метод, який застосував американський вперше вчений Джордж Данціг в 1949 році. Хоча сам алгоритм методу, за винятком вибору напрямного (розв’язувального) елементу, був відомий ще у 19 ст. Від латинского simplex — простий .
- 4. 8 ноября 1914— 13 мая 2005 Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал • на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько выполнить. Оказалось, что дней он смог его он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие уч . ёные.
- 5. Процес розв’язування задачі симплекс-методом обчислювальні маєітераційний процедури характер: (ітерації) одного й того самого типу повторюються у певній послідовності доти, доки оптимальний не буде отримано план задачі, або з’ясовано, що його не існує. .
- 6. • Симплекс-метод –це поетапна обчислювальна процедура, в основу якої покладено принцип послідовного поліпшення значень цільової функції переходом від одного опорного плану задачі лінійного програмування до іншого. .
- 7. Геометрично симплекс-метод полягає впереміщенні по вершинах многокутника послідовному допустимих планів при переході від однієї вершини до іншої з метою знаходження тієї вершини, в якій цільова функція приймає екстремальне значення. .
- 8. 4.2. Алгоритм розв’язуваннясимплекс-методом • 1. Визначення початкового опорного плану задачі лінійного програмування. • 2. Побудова симплексної таблиці. .
- 9. • 3. Перевіркаопорного плану на оптимальність за допомогою оцінок • . j Z j C j • Якщо всі оцінки j задовольняють умову оптимальності, то визначений опорний план є оптимальним планом задачі. Якщо хоча б одна з оцінок не задовольняє умову оптимальності, то переходять до нового опорного плану задачі або встановлюють, що оптимального плану не існує. .
- 10. • 4. Перехіддо нового опорного плану визначенням задачі з метою його покращення напрямного та розрахунком нової виконується елементу симплексної таблиці за допомогою методу Жордана-Гаусса. • 5. Повторення дій, починаючи з п. 3. Розглянемо більш детально кожен з етапів алгоритму: .
- 11. I етап: • 1).Задача лінійного програмування записується в канонічній формі, тобто у вигляді обмежень-рівнянь з невідємними правими частинами. Для цього в лівій частині обмежень нерівностей вводяться додаткові (балансуючі) змінні, а саме для нерівностей типу „” - зі знаком „+”, а для нерівностей типу „” - зі знаком „-”. У цільовій функції задачі додаткові змінні мають коефіцієнт нуль. .
- 12. які становлять базисвимірного m 2). Задачу лінійного програмування записують у векторній формі. За означенням опорного плану задачі лінійного програмування його утворюють m одиничних лінійно незалежних векторів, простору (де m кількість обмежень у задачі лінійного програмування). .
- 13. Можливі випадки: а) всистемі обмежень є необхідна кількість одиничних векторів. Тоді початковий опорний план визначається безпосередньо без додаткових дій; .
- 14. • б) усистемі обмежень немає необхідної одиничних Тоді кількості векторів. початкового для опорного застосовують метод незалежних побудови плану штучного • базису (М-метод). Ідея його полягає в тому, що відсутні одиничні вектори можна дістати, увівши до відповідних обмежень нові змінні з коефіцієнтом +1, які називаються штучними. .
- 15. • У цільовійфункції задачі лінійного програмування штучні змінні мають • коефіцієнт –М (для задачі на max) або +M (для задачі на min), де М – досить велике додатне число. Таким чином отримуємо розширену задача лінійного програмування. .
- 16. • 3) Визначеніодиничні лінійно незалежні вектори утворюють базис, і задачі, що відповідають змінні їм, • Вільні змінні прирівнюють до нуля та з кожного обмеження задачі визначають значення базисних змінних. називаються базисними (їх кільmкість дорівнює ), а решта змінних називається n ві ль m ними (їх кількість ). .
- 17. • Таким чиномотримують початковий лінійного програмування, опорний план задачі який геометрично відповідає одній з вершин планів і • невироджений, а у випадку, коли серед них є нульові, то план вироджений. випуклого многокутника позначається X0 b1 ,b2 ,...,bm ,0,0,. ...,0 Якщоbi , то план 0,i 1,2,...,m .
- 18. • II етап. Подальшийобчислювальний процес та перевірку опорного оптимальність записують плану на у вигляді симплексної таблиці. • У першому стовпчику таблиці – «№» – записують номер ітерації, в другому стовпчику – «і» – номер обмеження, у третьому стовпчику – «Базис» – записують базисні змінні опорного плану, причому в тій послідовності, в якій вони розміщуються в системі обмежень задачі. .
- 19. • В четвертомустовпчику – «Сбаз» – записують коефіцієнти при базисних змінних у цільовій функції задачі; в п’ятому стовпчику – «План» – записують значення базисних змінних і відшукуванні у процесі розв’язування задачі компоненти оптимального плану. У решті стовпчиків симплексної таблиці, кількість яких кількості змінних задачі, відповідні коефіцієнти обмеження задачі відповідає записують з кожного лінійного програмування. .
- 20. • У наступномустовпчику – «Θ» – записують відношення • • стовпчику знайдені В останньому «Опорний план» записують значення опорного плану. aik значення симплексного bi .
- 21. Ба- № і зис СбазПлан Опор ний план С1 С2 ... Сm ... Сn x1 x2 ... хm ... xn 0 1 Х1 С1 b1 2 Х2 С2 b2 ... ... … … m хm сm bm m+1 0 1 0 ... 0 ... a1n 0 1 ... 0 ... а2n ... ... ... ... ... … 0 0 ... 1 ... аmn Z 1 2 … m … n .
- 22. . • III етап. Перевіряютьопорний план на оптимальність згідно з теоремою. Теорема (ознака оптимальності опорного плану). (для задачі на max) (для задачі на min) * * * • Опорний план X задачі * х1 , х2 , … , хn лінійного програмування є оптимальним, якщо для всіх значень j,( j 1,2,..,n ) виконується умова: j Z j C j 0 j j j C 0 або Z
- 23. • Якщо дляпобудови опорного плану було використано метод штучного базису (М-метод), необхідною умовою оптимальності є також вимога, щоб у процесі розв’язування задачі всі штучні змінні були виведені з базису i дорівнювали нулю. .
- 24. Для знаходження значень використовуєтьсянаступна формула: стовпчиків « » та « » мінус j m ( j 1,n ) j Z j C j ciaij c j i1 Cбаз X j або безпосередньо із симплексної таблиці як скал → ярний добуто → к векторів- відповідний коефіцієнт cj . .
- 25. • • Якщо використовуєтьсяМ-метод, Розраховані оцінки j записують в • m 1 рядок симплексної таблиці, який називається оціночним. то таблиця доповнюється оціночним •m 2 рядком, який включатиме в собі значення оцінок j з буквою « M». .
- 26. • При перевірціумови оптимальності можливі такі випадки: • а) усі оптимальності, і тоді визначений опорний план є оптимальним; • б) не всі задовольняють умову оптимальності, і тоді потрібно виконати перехід до наступного, нового опорного плану задачі. j 1 ,n задовольняють умову j j .
- 27. • IV етап. •Перехід від одного опорного плану до іншого виконується зміною базису, тобто виключенням з нього деякої • змінної та введенням замість неї нової з числа вільних змінних задачі. Змінна, яка включається до нового базису, відповідає тій оцінці j , що не задовольняє умову оптимальності. .
- 28. Якщо таких оцінокдекілька, то серед них вибирають найбільшу за абсолютною величиною і відповідну їй змінну вводять до базису. А саме: для их оцінок вибирають найбільшу за абсолютною величною, тобто знаходять а для задачі на min найбільше значення серед задачі на max серед від’єм н j j 0, – знаходять додатних m a x j k , j 0 оцінок j , тобто знаходять max j k , .
- 29. • • Якщо єдекілька однакових за • • (для задачі на max) і ( для задачі на min). Нехай індекс зазначеної змінної j k . Тоді відповідний k стовпчик симплексної таблиці називається напрямним і позначається вертикальною стрілкою. абсолютною величиною оцінок j , то до базису вводять ту змінну, якій відповідає max cj mincj .
- 30. • Для визначеннязмінної, що має бути виключена з базису, знаходять для всіх додатних значень напрямного тобто розділивши елементи стовпчика «План» на відповідні додатні елементи напрямного стовпчика. Потім вибирають aik стовпчика симплексне відношення , найменше його значення , яке івказує на змінну, що виводиться з базису. Припустимо, що це виконується для i r Тоді відповідний r рядок симплексної таблиці називається напрямним і позначається горизонтальною стрілкою. .
- 31. • Якщо прирозрахунку симплексного відношення виникає декілька рівних його значень, то потрібно вибрати такий рядок, для якого відношення елементів наступного стовпчика до напрямного є знову найменшим. Якщо при цьому виявляться рівними мінімальні відношення, то складаються відношення елементів операцію наступного стовпчика. Цю продовжують до того часу, поки напрямний рядок не визначиться однозначно. .
- 32. • Дана ситуаціявиникає тоді, коли маємо вироджений план і тоді у процесі виконання ітерацій виникає можливість повернення опорного до плану, раніше тобто вибраного виникає зациклювання у процесі розрахунку. .
- 33. • Перетин напрямногостовпчика та напрямним елементом. За і • методу Жордана-Гаусса розраховують нову симплексну таблицю. Далі ітераційний процес повторюють доти, доки не буде визначено оптимальний план задачі. напрямного рядка визначає число симплексної таблиці ark , яке називають допомогою знайденого еaлrkемента .
- 34. Побудова нової симплексноїтаблиці • Спочатку заповнюють стовпчики “№”,“і”, ”Базис” і “Сбаз”, а решту елементів нової таблиці розраховують за такими правилами: • 1. Елементи напрямного рядка ділять на напрямний елемент і здобуті числа записують у відповідний рядок нової симплексної таблиці. .
- 35. • 2. Напрямнийстовпчик у новій таблиці записують як одиничний з одиницею замість напрямного елемента. • 3. Якщо в напрямному рядку є нульовий елемент, то відповідний переписують у нову стовпчик симплексну таблицю без змін. .
- 36. • 4. Якщов напрямному стовпчику є нульовий елемент, то відповідний рядок переписують у нову симплексну таблицю без змін. • 5. Усі інші елементи нової симплексної таблиці, у тому числі елементи стовпчика “План”, розраховуються за спеціальними правилом формулами, або за прямокутника, який умовно складається в попередній симплексній таблиці. .
- 37. • • • Число 2– число, яке розміщене на місці елемента нової симплексної таблиці, який ми маємо розрахувати. • Число 3 і число 4 – елементи, що розміщуються в двох протилежних вершинах умовного прямокутника. Вершини прямокутника утворюють такі числа: Число 1 – напрямний елемент ark . Число 2 Число 3 Число 4 Число 1 .
- 38. • Необхідний елемент симплекстаблиці визначають нової таким • Наявність двох способів визначення оцінок опорного плану (за правилом та за відповідною дає можливість прямокутника формулою) контролювати правильність обчислень на кожному кроці симплекс-методу. Число1 чином : Число2Число1Число3Число4 Число2 .
- 39. • При застосуваннісимплекс-методу можливі такі випадки: • 1. Якщо в оціночному рядку останньої симплексної таблиці, яка включає в собі оптимальний план, є хоча б одна нульова оцінка , що відповідає вільній (небазисній) змінній, альтернативний оптимальний план, який можна отримати, вибравши напрямний елемент у зазначеному стовпчику і виконавши один крок симплекс-методом. Тоді розв’язок ЗЛП можна записати у вигляді: • m 1 тобто значень j j 0 більше ніж m, то ЗЛП має ,де10,2 0,12 1 Xопт1Xо пт2Хо пт .
- 40. (для задачі максимізації •2. Якщо при переході у симплекс-методі від одного опорного плану задачі до іншого в напрямному стовпчику немає додатних елементівaik , тобто усі aik 0, то оптимальних планів не існує і цільова функція задачі лінійного програмування є необмеженою в області допустимих планів max Z , а для задачі мінімізації min Z i 1),.m .
- 41. • 3. Якщодля опорного плану всі оцінки задовольняють умову оптимальності, але при цьому хоча б одна штучна змінна є базисною і має додатне обмежень значення, то система задачі несумісна й оптимальних планів задачі не існує. j ( j 1,n ) .
- 42. 4.3. Задача 1.3.Симплекс-метод Z 30x1 40x2 max 252. 3 x 12 x 1 2 4 x1 4 x 2 120 , 12 x1 4 x 2 300 , x1 0,x2 0. • Визначимо оптимальний план задачі лінійного програмування за допомогою симплексного методу. .
- 43. . •1. Запишемо задачулінійного програмування в канонічній формі. •Для цього перейдемо від обмежень- нерівностей до строгих рівнянь, увівши до лівої частини обмежень додаткові змінні , які за економічним змістом •x3 ,x4 ,x5 3x 12x x 120, x 252. 4x 4x 1 2 5 4 1 2 означають можливу, але не використану сировину. Z 30 x1 40 x2 0 x3 0 x4 0 x5 max; 12x1 4x2 x3 300, xj 0, j 1,5.
- 44. • Запишемо системуобмежень ЗЛП у Оскільки вектори одиничні та векторній формі: x1 A1 x2 A2 x3 A3 x4 A4 x5 A5 A0 , 1 1 0 A5 0. 0 A4 1, 0 A3 0, 12 4 1 0 A2 4 , 3 4 , 12 • де A A3 ,A4 ,A5 лінійно-незалежні,то вони утворюють базис трьохвимірx3н,оx4г,оx5простору,змінні які їм відповідаютьx1 , x2 базисні змінні, решта змінни.х вільні змінні.
- 45. • Прирівнявши вільнізмінні до нуля, одержимо значення базисних змінних: x1 x2 0 x3 300,x4 120,x5 252. • Отже, початковий опорний план X0 0;0;300;120;252 йому відповідає початкове значення Zц0 іль3о0во0їф4у0нк0ції0 300 0 120 0 252 0 2. Складемо симплексну таблицю .
- 46. Опор- ний план 1 0 30012 4 1 0 0 0 120 4 4 0 1 0 0 2 3 0 252 3 12 0 0 1 4 баз Базис C План N і 30 40 0 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 x3 x4 x5 Z ,j X0 .
- 47. • Визначимо оціночний(m+1) рядок на нульовій ітерації: 0 0 300 0 120 0 252 0; 1 (0 12 0 4 0 3 ) 30 30; 2 0 4 0 4 0 12 40 40; 3 (0 1 0 0 0 0 ) 0 0; 4 0 0 0 1 0 0 0 0; 5 0 0 0 0 0 1 0 0; .
- 48. Опор- ний план 1 0 2 3 0 300 124 1 0 0 0 120 4 4 0 1 0 0 252 3 12 0 0 1 4 0 -30 -40 0 0 0 баз Базис C План N і 30 40 0 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 x3 x4 5 x Z ,j 0 X .
- 49. • 3. Перевіримойого на оптимальність згідно теореми оптимальності. • Оскільки в ньому – два від’ємні значення що суперечить умові оптимальності , то початковий 2 1 30 , 40, для задачі на max опорний план X0 – неоптимальний. .
- 50. Опор- ний план 1 0 2 3 0 300 124 1 0 0 0 120 4 4 0 1 0 0 252 3 12 0 0 1 4 0 -30 -40 0 0 0 баз Базис C План N і 30 40 0 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 x3 x4 5 x Z ,j 0 X j 0 .
- 51. • 4. Дляпереходу до нової симплексної таблиці визначимо напрямний елемент. • Спочатку визначимо напрямний стовпчик. • Оскільки серед від’ємних оцінок • найбільша за абсолютною величною , то другий стовпчик буде позначимо його вертикальною стрілкою. 1 ,2 • 2 40 напрямним, .
- 52. 30 40 00 0 1 0 2 3 0 252 3 12 0 0 1 21 4 0 -30 -40 0 0 0 баз Базис C План N і 1 2 x x 3 x 4 x 5 x Опор- ний План x3 0 300 12 4 1 0 0 75 x4 0 120 4 4 0 1 0 30 x5 Z ,j X0 j 0 .
- 53. • aik Для визначення напрямногорядка визначимо симплексне відношення : b i 12 4 4 3 2 1 252 21 120 30; 300 75; .
- 54. знайдених значень , якевідповідає – напрямному, горизонтальною • Виберемо найменше третьому позначимо стрілкою. На перетині напрямного • Отже, з базису виключаємо змінну серед 3 21 рядку його стовпчика та напрямного рядка отримаємо напрямний елемент a32 12. x5 і замість неї вводимо змінну x2 . Будуємо нову ітерацію згідно методу Жордана-Гаусса. .
- 55. 1 0 2 0 30012 4 1 0 0 25 0 120 4 4 0 1 0 30 3 0 252 3 12 0 0 1 4 0 -30 -40 0 0 0 Базис Cбаз План N і 30 40 0 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 Опор- ний План x3 x4 5 x Z ,j j 0 . 21 min
- 56. • У першійітерації другий стовпчик число записуємо як одиничний з 1 замість напрямного елементу a32, третій рядок утворимо з елементів третього рядка попередньої ітерації поділених на a32 12 • Інші елементи таблиці розраховуємо за правилом прямокутника. 300 12 4 252 216; 12 12 4 3 11; … 0 12 4 1 1 12 12 12 3 .
- 57. 0 ОП 0 36 30 0 1 -1/3 1 2 3 40 21 1/4 0 0 1/12 4 840 -20 0 0 0 10/3 Базис Cбаз План N і 1 30 40 0 0 x1 x2 x3 x4 0 216 11 0 1 0 x5 -1/3 Z ,j ➢Одержаний опорний план знову перевіряємо на оптимальність. X1 x3 x4 x2 . 1
- 58. 0 ОП 0 36 30 0 1 -1/3 1 2 3 40 21 1/4 0 0 1/12 4 840 -20 0 0 0 10/3 Базис Cбаз План N і 1 30 40 0 0 x1 x2 x3 x4 0 216 11 0 1 0 x5 -1/3 Z ,j X1 x3 x4 x2 . 1 j 0
- 59. • Оскільки напершій ітерації 1 20 0 , то визначений опорний план X 1 також неоптимальний. • Вибираємо як напрямний елемент a21 3 і будуємо наступну другу симплекс- таблицю. • .
- 60. 30 40 00 0 ОП 1 0 216 11 0 1 0 -1/3 1 2 0 36 3 0 0 1 -1/3 3 40 21 1/4 1 0 0 1/12 84 4 840 -20 0 0 0 10/3 баз Базис C План N і x1 x2 x3 x4 x5 50 x3 x4 Z ,j X1 x2 . 12 min j 0
- 61. 0 О П 1 0 840 0 1 -11/3 8/9 2 2 3 4 1080 0 0 0 20/3 Базис Cбаз План N і 30 40 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 x3 x1 30 12 1* 0 0 1/3 -1/9 x2 40 18 0 1 0 -1/12 1/9 Z ,j X2 10/9 j 0 .
- 62. • Оскільки усізначення оціночного рядка , то визначений опорний план оптимальний. j 0 ( j 1,5 ) .
- 63. • Отже, Xmax 12;18;84;0;0 і йому відповідає оптимальне значення цільової функції Z •30 12 40 18 0 84 0 0 0 0 1080 • Таким чином, план виробництва продукції, що передбачає випуск 12 одиниць продукції А та 18 одиниць продукції В, оптимальний і дає найбільший прибуток 1080 ум. од. При цьому перша сировина використов . ується не xп 3о вн 8і 4 с,тx ю 4, а0д ,р xу 5 г а0
- 64. 4.4. ДВОЇСТИЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД •Двоїстий симплекс-метод (ДСМ) як і симплекс–метод використовується для розв’язання ЗЛП, які записано в канонічній формі основної задачі, для векторів. але вільні члени системи , будь-які числа, на відміну яких серед векторів X j є m одиничних рівнянь bi від симплекс-методу, де bi 0 . .
- 65. Алгоритм ДСМ: • 1.Знаходимо псевдо–план ЗЛП: X b1 ;b2 ;…;bm ;0;0;…,;0 якщо j 0. .
- 66. 2. Перевіряємо псевдо-планна оптимальність: таке , • С) Якщо є числа існують , то в даному випадку виконується перехід до нового опорного плану. bi • А) Якщо всі значення 0 при умові • j 0 , то план оптимальний; • Б) Якщо хоча б одне число bi 0 що всі aij 0 , то плану не існує, оскільки система обмежень несумісна; bi 0 такі, що для них a ij 0 .
- 67. . • 3. Вибірнапрямного рядка виконується за найбільшою абсолютною величиною від’ємних чисел стовпчика “План”, тобто знаходиться • • Вибір напрямного стовпчика виконується за найменшою абсолютною відношення оціночного величиною –го рядка до відповідних від’ємних елементів напрямного рядка, або згідно з формулою • (2.7) Використовуючи напрямний елемент розрахунок нової симплекс- виконується таблиці. max b.i ,bi 0 m 1 aij ; aij 0 ; m i n ; j 0 j
- 68. • 4. Визначаєтьсяновий псевдо-план і повторюється 2 етап . .
- 69. • Двоїстий СМзручно використовувати також і при розв’язанні задач, які мають одиничний базис, але не належать до задач у базисній або двоїстій базисній формі, оскільки є від’ємні елементи, як bi серед значень ,jтак і серед значень одночасно. .
- 70. серед від’ємних коефіцієнтів напрямногорядка вибирають елемент, для якого знаходять відношення (2.8) • Розв’язування таких задач виконується наступним чином: спочатку за допомогою ДСМ виключаються всі значення bi 0, потім оптимальний план знаходять звичайним СМ ; для цього потрібно замінити пункт (2.7) наступним: aij i ij aij •max bi ; якщо b 0,a 0 .
- 71.