Вирівнювання мережі тріангуляції корелатним методом

1. Лекція № 6
Вирівнювання мережі тріангуляції
корелатним методом.
МЕТОДИ ВИРІВНЮВАННЯ БАГАТЬОХ ВИМІРЯНИХ
ВЕЛИЧИН
ЗМ2 КОРЕЛАТНИЙ МЕТОД ВИРІВНЮВАННЯ

2. Мережі трилатерації вирівнюють у більшості параметричним
способом через те, що умовні рівняння поправок в корелатному
способі мають більш складний вигляд, але в той же час число
нормальних рівнянь в корелатному способі значно менше.
Тріангуляція — це метод побудови геодезичної мережі за
допомогою трикутників, в яких виміряні тільки кути. Часто для
побудови мережі використовують такі фігури як геодезичний
чотирикутник (а) та центральна система (б).
1 Особливості вирівнювання мереж тріангуляції корелатним
методом
(а) (б)

3. Мережу тріангуляції, у якій є тільки необхідні вихідні
називають вільною. Якщо в мережі є надлишок вихідних
даних, то вона є невільною. Наприклад, мережа тріангуляції
на рисунку є невільною, оскільки в ній є додаткові
координати пункту F(XF, YF).

4. При вирівнюванні тріангуляцій виникає задача обчислення сторін
трикутників мережі. Для цього використовують теорему синусів.
Наприклад, для отримання значення S довжини сторони ВС, коли
відома довжина S сторони AB та кути в трикутнику ABC матимемо:
2
2

5. 2 Види умовних рівнянь для мереж тріангуляції
Умовне рівняння фігур
В трикутнику, в якого є відомі три плоскі кути виникає умова
фігури. Дана умова ставить вимогу, щоб сума плоских кутів
трикутника дорівнювала 180.
Підставивши замість найімовірніших значень кутів їх
виміряні значення, маємо
Коефіцієнти при поправках в кути відповідно до
формул системи будуть:
Таким чином, лінійне рівняння поправок буде:

6. Умовне рівняння горизонту
Дане рівняння виникає в центральній системі. Дана умова
вимагає, щоб сума кутів виміряних в даному пункті по горизонту
дорівнювала 360º.
Коефіцієнти при поправках в кути будуть
де Wr=2’+5’+8’+11’–360º.
Таким чином, згідно системи лінійне рівняння поправок буде:

7. Полюсне умовне рівняння
Полюсна умова ставить вимогу, щоб після вирівнювання
значення будь-якої сторони мережі обчислювалось однозначно
незалежно від схеми обчислення.
Дане рівняння виникає в центральній системі та
геодезичному чотирикутнику.
Полюсне умовне рівняння в центральній системі
Приймемо сторону АО за вихідну.
Тоді, використовуючи теорему синусів послідовно
знайдемо сторони ВО, СО і в кінцевому випадку
знову прийдемо до сторони АО

8. З останнього рівняння системи маємо
Підставивши в формулу замість найімовірніших значень кутів їх виміряні значення
отримуємо
Для визначення коефіцієнтів при поправках знайдемо часткові похідні від функції WП
по змінних (виміряних кутах).
В кінцевому вигляді полюсне рівняння в лінійному вигляді буде:

9. Полюсне умовне рівняння в геодезичному чотирикутнику
В геодезичному чотирикутнику можливі
два методичні підходи до складання
полюсної умови.
Перший методичний підхід полягає в тому, що за
полюс умовно приймають точку О пересічення
діагоналей.
В цьому випадку методика складання умовного
рівняння полюсу аналогічна його складанню в
центральній системі.
Прийнявши за вихідну сторону АО, послідовно із розв’язку трикутників АВО, ВСО,
СDO і DAO знайдемо значення вихідної сторони АО. Звідси маємо:
Рівняння поправок в лінійному вигляді буде

10. Другий методичний підхід полягає в тому, що за полюс вибирають вершину
чотирикутника з найбільшим значенням тупого кута (наприклад, А).
В цьому випадку, прийнявши за вихідну сторону АВ, знайдемо двічі значення
сторони АD.
Один раз знайдемо цю сторону із розв’язку трикутника АВD, а другий із
послідовного розв’язку двох трикутників АВС і АСD. Маємо:
Рівняння поправок в лінійному вигляді буде

11. Схема тріангуляційної мережі
Вихідні дані
AOB = 224° 19' 40,5'' (твердий кут),
Тверді сторони
AO = 1813,119 м
OB = 2135,516 м
№ з/п Виміряні значення кутів
1 64° 36' 02,1''
2 65° 53' 46,4"
3 49° 30' 20,5''
4 55° 19' 46,4"
5 55° 12' 16,3''
6 69° 27' 53,8''
7 33° 44' 20,6''
8 103° 13' 44,6"
9 43° 02' 02,6"
3 Приклад зрівнювання мережі тріангуляції

12. У даній системі виникає 5 умовних рівнянь:
3 умовних рівняння трикутника
1 умовне рівняння суми кутів
1 умовне рівняння суми твердих сторін
Складання умовних рівнянь трикутників
Номер
трикутника
Назва
вершин
Номер кутів Виміряні кути
Умовні
рівняння
трикутник
а
I
D 1 64° 36' 02,1''
A 2 65° 53' 46,4"
O 3 49° 30' 20,5''
Σ 180° 00' 9,0''
(1)+(2)+(3)
+9,0''=0
w1 +9,0''
II
C 4 49° 30' 20,5''
O 5 55° 19' 46,4"
D 6 55° 12' 16,3''
Σ 179° 59' 56,5''
(4)+(5)+(6)-
3,5''=0
w2 -3,5''
III
B 7 33° 44' 20,6''
O 8 103° 13' 44,6"
C 9 43° 02' 02,6"
Σ 180° 00' 7,8''
(7)+(8)+(9)
+7,8''=0
w3 +7,8''

13. Складання умовного рівняння суми кутів
№ з/п Виміряні значення кутів Умовне рівняння суми кутів
2 65° 53' 46,4"
5 55° 12' 16,3''
8 103° 13' 44,6"
Σ 224° 19' 47,3" (2)+(5)+(8)+6,8''=0
ВOА 224° 19' 40,5''
w4 +6,8''
Складання умовного рівняння твердих сторін
IIIsin
OD
Isin
AO

III
IOD
AO
sin
sin

Далі за допомогою теореми синусів пов'язуємо дві тверді сторони АО і ОВ.
VI
CO
IV
OD
sinsin

VIIII
IVI
COAO
sinsin
sinsin

IX
OB
VII
CO
sinsin

IXVIIII
VIIIVI
OBAO
sinsinsin
sinsinsin

1
sinsinsin
sinsinsin

IXVIIII
VIIIVI
AO
OBПоділимо обидві чатини на ОВ:

14. ''1
sinsinsin
sinsinsin







IXVIIII
VIIIVI
AO
OB
wn де ρ"=206265"
ctg 1(1) – ctg 3(3) + ctg 4(4) – ctg 6(6) + ctg 7(7) – ctg 9(9) + w5=0
де






 ''1
sinsinsin
sinsinsin
5 
IXVIIII
VIIIVI
AO
OB
w
Отже, умовні рівняння для нашої мережі матимуть наступний вигляд:
(1)+(2)+(3)+9,0=0
(4)+(5)+(6)-3,5=0
(7)+(8)+(9)+7,8=0
(2)+(5)+(8)+6,8=0
-0,47(1)+0,85(3)-0,69(4)+0,37(6)-1,5(7)+1,07(9)-7,025=0
-7,025"
Тоді рівняння твердих сторін запишеться у вигляді:

15. Таблиця коефіцієнтів умовних лінійних рівнянь поправок
№ a b c d e S
1 1 0 0 0 -0,47 0,53
2 1 0 0 1 0 2
3 1 0 0 0 0,85 1,85
4 0 1 0 0 -0,69 0,31
5 0 1 0 1 0 2
6 0 1 0 0 0,37 1,37
7 0 0 1 0 -1,5 -0,5
8 0 0 1 1 0 2
9 0 0 1 0 1,07 2,07
Складання нормальних рівнянь корелат
[aa]k1+[ab]k2+[ac]k3+[ad]k4+[ae]k5+W1=0
[ab]k1+[bb]k2+[bc]k3+[bd]k4+[be]k5+W2=0
[ac]k1+[bc]k2+[cc]k3+[cd]k4+[ce]k5+W3=0
[ad]k1+[bd]k2+[cd]k3+[dd]k4+[de]k5+W4=0
[ae]k1+[be]k2+[ce]k3+[de]k4+[ee]k5+W5=0

16. Таблиця коефіцієнтів нормальних рівнянь корелат
A b c d e S
a 3 0 0 1 0,38 4,38
b 3 0 1 -0,32 3,68
с 3 1 -0,43 3,57
d 3 0 6
е 4,9513 4,5813
S 22,2113
Запишемо нормальні рівняння корелат у чисельному вигляді, як:
3k1+k4+0,38k5+9,0=0
3k2+k4-0,32k5-3,5=0
3k3+k4-0,43k5+7,8=0
k1+ k2+ k3+k4+6,8=0
0,38k1-0,32k2-0,43k4+4,9513k5-7,025=0
Розв'язання системи нормальних рівнянь
корелат дає такий результат:
k1=-2,773
k2=+1,762
k3=-1,947
k4=-1,281
k5=+1,577

17. Обчислення поправок виміряних кутів
Для обчислення поправок застосовуємо формулу: Vi=aik1+bik2+cik3+dik4+eik5
Таких рівнянь буде 9:
V1=a1k1+b1k2+c1k3+d1k4+e1k5
V2=a2k1+b2k2+c2k3+d2k4+e2k5
V3=a3k1+b3k2+c3k3+d3k4+e3k5
V4=a4k1+b4k2+c4k3+d4k4+e4k5
V5=a5k1+b5k2+c5k3+d5k4+e5k5
V6=a6k1+b6k2+c6k3+d6k4+e6k5
V7=a7k1+b7k2+c7k3+d7k4+e7k5
V8=a8k1+b8k2+c8k3+d8k4+e8k5
V9=a9k1+b9k2+c9k3+d9k4+e9k5

18. Результати обчислення поправок у 9-ть виміряних кутів:
№ a b c d e V VV
1 1 0 0 0 -0,47 -3,51 12,35
2 1 0 0 1 0 -4,05 16,43
3 1 0 0 0 0,85 -1,43 2,05
4 0 1 0 0 -0,69 0,67 0,45
5 0 1 0 1 0 0,48 0,23
6 0 1 0 0 0,37 2,35 5,50
7 0 0 1 0 -1,5 -4,31 18,60
8 0 0 1 1 0 -3,23 10,42
9 0 0 1 0 1,07 -0,26 0,07
W 9,0 -3,5 7,8 6,8 -7,025
kW -24,96 -6,17 -15,19 -8,70 -11,08 -66,10 66,10
Для контролю обчислення цих поправок використовуємо формулу:
[VV]=-[ kW]
[66,10]=-[66,10]

19. Обчислення значень виміряних кутів
№
№
ку-
тів
Виміряні кути Поправки
Вирівняні
кути
sinα
S
(довжини
сторін,
м)
1 2 3 4 5 6 7
1 64° 36' 02,1'' -3,51 64° 35' 58,6'' 0,90333 1813,119
I 2 65° 53' 46,4'' -4,05 65° 53' 42,3'' 0,90553 1832,121
3 49° 30' 20,5'' -1,43 49° 30' 19,1'' 0,76046 1526,366
Σ 180°00'9,0" -8,99" 180°00'00"
w +8,99"
4 55° 19' 46,4'' 0,67 55° 19' 47,1'' 0,82243 1526,366
II 5 55° 12' 16,3'' 0,48 55° 12' 16,8'' 0,82119 1524,057
6 69° 27' 53,8'' 2,34 69° 27' 56,1'' 0,93646 1737,979
Σ 179°59'57,0" 3,49" 180°00'00"
w -3,49"
7 33° 44' 20,6'' -4,31 33° 44' 16,3'' 0,55539 1737,979
III 8 103° 13' 44,6'' -3,23 103° 13' 41,4'' 0,97346 3046,242
9 43° 02' 02,6'' -0,25 43° 02' 02,35'' 0,68243 2135,516
Σ 180°00'7,8" -7,78" 180°00'00"
w +7,78"
Оцінювання точності
m=√[vv]/r , де r – кількість нормальних рівнянь
m=√[65,99]/5=3,6"