Dokumen ini merupakan pembahasan dan jawaban dari berbagai soal semifinal kompetisi omits 2013 yang mencakup berbagai konsep matematika, termasuk sifat logaritma, deret geometri, sistem persamaan, dan analisis data peserta. Setiap jawaban didukung oleh penjelasan dan formula yang relevan, serta tabel statistik mengenai peserta kompetisi. Informasi ini sangat berharga bagi siswa yang mempersiapkan diri untuk ujian matematika.

1. PEMBAHASAN SEMIFINAL OMITS 2013
ISIAN SINGKAT
1.
Jawaban : 0
Gunakan formulasi
.
.
.
.
.
2.
Jawaban :
(lihat sifat-sifat logaritma halaman 45).
.
.
.
.
Misalkan
maka
diperoleh
, sehingga :
.
.
Dengan Vieta’s Formulas (halaman 15) maka diperoleh
3.
Jawaban : 30
Diketahui
Untuk bilangan asli
dan
.
.
bilangan asli, maka berlaku
.
.
.
selanjutnya difaktorkan menjadi :
218
Pembahasan Semifinal Omits 2013

2. diperoleh
atau
.
Untuk
(tidak mungkin, sebab dan bilangan asli).
Untuk
, karena 29 bilangan prima maka pasangan terurut
memenuhi hanyalah
atau
.
Jadi, nilai dari
.
4.
Jawaban :
Misalkan bilangan 3 angka tersebut adalah
yang
.
(lihat catatan halaman 110)
, persamaan ini disubtitusikan ke persamaan (1) dan (2) diperoleh :
.
.
.
Diperoleh
Jadi, gaji minimum PNS adalah
5.
Jawaban :
.
Perhatikan bahwa :
.
sehingga untuk
, maka
.
.
.
.
6.
Jawaban : 81
dengan
Buku Panduan Jawara Omits SMP
dan
bilangan asli.
219

3. Karena
bilangan asli maka
haruslah faktor positif dari 6137 dan
habis dibagi 4 sehingga kemungkinannya adalah
.
Ingat bahwa bilangan asli, sehingga jika kemungkinan-kemungkinan di
atas dicek satu persatu maka yang memenuhi hanyalah
,
diperoleh
dan
Nilai dari
7.
Jawaban : 3
Dari data yang diketahui, banyaknya peserta semifinal OMITS 2013 :
.
Sedangkan peserta laki-laki sebanyak 30 siswa terdiri dari 12 siswa kelas VII
dan 13 siswa kelas VIII.
Dari data tersebut di atas, dapat dibuat tabel berikut :
Laki-Laki
Perempuan
Total
Kelas VII
12
Kelas VIII
13
Kelas IX
Total
30
20
20
10
50
.
Sedangkan banyaknya peserta final OMITS 2013 :
.
Peserta laki-laki ada sebanyak 3 siswa dari kelas VII dan 4 siswa dari kelas 8.
Peserta perempuan sebanyak 7 siswa.
Dari data tersebut, dapat dibuat tabel berikut :
Laki-Laki
Perempuan
Total
220
Kelas VII
3
5
Kelas VIII
4
7
Kelas IX
Total
7
15
Pembahasan Semifinal Omits 2013

4. .
Jadi, banyaknya peserta perempuan kelas IX yang tidak masuk semifinal
adalah
siswa.
8.
Jawaban : 2013
Perhatikan bahwa :
merupakan deret geometri tak hingga dengan
dan
.
merupakan deret geometri tak hingga dengan
dan
.
merupakan deret geometri tak hingga dengan
dan
.
Jumlah tak hingga dari deret geometri di atas adalah
.
Sehingga
Deret geometri tak hingga dengan
Buku Panduan Jawara Omits SMP
dan
, maka
221

5. Jadi, nilai dari
.
9.
Jawaban : 7
.
.
Perhatikan bahwa :
Ini berarti 23! merupakan kelipatan 13 sehingga
.
Dengan menggunakan Teorema Wilson bahwa jika
, diperoleh :
.
bilangan prima, maka
.
.
.
.
Jadi,
dibagi 13 bersisa 7.
10. Jawaban :
Perhatikan gambar di bawah ini !
Garis
dan garis
keduanya membagi persegi panjang
menjadi 2 bagian yang memiliki luas yang sama, maka
Luas
Luas
Luas
, akibatnya
222
Pembahasan Semifinal Omits 2013

6. Luas
Luas
Luas
Luas
Luas
Luas
.
Perhatikan bahwa :
.
Luas
Luas
.
dan
sebangun dengan
Misalkan
Karena
Luas
, akibatnya
sehingga berlaku
dan
, maka
Luas
.
, dengan
.
bilangan riil positif.
.
diperoleh
.
Jadi, panjang
.
11. Jawaban : 0
Diketahui 2 sistem persamaan :
dan
.
Jika kedua ruas dari
dikuadratkan maka diperoleh
.
Kedua sistem persamaan
penyelesaian
diperoleh
diperoleh
dan
mempunyai
dan
dan
12. Jawaban :
.
.
Perhatikan bahwa :
Buku Panduan Jawara Omits SMP
223

7. Sehingga diperoleh
Jadi, nilai dari
13. Jawaban : -2013!
Diberikan
Misalkan
dan
Karena
maka
.
.
,
dan
merupakan akar-akar dari
.
Berdasarkan Vieta’s Formulas (halaman 15) :
.
14. Jawaban :
Perhatikan gambar berikut !
keliling
.
Luas
adalah jari-jari lingkaran dalam
.
.
224
Pembahasan Semifinal Omits 2013

8. Karena
dan
sejajar, maka
berlaku
sebangun dengan
sehingga
.
Misalkan
, dengan
adalah suatu bilangan riil positif.
diperoleh
dan
.
.
Lingkaran pada gambar di atas merupakan lingkaran singgung luar segitiga
sehingga berlaku :
, dengan
keliling
.
Jari-jari lingkaran dalam
Luas lingkaran dalam
15. Jawaban :
dan
adalah akar-akar dari persamaan kuadrat
Berdasarkan Vieta’s Formulas (halaman 15) :
dan
.
.
–
Nilai dari
.
16. Jawaban :
Misalkan bilangan bulat positif 7 digit tersebut berbentuk
dan bilangan berbeda yang diambil dari
Banyaknya cara memilih
Buku Panduan Jawara Omits SMP
dan
adalah
dengan
dan .
cara.
225

9. Banyaknya cara memilih dari bilangan
dan
muncul satu kali pada bilangan
adalah
Banyaknya cara mengubah susunan digit-digit
sebagai bilangan yang
.
adalah
.
Jadi, banyaknya bilangan bulat positif 7 digit yang memenuhi adalah
.
17. Jawaban :
Perhatikan gambar berikut !
akibatnya
dan
sehingga
Demikian juga karena
kongruen, sehingga
kongruen,
.
akibatnya
dan
.
dan
.
.
sehingga
.
.
.
.
.
Jadi, jari-jari lingkaran adalah
226
.
Pembahasan Semifinal Omits 2013

10. 18. Jawaban :
Diketahui
dan
dengan
dan
bilangan riil.
Perhatikan bahwa :
.
.
.
.
19. Jawaban : 17
Loker yang terbuka adalah loker dengan nomor suatu bilangan yang
banyaknya faktor ganjil merupakan bilangan ganjil.
Contoh. Loker yang bernomor 9. Karena 9 memiliki faktor ganjil 1, 3, dan 9,
sedangkan banyaknya faktor ganjil dari 9 adalah 3 (bilangan ganjil) maka
loker yang bernomor 9 akan terbuka (dibuka oleh siswa 1, ditutup oleh siswa
3 dan dibuka lagi oleh siswa 9).
Bilangan-bilangan yang banyaknya faktor ganjil merupakan bilangan ganjil
tersebut adalah
dan
ada 7
dan
ada 5
dan
ada 3
dan
ada 2
Jadi banyaknya loker yang terbuka adalah
20. Jawaban :
Diketahui
dan
.
.
Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi linier homogen ini adalah
selanjutnya difaktorkan menjadi :
, diperoleh
dan
.
Karena dan berbeda maka solusi homogennya adalah
.
.
Buku Panduan Jawara Omits SMP
227

11. .
.
Jika
maka
.
Jika
maka
.
Jika persamaan (1) dan (2) dijumlahkan maka diperoleh :
.
Jadi, nilai dari
.
Catatan : Bentuk umum relasi rekurensi linier homogen adalah
,
dengan
adalah konstanta.
Contoh.
.
.
Persamaan karakteristik dari relasi rekurensi linier homogen
yang berbentuk
adalah
.
1) Jika
adalah akar-akar persamaan
karakteristik maka solusinya adalah
2) Jika
adalah akar-akar persamaan
karakteristik maka solusinya adalah
3) Jika persamaan karakteristik memiliki akar yang sama
(
) dan
akar yang berbeda
(
maka solusinya adalah
228
Pembahasan Semifinal Omits 2013

12. Contoh.
Selesaikan relasi rekurensi berikut !
a)
b)
c)
.
Penyelesaian :
a)
persamaan karakteristik dari
relasi rekurensi ini adalah
, diperoleh
Karena
,
maka digunakan rumus pada point (1), yaitu
b)
persamaan karakteristik dari relasi
rekurensi ini adalah
, diperoleh
.
Karena
, maka digunakan rumus pada point (2),
yaitu
c)
persamaan
karakteristik dari relasi rekurensi ini adalah
diperoleh
Karena
,
dan
.
maka digunakan rumus pada
point (3), yaitu
Nilai dari
ataupun dapat dicari dengan menggunakan
syarat awal
atau
yang biasanya sudah diberikan pada
soal seperti pada soal no. 20 diatas.
Buku Panduan Jawara Omits SMP
229

13. PEMBAHASAN SEMIFINAL OMITS 2013
URAIAN
1.
Jawaban :
Jika persamaan (1) dikurangi dengan persamaan (2) maka diperoleh :
Dari persamaan (3) dan (4) :
Jika
disubtitusikan ke persamaan (3) maka diperoleh :
dan
2.
Jawaban : 10
Perhatikan gambar berikut !
Diketahui
l
230
.
dan
. Misalkan
.
Pembahasan Semifinal Omits 2013

14. dan
.
dan
.
dan
.
.
dan
.
Dengan menggunakan Pythagoras, maka panjang segmen :
(bukan bilangan bulat)
(bukan bilangan bulat)
(bilangan bulat)
(bukan bilangan bulat)
Jadi, satu-satunya segmen yang panjangnya berupa bilangan bulat adalah
segmen
, yaitu panjang
.
3.
Jawaban :
Nilai dari
.
4.
Jawaban :
dan
Diketahui
sehingga diperoleh
Jika
maka
Buku Panduan Jawara Omits SMP
dan
.
selanjutnya difaktorkan menjadi
atau
atau
.
.
231

15. Jika
maka
.
Dari diketahui
Jika
dan
.
maka
.
selanjutnya difaktorkan menjadi
diperoleh
atau
.
Jika
maka
.
Jika
maka
.
Jadi, pasangan
yang memenuhi adalah
dan
232
Pembahasan Semifinal Omits 2013