soal olimpiade MM SMP

1. SMA Dr. Wahidin Sudirohusodo Medan | http://syukrimath.blogspot.com 1
SOLUSI OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMP
TINGKAT KABUPATEN/KOTA Tahun 2017 Bagian A
11 MARET 2017
By : Syukri Lukman, ST (http://syukrimath.blogspot.com)
BAGIAN A : PILIHAN GANDA
1. Misalkan n adalah sebuah bilangan bulat positif. Jumlah tiga bilangan prima
3 4,4 5,dan5 3n n n   adalah …
A. 12
B. 14
C. 15
D. 17
Pembahasan :
Jika dijumlahkan ketiga bilangan tersebut, maka didapat :
(3 4) (4 5) (5 3) 12 12 12( 1)n n n n n        
Jelas terlihat jumlah ketiga bilangan prima tersebut adalah bilangan genap, karena 12( 1)n 
kelipatan 12. Supaya tiga bilangan prima dijumlahkan bernilai genap, maka salah satu dari ketiga
bilangan prima tersebut haruslah genap, yaitu 2.
Bilangan bernilai 2 yang memenuhi hanyalah (3 4)n  , maka :
3 4 2 3 6
2
n n
n
   

Sehingga jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 12( 1) 12(2 1) 12n    
Jawaban : A
2. Diketahui a dan b adalah dua bilangan bulat positif, serta b merupakan bilangan ganjil yang
lebih kecil daripada 2017. Jika
1 4 1
12a b
  , maka pasangan bilangan ( , )a b yang mungkin ada
sebanyak …
A. 2
B. 3
C. 5
D. 8
Pembahasan :

2. SMA Dr. Wahidin Sudirohusodo Medan | http://syukrimath.blogspot.com 2
6 2
1 4 1 4 1
12 12
12 48
48 12 0
( 12)( 48) 12 48
( 12)( 48) 2 3
b a
a b ab
b a ab
ab a b
a b
a b

   
  
   
    
    
Karena b adalah bilangan ganjil, maka nilai ( 48)b  menjadi ganjil . Maka faktor ganjil dari
( 48)b  yang memenuhi adalah 1, 3 dan 9. Jadi pasangan bilangan ( , )a b yang mungkin ada
sebanyak 3 pasang.
Jawaban : B
3. Grafik berikut mengilustrasikan lomba lari 100 m yang diikuti oleh tiga orang siswa A, B, dan C.
Berdasarkan grafik tersebut, pernyataan yang benar adalah …
A. Pelari C selalu berlari paling depan
B. Pelari B disusul oleh C sebelum garis finis.
C. Pelari A paling cepat berlari sampai ke garis finis.
D. Pelari B memenangi lomba karena berlari dengan kecepatan konstan.
Pembahasan :
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
100
80
60
50
40
20
10
0
Waktu (detik)
A
B
C
Jarak
(m)

3. SMA Dr. Wahidin Sudirohusodo Medan | http://syukrimath.blogspot.com 3
Dilihat dari grafik diatas, pelari B lebih cepat daripada pelari C pada 14 detik pertama. Tetapi
setah 14 menit kemudian, pelari C mendahului pelari B dan mencapai jarak 100 m pada detik ke-
16, sedangkan pelari B mencapai jarak 100 m pada detik ke-18.
Jawaban : B
4. Jika bilangan bulat positif x dan y merupakan solusi sistem persamaan linear
2 6
2 25 2
x y p
x y p
  
  
Maka banyak nilai p adalah …
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Pembahasan :
Dengan mengeliminasi nilai x , didapat :
2 6 2 2 4 2 12
2 25 2 1 2 25 2
5 4 13
4 13
5
x y p x y p
x y p x y p
y p
p
y

      
      
 


Karena y bernilai bulat positif, maka :
1
4
4 13
0 0
5
13
4
3
p
y
p
p

  
 
 
Dengan mengeliminasi nilai y , didapat :
2 6 1 2 6
2 25 2 2 4 2 50 4
5 56 3
56 3
5
x y p x y p
x y p x y p
x p
p
x

      
      
 


Karena x bernilai bulat positif, maka :

4. SMA Dr. Wahidin Sudirohusodo Medan | http://syukrimath.blogspot.com 4
2
3
56 3
0 0
5
56
3
18
p
x
p
p

  
 
 
Sehingga nilai interval p yang memenuhi adalah 1 2
4 33 18p 
Dengan melihat nilai
56 3
5
p
x

 harus bilangan bulat positif, maka :
(56 3 )p harus kelipatan 5, dapat ditulis :
(56 3 ) 5 3 (56 5 )p k p k    
Dengan modulo 5 didapat :
3 (56 5 )mod5
3 (1 0)mod5 dikali2
6 2mod5
2mod5
5 2
p k
p
p
p
p k
 
  


 
Jadi untuk interval 1 2
4 33 18p  , nilai p yang memenuhi adalah 7, 12, dan 17.
Maka banyak p yang memenuhi ada 3.
Jawaban : B
5. Diketahui fungsi f memenuhi persamaan persamaan
 
2
21
5
f x
f x
x x
 
  
 
untuk 0x  .
Nilai (1)f sama dengan …
A.
3
7
B.
3
14
C.
3
18
D.
1
7
Pembahasan :
Supaya mendapatkan nilai (1)f , cukup mengganti nilai x dengan 1, didapat :
 
2
21
5 1 5 (1) (2) 1.... (1)
1 1
f
f f f
 
     
 

5. SMA Dr. Wahidin Sudirohusodo Medan | http://syukrimath.blogspot.com 5
Dari sini, muncul nilai (2)f yang mesti dihilangkan. Mudah dilihat agar mendapatkan nilai
(2)f , maka  
1 1
2
2
f f x
x
 
   
 
, sehingga dimasukkan ke persamaan menjadi :
 
 
 
21
2
1 1 1
5 2 5 (2) 4 (1) ... (2)
2 2
f
f f f    
Eliminasi pers (1) dengan pers (2) untuk menghilangkan (2)f , didapat :
11
22
1
2
5 (1) (2) 1 25 (1) 5 (2) 55
4 (1) 5 (2)5 (2) 4 (1) 1
9
21 (1) 4
2
3
(1)
14
f f f f
f ff f
f
f

   
   
 

Jawaban : B
6. Pada jajar genjang ABCD, jarak antara sepasang sisi sejajar pertama adalah 4 cm dan jarak
antara sepasang sisi sejajar lainnya adalah 9 cm. Luas jajar genjang ABCD adalah …
A. Minimal 36 2
cm
B. Tepat 36 2
cm
C. Maksimal 36 2
cm
D. Antara 36 2
cm dan 81 2
cm
Pembahasan :

6. SMA Dr. Wahidin Sudirohusodo Medan | http://syukrimath.blogspot.com 6
Misalkan dibuat garis BF yang sejajar DE dengan ABF   , maka panjang BF = DE = 9, dan
9
cos cos
9
cos
BF
AB AB
AB
 

  
 
Luas jajar genjang ABCD
9 36
4
cos cos
AB t
 
    
Karena 0 0
0 90  , maka :
0 0
36 36
LuasABCD<
cos0 cos90
36 36
LuasABCD
1 0
36 LuasABCD
 
  
   
Maka Luas jajar genjang ABCD minimum 36 2
cm
Jawaban : A
7. Lingkaran pada gambar berikut mempunyai radius 1 satuan panjang dan 0
30DAB  . Luas
daerah trapesium ABCD yang diarsir adalah …
A.
1
2
B. 1
C.
1
3
2
D.
1 1
3
2 2

Pembahasan :
0
sin30
1
1
2 2
t
AD
t
t

  
0
1
2
cos30
3
3
2 1
AE
AO
AE
AE

  

7. SMA Dr. Wahidin Sudirohusodo Medan | http://syukrimath.blogspot.com 7
1
1
AE AO
AE EF
EF OD
   
1AB AE EB AE   
1CD FB EB EF AE    
Luas ABCD =
( ) ( 1 1 ) 1
1
2 2
AB CD t AE AE     
 
Jawaban : B
8. Diketahui persegi panjang ABCD dengan AB = 12 dan BC = 5. Panjang lintasan DPQB pada
gambar berikut adalah …
A.
119
13
B.
120
13
C.
214
13
D.
239
13
Pembahasan :
Dengan phytagoras, jelas panjang AC = 13
Luas ABCD =
60
12 5 13
13
AB BC AC DP
DP DP
  
    
Perhatikan segitiga APD, maka :
2 2 2
2
2
2 2 2 2
2
60
5
13
5 13 5 12
13
5 5 25
13 13
AP AD DP
AP
 
 
  
 
  


 

8. SMA Dr. Wahidin Sudirohusodo Medan | http://syukrimath.blogspot.com 8
Segitiga APD kongruen dengan segitiga BQC, maka AP = QC.
25
( ) 2 13 2
13
169 50 119
13 13
PQ AC AP QC AC AP
PQ
 
        
 

 
Panjang lintasan DPQB = DP + PQ + QB =
60 119 60 239
13 13 13 13
  
Jawaban : D
9. Diketahui M =  10,11,12,...,99 dan A adalah himpunan bagian dari M yang mempunyai 4
anggota . Jika jumlah semua anggota A merupakan suatu bilangan genap, maka banyak
himpunan A yang mungkin adalah …
A. 1.980
B. 148.995
C. 297.990
D. 299.970
Pembahasan :
Genap =  10,12,14,...,98 ( ) 45n Genap 
Ganjil =  11,13,15,...,99 ( ) 45n Ganjil 
Agar jumlah 4 anggota genap , maka ada 3 kasus :
1. 4 Genap = 45
4
45.44.43.42
148.995
4.3.2.1
C  
2. 4 Ganjil = 45
4
45.44.43.42
148.995
4.3.2.1
C  
3. 2 Genap dan 2 Ganjil = 45 45
2 2
45.44 45.44
990 990 980.100
2.1 2.1
C C     
Maka total banyak kemungkinan jumlah semua anggota A merupakan bilangan genap =
148.995 148.995 980.100 1.278.090  
Jawaban : Tidak ada

9. SMA Dr. Wahidin Sudirohusodo Medan | http://syukrimath.blogspot.com 9
10. Data 4 pengamatan berupa bilangan positif yang sudah diurutkan dilambangkan dengan
1 2 3 4, , ,danx x x x . Jika jangkauan data tersebut adalah 16, 1
1
median
6
x  , 2
1
median
2
x  ,
dan 3 4x x , maka rata-rata data tersebut adalah …
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
Pembahasan :
 1
2 2 2 32
1
2 2 34
2 2 3
2 3
1 1
( )
2 2
( )
4 ( )
3
x Median x x x
x x x
x x x
x x
   
  
  
 
 
 
 
1
1 1 2 32
1
1 2 312
1
1 2 212
1
1 23
1 2
1 1
median ( )
6 6
3
3
x x x x
x x x
x x x
x x
x x
   
  
  
 
 
Jangkauan =
4 1
1
3 23
1
2 23
8
2 2 1 3 43
16
16
3 16
16 6, 2, 18, 18
x x
x x
x x
x x x x x
 
 
 
     
Maka rata – rata =
2 6 18 18 44
11
4 4
  
 
Jawaban : B
Demikian pembahasan OSN Matematika SMP tingkat Kabupaten/ Kota tahun 2017 versi saya.
Pembuatan pembahasan ini mungkin jauh dari sempurna . Kritik dan saran dapat dilayangkan ke email :
sukri.go@gmail.com atau HP : 0852 610 87342 ( Syukri Lukman, ST )