Документ содержит лекцию по кинематике, в частности, угловым скоростям и ускорениям твердых тел при сферическом движении. Описываются угловые скорости как сумма составляющих движений и приводятся кинематические уравнения Эйлера. Также рассматриваются уравнения свободного движения тела, включая скорости и ускорения точек в теле.

1. Кинематика Лекция 17
2. Угловая скорость тела. Скорости точек тела
Сферическое
движение
Z
Θ
твердого тела можно представить z
как сложное, состоящее из трех
ψ
ϕ
вращательных движений вокруг
осей,
пересекающихся
в
закрепленной точке твердого тела:
с угловой скоростью ψ  вокруг
O
неподвижной оси OZ, с угловой
скоростью θ  вокруг линии узлов
X
ON и с угловой скоростью ϕ 
ψ
N
вокруг оси Oz . Мгновенная

угловая скорость тела ω равна
сумме угловых скоростей составляющих вращений:
y
ϕ
θ
ϕ
x
θ



 iN + ϕ  k ,
ω = ψ  ka + θ
(6.2)



здесь k a – орт оси OX, iN – орт линии узлов, k – орт оси Oz.

ψ
Y
Y2
Y1

2. Кинематика Лекция 17
Проектируя обе части равенства (6.2) на оси x, y и z (рис.6.3), найдем
проекции вектора угловой скорости тела на оси, жестко связанные с телом:
ω = sin θsin ϕ θ ϕ
+ cos ,
x ψ
(6.3)
ω = sin θ ϕ θ ϕ
cos − sin ,
y ψ
ω = cosθ+.
ψ
ϕ
z
Полученные соотношения называются кинематическими уравнениями
Эйлера. Модуль угловой скорости определяется равенством
2
2
2
(6.4)
ω ω+ y + z .
= x ω ω
Итак, вектор угловой скорости тела при сферическом движении
опеделяется формулами Эйлера (6.3).
Выберем произвольную точку в теле, положение которой в теле
определяется радиусом – вектором

 

r =xi +yj + k ,
z
(6.5)
здесь x, y, z – постоянные величины, координаты точки в системе
координат Oxyz, жестко связанной с телом.
Тогда скорость этой точки, согласно (5.4), равна

[, 
V =ωr ].
(6.6)

3. Кинематика Лекция 17
3. Ускорения точек тела

ε
Для определения ускорения произвольной
Z
точки тела, исходя из его определения,

ω
продифференцируем по времени выражение
для скорости (6.6 )



Y
 dV  dω     dr 
X
(6.9) O
a=
= 
,r +  ω ,  .
d t  d t   d t
Здесь вектор углового ускорения

 dω
(6.10)
ε =
dt


можно рассматривать как скорость конца вектора ω . Угловое ускорение ε

направлено по касательной к годографу вектора угловой скорости ω .
Производная по времени от радиуса – вектора точки равна ее
скорости

dr 
 
(6.11)
= V = [ ω ,r] .
dt

4. Кинематика Лекция 17
Учитывая (6.10) и (6.11), равенство (6.9) запишется так
 
 
  
  
a = [ε , r ] + ω,V = [ε , r ] +[ω, [ω, r ]] .
(6.12)
Первое слагаемое в (6.12) называется вращательным ускорением,
а второе – осестремительным ускорением, и они обозначаются
 

aвр = [ε , r ] ,
(6.13)
[
Таким образом,
]
 
  

aос = [ω,V ] = [ω, [ω, r ]] .
(6.14)
 

a = aвр + aoc ,
(6.15)
ускорение произвольной точки твердого тела при сферическом
движении
равно
векторной
сумме
вращательного
и
осестремительного ускорений.

5. Кинематика Лекция 17
aвр = ε r sinβ = ε hε ,
hε
где hε – расстояние от точки М до

направления вектора ε .
V = ω r sinα = ω hω ,
где hω – расстояние от точки М до

направления вектора ω .
 
Поскольку ω ⊥ V , то из (6.14)
находим

ε
Z
Осестремительное ускорение

aoc будет направлено вдоль вектора

hω .

hω

aoc
β
α
aoc = ω V = ω 2 hω .
О

V


ω r
Y
X
 

На рисунке показано направление векторов V , aвр , aoc .

aвр
M

6. Кинематика Лекция 17
7. СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Общий случай движения твердого тела, когда на его перемещения в
заданной системе отсчета не наложено никаких ограничений,
называется свободным.
1. Уравнения движения
Введем в рассмотрение систему координат OXYZ с началом в
полюсе О и оси которой параллельны соответствующим осям системы
координат Oa XYZ в любой момент времени: OX // Oa X , OY // OaY ,
OZ // Oa Z . Таким образом, система координат OXYZ совершает
поступательное
движение,
которое
полностью
определяется
положением точки О. В системе координат OXYZ точка О остается
неподвижной, и следовательно, тело в этой системе координат
совершает сферическое движение, которое определяется углами Эйлера

7. Кинематика Лекция 17
Таким образом, свободное
движение
твердого
тела
можно
представить
как
сложное,
состоящее
из
переносного поступательного
движения системы координат
OXYZ по отношению к
заданной системе отсчета
O XYZ
и
относительного X
сферического движения в
подвижной
системе
координат OXYZ. Свободное
непрерывными функциями:
a
Z
М
Z
Oa

R

ρ
z
y
X
O
x
Y

RO
Y
движение
задается
шестью
X O = X O (t ), YO = YO (t ), Z O = Z O (t ), ψ = ψ (t ), θ = θ (t ), ϕ = ϕ (t ).
(7.1)
Функции (7.1) называются уравнениями свободного движения
твердого тела.

8. Кинематика Лекция 17
2. Скорости и ускорения точек тела
Так как свободное движение твердого тела можно представить
как сложное, то скорость и ускорение любой точки тела можно
вычислить по теоремам о сложении скоростей и сложении ускорений
при сложном движении. Поскольку переносное движение является
поступательным, то скорости и ускорения переносного движения
одинаковы для всех точек твердого тела и равны скорости и
ускорению полюса О. Скорость и ускорение точки в относительном
движении находятся как при сферическом движении по формулам
(6.6) и (6.12).
Таким образом, скорость и ускорение любой точки твердого тела
при свободном движении равны
 
 
V =VO +[ω ρ] ,
,
(7.2)
 
  
 
a =aO +[ε , ρ] +[ω [ω ρ]] .
, ,
(7.3)