Курс физики для студентов 1-2 курса БГТУ Подготовлено: кафедра Физики БГТУ доцент Крылов Андрей Борисович

1. Лекция 6 (2 сем.)
Механические колебания (продолжение)
Курс физики для студентов 1-2 курса БГТУ
Кафедра физики БГТУ
доцент Крылов Андрей Борисович
2019а
Часть I.
ОСНОВНЫЕ
ЗАКОНЫ
КЛАССИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
1. Вынужденные колебания.
2. Понятие резонанса и условия резонанса.
3. Сложение одинаково направленных и взаимно
перпендикулярных гармонических колебаний.
4. Периодические колебания и их разложение на сумму
гармонических колебаний.
5. Фигуры Лиссажу.
6. Понятие о гармоническом анализе.
7. Пример применения гармонического анализа.
+7
1
Для электронного учебно-методического комплекса ЭУМК
кафедры физики БГТУ 2019

2.  В данном случае на тело массой m вдоль оси Ох действуют три силы:
 сила упругости Fупр
 сила трения Fтр .
 вынуждающая сила Fв, которая действует периодически с круговой частотой
ωв:
 Для данного случая второй закон Ньютона в проекции на ось Ох:
 Учтём, что: и
 При сокращении каждого слагаемого на m и переносе всех членов влево от знака
равенства, получим:
Вынужденные колебания
 Вынужденные колебания – колебания, при
которых наблюдаемая величина изменяется во
времени:
 с постоянной частотой ν (круговой частотой
ω), задаваемой внешней вынуждающей силой
Fв.
2
0ωk = m 2β=
r
m
+5
2

3. Вынужденные колебания (продолжение)
 Проведём замену:
 Получаем конечный вид дифференциального
уравнения второго порядка:
 Решение такого уравнения состоит из двух
частей-решений: х=х1+х2:
 Решение х1 описывает неустановившейся
режим колебаний, когда их амплитуда
увеличивается во времени (рис.5).
 Решение х2 описывает установившийся режим
колебаний.
 В установившемся режиме вынужденных
колебаний смещение х2 подчиняется
гармоническому закону
и происходит с частотой ωв.
0
0=
F
f
m
Рис. 5. График вынужденного колебания.
удельная вынуждающая сила
+4
3

4. Резонанс
 Амплитуда А вынужденных колебаний зависит от многих
разобранных выше параметров:
 частоты собственных колебаний ω0 ,
 коэффициента затухания β,
 Удельной вынуждающей силы f0 ,
 частоты вынуждающей силы ωв.
 Амплитуда А будет максимальна, если частота ωв действия
вынуждающей силы определяется формулой:
 При этом наблюдается явление резонанса.
 Резонанс – это резкое возрастание амплитуды А вынужденных
колебаний при совпадении частоты действия вынуждающей силы ωв с
частотой системы ω, т.е.:
2
0
2
вω ω - 2=β
0в
22
ω=ωω ω= - 2β⇒
+5
4
Если бы затухание в системе отсутствовало (β = 0), то резонанс наступал бы
при условии: ω0 = ωв, где ω0 – собственная частота гармонического колебания.
При этом амплитуда достигала бы бесконечно большого значения.

5. График резонанса
Резонансные кривые при различных уровнях затухания:
1 – колебательная система без трения:
при резонансе амплитуда xmax вынужденных колебаний неограниченно возрастает;
2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной
добротностью: Q2 > Q3 > Q4.
колебательная
система с
коэффициентом
затухания β
+4
5
Добротность Q прямо пропорциональна
амплитуде резонанса A0=xmax
Q2 > Q3 > Q4
Коэффициент затухания β обратно пропорциональна амплитуде резонанса A0=xmax
На низких частотах (ω << ω0) xmax ≈ fmax. На высоких частотах (ω >> ω0) xmax → 0

6. Автоколебательные системы
 Вынужденные колебания – это незатухающие колебания. Неизбежные
потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего
источника периодически действующей силы.
 Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет
периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких
систем способности самой регулировать поступление энергии от
постоянного источника.
 Такие системы называются автоколебательными, а процесс незатухающих
колебаний в таких системах – автоколебаниями.
 В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента:
1)◦колебательная система,
2) источник энергии и
3) устройство обратной связи между колебательной системой и источником.
 В качестве колебательной системы может быть
использована любая механическая система,
способная совершать собственные затухающие
колебания (например, маятник настенных часов).
 Источником энергии может служить энергия
деформация пружины или потенциальная энергия
груза в поле тяжести.
 Устройство обратной связи представляет собой
некоторый механизм, с помощью которого
автоколебательная система регулирует
поступление энергии от источника.
Схема взаимодействия различных
элементов автоколебательной системы
+4
6

7. Сложение гармонических колебаний
 Сложение нескольких колебаний одинакового направления можно изображать
графически с помощью метода векторной диаграммы:
 Гармоническое колебание может быть представлено
графически с помощью вращающегося вектора
амплитуды.
 Для этого из произвольной точки О, выбранной на оси
Ох, под углом ϕ0 , равным начальной фазе колебания,
откладывается вектор амплитуды.
 Модуль этого вектора равен амплитуде
рассматриваемого колебания А.
 Если этот вектор привести во вращение с угловой
скоростью ω, равной циклической частоте колебаний, то
проекция конца вектора амплитуды будет перемещаться
по оси Ох и принимать значения от –А до +А, а
колеблющаяся величина изменяться со временем по
закону
x = Acos(ωt + ϕ0).
Результат сложения гармонических колебаний зависит от:
• направления смещений складываемых колебаний
• соотношения между их частотами, фазами и амплитудами.
+5
7

8. 8
1. Сложение одинаково направленных гармонических
колебаний методом векторных диаграмм
 Сложение два гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты
графически с помощью метода векторной диаграммы.
 Смещение x колеблющегося тела будет суммой смещений x1 и
x2 , которые запишутся следующим образом:
x1 = A1 cos(ωt + ϕ1) и x2 = A2 cos(ωt + ϕ2).
Вывод: тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой
частоты, также совершает гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой.
Результирующий вектор амплитуды A по теореме косинусов равен:
Построим по правилу сложения векторов результирующий вектор A.
Проекция этого вектора на ось Ох равна сумме проекций слагаемых
векторов x = x1 + x2 , следовательно, вектор A представляет собой
результирующее колебание.
Угол между векторами A1 и A2 равен α = π − (ϕ2 − ϕ1), поэтому cos[π − (ϕ2 − ϕ1)] = −cos(ϕ2 − ϕ1),
следовательно, результирующая амплитуда колебания будет равна:
Найдем начальную фазу результирующего колебания из рисунка:
+5

9. Таким образом при простейшем варианте – колебаниях вдоль прямой Ох.
 если у нас есть два гармонических колебания:
 Если колебания происходят с одинаковыми частотами ω1=ω2=ωобщ, то их сумма
будет гармоническим колебанием с частотой ωобщ :
 Амплитуда результирующего колебания А зависит от амплитуд А1 и А2, а также от
разности начальных фаз следующим образом:
 Если Δφ кратно 2π (Δφ =2πk ) – синфазные колебания, то косинус угла равен +1
и тогда:
 Если , где k – любое целое число, - противофазные колебания, то
косинус угла равен -1 и тогда:
Сложение гармонических колебаний (продолжение)
01 02ϕ ϕ ϕ∆ = −
ϕ ϕ2 2A= A + A + 2A A cos( - )
1 2 1 2 02 01
+6
9

10. 2. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний
 Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты,
происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях.
 Допустим, что материальная точка совершает колебания как вдоль оси X, так и вдоль оси Y.
Выберем начало отсчёта времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна
нулю. Тогда уравнения колебаний примут вид:
x = A1 cosωt и y = A2 cos(ωt + ϕ), где ϕ − разность фаз обоих колебаний.
 Уравнение траектории получим, если исключим из уравнений параметр времени
t.
 Из первого уравнения:
 Разложим косинус во втором из уравнений:
 Тогда:
Перепишем это уравнение в следующем
виде:
 После преобразования,
получим:
+5
10

11. 2. Сложение взаимно перпендикулярных
гармонических колебаний (продолжение)
1) разность фаз равна нулю [ϕ = 0].
 В этом случае:
 Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль
этой прямой с частотой ω и амплитудой:
2) разность фаз равна ±π [ϕ = ±π].
 В этом случае:
 Это уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных
осей произвольно. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят от амплитуд
колебаний и разности фаз.
Используя тригонометрическое тождество cos2
ϕ + sin2
ϕ = 1, окончательно
получим:
Рассмотрим несколько частных случаев:
откуда получается уравнение
прямой:
откуда получается уравнение
прямой:
+9
11
Вывод: при разности фаз ϕ = 0 и ϕ = ±π
эллипс вырождается в прямую

12. 2. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических
колебаний (частные случаи)
3) разность фаз равна:
откуда получается уравнение
эллипса без наклона к осям,
причём полуоси эллипса равны
соответствующим амплитудам
колебаний.
- это эллипс
Вывод: при равенстве амплитуд колебаний эллипс вырождается в
окружность.
Случаи ϕ = ±π /2 отличаются направлением движения.
4) если частоты кратны друг другу, то траектория результирующего движения имеет вид сложных
кривых, называемых фигурами Лиссажу.
На рисунке показаны фигуры, которые получаются при соотношении частот 2:1 и 3:2.
 Если ϕ = -π /2 , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x = A1 cosωt, и y = −A2 sinωt и
движение совершается по часовой стрелке.
 Если ϕ = +π /2 , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x = A1 cosωt, и y = A2 sinωt и
движение совершается против часовой стрелке.
+5
12

13. Сложение гармонических колебаний
с кратными частотами
 Если колебания происходят с разными частотами ω1 ≠ω2 ,
 то их сумма не будет гармоническим колебанием.
 Но если частоты кратны друг другу ω1 =kω2 ,
то их сумма – сложное периодическое колебание (не гармоническое!).
Пример:
 если сложить гармонические колебания, происходящих с частотами ω1 и
ω2=4ω1 (периодами Т1 и Т2= Т1/4),
 то частота результирующего периодического колебания будет равна
мéньшей из частот (ω =ω1), а период – бóльшему периоду (T=Т1).
+3
13

14. Периодические колебания
 Большинство колебательных процессов являются не гармоническими, а
периодическими.
x(t) = x(t +T) = x(t + 2T)
+5
14
 Периодические колебания – колебания, при которых наблюдаемая величина
повторяется во времени через одинаковое время (постоянный период колебаний Т):
Гармоническое колебание синусоида
Периодическое колебание не синусоида
Периодическое колебание не синусоида

15. Анализ сложных периодических колебаний
(гармонический анализ). Теорема Фурье
 Большинство колебательных процессов
являются не гармоническими, а
периодическими.
 Периодические колебания – колебания, при
которых наблюдаемая величина повторяется во
времени через одинаковое время (постоянный
период колебаний Т):
 Однако по теореме Фурье любое периодическое
колебание можно представить в виде суммы
гармонических. Рис. 6. Пример периодической функции x(t).
 Теорема Фурье: любое сложное периодическое колебание
с периодом Т (рис. 6) можно представить в виде суммы простых
гармонических колебаний (гармоник), причём частоты этих гармоник
кратны основной частоте ω1 рассматриваемого периодического
колебания.
 Первая гармоника называется основным тоном, а остальные гармоники –
обертонами.
 Кратность означает, что первая гармоника (основной тон) имеет частоту ω1,
вторая гармоника – 2ω1, третья гармоника –3 ω1 и т.д.
x(t) = x(t +T) = x(t + 2T)
x(t) = x(t + T)
+7
15

16. Теорема Фурье (продолжение)
 Теорему Фурье можно записать в виде формулы, представляющей
собой ряд Фурье:
где Ak– амплитуда k-й гармоники, а φk–начальная фаза k-й гармоники.
Первая гармоника, имеющая частоту ω1, обладает амплитудой A1 и начальной фазой φ1,
вторая гармоника (с частотой 2ω1) имеет амплитуду A2 и начальную фазу φ2 и т.д.
Рис. 7. Гармонический спектр сложного колебания.
Первая гармоника – основной тон,
остальные – обертона.
 Спектр – это график зависимости
какой-нибудь физической величины,
характеризующей волну, от частоты ν
(«ню») или циклической частоты ω
(«омега»).
 Гармонический спектр периодического
колебания – это график, на котором по оси
абсцисс (оси Ох) отложены частоты
гармоник ω, а по оси ординат (оси Оу) –
соответствующие им амплитуды А (рис. 7).
 Пример на рисунке 7: гармоники с частотой
более ω10 имеют малые амплитуды и ими
можно пренебречь.
+5
16

17. Использование анализа сложных
периодических колебаний для оценки ЭКГ
Электрокардиограмма (ЭКГ) – это зафиксированная на бумажной ленте или
на экране монитора сложная периодическая зависимость от времени t
биопотенциалов φ (функциональная зависимость φ=f(t)), наблюдаемая
при работе сердца (рис.8).
Рис. 8. Электрокардиограмма
Частота первой гармоники в этом
спектре соответствует частоте
сердечных сокращений у пациента
(минимально возможная около 0,5 Гц
(период Т порядка 2с).
Из вида реально полученных спектров
следует, что гармоники ЭКГ с
частотами свыше 400 Гц имеют
пренебрежимо малую амплитуду и для
анализа ЭКГ ряд Фурье можно
ограничить (с запасом) частотой 400
Гц.
Это означает, что информация об
электрической деятельности сердца
заключена в частотном диапазоне
от 0,5 Гц до 400 Гц.
+4
17

18. Разложение ЭКГ-сигнала в ряд Фурье
Электрокардиограмма при серьёзных заболеваниях сердца резко меняет
свой вид, а значит и свой гармонический спектр.
 Разложение такого ЭКГ-сигнала в ряд Фурье и сравнение гармонических
спектров работы здорового сердца и сердца с определённой патологией
(наличие/отсутствие определённых гармоник, резкое изменение амплитуд одних и тех
же гармоник) (Рис. 9) позволяет автоматизировать диагностику заболеваний с
помощью компьютера и существенно расширить возможности такой диагностики.
Рис. 9. Пример изменения гармонического спектра ЭКГ-сигнала при серьёзной патологии – инфаркте
миокарда
Гармонические спектры представлены в виде диаграмм: по Ох – номера обертонов, по оси Оу –
относительное значение амплитуды.
Резкое изменение
амплитуд одних и тех
же гармоник
+2
18

19. Спасибо за внимание!
Курс физики для студентов 1 курса БГТУ
Кафедра физики БГТУ
доцент Крылов Андрей Борисович
+1
Часть I.
ОСНОВНЫЕ
ЗАКОНЫ
КЛАССИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
19Лекция 6. Механические колебания-2
Рис. 9. Пример изменения гармонического спектра ЭКГ-сигнала при серьёзной патологии –
инфаркте миокарда
Гармонические спектры представлены в виде диаграмм: по Ох – номера обертонов, по оси Оу –
относительное значение амплитуды.
Для электронного учебно-методического комплекса ЭУМК
кафедры физики БГТУ 2019