2. PersamaanAljabarLinier
Persamaan aljabar linier
dipergunakan untuk memperoleh
harga variabel x1, x2,…, xn dari fungsi
persamaan linier f1(x1, x2,…, xn), f2(x1,
x2,…, xn),…, fm(x1, x2,…, xn), di mana m
≥ n dengan menggunakan matriks m
x n
Substitusi
Eliminasi
Eliminasi Gauss
Gauss Jordan
Matriks Inverse
Gauss Seidel
Jacobi
2
5. MetodeSubstitusi
Algoritma :
1. Pilih salah satu persamaan (misalnya
persamaan pertama), gunakan untuk
mendapatkan taksiran satu harga variabel
(misalnya variabel terakhir) dalam bentuk
persamaan :
xn = (c1 – a11.x1 – a12.x2 – … – a1,n-1.xn-1 ) /an
Pilih persamaan berikutnya, ganti/ substitusi
variabel dengan persamaan taksiran variabel,
gunakan untuk mendapatkan taksiran satu
harga variabel berikutnya dalam bentuk
persamaan.
c2 = a21.x1 + a22.x2 + … + a2n.xn
Ulangi langkah 2 hingga tersisa satu variabel
dalam persamaan.
Cari nilai variabel dari persamaan dengan satu
variabel, secara bertahap variabel berikutnya
dari persamaan dengan suku variabel lebih
banyak
5
7. MetodeEliminasi
Metode Eliminasi adalah metode
mencari harga variabel dengan
mengeliminasikan satu persatu
variabel lainnya melalui
pengurangan antar persamaan.
7
8. MetodeEliminasi
Algoritma :
1. Pilih dua persamaan (misalnya persamaan
pertama dan kedua), kurangkan satu persamaan
dengan persamaan lainnya untuk
menghilangkan satu variabel (misalnya variabel
terakhir) :
c1 = a11.x1 + a12.x2 + … + a1n.xn | x a2n
c2 = a21.x1 + a22.x2 + … + a2n.xn | x a1n
Ulangi langkah 1 untuk mendapatkan minimal
(n-1) persamaan baru hasil eliminasi.
Ulangi langkah 2 dengan mengurangkan
pasangan persamaan hasil eliminasi.
Cari nilai variabel dari persamaan dengan satu
variabel, secara bertahap variabel berikutnya
dari persamaan dengan suku variabel lebih
banyak
8
10. MetodeEliminasiGauss
Metode Eliminasi Gauss adalah
metode mencari harga variabel
dengan transformasi matriks
koefisien persamaan linier menjadi
matriks segitiga atas melalui operasi
baris elementer.
10
mmnmm
n
n
c
c
c
aaa
aaa
aaa
2
1
21
22221
11211
−− )1(
2
1
)1(
222
11211
'
00
''0
m
m
m
mn
n
n
c
c
c
a
aa
aaa
12. MetodeGaussJordan
Metode Gauss Jordan adalah
metode mencari harga variabel
dengan transformasi matriks
koefisien persamaan linier menjadi
matriks identitas melalui operasi
baris elementer.
12
mmnmm
n
n
c
c
c
aaa
aaa
aaa
2
1
21
22221
11211
)(
2
1
"
'
100
010
001
m
mc
c
c
16. MetodeDeterminanMatriks
Metode Determinan Matriks adalah
metode mencari harga variabel
dengan membagi determinan
matriks substitusi dengan
determinan matriks koefisien
persamaan linier. Kolom ke-i
16
mnmm
n
n
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aac
aac
aac
x
21
22221
11211
2
2222
1121
1 =
mnmm
n
n
mnmm
n
n
i
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
x
21
22221
11211
21
22221
11211
= mc
c
c
2
1
19. MetodeGaussSeidel
Algoritma :
1. Dengan mengasumsikan taksiran awal dari
variabel x2, x3,…, xn bernilai sama dengan nol,
hitung taksiran variabel x1 dengan :
2. Secara berurutan hitung taksiran variabel x2, x3,…,
xn dengan :
3. Ulangi langkah 2 mulai dari menghitung taksiran
variabel x1, x2,…, xn kembali, hingga
penyimpangan atau kesalahan taksiran iterasi
ke- k dari variabel xi kurang dari batas toleransi.
19
11
12121
1
..
a
xaxac
x nn−−−
=
ii
n
ij
j
jiji
i
a
xac
x
∑
≠
=
−
=
1
.
toleransibatas%100
1
≤×
−
=
−
k
i
k
i
k
i
x
xx
ε
20. MetodeGaussSeidel
Iterasi x1 x2 x3
0 0 0 0
1
2
: : : :
j
20
3,0
.1.52,001,0 32
1
xx
x
−−−
=
1
.9,1.5,067,0 31
2
xx
x
−−
=
5,0
.3,0.1,044,0 21
3
xx
x
−−−
=
21. MetodeJacobi
Metode Jacobi adalah metode
mencari harga variabel dengan
menggunakan taksiran variabel-
variabel lainnya dari iterasi
sebelumnya.
21
22. MetodeJacobi
Algoritma :
1. Dengan mengasumsikan taksiran awal dari
variabel x1, x2,…, xn bernilai sama dengan nol.
Secara berurutan hitung taksiran variabel x'1, x'2,
…, x'n dengan :
Hitung penyimpangan atau kesalahan taksiran
dari variabel xi .
1. Jika kurang dari batas toleransi, hentikan.
2. Ubah xi = x'i untuk variabel x1, x2,…, xn. Ulangi
langkah 2
22
ii
n
ij
j
jiji
i
a
xac
x
∑
≠
=
−
=
1
.
'
toleransibatas%100
'
≤×
−
=
i
ii
x
xx
ε
23. MetodeJacobi
Iterasi x1 x2 x3
0 0 0 0
1
2
: : : :
j
23
3,0
.1.52,001,0 32
1
xx
x
−−−
=
1
.9,1.5,067,0 31
2
xx
x
−−
=
5,0
.3,0.1,044,0 21
3
xx
x
−−−
=
24. Permasalahan
Koefisien pada baris ke-i dan
kolom ke-i bernilai 0
Iterasi pencarian divergen atau
tidak konvergen sehingga
bergerak menjauhi harga
sebenarnya
mnmm
n
n
mnmm
n
n
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
21
22221
11211
Pivoting parsial
Konvergensi
24