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10.10 precipitazioni - gumbel - metodo dei momenti

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Metodo dei momenti per il calcolo dei parametri della curva di Gumbel

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10.10 precipitazioni - gumbel - metodo dei momenti

  1. 1. Le precipitazioni estreme Gumbel- Metodo dei momenti Riccardo Rigon Kandinski-CompositionVI(Ildiluvio)-1913
  2. 2. R. Rigon Per adattare la famiglia di curve di Gumbel ai dati si usano dei metodi di adattamento dei parametri. Ne useremo nel seguito 3: - Il metodo dei minimi quadrati - Il metodo dei momenti - Il metodo della massima verosimiglianza (o maximum likelihood) Si consideri allora una serie di n misure, h = {h1, ....., hn} !2 Metodi di adattamento dei parametri relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Stima dei parametri
  3. 3. R. Rigon Il metodo dei momenti consiste nell’uguagliare i momenti del campione con i momenti della popolazione. Siano, ad esempio La media e la varianza e il momento t-esimo del CAMPIONE !3 Metodi di adattamento dei parametri relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale µH 2 H M (t) H Stima dei parametri
  4. 4. R. Rigon Se il modello probabilistico contiene t parametri, allora il metodo dei momenti consiste nell’ugugliare i t momenti campionari con i t momenti della popolazione, che risultano definiti da: !4 Metodi di adattamento dei parametri relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale MH[t; ] = ⇥ ⇥ (h EH[h])t pdfH(h; ) dh t > 1 MH[1; ] = EH[h] = ⇥ ⇥ h pdfH(h; ) dh Stima dei parametri
  5. 5. R. Rigon Per ottenere un numero sufficiente di equazioni bisogna considerare tanti momenti quanti sono i parametri. Benchè in linea di principio la funzione dei parametri che ne risulta possa essere calcolate numericamente per punti, il metodo risulta efficace quando l’integrale a secondo membro ammette una soluzione analitica. !5 Metodi di adattamento dei parametri relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale MH[t; ] = ⇥ ⇥ (h EH[h])t pdfH(h; ) dh t > 1 Stima dei parametri
  6. 6. R. Rigon Metodi di adattamento dei parametri relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Il metodo dei momenti applicato alla curva di Gumbel consiste allora nel porre: o: b + a = µH b2 2 6 = ⇤2 H MH[1; a, b] = µH MH[2; a, b] = ⇥2 H 6 Stima dei parametri
  7. 7. R. Rigon Il metodo della massima verosimiglianza (maximum likelihood) relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Il metodo si fonda sulla valutazione della probabilità (composta) di ottenere la serie temporale registrata: Questa può considerarsi come la probabilità di ottenere le misure, assegnati i parametri 7 Stima dei parametri
  8. 8. R. Rigon Il metodo della massima verosimiglianza (maximum likelihood) relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Nella ipotesi di indipendenza delle osservazioni, tale probabilità diviene: La precedente probabilità si chiama anche funzione di verosimiglianza rappresenta ed è evidentemente una funzione dei parametri. 8 Stima dei parametri

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