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10.14 precipitazioni - chi quadro

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Test del Chi quadro nel calcolo dei parametri di una distribuzione

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10.14 precipitazioni - chi quadro

  1. 1. Le precipitazioni estreme Chi quadro Riccardo Rigon Kandinski-CompositionVI(Ildiluvio)-1913
  2. 2. R. Rigon Il 2 Se una variabile X è distribuita secondo un curva normale a media nulla e varianza unitaria, allora la variabile e’ distribuita secondo la distribuzione del “Chi quadrato” (come fu provato da Ernst Abbe, 1840-1905) e si indica con che è una distribuzione monoparametrica della famiglia della distribuzione Gamma. L’unico parametro è chiamato “gradi di libertà” !2 Ancora sul test di Pearson
  3. 3. R. Rigon La distribuzione, in effetti, è: E la sua cumulata: dove è la funzione “gamma” incompleta() Il 2 from Wikipedia !3 Ancora sul test di Pearson
  4. 4. R. Rigon La funzione gamma incompleta La funzione Gamma 4 Ancora sul test di Pearson
  5. 5. R. Rigon Il 2 from Wikipedia !5 Ancora sul test di Pearson
  6. 6. R. Rigon Il valore atteso della distribuzione è pari al numero di gradi di libertà Il 2 La varianza è pari a due volte il numero di gradi di libertà E( k) = k V ar( k) = 2k from Wikipedia !6 La moda è pari a Ancora sul test di Pearson
  7. 7. R. Rigon In generale il è usato in statistica (dopo il lavoro di Pearson e Fisher) per stimare la bontà di una inferenza, ed in particolare l’uguguglianza di una distribuzione di dati con una distribuzione di riferimento (ipotesi zero). Il test ha la forma generale Il 2 2 from Wikipedia !7 Ancora sul test di Pearson
  8. 8. R. Rigon Il 2 Assumendo che la radice della variabile rappresentata nella sommatoria sia distribuita gaussianamente, allora ci si aspetta che la variabile somma dei quadrati sia distribuita secondo il con un grado di libertà pari al numero di addendi diminuito di 1. 2 from Wikipedia !8 In altre parole, nell’ipotesi di ripetere un numero illimitato di volte l’esperimento che ha prodotto i dati, ci si aspetta che la distribuzione degli X2 , ottenuta dalla ripetizione dell’esperimento, sia un con k-1 gradi di libertà. Ancora sul test di Pearson
  9. 9. R. Rigon Ovvero Se i dati riproducono perfettamente l’ipotesi, Il valore atteso dell’errore però pari al numero di gradi di libertà, k. Un certo numero di campioni “sfortunati” avrà un elevato 9 Ancora sul test di Pearson
  10. 10. R. Rigon Ovvero Ci sono due modi per ottenere un valore elevato di X2: •se i dati provengono dalla distribuzione ipotizzata, ma il campione è relativamente raro •se i dati NON sono rari MA provengono da un’altra distribuzione 10 Ancora sul test di Pearson
  11. 11. R. Rigon Il ha importanza perchè possiamo fare due ipotesi mutuamente esclusive. L’ipotesi zero: Il 2 2 from Wikipedia E il suo contrario, l’ ipotesi alternativa: che campione e popolazione abbiano la medesima distribuzione che campione e popolazione NON abbiano la medesima distribuzione !11 Ancora sul test di Pearson
  12. 12. R. Rigon Non c’è possibilità di distinguere un caso dall’altro L’analisi statistica NON è in grado di distinguere il falso dal vero con certezza Però ci si può accordare che, per esempio, il nostro campione ha una differenza dal campione di riferimento (misurata secondo Pearson), ovvero un X2, che si rivela più di una volta su venti su possibili ripetizioni dell’esperimento probabilistico (un periodo di ritorno di venti tentativi) non possiamo rigettare (falsificare statisticamente) l’ipotesi che i nostri dati provengano dalla distribuzione ipotizzata. Dunque l’ipotesi zero si accetta e si rigetta l’ipotesi alternativa, con una confidenza, nel caso descritto, di 1/20=0.05 12 Ancora sul test di Pearson
  13. 13. R. Rigon L’accettazione dell’ipotesi zero E’ dunque legata ad una scelta soggettiva (il margine di confidenza), assegnato secondo un criterio assunto come “ragionevole”. Per questo si usa tradizionalmente la dizione: “non si può rigettare”, invece di “si accetta”. A ben vedere però, la questione di come si dice, non è veramente sostanziale. Il criterio per quanto soggettivo è organizzato quantitativamente, e dà risultati ripetibili. 13 Ancora sul test di Pearson
  14. 14. R. Rigon In pratica Si assegna il grado di confidenza, c e si inverte la probabilità ovvero: 14 Ancora sul test di Pearson
  15. 15. R. Rigon Se Si rigetta l’ipotesi zero Viceversa si accetta (nel gergo statistico: non si può rigettare) 15 Ancora sul test di Pearson
  16. 16. R. Rigon Corollario Avendo a disposizione più ipotesi zero valide Si accetta Quella con più piccolo Che corrisponde ad eventi non rigettati (accettati!) con maggior grado di confidenza. 16 Ancora sul test di Pearson

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