Rasstoyaniya mezhdu pryamymi

1. Урок 11
Расстояния между прямыми

2. Определение.
глом между прямыми
азывается меньший из двух углов между
учами, которые этим прямым
оответственно параллельны.
ледствия.
) Если а || b, то ∠(a; b) = 0°;
) Если а  b = O, то ∠(a; b) – тот из образовавшихся
углов с вершиной О, который не тупой.
) Если а ÷ b, то ∠(a; b) = ∠(a’; b’), где a’ || a; b’ || b; a’  b’ = O’.
аким образом, 0° ≤ ∠(a; b) ≤ 90°.

3. Перпендикулярными будут называться любые
две прямые, угол между которыми 90°,
Определение.
Прямая называется перпендикулярной
плоскости, если она перпендикулярна любой прямой,
лежащей в этой плоскости
Признак.
Прямая перпендикулярна плоскости,
если она перпендикулярна каждой из двух
пересекающихся прямых, лежащих в этой плоскости
Теорема о трех перпендикулярах

4. 1) Верно ли, что прямая, перпендикулярная двум сторонам
треугольника, перпендикулярна его третьей стороне?

5. В неплоской замкнутой ломаной ABCD AB=BC, AD=CD.
Докажите, что (АС) (BD).⊥
В
А
Е
С
D

6. Точка А не лежит на прямой а.
Какую фигуру образуют все прямые,
проходящие через точку А и перпендикулярные прямой а?

7. Проверьте равносильность утверждений:
1) Две прямые перпендикулярны
2) Через каждую из них проходит плоскость,
перпендикулярная другой прямой
2) ∃α | a⊂α и b⊥α ⇒ b⊥a.
1) b⊥a
а) αα ⊂⊂ ab ; αα ⊄⊂ ab ;б)

8. 2. Пусть РАВС – правильный тетраэдр,
точка Q – центр его основания, точка К – середина ребра РВ,
точка L – середина ребра АС. Вычислите угол между прямыми:
А) АР и ВС;
б)АР и СQ;
в) АР и СЛ;
г) АК и ВС;
д) АК и РL;
е) АQ и KL.

9. 3
6
3
6
3
6 2
3
PF
PC PK CK2
2 2 2
2 2
4
7
16
=
+ −
=
cosϕ =
+ −
⋅
=
PL FL PF
PL FL
2 2 2
2
2
3
6
61
4
KE BK BE BK BE
2 2 2
2 60
7
16
= + − ⋅ ⋅ =cos 
cosϕ =
+ −
⋅
=
KL EL KF
KL EL
2 2 2
2
6
6
°;
;
;
,
;
;
,
;
а) ∠((АР); (ВС)) = 900
б) ∠((АР); (СQ)) = ∠KMС = arccos
в) ∠((АР); (СK)) = ∠MKС = arccos
г) ∠((АK); (BC)) = ∠AKN = arccos
д) ϕ = ∠((АK); (PL)) = ∠PLF = arccos
е) ϕ = ∠((АQ); (KL)) = ∠KLE = arccos
где E∈[BC] и |CE| = |BC|;
∆BKE:
∆KLE:
где F – середина [CK].
∆PCK:
∆PLF:

10. 3
6
3
6
3
6 2
3
PF
PC PK CK2
2 2 2
2 2
4
7
16
=
+ −
=
cosϕ =
+ −
⋅
=
PL FL PF
PL FL
2 2 2
2
2
3
6
61
4
KE BK BE BK BE
2 2 2
2 60
7
16
= + − ⋅ ⋅ =cos 
cosϕ =
+ −
⋅
=
KL EL KF
KL EL
2 2 2
2
6
6
°;
;
;
,
;
;
,
;
а) ∠((АР); (ВС)) = 900
б) ∠((АР); (СQ)) = ∠KMС = arccos
в) ∠((АР); (СK)) = ∠MKС = arccos
г) ∠((АK); (BC)) = ∠AKN = arccos
д) ϕ = ∠((АK); (PL)) = ∠PLF = arccos
е) ϕ = ∠((АQ); (KL)) = ∠KLE = arccos
где E∈[BC] и |CE| = |BC|;
∆BKE:
∆KLE:
где F – середина [CK].
∆PCK:
∆PLF: