Vnevpisannaya okruzhnost

1. Доклад на тему:
«Вневписанная окружность»
Номинация: математика
Выполнили:
Коляда Валентина
Афонина Екатерина
ученицы 9м класса
гимназии № 22
научный руководитель
учитель высшей категории
Плеснявых Елена Аслановна

2. Содержание
 Введение.
 Основная часть
Глава 1. Определение вневписанной окружности.
Центр вневписанной окружности.
Касательная к вневписанной окружности.
Глава 2. Формулы для вычисления радиусов вневписанных
окружностей.
§ 1. Соотношение между радиусом вневписанной окружности и
периметром треугольника
§ 2. Соотношение между радиусом вневписанной окружности, площадью и
периметром треугольника
Глава 3. Некоторые соотношения с радиусами вневписанных
окружностей.
§ 1. Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через
радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности
§ 2. Выражение суммы величин, обратных радиусам вневписанных
окружностей, через величину обратную радиусу вписанных
окружностей.
§ 3. Выражение суммы всех попарных произведений радиусов
вневписанных окружностей через квадрат полупериметра
треугольника.
§ 4. Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей
через произведение радиуса вписанной окружности и
квадрат полупериметра треугольника.
§ 5. Выражение высоты треугольника через радиусы вневписанных
окружностей.
 Заключение.
 Библиография.

3. Глава 1. Окружность называется вневписанной в
треугольник, если она касается одной из сторон
треугольника и продолжений двух других сторон
О
А
В
С
М
N
H

4. Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка
пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника,
противолежащего той стороне треугольника, которой
окружность касается, и биссектрис двух внешних углов
треугольника (1)
Дано:
АВС
Окр. (О; r)
М, N, К – точки касания
Доказать (1)
Решение:
Т. к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О
равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе
угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к.
окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит
её центр лежит на биссектрисе угла АВС. Ч.т. д.
А
В
С
О
К
М
N

5. Расстояние от вершины угла треугольника до точек
касания вневписанной окружности со сторонами этого
угла равны полупериметру данного треугольника
АВ1
= АС1
= p
Дано:
АВС
Вневписанная окр. (Оа
; ra
)
Доказать, что
АВ1
= АС1
= p
Доказательство:
Т.к. Оа
- центр вневписанной
окружности. Касательные, прове -
денные к окружности из
одной точки, равны между собой,
поэтому ВВ1
= ВА1
, СА1
= СС1
, АВ1
= АС1
.
Значит,
2p = (AC + СА1
) + (AB + ВА1
) = (AC + CC1
) + (AB + BB1
) = AC1
+ AB1
= 2AC1
= 2AB1
т.е. АВ = АС = p.
Оа
В1
ra
ra
ra
А
В
С С1
А1
α/2
α/2

6. Глава 2. § 1. Радиус вневписанной окружности. Касающейся
сторон данного внутреннего угла треугольника, равен
произведению полупериметра треугольника на тангенс половины
этого угла, т. е.
ra
= ptg , rb
= ptg , rc
= ptg (2)
Дано:
АВС
Вневписанная окр. (Оа
; ra
)
Доказать (2)
Решение:
В прямоугольном треугольнике А Оа
С1
ra
и p – длины катетов, угол Оа
А С1
равен , поэтому ra
= ptg .
А
В
С
Оа
p
p
В1
С1
b
c
ra
ra
ra
2
α
2
β
2
γ
2
α
2
α

7. § 2. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной
стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к
разности полупериметра и этой стороны. т.е.
ra
= , rb
= , rc
= (3)
Дано:
АВС
Вневписанная окр. (Оа
; ra
)
Доказать (3)
Решение:
Имеем
S = SABC
= SAOaC
+ SBOaC
– SBOaC
= × (b + c – a) = ra
× (p – a), т.е.
ra
=
А
В
С
Оа
p
p
В1
С1
b
c
ra
ra
ra
ap
S
− bp
S
− cp
S
−
2
ra
a-p
S

8. Глава 3. § 1 Сумма радиусов вневписанных окружностей равна
сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра
описанной окружности, т. е.
ra
+ rb
+ rc
= r + 4R
Доказательство:
Выразим все радиусы через стороны, площадь и
полупериметр треугольника:
r = , R = , ra
= , rb
= , rc
=
Значит,
ra
+ rb
+ rc
– r = + + - =
= =
= = = 4R
p
S
S
abc
4 ap
S
− bp
S
− cp
S
−
ap
S
− bp
S
− cp
S
− p
S
))()((
))()(())(())(())((
cpbpapp
cpbpapbpappcpappcpbpp
S
−−−
−−−−−−+−−+−−
2
S
abc
S
S
abc

9. § 2. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных
окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной
окружности, т. е.
Доказательство:
Используем выражения радиусов через стороны и площадь
треугольника:
r = , R = , ra
= , rb
= , rc
=
Значит,
p
S
S
abc
4 ap
S
− bp
S
− cp
S
−
rrrr cba
1111
=++
rS
p
S
pp
S
cp
S
bp
S
ap
rrr cba
123111
==
−
=
−
+
−
+
−
=++

10. § 3. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных
окружностей равна квадрату полупериметра треугольника, т. е.
ra
rb
+ rb
rc
+ rc
ra
= p2
Доказательство:
Воспользуемся формулами ранее доказанных радиусов через стороны
и площадь треугольника:
r = , ra
= , rb
= , rc
=
Подставим
Из формулы Герона следует
(p – a)(p – b)(p – c) = , поэтому
p
S
ap
S
− bp
S
− cp
S
−
=
−−
+
−−
+
−−
=++
))(())(())((
222
apcp
S
cpbp
S
bpap
S
rrrrrr accbba
))()(())()((
23
))()((
)()()( 222
cpbpap
p
S
cpbpap
pp
S
cpbpap
bpapcp
S
−−−
=
−−−
−
=
−−−
−+−+−
=
p
S 2
2
2
2
2
p
S
p
Srrrrrr accbba ==++

11. § 4. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей
равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат
полупериметра треугольника, т.е.
ra
rb
rc
= rp2
Доказательство:
Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы
Герона
ra
= , rb
= , rc
= ,
Тогда
ap
S
− bp
S
− cp
S
−
))()(( cpbpappS −−−=
2
2
33
))()((
rppprSp
S
pS
cpbpap
S
rrr cba =×===
−−−
=

12. Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения
всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру
треугольника, т.е.
Доказательство:
Из ra
rb
rc
= rp2
= rp × p = Sp.
Следовательно
p
rrr
S cba
=
p
rrr
S cba
=

13. Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из
произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и
радиуса вписанной окружности, т.е.
Доказательство:
Из следствия 1, что и равенства S = pr,
получаем, перемножая их почленно,
. Значит
rrrrS cba=
p
rrr
S cba
=
rrrrpr
p
rrr
S cba
cba
=×=2
rrrrS cba=

14. § 5. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную
сторону, равна полусумме величин, обратных радиусам вневписанных
окружностей, касающихся двух других сторон треугольника, т.е.
, ,
Доказательство:
Воспользуемся
формулами
,
Значит,
,






+=
cba rrh
11
2
11






+=
acb rrh
11
2
11






+=
baс rrh
11
2
11
bp
S
rb
−
=
cp
S
rc
−
=
=
−−++
=
−−
=
−
+
−
=+
S
cbcba
S
cbp
S
cp
S
bp
rr cb
211
a
a
hah
a
S
a 2
2
1
===






+=
cba rrh
11
2
11

15. Рассмотренные свойства позволили
установить связь между радиусами
вписанной и вневписанной
окружностями, между радиусами
вневписанной окружностью и площадью
треугольника, между радиусами
вневписанных окружностей и периметром
треугольника. Данный материал выходит
за рамки школьной программы и будет
полезен учащимся увлеченным
математикой.
3. Заключение.