Dokumen tersebut membahas tentang tiga jenis distribusi probabilitas, yaitu distribusi binomial, Poisson, dan normal. Distribusi probabilitas merupakan distribusi teoritis yang menggambarkan kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Dokumen ini memberikan contoh-contoh perhitungan dan aplikasi dari ketiga distribusi tersebut beserta rumus dan sifat-sifatnya.

1. DISTRIBUSI PROBABILITAS
(DISTRIBUSI BINOMIAL,
POISSON, DAN NORMAL)
MOH. AMIN

2. DISTRIBUSI PROBABILITAS
Distribusi peluang mempunyai hubungan yang
erat dengan distribusi frekuensi. Frekuensi
dalam distribusi frekuensi diperoleh
berdasarkan hasil percobaan atau hasil
observasi. Sedangkan frekuensi dalam
distribusi peluang merupakan hasil yang
diharapkan jika percobaan atau pengamatan
dilakukan, sehingga distribusi peluang ini
seringkali disebut distribusi teoritis.

3. Berikut akan diberikan contoh yang
dapat memperjelas pemahaman tentang
konsep distribusi peluang. Suatu
tindakan melemparkan satu keping mata
uang logam berisi dua (angka dan
gambar) akan menghasilkan salah satu
dari kejadian yang mungkin yaitu
munculnya sisi angka atau gambar.

4. Bila bobot kedua sisi mata uang
tersebut sama, maka diharapkan baik
sisi gambar maupun sisi angka
mempunyai kesempatan yang sama. Bila
dilakukan percobaan pelemparan uang
sebanyak 2 kali secara adil, maka hasil
yang mungkin dari percobaan dua kali
pelemparan mata uang logam tersebut
dapat disajikan dalam tabel berikut :

5. Tabel : Kemungkinan muncul sisi angka
dari 2 kali lemparan mata uang logam dan
peluangnya
Lemparan
I
Lemparan
II
Jumlah sisi angka yang
muncul (dalam 2
lemparan)
Peluang
A A 2 0,5 X 0,5 = 0,25
A G 1 0,5 X 0,5 = 0,25
G G 0 0,5 X 0,5 = 0,25
G A 1 0,5 X 0,5 = 0,25
JML 1

6. • Dari tabel diatas kita dapat mengetahui
distribusi probabilitas jumlah sisi angka
yang mungkin dihasilkan dari dua kali
lemparan uang logam seperti tertera dalam
tabel dibawah. Meskipun demikian perlu
dicatat bahwa hasil yang diperoleh ini
bukanlah hasil yang nyata, tetapi
merupakan hasil yang diharapkan dari
percobaan dua kali lemparan mata uang
logam, sehingga hasil yang diperoleh
disebut hasil teroritis.

7. Tabel : Distribusi probabilitas dari
kemungkinan munculnya sisi angka dalam dua kali
lemparan uang logam
Jumlah
Munculnya Sisi
angka
Lemparan Peluang
0 (G, G) 0,25
1 (A, G) + (G, A) 0,50
2 (A, A) 0,25
JML 1

8. • Variabel Random/Acak
– Variabel random adalah suatu kondisi yang
menunjukkan bahwa nilai terjadinya suatu peristiwa
ditentukan oleh proses kebetulan, bukan dikendalikan
oleh peneliti.
– Variabel random dapat dibedakan menjadi dua, yaitu
variabel random diskrit dan variabel random kontinue.
– Variabel random diskrit adalah variabel yang
besarannya tidak dapat menempati semua nilai diantara
dua titik, sehingga nilainya berupa bilangan bulat.
• Contoh :
Data hasil pencacahan, misalnya banyaknya anak
pada sebuah keluarga dapat berjumlah 1,2,3
orang dan seterusnya, tetapi tidak mungkin
berjumlah 2,7 atau 1,5.

9. – Variabel sandom kontinyu adalah varibel yang dapat
dinyatakan dalam sebarang nilai yang terdapat dalam
interval tertentu sehingga nilainya bisa berupa bilangan
bulat maupun pecahan atau pengukurannya dapat dibagi
dalam bagian-bagian yang tak terhingga.
• Contoh :
Data pengukuran ; umur, panjang dan lain-lain,
misalnya umur seseorang 3.5 tahun, 3 tahun dsb.
– Yang termasuk distribusi probabilitas diskrit adalah :
Distribusi binomial
Distribusi poisson
Sedang untuk distribusi probabilitas kontinue
adalah : Distribusi normal.

10. • Distribusi Binomial
• Distribusi binomial disebut juga sebagai percobaan atau
proses dari Bernouli. Jones Bernouli adalah ahli
matematika dari Swiss (1654 – 1705) yang berjasa
dalam pengembangan penggunaan distribusi binomial.
• Ciri-ciri dari percobaan Bernouli adalah :
- Setiap percobaan hanya menghasilkan dua
kemungkinan yang saling meniadakan yaitu sukses
atau gagal
Contoh :
- Bila seseorang memilih secara acak sehelai kartu
dari setumpuk kartu “bridge”, kartu yang terpilih
dapat merupakan “kartu As” atau “bukan kartu As”.
- Probabilitas peristiwa sukses (p) dari suatu
percobaan ke percobaan berikutnya adalah tetap,
probabilitas gagal (q) adalah 1 – p.

11. • Contoh :
• Bila kita hanya berminat untuk
mengetahui apakah kartu yang terpilih
merupakan “kartu As” atau “bukan kartu
As”, maka kita dapat menyatakan peluang
terambilnya kartu As adalah 4/52 (1/13),
sehingga peluang terambilnya kartu bukan
As adalah 1 – 4/52 = 12/13
• Masing-masing percobaan merupakan
peristiwa independen, artinya peristiwa
yang satu tidak mempengaruhi terjadinya
peristiwa yang lain.

12. • Formula Binomial :
dimana :
• Keterangan :
p = peluang sukses
q = peluang gagal
n = jumlah percobaan
x = jumlah sukses yang diharapkan
x
n
x
q
p
x
n
p
n
x
b 









)
,
;
(
)!
(
!
!
x
n
x
n
x
n











13. • Contoh :
• probabilitas seorang mahasiswa terlambat
dalam mengikuti kuliah Statistika II
adalah 0,4. Berapa probabilitas dari 5
mahasiswa :
– Tidak ada yang terlambat
– 1 mahasiswa terlambat
– Paling banyak 1 mahasiswa terlambat ( x  1)
– Paling sedikit 2 mahasiswa yang terlambat
(x  2)
• Jawab :

14. • Contoh :
• Berdasarkan pengalaman 8 dari 10 botol
minuman adalah terisi penuh, jika ingin
diketahui probabilitas yang terisi penuh 3
dari 6 botol yang tersedia, maka dapat
dilakukan perhitungan sebagai berikut :
p = 8/10 x = 3
q = 1 – 0,8 = 0,2 n = 6
b (3 ; 6 ; 0,8) = 08192
,
0
)
2
,
0
(
)
8
,
0
(
)!
3
(
!
3
!
6 3
3


15. • Soal :
• Di suatu kelas mata kuliah Statistik II, diketahui
bahwa dari 9 macam alasan mahasiswa tidak masuk
kuliah, satu macam adalah karena alasan pulang
kampung. Diambil secara random 4 ijin tidak masuk
kuliah, berapa probabilitasnya bahwa 3 diantaranya
karena pulang kampung ?
• Dosen suatu mata kuliah Statistik II mengatakan
bahwa hanya 40 % dari para mahasiswa yang mengikuti
mata kuliah tersebut akan lulus dalam ujian akhir akhir
semester. Dari 14 orang mahasiswa yang mengambil
mata kuliah tersebut diambil secara random, berapa
probabilitasnya :
– 4 orang akan lulus
– Paling banyak 4 orang akan lulus

16. • Distribusi Binomial Komulatif
Distribusi binomial komulatif adalah berguna bagi
perhitungan probabilitas “paling sedikit (x  r) atau
paling banyak (x  r) sejumlah x sukses. Probabilitas
binomial komulatif diatas dapat dihitung dengan jalan
mencari nilai probabilitas individu secara tersendiri
berdasarkan formula binomial diatas, serta kemudian
menjumlahkan semua hasil probabilitas individu yang
bersangkutan, prosedur sedemikian itu tidak mudah !
Suatu cara yang efektif untuk menghitung hasil
distribusi binomial komulatif dapat dilakukan dengan
bantuan sebuah table distribusi probabilitas binomial
komulatif. Secara simbolis, table binomial komulatif
memberikan nilai-nilai :
P = (x  r) = b (r/n, p) + b ((r + 1/n, p) + ………….+
b (n/n, p)

17. • Contoh :
Bila sekeping uang logam yang setimbang dilempar sebanyak 3 kali,
barapa probabilitas memperoleh paling sedikit 2 sisi angka.
P (x  2) = 0,5
• Rata-Rata Distribusi Binomial dan Standar Deviasi Distribusi
Binomial
Jika nilai parameter n dan p telah diketahui, maka menghitung rata-
rata distribusi binomial dapat dilakukan dengan mudah karena formula
dari rata-rata distribusi binomial :  = n . p
Sedang untuk varian dan standar deviasinya distribusi binomial adlah :
2 = n . p . q,  =
• Contoh :
Prosentase mahasiswa yang lulus dalam mengikuti kuliah Statistik II
adalah 80%. Jika kita memilih 10 dari mahasiswa tersebut, rata-rata
dan standar deviasi distribusi binomialnya adalah sebagai berikut :
 = n . p  =
= 10 (0,8)  =
= 8
q
p
n .
.
q
p
n .
.
625
,
1
)
2
,
0
)(
8
,
0
(
10 

18. • Distribusi Hipergeometris
• Distribusi binomial sangat sering digunakan dalam
persoalan pengambilan sample (sampling). Misalnya, suatu
kotak terdiri dari 100 barang, 90 diataranya baik dan
sisanya cacat. Kemudian dilakukan sampling dengan ukuran
sample n = 6 terhadap barang yang ada dalam kotak.
Pertanyaan, dapatka dihitung probabilitas memperoleh
jumlah yang baik sebanyak 4, dengan menggunakan rumus
binomial?. Ringkasnya n = 6, p = 90/100 = 0,9 dan berapa
P (4).
• Untuk menjawab persoalan diatas, jika ukuran sample n
tidak lebih dari 5% elemen populasi atau n  0,05 N, maka
rumus binomial masih dapat memberi hasil yang
memuaskan.
• Jika n  0,05 N, maka yang harus digunakan untuk
menghitung probabilitas jumlah sukses adalah rumus
hipergeometri yaitu :

19. P (r) =
keterangan :
N = ukuran populasi, n = ukuran sample
R = jumlah sukses dalam populasi,
r = jumlah sukses dalam sample
Untuk menjawab soal diatas maka, P (4) =
P (4) = …
N
n
R
N
r
n
R
r
C
C
C 

)!
94
(
!
6
!
100
)!
8
(
!
2
!
10
.
)!
86
(
!
4
!
90
100
6
90
100
4
6
90
4



C
C
C

20. • Distribusi Poisson
Distribusi poisson adalah distribusi teoritis yang
berhubungan dengan variable random diskrit,
seperti halnya dengan distribusi binomial, ada 2
kategori yang mungkin timbul pada populasi.
Timbulnya tiap kejadian yang mengikuti distribusi
poisson adalah independensi, setiap kejadian
mempunyai probabilitas yang tetap. Jumlah
individu yang dihadapi besar sekali, sedangkan
peluang timbulnya suatu individu ternasuk
kategori tertentu kecil sekali.
Distribusi poisson ditemukan oleh poisson,
penerapannya hampir sama dengan distribusi
binomial hanya membutuhkan syarat P < 0,05 dan
n > 20 (n besar dan probabilitas untuk terjadi
sangat kecil). Formula distribusi poisson adalah
sebagai berikut :

21. dimana,
P (x ; ) = Peluang munculnya peristiwa x
 = Rata-rata terjadinya suatu peristiwa
e = 2,71828
 = n . p
Contoh :
Probabilitas bahwa seseorang akan menderita
reaksi buruk dari injeksi suatu serum adalah
0,001. Hitunglah bahwa dari 2000 orang yang
diinjeksi serum dengan serum tersebut :
a. Tiga orang menderita reaksi buruk
b. Lebih dari 2 orang menderita reaksi buruk.
Jawab
!
)
;
(
x
e
x
P
x 





22. • Pendekatan Poisson Untuk Distribusi Binomial
Distribusi poisson dapat digunakan untuk
pendekatan distribusi binomial, namun dengan
memperhatikan persyaratan bahwa n besar dan p
kecil, aturan yang sering digunakan dalam
statistika bahwa distribusi poisson merupakan
pendekatan yang paling baik bagi distribusi
binomial adalah bila n > 20 dan P < 0,05. Dalam
kondisi ini dapat disubstitusikan rata-rata
distribusi binomial ke dalam rata-rata distribusi
poisson  = n . p
sehingga formulasinya menjadi :
!
)
(
)
;
(
x
e
np
x
P
np
x 



23. • Contoh :
Sebuah perusahaan pakaian jadi menggunakan 20 mesin jahit.
Probabilitas sebuha mesin jahit mengalami gangguan dan
memerlukan perbaikan adalah 0,02. Berapakah probabilitas 3
buah mesin jahit mengalami gangguan dan memerlukan
perbaikan ?
• Rata-Rata, Varians dan Deviasi Standar Distribusi Poisson
Bagi distribusi poisson yang dinyatakan dengan rumus diatas,
Rata-Rata (means), dan variansnya dapat dinyatakan sebagai
berikut :
x = n . p = x2
Sedangkan standar deviasinya adalah :
x = x
np 


24. 24
. Distribusi Normal
Distribusi normal memegang peranan
penting dalam statistika khususnya
dalam berbagai analisis untuk menarik
suatu kesimpulan berdasarkan sampel
yang diambil.
Konsep distribusi normal sangat
penting untuk dipahami karena konsep
ini mendasari asumsi pada distribusi
sampling, pendugaan statistika maupun
pengujian hipotesa.

25. 25
Distribusi normal adalah distribusi variabel kontinue yang memiliki ciri-
ciri sebagai berikut :
1. Kurvanya mempunyai puncak tunggal
2. Kurvanya berbentuk seperti lonceng
3. Nilai rata-rata distribusi normal terletak ditengah kurva normal.
4. Disebabkan distribusi normal mempunyai bentuk simetris maka media
dan modus juga berada ditengah-tengah kurva normal, sehingga nilai
rata-rata median dan modus adalah sama.
5. Dua sisi kurva normal memanjang tak terbatas dan tak pernah
menyentuh garis horisontal.

26. KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL

1. Kurva berbentuk genta (= Md= Mo)
2. Kurva berbentuk simetris
3. Kurva normal berbentuk asimptotis
4. Kurva mencapai puncak pada saat X= 
5. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai
tengah dan ½ di sisi kiri.

27. DEFINISI KURVA NORMAL
Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah
, dan standar deviasi , maka persamaan kurva
normalnya adalah:
N(X; ,) = 1 e –1/2[(x-)/]2,
22
Untuk -<X<
di mana
 = 3,14159
e = 2,71828

28. Dari fungsi dasar distribusi normal diatas dapat
diambil kesimpulan bahwa bentuk suatu distribusi
normal tergantung pada 2 parameter, yaitu rata-
rata () dan standar deviasi ().
Bentuk kurva distribusi normal :

29. Tabel distribusi normal standar atau tabel distribusi
Z berguna untuk menghitung luas daerah dibawah
kurva distribusi normal standar.
Penggunaan Tabel Distribusi Normal Standar
f (z)
a b Z
Perlu diingat bahwa tabel distribusi Z khusus memberikan hasil
perhitungan luas daerah dibawah kurva distribusi Z yang memiliki rata-
rata = 0 dan deviasi standar = 1

30. Luas wilayah tersebut menunjukkan probabilitas dari suatu interval,
sehingga luas seluruh wilayah dibawah kurva dan diatas sumbu
horisontal = 1, karena kurva simetris, maka luas wilayah disebelah kanan
garis tegak lurus diatas rata-rata sama dengan 0,5 dan sebelah kiri juga
sama dengan 0,5.
 Untuk memahami penggunaan tabel distribusi normal standar, berikut
disajikan beberapa contoh :
a. Hitung luas wilayah dibawah kurva normal :
Antara nilai Z = 0 dan Z = 1
solusi :

31. Perhatikan gambar dibawah ini :
Penggunaan Tabel Distribusi Normal Standar
0 1 Z
Untuk menghitung luas yang dibatasi Z = 0 dan Z = 1, cari nilai ditabel
distribusi Z yang sesuai dengan Z = 1,00
Z 0,00
1,0 0,3413
Berarti luas daerah yang diarsir adalah
34,13% dari luas seluruh daerah dibawah
kurva

32. b. Hitung luas wilayah dibawah kurva normal :
Antara nilai Z = -1 dan nilai Z = 0
solusi : sama dengan kasus di atas nilainya adalah 0,3413

33. Perhatikan gambar dibawah ini :
Penggunaan Tabel Distribusi Normal Standar
-3 -2 -1 0 1 2 3 Z
Carilah nilai Z = 1,00 di tabel distribusi Z. Hasilnya adalah 0,3413 atau
34,13%. Tanda negatif pada Z menunjukkan bahwa luas berada disebelah
kiri rata-rata.

34. Perhatikan gambar dibawah ini :
-3 -2 -1 0 1 2 3 Z
Perlu diingat bahwa tabel distribusi Z hanya bisa menghitung luas
dari nilai Z tetentu ke rata-ratanya (nilai Z = 0). Oleh sebab itu,
untuk menghitung luas –1 < Z < 1, terlebih dahulu kita hitung luas –
1 < Z < 0, kemudian ditambahkan dengan luas 0 < Z < 1.
Luas –1  Z  1 = 0,3413 + 0,3413 (68,26% atau 0,6826 )
c. Hitung luas wilayah dibawah kurva normal :
Antara nilai Z = -1 dan nilai Z = 1
solusi :

35. d. Hitung luas wilayah dibawah kurva normal :
Antara nilai Z = 0 daan Z = 1,55 solusi : ?
e. Hitung luas daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini :
-3 -2 -1 0 1 2 3 Z
Ingat bahwa distribusi normal adalah distribusi berbentuk lonceng yang
simetris, sehingga luas separuh kurva adalah 0,5 (50%), maka luas Z > 2
adalah 0,5 – 0,4772 = 0,0228 atau 2,28%

36. f. Antara nilai Z = 1 dan Z = 2
Solusi :
Perhatikan gambar berikut :
-3 -2 -1 0 1 2 3 Z
Untuk menghitung luas nilai Z = 1 dan Z = 2, kita harus mencari
luas 1  Z  2, terlebih dahulu kita hitung luas 0  Z  2, kemudian
dikurangkan dengan luas 0  Z  1.
Maka Z = 1 dan Z = 2 adalah 13,59%)

37. TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z
Transformasi dari X
ke Z
x z
Di mana nilai Z:
Z = X - 

Dimana,
x = nilai variabel random
 = rata-rata variabel random
 = deviasi standar variabel random

38. 38
Contoh Soal:
Misalkan sebuah kurva normal memiliki x = 100 dan x = 20.
Hitunglah luas kurva normal antara 75 s/d 120 atau P (75  x 120).
Jawab:
D
x
x
x
Z




25
,
1
20
100
75
1 



Z
1
20
100
120
2 


Z
luasnya = 0,3944
luasnya = 0,3413
Sehingga P (75  x  120) = P (-1,25  z 1)
= P (-1,25  z  0) + P (0  z  1)
= 0,3944 + 0,3413
= 0,7357 atau 73,57%

39. 39
Contoh Soal:
Nilai ujian Akuntansi Biaya di sebuah kelas terdistribusi secara
normal dengan rata-rata 60 dan deviasi standar 10. Berapa persen
siswa yang memperoleh nilai antara 60 – 70 ?
Jawab:
Untuk menghitung daerah/nilai antara 60 – 70 adalah sebagai
berikut :
Maka P (60  x  70) = P (0  z  1) = 0,3413
Siswa yang mendapat nilai antara 60 - 70 adalah
34,13%
0
10
60
60
1 


Z
1
10
60
70
2 


Z

40. 40
TRANSFORMASI DARI X KE Z
Contoh Soal:
Harga saham di BEJ mempunyai nilai tengah (X)=490,7 dan standar
deviasinya 144,7. Berapa nilai Z untuk harga saham 600?
Jawab:
Diketahui: Nilai  = 490,7 dan  = 144,7
Maka nilai Z =( X - ) / 
Z = ?

41. 41
LUAS DIBAWAH KURVA NORMAL
-3
-3
=x
Z=0
+1
+1
+2
+2
+3
+3
-2
-2
-1
-1
68,26%
99,74%
95,44%
• Luas antara nilai Z (-1<Z<1) sebesar 68,26% dari jumlah
data.
• Berapa luas antara Z antara 0 dan sampai Z = 0,76 atau
biasa dituis P(0<Z<0,76)?
• Dapat dicari dari tabel luas di bawah kurva normal. Nilainya
dihasilkan = ?

42. 42
PENERAPAN KURVA NORMAL
Contoh Soal:
PT GS mengklaim berat buah mangga “B” adalah 350 gram
dengan standar deviasi 50 gram. Bila berat mangga
mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas bahwa
berat buah mangga mencapai kurang dari 250 gram,
sehingga akan diprotes oleh konsumen.
Z=-2,0

43. 43
Jawab:
PENERAPAN KURVA NORMAL

44. 44
PENERAPAN KURVA NORMAL
Contoh Soal:
PT Work Electric, memproduksi Bohlam Lampu yang dapat
hidup 900 jam dengan standar deviasi 50 jam. PT Work
Electric ingin mengetahui berapa persen produksi pada
kisaran antara 800-1.000 jam, sebagai bahan promosi
bohlam lampu. Hitung berapa probabilitasnya!
-2 2
0,4772
0,4772

45. 45
PENERAPAN KURVA NORMAL
Jawab:

46. 46
PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL
• Karena distribusi binomial mempunyai
variabel diskrit, sedangkan distribusi normal
bervariabel kontinyau, maka dalam
menggunakan distribusi normal untuk
memecahkan persoalan-persoalan binomial
perlu dilakukan penyesuian dengan cara :
– Untuk harga variabel x batas bawah
dikurangi 0,5
– Sedang harga variabel x batas atas
ditambah 0,5

47. 47
DALIL PENDEKATAN NORMAL TERHADAP
BINOMIAL
Bila nilai X adalah distribusi acak binomial dengan nilai tengah =np
dan standar
deviasi =npq, maka nilai Z untuk distribusi normal adalah:
di mana n  dan nilai p mendekati 0,5
Z = X - np
npq

48. 48
TERIMA KASIH