Giải bài toán bất phương trình chứa căn

1. I. Các dạng bất phương trình chứa căn thức
Dạng 1: Một đa thức trong căn bé hơn một đa thức khác không chứa căn
√f(x) < g(x) {
𝑓( 𝑥) ≥ 0
𝑔(𝑥) ≥ 0
𝑓( 𝑥) < [𝑔( 𝑥)]2
Dạng 2: Một đa thức trong căn lớn hơn một đa thức khác không chứa căn
√f(x) > g(x) [
{
g(x)<0
f(x)≥0
{
g(x)≥0
f(x)>[g(x)]2
Dạng 3: Một đa thức trong căn bé hơn một đa thức trong căn khác
√𝐴 < √ 𝐵 {
𝐴 ≥ 0
𝐴 < 0
II. Công thức về phương trình, bất phương trình chứa căn
√A = √B  {
A ≥ 0 (B ≥ 0)
A = B √A < √B  {
𝐴 ≥ 0
𝐵 > 0
𝐴 < [B]2
√A = 𝐵 {
A ≥ 0
A = [B]2 √A > B  {
A ≥ 0
B < 0
v {
B ≥ 0
A > [B]2
√A < √B {
A ≥ 0
A < B
*Các điều kiện và tính chất cơ bản:
√A có nghĩa khi A ≥ 0
√A ≥ 0 với A ≥ 0
√𝐴2 = | 𝐴| và | 𝐴| = { A nếu A ≥ 0
−A nếu 𝐴 < 0
(√A)2
= A với A ≥ 0
√AB = √A . √B khi A, B ≥ 0
√AB = √−A . √−B khi A, B ≤ 0
III. Cách giải bất phương trình chứa căn thức:
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Giải bất phương trình

2. Bước 3: Xét xem các giá trị tìm được có thuộc tập xác định của bất phương trình hay không,
nếu có thì các giá trị đó là nghiệm của bất phương trình, ngược lại thì các giá trị tìm được không
phải là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Dạng 1: Giải bất phương trình căn thức đơn giản
VD1: √6 − 4x + ( 𝑥)2 = 𝑥 + 4
{
6 − 4x + ( 𝑥)2
≥ 0
𝑥 + 4 ≥ 0
6 − 4x + ( 𝑥)2
= [𝑥 + 4]2
 {
𝑥 ≥ −4
6 − 4𝑥 + ( 𝑥)2
= ( 𝑥)2
+ 8𝑥 + 16
 {
𝑥 ≥ −4
𝑥 = −5/6
 x =
−5
6
VD2: √x + 5 − √x − 3 = 2
√x + 5 = 2 + √x − 3  {
x + 5 ≥ 0
𝑥 − 3 ≥ 0
x + 5 = 4 + 𝑥 − 3 + 4√x − 3
 {
𝑥 ≥ 3
𝑥 − 3 = 1
 x = 4
Dạng 2: Giải bất phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
VD1: Xét pt: 3x2
+ 15x + 2√( 𝑥)2 + 5x − 1 = 2 (1)
Đặt y = x2
+ 5x, khi đó (1) có dạng: 3y + 2√ 𝑦 + 1 = 2  2√ 𝑦 + 1 = 2-3y
 {
y + 1 ≥ 0
2 − 3𝑦 ≥ 0
4(y + 1) = [2 − 3𝑦]2
{
𝑦 ≤ 2/3
9𝑦2
− 16𝑦 = 0
 {
𝑦 ≤
2
3
[
y=0
y=
16
9
 y = 0
Từ đó trở về biến cũ ta có: 𝑥2
+ 5𝑥 = 0  [ 𝑥=0
𝑥= −5
VD2: Xét pt: √( 𝑥)2 + x + 4 + √( 𝑥)2 + x + 1 = √2𝑥2 + 2x + 9 (1)
Đặt y = ( 𝑥)2
+ x + 1, khi đó (1) có dạng: √ 𝑦 + 3+√ 𝑦 = √2𝑦 + 7
 {
𝑦 ≥ 0
𝑦 + 3 + 𝑦 + 2√𝑦(𝑦 + 3) = 2𝑦 + 7
 {
𝑦 ≥ 0
√𝑦(𝑦 + 3) = 2
 {
𝑦 ≥ 0
𝑦2
+ 3𝑦 − 4 ≥ 0
 {
𝑦 ≥ 0
[ 𝑦=1
𝑦=−1
 y = 1
Dạng 3: Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình căn thức:
VD: Cho bất pt chứa căn thức:
√𝑥 + 9 > 5 − √2x + 4

3.  √ 𝑥 + 9 + √2x + 4 > 5
Điều kiện xác định: x ≥ -2
Xét đạo hàm của vế trái: f ‘ (x) =
1
2√ 𝑥+9
+
1
√2𝑥+4
> 0 (∀x > −2)
Ta thấy vế trái đồng biến trên tập xác định mà f(0) = 5 nên f(x) > f(0)
Vậy x>0
IV. Một số bài tập tự giải về phương trình chứa căn
Giải các bất phương trình sau:
1/ √5 + 𝑥 − √−x − 3 < -1 + √(5 − 𝑥)(−𝑥 − 3)
ĐS: -5 ≤ x < -4
2/ √2 − 𝑥
3
+ √ 𝑥 − 1 > 0
ĐS: 1≤ x ≤2
3/ √𝑥2 − 8x + 15 + √𝑥2 + 2x − 15 > √4𝑥2 − 18x + 18
ĐS: x > 17/3
4/ √3 + 𝑥 + √x + 2 -√2𝑥 − 4 > 0
ĐS: x ≥ -2
5/ √8 + 2𝑥 − 𝑥2 > 6-3x
ĐS: 1<x≤1/4